Az alábbi (nagyrészt megoldott) zh-feladatokból a sárgával jelölteket kell tudni a 2. zh-ra
Fizika BK1 zh1 2000. okt. 6. *: memória, nem számítás! 1. Hány km-re van a Hold a Földt l?* Hány nm ez? 2. a) Becsüljük meg, hogy milyen átmér j körlapot kell tartani a szemünkt l 1m-re, hogy az eltakarja a teliholdat! b) Ebb l a becsült adatból határozzuk meg a Hold átmér jét! (A Hold távolsága ismert*). c) Ebb l számítsuk ki, hogy milyen síkszög és milyen térszög alatt látszik a Hold a Földr l! d) Melyik égitest látszik nagyobb szög alatt: a Nap vagy a Hold?* 3. Tekintsük a Föld P pontját, koordinátái: északi szélesség 60o, keleti hosszúság: 45o. a) Milyen messze van P az északi saroktól? b) Milyen hosszú az út P-t l az északi sarokig repül géppel légvonalban? És az Egyenlít ig? c) Mekkora és milyen irányú a Föld P pontjának gyorsulása egy inerciarendszerben? (A Föld forog*, csak ezt a forgást vegyük figyelembe!) 4. m tömeg golyót er sítünk k rugóállandójú rugóra. Az egyik végén rögzített rugó az x tengelyen van, egyensúlyi helyzete legyen az origó. A golyót t=0 id ben v0 kezd sebességgel meglökjük a -x tengely irányába, ezután az harmonikus rezg mozgást végez. a) Határozzuk meg és ábrázoljuk x-et az id függvényében! b) Határozzuk meg a gyorsulás átlagértékét az els félperiódusban! c) Milyen összefüggés van a gyorsulás és x között? Ebb l határozzuk meg az x kitérés átlagértékét az els félperiódusban! 5. Egy tömegpont körpályán mozog, melynek középpontja a koordinátarendszer origója. Az elmozdulás a [0,t] id intervallumban u, a t id ben a helyvektora r. Határozzuk meg képletben és vektorábrában a 0 id beli helyvektort! Jelöljük be a megtett utat, és képletben fejezzük ki u és r segítségével!
1
Fizika BK1 zh1
2000. okt. 6. megoldások
1. A Hold-Föld távolság DH ≈ 60×RFöld = 384000 km = 3,84⋅105 km = 3,84⋅108 m = 3,84⋅1017 nm 2. a) a becsült adat nagyságrendje: 1 cm b) 1 cm / 1 m = dHold / DH dHold = 0,01 ⋅ 384000 km = 3840 km c) látószög: síkszög: 3840/384000 = 0,01 rad térszög: (dHold/2)2π / DH2 = 8⋅10-5 sr d) El fordul teljes és gy r s Napfogyatkozás is; teljes Napfogyatkozáskor a Hold látószöge nagyobb (így tudja eltakarni a Napot), gy r s Napfogyatkozáskor viszont a Napé (amikor a Föld Napközelben van). A két látószög közel azonos. 3. a) a P-hez húzott sugár az Egyenlít síkjával 60o-ot zár be a forgástengellyel 30o-ot P és az északi sarok távolsága egy olyan egyenl szárú háromszög alapja, melynek szárai R = 6370 km, a közbezárt szög 30o: d = 2⋅R⋅sin 15 o = 2R 2 − 2R 2 cos 30 ≈ 0,518 R = 3300 km b) a repül vel a Föld felszíne fölött kb. 10 km-rel repülünk, a megfelel körív számítandó: az északi sarokig távolság 30/360⋅2π⋅(R+10) = 3340 km, az Egyenlít ig kétszer ennyi c) a Föld forgásának periódusideje T = 1 nap = 24⋅3600 = 86400 s, a szögsebessége ω = 2π / T ≈ 7,27⋅10-5/s, a P pont pályasugara rP = R⋅sin 30o = R/2 (kerületi sebessége v = ω⋅rP ≈ 0,23 km/s) gyorsulása a centripetális gyorsulás: nagysága acp = rP ω2 ≈ 1,68⋅10-5 m/s2, iránya: mer legesen a Föld forgástengelye felé mutat
4. a) m tömeg test k rugóállandójú rugón ω = körfrekvenciájú harmonikus rezgést végez x = - A sin ωt , v = x = -Aω cos ωt , v(0) = -Aω cos 0 = - Aω = - v0 tehát
k/m
A = v0/ω = v0 m / k
x = - v0 m / k sin k / m t
1 b) a = v , átlagértéke a = ⋅ T/2 c) a = x = Aω2 sin ωt = - ω2 x
T/2
a dt =
0
v − (− v 0 ) 4v 0 1 1 ⋅ [v] T0 / 2 = ⋅ (v(T / 2) − v(0) ) = 0 = T/2 T/2 T/2 T
x=−
4v 0 4v m a =− =− 0 2 2 Tk ω Tω
5. r(t) = r(0) + ∆r r(0) = r(t) – ∆r = r – u a megtett út s = r ϕ ahol sin ϕ/2 = (u/2)/r , azaz
s = 2 r arc sin
u/2 r
2
Fizika BK1 zh1 2001. okt. 15. A *-gal jelölt kérdésekre a választ fejb l kell tudni! 1. a) Föld sugara:* b) Föld felszíne: térfogata: c) S r ségadatok - víz:* vas:* d) Mennyi lenne a Föld tömege, ha fele vízb l, másik fele vasból volna? 2. Egy repül gép délben indul Budapestr l, nyugati irányban megy, megtesz 8000 km-t. Mennyit mutat a repül téri óra az érkezéskor? (Vegyünk reális adatot a sebességre és Budapest szélességi fokára!) 3. Hold távolsága t lünk:* Mennyi id alatt ér a Holdról a Földre a fény? 4. Írjuk be a hiányzó szavakat úgy, hogy az els axiómával egyenérték állítást kapjunk! ……………… rendszerben minden………………………test gyorsulása……………….. 5. Egy 5 kg tömeg tömegpont 20 m sugarú körpályán mozog. a) Mekkora er hat rá akkor, amikor a sebessége 15 m/s, szöggyorsulása pedig 0,8/s2 ? b) Milyen irányú az er ? c) Mekkora a forgatónyomatéka? (Vonatkoztatási pont a kör középpontja legyen!) d) Mekkora és milyen irányú a tömegpont impulzusmomentuma ugyanekkor?
3
Fizika BK1 zh1
2001. okt. 15. megoldások
1. a) Föld sugara:* RF = 6378 km = 6,4⋅106 m b) a Föld felszíne: AF = 4RF2π = 5,1⋅108 km2 = 5,1⋅1014 m2 , térfogata: VF = 4 RF3π = 1,1⋅1012 km3 = 1,1⋅1021 m3 3 3 c) ρvíz = 1000 kg/m , ρvas = 7800 kg/m3 d) m = ρvíz⋅½VF + ρvas⋅½VF = ½(ρvíz+ρvas)VF = ½⋅8800 kg/m3⋅1,1⋅1021 m3 = 4,8⋅1024 kg
(4 p.) (4 p.) (2 p.) (4 p.)
2. A repül gép sebességét vegyük v = 800 km/h – nak, így a repülés ideje tr = d/v = 10 h. Nyugati irányba repül a gép, emiatt korábbi id zónában fog leszállni annak megfelel en, hogy a hosszúsági foka mennyit változik. Budapest szélességi foka ∼45°, itt a forgástengelyre mer leges körpálya sugara r = RF sin 45° ≈ 4500 km, kerülete k = 2rπ ≈ 28300 km, (8 p.) az id eltolódás: tf = 8000/283000 ⋅ 24 h = 6,8 h ≈ 7 h, vagyis a helyi id 12+10-7 ≈ 15 h. 3. A Hold távolsága t lünk:* DH ≈ 60 RF ≈ 384000 km t = DH / c = 3,84⋅105 km / (300000 km/s) ≈ 1,3 s.
(2 p.) (4 p.)
4. Inercia rendszerben minden magára hagyott test gyorsulása nulla.
(6 p.)
5. a) a tangenciális gyorsulás at = r β = 20⋅0,8 = 16 m/s2, a centripetális gyorsulás acp = v2/r = 152/20 = 11,25 m/s2, 2
2
ered jük a = a t + a cp ≈ 19,56 m/s2, az er nagysága F = ma ≈ 97,8 N. b) az er iránya: az érint vel ϕ = arc tg (11,25/16) ≈ 35o-os szöget zár be.
(8 p.) (4 p.)
c) csak a tangenciális komponensnek van forgatónyomatéka: M = r ⋅ Ft = r ⋅ (mat) = 20⋅(5⋅16) Nm = 1600 Nm.
(6 p.)
d) az impulzusmomentum nagysága N = r ⋅ I = r ⋅ (mv) = 20⋅(5⋅15) kg m2/s = 1500 kg m2/s, iránya: mer leges a kör síkjára és jobbrendszer
(8 p.)
4
Fizika BK1 zh1 2002. október 14. A *-gal jelölt kérdésekre adandó válaszokat fejb l kell tudni, a #-tel jelölt kérdéseknél a számolást külön lapra kérjük. 1. A Holdon és a Földön elhelyezünk egy-egy tükröt, amelyek pontosan egymás felé néznek, majd a Földr l t=0-kor egy fényimpulzust küldünk a Holdra. A fényimpulzus oda-vissza pattog a két tükör között. a) * A Föld – Hold távolság: d =………………. (2 p.) b) # Mennyi id alatt ér a Holdra a jel? T =……………. (3 p.) c) Vegyük fel az x tengelyt úgy, hogy a két tükröt kösse össze, és az origó a Földön van. Ábrázoljuk (külön-külön koordinátarendszerben) az id függvényében 0-tól 4T-ig a jel x helykoordinátáját, a vx sebességkoordinátát, a gyorsulás x koordinátáját, a megtett utat, a sebesség nagyságát! (13 p.)
# 2. Egységek átváltása: 72 km/óra = ……………….…. nm/s, 10 m/s2 = ……………… km/óra2.
(3 p.) (4 p.)
# 3. L hosszúságú, 0 tömeg merev rúd két végére m1 és m2 = 5 m1 tömeg golyók vannak er sítve. A rúd a harmadánál átmen vízszintes tengely körül forog, a szögsebesség éppen ω, amikor a rúd a vízszintessel α szöget zár be (t=0). a) Milyen pályán mozog a két golyó, és mekkora a sebességük t=0-kor? (3 p.) b) Hol van a tömegközéppont? (4 p.) c) Adjuk meg a rendszer impulzusát, valamint a felfüggesztési pontra vonatkoztatott impulzusmomentumot ugyanekkor! (10 p.) d) Mekkora a rendszerre ható nehézségi er forgatónyomatéka a felfüggesztési pontra? (5 p.) e) Mekkora az impulzusmomentum változási sebessége? (2 p.) f) Mekkora a távolabbi golyó felületi sebessége? (3 p.) # 4. Egy m tömeg tömegpont gyorsulása a. A tömegpontra két er hat, az egyik er (F1) ismert. Határozzuk meg képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik er t (F2)! (8 p.)
