Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Fakulta aplikované informatiky
AUTOMATIZACE Vybrané statě
PAVEL NAVRÁTIL
ZLÍN 2011
© Pavel Navrátil Recenzent: prof. Ing. Miluše Vítečková, CSc. ISBN: 978-80-7318-935-8
Obsahem vytvořených učebních podkladů (skript), jsou vybrané základní části z oblasti automatizace. Samotná skripta jsou rozdělena do tří částí. Zabývají se postupně oblastí logického řízení, další část je pak věnována oblasti lineárních spojitých i diskrétních dynamických systémům, včetně jejich řízení a poslední část pak obsahuje vybrané transformační vztahy z oblasti spojitých a diskrétních systémů, tj. slovníky Laplaceovy transformace a Z-transformace a také základy práce s programem MATLAB a jeho nadstavbou SIMULINK. Vzhledem ke snadnější čitelnosti a také vzhledem k tomu, že skripta obsahují víceméně základní znalosti, nejsou přímo v textu uváděny odkazy na použitou literaturu. Výčet použité literatury je jako takový uveden v závěrečné části učebních podkladů. Pro získání dalších informací z oblasti automatizace autor doporučuje následující publikace: BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 2. přeprac. vyd. Praha : BEN - technická literatura, Praha, 2004. 664 s. ŠVARC, I., ŠEDA, M., VÍTEČKOVÁ, M. Automatické řízení. Brno: Akademické nakladatelství CERM, FSI VUT v Brně, 2007. 324 s. VÍTEČKOVÁ, M., VÍTEČEK, A. Základy automatické regulace. 2. přeprac. vyd. Ostrava: VŠB-Technická univerzita Ostrava, 2008. 244s.
3
Obsah SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK ................................................................ 6 0
ÚVOD DO ZÁKLADŮ AUTOMATIZACE..................................................................... 11 0.1 Základní rozdělení ........................................................................................................ 11 0.2 Modely a regulační obvody .......................................................................................... 15
1
0.2.1
Základní regulační obvod .................................................................................... 15
0.2.2
Rozvětvené regulační obvody ............................................................................. 19
0.2.3
Mnohorozměrové regulační obvody ................................................................... 23
LOGICKÉ ŘÍZENÍ ............................................................................................................ 26 1.1 Logické členy a logické obvody ................................................................................... 26 1.1.1
Kombinační logické obvody ............................................................................... 26
1.1.2
Sekvenční obvody ............................................................................................... 29
1.2 Kanonické tvary ........................................................................................................... 36 1.3 Booleova algebra .......................................................................................................... 38 1.4 Karnaughova mapa ....................................................................................................... 41 1.5 Quineova-McCluskeyova metoda ................................................................................ 47 1.6 Mřížka prostých implikantů ......................................................................................... 49 1.7 Vybrané příklady z oblasti logických úloh................................................................... 51 2
LINEÁRNÍ SYSTÉMY ..................................................................................................... 64 2.1 Laplaceova transformace a Z-transformace ................................................................. 67 2.1.1
Přímá L-transformace a Z-transformace ............................................................. 67
2.1.2
Zpětná L-transformace a Z-transformace ............................................................ 72
2.1.3
Výpočet Z-přenosu spojité části obvodu ............................................................. 79
2.1.4
Vybrané vlastnosti L-transformace a Z-transformace ......................................... 81
2.1.5
Využití L-transformace a Z-transformace ........................................................... 82
2.1.6
Přepočtové vztahy mezi spojitými a diskrétními systémy .................................. 87
2.1.7
Vybrané příklady pro využití L-transformace a Z-transformace ........................ 88
2.2 Popis vlastností lineárních systémů .............................................................................. 90 2.2.1
Lineární diferenciální rovnice, lineární diferenční rovnice a přenos .................. 90
2.2.2
Póly a nuly systému ............................................................................................. 97
2.2.3
Přechodová funkce a charakteristika, impulsní funkce a charakteristika .......... 101
2.2.4
Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky ................................................ 109
4
2.2.5
Typy dynamických členů .................................................................................. 122
2.2.6
Příklady na vybrané vlastnosti lineárních systémů ........................................... 126
2.3 Určení výsledného přenosu složeného systému ......................................................... 127 2.3.1
Bloková algebra ................................................................................................. 127
2.3.2
Příklady na určení výsledného přenosu složeného systému .............................. 134
2.4 Regulační obvod ......................................................................................................... 135 2.5 Stabilita systému a její kritéria ................................................................................... 148 2.5.1
Kritéria stability ................................................................................................. 151
2.5.2
Vybrané příklady na určení stability systému ................................................... 168
2.6 Typy řízených systémů ............................................................................................... 169 2.7 Identifikace řízených systémů .................................................................................... 176 2.7.1
Graficko-početní metody identifikace přechodových charakteristik řízených systémů .............................................................................................................. 177
2.7.2
Úprava přenosů řízených systémů ..................................................................... 197
2.7.3
Vybrané příklady na identifikaci řízeného systému .......................................... 201
2.8 Regulátory a metody jejich nastavení ........................................................................ 205
3
2.8.1
Rozdělení regulátorů ......................................................................................... 205
2.8.2
Metody pro nastavení parametrů regulátoru...................................................... 219
2.8.3
Kvalita regulace ................................................................................................. 272
2.8.4
Vybrané příklady na syntézu regulačního obvodu ............................................ 273
DOPLŇKY ....................................................................................................................... 278 3.1 Základní slovník Laplaceovy transformace a Z-transformace ................................... 278 3.2 Základní popis programu MATLAB .......................................................................... 279 3.2.1
Základní práce s MATLABem .......................................................................... 280
3.2.2
Doplňující vybrané informace k programu MATLAB ..................................... 283
3.2.3
Základní práce a stručný popis nadstavy MATLABu - SIMULINK ................ 286
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY .................................................................................... 289
5
SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK Seznam symbolů ai
koeficienty levé strany lineární diferenciální i diferenční rovnice, koeficienty mnohočlenu ve jmenovateli přenosu
aO
zesílení otevřeného regulačního obvodu u metody požadovaného modelu
A(ω)
modul frekvenčního (kmitočtového) přenosu ( A( ) mod G ( j ) ), grafické vyjádření A(ω) = amplitudová frekvenční (kmitočtová) charakteristika
bi
koeficienty pravé strany lineární diferenciální i diferenční rovnice, koeficienty mnohočlenu v čitateli přenosu
cS
koeficient přenosu integrační regulované soustavy, statický činitel rychlosti
e
regulační odchylka, základ přirozených logaritmů
f
obecná funkce
G
přenosová funkce
G(s)
obrazový L-přenos (Laplaceův přenos)
G(z)
diskrétní (obrazový) Z-přenos
G(jω)
frekvenční (kmitočtový) přenos ( G ( j ) P( ) jQ ( ) A( )e j ( ) ), grafické vyjádření G(jω) = amplitudo-fázová kmitočtová charakteristika (Nyquistova křivka)
GS
přenos regulované soustavy
GR
přenos regulátoru
GE/V
odchylkový přenos poruchy
GE/W
odchylkový přenos řízení
GV/Y
přenos poruchy
GW/Y
přenos řízení
h(t)
(spojitá) přechodová funkce, grafické vyjádření h(t) = (spojitá) přechodová charakteristika
h(kT)
diskrétní přechodová funkce, grafické vyjádření h(kT) = diskrétní přechodová charakteristika
hw(t)
přechodová funkce regulačního obvodu vyvolaná žádanou veličinou
H(s)
L-obraz (spojité) přechodové funkce, tvarovač v diskrétním regulačním obvodu
H(z)
Z-obraz diskrétní přechodové funkce
Hi
Hurwitzovy subdeterminanty (i = 1, 2, …, n-1)
i(t)
(spojitá) impulsní funkce, grafické vyjádření i(t) = (spojitá) impulsní charakteristika 6
i(kT)
diskrétní verze impulsní funkce, grafické vyjádření i(kT) = diskrétní impulsní charakteristika
I(s)
L-obraz (spojité) impulsní funkce
I(z)
Z-obraz diskrétní impulsní funkce
j
imaginární jednotka ( j 1 )
JK
kvadratická regulační plocha
k
zesílení regulované soustavy (řízeného systému)
kP
proporcionální konstanta (váha proporcionální složky, zesílení) spojitého regulátoru, proporcionální konstanta (váha proporcionální složky) diskrétního regulátoru
kPk
kritické zesílení diskrétního nebo spojitého regulátoru
kS
sumační konstanta (váha sumační složky) diskrétního regulátoru
kD
diferenční konstanta (váha diferenční složky) diskrétního regulátoru
kT
diskrétní čas
L
dopravní zpoždění, indukčnost cívky
L
operátor přímé L-transformace (Laplaceovy transformace)
L-1
operátor zpětné (inverzní) L-transformace (Laplaceovy transformace)
m
stupeň čitatele přenosu, řád derivace nebo diference pravé strany lineární diferenciální nebo diferenční rovnice
n
stupeň jmenovatele přenosu, řád derivace nebo diference levé strany lineární diferenciální nebo diferenční rovnice
ni
kořeny čitatele přenosu (nuly)
pi
kořeny jmenovatele přenosu (póly)
pp
pásmo proporcionality
q
řád integračního členu, stupeň astatismu (typ) regulačního obvodu
q 0, q 1, q 2
koeficienty vyskytující se u polynomiálního zápisu přenosu spojitého, příp. diskrétního PID regulátoru
r
řád derivačního členu
r0
proporcionální konstanta (váha proporcionální složky, zesílení) spojitého regulátoru
r0k
kritické zesílení spojitého regulátoru
r-1
integrační konstanta (váha integrační složky) spojitého regulátoru
r1
derivační konstanta (váha derivační složky) spojitého regulátoru
s
komplexní proměnná (s = α + jβ), nezávisle proměnná u obrazu v L-transformaci (Laplaceově transformaci) 7
t
(spojitý) čas
tr
doba regulace
T
perioda vzorkování
Tk
kritická perioda kmitů
TD
derivační časová konstanta
Ti
setrvačná časová konstanta (i = 0, 1, 2, …)
TI
integrační časová konstanta
Tn
doba náběhu
Tu
doba průtahu
u
akční veličina, řídicí veličina (řízení), vstupní veličina (vstup), napětí
uH
výstupní veličina z tvarovače, tj. po částech spojitá akční veličina v diskrétním regulačním obvodu
v, n
poruchová veličina (porucha)
w
žádaná veličina, nezávisle proměnná u bilineární transformace
x
vstupní veličina u logických obvodů
y
regulovaná veličina, výstupní veličina (výstup), výstupní veličina u logických obvodů
z
nezávisle proměnná u obrazu v Z-transformaci (z = e sT)
Z
operátor přímé Z-transformace
Z-1
operátor zpětné (inverzní) Z-transformace
α
reálná část komplexně proměnné s (α = Re s), koeficient u metody požadovaného modelu, koeficient u Naslinovy metody
β
imaginární část komplexně proměnné s (β = Im s), koeficient u metody požadovaného modelu
δ
relativní tolerance regulačního pochodu
δ(t)
(spojitý) Diracův jednotkový impuls
δ(kT)
diskrétní Diracův jednotkový impuls
Δ
operátor dopředné diference, přesnost regulačního pochodu
operátor zpětné diference
η(t)
(spojitý) Heavisideův jednotkový skok
η(kT)
diskrétní Heavisideův jednotkový skok
φ(ω)
fáze frekvenčního (kmitočtového) přenosu ( ( ) arg G ( j ) ), grafické vyjádření φ(ω) = fázová frekvenční (kmitočtová) charakteristika
koeficient poměrného tlumení regulované soustavy 8
κ
hodnota překmitu u metody požadovaného modelu
τi
časová konstanta (i = 0, 1, 2, …)
ω
úhlový kmitočet
Seznam zkratek A/Č
analogově-číslicový převodník
arg
argument
Č/A
číslicově-analogový převodník
dB
decibel
dek
dekáda
Im
imaginární, imaginární část
lim
limita
max
maximální, maximum
mod
modul
PID
proporcionálně integračně derivační analogový (spojitý) regulátor
PSD
proporcionálně sumačně diferenční číslicový (diskrétní) regulátor, diskrétní regulátor PID
Re
reálný, reálná část
9
0 ÚVOD DO ZÁKLADŮ AUTOMATIZACE 0.1 Základní rozdělení ........................................................................................................ 11 0.2 Modely a regulační obvody .......................................................................................... 15 0.2.1
Základní regulační obvod .................................................................................... 15
0.2.2
Rozvětvené regulační obvody ............................................................................. 19
0.2.3
Mnohorozměrové regulační obvody ................................................................... 23
10
0 ÚVOD DO ZÁKLADŮ AUTOMATIZACE Snaha člověka osvobodit se od fyzických činností a také od jednotvárných a unavujících duševních činností vede k automatizaci těchto činností. Tento proces, při kterém je lidská řídicí činnost při výrobě i mimo výrobní proces nahrazována činností různých přístrojů a zařízení, je nazýván automatizací. Cílem automatizace je tedy odstranění nebo potlačení vlivu lidského faktoru (schopnost včas a přesně zasahovat) na výrobní objekt nebo jiný technický objekt. Příkladem může být např. udržování konstantní teploty v místnosti, udržování výšky hladiny v zásobníku, udržování rychlosti otáčení parní turbíny, udržování vlhkosti v líhni, eliminace poruchových veličin, atd. Neoddělitelným základem automatizace je řízení. Teoretickou disciplínou, která se zabývá řízením je obor nazývaný kybernetika, jejímž zakladatelem je Norbert Wiener. Kybernetika je věda, která zkoumá obecné vlastnosti a zákonitosti řízení v biologických, technických a společenských systémech. Teoretická kybernetika se zabývá vědami obecného a abstraktního charakteru, tj. teorie systémů, teorie řízení (regulace), teorie informace, teorie algoritmů, teorie her, teorie automatů, teorie učení, atd. Z hlediska praktického využití je možno v rámci aplikované kybernetiky rozlišovat technickou kybernetiku, ekonomickou kybernetiku, organizační kybernetiku, biologickou kybernetiku, pedagogickou kybernetiku, vojenskou kybernetiku, atd. V každém z odvětví aplikované kybernetiky se vždy přitom využívá určitých aspektů teoretické kybernetiky.
0.1 Základní rozdělení Jak bylo uvedeno výše, základem automatizace je řízení. Řízení je cílené působení na řízený objekt (řízený systém) tak, aby se dosáhlo určitého předepsaného cíle. Podle způsobu provedení řízení, je možno rozlišit řízení na ruční a automatické. Příkladem může být řízení letadla člověkem nebo autopilotem, řízení teploty člověkem nebo regulátorem (řídicím systémem). Podle přívodu energie je možno automatické řízení rozdělit na přímé řízení a nepřímé řízení. U přímého řízení probíhá řídicí proces bez přívodu energie, např. regulace výšky hladiny v parním kotli podle I. V. Polzunova z roku 1765 nebo regulace otáček (úhlové rychlosti) parního stroje podle J. Watta z roku 1784. O jejich vhodné konstrukci svědčí skutečnost, že se používají v modifikovaném provedení doposud. U nepřímého řízení probíhá řídicí proces s vnějším přívodem energie, tento druh řízení dnes převažuje. 11
b)
a) pára
voda
Obrázek 0.1 - Principiální schéma Pulzunovova regulátoru výšky hladiny v parním kotli (a) a Wattova regulátoru otáček parního stroje (b) Princip Polzunovova regulátoru výšky hladiny v parním kotli je jednoznačně zřejmý z výše uvedeného obrázku (viz Obrázek 0.1a). Watův regulátor (viz Obrázek 0.1b) udržuje otáčky parního stroje při proměnném tlaku páry a proměnném zatěžovacím momentu na konstantní hodnotě. Úhlová rychlost (otáčky) parního stroje je snímána prostřednictvím roztěžníku, který je převody spojen s hlavním hřídelem. Zvýšení otáček způsobené poklesem zatěžovacího momentu stroje či stoupnutím tlaku páry vede na následné zvýšení odstředivé síly působící na obě závaží roztěžníku, závaží se zvednou, posunou dolů objímku, a tento pohyb je přenesen pákovým mechanismem na ventil, jenž se přivře a sníží tak průtok páry potrubím. Došlo-li by naopak k poklesu otáček, stejný mechanismus ventil pootevře a průtok páry opětovně zvýší. Tento regulátor tedy udržuje otáčky parního stroje na hodnotě, jejíž velikost (žádanou hodnotu) je možno měnit nastavením polohy osy otáčení pákového mechanismu. Je tak realizována mechanická záporná zpětná vazba, která dovoluje působením poměrně malých sil regulovat velmi výkonný stroj. Dalším hlediskem pro dělení řízení je zda výsledek řízení je nebo není zpětně kontrolován, tzn. zda je obsažena zpětná vazba při řízení. Podle toho je možno řízení rozlišit na ovládání, regulaci a vyšší formy řízení. Ovládání je řízení bez zpětné vazby (viz Obrázek 0.2a), regulace je řízení se zpětnou vazbou (viz Obrázek 0.2b). Regulace je udržování určité fyzikální veličiny na požadované hodnotě (konstantní hodnotě nebo měnící se hodnotě). Během regulace se zjišťují hodnoty určité fyzikální veličiny a srovnávají se s hodnotou, kterou má mít. Podle zjištěných odchylek se zasahuje do regulačního procesu tak, aby se tyto 12
odchylky (rozdíly) odstranily. Mezi vyšší formy řízení patří např. optimální řízení a adaptivní řízení. Optimální řízení je takové, kdy systém dosáhne požadovaných vlastností např. v nejkratším čase nebo naopak při minimu vynaložené energie, tedy s maximální účinností. Systém je přitom schopen vyhledat nejvýhodnější působení a dosáhnout tak co nejlepšího chování celého systému v daných omezujících podmínkách. Adaptivní řízení je takové, kdy systém je schopen měnit svou strukturu tedy i své parametry tak, aby proces řízení probíhal stále optimálně, a to i při změnách parametrů řízeného objektu (řízeného systému). a) Ovládání
b) Regulace vnější působení
vstup
řídicí řízení systém
vnější působení
řízený výstup systém
vstup
řídicí řízení systém
řízený výstup systém
zpětná vazba (informace o stavu řízeného systému)
Obrázek 0.2 - Blokové schéma pro ovládání (a) a pro regulaci (b) Technicky lze automatické řízení uskutečnit několika způsoby, které se liší principem působení řídicího systému na řízený systém. Z uvedeného hlediska je možno rozdělit automatické řízení na logické, spojité a diskrétní. Logické řízení využívá k řízení dvouhodnotových veličin (dvě možnosti). Jsou tedy vždy jen dvě možnosti, tj. ventil je otevřen nebo zavřen, vypínač je sepnut nebo vypnut, atd. Také informace o stavu objektu jsou jen dvouhodnotové veličiny, tj. hladina je nad nebo pod minimální hodnotou, teplota je nad nebo pod požadovanou hodnotou, atd. Dvouhodnotové veličiny jsou formálně vyjadřovány hodnotami 0 a 1. Jsou analogické s proměnnými výrokové logiky, a proto jsou vztahy mezi proměnnými nazývány logické funkce a řídicí obvody pracující na tomto principu jsou logické řídicí obvody. Spojité řízení je takové, kde jak řídicí systém tak i řízený systém jsou spojité, tj. vstupně/výstupní veličiny těchto systémů jsou veličiny spojitě proměnné v čase. Spojitý řídicí systém vytváří (na rozdíl od diskrétního systému) nepřetržitou vazbu mezi vstupy a výstupy. Všechny veličiny spojitého systému jsou spojitě proměnné v čase, žádná z nich není ani dvouhodnotová ani diskrétní. Diskrétní řízení je důsledkem nasazení počítačů jako regulátorů (řídicích systémů). U řídicích počítačů, které ani nedovedou zpracovávat spojitý signál, je nutný spojitý signál převádět na diskrétní. Diskrétní řídicí systém vytváří vztah mezi vstupy a výstupy jako vztah mezi posloupnostmi impulsů, snímaných v časovém sledu daném tzv. vzorkovací periodou. Mezi okamžiky vzorkování není regulovaná veličina 13
měřena a ani akční veličina není upravována. Tato vzorkovací perioda je tím kratší, čím rychlejší je řízený proces. Spojité řízení je dnes spíše na ústupu, logické a diskrétní řízení je přitom možno realizovat na jednom a tomtéž programovatelném automatu. Diskrétní řízení realizované s velmi krátkou periodou vzorkování může být přibližně shodné se spojitým, volba periody vzorkování však výrazně ovlivňuje chování výstupní veličiny řízeného systému z hlediska stability. Jak bylo uvedeno výše jedním z hledisek řízení je zda výsledek řízení je nebo není zpětně kontrolován, tzn. zda je při řízení obsažena zpětná vazba. Ve skutečnosti se zpětná vazba vyskytuje všude kolem nás, např. zpětná vazba v přírodě, v ekonomice, atd. Zpětná vazba např. sehrála svou roli při vývoji teplotního klimatu na planetě Zemi. Země ve své historii jako jediná ve Sluneční soustavě dokázala udržet takové klima, aby zde mohl vzniknout život a to zejména díky své poloze ve Sluneční soustavě a ochrannému obalu (atmosféře). Zemské klima je z určitého pohledu relativně stabilní a to i díky řadě stabilních zpětných vazeb. Například oxid uhličitý způsobuje v atmosféře skleníkový efekt. Pokud by ho bylo v atmosféře přebytek, teplo by nemohlo být účinně odváděno ze Země pryč do Vesmíru a planeta by se díky slunečním paprskům a vlastním zdrojům tepla (jádro) oteplovala. Teplo způsobuje intenzivnější bujení vegetace, která pak odebírá CO2 z atmosféry, díky čemuž nedochází k přehřátí planety. Vlivem působení civilizace se však mohou tyto zpětné vazby narušit a mohou se tak stát nestabilními. Dalším příkladem zpětné vazby mohou být oscilace v početním vývoji predátorů a jejich kořistí ve volné přírodě. Pokud je málo kořisti, začnou predátoři umírat hlady. Díky tomu má pak kořist méně nepřátel a začne se opět množit. To pro predátora zase znamená více potravy a tak jejich počet začne opět narůstat. Za určitou dobu bude predátorů opět tolik, že počet kořistí začne klesat a tak se to opakuje pořád dokola. Takovýto systém je stabilní, přičemž neustále osciluje kolem rovnovážného stavu. Příklady zpětných vazeb je možno nalézt i v lidském organismu. Pomocí našich senzorů polohy, jakými jsou oči nebo centrum rovnováhy ve vnitřním uchu, vyhodnocuje mozek naši polohu a podněcuje jednotlivé svaly tak, abychom dokázali udržet rovnováhu. Při zavření očí je již mnohem obtížnější udržet rovnováhu, neboť tak došlo k rozpojení zpětné vazby od senzorů zraku. Přesto však rovnováhu dokážeme udržet díky tomu, že tento senzor polohy (senzor zraku) není jediný. V případě např. bezvědomí však dojde k rozpojení zpětných vazeb od senzorů polohy, díky čemuž tělo ztrácí kontrolu na svojí stabilitou a padá k zemi. Další zpětnou vazbou vyskytující se v lidském organizmu je např. regulace hladiny cukru v krvi, regulace teploty, atd. 14
0.2 Modely a regulační obvody Řízení se zpětnou vazbou se nazývá regulace. Úkolem regulace je nastavení konkrétní veličiny (teplota, hmotnostní tok, tlak, otáčky, výška hladiny, …) na požadovanou hodnotu, která je nejčastěji konstantní, ale může být i proměnná, a udržovat ji na této hodnotě i v případě působení poruchových veličin. Regulace se uskutečňuje v regulačním systému, který je nazývaný regulační obvod. Příkladem regulace jsou přitom i situace se kterými se člověk může potkat každý den, např. nastavení teploty v místnosti na požadovanou hodnotu, napuštění konvice nebo vany vodou na požadovanou výšku, atd.
0.2.1 Základní regulační obvod Jedním z příkladů regulačního obvodu je např. regulace výšky hladiny v nádrži s přítokem a odtokem (viz Obrázek 0.3). V uvedeném regulačním obvodu je možno nalézt dvě části, tj. regulátor (řídicí systém) a regulovaná soustava (řízený systém). Regulátor je zařízení, pomocí něhož je uskutečněna regulace. V tomto případě plovák zjišťuje stav hladiny a přes pákový převod pohybuje ventilem, regulujícím odtok (plovák, pákový převod a ventil tvoří tedy regulátor). Regulovaná soustava je objektem regulace, tzn., že je regulátorem regulována (respektive některá její veličina je regulována). V tomto případě je regulovanou soustavou nádrž s hladinou včetně přítoku a odtoku. žádaná veličina
poruchová veličina
akční veličina
regulovaná veličina
Obrázek 0.3 - Regulace výšky hladiny v nádrži - způsob č.1 Výstupem z regulované soustavy je výstupní, neboli regulovaná veličina, která je označována symbolem y. Úkolem regulace je snaha udržet tuto veličinu na požadované hodnotě. Regulovanou veličinou je v tomto případě výška hladiny, v jiným případech to však může být např. teplota, tlak, hmotnostní tok, napětí, množství paliva v nádrži, množství sledovaných částic atd. 15
Žádaná veličina, která je označována w, je veličina, pomocí které se nastavuje hodnota, kterou má dosahovat (udržovat) regulovaná veličina y, tedy je snaha, aby platilo y → w. Žádanou veličinou je v tomto případě poloha šroubu s ručním kolem. Pokud je žádaná veličina zadávána člověkem, je to obvykle poloha nějakého nastavovacího prvku, např. potenciometru, ovládací páčky, atd. V automatických provozech, to může být elektrické napětí nebo jiná veličina, pomocí niž lze přenést informaci. V regulačním obvodu se měří hodnota regulované veličiny y a porovnává se žádanou hodnotou w. Rozdíl těchto dvou veličin se nazývá regulační odchylka e, pro niž tedy platí e = w – y, přičemž je snahou, aby platilo e → 0. V případě nenulového rozdílu mezi regulovanou veličinou y a její požadovanou hodnotou w provádí regulátor tzv. akční zásah. Regulační odchylka se v tomto případě vytváří v diferenčním členu, kterým je páka plováku. Úlohou regulace je zasahovat do regulačního procesu tak, aby se regulační odchylka e udržovala minimální nebo nulová. To je uskutečněno pomocí výstupní veličiny regulátoru, která je zároveň vstupní veličinou do regulované soustavy, nazývá se akční veličina a je označována symbolem u. Regulátor musí být přitom zapojen tak, aby díky své výstupní veličině, tj. akční veličině, zmenšoval regulační odchylku. Akční veličinou je v tomto případě otevření či uzavření regulačního ventilu v odtokovém potrubí. Tedy, se zvyšující se hladinou se zvětšuje regulovaná veličina a vzniká regulační odchylka v jednom směru (v tomto případě záporná). Na regulační odchylku působí regulátor, který otevírá odtokový ventil, díky čemuž se začne výška hladiny snižovat, tj. začne se zmenšovat regulační odchylka. Při snižování výšky hladiny funguje regulátor obráceně, tj. tak, že přivírá odtokový ventil, neboť opět vzniká regulační odchylka v jednom směru (v tomto případě je kladná). Příčinou, proč je třeba provádět regulaci, jsou poruchy (poruchové veličiny), které jsou označovány symbolem v. Počet poruch působících na regulační obvod může být přitom více, tj. v1, v2, v3, atd. Poruchové veličiny nepředvídatelným a nežádoucím způsobem působí na regulovanou soustavu, čímž ovlivňují regulovanou veličinu. Poruchovou veličinou je v tomto případě každá změna přítoku do nádrže. Porucha v regulačním obvodu může být také způsobena, např. ucpáním odtokového potrubí apod. Určitou úpravou regulačního obvodu demonstrovaném na příkladu regulace výšky hladiny v nádrži s přítokem a odtokem (viz Obrázek 0.3), resp. na základě úhlu pohledu, můžeme získat regulační obvod podle následujícího obrázku (viz Obrázek 0.4). Tento regulační obvod lze vidět např. u splachovacích nádržek WC. V tomto případě je hladina ovládána pomocí 16
vstupního ventilu. Uvedené příklady regulačních obvodů (viz Obrázek 0.3 a Obrázek 0.4) odpovídají obdobné situaci, význam některých jejich veličin je přitom odlišný. U prvního příkladu veličina uvedená jako poruchová se stává u druhého příkladu akční veličinou a naopak. Proto je vhodné konkrétní situace znázorňovat abstraktním schématem, jež nebude závislé na technické konstrukci a konkrétních fyzikálních veličinách (viz Obrázek 0.5). žádaná veličina akční veličina
regulovaná veličina
poruchová veličina
Obrázek 0.4 - Regulace výšky hladiny v nádrži - způsob č.2 Časové průběhy, výše v textu uvedených veličin, tj. y(t), w(t), e(t), u(t) a v(t) charakterizují chování regulačního obvodu. Regulovaná soustava a regulátor se zpravidla skládají z řady členů. Je proto, i z tohoto důvodu, výhodné pro schematické znázorňování regulačních obvodů používat blokových schémat (viz Obrázek 0.5). poruchové veličiny žádaná veličina w(t)
regulační odchylka
akční veličina
e(t)
u(t)
REGULÁTOR
v1(t)
......
vn(t)
REGULOVANÁ SOUSTAVA
Obrázek 0.5 - Blokové schéma základního regulačního obvodu
17
regulovaná veličina y(t)
Dalšími příklady regulačních obvodů mohou být např. regulace teploty pece, regulace rychlosti otáčení parní turbíny, regulace napětí generátoru, regulace destilační kolony, atd. Při regulaci teploty pece s plynovým topením (viz Obrázek 0.6a) je regulovanou veličinou y teplota v peci. Ta je snímána teploměrem T a na změnu nastavené teploty reaguje regulátor posuvem hradítka (ventilem) průtoku plynu, který je akční veličinou u. Poruchovou veličinou v může být např. změna tlaku nebo výhřevnosti plynu, nová vsádka pece, atd. U regulace rychlosti otáčení parní turbíny (viz Obrázek 0.6b) dostává regulátor údaj o počtu otáček z otáčkoměru O a působí na ventil v přívodu páry. Regulovanou veličinou y je tedy rychlost otáčení turbíny, akční veličinou u pak množství páry. Poruchovou veličinou v může být např. změna zatížení turbíny. a)
b) T
y
Regulátor
pára
w
u
Regulátor
u
w
y O
plyn turbína
Obrázek 0.6 - Regulace teploty pece (a), regulace rychlosti otáčení parní turbíny (b)
POZNÁMKA Při vyšetřování vlastností regulačního obvodu a způsobu jeho řízení je potřebné zkoumat, jak působí jedna část regulačního obvodu na jinou, jaký vliv mají tato působení na chování regulačního obvodu v daném prostředí. Vhodným způsobem zjišťování těchto vlivů je vytvoření modelu regulované soustavy (fyzikální, matematický model), který by měl být rovnocenný s reálným objektem. Ve většině případů se přitom využívá matematických modelů. Při experimentování s modelem se napodobuje konkrétní situace nebo se vytvářejí podmínky, které mohou nastat u skutečného regulačního obvodu během normálních, příp. havarijních pracovních podmínek. Analyticky získaný model lze charakterizovat jako vnitřní popis chování zkoumaného objektu, jeho parametry mají fyzikální smysl. Empiricky získaný modelu lze pak charakterizovat jako vnější popis chování daného systému. Parametry se dají určit snadno,
18
většinou však nemají fyzikální význam. Znalost přesného matematického modelu je ve většině praktických případů nemožná a také zbytečná, proto se při jeho tvorbě uplatňují nejrůznější zjednodušující předpoklady, příp. se nahrazují složitější vztahy jednoduššími.
0.2.2 Rozvětvené regulační obvody Výše v textu byly uvedeny a popsány příklady regulačních obvodů, které měly jen jednu smyčku, tvořenou regulátorem R a regulovanou soustavou S. Regulátor zpracovával jen odpovídající regulační odchylku a k jejímu odstranění působil jen na příslušnou akční veličinu. Takovéto obvody se nazývají jednoduché. Jejich nevýhodou může být často malá stabilita, tedy schopnost vrátit se po poruše nebo změně žádané veličiny opět do rovnovážného stavu. Často je to způsobeno velkou setrvačností (kapacitou), příp. i složitostí regulovaných soustav. Například vlivem velkého časového zpoždění, se může stát, že regulátor na působení poruchové veličiny reaguje pozdě a třeba až tehdy, kdy poruchová veličina působí obráceně. Dochází pak k přeregulování, díky čemuž se regulační pochod může stát kmitavým, nebo se může stát regulační pochod zcela nestabilní. Uvedený nepříznivý stav lze zlepšit uspořádáním dalších smyček, které omezují vliv velké kapacity regulovaných soustav. Vznikají tak tzv. rozvětvené regulační obvody, u nichž je možno k regulaci využít buď další pomocné regulované veličiny, nebo další akční veličiny, případně jednu či více měřených poruchových veličin. Díky dalším použitým pomocným veličinám, uvedeným výše, je tak možno získat regulační obvod s pomocnou regulovanou veličinou, regulační obvod s pomocnou akční veličinou a regulační obvod s měřenou poruchovou veličinou. Mezi rozvětvené regulační obvody lze zařadit také tzv. regulační obvod pro kompenzaci dopravního zpoždění, toto zapojení je nazýváno také jako Smithův prediktor nebo regulační obvod s modelem regulované soustavy. Tento regulační obvod slouží pro kompenzaci dopravního zpoždění, jež se často vyskytuje u regulovaných soustav. Je možné také jednotlivé rozvětvené regulační obvody kombinovat a ještě více zlepšit regulaci, tj. chování výstupní veličiny, atd. Jedná se pak o tzv. sdružené rozvětvené regulační obvody. Regulační obvod s pomocnou regulovanou veličinou Tento typ regulačního obvodu obsahuje kromě vlastní regulované veličiny y navíc pomocnou regulovanou veličinu yP, která je snímána v takovém místě regulované soustavy, ve kterém se odezva na akční veličinu u projeví pouze malým zpožděním (setrvačností). Regulační obvod s pomocnou regulovanou veličinou může být použit například při regulaci tepelných soustav. Příkladem může být regulace teploty pece s plynovým topením. V tomto případě se kromě 19
teploty T v místě ohřívaných výrobků, měří ještě pomocná teplota TP, díky níž je možno včas informovat regulátor o teplotních změnách v peci. a)
b)
w
y
R
v
R
T w
e
R1
R2
yP
uR
S
uR
S1
S2
y
yP
TP
plyn
Obrázek 0.7 - Regulace teploty pece s plynovým topením s pomocnou regulovanou veličinou: a) principiální schéma; b) blokové schéma Regulační obvod s pomocnou akční veličinou Tento typ regulačního obvodu obsahuje další akční veličinu uP, jejíž působení na regulovanou veličinu je rychlejší než působení základní akční veličiny uR. Regulační obvod s pomocnou akční veličinou může být použit například opět při regulaci tepelných soustav, ale pouze tam, kde se vyskytují alespoň dvě akční veličiny. Příkladem může být regulace teploty výměníku, ve kterém je teplota ohřívané kapaliny řízena nejen množstvím páry uR, ale i množstvím kapaliny (voda) uP. a)
b) w
y
R
R
T w
pára
uR
e
R1 R2
S uR
v
S1
S2
y
uP
uP
voda
Obrázek 0.8 - Regulace teploty výměníku s pomocnou akční veličinou: a) principiální schéma; b) blokové schéma Regulační obvod s měřenou poruchovou veličinou Tento typ regulačního obvodu pracuje tak, že se měří poruchová veličina v (musí být měřitelná), která je zaváděna do regulátoru dříve, než se projeví změnou regulované 20
veličiny y. Regulační obvod s měřenou poruchovou veličinou lze použít například při řízení složení směsí, regulaci hoření, výšky hladiny kapalin, atd. Příkladem může být regulace výšky hladiny h u parního kotle, kde se do regulátoru zavádí hlavní porucha, tj. změna odebíraného množství páry výměníku P. Regulátor pak může ovlivňovat množství napájecí vody ještě dříve, než se změna odběru páry P projeví na stavu hladiny h. a)
b) pára P h
v y
v
R
w
R
R2 w
uR
e
R1
S uR
S1
S2
y
voda
Obrázek 0.9 - Regulace výšky hladiny u parního kotle s měřením poruchové veličiny: a) principiální schéma; b) blokové schéma Regulační obvod pro kompenzaci dopravního zpoždění Tento typ regulačního obvodu je možno svým způsobem částečně zahrnout pod rozvětvený regulační obvod s měřením poruchové veličiny. Základní princip tohoto zapojení spočívá v tom, že je nutné, aby se model řízeného objektu (regulované soustavy), resp. jeho určitá pomocná výstupní veličina, co nejvíce shodoval se skutečně řízeným objektem (regulovanou soustavou), resp. jeho výstupní veličinou y. Daný regulační obvod umožňuje řídit i regulované soustavy s velkým (dominantním) dopravním zpožděním. Největším problémem je přitom modelování členu dopravního zpoždění. Příkladem může být regulace tloušťky válcovaného materiálu t. Mezi dvěma válci (pevným a nastavitelným) se pohybuje materiál, který se válcuje na požadovanou tloušťku t. Ta se měří senzorem M, který je od místa obou válců posunut o určitou vzdálenost l. Dopravní zpoždění (DZ) je pak dáno rychlostí posuvu materiálu na dané vzdálenosti l. Na základě hodnoty y z měřidla M a informace o požadované tloušťce w vygeneruje regulátor akční zásah uR, který pomocí pístu mění polohu nastavitelného válce a tím i tloušťku válcovaného materiálu. Regulátor pomocí akčního zásahu nastaví požadovanou tloušťku, ale tento zásah se projeví až po nějakém čase, tj. až materiál urazí danou vzdálenost l k senzoru M. Pokud by toto regulátor nezohledňoval, tak by okamžitě po zásahu dostával stále informaci, že se tloušťka t nezměnila (změnila, ale upravený materiál ještě nestihl dorazit k senzoru, takže o tom regulátor neví) a mohl by vygenerovat další, např. větší akční zásah, díky čemuž by se neustále zmenšovala 21
tloušťka materiálu t, čímž by se celá situace ještě zhoršovala. Tedy je třeba, aby si byl regulátor dopravního zpoždění vědom a musel tak počkat, až se jeho zásah projeví. Musel by tedy dostatečně dobře znát samotný řízený objekt včetně dopravního zpoždění daného objektu. Poté by bylo možno využít daného typu regulačního obvodu, přičemž by bylo nutno do regulačního obvodu zařadit i samotný model řízeného objektu. a) w
b) Sřízený systém
R
u
v uR
S
y
Smodel
píst S
M
nastavitelný válec pevný válec l [m]
y
DZ
rychlost posuvu [m/s]
uR
DZ
R
e
w
Obrázek 0.10 - Regulace tloušťky válcovaného materiálu s kompenzací dopravního zpoždění: a) principiální schéma; b) blokové schéma Sdružené rozvětvené regulační obvody Tento typ obvodů vzniká kombinací (spojením) několika způsobů rozvětvení v jediný regulační obvod. Lze tak např. vytvořit obvod se současným měřením poruchové veličiny, pomocné regulované veličiny i s pomocnou akční veličinou. Příkladem může např. být opět regulace výšky hladiny h u parního kotle s měřením poruchové veličiny, která je reprezentována změnou odebíraného množství páry výměníku P (viz Obrázek 0.9), přičemž jakost (kvalitu) regulace je možné zlepšit ještě připojením pomocné regulované veličiny yP, která může včas informovat regulátor o změně průtoku napájecí vody NV. pára
v P y h
w
R yP uR NV voda
Obrázek 0.11 - Regulace výšky hladiny u parního kotle s pomocnou regulovanou veličinou a s měřením poruchové veličiny 22
0.2.3 Mnohorozměrové regulační obvody Doposud výše popisované základní (jednorozměrové) regulační obvody, resp. regulované soustavy měly pouze jeden výstup, tzn. regulovanou veličinu y a jeden vstup, tzn. akční veličinu u. Existují však regulované soustavy s více regulovanými veličinami, na tyto soustavy pak může působit i větší počet akčních nebo poruchových veličin, které jsou s regulovanými veličinami různě provázány, tedy jednotlivé části regulované soustavy jsou na sobě závislé, tj. ovlivňují se. Tím se stává regulace velmi složitou. Vzhledem ke zmíněným vzájemným vazbám, nelze totiž dané obvody řešit jako několik oddělených obvodů, navzájem nezávislých. Tyto obvody nazýváme mnohorozměrové (viz Obrázek 0.12) a jejich řízení je složitější než řízení jednoduchých obvodů. Složitost mnohorozměrového regulačního obvodu lze zjednodušit tím, že se vyberou regulátory autonomní, které eliminují vzájemné působení akčních veličin na regulované veličiny (autonomní regulační obvody). Při použití autonomních regulátorů, je tedy zajištěno, že každá vstupní veličina regulačního obvodu, tj. žádaná hodnota wi, ovlivňuje pouze jí odpovídající výstupní veličinu yi. poruchová veličina žádaná veličina
regulační odchylka
w(t)
e(t)
akční veličina
REGULÁTOR
u(t)
v(t)
REGULOVANÁ SOUSTAVA
regulovaná veličina y(t)
w(t) = [w1(t), w2(t), …]T; e(t) = [e1(t), e2(t), …]T; u(t) = [u1(t), u2(t), …]T; y(t) = [y1(t), y2(t), …]T; v(t) = [v1(t), v2(t), …]T
Obrázek 0.12 - Blokové schéma mnohorozměrového regulačního obvodu Příkladem mnohorozměrového regulačního obvodu, v tomto případě regulačního obvodu se dvěma vstupy a dvěma výstupy, může být například regulace míry kyselosti a zásaditosti pH (první regulovaná veličina y1) a viskozity V (druhá regulovaná veličina y2) v průtočné nádrži podle obrázku (viz Obrázek 0.13). Průtočná nádrž má dvě akční veličiny, tj. polohu ventilu u1 v přítoku kyseliny a u2 v přítoku vodního roztoku určité chemikálie. Ve výtokovém potrubí jsou umístěna dvě čidla pro obě regulované veličiny y1 a y2. Je zřejmé, že každá změna kterékoliv vstupní (akční) veličiny způsobí změnu obou regulovaných veličin. Tedy, změna přítoku kyseliny u1 bude měnit nejen výslednou kyselost y1, ale i její viskozitu y2. Stejně tak, změna přítoku chemikálie u2 bude měnit nejen výslednou viskozitu y2, ale také i výsledné pH y1. 23
a)
b) K
CH
v1 u2
u1
R
w1 w2
u1
...
