Valószínőségszámítás ZH-k Szak: Informatika II.
Tárgy: Valószínûségszámítás és mat. stat. 1.jzh
1.(15p) 15 színház, 25 mozi és 10 kiállításra szóló jegyet osztanak ki aktív szervezı munkáért. A színház jegyek 60%-át, mozi jegyek 40%-át és a kiállításra szóló jegyek 80%-át informatikusoknak, a többit villamosmérnököknek szánják. a)Ha a jegyek közül véletlenszerően kiválasztunk egyet, mi a valószínősége annak, hogy informatikus kapja. b)Ha a jegyek közül véletlenszerően kiválasztunk egyet és azt informatikusnak akarják odaadni, mi a valószínősége, hogy színház jegy? c)Ha a jutalmazni kívánt hallgatók közül kiválasztunk 6-t, mi a valószínősége annak, hogy köztük legalább két informatikus van? 2)(12p) A [0,1] intervallumon véletlenszerően kiválasztunk két pontot. 1 a) Mekkora annak valószínúsége, hogy x - y< ? 4 b) A ξ valószínőségi változó jelölje a két pont eltérését, adja meg ξ eloszlásfüggvényét. x - 1 , ha x ∈ [a;1,6] ξ valószínőségi változó 3)(10p) Határozza meg az a valós számot úgy, hogy a h(x) = 0, különben sőrőségfüggvénye lehessen. 4)(13p) Két szabályos játékkockát egymás után feldob kétszer.. A ξ valószínûségi változó 1 értéket vegyen fel, ha mindkét dobás 4, és 0 értéket, ha nem ez következik be. Határozza meg a ξ valószínőségi változó várható értékét és szórását.
Szak: Informatika II.
Tárgy: Valószínüségszámítás és mat. stat. l.zh
1.(16p) Az informatika szakosok VMS vizsgáján a 102 nappali tagozatos hallgató mellett a 18 esti tagozatos is részt vesz. A tapasztalatok alapján az estisek 0,2 valószínőséggel teszik le sikeresen a vizsgát, míg a nappalisoknál a valószínőség 0,31. a) Ha véletlenszerően kiválasztunk egy hallgatót, mennyi a valószínősége, hogy sikeresen vizsgázik? b) Ha egy sikertelen vizsgadolgozatot választunk, mennyi a valószínősége, hogy estis hallgató írta? c) Ha véletlenszerően kiválasztunk 5 vizsgadolgozatot az elmúlt három év VMS dolgozatai közül, mennyi a valószínősége, hogy köztük három sikeres?Σ 2)(20p) Egy fıiskolai hallgató nyáron főnyírás vállalásával egészíti ki ösztöndíját. A város környékén bárhova elmegy, ha két közel fekvı telek tulajdonosa hívja, és a két telek együttesen 200 négyszögölnél nagyobb, de 1000-nél kisebb. a)Várhatóan mekkora területet kell átlagosan lenyírnia, és mekkora szórással számoljon? (A valószínőségi változó legyen a két telek együttes területe. b)Mekkora a valószínősége, hogy a nyírandó terület 400 és 600 négyszögöl közé esik. A valószínőséget tüntesse fel a valószínőségi változó eloszlás- és sőrőségfüggvényének ábráján is. 1
Valószínőségszámítás ZH-k
A 3. feladatban szereplı eloszlás nem témája a mostani dolgozatnak: 3)(14p) Egy kis településen adott idıszakban 0,2 a valószínősége, hogy pontosan egy telefonhívás érkezik. a)Ha ξ valószínőségi változó az adott idıszakban a telefonhívások számát jelöli, mekkora a várható értéke (Feltesszük, hogy ξ Poisson-eloszlást követ.) b)Mekkora a valószínősége, hogy 2-nél több hívás lesz? c)Mekkora a valószínősége, hogy l vagy 3 hívás lesz?