5
Fizika BK1 zh1
2002. október 14. megoldások
1. a) d ≈ 60 RF = 384000 km b) T = d / c = 3,84⋅105 km / (300000 km/s) ≈ 1,3 s c) a jel x helykoordinátája:
a gyorsulás x koordinátája:
2.
a megtett út:
a vx sebességkoordináta:
a sebesség nagysága:
72 km/óra = 20 m/s = 2⋅1010 nm/s 10 m/s2 = 0,01 km = 1,296⋅105 km/óra2 2 1 óra 3600
3.a) a golyók körpályán mozognak v = ωr, azaz t = 0 –kor sebességük v1(0) = ωL/3, v2(0) = 2ωL/3 b) m1 x = m2 (L-x) x = m2 L / (m1+m2) = 5/6 L a tömegközéppont távolsága m1-t l c) I = Σmivi = -m1v1 + m2v2 = -m1⋅ω/3 + 5m1⋅2ωL/3 = 3m1Lω iránya: a rúdra mer leges, m2 sebességével megegyez irányú (a papír síkjában) N = ΣriIi = L/3⋅m1⋅ωL/3 + 2L/3⋅5m1⋅2ωL/3 = 7/3 m1L2ω iránya: a forgás síkjára mer leges és jobbrendszer, vagyis itt vízszintesen a papírból kifelé d) a tömegközéppont távolsága a forgástengelyt l d = 5/6 L – L/3 = L/2 M = d⋅F = k⋅cosα⋅(m1+m2)g = L/2⋅cosα⋅6m1g = 3m1Lg cosα (vagy tömegpontonként: M = 2L/3⋅cosα⋅5m1g – L/3⋅cosα⋅m1g = 3m1Lg cosα) e) N = M , tehát N = 3m1Lg cosα f)
r×v 1 1 2L 2L 2 = ⋅r⋅v = ⋅ ⋅ ω = L2 ω 2 2 2 3 3 9
4. F1 + F2 = F = ma
F2 = ma – F1
6
Fizika BK1 zh1 2003. október 13. A *-gal jelölt kérdésekre adandó válaszokat fejb l kell tudni 1. Tegyük fel, hogy egy B bolygó sugara fele akkora, mint a Földé, pályasugara pedig a Föld pályasugarának másfélszerese. Tegyük fel azt is, hogy mind a Föld, mind a B bolygó közelít leg ugyanabban a síkban körpályán kering a Nap körül. Számítsuk ki, milyen legkisebb és legnagyobb látószög (sík- illetve térszög) alatt látszik a Földr l a B bolygó: a) A Föld sugara*: (1 p.) b) A Föld pályasugara*: (1 p.) c) B legkisebb távolsága a Földt l: (1 p.) d) B legnagyobb távolsága a Földt l: (1 p.) e) B látószöge (síkszög) akkor, amikor d távolságban van a Földt l: (3 p.) f) B látószöge (térszög) akkor, amikor d távolságban van a Földt l: (3 p.) g) Hányszorosa B legnagyobb látószöge a legkisebbnek? Az arány síkszögre: (1 p.) térszögre: (2 p.) h) Milyen közelmúltbeli nevezetes csillagászati jelenség van kapcsolatban e feladattal? (3 p.) 2. 30 m magas toronyház tetejér l 5 m/s sebességgel elhajítunk egy követ vízszintesen. a) Vegyen fel egy Descartes-koordinátarendszert (rajz!), és adja meg a helyvektort az id függvényében!(5 p.) b) Adja meg a sebességvektort és annak nagyságát az id függvényében! (4 p.) c) Adja meg a gyorsulásvektort az id függvényében! (2 p.) d) Mikor és hol ér földet a k ? Adja meg az elmozdulásvektort és annak nagyságát! (7 p.) e) Mekkora szöget zár be a sebességvektor a gyorsulásvektorral a becsapódáskor? (4 p.) f) Írja fel képletben, hogy mennyi a hajítás közben megtett út! (2 p.) 3. Egy m tömeg golyóra a földi nehézségi er n kívül egy rugó is hat. A rugó nyugalmi hossza l0, egyik végpontja az r1 pontban van rögzítve, a rugó másik végének helyvektora, ahol a tömegpontnak tekintett golyó van, r. Írjuk fel a golyó mozgásegyenletét! (14 p.) 4. Mi az er ?
(6 p.)
7
Fizika BK1
zh1
2003. október 13. megoldások
1. a) rF ≈ 6400 km b) RF ≈ 150 000 000 km = 1,5⋅108 km c) a B bolygó pályasugara RB = 1,5 RF ≈ 2,25⋅108 km dmin = RB – RF ≈ 7,5⋅107 km d) dmax = 2RF + RB ≈ 3,75⋅108 km e) a B bolygó sugara rB = 0,5 rF ≈ 3200 km B sík-látószöge ϕ = (2rB)/d = 2⋅3200/d ≈ 6400/d f) B tér-látószöge Φ = (rB2π)/d2 = 32002⋅π/d2 ≈ 3,217⋅107/d2 g) síkszögre ϕmax/ϕmin = (2rB/dmin) / (2rB/dmax) = dmax/dmin ≈ 3,75⋅108/7,5⋅107 = 5 térszögre Φmax/Φmin = (rB2π/dmin2) / (rB2π/dmax2) = (dmax/dmin)2 ≈ 25 (ϕmax ≈ 8,53⋅10-5, ϕmin ≈ 1,71⋅10-5 Φmax ≈ 5,72⋅10-9, Φmin ≈ 2,29⋅10-10) e) 2003. augusztusának végén a Mars 55 millió km távolságra volt a Földt l, szabad szemmel is látható volt a délkeleti horizonton. (A Mars utoljára 60 ezer évvel ezel tt volt ilyen közel a Földhöz, legközelebb pedig 284 év múlva lehet majd újra így látni a Vörös Bolygót.) 2. a) a koordinátarendszer z tengelye függ legesen felfelé, x tengelye a kezd sebesség irányába mutat, az origó a toronyház talppontjában van r(t) = (vx0t+x0) i + (–½gt2+vz0t+z0) k , ahol vx0 = 5 m/s, vz0 = 0, x0 = 0, z0 = 30 m, g ≈ 10 m/s2 vagyis r(t) = (5t) i + (–5t2 + 30) k b) v(t) = (vx0) i + (–gt+vz0) k = 5 i – 10t k, v( t ) = 5 2 + (10 t ) 2 c) a(t) = –g k = –10 k d) z(t) = –5t12+30 = 0
t1 = 6 s ≈ 2,45 s, x(t1) = 5t = 5 6 m ≈ 12,25 m, r(t1) = 12,25 i
∆r = r(t1) – r(0) = 12,25 i – 30 k , ∆r = 12,25 2 + 30 2 ≈ 32,4 m e) a = –10 k = konst., függ legesen lefelé mutató vektor becsapódáskor v(t1) = 5 i + (–10 6 ) k ≈ 5 i – 24,5 k , ennek a vízszintessel bezárt szöge arc tg (–24,5/5) = arc tg (–4,9) ≈ –78,5°, a gyorsulással bezárt szöge 90°–78,5° = 11,5° VAGY skalárszorzatból: a ⋅ v(t1) = a ⋅ v(t1) ⋅ cos ϕ cos ϕ = a ⋅ v(t1) / (a ⋅ v(t1)) = (0⋅5+(–10)⋅(–24,5)) /
( − 10 ⋅
)
5 2 + 24,5 2 = 245/250 = 0,98
3. A golyóra hat a nehézségi er és a rugóer : F = G + Frugó, ahol G = m g = – mg k,
(
)
a rugóer nagysága Frugó = – k ∆l = − k l 0 − r1 − r ,
(
)
Frugó = − k l 0 − r1 − r ⋅
r1 − r . r1 − r
(
)
A mozgásegyenlet m r = − mgk − k l 0 − r1 − r ⋅
r1 − r r1 − r
4. Az er másik test (2 p.) hatásának (2 p.) mértéke (2 p.).
8
iránya
r1 − r , tehát r1 − r
Fizika BK1
zh1
2004. okt. 18.
1. A mechanika I. axiómája.
8 p.
2.a) Írjunk fel általánosan érvényes összefüggéseket a t, r, v, s fizikai mennyiségek között! Képletben és szöveggel is! 4 p. b) Írjunk fel olyan összefüggéseket a t, r, v, s között, amelyek valamely speciális esetben érvényesek, és adjuk meg azt is, hogy milyen esetre érvényesek! 6 p. 3.a) Mekkora a Hold távolsága a Földt l? * b) Mekkora er vel hat a Föld a felszín közelében egy m tömeg testre? c) Hogyan függ ez az er a magasságtól? d) Határozzuk meg ezek alapján a Hold gyorsulásának értékét! e) Milyen mozgást végez közelít leg a Hold? Számítsuk ki a gyorsulásból a sebességének nagyságát!
2 p. 2 p. 6 p. 4 p. 4 p.
4. Az r1, r2, r3 pontokban egyforma m tömeg tömegpontok vannak. Írjuk fel az r1 –ben lev testre ható tömegvonzási er vektorát! 10 p. 5. Adjuk meg képletben és ábrázoljuk grafikonon annak a harmonikus rezg mozgásnak a kitérését az id függvényében, amelyiknek amplitúdója A = 0,2 m, frekvenciája 20 Hz, és a t = 0 id ben a pont kitérése 0,1 m, és ekkor az egyensúlyi helyzet (x=0) felé mozog! 14 p.
9
Fizika BK1 zh1
2004. okt. 18. megoldások
1. Inerciarendszerben (2 p.) minden (2 p.) magára hagyott test (2 p.) sebessége állandó (2 p.).
dr : a sebesség a helyvektor id szerinti deriváltja dt ds v = : a sebesség nagysága az út id szerinti deriváltja dt ∆r [ vagy még: v átl = : az átlagsebesség az elmozdulásvektor és az id hányadosa ] ∆t
2. a) v =
b) például: s = v t : állandó nagyságú sebesség esetén a megtett út a sebesség és az id szorzata r = v t : állandó nagyságú és irányú sebesség esetén a helyvektor a sebességvektor és az id szorzata, ha a pont a t=0 id ben az origóból indul (és r = v t + r0 , ha t=0 -ban r0-ból indul) r = ½ a t2 + v0 t + r0 : állandó gyorsulással mozgó pont helyvektora, ha a pont t=0 -ban az r0 pontból indul v0 kezd sebességgel 3.a) d 60 RFöld = 384000 km b) F = mg = 9,81 m/s2 m (kg) [N] c) mg = γ
F=γ d) a Hold
m ⋅ M Föld R Föld
γ ⋅ M Föld = g ⋅ R Föld
2
m ⋅ M Föld
(R Föld + h )2
= m⋅
g ⋅ R Föld
(R Föld + h )2 2
R Föld F = = m R Föld + h
2
R Föld = R Föld + h
R Föld ⋅g ≈ 60R Föld
2
2
⋅ mg
2
⋅ g ≈ 2,7 ⋅10 −3 m / s 2
e) A Hold közelít leg körmozgást végez, azaz aHold = acp és mivel acp = v2 / r
4. F = F1 + F2 = γ
v=
m⋅m r2 − r1
2
a cp ⋅ d = 2,7 ⋅10 −3 ⋅ 3,84 ⋅108
(r2 − r1 ) + γ
m⋅m r3 − r1
2
(r3 − r1 )
5. T = 1 / ν = 1 / 20 = 0,05 s ω = 2πν = 40π ( 125,7 ) s-1 x(t) = A cos (ωt + ϕ0) = 0,2 cos (40πt + ϕ0) x(0) = 0,2 cos ϕ0 = 0,1 cos ϕ0 = 0,5 , ϕ0 = π/3 x(t) = 0,2 cos (40πt + π/3) [m] v(t) = x = –8π sin (40πt + π/3) [m/s]
10
1020 m/s
Fizika K1A zh1
2005. nov. 14.