S
pH
y1 y2
u2
R
K - kyselina CH - chemikálie
vn
e2
w2
e1
w1
V
y1
y2
Obrázek 0.13 - Dvourozměrová regulace pH a viskozity v průtočné nádrži: a) principiální schéma; b) blokové schéma
24
1 LOGICKÉ ŘÍZENÍ 1.1 Logické členy a logické obvody ................................................................................... 26 1.1.1
Kombinační logické obvody ............................................................................... 26
1.1.2
Sekvenční obvody ............................................................................................... 29
1.2 Kanonické tvary ........................................................................................................... 36 1.3 Booleova algebra .......................................................................................................... 38 1.4 Karnaughova mapa ....................................................................................................... 41 1.5 Quineova-McCluskeyova metoda ................................................................................ 47 1.6 Mřížka prostých implikantů ......................................................................................... 49 1.7 Vybrané příklady z oblasti logických úloh................................................................... 51
25
1 LOGICKÉ ŘÍZENÍ Logické řízení je činnost, při níž se logickým obvodem zpracovávají informace o řízeném procesu a podle nich ovládají příslušná zařízení tak, aby se dosáhlo předepsaného cíle.
1.1 Logické členy a logické obvody Logický obvod je fyzikální systém, který realizuje logické operace. Je realizován skupinou logických členů vzájemně spojených tak, aby realizovaly žádané logické funkce. Logický obvod je takový obvod, u něhož může každá veličina na vstupu i výstupu v ustáleném stavu nabývat s určenou přesností jen jednu ze dvou možných hodnot. Podle způsobu realizace logické funkce rozlišujeme kombinační obvod (bez paměti) sekvenční obvod (s pamětí)
1.1.1 Kombinační logické obvody Kombinační logický obvod je obvod, v němž je výstupní stav jednoznačně určen okamžitým vstupním stavem. Tedy ke každému vstupnímu stavu vyjádřenému kombinací hodnot vstupních proměnných odpovídá jednoznačně jeden výstupní stav vyjádřený kombinací hodnot výstupních proměnných. Hodnota každé z výstupních proměnných je určena dvouhodnotovou Booleovou funkcí Fi
f i Fi ( x1,x2 ,x3 , xn ) , kde i 1, 2 , 3, ,m. Obvod neobsahuje paměťové členy ani uzavřené smyčky (zpětnou vazbu). Využití kombinačních logických obvodů je možné v oblasti, např. paralelní dekodéry, sčítačky, multiplexory aj. Logickým členem je míněno elementární logické zařízení, uskutečňující (realizující) elementární logickou funkci.
Rozdělení kombinačních obvodů A) Logická funkce jedné proměnné x
y
y = f(x)
Obrázek 1.1 - Schéma logické funkce jedné proměnné 26
Logické funkce jedné proměnné jsou 4, můžeme je vyjádřit pomocí pravdivostních tabulek a algebraickým zápisem (rovnicí) y0
y 1
x
1
0
y
0
0
falsum (lež)
yx
x
1
0
y
1
1
x
0
1
y
1
0
verum (pravda)
yx
x
0
1
y
0
1
aserce (opakování)
negace (opak)
Nejčastěji se z uvedených funkcí používá funkce negace (opak). x
y
Obrázek 1.2 – Schématická značka funkce negace (NOT) B) Logické funkce dvou proměnných y
x1 x2
y = f(x)
Obrázek 1.3 - Schéma logické funkce dvou proměnných Logických funkcí dvou proměnných je 16, můžeme je vyjádřit pomocí pravdivostních tabulek a algebraickým zápisem (rovnicí). Dále budou uvedeny čtyři nejdůležitější funkce Tabulka 1.1 - Základní logické funkce dvou proměnných Název funkce
Konjunkce, logický součin, AND (česky "i")
Algebraické vyjádření
y x1 * x 2 y x1 x 2
Schématická značka
x1 x2
27
&
y
Pravdivostní tabulka x1
x2
y
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Název funkce
Disjunkce, logický součet, OR (česky "nebo")
Nonekvivalence, eXklusive OR, XOR (česky "neshoda")
Negace konjunkce, NAND, Shefferova funkce
Negace disjunkce, NOR, Pierceova funkce
Algebraické vyjádření
y x1 x 2 y x1 x 2
y x1 x 2 y x1 xor x 2
y x1 * x 2
y x1 x 2
y x1 x 2
y x1 x 2
Schématická značka
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
1
=1
&
1
y
y
y
y
Pravdivostní tabulka x1
x2
y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
x1
x2
y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
x1
x2
y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
x1
x2
y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Způsoby vyjádření logické funkce Booleovskými funkcemi, tj. negací, konjunkcí, disjunkcí, tj. 3 operátory - pro realizaci nutné tři druhy obvodů Funkcí NAND - pro realizaci stačí jediný typ obvodu (NAND) Funkcí NOR - pro realizaci stačí jediný typ obvodu (NOR) 28
PŘÍKLAD Pro zadanou logickou funkci y máme sestrojit výsledné schéma. Budeme přitom pracovat s funkcemi negace, konjunkce, disjunkce.
y x1 * x 2 x1 * x 2 Postupujeme tak, že na levou stranu si nakreslíme všechny vstupní proměnné, na pravou stranu výstupní proměnnou (proměnné). Vstupní proměnné, které nejsou negovány nejprve znegujeme, potom násobíme a nakonec sčítáme. Výsledné schéma zadané logické funkce je na následujícím obrázku. 1
x1
x1
&
x1 * x2 1
1
x2
x2
&
y x1 * x2 x2 * x1
x2 * x1
Obrázek 1.4 - Výsledné schéma pro zadanou logickou funkci
1.1.2 Sekvenční obvody Sekvenční logický obvod je obvod, v němž je výstupní stav určen nejen na základě vstupních stavů, ale také na základě předchozího výstupního stavu, tzn. že tento typ obvodu obsahuje zpětnou vazbu. Příkladem jednoduchého sekvenčního obvodu je například obvod, kterým ovládáme trojfázový motor. Jedním tlačítkem START spínáme, druhým tlačítkem STOP rozpínáme. L1
S1
L2
S2
L3
S3
M
PEN
START
STOP
S
Obrázek 1.5 - Příklad sekvenčního obvodu
29
S
PEN
Stlačením tlačítka START projde cívkou S proud a tím dojde k sepnutí kontaktů S, S1, S2, S3, motor se roztočí a je v chodu i po uvolnění tlačítka START, neboť proud do cívky protéká přes kontakt S. Motor lze zastavit stlačením tlačítka STOP , díky čemuž přestane cívkou protékat proud a kontakty S, S1, S2, S3 se rozpojí. Toto zapojení je možné popsat rovnicí
S ( START S ) * STOP Z uvedené rovnice je zřejmé, že logická funkce obsahuje S na obou stranách rovnice, tzn. obvod má zpětnou vazbu, má vnitřní paměť. Přesněji bychom mohli rovnici zapsat
S k 1 ( START S k ) * STOP kde Sk+1 představuje nový stav (je o krátký časový okamžik zpožděn oproti Sk) a Sk představuje starý stav. Pomocí logických členů lze popsaný obvod realizovat následovně STOP
1
STOP
& START
S
1
Obrázek 1.6 - Schéma zapojení sekvenčního obvodu pomocí logických členů Nejjednodušší sekvenční obvody jsou klopné obvody. Z nich je možno sestavit složitější sekvenční obvody, například čítače, registry, atd. Jeden klopný obvod je schopen uchovat informaci 1 bit.
Klopné obvody Klopné obvody (KO) nabývají dvou fyzikálně odlišných stavů reprezentovaných dvěmi úrovněmi. V podstatě se jedná o generátory obdélníkového signálu. KO můžeme rozdělit do dvou základních skupin a to na asynchronní a synchronní. Asynchronní klopné obvody jsou obvody bez synchronizačního vstupu. Čím složitější systém z asynchronních prvků sestavíme, tím větší vliv bude mít zpoždění hradel na funkčnost obvodu. Systém se může lehce stát nestabilním a nepředvídatelným. Asynchronní obvody jsou nevhodné pro konstrukci složitějších digitálních systémů. Synchronní klopné obvody jsou obvody, které obsahují na vstupu synchronizační signál (C clock). Ke změně stavu může dojít pouze v případě aktivace synchronizačního signálu, např. hodinového impulsu (náběžnou nebo sestupnou hranou). Princip synchronizace je takový, že jestliže je na synchronizační vstup přivedena logická 0, obvod nereaguje na vstup. Pokud je
30
na synchronizační vstup naopak přivedena logická 1, synchronní obvod se chová stejně jako asynchronní. Další dělení KO můžeme provést podle počtu stavů a způsobu přepínaní. KO můžeme tedy rozdělit na následující druhy Bistabilní KO Monostabilní KO Astabilní KO
Bistabilní klopné obvody (BKO) Tyto KO mají dva stabilní stavy, dva výstupní komplementární stavy Q a Q . Z prvního do druhého stavu přechází pomocí řídících pulsů - má 2 vstupní řídící pulsy. Tyto stavy je možno navzájem zaměňovat pomocí signálů přivedených na vstup obvodu. Výstupní stav klopného obvodu zůstává zachován i po odstranění vstupních signálů. Bistabilní klopné obvody zanechávají na svém výstupu poslední informaci, kterou dostaly. Lze je sestavit spojením nejméně dvou kombinačních obvodů (hradel). UU1 Q
U1
UU2
BKO U2
Q
UQ UQ 0
t
Obrázek 1.7 - Základní schéma a průběh bistabilního klopného obvodu Rozdělení bistabilních klopných obvodů: 1) Klopný obvod typu RS (asynchronní RS klopný obvod) Nejjednodušším sekvenčním obvodem je klopný obvod RS (R - RESET (nulovat), S - SET (nastavit)). Obvod je opatřen dvěma vstupy R a S a výstupem obvykle označovaným Q (vnitřní stav), který je případně doplněn negací Q . Klopný obvod RS je velmi důležitý, protože je to nejjednodušší zapojení vykazující paměťový efekt. Obvod si při vstupní kombinaci 0 0 „pamatuje“ předchozí stav výstupu. Tento obvod je základem pro vytvoření klopných obvodů typu D, T a jiných sekvenčních obvodů. 31
a) S R
b) Q
1
S
&
Q
&
Q
RS
S
Q R
Q
1
R
Q
&
&
Obrázek 1.8 - Klopný obvod typu RS vyjádřený pomocí hradel NOR (a) a pomocí hradel NAND (b) Tabulka 1.2 - Pravdivostní tabulka klopného obvodu typu RS R
S
Qn1
Qn1
0
0
Qn
Qn
0
1
1
0
nastavení
1
0
0
1
reset
1
1
?
?
zakázaný stav
zachování aktuálního stavu
2) Klopný obvod typu RST (synchronní RS klopný obvod) RST klopný obvod je založený na asynchronním klopném obvodu typu RS. Obvod je tedy opatřen opět dvěma vstupy R a S a výstupem obvykle označovaným Q (vnitřní stav), který je případně doplněn negací Q . Dále navíc RST klopný obvod obsahuje jeden speciálním vstupní signál označený C (T), jež představuje synchronizační vstup (hodinový vstup, clock input). Je-li úroveň tohoto signálu rovna logické 0, výstup tohoto klopného obvodu se nemění. Je-li úroveň tohoto signálu rovna logické 1, výstup tohoto klopného obvodu se mění v závislosti na kombinaci vstupů R a S - viz tabulka stavů (asynchronního) RS klopného obvodu. S R S C(T)
RST
Q
&
&
Q
C(T)
Q R
&
Obrázek 1.9 - Klopný obvod typu RST 32
&
Q
Tabulka 1.3 - Pravdivostní tabulka klopného obvodu typu RST S
R
C
Qn1
Qn1
0
0
1
Qn
Qn
1
0
1
1
0
nastavení
0
1
1
0
1
reset
1
1
1
?
?
zakázaný stav
X
X
0
Qn
Qn
zachování aktuálního stavu
zachování aktuálního stavu
*) X - představuje libovolný stav pro vstupy S a R 3) Klopný obvod typu D (D - delay - zpoždění) Tento klopný obvod je založený na klopném obvodu typu RS. U klopného obvodu typu D je realizováno opatření, jímž se vylučuje možnost vzniku nežádoucího neurčitého stavu (zakázaného stavu). Opatření spočívá v tom, že vstup R je spojen se vstupem S prostřednictvím invertoru. Vstupy R a S mají tedy vždy opačnou úroveň. Vzniká tak jediný vstup, kromě synchronizačního vstupu C (clock), označovaný jako vstup D (data). Klopný obvod typu D je zpožďovací obvod. Každý hodinový puls způsobí zapamatování hodnoty vstupu, tedy podrží jen tu hodnotu vstupu, která byla platná v době hodinového pulzu. D D
&
S 1
R C
C
S
Q
Q
Q
Q
&
Q
D R
1
&
C
&
Q
Obrázek 1.10 - Klopný obvod typu D Tabulka 1.4 - Pravdivostní tabulka klopného obvodu typu D C
D
Qn1
0
0
Qn
zachování aktuálního stavu
0
1
Qn
zachování aktuálního stavu
1
0
0
nastavení výstupu na log. 0
1
1
1
nastavení výstupu na log. 1
Časový diagram
C
33
1 t
D 1
t
Q 1
t
4) Klopný obvod typu T (T - trigger - překlápěč - invertor) Klopný obvod typu T je založený na klopném obvodu typu RS. Na rozdíl od něj má pouze jeden vstup, kromě synchronizačního vstupu C, označovaný jako vstup T. Přivedeme-li na tento vstup logickou 1, hodnota uložená v klopném obvodu se invertuje, tj. změní svůj stav buď z logické 1 na logickou 0, nebo naopak. S
Q
&
Q
&
Q
Q T
R &
&
T
S
T C
&
Q
C
Q
C
& R
Obrázek 1.11 - Klopný obvod typu T Tabulka 1.5 - Pravdivostní tabulka klopného obvodu typu T C
T
Qn1
0
0
Qn
zachování aktuálního stavu
0
1
Qn
zachování aktuálního stavu
1
0
Qn
zachování aktuálního stavu
1
1
Qn
inverze stavu
5) Klopný obvod typu JK Klopný obvod typu JK je založený na klopném obvodu typu RS a má s ním shodné i ovládání, avšak nemá na rozdíl od něj žádný zakázaný stav. Pokud je na oba vstupy, tj. J a K přivedena logická 1, hodnota uložená v klopném obvodu se invertuje (z logické 1 na logickou 0 a naopak). Vstup J lze do jisté míry připodobnit ke vstupu S (set) a vstup K ke vstupu R (reset). J J K C
& &
S
Q
Q
C
Q
Q
K
&
S
&
&
R JK C
& R
&
Obrázek 1.12 - Klopný obvod typu JK 34
&
Q
Q
Tabulka 1.6 - Pravdivostní tabulka klopného obvodu typu JK C
J
K
Qn1
0
0
0
Qn
zachování aktuálního stavu
0
0
1
Qn
zachování aktuálního stavu
0
1
0
Qn
zachování aktuálního stavu
0
1
1
Qn
zachování aktuálního stavu
1
0
0
Qn
zachování aktuálního stavu
1
0
1
0
nastavení výstupu na log. 0
1
1
0
1
nastavení výstupu na log. 1
1
1
1
Qn
inverze stavu
Z uvedené pravdivostní tabulky je zřejmé, že klopný obvod typu T lze sestavit z klopného obvodu typu JK propojením vstupu J a K do jednoho vstupu T.
Monostabilní klopné obvody (MKO) Tyto KO mají jeden stav stabilní a druhý kvazistabilní (nestabilní). Pomocí 1. vstupního pulsu přejde do nestabilního stavu. Vytvářejí na popud vnějšího spoušťového signálu výstupní impuls definované délky. Ve vyhodnocovacích číslicových obvodech se obvykle vyžaduje, aby výstupní impuls byl pravoúhlého tvaru. Délka spoušťového systému může v některých zapojeních monostabilních obvodů ovlivnit délku impulsu výstupního. Podle toho lze rozlišit obvody, vhodné pro zkracování vstupního impulsu, pro prodlužování vstupního impulsu, nebo pro obě použití. UU U
MKO
Q UQ 0
tU
tQ
t
Obrázek 1.13 - Základní schéma a průběh monostabilního klopného obvodu
Astabilní klopné obvody (AKO) Tyto KO mají dva kvazistabilní stavy. Nemají řídící vstupní pulsy. Z prvního do druhého stavu přechází samovolně. Pokud pracuje se střídou jedna, říká se mu multivibrátor.
35
Astabilní klopné obvody (multivibrátory) vytvářejí obdélníkové impulsy o nastavitelné délce impulsu. Zavedením vhodné zpětné vazby z výstupu logického členu na jeho vstup vznikne jednoduchý astabilní klopný obvod, který je generátorem obdélníkových impulsů. Délka a funkce obdélníkových impulsů je dána vlastnostmi vlastního obvodu. Q
UQ f0
UQ
AKO Q
0
t1
t2
t0 = 1/f0
t
Obrázek 1.14 - Základní schéma a průběh astabilního klopného obvodu
POZNÁMKA Stabilní stav - obvod v něm setrvává neomezeně dlouhou dobu, pokud není z vnějšku přinucen tento stav změnit. Kvazistabilní stav - obvod v něm setrvává určitou dobu, danou vlastnostmi samotného obvodu, tedy t konstantou.
1.2 Kanonické tvary Je dokázáno, že funkce f (x,y,z,t,...) může být zapsána ve dvou tvarech tzv. formách, zvaných základní součtový tvar a základní součinový tvar. Často se také používá název úplná disjunktivní normální forma a úplná konjunktivní normální forma. První způsob zápisu funkce (základní součtový tvar) značí, že funkce f je součet základních součinů přímých nebo negovaných proměnných. Druhý způsob zápisu funkce (základní součinový tvar) značí, že funkce f je součin základních součtů přímých nebo negovaných proměnných. Proměnná je použita jako přímá, když není negovaná. V prvním případě nabývá každý tvar základní součin (minterm) hodnoty 1 pro jistou kombinaci, kdy funkce má hodnotu 1, a hodnotu 0 pro všechny ostatní kombinace. Ve druhém případě nabývá každý součet hodnoty 0 pro jistou kombinaci, kdy funkce má hodnotu 0, a hodnotu 1 pro všechny ostatní kombinace. První způsob vyjadřuje funkci jako součet případů, kdy má hodnotu 1, druhý způsob jako součin případů, kdy má hodnotu 0. Základní tvary logických výrazů (logických funkčních vztahů) součtový (disjunktivní) tvar (DT) součinový (konjunktivní) tvar (KT) 36
součtový (disjunktivní) normální tvar (DNT) součinový (konjunktivní) normální tvar (KNT) standardní součtový (úplný disjunktivní normální) tvar (ÚDNT) standardní součinový (úplný konjunktivní normální) tvar (ÚKNT)
PŘÍKLAD Máme určit výslednou funkci pro základní součtový tvar a základní součinový tvar, který je zadaný níže uvedenou pravdivostní tabulkou, která představuje funkci majorita ze tří, tedy pokud jsou dva a více vstupních proměnných ve stavu log. 1 výsledná funkce je také ve stavu log.1, jinak bude výsledná funkce ve stavu log.0. Tabulka 1.7 - Majoritní funkce tří proměnných č.ř.
x
y
z
f
1
0
0
0
0
2
0
0
1
0
3
0
1
0
0
4
0
1
1
1
5
1
0
0
0
6
1
0
1
1
7
1
1
0
1
8
1
1
1
1
a) Základní součtový tvar Vyhledáme ty řádky v tabulce, kde je funkce f rovna log. 1, tedy jsou to řádky 4, 6, 7 a 8
kombinace x,y,z
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
Zmíněné kombinaci vstupních proměnných x, y, z odpovídající následující součiny (mintermy)
x y z,
x y z,
x y z,
xyz
Z vyšlých součinů (mintermů), které vznikly kombinací vstupních proměnných x, y, z vyšla následující funkce f x yz x yz x yz x yz
37
b) Základní součinový tvar Vyhledáme ty řádky v tabulce, kde je funkce f rovna log. 0, tedy jsou to řádky 1, 2, 3 a 5
kombinace x,y,z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
Zmíněné kombinaci vstupních proměnných x, y, z odpovídající následující součty:
x y z,
x y z,
x y z,
x yz
Z vyšlých součtů, které vznikly kombinací vstupních proměnných x, y, z vyšla následující funkce f ( x y z )( x y z )( x y z )( x y z )
POZNÁMKA Vidíme, že logická funkce je definovaná tabulkou, která určuje vztahy mezi jejími proměnnými a příslušnými hodnotami, má několik různých zápisů. V praxi se častěji používá součtový tvar.
1.3 Booleova algebra Booleova algebra je důležitý pomocník, který slouží k minimalizaci funkce pomocí zákonů a pravidel. Ne vždy se totiž podaří řešit úkol, kde se objevuje nějaká jednoduchá funkce. Jakmile se vyskytne složitější funkce je lepší ji minimalizovat, například pomocí Booleovy algebry, čímž dosáhneme toho, že při realizaci dané funkce budeme potřebovat nejmenší počet logických prvků (negací, konjunkcí, disjunkcí). Tím se logický obvod stane jednodušším. Booleovou algebrou, jakožto jednoduchým a přesným prostředkem, popisujeme logické obvody a navrhujeme je. Booleova algebra je definována jako množina prvků (proměnných A, B, …, X, Y, které mohou nabývat hodnot buď 0 nebo 1) v níž je definována ekvivalence (rovnost) mezi prvky a v níž jsou axiomaticky zavedeny některé vlastnosti operací vytvářejících logické funkce příslušného úplného souboru. Podle principu substituce můžeme potom nahrazovat logické výrazy, které jsou si ekvivalentní (rovné). Booleova algebra je jediná soustava pravidel, která slouží k popisu vztahů mezi dvouhodnotovými logickými proměnnými. V podstatě se jedná o pravidla popisující nejčastější logické operace, tedy A) 1*1=1
B) 1*0=0*1=0
C) 0*0=0
D) 0+0=0
E) 0+1=1+0=1
F) 1+1=1
G) 0 1
H) 1 0
38
Tabulka 1.8 - Základní zákony a pravidla Booleovy algebry 1 2
Zákony a pravidla zákon vyloučení třetího logický rozpor
3
zákon dvojité negace
4
zákon opakování
5
komutativní zákony
6
asociativní zákony
7
distributivní zákony
Příklad 1 0 1......0 1 1 1 * 0 0......0 * 1 0
x x 1 x*x 0
xx xx x x*x x x1 x 2 x 2 x1
x1 * x 2 x 2 * x1 x1 ( x 2 x3 ) x1 x 2 x3 x1 * ( x 2 * x3 ) x1 * x 2 * x3 x1 * ( x 2 x3 ) x1 * x 2 x1 * x3 x1 x 2 * x3 ( x1 x 2 ) * ( x1 x3 )
1 0.....1 1 , 0 1......0 0 1 1 1.....0 0 0 1 * 1 1....0 * 0 0 1 1 1 1......0 0 0 0 1 * 1 1 * 1.........0 * 0 0 * 0
1 (0 1) 1 1 1..... ......1 0 1 1 1 * (0 * 1) 1 * 0 0....... .....1 * 0 * 1 0 1 * (0 1) 1 * 1 1..... .....1 * 0 1 * 1 0 1 1 1 (0 * 1) 1 0 1.... .....(1 0) * (1 1) 1 * 1 1
absorpční zákony (zákony agrese)
x1 x1 * x 2 x1 x1 * ( x1 x 2 ) x1 x1 x1 * x 2 x1 x 2 x1 * ( x1 x 2 ) x1 * x 2
1 1 * 0 1 0..... ....1 0 1 * ( 1 0) 1 * 0..... ....1 * 0
9
neutrálnost
0 x x 1 x 1 1* x x 0* x 0
0 1 1....0 0 0 1 1 1....1 0 1 1 * 1 1......1 * 0 0 0 * 1 0.....0 * 0 0
10
De Morganovy zákony
x1 x 2 x1 * x 2
1 0 1 0.... .... 1 * 0 0 * 1 0 1 * 0 0 1.... .... 1 0 0 1 1
8
x1 * x 2 x1 x 2
39
1 1* 0 1 0 1 1 * (1 1) 1 * 1 1
PŘÍKLAD Pomocí Booleovy algebry máme minimalizovat zadané funkce. a) y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 , resp.
y x1 * x2 * x3 x1 * x2 * x3 x1 * x2 * x3 x1 * x2 * x3 x1 * x2 * x3 b) y x1 * x3 * x 4 x1 * x3 * x 4 x 2 * x3 * x4 , resp.
y x1 * x3 * x 4 x1 * x3 * x 4 x 2 * x3 * x 4 c) y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x2 * x3 , resp.
y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3
a) y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 Při minimalizaci zadané logické funkce budeme postupovat tak, že nejprve vytkneme jednotlivé členy a to z 2. a 3. členu vytkneme x1 * x 2 a z 4. a 5. členu vytkneme x1 * x 2 Po vytýkaní bude logická funkce vypadat následovně
y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x3 x1 * x 2 * x3 x3 výrazy v závorkách jsou podle zákona vyloučení třetího rovny log. 1, tedy
y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 x1 * x 2 dále je možné z 2. a 3. členu vytknout x1 a opět využít zákona o vyloučení třetí, tedy
y x1 * x 2 * x3 x1 * ( x 2 x 2 ) x1 * x 2 * x3 x1 použitím
absorpčního
zákonu
můžeme
logickou
funkci
upravit
do
konečného
minimalizovaného tvaru
y x1 * x 2 * x3 x1 x1 x 2 * x3 .
b) y x1 * x3 * x 4 x1 * x3 * x 4 x 2 * x3 * x 4 Při minimalizaci zadané logické funkce využijeme De Morganova zákona, pomocí něhož převedeme negaci logických součinů na součet negací
y x1 * ( x3 x 4 ) ( x1 x3 x 4 ) ( x 2 x3 x 4 ) roznásobíme výraz v první závorce
y x1 * x3 x1 * x 4 x1 x3 x 4 x 2 x3 x 4 40
z 1 a 4. členu vytkneme x3 a z 2. a 5. členu vytkneme x 4 y ( x1 1) * x3 ( x1 1) * x 4 x1 x 2 x3 x 4
využijeme zákona neutrálnosti, pro nějž platí 1 x 1 a získáme tak funkci y x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4
nakonec použijeme zákon opakování x x x a DeMorganův zákon čímž získáme minimalizovanou funkci ve tvaru y x3 x 4 x1 x 2 x1 * x 2 * x3 * x 4 .
c) y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x2 * x3 x1 * x 2 * x3 Při minimalizaci zadané logické funkce budeme postupovat tak, že nejprve vytkneme z 3. a 4. členu x1 * x 2 a použijeme zákon vyloučení třetího x x 1
y x1 * x 2 * x 3 x1 * x 2 * x 3 x1 * x 2 * ( x 3 x 3 ) x1 * x 2 * x 3 x1 * x 2 * x 3 x1 * x 2 dále je možné z 2. a 3. členu vytknout x1 a využít absorpční zákon obecně ve tvaru
x1 x1 * x 2 x1 x 2 y x1 * x 2 * x 3 x1 * ( x 2 * x 3 x 2 ) x1 * x 2 * x 3 x1 * ( x 3 x 2 ) roznásobíme výraz v závorce a z takto upraveného výrazu vytkneme z 1. a 3. členu výraz x2 a opět využijeme absorpční zákon obecně ve tvaru x1 x1 * x 2 x1 x 2 , čímž získáme minimalizovanou funkci ve tvaru
y x1 * x 2 * x 3 x1 * x 3 x1 * x 2 x 2 * ( x1 * x 3 x1 ) x 3 x1 y x 2 * ( x 3 x1 ) x 3 x1
1.4 Karnaughova mapa Karnaughova mapa slouží k minimalizaci dané logické funkce. Obecně mapa je tabulka, která má tolik políček, kolik je kombinací vstupních proměnných (2n, kde n je počet vstupních proměnných). Každé políčko odpovídá jedné z možných kombinací a zapisujeme do něj odpovídající funkční hodnotu. Podle kódu, kterým přiřazujeme políčka jednotlivým kombinacím proměnných, rozlišujeme různé mapy. Nejpoužívanější je Karnaughova mapa (K-mapa). Zde se sousední políčka od sebe liší hodnotou jediného argumentu. 41
Do mapy zapisujeme pouze 1 nebo 0. Pro jeden výstup je vždy jedna Karnaughova mapa, tak jak je zobrazeno níže (v tomto případě pro tři vstupní proměnné) x3
x2
x1 x1
1
1
1
0
1
1
x3
x2
x1 x1
1
1
x2, x3 00
10
11 1
1
1
1
x2, x3 00
10
11
1
0
1
1
01
01
1 1
1
1
Obrázek 1.15 - Ukázka dvou obdobných zápisů Karnaughovy mapy a její minimalizace Pro Karnaughovu mapu platí: Pro dvě proměnné používáme mapu 2x2, přičemž svislá hrana je pro jednu proměnnou, vodorovná pro druhou. Pro tři proměnné používáme mapu 2x4 (nebo 4x2), kde svislá hrana je pro jednu a vodorovná pro dvě proměnné. Pro čtyři proměnné používáme mapu 4x4, kde máme vždy po dvou proměnných na hranách. Řádky nebo sloupce, ve kterých je příslušná hodnota rovna 1 označíme vedle mapy svislou nebo vodorovnou čárou, tam, kde čára není je hodnota rovna 0. Pravá hrana Karnaughovy mapy sousedí s levou hranou, stejně tak i horní hrana sousedí se spodní. Do K-mapy vložíme jedničky z pravdivostní tabulky. V Karnaughově mapě můžeme sdružovat 2, 4, 8, ... sousední políčka, která mají hodnotu 1 (obecně 2n kde n = 0,1,2,3... to znamená že samostatnou jedničku musíme také použít, protože 20=1). Tato políčka se musejí vejít do obdélníku se svislými a vodorovnými hranami. V tomto obdélníku se nesmí vyskytovat 0. Jedničky mohou být zastoupeny ve více seskupeních. V odpovídající logické funkci chybí ta proměnná (proměnné), která v takto sdružených políčcích mění svoji hodnotu. Pokud splníme všechny výše zmíněné body, bude výsledný algebraický zápis v minimálním tvaru. 42
POZNÁMKA U některých zadání nám nezáleží na stavu výstupu pro některé kombinace vstupních veličin, případně v některých případech určité výstupy pro dané kombinace vstupních veličin nemohou ani nastat, tedy jedná se o neurčité stavy, které je možno využít k výhodnější minimalizaci logické funkce. Výstupy u těchto stavů označíme například křížkem. V Karnaughově mapě pak můžeme doplnit místo křížku buď logickou 1 nebo logickou 0, a to tak, abychom dosáhli maximální minimalizaci, čili zjednodušení výsledného logického výrazu. K minimalizaci logické funkce lze využít mimo Kaurnaughovy mapy také Quineovu McCluskeyho metodu. Tato metoda je obecně použitelná (algoritmizovatelná) i pro více vstupních proměnných, např. pět a více, což může být oproti Karnaghovým mapám výhoda, neboť se vzrůstajícím počtem vstupních proměnných roste i velikost Karnaughovy mapy, čili i obtížnost řešení, tzn. například při pěti vstupních proměnných by Karnaghova mapa měla již rozměr 4x8, resp. 8x4.
