Az analízis alkalmazásai az érrendszer vizsgálatában

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

Az analízis alkalmazásai az érrendszer vizsgálatában Szakdolgozat

Készítette:

Témavezet®:

Valkó Éva

Pfeil Tamás

matematika szakos

adjunktus

hallgató

Budapest 2010

Tartalomjegyzék

Bevezetés

3

1. Biológiai bevezetés

4

1.1. Az érrendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Az erek falának szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. A vér összetev®i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2. Hidrodinamika

9

3. Vörösvértest-süllyedés

12

4. Folyadék áramlása szilárd falú cs®ben

15

4.1. Alkalmazás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5. Folyadék áramlása rugalmas falú cs®ben

22

6. Az érhálózat optimális alakja

26

6.1. A teljes ellenállás, mint költségfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2. Az ér fenntartásához szükséges energia, mint költségfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.3. Az egységnyi id® alatti teljes energiaveszteség, mint költségfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Köszönetnyilvánítás

54

Irodalomjegyzék

55

Bevezetés

Szakdolgozatom témája az emberi érrendszer vizsgálata. El®ször a vér és az erek biológiai tulajdonságaival foglalkozom, bemutatom a vér összetev®it, az érrendszer felépítését és az erek szerkezetét. A következ® fejezetben a legszükségesebb zikai alapfogalmak bevezetése után összenyomhatatlan, viszkózus folyadékok sajátosságait és az áramlásukat leíró egyenleteket ismertetem. A harmadik fejezetben a Stokes-törvény segítségével vizsgálom a süllyed® vörösvértest sebességét, majd megindoklom, hogy betegség esetén miért n® annak értéke. Utána a szilárd falú cs®beli stacionárius áramlásra vonatkozó Poiseuilletörvénnyel ismertetem meg az Olvasót, a következ® fejezetben pedig ennek segítségével a rugalmas falú cs®beli áramlás tulajdonságait vizsgálom. Ezen ismeretek felhasználásával az utolsó fejezetben széls®érték-számítás segítségével meghatározom az érleágazások optimális alakját különböz® költségfüggvények mellett. Végül megkeresem a két szervet is tápláló, kettéágazó ér összetett költségfüggvényre vonatkozóan optimális elágazási pontját.

3

1. fejezet Biológiai bevezetés

1.1. Az érrendszer

Az él®lényekben a bels® környezet, a szervezet állandóságának fenntartása a lét feltétele. Az érrendszer (vér- és nyirokérrendszer) els®sorban a szervezet anyagcseréjét szolgálja: az élet fenntartásához szükséges tápláló anyagokat és az oxigént szállítja az emészt®- és a légz®szervekb®l a szervezet sejtjeihez, valamint a sejtek anyagcseretermékeit továbbítja a különböz® szervekbe, ahol a méregtelenítés vagy kiválasztás végbemegy. E f® funkciója mellett az érrendszer szerepe jelent®s a kémiai (humoralis) szabályozásban is. A bels® elválasztású mirigyek hormonjai az érrendszer közvetítésével jutnak el tevékenységük színhelyére. Fontos szerepe van a h®szabályozásban, valamint a szervezet ellenállóképességét biztosító rendszer (reticuloendothelialis systema) részeként a szervezet védekezésében is a baktériumok, vírusok és toxikus anyagok ellen. A szervezet csaknem valamennyi szövetét, szervét két érrendszer (systema vasorum) hálózza be, éspedig a vérérrendszer (systema vasorum sanguinis) és a nyirokérrendszer (systema lymphaticum). A két érrendszerben a test folyadékai, a vér (sanguis), ill. a nyirok (lympha) keringenek. A vér az érrendszerben teljes körben, a szívt®l kiindulva (centrifugálisan), ill. a szervekb®l a szív felé (centripetálisan) áramlik. A nyirokérrendszerben a nyirok áramlása viszont csak centripetális. A nyirokérrendszer ilyenformán a vénarendszer függeléke.

4

1. FEJEZET. BIOLÓGIAI BEVEZETÉS

5

A vérérrendszer központi szerve a szív (cor), a vér áramlását biztosító izmos falú szerv. Periférikus részei a vérerek (vasa sanguinea). A vér a szívb®l indul ki, és zárt pályán keringve tér ismét vissza a szívbe, ezáltal vérkört (circulus sanguinis) hoz létre. Az állandó h®mérséklet¶ állatokban és az emberben két vérkört, a nagyvérkört (circulus sanguinis major) és a kisvérkört (circulus sanguinis minor) különböztetjük meg.

• A nagyvérkör a bal kamrából a f®érrel (aorta) kezd®dik, és állatfajonként változó számú ágával, kapillárishálózatával a test minden részét ellátja vérrel. A szervek kapillárisaiból összeszed®d® vénák a test két legnagyobb vénája, a fels® és az alsó üresvéna (vena cava superior, vena cava inferior) közvetítésével a szív jobb pitvarába vezetik a vénás vért. A nagyvérkör külön része a máj funkcionális keringési rendszere, a portális vérkör (circulus sanguinis portalis), amely a gyomor, a belek, a lép, a máj és a hasnyálmirigy vérét vezeti az alsó üresvénába.


6

Az erek átlagos átmér®je a nagyvérkör fontosabb részein: 1. Aorta 2,2 cm 2. Nagy artériák 0,4 cm 3. Arteriolák 20 µm 4. Kapillárisok 6 µm 5. Venulák 25 µm 6. Nagy vénák 1,6 cm 7. Vena Cava 3,2 cm Az ereknek van még egy különleges típusa, ez a sinus, amelynek a falszerkezete hasonlít a kapilláriséhoz, de átmér®je lényegesen nagyobb, 20-100 µm között van.

• A kisvérkör, a tüd® funkcionális vérkeringése, a jobb kamrából indul ki, és a tüd®artérián át a tüd®hólyagocskák hajszálérhálózatában ágazódik szét. Itt történik a gázcsere (oxigénfelvétel, szén-dioxid-leadás). A kapillárishálózatból az oxigénben dús artériás vért a tüd®vénák (venae pulmonales) gy¶jtik össze, amelyek a bal pitvarba térnek vissza. A vérerek három csoportba oszthatók a vér áramlásának iránya (és nem a bennük áramló vér min®sége) szerint. Ezek a kamrákból ered® artériák (arteriae), a szervezetben hálózatot képez® kapillárisok (capillares) és a kapillárisoktól a szívhez tér® vénák (venae) csoportja.

1.2. Az erek falának szerkezete

Az erek falának három alaprétege van: 1. Bels® réteg (intima): Az intimát lapos endotel sejtek alkotják, amelyek beborítják az érfal bels® felszínét, és fontos szerepet játszanak abban, hogy ziológiás körülmények között a vér az érpályán belül ne alvadjon meg. Az endotel sejtek egyrészt olyan anyagokat termelnek, amelyek gátolják a vérlemezkék összecsapódását, másrészt lefedik az érfal kollagén rostjait, amelyek fontos szerepet játszanak a véralvadás megindításában.


7

2. Középs® réteg (media): A mediát az artériákban f®leg simaizom és rugalmas rostok alkotják, amelyek összehúzódva vagy elernyedve az erek átmér®jét sz¶kítik, ill. tágítják. A vénák mediája kollagén rostokban gazdag, a rostkötegek között kevés simaizom van. A hajszálerek mediáját rendkívül vékony köt®szövet képezi. 3. Küls® réteg (adventicia): Az adventicia köt®szövetb®l épül fel. Az artériákban ez a réteg vékonyabb, a vénákban lényegesen vastagabb.

1.3. A vér összetev®i

•

A vörösvértestek (erythrocyta).

A vörösvértestek száma 1 mm3 vérben meg-

közelíti az 5 milliót. Bikonkáv korong formájúak. A sz¶k hajszálerekben könnyen tudják változtatni az alakjukat, megnyúlnak és ellipszis alapúvá válnak, így a saját átmér®jüknél kisebb erecskéken is tovább tudnak haladni. Ily módon az általuk szállított oxigént a szövetek legmélyére, szinte a sejtekig képesek eljuttatni. Az oxigén bennük egy vastartalmú fehérjemolekulához, a hemoglobinhoz köt®dik. A hemoglobin segíti a vérben az oxigénszállítást a tüd®kt®l egészen a szövetekig. A vörösvértest átmér®je megközelít®leg 7 µm.

•

A fehérvérsejtek (leucocyta).

A fehérvérsejtek igen jelent®s szerepet töltenek

be a betegségkelt® baktériumokkal szembeni ellenállásban, és nem csak a vérben, hanem a test szöveteiben is megtalálhatóak. A csontvel®ben és a nyirokcsomókban keletkeznek. A fehérvérsejteknek több fajtája létezik: a granulociták (kb. 50-70 százalék), a limfociták (kb. 20-40 százalék) és a monociták (kb. 2-8 százalék). 1.

A granulociták.

Közös jellemz®jük, hogy sejtplazmájukban szemcsék (granu-

lumok) találhatók. A vörös csontvel®ben képz®dnek. Egyik részük bekebelezi a


8

baktériumokat, másik részük anyagcsere-termékeikkel pusztítja el azokat. Átmér®jük átlagosan 12 µm. 2.

A limfociták.

Jellemz®jük, hogy plazmájukban szemcsék nincsenek. Élet-

tartamuk 1-2 hét, de egyesek évekig is funkcionálnak. Ezek a memóriasejtek. Egyik típusuk, a T-sejtek, melyek fejl®dését a csecsem®mirigy irányítja. Ezek biztosítják a sejtes immunitást. Felismerik az antigéneket, öl® hatásukat sejt-sejt kölcsönhatás révén fejtik ki. Bekebelezésre (fagocitózisra) nem képesek, de limfotoxint tudnak termelni, amely baktériumokat pusztít.

A

T-sejtek részt vesznek a szervezetbe kerül® anyagok elleni védekezésben, a rosszindulatú daganatok elleni védekezésben és a beültetett szövet vagy szerv kilök®désében. Másik típusuk, a B-sejtek a nyirokcsomókban, a lépben és egyéb nyirokszervekben képz®dnek, ezek a sejtek biztosítják az antitestes immunválaszt. Átmér®jük átlagosan 6 µm. 3.

A monociták.

A fehérvérsejtek között legnagyobbak a monociták. A vörös

csontvel®ben képz®dnek, majd különböz® szövetekbe kerülnek. Nagy szerepük van az antigének felismerésében és az immunválasz kialakításában. Átmér®jük átlagosan 20 µm.

•

A vérlemezkék (thrombocyta).

A vérlemezkék szerepe, hogy a sérült érfalhoz

tapadva beindítsák a véralvadás folyamatát, és ezzel részt vegyenek a sérülést elzáró véralvadék kialakításában. Átmér®jük 2,5 − 3 µm.

•

A vérplazma.

A vérplazma a vér folyékony sejtközötti állománya, 90 százaléka

víz. Oldott állapotban ionok vannak benne. A vérplazma és az alakos elemek aránya 55-45 %.

2. fejezet Hidrodinamika

Ebben a fejezetben szeretném bemutatni a szakdolgozatom témájához kapcsolódó legszükségesebb hidrodinamikai alapfogalmakat és törvényeket, melyek az összenyomhatatlan, viszkózus folyadékok mozgását írják le. Az itt tanulmányozott jelenségek makroszkopikus jelleg¶ek, ami azt jelenti, hogy a folyadék vizsgált része sok molekulát tartalmaz. Ezért a folyadék vizsgálatakor eltekintünk annak molekuláris szerkezetét®l, folytonos közegnek tekintjük. A mozgó folyadék állapotát leírja annak sebessége, nyomása és s¶r¶sége. A nyomás (p) és a s¶r¶ség (%) minden pontban és id®pillanatban egy-egy szám, a sebesség (v ) háromdimenziós vektor. Tehát ha az Ω ⊂ R3 tartomány lezártja a folyadék által kitöltött térrész, és a jelenséget az I ⊂ R nyílt id®intervallum lezártján tekintjük, akkor

p : Ω × I → R,

% : Ω × I → R,

v : Ω × I → R3

függvények. Hangsúlyozzuk, hogy pl. v a folyadék áramlásának sebessége a tér valamely pontjában egy adott id®pillanatban, vagyis nem az id® múlásával helyet változtató folyadékrészre, hanem a tér pontjaira vonatkozik. A tény, hogy a folyadék s¶r¶sége képes pontról-pontra változni, a folyadék összenyomhatóságát eredményezi. Az olyan folyadékokat, melyek s¶r¶sége állandó, összenyomhatatlan folyadékoknak nevezzük. A folyadékok áramlása során a molekulák között súrlódási kölcsönhatás lép fel, ezt a bels® súrlódást nevezzük viszkozitásnak. A viszkozitás a folyadék molekuláris szerkezetének makroszkopikus megnyilvánulása, aminek egyik következménye, hogy egy fal mentén áramló viszkózus folyadéknak az a része, mely közvetlenül érintkezik a fallal, nyugalomban van. Newtoninak mondjuk a folyadékot, ha a bels® súr9

2. FEJEZET. HIDRODINAMIKA

10

lódással egyenesen arányos az általa létrehozott deformáció. Ezt az arányosságot jellemzi a newtoni folyadék viszkozitási együtthatója (µ). A folyadékok mozgását leíró egyenleteket el®ször Leonard Euler fogalmazta meg 1755ben nem viszkózus folyadékokra. A viszkózus folyadékokra vonatkozó vektoregyenletet a következ® században fedezték fel, ezt NavierStokes-egyenletnek nevezzük:

%

∂v + % (v∇) v = −gradp + µ∆v + f ∂t

Ω × I -n,

ahol f : Ω × I → R a folyadékra ható küls® er®k ered®je. A tömegmegmaradás törvényét az ún. kontinuitási egyenlet írja le:

∂% + div(%v) = 0 ∂t

Ω × I -n.