1. Az alábbi állítások közül melyek azok, - amelyek általános esetben érvényesek; - amelyek soha nem igazak; - amelyek csak egyes speciális esetekben érvényesek (mikor)? <1> A gyorsulás y koordinátája egyenl a sebesség y koordinátájának id szerinti deriváltjával. <2> Polárkoordináta-rendszerben egy adott pontban az er és eϕ egységvektorok által bezárt szög függ a pont helyét l. <3> A gyorsulás id szerinti deriváltja egyenl a helyvektor id szerinti integráljával. <4> Ha két test sebességvektora minden id ben megegyezik, akkor megegyezik a helyvektoruk is. <5> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. <6> Ferde hajításnál a függ leges sebességkomponens állandó. <7> Csak egy inerciarendszer létezik. <8> Ha inerciarendszerben egy test sebessége állandó, akkor nem hathat rá er . <9> Ha az er és a sebesség mer legesek egymásra, a sebesség nagysága nem változik. 2. Írjon fel 3 példát er törvényre! Írja le, melyik mire, mikor érvényes! Az egyikhez írja fel a mozgásegyenletet is! 3. A Szaturnusz átlags r sége a víz s r ségének 70 %-a, közepes sugara a Föld sugarának 9-szerese. (Tekintsük a Szaturnuszt gömbnek.) a) Mekkora a nehézségi gyorsulás értéke a Szaturnusz felszínén az általános tömegvonzásból számolva? ( γ = 6,67 10-11 m3kg-1s-2 ) b) Írjuk fel Kepler III. törvényét! c) Számoljuk ki ebb l a Szaturnusz Nap körüli keringési idejét! A Szaturnusz pályasugara a Földének 9,5szerese (a Szaturnusz pályáját tekintsük körnek). A Szaturnusz 10 óra 40 perc alatt fordul meg tengelye körül. d) Mekkora centrifugális er hatna egy 80 kg tömeg rhajósra a Szaturnusz egyenlít jén? e) Ezt is figyelembe véve hány N er vel nyomná a Szaturnusz "talaját" (ha lenne olyan) a 80 kg tömeg rhajós? 4. Kötél végére er sített m tömeg testet az (x,z) függ leges síkban pörgetünk R sugarú körpályán. Amikor a test lefelé megy és az ábra szerinti helyzetben, a testre ható ered er vízszintes. (A testre csak a kötéler és a nehézségi er hat, a kötél nyújthatatlan, súlytalan.) a) Mekkora ekkor a kötéler ? (Fejezzük ki a nehézségi er nagyságával!) b) Írjuk fel a nehézségi er , a kötéler és az ered er vektorát! c) Írjuk fel a gyorsulás sugárirányú és érint irányú komponensét! d) A centripetális gyorsulásból határozzuk meg a test sebességét! e) Mekkora munkát végez a kötéler a testen, amíg az az alsó pontba ér?
11
Fizika K1A zh1
2005. nov. 14. megoldások
1. (16 pont) <1> A gyorsulás y koordinátája egyenl a sebesség y koordinátájának id szerinti deriváltjával. Igaz; Descartes-koordinátarendszerben ugyanis v(t) = vx(t)i+ vy(t)j+vz(t)k, a = v = v x i + v y j + v z k = a x i + a y j + a z k , azaz a y = v y (2p.) <2> Polárkoordináta-rendszerben egy adott pontban az er és eϕ egységvektorok által bezárt szög függ a pont helyét l. Nem igaz; az er és eϕ egységvektorok által bezárt szög mindig derékszög (2p.) <3> A gyorsulás id szerinti deriváltja egyenl a helyvektor id szerinti integráljával. Nem igaz; a helyvektor deriváltja egyenl a gyorsulás integráljával (megfelel kezdeti feltételekkel) (2p.) <4> Ha két test sebességvektora minden id ben megegyezik, akkor megegyezik a helyvektoruk is. Csak abban a speciális esetben igaz, ha tudjuk, hogy egy id ben megegyezett a helyvektoruk – ekkor igaz, hogy bármely más id ben is megegyezik (megfelel kiindulási feltétel esetén igaz) (2p.) <5> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. Igaz (((feltéve, hogy a közegellenállás elhanyagolható))) (1p.) <6> Ferde hajításnál a függ leges sebességkomponens állandó. Nem igaz (((illetve lehet igaz, ha figyelembe vesszük a közegellenállást, akkor kialakulhat egy stacionárius sebesség))) (1p.) <7> Csak egy inerciarendszer létezik. Nem igaz; egy inerciarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes transzlációt végz vonatkozatási rendszer is inerciarendszer (azaz végtelen sok inerciarendszer létezik) (2p.) <8> Ha inerciarendszerben egy test sebessége állandó, akkor nem hathat rá er . Nem igaz; az er k ered je zérus (2p.) <9> Ha az er és a sebesség mer legesek egymásra, a sebesség nagysága nem változik. Igaz; belátható a munkatételb l: ha F és v mer legesek, akkor W = 0, így ∆Ekin = ∆(½ mv2) = 0, azaz v = konst. (2p.) 2. (10 pont) Az er törvények azt adják meg, hogy mit l, hogyan függ az er egy adott kölcsönhatás esetén. Példák: – Földi nehézségi er tér G = mg = -mgk A Földfelszín közelében lév testekre hat. Iránya függ leges, a Föld középpontja felé mutat; g a gravitációs gyorsulás. – Általános gravitációs er törvény
F=γ
m1 ⋅ m 2 r r r2
Bármely két test között fellép vonzóer . m1, m2 a testek tömege, r az egyik testt l a másik felé mutató vektor, γ univerzális fizikai állandó (gravitációs állandó). – Lineáris rugalmas er törvény Egyik végén rögzített rugó a rugó megnyúlásával arányos er t fejt ki: F = -k ( - 0) a rugó hossza, 0 a rugó hossza megnyújtatlan állapotban, k a rugóállandó. (Rugalmas: az er csak a pillanatnyi kitérést l függ, lineáris: az er arányos a kitéréssel.) – Csúszási súrlódási er F = µN Ha egy test egy szilárd felületen mozog, akkor rá a mozgásiránnyal ellentétes csúszási súrlódási er hat; µ a csúszási súrlódási tényez , N a normáler . – Tapadási súrlódási er Az az er , amelyet a felület fejt ki a (felülethez képest nyugalomban lév ) testre, ha a testet más er mozgásba kívánja hozni. A tapadási súrlódási er maximális értéke Fkr = µt N. – Gördül ellenállás F = µg N Henger, gömb, kerekek gördülésénél fellép fékez er . – Közegellenállási er Folyadékban vagy gázban mozgó szilárd testre ható, a sebességével ellentétes irányú fékez er . Kis sebességnél a sebességgel F = - k v , nagyobb sebességnél a sebesség négyzetével arányos: F = - k v v (er törvényenként 3p.) 12
Mozgásegyenlet: (a II. axiómába behelyettesítjük az aktuális er törvényt, és a gyorsulást a helyvektor második deriváltjaként írjuk fel) pl. mr = − mgk (1p.) 3. (17 pont) a) A Szaturnusz térfogata VSz = 4/3 RSz3 π = 4/3 (9RF)3 π = 4/3 (9 6,4 106)3 π 8 1023 m3, s r sége ρSz = 0,7 kg/dm3 = 700 kg/m3, tömege MSz = ρSz VSz 5,6 1026 kg. (2p.) Mivel a Szaturnusz felszínén mgSz = γ mMSz / RSz2, a Szaturnuszra érvényes g-érték gSz = γ MSz / RSz2 = 6,67 10-11 5,6 1026/(9 6,4 106)2 11,26 m/s2 (3p.) b) A Naprendszer bolygóira: a bolygók keringési idejének (T) négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint pályáik fél-nagytengelyeinek (a) köbei: T2 / a3 = konst. (3p.) c) TSz2/ TF2 = aSz3/ aF3 TSz = (aSz/aF)3/2 TF = 9,53/2 1 év = 29,28 év (=10688 nap) (2p.) d) A Szaturnusz szögsebessége ωSz = 2π / tSz = 2π / (10,66 3600) = 1,636 10-4 s-1, acf = RSz ωSz2 = 9 6,4 106 (1,636 10-4)2 1,554 m/s2 , Fcf = m acf = 80 1,554 123,2 N. (4p.) e) Az általános gravitációs er a Szaturnusz középpontja felé, a centrifugális er azzal ellentétesen (sugárirányban kifelé) hat, az ered er F = m (gSz-acf) = 80 (11,26-1,554) 777,6 N. (3p.) 4. (17 pont) a) cos 60º = mg / Fk
Fk = mg / cos 60º = 2 mg
(3p.)
b) G = - mgk ; az ered er nagysága Fe = mg tg 60º =
3 mg,
vektorként Fe = 3 mg i ; a kötéler
Fk =
3 mg i + mgk (6p.)
c) macp = Fk – mg cos 60º mat = mg sin 60º d) acp = v2/R
acp = 2 g – ½ g = 3/2 g at = g sin 60º =
v = a cp ⋅ R =
3/2 g
(4p.)
3 gR (2p.) 2
e) A kötéler mindig mer leges a sebességre, ezért az általa végzett munka zérus. ( dW = F dr cos 90º = 0 ) (2p.)
13
Fizika K1A
zh2
2005. nov. 28. megoldással
1. Igaz-e, hogy - az út-id görbének lehet vízszintes érint je? Ha igen, mit jelent az? IGEN, ekkor a sebesség zérus - a Földön semmilyen körülmények között nem hathat mg-nél nagyobb nyomóer egy testre? NEM IGAZ, pl. felfelé gyorsuló liftben vagy hullámvasúton a (függ leges kör)pálya aljában nagyobb lesz a nyomóer mg-nél - görbevonalú mozgásnál a sebesség nagysága mindig változik? NEM IGAZ, a sebesség nagysága lehet állandó (az iránya változik, és így a sebességvektor is) - a Földön a nehézségi gyorsulás értéke a sarkokon nagyobb, mint az Egyenlít n? IGAZ, a sarkokon 9,823 m/s2, az Egyenlít n 9,789 m/s2 , egyrészt a Föld lapult alakja, másrészt a centripetális er miatt Minden válaszhoz indoklást is kérünk! (4x2 p.+ 2 p., ha mind jó) 2. Írja le Newton II. axiómáját! Definiálja a benne szerepl mennyiségeket!
