Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Id˝osorok Id˝osor Statisztikai szempontb´ ol: az egyes id˝ opontokhoz rendelt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨ osszess´ege. Speci´alis sztochasztikus kapcsolat; a magyar´az´ ov´altoz´o az id˝o Determinisztikus id˝ osorelemz´ es eset´en az id˝osort az al´abbiak hat´arozz´ak meg: Tart´ osan ´erv´enyes¨ ul˝ o tendencia (trend) Tart´ osan hat´ o, szab´alyos hull´ammozg´as/szezonalit´as V´eletlen okozta eseti-egyedi elt´er´es
Sztochasztikus id˝ osorelemz´ es eset´en a sor sztochasztikus folyamat mely f¨ ugg a kor´ abbi ´ allapott´ ol a v´eletlen hat´ asokt´ ol.
A hiba a jelens´eg f˝ o mozgat´ oja.
Itt: determinisztikus id˝ osorelemz´es.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Id˝osorok Id˝osor Statisztikai szempontb´ ol: az egyes id˝ opontokhoz rendelt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨ osszess´ege. Speci´alis sztochasztikus kapcsolat; a magyar´az´ ov´altoz´o az id˝o Determinisztikus id˝ osorelemz´ es eset´en az id˝osort az al´abbiak hat´arozz´ak meg: Tart´ osan ´erv´enyes¨ ul˝ o tendencia (trend) Tart´ osan hat´ o, szab´alyos hull´ammozg´as/szezonalit´as V´eletlen okozta eseti-egyedi elt´er´es
Sztochasztikus id˝ osorelemz´ es eset´en a sor sztochasztikus folyamat mely f¨ ugg a kor´ abbi ´ allapott´ ol a v´eletlen hat´ asokt´ ol.
A hiba a jelens´eg f˝ o mozgat´ oja.
Itt: determinisztikus id˝ osorelemz´es.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Id˝osorok Id˝osor Statisztikai szempontb´ ol: az egyes id˝ opontokhoz rendelt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨ osszess´ege. Speci´alis sztochasztikus kapcsolat; a magyar´az´ ov´altoz´o az id˝o Determinisztikus id˝ osorelemz´ es eset´en az id˝osort az al´abbiak hat´arozz´ak meg: Tart´ osan ´erv´enyes¨ ul˝ o tendencia (trend) Tart´ osan hat´ o, szab´alyos hull´ammozg´as/szezonalit´as V´eletlen okozta eseti-egyedi elt´er´es
Sztochasztikus id˝ osorelemz´ es eset´en a sor sztochasztikus folyamat mely f¨ ugg a kor´ abbi ´ allapott´ ol a v´eletlen hat´ asokt´ ol.
A hiba a jelens´eg f˝ o mozgat´ oja.
Itt: determinisztikus id˝ osorelemz´es.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Id˝osorok Id˝osor Statisztikai szempontb´ ol: az egyes id˝ opontokhoz rendelt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨ osszess´ege. Speci´alis sztochasztikus kapcsolat; a magyar´az´ ov´altoz´o az id˝o Determinisztikus id˝ osorelemz´ es eset´en az id˝osort az al´abbiak hat´arozz´ak meg: Tart´ osan ´erv´enyes¨ ul˝ o tendencia (trend) Tart´ osan hat´ o, szab´alyos hull´ammozg´as/szezonalit´as V´eletlen okozta eseti-egyedi elt´er´es
Sztochasztikus id˝ osorelemz´ es eset´en a sor sztochasztikus folyamat mely f¨ ugg a kor´ abbi ´ allapott´ ol a v´eletlen hat´ asokt´ ol.
A hiba a jelens´eg f˝ o mozgat´ oja.
