Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar
Szerz®: Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz®
Témavezet®: Sikolya Eszter, adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi kar Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Budapest, 2010
Tartalomjegyzék 1. Bevezet®
3
2. Egyváltozós függvények
4
2.1. Hozzárendelés megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Egyváltozós valós függvények
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3. Értelmezési tartomány, értékkészlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4. Gra konok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5. Elemi függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3. Dierenciálszámítás
10
3.1. Határérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2. Derivált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3. Geometriai értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.4. Mechanikai értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.5. Közgazdaságtani értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.6. Dierenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.7. Dierenciálási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.8. Példa szorzat és hányados deriválási szabályára közgazdaságtanban . . . . . . .
18
3.9. Példa dierenciálási szabályokra zikában
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.10. Magasabb rend¶ deriváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.11. Magasabb rend¶ deriváltak térgörbéknél . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4. Integrálszámítás
24
4.1. Határozatlan integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.2. Példa határozatlan integrálra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.3. Mechanikai példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.4. Általános integrálási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.5. Határozott integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.6. Határozott integrál tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.7. Példa területszámításra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1
4.8. Ívhossz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.9. Forgástestek köbtartalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.10. Forgástestek palástjának felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.11. Mechanikai és egyéb zikai alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.12. Közgazdaságtani alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5. Összefoglalás
40
6. Irodalomjegyzék
41
2
1. Bevezet® Szakdolgozatom célja bemutatni az egyik leggyakrabban alkalmazott matematikai szakterület, a matematikai analízis néhány alkalmazását. Mivel a téma teljes bemutatására nem lenne elegend® egyetlen szakdolgozat, így csak néhány kiválasztott területet és alkalmazást érintek, legf®képpen a két legalapvet®bb analízisbeli m¶velet, a deriválás és az integrálás el®fordulásait különböz® területeken. Egyéb matematikai ágak közül geometriában, természettudományokon belül zikában, valamint más tudományok közül közgazdaságtanban mutatok be példákat. Ez a három látszólag sokban különböz® tudományágban gyakran el®fordulnak a matematikai analízis tételei, érzékeltetve annak széleskör¶ felhasználhatóságát. El®ször röviden ismertetem a függvényekkel való kapcsolatukat, majd rátérek a dierenciálszámítás és az integrálszámítás néhány alkalmazására. Az analízisbeli tételeket és de níciókat saját jegyzeteim, valamint Obádovics J. Gyula: Matematika, és Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak cím¶ könyvek alapján írtam. A geometriai részeknél saját jegyzeteim mellett Obádovics J. Gyula fentebb említett könyve és Rados Gusztáv: Analízis és geometria cím¶ könyve volt segítségemre. El®bbi szintén hasznosnak bizonyult zikai példák terén néhány más jegyzet mellett. A közgazdaságtani részeknél a Sydsæter-Hammond könyvet, valamint a MIT nyitott kurzusait vettem gyelembe. Az ábrákat saját magam készítettem.
3
2. Egyváltozós függvények 2.1. Hozzárendelés megadása Állandónak azt a mennyiséget nevezzük, amelynek számértéke a vizsgálat során nem változik, változónak pedig azt, amely a vizsgálat közben különböz® értékeket vehet fel. A matematikai analízis a változó mennyiségekkel és a közöttük fennálló összefüggésekkel (függvénykapcsolatokkal) foglalkozik. A változók közötti hozzárendelést különböz® módokon is megadhatjuk: Táblázattal, gra konnal, vagy analitikusan (képlettel). Az analitikus módon megadott függvények közül az y = f (x) alakúakat explicit, a g(x, y) = 0 alakúakat implicit, az y = y(t), x = x(t) egyenletrendszerrel megadottakat paraméteres el®állítású függvényeknek nevezzük. Egy hozzárendelés táblázattal való megadására példa az 1. táblázat, amely a háztartásoknak nyújtott forint fogyasztási hitelek szezonálisan igazított új szerz®déseinek összegét ábrázolja hiteltípus szerinti bontásban 2009 októbere és 2010 februárja között. 1. táblázat. 2009. okt 2009. nov
Hónap Személyi hitel (milliárd Ft)
11,24
1
[3]
2009. dec
2010. jan
2010. feb
9,21
9,60
11,97
9,60
Gra konnal való ábrázolásra tekintsük példának a hasznossági függvényt, melyet a közgazdaságtan számos területén, leggyakrabban a mikroökonómiai fogyasztáselméletben használnak. A hasznossági függvény matematikai eszközökkel igyekszik modellezni a gazdaság egy szerepl®jének bizonyos esetekben a társadalom egészének meghatározott javakhoz kapcsolódó preferenciáit. Egy n változós hasznossági függvény általános alakban így írható fel:
U (x) = (x1 , x2 , ..., xn ) Gra konnal ábrázolva n = 1 esetén: 1 Forrás:
Magyar
Nemzeti
Bank
honlapja
-
mnbfile&resourcename=hu0906_fogyasztasi_HUF
4
http://www.mnb.hu/Resource.aspx?ResourceID=
1. ábra Képlettel való megadásra zikában rengeteg példát találunk, elég csak az egyenletes mozgás v =
s t
összefüggésére gondolni, ahol v jelöli a sebességet, s az utat, t az id®t.
2.2. Egyváltozós valós függvények Azt mondjuk, hogy y az x egyérték¶
függvénye, ha x minden lehetséges értékéhez
y -nak egy egyértelm¶ módon meghatározott értéke tartozik. Az x lehetséges értékei alkotják a függvény értelmezési tartományát, az y értékek pedig az értékkészletét. Az x a függvény argumentuma, vagyis a független változó, az y a függvényérték, vagy függ® változó. A közgazdaságtanban az x-et gyakran nevezik
exogén, y-t endogénváltozónak.
Az y függ® változó és az x független változó közötti függvénykapcsolatot az y = f (x),
y = F (x), y = g(x), y = ϕ(x) stb. vagy y = y(x) egyenlettel adjuk meg. Az x = a adott számértékhez tartozó f (a) függvényérték a függvény helyettesítési értéke az a helyen. A függvény jelölésére az f (x), F (x), g(x), ϕ(x) stb. szimbólumokat használjuk, ahol
x a független változó. Fizikában gyakran el®fordul, hogy az id®t tekintjük változónak, amit legtöbbször
t-vel jelölünk, így a függvény alakja például: f (t), F (t), stb. A periodikus mozgás például szinusz görbével írható le. Geometriai alakzatok megadásánál, transzformációknál el®forduló függvényeknél a változó általában mint koordináta van értelmezve. 5
Közgazdaságtani példa függvényre: Tegyük fel, hogy egy termékfajta x darabjának forintban számított el®állítási költsége
√ C(x) = 50x x + x2 .
Számítsuk ki a költséget, ha az adott termékb®l rendre 9, 16, 25, valamint a darabot állítunk el®. Ha abból indulunk ki, hogy a cégünk a darabot termel, akkor számítsuk ki a termelés 1 darabbal való növelésének költségét. Megoldás: 9 darab termék esetén az el®állítási költséget úgy kapjuk meg, ha a C(x)-et megadó formulában az x helyére 9-et helyettesítünk:
√ C(9) = 50 · 9 9 + ·92 = 50 · 9 · 3 + 81 = 1431. Hasonlóképpen:
√ C(16) = 50 · 16 16 + 162 = 50 · 16 · 4 + 256 = 3456. √ C(25) = 50 · 25 25 + 252 = 50 · 25 · 5 + 625 = 6875. √ C(a) = 50a a + a2 .
a + 1 darab termék esetén az el®állítási költség C(a + 1), tehát a költségnövekmény: √ √ C(a + 1) − C(a) = 50(a + 1) a + 1 + a2 − (50a a + a2 ) √ √ = 50(a + 1) a + 1 + a2 − 50a a − a2 √ √ = 50[(a + 1) a + 1 − a a].
