´ nsz Ita ´ lia A renesza ´ ja algebra ´ pai Matematika Kezdete Az Euro 1. Az eur´ opai civiliz´ aci´ o kezdete. (A nem-g¨ or¨ og ter¨ uleteken.) ´ ra ´k kora: A folyammenti kultu - kev´es kiv´etellel primit´ıv t¨orzsek lakj´ ak, z¨ ommel g´ ot ´es germ´ an t¨ orzsek. - Tacitus: ny´ılt, vend´egszeret˝o, nyughatatlan, isz´ akos ´es feles´egeikre b¨ uszke n´epek. ´ ´ ¨ ´ Az okor vege, a korai kozepkor: - 253-t´ ol a R´omai Birodalom erjed´ese, lass´ u f¨ olboml´ asa, kereszt´eny¨ uld¨ oz´esek. Kialakul lassan a k´et cs´asz´ars´ag, a k´et birodalom. - N´epv´ andorl´as a Kr.u. IV. sz´azadt´ ol: hunok, avarok; t´ amad´ asok R´ oma ellen. - 381: II. egyetemes konstantin´ apolyi zsinat, a kereszt´eny hitvall´ as v´egleges megfogalmaz´asa. - 391: a kereszt´enys´eg ´allamvall´as a keleti birodalomban. - 434-452: Attila h´o d´ıt´asai, a Hun Birodalom az Uralt´ ol a Rajn´ aig terjed, a k¨ozpont a K´arp´at medenc´eben. - 451: a Catalaunum-i csata, elvezet a Nyugatr´ omai Birodalom buk´ as´ ahoz. ´ - 451-511: Klodvig kir´aly: a Frank Allam megalap´ıt´ asa. - 529: A nyugati szerzetess´eg megalap´ıt´ asa, Nursiai Benedek kolostort alap´ıt Monte Cassinon, Benedek rend. ´k. - Tov´abbi rendek, kolostorok, benn¨ uk Iskola - A VIII. sz´azadt´ol az egyes (vil´agi) uralkod´ ok is iskol´ akat alap´ıtanak, de ezek is egyh´azi vezet´es˝ uek. Nagy K´aroly megh´ıvja iskol´ a j´ aba a yorki Alcuin-t. A f˝ o tant´argy a teol´ogia, de megkezd˝o dik m´as diszciplin´ ak oktat´ asa is, els˝ onek a zene. - Az els˝o egyetemek: - Bologna 1088, - P´arizs 1150, - Oxford 1167, - Salamanca 1239 (III. Ferdin´ and Kasztilia kir´ alya), - Krakk´o 1364 (III. K´azm´er), - tov´abbiak a XII-XV. sz´azadban: B´ azel, B´ecs, Heidelberg, Lipcse, Pr´aga ´es Salerno. - Egyik sem f¨ uggetlen az egyh´azt´ ol. ´ - Az oktat´as nyelve a latin, mivel ez a katolikus egyh´ az hivatalos nyelve. Altal´ anosan ez marad a XVIII. sz´azadig. 2. Az el´ erhet˝ o ismeretanyag. - Kezdetben csak latin (r´omai) forr´ asokra t´ amaszkodik. - A r´omai matematika igen kezdetleges (sz´ am´ır´ as!), egyszer˝ u ´es praktikus aritmetika csup´an. - El´erhet˝o n´eh´any g¨or¨og m˝ u, de nem autentikus, alacsony sz´ınvonal´ u latin ford´ıt´asban.
