T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Az I.e. II. ´evezred. A folyammenti kult´ur´ak hanyatl´asa. Az ´evezred k¨ ozep´ere a folyammenti birodalmak fejl˝ od´ese minden ter¨ uleten megrekedt.
´ ¨ ro ¨ g Matematika 1. Az Okori Go
I
Kezdetek, az els˝ o iskol´ak
I I
Klukovits Lajos
Az u ´j hatalmi centrumok a F¨ oldk¨ ozi tenger medenc´ej´eben j¨ ottek l´etre, ide koncentr´al´ odot az intellektu´alis fejl˝ od´es is, a Tengeri kor kezdete.
TTIK Bolyai Int´ ezet
I
2015. szeptember 29.
I
I
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
A nagy- ´es n¨ ovekv˝ o sz´am´ uu ´j papirusz ´es agyagt´abla nem jelentett min˝ os´egi fejl˝ od´est. A bronzr´ ol vasra v´alt´as nagyr´eszt nem n´aluk zajlott le, a vas fegyverek birtokl´asa u ´jabb n´epcsoportok ´es hatalmi centrumok f¨ olemelked´es´et eredm´enyezte.
2015. szeptember 29.
1 / 30
´ maiak a Karthagoiak ´es mindenek f¨ A f˝ obb u ´j kol´ oni´akat a Ro ol¨ ott ¨ ro ¨ go ¨ k hozt´ak l´etre. a Go Tov´abb´a a k¨ oz´ej¨ uk csak vitathat´ oan sorolhat´ o Minoszi kult´ ura, amely Kr´et´an alakult ki. I.e. 800-t´ ol a folyammenti kult´ ur´ak v´eglegesen elvesztett´ek meghat´aroz´ o szerep¨ uket.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
G¨ or¨ og 1.
A g¨or¨og¨ok.
A MINOSZ-i kult´ura Kr´et´an.
A t¨orzsek bev´andorl´asa.
a line´aris B ´ır´as, az els˝o sz´ otag´ır´as”, megfejteni csak 1953-ban ” siker¨ ult.
El˝ obb szel´ıd” h´ od´ıt´ ok voltak, ´atvett´ek a kr´etai eredet˝ u kult´ ur´at, ” majd az ach´ajok m´ar szervezett birodalmat alak´ıtottak ki ´es megkezdt´ek a hatalom ´atv´etel´et, amit a dorok befejeztek, kor´abbi helyett szinte egyeduralkod´ ov´a tett´ek ˝ osi indoeur´ opai hitvil´agukat otv¨ ¨ ozve a kr´etaival.
1600 k¨or¨ ul a minoszi kult´ ura ´atterjedt a g¨ or¨ og sz´arazf¨ oldre ⇒ m¨ uk´enei kult´ ura”, ami kb. 900-ig ´allt f¨ onn; r´eg´eszeti leletek, ” Homerosz eposzai, Hesziodosz. Ollimpi´ak I.e. 776-t´ ol.
A k´etf´ele — minoszi ´es indoeur´ opai — hitvil´agb´ ol alakult ki az ismert ¨ OG ¨ MITOLOGIA, amelyben egyar´ant tal´alhat´ GOR ok m¨ uk´enei- ´es indoeur´ opai istenek.
DE: sok bizonytalans´ag, pl. milyen nyelven besz´eltek a m¨ uk´eneiek, g¨or¨og¨ ul vagy nem, ˝ok voltak az ˝ oslak´ ok vagy bev´andorl´ ok; egy val´osz´ın˝ us´ıthet˝o hipot´ezis: nem ˝ oslak´ ok, hanem ´eszakr´ ol j¨ ottek, g¨or¨og¨ ul besz´eltek, de sz˝ok´ek voltak.
A 3 bev´andorl´ o t¨ orzs el˝ obb a kis´azsiai partvid´eket, ut´ana a szigetvil´agot (bele´ertve n´eh´any F¨ oldk¨ ozi tengeri szigetet, pl. Ciprust is), majd a Peloponeszoszi f´elszigetet foglalta el.
A g¨or¨og t¨orzsek bev´andorl´asa. ´ Eszakr´ ol j¨ottek, el˝osz¨or a II. ´evezred elej´en a IONOK, ´ k¨ovett´ek ˝oket az ACHAJOK, majd a DOROK. G¨ or¨ og 1.
2 / 30
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
´ Atmenet a kult´ura ter¨ulet´en:
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2015. szeptember 29.
2015. szeptember 29.
