Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész Az [ 1 ] forrás 2. kötetében a ( 2.149 ), ( 2.150 ) képletek – nyilván mint közismertek – nem lettek levezetve. Minthogy az ottani további számítások miatt fontos ezek értése, ezért most levezetésüket – a biztonság kedvéért – itt részletezzük. A hivatkozott ( 2.149 ) képlet:
cos X cos Y cos Z X cos X cos Y cos Z Y . cos X cos Y cos Z Z
(1)
A hivatkozott ( 2.150 ) képlet:
cos y cos z R sin z sin y
sin z cos z cos x sin x
sin y sin x . cos x cos y
(2)
A x jelölés egy x - tengely körüli forgatás forgásszögét – és ennek értékét – jelenti. A szerzők [ 1 ] - ben írják, hogy az [ R ] rotációs mátrix közelítőleg írható a fenti alakba. Ez a következőket is jelenti: ~ a θi szögek ( i: x, y, z ) kicsinyek, ezért ~ a valójában bővebb [ R] mátrix ekkor a ( 2 ) szerinti kifejezésre egyszerűsödik. Feladatunk tehát: a.) a forgatási mátrix pontos alakjának felírása; b.) a forgatási mátrix közelítő alakjának képzése.
a.) A forgatási mátrix pontos alakjának levezetése Ezt a [ 2 ] munka segítségével végezzük, ahol az igen részletes levezetés megtalálható. Minthogy ez a kiadvány elég szűk körben ismert, ezért itt megismételjük az ottani számításokat. Kényelmi okok miatt megtartjuk az ottani jelöléseket is, majd a végén átírjuk az eredményeket az [ 1 ] szerinti jelölésekkel. Megjegyzés: A [ 2 ] munkát olyan szakember írta, akinek egyéb munkái is alapos felkészültségről és figyelemreméltó pedagógiai érzékről tanúskodnak. Ajánlott!!
2
Először: tekintsük a tetszőleges térbeli P pont helyének megadására szolgáló r vektort, az ( Oxyz ) és az ( Ox’y’z’ ) térbeli derékszögű koordináta-rendszerekben – ld. 1 ábra!
1. ábra r = x i + y j + z k = x’ i’ + y’ j’ + z’ k’.
(3)
Most szorozzuk végig skalárisan ( 3 ) egyenletet az i, j, k egységvektorokkal! r i = x i i + y j i + z k i = x’ i’ i + y’ j’ i + z’ k’ i ;
(4/1)
r j = x i j + y j j + z k j = x’ i’ j + y’ j’ j + z’ k’ j ;
(4/2)
r k = x i k + y j k + z k k = x’ i’ k + y’ j’ k + z’ k’ k .
(4/3)
Ezután vegyük figyelembe, hogy i i = j j = k k = 1; i j = j k = i k = 0 ,
(5/1)
valamint , hogy i i’ = a11, i j’ = a12; i k’ = a13;
j i’ = a21; j j’ = a22; j k’ = a23;
k i’ = a31; k j’ = a32; k k’ = a33 ,
(5/2)
3
a ( 4 ) és ( 5 ) egyenletekből: x = a11 x’ + a12 y’ + a13 z’; y = a21 x’ + a22 y’ + a23 z’; z = a31 x’ + a32 y’ + a33 z’ .
(6)
Mátrixos írásmóddal írva ( 6 ) - ot: az
x a11 a12 r y , A a 21 a 22 z a 31 a 32
x ' a13 a 23 , r ' y ' z ' a 33
(7/1)
jelölésekkel:
r A r '.
(7/2)
A ( 6 ) és a ( 7 / 2 ) egyenletek az „eredeti” rendszerbeli koordinátákat adják meg az „elforgatott” rendszerbeli „ vesszős” koordinátákkal. Nekünk azonban éppen a „fordított” – inverz – kifejezésre van szükségünk. Ennek előállítása érdekében az előzőkhöz hasonlóan eljárva: szorozzuk végig skalárisan ( 3 ) - at az i’, j’, k’ egység vektorokkal! Ekkor: r i’ = x i i’ + y j i’ + z k i’ = x’ i’ i’ + y’ j’ i’ + z’ k’ i’ ;
(8/1)
r j’ = x i j’ + y j j’ + z k j’ = x’ i’ j’ + y’ j’ j’ + z’ k’ j’ ;
(8/2)
r k’ = x i k’ + y j k’ + z k k’ = x’ i’ k’ + y’ j’ k’ + z’ k’ k’ .
(8/3)
Ezután vegyük figyelembe, hogy i’ i’ = j’ j’ = k’ k’ = 1; i’ j’ = j’ k’ = i’ k’ = 0 ,
(9)
majd ( 5 / 2 ) - vel is: x’ = a11 x + a21 y + a31 z ; y’ = a12 x + a22 y + a32 z ; z’ = a13 x + a23 y + a33 z .