1
A tov´ abbl´ ep´ es kezdete. - Severinus Boetius (480-524, ˝ osi r´ omai csal´ ad sarja), az els˝ o nem iszl´am tud´os, aki eredeti g¨or¨og forr´asok alapj´ an trakt´ atusokat ´ all´ıt ¨ ossze elemi aritmetik´ab´ol ´es geometri´ab´ol: Euklid´esz I. ´es II. k¨ onyv´et ford´ıtotta, de a bizony´ıt´ asokat elhagyta. Mell´ekelt n´eh´any (r´eszben hib´ as) geometriai sz´ am´ıt´ ast. Pl. nem utalt azok k¨ozel´ıt˝o jelleg´ere. Sz´amol´asok abakuszon, Nikomachosz Aritmetik´ a j´ at, Arisztotel´esz, K. Ptolemaiosz egyes m˝ uveit is ford´ıtotta. - Keveset ´erthetet meg a leford´ıtott m˝ uvekb˝ ol, matematik´ a ja tiszt´ an empirikus. - Legh´ıresebb m˝ uve: Consolitiones Philosophicae, amit gyan´ıthat´ oan fogs´ aga (hitszeg´es) alatt ´ırt. - Gerber (940-1003) ´es Alcuin (735-804) n´eh´ any trakt´ atusa (˝ ok m´ ar mecsetiskol´akban tanultak). 3. A matematika szerepe a korai k¨ oz´ epkorban. - Boetius: Quadrivium: aritmetika, geometria, csillag´ aszat, zene; hossz´ u ideig ezt oktatt´ak a teol´ogia mellett. - K´es˝obb Trivium: quadrivium, retorika, dialektika (a vitatkoz´ as m˝ uv´eszete → hitvit´ak). ´ - Erdekes egyh´azi v´elem´eny: a matematika (aritmetika, geometria) az´ert fontos, mert ez k´esz´ıt f¨ol a legjobban a hitvit´ akban val´ o eredm´enyes szerepl´esre”, de fontos a ” v´altoz´o idej˝ uu ¨nnepnapok meghat´ aroz´ as´ aban is. - A matematika fontoss´aga az asztrol´ ogi´ aban, az udvari asztrol´ ogusok kit¨ untetett szerepe. Nagy szerepe volt ez´ert az orvosl´ asban is: m´eg a XVI. sz´ azadban is ink´abb asztrol´ogusok, matematikusok ´es alkimist´ ak oktattak az egyetemeken, az igazi csillag´asz ritkas´ag. Galilei is asztrol´ ogia c´ımsz´ o alatt oktatott (orvosokat is). 4. A g¨ or¨ og tudom´ anyoss´ ag els˝ o f¨ ol´ eled´ ese. - Az eur´opai (feud´alis alap´ u) civil´ aci´ o meger˝ os¨ o d´ese 1100-t´ ol, az ´ allamrendszer stabiliz´al´o d´asa. - Az els˝o manufaktur´ak, kereskedelmi kapcsolatok az ´ allamokon bel¨ ul ´es k¨ oz¨ott, keleti kapcsolatok. - Az u ¨l˝o keresked˝ok” megjelen´ese, kereskedelmi kirendelts´egek” l´etrej¨ otte. Hitelez´e” ” sek. - Kapcsolat a hisp´aniai m´or kalif´ atusokkal”: tudom´ any, mecsetiskol´ ak. ” - Roger Bacon (1214-94): az els˝ o tud´ os, akit eltiltottak az ´ır´ ast´ ol”, de p´apai meg” ˝ — ellent´ b´ız´asb´ol filoz´ofi´aval foglalkozhatott. O etben legt¨ obb kort´ ars´ aval — el˝onyben r´eszes´ıtette a k´ıs´erleteket a spekul´ aci´ oval (skolasztika) szemben. 5. A pisai Leonardo. (1170-1250) - Tanulm´anyai (Bugie), utaz´asai. - M˝ uvei: - Liber abaci (1202, 1228), - Practica geometrie (1220), - Flos (1225), - Liber quadratorum (1225).