1200 k¨ or¨ ul Agamemnon vezet´es´evel sz¨ ovets´eg Troja ellen, a h´ıres Trojai h´abor´ u”. ” 3 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
4 / 30
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
A kult´ ura korszakai
A klasszikus kor
A g¨or¨og¨ok.
A g¨or¨og kult´ura els˝o vir´agkora.
A v´aros´allamok.
A Klasszikus G¨or¨og Kor: I.e. 550 - 350.
Az els˝o jelent˝os ´es hosszan l´etez˝ o g¨ or¨ og v´aros´allam a kis´azsiai MILETOSZ volt, amely eg´eszen 540-ig alapvet˝ o szerepet j´atszott.
A g¨ or¨ og demokr´acia vir´agkora”. ” H´ıres matematikai ´es filoz´ ofiai iskol´ak.
Fontos keleti kapcsolatok: vita a matematika t¨ ort´en´eszek ´es a filol´ogusok k¨oz¨ott,
I
I
Platon: B´armit is vettek ´at a barb´arokt´ ol, azt mindig magasabb ” t¨ok´elyre fejlesztett´ek.”
I
A matematika dedukt´ıv tudom´anny´a v´alik.
Thalesz, Pithagorasz, Demokritosz ´es Eudoxos utaz´asai.
I
van der Waerden: ... a hell´enek nem lehettek olyan korl´atoltak, hogy ” ne vett´ek volna ´eszre ´es ne becs¨ ult´ek volna meg, ami az idegen kult´ ur´akban ´ert´ek.”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
A kult´ ura korszakai
2015. szeptember 29.
Ion Iskola, Pithagoreusok, Eleat´ak, Archytasz iskol´aja, Szofist´ak, Akad´emia (Platon), Lyceum (Arisztotelesz), Eudoxos iskol´aja. Az iskol´ak jellege. Platon filoz´ ofiai m˝ uvei, Arisztotelesz logik´aja.
5 / 30
Vita: mi a kiv´alt´ o ok?
A k´et enciklop´edikus ¨ osszegz˝ o matematikai munka: Euklidesz, ´ pszeletek. Elemek, ´ es Apolloniusz, Ku
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Hellenizmus
G¨ or¨ og 1.
A kult´ ura korszakai
Hellenizmus.
2015. szeptember 29.
6 / 30
Hellenizmus
A hellenizmus vir´agkora.
A Hellenizmus Kora: I.e.. 351 - I.sz. 400. A Ptolemaioszok Egyiptoma
A makedon h´od´ıt´asok. II. F¨ ul¨op h´od´ıt´asai I.e. 352-t˝ ol, Athen eleste 338-ban, keleti hadj´arata 336-t´ol fia (Nagy) S´andor az uralkod´ o, a h´ od´ıt´asok er˝ oteljes folytat´asa: keleten az Indus v¨ olgy´eig, nyugaton — a F¨ oldk¨ ozi tenger partvid´ek´en haladva Egyiptomon ´at — az Atlanti ´ oce´anig.
A birodalom 3 r´eszre szakad´asa: Mezopot´amia (Szeleukosz), Egyiptom (a Ptolemaioszok), Eur´ opai ter¨ uletek (Antigonosz). A klasszikus g¨ or¨ og kult´ ura tov´abb´el´ese ´es jelent˝ os fejl˝ od´ese: a hellenizmus. 323-222: Ptolemaiosz Szoter, ∼ Phyladelphusz, ∼ Euergetesz uralkod´asa Alexandri´aban.
332: Alexandria megalap´ıt´asa a Nilus torkolat´an´al → u ´j f˝ ov´ aros, u ´j h´od´ıt´asi ´es berendezked´esi technik´ak: h´azass´agok, katon´ak ´es n´epcsoportok cser´eje,
Myszeion megalap´ıt´ asa 290-ben, 4 oszt´aly: matematika, csillag´aszat,
orvosl´as ´es irodalom. Tov´abb´a: fizika → matematika, csillagj´ osl´as → csillag´aszat, filoz´ ofia → irodalom, geogr´afia → matematika.
I.e. 325: a Szuzai mennyegz˝ o”: feles´ege Statira Dareiosz perzsa ” kir´aly l´anya, 20.000 frigy. 323: Nagy S´andor hal´ala.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
7 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
8 / 30
A kult´ ura korszakai
Hellenizmus
A kult´ ura korszakai
´Irott eml´ ekek
´Irott eml´ekek.
A hellenizmus vir´agkora.
A rendelkez´esre ´all´o forr´asok.
