B. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data serta penafsirannya A. Ukuran Pemusatan Data Misalkan kumpulan data berikut menunjukkan hasil pengukuran tinggi badan dari 11 orang siswa. 120 cm
130 cm
125 cm
125 cm
135 cm
145 cm
125 cm
140 cm
120 cm
125 cm
130 cm
Berdasarkan kumpulan data di atas, kita belum mempunyai kesimpulan apapun mengenai nilai-nilai yang ada pada kumpulan data tersebut. Untuk menyimpulkan tentang data, diperlukan nilai kecenderungan memusat dari data, yaitu pada nilai-nilai mana saja data terkumpul, nilai ini disebut ukura pemusatan. Terdapat tiga macam ukuran pemusatan yaitu rata-rata, median, da modus. Berikut ini akan dibahas mengenai jenis-jenis ukuran pemusatan data yang sering dielajari dalam statistika yaitu rata-rata, media da modus. A. Untuk data tunggal ( data diskritif / cacahan ) 1. Rata-rata hitung Rata – rata ( rataan hitung / mean dari sekelompok data adalah jumlah data dibagai dengan banyaknya data). a) Untuk data tidak berfrekuensi ( data umum ) sbb : X1, X2, X3,….,Xn n
∑ Xi Mean = X =
i =1
n
b) Untuk data berfrekuensi n
∑ fiXi Mean = X =
i =1 n
∑ fi i =1
Data (Xi)
fi
X1
f1
X2
f2
…
…
…
…
Xn
fn
Rata-rata hitung dengan menggunaka mean sementara n
∑ di Mean = X = X 0 +
i =1
n
X = Mean
X0 = mean sementara Di = xi – x0 n = banyak data c) Sifat-sifat rataan hitung / mean Jika data : X1, X2, …..,Xn mempunyai rata-rata X0, maka : -
Jika data diubah menjadi X1 + K1, X2 + K2,….., Xn + Kn maka rataratanya menjadi X0 + K . ( K = rata-rata dari : K1, K2,….Kn)
-
Jika data diubah menjadi X1 + K, X2 + K,…..,Xn + K, maka rataratanya mejadi X0 + K
-
Jika data diubah mejadi KX1, KX2,….,KXn maka rata-ratanya menjadi KX0
1. Median (Me) Median adalah nilai data atau ukuran yang terletak ditengah-tengah data yang terurut. Jadi untuk menentukan median suatu data, urutan data tersebut dari yang terkecil sampai yang terbesar, kemudian menunjukkan data yang terletak ditengah-tengah. -
Jika banyak data ganjil, maka nilai median adalah Me = Data ke n +1 n +1 → Me = X 2 2
-
Jika banyak data genap, maka nilai median adalah Me = data ke
n 2
Xn n + X +1 n 2 +1 dibagi 2. → Me = 2 dan ke 2 2
2. Modus ( Mo ) Modus adalah nilai data atau ukuran yang paling sering muncul ( frekuensinya paling banyak ) B. Untuk data kelompok ( data kontinyu ) Data yang cukup banyak dan berfariasi akan menyulitkan kita untuk mendaftarnya.
Untuk
menyederhanakan
penyajiannya
perlu
dikelompokkan dengan interval – interval. Jadi data berkelompok disajikan dalam interval- interval atau kelas – kelas. Contoh : Data
Frekuensi
50 - 59
3
60 - 69
5
70 - 79
10
80 - 89
8
90 - 99
4
Ketentuan : -
Kelompok data : 50 – 59, 60 – 69, 70 – 79,…..dan seterusnya disebut interval kelas atau interval atau kelas.
-
Bilangan – bilangan : 50, 60, 70, … dan seterusnya disebut batas bawah tiap – tiap kelas.
-
Bilangan – bilangan : 59,69,79,… dan seterusnya disebut batas atas tiap –tiap kelas.
-
Titik tengah masing kelas adalah : 54,5. 64,5. 74,5 ….. dan seterusnya.