2.3. Értelmezési tartomány, értékkészlet A függvény de niálásakor az értelmezési
tartományt is meg kell adni. Például a ter-
mészetes alapú logaritmusfüggvény (g(x) = ln x) értelmezési tartománya a (0, ∞) intervallum. √ A fenti közgazdaságtani példában a C(x) = 50x x + x2 függvényt a 0, 1, 2, ..., xmax számokon értelmeztük, mivel darabszámról volt szó, és ahol xmax a termékek el®állítható maximális 6
száma, avagy x-et folytonos változónak tekintve a természetes értelmezési tartomány a [0, xmax ] intervallum. Az adott értelmezési tartományon belül az f függvény által felvett f (x) értékek összességét a függvény
értékkészletének nevezzük. Például a természetes alapú logaritmusfügg-
√ vény értékkészlete a valós számok, a példában szerepl® C(x) = 50x x + x2 függvényé pedig a 0, 51, ..., C(xmax ) számok halmaza. A geometriai transzformációs függvények pontokhoz pontokat rendelnek, így ebben az esetben a függvény értékkészlete és értelmezési tartománya felfogható ponthalmazként is.
2.4. Gra konok Az y = f (x) függvényt a Descartes-féle derékszög¶ koordinátarendszerben is ábrázolhatjuk, melynek vízszintes tengelyét x-tengelynek, függ®leges tengelyét y -tengelynek nevezzük. A független változó megfelel® értékéhez meghatározzuk a függ® változó megfelel® értékét és így egy pontot kapunk. Az összes ilyen pont által meghatározott megoldáshalmaz a koordinátarendszerben egy görbét ad, aminek a neve az egyenlet gra konja. Az f függvény gra konja azon (x, f (x)) pontok összessége, ahol x a függvény argumentuma és f (x) a hozzá tartozó függvényérték, x pedig végigfut f teljes értelmezési tartományán. Az egyváltozós függvény egy olyan szabály, amely az értelmezési tartományból rendel számokat az értékkészletbeli számokhoz. Egy függvény az értelmezési tartomány bármely x pontjához nem rendelhet egynél több értéket. Ebb®l következik, hogy az x-tegely bármely pontján átmen® függ®leges egyenes a függvény gra konját legfeljebb egy pontban metszheti. Amikor egy empirikus hozzárendelést függvénnyel próbálunk szemléltetni, mérési egységeket kell választanunk az egyes mennyiségekb®l. Nem mindegy, hogy az id®t órában, vagy percben, a pénzt forintban vagy euróban mérjük. Az emberek különböz® mennyiségek közti kapcsolatról alkotott benyomása könnyen befolyásolható más-más mérési egységekkel. A 2. ábra gra konjai ugyanazt a függvényt ábrázolják, mindkét esetben az id® évben, a fogyasztás milliárd $-ban van megadva.
7
2. ábra Példa gra kon transzformálására: Egy adott évben egy x forintot keres® polgárnak f (x) = x2 jövedelemadót kell zetnie. A kormány az adók leszállítására kétféle terv közül választhat: Az els® szerint a polgárok még az adó kiszámítása el®tt 40 forintot levonhatnak az adóalapjukból. A másik változatban a teljes adózandó jövedelem után kell kiszámítani az adót, majd minden adózó személy 2000 forinttal csökkentheti az adó értékét. A két változatot szeretnénk gra kusan ábrázolni, és meghatározni azt az x∗ jövedelmet, amelyre ezek ugyanazt az adót eredményezik.
3. ábra A T = f (x) = x2 adófüggvényb®l indulunk ki. Az els® változat szerint x az adóalap és 40 a levonás, tehát a csökkentett adóalap x−40, vagyis a be zetend® adó (x−40)2 . A T adófüggvény 8
gra konját 40 egységgel jobbra tolva kapjuk meg a T1 = (x − 40)2 gra konját. A másik esetben az eredeti T függvényt 2000 egységgel kell lefelé tolnunk, így jutunk a T2 = x2 − 800 függvény gra konjához. A keresett x∗ jövedelmet az
(x − 40)2 = x2 − 2000 egyenlet megoldásával kaphatjuk meg, melyb®l kijön, hogy x∗ = 45.
2.5. Elemi függvények Elemi függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek az elemi alapfüggvényekb®l számtani m¶veletekkel és összetett függvények képzése útján el®állíthatók. Az elemi alapfüggvények a következ®k: 1. Hatványfüggvények: y = xn alakú függvények, ahol n valós szám. 2. Exponenciális függvények: y = ax alakú függvények, ahol a pozitív szám. 3. Logaritmusfüggvények: y = loga x alakú függvények, ahol a > 0, de a 6= 1. 4. Trigonometrikus függvények: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x alakú függvények. 5. Ciklometrikus vagy arkuszfüggvények: y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x alakú függvények.
9
3. Dierenciálszámítás 3.1. Határérték Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f (x) függvény határértéke x → a esetén (azaz ha x a-hoz tart) A ∈ R, ha az x-szel a-hoz közelítve, f (x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:
lim f (x) = A,
x→a
ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben |x − a| < δ .
Egyoldali határértékek: Bal oldali határérték: Az a bal oldali környezetében értelmezett y = f (x) függvény bal oldali határértéke x → a− esetén (azaz ha x balról a-hoz tart) A, ha az x-szel balról a-hoz közelítve, f (x) a-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:
lim f (x) = A,
x→a−
ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben −δ < x − a < 0. Jobb oldali határérték: Az a jobb oldali környezetében értelmezett y = f (x) függvény jobb oldali határértéke x → a+ esetén (azaz ha x jobbról a-hoz tart) A, ha az x-szel jobbról a-hoz közelítve, f (x) a-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:
lim f (x) = A,
x→a+
ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben 0 < x − a < δ . Egy függvénynek pontosan akkor létezik a-ban határértéke, ha az ugyanitt vett jobb és bal oldali határértékek léteznek és megegyeznek.
lim f (x) = A ↔ lim− f (x) = A és lim f (x) = A
x→a
x→a+
x→a
10
Kiterjesztett határértékfogalom: Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f (x) függvény határértéke x → a esetén (azaz ha x a-hoz tart) +∞, ha az x-szel a-hoz közelítve, f (x) nagyobb lesz bármely K > 0 számnál. Vagyis:
lim f (x) = +∞,
x→a
ha bármely pozitív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f (x) > K , amennyiben
|x − a| < δ . Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f (x) függvény határértéke x → a esetén (azaz ha x a-hoz tart) −∞, ha az x-szel a-hoz közelítve, f (x) kisebb lesz bármely K < 0 számnál. Vagyis:
lim f (x) = −∞,
x→a
ha bármely negatív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f (x) < K , amennyiben
|x − a| < δ .
Végtelenben vett határérték: Az y = f (x) függvény pozitív végtelenben vett határértéke A, ha minél nagyobb
x-et véve, f (x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f (x) = A,
x→+∞
ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív K szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben x > K . Az y = f (x) függvény negatív végtelenben vett határértéke A, ha minél kisebb x-et véve, f (x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:
lim f (x) = A,
x→−∞
ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan negatív K szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben x < K . 11
Közgazdaságtani példa: Az átlagos x költség a kibocsátás hiperbolikus függvénye, határértéke az x = 0 helyen +∞, +∞-ben pedig 0.
4. ábra
3.2. Derivált Egy y = ax + b egyenlet¶ egyenes meredekségét az a szám méri, amit az egyenes iránytangensének nevezünk. Minél nagyobb az abszolút értéke, annál meredekebb. Ha negatív, akkor az egyenes balról jobbra haladva lefelé esik, ha pozitív szám, akkor n®. Egy tetsz®leges függvény meredekségét úgy de niáljuk, hogy adott pontjában az érint® meredekségét tekintjük. A függvény egy (x0 , f (x0 )) pontbeli meredekségét, f 0 (x0 )-t a függvény x0 -beli deriváltjának nevezzük. Ha veszünk egy másik pontot a függvény görbéjén (x + h, f (x + h)) koordinátákkal, ahol h egy tetsz®legesen kicsi pozitív szám, akkor a két pontot összeköt® szel® meredeksége:
m= amit az f függvény x0 ponthoz tartozó
f (x0 + h) − f (x0 ) , h
különbségi hányadosának nevezünk, és aminek határér-
téke a függvény (x0 , f (x0 )) pontban vett meredeksége, ha h → 0. Ez megadható a következ® képlettel is:
f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h
f 0 (x0 ) = lim
A deriváltat nem csak érint® meredekségeként értelmezhetjük. Egy y = f (x) függvény adott x = x0 pontban az f (x0 ) értéket veszi fel. Ha x0 h-val változik (vagyis x0 + h-ra), 12
értéke f (x0 + h) lesz, a függvényérték megváltozása így f (x0 + h) − f (x0 ). Ha leosztunk h-val, megkapjuk az y átlagos megváltozását:
f (x0 + h) − f (x0 ) h Ez f különbségi hányadosa vagy dierenciahányadosa, melynek határértékét véve h → 0 esetén ismét f deriváltját avagy dierenciálhányadosát kapjuk. Eszerint f 0 (x0 )-t értelmezhetjük az f
x0 pontban vett pillanatnyi megváltozásaként is. Az f 0 (x0 ) f (x0 ) hányadost pedig f x0 -beli arányos megváltozásának nevezzük.