Az ´okori vil´ag cs´ucsteljes´ıtm´enyei.
Homerosz ´es Hesziodosz m˝ uvei.
¨ nyvta ´ r, cs´ A Ko ucs: 750.000 egys´eg, I.sz. 670-680-ig m˝ uk¨ od¨ ott a Myszeion mellett.
I
Iliasz ´es Odysszeia, Munk´ak ´es napok.
G¨ or¨ og nyelv˝ u t¨ ored´ekek, z¨ ommel ¨ osszefoglal´asok, t¨ ort´eneti m˝ uvek, komment´arok: Eudemosz ´es Proklosz m˝ uvei.
Technikai v´ıvm´anyok: v´ızszivatty´ uk, fogaskerekes szerkezetek, t´avols´agm´er˝o eszk¨oz¨ok, g˝ ozzel hajtott j´arm˝ uvek, v´ızzel m˝ uk¨ od˝ o orgona, a s˝ ur´ıtett leveg˝o alkalmaz´asai, stb.
Biz´anci kereszt´eny k´ odexek.
Fizika: geometriai optika (lencs´ek ´es t¨ ukr¨ ok), hidrosztatika.
Arab ford´ıt´asok ´es komment´arok, szerkesztett v´altozatok.
K´emia: metallurgia.
Latin nyelv˝ u k´eziratok (ford´ıt´asok): z¨ ommel szerkesztett, er˝ osen egyszer˝ us´ıtett v´altozatok.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
2015. szeptember 29.
9 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iskol´ ak.
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A Klasszikus Kor Matematik´aja.
2015. szeptember 29.
10 / 30
Iskol´ ak.
A Klasszikus Kor Matematik´aja.
A legfontosabb iskol´ak. Ion iskola (Thalesz),
Ion Iskola
Pithagoreusok (Pithagorasz),
Minden list´an szerepel: Thalesz, Biasz, Pittakosz, Szolon.
Eleat´ak (Parmenidesz),
Tov´abbi gyakori nevek: rhodoszi Kleobulosz, sp´artai Khilon, korintoszi Periandrosz, a mitikus Orpheosz, a v´ıgj´at´ek´ır´ o Epikharmosz.
Szofist´ak (khioszi Hippokratesz), Akad´emia (Platon),
Mi´ert tekintett´ek ˝ oket b¨ olcseknek? Nem a tudom´any, a filoz´ ofia megalapoz´ oi, m˝ uvel˝ oi voltak, csod´alt´ak erk¨ olcsi kiv´al´ os´agukat, ” pozit´ıv t´arsadalmi tev´ekenys´eg¨ uket,...” (Pais Istv´an) ´ l´atszik, Thales volt annak a kornak egyetlen Plutarchosz: Ugy ” b¨ olcsel˝ oje, aki a h´etk¨oznapi szinten fel¨ ulemelkedve szeml´elte a vil´agot, a t¨ obbiek politikai ´erdemeik´ert nyert´ek el a b¨ olcsel˝ o nevet.”
Lyceum (Arisztotelesz).
Ion Iskola A mil´etoszi Thalesz (kb. 640 - 546) alap´ıtotta sz¨ ul˝ ov´aros´aban. V´elhet˝oen a filoz´ofiai — ´es egy´ uttal — a tudom´anyos gondolkod´as alapjainak megteremt˝oje. VII-VI.sz.: a vil´agszeml´elet szekulariz´al´ odott; a h´et b¨ olcs, akik 22-en voltak. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
11 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
12 / 30
Klasszikus kor matematik´ aja.
Iskol´ ak.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A Klasszikus Kor Matematik´aja.
Iskol´ ak.
A Klasszikus Kor Matematik´aja. Thalesz mint csillag´asz. Herodosz ´ırta, hogy a hal¨ uszi csata alatt a nappal egyszer csak ´ejszak´av´a v´altozott, ´es hogy Thalesz ezt ´eppen erre az ´evre j´ osolta a d´elosziaknak.
Ion Iskola Thalesz tan´ıtv´any´anak tekintik Anaximeneszt (610 - 547), ´es iskol´aj´ahoz szok´as kapcsolni m´eg Anaximandroszt (550 - 480) ´es Anaxagoraszt (500 - 428). Anaxagorasz m´ar nagyr´eszt Athenben ´elt.
Ezt egy kor´abb dr´ama´ır´ o Xenophanesz is megeml´ıtette. Ma ´altal´anosan elfogadott, hogy az I.e. 585-˝ os napfogyatkoz´asr´ ol lehet sz´ o.