Tekintsük azt az esetet, amikor a folyadék mozgása egyirányú. Ezt az irányt választva a koordinátarendszer els® tengelyének, a sebesség másik két koordinátája nulla. Ha u jelöli a sebesség els® koordinátáját, akkor a NavierStokes-egyenlet els® koordinátája a következ®:

2 ∂u ∂u ∂p ∂ u ∂ 2u ∂ 2u % +u =− +µ + + + fx ∂t ∂x ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Ω × I -n.

Itt

∂u ∂u +u ∂t ∂x a folyadék gyorsulásának,

− a nyomás hatásának,

µ

∂p ∂x

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

a viszkozitásnak,

fx pedig a testre ható x irányú er®knek felel meg. A másik két koordináta

0=−

∂p , ∂y

0=−

∂p ∂z

Ω × I -n.

Ebb®l következik, hogy egyirányú áramlásnál az áramlásra mer®leges síkon a nyomás állandó. A folyadéknak ki kell elégítenie a kontinuitási egyenletet is, ami ebben az esetben

∂% ∂ + (%u) = 0 ∂t ∂x

Ω × I -n,

2. FEJEZET. HIDRODINAMIKA

11

∂u = 0 Ω × I -n. Végezetül a folyadéknak teljesítenie ∂x kell az energiamegmaradás törvényét.

öszenyomhatatlan folyadékokra

Három egyenletet kaptunk a három ismeretlen függvényre (u, p, %). Ha az áramlás nem egyirányú, akkor öt ismeretlen függvényre vonatkozó, öt egyenletb®l álló parciális differenciálegyenlet-rendszert írja le a folyadék állapotát. A sebesség teljesíti az alábbi peremfeltételeket:

• A szilárd falú tartály falára mer®leges komponense a sebességnek nulla. • A szilárd falú tartály fala mentén a sebesség érint® irányú komponense nulla a folyadék viszkózus tulajdonsága miatt. Megjegyezzük, hogy vonatkoznak kezdeti feltételek is az egyenletrendszerben az ismeretlen függvényekre, ezeket most nem tárgyaljuk. Az erekben áramló vér viszkozitási együtthatója függ az ér sugarától és a vér összetételét®l, de ett®l a kés®bbiekben eltekintünk.

3. fejezet Vörösvértest-süllyedés

A vörösvértest-süllyedés az egyik leggyakoribb, igen régóta alkalmazott laboratóriumi vizsgálat. A megfelel®en el®kezelt (alvadásgátolt) vért speciális állványba állítják, és egy óra elteltével leolvassák a vörösvértestek süllyedés ét (erythrocyte sedimentation rate). Normálisan ez az érték 50 év alatti n®knél kevesebb, mint 20 mm/h, féraknál legfeljebb 15 mm/h. A referenciatartomány, akárcsak számos egyéb vizsgálat esetében, itt is életkorfügg®. Ötven év feletti n®knél 30 mm/h, féraknál 20 mm/h a fels® határ. A leggyakrabban a gyulladásos reakciók diagnózisában, illetve a betegség lefolyásának megítélésében használatos. Jellemz® betegségek, melyek esetében megugrik a süllyedés értéke: fert®z® betegségek, gyulladás, rosszindulatú daganatok, súlyos vérszegénység, vesebetegség, pajzsmirigy-túlm¶ködés. A gravitáció hatására a vörösvértestek azért süllyednek, mert a s¶r¶ségük nagyobb a vérplazmáénál. A süllyedés sebessége növekszik, és egy határsebességhez, az ún. süllyedési

sebességhez közelít. A jelenséget a Stokes-törvény segítségével írhatjuk le. Stokes 1851ben meghatározta a folyadékban lassan, állandó sebességgel mozgó gömbre ható fékez® er®t. Tegyük fel, hogy egy szilárd, a sugarú gömb mozog v sebességgel egy összenyomhatatlan és viszkózus, % s¶r¶ség¶ és µ viszkozitású folyadékon keresztül. A

%va µ

mennyiséget

Reynolds-számnak nevezzük. Ha a Reynolds-szám kicsi, akkor lamináris áramlásról beszélünk. Ilyenkor a fellép® turbulencia nem számottev®, mert a gömbök lassan mozognak és viszonylag messze helyezkednek el egymástól, mozgásuk egymástól függetlennek vehet®. A vér eléggé híg oldat és a vörösvértestek süllyedése kell®en lassú, ezért a jelenséget 12

3. FEJEZET. VÖRÖSVÉRTEST-SÜLLYEDÉS

13

lamináris áramlásnak tekinthetjük. A Stokes-törvény szerint a gömbre ható közegellenállást a következ®képpen kapjuk:

F = 6πµav. A törvény tetsz®leges alakú testre ható közegellenállásról is megállapítja, hogy egyenesen arányos a test sebességével: F = f v , ahol az f értéket súrlódási tényez®nek nevezzük. (A gömbre vonatkozó tényez®: f = 6πµa.) Tudjuk, hogy a vörösvértestek bikonkáv korong alakúak, ám feltételezzük, hogy van akkora gömb, melynek közegellenállása azonos a vizsgált vörösvértestével. Most v a süllyed® vörösvértest lefelé irányuló sebességét jelöli az id® függvényében, a pedig a feltételezett sugarát. A mechanika alaptörvénye szerint

V %e v˙ = V %e g − V %p g − 6πµav, ahol V := 34 πa3 az a sugarú gömb térfogata, %e a vörösvértest s¶r¶sége, %p a vérplazma s¶r¶sége és v˙ a vörösvértest gyorsulása. V %e v˙ a vörösvértest tömegének és gyorsulásának szorzata, V %e g a rá ható gravitációs er®, V %p g a felhajtóer®, 6πµva pedig a közegellenállás. A vörösvértest a vizsgálat elején nem mozog, tehát a kezdeti feltétel v(0) = 0. Állandó együtthatós lineáris dierenciálegyenletet kaptunk a vörösvértest sebességére. Tegyük fel, hogy v ∈ C 1 [0, +∞). A jobb oldali kifejezéssel osztva, ha az 0-tól különbözik,

V %e v˙ = 1. V g(%e − %p ) − 6πµa · v Mindkét oldal primitív függvényét véve

V %e

ln |(V g(%e − %p ) − 6πµa v(t)| = t + C1 , −6πµa

C1 ∈ R.

A dierenciálegyenlet összes megoldása

v(t) =

6πµa V g(%e − %p ) − C2 e − V % e t , 6πµa

C2 ∈ R.

A kezdeti feltétel alapján a képletbeli konstans értéke C2 =

V g(%e − %p ) − 6πµa t V % e v(t) = 1−e , 6πµa

t ∈ [0, ∞) .

A süllyedés határsebessége

vs := lim v(t) = t→∞

V g(%e −%p ) , 6πµa

V g(%e − %p ) . 6πµa

ezért

3. FEJEZET. VÖRÖSVÉRTEST-SÜLLYEDÉS Behelyettesítve a V =

4 3

14

πa3 összefüggést vs =

2 a2 g(%e − %p ) . 9 µ

Ehhez az eredményhez eljuthattunk volna a dierenciálegyenlet megoldása nélkül is, ha a meggyelések alapján feltesszük, hogy a süllyedés sebessége az id®nek monoton növ®, gyorsulása pedig monoton csökken® függvénye, mindkett®nek létezik véges határértéke a végtelenben, a gyorsulásé nulla:

vs := lim v(t), t→∞

lim v(t) ˙ = 0.

t→∞

A dierenciálegyenlet mindkét oldalának határtértékét véve t → ∞ esetén az eredmény

0 = V %e g − V %p g − 6πµavs . Beírva V értékét, majd az egyenletet megoldva megkaphatjuk a

vs =

2 a2 g(%e − %p ) 9 µ

határsebességet. Betegség esetén a vörösvértestek összetapadnak, így nagyobb, úgynevezett rouleaux formát képeznek. Ennek hatására megn® a sugár értéke, és mint láttuk, a süllyedési sebesség ennek négyzetével arányos. Tehát a vörösvértest-süllyedés értékére tekinthetünk úgy is, mint annak mér®számára, hogy a vörösvértestek milyen mértékben tapadnak össze, ami a sejtmembránok felületi tulajdonságaitól függ.

A vörösvértestek összetapadása rouleaux formába

4. fejezet Folyadék áramlása szilárd falú cs®ben

Ebben a fejezetben folyadék henger alakú, szilárd falú cs®ben történ® áramlását fogom tárgyalni. Felteszem, hogy a folyadék összenyomhatatlan, az áramlás pedig stacionárius (azaz id®ben állandó), hengerszimmetrikus, a cs®vel párhuzamos irányú és ebben az irányban állandó. Mivel a folyadék mozgása egyirányú, az áramlásra mer®leges tetsz®leges síkon a nyomás állandó. Ha a folyadék nyomása a cs® egyik végén nagyobb, akkor a nyomáskülönbség hatására a folyadék a magasabb nyomású végpont fel®l az alacsonyabb nyomású végpont felé áramlik. A célom levezetni Poiseuille törvényét az adott csövön egységnyi id® alatt átáramló folyadékmennyiségre. A fejezet végén egy alkalmazáson keresztül megmutatom, hogyan tudjuk a vér sebességét a kapillárisokban, ill. az aortában meghatározni, és becslést mutatok a kapillárisok számára. A henger hosszát jelölje L, sugarát a, az egyik végében a folyadék nyomását p1 , a másik végében p2 (p1 > p2 ), a folyadék viszkozitási együtthatóját pedig µ. A koordinátarendszer els® tengelyének a cs® tengelyét választom, a pozitív irány a magasabb nyomású végpont fel®l az alacsonyabb nyomású végpont felé mutasson. A folyadék sebessége a Navier Stokes-egyenlet olyan megoldása, amely a cs® tengelyével párhuzamos irányú, tehát csak az els® koordinátája nem nulla. Jelölje ezt u, ekkor a sebesség v = (u, 0, 0).

15

4. FEJEZET. FOLYADÉK ÁRAMLÁSA SZILÁRD FALÚ CSBEN

4.1. Deníció.

16

Ha B olyan zárt körlapot jelöl, melyet a cs® tengelyére mer®leges síkmet-

szetként kapunk, akkor az egységnyi id® alatt B -n átáramló folyadék térfogata Z Q(B) := u|B . B

Ez az érték a folyadék összenyomhatatlansága miatt független B -t®l, az áramlás hozam ának nevezzük.

4.2. Tétel

(Poiseuille törvénye). Az L hosszúságú, a sugarú kör keresztmetszet¶ henger

alakú csövet µ viszkozitású folyadék tölti ki. Ha a cs® két végpontjában a folyadék nyomása p1 , ill. p2 (p1 > p2 ), akkor a nyomáskülönbség hatására kialakuló stacionárius, hengerszimmetrikus, a cs®vel párhuzamos irányú és ebben az irányban állandó áramlás hozama

Q=

π p1 − p2 4 a. 8 Lµ

Bizonyítás. Felteszem, hogy a sebesség els® koordinátafüggvénye és a nyomás függvénye kell®en sima:

u, p : Ω → R,

u ∈ C 3 (Ω) ∩ C(Ω),

p ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω),

ahol Ω a henger bels® pontjainak halmaza. Térjünk át hengerkoordinátákra. Jelölje

h : T → R3 ,

h(x, r, ϕ) := (x, r cos ϕ, r sin ϕ)

a hengertranszformációt, ahol T := [0, L] × (0, a] × [0, 2π) téglatest. Legyen U := u ◦ h, ekkor

U : T → R,

U (x, r, ϕ) := u(x, r cos ϕ, r sin ϕ).