-
Tepi bawah = batas bawah dikurangi
1 dari selisih batas atas dan 2
bawah dari kelas yang berurutan. -
Tepi atas = batas atas ditambah
1 dari selisih batas atas dan batas 2
bawah dari kelas yang berurutan -
Tepi atas kelas ke n = tepi bawah kelas ke ( n + 1)
1. Rata-rata hitung ( mean ) n
∑ fixi Mean = X =
i =1 n
∑ fi i =1
X = Mean xi = titik tengah masing-masing interval fi = frekuensi tiap-tiap interval 2. Median ( Me ) 1 n − fk Median = Me = Tb + 2 i fmd Me = Median Tb = tepi bawah kelas median fk = frekuensi komulatif ( jumlah frekuensi kelas sebelum kelas median ) fmd = frekuensi kelas median n = banyaknya data i = panjang interval ( tepi atas – tepi bawah ) - Kelas median = kelas yang memuat data ke 3. Modus ( Mo ) Modus : Mo = Tb +
d1 i d1 + d 2
Mo = Modus Tb = tepi bawah kelas modus
1 n 2
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i = panjang interval Kelas modus = kelas yang mempunyai frekuensi paling besar
B. Ukuran Letak a. Kuartil Kuartil adalah ukuran data yang membagi data terurut menjadi empat bagian yang sama banyaknya. Sehingga terdapat 3 kuartil yaitu: 1. kuartil bawah ( Q1) 2. kuartil tengah ( Q2 ) 3. kuartil atas ( Q3 )
Xmin
Q1
Q3
Q2
Xmax
Untuk data tunggal, data diurutkan kemudian dicari data yang terletak di tengah-tengah untuk menentukan Q2. data yang terletak di tengah-tengah antara Xmin dan Q2 sebagai Q1, sedang data yang terletak di tengah-tengah antara Q2 dan Xmax sebagai Q3 Qi = X
i (n+1) 4
Qi = kuartil ke – i dengan i = 1, 2, 3, …. n = banyaknya data
Untuk data berkelompok, menggunakan rumus sebagai berikut :
i n − fk Qi = Tb + 4 .l fQi
Qi = kuartil ke i dengan i =1, 2, …. Tb = tepi bawah kelas Qi fk = frekuensi kmulatif (jumla frekuesni kelas sebelum kelas Qi fQi = frekuensi kelas Qi
n = banyaknya data l = panjang interval b. Desil Desil adalah ukura data yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian yang sama nanyaknya. Sehingga terdapat 9 desil yaitu : D1, D2,….,D9 Xmin
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9 Xma x
Untuk data tunggal, data diurutkan kemudian data dibagi menjadi 10 kelmpok Di = X
i (n + 1) 10
Di = desil ke i dengan i = 1, 2, …. n = banyaknya data
Untuk data berkelompok, menggunakan rumus sebagai berikut : i n − fk Di = Tb + 10 .l fDi
Di = desil ke i dengan i = 1,2 … Tb = tepi bawah kelas Di fk = frekuensi komulatif 9jumlah frekuensi kelas sebelum kelas Di fDi = frekuensi kelas Di n = banyaknya data l = panjang interval
Kelas Di = kelas yang memuat data ke
i n 4
c. Persentil Persentil adalah ukuran data yang membagi data terurut menjadi seratus bagian yang sama banyaknya. Sehingga terdapoat 99 persentil yaitu : .. P1, P2,….,P99
P1
Xmin
P2
…
…
…
…
…
P98
P99 Xma x
-
Untuk data tunggal, data diurutkan kemuian data dibagi menjadi seratus kelompok Pi = X
i (n + 1) 100
Pi = persentil ke i n = banyaknya data
-
Untuk data berkelompok, menggunakan rumus sebagai berikut: i n − fk Pi = Tb + 100 fpi
Pi = persentil ke i, i = 1, 2, ….,99 Tb = tepi bawah kelas Pi fk = frekuensi komulatif ( jumlah frekuensi kelas sebelum kelas Pi fpi = frekuensi kelas Pi n = banyaknya data
Kelas Pi = kelas yang memuat data ke
i n 100