Egyéb jelölések: Ha y x függvénye, akkor a deriváltjára használható a dierenciál jelölés is:
dy = dy/dx dx Például:
dy = 6x + 4. dx A t (=id®) függvényében vett derivált jelölésére legtöbbször az s(t) ˙ jelölést használy = 3x2 + 4x esetén
ják, leginkább zikában. Ugyanitt a mennyiség változását általában ∆t jelöli.
3.3. Geometriai értelmezés
13
5. ábra Tekintsünk egy y = f (x), x0 helyen deriválható függvényt. Húzzuk meg az f (x0 ) és az f (x1 ) pontokon átmen® s szel®t. A szel® iránytangense:
f (x1 ) − f (x0 ) . x1 − x0 Az f (x0 ) ponton keresztül lefektetünk egy olyan ϕ hajlásszög¶ e egyenest, hogy
tg ϕ = f 0 (x). Ekkor a φ szög (e és s közbezárt szöge) tetsz®legesen kicsi ω szögnél kisebb, ha az x1 elég közel van x0 -hoz, vagyis
lim φ = 0,
x1 →x0
ugyanis: Forgassuk el az e egyenest az f (x0 ) pont körül α < ω szöggel pozitív és negatív irányba, e1 , e2 egyenesekbe. φ1 jelölje az (e1 , x), φ2 az (e2 , x) szögeket(azaz e1 és e2 x-tengellyel bezárt szögét).
tg φ2 < f 0 (x0 ) < tg φ1 . Ha x0 és x1 elég közel vannak, a dierenciahányadosra is fennáll az egyenl®tlenség:
tg φ2 <
f (x1 ) − f (x0 ) < tg φ1 . x1 − x0
Tehát az s szel® az f (x0 ) ponttól x tengely menti pozitív irányban (jobbra) az e1 egyenes alatt, negatív irányban (balra) az e2 egyenes felett van, így:
φ < α < ω. Vagyis limx1 →x0 φ = 0 azt jelenti, hogy az e egyenes az s szel® határhelyzete, ha
x1 → x2 . Ezt a határhelyzetet a függvény gra konjának f (x0 )-beli értint®jének nevezzük. Az x0 helyen deriválható y = f (x) függvény gra konjának x0 helyen vett érint®jének iránytangense f 0 (x), azaz tg ϕ = f 0 (x).
14
3.4. Mechanikai értelmezés Tekintsünk egy egyenesvonalú mozgást végz® pontot. A pont által megtett utat jelölje s(t). A t + ∆t id® alatt s(t + ∆t) és a ∆t id® alatt ∆s = s(t + ∆t) − s(t) utat tesz meg. Ekkor felírhatjuk a különbségi hányadost:
s(t + ∆t) − s(t) ∆s = ∆t ∆t A pont v sebessége a t id®pillanatban:
∆s s(t + ∆t) − s(t) = lim = s(t). ˙ ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
v(t) = lim
A ∆t id®közre es® átlagos sebességváltozás határértéke a pillanatnyi sebességváltozás, azaz a gyorsulás. Görbe vonalú mozgás esetén a gyorsulásra vektorként tekintünk, a sebességvektor id® szerinti deriváltjaként:
a=
∆v , ∆t
ahol a a gyorsulásvektor ( sm2 ), v a sebesség ( ms ), t az id® (s). A t pillanatban a gyorsulást tehát így kaphatjuk meg:
v(t + ∆t) − v8t) . ∆t→0 ∆t
a = lim Példa:
A Föld gravitációja közelében, ha a közegellenállás elhanyagolható, a szabadon es® testek egyenletesen gyorsulnak. Ezt az állandót nevezzük gravitációs gyorsulásnak, és g -vel jelöljük. Magyarországon az értéke körülbelül 9, 81 sm2 . Az s = g2 t2 útképlet¶ szabadon es® test sebességét a következ®képpen határozhatjuk meg:
g g s(t + ∆t) = (t + ∆t)2 = (t2 + 2t∆t + ∆t2 ), 2 2 g 2 (t + 2t∆t + ∆t2 ) − g2 t2 s(t + ∆t) − s(t) 2 v = lim = lim = ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t g 2t∆t + δt2 g = lim = lim (2t + ∆t) = gt. 2 ∆t→0 ∆t 2 ∆t→0 Vagyis a szabadon es® test sebessége a t pillanatban v = g · t. 15
3.5. Közgazdaságtani értelmezés Mikrogazdaságtanban T C -vel jelöljük a teljes költséget, T R-rel a teljes bevételt, valamint T π -vel a teljes pro tot, ami el®áll a teljes bevétel és a teljes költség különbségeként (T π = T R − T C ). Ezek deriváltjait határköltségnek (M C ), határbevételnek (M R) és határpro tnak (M π ) nevezzük:
teljes költség változása termelés változása teljes bevétel változása MR = mennyiség változása teljes pro t változása Mπ = mennyiség változása Ha C(x) = x egység el®állításának költsége, akkor a C 0 (x) határköltséget így kaphatjuk meg:
MC =
C(x + h) − C(x) . h→0 h
C 0 (x) = lim
Nagy mennyiség¶ termék esetén h = 1 "elhanyagolhatóan kicsi", 0-ra kerekíthet®. Ebb®l a
C 0 (x) ≈
C(x + 1) − C(x) = C(x + 1) − C(x) 1
közelít® egyenl®tlenséget kapjuk. Példa: Egy vállalat egy termékére vonatkozó költségfüggvénye C(x) = x2 + 5x + 10. Miközben x 10-r®l 10 + h-ra változik, a változás átlagos mértéke:
C(10 + h) − C(10) (10 + h)2 + 5(10 + h) + 10 − (100 + 50 + 10) = = h h 160 + 25h + h2 − 160 25h + h2 = = 25 + h h h Amennyiben h 0-hoz tart, ez az érték 25-höz közelít. Másképpen számolva pedig, C 0 (x) = 2x+5, =
melybe 10-et helyettesítve C 0 (10) = 25. További közgazdasági példa a deriváltra a fogyasztási határhajlandóság, amely megmutatja, hogy mennyivel n® a fogyasztás, ha a jövedelem egységnyivel növekszik: a fogyasztási függvény jövedelem szerinti els® deriváltja. Illetve a munka határtermelékenysége (vagy határterméke), ami azt mutatja meg, hogy mennyivel változik a termelés a munka mennyiségének egy egységgel való növekedésekor, vagyis nem más, mint a termelési függvénynek a munka mennyisége szerinti deriváltja. 16
A közgazdászok derivált helyett gyakran használnak elaszticitást. Ha f (x) 6= 0
x-ben deriválható függvény, akkor f x pontbeli elaszticitása: Elx =
x 0 f (x). f (x)
Az elaszticitást jelölése lehet még Elx y vagy εyx , ha a függvény y = f (x) formában van megadva.
3.6. Dierenciálhatóság A folytonosság a dierenciálhatóság szükséges (de nem elégséges) feltétele, azonban a valóságban gyakran nem tudjuk megmérni vagy megvalósítani a független változó tetsz®legesen kicsi megváltozásait. Bizonyos mennyiségeket csak adott id®közönként határoznak meg, napi, havi, vagy éves adatokról is beszélhetünk, valamint gyakran egy függvényt csak egész értékeiben de niálnak. Ezekben az esetekben a függvényt egy másik, közelít® függvénnyel helyettesíthetjük, amely már dierenciálható. Például a 6. ábrán a munkanélküliek száma látható Budapesten 2000-t®l 2009-ig (ezer f®ben), minden egyes évre2 [4]. A bal oldali gra konon csak az éves értékek vannak bejelölve, a jobb oldalon pedig ezek már egy dierenciálható függvénnyel vannak közelítve.