Szak: Informatika II
Tárgy: Valószínûségszámítás és mat stat. 1 .zh
l)(18p) A „Bridget Jones naplója" címő filmhez kapcsolódóan egy kérdıíves felmérést végeztek.Ebbıl többek között kiderült, hogy a filmet megnézık 73%-a nı volt. Továbbá, hogy míg a nık 9/10-ének, addig a férfiaknak csupán 3/10-ének tetszett a film. a) Ha véletlenszerően kiválasztunk egy kérdıívet, mennyi a valószínősége, hogy az azt kitöltınek nem tetszett a film? b) Ha valakinek tetszett a film, mennyi a valószínősége, hogy az illetı férfi? c) Ha véletlenszerően kiválasztunk 4 kérdıívet, várhatóan hány kitöltınek tetszett a film? 2)(19p) 2) (17p) Vizsgálja meg, az a, b paraméterek mely értékei mellett lehet a ξ>1 valószínőségi változó eloszlásfüggvénye az x a
ax 2 + b x2
függvény.
a) Határozza meg a ξ sőrőségfüggvényét b) Határozza meg a ξ várható értékét c). Ábrázolja az eloszlásfüggvény és a sőrőségfüggvény ábráján a P(|ξ–2| <0,05) valószínőséget. 3)(13p) A legfeljebb 8 egység kerülető téglalapok közül véletlenszerően választva mi a valószínősége, hogy a kiválasztottnak a területe 3 egységnél kisebb lesz.
Szak: Informatika II. Tárgy: Valószínőségszámítás és matematikai statisztika 1. zh Dátum: 2003. III. 17. 1. (16p) Országos imfluenzajárvány van. A nagyvárosokban, ahol a lakosság 35%-a lakik, a legnagyobb a veszélyeztettség, 0,011 valószínőséggel kaphatja meg a vírust. Ezzel ellentétben az aprófalvakban, vagy tanyákon, ahol a lakosság 10%-a él, csupán 0,002 valószínőséggelbetegedhet meg valaki. A többi településen a megbetegedés valószínősége 0,007. a) Mekkora valószínőséggel választhatunk véletlenszerően az ország lakosai közül egy influenzást? b) Ha influenzás valaki, mennyi a valószínősége, hogy nagyvárosban lakik? c) 6 embert véletlenszerően kiválasztva, mennyi a valószínősége, hogy közülük 3 egészséges?
2
Valószínőségszámítás ZH-k Megoldás i – influenzás a kiválasztott személy N – nagyvárosban lakik a kiválasztott személy A – kis településen lakik a kiválasztott személy T – egyéb településen lakik a kiválasztott személy a) P(i)=P(iΩ)=P(iN+iA+iT)=P(iN)+P(iA)+P(iT)=P(iN) P(N)+P(iA) P(A)+P(iT) P(T)= =0,011·0,35+0,002·0,1+0,007·0,55=0,0079 P(iN ) ⋅ P( N ) 0,00385 = = 0,4873 P(i ) 0,0079
b)
P( Ni ) =
c)
6 P(3) = ⋅ 0,0079 ⋅ (1 − 0,0079 ) 3 = 9,62 ⋅ 10 − 6 3
2. (18p) 12.00 és 12.10 között két villamos – a 47-es és a 49-es – érkezik véletlenszerően a kettıs megállóba. A 47-es az a idıpontban fut be, a 49-es a b idıpontban fut be. A ξ valószínőségi változó legyen a két érkezési idı különbsége, a-b. Adja meg és rajzolja fel a ξ eloszlás- és sőrőségfüggvényét.
Megoldás
ξ=a-b ξ< x
P (ξ < x ) =
ξ: [-10 ; 10] a
a–b < x
10 2 −
(10 − x )
2
2 2
, ha 0<x<10
10 P(ξ<10)= P(a–b <10)=1 P(ξ>10)= P(a–b >10)=0
3
ha –10<x<10
Valószínőségszámítás ZH-k
(10 − x) 2 2 P (ξ < x) = , ha –10<x<0 10 2 P(ξ<–10)= P(a–b <–10)=0 10 2 1 P (ξ < 0 ) = 2 = 10 2 2
hax < −10 0, 1 ⋅ ( x + 10) 2 , ha − 10 < x ≤ 0 200 F ( x) = 1 − 1 ⋅ ( x − 10 ) 2 + 1, ha0 < x ≤ 10 200 1, hax > 10
1 1 ha − 10 < x < 0 100 x + 10 , 1 1 f ( x ) = F ' ( x ) = − x + , ha 0 < x ≤ 10 10 100 egyébként 0,
3. (16p) A KIN kupán az egyik feladat, hogy az A és I csapat egy-egy tagja szkanderezzen egymással. Az gyız, aki háromszor legyızi a másikat. A ξ valószínőségi változó jelölje a “mérkızések” számát.