( 10 )
Most ( 7 / 1 ) és ( 7 / 2 ) - höz hasonlóan eljárva:
r ' A* r ,
( 11 / 1 )
4
ahol
a11 a 21 a 31 A* a12 a 22 a 32 . a 13 a 23 a 33
( 11 / 2 )
Másodszor: határozzuk meg a forgató mátrixok elemeit, a koordináta - tengelyek körül végzett φi ( i: 1, 2, 3 ) szögű elforgatások függvényében! Ezt úgy tesszük, hogy az elforgatott véghelyzetet három, egymás után végzett forgatással érjük el. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Az ábra forrása: [ 2 ].
2. ábra 1. forgatás: ld. a 2. ábra bal oldali részét! Ez az x = x1 , i = i1 ( f1 ) feltételt jelenti, az y és a z tengelyek pedig az yz síkban φ1 szöggel elfordulnak az eredeti helyzetükhöz képest, az x = x1 tengely körül. A számítás részletezve:
r x i y j z k x1 i1 y1 j1 z1 k1 x i y1 j1 z1 k 1. i1
x i y j z k i x1 i1 y1 j1 z1 k 1 i1 ; x i i y j i z k i x1 i1 i1 y1 j1 i1 z1 k 1 i1 ; most ( 5 / 1 ) és az analóg
i1 i1 1; j1 i1 0; k 1 i1 0
( a1 )
összefüggések miatt is:
x1 x adódik. Folytatva ugyanezen az úton: r x i y j z k x1 i1 y1 j1 z1 k 1 x i y1 j1 z1 k 1 . j1
( 12 / 1 )
5
x i y j z k j1 x1 i1 y1 j1 z1 k 1 j1 ; x i j1 y j j1 z k j1 x1 i1 j1 y1 j1 j1 z1 k 1 j1 ; tekintettel az
i j1 i1 j1 0; j1 j1 1; k 1 j1 0
( b1 / 1 )
és az ábráról leolvasható
j j1 cos 1; k j1 cos 1 sin 1 ; 2
( b1 / 2 )
összefüggésekre, az eredmény:
y1 y cos 1 z sin 1.
( 12 / 2 )
Folytatva ugyanígy: r x i y j z k x1 i1 y1 j1 z1 k 1 x i y1 j1 z1 k 1 . k 1
x i y j z k k 1 x1 i1 y1 j1 z1 k 1 k 1 ; x i k 1 y j k 1 z k k 1 x1 i 1 k 1 y1 j1 k 1 z1 k 1 k 1 ;
tekintettel az ( f1 ), ( a ), ( b1 ) képletekre, valamint az ábráról leolvasható
j k 1 cos 1 sin 1; k k 1 cos 1; k 1 k 1 1 2
( c1)
összefüggésekre, az eredmény:
z1 y sin 1 z cos 1.
( 12 / 3 )
2. forgatás: ld. a 2. ábra középső részét! Ez az 1. forgatás eredményeként előállt y1 tengely körül történik, φ2 szöggel; ekkor az y2 = y1 , j2 = j1 ( f2 ) feltétel érvényes. A számítás részletezve az alábbi. r x1 i1 y1 j1 z1 k 1 x 2 i 2 y 2 j2 z 2 k 2 x 2 i 2 y1 j1 z 2 k 2 ; i 2
x1 i1 y1 j1 z1 k 1 i 2 x 2 i 2 y 2 j2 z 2 k 2 i 2 ; x1 i1 i 2 y1 j1 i 2 z1 k 1 i 2 x 2 i 2 i 2 y2 j2 i 2 z 2 k 2 i 2 ; tekintettel az ábráról is leolvasható
i1 i 2 cos 2 ; j1 i 2 cos
0; k 1 i 2 cos 2 sin 2 , ( a2 / 1 ) 2 2
valamint az ( f2 ) és az
i 2 i 2 1; k 2 i 2 0 összefüggésekre, az eredmény:
( a2 / 1 )
6
x 2 x1 cos 2 z1 sin 2 .