6. ábra - A munkanélküliek száma Budapesten 2000-2009 (ezer f®)
3.7. Dierenciálási szabályok 1. Konstans függvény deriváltja egyenl® 0-val:
f (x) = A ⇒ f 0 (x) = 0, ahol A ∈ R konstans. 2 Forrás:
Központi Statisztikai Hivatal honlapja -
http://portal.ksh.hu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/
xstadat_eves/tabl6_02_01_02i.html
17
2. Ha y(x) = f (x) + g(x) és z(x) = f (x) − g(x) akkor:
y 0 (x) = [f (x) + g(x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x), z 0 (x) = [f (x) − g(x)]0 = f 0 (x) − g 0 (x). 3. Ha f és g dierenciálható függvények x-ben, akkor y = f · g is dierenciálható x-ben, és
y(x) = f (x) · g(x) ⇒ y 0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x). 4. Az 1.-b®l és a 2.-b®l következik:
y(x) = A + f (x) ⇒ y 0 (x) = f 0 (x), ahol A ∈ R konstans. 5. Az 1.-b®l és a 3.-ból következik:
y(x) = A · f (x) ⇒ y 0 (x) = A · f 0 (x), ahol A ∈ R konstans. 6. Ha f és g dierenciálható függvények x-ben, g(x) 6= 0, akkor y = f /g is dierenciálható
x-ben, és y(x) =
f (x) f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) ⇒ y 0 (x) = , ha g(x) 6= 0. g(x) g(x)2
7. Összetett függvény deriváltja:
y(x) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x). 8. Hatvány deriválási szabálya:
f (x) = xa ⇒ f 0 (x) = a · xa−1 , ahol a ∈ R konstans.
3.8. Példa szorzat és hányados deriválási szabályára közgazdaságtanban Példa szorzat deriválási szabályára: Tegyük fel, hogy egy adott áru egységnyi id® alatt termelt mennyisége és ára is az id® (t) függvénye. Legyen x(t) a t id®pillanatban vett termelt mennyiség/nap ráta, p(t) pedig az áru t id®pillanatbeli ára. 18
Ekkor:
R(t) = p(t) · x(t) a napi bevétel. Ezt lederiválva a következ®t kapjuk:
R˙ = p(t) ˙ · x(t) + p(t) · x(t). ˙ Ez a következ®képpen értelmezhet®: Ha p(t) és x(t) is változik, akkor a bevétel változása két dologból tev®dik össze: Az egyik az ár változása, amely arányos a termelt mennyiséggel:
p(t) ˙ · x(t), a másik pedig a termelt mennyiség változása, ami az árral arányos: p(t) · x(t) ˙ . Ha ezt elosztjuk a napi bevétellel, akkor megkapjuk a jövedelem arányos mértékét: p(t) ˙ · x(t) + p(t) · x(t) ˙ p(t) ˙ x(t) ˙ R˙ = = + . R p(t) · x(t) p(t) x(t) Vagyis a bevétel arányos növekedési mértéke az ár arányos növekedési mértékének és a termelés mennyiségének arányos növekedési mértékének az összege.
Példa hányados deriválási szabályára: Tekintsük a q darab termék el®állításához szükséges T R(q) teljes bevételt. Az átlagbevételt úgy kapjuk, ha ezt elosztjuk q -val: AR(q) = T R(q) . q
A marginális, vagy határbevétel pedig a teljes bevétel deriváltja (M R(q) = T R0 (q)). Ha
vesszük az átlagbevétel megváltozását (deriváltját), a következ® képletet kapjuk: d T R(q) 1 q · T R0 (q) − T R(q) T R(q) 1 0 = (M R(q) − AR(q)) . = T R (q) − = dq q q2 q q q Ebb®l következik, hogy ha a termelt mennyiség pozitív (q > 0), akkor:
M R(q) > AR(q) → AR(q) n®, M R(q) < AR(q) → AR(q) csökken, M R(q) > AR(q) → AR(q) maximális. Hasonlóképpen bevétel helyett költségfüggvénnyel számolva - ahol T C(q) a teljes költség, T C 0 (q) =
M C(q) a határköltség, AC(q) =
T C(q) q
az átlagköltség - a következ® összefüggéseket kapjuk meg:
M C(q) > AC(q) → AC(q) n®, M C(q) < AC(q) → AC(q) csökken, M C(q) > AC(q) → AC(q) minimális. 19
3.9. Példa dierenciálási szabályokra zikában Tekintsük a különböz® közegben található A és B pontokat, valamint a közöttük haladó fénysugarat az alábbi ábrán:
7. ábra - Hullámtörés közeghatáron történ® áthaladásnál A töréspontot (X0 -t), valamint a beesési szöget (αb -t) és a törési szöget (αt -t) szeretnénk meghatározni. A hullám haladási ideje:
τAB = τAX0 + τX0 B = p =
a2 + (X0 − XA )2 + c1
s1 s2 + = c1 c2
p b2 + (XB − X0 )2 , c2
ahol c1 a fény terjedési sebessége az els® közegben és c2 a terjedési sebessége a második közegben. A Fermat-elv3 kimondja, hogy a fénysugár A pontból B pontba mindig olyan úton jut el, amelyen a terjedési id® minimális. Tehát ahol
dτAB = 0. dX0 √2 √2 a +(X0 −XA )2 b +(XB −X0 )2 + összeget. (Megjegyzés: SzélDeriválnunk kell tehát a c1 c2 s®értékekr®l ebben a szakdolgozatban nincs külön fejezet, [2] 643-649. oldalán található b®vebb 3 Arthur
Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London:
Letölthet® verzió:
Edward Arnold, 1909; 43.
http://www.archive.org/details/theoryoptics00schurich
20
oldal -
információ a függvény minimuma és maximuma, illetve a deriválás kapcsolatáról.) Itt kerülnek el® a dierenciálási szabályok. El®ször a 2. szabályt alkalmazzuk: két tagját √ 2 az összeg a +(X0 −XA )2 -t. A c1 itt külön-külön kell deriválnunk, majd összeadnunk. Els®ként tekintsük c1 konstansnak számít, mivel X0 szerint deriválunk, így c11 -et kiemelhetjük az 5. szabály miatt. p a2 + (X0 − XA )2 összetett függvény, így a 7. szabály kerül el®. A küls® függvény a négyzetgyök, amit
1 2
-ik hatványnak is vehetünk, a 8. szabályt gyelembe véve hajtjuk véve a deriválást.
A küls® függvény deriváltja tehát
1 · 2 2
1 . a2 +(X0 −XA )2
A bels® függvényben a2 konstans, az 1.
√
szabály miatt elt¶nik, így (X0 − XA ) -t kell deriválnunk. A négyzetre emelést elvégezve kapjuk, hogy X0 2 − 2X0 XA + XA 2 . Itt XA 2 konstans, a 4. szabály szerint elt¶nik, a 8. szabály szerint
X0 2 deriváltja 2X0 , az 5. szabály értelmében −2X0 XA -ból pedig −2XA lesz. Mindent összevetve azt kapjuk, hogy az összeg els® tagjának deriváltja hasonlóképpen alkalmazva a második tagra
1 c2
1 c1
·
1 2
B +2X0 · 12 · √−2X 2
·√
b +(XB −X0 )2
2X0 −2XA . a2 +(X0 −XA )2
A szabályokat
jön ki. τAB deriváltja tehát:
1 dτAB 1 X 0 − XA XB − X0 − ·p = 0. = ·p dX0 c1 a2 + (X0 − XA )2 c2 b2 + (XB − X0 )2 Ebb®l ha ismerjük v1 -et és v2 -t, akkor meghatározhatjuk X0 -t is. Valamint a két szög szinusza:
X0 − XA XB − X0 sin αb = p , valamint sin αt = p . a2 + (X0 − XA )2 b2 + (XB − X0 )2 Megjegyzés: Ezekb®l a következ® összefüggést is megkapjuk (Snellius-Descartes fénytörési törvénye):
c1 sin αb = = n1,2 , ahol n1,2 a két közeg relatív törésmutatója. sin αt c2
3.10. Magasabb rend¶ deriváltak Az y = f (x) függvény deriváltjának deriváltját második deriváltnak vagy második dierenciálhányadosnak nevezik és f 00 (x)-szel,
d2 y -tel dx2
vagy
d2 f (x) -tel dx2
jelölik. Ezt ismét (vagyis
harmadszorra) deriválva a harmadik deriváltat kapjuk, melynek jelölése f 000 (x), illetve d3 f (x) dx3
. A negyedik deriváltnál a jelölés: f (4) (x),
d4 y dx4
vagy
Az n-edik derivált jelölése tehát: f (n) (x),
dn y dxn
d4 f (x) dx4
vagy
d3 y dx3
vagy
.