2
Feladatok
´l a Liber abacibo 1. (A 30 mad´ar probl´ema.) Egy ember 30 madarat v´ as´ arol: foglyokat, galambokat ´es verebeket. A fogoly ´ara darabonkint 3 ez¨ ust, a galambok´e 2, m´ıg a verebek´e 12 . ¨ Osszesen 30 ez¨ ust¨ot fizet. H´any madarat vett az egyes fajt´ akb´ ol? A feladat az x + y + z = 30 1 3x + 2y + z = 30 2 hat´arozatlan egyenletrendszerre vezet, amelynek egyetlen pozit´ıv megold´ asa az x = 3, y = 5, z = 22. Hogyan sz´ amolhatott? A feladat megtal´alhat´o ´okori k´ınai, hindu, valamint a kora-k¨ oz´epkori arab forr´ asokban is, az u ´n. 100 mad´ ar probl´ema. 2. (az un. l´ ov´ as´ arl´ asi probl´ema) Az egyik ember azt mondja a m´ asiknak: ha nekem adod p´enzed egyharmad´at, akkor meg tudom venni a lovat. Erre a m´ asik u ´gy v´ alaszol, hogy ha te pedig a p´enzed negyed´et adod nekem, akkor ´en tudom megvenni a lovat. Megold´ as. Jel¨olje s a l´o ´ar´at, s ekkor a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert ´ırhatjuk f¨ol az x ´es y ismeretlenekre: 1 x+ y =s 3 1 y+ x=s 4 Ez is egy hat´arozatlan probl´ema, mert s is ismeretlen. A legkisebb eg´esz megold´as: x = (3 − 1) · 4 = 8
y = (4 − 1) · 3 = 9 s = 3 · 4 − 1 · 1 = 11
Feladat: Mit rejt e sz´amol´as? Vizsg´alta e probl´ema ´altal´anos´ıt´as´at is, amikor 3 szerepl˝ o van. Ez esetben a megoldand´o egyenletrendszer a k¨ovetkez˝o: 1 x + (y + z) = s 3 1 y + (x + z) = s 4 1 z + (x + y) = s 5 Ez esetben a megold´as m´ar ´altal´anos jegyeket hordoz. El˝ osz¨ or egy u ´j v´ altoz´ ot vezet be: x + y + z = t, 3
majd ezen egyenl˝os´egb˝ol kivonja (1) mindh´ arom egyenlet´et 3 4 2 (y + z) = (x + z) = (x + y) = t − s = D, 3 4 5 azaz a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert kell megoldania: 3 D 2 4 x+z = D 3 5 x+y = D 4 y+z =
x, y, z–re eg´esz ´ert´eket akar kapni, ez´ert D-t 24-nek v´ alasztja, azaz az y + z = 36 x + z = 32 x + y = 30 egyenletrendszert oldja meg, ahonnan x = 13, y = 17, z = 19. A probl´ema ilyen megold´asa szerepel Diophantos Arithmetica c. k¨ onyv´eben (I. 24 feladat) is. Palermoi J´ anos k´ et probl´ em´ a ja. (Az alapv´altozatok a Flos-ban tal´alhat´ ok.) 1. Adjunk meg olyan n´egyzetsz´amot, amelyhez ¨ ot¨ o d adva, vagy bel˝ ole ¨ ot¨ ot kivonva egyar´ant n´egyzetsz´amot kapunk. Ism´et mai jel¨ol´esekkel: megoldand´o az x2 + 5 = y 2 x2 − 5 = z 2 egyenletrendszer. Leonardo megold´asa (Flos): x=3+
5 , 12
y =4+
1 , 12
z =2+
7 . 12
A Liber quadratorumban t¨obb fejezetet szentelt e probl´ema ´ altal´ anos´ıt´ asainak. Els˝o l´ep´esk´ent ´altal´anos´ıtja a probl´em´ at, ´es a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert ´ırja f¨ol: (1) 4
x2 + C = y 2 x2 − C = z 2
Ha x2 ´es C megold´asa e probl´em´ anak, akkora C sz´ amot CONGRUUM–nak, m´ıg az x2 n´egyzetet QUADRATUS CONGRUENTUS-nak nevezi. A m˝ uben r´eszletesen, nagy gonddal foglalkozik a congruus-congruentus p´ arok keres´es´evel. Az (1) egyenletrendszer megold´asa: el˝ osz¨ or ¨ osszeadja ˝ oket, s ´ıgy a 2x2 = y 2 + z 2
(2)
egyenletet kapja, majd az y = u + v ´es z = u − v helyettes´ıt´esel az egyszer˝ ubb x2 = u 2 + v 2 egyenlethez jut. Itt l´athat´oan x, u, v egy pitagoraszi sz´ amh´ armas, aminek megkeres´es´ere j´ol ismert m´o dszer ´all rendelkez´esre: x = a2 + b2 ,
u = 2ab,
v = b2 − a2 .