Itt: determinisztikus id˝ osorelemz´es.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
A determinisztikus id˝osorok ¨osszetev˝oi Alapir´anyzat, v. Trend Hosszabb id˝oszakon ´at tart´ osan ´erv´enyes¨ ul˝ o tendencia. Pl demogr´afiai v´altoz´asok, m˝ uszaki fejl˝ od´es. Periodikus ingadoz´as Szezon´alis, id´enyszer˝ u hull´amz´as, periodikus ingadoz´as, ha a trendt˝ol val´o elt´er´es periodicit´ast mutat. Legt¨obbsz¨or az ´evszakok v´altoz´as´anak k¨ ovetkezm´enye. A peri´odusok hossza v´altoz´ o is lehet, pl gazdas´agi ciklusok eset´en. V´eletlenszer˝ u ingadoz´as Sok, ¨onmag´aban nem jelent˝ os t´enyez˝ o egy¨ uttes hat´asa.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
A determinisztikus id˝osorok ¨osszetev˝oi Alapir´anyzat, v. Trend Hosszabb id˝oszakon ´at tart´ osan ´erv´enyes¨ ul˝ o tendencia. Pl demogr´afiai v´altoz´asok, m˝ uszaki fejl˝ od´es. Periodikus ingadoz´as Szezon´alis, id´enyszer˝ u hull´amz´as, periodikus ingadoz´as, ha a trendt˝ol val´o elt´er´es periodicit´ast mutat. Legt¨obbsz¨or az ´evszakok v´altoz´as´anak k¨ ovetkezm´enye. A peri´odusok hossza v´altoz´ o is lehet, pl gazdas´agi ciklusok eset´en. V´eletlenszer˝ u ingadoz´as Sok, ¨onmag´aban nem jelent˝ os t´enyez˝ o egy¨ uttes hat´asa.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
A determinisztikus id˝osorok ¨osszetev˝oi Alapir´anyzat, v. Trend Hosszabb id˝oszakon ´at tart´ osan ´erv´enyes¨ ul˝ o tendencia. Pl demogr´afiai v´altoz´asok, m˝ uszaki fejl˝ od´es. Periodikus ingadoz´as Szezon´alis, id´enyszer˝ u hull´amz´as, periodikus ingadoz´as, ha a trendt˝ol val´o elt´er´es periodicit´ast mutat. Legt¨obbsz¨or az ´evszakok v´altoz´as´anak k¨ ovetkezm´enye. A peri´odusok hossza v´altoz´ o is lehet, pl gazdas´agi ciklusok eset´en. V´eletlenszer˝ u ingadoz´as Sok, ¨onmag´aban nem jelent˝ os t´enyez˝ o egy¨ uttes hat´asa.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
A determinisztikus id˝osorok ¨osszetev˝oi: P´elda
A j´egkr´emek ir´anti kereslet ¨ osszetev˝ oi: Trend N¨ovekv˝o trend az ´eletsz´ınvonal n¨ oveked´es´enek megfelel˝oen (recesszi´ o? borul az eg´esz) Ciklus A meleg h´ onapokban nagyobb a fogyaszt´as. V´eletlen A fogyaszt´as f¨ ugg a h˝ om´ers´eklett˝ ol, mely nem k¨oveti determinisztikusan az ´evszakok v´altoz´as´at.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
A determinisztikus id˝osorok ¨osszetev˝oi: P´elda
A j´egkr´emek ir´anti kereslet ¨ osszetev˝ oi: Trend N¨ovekv˝o trend az ´eletsz´ınvonal n¨ oveked´es´enek megfelel˝oen (recesszi´ o? borul az eg´esz) Ciklus A meleg h´ onapokban nagyobb a fogyaszt´as. V´eletlen A fogyaszt´as f¨ ugg a h˝ om´ers´eklett˝ ol, mely nem k¨oveti determinisztikusan az ´evszakok v´altoz´as´at.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
A determinisztikus id˝osorok ¨osszetev˝oi: P´elda
A j´egkr´emek ir´anti kereslet ¨ osszetev˝ oi: Trend N¨ovekv˝o trend az ´eletsz´ınvonal n¨ oveked´es´enek megfelel˝oen (recesszi´ o? borul az eg´esz) Ciklus A meleg h´ onapokban nagyobb a fogyaszt´as. V´eletlen A fogyaszt´as f¨ ugg a h˝ om´ers´eklett˝ ol, mely nem k¨oveti determinisztikusan az ´evszakok v´altoz´as´at.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Komponensek elk¨ul¨on´ıt´ese
Az id˝osorok elemz´es´enek f˝ o feladata a komponensek elk¨ ul¨on´ıt´ese.