dn f (x) . dxn
Az n-et a derivált rendjé-
nek nevezik. A t szerinti második deriváltat legtöbbször s¨-sel szokás jelölni, a t szerinti harmadik ... deriváltat pedig s -sel. 21
3.11. Magasabb rend¶ deriváltak térgörbéknél Tekintsünk egy r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k görbét. (i, j , k az x, y z irányú egységvektorok.) Feltesszük, hogy r kétszer deriválható. A görbe sebességvektora a pálya érint®jének irányába mutat, az érint®vektor tehát a görbe deriváltja: r˙ . Az érint® irányú egységvektor jelölése:
t=
r˙ |r| ˙
Az elmozdulás id® szerinti második deriváltja a gyorsulás: r¨. A gyorsulásvektor felbomlik egy érint® irányú komponensre, amelynek tangenciális gyorsulás a neve, valamint egy mer®leges komponensre, amit centripetális gyorsulásnak nevezünk. A sebesség (r˙ ) és a gyorsulás (r¨) meghatároz egy síkot, amelyet simulósíknak nevezünk. Ennek egységnyi hosszú normálisa (érintési pontban állított mer®legese) a binormális, amely a következ®képpen számítható ki:
b=
r˙ × r¨ |r˙ × r¨|
(Itt × a vektriális szorzatot jelöli: |a × b| = |a||b| sin ϕ, ahol ϕ az a és b vektorok közbezárt szöge.) Az érint® és binormális által meghatározott sík a rekti káló sík. A centripetális gyorsulás irányú vektort f®normális vektornak nevezzük, a következ®képpen számítható ki:
n=
r¨ =b×t |¨ r|
A t, b, n egymásra mer®leges egységektorok, amelyeket kísér® triédernek, vagy kísér® háromélnek szoktak nevezni. De niálhatjuk a görbe görbületét (érint® irányváltozásának sebességét) is a következ®képpen:
g=
|r˙ × r¨| |r| ˙3
Valamint torzióját (simulósík elfordulásának sebességét): ... r˙ · r¨ · r T = |r˙ × r¨|2 22
(Itt · a skaláris szorzatot jelöli: a·b = |a||b| cos ϕ, ahol ϕ az a és b vektorok közbezárt szöge.)
23
4. Integrálszámítás 4.1. Határozatlan integrál Legyen f egy I véges vagy végtelen intervallumból R-be képez® függvény: f : I → R. Ekkor az F : I → R függvényt az f
primitív függvényének nevezzük I -n, ha F dierenciálható
I -n és F 0 (x) = f (x) x ∈ I -re. Egy f függvény összes primitív függvényeinek halmazát f nevezzük. Jelölése:
határozatlan integráljának
Z f (x)dx.
Mivel F 0 = f esetén (F +C)0 is igaz, ahol C ∈ R konstans, így minden integrálható függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak az additív konstansban térnek el egymástól.
4.2. Példa határozatlan integrálra Szeretnénk meghatározni azokat a görbéket, amelyek bármely pontjának vett érint®jének iránytangense megegyezik a pont x-tengelyen felvett értékével. Ha a görbe egyenlete y = f (x), akkor az érint® iránytangense f (x) deriváltja:
m = y 0 = f 0 (x). Amit mi keresünk:
y 0 = x. Meg kell tehát adnunk y -t, itt jön képbe az integrálás m¶velete: Z x2 + C, y = x dx = 2 ahol C konstans. Mivel
x2 2
parabola, így a különböz® értéket felvev® C -k miatt (y -tengely
mentén) felfelé és lefelé eltolt parabolasereget kapunk.
4.3. Mechanikai példa Egy pont az id®vel arányosan növekv® sebességgel egyenesvonalú mozgást végez. Szeretnénk meghatározni egy bizonyos id®közben a pont által megtett út hosszát. 24
Mint korábban megállapítottuk, az útfüggvény (s) id® (t) szerinti deriváltja a mozgás sebessége (v ):
v=
ds . dt
A feladat szerint a sebesség arányosan n® az id®vel: v = k · t. Tehát s-nek t szerinti deriváltja adott, mint t függvénye. Ebb®l következ®en: Z kt2 + C. s = kt dt = 2 Egy t = t1 id®pillanatban megtett út s1 = megtett út s1 =
kt2 2 2
kt1 2 2
+ C , egy t = t2 id®pillanatban
+ C.
Vagyis a t2 − t1 id® alatt megtett út
s2 − s1 =
k 2 (t2 − t1 2 ). 2
4.4. Általános integrálási szabályok 1. Homogenitás:
Z
Z af (x) dx = a
f (x) dx, ahol a ∈ R konstans.
2. Additivitás: Z
Z [f (x) + g(x) − h(x)] dx =
Z f (x) dx +
Z g(x) dx −
h(x) dx.
3. Parciális integrálás: Z Z 0 f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx, ahol f (x) és g(x) dierenciálható függvények. 4. Helyettesítéses integrálás:
Z
Z f (x) dx =
5. Hatvány integrálása: Z
xa dx =
f [g(t)]g 0 (t) dt.
1 xa+1 + C , ha a 6= −1 és a ∈ R. a+1
25
4.5. Határozott integrál Legyen [a, b] egy R-n értelmezett zárt intervallum. Ezen intervallum
felosztásának
nevezzük P -t, ha: P = xi : a = x0 < x1 < ... < xn = b, (n ∈ N), ahol xi jelöli az i-edik osztópontot, [xi−1 , xi ] az i-edik intervallumot, valamint xi − xi−1 az i-edik intevallum hossza, ||P || = max1≤i≤n (xi − xi−1 ) pedig a P felosztás nomsága. Továbbá legyen
f : [a, b] → R kolátos függvény, ti ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1...n) közbens® értékek. Ekkor az f függvény P felosztáshoz és t = (t1 , ..., tn ) közbens® érték rendszerhez tartozó integrálközelít® összeg : n X
s(f, P, t) =
f (ti )(xi − xi−1 ).
i=1
Az f : [a, b] → R korlátos függvény
Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, ha
létezik olyan N ∈ R szám, amelyre bármilyen kicsi ε > 0-hoz létezik δ(ε), hogy
|s(f, P, t) − N | < ε, ha ||P || < δ() minden t = (t1 , ..., tn ) közbens® érték rendszer mellett teljesül. Ezt az N számot az f függvény
[a, b]-n vett Riemann integráljának nevezzük. Jelölése: b
Z
f (x) dx a
Itt a az integrálás alsó, b pedig a fels® határa. Ennél a képletnél már meghatározott az additív konstans, ugyanis:
Z
a
f (x) dx = 0. x=a
Tegyük fel, hogy f : [a, b] → R folytonos az [a, b] intervallumon és F : [a, b] → R az
f egy primitív függvénye [a, b]-n. Ekkor a Newton-Leibniz formula: Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)]ba .
a
26
F (x) =
R
d[F (x)+C] dx
f (x) dx esetén
= f (x), tehát a határozatlan integrál az x változó
függvénye, de a határozott integrál nem függ az x változótól, csupán a b fels® és a alsó határ függvénye. Geometriai jelentése: a határozott integrál az x tengely, a függvénygörbe, valamint az x = a és x = b egyenesek által határolt el®jeles terület.
4.6. Határozott integrál tulajdonságai 1. Homogenitás:
Z
b
Z
b
f (x) dx, ahol A ∈ R konstans.
Af (x) dx = A x=a
x=a
2. Additivitás: Z b Z [f (x) + φ(x) − ϕ(x)] dx = x=a
b
Z
b
Z
b
φ(x) dx −
f (x) dx +
x=a
x=a
ϕ(x) dx x=a
3. A határok felcserélésével az integrál el®jelet vált: Z b Z a f (x) dx = − f (x) dx. x=a
x=b
4. Ha a < c < b, akkor:
Z
b
Z
c
f (x) dx =
Z
b
f (x) dx +
x=a
x=a
f (x) dx. x=c
4.7. Példa területszámításra Szeretnénk meghatározni az
x2 a2
+
y2 b2
= 1 ellipszis T területét.