PŘÍKLAD Máme minimalizovat funkce dvou, tří a čtyř vstupních proměnných, zadané pravdivostními tabulkami, pomocí Karnaughovy mapy, přičemž vstupní proměnná bude označena x a výstupní proměnná y. a) minimalizace funkce dvou proměnných Tabulka 1.9 - Pravdivostní tabulka funkce dvou proměnných x1
0
0
1
1
x2
0
1
0
1
y
0
1
1
0
Určená logická funkce ze zadané tabulky základní součtový tvar: y x1 * x 2 x1 * x 2 x1 xor x 2 x1 x 2 základní součinový tvar: y ( x1 x 2 ) * ( x1 x 2 ) x2
x2
0
x1 1 x1
1
0
1
1
1
1
Obrázek 1.16 - Karnaughova mapa zadané funkce dvou proměnných 43
Z výše uvedeného obrázku je zřejmé, že ani jedna jednička nelze seskupit, proto je původní rovnice v minimálním tvaru. Výsledek minimalizace zadané funkce dvou proměnných pomocí K-mapy je tedy
y x1 * x 2 x1 * x 2 b) minimalizace funkce tří proměnných Tabulka 1.10 - Pravdivostní tabulka funkce tří proměnných x1
0
0
0
0
1
1
1
1
x2
0
0
1
1
0
0
1
1
x3
0
1
0
1
0
1
0
1
y
0
0
0
1
1
0
1
1
Určená logická funkce ze zadané tabulky základní součtový tvar:
y x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3 x1 * x 2 * x3
základní součinový tvar:
y ( x1 x 2 x3 ) * ( x1 x 2 x3 ) * ( x1 x 2 x3 ) * ( x1 x 2 x3 )
x3
x2
x1 x1
1
1
1
0
1
1
x3
x2
x1 x1
1
1
x2, x3 00
10
11 1
1
1
1
x2, x3 00
10
11
1
0
1
1
01
01
1 1
1
1
Obrázek 1.17 - Karnaughova mapa zadané funkce tří proměnných Z výše uvedeného obrázku je zřejmé, že lze seskupit dvě dvojice jedniček, tzn., že zadanou funkci je možno zjednodušit. Výsledek minimalizace funkce tří proměnných pomocí K-mapy je tedy
y x1 * x3 x 2 * x3
44
c) minimalizace funkce čtyř proměnných Tabulka 1.11 - Pravdivostní tabulka funkce čtyř proměnných x1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
x2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
x2
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
x4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
y
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
Určená logická funkce ze zadané tabulky y x1 * x2 * x3 * x4 x1 * x2 * x3 * x4 x1 * x2 * x3 * x4
základní součtový tvar:
x1 * x2 * x3 * x4 x1 * x2 * x3 * x4 x1 * x2 * x3 * x4
základní součinový tvar:
y ( x1 x 2 x3 x 4 ) * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * ( x1 x 2 x3 x 4 ) * * ( x1 x 2 x3 x 4 )
x4
x3
x1, x2 1
1
x1
x3, x4 00 00
1
10
11
1
1 1
10
x2
01
11 1
1
1
01
x4
x3
x1, x2 1
1
x1
x3, x4 00 00
1
1
1
1
10
11
01
1
1 1
10
x2
11 1
1
1
01
1
1
1
Obrázek 1.18 - Karnaughova mapa zadané funkce čtyř proměnných Z výše uvedeného obrázku je zřejmé, že lze seskupit jednu dvojici jedniček, jednu čtveřici jedniček (dolní hrana sousedí s horní hranou), jedna jednička seskupit nelze, tzn., že zadanou 45
funkci je možno zjednodušit. Výsledek minimalizace funkce čtyř proměnných pomocí Kmapy je tedy
y x1 * x3 x1 * x 2 * x 4 x1 * x 2 * x3 * x 4
PŘÍKLAD Máme navrhnout realizaci logické funkce zadané pravdivostní tabulkou a) Booleovými prvky b) prvky NAND c) prvky NOR Tabulka 1.12 - Pravdivostní tabulka zadané funkce x1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
x2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
x3
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
x4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
y
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
Nejprve danou logickou funkci minimalizujeme pomocí Karnaughovy mapy. Podle pravidel minimalizace zakroužkujeme jednu čtveřici a dvě dvojice. x1, x2
00
10
11
01
00
1
1
1
10
1
x3, x4
11
1
1
01
1
1
Obrázek 1.19 - Minimalizace zadané logické funkce pomocí Karnaughovy mapy Tím dostáváme minimalizovanou logickou funkci vyjádřenou Booleovými prvky. Z této funkce lze přímo nakreslit blokové logické schéma a) y x1 * x 2 * x 4 x 2 *x 3 *x 4 x 1 *x 4 Tuto funkci můžeme převést pomocí De Morganových zákonů na funkci vhodnou pro realizaci prvky NAND nebo prvky NOR, tedy b) y x1 * x 4 x 2 * x3 * x 4 x1 * x 2 * x 4 c) y x1 x 4 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x 4
y x1 x 4 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x 4 46
b) NAND
a) BOOL x1
x1 &
x4
&
x2
1
y
&
x3
x4 x2 x3
c) NOR
& & & &
&
y
& & &
x1
1
1
x4
1
1
x2
1
1
1
y 1
y
x3
Obrázek 1.20 - Blokové logické schéma pro zadanou funkci
1.5 Quineova-McCluskeyova metoda Tato metoda vychází ze stejných principů jako metoda Karnaughových map. V podstatě je to prostý postup, který je založen na uplatňování pravidla a zpracovává dvojkový zápis funkce. Pravidlo, ze kterého metoda vychází je následující
AB AB AB B A Je třeba, aby byl výchozí výraz zapsán ve dvojkovém zápisu standardního součtového tvaru. Metoda podle výše uvedeného pravidla zjednodušuje členy krácením. Není-li již možno zjednodušovat, dospějeme tímto způsobem ke členům, které nazýváme prosté implikanty. Vlastní minimalizační metoda se uskutečňuje ve dvou etapách. V první etapě se stanoví všechny prosté implikanty. Ve druhé se pak provádí výběr minimálního počtu prostých implikantů, jejichž logický součet tvoří minimální formu.
POZNÁMKA V některých případech není možné využít výše zmíněné pravidlo, například CDE F CDEF
tedy po přepsání do dvojkového zápisu 1 1 0 1 + 1 1 1 0 → v tomto případě nelze pravidlo použít, není možno zjednodušovat členy krácením, členy se liší ve více než v jednom dvojkovém čísle Postup minimalizace metodou Quien-McCluskey 1) Stanovení prostých implikantů Vychází se z pravdivostní tabulky dané Booleovy funkce. Dva stavy, kterým odpovídají konjunkce nazýváme sousedními stavy. Sousední stavy odpovídají sousedním políčkům v Karnaughově mapě. Tyto dva stavy se pak zobrazují novým zkráceným stavem, kde dvě proměnné, v níž se sousední stavy liší jen v jednom stavu, zapíšeme pomlčkou "-". 47
2) Postup při tvorbě prostých implikantů Jednotlivé stavy roztřídíme do skupin tak, že každá skupina obsahuje pouze stavy se stejným počtem jedniček v nich obsažených. Poté seřadíme skupiny stavů pod sebe, například podle stoupajícího počtu jedniček a v nich připíšeme příslušný stavový index.
PŘÍKLAD Pomocí Quienovy-Mc Cluskeyho metody máme minimalizovat zadanou logickou funkci
Z A * B *C A* B * D A* B *C * D A*C * D B *C * D * A* B *C * D Nejprve převedeme zadanou logickou funkci na součtový tvar s využitím pravidla
AB AB AB B A
dostáváme tedy
Z A * B *C * D A * B *C * D A* B *C * D A* B *C * D A* B *C * D A* B *C * D A* B *C * D A * B *C * D A* B *C * D A * B *C * D Další postup minimalizace můžeme vidět v níže uvedené tabulce
Nejprve jsme si danou funkci zapsali dvojkovým číslem (první sloupec)
Ke každému dvojkovému číslu jsme přiřadili desítkový ekvivalent, abychom zaručili jednoznačnost jednotlivých členů mezi sebou.
Budeme krátit takové členy, které se liší pouze v jednom dvojkovém čísle (druhý sloupec).
Další postup je obdobný jako v předchozím bodě, tj. budeme opět krátit ty členy, které se liší pouze v jednom dvojkovém čísle (třetí a čtvrtý sloupec).
2
0010
3 6 9 10
0011 0110 1001 1010
7 11 13 14
0111 1011 1101 1110
15 1111
2,3 2,6 2,10 3,7 3,11 6,7 6,14 9,11 9,13 10,11 10,14 7,15 11,15 13,15 14,15
001– 0–10 –010 0–11 –011 011– –110 10–1 1–01 101– 1–10
–111 1–11 11–1 111–
2,3,6,7 2,3,10,11 2,3,6,7 2,6,10,14 2,3,10,11 2,6,10,14
0–1– –01– 0–1– – –10 –01– – –10
3,7,11,15 3,7,11,15 6,7,14,15 6,7,14,15 9,11,13,15 9,11,13,15 10,11,14,15 10,11,14,15
– –11 – –11 –11– –11– 1– –1 1– –1 1–1– 1–1–
48
2,3,6,7,10,11,14,15 2,3,6,7,10,11,14,15 2,3,6,7,10,11,14,15
– –1– – –1– – –1–
Z uvedeného postupu nám zůstaly nezatrženy dva členy, tzv. prosté implikanty (jsou zapsány kurzívou), jedná se tedy o členy 1– –1 a – –1–. V tomto případě jsou uvedené členy zároveň nespornými prostými implikanty, tzn. že ani jeden ze členů není zároveň celý obsažen v jiném zbývajícím členu (prostém implikantu), resp. v jiných členech (prostých implikantech) než v sobě samém. Z toho plyne, že výsledná logická funkce po minimalizaci vypadá následovně Z AD C
POZNÁMKA Pro názornější určení nesporných prostých implikantů, je možné využít tzv. mřížky prostých implikantů, což je grafické znázornění výše uvedeného rozboru hledání nesporných prostých implikantů. Zadanou logickou funkci Z je možné zapsat i ve tvaru Z ( A, B, C , D ) {2,3,6,7,9,10,11,13,14,15} , kde hodnoty uvedené ve složené závorce představují dekadicky zapsanou kombinaci binární vstupů proměnných A, B, C, D, při níž je výstupní binární proměnná Z rovna logické 1.
1.6 Mřížka prostých implikantů Jedná se o metodu, pomocí které lze diagramem, tzv. mřížkou prostých implikantů, určit zda jsou tyto implikanty postradatelné, či nepostradatelné. V diagramu pracujeme s desítkovým označením udávající, z kterých původních členů vznikly prosté implikanty. Jde v podstatě o určení nesporných prostých implikantů z prostých implikantů, které byly získány s využitím metody Quin-McCluskey. Prostý implikant je uvažován jako člen, kterým nemůžeme Quienovou-McCluskeyovou metodou dále krátit. Mřížka prostých implikantů je jednoduchý, účelný diagram ukazující, které členy prostými implikanty byly nahrazeny. Přehledným znázorněním těchto údajů si můžeme usnadnit práci s vyhledáváním nadbytečných (postradatelných) implikantů. K sestrojení mřížky prostých implikantů vypíšeme nejprve vedle sebe (vodorovně) desítkové označení všech členů původního standardního součtu a vlevo (svisle) pod sebe napíšeme (v proměnných) všechny prosté implikanty. Poté nakreslíme mřížku, od prostých implikantů vedeme vodorovné čáry, od členů svislé.
PŘÍKLAD Pomocí mřížky prostých implikantů, máme určit nesporné prosté implikanty z prostých implikantů, které získáme využitím metody Quin-McCluskey. Zadaná logická funkce, pro niž bude použita metoda Quin-McCluskey k určení prostých implikantů je uvedena níže
X ( A, B ,C ) A * B * C A * B * C A * B * C A * B * C 49
V příkladu budeme značit hodnotou 1 přímou proměnnou, hodnotou 0 negovanou proměnnou a znakem „-“ vyloučenou proměnnou. Budeme postupovat tak, že si nejprve metodou Quin-McCluskey určíme prosté implikanty a poté pomocí mřížky prostých implikantů určíme nesporné prosté implikanty, díky čemuž můžeme získat jednodušší výslednou logickou funkci, než jen při použití metody QuinMcCluskey. Z postupu uvedeného v kapitole 1.5, tj. z teoretické i příkladové části, můžeme tedy sestavit tabulku, přičemž si nejprve zapíšeme danou funkci dvojkovým číslem (první sloupec) 4
100
4,6
1-0
3 6
011 110
3,7 6,7
–11 11–
7
111
Další úprava podle postupu již není možná, tzn. všechny členy z předchozího sloupce jsou prostými implikanty
Po převedení prostých implikantů z dvojkového zápisu na algebraický výraz dostaneme
X ( A, B ,C ) A * C B * C A * B z čehož je zřejmé, že došlo ke zjednodušení zadané logické funkce. V dalším postupu se budeme snažit nalézt, pomocí mřížky prostých implikantů, takové prosté implikanty, které bude možno vyloučit, získáme tak další zjednodušení zadané logické funkce. Sestavíme mřížku prostých implikantů, přičemž v mřížce zaznamenáme souvislosti členů a implikantů, průsečíky příslušných čar vyznačíme křížkem 3
4
6
7
3
AC
AC
BC
BC
AB
AB
4
6
7
Obrázek 1.21 - Blokové logické schéma pro zadanou funkci Z mřížky prostých implikantů je zřejmé, že prostý implikant AB je nadbytečný (postradatelný), protože vznikl z členů 6 a 7 a ty jsou nahrazeny prvními dvěmi prostými implikanty. Výsledná zjednodušená zadaná logická funkce je tedy
X ( A, B , C ) A * C B * C 50
POZNÁMKA Výslednou minimalizovanou logickou funkci získanou využitím mřížky prostých implikantů, které byly určeny metodou Quin-McCluskey, lze odvodit i pomocí Booleovy algebry. Máme logickou funkci získanou metodou Quin-McCluskey, tedy
X ( A , B ,C ) A * C B * C A * B využitím zákona 1* x x a zákona o vyloučení třetího, tedy x x 1 dostáváme
X ( A, B ,C ) A * C B * C A * B * C C A * C B * C A * B * C A * B * C vytýkáním dostaneme
X ( A, B ,C ) A * C * 1 B B * C * 1 A využitím zákona 1 x 1 získáme výslednou minimalizovanou logickou funkci
X ( A, B , C ) A * C B * C
1.7 Vybrané příklady z oblasti logických úloh V této kapitole bude uvedeno několik řešených, neřešených, případně nedořešených příkladů z oblasti logických úloh.
PŘÍKLAD V dílně jsou umístěny tři nádrže s technologickými kapalinami. V každém zásobníku je umístěno čidlo indikující minimální množství kapaliny nutné pro provoz dílny (SN1, SN2, SN3). Máme navrhnout logický obvod, který zajistí, že pokud je ve dvou a více zásobnících již méně kapaliny, než je minimální množství, bude se kontrolkou na panelu informovat obsluha, aby kapalinu doplnila (DOPLNIT). Čidla indikují stav logická 0, v případě, jsou-li smočeny. Názvy proměnných budou uvažovány podle zadání.
SN1
SN2
SN1 SN2 SN3
DOPLNIT
SN3
SIGNALIZACE STAVU ZÁSOB KAPALINY
DOPLNIT
Obrázek 1.22 - Schématické znázornění zadané úlohy - tři nádrže 51
Tabulka 1.13 - Pravdivostní tabulka - tři nádrže SN1
0
0
0
0
1
1
1
1
SN2
0
0
1
1
0
0
1
1
SN3
0
1
0
1
0
1
0
1
DOPLNIT
0
0
0
1
0
1
1
1
Tabulka 1.14 - Kaurnaughova mapa - tři nádrže SN1, SN2 SN3
00
01
11
10
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
Minimalizovaná logická funkce určená z Karnaughovy mapy (jedná se o součet tří dvojic) DOPLNIT SN1 * SN 2 SN 2 * SN 3 SN1 * SN 3
Logické schéma minimalizované funkce je uvedeno na následujícím obrázku SN1 SN2 SN2 SN3 SN1 SN3
&
&
1
DOPLNIT
&
Obrázek 1.23 - Logické schéma - tři nádrže
PŘÍKLAD Máme navrhnout logický obvod pro řízení signalizačního zařízení. Transformátor má jmenovitý výkon 10 kW a může napájet některé ze čtyř zařízení o výkonu Z1 = 1 kW, Z2 = 2 kW, Z3 = 4 kW, Z4 = 6 kW. Operátor má mít na svém panelu následující informace o provozu pokud odebíraný výkon není vyšší než jmenovitý, má být rozsvícena zelená kontrolka OK, pokud je odebíraný výkon vyšší než jmenovitý, má být rozsvícena červená kontrolka ALARM_SV a rozezvučet se akustická signalizace ALARM_AS. 52
10kW TRAFO OK
Z1
Z2
Z3
Z4
1kW
2kW
4kW
6kW
Z1
ALARM_AS
OK
ŘÍZENÍ SIGNALIZAČNÍHO ZAŘÍZENÍ
Z2 Z3
ALARM_SV
ALARM_SV ALARM_AS
Z4
Obrázek 1.24 - Schématické znázornění zadané úlohy - transformátor Při sestavení níže uvedené pravdivostní tabulky pro jednotlivé požadované výstupní logické funkce, tj. OK, ALARM_SV, ALARM_AS, vyjdeme ze součtu výkonů jednotlivých aktivních (spuštěných) zařízení Z1, Z2, Z3 a Z4 tak, aby byla splněna daná podmínka pro požadované výstupní logické funkce. Tabulka 1.15 - Pravdivostní tabulka - transformátor Z1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Z2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
Z3
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Z4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
OK
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
ALARM_SV
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ALARM_AS
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Ze zadání i z pravdivostní tabulky je zřejmé, že výstupní funkce ALARM_SV a ALARM_AS jsou vlastně doplňkem funkce OK.
53
Tabulka 1.16 - Kaurnaughovy mapy - transformátor b) výstupní funkce ALARM_SV a ALARM_AS
a) výstupní funkce OK Z1,Z2
Z1,Z2
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
1
1
11
1
0
10
1
1
Z3,Z4
00
01
11
10
00
0
0
0
0
1
01
0
0
0
0
0
0
11
0
1
1
1
1
1
10
0
0
0
0
Z3,Z4
Minimalizované logické funkce určené z Karnaughových map
OK Z 3 Z 4 Z1 * Z 2 ALARM _ SV ALARM _ AS Z 2 * Z 3 * Z 4 Z1 * Z 3 * Z 4 Na základě výše uvedeného vyplývá, že funkce ALARM_SV a ALARM_AS jsou doplňkem funkce OK, proto je možné zapsat tyto výsledné funkce následovně
ALARM _ SV ALARM _ AS OK Logické schéma minimalizovaných funkcí je uvedeno na následujícím obrázku. Z3
Z4
Z1
1
1
Z3
Z2 Z3 1
Z4
OK
Z4 Z1 Z3
1
Z1
& 1 &
Z4 &
Z2
1
ALARM_SV
1 ALARM_AS
Z2
Obrázek 1.25 - Logické schéma - transformátor
PŘÍKLAD Je dána nádrž ve které se nacházejí dvě čidla, pro indikaci výšky hladiny. Máme navrhnout logický obvod, který bude ovládat ventil V, který ovládá přítok kapaliny do nádrže. Kapalina má být v nádrži udržována mezi stavy H a D. Čidlo indikuje stav logická 1, v případě, je-li smočeno. 54
V
H LOGICKÝ OBVOD D
D H Vk
ŘÍZENÍ VÝŠKY HLADINY
D H
Vk+1
ŘÍZENÍ VÝŠKY HLADINY
V
Obrázek 1.26 - Schématické znázornění zadané úlohy - řízení výšky hladiny Tabulka 1.17 - Pravdivostní tabulka - řízení výšky hladiny D
0
0
0
0
1
1
1
1
H
0
0
1
1
0
0
1
1
Vk
0
1
0
1
0
1
0
1
Vk+1
1
1
X
X
0
1
0
0
*) Stav označený jako „X“ značí, že daný výstup nemůže nastat, pokud neuvažujeme chybu čidla. Tedy čidlo H nemůže indikovat stav 1 (smočeno), pokud čidlo D indukuje stav 0 (nesmočeno). Stav „X“ (neurčitý stav) můžeme využít k případnému dalšímu zjednodušení výsledné funkce, tj. za tento stav můžeme dosadit libovolně hodnotu 0 nebo 1. Tabulka 1.18 - Kaurnaughovy mapy - řízení výšky hladiny a) minimalizace bez využití neurčitých stavů
b) minimalizace s využitím neurčitých stavů
D,H
D,H
00
01
11
10
0
1
X
0
0
1
1
X
0
1
Vk
00
01
11
10
0
1
X1
0
0
1
1
X1
0
1
Vk
Minimalizovaná logická funkce určená z Karnaughových map a) minimalizace bez využití neurčitých stavů
Vk 1 D * H Vk * H
resp.
V D * H V * H 55
b) minimalizace s využitím neurčitých stavů, v tomto případě byla za oba neurčité stavy dosazena hodnota 1.
Vk 1 D Vk * H
V D V * H
resp.
Logické schéma minimalizovaných funkcí je uvedeno na následujícím obrázku. a) D
b) 1
D
D
1
D
H
1
H
& H
1
H
1
V
1
&
V
&
Obrázek 1.27 - Logické schéma - řízení výšky hladiny a) minimalizace bez využití neurčitých stavů, b) minimalizace s využitím neurčitých stavů
PŘÍKLAD V závodě mohou ze čtyř energeticky velmi náročných strojů běžet maximálně dva současně. Operátor má mít na svém panelu následující informace provozu, a to pokud běží právě dva tyto stroje, má být rozsvícena oranžová kontrolka POZOR, pokud jsou spuštěny současně tři nebo čtyři tyto stroje, má se rozsvítit červená kontrolka ALARM_SV a rozezvučet akustická signalizace ALARM_AS. Pro uvedenou úlohu máme navrhnout logický obvod. STROJ1
STROJ2 POZOR
STROJ3
STROJ1 STROJ2 STROJ3 STROJ4
STROJ4
ALARM SV
ALARM_AS
ŘÍZENÍ SIGNALIZACE CHODU STROJŮ
POZOR ALARM_SV ALARM_AS
Obrázek 1.28 - Schématické znázornění zadané úlohy - signalizace chodu strojů 56
Tabulka 1.19 - Pravdivostní tabulka - signalizace chodu strojů STROJ1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
STROJ2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
STROJ3
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
STROJ4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
POZOR
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
ALARM_SV
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
ALARM_AS
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
PŘÍKLAD Máme navrhnout logický obvod pro nápojový automat, který má na požadavek zákazníka namíchat malinovou limonádu, citronovou limonádu, popřípadě vydat pouze vodu. V přístroji jsou umístěny tři nádoby obsahující vodu, malinový sirup a citronový sirup. Tři tlačítka v, m, c ovládají elektromagnety ventilů označených V, M, C, čímž je zákazníkovi umožněno vybrat jeden z výše uvedených nápojů. Vodu vydá automat zdarma, limonádu po vhození mince (signál p). Stisknutím kteréhokoliv tlačítek nebo vhozením mince se zahájí časově omezený rozhodovací proces. Jestliže během tohoto procesu neučiní zákazník podporovanou volbu, vhozená mince se vydá zpět (signál P - návrat mince). Mince se vrátí též v případě nesprávného zadání požadavku. p
P
m
LOGICKÝ OBVOD
c
v
C
C
M
V
M V
p c m v
NÁPOJOVÝ AUTOMAT
P C M V
Obrázek 1.29 - Schématické znázornění zadané úlohy - nápojový automat 57
Tabulka 1.20 - Pravdivostní tabulka - nápojový automat p
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
c
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
m
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
v
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
P
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
C
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
M
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
V
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
PŘÍKLAD Máme navrhnout logický obvod pro zobrazování čísel od 0 do 9 na sedmisegmentovém displeji. Je třeba tedy určit minimalizující logické funkce pro jednotlivé segmenty. Označení jednotlivých segmentů, včetně zobrazení požadovaných čísel na sedmisegmentovém displeji je uvedeno na následujícím obrázku. Číslo, které se bude zobrazovat, bude zadáváno pomocí 4 binárních vstupů označených vsa, vsb, vsc, vsd. Výstupní funkce (segmenty) budou označeny sa, sb, sc, sd, se, sf a sg.
vsta vstb vstc vstd
ŘÍZENÍ SEDMISEGMENTOVÉHO DISPLEJE
sa sb sc sd se sf sg
Obrázek 1.30 - Schématické znázornění zadané úlohy - řízení sedmisegmentového displeje 58
Tabulka 1.21 - Pravdivostní tabulka - sedmisegmentovka číslo
vsd
vsc
vsb
vsa
sa
sb
sc
sd
se
sf
sg
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 X X X X X X
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 X X X X X X
1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 X X X X X X
0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 X X X X X X
1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 X X X X X X
1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 X X X X X X
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 X X X X X X
*) Stav označený jako „X“ značí, že daný výstup nemůže nastat. Tedy na jednom sedmisegmetntovém displeji nemůžeme v jednom okamžiku zobrazit dvě čísla. Stav „X“ (neurčitý stav) můžeme využít k případnému dalšímu zjednodušení výsledných funkcí (segmentů), tj. za tento stav můžeme dosadit libovolně hodnotu 0 nebo 1.
PŘÍKLAD Máme navrhnout logický obvod (logické obvody) pro řízení hydraulické posuvové jednotky podle zadaného režimu. Jsou uvažovány následující vstupy a výstupy. Vstupy: tlačítko START, tlačítko STOP, 4 snímače polohy K1, .., K4 Výstupy: řízení pohybu posuvové jednotky vpřed EM1, řízení pohybu posuvové jednotky vzad EM2, ovládání rychlosti posuvu EM3 (EM3 = log. 1 - pracovní posuv, EM3 = log. 0 - rychloposuv) Požadované režimy a) Po stisku tlačítka START se posuvová jednotka rozjede rychloposuvem z výchozí pozice K1 a zastaví se na konci dráhy (snímač K4). Po dalším stisku tlačítka START se vrátí rychloposuvem zpět. K nouzovému zastavení posuvové jednotky slouží tlačítko STOP. 59
b) Po stisku tlačítka START se má posuvová jednotka začít pohybovat střídavě vpřed (vpravo) až do polohy snímače K4 a pak zpět (vlevo) až do polohy snímače K1. K nouzovému zastavení posuvové jednotky slouží tlačítko STOP. c) Po stisku tlačítka START vykoná posuvová jednotka jeden pracovní cyklus v režimu podle následujícího diagramu. K nouzovému zastavení posuvové jednotky slouží tlačítko STOP. rychloposuv
K1
K2
K3
K4
d) Po stisku tlačítka START vykoná posuvová jednotka jeden pracovní cyklus v režimu podle následujícího diagramu. K nouzovému zastavení posuvové jednotky slouží tlačítko STOP. rychloposuv pracovní posuv K1
K2
K3
K4
Schématické znázornění zadaného příkladu (technologické schéma, zobrazení vstupů a výstupů) je znázorněno na níže uvedeném obrázku. M
EM2
EM1
START STOP
EM3 Č
M
ŠV K1
K2
START STOP K1 K2 K3 K4
K3
K4
HYDRAULICKÁ POSUVOVÁ JEDNOTKA
EM 1 EM 2 EM 3
Obrázek 1.31 - Schématické znázornění zadané úlohy - hydraulická posuvová jednotka 60
Jednotlivé body řešení (a) - (d) lze provést přímo intuitivně, případně nejprve sestavením pravdivostní tabulky, … . Tedy, pro bod zadání (a) by bylo možno určit výsledné funkce EM1 a EM2, například takto EM 1 ( START * K1 EM 1) * K 4 * STOP
a
EM 2 ( START * K 4 EM 2) * K1* STOP
Bod zadání (b) je možno řešit využitím RS klopného obvodu. Logické schéma obvodu by pak bylo například následující STOP START K4 K1
R S R S
Q
Q
POHYB
SMĚR (VPŘED)
&
EM 1
&
EM 2
Obrázek 1.32 - Logické schéma pro daný bod zadání - řízení hydraulické posuvové jednotky První klopný obvod typu RS slouží pro uchování informace o tom, zda se má posuvová jednotka pohybovat, a je ovládán tlačítky START a STOP. Druhý klopný obvod typu RS slouží pro uchování informace o směru pohybu posuvové jednotky, resp. o tom, který snímač polohy K1 nebo K4 byl aktivován. Další body zadaní, tj. body (c) a (d) lze řešit obdobnými způsoby … .
61
2 LINEÁRNÍ SYSTÉMY 2.1 Laplaceova transformace a Z-transformace ................................................................. 67 2.1.1
Přímá L-transformace a Z-transformace ............................................................. 67
2.1.2
Zpětná L-transformace a Z-transformace ............................................................ 72
2.1.3
Výpočet Z-přenosu spojité části obvodu ............................................................. 79
2.1.4
Vybrané vlastnosti L-transformace a Z-transformace ......................................... 81
2.1.5
Využití L-transformace a Z-transformace ........................................................... 82
2.1.6
Přepočtové vztahy mezi spojitými a diskrétními systémy .................................. 87
2.1.7
Vybrané příklady pro využití L-transformace a Z-transformace ........................ 88
2.2 Popis vlastností lineárních systémů .............................................................................. 90 2.2.1
Lineární diferenciální rovnice, lineární diferenční rovnice a přenos .................. 90
2.2.2
Póly a nuly systému ............................................................................................. 97
2.2.3
Přechodová funkce a charakteristika, impulsní funkce a charakteristika .......... 101
2.2.4
Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky ................................................ 109
2.2.5
Typy dynamických členů .................................................................................. 122
2.2.6
Příklady na vybrané vlastnosti lineárních systémů ........................................... 126
2.3 Určení výsledného přenosu složeného systému ......................................................... 127 2.3.1
Bloková algebra ................................................................................................. 127
2.3.2
Příklady na určení výsledného přenosu složeného systému .............................. 134
2.4 Regulační obvod ......................................................................................................... 135 2.5 Stabilita systému a její kritéria ................................................................................... 148 2.5.1
Kritéria stability ................................................................................................. 151
2.5.2
Vybrané příklady na určení stability systému ................................................... 168
2.6 Typy řízených systémů ............................................................................................... 169 2.7 Identifikace řízených systémů .................................................................................... 176
62
2.7.1
Graficko-početní metody identifikace přechodových charakteristik řízených systémů .............................................................................................................. 177
2.7.2
Úprava přenosů řízených systémů ..................................................................... 197
2.7.3
Vybrané příklady na identifikaci řízeného systému .......................................... 201
2.8 Regulátory a metody jejich nastavení ........................................................................ 205 2.8.1
Rozdělení regulátorů ......................................................................................... 205
2.8.2
Metody pro nastavení parametrů regulátoru...................................................... 219
2.8.3
Kvalita regulace ................................................................................................. 272
2.8.4
Vybrané příklady na syntézu regulačního obvodu ............................................ 273
63
2 LINEÁRNÍ SYSTÉMY Při vyšetřování vlastností dynamického systému a způsobu jeho řízení je potřebné zkoumat, jak působí jedna část systému na jinou část, jaký vliv mají tyto interakce na chování celého systému v daném prostředí a jak zpětně působí systém na prostředí a nebo jiné systémy. Vhodným způsobem zjišťování těchto vlivů je určení matematického popisu reálného systému, tj. vytvoření jeho matematického modelu, který má být rovnocenný s reálným objektem. Reálné soustavy, které disponují zásobníkem některé formy energie, mají zpožděnou odezvu na změnu některé veličiny v reálné soustavě vlivem dynamické setrvačnosti. Jejich chování je z matematického hlediska popsáno systémem diferenciálních rovnic. Dynamické soustavy, které jsou popsány soustavou lineárních diferenciálních rovnic, jsou nazývány lineární. Systém však může být také popsán jen v diskrétních časových okamžicích, poté se mluví o diskrétních lineárních systémech a o diferenčních rovnicích. Při popisu chování, tj. analýze i syntéze spojitých lineárních systémů a diskrétních lineárních systémů řízení je třeba často řešit velmi složité diferenciální popřípadě diferenční rovnice. Ke zjednodušení těchto operací nám slouží Laplaceova transformace (L-transformace) a Ztransformace. Analýza systémů se přitom zabývá zejména popisem statických a dynamických vlastností systémů, zkoumání vztahů mezi nimi, vyšetřováním stability, atd. Syntéza systému se zabývá stanovením struktury a parametrů regulačního obvodu tak, aby byly splněny požadavky kladené na regulační pochod. V následující části jsou uvedeny příklady vybraných jednoduchých systémů, včetně popisu sestavení jejich diferenciálních rovnic. a)
c)
b) i1(t)
y(t) c
i2(t)
R
b
Q1(t) u1(t)
iC(t)
u2(t) C
h(t)
S
R
F(t)
Elektrický systém
Mechanický systém u(t)
y(t)
vstup
výstup
Hydraulický systém
Obecné označení systému
Obrázek 2.1 - Příklady vybraných jednoduchých systémů 64
Q2(t)
Mechanický systém Jednoduchý mechanický systém (viz Obrázek 2.1a) je tvořen pružinou, která je spojena s tlumičem (píst). Opačné konce pružiny a tlumiče jsou pevně fixované. Vstupem do systému je časově proměnná síla F(t) [N] a výstupem ze systému je výchylka y(t) [m]. Hmotnost pístu i pružiny zde bude zanedbána. Dále je předpokládáno, že na počátku přechodového děje je výchylka nulová, tj. y(0) = 0, což znamená, že pružina není na počátku ani natažená ani stlačená, tj. je ve své výchozí poloze. V místě spojení pružiny a tlumiče působí vnější síla F(t), dále pak síla pružiny Fc(t) a síla způsobená tlumičem Fb(t). Síly jsou v rovnováze, platí tedy F(t) = Fc(t) + Fb(t). Síla způsobená tlumičem je úměrná rychlosti pohybu, tj. Fb(t) = b·dy/dt, kde b [N·s/m] je konstanta viskózního tlumení. Síla způsobená pružinou je úměrná výchylce pružiny, tj. Fc(t) = c·y(t), kde c [N/m] je tuhost pružiny. Z rovnosti uvedených sil pak plyne rovnice
b
dy (t ) c y (t ) F (t ) dt
přičemž je uvažována počáteční podmínka y(0) = 0. Daný mechanický systém tedy obsahuje jeden akumulátor energie (energie pružiny) a počáteční podmínka definuje stav tohoto akumulátoru na počátku děje (předepnutí pružiny). Elektrický systém Schéma zapojení jednoduchého elektrického obvodu je uvedeno výše na obrázku (viz Obrázek 2.1b). Vstupem do tohoto systému je časově proměnné napětí u1(t) [V], výstupní veličinou ze systému je napětí u2(t) [V]. Je předpokládáno, že počáteční napětí na kapacitoru je nulové, tj. u2(0) = 0. Za předpokladu, že výstupní proud i2(t) = 0 platí i1(t) [A] = iC(t) [A], díky čemuž je možno psát i1 (t )
u1 (t ) u 2 (t ) du (t ) iC (t ) C 2 R dt
kde R [] je odpor a C [F] je kapacita. Úpravou uvedené rovnice je možno získat diferenciální rovnici pro výstupní napětí elektrického obvodu R C
du 2 (t ) u 2 (t ) u1 (t ) dt
přičemž je uvažována počáteční podmínka u2(0) = 0. Tento elektrický obvod obsahuje jeden akumulátor energie (elektrické) a počáteční podmínka definuje stav tohoto akumulátoru na počátku děje.
65
Hydraulický systém Schematické znázornění jednoduchého hydraulického systému je uvedeno na obrázku výše (viz Obrázek 2.1c). Do nádrže o ploše S přitéká proměnné množství kapaliny Q1(t) [m3/s]. V čase t se v nádrži vytvoří hladina s výškou y1(t). Vstupem do tohoto systému je množství přitékající kapaliny Q1(t) [m3/s], výstupem pak výška hladiny v nádrži h(t) [m]. Z nádrže vytéká množství kapaliny Q2(t) [m3/s]. Je uvažováno, že množství vytékající kapaliny Q2(t) je úměrné hydrostatickému tlaku u dna nádrže, tj. je úměrné výšce hladiny h(t) v nádrži Q2(t) = h(t)/R, kde R [s/m2] je hydraulický odpor (čím vyšší hydraulický odpor, tím je menší odtok kapaliny). Na počátku je uvažována prázdná nádrž, tj. h(0) = 0. Pro zjednodušení bude dále předpokládáno, že hydraulický odpor R je konstanta nezávislá na výšce hladiny h(t) (ve skutečnosti však hydraulický odpor závisí na výšce hladiny, zde je však tato skutečnost, za cenu jisté nepřesnosti, zanedbána), pak pro změnu objemu kapaliny v nádrži dV za dobu dt bude platit vztah
h(t ) dV S dh(t ) Q1 (t ) dt R Úpravou uvedené rovnice je možno získat diferenciální rovnici pro výšku hladiny v nádrži
S R
dh(t ) h(t ) R Q1 (t ) dt
přičemž je uvažována počáteční podmínka h(0) = 0. Daný hydraulický systém obsahuje jeden akumulátor energie (energie kapaliny v nádrži) a počáteční podmínka definuje stav tohoto akumulátoru na počátku děje.
Výše uvedené systémy (mechanický, elektrický, hydraulický) jsou systémy, kde všechny proměnné fyzikální veličiny jsou funkcemi spojitého argumentu, tedy času. Tyto systémy se nazývají spojité systémy, resp. systémy v čase spojité. Uvedené příklady popsaných systémů jsou sice různé fyzikální podstaty, ale jejich chování je možno popsat obecně stejnou diferenciální rovnicí ve tvaru
a1
dy (t ) a 0 y (t ) b0 u (t ) dt
kde u(t) a y(t) jsou uvažovány jako vstup a výstup systému. Koeficienty, resp. jejich význam, a1, a0, b0 se liší podle daného typu systému. Koeficienty jsou přitom uvažovány jako konstantní, tzn., že při jejich odvozování bylo předpokládáno, že jednotlivé části systému, tj. tuhost pružiny a viskózní tlumení u mechanického systému, odpor a kapacitor u elektrického systému a rozměry nádrže a hydraulický odpor u hydraulického systému nezávisí ani na čase, ani na působících fyzikálních veličinách. U hydraulického systému, byl přitom záměrně
66
uvažován vztah mezi výškou hladiny h(t) a výtokem z nádrže Q2(t) za lineární za cenu určité nepřesnosti v popisu, neboť ve skutečnosti je daná závislost nelineární. Výše uvedená diferenciální rovnice popisuje chování abstraktního systému s jedním akumulátorem energie, přičemž proměnné a koeficienty této diferenciální rovnice značí Abstraktní systém
Mechanický
Elektrický
u (t )
F (t )
↔
u1 (t )
↔
Q1 (t )
y (t )
y (t )
↔
u 2 (t )
↔
h(t )
b0
1
↔
1
↔
R
a1
b
↔
R C
↔
SR
a0
c
↔
1
↔
1
systém
Hydraulický systém
systém
POZNÁMKA V další části textu jsou spojité systémy a diskrétní systémy, pro svojí souvislost, nezřídka porovnávány blízko sebe.