Mindannyiukra legink´abb a term´eszetfiloz´ ofus meghat´aroz´as illik.
Thalesz nyilv´anval´ oan az asszir udvari csillagj´ osok I.e. 700 k¨ or¨ uli levelez´eseire t´amaszkodhatott. Ezekben t¨ obb-kevesebb pontoss´aggal/sikerrel nap- ´es holdfogyatkoz´asokat j´ osoltak meg.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
2015. szeptember 29.
13 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iskol´ ak.
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A Klasszikus Kor Matematik´aja.
Thalesznek tulajdon´ıtott eredm´enyek (Eudemosz).
´ Thalesznek tulajdon´ıtott eredm´enyek: a TETEL ˝ fedezte f¨ Pamphil´e (N´er´ o idej´eben ´elt): O ol azt a t´etelt, hogy a f´elk¨ orbe ´ırt h´aromsz¨ og der´eksz¨ og˝ u.
A k¨ort b´armely ´atm´er˝oje felezi (Proklosz szerint bizony´ıtotta is). F¨olismerte, hogy az egyenl˝ osz´ar´ u h´aromsz¨ ogben az alapon fekv˝ o sz¨ogek egyenl˝ok.
K´erd´esek, k´etelyek.
F¨olfedezte, hogy ha k´et egyenes metszi egym´ast, a keletkez˝ o cs´ ucssz¨ogek egyenl˝ok. K´et h´aromsz¨og egybev´ag´o, ha megegyezik egy oldaluk ´es (a rajta fekv˝o) k´et sz¨og.
I
1 2
Ezt arra alapozta (Eudemosz), hogy v´elhet˝oen ´ıgy hat´arozta meg meg haj´ ok t´avols´ag´at a ny´ılt tengeren. Hieronimosz szerint Thalesz ´ıgy hat´arozta meg Egyiptomban a piramisok magass´ag´at.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
14 / 30
Iskol´ ak.
A Klasszikus Kor Matematik´aja.
I
2015. szeptember 29.
15 / 30
Bizony´ıtotta-e dedukt´ıvan ezen ´all´ıt´asokat? ´Igy ˝ o volt-e a dedukt´ıv matematika megteremt˝ oje,
3
vagy a kor´abbi egyiptomi babyloniai eredm´enyekre t´amaszkodva emp´ırikusan jutott ezekre az eredm´enyekre.
4
Minden esetre a dedukt´ıvit´as alapjaiul szolg´al´ o logikai rendszereket j´ oval k´es˝ obb dolgozt´ak ki, ´es nem volt semmi k´enyszer ebben az ir´anyban.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
16 / 30
Klasszikus kor matematik´ aja.
Iskol´ ak.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A Klasszikus Kor Matematik´aja.
A dedukt´ıv matematika kezdete.
A Klasszikus Kor Matematik´aja. A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e. 585-400
Proklosz k´erd´ese Eudemoszra alapozva. 1
1
Thalesz volt-e az antik matematika kezdete, mivel ˝ o volt az els˝ o, aki az emp´ırikusan f¨olfedezett t´eteleit be is bizony´ıtotta.
A szamoszi Pithagorasz ´elet´er˝ ol. 1 2 3
2
De az emp´ırikus matematika m´ar j´ oval kor´abban l´etezett Mezopot´ami´aban ´es Egyiptomban.
4 2
Az iskol´ar´ ol: 1
A mai ´all´aspont.
2
Thalesz sz´ep eredm´enyei ellen´ere nem tekinthet˝ o a modern (dedukt´ıv) matematika megteremt˝oj´enek, legf¨ oljebb egy korai el˝ ofut´ar´anak. ´ ıtjuk ezt annak ellen´ere, hogy n´eh´any ´ All´ okori komment´ator (pl. Eudemosz ´es Proklosz) m´ask´ent v´elekedett.
3
4
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
2015. szeptember 29.
17 / 30
Legenda szerint Thalesz tan´ıtv´anya (is) volt. Utaz´asai: Egyiprom, Mezopot´amia, India (?), K´ına (???) Iskol´at alap´ıtott Crotonban (D´el-It´alia), Logisztika, aritmetika, geometria. A legend´ak szerint Pithagorasznak sok tan´ıtv´anya volt, DE a n´ev szerint ismert tagok: Philolaosz (V. sz.) ´es Archytasz (428-347) Proklosz (I.sz. V. sz.) szerint: ... Pithagorasz a matematik´at szabad el˝ oad´asokban ismertette, ... ˝ o volt (Pithagorasz), aki megteremtette a tiszta matematik´at”, s ezzel e tudom´anyt a szabad m˝ uv´eszetek” ” ” r´esz´ev´e tette. Ez azt (is) jelentette, hogy csak aritmetik´aval ´es geometri´aval foglalkoztak (a domin´ans az el˝ obbi).