Írjuk át a görbe egyenletét x = x(t), y = y(t) paraméteres alakra. Vegyük a következ® helyettesítést: y = [f (x)] = y(t), dx = x(t)dt ˙ : Z b Z t2 T = f (x)dx = y(t)x(t)dt. ˙ x=a
t=t1
Az elipszis paraméteres egyenletrendszere x = a cos t, y = b sin t. Elegend® az ellipszis negyed területét kiszámítani:
dx = −a sin t dt, valamint t1 = 27
π és t2 = 0. 2
T = 4
Z
0
Z
0
b sin(−a sin t) dt = −ab t= π2
Z
0
= −ab t= π2
sin2 t dt =
t= π2
0 ab sin 2t abπ 1 − cos 2t dt = − t− = . 2 2 2 4 π 2
Ebb®l pedig:
T = abπ.
4.8. Ívhossz Egy görbe kerületét is meghatározhatjuk a következ® módon: Ha az y = f (x) függvény az [a, b] intervallumon dierenciálható, és f 0 (x) [a, b]-n folytonos, akkor a függvénygörbe L ívhossza az intervallumon: Z b p L= 1 + (y 0 )2 (x) dx. x=a
Illetve az x = x(t), y = y(t) (t ∈ [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe esetén az ívhossz:
Z
t2
p x˙ 2 + y˙ 2 dt.
L= t=t1
Például ki szeretnénk számolni az x2 + y 2 = r2 alakban megadott r sugarú kör kerületét. El®ször fejezzük ki y -t:
y=
√ r 2 − x2 .
Majd deriváljuk az egyenletet:
y0 = − √
x . r 2 − x2
Ebb®l megkapjuk ds-t: r r x2 r2 r ds = 1 + 2 dx = dx = √ dx. 2 2 2 r −x r −x r 2 − x2 Itt is elég egy negyed körívre elvégezni. Legegyszer¶bb azt az ívet választani, ahol
y > 0 és x > 0. Itt a határok: x = 0 és x7r. Így: Z r L r √ = dx. 2 4 r − x2 x=0 28
Vezessük be az x = rt, dx = r dt új változót. Ekkor az új határok t = 0 és t =
r r
=1
lesznek. A negyed körív hossza tehát: Z 1 Z 1 Z 1 r 1 r2 rπ L √ √ √ dt = dt = r dt = r[arcsin t]10 = = . 2 2 2 2 2 4 2 r −r t 1−t 1−t t=0 t=0 t=0 A kör teljes ívhossza ennek négyszerese:
L=4
rπ = 2rπ. 2
4.9. Forgástestek köbtartalma Legyen tn egy r sugarú, m magasságú egyenes körhenger alpkörébe írt n-szög területe, a megfelel® köré írt sokszög területe Tn . A tn terület¶ sokszögre szerkesztett m magasságú egyenes hasáb a henger beírt, a Tn terület¶ sokszögre szerkesztett, szintén m magasságú egyenes hasáb a henger köré írt hasáb. A beírt hasáb köbtartalma Vb = mtn , a köré írt hasáb köbtartalma Vk = mTn . A henger köbtartalma legyen V . Ebben az esetben mtn < V < mTn , de limn→+∞ tn =
r2 π , limn→+∞ Tn = r2 π , így V = mr2 π , tehát azt a jól ismert képletet kaptuk, amely szerint a henger köbtartalma az alapkör területének és a magasságnak szorzata. Ebb®l következik, hogy az y = f (x) görbét x-tengely körüli (360 fokos) forgatással el®állított forgástest köbtartalma x = a és x = b határok között: Z b y 2 (x) dx. V =π x=a
Ha a görbe x = x(t), y = y(t) (t ∈ [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel van megadva, akkor dx = x(t) ˙ dt, ezért:
Z
t2
y 2 (t)x(t) ˙ dt.
V =π t=t1
Tetsz®leges zárt felülettel határolt test köbtartalma is meghatározható egy adott S síkkal párhuzamos és attól x távolságra lév® metszetének T (x) területének segítségével. Ha a két metsz®sík távolsága S -t®l a és b. A testet osszuk fel S -t®l a = x0 < x1 < ... < xi < ... < xn = b távoságra lév® metsz®síkokkal. T (ξi ) alapterület¶ és (xi+1 − xi ) magasságú hengerrel adható meg az i-edik 29
réteg köbtartalma: T (ξi ) az xi < ξi < xi+1 alkalmas megválasztásával. Az egész réteges test köbtartalma:
n−1 X
T (ξi )(xi1 − xi ).
i=0
Ennek határértéke a test köbtartalma: V =
Például számítsuk ki az
x2 a2
+
y2 b2
Rb x=a
T (x) dx.
= 1, x > 0, a, b 6= 0 ellipszisív elforgatásával
keletkezett fél ellipszoid köbtartalmát:
r
x2 , ebb®l: a2 a Z a 2ab2 π x2 x3 2 2 . V =π b 1 − 2 dx = πb x − 2 = a 3a 0 3 0 y=b
1−
4.10. Forgástestek palástjának felszíne Egy y = f (x) (a ≤ x ≤ b) egyenlettel megadott görbe x-tengely körüli elforgatásával keletkezett forgástest felszíne az ábrán látható csonkakúpok palástjainak felszínének összege:
7. ábra Egy csonkakúp palástfelszíne:
2πy(x) + 2πy(x + ∆x p 2 ∆x + ∆y 2 = 2 s ∆y 2 = π[y(x) + y(x + δx)] 1 + δx. ∆x
∆F =
30
Mivel
dF dx
= lim∆x→0
∆F ∆x
= 2πy
p 1 + (y 0 )2 (x) dx, így a teljes test felszínét a követ-
kez®képpen kaphatjuk meg:
Z
b
p y(x) 1 + (y 0 )2 (x) dx.
F = 2π x=a
Ha az x = x(t), y = y(t) paraméteres egyenlettel adtuk meg a görbét, akkor ds = p x˙ 2 + y˙ 2 dt. Ekkor tehát: Z t2 p y(t) x˙ 2 + y˙ 2 dt. F = 2π t=t1
Például az r sugarú gömb felszíne: Forgassuk el az x2 + y 2 = r2 kört az x-tengely körül, így megkapjuk a gömböt. q √ 2 1 + r2x−x2 dx = √r2r−x2 . A határok x1 = −r, x2 = r. Ebb®l y = r2 − x2 , y 0 = √r−x , ds = 2 −x2 Vagyis a felszín: Z F = 2π
r
x=−r
√
r dx r 2 − x2 √ = 2πr r 2 − x2
Z
r
dx = 2πr[x]r−r = 2πr(2r) = 4r2 π.
x=−r
4.11. Mechanikai és egyéb zikai alkalmazások Fizikában, azon belül mechanikában nagyon sok helyen találkohatunk integrállal. Ezek közül néhány példa: 1. Homogén síkrész els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre:
1 Mx = 2
b
Z
y 2 (x) dx,
x=a
illetve y -tengelyre:
Z
b
My =
xy(x) dx. x=a
Homogén lemez súlypontjának koordinátái:
Rb
R 1 b xy(x) dx y 2 (x) dx 2 x=a xs = Rx=a , y = . R s b b y(x) dx y(x) dx x=a x=a
31
Például határozzuk meg az x = a cos t, y = b sin t ellipszis x-tengely feletti fél lapjának a súlypontját. A homogén síkrészre vonatkozó képletek átírhatóak paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbék esetére: Z Z Z 1 t2 2 1 0 2 2 1 b 2 y (x) dx = y (t)x(t) ˙ dt = b sin t(−a sin t) dt = Mx = 2 x=a 2 t=t1 2 t=π 0 Z 1 2 0 1 2 cos3 t 2 2 − ab (1 − cos t) sin t dt = − ab − cos t + = ab2 . 2 2 3 π 3 t=π Az ellipszis félterülete 4.7 Példa területszámításra cím¶ részben kijött eredmény alapján
abπ , 2
így:
ys =
2ab2 3 abπ 2
=
4b és xs = 0 az y -tengelyre való szimmetria miatt. 3π
2. Homogén görbeív els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre: Z b p y(x) 1 + (y 0 )2 (x) dx, Mx = x=a
valamint y -tengelyre:
Z
b
My =
p x 1 + (y 0 )2 (x) dx.