A kapcsolat lehet: Addit´ıv (¨osszegszer˝ u) Multiplikat´ıv (szorzatszer˝ u) Egy´eb...
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Addit´ıv komponensek Addit´ıv kapcsolat Az id˝osor adatai ¨osszegk´ent ad´ odnak: ηij = Yij + sj + vij i a peri´odus sorsz´ama (pl ´ev) j a peri´oduson bel¨ uli id˝ oszak sorsz´ama (pl h´onap) Yij az i-edik peri´ odus j-edik adata sj b´armely peri´ odus j-edik szakasz´aban megfigyelhet˝o szezon´alis ingadoz´as vij a v´eletlen hat´as i, j-ben. Egyszer˝ ubben (t = (i − 1)m + j): ηt = Yt + st + vt
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Addit´ıv komponensek Addit´ıv kapcsolat Az id˝osor adatai ¨osszegk´ent ad´ odnak: ηij = Yij + sj + vij i a peri´odus sorsz´ama (pl ´ev) j a peri´oduson bel¨ uli id˝ oszak sorsz´ama (pl h´onap) Yij az i-edik peri´ odus j-edik adata sj b´armely peri´ odus j-edik szakasz´aban megfigyelhet˝o szezon´alis ingadoz´as vij a v´eletlen hat´as i, j-ben. Egyszer˝ ubben (t = (i − 1)m + j): ηt = Yt + st + vt
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Addit´ıv komponensek tulajdons´agai
ηt = Yt + st + vt
Peri´ ul a szezon´alis elt´er´esek kiegyenl´ıtik egym´ast. Pmoduson bel¨ t=1 st = 0 A v´eletlen komponens v´arhat´ o ´ert´eke 0: M(vt ) = 0
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Addit´ıv komponensek tulajdons´agai
ηt = Yt + st + vt
Peri´ ul a szezon´alis elt´er´esek kiegyenl´ıtik egym´ast. Pmoduson bel¨ t=1 st = 0 A v´eletlen komponens v´arhat´ o ´ert´eke 0: M(vt ) = 0
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Multiplikat´ıv komponensek Multiplikat´ıv kapcsolat Az id˝osor adatai szorzatk´ent ad´ odnak: ηij = Yij · sj∗ · vij∗ sj∗ b´armely peri´ odus j-edik szakasz´aban megfigyelhet˝o multiplikat´ıv szezon´alis ingadoz´as vij∗ a multiplikat´ıv v´eletlen hat´as i, j-ben. A szezon´alis ingadoz´as ´es a hiba relat´ıv. log ηij = log Yij + log sj∗ + log vij∗ Ebb˝ol:
Pm
∗ t=1 log st
= 0 (azaz
Qm
∗ t=1 st
= 1) ´es M(log vt∗ ) = 0
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Multiplikat´ıv komponensek Multiplikat´ıv kapcsolat Az id˝osor adatai szorzatk´ent ad´ odnak: ηij = Yij · sj∗ · vij∗ sj∗ b´armely peri´ odus j-edik szakasz´aban megfigyelhet˝o multiplikat´ıv szezon´alis ingadoz´as vij∗ a multiplikat´ıv v´eletlen hat´as i, j-ben. A szezon´alis ingadoz´as ´es a hiba relat´ıv. log ηij = log Yij + log sj∗ + log vij∗ Ebb˝ol:
Pm
∗ t=1 log st
= 0 (azaz
Qm
∗ t=1 st
= 1) ´es M(log vt∗ ) = 0
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Multiplikat´ıv komponensek Multiplikat´ıv kapcsolat Az id˝osor adatai szorzatk´ent ad´ odnak: ηij = Yij · sj∗ · vij∗ sj∗ b´armely peri´ odus j-edik szakasz´aban megfigyelhet˝o multiplikat´ıv szezon´alis ingadoz´as vij∗ a multiplikat´ıv v´eletlen hat´as i, j-ben. A szezon´alis ingadoz´as ´es a hiba relat´ıv. log ηij = log Yij + log sj∗ + log vij∗ Ebb˝ol:
Pm
∗ t=1 log st
= 0 (azaz
Qm
∗ t=1 st
= 1) ´es M(log vt∗ ) = 0
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
ZH
Trendsz´am´ıt´as mozg´o´atlagol´assal
Trendsz´am´ıt´as Az id˝osor f˝o komponens´enek, az alapir´anyzatnak a kimutat´asa. A c´el az id˝osor “kiegyenes´ıt´ese,” “kisim´ıt´asa.” Addit´ıv kapcsolat eset´en l+m X t=l+1
M(ηt ) =
l+m X t=l+1
Yt +
l+m X t=l+1
st +
l+m X t=l+1
M(vt ) =
l+m X
Yt
t=l+1
m (vagy p · m) tag ¨osszeg´enek v´arhat´ o ´ert´ek´eben sem a v´eletlen, sem a szezon´alis tag nem szerepel.