2.1 Laplaceova transformace a Z-transformace 2.1.1 Přímá L-transformace a Z-transformace Definice transformace Přímá L-transformace
F s L f t f t e st dt
Přímá Z-transformace (2.1)
F ( z ) Z f (kT ) f (kT ) z k
(2.2)
k 0
0
kde
kde L
- operátor přímé L-transformace
Z
- operátor přímé transformace Z
s
- komplexní proměnná
z
- komplexní proměnná
F(s) - spojitý obraz funkce f(t) (komplexní F(z) - diskrétní obraz funkce f(kT) (komplexní funkce definovaná v oblasti komplexní funkce definovaná v oblasti komplexní proměnné)
proměnné) t
- čas
kT - diskrétní čas; k - krok, T - perioda vzorkování 67
Aby časová funkce f(t) byla originálem, musí Aby diskrétní časová funkce f(kT) byla splňovat požadavky
originálem, musí splňovat požadavky
- musí být nulová pro záporný čas t, což lze - musí být nulová pro záporné k, lze splnit splnit vynásobením dané časové funkce
vynásobením dané diskrétní časové funkce
Heavisideovým
diskrétním Heavisideovým jednotkovým
jednotkovým
skokem,
který je definován takto
skokem, který je definován takto
(t ) 1 pro t 0 jinak (t ) 0
(kT ) 1 pro k 0 jinak (kT ) 0
f (kT ) pro k 0, 1, 2, 3, f (kT ) 0 pro k -1, - 2, - 3,
f (t ) pro t 0 f (t ) 0 pro t 0 dále
dále
- musí být alespoň po částech spojitá - musí být exponenciálního řádu, tj. musí - musí být exponenciálního řádu, tj. musí vyhovovat nerovnosti
vyhovovat nerovnosti
f (t ) Me 0 t
f (kT ) Me 0 kT
kde M 0; α 0 (, ); t 0, )
kde M 0; α 0 (, ); k 0, 1, 2,
Další způsob určení přímé L-transformace a Z-transformace je s využitím slovníku transformací.
POZNÁMKA V další části textu bude uvažováno, že všechny funkce budou vždy nulové pro záporný čas, pokud nebude specifikováno jinak.
PŘÍKLAD Máme určit obrazy zadaných funkcí s použitím L-transformace a Z-transformace (přímá transformace). V příkladu bude vždy nejprve určen obraz zadané funkce pomocí Ltransformace a poté pomocí Z-transformace. 1) jednotkový skok (Heavisideova funkce): f (t ) (t ) 1, resp. f (kT ) (kT ) 1 1 1 1 F ( s ) L{ f (t )} 1e st dt [e st ]0 [0 1] s s s 0
68
F ( z ) Z { (kT )} (kT ) z k 1 z 1 z 2 z 3 k 0
jedná se o nekonečnou geometrickou řadu, jejíž součet je dán vztahem s
a0 1 q
a0 1
q z 1
F ( z)
1 z 1 z 1 1 z
F ( z ) Z { (kT )}
2) Diracův impuls: f (t ) (t ), resp. f (kT ) (kT ) Platí:
(t ) x(t )dt x(0) (t ) 0 pro t 0
1 pro kT 0 (kT ) 0 pro kT 0
F ( s ) L{ (t )} (t )e st dt e 0 1 0
F ( z ) Z { (kT )} (kT ) z k 1 0 0 0 1 k 0
3) konstanta: f (t ) c, resp. f (kT ) c
c c c F ( s ) L{c} ce st dt [e st ]0 [0 1] s s s 0
F ( z ) Z {c} cz k c cz 1 cz 2 cz 3 k 0
využitím vztahu pro součet nekonečné geometrické řady dostaneme F ( z ) Z {c} c
1 1 z
1
c
z z 1
4) exponenciála: f (t ) e at , resp. f (kT ) e akT
0
0
F ( s ) L{(e at )} e at e st dt e ( a s )t dt
1 1 1 [e ( a s )t ]0 [0 1] as sa sa
F ( z) Z{e akT } e akT z k 1 e aT z 1 e 2aT z 2 * k 0
Z {e akT } 1 e aT z 1 e 2 aT z 2 vynásobíme obě strany rovnice výrazem e aT z -1 e aT z 1Z {e akT } e aT z 1 e 2 aT z 2 e 3aT z 3 odečteme od * 69
Z {e akT } e aT z 1Z {e akT } 1 (1 e aT z 1 ) Z {e akT } 1 1 z F ( z ) Z {e akT } aT 1 1 e z z e aT nebo
k 0
k 0
F ( z ) Z {e akT } e akT z k (e aT z 1 ) k 1 (e aT z 1 )1 (e aT z 1 ) 2 využitím vztahu pro součet nekonečné geometrické řady dostaneme
s
a0 1
a0 1 q
qe
aT
z
1
Z {e akT }
1
F ( z ) Z {e akT }
1 e
aT
z
1
z z e aT
5) skok rychlosti (lineární prvek času): f (t ) t , resp. f (kT ) kT
1 1 1 1 F ( s ) L{(t )} te dt t e st 1 e st dt [te st ]0 e st dt s s0 s 0 0 s 0 st
1 0 0 1 1 1 e st 1 0 0 1 1 [0 1] 12 s s s s s s s 0
Při integrování byla použita metoda per partes
uv´ uv u´v u t u´ 1
1 v´ e st v e st s
neurčitý výraz 0 se určil s využitím L’Hospitalova pravidla
t 1 1 L H ´ : lim 0 t e st t s e st
lim te st 0 lim
t
F ( z ) Z {kT } kTz k 0 Tz 1 2Tz 2 3Tz 3 T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) * k 0
Z{kT } T ( z 1 2 z 2 3z 3 )
vynásobíme obě strany rovnice výrazem z -1
z 1Z{kT } z 1T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) odečteme od *
Z {kT } z 1Z {kT } T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) T ( z 2 2 z 3 3z 4 ) T ( z 1 z 2 z 3 ) Tz 1 (1 z 1 z 2 ) Z {kT }(1 z 1 ) Tz 1 (1 z 1 z 2 ) 70
Z{kT }
1 1
(1 z )
Tz 1 (1 z 1 z 2 )
využitím vztahu pro součet nekonečné geometrické řady dostaneme s
a0 1
a0 1 q
suma poslední části pravé strany rovnice
q z 1
F ( z ) Z {kT }
1 1 Tz 1 Tz 1 Tz 1 1 1 2 1 z 1 z (1 z ) ( z 1) 2
6) sinus: f (t ) sin(t )
e jt e jt e jkT e jkT , resp. sin(kT ) 2j 2j
Při výpočtu a úpravách zadané funkce jsou využity Eulerovy vztahy, tedy sin(t )
1 e j t e j t 2j
cos(t )
1 j t e e j t 2
e jt e jt st e jt e st e jt e st e dt dt dt 2j 2j 2j 0 0 0
F ( s ) L{(sin t )} ( s j )t
0
e
2j
( s j ) t
dt 0
e
2j
dt
1 1 ( s j ) t 1 1 ( s j )t [e [e ]0 ]0 s j 2 j s j 2 j 1 1 1 1 1 1 1 1 [0 1] [0 1] 2 j s j 2 j s j 2 j s j 2 j s j
1 s j ( s j ) 1 2 j 2 2 2 2 j s j s j 2 j s s 2
1 jkT k jkT k 1 jkT F ( z ) Z {sin(kT )} Z e z e jkT e z e k 0 2 j k 0 2 j
1 z z j T j T 2j ze ze
2 j z e
z e jT e jT
2
j T
e jkT
z 1
z sin(T ) 2
z 2 z cos(T ) 1
POZNÁMKA Možné úpravy některých trigonometrických funkcí
sin
e j e j 2j
cos
e j e j 2
sinh
71
e e 2
cosh
e e 2
2.1.2 Zpětná L-transformace a Z-transformace Definice zpětné L-transformace a Z-transformace Zpětná L-transformace
Zpětná Z-transformace
1
f (t ) L1F ( s )
st F ( s) e ds 2 j C
kde -1
f (kT ) Z 1 F ( z )
(2.3)
1 F ( z ) z k 1dz (2.4) 2 j C
kde
L
- operátor zpětné L-transformace
Z-1 - operátor zpětné transformace Z
s
- komplexní proměnná
z
- komplexní proměnná
F(s) - spojitý obraz (komplexní fce definovaná F(z)- diskrétní obraz (komplexní fce definovaná v oblasti komplexní proměnné)
v oblasti komplexní proměnné)
t
- čas
C
- kružnice o poloměru r, uvnitř které leží
kT - diskrétní čas; k - krok, T - perioda
všechny singulární body funkce F(s)
vzorkování
C
- kružnice o poloměru r, uvnitř které leží všechny singulární body funkce F(z)
Další způsoby určení zpětné L-transformace a Z-transformace jsou uvedeny níže.
Zpětná L-transformace
Zpětná Z-transformace
a) využití residuí
a) využití residuí
n
f (t ) res F ( s)e st i 1
i 1
kde
res F (s)e st
(2.6)
- póly F(s)
z zi
- residua pro jednotlivé póly si
res F ( z ) z k 1 - residua pro jednotlivé póly zi
pro jednonásobné póly platí
res F ( s )e st lim ( s si ) F ( s )e st s si
res F ( s )e st
- póly F(z)
pro jednonásobné póly platí
1 d n1 lim n1 ( s si ) n F ( s )e st ( n 1)! s si ds
res F ( z ) z k 1 lim ( z zi ) F ( z ) z k 1
z zi
z zi
pro n-násobné póly platí
pro n-násobné póly platí s si
kde
s si
s si
n
f (kT ) res F ( z ) z k 1 k 0,1, 2,
(2.5)
res F ( z ) z k 1
z zi
1 d n 1 lim n 1 ( z zi ) n F ( z ) z k 1 (n 1)! z zi dz
b) rozkladem na parciální zlomky a použitím b) rozkladem na parciální zlomky a použitím slovníku L-transformace F ( s)
Q( s) qm s m q1s q0 nm P( s) pn s n p1s p0
slovníku Z-transformace (2.7)
F ( z)
72
Q( z ) qm z m q1 z q0 nm P( z ) pn z n p1z p0
(2.8)
*) nenásobné póly m
*) nenásobné póly
qm s q1s q0 F ( s) pn ( s s1 )(s s2 ) ( s sn )
qm z m q1z q0 F ( z) pn ( z z1 )( z z2 ) ( z zn )
*) násobné póly
*) násobné póly
F ( s)
qm s m q1s q0 pn ( s s1 ) k ( s s2 ) ( s sn k 1 )
F ( z)
qm z m q1z q0 pn ( z z1 ) k ( z z2 ) ( z zn k 1 )
kde
kde
s1,, sn k 1,, sn - póly funkce F(s), tj.
z1,, zn k 1,, zn - póly funkce F(z), tj.
kořeny polynomu jmenovatele F(s) k
- násobnost
nenásobné póly (s1 je k-násobný pól) F ( s)
A A1 A 2 n s s1 s s2 s sn
kořeny polynomu jmenovatele F(z) k
- násobnost
nenásobné póly (z1 je k-násobný pól) F ( z)
An A1 A2 z z1 z z 2 z zn
kde
kde
A1 ,, An - určované hodnoty
A1 ,, An - určované hodnoty
násobné póly
násobné póly
F ( s)
Bk B1 B2 2 s s1 ( s s1 ) ( s s1 ) k
An k A1 s s2 s sn k 1
F ( z)
Bk B1 B2 2 z z1 ( z z1 ) ( z z1 ) k
An k A1 z z2 z zn k 1
kde
kde
A1,, An , B1 ,, Bn - určované hodnoty
A1,, An , B1 ,, Bn - určované hodnoty c) rozvojem v mocninnou řadu F(z)
Q(z) f (0) f (T)z1 f (2T)z2 (2.9) P(z)
d) využitím rekurentní formule (Piercův algoritmus) F ( z)
Y ( z) bm z m b1z b0 U ( z) an z n a1z a0
v záporných mocninách z je obraz F ( z) ve tvaru F ( z)
bm z m n b1z n 1 b0 z n an a1z n 1 a0 z n
dále platí
an y(kT ) a1 y(k (n 1))T a0 y(k n)T bmu(k (m n))T b0 y(k n)T
kde
u(k j )T 1 pro k j ; u(k j )T 0 pro k j y(kT ) 0 pro k 0
73
(2.10)
MATLAB Rozklad na parciální zlomky [r, p, k] = residue (B,A) r - residua; p - póly systému (kořeny jmenovatele obrazu); k - poměr, B - koeficienty polynomu čitatele obrazu; A - koeficienty polynomu jmenovatele obrazu;
[B,A] = residue (r,p,k) - konverze z parciálních zlomků na koeficienty polynomů A,B pro nenásobné póly platí: pro násobné póly platí:
B( s) r (1) r (2) r ( n) ... k ( s) A( s ) s p (1) s p (2) s p ( n)
r( j) r ( j 1) r ( j n 1) ... k (s) 2 s p( j ) s p( j ) s p( j ) n
PŘÍKLAD Pro zadaný obraz funkce F máme provést rozklad na parciální zlomky F (s)
B( s ) 10 A( s ) s ( s 1) 2
>> [r,p,k] = residue (10,[1 2 1 0]) r = [-10, -10, 10]
p = [-1, -1, 0]
k = []
tedy
F (s)
B( s) 10 10 10 2 A( s) s 1 ( s 1) s
PŘÍKLAD Máme určit originály ze zadaných obrazů funkcí (racionálně lomených funkcí) s použitím zpětné L-transformace. 1) F ( s )
3 ( s 1)( s 2) s
a) využití residuí 3 3 3 e st lim ( s 1) e st lim ( s 2 ) e st s 0 ( s 1)( s 2 ) s s 1 s 2 ( s 1)( s 2 ) s ( s 1)( s 2 ) s 3 3 3e t e 2 t 2 2
f (t ) lim s
b) rozklad na parciální a využití slovníku L-transformací
F (s)
3 3 A A2 A3 1 3 1 2 2 ( s 1)( s 2) s s ( s 1) ( s 2) s s 1 s 2
74
3 A1 ( s 1)( s 2) A2 s ( s 2) A3 s ( s 1)
3 2 3 s 2 : 3 2 A3 A3 2 s 1 : 3 A2 A2 3 s 0:
3 2 A1 A1
f (t ) L1F ( s )
3 3 3e t e 2t 2 2
Výslednou spojitou funkci f(t) je možno přepsat na diskrétní funkci f(kT), tak, že za čas t dosadíme diskrétní čas kT, kde k značí krok a T periodu vzorkování, tedy
f (kT )
3 3 3e kT e 2 kT 2 2
2) F ( s )
1 s ( s 2) 2 ( s 3)
a) využití residuí d 1 1 1 lim e st lim e st 2 2 s 0 ( s 2 ) ( s 3) s 3 ( s 2 ) s ( 2 1)! s 2 ds
f (t ) lim
1 e st s ( s 3)
1 1 3t 1 2 t 1 1 1 1 3t 1 2 t 1 2 t e e t e e te 12 3 1 4 12 3 4 2 2
1 d 1 te st s ( s 3) e st (2 s 3) e st s 2t s (3t 2) 3 st st e e ds s ( s 3) s ( s 3) ( s 2 3s ) 2 ( s 2 3s ) 2
b) Pomocí slovníku 1 1 13 12 A1 A2 B1 B2 4 12 F (s) s ( s 3) ( s 2) ( s 2) 2 s ( s 3) ( s 2) ( s 2) 2
1 A1 ( s 2) 2 ( s 3) A2 ( s 2) 2 s B1 ( s 2) s ( s 3) B2 ( s 3) s s 0:
1 12 A1 A1 121
s 2 : 1 B2 (2) B2 12 s 3 : 1 3 A2 A2 13 s 1:
1 36 A1 9 A2 12B1 4 B2 B1
f (t ) L1F s
1 36 A1 9 A2 4B2 1 36 121 9 13 4 12 1 12 12 4
1 1 3t 1 2 t 1 2 t e e te 12 3 4 2
75
Výslednou spojitou funkci f(t) je možno přepsat na diskrétní funkci f(kT), tak, že za čas t dosadíme diskrétní čas kT, kde k značí krok a T periodu vzorkování, tedy
f (kT )
1 1 3kT 1 2 kT 1 e e kTe 2 kT 12 3 4 2
3) F ( s )
10 10 ( s 2 s 2)( s 2) ( s 1 j )( s 1 j )( s 2) 2
a) Pomocí residuí 10 10 10 e st lim e st lim ( s 2) e st s 1 j ( s 1 j )(s 2) s 1 j ( s 1 j )(s 2) s 2 ( s 1 j )(s 1 j ) 10 10 e ( 1 j )t e ( 1 j )t (1 j 1 j )(1 j 2) (1 j 1 j )(1 j 2) 10 10 10 e 2t e (1 j )t e (1 j )t 5e 2t (2 j 1)(2 j 1) (2 2 j ) (2 2 j ) 10 10 10 10 e (1 j )t j e (1 j )t e (1 j )t j e (1 j )t 5e 2t 4 4 4 4 10 t jt 10 10 10 e e j e t e jt e t e jt j e t e jt 5e 2t 4 4 4 4 10 t 10 e (e jt e jt ) je t (e jt e jt ) 5e 2t 4 4 10 10 e t ( cos t j sin t cos t j sin t ) je t ( cos t j sin t cos t j sin t ) 5e 2t 4 4 t t 2t 5e cos t 5e sin t 5e f (t ) lim
Výsledek byl získán využitím Eulerova vztahu e a jb e a (cos b j sin b) . b) rozklad na parciální zlomky a využití slovníku L-transformace
F (s)
1 .D ( s 1) E 10 A Bs C A 2 2 2 ( s 2 s 2)( s 2) ( s 2) ( s 2 s 2) ( s 2) ( s 1) 1 ( s 1) 2 12 2
složitější upravování výsledku
s 2 2s 2 ( s 1) 2 12 vede na výraz e at sin t a na výraz e at cos t ( s a ) 2 2 10 A( s 2 2 s 2) 1D( s 2) ( s 1) E ( s 2)
s 2 : 10 2 A A 5 s2 : s: F (s)
0 A E A E E 5 0 2 A D 3 E D 2 A 3 E 2 5 3( 5) 10 15 5 5 5 5s 1 2 2 ( s 2) ( s 1) 1 ( s 1) 2 12
f (t ) L1F s 5e 2t 5e t sin t 5e t cos t 76
Výslednou spojitou funkci f(t) je možno přepsat na diskrétní funkci f(kT), tak, že za čas t dosadíme diskrétní čas kT, kde k značí krok a T periodu vzorkování, tedy
f (kT ) 5e 2 kT 5e kT sin( kT ) 5e kT cos(kT )
PŘÍKLAD Máme určit originál ze zadaného obrazu funkce (racionálně lomených funkcí) použitím zpětné Z-transformace.
F ( z)
z 0,5 z 0,3 z 0,02 2
a) využití residuí F ( z)
z 0,5 2 z 0,3 z 0,02
f ( kT )
z1, 2
z 0, 2 0,3 0,09 4 .0,02 0,3 0,1 1 z 2 0,1 2 2
F ( z ) z k 1 zres F ( z ) z k 1 zres F ( z ) z k 1 res zz 0,2 0 ,1 2
i 1
i
z 0,5 z 0,5 k 1 z k 1 lim z 3.0,2 k 1 z 0 , 2 z 0, 2 ( z 0,1) ( z 0,2)( z 0,1) z 0,5 z 0,5 k 1 lim ( z 0,1) z k 1 lim z 4.0,1k 1 z 0,1 z 0,1 ( z 0,2) ( z 0,2)( z 0,1)
res F ( z ) z k 1 lim ( z 0,2)
z 0, 2
res F ( z ) z k 1
z 0,1
f (kT ) 4.0,1k 1 3.0,2 k 1 uzavřený tvar výsledku
Výpočet funkčních hodnot určeného originálu zadaného Z-obrazu: počáteční hodnota (je určena z limitní věty o počáteční hodnotě) z 0,5 1 L 'H 0 lim 2 z z 0,3 z 0,02 z 2 z 0,3
f (0) lim f (kT ) lim F ( z ) lim k 0
z
koncová hodnota (je určena z limitní věty o koncové hodnotě)
f () lim f (kT ) lim F ( z )( z 1) lim k
z 1
z 1
z 0,5 ( z 1) 0 z 0,3z 0,02 2
funkční hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4 a jsou (funkční hodnoty pro k = 1, 2, 3, 4 určíme dosazením těchto hodnot do výsledné funkce) f (0) 0, f (T ) 1, f (2T ) 0,2, f (3T ) 0,08, f (4T ) 0,02,, f () 0 b) rozvoj Z-obrazu v mocninnou řadu Q( z ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 P( z ) Q( z ) z 0,5 F ( z) 2 z 0,3z 0,02 P( z )
F ( z)
77
( z 0,5) : ( z 2 0,3z 0,02) 0 z 1 0,2 z 2 0,08z 3 0,02z 4 otevřený tvar výsledku ( z 0,3 0,02z 1 ) 0 0,2 0,02z 1 (0,2 0,06z 1 0,004z 2 ) 0 0,08z 1 0,004z 2 (0,08z 1 0,024z 2 0,0016z 3 ) 0
0,02z 2
0,0016z 3
(0,02z 2
0,006z 3
0,0004z 4 )
0
0,0044z 3
0,0004z 4
Určení funkčních hodnot získaných z rozvoje zadaného Z-obrazu v mocninou řadu funkční hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4 a jsou (funkční hodnotu pro k = ∞ určíme z limitní věty o koncové hodnotě, viz předchozí řešení) f (0) 0, f (T ) 1, f ( 2T ) 0,2, f (3T ) 0,08, f ( 4T ) 0,02, , f ( ) 0
c) rozklad na parciální zlomky F ( z)
z 0,5 A B 4 3 z 0,3 z 0,02 z 0,1 z 0,2 z 0,1 z 0,2 2
z 0,5 A( z 0,2) B ( z 0,1) z 0 : 0,5 0,2 A 0,1B z1 : 1 A B A 1 B 0,5 0,2(1 B ) 0,1B B A4
F ( z)
B 3
4 3 z z 4 z 1 3 z 1 z 0,1 z 0,2 z 0,1 z 0,2
f (kT ) 4 0,1k 1 3 0,2k 1
uzavřený tvar výsledku
Z-obraz F(z) byl po určení koeficientů A a B upravený na tvar, který odpovídá jednomu z tvarů uvedených ve slovníku Z-transformace. Originál funkce f(kT) je stejný jako u části a) tohoto příkladu, tzn. že funkční hodnoty jsou stejné jako v bodě a). d) rekurentní tvar (Piercův algoritmus)
z 0,5 z 1 0,5 z 2 Y ( z) 2 1 2 U ( z) z 0,3 z 0,02 1 0,3 z 0,02 z u(k 1)T 0,5u(k 2)T y (kT ) 0,3 y(k 1)T 0,02 y(k 2)T y (kT ) y (kT ) u(k 1)T 0,5u(k 2)T 0,3 y(k 1)T 0,02 y(k 2)T F ( z)
78
Výpočet funkčních hodnot z rekurentního tvaru zadaného Z-obrazu: funkční hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4 a jsou (funkční hodnotu pro k = ∞ určíme z limitní věty o koncové hodnotě, viz řešení tohoto příkladu bod a) ) k 0 : y (0) 0 k 1 : y (T ) u (0) 0,3 y (0) 1 0,3 0 1 k 2 : y (2T ) u (T ) 0,5u (0) 0,3 y (T ) 0,02 y (0) 0 0,5 1 0,3 1 0,02 0 0,2 k 3 : y (3T ) u (2T ) 0,5u (T ) 0,3 y (2T ) 0,02 y (T ) 0 0,5 0 0,3 (0,2) 0,02 1 0,06 0,02 0,08 k 4 : y (4T ) u (3T ) 0,5u (2T ) 0,3 y (3T ) 0,02 y (2T ) 0 0,5 0 0,3 (0,08) 0,02 (0,2) 0,024 0,004 0,02 f (kT ) y (kT ) f (0) 0, f (T ) 1, f (2T ) 0,2, f (3T ) 0,08, f (4T ) 0,02, , f () 0
otevřený tvar výsledku
POZNÁMKA Pokud je jmenovatel zapsán jako polynom je nutné nejprve získat kořeny (póly), aby mohly být použity výše uvedené postupy.
MATLAB Určení kořenů polynomu v = roots(C) C - polynom pro (N+1) koeficientů, platí C C (1) x n ... C ( N ) x C ( N 1)
PŘÍKLAD Máme určit kořeny jmenovatele zadaného obrazu F.
F (s)
M ( s) s3 4 N ( s ) s 7 s 3 13s 2 8s 1
>> v = roots( [1 7 13 8 1] ) v = [-4.4909, -1.3434, -1, -0.1658] tedy
F ( s)
s3 ( s 4,4909)( s 1,3434)( s 1)( s 0,1658)
2.1.3 Výpočet Z-přenosu spojité části obvodu U diskrétních lineárních regulačních obvodů se nejčastěji používá tzv. tvarovací člen nultého řádu s amplitudovou modulací, jehož výstupním signálem je schodovitá funkce. Mimo tvarovacího členu nultého řádu existuje i tvarovací člen prvního řádu, který se však používá velmi zřídka. 79
Tvarovací člen nultého řádu vytváří z Diracova impulsu obdélníkový puls jednotkové výšky a šířky, rovné vzorkovací periodě T je zobrazený na obrázku (viz Obrázek 2.2 a). Tvarovač prvního řádu přihlíží jak k amplitudě vzorků (stejně jako tvarovač nultého řádu) tak i jejich první derivaci. Výstupní veličina má na začátku periody hodnotu amplitudy danou okamžitou velikostí vstupního impulsu a během periody se lineárně mění v závislosti na rozdílu součastné a předchozí hodnoty vzorků vstupní veličiny (viz Obrázek 2.2 b). Tvarovací člen H(s) tedy vytváří z posloupnosti vstupních impulzů o šířce γ po částech spojitý výstupní signál. fH(t)
f*(t)
a)
fH(t)
f*(t)
b)
2
γ 1
1
0
T
2T
f*(t)
0
t
Tvarovač
T
2T 3T
0
t
1
γ
1
2T T
fH(t)
2T
f*(t)
0
t
Tvarovač
T
3T
t
fH(t)
Obrázek 2.2 - Odezva tvarovače nultého řádu (a) a prvního řádu (b) na jednotkový impuls GS(z) u(t)
u*(t)u(kT)
U(s)
U*(s)U(z)
H(s)
uH(t) UH(s)
GS(s)
y*(t)y(kT) Y*(s)Y(z)
Obrázek 2.3 - Spojitě pracující část regulačního obvodu Z-přenos spojitě pracující části obvodu GS(z), přičemž je uvažován tvarovač nultého řádu, může být odvozen níže uvedeným postupem (invariantnost vzhledem k tzv. přechodové funkci (přechodová funkce - viz kapitola 2.2.3)). Princip uvedeného postupu vychází z toho, že body spojité přechodové funkce, pro dané okamžiky vzorkování, odpovídají bodům diskrétní přechodové funkce. Spojitá verze přechodové funkce:
1 h(t ) L1 GS ( s ) s
Diskrétní verze přechodové funkce:
z h(kT ) Z 1 GS ( z ) z 1
Dále platí (v okamžicích vzorkování) vztah: h(kT ) h(t ) t kT Dosazením do výše uvedeného vztahu a dalšími úpravami se získá výpočet pro určení Zpřenosu spojité části obvodu při použití tvarovače nultého řádu z 1 Z 1 GS ( z ) L1 GS ( s ) s t kT z 1 GS ( z )
Z transformace
z 1 1 1 Z L GS ( s ) z s t kT
1 z GS ( z ) Z L1 GS ( s ) z 1 s t kT
(2.11)
80
2.1.4 Vybrané vlastnosti L-transformace a Z-transformace L-transformace
Z-transformace
Věta o linearitě
Věta o linearitě
La1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s) (2.12)
Z{a1 f1(kT) a2 f2 (kT)} a1F1(z) a2F2 (z) (2.14)
L1b1F1 ( s) b2 F2 ( s) b1 f1 (t ) b2 f 2 (t ) (2.13)
Z 1{b1F1(z) b2F2 (z)} b1 f1(kT) b2 f2 (kT) (2.15)
Věta o posunutí originálu, resp. o zpoždění
Věta o posunutí v časové oblasti
L f (t a) e as F ( s )
(2.16) posunutí vpravo (zpoždění)
Z { f [(k m)T ]} z m F ( z )
m0
(2.17)
posunutí vlevo (předstih) m1
Z{ f [(k m)T]} z [F(z) f (iT)zi ] m 0 (2.18) m
i0
Věta o počáteční a koncové hodnotě
Věta o počáteční a koncové hodnotě
věta o počáteční hodnotě
věta o počáteční hodnota
f (0) lim f (t ) lim sF ( s ) t 0
(2.19)
s
k 0
věta o koncové hodnotě
z
z 1 F ( z) lim F ( z) (2.21) z z
věta o koncové hodnotě
f () lim f (t ) lim sF ( s ) t
f (0) lim f (kT) lim
(2.20)
s 0
z 1 F(z) lim(z 1)F(z) (2.22) z1 z z1
f () lim f (kT) lim k
Věta o derivování originálu
Věta o derivaci - diference v časové oblasti
pro první derivaci
dopředná diference 1. řádu
df (t ) L sF ( s ) f (0) dt
(2.23)
n
L f (n)t sn F(s) sni i1
n1
s F(s) s f (0) s n
z(F(z) f (0)) F(z) (z 1)F(z) zf (0)
(2.25)
dopředná diference n-tého řádu
pro n-tou derivaci
Z{f (kT)} Z{ f [(k 1)T ] f (kT)}
n2
d i1 f (0) dti1 f (0) ... f
n1
(2.24) (n1)
(0)
Z{n f (kT)} (z 1)n F(z) z(z 1)ni1i f (0) (2.26) i0
zpětná diference 1. řádu
Z{f (kT )} Z{ f (kT ) f [(k 1)T ]} F ( z) z 1F ( z ) F ( z)(1 z 1)
(2.27)
zpětná diference n-tého řádu n
z 1 1 n Z{ n f (kT )} F ( z) (1 z ) F ( z) (2.28) z
81
Integrál - sumace v časové oblasti
Věta o integrování originálu
t 1 L f ( )d F ( s ) 0 s
(2.29)
dopředná diference
k 1 1 Z f (iT ) F ( z) i 0 z 1
(2.30)
zpětná diference
k z Z f (iT ) F ( z) i 1 z 1
(2.31)
2.1.5 Využití L-transformace a Z-transformace L-transformace se používá k řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a soustav takových rovnic. Z-transformace se používá k řešení lineárních diferenčních rovnic s konstantními koeficienty a soustav takových rovnic. Postupy při použití L-transformace a Ztransformace jsou schematicky naznačeny na obrázcích (Obrázek 2.4 a Obrázek 2.5). L Úloha v originále
Úloha v obraze
klasické řešení (nesnadné řešení)
řešení v obraze (snadnější řešení) L-1
Výsledek v originále
Výsledek v obraze
prostor originálů
prostor obrazů
(t-oblast)
(s-oblast)
Obrázek 2.4 - Postup výpočtu při použití L-transformace Z Úloha v originále
Úloha v obraze
klasické řešení
řešení v obraze
Z-1 Výsledek v originále
Výsledek v obraze
prostor originálů
prostor obrazů
(kT-oblast)
(z-oblast)
Obrázek 2.5 - Postup výpočtu při použití Z-transformace 82
PŘÍKLAD Pomocí výše uvedeného postupu máme určit řešení zadané diferenciální rovnice (postup viz Obrázek 2.4). 1) y(t ) 5 y(t ) 6 y (t ) 12u (t )
u (t ) 1 U ( s )
y(0) 0, y (0) 2
1 s
Ly (t ) 5 y (t ) 6 y (t ) L12u (t ) Y ( s ) s 2 s y (0) y (0) 5 Y ( s ) s y (0) 6Y ( s ) 12U ( s )
Y ( s ) s 2 5s 6 2 s 10 12
1 s
2 s 2 10 s 12 2 Y (s) Y (s) 2 s s ( s 5 s 6) y (t ) L1Y ( s ) 2
2) y(t ) 3 y (t ) e 2t
y (0) 0
Ly(t ) 3 y (t ) L e 2t
sY ( s ) 3Y ( s ) Y (s)
1 s2
1 A B ( s 2)( s 3) s 2 s 3
1 A( s 3) B ( s 2)
s 3 : 1 B(1) B 1 s 2 : 1 A(1) A 1 y (t ) e 2t e 3t
3) y(t ) 2 y (t ) u (t ) a) u (t ) (t )
y ( 0) 0 - Diracův impuls
b) u (t ) (t ) 1(t ) - Heavisideova funkce c) u (t ) sin 0,5t
- harmonická funkce
Ly (t ) 2 y (t ) Lu (t )
83
s Y ( s ) y (0) 2Y ( s ) U ( s ) Y ( s ) ( s 2) U ( s ) U (s) y (t ) L1{Y ( s )} ( s 2)
Y (s)
Tedy pro různé obrazy vstupní veličiny U(s) dostaneme různé obrazy výstupní veličiny Y(s) ad a) U ( s ) 1 Y (s)
1 1 2t y (t ) L1 e ya (t ) s2 s 2
Výstupní funkce při dané vstupní funkci (Diracův impuls) je označována jako impulsní funkce. ad b) U ( s )
Y (s)
1 s
1 1 1 st 1 1 1 y (t ) L1 e lim e st e 2t yb (t ) lim s 2 s s ( s 2) 2 2 s ( s 2) s 0 s 2
Výstupní funkce při dané vstupní funkci (Heavideova funkce) je označována jako přechodová funkce. Derivací přechodové funkce se získá impulsní funkce
1 yb (t ) (2)e 2t e 2t ya (t ) 2 Integrací impulsní funkce se získá přechodová funkce t
ya (t ) e
2
0
t
1 1 1 d e 2 e 2t při nulových počátečních podmínkách 2 0 2 2
ad c) U ( s ) Lsin(0,5t )
Y (s)
0,5 s 0,25 2
0,5 2
( s 2)( s 0,25)
0,5 E A Bs C A Ds 2 2 2 s 2 s 0,25 s 2 s 0,25 s 0,25
0,5 A( s 2 0,25) Ds ( s 2) 0,5 E ( s 2)
s 2 : 0,5 A 4,25 A s2 : 0
s :
0,5 0,1176 A 4,25
0 A D D A 0,1176 D 0,5 0,25 A E E 0,5 0,25 A 0,4706 E
y (t ) A e 2t D cos 0,5t E sin 0,5t 0,1176e 2t 0,1176 cos 0,5t 0,4706 sin 0,5t
84
sin( ) sin cos sin cos
y (t ) R0 sin(0,5t ) amplituda harmonické funkce
0,5t
fáze harmonické funkce
PŘÍKLAD Pomocí výše uvedeného postupu máme určit řešení zadané diferenční rovnice (postup viz Obrázek 2.5). u (kT ) 3 y (kT ) y (kT ) přičemž je uvažován vstupní signál u(kT) ve tvaru jednotkového skoku u (kT ) (kT ) 1 U ( z ) Z (kT )
z 1 ; y[(k )T ] 0 pro [(k )T ] 0 z 1 1 z 1
Při úpravě diferenční rovnice 1. řádu bude použita věta o derivaci, resp. diferenci v časové oblasti, tj. bude použita zpětná diference 1. řádu Z {f (kT )} Z { f (kT ) f [(k 1)T ]} F ( z ) z 1F ( z ) F ( z )(1 z 1 )
a věta o posunutí v časové oblasti vpravo
Z { f (k m)T } z m F ( z ) tedy Z u (kT ) Z 3 y (kT ) Z y (kT ) U ( z ) 3Y ( z ) Y ( z )(1 z 1 ) 2Y ( z ) Y ( z ) z 1 U ( z ) 2Y ( z ) z 1Y ( z ) Y ( z )
1 U ( z) 2 z 1
Po dalších úpravách, s využitím Z-obrazu jednotkové skoku u vstupního signálu u, obdržíme obraz Y(z) Y ( z)
1
1
2 z 1 1 z 1
z z z2 0,5 z 2 0,5 z 2 2 2 2 z 1 z 1 2 z z 1 z 0,5 z 0,5 ( z 0,5)( z 1)
originál funkce se poté určí ze získaného Z-obrazu například pomocí residuí, tedy
y (kT ) res[Y ( z ) z k 1 ] res [Y ( z ) z k 1 ] z 1
z 0,5
res Y ( z ) z k 1 lim( z 1) z 1
z 1
0,5 z 2 0,5 z 2 k 1 1 k 1 1 z k 1 lim z 1 z 1 ( z 0,5) ( z 1)( z 0,5) 3 3
res Y ( z ) z k 1 lim ( z 0,5)
z 0,5
z 0,5
0,5 z 2 0,5 z 2 k 1 1 z k 1 lim z 0,5 k 1 z 0,5 ( z 1) ( z 1)( z 0,5) 12
1 1 y (kT ) 0,5k 1 3 12 85
Výpočet funkčních hodnot určeného originálu zadaného Z-obrazu: počáteční hodnota (je určena z limitní věty o počáteční hodnotě) 0,5z 2 0,5 lim 0,5 2 z z 0,5 z 0,5 z 1 0,5 z 1 0,5 z 2
y(0) lim y(kT ) lim Y ( z ) lim k 0
z
koncová hodnota (je určena z limitní věty o koncové hodnotě)
0,5 z 2 0,5 z 2 1 ( 1 ) lim 0, 33 z z 1 z 2 0,5 z 0,5 z 1 ( z 0,5) 3
y () lim y (kT ) lim Y ( z )( z 1) lim k
z 1
funkční hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 5 a jsou (funkční hodnoty pro k = 1, 2, 3, 4, 5 určíme dosazením těchto hodnot do výsledné funkce)
y (0) 0,5, y (T ) 0,25, y ( 2T ) 0,375, y (3T ) 0,3125 , y ( 4T ) 0,3438 , y (5T ) 0,3281 , , y ( ) 0, 33 V tomto případě, tedy u diferenčních rovnic není vždy nutné využívat schématu na výše uvedeném obrázku (viz Obrázek 2.5), neboť přímo z diferenční rovnice lze určit hledané řešení, tj. určit tzv. otevřený tvar výsledku (rekurentní tvar), tedy u (kT ) 3 y (kT ) y (kT ) 3 y (kT ) ( y (kT ) y[(k 1)T ]) 2 y (kT ) y[(k 1)T ] y (kT )
y (kT ) 0,5u (kT ) 0,5 y[(k 1)T ] po dosazení funkčních hodnot je zřejmé, přičemž je uvažováno u (kT ) (kT ) 1 pro k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 a , že výsledky se shodují při použití obou způsobů řešení diferenční rovnice Výpočet funkčních hodnot funkční hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 a jsou (funkční hodnotu pro k = ∞ určíme z limitní věty o koncové hodnotě, viz řešení tohoto příkladu bod a) )
k 0 : y (0) 0,5u (0) 0,5 1 0,5 k 1 : y (T ) 0,5u (T ) 0,5 y (0) 0,5 1 0,5 0,5 0,25 k 2 : y (2T ) 0,5u (2T ) 0,5 y (T ) 0,5 1 0,5 0,25 0,375 k 3 : y (3T ) 0,5u (3T ) 0,5 y (2T ) 0,5 1 0,5 0,375 0,3125 k 4 : y (4T ) 0,5u (4T ) 0,5 y (3T ) 0,5 1 0,5 0,3125 0,3438 k 5 : y (5T ) 0,5u (5T ) 0,5 y (4T ) 0,5 1 0,5 0,3438 0,3281 y (0) 0,5, y (T ) 0,25, y ( 2T ) 0,375, y (3T ) 0,3125 , y ( 4T ) 0,3438 , y (5T ) 0,3281 , , y ( ) 0, 33
86
2.1.6 Přepočtové vztahy mezi spojitými a diskrétními systémy Pro přepočet obrazu spojité funkce F(s) na obraz diskrétní funkce F(z), případně naopak, je možno využít transformačních vztahů, přičemž vztah (2.33) je odvozen ze vztahu (2.32), tedy
z e sT s
(2.32)
1 ln( z ) T
(2.33)
Vztah (2.32) je možné získat následujícím postupem. Vyjdeme z definičního vztahu Ltransformace (2.1), ve kterém spojitý čas t zastoupíme diskrétním časem kT a spojitý integrál diskrétní sumou. Srovnáním takto upraveného definičního vztahu L-transformace s definičním vztahem Z-transformace (2.2) získáme uvedený transformační vztah (2.32). Vztahy (2.32) a (2.33) vyjadřují souvislost mezi komplexními rovinami „s“ a „z“ (viz Obrázek 2.6). Komplexní proměnnou „z“ pro s a jb je možno vyjádřit např. v polárních souřadnicích pomocí modulu M a argumentu α ve tvaru
z e sT e ( a jb )T Me j kde M e aT a bT . Komplexní proměnnou „s“ pro z m jn je možno určit ze vztahu (2.33), který lze upravit do tvaru
s
1 1 n ln( z ) ln mod( z ) j arctan T T m
kde mod( z ) m 2 n 2 a výraz arctann / m je zde uvažován jako čtyř-kvadrantová inverze funkce tan n / m , která je definována pro interval od - do +. Zobrazení s z (vztah (2.32)) je jednoznačné, naproti tomu zobrazení z s (vztah (2.33)) je nejednoznačné (viz omezení u použité inverze funkce tangens, která je definována v intervalu od - do +). Základní pruh v komplexní rovině „s“ je tedy zobrazen v intervalu od -/T do +/T.