x=a
Az ívsúlypont koordinátái: p p Rb Rb x 1 + (y 0 )2 (x) dx y(x) 1 + y 0 2(x) dx x=a x=a , ys = R b p . xs = R b p 1 + (y 0 )2 (x)dx 1 + (y 0 )2 (x) dx x=a x=a Például határozzuk meg az y = ch x láncgörbe x1 = 0 és x2 = 1 közötti ívének súlypontját. Z b Z 1 Z 1 p p 2 0 2 Mx = y(x) 1 + (y ) (x) dx = ch x 1 + sh x dx = ch2 x dx = x=a
Z
1
= x=0
x=0
ch 2x + 1 1 sh 2x dx = +x 2 2 2 Z
b
My = x=a
1 0
x=0
1 sh 2 sh 2 1 3, 62686 1 = +1−0 = + ≈ + ≈ 1, 4067. 2 2 4 2 4 2
Z p 0 2 x 1 + (y ) (x) dx =
1
x=0
32
Z p 2 x 1 + sh x dx =
1
x=0
x ch x dx =
=
[x sh x]10
Z
1
shx dx = [x sh x − ch x]10 = sh 1 − ch 1 + ch 0 = −e−1 + 1 ≈ 0, 6321.
− x=0
Z
b
p
L=
1+
(y 0 )2 (x)
Z
1
Z p 2 1 + sh x dx =
dx =
x=a
x=0
xs =
1
ch x dx = [sh x]10 = sh 1 ≈ 1, 1752.
0
0, 6321 Mx 1, 4067 My ≈ ≈ 0, 5379 és ys = ≈ ≈ 1, 197. L 1, 1752 L 1, 1752
3. A homogén forgástest els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a forgástengely:
Z
b
xy 2 (x) dx.
Myz = π x=a
A forgástengelyen lév® súlypont y -tengelyt®l vett távolsága:
Rb xs = x2 a2
Például forgassuk el az
+
y2 b2
xy 2 (x) dx
Rx=a b x=a
y 2 (x) dx
.
= 1, x > 0 ellipszisívet az x-tengely körül, majd határozzuk
meg a keletkezett fél ellipszoid súlypontját.
x2 y =b 1− 2 . a 2
2
A határok: x = 0 és x = a, ebb®l:
Z
b
Myz = π
2
2
xy (x) dx = πb x=a
Aa
2 a x2 x4 πb2 a2 2 x x 1 − 2 dx = πb − 2 = . a 2 4a 0 4 x=0
Z
a
4.9 Forgástestek köbtartalma cím¶ részben kijött képlet alapján a fél ellip-
szoid köbtartalma: V =
2ab2 π . 3
Myz = xs = V
πb2 a2 4 2ab2 π 3
33
3 = a. 8
4. Homogén forgásfelület els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a forgástengely:
Z
b
Myz = 2π
xy(x)
p 1 + (y 0 )2 (x) dx.
x=a
A forgástengelyen lév® súlypont y -tengelyt®l vett távolsága: p Rb xy(x) 1 + (y 0 )2 (x) dx xs = Rx=a . p b 0 )2 (x) dx y(x) 1 + (y x=a Például forgassuk el az y =
√
x parabola (0 ≤ x ≤ 2) ívét az x-tengely körül, majd határozzuk
meg a keletkezett forgási paraboloidfelület súlypontját.
p 1 y 0 = √ , ds = 1 + (y 0 )2 dx = 2 x
Z
b
Z p 0 2 xy(x) 1 + (y ) (x) dx = 2π
Myz = 2π
2
√
r 1+
1 dx. 4x
r
1 dx = 2π x x 1+ 4x x=0
x=a
Helyettesítéssel: x +
1 4
3 3
Myz = 2π t= 12
valamint a
r
2
x x+ x=0
1 dx. 4
= t2 , dx = 2t dt.
A határok: x = 0 esetén t =
Z
Z
1 , 2
q x = 2 esetén t = 2 +
1 4
= 23 . Vagyis:
5 3 1 2 t t3 2 2 2 t − − ≈ 4π · 1, 2417, t dt = 4π 4 5 12 1 2
4.10 Forgástestek palástjának felszíne
cím¶ részben kijött képlet
alapján:
Z
2
F = 2π x=0
√
1 x1 + dx = 2π 4x
" 1 3 #2 1 2 2 1 2 dx = 2π ≈ 2π · 2, 1667, x+ x+ 4 3 4 x=0
Z
2
0
így:
xs =
Myz 4π · 1, 2417 2, 4834 ≈ = ≈ 1, 4617. F 2π · 2, 1667 2, 1667
34
5. Folyadékba merített függ®leges lemez egyik oldalára ható nyomóer® kiszámítása: A γ fajsúlyú folyadékba merített függ®leges lemez felszínt®l x távolságra lev® y∆x felületelemére γ xy ∆x elemi nyomóer® hat. A lemez egyik oldalára ható összes P nyomóer® a következ® képlettel számítható ki:
P = lim
n→∞
n X
Z
b
xy dx.
γxi yi ∆xi = γ a
i=1
8. ábra Például tekintsünk egy 3 méter hosszú, 9 méter átmér®j¶, vízszintesen elhelyezett, a feléig vízzel töltött csövet. Szeretnénk meghatározni a víz nyomását a cs® tengelyére mer®leges zárólapokra (a cs® végeit zárják le). Válasszuk a koordinátarendszert a következ® módon:
9. ábra Eszerint a zárólapok egyenlete x2 + y 2 = 9, vagyis y = 35
√
9 − x2 , valamint γ = 1000,
a határok pedig a = 0 és b = 3. Egy zárólapra ható nyomóer®: Z 3 √ i3 1000 1000 h 2 32 2 P1 = 1000 x 9 − x dx = − (9 − x ) · 27 = 9000, = 3 3 0 x=0 a két zárólapra együttesen P = 2 · 9000 = 18000 kilopascal.
4.12. Közgazdaságtani alkalmazások 1. Valutatartalék Ha F (t) jelöli egy ország devizakészletét a t id®pontban és F dierenciálható, az id®egység alatti deviza-változás f (t) = F˙ (t). Ha f (t) > 0, akkor a t id®pontban nettó devizaáramlás történik az országba, ha
f (t) < 0, akkor pedig devizakiáramlás. A devizakészletekben [t0 , t1 ] id®intervallumban történt változás a következ®képpen is megadható:
Z
t1
F (t1 ) − F (t0 ) =
f (t) dt. t=t0
Tekintsük az alábbi példát:
10. ábra Az ábrán a t0 és t0 pontok között nettó devizabeáramlás, t0 és t00 között, nettó devizakiáramlás történik.
2. Jövedelemeloszlás Jelölje F (r) azoknak a személyeknek az arányát, akik legfeljebb r dollárnyi jövedelemmel rendelkeznek. Vagyis n f®s népesség esetén n · F (r) az r dollárnyi jövedelm¶ek száma. 36
Legyen r0 a legalacsonyabb és r1 a legmagasabb jövedelem. Ekkor az F függvényt szeretnénk meghatározni az [r0 , r1 ] intervallumban. F itt a meghatározás alapján nem feltétlenül dierenciálható, illetve folytonos. Viszont megfelel®en nagy közösség esetén található egy olyan folytonosan deriválható F , ami jó becslést ad a jövedelemeloszlásra. Legyen tehát F deriváltja
f , vagyis: f (r) = F 0 (r) minden r ∈ (r0 , r1 ) esetén. A derivált de níciója szerint f (r)∆r ≈ F (r + ∆r) − F (r) bármely kicsi ∆r esetén, tehát f (r)∆r körülbelül azon egyének aránya, akiknek r és r + ∆r közötti a jövedelmük.