( 13 / 1 )
Folytatva:
r x1 i1 y1 j1 z1 k 1 x 2 i 2 y2 j2 z 2 k 2 x 2 i 2 y1 j1 z 2 k 2 ;
j2
x1 i1 y1 j1 z1 k 1 j2 x 2 i 2 y2 j2 z2 k 2 j2 ; x1 i1 j2 y1 j1 j2 z1 k 1 j2 x 2 i 2 j2 y2 j2 j2 z2 k 2 j2 ; felhasználva, hogy
i1 j2 i1 j1 0; j1 j2 j2 j2 1; k 1 j2 k 1 j1 0; i 2 j2 0; k 2 j2 0,
( b2 )
kapjuk az eredményt:
y2 y1,
( 13 / 2 )
ahogyan azt (f2 ) miatt vártuk is. Folytatva:
r x1 i1 y1 j1 z1 k 1 x 2 i 2 y2 j2 z2 k 2 x 2 i 2 y1 j1 z 2 k 2 ;
k2
x1 i1 y1 j1 z1 k 1 k 2 x 2 i 2 y 2 j2 z 2 k 2 k 2 ; x1 i1 k 2 y1 j1 k 2 z1 k 1 k 2 x 2 i 2 k 2 y2 j2 k 2 z2 k 2 k 2 ; felhasználva, hogy
i1 k 2 cos 2 sin 2 ; j1 k 2 j2 k 2 0; k 1 k 2 cos 2 ; 2 ( c2 ) i 2 k 2 0; j2 k 2 0; k 2 k 2 1, kapjuk az eredményt:
z 2 x1 sin 2 z1 cos 2 .
( 13 / 3 )
3. forgatás: ld. a 2. ábra jobb oldali részét! Ez a 2. forgatás eredményeként előállt z2 tengely körül történik, φ3 szöggel; ekkor a z 2 z ', k 2 k' ( f3 ) feltétel érvényes.
r x 2 i 2 y2 j2 z 2 k 2 x ' i' y ' j' z ' k' x ' i' y ' j' z 2 k 2 ; i'
x 2 i 2 y2 j2 z2 k 2 i' x ' i' y ' j' z ' k' i'; x 2 i 2 i' y2 j2 i' z 2 k 2 i' x ' i' i' y ' j' i' z ' k' i'; felhasználjuk, hogy
i 2 i' cos 3 ; j2 i' cos 3 sin 3 ; k 2 i' k' i' 0; 2 i' i' 1; j' i' 0;
( a3 )
7
ezzel az eredmény:
x ' x 2 cos 3 y2 sin 3 .
( 14 / 1 )
Folytatva:
r x 2 i 2 y 2 j2 z 2 k 2 x ' i' y ' j' z ' k' x ' i' y ' j' z 2 k 2 ; j'
x 2 i 2 y 2 j2 z 2 k 2 j' x ' i' y ' j' z ' k' j'; x 2 i 2 j' y2 j2 j' z2 k 2 j' x ' i' j' y ' j' j' z ' k' j'; felhasználjuk, hogy
i 2 j' cos 3 sin 3 ; j2 j' cos 3 ; k 2 j' k' j' 0; 2 ( b3 ) i' j' 0; j' j' 1; k' j' 0; ezekkel az eredmény:
y ' x 2 sin 3 y 2 cos 3 .
( 14 / 2 )
Folytatva: r x 2 i 2 y 2 j2 z 2 k 2 x ' i' y ' j' z ' k' x ' i' y ' j' z 2 k 2 ; k'
x 2 i 2 y2 j2 z2 k 2 k' x ' i' y ' j' z ' k' k'; x 2 i 2 k' y2 j2 k' z 2 k 2 k' x ' i' k' y ' j' k' z ' k' k'; felhasználjuk, hogy
i 2 k' i 2 k 2 0;
j2 k' j2 k 2 0; k 2 k' k 2 k 2 1;
i' k' 0; j' k' 0; k' k' 1,
( c3 )
ezekkel az eredmény:
z ' z2 ,
( 14 / 3 )
ahogyan azt elvártuk. Harmadszor: hozzuk létre a kapcsolatot a P pont „eredeti” ( x; y; z ) és „vesszős” ( x’; y’; z’ ) koordinátái között! Ezt úgy érjük el, hogy elvégezzük a kijelölt helyettesítéseket. Induljunk ( 14 / 1 ) - gyel, melybe helyettesítsük be ( 13 / 1) és ( 13 / 2 ), majd tovább a ( 12 /1 ) és ( 12 / 3 ) képleteket! Részletezve: x ' x 2 cos 3 y 2 sin 3 x1 cos 2 z1 sin 2 cos 3 y1 sin 3 cos 2 cos 3 x1 sin 2 cos 3 z1 sin 3 y1 cos 2 cos 3 x sin 2 cos 3 sin 1 y z cos 1 sin 3 y cos 1 z sin 1 cos 2 cos 3 x sin 1 sin 2 cos 3 cos 1 sin 3 y sin 1 sin 3 cos 1 sin 2 cos 3 z cos 2 cos 3 x cos 1 sin 3 sin 1 sin 2 cos 3 y sin 1 sin 3 cos 1 sin 2 cos 3 z.