(8 p.)
3. Az E épület liftje induláskor 0,5 s alatt gyorsít fel (állandó nagyságú gyorsulással) az 1,5 m/s-os állandó sebességére, fékezéskor ugyancsak 0,5 s alatt fékez le álló helyzetbe. A lift 1. emeletr l megy le a földszintre, ehhez a liftnek 4,5 m-t kell ereszkednie. Ábrázoljuk (megfelel en beskálázott koordinátarendszerekben) az id függvényében - a lift gyorsulását, (4 p.) - a lift sebességét, (4 p.) - a lift által megtett utat! (6 p.) A lifttel levisznek egy 200 kg-os kávéautomatát az 1. emeletr l a földszintre. Ábrázoljuk az automatára ható nyomóer t is az id függvényében! (4 p.) (össz 18 p.) Megoldás: a = ∆v / ∆t = 1,5 / 0,5 = 3 m/s2 az út - a gyorsuló részen: s1(t) = ½ a t2 = 1,5 t2, ∆t1 = 0,5 s-nál az addig megtett út s1v = 0,375 m - a lassuló részen s3(t) = s2v + vt – ½ at2 = s2v +1,5t – 1,5t2, ∆t3 = 0,5 s alatt a lassulva megtett út s3v = s2v + 0,375 [m] - az állandó sebesség részen s2v = 4,5 - 2 0,375 = 3,75 m-t kell megtennie, az ehhez szükséges id ∆t2 = s2v / v = 3,75/1,5 = 2,5 s és itt az út-id függvény s2(t) = s1v + vt = 0,375 + 1,5 t 4. A 8-as úton 108 km/h sebességgel megy egy 8 tonnás kamion, mögötte 18 m-rel szintén 108 km/h sebességgel egy 1 tonnás személyautó. A kamionos meglát egy zet és elkezd fékezni. Az út nedves, a kamion csúszni kezd és µ = 0,9 -es súrlódási együtthatóval fékez dik. Az autó vezet je elbóbiskolt, nem fékez. a) Mennyi id alatt éri utol az autó a kamiont? (4 p.) 14
b) Mekkora ekkor a kamion sebessége? (2 p.) Az autó a kamionnal tökéletesen rugalmatlanul ütközik. c) Mennyi lesz az összetapadt roncs sebessége az ütközés után? (3 p.) d) Mennyi az autó impulzusának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes impulzusának változása? (4 p.) e) Mennyi az autó mozgási energiájának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes mozgási energiájának változása? (5 p.) (össz 18 p.) Megoldás: a) v0 = 108 km/h = 30 m/s, a = -µg = -9 m/s2 xkamion = D + v0t + ½ at2 = 18 + 30t – 4,5t2, xautó = v0t = 30t xkamion = xautó : 18 + 30t – 4,5t2 = 30t t=2s b) vkamion = v0 + at = 30 - 9 2 = 12 m/s c) Ikamion + Iautó = Ironcs : mkamionvkamion + mautóvautó = (mkamion+mautó) vroncs 8000 12 + 1000 30 = 9000 vroncs vroncs = 14 m/s d) ∆Ikamion = mkamion(vroncs–vkamion) = 8000 (14-12) = 16000 kgm/s ∆Iautó = mautó(vroncs–vautó) = 1000 (14-30) = –16000 kgm/s ∆Ikamion + ∆Iautó = 0, ezt használtuk ki a c) részben e) ∆Ekin,autó = ½ mautó(vroncs2–vautó2) = ½ 1000 (142-302) = -352 kJ ∆Ekin,kamion = ½ mkamion(vroncs2–vkamion2) = ½ 8000 (142-122) = 208 kJ ∆Ekin,autó + ∆Ekin,kamion = -144 kJ 5. 56 kg tömeg kötéltáncos súlypontja a kötél felett 1 m magasságban van. Ugyanezen magasságban tartja a kezében lev 6 m-es, 4 kg tömeg merev rudat, melynek mindkét végén lev 2 m-es fonálon 1-1 ólomgolyó függ. Legalább milyen tömeg eknek kell lenniük a golyóknak, hogy a rendszer súlypontja a kötél alá essék? (A rudat középütt fogja, a 2 m távolság a rúdtól a golyó középpontjáig értend .) (6 p.) Megoldás: A rúd tömegközéppontja ugyanott van, ahol a kötéltáncosé, azaz a rúd fölött 1 m-rel van 56+4= 60 kg. A két ólomgolyó tömegközéppontja a kötél alatt 1 m-rel van a kötéltáncos tömegközéppontja alatt. Ahhoz, hogy a teljes rendszer tömegközéppontja a kötél alá essen, a lent lév össztömegnek nagyobbnak kell lenni a fent lév tömegnél, azaz a golyók tömegének nagyobbnak kell lenni 60 kg-nál, vagyis egy golyó tömege legalább 30 kg.
15
Fizika K1A
zh3 2005. december 12.
1. Egy m = 20 g tömeg test állandó er hatására mozog az x-y síkban. A test a t1 = 2 s id ben a P1(10 m, 0 m) pontban van, sebessége a +y tengely irányába mutat és nagysága v1 = 10 m/s. A test a t2 = 6 s id pontban a P2(-6 m, 20 m) pontban van, a sebessége a –x tengely irányába mutat és nagysága v2 = 8 m/s. a) Mekkora az er nagysága? b) Mekkora a test sebessége a t3 = 8 s id pontban, és hol lesz a test akkor? (16 p.) 2. A mechanikai energia megmaradásának tétele. (Mi az, mikor érvényes.)
(8 p.)
3. A 8-as úton 108 km/h sebességgel megy egy 8 tonnás kamion, mögötte 18 m-rel szintén 108 km/h sebességgel egy 1 tonnás személyautó. A kamionos meglát egy zet és elkezd fékezni. Az út nedves, a kamion csúszni kezd és µ = 0,9-es súrlódási együtthatóval fékez dik. Az autó vezet je elbóbiskolt, nem fékez. Az autó 2 s alatt utoléri a kamiont, ami ekkorra már 43,2 km/h sebességre lassult. Az autó a kamionnal tökéletesen rugalmatlanul ütközik. a) Mennyi lesz az összetapadt roncs sebessége az ütközés után? b) Mennyi az autó impulzusának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes impulzusának változása? c) Mennyi az autó mozgási energiájának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes mozgási energiájának változása? (12 p.) 4. Egyik végén (súrlódásmentes) csuklóval felfogott homogén rudat vízszintes helyzetb l (kezd sebesség nélkül) elengedünk. A rúd tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontjára nézve Θ =
1 ML2 . 12
Írjuk fel az impulzusmomentum-tételt a rúdra! Adjuk meg - a szöggyorsulást, - a rúd tömegközéppontjának gyorsulását; - a rúd másik végpontjának gyorsulását a kiindulási pillanatra! Adjuk meg a rúd ω szögsebességét a vízszintessel bezárt ϕ szög függvényében!
(16 p.)
5. Egy test úszik a vízen, ekkor térfogatának az ötöde áll ki a vízb l. Ugyanezen testnek hányadrésze állna ki higanyból? (A higany s r sége 13,6 kg/dm3.) (8 p.)
16
Fizika zh1 / környezetmérnök 2006. nov. 8. megoldásokkal 1. Az alábbi állításokról döntse el, hogy lehet-e igaz! Indokolja! a) A/ Egy tömegpont sebességvektora id ben változik, de ugyanakkor a sebességének nagysága állandó. Igaz lehet, ha a vektor iránya változik. B/ Egy tömegpont sebességének nagysága id ben változik, de ugyanakkor a sebességvektora állandó. Nem lehet igaz. Két vektor akkor egyenl , ha nagyságuk és irányuk megegyezik. b) A/ Egy tömegpont átlagsebessége a [0; 20 s] id intervallumban nem zérus, de a [0; 60 s] id intervallumban zérus. B/ Egy tömegpont átlagsebessége a [0; 60 s] id intervallumban zérus, de a [0; 20 s] id intervallumban nem zérus. A két kérdés ugyanaz. Mivel az átlagsebesség az elmozdulásvektor és az eltelt id hányadosa, igaz lehet az állítás, ha a [20; 60 s] intervallumban a tömegpont visszatér a kiindulópontba, ahol t = 0-ban volt. c)
A/ Tömegpont mozog az x tengely mentén. A sebessége pozitív és a gyorsulása negatív. B/ Tömegpont mozog az x tengely mentén. A sebessége negatív és a gyorsulása pozitív. Bármi lehet igaz. A gyorsulás a sebesség deriváltja, de nincs semmi megkötés arra, hogy ha az egyik pozitív/negatív, milyen kell legyen a másik el jele. (Az viszont itt mindkét esetben igaz, hogy a sebesség abszolút értéke csökken.) 2.A/ a) A Föld sugara mm-ben: 6,37 109 mm b) m = 20 g, a = 6480 km/h2. Adjuk meg a testre ható er nagyságát N-ban! a = 6480 km/h2 = 6480 ⋅
1000 m
(3600 s)
2
= 0,5 m/s2,
F = ma = 0,02 0,5 = 0,01 N
2.B/ a) A Föld keringési ideje percben: 365 24 60 5,26 105 min b) m = 20 g, v = 1,08 km/h. Adjuk meg a test mozgási energiáját J-ban! v = 1,08 km/h = 0,3 m/s, Ekin = ½ mv2 = ½ 0,02 0,32 = 9 10-4 J 3.A/ Mi a kinetikus energia tétele? Mikor érvényes? Definiálja a benne lév mennyiségeket! A test kinetikus energiájának ∆Ekin megváltozása egyenl a testre ható összes er összes W munkájával: ∆Ekin = W. Ekin = ½ mv2, ahol m a test tömege (a test tehetetlenségévnek mértéke), v a test sebessége. Megváltozás: ∆Ekin = Ekin,2 – Ekin,1. r1
Munka: W =
F ⋅ dr (a testre ható er k elmozdulás irányába es komponensének az integrálja)
r1
Teljesen általános érvény , mindenféle testre és tetsz leges er hatásokra érvényes. 3.B/ Mi a mechanikai energia megmaradásának tétele? Mikor érvényes? Definiálja a benne lév mennyiségeket! A mechanikai energia a kinetikus és potenciális energia összege: Emech = Ekin + Epot ahol Ekin = ½ mv2, m a test tömege (a test tehetetlenségévnek mértéke), v a test sebessége, Epot a potenciális (helyzeti) energia. Ez csak konzervatív er térben létezik, azaz ahol csak olyan er k hatnak, melyek tetsz leges zárt görbére vett munkája zérus. Ilyen pl. a földi nehézségi er tér: Epot = mgz, az általános gravitációs er tér: Epot = –γM/R, a lineáris rugalmas er tere: Epot = ½kx2. (A súrlódási, közegellenállási er k nem konzervatív er k.) A mechanikai energia megmaradásának tétele: mozgás közben Emech = konstans. Csak konzervatív er térben érvényes.