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A dedukt´ıv matematika kezdete.
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A Klasszikus Kor Matematik´aja.
2015. szeptember 29.
18 / 30
A dedukt´ıv matematika kezdete.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400 Aritmetika - logisztika: figur´alis sz´amok. A h´aromsz¨ ogsz´amok.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400
•
Nagy k´ erd´ es: val´oban ˝ok voltak-e a dedukt´ıv matematika megteremt˝oi, vagy csak — tiszteletre m´elt´ o — el˝ ofut´arai.
•
•
•
Konkr´etabban: a sz´am absztrakt fogalma t˝ ol¨ uk ered-e?
Proklosz ´es Eud´emosz
←→
•
•
Kezdetben a sz´am fogalma m´eg n´aluk sem k¨ ul¨ on¨ ult el a fizikai val´os´agt´ol (pl. k¨ovek), erre utalnak a figur´alis sz´amokkal kapcsolatos eredm´enyek, DE ebben is benne van az absztrakci´ o cs´ır´aja.
1
• 3
•
•
•
6
Arisztotel´esz.
H´aromsz¨ogsz´amok. ´ aban: Altal´ hn = 1 + 2 + . . . + n = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
19 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
n (n + 1) 2 2015. szeptember 29.
20 / 30
Klasszikus kor matematik´ aja.
A dedukt´ıv matematika kezdete.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A dedukt´ıv matematika kezdete.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400.
A Pihtagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400
N´egyzetsz´amok.
N´egyzetsz´amok. ¨ Osszef¨ ugg´es a n´egyzetsz´amok ´es a h´aromsz¨ ogsz´amok k¨ oz¨ ott: •
•
•
• nk = hk + hk+1 =
•
•
•
•
•
•
•
k k +1 (k + 1) + (k + 2) = (k + 1)2 2 2
Tov´abbi ´eszrev´eteleik a n´egyzetsz´amokkal kapcsolatban: •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I
k 2 + (2k + 1) = (k + 1)2 ,
•
I
1 + 3 + . . . + (2k + 1) = k 2 .
1
4
9
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
16
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
2015. szeptember 29.
21 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A dedukt´ıv matematika kezdete.
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
2015. szeptember 29.
A dedukt´ıv matematika kezdete.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Logisztika.
¨ ogsz´amok. Otsz¨
Hatsz¨ogsz´amok.
1, 6, 10, 14, . . .
1, 5, 8, 11, . . . Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
22 / 30
2015. szeptember 29.
23 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
24 / 30
Klasszikus kor matematik´ aja.
A dedukt´ıv matematika kezdete.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A dedukt´ıv matematika kezdete.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Aritmetika (sz´amelm´elet).
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Aritmetika (sz´amelm´elet).
´ Altaluk bevezetett fogalmak.
Nekik tulajdon´ıtott (Eudemosz ´es m´asok) ¨osszef¨ugg´es (t´etel). Ha m p´aratlan sz´am, akkor
A sz´am fogalma, p´aros- ´es p´aratlan sz´am, ar´any; pr´ımsz´am, ¨osszetett sz´am,
m2 − 1 m2 + 1 m, , 2 2
oszt´o (r´esz), t¨ok´eletes sz´am, pl. 6, 28, 496, 8128. Nichomachos sejt´ese.
u ´n. pithagoraszi sz´amh´armas, azaz az ilyen oldalhossz´ us´ag´ u h´aromsz¨ ogek der´eksz¨ og˝ uek.
A sz´amtani-, a m´ertani- ´es a harm´ onikus k¨ oz´ep fogalma. Zenei ar´any: p:
A p´arosr´ ol ´es a p´aratlanr´ ol sz´ ol´ o tan´ıt´as,” Euklid´esz, Elemek ” IX./21-33. T´etel.
p+q 2pq = :q 2 p+q
¨ Osszem´ erhet˝os´eg: a ´es b (sz´amok, szakaszok) ¨ osszem´erhet˝ ok, ha van olyan c, hogy a = mc, b = nc valamely m, n sz´amra. Nem ¨osszem´erhet˝o = irracion´alis. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
2015. szeptember 29.