j
Im
T
s1
Im j Rovina "z"
Rovina "s" b
M e aT
T
bT
-1 0
1 a ln(M ) T
0
Re
z1 +1 Re
Základní pruh
j
-j
T
Obrázek 2.6 - Souvislost mezi komplexními rovinami „s“ a „z“ 87
Jiný vztah pro přepočet mezi komplexní rovinou „s“, resp. „w“ a „z“ se nazývá bilineární transformace. Její využití je uvažováno zejména pro účely ověřování stability diskrétních systémů, metodami ověření stability spojitých systémů (blíže viz kapitola 2.5). Bilineární transformace má v podstatě stejné vlastnosti jako výše uvedená transformace (2.32) a jí odpovídající inverzní transformace (2.33), bilineární transformace je však jednodušší a jednoznačná. Je definována vztahem
w
z 1 w 1 , resp. z z 1 w 1
(2.34)
Touto transformací je jednotková kružnice v rovině „z“ zobrazená jako imaginární osa roviny „w“ a vnitřek jednotkové kružnice jako levá komplexní polorovina roviny „w“. Dále uvedené přepočtové vztahy můžeme využít pokud při diskretizaci spojitých systémů zvolíme malou periodu vzorkování T (malou vzhledem k dynamice řízené soustavy, resp. k časovým konstantám spojitého systému). Poté je možné určit přibližnou metodou integrace obraz diskrétní funkce spojité části systému F(s). Tedy nahrazujeme přenos F ( s ) 1 / s , tj. integraci t
y (t ) 0 u ( )d přibližnou metodou integrace a dostáváme následující náhrady integrace DOBD (dopředná obdélníková metoda; pravá obdélníková metoda): s ZOBD (zpětná obdélníková metoda; levá obdélníková metoda): s LICHO (lichoběžníková metoda): s
1 z 1 T
1 z 1 T z
2 z 1 T z 1
2.1.7 Vybrané příklady pro využití L-transformace a Z-transformace V kapitole jsou uvedeny neřešené příklady na využití L-transformace a Z-transformace.
PŘÍKLAD Máme určit řešení diferenciálních rovnic s využitím L-transformace a určit hodnoty výstupní funkce pro t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . 1) y(t ) 3 y(t ) 2 y (t ) 2u (t ) pro podmínky u (t ) 1, y (0) 0, y (0) 0 2) y(t ) 2 y(t ) 5 y (t ) u (t ) pro podmínky u (t ) 1, y (0) 0, y (0) 0
88
PŘÍKLAD Máme určit řešení diferenčních rovnic s využitím Z-transformace i bez využití Z-transformace určit hodnoty výstupní funkce pro k = 0,1,2,3,4,5, , přičemž perioda vzorkování T = 1. 1) 2 y (kT ) 3y (kT ) 2 y (kT ) u (kT ) pro podmínky u (kT ) 1, y (kT ) 0 pro k 0 2) 2 y (kT ) 5y (kT ) 2 y (kT ) u (kT ) 2u (kT ) pro podmínky u (kT ) 1, u (kT ) 0 pro k 0, y (kT ) 0 pro k 0
PŘÍKLAD Máme určit diferenciální rovnice a přenosy pro systémy zadané podle níže uvedených schémat. Pro získané diferenciální rovnice pak máme určit řešení těchto rovnic s využitím Ltransformace a dále pak určit hodnoty výstupní funkce pro zadané hodnoty t. a) Mechanický systém Parametry zadaného systému: koeficient tlumení: b = 10 Ns/m, tuhost
b
pružiny: c = 20 N/m, hmotnost vozíku:
F(t)
m = 1 kg, vnější síla: F(t) = 40 N, výchylka pozice vozíku: x(t) [m]
c
Určení hodnot výstupní funkce pro čas t: x(t)
t = 0, 0,05, 0,1, 0,3, 0,7, 1,3 2, 2,5, .
Vstupní veličinou daného systému je vnější síla F(t) a výstupní veličinou pak výchylka pozice vozíku x(t). Dále jsou uvažovány nulové počáteční podmínky pro vstupní veličinu i výstupní veličinu.
b) Elektrický systém L
R
Parametry zadaného systému: odpor: R = 1200 , indukčnost: L = 5 H,
uL(t) u1(t)
uR(t) uC(t)
C
kapacita: C = 400 μF, vstupní napětí: u2(t)
u1(t) = 12 V, výstupní napětí: u2(t) [V] Určení hodnot výstupní funkce pro čas t: t = 0, 0,001, 0,1, 0,3, 0,8, 1,5, 2,3, 3, .
89
Vstupní veličinou daného systému je vstupní napětí u1(t) a výstupní veličinou pak výstupní napětí u2(t). Dále jsou uvažovány nulové počáteční podmínky pro vstupní veličinu i výstupní veličinu. Při řešení je možné využít následujících vztahů (značení v těchto vztazích odpovídá značení ve výše uvedeném schématu)
1 di(t ) ; u R (t ) R i(t ); u C (t ) i(t )dt u 2 (t ) dt C dq(t ) i(t ) ; q(t ) C u (t ) C u 2 (t ) kde q(t ) [C] - elektrický náboj, i (t ) [A] - proud dt u L (t ) L
2.2 Popis vlastností lineárních systémů Dynamické systémy lze popsat několika způsoby. Pokud se k popisu systému využívá pouze relace mezi vstupem a výstupem systému, mluvíme o vnějším popisu. Pokud se k popisu systému používají další veličiny, které nemusí být na systému přímo měřitelné, jako například derivace, mluvíme o vnitřním popisu (stavový model). Vnější popis lineárního systému lze vyjádřit několika vzájemně rovnocennými způsoby
lineární diferenciální rovnice (spojité systémy) a lineární diferenční rovnice (diskrétní systémy)
přenos systému v L-transformaci (spojité systémy) a v Z-transformaci (diskrétní systémy)
rozložení pólů a nul přenosu systému v komplexní rovině
impulsní funkce a impulsní charakteristika
přechodová funkce a přechodová charakteristika
frekvenční přenos
frekvenční charakteristika v komplexní rovině
frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích
Zvláštním případem vnějšího popisu systému je statická charakteristika, což je grafická závislost výstupní veličiny systému na vstupní veličině v ustáleném stavu.
2.2.1 Lineární diferenciální rovnice, lineární diferenční rovnice a přenos Popis spojitého systému Spojitý systém s jednou vstupní a výstupní veličinou lze popsat lineární diferenciální rovnicí n-tého řádu ve tvaru
90
an y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmu (m) (t) bm1u (m1) (t) b1u(t) b0u(t) m n (2.35) kde ai, bi - konstantní koeficienty u(t), y(t) - vstupní veličina systému, výstupní veličina systému a počáteční podmínky jsou uvažovány následující
y (0) y (0) y ( n 1) (0) 0; u (0) u (0) u ( m 1) (0) 0 Použitím L-transformace s uvažováním uvedených nulových počátečních podmínek, s využitím věty o n-té derivaci, se určí z diferenciální rovnice přenos systému, který je definován jako poměr L-obrazu výstupní veličiny k L-obrazu vstupní veličiny. Dostáváme
(a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0 )Y ( s ) (bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 )U ( s ) pak přenos systému je dán vztahem
G(s)
Y ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 U ( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
(2.36)
Přenos systému lze vyjádřit také pomocí pólů a nulových bodů vyjádřených ve tvaru
G ( s)
Y ( s ) bm ( s n1 ) ( s n j ) ( s nm ) U ( s ) a n ( s p1 ) ( s p j ) ( s p n )
(2.37)
kde n - nuly (kořeny čitatele) a p - póly (kořeny jmenovatele). Další možný zápis přenosu systému, je pomocí časových konstant, pro něž platí - převrácené hodnoty reálných pólů se nazývají časové konstanty jmenovatele, tj. Ti 1 pi - převrácené hodnoty reálných nul se nazývají časové konstanty čitatele, tj. i 1 ni
G ( s)
Y ( s ) b0 (1 s 1 )(1 s 2 ) (1 s m ) U ( s ) a 0 (1 sT1 )(1 sT1 ) (1 sTn )
(2.38)
kde poměr b0/a0=k0 se nazývá zesílení systému. Řádem systému zadaného přenosem je rozuměn stupeň jmenovatele, resp. řád diferenciální rovnice n, relativní řád systému je pak dán rozdílem mezi stupněm jmenovatele a čitatele.
POZNÁMKA Pokud systém obsahuje dopravní zpoždění, jeho diferenciální rovnice a přenos budou pak ve tvaru Diferenciální rovnice:
n
a y i 0
i
(i )
m
(t ) b j u ( j ) (t L) j 0
91
m
Přenos: G ( s ) Y ( s ) U (s)
b s j 0 n
a s i 0
j
j
e sL i
i
Popis diskrétního systému Diskrétní systém s jednou vstupní a výstupní veličinou lze popsat lineární diferenční rovnicí n-tého řádu, která může mít dvojí tvar Diferenční tvar
~ ~ ~ ~ a~n Δn y(kT) a~1y(kT) a~0 y(kT) bmmu(kT) bm1m1u(kT) b1u(kT) b0u(kT) (2.39) ~ přičemž a~i , bi jsou konstantní koeficienty systému, u(kT) resp. y(kT) je vstupní, resp. výstupní veličina systému a počáteční podmínky jsou uvažovány následující
y (0) y (0) n1 y (0) 0; u (0) u (0) m1u (0) 0 Použitím Z-transformace s uvažováním uvedených nulových počátečních podmínek, s využitím věty obecně o n-té diferenci (dopředná diference), se určí z diferenciální rovnice přenos systému, který je definován jako poměr Z-obrazu výstupní veličiny k Z-obrazu vstupní veličiny. Dostáváme
(aˆ n z n aˆ n 1 z n 1 aˆ1 z aˆ 0 )Y ( z ) (bˆm z m bˆm 1 z m 1 bˆ1 z1 bˆ0 )U ( z ) pak přenos systému je dán vztahem (v kladných mocninách z)
Y ( z ) bˆm z m bˆm1 z m1 bˆ1 z bˆ0 G( z) U ( z ) aˆ n z n aˆ n1 z n1 aˆ1 z aˆ0
(2.40)
~ přičemž mezi koeficienty a~i , bi a aˆi , bˆi platí přepočtové vztahy, jež je možno získat při úpravě dané diferenční rovnice s využitím věty o dopředné diferenci obecně n-tého řádu při nulových počátečních podmínkách, srovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin. Pokud by byla zapsaná diferenční rovnice ve tvaru zpětné diference, tedy
ann y(kT) a1y(kT) a0 y(kT) bmmu(kT) bm1m1u(kT) b1u(kT) b0u(kT) (2.41) a počáteční podmínky uvažovány následující
y (0) y (0) n 1 y (0) 0; u (0) u (0) m 1u (0) 0 pak by výsledný přenos byl dán vztahem (v záporných mocninách z)
G( z)
Y ( z ) bm bm 1 z 1 b1z ( m1) b0 z m U ( z ) an an 1 z 1 a1 z ( n1) a0 z n 92
(2.42)
přičemž mezi koeficienty ai , bi a ai , bi platí přepočtové vztahy, jež je možno získat při úpravě dané diferenční rovnice s využitím věty o zpětné diferenci obecně n-tého řádu při nulových počátečních podmínkách, srovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin. Rekurentní (normální) tvar aˆ n y[(k n)T ] aˆ n 1 y[(k n 1)T ] aˆ1[ y (k 1)T ] aˆ0 y (kT ) bˆ u[(k m)T ] bˆ u[(k m 1)T ] bˆ u[(k 1)T ] bˆ u (kT ) m
m 1
1
(2.43)
0
pro počáteční podmínky (k = 0), které jsou rovny funkčním hodnotám y (0), y (T ),, y[(n 1)T ]; u (0), u (T ),, u[(m 1)T ] ; m n
Z tohoto tvaru lze odvodit výsledný přenos, pokud by výše uvedené počáteční podmínky byly nulové, s využitím věty o posunutí v časové oblasti vlevo (předstih). Tento přenos by pak odpovídal přenosu uvedeném výše, tj. rovnici s přenosem v kladných mocninách z (2.40). Mimo výše uvedeného rekurentního tvaru je možné použít také následující rekurentní tvar an y (kT ) an 1 y[(k 1)T ] a1[ y (k n 1)T ] a0 y[(k n)T ] bm u (kT ) b1u ([k m 1]T ) b0 u[(k m)T ]
(2.44)
pro počáteční podmínky (k = 0), které jsou rovny funkčním hodnotám y (T ), , y[(n 1)T ], y (nT ); u (0), u (T ), , u[(m 1)T ], u (mT ) ; m n
Z uvedeného tvaru lze opět odvodit výsledný přenos, pokud by výše uvedené počáteční podmínky byly nulové, s využitím věty o posunutí v časové oblasti vpravo (zpoždění). Tento přenos by pak odpovídal přenosu uvedeném výše, tj. rovnici s přenosem v záporných mocninách z (2.42). Diferenční tvar (2.39), příp. (2.41) uvedený výše je přímým analogem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která slouží k popisu spojitého systému. Častěji se však využívá u diskrétních systémů rekurentní tvar (2.44), neboť při znalosti počátečních podmínek a vstupního signálu je možné určit řešení přímo rekurentním způsobem.
POZNÁMKA Pokud systém obsahuje dopravní zpoždění, jeho diferenční rovnice a přenos budou pak ve tvaru Diferenční rovnice:
n
m
i 0
j 0
ai y[(k i)T ] b j u[(k j L / T )T ] m
Přenos: G ( z ) Y ( z ) U ( z)
bj z j j 0 n
ai z i 0
i
m
z L / T
Y ( z) U ( z)
bj z j j 0 n
ai z i 0
93
i
z d
d celé kladné číslo
PŘÍKLAD Máme určit diskrétní přenos k obecně zadané diferenční rovnici. Vyjdeme přitom ze značení a tvarů diferenční rovnice uvedené ve vztazích (2.39) a (2.41), přičemž bude uvažováno m = 1 a n = 2. ~ ~ 1) a~2 Δ 2 y (kT ) a~1y (kT ) a~0 y (kT ) b1u (kT ) b0 u (kT )
počáteční podmínky (k = 0): y (0) 0, y (0) y (T ) y (0) 0 y (T ) 0; u (0) 0 2) a2 2 y (kT ) a1y (kT ) a0 y (kT ) b1u (kT ) b0u (kT ) ) počáteční podmínky (k = 0): y (0) 0, y (0) y (0) y (T ) 0 y (T ) 0; u (0) 0 ~ ~ ad 1) a~2 Δ 2 y (kT ) a~1y (kT ) a~0 y (kT ) b1u (kT ) b0 u (kT )
Pro n-tou dopřednou diferenci obecně platí
n f (kT ) n1 f [(k 1)T ] n1 f (kT ) , … tedy pro zadanou diferenční rovnici lze obecně psát f (kT ) f [(k 1)T ] f (kT )
2 f (kT ) f [(k 1)T ] f (kT ) f [(k 2)T ] f [(k 1)T ] f [(k 1)T ] f (kT ) f [(k 2)T ] 2 f [(k 1)T ] f (kT ) Využitím výše uvedených vztahů lze přepsat zadanou diferenční rovnici do tvaru a~2 y[(k 2)T ] 2 y[(k 1)T ] y (kT ) a~1 y[(k 1)T ] y (kT ) a~0 y (kT ) ~ ~ b1 u[(k 1)T ] u (kT ) b0u (kT ) K další úpravě bude pak využita věta o posunutí v časové oblasti vlevo (předstih) m 1
Z { f [(k m)T ]} z m [ F ( z ) f (iT ) z i ] m 0 i 0
tedy
a~2 z 2 Y ( z ) y (0) z 1 y (T ) 2a~2 z Y ( z ) y (0) a~2Y ( z ) a~1 z Y ( z ) y (0) a~1Y ( z ) a~0Y ( z ) ~ ~ ~ b1 z U ( z ) u (0) b1U ( z ) b0U ( z )
Při uvažování zadaných počátečních podmínek dostáváme ~ ~ ~ b1 z b0 b1 bˆ1 z bˆ0 Y ( z) G( z) ~ 2 U ( z ) a2 z z 2a~2 a~1 a~2 a~1 a~0 aˆ 2 z 2 aˆ1 z aˆ 0
přičemž platí ~ ~ ~ bˆ1 b1 , bˆ0 b0 b1 , aˆ 2 a~2 , aˆ1 2a~2 a~1 , aˆ0 a~2 a~1 a~0
94
ad 2) a2 2 y (kT ) a1y (kT ) a0 y (kT ) b1u (kT ) b0u (kT ) ) Pro n-tou zpětnou diferenci obecně platí
n f (kT ) n1 f (kT ) n1 f [(k 1)T ] , … tedy pro zadanou diferenční rovnici lze obecně psát f (kT ) f (kT ) f [(k 1)T ]
2 f (kT ) f (kT ) f [(k 1)T ] f (kT ) f [(k 1)T ] f [(k 1)T ] f [(k 2)T ] f (kT ) 2 f [(k 1)T ] f [(k 2)T ] Využitím výše uvedených vztahů lze přepsat zadanou diferenční rovnici do tvaru
a2 y (kT ) 2 y[(k 1)T ] y[(k 2)T ] a1 y (kT ) y[(k 1)T ] a0 y (kT ) b1 u (kT ) u[(k 1)T ] b0u (kT )
K další úpravě bude pak využita věta o posunutí v časové oblasti vpravo (zpoždění)
Z { f [(k m)T ]} z m F ( z ) tedy
m0
a 2 Y ( z ) 2 z 1Y ( z ) z 2Y ( z ) a1 Y ( z ) z 1Y ( z ) a 0Y ( z ) b1 U ( z ) z 1U ( z ) b0U ( z )
Při uvažování zadaných počátečních podmínek dostáváme
b1 b0 b1 z 1 b1 b0 z 1 Y ( z) G( z) U ( z ) a2 a1 a0 z 1 2a2 a1 a2 z 2 a2 a1 z 1 a0 z 2 přičemž platí
b1 b1 b0 , b0 b1 , a 2 a 2 a1 a 0 , a1 2a 2 a1 , a 0 a 2
PŘÍKLAD Máme napsat diferenciální rovnici ke spojitému přenosu a spojitý přenos k zadané diferenciální rovnici. Budeme přitom uvažovat nulové počáteční podmínky. 1)
G ( s)
Y ( s) 1 U ( s) s 3
y t 3 y t u t
2)
G ( s)
Y ( s) s2 U ( s ) ( s 1) 2
y t 2 y t y t u t 2u t
3)
G ( s)
Y (s) s3 2 U ( s ) s 3s 2
y t 3 y t 2 y t u t 3u t
4)
G ( s)
Y ( s) 2s 1 2 U ( s ) s 5s 6
y t 5 y t 6 y t 2u t u t
95
5)
G ( s)
Y ( s) 1 U (s) s
y t u t
6)
G(s)
Y (s) s U ( s)
y t ut
1)
y (t ) 3 y (t ) 0,5u (t )
2)
3 y(t ) 8 y(t ) 5u (t ) 2u (t )
3)
y (t ) 2 y (t ) 3u (t )
4)
2 y(t ) 6 y(t ) y(t ) y(t ) u(t ) 3u(t )
5)
y (t ) 2 y (t ) y (t ) u (t ) 0,2u (t )
G ( s)
s 0,2 s 2s 2 s
6)
4 y(t ) 7 y(t ) 3 y (t ) u (t ) 2u (t )
G ( s)
s2 2 4s 2 7 s 3
0,5 s3 2 G(s) 2 3s 8 s 5 G(s)
3 s 2s s3 G(s) 3 2s 6s 2 s 1 G ( s)
2
3
PŘÍKLAD Máme napsat diferenční rovnici k diskrétnímu přenosu (v tomto případě budeme uvažovat diskrétní přenos v záporných mocninách z) a diskrétní přenos k zadané diferenční rovnici (v tomto případě budeme uvažovat diskrétní přenos v kladných mocninách z). Budeme přitom uvažovat nulové počáteční podmínky.
Y ( z) 2 z 1 U ( z ) 1 z 1
y kT y[k 1T ] 2u[k 1T ]
1)
G( z)
2)
Y ( z) 2 z 1 z 2 G( z) U ( z ) 1 0,5 z 1 0,25 z 2
3)
G( z)
Y ( z) z 1 1 U ( z) z 1
y[k 1T ] y (kT ) u[k 1T ]
4)
G( z)
Y ( z) 0,5 z 1 0,7 z 2 U ( z ) 1 0,4 z 1 0,1z 2
y kT 0,4 y[k 1T ] 0,1y kT
1)
y kT y[k 1T ] 3u[k 1T ]
2)
y (kT ) 0,5 y[k 1T ] 0,25 y[(k 2)T ]
2u[k 1T ] u[k 2 T ]
0,5u[k 1T ] 0,7u[k 2 T ]
y[(k 2)T ] 0,5 y[k 1T ] 0,25 y kT
1,5u[k 1T ] u (kT )
96
G( z)
Y ( z) 3z U ( z) z 1
G( z)
Y ( z) 1,5 z 1 2 U ( z ) z 0,5 z 0,25
3) 4)
y[k 1T ] y (kT ) 3u[k 1T ] y[(k 2)T ] 0,2 y[k 1T ] 0,2 y kT
0,5u[k 1T ] 0,3u kT
G( z)
Y ( z) 3z U ( z) z 1
G( z)
Y ( z) 0,5 z 0,3 2 U ( z ) z 0,2 z 0,2
2.2.2 Póly a nuly systému Póly a nuly, resp. poloha pólů a nul systému zadaného přenosem, je zřejmá z tvaru přenosu, kde polynomy jmenovatele a čitatele jsou rozloženy v součin kořenových činitelů. Póly a nuly jsou tedy jedním z možných způsobů vyjádření přenosu systému. Umístění kořenů jmenovatele přenosu systému v komplexní rovině „s“, tj. pólů má vliv na tzv. stabilitu systému (viz kapitola 2.5).
Spojité systémy Přenos spojitého systému ve tvaru pólů a nul
G (s)
Y ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 bm ( s n1 )( s n j )( s nm ) U ( s ) an s n an 1s n 1 a1s a0 an ( s p1 )( s p j )( s pn )
(2.45)
Nuly i póly mohou být buď reálné nebo komplexně sdružené nebo i ryze imaginární, mohou být jednonásobné i více násobné. Reálné póly způsobují aperiodický (nekmitavý) přechodový děj. Póly komplexně sdružené, zapříčiňují kmitavý přechodový děj. Póly v počátku vyjadřují integrační charakter. Nuly v počátku vyjadřují derivační charakter. U pólů i nul je rozhodující jejich poloha v komplexní rovině vzhledem k imaginární ose. V levé polorovině jsou stabilní póly i nuly (mají zápornou reálnou část), v pravé polorovině jsou nestabilní póly i nuly (mají kladnou reálnou část). Čím jsou stabilní póly dále od imaginární osy, tím je přechodový děj více tlumen. Póly v pravé polorovině vždy značí nestabilní přechodový děj. Jsou-li nuly blíže imaginární ose než póly, bude převládat derivační složka přenosu.
Diskrétní systémy Přenos diskrétního systému ve tvaru pólů a nul
Y ( z ) bm z m bm 1z m 1 b1z b0 bm ( z n1 )( z n j )( z nm ) G( z) U ( z ) an z n an 1z n 1 a1z a0 an ( z p1 )( z p j )( z pn )
(2.46)
U diskrétních systémů je možné vyjít z popisu výše uvedeného u spojitých systémů, vyskytují se zde však určité rozdíly. Stabilita u diskrétních systémů je definována uvnitř jednotkové kružnice, tzn. aby byl systém stabilní musí všechny jeho póly ležet uvnitř jednotkové kružnice
97
v komplexní rovině „z“. Další závislosti lze odvodit z popisu uvedeného u spojitých systémů s využitím transformačního vztahu pro přechod mezi „s“ a „z“, viz kapitola 2.1.6.
z e sT , resp. s
1 ln( z ) T
(2.47)
Reálné kladné póly způsobují aperiodický (nekmitavý) přechodový děj, reálné záporné póly způsobují periodický (kmitavý) přechodový děj. Póly komplexně sdružené zapříčiňují také periodický přechodový děj. Póly z = 1 vyjadřují sumační (integrační) charakter. Nuly z = 1 vyjadřují diferenční (derivační) charakter. MATLAB Póly a nuly systému Vytvoření přenosové funkce pomocí pólů, nul a zesílení systému nebo konverze na tento tvar sys = zpk(Z,P,K,T) Z - nuly systému, P - póly systému, K - zesílení, T - perioda vzorkování (platí u diskrétních systémů; pokud bude hodnota T=-1 značí to, že se bude jednat o diskrétní systém s nespecifikovanou periodou vzorkování; u spojitých systémů se perioda vzorkování nezadává), sys - LTI objekt (přenosová funkce určená z pólů a nul systému)
Přístup k datům z LTI objektu (umožňuje automaticky nejprve konverzi do daného typu) [Z,P,K] = zpkdata(sys,’v’) Z - nuly systému, P - póly systému, K - zesílení, sys - LTI objekt, ‘v‘ - výsledek bude uložený do vektoru
Vytvoření přenosové funkce pomocí čitatele a jmenovatele přenosu systému nebo konverze na tento tvar sys = tf (cit,jm,T) cit - citatel přenosu, jm - jmenovatel přenosu, T - perioda vzorkování (platí u diskrétních systémů; pokud bude hodnota T = -1 značí to, že se bude jednat o diskrétní systém s nespecifikovanou periodou vzorkování; u spojitých systémů se perioda vzorkování nezadává)
Přístup k datům z LTI objektu (umožňuje automaticky nejprve konverzi do daného typu) [cit,jm] = tfdata(sys,’v’) cit - citatel přenosu, jm - jmenovatel přenosu, ‘v‘ - výsledek bude uložený do vektoru
PŘÍKLAD Máme vytvořit přenos, který je zadán pomocí pólů, nul a zesílení systému, tedy nuly: -1, -2
póly: -3, -4, -5
zesílení: 6
a dále pak převést vytvořený přenos v zadaném tvaru na tvar jiný. >> sys_zpk = zpk([-1 -2],[-3 -4 -5],[6])
98
Zero/pole/gain: 6 (s+1) (s+2) ----------------(s+3) (s+4) (s+5)
Vzájemná konverze mezi dvěma různými zápisy přenosové funkce >> sys_tf = tf(sys_zpk) Transfer function: 6 s^2 + 18 s + 12 -----------------------s^3 + 12 s^2 + 47 s + 60 >> sys_zpk = zpk(sys_tf) Zero/pole/gain: 6 (s+2) (s+1) ----------------(s+5) (s+4) (s+3)
Přístup k datům z LTI objektu >> [cit,jm]=tfdata(sys_tf,'v') cit = [0, 6, 18, 12]
jm = [1, 12, 47, 60]
nebo >> [cit,jm]=tfdata(sys_zpk,'v') cit = [0, 6, 18, 12]
jm = [1, 12, 47, 60]
[z,p,k]=zpkdata(sys_zpk,'v') z = [-2, -1]
p = [-5.0000, -4.0000, -3.0000]
k = 6
[z,p,k]=zpkdata(sys_tf,'v') z = [-2, -1]
p = [-5.0000, -4.0000, -3.0000]
k = 6
PŘÍKLAD Máme určit póly a nuly ze zadaného přenosu a na základě jejich umístění rozhodnout o chování přechodového děje. 1) G ( s ) 2) G ( z )
2s 1 s (0,3 3 s 1)( s 2 2 s 5) 0,1553( z 1,1152)( z 0,7789)( z 0,3128) ( z 1)( z 1,2331)( z 2 0,6554 z 0,3679)
ad 1) G ( s )
2s 1 s (0,3 3 s 1)( s 2 2 s 5) 99
perioda vzorkovaní T = 0,5
Póly systému zadaného spojitým přenosem pól na hranici stability (u lineárních systémů je uvažován jako nestabilní),
p1=0
zapříčiňuje integrační charakter přechodového děje nestabilní pól
p2=3
p3,4=-1±2j stabilní póly (mají zápornou reálnou část), komplexně sdružené póly, zapříčiňují kmitavý charakter přechodového děje Nuly, resp. nula systému zadaného spojitým přenosem nula leží v levé části poloroviny jedná se tedy o stabilní nulu
n1=-0,5
0.8
2 stabilní polorovina
nestabilní polorovina
0.6
h(t)
Im
1
nuly póly
0 -1
0.4
0.2
-2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Re
2.5 3
3.5
0
0
0.2
0.4 t
0.6
0.8
Obrázek 2.7 - Póly a nuly zadaného spojitého přenosu a přechodová charakteristika (přechodový děj) odpovídající zadanému přenosu
ad 2) G ( z )
0,1553( z 1,1152)( z 0,7789)( z 0,3128) ( z 1)( z 1,2331)( z 2 0,6554 z 0,3679)
Póly systému zadaného diskrétním přenosem p1=1
pól na hranici stability (u lineárních systémů je uvažován jako nestabilní), zapříčiňuje sumační (integrační) charakter přechodového děje
p2=1,2331
nestabilní pól
p3,4=0,3277±0,5104j stabilní póly (jejich absolutní hodnota je 0,6065, tedy leží uvnitř jednotkové kružnice), komplexně sdružené póly, zapříčiňují kmitavý charakter přechodového děje Nuly systému zadaného diskrétním přenosem n1=-1,1152
nula leží mimo jednotkovou kružnici
n2=0,7789
nula leží uvnitř jednotkové kružnice
n3=-0,3128
nula leží uvnitř jednotkové kružnice 100
160
nestabilní oblast 1 (vně jednotkové kružnice)
nuly póly 120
h(kT)
Im
0.5 0
80
-0.5 -1
40
stabilní oblast (uvnitř jednotkové kružnice) -1.5
-1
-0.5
0 Re
0.5
1
0 0
1.5
1
2
3
4
5
kT
Obrázek 2.8 - Póly a nuly zadaného diskrétního přenosu a přechodová charakteristika (přechodový děj) odpovídající zadanému přenosu
2.2.3 Přechodová funkce a charakteristika, impulsní funkce a charakteristika Spojitá verze přechodové a impulsní funkce a jejich charakteristiky Přechodová funkce je odezva systému na vstupní signál u(t) ve tvaru jednotkového (Heavisideova) skoku při nulových počátečních podmínkách. y(t)
u(t) y(t) = h(t)
u(t)
1
například
U(s)
G(s) systém
Y(s)=H(s)
t
t
Obrázek 2.9 - Odezva systému na jednotkový (Heavisideův) skok Laplaceův obraz jednotkového skoku, tj. vstupního signálu u(t) je U(s)=1/s, pak L-obraz výstupní funkce y(t), resp. h(t), tedy H(s) je roven
1 G ( s) Y ( s ) G ( s )U ( s ) G ( s ) H ( s ) h(t ) L1 H ( s ) s s
(2.48)
Impulsní funkce je odezva systému na vstupní signál u(t) ve tvaru jednotkového (Diracova) impulsu při nulových počátečních podmínkách. y(t)
u(t) u(t)
u(t) = δ(t)
U(s) t
G(s) systém
například
y(t) = i(t) Y(s)=I(s)
Obrázek 2.10 - Odezva systému na jednotkový (Diracův) impuls 101
t
Laplaceův obraz jednotkového impulsu, tj. vstupního signálu u(t) je U(s)=1, pak L-obraz výstupní funkce y(t), resp. i(t), tedy I(s) je roven
Y ( s) G ( s)U ( s) G ( s) 1 G ( s) I ( s) i(t ) L1I ( s)
(2.49)
Mezi impulsní a přechodovou funkcí platí následující vztahy t
h(t ) i ( )d
i (t )
resp.