4. FEJEZET. FOLYADÉK ÁRAMLÁSA SZILÁRD FALÚ CSBEN Igazoljuk, hogy az U ∈ C 3 (int T ) ∩ C(T ) függvényre 2 2 ∂ u ∂ 2u 1 ∂U ∂ 2U 2∂ U +r + ◦h= 2 r + ∂y 2 ∂z 2 r ∂r ∂r2 ∂ϕ2

17

int T -n.

(Ez a síkbeli Laplace-operátor átírása polártranszformáció során.) A parciális deriváltak az int T halmazon:

∂U ∂u ∂u = ◦ h cos ϕ + ◦ h sin ϕ, ∂r ∂y ∂z 2 2 ∂ 2U ∂ u ∂ u ◦ h sin ϕ cos ϕ + = ◦ h cos ϕ + ∂r2 ∂y 2 ∂y∂z 2 2 ∂ u ∂ u + ◦ h cos ϕ + ◦ h sin ϕ sin ϕ, ∂z∂y ∂z 2 ∂u ∂u ∂U = ◦ h r (− sin ϕ) + ◦ h r cos ϕ, ∂ϕ ∂y ∂z 2 2 ∂ u ∂ u ∂u ∂ 2U 2 2 2 = r sin ϕ ◦ h − r sin ϕ cos ϕ ◦ h − r cos ϕ ◦h + ∂ϕ2 ∂y 2 ∂y∂z ∂y 2 2 ∂ u ∂u ∂ u 2 2 2 ◦ h + r cos ϕ ◦ h − r sin ϕ ◦h . + −r sin ϕ cos ϕ ∂z∂y ∂z 2 ∂z A parciális deriváltakra kapott összefüggések és Young tétele alapján 2 ∂U ∂ 2U 2∂ U r +r + = ∂r ∂r2 ∂ϕ2 ∂u ∂u = r cos ϕ ◦ h + r sin ϕ ◦h + ∂y ∂z 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ u 2 2 2 2 2 + r cos ϕ ◦ h + +2 r sin ϕ cos ϕ ◦ h + r sin ϕ ◦h + ∂y 2 ∂y∂z ∂z 2 2 2 ∂ u ∂ u 2 2 2 + r sin ϕ ◦ h − 2r sin ϕ cos ϕ ◦h + ∂y 2 ∂y∂z 2 ∂ u ∂u ∂u 2 2 + r cos ϕ ◦ h − r cos ϕ ◦ h − r sin ϕ ◦h = ∂z 2 ∂y ∂z 2 ∂ u ∂ 2u 2 =r + ◦ h int T -n. ∂y 2 ∂z 2

Ezután r2 -tel osztunk: 2 2 1 ∂U ∂ 2U ∂ u ∂ 2u 2∂ U r +r + = + ◦h r2 ∂r ∂r2 ∂ϕ2 ∂y 2 ∂z 2

int T -n.

Mivel u független az els® változójától (x), így 2 2 1 ∂U ∂ 2U ∂ u ∂ 2u ∂ 2u 2∂ U r +r + = + + ◦h r2 ∂r ∂r2 ∂ϕ2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

int T -n.


18

Hengerszimmetrikus megoldást keresek, vagyis U független a polárszögt®l (ϕ), ezért az

int T halmazon fennálló

∂ 2U =0 ∂ϕ2

egyenl®ség miatt az egyenlet egyszer¶södik: 2 ∂ 2U 1 ∂U ∂ u ∂ 2u ∂ 2u + ◦h = + + r ∂r ∂r2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Írjuk át az egyenlet bal oldalát a következ®képp: ∂U 1 ∂U ∂ 2U 1 ∂ + r = r ∂r ∂r2 r ∂r ∂r

int T -n.

int T -n.

Az egydimenziós NavierStokes-egyenlet az u függvényre 2 ∂u ∂u ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ∂p +u +µ + + % =− + fx ∂t ∂x ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Ω × I -n.

Küls® er®k most nincsenek (fx = 0). Mivel az áramlás stacionárius és sebessége a cs®vel párhuzamos irány mentén állandó, ezért

∂u ∂u = =0 ∂t ∂x

Ω × I -n,

emiatt az egydimenziós NavierStokes egyenlet bal oldala nulla. Adódik tehát, hogy 2 ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ∂p =µ + + Ω × I -n. ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 A p nyomás csak az els® változó (x) függvénye. Hengerkoordinátákra áttérve legyen

P := p ◦ h, vagyis P : T → R,

P (x, r, ϕ) := p (x, r cos ϕ, r sin ϕ).

Ekkor P ∈ C 2 (int T ) ∩ C(T ), továbbá

∂P ∂p = ◦h ∂x ∂x

int T -n.

A nyomás és a sebesség els® koordinátája közötti összefüggés polárkoordinátákban ∂P 1 ∂ ∂U =µ r int T -n, (∗) ∂x r ∂r ∂r ahol P csak az els® változótól (x), U pedig csak a második változótól (r) függ. Az egyenlet mindkét oldalát az els® változó szerint deriválva, majd a jobb oldalon Young tételét kétszer alkalmazva

∂ 2P 1 ∂ = µ ∂x2 r ∂r

∂ ∂U r ∂r ∂x

int T -n.


19

Itt

∂u = 0 Ω × I -n ∂x

⇒

∂U = 0 int T -n ∂x

⇒

∂ 2P = 0 int T -n. ∂x2

Ebb®l a

P (0, r, ϕ) = p1 ,

P (L, r, ϕ) = p2 ,

(r, ϕ) ∈ (0, a] × [0, 2π)

peremfeltételek gyelembe vételével adódik, hogy

p2 − p 1 x L

(x, r, ϕ) ∈ T,

p2 − p1 x, L

(x, y, z) ∈ Ω.

P (x, r, ϕ) = p1 + vagy derékszög¶ koordináta-rendszerben

p(x, y, z) = p1 +

p2 − p 1 ∂P = állandó értéket a (∗) egyenletbe helyettesítve, majd µ-vel osztva és ∂x L r-rel szorozva ∂ ∂U r p2 − p1 r = int T -n. ∂r ∂r µ L A

El®ször mindkét oldal primitív függvényét véve az r változó szerint

∂U r 2 p2 − p 1 r = + C1 , ∂r 2µ L majd r-rel osztva

r p 2 − p1 C 1 ∂U = + , ∂r 2µ L r végül ismét mindkét oldal primitív függvényét véve r szerint

U (x, r, ϕ) =

r 2 p 2 − p1 + C1 ln r + C2 , 4µ L

(x, r, ϕ) ∈ T,

C1 , C2 ∈ R

(∗∗)

az eredmény. Az u ∈ C(Ω) feltételb®l a Weierstrass-tétel szerint következik u korlátossága az Ω halmazon, ezért U = u ◦ h is korlátos a T téglatesten. Ha C1 6= 0 volna, akkor

lim ln r = −∞

r→0+

ellentmondana U korlátosságának. Tehát C1 = 0 kell, hogy teljesüljön. A folyadék viszkozitása miatt a cs® falán a folyadék sebessége nulla, vagyis

U (x, a, ϕ) = 0,

(x, ϕ) ∈ [0, L] × [0, 2π),

4. FEJEZET. FOLYADÉK ÁRAMLÁSA SZILÁRD FALÚ CSBEN ezért a következ®t kapjuk:

C2 = −

20

a2 p 2 − p 1 . 4µ L

A (∗∗) formulába beírva a konstansok értékét

U (x, r, ϕ) =

1 p 1 − p2 2 a − r2 , 4µ L

(x, r, ϕ) ∈ T.

(A képletb®l látszik, hogy a sebesség eloszlása parabolikus, a folyadék sebessége a cs® közepén a legnagyobb.) Már ismervén a sebességet, a hozamot ki tudjuk számolni integráltranszformációval: Z Z a Z 2π Z U (x, r, ϕ) r dϕ dr = u|B = (r, ϕ) 7→ U (x, r, ϕ) = Q= B

0

(0,a)×(0,2π)

0

a

Z 1 p1 − p2 2 π p1 − p2 a 2 2 = 2π (a r − r3 ) dr = (a − r ) r dr = L 2µ L 0 4µ 0 r=a π p1 − p2 2 r 2 r 4 π p 1 − p 2 a4 π p1 − p 2 4 = a − = = a, 2µ L 2 4 r=0 2µ L 4 8 µL Z

ahol B := {x} × B 2 (0, a) valamely x ∈ [0, L] mellett. Levezettük tehát az ún. Poiseuille-törvényt, amely az ismert adatokkal megadja a hozam értékét.

4.3. Következmény. Q=−

π ∂p 4 a. 8µ ∂x

4.1. Alkalmazás

Egy pihen®, egészséges fér átlagos keringési paraméterei a következ®k: a szíve 5,5 liter vért pumpál ki az aortába percenként, ennek a mellkasi aortának az átlagos sugara 1,1 cm. Szervezetében a nagyvérkörbeli kapillárisok átlagos sugara 3 µm, átlagos hosszuk pedig

0, 75 mm. A kapillárisok egyik végében a nyomás 30 Hgmm, míg a másik végében 15 Hgmm (1 Hgmm =

400 3

Pa). Továbbá ismerjük a vér viszkozitási együtthatóját, amikor a

kapillárisokban áramlik: µ = 0, 012 P. (A viszkozitás mértékegysége a poise (P), 1 P = 1 kg .) 10 m s

A célom meghatározni a vér átlagos sebességét a mellkasi aortában és a kapillárisokban, majd megbecsülni a kapillárisok számát.


21

Az aortában a vér átlagos sebességét a következ®képpen számolhatjuk ki:

vaorta =

Qszív , πR2

ahol Qszív a szívb®l egységnyi id® alatt kiáramló vér mennyiségét, míg R az aorta sugarát jelöli. A keresett érték

vaorta = 24cm/s. Jelölje L a kapillárisok átlagos hosszát, p1 a nagyobb, p2 a kisebb nyomást a kapillárisok végében, a a kapillárisok átlagos sugarát, továbbá Qkap a kapillárisok átlagos hozamát. Feltételezve, hogy a Poiseuille-törvény alkalmazható a kapillárisokbeli áramlás átlagsebességének meghatározásához, a

Qkap = vkap =

π p1 − p2 4 a, 8 µL

Qkap p1 − p 2 2 = a 2 πa 8µL

egyenleteket felhasználva ki tudjuk számolni az átlagsebességet a kapillárisokban:

vkap = 2,5 mm/s. A prekapilláris és posztkapilláris érszakaszok között nagy számban találhatók közvetlen összeköttetések, ún. shunt erek és shuntfunkciót betölt® mikroerek. Ismert, hogy egyidej¶leg a nagyvérkör kapillárisainak legfeljebb 25%-a van nyitva, a többi csukott állapotban van vagy összeesve. 25 százaléknyi nyitott kapillárissal számolva

Qszív ≥ 0,25 · N · Qkap , ahol N a nagyvérkör összes kapillárisának száma. A fenti adatokkal

Qkap = 7,07 · 10−5 mm3 /s, végül az összes kapilláris számára kapható fels® becslés

N ≤ 5,2 · 106 . Az érték majdnem négy nagyságrenddel kisebb a nagyvérkör összes kapillárisának vegyes (kísérleti és extrapolációs) úton közelít®leg meghatározott 4 · 1010 -es számánál, amit megmagyaráz a modell egyszer¶sége. A 6. fejezet utolsó pontjában jobb közelítést adok a kapillárisszámra.