4
Valószínőségszámítás ZH-k a) Adja meg ξvalószínőségi változó eloszlását, ha tudjuk, hogy annak a valószínősége, hogy az I-beli legyızi a másik csapat tagját 0,55? b) Mekkora a ξ valószínőségi változó várható értéke és szórása? Megoldás a)
ξ: 3, 4, 5 ξ=3: AAA vagy BBB ξ=4: ABAA BBAB B 3 helyen lehet A 3 helyen lehet ξ=5 ABABA BAABB B 4-bıl 2 helyen lehet A 4-bıl 2 helyen lehet P(ξ = 3) = 0,55 3 + 0,45 3 = 0,2575 3 3 P(ξ = 4 ) = ⋅ 0,55 3 ⋅ 0,45 + ⋅ 0,45 3 ⋅ 0,55 = 0,3749625 ≅ 0,375 1 1 4 4 P(ξ = 5) = ⋅ 0,55 3 ⋅ 0,45 2 + ⋅ 0,55 2 ⋅ 0,45 3 = 0,3675375 ≅ 0,3675 2 2
0,2575+0,375+0,3675=1 b)
M(ξ)=3·0,2575+4·0,375+5·0,3675=0,7725+1,5+1,837=4,11 3
D (ξ ) = ∑ xi2 ⋅ pi − M 2 (ς ) = 17 ,5053375 − 4,112 = 0,61309 2
i =1
D(ξ)=0,7831 Szak: Informatika II.
Tárgy: Valószínûségszámítás és mat. stat. 1a.zh
Dátum:2004.X.26.
∑
: 1.(14p) A televíziónézési szokásokat vizsgálva az Okos Közvéleménykutató Intézet megállapította, hogy az ujonnan indult Tripla Nulla TV nézettsége nem várt eredményt mutat: a televíziónézık 21%-a választja. Fıleg az éjszakai mősorait preferálják. Míg más adóknál a nézıknek csupán 8%-a választja a késı esti mősorokat, addig a Tripla Nulla esetén 0,38 valószínőséggel az éjjeli adás vonzza ıket. a) Ha véletlenszerően kiválasztunk egy televíziónézıt, mi a valószínősége annak, hogy a mősorok közül éjszakait választ? b)Ha egy televíziónézı nappal kapcsolja be a készüléket, mi a valószínősége, hogy a Tripla Nulla TV adását választja? c) Véletlenszerően kiválasztunk 5 televíziónézıt. Mekkora a valószínősége, hogy legalább kettı a TNT (Tripla Nulla TV) éjszakai adását szokta nézni? Megoldás: B: éjszakai mősort néz A1: TNT nézı A2: más csatorna nézıje P(A1): 0,21
P(A2): 0,79
P(A1|B): 0,38
P(A2|B): 0,08
a) P(B)=?
P(B)=0,21*0,38*0,79*0,08=0,143
b) P(⌐B)=1-P(B)=0,857
P(B|A1)=(0,21*0,62)/(0,857)=0,1519
c) Binomiális eloszlás B(X,Y) 5
2
3
X:5 nézı 5
3
2
Y: TNT éjszakai adását nézi 0,21*0,38≈0,08 5
4
B(5;0,08)= ( 2)0,08 *0,92 +( 3)0,08 *0,92 +( 4)0,08 *0,921 +(55)0,085*0,920 ≈0,0543.
5
Valószínőségszámítás ZH-k 2)(8p) Gyerekek bementek egy elkerített erdıs természetvédelmi területre, mely téglalap alakúnak tekinthetı 5km és 10 km hosszú oldalakkal, s melynek kijáratai a sarkoknál, a téglalap csúcsainál vannak. Több órai bolyongás után ki akartak menni. Mekkora a valószínősége, hogy közelebb voltak valamelyik kijárathoz, mint a terület középpontjához? Megoldás:
Z2
(0 ; 0)
H1
Z3 F3(7,5 ;1,25)
Szakaszfelezı
F3(2,5;1,25) K(5;2,5)
Átló; n(2;1)
Merıleges a szakaszfelezıre N(1,2)!