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
ZH
Trendsz´am´ıt´as mozg´o´atlagol´assal
Trendsz´am´ıt´as Az id˝osor f˝o komponens´enek, az alapir´anyzatnak a kimutat´asa. A c´el az id˝osor “kiegyenes´ıt´ese,” “kisim´ıt´asa.” Addit´ıv kapcsolat eset´en l+m X t=l+1
M(ηt ) =
l+m X t=l+1
Yt +
l+m X t=l+1
st +
l+m X t=l+1
M(vt ) =
l+m X
Yt
t=l+1
m (vagy p · m) tag ¨osszeg´enek v´arhat´ o ´ert´ek´eben sem a v´eletlen, sem a szezon´alis tag nem szerepel.
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
ZH
Trendsz´am´ıt´as mozg´o´atlagol´assal
Trendsz´am´ıt´as Az id˝osor f˝o komponens´enek, az alapir´anyzatnak a kimutat´asa. A c´el az id˝osor “kiegyenes´ıt´ese,” “kisim´ıt´asa.” Addit´ıv kapcsolat eset´en l+m X t=l+1
M(ηt ) =
l+m X t=l+1
Yt +
l+m X t=l+1
st +
l+m X t=l+1
M(vt ) =
l+m X
Yt
t=l+1
m (vagy p · m) tag ¨osszeg´enek v´arhat´ o ´ert´ek´eben sem a v´eletlen, sem a szezon´alis tag nem szerepel.
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Mozg´o´atlagok sz´am´ıt´asa yˆ2 = o¨32 o¨2 = η1 +η2 + η3 o¨3 = η2 +η3 +η4 yˆ3 = o¨33 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . o¨n−1 = ηn−2 +ηn−1 +ηn yˆn−1 = o¨n−1 3 Egym´ast k¨ovet˝o k elemb˝ ol ´all´ o csoportok ´atlag´at k´epezz¨ uk ´es a k¨oz´eps˝o elemhez rendelj¨ u k. P Pl: y¯l+ k+1 = k1 l+k t=l+1 ηt 2
Ha k p´aratlan yˆl+ k+1 = y¯l+ k+1 2
Ha k p´aros l +
k+1 2
2
nem eg´esz. A mozg´ o´atlagot k¨oz´epre
igaz´ıtjuk, v. cent´ırozzuk: yˆl+ k = 2
y¯l+ k+1 +¯ yl+1+ k+1 2
2
2
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Mozg´o´atlagok sz´am´ıt´asa yˆ2 = o¨32 o¨2 = η1 +η2 + η3 o¨3 = η2 +η3 +η4 yˆ3 = o¨33 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . o¨n−1 = ηn−2 +ηn−1 +ηn yˆn−1 = o¨n−1 3 Egym´ast k¨ovet˝o k elemb˝ ol ´all´ o csoportok ´atlag´at k´epezz¨ uk ´es a k¨oz´eps˝o elemhez rendelj¨ u k. P Pl: y¯l+ k+1 = k1 l+k t=l+1 ηt 2