25 / 30
A dedukt´ıv matematika kezdete.
Arisztotel´esz szerint: az, hogy a n´egyzet oldala ´es ´atl´ oja nem osszem´erhet˝ ¨ o az ˝ o f¨ olfedez´es¨ uk. √ Az, hogy 2 ¨ osszem´erhetetlen az 1 egys´eggel, el˝ osz¨or ˝ ok igazolt´ak, ´ ad elm´elete. m´ odszer¨ uk a reductio ad absurdum” volt. → Szab´o Arp´ ” Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
Klasszikus kor matematik´ aja.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Aritmetika.
2015. szeptember 29.
26 / 30
A dedukt´ıv matematika kezdete.
A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Geometria.
Minden bizonnyal a t´etel” els˝ o bizony´ıt´asa (tal´an az, ami az ” Elemekben szerepel)
Nekik tulajdon´ıtott (Eudemosz ´es m´asok) eredm´eny (folytat´as). Az ¨osszem´erhetetlen ar´anyok → irracion´alis mennyis´egek (sz´amok) elm´elet´enek kezdete → Elemek X. k¨ onyve. Elegend˝o f¨olt´etel valamely p´aros sz´am t¨ ok´eletes sz´am volt´ara.
L´enyeg´eben mindazt tudt´ak, amit mi a h´aromsz¨ ogekkel, a p´arhuzamosokkal, soksz¨ ogekkel ´es a k¨ or¨ okkel kapcsolatos elemi ” ismereteknek” tartunk, bele´ertve hogy a h´aromsz¨ og (bels˝ o) sz¨ ogeinek osszege 2 der´eksz¨ ¨ og.
K´et sz´am legnagyobb k¨oz¨os oszt´ oj´anak (k¨ oz¨ os r´esz´enek) l´etez´ese, kisz´am´ıt´asa.
A s´ık kit¨ olthet˝ o szab´alyos h´aromsz¨ ogekkel, n´egyzetekkel, hatsz¨ ogekkel.
V´egtelen sok pr´ımsz´am van.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
27 / 30
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
28 / 30
Klasszikus kor matematik´ aja.
A dedukt´ıv matematika kezdete.
Klasszikus kor matematik´ aja.
¨ A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Osszegz´ es 1. 1
2 3 4
3
¨ A Pithagoreusok Iskol´aja, kb. I.e 585-400. Osszegz´ es 2.
N´aluk jelennek meg el˝osz¨or 1
2
A dedukt´ıv matematika kezdete.
pontontosnak tekinthet˝o fogalmak → defin´ıci´ok, kiindul´ o ´all´ıt´asok → posztul´atumok, pontosan megfogalmazott tov´abbi ´all´ıt´asok → t´etelek, az el˝ obbiek logikai eszk¨oz¨okkel val´o bizony´ıt´asa.
´ Atalakult-e teljesen a matematika, emp´ırikus tudom´anyb´ ol dedukt´ıv tudom´anny´a v´alt-e, egy´altal´an tudom´anynak nevezhetj¨ uk-e? ´ anosan nem adhat´o pozit´ıv v´alasz, de nagyon sok r´eszk´erd´esre Altal´ igen. 1
2
A sz´am fogalma m´eg nem tekinthet˝o teljesen absztraktnak: nem k¨ ul¨ on¨ ult el tiszt´an a fizikai realiz´aci´ot´ol: figur´alis sz´amok ↔ pr´ımsz´amok, t¨ ok´eletes sz´amok, stb. Megjelenik az ig´eny a dedukt´ıv gondolatmenetekre → a p´arosr´ol ´es a p´aratlanr´ ol sz´ ol´ o tan´ıt´as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
29 / 30
1
Vitatott k´erd´es, hogy ezt mi v´altotta ki. K´et riv´alis elm´elet: az eleai filoz´ ofia, vagy az ¨ osszem´erhetetlenek f¨ olfedez´ese.
2
Nem lehet egy´ertelm˝ uen kijelenteni, hogy eredm´enyeik mindegyik´et dedukt´ıve, posztul´atumokra alapozva igazolt´ak, DE sz´amos esetben ezt megtett´ek.
´ a matematika teljesen dedukt´ıv M˝ uk¨ od´es¨ uk nem eredm´enyezte MEG ˝ TETTEK ´ MEG A DONT ¨ ˝ LEP ´ EST ´ tudom´anny´a v´al´as´at, de OK O AZ ODA ˝ UTON. ´ VEZETO
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og 1.
2015. szeptember 29.
30 / 30