5. fejezet Folyadék áramlása rugalmas falú cs®ben

Ebben a fejezetben rugalmas falú, nyugalmi állapotában adott sugarú henger alakú csövet vizsgálunk, melyben folyadék áramlik. Abból kifolyólag, hogy a cs® fala elasztikus, a sugara képes változni. El®ször rövid cs® esetén vizsgálom meg a folyadék változó nyomásának hatását a cs® keresztmetszetére, majd fels® becslést mutatok az áramlás hozamára. Tegyük fel, hogy a cs® falának szerkezete homogén, nyugalmi vastagsága állandó. A fal bels® oldalára a folyadék, küls® oldalára a környezet nyomása hat, sugarának nagyságát a két nyomás különbsége határozza meg. A környezet nyomását állandónak vesszük. Nyugalmi sugárnak nevezzük a cs® sugarát, amikor a cs® falára ható bels® és küls® nyomás egyenl®. Feltesszük, hogy a bels® nyomás legalább akkora, mint a küls®, máskülönben a cs® összeeshetne. Azt is feltesszük, hogy kicsi a cs® terhelése, így csak kissé tágul ki, a nyomás a cs®re mer®leges síkmetszeteken alig változik. Ez utóbbi változást a továbbiakban elhanyagoljuk. Végül feltételezzük, hogy az áramlásra mindenütt fennáll a Poiseuilletörvény következményeként kapott összefüggés (azt mondjuk, hogy a Poiseuille-törvény lokálisan teljesül). Legyen a cs® hossza l, nyugalmi sugara r0 , falának nyugalmi vastagsága pedig h. Jelölje a cs® sugarát r, a falára ható bels® nyomást p, a küls® nyomást pedig p0 (p ≥ p0 ). Az áramló folyadék nyomása legyen a cs® elején p1 , a végén p2 (p1 > p2 ), viszkozitási együtthatója µ. A koordinátarendszer els® tengelyének a cs® tengelyét választom, az origó a cs® elejénél legyen. Ekkor a cs® sugara (r) és a bels® nyomás (p) az els® változó (x) egyváltozós függvénye. El®ször legyen a cs® rövid. Tegyük fel, hogy a sugara (r) pozitív érték¶, folytonosan 22

5. FEJEZET. FOLYADÉK ÁRAMLÁSA RUGALMAS FALÚ CSBEN

23

dierenciálható függvénye a cs® menti távolságnak (x). Vágjuk hosszában ketté a csövet a vízszintes koordinátasíkkal.

A cs® keresztmetszete

A cs®re mer®leges keresztmetszeten a szög és az ív közötti összefüggés dx = rdα, az ennek megfelel® l hosszúságú cs®rész felülete

dA = dx · l = r l dα. Erre a cs®részre

dF = (p − p0 ) dA = (p − p0 ) r l dα er® hat, melynek függ®leges komponense dF sin α. A nyomáskülönbségb®l származó er® függ®leges komponense, amely a cs® fels® felére hat: Z π Fny = (p − p0 ) r l sin α dα = (p − p0 )rl [− cos α]π0 = 2 r l(p − p0 ). 0

A kitáguló cs®ben feszültség ébred, az általa létrehozott er® arányos a cs® hosszával és nyugalmi vastagságával:

Ffesz = 2t(r)hl, ahol feltesszük, hogy a t(r) arányossági tényez® a sugár olyan dierenciálható függvénye, mely az r0 nyugalmi sugár egy U környezetében lineáris.


24

Er®egyensúly akkor áll fenn, ha a nyomáskülönbségb®l származó és a feszültség által létrehozott er® megegyezik (Fny = Ffesz ), azaz

t(r)h = r(p − p0 ). A cs® terhelése és ezért sugarának megváltozása is kicsi. Ekkor t(r0 ) = 0 alapján

t(r) = t0 (r0 )(r − r0 ),

r ∈ U,

így

t0 (r0 )(r − r0 )h = r(p − p0 ). Legyen E := t0 (r0 ). Fejezzük ki a nyomást az el®z® összefüggésb®l:

r0 p = p0 + Eh 1 − , r

r ∈ U.

Ha r(0) ∈ U (a cs® az elején csak kissé tágul ki), akkor az r : [0, l] → R függvény folytonossága miatt létezik olyan l0 ∈ (0, l], melyre minden x ∈ [0, l0 ] esetén r(x) ∈ U . Ezért legyen

r0 p(x) := p0 + Eh 1 − , r(x)

x ∈ [0, l0 ].

Deriváltja (a végpontokban egy oldali deriváltként értve)

p0 (x) = Ehr0

r0 (x) , r2 (x)

x ∈ [0, l0 ].

Feltételezzük, hogy az áramlásra minden pontban a Poiseuille-törvény lokálisan teljesül, vagyis a Q hozamra a 4.3. Következmény szerint

Q=−

π 0 p (x) r4 (x), 8µ

x ∈ [0, l0 ].

Helyettesítsük be p0 (x) el®bb kapott kifejezését!

Q=−

r0 (x) 4 Ehr0 π 2 π Ehr0 2 r (x) = − r (x) r0 (x), 8µ r (x) 8µ

x ∈ [0, l0 ].

Mindkét oldalt integrálva a [0, x] intervallumon x Z Ehr0 π r3 (ξ) Ehr0 π 3 Ehr0 π x 2 0 r (ξ)r (ξ)dξ = − =− r (x) − r3 (0) . Qx = − 8µ 8µ 3 0 24µ 0 Ebb®l kifejezhet® a rugalmas falú rövid cs® sugara: s r 24µQ 24µQ 1 r(x) = 3 r3 (0) − x = r(0) 3 1 − x, Ehr0 π Ehr0 π r3 (0)

x ∈ [0, l0 ].

(∗)


25

A csökkenés kezdeti ütemét is megkaphatjuk (∗)-ból:

r0 (0) = −

8µQ 1 . 2 Ehr0 π r (0)

Ezután szeretnék fels® becslést adni a rugalmas falú cs®beli áramlás hozamára, ha a nyomás folytonosan dierenciálható szigorúan monoton, a sugár pedig folytonos függvénye a cs® menti távolságnak, valamint feltesszük, hogy a változó sugarú, L hosszúságú cs® minden pontjában lokálisan teljesül a Poiseuille-törvény, azaz

Q=−

π 0 p (x) r4 (x), 8µ

x ∈ [0, L].

A [0, L] intervallumon integrálva mindkét oldalt Z L π r4 (x)p0 (x) dx. QL = − 8µ 0 Ha p ∈ C 1 [0, L] szigorúan monoton függvény és r ∈ C [0, L], akkor helyettesítéses integrálással (x := p−1 (y))

Z

p(L)

p(0)

4

−1

r p (y) dy =

Z

L

r4 (x)p0 (x)dx.

0

Az el®z® két egyenletb®l Z L Z p2 Z p1 π π π 4 0 4 −1 r (x)p (x) dx = − Q=− r p (y) dy = r4 p−1 (y) dy, 8µL 0 8µL p1 8µL p2 végül az integrál triviális becslésével megkapható a fels® becslés: Z p1 π π r4 p−1 (y) dy ≤ (p1 − p2 ) max r4 . Q= [0,L] 8µL p2 8µL

6. fejezet Az érhálózat optimális alakja

Az egyik jellemz®je az érrendszer vénáinak és artériáinak a hatalmas számú érelágazás. Ebben a fejezetben szeretném bemutatni, hogyan tudjuk az érhálózat le- és elágazásainak adott költségfüggvényre vonatkozóan optimális alakját meghatározni széls®értékszámítás alkalmazásával. A fejezet elején olyan szilárd falú eret fogok vizsgálni, amelyb®l leágazik egy ér, és két különböz® költségfüggvényt, az érpálya teljes ellenállását, ill. az ér fenntartásához szükséges energiát minimalizálom, megkeresem a minimumhoz tartozó leágazási szöget. Ezek után azt ismertetem, hogy az áramlás bels®energia-veszteségét és az ér fenntartását is gyelembe vev® költségfüggvényre vonatkozóan optimálissá fejl®dött, adott szervet ellátó szilárd falú ér sugarát hogyan határozza meg a szerv vérigénye. Végül meghatározom a két szervet is tápláló, kettéágazó, a vizsgált költségfüggvényre vonatkozóan optimálissá fejl®dött érhálózat elágazási pontját. Az utóbbi bizonyítás kiegészíti Murray és Rosen ez irányú munkáját.

6.1. A teljes ellenállás, mint költségfüggvény

Egy szilárd falú érszakaszon µ viszkozitású vér áramlik Q hozammal. Jelölje az ér egyik végében a nyomást p1 , a másikban p2 (p1 > p2 ). Az áramlás ellenállása

RT :=

p1 − p2 . Q

26

6. FEJEZET. AZ ÉRHÁLÓZAT OPTIMÁLIS ALAKJA

27

Az egymáshoz csatlakozó érszakaszokból álló érpálya ellenállása az egyes érszakaszok ellenállásának összege. Ha az el®bbi érszakasz hosszúsága L, sugara r, akkor Poiseuille törvényéb®l ismerjük a nyomáskülönbség hatására létrejöv® áramlás hozamát:

Q=

π p1 − p2 4 r . 8 Lµ

Ebb®l az ellenállásra az

RT =

8µ L π r4

k 8µ jelöléssel RT = 4 L alakban használunk. (Az π r ellenállást az els® alakja az áramlás, a második az érszakasz adataival adja meg.) összefüggést kapjuk, amit kés®bb a k :=

A fenti áramlás egységnyi hosszúságú érszakaszra es® ellenállása

p1 − p2 , QL 8π 1 ami Poiseuille törvénye alapján átírható R = alakra. µ r4 R :=

Az érstruktúra optimalizálásának egyik legegyszer¶bb feladata megkeresni a f®ér és a leágazás hajlásszögét, ezt vizsgáljuk els®ként. Az a célunk, hogy megtaláljuk azt a leágazási szöget, amely mellett az érpálya ellenállása minimális.

1. feladat. Tegyük fel, hogy adott egy r0 sugarú hosszú egyenes ér (0 < r0 ), mely az A pontból szállít vért. Err®l az érr®l leágazó r1 sugarú egyenes ér (0

28

Legyen a C pontból az eredeti ér egyenesére állított mer®leges talppontja B . Jelölje Lv az AD, Lb a DC érszakasz hosszát, λ a BC távolságot, α a D csúcsbeli leágazás szögét,

β pedig az AC és AB szakaszok által bezárt szöget. Végül legyen Rv az AD, Rb a DC érszakaszok egységnyi hosszúságra es® ellenállása. Egymáshoz csatlakozó érszakaszokon az ellenállás additív, ezért az ADC érpálya ellenállása a következ®képp írható fel:

RT = Rv Lv + Rb Lb . Trigonometriai összefüggéseket felhasználva kapható

Lv = λ (cot β − cot α) ,

Lb =

λ . sin α

Beírva az érpálya ellenállásának képletébe ezeket az összefüggéseket és az ellenállás denícióját

RT =

kλ(cot β − cot α) kλ + 4 . 4 r0 r1 sin α

A leágazási pontot egyértelm¶en meghatározza az α szög, ezért keressük meg az 1 cot α kλ RT (α) := kλ 4 − 4 + 4 cot β, D(RT ) := [β, π) r1 sin α r0 r0 függvény minimumhelyeit.

RT0 (α)

1 = kλ 2 sin α

1 cos α − 4 4 r0 r1

,

α ∈ (β, π) .

Abban az α bels® pontban lehet lokális széls®értéke az RT függvénynek, melyre teljesül 1 1 cos α kλ 2 − 4 = 0. r1 sin α r04 Az egyenletnek csak r1 ≤ r0 esetén van megoldása, mégpedig 4 r α = α0 := arccos 14 . r0

6. FEJEZET. AZ ÉRHÁLÓZAT OPTIMÁLIS ALAKJA 1 cos α 2 cos α 1 00 + 4 , − 4 RT (α) = kλ − 3 r1 r1 sin α sin α r04

RT00 (α0 ) =

r14

29

α ∈ (β, π),

kλ . sin α0

Két esetet különböztetünk meg:

• Ha r1 > r0 vagy α0 ∈ (0, β], azaz a kapott szög nincs benne az értelmezési tartomány belsejében, akkor az RT függvénynek globális minimuma van β -ban, mivel RT0 > 0 a

(β, π) intervallumon, és ezért RT szigorúan monoton növekv® [β, π)-n. A minimális ellenállás értéke

RT (β) =

r14

kλ . sin β

• Ha α0 ∈ (β, π), akkor az R00 (α0 ) > 0 egyenl®tlenségb®l következik, hogy az RT függvénynek az α0 pontban globális minimuma van. A minimális ellenállás értéke s 1 r8 kλ RT (α0 ) = k λ 4 1 − 18 + 4 cot β. r1 r0 r0

π , ami egybeesik azzal a tapasztalattal, 2 hogy a relatíve keskeny oldalágak majdnem mer®legesek a f®ágra. Ha rögzített r0 mellett r1 → 0, akkor α0 →

6.2. Az ér fenntartásához szükséges energia, mint költségfüggvény

A szervezetnek energiát kell abba fektetnie, hogy az érrendszert fenntartsa. Egy ér fenntartására fordított energiát egyenesen arányosnak vesszük az ér térfogatával. Az L hosszúságú, r sugarú ér fenntartásához szükséges energia adott id® alatt

U := KπLr2 , ahol K rögzített pozitív arányossági tényez®. Vizsgáljuk meg az el®z® optimalizálási feladatot, de most ne a teljes ellenállást, hanem a teljes érpálya érfenntartásához szükséges energiát minimalizáljuk, keressük meg a minimumhoz tartozó leágazási szöget.