17
4. A/ Egy fekete autó 84 km/h sebességr l 120 km/h sebességre gyorsít fel 4 s alatt állandó gyorsulással, egy fehér autó pedig 48 km/h-ról 84 km/h-ra ugyancsak 4 s alatt szintén állandó gyorsulással A: egyenes úton, B: R = 150 m sugarú köríven. 4. B/ Egy fekete autó 90 km/h sebességr l 108 km/h sebességre gyorsít fel 2 s alatt állandó gyorsulással, egy fehér autó pedig 72 km/h-ról 90 km/h-ra ugyancsak 2 s alatt szintén állandó gyorsulással A egyenes úton, B R = 200 m sugarú köríven. A két autó tömege egyenl . Az adatok mások, de mindkét feladatnál ugyanaz jön ki. Igaz-e, hogy a) a fekete autó gyorsulása nagyobb? A: nem B: igen A fekete és a fehér autó gyorsulása megegyezik, mert a sebességváltozás és az id is megegyezik. Egyenes úton tehát nem igaz, hogy a fekete autó gyorsulása nagyobb. Köríven viszont a fenti gyorsulás még csak az érint irányú, tangenciális gyorsuláskomponens (ami a sebesség nagyságának változását okozza). Itt viszont figyelembe kell venni a (sebességvektor irányának változását okozó) centripetális gyorsuláskomponenst is, ami v2-tel arányos, tehát a fekete autónál nagyobb. Az ered gyorsulás a =
a t 2 + a cp 2 , tehát köríven igaz, hogy a fekete autó gyorsulása nagyobb.
b) a fekete autó nagyobb utat tesz meg eközben? A: igen B: igen A megtett út s = v0t + ½at2 . A kezd sebességet, v0-at kivéve minden megegyezik, tehát az az autó, amelyik nagyobb sebességr l indult, nagyobb utat tesz meg, akár egyenesen, akár köríven halad. c) a fekete autó motorja nagyobb munkát végez a gyorsítás közben? A: igen B: igen W = F s = ma s . A tömegek és a gyorsulások megegyeznek, de a fekete autó nagyobb utat tesz meg, tehát igaz, hogy a motorja nagyobb munkát végez. Köríven haladva is ugyanez lesz igaz, mert az er nek csak az elmozdulás irányába es komponense végez munkát, azaz az er nek, ill, a gyorsulásnak csak a tangenciális komponensét kell tekinteni, ami megegyezik. 5.A/ Egy függ legesen feldobott k 2 s múlva már lefelé esik, sebessége 4 m/s. a) Mekkora volt a kezd sebessége? v = v0–gt : fölfelé mutató z tengelyt használva 2 s-nál a sebesség –4 m/s, azaz –4 = v0–10 2 v0 = 16 m/s. b) Mekkora maximális magasságot ért el? h = v02/2g = 162 / 2 10 = 12,8 m. 5.B/ 50 m/s kezd sebességgel függ legesen felfelé hajítunk egy követ. Ugyanakkor egy 50 m magas toronyból szabadeséssel leesik egy másik k . a) Melyik pillanatban vannak azonos magasságban? Fölfelé mutató z tengelyt használva a feldobott k z koordinátája z1 = 50 t – ½gt2 , a lees é z2 = 50 – ½gt2 . z1 = z2 : 50 t – ½gt2 = 50 – ½gt2 t = 1 s. b) Mekkora ekkor az egyik ill. másik sebessége? v = v0–gt: v1 = 50–10 1 = 40 m/s, v2 = –10 1 = 10 m/s. 6. Súrlódásmentes lejt n Fk kötéler vel húzzuk az ábrán látható módon a lejt n lév m tömeg testet. A csoport B csoport
a) Írjuk fel a test mozgásegyenletét vektori alakban!
mr = G + Fny + Fk
b) Írjuk fel a mozgásegyenlet két komponensét az ábrán jelölt x-y koordinátarendszernek megfelel en! max = G sinα – Fk cosα max = – G sinα – Fk cosα may = Fny + Fk sinα – G cosα may = Fny + Fk sinα – G cosα 18
7. A/ A Szaturnusz sugara 9,5-szerese, tömege 95-szöröse a Földének. Számoljuk ki, hányszorosa a Szaturnusz… 7. B/ Az Uránusz sugara 4-szerese, tömege 14,5-szerese a Földének. Számoljuk ki, hányszorosa az Uránusz a) …felszínén mérhet nehézségi gyorsulás értéke a Föld felszínén mérhet nek! (a centrifugális gyorsulást hanyagoljuk el) g=γ
M R
2
,
g bolygó g Föld
γ =
M bolygó 2
M bolygó
R bolygó M Föld = M Föld R bolygó γ 2 R Föld R Föld
, azaz 2
g g Szaurnusz 14,5 95 = ≈ 1,05 ill. Uránusz = 2 ≈ 0,906 2 g Föld g Föld 4 9,5
b) …elhagyásához szükséges második szökési sebesség a Földéhez képest! M bolygó 2 g R v g R M Föld , bolygó bolygó bolygó bolygó v = 2gR , bolygó = = ⋅ = R bolygó v Föld g Föld R Föld 2g Föld R Föld R Föld
azaz
v Szatrurnusz v Uránusz = 10 ≈ 3,16 ill. ≈ 1,905 v Föld v Föld
8. Függ leges síkban körpályán haladó repül gép sebessége 1080 km/h. Mekkora legyen a pálya sugara, hogy a legfels pontban a pilóta A/ …„súlytalan” legyen? Az, hogy súlytalan a pilóta, azt jelenti, hogy a rá ható nyomóer zérus. (Súly: az az er , amivel a test az alátámasztást nyomja, vagy a felfüggesztést húzza.) Földhöz rögzített koordinátarendszerben: a pilótára egyedül a nehézségi er hat, az adja a centripetális er t: mg = m acp , acp = v2/R R = v2/g = 3002 / 10 = 9000 m = 9 km. (1080 km/h = 300 m/s) A repül géphez rögzített koordinátarendszerben (forgó koordinátarendszerben): a pilótára hat a nehézségi er lefelé (a kör közepe felé) és hat a centrifugális er (mint rendszerer ) sugárirányban kifelé (felfelé), és a kett éppen egyenl , hiszen a pilóta a repül gépen belül nem gyorsul: m acf – mg = 0 , acf = v2/R R = … = 9 km B/ …éppen g gyorsulást érezzen sugárirányban kifelé? Ha sugárirányban kifelé (felfelé) g gyorsulást érez, az azt jelenti, hogy azzal ellentétes irányú, vagyis a kör közepe felé (lefelé) mutató Fny = mg nagyságú nyomóer hat rá. (Ez „fejjel lefelé” ugyanaz, mint amikor vízszintes talajon áll valaki, és a Föld közepe felé -vagyis lefelé- rá ható mg nagyságú nehézségi er t felfelé ható nyomóer egyenlíti ki.) Földhöz rögzített koordinátarendszerben: a pilótára hat a nehézségi er és a nyomóer , mindkett lefelé, a kör közepe felé; ezek összege adja a centripetális er t: mg + Fny = m acp , Fny = mg , acp = v2/R R = v2/2g = 3002 / 2 10 = 4500 m = 4,5 km A repül géphez rögzített koordinátarendszerben: a pilótára hat a nehézségi er és a nyomóer lefelé, a kör közepe felé, és hat a centrifugális er sugárirányban kifelé (felfelé). A három er ered je zérus, hiszen a pilóta a repül gépen belül nem gyorsul: m acf – mg – Fny = 0 , Fny = mg , acf = v2/R R = … = 4,5 km
19
Fizika zh2 / környezetmérnök 2006. nov. 22.
A csoport
1. Newton I. és III. axiómája 2. Egy fekete autó egyenes úton, egy fehér autó pedig R = 50 m sugarú köríven 108 km/h sebességr l 126 km/h sebességre gyorsít fel 5 s alatt állandó kerületi gyorsulással. Igaz-e, hogy a) a fehér autó gyorsulása nagyobb? b) a fehér autó motorja nagyobb munkát végez a gyorsítás alatt? A válaszokat indokoljuk! c) Írjuk fel a fehér autó szögsebességét az id függvényében! 3. Egy tömegpont harmonikus rezg mozgást végez az x tengely mentén: x(t) = x* cos (ω t + π) , ahol x* = –2 m, ω = 2π/5 s-1 a) Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] id intervallumban! (Mennyi a T periódusid ? Mekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s-ban?) b) Mennyi a sebesség átlagértéke egy teljes periódusra? c) Mennyi a sebesség nagyságának átlagértéke egy teljes periódusra? 4. 7920 m magasságban állandó, 960 km/h vízszintes sebességgel haladó repül gépr l leesett az egyik ajtó. Szupermen is azon a repül gépen utazott, de éppen aludt. 10 s-ig tartott, amíg felébresztették és elmondták neki, mi történt. Ekkor azonnal (0 s alatt) odaszaladt az ajtó helyén tátongó lyukhoz és … a) … függ legesen lefelé v0 kezd sebességgel elrugaszkodva utánaugrott az ajtónak. Mekkora kezd sebességgel ugrott ki Szupermen, ha 3 s alatt érte utol az ajtót? b) … zérus kezd sebességgel, de különleges képességeit felhasználva állandó nagyságú, függ leges gyorsulással indult az ajtó után (ezen a gyorsulás hozzáadódik a nehézségi er b l ered gyorsulásához). Legalább mekkorának kellett lenni ennek a gyorsulásnak, hogy még a leveg ben elérje az ajtót? A g értékét vegyük 9,9 m/s2-nek. A légellenállást hanyagoljuk el! 5. Félgömbr l lecsúszó testre az ábrán látható helyzetében a bejelölt nehézségi er n és nyomóer n kívül hat egy súrlódási er is. a) Szerkesszük meg a súrlódási er t, ha tudjuk, hogy az adott pontban a test tangenciális gyorsulása zérus! b) Rajzoljunk meg egy akkora súrlódási er t is, hogy az adott pontban a test sebessége csökkenjen! 6. Jancsi és Juliska állnak a jégen egymástól 9 m-re, fogják egy kötél két végét. a) Hol van a tömegközéppontjuk az ket összeköt egyenes mentén, ha Jancsi 50 kg, Juliska 40 kg tömeg ? Jancsi hirtelen elkezdi húzni a kötelet. Egy pillanat alatt felgyorsulva mindketten súrlódásmentesen csúszni kezdenek egymás felé állandó sebességgel. Jancsi sebessége 2 m/s. b) Mennyi Juliska sebessége? c) Milyen távol lesznek egymástól, amikor Jancsi 1 m-t csúszott? Ütközésük tökéletesen rugalmatlan ütközésnek tekinthet (összekapaszkodnak, nem eresztik el egymást). Az ütközésük 0,08 s-ig tartott. d) Mennyi lesz a közös sebességük? e) Mennyi Jancsi impulzusának változása? f) Mekkora er hatott Jancsira, ha feltesszük, hogy ütközéskor a köztük ható er állandó volt? g) Hány ’g’ gyorsulást jelentett ez Juliskának?