Ha a, b p´aratlanok, akkor lehet 2-vel osztani: x=
a2 + b2 2
u = ab,
v=
b2 − a2 . 2
2. Megoldand´o az x3 + 2x2 + 10x = 20 egyenlet. 1. l´ep´es: x 6∈ N, mert x+
x2 x3 + = 2, 5 10
amib´ol egyr´eszt x < 2, m´asr´eszt 13 + 2 · 12 + 10 · 1 = 13 < 20. 2. l´ep´es: x 6∈ Q+ , s˝ot racion´alis sz´am n´egyzetgy¨ oke sem lehet, mert az egyenlet x=
20 − 20x2 10 + x2
alakban is ´ırhat´o, ´es a jobb oldalon ez esetben racion´ alis, m´ıg a bal oldalon irracion´alis sz´am ´allna. 3. l´ep´es: Megmutatta (nem korrekten), hogy x nem lehet kvadratikus irracion´alis, s˝ot p √ a + b alak´ u sz´am sem. 4. l´ep´es: megadta az egyenlet egy k¨ ozel´ıt˝ o megold´ as´at hatvanados t¨ ortekkel: x = 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40 22 7 42 =1+ + 2+ 3 60 60 60 33 4 40 + 4 + 5 + 6. 60 60 60 5
Ez 3·10−11 pontoss´ag´ u, csak a hatodik hatvanados jegy nagyobb a korrektn´el kb. m´asf´ellel. Decim´alisan: 1, 36883102451989026063100137174211 1, 36883102451989 Megjegyz´ esek. (1) Pontatlans´aga ellen´ere kijelenthetj¨ uk, hogy ez volt az els˝ o komoly k´ıs´erlet a harmadfok´ u egyenletek gy¨okjelekkel val´o, teh´at algebrai megold´ as´ ara. (2) M´as ´ır´ asaib´ol azonban az t˝ unt ki, hogy osztotta az iszl´ am tud´ osok, ´ıgy Omar Khajjam, azon v´elem´eny´et, hogy a harmad- ´es magasabb fok´ u egyenletek csak geometriailag oldhat´ok meg egzaktan. (3) El˝obbi elj´ar´as´aban implicite az is benne van, hogy Euklid´esz X. k¨ onyve nemp ´ırja le az √ ¨osszes algebrai irracion´alist, hiszen egyenlet´enek nincs megold´ asa az ott t´ argyalt a + b, q √ √ a + b alak´ u irracion´alisok k¨ or´eben. illetve K´ et h´ıres Maestro. Egy r´egi ´es egy szinte m´aig hat´o t´eves n´ezet: - A harmadfok´ u egyenletek ´altal´ aban nem oldhat´ ok meg gy¨ okjelekkel (a XVI. sz´azad k¨ozep´eig). - A pisai Leonard´o 1202-ben ´ırott ´es 1228-ban ´ atdolgozott latin nyelv˝ u Liber Abaci”-ja ” ut´an a k¨ovetkez˝o igaz´an figyelemre m´elt´ o algebrai m˝ u Luca Pacioli 1487-es terjedelmes Summa de arithmetica, geomertia, proportioni e proportional` a” c´ım˝ u k¨ onyve volt (a ” XX. sz´azad utols´o harmad´aig). DE - a pisai Dardi mester valamikor 1344 k¨ or¨ ul meg´ırta Aliabraa di algibra” c. trakt´atus´at ” (c´ım´eb˝ol meg´ıt´elhet˝o en vulg´aris olasz nyelven), amelynek n´egy k´es˝ obbi, XV. sz´azadi k´ezirata ismert, h´arom (vulg´aris) olasz nyelv˝ u ´es egy 1473-as keltez´es˝ u h´eber ford´ıt´as; tov´abb´a - l´etezik a firenzei Maestro Benedetto (Benedek Mester) 1463-as Trattato di prati” cha d’arismetica” c. m˝ uve, amely mintegy 500 nagym´eret˝ u pergamen lapb´ol ´es 16 k¨onyvb˝ol ´all. - Mit tartalmaznak ezek? Maestro Benedetto trakt´ atusa. A 13-15. k¨onyvek algebrai tartalm´ uak: a 15. k¨ onyv elej´en Leonardo Liber Abacij´ab´ol ´atvett ´es leford´ıtott 82 probl´em´ at t´ argyal, majd a 16. k¨ onyv nem m´ as, mint Leonardo Liber Quadratorum”-a (vulg´aris) olasz nyelv˝ u ford´ıt´ asa. Ebb˝ ol a forr´ asb´ ol ismerj¨ uk ” Leonardo e k¨onyv´et. N´eh´any vizsg´alt egyenlett´ıpus, ´es az absztrakci´ o ir´ any´ aba mutat´ o jel¨ ol´es, fogalom. x2 = px x2 = q px = q 6
x2 + px = q x2 + q = px x2 = px + q
x2 = censo
=c
x3 = cubo
=b
x4 = censo di censo = cc, Az egyenleteket nem a mai, vagy ahhoz hasonl´ o form´ aban ´ırta f¨ ol, hanem sz¨ovegesen, hasonl´oan ahhoz (de term´eszetesen nem latinul, hanem olaszul), mint p´eld´ aul Leonardo, akin´el a census et decem radicis equantur 39” ” sz¨oveg mai szimbolik´aval nem m´as, mint az x2 + 10x = 39 egyenlet. Amiben Pacioli t´enyleg u ´jat hozott, p´eld´ aul az RV 40mR320 ˜ jelent´ese: q
40 −
√
320.