30

2. feladat. Tegyük fel, hogy adott egy r0 sugarú hosszú egyenes ér (0 < r0 ), mely az A pontból szállít vért. Err®l az érr®l leágazó r1 sugarú egyenes ér (0 < r1 ) lát el egy szervet, amelyik nem az eredeti ér mentén helyezkedik el (a szerv helyét C jelöli). Keressünk olyan D leágazási pontot, melyre az ADC érpálya fenntartásához szükséges energia a legkisebb! A feladat megoldása során az el®z® megoldásbeli jelöléseket fogom használni. Az ADC érpálya fenntartásához szükséges energia a következ®képp írható le:

U = Kπ(Lv r02 + Lb r12 ). Behelyettesítve a már ismert összefüggéseket r12 2 U = Kπλ (cot β − cot α) r0 + . sin α Keressük meg az

U (α) := Kπλ

r12 − r02 cot α sin α

+ Kπλr02 cot β,

D(U ) := [β, π)

függvény minimumhelyeit!

0

U (α) = Kπλ

r02 r12 cos α − sin2 α sin2 α

A

Kπλ

r12 cos α r02 − sin2 α sin2 α

α ∈ (β, π).

,

=0

egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy csak r0 < r1 esetén lehet bels® lokális széls®értékhely:

α = α1 := arccos

r02 r12

.

2 cos α r2 U (α) = Kπλ − 3 (r02 − r12 cos α) + 1 sin α sin α 00

U 00 (α1 ) = Kπλ

,

α ∈ (β, π).

r12 . sin α

Amennyiben r0 ≥ r1 vagy α1 ∈ (0, β], akkor U 0 > 0 (β, π)-n, ezért U szigorúan monoton növekszik [β, π)-n, tehát globális minimuma van β -ban, értéke

U (β) = Kπλ

r12 . sin β


31

Ha pedig α1 ∈ (β, π), akkor az U függvénynek globális minimuma van α1 -ben, értéke q 2 4 4 U (α1 ) = Kπλ r0 cot β + r1 − r0 .

Az ADC háromszögbeli háromszög-egyenl®tlenség is megmutatja, hogy r0 ≥ r1 esetén az érpálya fenntartásához szükséges energia akkor a legkisebb, amikor az A pontból egyenes érszakaszon jut el a vér a C pontbeli szervhez.

6.3. Az egységnyi id® alatti teljes energiaveszteség, mint költségfüggvény

Az L hosszúságú, r sugarú érben, melynek egyik végében a nyomás p1 , a másikban p2 (p1 >p2), a µ viszkozitású folyadék Q hozamú áramlásának egységnyi id® alatti bels®energia-

vesztesége Q(p1 − p2 ). Poiseuille törvényéb®l a nyomásváltozást kifejezve

p1 − p 2 =

8µ QL , π r4

ezért az egységnyi id® alatti bels®energia-veszteség felírható

Q(p1 − p2 ) = Q2

8µ L = Q2 RL πr4

alakban, ahol R az érszakasz egységnyi hosszúságra es® ellenállása. Tehát egy érszakaszon az áramlás egységnyi id® alatti bels®energia-vesztesége egyenesen arányos az adott érszakasz ellenállásával.

Természetes gondolat az el®bbi két feladat után, hogy vizsgáljuk az áramlás bels®energia-vesztesége és az érfenntartásra fordított energia összegét egységnyi id® alatt, ezt nevezzük kés®bb az áramlás egységnyi id® alatti teljes energiaveszteségének. Az L hosszúságú, r sugarú érszakasz egységnyi id® alatti fenntartására fordított energia

˜ 2 L, ahol K ˜ rögzített pozitív állandó. U˜ := Kπr


32

Ezt felhasználva vezessük be a vizsgált érszakaszon az áramlás egységnyi id® alatti

teljes energiaveszteség ét (másképpen teljes teljesítményveszteségét):

P := Q2

k ˜ 2 L. L + Kπr r4

Egymáshoz csatlakozó érszakaszokból álló érhálózaton az áramlás egységnyi id® alatti teljes energiavesztesége legyen az egyes érszakaszokon kapott egységnyi id® alatti teljes energiaveszteségek összege.

3. feladat. Az L hosszúságú, r sugarú egyenes érben Q hozammal áramlik a vér. Mekkora sugár esetén minimális az áramlás egységnyi id® alatti teljes energiavesztesége? Keressük tehát a

P (r) := Q2

k ˜ 2 L, L + Kπr r4

D(P ) := R+

függvény minimumhelyeit.

P 0 (r) = −

4 Q2 kL ˜ + 2KπrL, r5

r ∈ R+ .

Ott lehet lokális széls®értéke a függvénynek, ahol P 0 (r) = 0, aminek a megoldása r 2Q2 k r= 6 . ˜ Kπ Mivel

20 Q2 kL ˜ + 2KπL, r ∈ R+ r6 pozitív érték¶, ezért a kapott helyen a P függvénynek globális minimuma van. P 00 (r) =

Erre az eredményre úgy is tekinthetünk, ha egy érszakasz sugara optimális (az adott hozamú áramlás egységnyi id® alatti teljes energiavesztesége minimális), akkor s ˜ Kπ r3 . Q= 2k A biológiai rendszerek optimálissá fejl®dnek, ezért a továbbiakban feltesszük, hogy minden érszakaszon fennáll a hozam és a sugár között kapott összefüggés. A fenti összefüggésnek az is következménye, hogy ha adott egy szerv vérigénye, amelyet a szervezet egyetlen érrel táplál, akkor az ér sugarát a szükséges hozam a levezetett összefüggés szerint meghatározza. A biológiai rendszerek ui. minimális energiafelhasználásra törekednek, és a kapott esetben lesz a legkisebb az egységnyi id® alatti teljes energiaveszteség.


33

Így optimálissá fejl®dött L hosszúságú, r sugarú ér esetében az egységnyi id® alatti teljes energiaveszteség

P =

3 ˜ 2 Kπr L. 2

4. feladat. Tegyük fel, hogy egy pontból egyenes érszakasz vezet, mely kettéágazik, és onnan egyegy egyenes érszakasz vezet tovább két ismert vérigény¶ szervhez. Feltételezzük, hogy mindhárom érszakasz optimálissá fejl®dött. Keressünk összefüggést a három érszakasz sugara között! A tömegmegmaradás törvénye alapján az els® érszakaszon a vér áramlásának hozama (Q0 ) egyenl® a két ágban áramló vér hozamának (Q1 , Q2 ) összegével, vagyis Q0 = Q1 +Q2 . Az optimálissá fejl®dött ér sugara és hozama közötti összefüggés szerint s ˜ Kπ Qi = ri3 , i = 0, 1, 2, 2k amib®l megkapható

r03 = r13 + r23 . Ennek következménye, hogy optimálissá fejl®dött érhálózaton az egyforma sugarú erekké kettéágazó ér sugara (r0 ) és a mellékágak sugara (r1 ) között fennáll az

r0 =

√ 3

2 r1

kapcsolat.

Alkalmazások. 1.) Vizsgáljuk meg egy kutya érrendszerét. Felteszem, hogy a nagyvérkörében minden ér (kivéve az aorta) azonos méret¶ érré történ® kettéágazásból ered. A kapillárisok átlagos sugarának (3 µm) ismeretében számoljuk ki, hány kettéágazásra van szükség ahhoz, hogy a 0,5 cm sugarú aortától eljussunk a kapillárisokhoz. Ha az aortától n elágazás után jut el a vér a kapillárisig, akkor az el®z® feladat következményét felhasználva

1 √ 3 2

n

· 0,5 = 3 · 10−4 .


34

Megoldva az egyenletet azt kapjuk, hogy n ≈ 32, vagyis 32 kettéágazásra van szükség. Az eredmény azt is megadja, hogy megközelít®leg 232 ≈ 4, 3 · 109 kapilláris van egy kutya nagyvérkörében. Ez az eredmény jól közelíti a kísérleti eredményeket, amelyek azt mutatják, hogy a kapillárisok száma kb. 1,2 · 109 . (A kapillárisok pontos számát a korróziós preparáció segítségével határozzák meg. A m¶velet a következ®képp zajlik: megfelel®en nagy nyomással folyékony m¶anyagot juttatnak az érrendszerbe, mely kis id® elteltével megszilárdul. Ezután híg savval lemaratják a lágy részeket. Az eredmény az érhálózat tökéletes formája m¶anyagba öntve.) 2.) Tekintsük most az emberi érrendszert. Felteszem, ahogy az el®z® esetben is, hogy a nagyvérkörben minden ér (kivéve az aorta) azonos méret¶ érré történ® kettéágazásból származik. A kapillárisok átlagos sugara 3 µm, az aortáé 1,1 cm. Keressük meg, hány elágazásra van szükség ahhoz, hogy eljussunk az aortától a kapillárisokig. Az el®z® gondolatmenet szerint n 1 √ · 1,1 = 3 · 10−4 . 3 2 Az eredmény n ≈ 36 kettéágazás. Ezek alapján megközelít®leg 236 ≈ 6,9 · 1010 kapilláris van az emberi nagyvérkörben. Összehasonlításképpen, a Poiseuille-törvény alkalmazásaként levezetett fels® becslés a kapillárisszámra 5,2 · 106 . Az emberi szervezetben megközelít®leg 4 · 1010 kapilláris van, és bár ilyen egyszer¶ feltevések mellett nem várunk pontos egyezést, a most kiszámolt kapillárisszám nagyságrendje megegyezik a valós adatéval.

5. feladat. Tegyük fel, hogy az A pontból egyenes ér vezet, melynek feladata a C és D pontbeli ismert vérigény¶ szervek ellátása. Feltesszük azt is, hogy az A, C , D pontok nem esnek egy egyenesre. Az érnek egy pontban ketté kell ágaznia, ezt a pontot jelöljük B vel. Tegyük fel, hogy a két szervhez is egyenes ér vezet az elágazási pontból, továbbá mindhárom érszakasz optimálissá fejl®dött. Határozzuk meg az elágazási pont helyzetét úgy, hogy a három érszakaszból álló érhálózaton az áramlás egységnyi id® alatti teljes energiavesztesége minimális legyen! Legyen az AB érszakasz sugara r0 , a BC érszakaszé r1 , a BD érszakaszé pedig


35

r2 . Mindhárom sugarat a 3. feladat eredménye szerint a két szerv vérigénye megadja (r0 , r1 , r2 ∈ R+ ). Szintén az optimálissá fejl®dött erekben a sugár és a hozam között fennálló összefüggésb®l következik, hogy r1 , r2 < r0 . Jelölje az AB érszakasz hosszát

L0 , a BC érszakaszét L1 , a BD érszakaszét L2 , melyeket a B pont helye meghatároz (L0 , L1 , L2 ≥ 0).

Ezen a három egymáshoz csatlakozó érszakaszból álló érhálózaton az áramlás egységnyi id® alatti teljes energiavesztesége additív, tehát

3˜ 2 2 2 P = Kπ(r 0 L0 + r1 L1 + r2 L2 ), 2 ami a B pont függvénye. Legyen

3˜ r02 L0 (B) + r12 L1 (B) + r22 L2 (B) , P˜ (B) := Kπ 2

D(P˜ ) := B A, 3 max {|AC| , |AD|} .

A P˜ függvény három távolságfüggvény lineáris kombinációja, emiatt az A, C és D pontok kivételével kétszer folytonosan differenciálható az értelmezési tartományának bels® pontjaiban, vagyis

P˜ ∈ C 2 (intD(P˜ ) \ {A, C, D}). A függvény minimumhelyeit keresem. Több lépésben megmutatom, hogy a P˜ függvénynek pontosan egy minimumhelye van.

6.1. Állítás.

A P˜ függvénynek létezik legkisebb értéke, amit csak az értelmezési tartomá-

nyának bels® pontjában vesz fel.


36

Bizonyítás. Mivel D(P˜ ) korlátos és zárt R2 -ben, valamint P˜ folytonos függvény, ezért a Weierstrass-tétel alapján létezik minimuma a D(P˜ ) halmazon. Az értelmezési tartomány határán, a körvonalon véve a B pontot a háromszög-egyenl®tlenség alapján |AC| < |BC| és |AD| < |BD|, ezért P˜ (B) > P˜ (A). Következésképp a függvény a minimumát csak a kör belsejében, vagyis az értelmezési tartomány bels® pontjában veszi fel.