Z5 Z1
M1 F4(7,5 ; 3,75)
Ez a terület van a középponthoz közelebb.
F1(2,5 ; 3,75)
A fenti adatok alapján az értékek a következık:
T
Z4
Z1(3,25 ; 5) Z2(3,25 ; 0) Z3(6,75 ; 0) Z4(6,75 ; 5) Z5(8,25 ; 2,5)
(10 ; 5)
H1~Z1 és Z2 közötti hossz=3,5. M1~magasság1=1,5.
= 3,5*5 + 2*1,5*5/2 = 25.
P(keresett)= 25 / 50 = 0,5. 3)(15p) Egy kisgyerek egy egységnyi oldalhosszúságú medencében játszik. A ξ valószínőségi változónak, mely a kisgyereknek a legközelebbi
4 - 8x, ha x ∈ ] 0;0,5 [ egyébként 0,
oldaltól való távolságát jelöli, a sőrőségfüggvénye az f(x) =
a)Határozza meg az eloszlásfüggvényt. b)Határozza meg a P(|ξ–0,2|<0,1) valószínőséget, és ábrázolja az eloszlásfüggvény és sőrőségfüggvény grafikonján. c) Várhatóan milyen messze lesz a kisgyerek a legközelebbi oldaltól? Mekkora a szórás? Megoldás:
a)
, ha x < 0 0, 2 F1(x)= ∫ f(t)dt = ∫ (4-8t)dt = [4x-4x2] F(x)= 4 x − 4 x , ha 0 < x ≤ 0,5 1, 0 0 , ha 0,5 < x
b)
P(|ξ-0,2| < 0,1) = P(0,1 < ξ < 0,3 ) = F(0,3) – F(0,1) = (4*0,3-4*0,32) – (4*0,1 – 4*0,12) = 0,48.
x
x
6
Valószínőségszámítás ZH-k 1,2 1 0,8 F(X)
0,6
X
0,4 0,2 0
0,00-tól 0,5-ig 0,01-es lépésközzel.
(4 ; 0) f(x)
(0 ; 0,5)
∞ c)
M(ξ)=
0,5
∫ xf ( x)dx =
−∞
3
2
– 8/3*0,53) = 0,16666666.
0,5
2 ∫ x f ( x)dx =
−∞ 2
2
0
∞ M(ξ2)=
∫ x(4 − 8x)dx = [2x -8/3*x ] = (2*0,5 ∫x
2
(4 − 8 x)dx = [4/3x3-2*x4] = (4/3*0,53 – 2*0,54) = 0,0416666.
0 2
2
D (ξ) = M(ξ )- M (ξ)=0,41666666-0,0277777=0,0138888. D(ξ) = 0,117. 4)(13p) A Tripla Nulla TV vetélkedı mősorának utolsó fordulójába egy szuper Lány és Fiú került be. Itt kérdésekre kell válaszolniuk. Ha helyes a válasz, kapnak egy pontot, ha nem helyes, vagy semmit sem tudnak mondani, a másik versenyzı kapja a pontot (anélkül, hogy megszólalna). A gyıztes az lesz, aki három pontot összegyőjt. Az elızıek alapján tudjuk, hogy a Lány 0,6 valószínőséggel győjt össze egy pontot. Maximum hány kérdés dönti el a versenyt?Mennyi lesz a feltett kérdések várható száma? Megoldás: Maximum 5 kérdés dönti el a választ.
7
Valószínőségszámítás ZH-k ζ (játszmák/kérdések száma) :
3|
4|
5|
0,63+0,43|
(32)*(0,63*0,4 +0,6*0,43)|
(53)*(0,62*0,43+0,63*0,42)|
M(ζ)=3*( 0,63+0,43 )+4*( (32)*(0,63*0,4 +0,6*0,43)) +5*( (42)*(0,62*0,43+0,63*0,42)) = 4,0656.
8