Ha k p´aratlan yˆl+ k+1 = y¯l+ k+1 2
Ha k p´aros l +
k+1 2
2
nem eg´esz. A mozg´ o´atlagot k¨oz´epre
igaz´ıtjuk, v. cent´ırozzuk: yˆl+ k = 2
y¯l+ k+1 +¯ yl+1+ k+1 2
2
2
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Mozg´o´atlagok sz´am´ıt´asa yˆ2 = o¨32 o¨2 = η1 +η2 + η3 o¨3 = η2 +η3 +η4 yˆ3 = o¨33 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . o¨n−1 = ηn−2 +ηn−1 +ηn yˆn−1 = o¨n−1 3 Egym´ast k¨ovet˝o k elemb˝ ol ´all´ o csoportok ´atlag´at k´epezz¨ uk ´es a k¨oz´eps˝o elemhez rendelj¨ u k. P Pl: y¯l+ k+1 = k1 l+k t=l+1 ηt 2
Ha k p´aratlan yˆl+ k+1 = y¯l+ k+1 2
Ha k p´aros l +
k+1 2
2
nem eg´esz. A mozg´ o´atlagot k¨oz´epre
igaz´ıtjuk, v. cent´ırozzuk: yˆl+ k = 2
y¯l+ k+1 +¯ yl+1+ k+1 2
2
2
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Mozg´o´atlag v´alaszt´asa
Milyen tagsz´ammal ´atlagoljunk? A tagsz´am a peri´ odusok hossz´anak t¨ obbsz¨ or¨ ose! (k = p · m) Nagyobb tagsz´am – r¨ ovidebb id˝ osor marad Nagyobb tagsz´am – a v´eletlen ingadoz´asok sz´or´asa kisebb.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Mozg´o´atlag v´alaszt´asa
Milyen tagsz´ammal ´atlagoljunk? A tagsz´am a peri´ odusok hossz´anak t¨ obbsz¨ or¨ ose! (k = p · m) Nagyobb tagsz´am – r¨ ovidebb id˝ osor marad Nagyobb tagsz´am – a v´eletlen ingadoz´asok sz´or´asa kisebb.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Mozg´o´atlag v´alaszt´asa
Milyen tagsz´ammal ´atlagoljunk? A tagsz´am a peri´ odusok hossz´anak t¨ obbsz¨ or¨ ose! (k = p · m) Nagyobb tagsz´am – r¨ ovidebb id˝ osor marad Nagyobb tagsz´am – a v´eletlen ingadoz´asok sz´or´asa kisebb.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Analitikus trendsz´am´ıt´as
Analitikus trendsz´am´ıt´as Ha a trendet vmilyen regresszi´ os f¨ uggv´ennyel hat´arozzuk meg.