20
Fizika zh2 / környezetmérnök 2006. nov. 22.
B csoport
1. Newton II. és IV. axiómája 2. Egy fekete autó egyenes úton, egy fehér autó pedig R = 40 m sugarú köríven 108 km/h sebességr l 126 km/h sebességre gyorsít fel 5 s alatt állandó kerületi gyorsulással. Igaz-e, hogy a) a fehér autó gyorsulása nagyobb? b) a fehér autó motorja nagyobb munkát végez a gyorsítás alatt? A válaszokat indokoljuk! c) Írjuk fel a fehér autó szögsebességét az id függvényében! 3. Egy tömegpont harmonikus rezg mozgást végez az x tengely mentén: x(t) = x* cos (ω t – π/2) , ahol x* = –2,4 m, ω = π/2 s-1 a) Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] id intervallumban! (Mennyi a T periódusid ? Mekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s-ban?) b) Mennyi a sebesség átlagértéke egy teljes periódusra? c) Mennyi a sebesség nagyságának átlagértéke egy teljes periódusra? 4. 7840 m magasságban állandó, 920 km/h vízszintes sebességgel haladó repül gépr l leesett az egyik ajtó. Szupermen is azon a repül gépen utazott, de éppen aludt. 12 s-ig tartott, amíg felébresztették és elmondták neki, mi történt. Ekkor azonnal (0 s alatt) odaszaladt az ajtó helyén tátongó lyukhoz és … a) … függ legesen lefelé v0 kezd sebességgel elrugaszkodva utánaugrott az ajtónak. Mekkora kezd sebességgel ugrott ki Szupermen, ha 4 s alatt érte utol az ajtót? b) … zérus kezd sebességgel, de különleges képességeit felhasználva állandó nagyságú, függ leges gyorsulással indult az ajtó után (ez a gyorsulás hozzáadódik a nehézségi er b l ered gyorsulásához). Legalább mekkorának kellett lenni ennek a gyorsulásnak, hogy még a leveg ben elérje az ajtót? A g értékét vegyük 9,9 m/s2-nek. A légellenállást hanyagoljuk el! 5. Félgömbr l lecsúszó testre az ábrán látható helyzetében a bejelölt nehézségi er n és nyomóer n kívül hat egy súrlódási er is. a) Szerkesszük meg a súrlódási er t, ha tudjuk, hogy az adott pontban a test tangenciális gyorsulása zérus! b) Rajzoljunk meg egy akkora súrlódási er t is, hogy az adott pontban a test sebessége n jön! 6. Jancsi és Juliska állnak a jégen egymástól 12 m-re, fogják egy kötél két végét. a) Hol van a tömegközéppontjuk az ket összeköt egyenes mentén, ha Jancsi 35 kg, Juliska 25 kg tömeg ? Jancsi hirtelen elkezdi húzni a kötelet. Egy pillanat alatt felgyorsulva mindketten súrlódásmentesen csúszni kezdenek egymás felé állandó sebességgel. Jancsi sebessége 1,5 m/s. b) Mennyi Juliska sebessége? c) Milyen távol lesznek egymástól, amikor Jancsi 3 m-t csúszott? Ütközésük tökéletesen rugalmatlan ütközésnek tekinthet (összekapaszkodnak, nem eresztik el egymást). Az ütközésük 0,05 s-ig tartott. d) Mennyi lesz a közös sebességük? e) Mennyi Juliska impulzusának változása? f) Mekkora er hatott Juliskára, ha feltesszük, hogy ütközéskor a köztük ható er állandó volt? g) Hány ’g’ gyorsulást jelentett ez Jancsinak?
21
Fizika zh2 / környezetmérnök 2006. nov. 22. megoldások 1. A/ Newton I. és III. axiómája 1. B/ Newton II. és IV. axiómája 2. Egy fekete autó egyenes úton, egy fehér autó pedig A/ R = 50 m B/ R = 40 m sugarú köríven 108 km/h sebességr l 126 km/h sebességre gyorsít fel 5 s alatt állandó kerületi gyorsulással. Igaz-e, hogy … a) …a fehér autó gyorsulása nagyobb? Igaz, mert a kerületi/tangenciális gyorsulásuk azonos: at = (126–108)/3,6/5 = 1 m/s2; de a fehér autónak a körpálya miatt centripetális gyorsulása is van, így annak gyorsulása
a t 2 + a cp 2 > a t
b) …a fehér autó motorja nagyobb munkát végez a gyorsítás alatt? Nem igaz, mert a munka szempontjából csak az a gyorsulás-komponens számít, amelyik az elmozdulás irányába esik, vagyis a tangenciális gyorsulás, ami a két autóra egyforma. c) Írjuk fel a fehér autó szögsebességét az id függvényében! A/ ω0 = v0 / R = 30/50 = 0,6 s-1 , β = at / R = 1/50 = 0,02 s-2, azaz ω = 0,6 + 0,02 t (s-1) B/ ω0 = v0 / R = 30/40 = 0,75 s-1 , β = at / R = 1/40 = 0,025 s-2, azaz ω = 0,75 + 0,025 t (s-1) 3. Egy tömegpont harmonikus rezg mozgást végez az x tengely mentén: A/ x(t) = x* cos (ω t + π) , ahol x* = –2 m, ω = 2π/5 s-1 B/ x(t) = x* cos (ω t – π/2) , ahol x* = –2,4 m, ω = π/2 s-1 a) Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] id intervallumban! (Mennyi a T periódusid ? Mekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s-ban?) A/ T = 2π / ω = 5 s, A = x * = 2 m, B/ T = 2π / ω = 4 s, A = x * = 2,4 m, x(0) = –2 cos(ω 0+π) = 2 m
x(0) = –2,4 cos(ω 0–π/2) = 0
b) Mennyi a sebesség átlagértéke egy teljes periódusra? Mivel egy teljes periódus alatt a tömegpont visszatér a kiindulási helyzetébe, az elmozdulás zérus, vagyis a sebesség átlagértéke zérus. c) Mennyi a sebesség nagyságának átlagértéke egy teljes periódusra? Egy teljes periódus alatt a tömegpont kétszer megy ki a széls helyzetébe és megy vissza az origóba, azaz a megtett út 4-szerese az amplitúdónak, a sebesség nagyságának átlaga vátl = 4A / T , azaz A/ vátl = 4 2/5 = 1,6 m/s , B/ vátl = 4 2,4/4 = 2,4 m/s . 4. A/ 7920 m B/ 7840 m magasságban állandó, A/ 960 km/h B/ 920 km/h vízszintes sebességgel haladó repül gépr l leesett az egyik ajtó. Szupermen is azon a repül gépen utazott, de éppen aludt. A/ 10 s-ig B/ 12 s-ig tartott, amíg felébresztették és elmondták neki, mi történt. Ekkor azonnal (0 s alatt) odaszaladt az ajtó helyén tátongó lyukhoz és … a) … függ legesen lefelé v0 kezd sebességgel elrugaszkodva utánaugrott az ajtónak. Mekkora kezd sebességgel ugrott ki Szupermen, ha A/ 3 s B/ 4 s alatt érte utol az ajtót? b) … zérus kezd sebességgel, de különleges képességeit felhasználva állandó nagyságú, függ leges gyorsulással indult az ajtó után (ezen a gyorsulás hozzáadódik a nehézségi er b l ered gyorsulásához). Legalább mekkorának kellett lenni ennek a gyorsulásnak, hogy még a leveg ben elérje az ajtót? A g értékét vegyük 9,9 m/s2-nek. A légellenállást hanyagoljuk el! 22
Ha a légellenállást elhanyagolhatjuk, akkor a leesett ajtóra nem hat vízszintes irányú er , megtartja a repül gép sebességével megegyez vízszintes sebességkomponensét, mindig a repül gép alatt lesz. A feladat megoldásához elég a z koordinátát felírni. a) A/ 10+3 s B/ 12+4 s alatt az ajtó s = A/ ½ 9,9 132 = 836,55 m B/ ½ 9,9 162 = 1267,2 m -t zuhant. Szupermen tS = A/ 3 s B/ 4 s alatt v0 kezd sebességr l indulva tesz meg ekkora utat: s = v0 tS + ½ g tS2 v0 = (s – ½ g tS2) / tS A/ 264 m/s B/ 297 m/s.
b) Az ajtó h = A/ 7920 m B/ 7840 m magasságból ta = 2h / g A/ 40 s B/ 39,8 s alatt ér földet. Ennél A/ 10 s B/ 12 s -mal kevesebb id alatt kell Szupermennek földet érnie, ha még a leveg ben el akarja kapni az ajtót. s = ½ (g+a)t2 a = 2s/t2 – g 2 2 A/ 2 7920/(40–10) – 9,9 = 7,7 m/s B/ 2 7840/(39,8–12)2 – 9,9 10,4 m/s2 2 (g értékét a B/ csoportnál 9,8 m/s -re gondoltam, azzal kerek eredmény jött volna ki…) 5. Félgömbr l lecsúszó testre az ábrán látható helyzetében a bejelölt nehézségi er n és nyomóer n kívül hat egy súrlódási er is. a) Szerkesszük meg a súrlódási er t, ha tudjuk, hogy az adott pontban a test tangenciális gyorsulása zérus! érint irányú, nagysága G sinα b) Rajzoljunk meg egy akkora súrlódási er t is, hogy az adott pontban a test sebessége A/ csökkenjen! a hossza legyen nagyobb B/ n jön! a hosszabb legyen kisebb 6. Jancsi és Juliska állnak a jégen egymástól A/ 9 m B/ 12 m-re, fogják egy kötél két végét. a) Hol van a tömegközéppontjuk az ket összeköt egyenes mentén, ha Jancsi A/ 50 kg B/ 35 kg, Juliska A/ 40 kg B/ 25 kg tömeg ? Ha Jancsi az origóban van (xJancsi = 0) és Juliska xJuliska = A/ 9 m B/ 12 m –nél, akkor xs = (0 mJancsi + xJujliska mJuliska ) /( mJancsi + mJuliska) A/ 4 m B/ 5 m a tömegközéppont távolsága Jancsitól. Jancsi hirtelen elkezdi húzni a kötelet. Egy pillanat alatt felgyorsulva mindketten súrlódásmentesen csúszni kezdenek egymás felé állandó sebességgel. Jancsi sebessége A/ 2 m/s B/ 1,5 m/s. b) Mennyi Juliska sebessége? Kezdetben mindketten álltak, vagyis kett jük össz-impulzusa zérus, és mivel súrlódásmentesen csúsznak, a küls er k ered je zérus, kett jük össz-impulzusa zérus is marad: mJancsi vJancsi + mJuliska vJuliska = 0 Juliska sebességének nagysága vJuliska = A/ 2,5 m/s B/ 2,1 m/s c) Milyen távol lesznek egymástól, amikor Jancsi A/ 1 m-t B/ 3 m-t csúszott? Jancsi sJancsi = A/ 1 m-t B/ 3 m-t t = sJancsi / vJancsi A/ 1/2 = 0,5 s B/ 3/1,5 = 2 s alatt tesz meg, ezalatt Juliska sJuliska = t vJuliska A/ 0,5 2,5 = 1,25 m B/ 2 2,1 = 4,2 m-t tesz meg, marad köztük A/ 9 – (1+1,25) = 6,75 m B/ 12 – (3+4,2) = 4,8 m. Ütközésük tökéletesen rugalmatlan ütközésnek tekinthet (összekapaszkodnak, nem eresztik el egymást). Az ütközésük A/ 0,08 s-ig B/ 0,05 s-ig tartott. d) Mennyi lesz a közös sebességük? Mivel az össz-impulzusuk zérus, a közös sebességük zérus. e) Mennyi A/ Jancsi B/ Juliska impulzusának változása? ∆IJ = mJ ∆vJ : A/ ∆IJancsi = 50 2 = 100 kgm/s B/ ∆IJuliska = 25 2,1 = 52,5 kgm/s természetesen nagyságra ugyanakkora Juliska/Jancsi impulzusváltozása is f) Mekkora er hatott A/ Jancsira B/ Juliskára, ha feltesszük, hogy ütközéskor a köztük ható er állandó volt? F = ∆I / ∆t : A/ 100 / 0,08 = 1250 N B/ 52,5 / 0,05 = 1050 N (a Juliskára/Jancsira ható er csak irányában különbözik) g) Hány ’g’ gyorsulást jelentett ez A/ Juliskának B/ Jancsinak? aJ = F / mJ : A/ aJuliska = 1250 / 40 = 31,25 m/s2 , ez 3,1 g B/ aJancsi = 1050 / 35 = 30 m/s2 , ez 3 g
23
Fizika zh3 / környezetmérnök 2006. dec. 13. 1. Írja le szövegben vagy képletben a következ er terek definícióját! a) Stacionárius: b) Konzervatív: 2. Az alábbi állítások közül melyek azok, - amelyek általános esetben érvényesek; - amelyek soha nem igazak; - amelyek csak egyes speciális esetekben érvényesek (mikor)? <1> Ha két test helyvektora minden id ben megegyezik, akkor megegyezik a gyorsulásvektoruk is. <2> Ferde hajításnál a függ leges sebességkomponens állandó. <3> Ha az er és a sebesség vektora egyirányúak, a sebesség iránya nem változik.