A pisai Maestro Dardi trakt´ atusa. Trakt´atus´ aban Dardi igen hossz´ u list´ at adott egyenletek t´ıpusair´ ol, amelyben b˝os´egesen tal´alunk olyanokat amelyek az ismeretlen n´egyzet- vagy k¨ obgy¨ ok´et is tartalmazta. Az egyes t´ıpusok megold´asi elj´ar´as´at nem minden esetben r´eszletezte, gyakran csak r¨ovid hivatkoz´asokat ´ırt le. Arr´ol nem tal´ alunk semmit, hogy hogyan j¨ ohetett r´ a a megold´asi elj´ar´asra, ´es elj´ar´asait term´eszetesen nem bizony´ıtotta. Most a list´an a 182. ´es a 183. egyenlet k¨ oz´e illesztett n´egy speci´ alis alak´ u irreducibilis vegyes harmadfok´ u ´es negyedfok´ u egyenletet vizsg´ alunk meg, amelyek a k¨ uvetkez˝ok. (1) (2) (3) (4)
cx + bx2 +ax3 2
=n
3
4
dx + cx +bx + ax = n dx+cx2 + ax4 = n + bx3 dx + ax4 = n + cx2 + bx3
Az (1) egyenlet megold´as´at, de a t¨ obbit is azzal kezdte, hogy a legmagasabb fok´ u tag egy¨ utthat´o ja 1-nek tekinthet˝o: (1’)
x3 + bx2 + cx = n,
az egyenlet megold´asa: (5)
x=
r c 3 3
b
+n−
c b 7
(Term´eszetesen nem formul´at” adott meg, hanem sz¨ oveget”). ” ” L Nagy k´erd´es: hogyan j¨ ott r´ a Dardi mester erre. Pontos v´ alasz nyilv´ an nem adhat´o, hacsak nem ker¨ ul el˝o egy ezt tartalmaz´ o Dardi k´ezirat. Ez´ert itt van der Waerden gondolatait vessz¨ uk alapul. Al-Kwarizmi ´es a pisai Leonardo az x
x2 + bx = c alak´ u egyenletekn´ el a bal oldalt teljes n´egyzett´e eg´esz´ıtette ki: x L
b2 b2 x + bx + = c+ . 4 4 2
Eztagos, Dardi ismerhette, ´altal´ aonos´ ıthatta, an nem teljes, ahanem csak eszleges Vil´ hogy ezen kocka a k¨ vetkez˝ o 8 r´eDE szre nyilv´ bonthat´ o, amelyek k¨ ovetkez˝ ok: r´ ´ altal´ anoss´ agx´eoldal´ rhet˝oel˝ el am´ara. Vizsg´ alni kell a m´ o dszer alkalmazhat´ os´ ag´ anak f¨olt´eteleit - egy u sz´ kocka, is. - h´ arom olyan n´egyzet alap´ u has´ ab, amelynek alap´ele x, magass´ aga pedig L, 1. Mind arab, mind Leonardo m´ asodfok´ u egyenletek as´ ara alkalmazott el- h´ aaz rom olyan n´egyzet alap´ uahas´ b, amelynek alap´ele megold´ L, ´es magass´ aga x, j´ar´ ael´ ausak´ ent, bizony´ıt´ asak´ent” n´egyzeteket alkalmazott, ´ıgy eset¨ unkben -asaik egy illusztr´ L oldal´ l˝ kocka. ” — harmadfok´ u egyenletn´ — kock´ at kell haszn´ alnunk. Egy-egy eml´ıtett test t´erfogatael rendre 2. Dardi mester teh´at mindk´et oldalhoz olyan L mennyis´eget adott, hogy a bal oldalon teljes k¨ob alakuljon ki, azaz (x x+3 ,L)x32 L, alljon. ´ xL2 , L3 , Tekints¨ unk egy x + L oldal´el˝ u kock´ at. s term´eszetesen az is teljes¨ ul, hogy (x + L)3 = x3 + 3x2 L + 3xL2 + L3 . Meg kell megvizsg´alni, hogy kiindul´ asi egyenlet¨ unk egy¨ utthat´ oinak milyen speci´alis f¨olt´eteleket kell kiel´eg´ıteni¨ uk ahhoz, hogy alkalmazhassuk m´ o dszer¨ unket. Egyr´eszt egyenlet¨ unk mindk´et oldal´ahoz hozz´a kell adni L3 -t, m´ asr´eszt f¨ onn kell, hogy ´ alljanak a (B) (C)
c = 3L2 b = 3L
egyenl˝os´egek. Ezek k¨oz¨ ul (B) k¨onnyen teljes´ıthet˝ o, hiszen eddig L-re nem volt kik¨ot´es¨ unk. Ha elosztjuk (B)-et (C)-vel, akkor c L= b Ez azt jelenti, hogy elj´ar´asunk olyan b, c egy¨ utthat´ ok eset´en alkalmazhat´ o, amelyekre f¨onn´all (B) ´es (C), azaz b2 = 3c. Ha ez teljes¨ ul, akkor egyenlet¨ unk (x + L)3 = n + L3 8
alak´ ura hozhat´o, s ´ıgy x=
p 3
n + L3 − L =
r 3
n+
c 3 b
−
c . b
Dardi mester elj´ar´as´at az (1’)
x3 + 60x2 + 1200x = 4000
egyenleten szeml´eltette. Azonnal l´athat´ o, hogy — mindk´et oldalhoz 8000 -et adva a bal oldalon az x + 20 kifejez´es k¨obe ´all, teh´ at az (x + 20)3 = 4000 + 8000 = 12000 egyenlethez jutunk, ami m´ar k¨onnyen megoldhat´ o. Dardi ezen illusztr´al´o egyenlete egy olyan — k¨ olcs¨ on¨ ugyletr˝ ol sz´ ol´ o — konkr´et feladatb´ol sz´armazik, amely szerepel Piero della Francesca, a XV. sz´ azad egyik h´ıres fest˝o j´enek Trattato d’Abaco” c. k¨onyvecsk´ej´eben. ” Az csak mai szemmel meglep˝o, mert... ˝ ´ırta az Alberti Della Pittura”-j´at tov´ O abbfejleszt˝ o ” De perspectiva pingendi” c´ım˝ u k¨onyvet, amely az euklideszi geometria alapos ismeret´er˝ol ” tan´ uskodik. Francesca probl´em´a ja a k¨ovetkez˝o: (P) Egy ember k¨olcs¨on ad a m´asiknak 100 Lir´ at, ´es 3 ´ev m´ ulva, kamatos kamatot sz´amolva 150 Lir´at kap vissza. Mennyi volt a havi kamat? Tekints¨ unk k´et tov´abbi p´eld´at Dardi list´ a j´ ar´ ol: (3’) (4’)
x4 + 28x2 + 720x = 20x3 + 1800 x4 + 1120x = 20x3 + 12x2 + 2800,
amelyek a k¨ovetkez˝o sz¨oveges feladatb´ ol sz´ armaztak: √ Osszuk a 10-et k´et r´eszre u ´gy, hogy szorzatukat k¨ ul¨ onbs´eg¨ ukkel elosztva g-t kapunk. Dardi k´et konkr´et g ´ert´ekre v´egzi el a sz´ amol´ asokat, el˝ obb g = 18-re, majd g = 28-ra. Ha most x jel¨oli az egyik r´eszt, akkor az (6)
x(10 − x) √ = g x − (10 − x)
egyenletre jutunk, ahol g = 18, vagy g = 28 lehet. Ha g = 18, akkor az x2 (10 − x)2 = 18(2x − 10)2 9
egyenletet kapjuk, amit rendezve (7)
x4 − 20x3 + 28x2 + 720x = +1800.