0
dh(t ) dt
(2.50)
Diskrétní verze přechodové a impulsní funkce a jejich charakteristiky Diskrétní přechodová funkce je odezva systému na vstupní signál u(kT) ve tvaru diskrétního jednotkového (Heavisideova) skoku při nulových počátečních podmínkách. y(kT)
u(kT) 1
y(kT) = h(kT)
u(kT) U(z)
například
G(z) systém
Y(z)=H(z) kT
kT Obrázek 2.11 - Odezva systému na diskrétní jednotkový (Heavisideův) skok
Z-obraz jednotkového skoku, tj. vstupního signálu u(kT) je U(z)=z/(z-1), pak Z-obraz výstupní funkce y(kT), resp. h(kT), tedy H(z) je roven
Y ( z ) G ( z )U ( z ) G ( z )
z H ( z ) h(kT ) Z 1 H ( z ) z 1
(2.51)
Diskrétní impulsní funkce je odezva systému na vstupní signál u(kT) ve tvaru diskrétního jednotkového (Diracova) impulsu při nulových počátečních podmínkách. i(kT)
u(kT) 1
y(kT) = i(kT)
u(kT) U(z)
například
G(z) systém
Y(z)=I(z) kT
kT Obrázek 2.12 - Odezva systému na diskrétní jednotkový (Diracův) impuls
102
Z-obraz jednotkového impulsu, tj. vstupního signálu u(kT) je U(z)=1, pak Z-obraz výstupní funkce y(kT), resp. i(kT), tedy I(z) je roven
Y ( z ) G ( z )U ( z ) G ( z ) 1 I ( z ) i (kT ) Z 1I ( z )
(2.52)
Mezi diskrétní impulsní a diskrétní přechodovou funkcí platí následující vztahy k
h(kT ) i ( jT )
resp.
i (kT ) h(kT ) h[(k 1)T ]
(2.53)
j 0
PŘÍKLAD Máme určit spojitou přechodovou a impulsní funkci pro zadané přenosy, včetně určení počáteční a koncové hodnoty určených funkcí. 1) G ( s ) 2) G ( s )
1 Y (s) s 3s 2 U ( s ) 2
0,5 s 2
s 3s 2
ad 1) G ( s )
Y ( s) U ( s)
1 1 Y (s) s 3s 2 ( s 1)( s 2) U ( s ) 2
Přechodová funkce Y ( s ) G ( s )U ( s )
h(t ) lim
s 0
1
1 H ( s ) h(t ) L1 H ( s ) s 3s 2 s 2
1 s 2 3s 2
1 1 e st lim e st s 1 ( s 2) s s 2 ( s 1) s
e st lim
h(t ) 0,5 e t 0,5e 2t Počáteční a koncová hodnota přechodové funkce h(0) 0
h() 0,5
Impulsní funkce Y ( s ) G ( s )U ( s )
1 2
s 3s 2
1 I ( s ) i (t ) L1 I ( s )
1 1 e st lim e st s 1 ( s 2) s 2 ( s 1)
i (t ) lim
i (t ) e t e 2t 103
Impulsní funkci bylo možno spočítat přímo i z přechodové funkce neboť platí i (t ) h(t ) , tedy
i (t ) h (t ) 0,5 e t 0,5e 2t
e
t
e 2t
Počáteční a koncová hodnota impulsní funkce i ( 0) 0
i ( ) 0 0.25
0.4
0.2
0.3
0.15 i(t)
h(t)
0.5
0.2
0.1
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
0
10
t
0
2
4
6
8
10
t
Obrázek 2.13 - Spojitá přechodová a impulsní charakteristika pro zadaný přenos č.1 Ze zadaného přenosu lze přímo určit, že póly systému jsou p1 = -1 a p2 = -2, tedy reálné záporné, tzn., že se jedná o spojitý nekmitavý (aperiodický) systém (póly leží v levé části komplexní roviny „s“). Na základě umístění pólů lze také určit, že systém zadaný přenosem č.1 je stabilní (viz kapitola 2.5).
ad 2) G ( s )
0,5 s 2
s 3s 2
Přechodová funkce C 1 0,25 1,5 1,25 G(s) 1 0,5 s 1 A B h(t) L1H (s) L1 L 2 L L s 1 s 2 s s s 1 s 2 s s(s 3s 2)
0,5 s A( s 1)( s 2) B ( s 2) s C ( s 1) s
s 0 : 0,5 2 A A 0,25 s 1 : 1,5 B B 1,5 s 2 : 2,5 2C C 1,25 h(t ) 0,25 1,5e t 1,25e 2t Počáteční a koncová hodnota přechodové funkce h(0) 0
h() 0,25
104
Impulsní funkce 0,5 s B 2,5 1 A 1 1,5 i (t ) L1I ( s ) L1G ( s ) L1 2 L L s 1 s 2 s 1 s 2 ( s 3s 2)
0,5 s A( s 2) B ( s 1) s 1 : 1,5 A A 1,5 s 2 : 2,5 B B 2,5 i (t ) 1,5e t 2,5e2t Impulsní funkci bylo možno spočítat přímo i z přechodové funkce neboť platí i (t ) h(t ) , tedy i (t ) h (t ) 0,25 1,5e t 1,25e 2t 1,5e t 2,5e 2t
Počáteční a koncová hodnota impulsní funkce i ( 0 ) 1
i ( ) 0
0.3
0.5
0.2 0 i(t)
h(t)
0.1 0
-0.5
-0.1 -0.2
0
2
4 t
6
-1
8
0
2
4 t
6
8
Obrázek 2.14 - Spojitá přechodová a impulsní charakteristika pro zadaný přenos č.2 Ze zadaného přenosu lze přímo určit, že systém má dva póly tj. p1 = -1 a p2 = -2, a jednu nulu, tj. n1=0,5 (kladná nula→fázově neminimální systém), tzn., že se jedná o spojitý nekmitavý fázově neminimální systém (póly leží v levé části komplexní roviny „s“). Na základě umístění pólů lze také určit, že systém zadaný přenosem č.2 je stabilní (viz kapitola 2.5).
POZNÁMKA Některé systémy mohou obsahovat dopravní zpoždění, pak jejich přenos a diferenciální rovnice mohou být například diferenciální rovnice: y(t ) 2 y (t ) u (t 10) odpovídající přenos: G ( s )
1 10 s Y ( s ) e s3 U (s)
Zjednodušený postup pro určení přechodové a impulsní charakteristiky je pak následující a) určíme přechodovou a impulsní funkci pro část neobsahující dopravní zpoždění b) poté do výsledku zpětně dopravní zpoždění zavedeme
105
1 1 3t e 3 3 pro t 10 platí
L 0:
i (t ) e 3t
h(t )
L 10 :
h(t ) 0 1 1 h(t ) e 3(t 10) 3 3
pro t 10 platí 0.4
i (t ) 0 i (t ) e 3(t 10)
1 0.8
0.3 i(t)
h(t)
0.6 0.2
0.4 0.1 0
0.2 0
5
10
0
15
0
t
5
10
15
t
Obrázek 2.15 - Spojitá přechodová a impulsní charakteristika pro systém s dopravním zpožděním
PŘÍKLAD Máme určit diskrétní přechodovou a impulsní funkci pro zadaný přenos, včetně určení počáteční a koncové hodnoty určených funkcí. Přenos byl určen pro periodu vzorkování T=2,5. G( z)
0,7869 Y ( z) z 0,6065 U ( z )
Přechodová funkce
Y ( z ) G ( z )U ( z )
0,7869 z H ( z ) h(kT ) Z 1 H ( z ) z 0,6065 z 1
z B 0,7869 z 1 1 A h(kT ) Z 1 G ( z ) Z Z 2 z 1 z 1 z 0,6065 z 1,6065 z 0,6065 1,213 2 Z 1 z 1 z 0,6065 0,7869 z A( z 0,6065) B ( z 1)
z 1:
0,7869 0,3935 A A 2
z 0,6065 : 0,4773 0,3935 B B 1,213 z z 1 h(kT ) Z 1 2 z 1,213 z 1 z 0,6065 z 1 h(kT ) 2 1k 1 1,213 0,6065 k 1 2 1,213 0,6065 k 1
Počáteční a koncová hodnota přechodové funkce (k = 0 a k = ) h ( 0) 0
h ( ) 2
106
Počáteční hodnotu, resp. koncovou hodnotu je možno určit i z limitní věty o počáteční, resp. koncové hodnotě, tedy 0,7869 L 'H 0 lim 2 z z 1,6065 z 0,6065 z 2 z 1,6065 0,7869 z
h(0) lim h(kT ) lim H ( z ) lim k 0
z
z ( z 1) 2 z 1 z 0,6065 z 1
h() lim i (kT ) lim H ( z )( z 1) lim k
z 1
0,7869
2
Určení hodnot diskrétní přechodové funkce pro hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4 a (funkční hodnoty pro k = 1, 2, 3, 4 určíme dosazením těchto hodnot do výsledné funkce) h(0) 0, h(T ) 0,787, h(2T ) 1,264, h(3T ) 1,5536, h(4T ) 1,7292, , h() 2 Další, používaný, způsob výpočtu hodnot diskrétní přechodové funkce je využitím rekurentního tvaru, tj. při určení hodnot diskrétní přechodové charakteristiky vyjdeme přímo ze zadaného přenosu G(z), přičemž je uvažováno u[(k )T ] 0 pro k a u[(k )T ] 1 pro k . G( z)
0,7869 0,7869 z 1 Y ( z) 1 z 0,6065 1 0,6065 z U ( z)
y ( kT ) 0,7869u[( k 1)T ] 0,6065 y[( k 1)T ]
Určení hodnot diskrétní přechodové funkce pro hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4 a , s využitím výše uvažovaných předpokladů k 0 : y (0) 0 k 1 : y (T ) 0,7869u (0) 0,6065 y (0) 0,7869 1 0,6065 0 0,7869 k 2 : y (2T ) 0,7869u (T ) 0,6065 y (T ) 0,7869 1 0,6065 0,7869 1,2642 k 3 : y (3T ) 0,7869u (2T ) 0,6065 y (2T ) 0,7869 1 0,6065 1,2642 1,5536 k 4 : y (4T ) 0,7869u (3T ) 0,6065 y (3T ) 0,7869 1 0,6065 1,5536 1,7292 h(kT ) y (kT ) h(0) 0, h(T ) 0,7869, h(2T ) 1,2642, h(3T ) 1,5536, h(4T ) 1,7292, , h() 2
Impulsní funkce Y ( z ) G ( z )U ( z )
0,7869 1 I ( z ) i (kT ) Z 1 I ( z ) z 0,6065
z 0,7869 1 i ( kT ) Z 1 G ( z ) Z 1 z 1 Z 0,7869 z 0,6065 z 0,6065 i ( kT ) 0,7869 0,6065 k 1
Počáteční hodnotu, resp. koncovou hodnotu určíme z limitní věty o počáteční, resp. koncové hodnotě, tedy 107
0,7869 0 z z 0,6065
i (0) lim i (kT ) lim I ( z ) lim k 0
z
0,7869 ( z 1) 0 z 1 z 0,6065
i () lim i (kT ) lim I ( z )( z 1) lim k
z 1
Určení hodnot diskrétní přechodové funkce pro hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4 a (funkční hodnoty pro k = 1, 2, 3, 4 určíme dosazením těchto hodnot do výsledné funkce) i (0) 0, i (T ) 0,7869, i (2T ) 0,4743, i (3T ) 0,2895, i (4T ) 0,1756, , i () 0 Další, používaný, způsob výpočtu hodnot diskrétní impulsní funkce je využitím rekurentního tvaru, tj. při určení hodnot diskrétní impulsní charakteristiky vyjdeme přímo ze zadaného přenosu G(z), přičemž je uvažováno u[(k )T ] 0 pro k a u[(k )T ] 1 pro k .
G( z)
0,7869 Y ( z) z 0,6065 U ( z )
y (kT ) 0,7869u[(k 1)T ] 0,6065 y[(k 1)T ] Určení hodnot diskrétní impulsní funkce pro hodnoty pro k = 0, 1, 2, 3, 4 a , s využitím výše uvažovaných předpokladů k k k k k
0 : y (0) 0 1 : y (T ) 0,7869u (0) 0,6065 y (0) 0,7869 1 0,6065 0 0,7869 2 : y (2T ) 0,7869u (T ) 0,6065 y (T ) 0,7869 0 0,6065 0,7869 0,4773 3 : y (3T ) 0,7869u (2T ) 0,6065 y (2T ) 0,7869 0 0,6065 0,4773 0,2895 4 : y (4T ) 0,7869u (3T ) 0,6065 y (3T ) 0,7869 0 0,6065 0,2895 0,1756
2
0.8
1.5
0.6 i(kT)
h(kT)
i ( kT ) y ( kT ) i (0) 0, i (T ) 0,7869, i ( 2T ) 0,4743, i (3T ) 0,2895, i ( 4T ) 0,1756, , i ( ) 0
1 0.5 0
0.4 0.2
0
10
20
30
40
0
50
kT
0
10
20
30
40
50
kT
Obrázek 2.16 - Diskrétní přechodová a impulsní charakteristika pro zadaný diskrétní přenos Ze zadaného přenosu lze přímo určit, že systém má jeden pól tj. p1 = 0,6065, tzn., že se jedná o diskrétní nekmitavý systém (pól leží uvnitř jednotkové kružnice na reálné ose v intervalu od 0 do 1). Na základě umístění pólu lze také určit, že systém zadaný přenosem je stabilní (viz kapitola 2.5). 108
2.2.4 Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky Frekvenční pojmy zkoumají vlastnosti LSDS z hlediska průchodu harmonických signálů. Je-li vstupní signál u (t ) u0 sin t 1
Im uu(t) (t)
0.5
u0
0
u0
T=2/
-0.5
Re
-1 0
1
2
3
4
5
6
tt
pak výstupní signál y (t ) y0 sin( t ) 3
Im y0
yy(t) (t)
1.5
Re
0
y0
t0=/
-1.5
= -t0
T=2/
-3 0
1
2
3
4
5
6
t
Obrázek 2.17 - Vstupní a výstupní harmonický signál a jejich souvislost s rotujícím vektorem v komplexní rovině Vzniklé harmonické kmity na výstupu y mají stejnou frekvenci , ale jinou amplitudu y0 a určitý fázový posun oproti vstupnímu signálu. Frekvenční přenos
G ( j) G ( s )
s j
Y ( j) A()e j( ) U ( j)
(2.54)
kde Y(j), U(j) jsou tzv. Fourierovy obrazy vstupních a výstupních signálů, A() je amplituda (zesílení) a () je fázový posun. Frekvenční charakteristiky v komplexní rovině Frekvenční charakteristika je grafické zobrazení frekvenčního přenosu G(j) v komplexní rovině pro 0, , v tomto případě se jedná o tzv. amplitudově-fázově frekvenční charakteristiku v komplexní rovině - Nyquistova křivka. 109
Pro sestrojení frekvenční charakteristiky v komplexní rovině se frekvenční přenos upraví na složkový tvar komplexního čísla G ( j ) P ( ) jQ ( ) Re G ( j ) j Im G ( j )
(2.55)
nebo na exponenciální tvar komplexního čísla
G ( j) A()e j( ) G ( j) e j arg G ( j)
(2.56)
kde
A( ) mod G ( j ) G ( j ) P 2 ( ) Q 2 ( )
( ) arg G ( j ) arctan
(2.57)
Q( ) P ( )
(2.58)
Im
Re
(i) Q(i)
A(i)
i
P(i)
Obrázek 2.18 - Zobrazení frekvenčního přenosu G(j) v komplexní rovině
PŘÍKLAD Máme určit frekvenční přenos a frekvenční charakteristiku v komplexní rovině (Nyquistovu křivku) pro zadané přenosy. 1) G ( s )
1 2s 1
2) G ( s )
1 s 3s 2 2
6,3s 7,875 0, 4 s 3) G ( s ) e s
ad 1) G ( s )
1 2s 1 110
Frekvenční přenos - složkový tvar komplexního čísla
1 2 j 1 2 j 1 2 2 j 2 2 2 j 1 1 2 j 1 ( 2 j ) 1 4 1 4 2 1
G ( s ) s j G ( j )
Frekvenční přenos - exponenciální tvar komplexního čísla
G ( j ) A( )e j ( )
1 1 4 2
e j arctan( 2 )
kde amplituda a fáze je 2
2
1 4 2
1 2 A( ) G ( j ) P ( ) Q ( ) 1 4 2 1 4 2 2
( ) arctan
2
1 4
2 2
Q( ) arctan(2 ) arctan(2 ) P( )
Tabulka 2.1 - Tabulka vypočtených hodnot pro přenos č.1 pro Nyquistovu křivku
P() Q() A() ()
0
0,5
1
2
5
10
1 0 1 0°
0,5 -0,5 0,71 -45°
0,2 -0,4 0,45 -63,44°
0,059 -0,24 0,24 -75,96°
0,01 -0,1 0,1 -84,3°
0,0025 -0,05 0,05 -87,13°
zesílení k 0
=
=0
-0.1
Im
-0.2
-0.3
= 1/T = 0,5
-0.4
-0.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
Re
Obrázek 2.19 - Nyquistova křivka pro přenos č.1
111
1
1 1 4 2
ad 2) G ( s )
1 1 s 3s 2 ( s 1)( s 2) 2
Frekvenční přenos - složkový tvar komplexního čísla G ( s ) s j G ( j )
1 1 1 2 2 3 j ( j 1)( j 2) ( j ) 2 3 j 2 2 2 3 j 2 2 3 j ( 2 2 ) 3 j 2 2 3 j 2 2 2 2 2 2 (2 ) 9 (2 ) 9 (2 2 ) 2 9 2
Frekvenční přenos - exponenciální tvar komplexního čísla G ( j ) A( )e
j ( )
1
( 2 2 ) 2 9 2
3 j arctan 2 2 e
kde amplituda a fáze je 2
2
3 2 2 1 A( ) G ( j ) P( ) 2 Q( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 9 2 (2 ) 9 (2 ) 9
( ) arctan
3 Q( ) 3 arctan arctan 2 P( ) 2 2 2
Tabulka 2.2 - Tabulka vypočtených hodnot pro přenos č.2 pro Nyquistovu křivku
P() Q() A() ()
0
0,1
0,3
0,5
1
2
5
0,5 0 0,5 0°
0,49 -0,074 0,50 -8,57°
0,43 -0,20 0,4736 -25,23°
0,33 -0,28 0,43 -40,601°
0,1 -0,3 0,32 -71,57°
-0,05 -0,15 0,16 -108,44°
-0,03 -0,02 0,036 -146,89°
0 -0.05 -0.1
Im
-0.15 -0.2 -0.25
-0.3
-0.1
0
0.1
0.2 Re
0.3
0.4
Obrázek 2.20 - Nyquistova křivka pro přenos č.2 112
0.5
6,3s 7,875 0, 4 s ad 3) G ( s ) e s přičemž je uvažováno
e Ls e jL cos L j sin L Frekvenční přenos - složkový tvar komplexního čísla 6,3 j 7,875 cos(0,4 ) j sin(0,4 ) G ( s ) s j G ( j ) j 6,3 j 7,875 j 6,3 7,875 j cos(0,4 ) j sin(0,4 ) G ( j ) cos(0,4 ) j sin(0,4 ) j j 6,3 cos(0,4 ) 7,875 sin(0,4 ) 6,3 sin(0,4 ) 7,875 cos(0,4 ) j
Frekvenční přenos - exponenciální tvar komplexního čísla V tomto případě vyjdeme ze zadaného přenosu systému, nebudeme však uvažovat dopravní zpoždění, to se nám projeví přímo u fázového posunu, nemusíme tedy provádět aproximaci tohoto zpoždění. Můžeme tedy psát G (s)
6,3s 7,875 s
s j
6,3 j 7,875 G ( j ) j
j 6,3 7,875 j 6,3 j
7,875 j
o amplituda (pro přenos části bez dopravního zpoždění) 2
10,085 ~ ~ 7,875 A( ) G ( j ) P( ) 2 Q( ) 2 6,32
o fázový posun (pro přenos části bez dopravního zpoždění)
~ ( ) arctan
Q( ) 1,25 1,25 arctan arctan P( )
Vložením dopravního zpoždění zpět do přenosu se nám změní pouze fázový posun, amplituda zůstává stejná, neboť amplituda u dopravního zpoždění je A( ) 1 , tedy ~ 10,085 A( ) A( )
1,25 0,4
( ) ~ ( ) L arctan
Výsledný frekvenční přenos v exponenciálním tvaru komplexního čísla tedy bude
G ( j ) A( )e
j ( )
10,085
e
1, 25 j arctan 0, 4
113
Tabulka 2.3 - Tabulka vypočtených hodnot pro přenos č.3 pro Nyquistovu křivku
P() Q() A() ()
0
0,3
0,5
3,15 -∞ ∞ -90°
3,11 -26,81 33,62 -83,4°
0,8
1
1,5
2
4
5
10
3,045 2,88 2,74 2,24 1,57 -2,15 -4,05 -3,52 -16,69 -11,32 -9,71 -7,89 -7,26 -6,24 -5,07 5,28 20,17 12,613 10,09 6,72 5,04 2,52 2,02 1,01 -79,7° -75,7° -74,3° -74,2° -77,8° -109,0° -128,6° -236,3°
20 10 0
Im
-10 -20 -30 -40 -50 -8
-6
-4
-2
0 Re
2
4
6
8
Obrázek 2.21 - Nyquistova křivka pro přenos č.3 Z uvedeného průběhu Nyquistovy křivky lze určit, že zadaný systém obsahuje dopravní zpoždění (spirála kolem počátku souřadnic) a dále, že se jedná o systém integrační (počátek křivky, tj. pro frekvenci = 0 je posunut o 90° po směru hodinových ručiček, oproti proporcionálním systémům, kde počátek křivky pro frekvenci = 0 je roven zesílení systému a jeho počáteční bod se nachází na reálné ose). Bližší popis a členění systémů, viz kapitola 2.2.5 příp. 2.6. Frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích Je uvažován frekvenční přenos v exponenciálním tvaru G( j ) A( ) e j ( )
(2.59)
Frekvenční přenos v logaritmických souřadnicích je možno vyjádřit pomocí dvou charakteristik (Bodeho křivky) logaritmická amplitudová charakteristika A()dB G ( j) dB 20 log10 G ( j) 20 log 10 A() 20 log10 P 2 () Q 2 ()
(2.60)
logaritmická fázová charakteristika
( ) arg G ( j ) arctan
Q( ) P( )
(2.61) 114
Výhoda při zavedení logaritmických charakteristik spočívá ve zjednodušení výpočtu charakteristik složených systémů a v jejich jednoduchém sestrojování. Násobení přenosů při sériovém zapojení systémů se v logaritmických charakteristikách zjednodušuje na sčítání charakteristik, tzn. například pro přenos
G( j) G1( j) G2 ( j) G1( j) e j1 ( ) G2 ( j) e j2 ( ) G1( j) G2 ( j) e j (1 ( ) 2 ( )) (2.62) platí
20 log10 G ( j ) 20 log10 G1 ( j ) 20 log10 G2 ( j )
(2.63)
( ) arg G ( j ) 1 ( ) 2 ( )
(2.64)
Tabulka 2.4 - Vliv stupně čitatele a jmenovatele přenosu na sestrojení amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky 1. řád v čitateli +20dB/dek +90°
LACH LFCH
1. řád ve jmenovateli -20dB/dek -90°
2. řád v čitateli +40dB/dek +180°
2. řád ve jmenovateli -40dB/dek -180°
0. řád 0dB/dek 0°
POZNÁMKA Určené parametry, tzn. amplituda A() [dB] a fázový posun () se zobrazí v logaritmických souřadnicích jako závislost amplitudy, respektive fáze na úhlové frekvenci , tj. získá se logaritmicko-amplitudová
frekvenční
charakteristika
(LACH)
a
logaritmicko-fázová
frekvenční charakteristika (LFCH). Kromě této závislosti je možno využít tyto parametry k zobrazení jejich vlastní závislosti, tj. A() na (). Jednalo by se poté o tzv. „Nicholsův diagram“, z něhož je možno určit amplitudovou a fázovou bezpečnost pro zadaný přenos.
PŘÍKLAD Máme sestrojit frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích pro zadané přenosy 1) G ( s )
k 1 Ts 1 2s 1
2) G ( s )
(1 T1s )(1 T2 s ) (1 1,92 s )(1 0,24 s ) (1 T3 s )(1 T4 s ) (1 15,36 s )(1 0,03s )
3) G ( s )
k (1 s ) Ls 7,875(0,8s 1) 0, 4 s 6,3s 7,875 0, 4 s e e e s s s
115
T3 T1 T2 T4
ad 1) G ( s )
k 1 Ts 1 2s 1
Frekvenční přenos - složkový tvar komplexního čísla
G ( s ) s j G ( j )
1 2 j 1 2 j 1 2 2 j 2 2 2 j 1 1 2 j 1 ( 2 j ) 1 4 1 4 2 1
Frekvenční přenos - exponenciální tvar komplexního čísla
G ( j ) A( )e j ( )
1 1 4
2
e arctan( 2 )
přičemž 2
2
1 2 A( ) G ( j ) P ( ) 2 Q ( ) 2 1 4 2 1 4 2
( ) arctan
1 4 2
1 4
2 2
1 1 4 2
Q( ) arctan(2 ) arctan(2 ) P( )
Úprava frekvenčního přenosu v exponenciálním tvaru na přenos v logaritmických souřadnicích A( )[dB ] 20 log10 A( ) 20 log10
( ) arctan
1
20 log10 1 4 2 1 4 2
Q( ) arctan(2 ) arctan(2 ) P( )
Jiný možný výpočet frekvenčního přenosu v logaritmických souřadnicích, tj. bez úpravy jmenovatele frekvenčního přenosu po dosazení za komplexní proměnnou s výraz s = j (bude vyjádřeno v obecném tvaru zadaného přenosu) Frekvenční přenos
G ( s ) s j
k 1 k 1 k G ( j ) k k (Tj 1) 1 Ts 1 Ts 1 Tj 1 Tj 1
můžeme psát (viz rovnice 2.62)
G ( j ) A( )e j ( )
k 2
2
T 1
e j (arctan(0) arctan(T ))
k 2
2
T 1
e j (arctan(T ))
přičemž
A( )[dB ] 20 log10 k 2 02 20 log10 T 2 2 12 20 log10 k 20 log10 T 2 2 1
0 k
( ) arctan arctan(T ) arctan(0) arctan(T ) arctan(T ) 116
po dosazení za k a T dostaneme
A( )[dB ] 20 log10 1 20 log10 22 2 1 20 log10 4 2 1
( ) arctan(2 )
20 log 10 1 T 2 2 3dB A() [dB]
0
0dB/dek
-10 -20
= 1/T
-20dB/dek
-30 -2 10
-1
0
10
10
1
10
[rad/s]
() [deg]
0 -45 -90 -2 10
-1
0
10
10
1
10
[rad/s]
Obrázek 2.22 - Bodeho křivky pro přenos č.1
ad 2) G ( s )
(1 T1s )(1 T2 s ) (1 1,92 s )(1 0,24 s ) (1 T3 s )(1 T4 s ) (1 15,36 s )(1 0,03s )
Podle postupu uvedeného u předchozího řešení (předchozího přenosu) můžeme psát
G ( j ) A( )e j ( )
(1 T1 j )(1 T2 j ) (1 T3 j )(1 T4 j )
1 T12 2 1 T2 2 2 2
1 T3
2
2
1 T4
2
e j (arctan T1 arctan T2 arctan T3 arctan T4 )
přičemž
AdB 20 log10 1 T12 2 20 log10 1 T2 2 2 20 log10 1 T32 2 20 log10 1 T4 2 2
( ) arctan T1 arctan T2 arctan T3 arctan T4 po dosazení za jednotlivé časové konstanty dostaneme
AdB 20log10 1 3,692 20log10 1 0,0582 20log10 1 235,932 20log10 1 9.1042
( ) arctan(1,92 ) arctan(0,24 ) arctan(15,36 ) arctan(0,03 )
117
Jelikož platí vztah mezi frekvencí a časovou konstantou, tj. i 1 / Ti pro i 1, 2, 3, 4 , pak je možné určit tzv. lomové uhlové frekvence, které pro dané zadaní, tj. T3 T1 T2 T4 budou vzestupně v pořadí 3 1 2 4 .
A() [dB]
0
-20 dB/dek
3
-10
1
0dB/dek -20 -3 10
-2
10
4 0dB/dek
2 +20 dB/dek
-1
10
0
10 [rad/s]
1
2
10
3
10
10
() [deg]
50 0 -50 -3 10
-2
10
-1
10
0
10 [rad/s]
1
2
10
3
10
10
Obrázek 2.23 - Bodeho křivky pro přenos č.2
ad 3) G ( s )
k (1 s ) Ls 7,875(0,8s 1) 0, 4 s 6,3s 7,875 0, 4 s e e e s s s
Nejdříve si zadaný přenos upravíme na tři části
G ( s ) 6,3
( s 1,25) 0, 4 s 6,3 e ( s 1,25) e 0, 4 s G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s ) s s
pak můžeme psát
G ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j ) e j (1 ( ) 2 ( ) 3 ( )) 6,3 G ( j ) j
0, 4 j arctan arctan j 6,3 j 1, 25 j 1,25 e 0, 4 j j 1,25 1 e j
2 j (arctan( ) arctan 0, 4 ) 6,3 2 2 2 2 2 1, 25 0 1,25 1 0 e
j arctan 0, 4 6,3 2 1, 25 2 2 1,25 1 e
přičemž logaritmická amplitudová funkce
6,3 6,3 AdB 20 log10 20 log10 1,252 2 20 log10 1 20 log10 20 log10 1,5625 2 118
a logaritmická fázová funkce
( ) arctan() arctan(0,8 ) 0,4
2
arctan(0,8 ) 0,4
A() [dB]
60 40
0 dB/dek
-20 dB/dek
= 1,25
20 -2
-1
10
0
10
1
10 [rad/s]
2
10
10
() [deg]
0 -1000 -2000 -3000 -2 10
-1
0
10
1
10 [rad/s]
2
10
10
Obrázek 2.24 - Bodeho křivky pro přenos č.3 U zobrazené logaritmicko-fázové frekvenční charakteristiky, tj. druhá z Bodeho křivek, je třeba zdůraznit, že hodnota fáze pro frekvenci ω = 0 je rovna / 2 , tedy (0) / 2 .
POZNÁMKA V této kapitole, tedy kapitole 2.2.4 bylo popsáno jak určit frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky ze spojitých systémů. Frekvenční přenos ze spojitých systémů se určí využitím vztahu G ( j ) G ( s )
s j
, tedy dosazením výrazu jω za proměnnou s. Frekvenční přenos z
diskrétních systémů se určí ze vztahu G ( z )
z e jT
jωT za G (e jT ) , tedy dosazením výrazu e
proměnnou z. Díky použité substituci se určení frekvenčního přenosu z diskrétních systémů moc nepoužívá.
POZNÁMKA Pro jednodušší vykreslení základních charakteristik uvedených v kapitolách 2.2.3 a 2.2.4, tj. přechodové
charakteristiky,
impulsní
charakteristiky
a
frekvenčních
charakteristik
(Nyquistova křivka, Bodeho křivky), lze využít programového nástroje MATLAB.
119
MATLAB Zobrazení základních charakteristik Základní charakteristiky Přechodová charakteristika step(cit, jm)
vykreslení přechodové charakteristiky
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele
[y,x,t] = step(cit, jm)
uložení vypočtených hodnot do proměnných
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele, t - čas, y - výstupní hodnota, x – stavová trajektorie (má význam u stavového popisu)
Impulsní charakteristika impulse(cit, jm)
vykreslení impulsní charakteristiky
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele
[y,x,t] = impulse(cit, jm)
uložení vypočtených hodnot do proměnných
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele, t - čas, y - výstupní hodnota, x – stavová trajektorie (má význam u stavového popisu)
Frekvenční charakteristiky a) v komplexní rovině (Nyquistova charakteristika) nyquist(cit, jm)
vykreslení frekvenční charakteristiky v komplexní rovině
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele
[Re, Im] = nyquist(cit, jm)
uložení vypočtených hodnot do proměnných
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele, Re - reálná část, Im - imaginární část
b) v logaritmických souřadnicích (Bodeho charakteristika) bode(cit, jm)
vykreslení frekvenční charakteristiky v log. souřadnicích
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele
[mag, phase] = bode(cit, jm)
uložení vypočtených hodnot do proměnných
cit - polynom čitatele; jm - polynom jmenovatele, mag - amplituda frekvenční odezvy, phase fáze frekvenční odezvy
Pro vykreslení základních charakteristik diskrétních systémů slouží obdobné funkce, které však začínají písmenem „d“, tj. dstep, dimpulse, dnyquist, dbode. Mimo výše uvedeného zadávání přenosu pomocí jeho čitatele a jmenovatele, lze zadat přenos i jako tzv. LTI objekt, například Vytvoření přenosové funkce sys = tf (cit,jm,T) cit - citatel přenosu, jm - jmenovatel přenosu, T - perioda vzorkování (platí u diskrétních systémů;
120
pokud bude hodnota T=-1 značí to, že se bude jednat o diskrétní systém s nespecifikovanou periodou vzorkování; u spojitých systémů se perioda vzorkování nezadává), sys - LTI objekt (přenosová funkce)
Základní charakteristiky Pro určení průběhů základních charakteristik jsou využity funkce uvedené výše, s tím rozdílem, že jako vstup do těchto funkcí je uvažován LTI objekt. Zápis funkce je pak stejný jak pro spojité tak i pro diskrétní systémy, neboť definice systému (spojitý, diskrétní) je provedena již v LTI objektu, tedy [y,t]=step(sys)
uložení určených hodnot přechodové charakteristiky zadaného systému
[y,t]=impulse(sys)
uložení určených hodnot impulsní charakteristiky zadaného systému
[Re,Im]=nyquist(sys)
uložení určených hodnot Nyquistovy křivky pro zadaný systém
[mag,phase]=bode(sys)
uložení určených hodnot Bodeho křivek pro zadaný systém
step(sys)
vykreslení přechodové charakteristiky zadaného systému
impulse(sys)
vykreslení impulsní charakteristiky zadaného systému
nyquist(sys)
vykreslení Nyquistovy křivky zadaného systému
bode(sys)
vykreslení Bodeho křivek zadaného systému
Je možno též nastavit si také vlastní čas nebo frekvenci, ve kterých se mají určit hodnoty výstupní funkce, například t=0:0.1:100 nebo t =linspace(0,100,1001) příp. w=logspace(-2,2,100) step(cit, jm, t) nebo step(sys, t), příp. bode(sys, w)
PŘÍKLAD Pro systémy zadané následujícími přenosy máme vykreslit jednu vybranou základní charakteristiku 1) G ( s)
B( s) 10 2 A( s) s 3s 2
>> step([10],[1 3 2],0:0.01:10);
h(t)
4
2
0
0
2
4
6
8
10
t
121
2) G ( s)
B( s) 10 e 2 s 2 A( s ) s 3s 2
>> sys=tf(10,[1 3 2],'iodelay',2) % vytvorení tf objektu >> step(sys,0:0.01:10); 5
h(t)
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
t
3) G ( z )
B( z ) 0,077 z 0,047 2 A( z ) z 0,974 0,223
T 0,5
>> sys=tf([0.077 0.047],[1 -0.974 0.223],0.5) >> step(sys); 0.5
h(kT)
0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
2
4
6 kT
8
10
12
2.2.5 Typy dynamických členů Budeme uvažovat jednotlivé členy regulačního obvodu za systémy (řízený systém, řídicí systém) a provedeme jejich obecné třídění podle průběhu jejich přechodových charakteristik h(t), což jsou odezvy systému na jednotkový skok. Uvažujme dynamický člen s přenosem
G ( s)
bm s m b1s b0 sL e s q (an s n a1s a0 )
(2.65)
pro který platí a0 0, b0 0, L > 0 a je splněna i podmínka fyzikální realizovatelnosti, tzn. m n + q , resp. m < n + q , tj. slabá, resp. silná podmínka fyzikální realizovatelnosti, přičemž q představuje násobnost pólu pj = 0, a dále se pak předpokládá, že polynom ansn +…+ a1s + a0 má stabilní kořeny pj (Re pj < 0; j = 1, 2, …, n). 122
Hodnotu přechodové charakteristiky dynamického členu pro čas t lze určit z následujícího vztahu
h() lim h(t ) lim sH ( s ) lim s t
s 0
s 0
G(s) lim G ( s ) s 0 s
(2.66)
přičemž z tohoto pohledu je možno rozeznávat tři základní skupiny dynamických členů, a to proporcionální (statické) - h() = b0/a0, tj. ustálí se na konečné hodnotě integrační (astatické)
- h() se neustálí (ustáleným stavem je konstantní rychlost, zrychlení, atd.)
derivační
- h() = 0, tj. ustálí se na nule
Dopravní zpoždění, které může přenos dynamického členu obsahovat, nemá na ustálený stav přechodové charakteristiky v čase t vliv, neboť pro ustálený stav v oblasti parametru s (tj. s 0) platí lim e sL 1 s 0
Tabulka 2.5 - Proporcionální dynamické členy regulačního obvodu (q = 0) ... ustálený stav existuje a je různý od nuly (v čitateli ani ve jmenovateli přenosu nelze vytknout s)
Řád
Přenos
Určení typu dynamického členu
0.
G ( s ) k0
proporcionální člen bez setrvačnosti (ideální proporcionální člen)
1.
G ( s)
G ( s)
2.
k0 T1s 1
T02 s 2
proporcionální člen se setrvačností 1. řádu (reálný proporcionální člen)
k0 2T0 s 1
proporcionální člen se setrvačností 2. řádu
1 : G ( s)
k0 (T1s 1)(T2 s 1)
aperiodický (nekmitavý) člen 2. řádu
1 : G(s)
k0 (T1s 1) 2
mezní aperiodický člen 2. řádu
0 1 : jmenovatel přenosu G(s) nelze rozložit
0 : G ( s) : n
G ( s)
k0 2 2
n
konzervativní (bezeztrátový) člen 2. řádu
T0 s 1
bm s m b1s b0 an s a1s a0
periodický (kmitavý) člen 2. řádu
e sL
obecný proporcionální člen se setrvačností n - tého řádu s dopravním zpožděním
123
h(t)
2
3
4
5
1) 2) 3) 4) 5)
0-tého řádu (ideální proporcionální člen) 1. řádu (reálný proporcionálního členu) 2. řádu (kmitavý člen; 0 < < 1) 2. řádu s neminimální fází n-tého řádu s dopravním zpožděním nekmitavý
k0
1
t
L
Obrázek 2.25 - Přechodové charakteristiky proporcionálních členů Tabulka 2.6 - Integrační dynamické členy regulačního obvodu (q > 0) ... ustálený stav neexistuje (ve jmenovateli přenosu lze vytknout s) Řád
Přenos
Určení typu dynamického členu
1.