3. a) Írjunk fel általánosan érvényes összefüggéseket a t, r, v, s fizikai mennyiségek között! Képletben és szöveggel is! b) Írjunk fel olyan összefüggéseket a t, r, v, s között, amelyek valamely speciális esetben érvényesek, és adjuk meg azt is, hogy milyen esetre érvényesek! 4. Egy m tömeg tömegpont gyorsulása a. A tömegpontra két er hat, az egyik er (F1) ismert. Határozzuk meg képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik er t (F2)!
5. Egy 2 kg tömeg tömegpont 8 m sugarú körpályán mozog. a) Mekkora er hat rá akkor, amikor a sebessége 16 m/s, szöggyorsulása pedig 5 s-2 ? b) Milyen irányú az er ? c) Mekkora a forgatónyomatéka? (Vonatkoztatási pont a kör középpontja legyen!) d) Mekkora és milyen irányú a tömegpont impulzusmomentuma ugyanekkor? 6. Mekkora F er szükséges ahhoz, hogy állandó gyorsulással t = 6 s alatt nyugalmi helyzetb l indulva felhúzzunk egy m = 4 kg tömeg testet egy α = 30 °-os, h = 4,5 m magas lejt n, ha a súrlódási együttható 0,16? 7. Vízszintes, súrlódásmentes síkon egy rugó végére m = 1 kg tömeg golyót rögzítettünk. A rugó másik vége rögzítve van. A rugó 20 cm-re való kihúzásához 5 N er re van szükség. a) A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésid ? b) Mekkora a golyó sebessége a nyugalmi helyzeten való áthaladáskor?
24
Fizika zh3 / környezetmérnök 2006. dec. 13. 1. Írja le szövegben vagy képletben a következ er terek definícióját! a) Homogén: b) Centrális: 2. Az alábbi állítások közül melyek azok, - amelyek általános esetben érvényesek; - amelyek soha nem igazak; - amelyek csak egyes speciális esetekben érvényesek (mikor)? <1> Ha két test sebességvektora minden id ben megegyezik, akkor megegyezik a gyorsulásvektoruk is. <2> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. <3> Ha az er és a sebesség vektora mer legesek egymásra, a sebesség nagysága nem változik.
3. a) Írjunk fel általánosan érvényes összefüggéseket a t, r, v, s fizikai mennyiségek között! Képletben és szöveggel is! b) Írjunk fel olyan összefüggéseket a t, r, v, s között, amelyek valamely speciális esetben érvényesek, és adjuk meg azt is, hogy milyen esetre érvényesek! 4. Egy m tömeg tömegpont gyorsulása a. A tömegpontra két er hat, az egyik er (F1) ismert. Határozzuk meg képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik er t (F2)!
5. Egy 6 kg tömeg tömegpont 5 m sugarú körpályán mozog. a) Mekkora er hat rá akkor, amikor a sebessége 8 m/s, szöggyorsulása pedig 2 s-2 ? b) Milyen irányú az er ? c) Mekkora a forgatónyomatéka? (Vonatkoztatási pont a kör középpontja legyen!) d) Mekkora és milyen irányú a tömegpont impulzusmomentuma ugyanekkor? 6. Mekkora F er szükséges ahhoz, hogy állandó gyorsulással t = 4 s alatt nyugalmi helyzetb l indulva felhúzzunk egy m = 5 kg tömeg testet egy α = 30 °-os, h = 4 m magas lejt n, ha a súrlódási együttható 0,18? 7. Vízszintes, súrlódásmentes síkon egy rugó végére m = 4 g tömeg golyót rögzítettünk. A rugó másik vége rögzítve van. A rugó 25 cm-re való kihúzásához 4 N er re van szükség. a) A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésid ? b) Mekkora a golyó sebessége a nyugalmi helyzeten való áthaladáskor?
25
Fizika K1A vizsgazárthelyi 2007. dec. 21. 1. Newton II. axiómája. Definiálja a benne lév mennyiségeket! 2. Mi a mozgásegyenlet? Mozgásegyenlet tömegpontra, kiterjedt merev testre. Hogyan módosul a mozgásegyenlet neminercia-rendszerekben? 3. Egy x tengely mentén mozgó m = 50 g tömeg (pontszer nek tekinthet ) test helyét az alábbi függvény írja le: x(t) = A cos (ω t – π) , ahol A = 0,72 m, ω = 2π/3 s-1 a) Rajzoljuk meg a test x koordinátáját és a sebességét az id függvényében! A tengelyeken legyenek megfelel egységek. b) Mennyi a sebesség átlagértéke egy teljes periódusra? c) Mennyi a sebesség nagyságának átlagértéke egy teljes periódusra? d) Adjuk meg a testre ható er t az id függvényében! e) Munkatétellel írjuk fel, mekkora munkát végez ez az er az els negyed periódus alatt! f) Mekkora munkát végez ez az er egy teljes periódus alatt? g) Konzervatív-e a fenti er ? 4. Egy α = 30° hajlásszög lejt n lév m = 3 kg tömeg testet F = 25 N nagyságú vízszintes er vel húzunk felfelé (ábra a táblán). A súrlódási együttható µ = 0,12. Mekkora a test gyorsulása? 5. Egy hosszú kötélre m = 20 g tömeg golyót akasztva kúpingát készítünk. A kötél függ legessel bezárt szöge 16°, a periódusid 1,5 s. a) Milyen hosszú a kötél? b) Mennyi lenne a lengésid , ha ugyanezzel a kötéllel és testtel matematikai ingát készítenénk? 6. 180 m magas sziklafal tetejér l eldobunk egy labdát v0 = 3,2 m/s kezd sebességgel A függ legesen felfelé B vízszintesen C függ legesen lefelé. A légellenállás elhanyagolható. Tegyük nagyság szerint növekv sorrendbe az alábbi mennyiségeket: - a földetérésig eltelt id ; - a labda sebessége földetéréskor; - a labda potenciális energiája földetérésekor; - a labda kinetikus energiája földetérésekor; - a labda mechanikai energiája földetérésekor. 7. Egy 6 kg tömeg tömegpont 5 m sugarú körpályán mozog. a) Mekkora er hat rá akkor, amikor a sebessége 8 m/s, szöggyorsulása pedig 2 s-2 ? b) Milyen irányú az er ? c) Mekkora a forgatónyomatéka? (Vonatkoztatási pont a kör középpontja legyen!) d) Mekkora és milyen irányú a tömegpont impulzusmomentuma ugyanekkor? 8. Jancsi és Juliska meglátják egymást a jégpályán. Nagyon megörülnek egymásnak, elkezdenek egymás felé csúszni, majd összeütközés után összekapaszkodnak, nem eresztik el egymást - vagyis ütközésük tökéletesen rugalmatlan ütközésnek tekinthet . Jancsi 50 kg-os, Juliska 40 kg-os. Az ütközés el tt Jancsi sebessége 3 m/s, Juliska sebessége 4 m/s volt. Az ütközésük 0,05 s-ig tartott. a) Mennyi lesz a közös sebességük? b) Mennyi Juliska impulzusának változása? c) Mekkora er hatott Juliskára, ha feltesszük, hogy ütközéskor a köztük ható er állandó volt? d) Hány ’g’ gyorsulást jelentett ez Jancsinak? 9. Egy m1 = 2 kg tömeg test helyvektora r1 = 25 i + 5 j, egy m2 = 3 kg tömeg test helyvektora pedig r2 = –10 i – 5 j. Hol van a két test tömegközéppontja? 26
Fizika K1A zh1 2008. nov. 10. 1. Newton I. axiómája
6 p.
2. Mi az er ?
4 p.
3. Ismertesse az alábbi er törvényeket: Írja le, melyik mire/mikor érvényes, és adja meg a nagyságát és irányát! A) földi nehézségi er B) lineáris rugalmas er C) tapadási súrlódási er 4. Két pontszer test helyvektorát az alábbi függvények írják le: r1(t) = (5t2+2t) i + (2t–7) j r2(t) = (10t2–3) i + (pt) j a) Adjuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a két test találkozzon! b) Mekkora szöget zár be a két test sebességének vektora a találkozáskor?
10 p.
10 p.
5. 6,4 m magasról függ legesen felfelé eldobtunk egy 0,8 kg tömeg követ. 1,2 s múlva a k sebessége 2 m/s felfelé. a) Mekkora volt a k kezd sebessége? b) Milyen magasan van 1,2 s-mal a feldobása után? c) Milyen maximális magasságot ér el? d) Mikor ér földet? e) Mennyi a sebessége földetéréskor? Válaszoljuk meg az a) és a c) kérdéseket arra az esetre is, ha a test sebessége 1,2 s-mal a feldobása után lefelé 2 m/s! 20 p. 6. Kötél végére er sített m tömeg testet az (x,z) függ leges síkban pörgetünk hosszú kötélen. Tekintsük azt a pillanatot, amikor a test lefelé megy és a kötéler éppen vízszintes. Az ered er ekkor 30°-os szöget zár be a kötéler vel. (A testre csak a kötéler és a nehézségi er hat, a kötél nyújthatatlan, súlytalan.) a) Mekkora ekkor a kötéler ? (Fejezzük ki a nehézségi er nagyságával!) b) Írjuk fel a nehézségi er , a kötéler és az ered er vektorát! c) Írjuk fel a gyorsulás sugárirányú és érint irányú komponensét! d) Határozzuk meg ezekb l a test szögsebességét és szöggyorsulását! 10 p.