A regresszi´osz´am´ıt´as speci´alis esete. A minta nem ism´etelhet˝o! Lehet line´aris exponenci´alis parabolikus trendf¨ uggv´eny
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny
a t´enyleges trendf¨ uggv´eny: Yt mint´ab´ ol: ηt konkr´et mint´ab´ ol becs¨ ulve: yˆt
Ebb˝ol a norm´alegyenletek: X X
yt
tyt
X = b0 · n + b1 t X X = b0 t + b1 t2
ha
= β0 + β1 · t = β0 + β1 · t + vt = b0 + b1 · t
P
t = 0, egyszer˝ us¨odik: X X
yt
tyt
Ebb˝ ol: b0 =
= b0 n X = b1 t2 P
yt n ,
b1 =
P Pty2t t
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny
a t´enyleges trendf¨ uggv´eny: Yt mint´ab´ ol: ηt konkr´et mint´ab´ ol becs¨ ulve: yˆt
Ebb˝ol a norm´alegyenletek: X X
yt
tyt
X = b0 · n + b1 t X X = b0 t + b1 t2
ha
= β0 + β1 · t = β0 + β1 · t + vt = b0 + b1 · t
P
t = 0, egyszer˝ us¨odik: X X
yt
tyt
Ebb˝ ol: b0 =
= b0 n X = b1 t2 P
yt n ,
b1 =
P Pty2t t
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny
a t´enyleges trendf¨ uggv´eny: Yt mint´ab´ ol: ηt konkr´et mint´ab´ ol becs¨ ulve: yˆt
Ebb˝ol a norm´alegyenletek: X X
yt
tyt
X = b0 · n + b1 t X X = b0 t + b1 t2
ha
= β0 + β1 · t = β0 + β1 · t + vt = b0 + b1 · t
P
t = 0, egyszer˝ us¨odik: X X
yt
tyt
Ebb˝ ol: b0 =
= b0 n X = b1 t2 P
yt n ,
b1 =
P Pty2t t
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny: tulajdons´agok
Normaliz´alt vs. nem normaliz´alt id˝ osk´ala? Azonos b1 , m´as b0 (hiszen m´asutt van a 0)
Normaliz´alt id˝osk´ala eset´en b0 az ´atlagos ´ert´eket jel¨oli. Szezonalit´as? Ha n = pm, itt nem jelentkezik. P
2
osor´ert´ekek trendt˝ol A rezidu´alis sz´or´asn´egyzet se2 = net az id˝ val´o elt´er´es´enek n´egyzetes k¨ ozepe.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny: tulajdons´agok
Normaliz´alt vs. nem normaliz´alt id˝ osk´ala? Azonos b1 , m´as b0 (hiszen m´asutt van a 0)
Normaliz´alt id˝osk´ala eset´en b0 az ´atlagos ´ert´eket jel¨oli. Szezonalit´as? Ha n = pm, itt nem jelentkezik. P
2
osor´ert´ekek trendt˝ol A rezidu´alis sz´or´asn´egyzet se2 = net az id˝ val´o elt´er´es´enek n´egyzetes k¨ ozepe.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny: tulajdons´agok
Normaliz´alt vs. nem normaliz´alt id˝ osk´ala? Azonos b1 , m´as b0 (hiszen m´asutt van a 0)
Normaliz´alt id˝osk´ala eset´en b0 az ´atlagos ´ert´eket jel¨oli. Szezonalit´as? Ha n = pm, itt nem jelentkezik. P
2
osor´ert´ekek trendt˝ol A rezidu´alis sz´or´asn´egyzet se2 = net az id˝ val´o elt´er´es´enek n´egyzetes k¨ ozepe.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny: tulajdons´agok
Normaliz´alt vs. nem normaliz´alt id˝ osk´ala? Azonos b1 , m´as b0 (hiszen m´asutt van a 0)
Normaliz´alt id˝osk´ala eset´en b0 az ´atlagos ´ert´eket jel¨oli. Szezonalit´as? Ha n = pm, itt nem jelentkezik. P
2
osor´ert´ekek trendt˝ol A rezidu´alis sz´or´asn´egyzet se2 = net az id˝ val´o elt´er´es´enek n´egyzetes k¨ ozepe.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Line´aris trendf¨uggv´eny: tulajdons´agok
Normaliz´alt vs. nem normaliz´alt id˝ osk´ala? Azonos b1 , m´as b0 (hiszen m´asutt van a 0)
Normaliz´alt id˝osk´ala eset´en b0 az ´atlagos ´ert´eket jel¨oli. Szezonalit´as? Ha n = pm, itt nem jelentkezik. P
2
osor´ert´ekek trendt˝ol A rezidu´alis sz´or´asn´egyzet se2 = net az id˝ val´o elt´er´es´enek n´egyzetes k¨ ozepe.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Exponenci´alis trend
Id˝oegys´egenk´enti relat´ıv v´altoz´as eset´en. Yt azaz log Yt
= β0 · β1t = log β0 + t · log β1
A f¨ uggv´eny´ert´ekek logaritmusa ´es az id˝ oegys´egek k¨oz¨ott line´aris o¨sszef¨ ugg´es van.