G(s)
k0 s
integrační člen bez setrvačnosti (ideální integrační člen)
G(s)
k0 s (T1s 1)
integrační člen se setrvačností 1. řádu (reálný integrační člen)
bm s m b1s b0 sL G ( s) q e s (an s n a1s a0 )
: q
1
h(t)
2
3
obecný integrační člen q - tého řádu se setrvačností n - tého řádu s dopravním zpožděním
4
1) 1. řádu (ideální integrační člen) 2) 1. řádu se setrvačností 1. řádu 3) 1. řádu s neminimální fází a se setrvačností 2. řádu resp. vyššího řádu 4) 1. řádu se setrvačností 2. řádu s dopravním zpožděním
t L Obrázek 2.26 - Přechodové charakteristiky integračních členů
124
Tabulka 2.7 - Derivační dynamické členy regulačního obvodu (q < 0, r = -q) ... ustálený stav existuje a je nulový (v čitateli přenosu lze vytknout s) Řád 1.
Přenos
Určení typu dynamického členu
G ( s ) k0 s
derivační člen bez setrvačnosti (ideální derivační člen)
k0 s (T1s 1)
G(s) : r
G(s) s r
1
h(t)
derivační člen se setrvačností 1. řádu (reálný derivační člen)
bm s m b1s b0
(an s n a1s a0 )
2
3
esL
obecný derivační člen r - tého řádu se setrvačností n - tého řádu s dopravním zpožděním
4
1) 1.řádu (ideální derivační člen ) 2) 1.řádu se setrvačností 1. řádu (reálný derivační člen) 3) r-tého řádu s neminimální fází 4) r-tého řádu se setrvačností n - tého řádu s dopravním zpožděním
t L Obrázek 2.27 - Přechodové charakteristiky derivačních členů
POZNÁMKA U diskrétních systémů můžeme uvažovat dynamický člen zadaný obecně přenosem
bm z m b1 z b0 G( z) zL /T q n ( z 1) (an z a1 z a0 )
(2.67)
V tomto případě bude o typu dynamického členu rozhodovat zda z čitatele nebo jmenovatele přenosu půjde nebo nepůjde vytknout výraz ( z 1) q , přičemž q představuje násobnost uvedeného výrazu. Dále se pak předpokládá, že polynom anzn +…+ a1z + a0 má stabilní kořeny pj (tj. tyto kořeny leží uvnitř jednotkové kružnice). Hodnotu přechodové charakteristiky diskrétního dynamického členu pro diskrétní čas lze určit ze vztahu 125
z 1 z H ( z ) lim( z 1) H ( z ) lim( z 1)G( z ) lim {G( z ) z} (2.68) z 1 z z 1 z 1 z 1 z 1
h() lim h(kT ) lim k
Přechodové charakteristiky diskrétních systémů budou mít obdobné průběhy odpovídající jednotlivým typům dynamických členů jako u spojitých systémů, s tím rozdílem, že u diskrétních systémů jsou získány funkční hodnoty jen v okamžicích vzorkování.
2.2.6 Příklady na vybrané vlastnosti lineárních systémů V této kapitole jsou uvedeny neřešené příklady na vybrané vlastnosti lineárních systémů, jako je přechodová a impulsní funkce, frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky, póly a nuly systému.
PŘÍKLAD Pro systém zadaný spojitým přenosem máme určit diferenciální rovnici, póly a nuly systému, přechodovou funkci, impulsní funkci, frekvenční přenos ve složkovém tvaru a v exponenciálním tvaru, zobrazit průběh přechodové charakteristiky, impulsní charakteristiky a frekvenční charakteristiky, tj. Nyquistova křivka a Bodeho křivky. 1) G ( s )
2s 1 2s 1 2 30 s 11s 1 (5s 1)(6 s 1)
2) G ( s )
s 1 s 2s 5
3) G ( s )
3 e 2s 8s 1
2
PŘÍKLAD Pro systém zadaný diskrétním přenosem (v kladných nebo záporných mocninách z) máme určit diferenční rovnici, případně rekurentní (normální) tvar, póly a nuly systému, přechodovou funkci, impulsní funkci, zobrazit průběh přechodové charakteristiky, impulsní charakteristiky. 1) G ( z )
0,04074 z 0,06857 0,04074 ( z 1,683) 2 ( z 0,8465) ( z 0,8187) z 1,665s 0,693
2) G ( z )
0,3386 z 1 0,1961z 2 0,3386 z 1 (1 0,5792 z 1 ) perioda vzorkovaní T = 0,5 1 0,6554 z 1 0,3679 z 2 1 0,6554 z 1 0,3679 z 2
3) G ( z )
0,6636 1 0,6636 z 1 1 z z z 0,7788 1 0,7788 z 1
perioda vzorkovaní T = 1
perioda vzorkovaní T = 2
126
2.3 Určení výsledného přenosu složeného systému Při řešení úloh z oblasti automatického řízení je možno setkat se s tím, že je potřeba řešit dynamické
vlastnosti
regulačního
obvodu,
ve
kterém
je
několik
jednoduchým
(jednorozměrových) systémů (minimálně regulovaná soustava a regulátor), které jsou spolu určitým způsobem propojeny. K popisu složeného systému je možno využít mimo jiné blokovou algebru, příp. signálových diagramů.
2.3.1 Bloková algebra Blokové schéma obsahuje bloky, spojovací linky, součtové, resp. rozdílové členy a rozvětvovací místa, kde dochází k větvení signálu. Signál se šíří ve spojovacích větvích pouze jedním směrem a podél větve se nemění. V bloku postupuje signál rovněž jedním směrem, tj. ze vstupu na výstup.
POZNÁMKA V další části budou popsány základní členy blokové algebry, způsoby zapojení blokových schémat a jejich úpravy, přičemž bude uvažováno, že daná pravidla budou využita jak pro spojité, tak i pro diskrétní systémy. U diskrétních systémů bude přitom z důvodu zjednodušení a možnosti použití dále popsaných pravidel uvažováno, že jednotlivé členy (bloky, přenosy) složeného systému budou vždy vzorkovány na jejich vstupu i výstupu a dále pak, že všechny vstupní i výstupní signály budou také vzorkovány. Případné bližší upřesnění, zda se jedná o řešení spojitého nebo diskrétního složeného systému bude jednoznačně dáno jednotlivými dílčími přenosy (obecně G(s) nebo G(z)) v blokovém schématu, tedy u diskrétních složených systémů již nemusejí být v těchto schématech zakresleny vzorkovače. Uvedená úvaha týkající se diskrétních složených systémů je uvažována nejen v této kapitole, ale také v další části textu. Tabulka 2.8 - Členy blokové algebry a jejich funkce Značka
Popis Y
U
Lineární systém s přenosem G Y=G.U
G Y
Y1
Součtový člen Y=Y1+Y2 Y2 127
Značka
Popis
Y1
Y Rozdílový člen Y=Y1-Y2 Y2
Y
Y Rozdělovací uzel Y
Základní zapojení Sériové U
M
G1
Y G2 M G1G2U
GS
U
Y
G2
Y
GS
Y G1G2 U
Celkový přenos je roven součinu jednotlivých sériově řazených přenosů. Paralelní G1
V1 Y
U
G2
V1 G1U; V2 G2U
U
Gp
Y
V2
Y (s) G1 G2 U
Gp
Y G1 G2 U
Celkový přenos je roven součtu jednotlivých paralelně řazených přenosů. Antiparalelní (zpětnovazební) W
+
G1
Y
W
(+)
G2
128
Gz
Y
Y G1[W G2Y ] Y 1 G1G2 G1W G z Gz
G1 Y W 1 G1G2
Některá pravidla ekvivalence (pravidla pro přeměnu blokových schémat) a) U
G
Y
U
≡
Y
Y
G
Y G
b) Y
U1
G
U1
≡ U2
U2
Y
G G
c) U
Y
U
≡
G
U
U
Y
G 1/G
d) U1
Y
U1
G
U2
≡
U2
G
Y
1/G
Obecné zpětnovazební pravidlo Při praktických výpočtech celkového přenosu složeného systému se velmi často používá pravidlo, které je zobecněním celkového přenosu pro zapojení s více zpětnovazebními smyčkami G
přenos přímé větve 1 součet přenosů uzavřených smyček
(2.69)
Přenos přímé větve je roven součinu přenosů všech bloků, kterými signál prochází při přímé cestě ze vstupu na výstup. Přenos uzavřené smyčky je roven součinu přenosů všech bloků, kterými signál prochází při jednom oběhu po celé smyčce. Záporné znaménko je přiděleno smyčce s kladnou zpětnou vazbou, kladné znaménko smyčce se zápornou zpětnou vazbou. 129
POZNÁMKA Při zobrazování vazeb mezi subsystémy je možno vedle blokového schématu použít i tzv. signálový diagram. V signálových diagramech je systém nebo jeho část znázorněna čarou se šipkou značící směr šíření signálu. Systém je tedy na rozdíl od blokových schémat „rozložen“ po délce čáry. Signály jsou soustředěny do koncových bodů, které jsou nazývány uzly. Spojení dvou sousedních uzlů se nazývá větev. Větev je orientovaná čára spojující dva uzly a je charakterizována přenosem. Použití signálových diagramů (grafů signálových toků) je oblíbeno zvláště v západní literatuře.
PŘÍKLAD Máme určit výsledný přenos zadaného složeného systému, přičemž je uvažováno, že jednotlivé dílčí přenosy tohoto systému určují, zda se jedná o spojitý složený systém nebo diskrétní složený systém. 1) Y(s)
X1(s)
G1(s)
X2(s)
X4(s)
G2(s)
X5(s)
G3(s)
Y(s)
X3(s) X6(s)
G4(s) G5(s)
Xi(s) jsou pomocné proměnné (i = 1-6), U(s) je vstupní signál a Y(s) výstupní signál Jeden ze způsobů výpočtu celkového přenosu složeného systému je metoda eliminace proměnných, tedy - sestavíme rovnice součtových, resp. rozdílových uzlů
X 1 ( s) U ( s) X 6 ( s)
X 4 ( s) X 2 ( s) X 3 (s)
- sestavení rovnic závislostí mezi vstupními a výstupními veličinami bloků
X 2 ( s ) G1 ( s )U ( s )
X 5 ( s ) G2 ( s ) X 4 ( s )
Y ( s ) G3 ( s ) X 5 ( s )
X 3 ( s ) G4 ( s )Y ( s )
X 6 ( s ) G5 ( s ) X 5 ( s ) - řešením této soustavy 7 lineárních rovnic, tj. eliminací proměnných x1 až x6, resp. jim odpovídajícím obrazům X1(s) až X6(s) dostaneme hledaný vztah pro přenos složeného (spojitého) systému (tzv. metoda eliminace proměnných), tedy G ( s)
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s ) Y (s) U ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )G5 ( s )
130
Další ze způsobů výpočtu celkového přenosu složeného systému (využitím zpětnovazebního pravidla) - přímá větev je jedna a její přenos je G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s ) - uzavřené smyčky jsou dvě a mají přenosy G1 ( s )G2 ( s )G5 ( s ) a G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) - celkový přenos složeného (spojitého) systému je pak G s
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s ) Y (s) U ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )G5 ( s )
přičemž znaménka ve jmenovateli jsou dána zpětnou vazbou, tedy kladné znaménko značí zápornou zpětnou vazbu, záporné znaménko značí kladnou zpětnou vazbu. 2)
U(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
G4(s)
G7(s)
G5(s)
Y(s)
G6(s)
G8(s)
Použitím zpětnovazebního pravidla dostaneme - přímá větev je jedna s paralelním zapojením, tedy G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )(G4 ( s )G5 ( s ) G6 ( s )) - uzavřené smyčky jsou tři, z toho jedna s paralelním zapojením, tedy G2 ( s )G3 ( s )G7 ( s ) ,
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G8 ( s ) a G1 ( s )G 2 ( s )G3 ( s )(G 4 ( s )G5 ( s ) G6 ( s )) - celkový přenos složeného (spojitého) systému je tedy (pro přehlednost byla vynechána komplexní proměnná s)
G s
G1G2 G3 (G4 G5 G6 ) Y s U s 1 G2 G3G7 G1G2 G3G8 G1G2 G3 (G4 G5 G6 )
Znaménka ve jmenovateli jsou kladná, protože zpětné vazby mají záporné znaménka. 3)
U(z)
G1(z)
Y(z)
G2(z)
G3(z) G4(z)
G5(z) 131
Dané blokové schéma je nejprve lépe upravit do jiného tvaru, například U(z)
Y(z) G1(z)
G2(z)
G4(z)
G3(z)
G4(z)
G5(z)
V tomto případě je možno určit výsledný přenos přímo, neboť je zřejmé, že blokové schéma složeného systému neobsahuje žádnou zpětnovazební smyčku, ale pouze jen paralelní zapojení. Výsledný přenos složeného (diskrétního) systému tedy bude
G z
Y ( z) G1 ( z ) G3 ( z )G4 ( z ) G2 ( z ) G4 ( z )G5 ( z ) U ( z)
POZNÁMKA Pro určení výsledného přenosu složeného systému popsaného výše je možno využít i programu MATLAB. MATLAB
Určení výsledného přenosu složeného systému
sys = parallel(sys1,sys2) - paralelní propojení dvou LTI objektů sys1 - přenos systému sys1; sys2 - přenos systému sys2, sys - výsledný přenos pro paralelní zapojení dvou systémů
sys = series(sys1,sys2) - sériové propojení dvou LTI objektů sys1 - přenos systému sys1; sys2 - přenos systému sys2, sys - výsledný přenos pro sériové zapojení dvou systémů
sys = feedback(sys1,sys2,zn) - zpětnovazební propojení dvou LTI objektů sys1 - přenos systému sys1; sys2 - přenos systému sys2, zn - typ zpětné vazby (-1 značí zápornou zpětnou vazbu, +1 značí kladnou zpětnou vazbu), sys - výsledný přenos pro zpětnovazební zapojení dvou systémů
sys_mr = minreal(sys, tol) - minimální realizace daného LTI objektu ( kompenzace pólů a nul) sys - přenos systému sys; tol - tolerance kompenzace pólů a nul, sys_mr - systém (LTI objekt) po kompenzaci pólů a nul Některé výše uvedené funkce je možné nahradit i jiným způsobem zápisu, tedy funkci
parallel(sys1,sys2) je možno nahradit jako přímý součet LTI objektů sys1+sys2 a funkci series(sys1,sys2) je možno nahradit jako přímý součin LTI objektů sys1*sys2. 132
PŘÍKLAD Máme určit výsledný přenos složeného systému, přičemž jsou zadány jednotlivé dílčí přenosy tohoto složeného systému. Jednotlivé dílčí přenosy jsou přitom uvažovány jako spojité. Schéma složeného systému U(s)
G1(s)
G2(s)
Y(s)
G3(s) G4(s)
G5(s) Jednotlivé přenosy složeného systému G1 ( s)
1 2 3 s 1 5 , G2 ( s) , G3 ( s ) , G4 ( s) , G5 ( s ) s3 s 1 s5 s4 s2
Zadané schéma lze upravit do tvaru U(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
Y(s)
G4(s) G5(s)
1/G3(s)
>> G1=tf([1],[1 3]);G2=tf([2],[1 1]);G3=tf([3],[1 5]); >> G4=tf([4],[1 4]);G5=tf([5],[1 2]); >> A=series(G2,G3); B=feedback(A,G4,-1); >> C=series(G1,B); D=series(G5,1/G3); >> E=feedback(C,D,1); >> minreal(E) Transfer function: 6 s^2 + 36 s + 48 -------------------------------------------s^5 + 15 s^4 + 85 s^3 + 239 s^2 + 304 s + 64
Jiný způsob zápisu výsledné funkce (pro kontrolu výsledků je v tomto případě využit již odvozený výsledný obecný přenos) >> minreal((G1*G2*G3)/(1+G2*G3*G4-G1*G2*G5))
133
Transfer function: 6 s^2 + 36 s + 48 -------------------------------------------s^5 + 15 s^4 + 85 s^3 + 239 s^2 + 304 s + 64
2.3.2 Příklady na určení výsledného přenosu složeného systému V této kapitole jsou uvedeny neřešené příklady na určení výsledného přenosu složeného systému pomocí blokové algebry.
PŘÍKLAD Pro zadané zapojení přenosových bloků v obvodu máme určit výsledný přenos složeného systému, přičemž je uvažováno, že jednotlivé dílčí přenosy tohoto systému určují, zda se jedná o spojitý složený systém nebo diskrétní složený systém. 1) U(s)
G1(s)
Y(s)
G3(s)
G2(s)
G4(s)
G5(s)
2) G1(s) U(s)
Y(s) G2(s)
G3(s) G4(s)
3) U(s)
G1(s)
G2(s)
134
Y(s) G3(s)
G4(s)
4) G4(z) Y(z)
U(z)
G1(z)
G2(z) G3(z)
2.4 Regulační obvod V regulačním obvodu probíhá regulační pochod. Regulační obvod vzniká připojením regulátoru (řídicího systému) k regulované soustavě (řízenému systému) a zavedením zpětné vazby, která je uvažována jako záporná zpětná vazba.
Spojitý regulační obvod Na obrázku uvedeném níže je uvedeno schéma zapojení spojitého uzavřeného regulačního obvodu. V další části jsou pak odvozeny a uvedeny základní přenosy vyskytující se v tomto regulačním obvodu. V(s) W(s)
E(s)
GR(s)
UR(s)
U(s)
N(s) Y(s) GS(s)
Obrázek 2.28 - Blokové schéma zapojení spojitého uzavřeného regulačního obvodu Ve výše uvedeném obrázku (viz Obrázek 2.28) značí: GS(s) - přenos regulované soustavy (řízeného systému) GR(s) - přenos regulátoru (řídicího systému) W(s) - L-obraz žádané hodnoty w(t) - žádaná hodnota V(s), N(s) - L-obrazy poruchových veličin v(t), n(t) - poruchy U(s), resp. UR(s) - L-obraz akční veličiny u(t) resp. uR(t) - akční veličina Y(s) - L-obraz výstupní veličiny y(t) - výstupní veličina E(s) - L-obraz regulační odchylky e(t) - regulační odchylka přičemž platí E ( s ) W ( s ) Y ( s ),
e(t ) w(t ) y (t ) , tedy regulátor pracuje tak, aby
zmenšoval, příp. úplně odstranil regulační odchylku. 135
Přenosy v regulačním obvodu za předpokladu v(t ) n(t ) 0, w(t ) 0 Přenos otevřeného obvodu
GO ( s ) G S ( s )G R ( s )
(2.70)
Přenos řízení Y ( s) G S ( s )G R ( s)W ( s ) Y ( s ) G S ( s )G R ( s )W ( s ) G S ( s )G R ( s )Y ( s ) Y ( s )1 G S ( s )G R ( s ) G S ( s )G R ( s )W ( s )
GW/Y ( s )
Y ( s) GW/Y ( s ) W (s)
G S ( s )G R ( s ) GO ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) 1 GO ( s )
(2.71)
Odchylkový přenos řízení E ( s ) W ( s ) Y ( s ) W ( s ) G S ( s )G R ( s ) E ( s ) E ( s )(1 G S ( s )G R ( s ))W ( s ) E (s) GW / E ( s ) W (s) GW / E ( s )
E (s) 1 1 W ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) 1 G O ( s )
(2.72)
Přenosy v regulačním obvodu za předpokladu w(t ) n(t ) 0, v(t ) 0 Přenos poruchy před regulovanou soustavou Y ( s) GS ( s) V ( s) G R ( s) Y ( s) GS ( s)V ( s) GS ( s )G R ( s)Y ( s) Y ( s) 1 GS ( s)G R ( s ) GS ( s )V ( s ) GV/Y ( s )
Y (s) GV/Y ( s) V ( s)
GS (s) GS (s) Y (s) V ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) 1 GO ( s )
(2.73)
Odchylkový přenos poruchy před regulovanou soustavou E ( s ) Y ( s ) G S ( s )V ( s ) G R ( s ) E ( s ) G S ( s )V ( s ) G S ( s )G R ( s ) E ( s ) E ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) G S ( s )V ( s )
GV/E ( s )
E (s) GV/E ( s ) V (s)
GS (s) GS (s) E ( s) V ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) 1 GO ( s )
Přenosy v regulačním obvodu za předpokladu w(t ) v(t ) 0, n(t ) 0 Přenos poruchy za regulovanou soustavou Y ( s ) N ( s ) G S ( s )G R ( s ) Y ( s ) N ( s ) G S ( s )G R ( s )Y ( s )
136
(2.74)
Y ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) N ( s )
G N/Y ( s )
Y ( s) G N/Y ( s ) N ( s)
Y (s) 1 1 1 GW/Y ( s ) N ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) 1 GO ( s )
(2.75)
Odchylkový přenos poruchy za regulovanou soustavou
E ( s ) Y ( s ) N ( s ) G S ( s )G R ( s ) E ( s ) N ( s ) G S ( s )G R ( s ) E ( s ) E ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) N ( s ) G N/E ( s )
E (s) G N/E ( s ) N ( s)
E (s) 1 1 N ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) 1 GO ( s )
(2.76)
POZNÁMKA Ve všech jmenovatelích jednotlivých přenosů se vyskytuje polynom 1+GS(s)GR(s), resp. 1+GO (s). Tento polynom se nazývá charakteristický polynom. Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu bez působení řízení a poruch pak bude ve tvaru 1+GO(s)=0. Kořeny této rovnice (póly) mají vliv na chování uzavřeného obvodu, tj. průběh, stabilitu, aperiodicitu. Z přenosů GW/E (s), GN/E (s) a také GN/Y (s) vyplývá, že pokud je regulační obvod seřízen dobře vůči žádané hodnotě w(t), je dobře seřízen i vůči poruše n(t).
Diskrétní regulační obvod Na obrázku uvedeném níže je uvedeno schéma zapojení diskrétního uzavřeného regulačního obvodu. V další části jsou pak odvozeny a uvedeny základní přenosy vyskytující se v tomto regulačním obvodu. Při odvozování přenosů v tomto regulačním obvodu je uvažováno, že všechny vstupní i výstupní signály jsou vzorkovány a dále pak, že jednotlivé členy (bloky, přenosy) složeného systému budou vždy vzorkovány na jejich vstupu i výstupu. V(z) W(z)
E(z)
GR(z)
UR(z)
N(z) Y(z)
U(z)
GS(z)
H(s)
GS(s)
Obrázek 2.29 - Blokové schéma zapojení diskrétního uzavřeného regulačního obvodu 137
V obrázku uvedeném výše (viz Obrázek 2.29) značí: Přenosy GS(s) - přenos regulované spojité soustavy (řízený systém) H(s) - tvarovač (z posloupnosti impulsů vytvoří po částech spojitý signál) GS(z) - Z-přenos spojité části obvodu pro danou periodu vzorkování T, tedy platí
G S ( z ) Z H ( s )G S ( s )
z 1 1 1 Z L G S ( s) z s t kT
GR(z) - diskrétní přenos regulátoru (řídicího systému) pro danou periodu vzorkování T Signály W(z) - Z-obraz žádané hodnoty w(kT) - žádaná hodnota, V(z), N(z) - Z-obrazy poruchových veličin v(kT), n(kT) - poruchy, U(z), resp. UR(z) - Z-obraz akční veličiny u(kT) resp. uR(kT) - akční veličina, Y(z) - Z-obraz výstupní veličiny y(kT) - výstupní veličina, E(z) - Zobraz regulační odchylky e(kT) - regulační odchylka Princip řízení je opět takový, že platí E ( z ) W ( z ) Y ( z ), e(kT ) w(kT ) y (kT ) , tedy regulátor pracuje tak, aby zmenšoval, příp. úplně odstranil regulační odchylku. Přenosy v regulačním obvodu za předpokladu v(kT ) n(kT ) 0, w(kT ) 0 Přenos otevřeného obvodu
GO ( z ) G R ( z )G S ( z )
(2.77)
Přenos řízení
GW / Y ( z )
GR ( z )GS ( z ) GO ( z ) Y ( z) W ( z ) 1 GR ( z )GS ( z ) 1 GO ( z )
(2.78)
Přenos odchylky
GW / E ( z )
E( z) 1 1 W ( z ) 1 G R ( z )G S ( z ) 1 GO ( z )
(2.79)
Přenosy v regulačním obvodu za předpokladu w(kT ) n(kT ) 0, v(kT ) 0 Přenos poruchy před regulovanou soustavou
GV/Y ( z )
GS ( z ) GS ( z ) Y ( z) V ( z ) 1 G S ( z )G R ( z ) 1 GO ( z ) 138
(2.80)
Odchylkový přenos poruchy před regulovanou soustavou
GV/E ( z )
GS ( z ) GS ( z ) E ( z) V ( z ) 1 G S ( z )G R ( z ) 1 GO ( z )
(2.81)
Přenosy v regulačním obvodu za předpokladu w(kT ) v(kT ) 0, n(kT ) 0 Přenos poruchy za regulovanou soustavou
G N/Y ( z )
Y ( z) 1 1 N ( z ) 1 G S ( z )G R ( z ) 1 GO ( z )
(2.82)
Odchylkový přenos poruchy za regulovanou soustavou
G N/E ( z )
E( z) 1 1 N ( z ) 1 G S ( z )G R ( z ) 1 GO ( z )
(2.83)
Rozvětvené regulační obvody Jednoduché základní regulační obvody (viz Obrázek 2.28, příp. Obrázek 2.29) mohou splnit většinu běžných regulačních úkolů. Při vyšších požadavcích na přesnost a dynamiku regulace, hlavně u složitějších regulovaných soustav, jsou jejich možnosti omezené. S rostoucí složitostí (vyšším řádem setrvačnosti) regulované soustavy se zvyšuje i sklon k nestabilitě (stabilita viz kapitola 2.5), zhoršuje se také kvalita regulačního pochodu. Použitím rozvětvených regulačních obvodů, tj. zavedením dalších proměnných do regulačního obvodu a tedy uspořádáním dalších smyček regulačního obvodu, se získají výhodnější dynamické i statické vlastnosti celého systému. Způsoby rozvětvení regulačních obvodů lze rozčlenit takto:
regulační obvod s pomocnou regulovanou veličinou regulační obvod s pomocnou akční veličinou regulační obvody s měřením poruchy regulační obvod pro kompenzaci dopravního zpoždění (Smithův prediktor)
POZNÁMKA Pro účely zjednodušeného zápisu základních přenosů, v dále blíže popsaných rozvětvených regulačních obvodech, bude vynechána komplexní proměnná „s“. Značení a význam jednotlivých vstupních a výstupních signálů odpovídá značení a významu, které bylo popsáno u blokových schémat uzavřeného regulačního obvodu pro spojité a diskrétní systémy.
139
Regulační obvod s pomocnou regulovanou veličinou Pokud regulovaná soustava S umožňuje měřit pomocnou regulovanou veličinu y2, resp. yP za částí S2, která může být i velmi silně nelineární (neměla by však obsahovat dopravní zpoždění), pak použitím rozvětveného regulačního obvodu s pomocnou regulovanou veličinou lze podstatným způsobem zlepšit kvalitu regulačního pochodu. Pomocná regulovaná veličina yP je tedy veličina, kterou není třeba z technologického hlediska regulovat, ale umožňuje reagovat na poruchovou veličinu (veličiny) v podstatně rychleji, než vlastní regulovaná veličina y. Při správné volbě a seřízení regulátorů R1 a R2 je v podstatě eliminována vnitřní smyčka. Takovýto rozvětvený regulační obvod se chová jako jednoduchý regulační obvod s regulátorem R1 a regulovanou soustavou S1. Regulátor R2 je podřízený a volí se co nejjednodušší. Regulátor R1 je nadřazený, hlavní. Jedná se o nejjednodušší hierarchické řízení, protože vnitřní smyčka je podřízena vnější nadřazené smyčce. Daný rozvětvený regulační obvod se nazývá také kaskádní (kaskádový) regulační obvod. v w
e
R1
S u
R2
S2
S1
y
y2 = yP Obrázek 2.30 - Regulační obvod s pomocnou regulovanou veličinou
Přenos řízení v regulačním obvodu s pomocnou regulovanou veličinou GW / Y
GS G R S1S 2 R1 R2 Y W 1 S1S 2 R1R2 S 2 R2 1 GS GR GSP GRP
(2.84)
Přenos poruchy v regulačním obvodu s pomocnou regulovanou veličinou GV / Y
GS S1S 2 Y V 1 S1S 2 R1 R2 S 2 R2 1 GS GR GSP GRP
(2.85)
kde GS S1S 2 , GSP S 2 , GR R1R2 , GRP R2 Zavedením pomocné regulované veličiny do regulačního obvodu je možno dosáhnout zlepšení kvality a stability regulačního obvodu. Kvalita a stabilita regulačního obvodu je dána jeho charakteristickým polynomem, což je společný jmenovatel přenosu řízení a poruchy. Charakteristický polynom tohoto rozvětveného obvodu (viz (2.84), (2.85)) se liší od charakteristického polynomu jednoduchého (nerozvětveného) regulačního obvodu (viz (2.71), 140
(2.73)) tím, že mu přibývá člen GSP·GRP, díky čemuž je možno, vhodnou volbou přenosu pomocného regulátoru GRP, zlepšit kvalitu a stabilitu regulačního obvodu. Regulační obvod s pomocnou akční veličinou Jde-li regulovanou soustavu S fyzicky rozdělit na dvě části S1 a S2, kde část S1 je pomalejší než část S2 a část S2 lze přímo ovlivňovat, pak použitím rozvětveného regulačního obvodu s pomocnou akční veličinou uP vytvářenou pomocným regulátorem R2 lze zlepšit kvalitu regulačního pochodu jak vzhledem k žádané hodnotě w, tak i silnějším potlačením poruchy v. S
w
R1
u1
v
S1
y S2
e R2
u2 = uP
Obrázek 2.31 - Regulační obvod s pomocnou akční veličinou Přenos řízení v regulačním obvodu s pomocnou akční veličinou GW / Y
GS GR GSP GRP S S R S 2 R2 Y 1 2 1 W 1 S1S 2 R1 S 2 R2 1 GS GR GSP GRP
(2.86)
Přenos poruchy v regulačním obvodu s pomocnou akční veličinou GV / Y
GSP S2 Y V 1 S1S 2 R1 S 2 R2 1 GS GR GSP GRP
(2.87)
kde GS S1S 2 , GSP S 2 , GR R1 , GRP R2 Charakteristický polynom tohoto rozvětveného obvodu (viz (2.86), (2.87)) se liší od charakteristického polynomu jednoduchého (nerozvětveného) obvodu (viz (2.71), (2.73)) tím, že mu přibývá člen GSP·GRP. Vhodnou volbou přenosu pomocného regulátoru GRP je tedy možno zlepšit dynamické vlastnosti obvodu, tedy stabilitu a kvalitu regulačního obvodu. Oproti přenosu řízení nerozvětveného obvodu je větší také čitatel (přibývá člen GSP·GRP), což znamená přesnější sledování signálu žádané hodnoty. Regulační obvod s měřením poruchy Obvody s tímto typem pomocné vazby je možné realizovat tehdy, pokud je možné měřit velikost působící poruchy v. Regulační obvod obsahuje kompenzátor (pomocný regulátor, 141
pomocný kompenzátor) R2, který na základě měřené poruchové veličiny v působí na regulační obvod tak, aby se účinek poruchy v na regulovanou veličinu y úplně odstranil, nebo alespoň podstatně zmenšil. v R2 w
e
R1
u2 S u1
u
S1
S2
y
Obrázek 2.32 - Regulační obvod s měřením poruchy Přenos řízení v regulačním obvodu s měřením poruchy GW / Y
GS G R SS R Y 1 2 1 W 1 S1S 2 R1 1 GS GR
(2.88)
Přenos poruchy v regulačním obvodu s měřením poruchy GV / Y
Y S 2 S1S 2 R2 GSP GS GRP V 1 S1S 2 R1 1 GS G R
(2.89)
kde GS S1S 2 , GSP S 2 , GR R1 , GRP R2 Charakteristický polynom regulačního obvodu se připojením měření poruchové veličiny vůbec nezměnil. Stabilita regulačního obvodu proto zůstane stejná. Podstatně se však změní chování regulačního obvodu při změnách poruchové veličiny v a to v závislosti na přenosu poruchy GV/Y (2.89). Pokud se podaří nastavit přenos pomocného regulátoru (kompenzátoru) GRP tak, aby byl přenos poruchy nulový, tj. GV/Y = 0, tedy aby jeho čitatel byl nulový, pak se změny poruchové veličiny vůbec neprojeví změnami regulované veličiny y. Regulační obvod s touto vlastností je označován jako invariantní (neměnný) vzhledem k poruchové veličině v, což je z hlediska regulace velmi vhodná vlastnost. Z uvedeného vztahu (2.89) lze tedy odvodit přenos pomocného regulátoru GRP, tedy GRP
GSP S 1 2 GS S1S 2 S1
(2.90)
Docílení uvedeného přenosu pomocného regulátoru GRP činí většinou potíže, neboť ve větším množství případů nepůjde zajistit splnění podmínky fyzikální realizovatelnosti tohoto pomocného regulátoru. V těchto případech tedy bude možné zajistit pouze částečnou 142
invariantnost regulačního obvodu, tj. zajistit odstranění vlivu poruchy pouze v ustáleném stavu. Tedy pro spojité regulační obvody by platilo G RP lim G RP ( s) a pro diskrétní regulační s 0
obvody by platilo G RP lim G RP ( z ) . z 1
Regulační obvod pro kompenzaci dopravního zpoždění Regulované soustavy často obsahují dopravní zpoždění, které se projevuje tím, že odezvu regulované soustavy nezkresluje, ale o určitou dobu, která se rovná právě dopravnímu zpoždění, ji zpozdí. V tomto případě je možno využít např. regulační obvod pro kompenzaci dopravního zpoždění, který je znám také pod názvem Smithův prediktor a objevil se již v padesátých letech minulého století. V níže uvedeném schématu, je uvažováno, že druhá část
S2 regulované soustavy S reprezentuje dopravní zpoždění. Je přitom uvažováno, že rozdělení regulované soustavy na část S1 a S2 není fyzické, ale matematické. Dané zapojení obsahuje kromě regulátoru R také model regulované soustavy SM rozdělený na model bez dopravního zpoždění SM1 a model samotného dopravního zpoždění SM2 (výraz e –L.s) Ze schématu je zřejmé, že regulátor získává informaci o nezpožděné regulované veličině z modelu první části regulované soustavy bez dopravního zpoždění SM1, a tedy je možno jej seřizovat tak, jako by regulovaná soustava S dopravní zpoždění neobsahovala, tj. při jeho seřizování se bere v úvahu jen část S1. Je-li model regulované soustavy SM, tj. modely částí SM1 a SM2 adekvátní, tj. jeho přesnost odpovídá danému účelu, pak popisovaný rozvětvený obvod zajistí stejnou kvalitu regulačního pochodu, jako kdyby regulovaná soustava S neobsahovala dopravní zpoždění S2, přičemž se vždy projeví samotné zpoždění odezvy.
S
v w
e
R
u
S1
S2
y
SM SM1
SM2
Obrázek 2.33 - Regulační obvod pro kompenzaci dopravního zpoždění (Smithův prediktor)
Přenos řízení v regulačním obvodu pro kompenzaci dopravního zpoždění GW / Y
S1S 2 R Y W 1 S1S 2 R S M 1 R S M 1S M 2 R
(2.91)
143
Jestliže bude předpokládán shodný přenos modelu SM a skutečné řízené soustavy S, tj. S1 = SM1 a S2 = SM2, pak při detailnějším rozboru platí pro výsledný přenos řízení vztah GW / Y
G G e Ls S1S 2 R S1S 2 R Y R S W 1 S1S 2 R S M 1 R S M 1S M 2 R 1 S1S 2 R S1 R S1S 2 R 1 GS GR
(2.92)
kde GS S1 , S 2 e Ls ( L dopravní zpoždění), GR R Charakteristický polynom při použití tohoto rozvětveného obvodu (viz (2.92)) je stejný jako charakteristický polynom u jednoduchého (nerozvětveného) regulačního obvodu se soustavou bez dopravního zpoždění (viz (2.71)). V tomto případě se tedy jedná o úplnou kompenzaci dopravního zpoždění. Uvedené zapojení tedy umožňuje řídit systémy obsahující dopravní zpožděním (může být i velké). Pro úspěch regulace je však nutné, aby se model ve vnitřní smyčce shodoval se skutečně řízeným objektem. Samotné modelování členu dopravního zpoždění však přitom může způsobovat nemalé komplikace. Smithův prediktor má v teorii řízení obrovský význam a vedl k vytvoření celé oblasti regulačních systémů, tzv. Internal Model Controllers (IMC).