f -et jövedelems¶r¶ségfüggvénynek, F -et pedig a hozzá tartozó eloszlásfüggvénynek nevezzük. Feltesszük, hogy f egy adott népesség folytonos jövedelemeloszlási függvénye, amelyRb nek értékkészlete az [r0 , r1 ] intervallum. r0 ≤ a ≤ b ≤ r1 esetén r=a f (r) dr azon személyek Rb aránya, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik. Következésképpen n r=a f (r) dr pedig azon személyek száma, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik. Szeretnénk azoknak a személyeknek az összjövedelmét meghatározni, akik a és b közötti keresettel rendelkeznek. Jelölje M (r) azoknak az összjövedelmét, akik legfeljebb r dollárt keresnek. Tekintsük az [r, r + ∆r] intervallumot, amelybe körülbelül nf (r)∆r egyén jövedelme esik bele és ez a jövedelem ≈ r, így az összjövedelmük M (r + ∆r) − M (r) ≈ nrf (r)∆r. Vagyis:
M (r + ∆r) − M (r) ≈ nrf (r). ∆r Rb Ha ∆r → 0, akkor M 0 (r) = nrf (r). Így n r=a rf (r) dr = M (b) − M (a), vagyis n
Rb r=a
rf (r) dr azoknak a személyeknek az összjövedelme, akiknek az egyéni jövedelmük [a, b]
intervallumba esik. Az összjövedelem és az [a, b] jövedelemintervallumba tartozó személyek közötti arány ezen személyek átlagjövedelme (m). Vagyis: Rb
m = Rr=a b
rf (r) dr
r=a
.
f (r) dr
A valódi jövedelemeloszlást jól közelíti például a Pareto-eloszlás. A legfeljebb r dollár jövedelm¶ személyek aránya itt:
f (r) = Br−β , 37
ahol B és β konstans és β empirikus becslése 2, 4 < β < 2, 6. Ha r 0-hoz közeli, akkor ez nem Rb értelmes β ≥ 1-re, mert r=a f (r) dr → ∞ ha r → 0.
3. Jövedelemelosztás befolyásolása Feltesszük, hogy egy társadalom tagjainak egy olyan árut árulnak, aminek a kereslete csak a p ártól és az egyén r jövedelmét®l függ. p ár esetén D(p, r) az r jövedelm¶ egyén folytonos keresleti függvénye, valamint a ≤ r ≤ b, a jövedelemelosztás f (r). Ebben az esetben szeretnénk meghatározni a p áron kínált áru összkeresletét. Legyen T (r) azoknak az összes kereslete, akik legfeljebb r jövedelemmel rendelkeznek. Az [r, r + ∆r] intervallumba körülbelül nf (r)∆r egyén jövedelme esik, akiknek jövedelme nagyjából D(p, r), ezért összkeresletük ≈ nD(p, r)f (r)∆r. Ez viszont T (r + ∆r) − t(r). Vagyis mivel T (r + ∆r) − T (r) ≈ nD(p, r)f (r)∆r, így
T (r + ∆r) − T (r) ≈ nD(p, r)f (r). ∆r Ha ∆r → 0, akkor T 0 (r) = nD(p, r)f (r). A határozott integrál de níciójából:
Z
b
T (b) − T (a) = n
D(p, r)f (r) dr. r=a
T (b) − T (a) a népesség ezen áru iránti (p-t®l függ®) összkereslete. x(p)-vel jelölve tehát a teljes kereslet:
Z
b
nD(p, r)f (r)dr.
x(p) = r=a
4. Folyamatos jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke Tekintsük a bevételt folyamatosnak a t = 0 id®pont és a t = T id®pont között. t-ben
f (t) dollár/év sebességgel. A kamatot r kamatláb mellett folyamatosan t®késítjük. Legyen P (t) a [0, t] id®intervallumban történ® ki zetések össz-jelenértéke, vagyis P (T ) pénzmennyiséget kell befektetnünk t = 0-ban, hogy az f (t) jövedelemáram folyamatos befektetését fedezze a [0, T ] intervallumban. Tetsz®leges dt szám esetén a [t, t + dt] intervallumban befolyt pénz jelenértéke
P (t + dt) − P (t). Elég kicsi dt-nél ennek a pénznek a jelenértéke nagyjából f (t) dt, diszkontált 38
jelenértéke (P DV - angolul Present Discounted Value) pedig körülbelül f (t)e−rt dt. Tehát
P (t + dt) − P (t) ≈ f (t)e−rt dt, illetve P (t + dt) − P (t) ≈ f (t)−rt . dt Ha dt → 0, akkor P 0 (t) = f (t)e−rt . A határozott integrál de níciójából:
Z
T
P (T ) − P (0) =
f (t)e−rt dt.
t=0
Viszont P (0) = 0, így a [0, T ] intervallumbeli, f (t) dollár/év sebesség¶, folyamatos jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke t = 0 id®pontban rögzített r kamatlábú folyamatos kamatt®késítés mellett:
T
Z
f (t)e−rt dt.
P DV = t=0
Ez az egyenlet a [0, T ] id®intervallumbeli f (t) jövedelemáram értékét adja meg t = 0RT ban. t = T -ben a kamat r kamatláb folyamatos t®késítése mellett erT t=0 f (t)e−rt dt. Az erT RT konstans, így bevihetjük az integrálba: t=0 f (t)er(T −t) dt. Ezt nevezzük a jövedelemáramlás diszkontált jöv®értékének (F DV - angolul Future Discounted Value). Vagyis:
Z
T
f (t)er(T −t) dt.
F DV = t=0
Az [s, T ] id®intervallumban eszközölt folyamatos jövedelemáramlás diszkontált értéke (DV - angolul Discounted Value) t = s id®pontban, rögzített r kamatláb esetén, folyamatos kamatt®késítés mellett:
Z
T
DV =
f (t)e−r(t−s) dt.
t=s
Például határozuk meg az 5 éven keresztül évi 2000 dollár jövedelem P DV -jét és F DV -jét évente t®késített r = 5% = 0.05 kamat mellett: −0.05t 5 Z 5 e 2000 −0.05t P DV = 2000e dt = 2000 − = (1 − e−0.25 ) ≈ 8847.97 0.05 0.05 t=0 0
F DV = e0.05·5 P DV ≈ e0.25 · 8847.97 ≈ 11361.02
39
5. Összefoglalás Szakdolgozatom néhány példát mutatott az analízis más tudományágakban való felhasználására, ugyanakkor érdemes megjegyezni, hogy ez csak egy kis szelete volt az ismert alkalmazásoknak. Analízissel kapcsolatban fontos még szót ejteni a függvények maximumés minimumhelyeinek vizsgálatáról, a deriválás és integrálás legtöbb természettudományi és mérnöki eljárásban való el®fordulásáról, valamint a parciális dierenciálegyenletekr®l. Egy kis ízelít®t láthattunk vektoranalízisb®l is, ami a geometria és az analízis kapcsolatáról tanúskodik, valamint zikából, ahol mechanikán, h®tanon és a szakdolgozatban említett más témákon kívül még rengeteg helyen el®fordulnak analízisbeli tételek alkalmazásai a természeti jelenségek leírásában. A gazdasági felhasználások pedig rámutatnak, hogy gyakorlati haszna is lehet ezen tudásnak, akár mindennapjainkban is segíthet döntések meghozatalában.
40
6. Irodalomjegyzék [1] Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, 1909 - Letölthet® verzió: http://www.archive.org/details/theoryoptics00schurich [2] Központi Statisztikai Hivatal honlapja http://portal.ksh.hu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/
xstadat_eves/tabl6_02_01_02i.html
[3] Magyar Nemzeti Bank honlapja http://www.mnb.hu/Resource.aspx?ResourceID=mnbfile&resourcenam
hu0906_fogyasztasi_HUF [4] MIT Open Courses - Course 14.01 - Principles of Microeconomics Fall 2007 - Lecture 3
http://ocw.mit.edu/courses/ [5] Obádovics J. Gyula: Matematika, Kilencedik kiadás, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [6] Dr. Rados Gusztáv: Analizis és geometria, Franklin-társulat, Budapest, 1919 [7] Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó Kft., 1998 [8] Tóth András Kísérleti Fizika jegyzete 2007, Budapesti M¶szaki Egyetem - "Hullámok visszaver®dése és törése" http://mono.eik.bme.hu/~vanko/labor/kisfiz/tananyag.htm
41
Köszönetnyilvánítás Köszönöm Sikolya Eszternek, hogy még az utolsó pillanatokban is id®t szánt rám és hasznos tanácsokkal látott el dolgozatomat illet®en. Továbbá köszönöm mindenkinek, hogy türelemmel és megértéssel voltak, amíg én a szakdolgozatomat írtam.
42