∴ Meghat´arozzuk a line´aris trendf¨ uggv´enyt log Yt -re.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Exponenci´alis trend
Id˝oegys´egenk´enti relat´ıv v´altoz´as eset´en. Yt azaz log Yt
= β0 · β1t = log β0 + t · log β1
A f¨ uggv´eny´ert´ekek logaritmusa ´es az id˝ oegys´egek k¨oz¨ott line´aris o¨sszef¨ ugg´es van.
∴ Meghat´arozzuk a line´aris trendf¨ uggv´enyt log Yt -re.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Exponenci´alis trend
P
t = 0 eset´en: P log b0 =
log yt , log b1 = n
P t log y P 2 t t
b0 a t = 0-hoz tartoz´ o trend´ert´ek, vagy az id˝osor adatainak m´ertani ´atlaga. b1 az id˝oegys´egnyi ´atlagos relat´ıv v´altoz´as, azaz rokona az ¯ mely azonban csak a id˝obeli v´altoz´as ´atlagos u ¨tem´enek (`), k´et v´egpont alapj´an ker¨ ul kisz´am´ıt´asra.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Exponenci´alis trend
P
t = 0 eset´en: P log b0 =
log yt , log b1 = n
P t log y P 2 t t
b0 a t = 0-hoz tartoz´ o trend´ert´ek, vagy az id˝osor adatainak m´ertani ´atlaga. b1 az id˝oegys´egnyi ´atlagos relat´ıv v´altoz´as, azaz rokona az ¯ mely azonban csak a id˝obeli v´altoz´as ´atlagos u ¨tem´enek (`), k´et v´egpont alapj´an ker¨ ul kisz´am´ıt´asra.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Parabolikus ´es polinomi´alis trendf¨uggv´enyek Ha az adatsorban a v´altoz´as ir´anya megv´altozik parabolikus trendf¨ uggv´enyt keres¨ unk: Yt = β0 + β1 · t + β2 · t 2 ´ aban: Altal´ A polinomi´alis trendf¨ uggv´eny az id˝ ot´enyez˝ o p-edfok´ u polinomja: Yt =
p X
βi · t i
i=0
K¨ ul¨onb¨oz˝o foksz´am´ u polinomok ¨ osszehasonl´ıt´asakor a rezidu´alis sz´or´ast a szabads´agfokkal korrig´alva kell haszn´alni: sP n ˆt )2 t=1 (yt − y se = n−p−1
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
A szezonalit´as vizsg´alata
A szezonalit´as vizsg´alata A szezonalit´as milyen m´ert´ekben illetve ar´anyban t´er´ıti el az id˝osor ´ert´ekeit a trendt˝ol.
Addit´ıv modell abszol´ ut elt´er´es szezon´alis elt´er´es
Multiplikat´ıv modell relat´ıv elt´er´es szezonindex
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Szezon´alis elt´er´esek sz´am´ıt´asa Addit´ıv line´aris trend eset´en: yij = yˆij + sj + vij ´ Atrendezve kapjuk az egyedi szezon´alis elt´er´eseket: yij − yˆij = sj + vij Ebb˝ol vij v´eletlen tag, v´arhat´ o ´ert´eke 0. Hat´as´at t¨obb adatb´ol vett sz´amtani ´atlaggal tomp´ıtjuk (“minden ´evb˝ ol a novemberi adatra o¨sszegz¨ unk”): Pp (yij − yˆij ) sj = i=1 p Szezon´alis elt´er´esek A szezon ´ert´eke mennyivel t´er el a trendt˝ ol a szezonhat´as k¨ovetkezt´eben.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Szezon´alis elt´er´esek sz´am´ıt´asa 2.
Ha a trendet nem line´aris f¨ uggv´ennyel sz´am´ıtjuk ki: m X
el˝ofordulhat, hogy
sj 6= 0
j=1
A korrig´alt szezon´alis elt´er´esek: Pm sj0
= sj −
j=1 sj
m
.
Prognosztika
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Szezon´alis elt´er´esek sz´am´ıt´asa 2.