6.2. Állítás. A P˜ függvénynek nincs minimumhelye az ADC háromszögön kívül, az ADC háromszögben viszont létezik legkisebb értéke. Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy a P˜ függvény B minimumhelye az ADC háromszögön kívül esik. Vizsgáljuk pl. azt az esetet, amikor B az AD egyenes C -vel ellentétes oldalán található. Vetítsük a B pontot az AD egyenesre, a talppontot jelölje

B ∗ . Ekkor |AB| > |AB ∗ |, |BD| > |B ∗ D| és |BC| > |B ∗ C|. Mivel a talppontban a P˜ függvény értéke kisebb, mint a B pontban, az utóbbi pontban nem lehet a függvénynek minimuma. Hasonló érveléssel a háromszögön kívüli bármely pontról meg tudjuk mutatni, hogy nem lehet P˜ minimumhelye. A P˜ függvénynek a 6.1. Állítás szerint létezik legkisebb értéke a D(P˜ ) halmazon. A bizonyítás el®z® részéb®l következik, hogy a függvény a minimumát az ADC háromszögben éri el.


6.3. Állítás.

37

Ha az f : R2 → R függvénynek lokális minimuma van az a ∈ int D(f )

pontban és f ∈ C 2 (int D(f )), akkor tetsz®leges v ∈ R2 , |v| = 1 vektor esetén létezik

lim

δ→0

f (a + δv) − f (a) 1 = ∂v2 f (a). 2 δ 2

Bizonyítás. Legyen

F (δ) := f (a + δv),

D(F ) := {δ ∈ R : a + δv ∈ D(f )} .

0 ∈ int D(F ) és F ∈ C 2 (int D(F )). Mivel az f függvénynek lokális minimuma van az a ∈ int D(f ) pontban, így a lesz¶kített F függvénynek lokális minimuma van a 0 ∈ int D(F ) pontban, amib®l következik, hogy F 0 (0) = 0. Az F függvényre vonatkozó 0 középpontú els® Taylor-formula a Lagrange-féle maradéktaggal olyan δ ∈ int D(F ) esetén, melyre

[0, δ], ill. [δ, 0] ⊂ D(F ), a következ®: 00 F ξ(δ) δ2, F (δ) = F (0) + F 0 (0) δ + 2 ahol ξ(δ) alkalmas 0 és δ közötti szám. Ezt felhasználva bármely v ∈ R2 , |v| = 1 vektorra

1 00 f (a + δv) − f (a) F (δ) − F (0) 1 00 1 = lim = lim F ξ(δ) = F (0) = ∂v2 f (a). 2 2 δ→0 δ→0 δ→0 2 δ δ 2 2 lim

Ha B az ADC háromszögnek a csúcsoktól különböz® tetsz®leges pontja, akkor legyen

θ az AB és BC egyenesek, φ pedig az AB és BD egyenesek által bezárt szög.


6.4. Állítás.

38

Ha a P˜ függvénynek minimuma van az ADC háromszög egy olyan B pont-

jában, amelyik különbözik a csúcsoktól, akkor az imént deniált (θ, φ) szögpárra

r04 + r14 − r24 , 2r02 r12 r4 + r24 − r14 cos φ = 0 , 2r02 r22 r4 − r14 − r24 cos(θ + φ) = 0 . 2r12 r22 cos θ =

(C)

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a P˜ függvény ADC háromszögbeli B minimumhelye különbözik az A, C és D pontok mindegyikét®l, vagyis L0 , L1 , L2 > 0. Lokális széls®érték szempontjából megvizsgáljuk a P˜ függvény lesz¶kítését a B ponton átmen® három különböz® egyenesre.

1. eset. Vizsgáljuk a P˜ függvényt az AB egyenes B középpontú,

1 2

min{L0 , L1 , L2 } sugarú nyílt

intervallumán. Legyen

I :=

−

1 1 min{L0 , L1 , L2 }, min{L0 , L1 , L2 } 2 2

és δ ∈ I . Jelölje B1 az AB egyenesnek azt a pontját, melyre a BB1 szakasz el®jeles hossza

δ . Az egyenest úgy irányítjuk, hogy az A pont a negatív félegyenesen legyen. Jelölje továbbá az AB1 szakasz hosszát L∗0 , a B1 C szakaszét L∗1 , végül a B1 D szakaszét L∗2 .

Nyilvánvalóan L∗0 = L0 + δ . Fejezzük ki az L∗1 hosszúságot a BB1 C háromszögben a koszinusztétel segítségével:

L∗1 =

q L21 + δ 2 − 2 L1 δ cos θ.


39

Vezessük be a

q g1 (x) := L21 + x, D(g1 ) := [−L21 , +∞) függvényt. Erre a függvényre

g1 (0) = L1 ,

g1 (δ 2 − 2 L1 δ cos θ) = L∗1 ,

az els® két deriváltjára pedig

g10 (x) =

1 1 p , 2 L21 + x

g10 (0) =

1 , 2L1

3 1 g100 (x) = − (L21 + x)− 2 4

L1 feltétel alapján δ 2 −2 L1 δ cos θ ∈ intD(g1 ), ezért a g1 függvényre 2 a 0 középpontú els® Taylor-formula a Lagrange-féle maradéktaggal a következ®t adja a teljesül. A |δ| <

δ 2 −2 L1 δ cos θ helyen: − 3 1 2 1 (δ − 2L1 δ cos θ) − L21 + ξ1 (δ) 2 (δ 2 − 2L1 δ cos θ)2 = 2L1 8 1 − 3 1 = L1 − δ cos θ + δ 2 − L21 + ξ1 (δ) 2 (δ − 2 L1 cos θ)2 , 2 L1 8

g1 (δ 2 − 2 L1 δ cos θ) = L1 +

ahol ξ1 (δ) alkalmas 0 és δ 2 −2L1 δ cos θ közötti érték. Az L∗2 hosszúságot hasonlóan ki tudjuk fejezni |δ| <

L∗2

L2 miatt: 2

1 − 23 1 2 2 (δ − 2 L2 cos φ) , = L2 − δ cos φ + δ − L + ξ2 (δ) 2 L2 8 2 2

ahol ξ2 (δ) alkalmas 0 és δ 2 −2L2 δ cos φ közötti érték. A fenti eredmények szerint

P˜ (B1 ) − P˜ (B) = r02 (L∗0 − L0 ) + r12 (L∗1 − L1 ) + r22 (L∗2 − L2 ) = 1 i − 32 1 2 2 = + − δ cos θ + δ (δ − 2 L1 cos θ) + − L + ξ1 (δ) 2 L1 8 1 h 1 i − 23 1 2 2 2 2 + r2 − δ cos φ + δ − L + ξ2 (δ) (δ − 2 L2 cos φ) = 2 L2 8 2 1 − 3 1 = δ(r02 − r12 cos θ − r22 cos φ) + δ 2 r12 − L21 + ξ1 (δ) 2 (δ − 2 L1 cos θ)2 + 2 L1 8 1 − 3 1 + δ 2 r22 − L22 + ξ2 (δ) 2 (δ − 2 L2 cos φ)2 . 2 L2 8 r02 δ

r12

h

2

A δ 6= 0 esetben elosztva mind a két oldalt δ 2 -tel

P˜ (B1 ) − P˜ (B) 1 = (r02 − r12 cos θ − r22 cos φ)+ 2 δ δ

6. FEJEZET. AZ ÉRHÁLÓZAT OPTIMÁLIS ALAKJA − 32 1 2 1 2 2 − L + ξ1 (δ) + r1 (δ − 2 L1 cos θ) + 2 L1 8 1 − 23 1 1 2 2 2 + r2 − L + ξ2 (δ) (δ − 2 L2 cos φ) . 2 L2 8 2

40

Az egyenlet jobb oldalának utolsó két tagja az I intervallumon δ -nak korlátos függvénye, emellett

− 32 1 1 2 r2 sin2 θ 2 lim − L1 + ξ1 (δ) , (δ − 2 L1 cos θ) = 1 δ→0 2 L1 8 2L1 − 32 1 1 2 r22 sin2 φ 2 2 lim r2 − L + ξ2 (δ) (δ − 2 L2 cos φ) = . δ→0 2 L2 8 2 2L2 r12

1 δ→0 δ

Az els® tagnak viszont csak r02 − r12 cos θ − r22 cos φ = 0 esetén van határértéke, mert lim nem létezik.

−→ A P˜ függvény, a B pont és az AB irányú egységvektor teljesíti a 6.3. Állítás feltételeit, ezért létezik

P˜ (B1 ) − P˜ (B) , δ→0 δ2 lim

amib®l következik, hogy

r02 = r12 cos θ + r22 cos φ. 2. eset

Tekintsük most a P˜ függvényt a DB egyenes B középpontú,

1 2

min{L0 , L1 , L2 } sugarú

nyílt intervallumán. Legyen ismét δ ∈ I , és jelölje B1 a DB egyenes azon pontját, melyre a BB1 szakasz el®jeles hossza δ . Az egyenest irányítsuk oly módon, hogy a D pont a negatív félegyenesen legyen. Ebben az esetben is jelölje L∗0 az AB1 szakasz hosszát, L∗1 a

B1 C szakaszét, végül L∗2 a B1 D szakaszét. A koszinusztételt alkalmazva az ABB1 háromszögben q ∗ L0 = L20 + δ 2 − 2 L0 δ cos φ.


41

Ahogy az el®z® esetben, vezessünk be most is egy segédfüggvényt: q g0 (x) := L20 + x, D(g0 ) := [−L20 , +∞). Ezúttal is a 0 középpontú els® Taylor-formulát a Lagrange-féle maradéktaggal felírva kapható

− 3 1 2 1 (δ −2 L0 δ cos φ)− L20 +ξ0 (δ) 2 (δ 2 −2 L0 δ cos φ)2 = 2L0 8 − 23 1 1 2 2 2 = L0 − δ cos φ + δ − L + ξ0 (δ) (δ − 2 L0 cos φ) , 2L0 8 0

L∗0 = g0 (δ 2 −2 L0 δ cos φ) = L0 +

ahol ξ0 (δ) alkalmas 0 és δ 2 −2L0 δ cos φ közötti érték.

L∗1 szintén a koszinusztétel segítségével határozható meg: q q ∗ 2 2 L1 = L1 + δ − 2 L1 δ cos(π − θ − φ) = L21 + δ 2 + 2 L1 δ cos(θ + φ). Használjuk az els® esetben bevezetett g1 (x) :=

p L21 + x, D(g1 ) := [−L21 , +∞) segéd-

függvényt. Az els® Taylor-formula szerint

L∗1 = g1 δ 2 + 2 L1 δ cos(θ + φ) = 1 − 3 2 1 δ 2 + 2 L1 δ cos(θ + φ) − L21 + ξ˜1 (δ) 2 δ 2 + 2 L1 δ cos(θ + φ) = 2L1 8 2 1 2 ˜ − 23 1 2 − L + ξ1 (δ) = L1 + δ cos(θ + φ) + δ δ + 2 L1 cos(θ + φ) , 2L1 8 1

= L1 +

ahol ξ˜1 (δ) alkalmas 0 és δ 2 + 2L1 δ cos(θ + φ) közötti érték. Végül L∗2 = L2 + δ . Ezek alapján

P˜ (B1 ) − P˜ (B) = r02 (L∗0 − L0 ) + r12 (L∗1 − L1 ) + r22 (L∗2 − L2 ) = − 23 1 1 2 2 2 2 = r0 −δ cos φ + δ − L + ξ0 (δ) (δ − 2 L0 cos φ) + 2L0 8 0 2 1 1 2 ˜ − 32 2 2 − L + ξ1 (δ) + r1 δ cos(θ + φ) + δ δ + 2 L1 cos(θ + φ) + r22 δ = 2L1 8 1 − 32 1 1 2 2 2 2 2 2 2 = δ r2 + r1 cos(θ + φ) − r0 cos φ + δ r0 − L + ξ0 (δ) (δ − 2 L0 cos φ) + 2L0 8 0 2 1 1 2 ˜ − 23 2 2 + δ r1 − L + ξ1 (δ) δ + 2 L1 cos(θ + φ) . 2L1 8 1 A δ 6= 0 esetben δ 2 -tel osztva

P˜ (B1 ) − P˜ (B) 1 = r22 + r12 cos(θ + φ) − r02 cos φ + 2 δ δ

6. FEJEZET. AZ ÉRHÁLÓZAT OPTIMÁLIS ALAKJA − 32 1 2 1 2 2 − L + ξ0 (δ) + r0 (δ − 2 L0 cos φ) + 2L0 8 0 2 1 1 2 ˜ − 23 2 + r1 (δ + 2 L1 cos θ + φ) . − L + ξ1 (δ) 2L1 8 1

42

Az egyenlet jobb oldalának utolsó két tagja az I intervallumon korlátos függvénye a δ változónak, és

lim

δ→0

lim

δ→0

r12

r02

− 3 1 1 − L20 + ξ0 (δ) 2 (δ − 2 L0 cos φ)2 2 L0 8

2 − 3 1 1 − L21 + ξ˜1 (δ) 2 (δ + 2 L1 cos θ + φ) 2 L1 8

Az els® tagnak csak akkor van határértéke, ha

=

r02 sin2 φ , 2L0

=

r12 sin2 (θ + φ) . 2L1

1 együtthatója nulla, így ismét a 6.3. δ

Állítás alapján kapható az eredmény:

r22 + r12 cos(θ + φ) − r02 cos φ = 0. 3. eset

A P˜ függvényt tekintsük a CB egyenes B középpontú,

1 2

min{L0 , L1 , L2 } sugarú nyílt

intervallumán. Legyen δ ∈ I , és jelölje B1 a CB egyenesnek azt a pontját, melyre a

BB1 szakasz el®jeles hossza δ . Az egyenest úgy irányítjuk, hogy a C pont a negatív félegyenesére essen. Jelölje újra L∗0 az AB1 szakasz hosszát, L∗1 a B1 C szakaszét, valamint

L∗2 a B1 D szakaszét. A koszinusztételt alkalmazva

L∗0 =

q L20 + δ 2 − 2 L0 δ cos θ.