27
Fizika K1A zh1 2008. nov. 10. 1. Newton II. axiómája
6 p.
2. Mi a tömeg?
4 p.
3. Ismertesse az alábbi er törvényeket: Írja le, melyik mire/mikor érvényes, és adja meg a nagyságát és irányát! A) általános tömegvonzási er B) közegellenállási er C) csúszási súrlódási er
10 p.
4. Két pontszer test helyvektorát az alábbi függvények írják le: r1(t) = (2t2+5t) i + (7t–2) j r2(t) = (–3t2+10) i + (pt) j a) Adjuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a két test találkozzon! b) Mekkora szöget zár be a két test sebességének vektora a találkozáskor?
10 p.
5. 3,75 m magasról függ legesen felfelé eldobtunk egy 0,6 kg tömeg követ. 0,8 s múlva a k sebessége 3 m/s felfelé. a) Mekkora volt a k kezd sebessége? b) Milyen magasan van 0,8 s-mal a feldobása után? c) Milyen maximális magasságot ér el? d) Mikor ér földet? e) Mennyi a sebessége földetéréskor? Válaszoljuk meg az a) és a c) kérdéseket arra az esetre is, ha a test sebessége 0,8 s-mal a feldobása után lefelé 3 m/s! 20 p. 6. Kötél végére er sített m tömeg testet az (x,z) függ leges síkban pörgetünk hosszú kötélen. Tekintsük azt a pillanatot, amikor a test lefelé megy és a kötéler éppen vízszintes. Az ered er ekkor 30°-os szöget zár be a kötéler vel. (A testre csak a kötéler és a nehézségi er hat, a kötél nyújthatatlan, súlytalan.) a) Mekkora ekkor a kötéler ? (Fejezzük ki a nehézségi er nagyságával!) b) Írjuk fel a nehézségi er , a kötéler és az ered er vektorát! c) Írjuk fel a gyorsulás sugárirányú és érint irányú komponensét! d) Határozzuk meg ezekb l a test szögsebességét és szöggyorsulását! 10 p.
28
Fizika K1A zh1 2008. nov. 10. megoldások 1.-2.-3. ld. elméleti jegyzet 4.a) A két test találkozása azt jelenti, hogy a helyvektoruk megegyezik. Az x1(t) = x2(t) feltételb l kiszámolható a találkozás ideje, majd az y1(t) = y2(t) feltételb l a paraméter értéke: A: 5t2+2t = 10t2–3 t = 1 s (ill. -0,6 s) y1(t) = 2t–7, y1(1) = 2 1–7 = –5, y2(t) = pt, y2(1) = p p = –5 B: 2t2+5t = –3t2+10 t = 1 s (ill. -2 s) p=5 y1(t) = 7t–2, y1(1) = 7 1–2 = 5, y2(t) = pt, y2(1) = p b) Az r(t) deriválásával meghatározzuk a sebességvektort mint az id függvényét, majd a találkozás idejét behelyettesítve megkapjuk a sebességvektorokat a találkozás pillanatában, és pl. a skalárszorzatuk alapján kiszámoljuk az általuk bezárt szöget: A: v1(t) = (10t+2) i + 2 j , v2(t) = 20t i – 5 j , v1(1) = 12 i + 2 j , v2(1) = 20 i – 5 j ,
cos α =
12 ⋅ 20 + 2 ⋅ (−5)
12 2 + 2 2 ⋅ 20 2 + 5 2
=
230 = 0,917 , α = 23,5° 12,2 ⋅ 20,6
B: v1(t) = (4t+5) i + 7 j , v2(t) = –6t i + 5 j , v1(1) = 9 i + 7 j , v2(1) = –6 i + 5 j ,
cos α =
9 ⋅ (−6) + 7 ⋅ 5
92 + 7 2 ⋅ 62 + 52
=
− 19 = −0,213 , α = 102,3° 11,4 ⋅ 7,8
5. Vegyük fel a z tengelyt felfelé mutató pozitív iránnyal. Ekkor a sebességek pozitívak, ha felfelé mutatnak, ill. negatívak, ha lefelé, és vz = v0 – gt, z = h + v0 t – ½ g t2 (h a kiindulási magasság) a) v0 = v + gt A: v0 = 2 + 1,2 10 = 14 m/s B: v0 = 3 + 0,8 10 = 11 m/s b) A: z(1,2) = 6,4 + 14 1,2 – ½ 10 1,22 = 16 m B: z(1,2) = 3,75 + 11 0,8 – ½ 10 0,82 = 9,35 m c) a maximális magasság elérésekor v = 0 th = v0/g , amivel hmax = z(th) A: th = 1,4 s, hmax=6,4+14 1,4–½ 10 1,42= 16,2 m B: th = 1,1 s, hmax=3,75+11 1,1–½ 10 1,12= 9,8 m 2 VAGY a h = v0 / 2g képlet felhasználásával is megoldható d) akkor ér földet, amikor z(tf) = 0 A: 6,4 + 14 tf – ½ 10 tf2 = 0 tf = 3,2 s B: 3,75 + 11 tf – ½ 10 tf2 = 0 tf = 2,5 s e) a sebesség földetéréskor v(tf) A: vf = 14 – 10 3,2 = –18 m/s B: vf = 11 – 10 2,5 = –14 m/s Ha a sebesség lefelé mutat, az értéke negatív, vagyis a*) A: v0 = –2 + 1,2 10 = 10 m/s B: v0 = –3 + 0,8 10 = 5 m/s c*) A: th = 1 s, hmax=6,4+10 1–½ 10 12= 11,4 m B: th = 0,5 s, hmax=3,75+5 0,5–½ 10 0,52= 5 m
6. a) a rajz alapján:
Fk = mg / tg 30° =
3 mg
b) G = –mg k , Fk = 3 mg i , Fe = 3 mg i –mg k c) mivel a kötéler mutat a körpálya középpontja felé, ezért Fk = m acp , és a nehézségi er érint irányú, ezért G = m at , vagyis acp =
3 g és at = g .
d) acp = ω2
ω=
at = β
β=
at
a cp =
=
3g
g
29
Fizika K1A zh2 2008. nov. 24. 1. Egy m = 12 dkg tömeg test állandó er hatására mozog az x–y síkban. A test a t1 = 4 s id ben a P1(5 m, –2 m) pontban van, sebessége a –x tengely irányába mutat és nagysága v1 = 9 m/s. A test a t2 = 7 s id pontban a P2(–8,5 m, 2,5 m) pontban van, a sebessége a +y tengely irányába mutat és nagysága v2 = 3 m/s. a) Mekkora az er nagysága? b) Mekkora a test sebessége a t3 = 9 s id pontban, és hol lesz a test akkor? (14 p.) 2. L = 15 m hosszú lejt tetején v0 = 1,2 m/s kezd sebességgel meglökünk egy m = 2 kg tömeg testet. A lejt hajlásszöge α = 18°, a súrlódási együttható µ = 0,22 , g = 9,81 m/s2. Rajzoljuk fel a testre ható er ket! Mekkora munkát végez a súrlódási er , a nyomóer és a gravitációs er a testen a lecsúszás alatt? Mekkora a testen végzett összes munka? Határozzuk meg, mekkora sebességgel ér a test a lejt aljára! (12 p.) 3. L hosszú nyújthatatlan, elhanyagolható tömeg kötél végére m tömeg testet akasztva síkingát hozunk létre. Rajzoljuk fel a tömegre ható er ket, adjuk meg a nagyságukat, írjuk fel a mozgásegyenletet, és vezessük le a periódusid t! (10 p.) 4. Függ legesen fellógatunk egy l0 = 46 cm hosszú, k = 16 N/m rugóállandójú rugót, a végére akasztunk egy m = 0,2 kg tömeg testet, majd meghúzzuk úgy, hogy a test a rugó fels rögzítési pontjától 64 cm-re legyen és ott elengedjük a testet. Mekkora lesz a létrejöv rezgés periódusideje, amplitúdója, és a test maximális sebessége? (10 p.) 5. Hogyan jöhet létre súlytalanság?
(4 p.)
6. Potenciális energia lineáris rugalmas er esetén.
(2 p.)
7. Kinetikai energia tétele. (Definiálja a benne szerepl mennyiségeket! Mikor érvényes?)
(8 p.)
30
Fizika K1A zh2 2008. nov. 24. 1. Egy m = 8 dkg tömeg test állandó er hatására mozog az x–y síkban. A test a t1 = 3 s id ben a P1(–8 m, 3 m) pontban van, sebessége a –y tengely irányába mutat és nagysága v1 = 6 m/s. A test a t2 = 5 s id pontban a P2(–6 m, –3 m) pontban van, a sebessége a +x tengely irányába mutat és nagysága v2 = 2 m/s. a) Mekkora az er nagysága? b) Mekkora a test sebessége a t3 = 8 s id pontban, és hol lesz a test akkor? (14 p.) 2. L = 16 m hosszú lejt tetején v0 = 1,4 m/s kezd sebességgel meglökünk egy m = 2,5 kg tömeg testet. A lejt hajlásszöge α = 16°, a súrlódási együttható µ = 0,2 , g = 9,81 m/s2. Rajzoljuk fel a testre ható er ket! Mekkora munkát végez a súrlódási er , a nyomóer és a gravitációs er a testen a lecsúszás alatt? Mekkora a testen végzett összes munka? Határozzuk meg, mekkora sebességgel ér a test a lejt aljára! (12 p.) 3. L hosszú nyújthatatlan, elhanyagolható tömeg kötél végére m tömeg testet akasztva kúpingát hozunk létre. Rajzoljuk fel a tömegre ható er ket, adjuk meg a nagyságukat, írjuk fel a mozgásegyenletet, és vezessük le a periódusid t! (10 p.) 4. Függ legesen fellógatunk egy l0 = 52 cm hosszú, k = 8 N/m rugóállandójú rugót, a végére akasztunk egy m = 0,13 kg tömeg testet, majd meghúzzuk úgy, hogy a test a rugó fels rögzítési pontjától 75 cm-re legyen és ott elengedjük a testet. Mekkora lesz a létrejöv rezgés periódusideje, amplitúdója, és a test maximális sebessége? (10 p.) 5. Mi a rezonancia jelensége?
(4 p.)
6. Potenciális energia általános tömegvonzási er esetén. 7. Mechanikai energia megmaradási tétele. (Definiálja a benne szerepl mennyiségeket! Mikor érvényes?)
31
(2 p.) (8 p.)