Ha a trendet nem line´aris f¨ uggv´ennyel sz´am´ıtjuk ki: m X
el˝ofordulhat, hogy
sj 6= 0
j=1
A korrig´alt szezon´alis elt´er´esek: Pm sj0
= sj −
j=1 sj
m
.
Prognosztika
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
Szezonindexek sz´am´ıt´asa Multiplikat´ıv ¨osszef¨ ugg´es ´es exponenci´alis trend eset´en: yij = yˆij · sj∗ · vij∗ ´ Atrendezve kapjuk az egyedi szezonindexeket: yij = sj∗ · vij∗ yˆij Minden peri´odusb´ol vessz¨ uk a j-edik szezonindexet, majd k´epezz¨ uk ezek m´ertani ´atlag´at: v u p uY yij ∗ sj = t yˆij i=1
Szezonindex A szezon ´ert´eke a szezonhat´as miatt h´anyszorosa az alapir´anyzat szerinti ´ert´eknek .
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Szezonindexek sz´am´ıt´asa 2.
Ha a trendet nem exponenci´alis f¨ uggv´ennyel ´ırtuk le, el˝ofordulhat, hogy
m Y
sj∗ 6= 1
j=1
A korrig´alt szezonindexek: sj∗ sj∗ 0 = qQ m
∗ j=1 sj
.
Prognosztika
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Szezonindexek sz´am´ıt´asa 2.
Ha a trendet nem exponenci´alis f¨ uggv´ennyel ´ırtuk le, el˝ofordulhat, hogy
m Y
sj∗ 6= 1
j=1
A korrig´alt szezonindexek: sj∗ sj∗ 0 = qQ m
∗ j=1 sj
.
Prognosztika
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
El˝orejelz´es az eredm´enyek alapj´an
Bizonyos jelens´egeket el˝ ore szeretn´enk megbecs¨ ulni Id˝osorok extrapol´aci´ oja: A fejl˝ od´es ´atlagos m´ert´eke alapj´an (line´aris extrapol´aci´o): 0 yn+k = yn + (k − 1) · d¯ A fejl˝ od´es ´atlagos u ¨teme alapj´an (exponenci´alis extrapol´aci´o): 0 yn+k = yn · `¯(k−1) Megb´ızhat´ obb a becsl´es a trendf¨ uggv´enybe val´o behelyettes´ıt´essel. Az esetleges szezon´alis ingadoz´ast is figyelembe kell venni.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
El˝orejelz´es az eredm´enyek alapj´an
Bizonyos jelens´egeket el˝ ore szeretn´enk megbecs¨ ulni Id˝osorok extrapol´aci´ oja: A fejl˝ od´es ´atlagos m´ert´eke alapj´an (line´aris extrapol´aci´o): 0 yn+k = yn + (k − 1) · d¯ A fejl˝ od´es ´atlagos u ¨teme alapj´an (exponenci´alis extrapol´aci´o): 0 yn+k = yn · `¯(k−1) Megb´ızhat´ obb a becsl´es a trendf¨ uggv´enybe val´o behelyettes´ıt´essel. Az esetleges szezon´alis ingadoz´ast is figyelembe kell venni.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
El˝orejelz´es az eredm´enyek alapj´an
Bizonyos jelens´egeket el˝ ore szeretn´enk megbecs¨ ulni Id˝osorok extrapol´aci´ oja: A fejl˝ od´es ´atlagos m´ert´eke alapj´an (line´aris extrapol´aci´o): 0 yn+k = yn + (k − 1) · d¯ A fejl˝ od´es ´atlagos u ¨teme alapj´an (exponenci´alis extrapol´aci´o): 0 yn+k = yn · `¯(k−1) Megb´ızhat´ obb a becsl´es a trendf¨ uggv´enybe val´o behelyettes´ıt´essel. Az esetleges szezon´alis ingadoz´ast is figyelembe kell venni.
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
ZH
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
ZH
Az id˝ osorok ¨ osszetev˝ oi
Trendsz´ am´ıt´ as
Szezonalit´ as
Prognosztika
ZH