6. FEJEZET. AZ ÉRHÁLÓZAT OPTIMÁLIS ALAKJA 43 p Az el®z® esetben deniált g0 (x) := L20 + x, D(g0 ) := [−L20 , +∞) függvényre az els® Taylor-formula a Lagrange-féle maradéktaggal az 1 1 2 ˜ − 32 2 2 ∗ 2 L0 = g0 (δ − 2 L0 δ cos θ) = L0 − δ cos θ + δ − L + ξ0 (δ) (δ − 2 L0 cos θ) 2L0 8 0 eredményt adja, ahol ξ˜0 (δ) alkalmas 0 és δ 2 −2L0 δ cos θ közötti érték. L∗1 = L1 + δ.

L∗2 értékét is a koszinusztétel segítségével határozzuk meg: L∗2 =

q q L22 + δ 2 − 2 L2 δ cos(π − θ − φ) = L22 + δ 2 + 2 L2 δ cos(θ + φ).

Most a

q g2 (x) := L22 + x, D(g2 ) := [−L22 , +∞) függvényre felírt els® Taylor-formula alapján

L∗2 = g2 δ 2 + 2 L2 δ cos(θ + φ) = 2 1 2 ˜ − 23 1 2 = L2 + δ cos(θ + φ) + δ − L + ξ2 (δ) δ + 2 L2 cos(θ + φ) , 2L2 8 2 ahol ξ˜2 (δ) alkalmas 0 és δ 2 + 2L2 δ cos(θ + φ) közötti érték. Ezekb®l következik

P˜ (B1 ) − P˜ (B) = r02 (L∗0 − L0 ) + r12 (L∗1 − L1 ) + r22 (L∗2 − L2 ) = 1 2 ˜ − 23 1 2 2 2 − L + ξ0 (δ) = r0 −δ cos θ + δ (δ − 2 L0 cos θ) + 2L0 8 0 2 1 2 ˜ − 32 1 2 2 2 + r1 δ + r2 δ cos(θ + φ) + δ − L + ξ2 (δ) δ + 2 L2 cos(θ + φ) = 2L2 8 2 1 1 2 ˜ − 32 2 2 2 2 2 2 = δ r1 + r2 cos(θ + φ) − r0 cos θ + δ r0 − L + ξ0 (δ) (δ − 2 L0 cos θ) + 2L0 8 0 2 1 1 2 ˜ − 23 2 2 + δ r2 − L + ξ2 (δ) δ + 2 L2 cos(θ + φ) . 2L2 8 2 Ha δ 6= 0, akkor δ 2 -tel osztva

P˜ (B1 ) − P˜ (B) 1 = r12 + r22 cos(θ + φ) − r02 cos θ + 2 δ δ 1 1 2 ˜ − 32 2 2 + r0 − L + ξ0 (δ) (δ − 2 L0 cos θ) + 2L0 8 0 2 1 1 2 ˜ − 32 2 + r2 − L + ξ2 (δ) δ + 2 L2 cos(θ + φ) . 2L2 8 2


44

Az egyenlet jobb oldalának utolsó két tagja az I intervallumon korlátos függvénye a δ változónak, és

lim

δ→0

r02

− 3 1 1 − L20 + ξ˜0 (δ) 2 (δ − 2 L0 cos θ)2 2 L0 8

=

r02 sin2 θ , 2L0

2 2 3 sin (θ + φ) r 1 1 2 − 2 = lim r22 − L2 + ξ˜2 (δ) 2 δ + 2 L2 cos θ + φ) . δ→0 2 L2 8 2 2L2 1 Az els® tagnak egyedül abban az esetben van határértéke, ha együtthatója nulla, vagyis δ

r12 + r22 cos(θ + φ) − r02 cos θ = 0. Ez az egyenlet is a 6.3. Állítás következtében szükséges feltétele annak, hogy a P˜ függvénynek a B pontban minimuma legyen. Három egyenletet kaptunk a θ és φ szögekre:

r02

=

r12

cos θ +

r22

cos φ

r12 = r02 cos θ − r22 cos(θ + φ)

    

.

   2 2 2 r2 = r0 cos φ − r1 cos(θ + φ)  Háromismeretlenes egyenletrendszerként tekintve, ahol az ismeretlenek cos θ, cos φ és

cos(θ + φ), a rendszer determinánsa 2 2 r1 r2 0 2 2 r0 0 −r2 = 2 r02 r12 r22 6= 0. 2 2 0 r0 −r1 Az egyenletrendszer egyértelm¶ megoldása

r04 + r14 − r24 , 2r02 r12 r4 + r24 − r14 cos φ = 0 , 2r02 r22 r4 − r14 − r24 . cos(θ + φ) = 0 2r12 r22 cos θ =

6.5. Következmény. Ha r0 , r1 , r2 ∈ R+

és r03 = r13 +r23 , akkor a (C) egyenletrendszernek

egyértelm¶en létezik (θ, φ) megoldása a [0, π]2 halmazon, s®t a megoldásra (θ, φ) ∈ (0, π2 )2 .


45

Bizonyítás. A (C) egyenletrendszer els® és második egyenletéb®l következik a harmadik, amit a MAPLE programmal ellen®riztem. Foglalkozzunk most a

cos θ =

r04 + r14 − r24 2r02 r12

(∗)

egyenlettel. A jobb oldalon szerepl® hányados értéke pozitív, hiszen r0 > r2 . Az egyenletnek pontosan akkor létezik megoldása, ha

r04 + r14 − r24 ≤ 1. 2r02 r12 Ez az egyenl®tlenség a tett feltevések mellett ekvivalens elemi átalakításokkal a

0 ≤ r12 + (r1 − r2 )2 + r22 feltételhez vezet, ami mindig teljesül, s®t egyenl®ség nem állhat fenn. Mivel cos [0,π] szigorúan monoton csökken és értékkészlete [−1, 1], ezért a (∗) egyenletnek pontosan egy

θ megoldása létezik a [0, π] intervallumon, melyre cos θ ∈ (0, 1) alapján θ ∈ (0, π2 ). Ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazva (C) második egyenletére megkapjuk az állítás

φ szögre vonatkozó részét. Jelölje az ADC háromszög A, D, ill. C csúcsánál fekv® szöget rendre α, β , γ .

6.6. Állítás.

Ha (θ, φ) ∈ (0, π2 )2 , akkor legfeljebb egy olyan B pontja van az ADC három-

szögnek, mely a csúcsoktól különbözik, valamint az AB és AC egyenesek által bezárt szög

θ, az AB és AD egyenesek által bezárt szög pedig φ.

Bizonyítás. A keresett pont a CD szakasz valamelyik θ + φ látókörívén helyezkedik el. Az A ponttól távolabbi látókörív a két végpontja kivételével az ADC háromszögön kívül


46

esik, ezért a háromszögnek csak az A csúcshoz közelebbi látókörívén lehet olyan pontja, amely különbözik mindhárom csúcstól, és a (θ, φ) szögpár tartozik hozzá. Ha θ +φ ≤ α, akkor ennek a látókörívnek az ADC háromszöggel csak csúcs lehet közös pontja. Ha θ + φ > α, akkor az A csúcs a látókörön kívül fekszik. Jelölje E a látókörívnek az AC szakasszal vett, az A ponthoz közelebbi metszéspontját, G pedig az AD szakasszal _ vett A-hoz közelebbi metszéspontját. A π > θ + φ > α feltétel miatt a látókörív GE zárt részíve az ADC háromszögbe esik. Ha a B pont a látóköríven halad a G ponttól az

E pontig, akkor az AB és AD egyenesek által bezárt szög szigorúan monoton növekszik, ezért a látókörívnek legfeljebb egy pontjában lesz a két egyenes által bezárt szög értéke

φ. Mivel a P˜ függvény az ADC háromszög csúcsaiban nem dierenciálható, külön meg kell vizsgáljuk, lehet-e a függvénynek minimuma valamelyik csúcspontban.

r12 − r02 6.7. Állítás. Ha az ADC háromszögben γ < arccos 2 , akkor a P˜ függvénynek nincs r2 lokális minimuma a C pontban. Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy a P˜ függvénynek lokális minimumhelye a C csúcs. Jelölje most az AC szakasz hosszát L0 , a BC szakaszét L2 , végül L1 := 0. A C pontbeli minimum értéke

P˜ (C) = r02 L0 + r22 L2 . Legyen

J :=

1 0, min{L0 , L2 } 2

és δ ∈ J . Jelölje B1 az AC szakasznak azt a pontját, melyre a B1 C szakasz hossza δ . Jelölje továbbá az AB1 szakasz hosszát L∗0 , a B1 C szakaszét L∗1 , végül a B1 D szakaszét

L∗2 .


47

L∗0 = L0 − δ , L∗1 = δ , L∗2 hosszát pedig a koszinusztétel segítségével fejezzük ki: L∗2

q = L22 + δ 2 − 2 L2 δ cos γ.

Használjuk a már ismert g2 (x) :=

p L22 + x,

D(g2 ) := [−L22 , +∞) függvényre felírt 0

középpontú els® Taylor-formulát a Lagrange-féle maradéktaggal:

L∗2 = g2 δ 2 − 2 L2 δ cos γ = 2 − 32 1 2 1 2 − L + η(δ) δ − 2 L2 cos γ , = L2 − δ cos γ + δ 2L2 8 2 ahol η(δ) alkalmas 0 és δ 2 − 2L2 δ cos γ közötti érték. Ha a P˜ függvénynek lokális minimuma van a C csúcsban, akkor a

P˜ (B1 ) − P˜ (C) ≥ 0 feltétel kell, hogy teljesüljön a C csúcs egy környezetében az AC szakasz minden B1 pontjára. Ekkor

0 ≤ P˜ (B1 ) − P˜ (C) = r02 (L∗0 − L0 ) + r12 (L∗1 − L1 ) + r22 (L∗2 − L2 ) = − 23 1 1 2 2 2 2 2 2 = r0 (−δ) + r1 δ + r2 −δ cos γ + δ (δ − 2L2 cos γ) . − L + η(δ) 2L2 8 2 A δ -ra vonatkozó egyenl®tlenség teljesül a nulla egy pontozott jobb oldali környezetében. Ott e pozitív számmal osztva

(r12

−

r02

−

r22

cos γ) +

r22

δ

− 3 1 1 2 − L2 + η(δ) 2 (δ − 2L2 cos γ)2 2L2 8

≥ 0.


48

A második tag határértéke δ → 0+ esetén nulla, mert az utolsó tényez®je a J intervallumon korlátos. Ezért az egyenl®tlenség csak akkor áll fenn J minden elemére, ha

r12 − r02 − r22 cos γ ≥ 0. Ebb®l kapjuk az

r12 − r02 ≥ cos γ r22

feltételt. Mivel a koszinuszfüggvény a [0, π ] intervallumon szigorúan monoton fogy, így

arccos

r12 − r02 ≤ γ. r22

Tehát a levezetett egyenl®tlenség szükséges feltétele annak, hogy a P˜ függvénynek lokális minimuma legyen a C pontban. A 6.7. Állítás megfelel®je a D csúcsra is megfogalmazható: ha az ADC háromszögben r2 − r2 β < arccos 2 2 0 , akkor a P˜ függvénynek nincs lokális minimuma a D csúcsban. r1

6.8. Következmény. Ha az ADC háromszögnek sem a C , sem a D csúcsánál fekv® szöge nem tompaszög, akkor a P˜ függvénynek e két csúcspont egyikében sincs lokális minimuma. Bizonyítás. Az r03 = r13 + r23 összefüggésb®l következik r1 , r2 < r0 . Ezért a P˜ függvénynek pl. a C pontban csak akkor lehet lokális minimuma, ha

π r2 − r2 < arccos 1 2 0 ≤ γ, 2 r2 ami ellentmond a feltevésnek.