( 15 / 1 )
8
Hasonlóképpen a ( 14 /2 ), ( 13 / 1 ), ( 13 / 2 ), ( 12 / 1 ), ( 12 / 2 ), ( 12 / 3 ) képletekkel: y ' x 2 sin 3 y 2 cos 3 sin 3 cos 2 x1 sin 2 z1 cos 3 y1 sin 3 cos 2 x1 cos 3 y1 sin 2 sin 3 z1 sin 3 cos 2 x cos 3 y cos 1 z sin 1 sin 2 sin 3 sin 1 y cos 1 z cos 2 sin 3 x cos 1 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3 y sin 1 cos 3 cos 1 sin 2 sin 3 z.
( 15 / 2 ) Végül a ( 14 / 3), ( 13 / 3), ( 12 / 1 ), ( 12 / 3 ) képletekkel: z ' x1 sin 2 z1 cos 2 sin 2 x cos 2 y sin 1 z cos 1 sin 2 x sin 1 cos 2 y cos 1 cos 2 z.
( 15 / 3 ) A ( 10 ) és a ( 15 ) egyenletek megfelelő együtthatóinak azonosságából kapjuk: a11 cos 2 cos 3 ; a 21 cos 1 sin 3 sin 1 sin 2 cos 3 ; a 31 sin 1 sin 3 cos 1 sin 2 cos 3 ; a12 cos 2 sin 3 ; a 22 cos 1 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3 ; a 32 sin 1 cos 3 cos 1 sin 2 sin 3 ; a13 sin 2 ; a 23 sin 1 cos 2 ; a 33 cos 1 cos 2 .
( 16 ) Vagy mátrix alakban, ( 11 / 2 ) szerint: cos 2 cos 3 ; cos 1 sin 3 sin 1 sin 2 cos 3 ; sin 1 sin 3 cos 1 sin 2 cos 3 ; A* cos 2 sin 3; cos 1 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3; sin 1 cos 3 cos 1 sin 2 sin 3; . sin ; sin cos ; cos cos 2 1 2 1 2
( 17 ) Most alkalmazzuk az [ 1 ] - beli jelöléseket, az alábbiak szerint:
1 x ; 2 y ; 3 z .
( 18 )
Ekkor ( 17 ) és ( 18 ) alapján: cos y cos z ; cos x sin z sin x sin y cos z ; sin x sin z cos x sin y cos z ; A cos y sin z ; cos x cos z sin x sin y sin z ; sin x cos z cos x sin y sin z ; . sin y ; sin x cos y ; cos x cos y *
( 19 ) Ezzel előttünk áll a forgatási mátrix pontos alakja. Ahogy ( 19 ) - ből leolvasható, a mátrix elemei az egyes szögelfordulások nemlineáris kifejezései. A számítások annál „egyszerűbbek” lehetnek, minél „egyszerűbbek” a mátrix elemei.
9
b.) A forgatási mátrix egyszerűbb közelítő alakjának levezetése A mátrix egyszerűbbé tételének az a lényege, hogy kihasználjuk, miszerint a θ szögel fordulások kicsiny értékek; azaz jelképesen: 0. ( 20 ) Ha ( 20 ) fennáll, akkor érvényesek az alábbi közelítések is – ld.:[ 3 ] – :
3 sin ; 6 2 cos 1 . 2
( 21 )
A ( 21 ) közelítő képletekből kiadódik, hogy milyen súlya van a forgatási mátrix elemei egyszerűbbé tételének. Nézzük a mátrix harmadik sorát!
sin y y
y3
6
;
( a13 )
2 2 3 2 3 3 y x y x y x x x sin x cos y x 1 ; 6 2 6 2 12
x 2 y cos x cos y 1 1 2 2
2
2 x 1 y x y . 2 2 4 2
2
( a23 )
2
( a33 )
Ha a fellépő szögfüggvények, szorzataik, ill. szorzatösszegeik pontossága tekintetében megelégszünk az ívmértékben mért szögek első hatványával, akkor a ( 21 ) képletből további közelítéssel:
sin ; cos 1.
( 22 )
Ezen az alapon a forgatási mátrix közelítő képlete:
cos y cos z ; sin z ; sin y ; R sin z ; cos x cos z ; sin x ; . sin ; sin x ; cos x cos y y A ( 23 ) képlet már egyezik ( 2 ) - vel. További közelítéssel:
( 23 )
10
1 z R z 1 y x
y x . 1
( 24 )
Irodalomjegyzék [ 1 ] – W. F. Chen ~ T. Atsuta: Theory of Beam - Columns Volume I.: In - Plane Behavior and Design Volume II.: Space Behavior and Design Reprint, J. Ross Publishing, Fort Lauderdale, 2008. [ 2 ] – Dr. Hoffmann Pál: Kábelipari Kézikönyv I. / 1. PRODINFORM Műszaki Tanácsadó Vállalat, Budapest, 1983. [ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. augusztus 1.