Ez ´eppen Dardi (3’) egyenlete. Teljesen hasonl´o u ´ton a g = 28 esetben az x4 − 20x3 − 12x2 + 1120x = 2800
(8)
egyenletet kapjuk, amely nem m´as, mint Dardi (4’) egyenlete. Dardi trakt´atus´aban a (3) egyenlet megold´ as´ ara az a = 1 esetben az r r c 2 b d 4 +n+ + x= 4 4 2b
(9)
formul´at adta meg, s ugyanezt javasolta a (4) egyenletre is szint´en az a = 1 f¨ olt´etel mellett. Vizsg´aljuk meg a (6) egyenletet. Ez m´ asodfok´ u, ´es √ 10x2 = (2x − 10)2 g alakban, azaz x2 − 2(5 −
(10)
√
√ g)x = 10 g
alakban ´ırhat´o, s megold´asa x=5− (11)
x=5−
√
g+
√
g+
q p
(5 −
√
√ g)2 + 10 g
25 + g
M´asr´eszt, ha a (6) egyenletet n´egyzetre emelj¨ uk, akkor
(12)
x2 (10 − x)2 = g(2x − 10)2
x4 + (100 − 4g)x2 + 40gx = 20x3 + 100g
´Irjuk most ezen ut´obbi egyenletet a (3)-nak megfelel˝ o alakban (a=1), ami x4 + cx2 + dx = bx3 + n, ahol most b = 20,
c = 100 − 4g,
d = 40g,
n = 100g.
Ha ezeket Dardi (9)-es formul´a j´aba helyettes´ıtj¨ uk, akkor azt kapjuk, hogy x= 10
p 4
(25 − g)2 + 100g + 5 −
√
g,
ami ´eppen a (11) formula. van der Waerden elemz´ ese. Vizsg´ aljuk meg, hogy hogyan ´ırhatjuk ´ at a (11) megold´ast a Dardi-f´ele (9) alakra, amelyekben speci´ alis sz´ amok, mint az 5 ´es a g szerepel, s ez ut´obbi 18, vagy 28 lehet, tov´abb´a olyan ´ert´ekek, amelyek a (13)-beli formul´ akkal kaphat´ok meg. Vegy¨ uk sorba tagonk´ent a (11)-beli egyenl˝ os´eget, ´es vegy¨ uk figyelembe a kiindul´asi probl´em´at, amelyet (P)-vel jel¨olt¨ unk. (11)-ben az els˝o tag 5, ami a (P)-beli 10 fele, a b = 20 pedig a 10 k´etszerese. ´Igy az asodik tagja. els˝o tag nem m´as, mint 4b . Ez pedig ´eppen a (9) m´ √ A (11) formula m´asodik tagja g, ahol g = 18, 28 lehet, m´ıg az eredeti egyenlet d egy¨ utthat´o ja 40g. ´Igy, ha a d-t elosztjuk 2b = 40-nel, akkor ´eppen g-t kapunk, s ez´altal a (9) formula harmadik tagja r √ d − =− g 2b lesz. V´eg¨ ul vizsg´aljuk meg (9) els˝o tagj´ at. Ez l´enyegesen bonyolultabb eset az el˝obbiekn´el. Induljunk ki abb´ol, hogy Dardi az (5)-h¨ oz hasonl´ o formul´ at szeretne kapni. Ebben az els˝o tag p 3 valami plusz n,
ahol az n az (1) egyenlet jobb oldal´ an ´ all´ o konstans tag. ´Igy amennyiben Dardi mester (3)-ra is valami hasonl´o alak´ u megold´ ast szeretne kapni, akkor most a valami plusz n” ” negyedik gy¨ok´enek kellene szerepelnie, s a (11)-ben t´enylegesen ilyen ´ all. c 2 -nel egyenl˝ o. Ekkor ugyanis azt kapjuk, hogy Ez u ´gy ´erhet˝o el, ha a valami” ” 4 r p c 2 4 + n = 4 (25 − g)2 + 100g 4 p p = 4 (25 + g)2 = 25 + g
ami ´eppen a (11) harmadik tagja. Mindezek csup´an van der Waerden hipot´ezise alapj´ an volt megfogalmazhat´o. Hangs´ ulyozzuk, hogy (mindeddig) nem ismert Dardi mester eredeti gondolatmenete. Lehetett ´eppen az im´ent ismertetett, amir˝ol azt bizton ´ all´ıthatjuk, hogy megindokolja az eredm´enyt. Vegy¨ uk azonban figyelembe, hogy gondolatmenet¨ unk az´ert is viszonylag egyszer˝ u, mert jel¨ol´esrendszer¨ unk, ´ır´asm´o dunk t´amogatja azt. Dardi sz´ am´ ara mindez nem ´ allt rendelkez´esre. Ez´ert v´elhet˝o en sokkal bonyolultabb, nehezebb gondolatmeneteket volt k´enytelen alkalmazni.
11