6.9. Állítás.

Ha a P˜ függvénynek lokális minimuma van az A csúcsban, akkor a 6.4.

Állításbeli (C) egyenletrendszer (θ,φ) ∈ (0, π2 )2 megoldására θ + φ ≤ α. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az A pontban a P˜ függvénynek lokális minimuma van. Jelölje most az AC szakasz hosszát L1 , az AD szakaszét L2 , valamint legyen L0 := 0. P˜ lokális minimumértéke az A pontban

P˜ (A) = r12 L1 + r22 L2 . Legyen

1 J ∗ := 0, min{L1 , L2 } 2


49

és δ ∈ J ∗ . Legyen B1 az ADC háromszög olyan pontja, melynek távolsága az A csúcstól

δ . Jelölje az AB1 és AC egyenesek által bezárt szöget α1 , az AB1 és AD egyenesek által bezárt szöget pedig α2 (α1 + α2 = α, α1 , α2 ≥ 0). Jelölje továbbá L∗0 az AB1 szakasz, L∗1 a B1 C szakasz, L∗2 pedig a B1 D szakasz hosszát.

L∗0 = δ . L∗1 és L∗2 értékét a koszinusztétellel fejezezzük ki: L∗1 =

q L21 + δ 2 − 2 L1 δ cos α1 ,

L∗2 =

q L22 + δ 2 − 2 L2 δ cos α2 .

A korábban bevezetett g1 és g2 segédfüggvényekre a 0 középpontú els® Taylor-formula a Lagrange-féle maradéktaggal az alábbiakat adja:

1 − 3 1 − L21 + η1 (δ) 2 (δ − 2 L1 cos α1 )2 , 2 L1 8 1 − 3 1 − L22 + η2 (δ) 2 (δ − 2 L2 cos α2 )2 , L∗2 = L2 − δ cos α2 + δ 2 2 L2 8

L∗1 = L1 − δ cos α1 + δ 2

ahol η1 (δ), η2 (δ) alkalmas 0 és δ 2 − 2L1 δ cos α1 , ill. 0 és δ 2 − 2L2 δ cos α2 közötti érték. Mivel a P˜ függvénynek lokális minimuma van az A csúcsban, létezik a csúcsnak olyan környezete, amelyb®l választva az ADC háromszög B1 pontját mindig teljesül a P˜ (B1 ) −

P˜ (A) ≥ 0 egyenl®tlenség. Ha a környezet sugara legfeljebb

1 2

min{L1 , L2 }, akkor

P˜ (B1 ) − P˜ (A) = r02 (L∗0 − L0 ) + r12 (L∗1 − L1 ) + r22 (L∗2 − L2 ) =

1 − 3 1 − L21 + η1 (δ) 2 (δ − 2 L1 cos α1 )2 + 2 L1 8 1 − 32 1 2 2 2 + δ r2 − L + η2 (δ) (δ − 2 L2 cos α2 ) . 2 L2 8 2

= δ (r02 − r12 cos α1 − r22 cos α2 ) + δ r12


50

A 6.4. Állítás bizonyításában felhasználtakhoz hasonlóan − 32 r2 sin2 αi 1 1 2 2 2 (δ − 2 Li cos αi ) = i lim ri − Li + ηi (δ) ∈ R+ , i = 1, 2, δ→0 2 Li 8 2Li ezért a lokális minimum szükséges feltételeként az

r02 − r12 cos α1 − r22 cos α2 ≥ 0,

α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = α,

vagyis az

r02 − r12 cos α1 − r22 cos(α − α1 ) ≥ 0,

α1 ∈ [0, α]

egyenl®tlenséghez jutunk. Tekintsük az

f (α1 ) := r02 − r12 cos α1 − r22 cos(α − α1 ),

α1 ∈ [0, α]

függvényt, keressük ennek a minimumát. Abban a bels® pontban lehet lokális széls®értéke a függvénynek, melyre

f 0 (α1 ) = r12 sin α1 − r22 sin(α − α1 ) = 0, Az egyenletet megoldva a

α1 ∈ (0, α).

sin(α − α1 ) r2 = 12 sin α1 r2

összefüggéshez jutunk. Vezessük be a

g(α1 ) :=

sin(α − α1 ) , sin α1

α1 ∈ (0, α)

függvényt, vizsgáljuk ennek segítségével az f függvényt. A g függvény folytonos, továbbá

lim g(α1 ) = +∞,

α1 →0+

lim g(α1 ) = 0.

α1 →α−

A g függvény deriváltja a szinuszfüggvényre vonatkozó addíciós képletet alkalmazva

g 0 (α1 ) =

− cos(α − α1 ) sin α1 − sin(α − α1 ) cos α1 sin α =− 2 , 2 (sin α1 ) sin α1

α1 ∈ (0, α).

A derivált negatív, ezért g a (0, α) intervallumon szigorúan monoton csökken, aminek r2 következtében egyértelm¶en létezik olyan α1∗ ∈ (0, α) szög, melyre g(α1∗ ) = 12 . r2


51

Térjünk vissza az f függvényhez. Tudjuk, hogy f 0 (α1∗ ) = 0. A (0, α1∗ ) intervallumon f 0 negatív, az (α1∗ , α) intervallumon pedig pozitív, tehát az f függvénynek globális minimuma van az α1∗ pontban. A minimumpontban teljesül az

r12 sin α1∗ = r22 sin(α − α1∗ ) egyenl®ség. Ismét az addíciós képletet alkalmazva az

r12 sin α1∗ = r22 (sin α cos α1∗ − cos α sin α1∗ ) eredményt kapjuk. Átrendezve az egyenletet

(r12 + r22 cos α) sin α1∗ = r22 sin α cos α1∗ . Mindkét oldalt négyzetre emelve, majd a cos2 α1∗ = 1 − sin2 α1∗ azonosságot felhasználva

2 (r1 + r22 cos α)2 + (r22 sin α)2 sin2 α1∗ = (r22 sin α)2 , sin α1∗

=p

r22 sin α r14 + 2 r12 r22 cos α + r24

,

| cos α1∗ |

|r12 + r22 cos α| p = . r14 + 2 r12 r22 cos α + r24

Az f függvény minimuma

f (α1∗ ) = r02 − r12 cos α1∗ − r22 cos(α − α1∗ ) = = r02 − r12 cos α1∗ − r22 (cos α cos α1∗ + sin α sin α1∗ ) = = r02 − (r12 + r22 cos α) cos α1∗ − r22 sin α sin α1∗ . Ebb®l az alakból látszik, hogy f legkisebb értékét akkor kapjuk, amikor

r2 + r2 cos α cos α1∗ = p 4 1 2 22 . r1 + 2 r1 r2 cos α + r24 A minimumérték

r2 + r2 cos α f (α1∗ ) = r02 − (r12 + r22 cos α) p 4 1 2 22 r1 + 2 r1 r2 cos α + r24 r22 sin α − r22 sin α p 4 = r1 + 2 r12 r22 cos α + r24


= r02 −

52

(r14 + r12 r22 cos α) + (r12 r22 cos α + r24 cos2 α) + r24 sin2 α p = r14 + 2 r12 r22 cos α + r24 q = r02 − r14 + 2 r12 r22 cos α + r24 .

Tehát ha a P˜ függvénynek lokális minimuma van az A pontban, akkor teljesül az

f (α1∗ )

=

r02

−

q

r14 + 2 r12 r22 cos α + r24 ≥ 0

egyenl®tlenség. Ezzel ekvivalens

r04 ≥ r14 + 2 r12 r22 cos α + r24 , r04 − r14 − r24 ≥ cos α. 2 r12 r22 Ha (θ, φ) ∈ (0, π2 )2 a 6.4. Állításban szerepl® (C) egyenletrendszer megoldása, akkor

cos(θ + φ) =

r04 − r14 − r24 . 2 r12 r22

Az utolsó két egyenl®tlenség szerint

cos(θ + φ) ≥ cos α szükséges feltétele annak, hogy a P˜ függvénynek lokális minimuma legyen az A csúcsban. A cos [0,π] függvény szigorúan monoton csökken, ezért a szükséges feltétel az

θ+φ≤α egyenl®tlenséget jelenti.

6.10. Következmény.

Ha az ADC háromszögben a C és a D csúcsnál fekv® szög nem

tompaszög, továbbá a (C) egyenletrendszer (θ,φ) ∈ (0, π2 )2 megoldására θ + φ ≤ α, akkor a P˜ függvény egyetlen minimumhelye az A csúcspont. Bizonyítás. A 6.1. Állítás szerint a P˜ függvénynek az ADC háromszögben van legkisebb értéke, és a 6.8. Következmény alapján a minimumhely nem a C , sem a D csúcs. Ha a függvény a legkisebb értékét nem csúcspontban érné el, akkor a 6.4. Állítás szerint a minimumhely a CD szakasz egyik θ + φ látókörívén helyezkedne el, de a látókörívnek

θ + φ < α esetén csak a végpontjai, míg θ + φ = α esetén a háromszög csúcspontjai esnek az ADC háromszögbe. Tehát az egyetlen minimumhely az A pont.


6.11. Következmény.

53

Ha az ADC háromszögben a C és a D csúcsnál fekv® szög nem

tompaszög, továbbá a (C) egyenletrendszer (θ,φ) ∈ (0, π2 )2 megoldására θ +φ > α, akkor a

P˜ függvény minimuma a (θ, φ) szögpár által egyértelm¶en meghatározott pontban van. Bizonyítás. A P˜ függvénynek a 6.1. Állítás szerint az ADC háromszögben van legkisebb értéke. A feltevések miatt egyik csúcspont sem minimumhely (6.8. Következmény, 6.9. Állítás). Ezért P˜ az ADC háromszög csúcsoktól különböz® olyan B pontjában veszi fel a minimumát, melyre θ az AB és BC , φ pedig az AB és BD egyenesek által bezárt szög (6.4. Állítás). A minimumhely a 6.6. Állítás következtében egyértelm¶.

Köszönetnyilvánítás

Köszönettel tartozom témavezet®mnek, Pfeil Tamásnak, odaadó segítségéért és türelméért. Köszönöm Tamaga Istvánnak és Stabel Ferencnek a nyelvhelyességi ellen®rzést, és az ötleteiket, tanácsaikat, melyek segítségével munkám eredményesebb lehetett. Hálás vagyok családomnak és a szeretteimnek támogatásukért.

54

Irodalomjegyzék

[1] A csodálatos emberi test, Reader's Digest Kiadó Kft, Budapest, 2001. [2] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Analízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2006. [3] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007. [4] Landau, L. D., Lifsic, E. M., Elméleti zika VI. Hidrodinamika, 2. fejezet: Súrlódó folyadékok 65-131, Tankönykiadó, Budapest, 1980. [5] Monos Emil, A vénás rendszer élettana, Budapest, Semmelweis Egyetem, 2004. [6] Monos Emil, Az érfal biomechanikája, Budapest, Medicina Kiadó, 1986. [7] Monos Emil, Hemodinamika, A vérkeringés biomechanikája, Semmelweis Kiadó, Budapest, 2004. [8] C. D. Murray, The Physiological Principle of Minimum Work I., Proc. nat. Acad. Sci. 12 (1926), 207-214. [9] C. D. Murray, The Physiological Principle of Minimum Work Applied to the Angle

of Branching of Arteries, J. gen. Physiol. 9 (1926), 835-841. [10] Robert Rosen, Optimality Principles in Biology, 3. fejezet: The vascular system 4160, Butterworths, London, 1967. [11] S. I. Rubinow, Introduction to mathematical biology, 4. fejezet: Biological uid dynamics 156-171, Wiley, New York, 1975. [12] S. I. Rubinow, J. B. Keller, Flow of Viscous Fluid Through an Elastic Tube with

Applications to Blood Flow, Journal of Theoretical Biology 35 (1972), 299-313. 55

IRODALOMJEGYZÉK

56

[13] Szemere György (szerk.), Alkalmazott biológia, Semmelweis Kiadó, Budapest, 1995. [14] Internetes forrás, Monos Emil, A vérkeringés élettana I. Bevezetés,

http://www.humanelettan.usn.hu/pivot/entry.php?id=112 [15] Internetes forrás, Donorinfo, Az emberi vér,

http://www.dnr.hu/tetudod/ver.php [16] Internetes forrás, Kempelen Farkas Digitális Tankönyvtár, Az érrendszer,

http://www.tankonyvtar.hu/mezogazdasag/haziallatok-080903-173

Az analízis alkalmazásai az érrendszer vizsgálatában

Recommend Documents