PŘÍKLAD Budeme uvažovat regulační obvod podle níže uvedeného obrázku. Pro zadané spojité přenosy regulované soustavy GS(s) a regulátoru GR(s) máme určit přenos řízení GW/Y(s), přenos poruchy GV/Y(s), odchylkový přenos řízení GW/E(s), odchylkový přenos poruchy GV/E(s) a dále pak také počáteční a koncové hodnoty signálů y (výstupní veličina) a e (regulační odchylka) v uzavřeném regulačním obvodu pro žádanou hodnotu ve tvaru jednotkového skoku, tj. w=1. V(s) W(s)
E(s) GR(s)
UR(s)
Zadaný přenos regulované soustavy: GS ( s )
3 s( s 2) 3
Zadaný přenos regulátoru:
GR ( s ) r0 r1s
(PD regulátor)
144
Y(s)
U(s) GS(s)
Určení přenosů Přenos otevřeného obvodu GO(s)
GO ( s ) GS ( s )G R ( s )
3(r0 r1s ) 3 ( ) r r s 0 1 s ( s 2) 3 s ( s 2) 3
Přenos řízení GW/Y(s) 3(r0 r1s ) GW / Y ( s )
3(r0 r1s ) s ( s 2) 3 3(r0 r1s ) s 4 6 s 3 12s 2 (3r1 8) s 3r0 1 s ( s 2) 3
GS ( s )GR ( s ) GO ( s ) Y (s) W ( s ) 1 GS ( s )GR ( s ) 1 GO ( s )
Přenos poruchy GV/Y(s) 3 GV / Y ( s )
GS ( s) GS ( s) Y (s) V ( s ) 1 GS ( s )G R ( s ) 1 GO ( s )
3 s ( s 2) 3 3(r0 r1 s ) s 4 6 s 3 12 s 2 (3r1 8) s 3r0 1 s ( s 2) 3
Odchylkový přenos řízení GW/E(s) GW / E ( s )
E (s) 1 1 W ( s ) 1 GS ( s )GR ( s ) 1 GO ( s )
1 s ( s 2) 3 4 3(r r s ) s 6 s 3 12 s 2 (3r1 8) s 3r0 1 0 13 s ( s 2)
Odchylkový přenos poruchy GV/E(s) 3 GS ( s ) GS ( s ) E ( s) 3 s( s 2) 3 GV / E ( s ) 4 3 2 3(r r s ) V ( s) 1 GS ( s )GR ( s ) 1 GO ( s) s 6s 12s (3r1 8) s 3r0 1 0 1 3 s ( s 2)
Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu
s 4 6 s 3 12 s 2 (3r1 8) s 3r0 0 obecně a 4 s 4 a3 s 3 a 2 s 2 a1 s a0 0 Součinitel a1 obsahuje konstantu regulátoru r1, součinitel a0 obsahuje konstantu regulátoru r0. Součinitelé a1 i a0 jsou ovlivnitelné seřízením regulátoru. Parametry r0, resp. r1 regulátoru je možno ovlivnit chování regulačního obvodu. Určení počátečních a koncových hodnot y(t), e(t) Budeme uvažovat w(t)=1, v(t) =0, pak
y (0) lim y (t ) lim s GW/Y ( s ) W ( s ) lim s t 0
lim
s
s
s
3(r0 r1 s )
s 4 6 s 3 12 s 2 (3r1 8) s 3r0 1 s 4 s 0
s 0
3
2
s 6 s 12 s (3r1 8) s 3r0
1 s4
y () lim y (t ) lim s GW/Y ( s ) W ( s ) lim s t
3(r0 r1 s ) 4
3
2
s 6 s 12 s (3r1 8) s 3r0
145
1 s
0 3(r0 r1 s )
4
1 3r0 1 s 3r0
e(0) lim e(t ) lim s GW/E ( s )W ( s ) lim s t 0
lim
s
s
s
s 4 6 s 3 12 s 2 8s
s ( s 2) 3 4
3
s 6 s 12 s (3r1 8) s 3r0 1 s4
s 4 6 s 3 12 s 2 (3r1 8) s 3r0 1 s 4
e() lim e(t ) lim s GW/E ( s ) W ( s ) lim s t
s 0
s 0
2
1 s
1 0 0 s 3r0
1 s ( s 2) 3
4
3
2
s 6 s 12 s (3r1 8) s 3r0
PŘÍKLAD Budeme uvažovat diskrétní regulační obvod podle níže uvedeného obrázku. Pro zadaný spojitý přenos regulované soustavy GS(s) a diskrétní přenos regulátoru GR(z) máme určit přenos řízení GW/Y(z), odchylkový přenos řízení GW/E(z) a dále pak také počáteční a koncové hodnoty signálů y (výstupní veličina) a e (regulační odchylka) v uzavřeném regulačním obvodu pro žádanou hodnotu ve tvaru jednotkové skoku, tj. w = 1, perioda vzorkování T = 2,5. W(z)
E(z)
U(z)
GR(z)
Y(z) GS(z)
Zadaný přenos regulované soustavy GS(s) GS (s)
0,2 s 0,2
Použitím vztahu (2.11) a slovníku Z-transformace získáme diskrétní přenos regulované soustavy GS(z) pro T = 2,5, tedy z 1 1 1 0,2 z 1 1 1 1 e 0, 2T GS ( z) Z L G S ( s) Z L z z s z e 0, 2T t kT s s 0,2 t kT
0,3935 Y ( z) 0,3935 z 1 z 0,6065 U ( z ) 1 0,6065 z 1
Regulátor GR(z) je uvažován ve tvaru GR ( z)
2 z 1 U ( z ) 2 z 1 z 1 E ( z ) 1 z 1
který je možno přepsat do obecného tvaru diskrétního PI regulátoru (PS regulátor), tedy T z G R ( z ) K P 1 1 T z I
kde K P 1, TI T
146
Určení přenosů Přenos otevřeného obvodu GO(z) GO ( z ) G R ( z )G S ( z)
2 z 1 0,3935 0,7870z 0,3935 0,7870z 1 0,3935z 2 2 z 1 z 0,6065 z 1,6065z 0,6065 1 1,6065z 1 0,6065z 2
Přenos řízení GW/Y(z) 0,7870 z 0,3935 GW / Y ( z )
0,7870 z 0,3935
2
2
z 1,6065 z 0,6065 z 1,6065 z 0,6065 2 0,7870 z 0,3935 z 0 , 8195 z 0 , 2130 1 2 z 1,6065 z 0,6065 z 2 1,6065 z 0,6065
GO ( z ) Y ( z) W ( z ) 1 GO ( z ) 0,7870 z 0,3935
z 2 0,8195 z 0,2130
0,7870 z 1 0,3935 z 2 1 0,8195 z 1 0,2130 z 2
Přenos odchylky GW/E(z) GW / E ( z )
1 E( z) W ( z ) 1 GO ( z )
1
1 0,7870 z 0,3935
z 2 1,6065 z 0,6065 z 2 0,8195 z 0,2130
z 2 1,6065 z 0,6065
1 1,6065 z 1 0,6065 z 2 1 0,8195 z 1 0,2130 z 2
Určení počátečních a koncových hodnot y(kT), e(kT) Budeme uvažovat w(kT)=1, v(kT) =0, pak y (0) lim Y ( z ) lim GW / Y ( z ) W ( z ) lim z
lim
z
z
0,7870 z 0,3935
z
0,787 z 2 0,3935 z z 3 1,82 z 2 1,033 z 0,2130
z z 0,8195 z 0,2130 z 1 2
lim
0,787 z 2 0,3935 z
z
z 3 1,82 z 2 1,033 z 0,2130 1 z 3
y () lim Y ( z ) ( z 1) lim GW / Y ( z ) W ( z ) ( z 1) lim z 1
lim
z 1
z 1
0,7870 z 0,3935 2
z 0,8195 z 0,2130
z 1
lim
z
lim
z 1
z ( z 1) z z 0,8195 z 0,2130 1 2
z 2 1,6065 z 0,6065
z z z 0,8195 z 0,2130 z 1
z
z 3 1,6065 z 2 0,6065 z
2
1 z3
z 3 1,82 z 2 1,033z 0,2130 1 z 3
1
e() lim E ( z ) ( z 1) lim GW / E ( z )W ( z ) ( z 1) lim z 1
0,7870 z 0,3935
0
z 1
e(0) lim E ( z ) lim GW / E ( z )W ( z ) lim z
1 z3
z 1
z 2 1,6065 z 0,6065 z 2 0,8195 z 0,2130
z 1
z0
147
z 2 1,6065 z 0,6065
z ( z 1) z 0,8195 z 0,2130 z 1 2
2.5 Stabilita systému a její kritéria Definice pro stabilitu dynamických systémů stanovil L. P. Ljapunov. Zabýval se její problematikou začátkem 20. století. Jeho definice jsou doposud platné pro tzv. vnitřní stabilitu nejen lineární, ale také pro nelineární systémy. Stabilitou dynamického systému se rozumí schopnost vrátit se po vyvedení z rovnovážného stavu (vychýlení) vlivem poruchy nebo změny hodnoty žádané veličiny do původního nebo jiného, ale opět rovnovážného stavu. Nový rovnovážný stav tedy nemusí být s původním rovnovážným stavem totožný. Stabilitu lineárních systémů je možno definovat i takto, tedy lineární systém je stabilní, pokud na omezený vstupní signál dostaneme omezený výstupní signál. Příkladem pro představu stability může být poloha (stav) kuličky v gravitačním poli.
na hranici stability
stabilní
nestabilní
Obrázek 2.34 - Grafické znázornění stability - kulička v gravitačním poli
Definice stability u spojitých a diskrétních systémů Spojité systémy
Diskrétní systémy
Spojitý systém je stabilní, leží-li všechny Diskrétní systém je stabilní, leží-li všechny póly systému (kořeny si jeho charakteristické póly systému (kořeny zi jeho charakteristické rovnice) v levé polorovině Gaussovy roviny rovnice) uvnitř jednotkové kružnice v rovině (rovina „s“), tj. pokud platí
Re si 0 ;
i 1,2, , n
„z“, tj. pokud platí
což je nutná a postačující podmínka stability. Nutnou
podmínkou
stability
zi 1 ;
(2.93)
i 1,2, , n
(2.94)
což je nutná a postačující podmínka stability.
spojitých
systémů je, aby všechny koeficienty jeho charakteristického polynomu (jmenovatele jeho přenosu) měly stejné znaménko a žádný z nich nebyl roven 0. 148
a)
b)
Im
stabilní oblast
Im
nestabilní oblast
-1
j
nestabilní oblast
stabilní oblast
1 Re
Re
mez stability
mez stability
-j
Obrázek 2.35 - Stabilita spojitých systémů (a) a diskrétních systémů (b) Podle polohy kořenů zi v rovině „z“ můžeme usuzovat na odezvu regulačního pochodu, stejně tak jako je možno předpokládat odezvu regulačního pochodu u spojitých systémů podle kořenů si v rovině „s“. Přehled o vlastnostech regulačního pochodu v závislosti na poloze kořenů je uvedený v níže uvedené tabulce (viz Tabulka 2.9). Tabulka 2.9 - Poloha kořenů charakteristické rovnice V rovině „s“ u spojitého systému
V rovině „z“ u diskrétního systému
v levé polorovině
uvnitř jednotkové kružnice stabilní
v pravé polorovině
vně jednotkové kružnice
V časové oblasti
nestabilní
na reálné ose v intervalu 0 < z < 1
stabilní aperiodický (nekmitavý)
v intervalu -1 < z < 0
stabilní kmitavý
na kladné reálné ose
na kladné reálné ose vně jednotkové kružnice
nestabilní aperiodický (nekmitavý)
komplexně sdružené v levé polorovině
komplexně sdružené uvnitř kmitavý tlumený jednotkové kružnice
na imaginární ose
na jednotkové kružnici
na mezi stability
komplexně sdružené v pravé polorovině
komplexně sdružené a na záporné reálné ose vně jednotkové kružnice
netlumený kmitavý
na záporné reálné ose
149
y(t)
5
4
1 - nestabilní aperiodický systém
1 2
2 - nestabilní kmitavý systém 3 - systém na hranici stability
3
4 - stabilní kmitavý systém 5 - stabilní aperiodický systém
t
Obrázek 2.36 - Průběhy systémů z hlediska stability Podmínka stability pro lineární spojité systémy (2.93) a podmínka pro lineární diskrétní systémy (2.94) spolu přímo souvisejí. Mezi komplexními proměnnými „z“ a „s“ platí následující vztah (tzv. logaritmická transformace)
z e sT , resp. s
1 ln( z ) T
(2.95)
kde T je perioda vzorkování. Platí proto také z i e siT a podmínka zápornosti reálné části kořenů si (2.93) je shodná s podmínkou na velikost absolutní hodnoty | zi | menší než jednotkovou (2.94). Hranici stability u spojitého systému tvoří imaginární osa, u diskrétního systému jednotková kružnice. Na vztah (2.95) je možno pohlížet jako na zobrazení, kterým se zobrazuje rovina „z“ na pás j
V 2
j
T
v rovině „s“.
Úseku A1 A2 na imaginární ose „s“ roviny odpovídá jednotková kružnice v rovině „z“. Rovnoběžným úsekům B1 B2 atd. o vzájemných vzdálenostech /T odpovídají soustředěné kružnice o poloměrech e-, e-2 atd. Rovnoběžkám s reálnou osou roviny „s“ odpovídají polopaprsky vycházející z počátku souřadnic roviny „z“. Bodu - na záporné reálné ose roviny „s“ odpovídá začátek souřadnic roviny „z“. Vnitřku jednotkové kružnice v rovině „z“ odpovídá pás v levé polorovině „s“, vnějšku jednotkové kružnice odpovídá pás v pravé polorovině „s“.
150
a)
b)
Im B1 s2
j
V 2
j
s1
T
A2
Im
Rovina "z"
Rovina "s"
Nestabilní oblast Re s>0
s3 B2
Mez stability Re s=0
Stabilní oblast Re s<0
A1
j
-1 z2
Re
B1=B2
=1
|z|<1
A1=A2
2 T
Nestabilní oblast
z1
z3 Stabilní oblast
-j
j V j T 2
|z|>1 +1
Re Mez stability
|z|=1
Obrázek 2.37 - Stabilní a nestabilní oblast pro kořeny charakteristické rovnice spojitého systému (a) a diskrétního systému (b) Pro posouzení stability systému je nutno znát rozložení kořenů charakteristické rovnice a podle jejich polohy rozhodnout o stabilitě. V případě, že vyřešení kořenů je složité (v případě vyšších řádů charakteristické rovnice) je možné jejich přímé řešení obejít a stabilitu určit použitím různých kritérií stability a to jak diskrétních tak i spojitých. Kritéria stability umožní tedy rozhodnout o stabilitě dynamického systému bez výpočtu jeho pólů, tj. kořenů jmenovatele přenosu.
2.5.1 Kritéria stability Rozeznáváme tzv. algebraická a geometrická kritéria. Algebraická kritéria se nedají použít při vyšetřování stability systémů s dopravním zpožděním, určují v podstatě jen zda systém je nebo není stabilní. Metody frekvenčních kritérií jsou oproti algebraickým pracnější, neurčují však pouze stav stability, ale poskytují též informace o míře stability (např. i pro systémy s dopravním zpožděním).
Spojitá kritéria stability U spojitých kritérií stability budou popsány níže uvedené čtyři kritéria stability. Algebraická kritéria (Routh-Shurovo kritérium, Hurwitzovo kritérium) Geometrická (frekvenční) kritéria (Michajlovo-Leonhardovo kritétrium, Nyquistovo kritérium)
151
Routh-Shurovo kritérium Toto kritérium vychází z Hornerova schématu a jednoduchou redukcí stanovuje bez vyčíslení kořenů charakteristického polynomu F ( s ) f n s n f n1 s n1 f1 s f 0 , zda tyto leží ve stabilní oblasti, tj. v levé části komplexní roviny. Postup při použití kriteria: koeficienty charakteristického polynomu napíšeme vedle sebe a to od nejvyšší mocniny do nejnižší mocniny tuto posloupnost koeficientů rozdělíme na část sudou a lichou (např. tak, že každý sudý koeficient podtrhneme) každý sudý koeficient násobíme podílem prvních dvou koeficientů vynásobených hodnotou -1 a napíšeme pod předcházející řadu posunutou o jeden koeficient vlevo tuto novou řadu koeficientů přičteme k předcházející řadě koeficientů jsou-li všechny koeficienty v nové posloupnosti kladné, opakujeme postup, čímž se zkrátí počet koeficientů o jeden člen jakmile se při některé redukci objeví některý koeficient záporný, skončíme výpočet, neboť lze učinit závěr, že charakteristický polynom má nestabilní kořen dospějeme-li postupnou redukcí až k řadě tří kladných koeficientů, můžeme učinit závěr, že charakteristický polynom má všechny kořeny ve stabilní oblasti Výše popsaný postup lze znázornit následujícím schématem fn 0
f n1 fn f n1
f n2
f n1 f n1
fn f n1
f n2
f n 3
f n 3 fn f n1
f n 3
f f n5 n f n1
f n4 fn f n1
f n 5
f n4
f n 3
fn f n1
f n 5
f n 5
f2
f1
f0
0
Systém je stabilní, jestliže všechny poslední tři koeficienty v Routh-Schurově redukci, při splnění výše uvedeného postupu, jsou kladné. Výhodou Routh-Schurova kritéria stability je, že je vhodné i pro vyšetřování stability charakteristických polynomů vyšších řádů (stupňů). 152
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě systémů zadaných charakteristickými polynomy, pomocí RouthSchurova kritéria stability. 1) F ( s ) s 3 2 s 2 2 s 40 1 1 0
2
2
40
2
20 18
40
1 2 systém je nestabilní
2) F ( s ) s 4 3s 3 3s 2 6 s 1 1
3
1 0
3
6
1
1 3
3
2 3 3
1
6 3
1
0
1
3
1
systém je stabilní
3) F ( s ) s 4 2,5s 3 1,5s 2 2 s 4 1
2,5
1 0
2
4
1 0,4 2,5
0,7
2
4
0,7
14,29 12,29
2,5 0,7
4
1,5 0,8
2,5 2,5 0
systém je nestabilní
Hurwitzovo kritérium Při určování stability systému pomocí Hurwitzova kritéria budeme opět vycházet z charakteristického polynomu F(s), tedy F ( s ) f n s n f n1 s n1 f1 s f 0 . Samotné schéma kritéria vychází z Hurwitzovy matice, v níž se počítají všechny subdeterminanty Hi odpovídající hlavním minorům matice H. Hurwitzova matice má tvar f n1 f n H 0 0 0
f n 3
f n 5
0
f n2 f n1 fn 0
f n4 f n 3 f n2 0
0 0 0 f2
0 0 0 0 f 0
H n x n
153
(2.96)
Systém je stabilní, jestliže všechny subdeterminanty Hi sestavené z Hurwitzova determinantu určeného z Hurwitzovy matice jsou větší jak nula. Pokud Hn-1 = 0, systém je na hranici stability - systém má 2 čistě imaginární kořeny.
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě systémů zadaných charakteristickými polynomy, pomocí Hurwitzova kritéria stability. 1) F ( s ) s 3 2 s 2 2 s 40 2 40
0
H 1
2
0
0
2
40
H2
2 40 1
2
4 40 36
H1 2
systém je nestabilní protože subdeterminant H2 je záporný 2) F ( s ) s 4 2,5s 3 1,5s 2 2 s 2
H
H3
2,5
2
0
0
1
1,5
2
0
0 0
2,5 2 0 1 1,5 2
2,5
2
0
1
1,5
0
2,5 2
2 7,5 12,5 4 9
H2
2,5 2 3,75 2 1,75 1 1,5
systém je nestabilní protože subdeterminant H3 je záporný 3) F ( s ) s 4 2 s 3 3s 2 s 1 2 1 0 0 H
1 3 1 0 0 2 1 0 0 1 3 1
2 1 0 H3 1 3 1 6 4 1 1 0 2 1
H2
2 1 6 1 5 1 3
systém je stabilní 154
H1 2
H 1 2,5
Michajlovovo-Leonhardovo kritérium O stabilitě systému se rozhoduje z průběhu tzv. Michajlovovy křivky F(j), kterou dostaneme dosazením komplexního kmitočtu j za komplexní proměnnou „s“ do charakteristického polynomu F(s) (jmenovatele přenosu systému), tedy F ( s ) f n s n f n1 s n1 f1 s f 0 , pro 0, .
F ( j ) F ( s ) s j f n ( j ) n f n 1 ( j ) n 1 ... f1 f 0 U ( ) jV ( )
(2.97)
kde
U ( ) f 0 f 2 2 f 4 4 ... a V ( ) f1 f 3 3 f 5 5 ... Im
= ∞ (pro n = 1) =0 0
=∞
Im
=0 0
Re mez stability
=∞ = ∞ (n = 4)
Re
=∞ =∞
stabilní
nestabilní
Obrázek 2.38 - Průběhy Michajlovových křivek pro různé případy Systém je stabilní, pokud Michajlovova křivka začíná na kladné reálné ose a prochází v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček) kolem počátku komplexní roviny, tj. [ 0, j0 ] tolika kvadranty, kolikátého stupně je charakteristický polynom.
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě zadaného systému s charakteristickým polynomem F(s), pomocí Michajlovova-Leonhardova kritéria
F ( s ) s 4 3s 3 2s 2 4 s 0,3
F ( j ) F ( s )
s j
( j ) 4 3( j ) 3 2( j ) 2 4 j 0,3 4 3 j 3 2 2 4 j 0,3
U jV kde
U ( ) 4 2 2 0,3 V ( ) 3 3 4 155
Určení průběhu (Michajlovovy křivky) je dále řešeno pro 0, , tedy - průsečíky s reálnou osou, tj. V ( ) 0 3 3 4 0 1 0
U 1 0,3
2,3
U 2 0,59
4 2 1,15 3 3
U 3 0,59
- průsečíky s imaginární osou, tj. U 0
4 2 2 0,3 0
r 2
r 2 2 z 0,3 0 r1, 2
r 1,836 2 4 1,2 , tedy 1 r2 0,163 2
1, 2 1,36 3, 4 0,4 V (1, 2 ) 2,1
V ( 3, 4 ) 1,41
Po určení průsečíků s imaginární a reálnou osou a s ohledem na omezení 0, je průběh Michajlovovy křivky zobrazený na níže uvedeném obrázku. Im 1
= 1,15
=0 1
-1
Re
-1 -2
= 1,36 Obrázek 2.39 - Michajlovova křivka pro zadaný polynom Z výše uvedeného průběhu Michajlovovy křivky je zřejmé, že tato začíná na kladné reálné ose a v kladném smyslu obchází bod [ 0, j0 ], přičemž prochází postupně čtyřmi kvadranty. Charakteristický polynom zadaného systému je také čtvrtého řádu systém je stabilní.
MATLAB Vykreslení Michajlovovy křivky
PŘÍKLAD Máme určit stabilitu zadaného systému s charakteristickým polynomem F(s), pomocí Michajlovova-Lenhardova kritéria. 156
F ( s ) s 4 3s 3 2s 2 4s 0,3 tedy F ( j ) F ( s )
s j
F ( j ) ( j ) 4 3( j ) 3 2( j ) 2 4( j ) (0,3) ( ) 4 3( j ) 3 2( ) 2 4( j ) (0,3) U ( ) jV ( ) kde s...komplexní proměnná; ...frekvence >> w=0:0.02:1.5; >> F=(j*w).^4+3*(j*w).^3+2*(j*w).^2+4*(j*w)+0.3; >> x=real(F); >> y=imag(F); >> plot(x,y) 2 1
Im
0 -1 -2 -3 -4 -1
-0.5
0 Re
0.5
1
Z uvedeného průběhu Michajlovovy křivky je zřejmé, že zadaný systém je stabilní.
Nyquistovo kritérium Nyquistovo kritérium se poněkud od předchozích odlišuje a dává odpověď na jinou otázku. Jeho význam je však obrovský. Nyquistovo kritérium stability umožňuje ověřovat stabilitu uzavřeného obvodu na základě frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu. E(s)
GR(s)
U(s)
GS(s)
Y(s) E(s)
GR(s)
U(s)
GS(s)
w b) otevřený regulační obvod
a) uzavřený regulační obvod
Obrázek 2.40 - Schéma regulačních obvodů u Nyquistova kritéria stability
157
Y(s)
Im GO(j) =0
Im GO(j)
n=3 stabilní =0
=0 =0 =0 -1
kritický bod (-1, j0)
Re GO(j)
-1
n=2
na mezi stability stabilní
Re GO(j)
n=1
=0
nestabilní
Obrázek 2.41 - Průběhy amplitudovo-fázové frekvenční charakteristiky (Nyquistovy charakteristiky) otevřeného regulačního obvodu GO(j) v komplexní rovině pro stabilní proporcionální systémy a pro integrační systémy řádu n = 1, 2, 3 Je-li otevřený obvod stabilní, pak uzavřený regulační obvod bude stabilní, když amplitudovo-fázová
frekvenční
charakteristika
otevřeného
regulačního
obvodu
(Nyquistova křivka) neobklopuje kritický bod [-1, j0]. Jedná se o zjednodušenou verzi Nyquistova kritéria.
POZNÁMKA Je-li otevřený regulační obvod nestabilní a má-li jeho jmenovatel (charakteristický polynom) celkem „p“ nestabilních kořenů, pak uzavřený obvod bude stabilní, když amplitudovo-fázová frekvenční charakteristika otevřeného obvodu GO(j) (Nyquistova křivka) obklopí kritický bod [-1, j0] p/2 krát v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček), přičemž jedno obklopení je 2. Jedná se o zobecnělou verzi Nyquistova kritéria. Z hlediska Nyquistova kritéria nejsou považovány kořeny charakteristického polynomu otevřeného regulačního obvodu GO(s) ležící na imaginární ose za nestabilní. Bod komplexní roviny [-1, j0] je kritickým bodem zpětnovazebního obvodu, protože jmenovatel přenosu řízení, čili charakteristický polynom tohoto přenosu, tj. 1+GS(s)GR(s), nabývá nuly právě pro hodnotu GS(s)GR(s) = -1. Výhodou Nyquistova kritéria je to, že ho lze přímo aplikovat i na systémy s dopravním zpožděním. 158
Zobecnělou verzi Nyquistova kritéria lze demonstrovat na zadaném příkladu, tj. bude uvažováno, že přenos otevřeného obvodu GO (s) je ve tvaru
GO ( s ) G S ( s ) G R ( s )
1 6 6 s 1,5 s 1,5
což představuje nestabilní otevřený obvod, neboť kořen jmenovatele tohoto přenosu, tj. pól = 1,5. Z průběhu amplitudovo-fázové frekvenční charakteristiky zadaného otevřeného obvodu GO(j) (Nyquistovy křivky) lze ověřit, že pro daný přenos otevřeného obvodu je splněna podmínka zobecnělého Nyquistova kritéria, tj. že Nyquistova křivka obklopí bod [-1, j0] p/2 krát (nestabilní pól p je jeden, tj. 1/2 krát) v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček), tedy o hodnotu π, což odpovídá 180º. Platí tedy, že po uzavření obvodu se zadaný otevřený obvod stabilizuje. Im
-1
-4
=∞ 0
=0
Re
GO(j) Uvedený závěr lze ověřit také přímo s využitím přenosu řízení GW/Y (s), konkrétně výpočtem kořenů jmenovatele tohoto přenosu, tzn. určením kořenů charakteristického polynomu uzavřeného obvodu, tedy
GW / Y ( s )
GO ( s ) 6 1 GO ( s ) s 4,5
Z přenosu řízení je zřejmé, že se zadaný nestabilní otevřený obvod (kořen jmenovatele přenosu otevřeného obvodu je 1,5) po uzavření stabilizuje, neboť uzavřený regulační obvod je stabilní (kořen jmenovatele přenosu řízení je -4,5).
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě uzavřeného obvodu, přičemž je znám přenos soustavy GS(s) a přenos regulátoru GR(s), díky nimž lze určit přenos otevřeného obvodu GO(s). 159
2 2 s 1,5s 0,75s 0,125 s 0,53
přenos soustavy:
GS ( s)
přenos regulátoru:
G R ( s ) 0,25
3
2
Určení přenosu otevřeného obvodu
GO ( s )
2 3
2
s 1,5s 0,75s 0,125
0,25
0,5
s 0,53
trojnásobný pól s1,2,3 = -0,5
tedy frekvenční přenos stabilní otevřené smyčky bude
GO ( s )
s j
0,5 ( j 0,5) 3 (0,5 j ) 1 (0,5 j ) 1 (0,5 j ) 1 0,5 ( j 0,5) (0,5 j ) ( j 0,5) (0,5 j ) ( j 0,5) (0,5 j ) G O ( j )
0,5
0,5 j 0,5 j 0,5 j (0,5 j ) 3 0 , 5 0,25 2 0,25 2 0,25 2 (0,25 2 ) 3
0,0625 0,375 j 0,75 2 0,5 j 3 P( ) jQ ( ) (0,25 2 ) 3
kde
P( )
0,0625 0,75 2 (0,25 2 ) 3
Q( )
0,5 3 0,375 (0,25 2 ) 3
Dosazením za dostaneme průběh Nyquistovy křivky, ze které určíme stabilitu uzavřeného obvodu pro stabilní otevřený regulační obvod s trojnásobným pólem -0,5. 0.5 0 -0.5
Im
-1 -1.5 -2 -2.5 -3
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Re
2
2.5
3
Obrázek 2.42 - Nyquistova křivka pro daný přenos 160
3.5
4
Z výše uvedeného přenosu GO(s) je zřejmé, že otevřený regulační obvod je stabilní, neboť charakteristický polynom otevřeného regulačního obvodu má trojnásobný stabilní pól a Nyquistova křivka otevřeného regulačního obvodu neobklopuje kritický bod [-1, j0] uzavřený regulační obvod pro zadanou regulovanou soustavu a regulátor je také stabilní.
MATLAB Vykreslení Nyquistovy křivky nyquist(cit,jm) cit - polynom čitatele přenosu otevřeného obvodu, jm - polynom jmenovatele přenosu otevřeného obvodu
PŘÍKLAD Máme určit stabilitu uzavřeného obvodu, jestliže známe přenos otevřeného obvodu, pomocí Nyquistova kritéria.
GO ( s )
0,5 s 1,5s 0,75s 0,125 3
2
tedy GO ( j ) GO ( s )
G O ( j )
s j
0,5 ( j ) 1,5( j ) 2 0,75 j 0,125 3
kde s...komplexní proměnná; ...frekvence >> >> >> >> >>
w=0:0.01:5; Go=0.5./((j*w).^3+1.5*(j*w).^2+0.75*j*w+0.125); x=real(Go); y=imag(Go); plot(x,y) 0.5 0 -0.5
Im
-1 -1.5 -2 -2.5 -3
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Re
2
2.5
161
3
3.5
4
Jiný (rychlejší) způsob zobrazení Nyquistovy křivky je možné provést s využitím funkce "nyquist" >> nyquist([0.5],[1 1.5 0.75 0.125]);
Z výše uvedeného průběhu Nyquistovy křivky je zřejmé, že uzavřený obvod je stabilní.
Kritéria stability pro diskrétní systémy Určení stability diskrétních systémů pomocí kritérií stability je možno řešit následujícími způsoby pomocí bilineární transformace (2.98) přetransformovat stabilní oblast jednotkového kruhu na zápornou polorovinu komplexní roviny „w“ a použít kritéria stability pro spojité systémy použitím diskrétních kritérií stability Použití kritérií známých ze spojitých systémů Vzhledem k tomu, že pro řešení stability spojitých systémů byla definována řada kritérií, byla snaha o možnost využití těchto kritérií i pro diskrétní systémy. Poněvadž kořeny charakteristické rovnice stabilního spojitého systému leží v levé polorovině roviny „s“, a diskrétního systému uvnitř jednotkové kružnice, bylo podmínkou pro použití kritérií pro spojité systémy i pro diskrétní najít transformační vztah, který by oblast stability z roviny „z“ transformoval do levé poloroviny nové roviny „w“ (viz níže uvedený obrázek). Tomuto požadavku vyhovuje např. bilineární transformace (viz kapitola 2.1.6), která je definována následujícím vztahem
z
w 1 w 1
(2.98)
nestabilní oblast
-1
Im
j
Im
z z
stabilní oblast
w 1 w 1
stabilní oblast
nestabilní oblast
1 Re
mez stability
w
Re
w -j
z 1 z 1
Obrázek 2.43 - Bilineární transformace 162
mez stability
Uvažujme charakteristický polynom F(z) uzavřeného regulačního obvodu (jmenovatel přenosu řízení) ve tvaru
F ( z ) f n z n f n1 z n1 f1 z f 0
(2.99)
pro posouzení stability je třeba vyšetřovat kořeny polynomu F(z) F ( z) 0
(2.100)
který bilineární transformací převedeme do tvaru F ( w) 0
(2.101)
V rovině „w“ poté na tuto rovnici aplikujeme některé známé kritéria pro spojité systémy, např. frekvenční, např. Routh-Schurovo kritérium, Hurwitzovo kritérium, příp. MichajlovoLeonhardovo kritérium.
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě diskrétních systémů s charakteristickými polynomy, obsahující komplexní proměnnou „z“, pomocí vybraných kritérií stability s využitím bilineární transformace. 1) F ( z ) z 2 0,8 z 0,2 Transformace z roviny „z“ do roviny „w“ se provede dosazením vztahu pro bilineární transformaci do zadaného polynomu, resp. rovnice F(z) = 0, na tvar F(w) = 0, dostaneme tedy 2
w 1 w 1 0,2 0 0,8 w 1 w 1
( w 1) 2
( w 1) 2 0,8( w 1)( w 1) 0,2( w 1) 2 0 w 2 2 w 1 0,8w 2 0,8 0,2 w 2 0,4 w 0,2 0 0,4 w 2 1,6 w 2 0 Transformovaný charakteristický polynom je 2. stupně a má všechny koeficienty kladné kořeny tohoto polynomu budou mít záporné reálné části a systém je stabilní.
2) F ( z ) z 3 1,261z 2 0,479 z 0,018 Transformace z roviny „z“ do roviny „w“ se provede dosazením vztahu pro bilineární transformaci do zadaného charakteristického polynomu F(z) , resp. rovnice F(z) = 0, na tvar F(w) = 0, dostaneme tedy
163
3
2
w 1 w 1 w 1 0,018 0 0,479 1,261 w 1 w 1 w 1
( w 1) 3
( w 1) 3 1,261( w 1) 2 ( w 1) 0,479( w 1)( w 1) 2 0,018( w 1) 3 0 w 3 3w 2 3w 1 1,261w 3 1,261w 2 1,261w 1,261 0,479w 3 0,479w 2 0,479w 0,479 0,018w 3 0,054w 2 0,054w 0,018 0 0,201w 3 1,315w 2 3,727 w 2,757 0 Z transformovaného polynomu F(w), resp. rovnice F(w) = 0 je zřejmé, že systém může být stabilní, neboť je splněna nutná podmínka stability (polynom F(w) má kladné koeficienty). Pro určení stability je možno využít spojitých algebraických kritérií stability, např. Hurwitzovo kritérium stability a Routh-Schurovo kritérium stability. Transformovaný charakteristický polynom F(w) je ve tvaru
F ( w) 0,201w 3 1,315 w 2 3,727 w 2,757
Hurwitzovo kritérium stability Hurwitzova matice
0 1,315 2,757 H 0,201 3,727 0 0 1,315 2,757 Hurwitzovy subdeterminanty
H 1 1,315 0 H2
1,315 2,757 0,201 3,727
1,315 3,727 0,201 2,757 4,347 0
Všechny Hurwitzovy subdeterminanty, tj. H1 i H2 jsou větší než 0 systém je stabilní.
Routh-Shurovo kritérium stability
0,201
1,315
0,201 0
3,727
0,201 0,315
2,757
0,4214 1,315
3,306
2,757
Poslední 3 koeficienty zredukovaného transformovaného charakteristického polynomu jsou kladné systém je stabilní.
164
Diskrétní kritéria stability U diskrétních kritérií stability budou popsány dvě vybraná kritéria stability, přičemž jedno kritérium vychází z charakteristického polynomu v kladných mocninách z a druhé z charakteristického polynomu v záporných mocninách z. Kritérium Při určení stability vyjdeme z charakteristického polynomu F(z), který budeme uvažovat ve tvaru
F ( z ) f n z n f1 z f 0
(2.102)
kde fi pro i = 0, 1, 2, …, n jsou reálné koeficienty. Charakteristický polynom n-tého řádu F(z) má všechny kořeny stabilní tehdy, platí-li
fn f0
(2.103)
a kořeny rovnice (n-1) řádu
F1 ( z )
1 1 f n F ( z) f 0 F z n z z
(2.104)
leží všechny uvnitř jednotkové kružnice. Opakovaným postupem, tzn. postupnou redukcí charakteristického polynomu F(z), dojdeme až k polynomu prvního řádu, jehož kořen lze již snadno vypočítat. Pro výpočet koeficientů fi1 polynomu F1(z) (první redukce polynomu F(z))
F1 ( z ) f n11 z n1 f n12 z n2 f11 z f 01
(2.105)
přitom platí
f n11i f n f ni f 0 f i
(2.106)
kde i = 0, 1, 2, …, n-1. Další redukované polynomy, tj. F2(z), F3(z), …, Fn-1(z) se určují obdobným způsobem jak je naznačeno výše, tzn., že hodnoty nového redukovaného polynomu se určují z koeficientů předchozího redukovaného polynomu, přičemž platí, že u každého nového (redukovaného) polynomu (není nutné u n-1 redukovaného polynomu), je potřeba ověřit podmínku f n f 0 , přičemž fn a f0 jsou vždy koeficienty nového (redukovaného) polynomu. Pokud po jakékoliv redukci předchozího polynomu na nový polynom nebude splněna uvedená podmínka, znamená to, že systém popsaný zadanou charakteristickou rovnicí bude nestabilní.
PŘÍKLAD Pomocí uvedeného kritéria máme určit stabilitu systému s charakteristickým polynomem F(z)
F ( z ) f 3 z 3 f 2 z 2 f1 z f 0 z 3 0,8 z 2 0,6 z 0,1 165
Kontrola podmínky pro zadaný charakteristický polynom F(z)
fn f0
f3 f0
1 0,1
Uvedená podmínka je splněna, můžeme tedy provést redukci charakteristického polynomu třetího stupně F(z) na charakteristický polynom druhého stupně F1(z). n 3, f n11i f n f n i f 0 f i i 0 : f 3110 f 3 f 30 f 0 f 0 f 21 f 3 f 3 f 0 f 0 1 1 (0,1) (0,1) 0,99 i 1:
f 3111 f 3 f 31 f 0 f1 f11 f 3 f 2 f 0 f1 1 (0,8) (0,1) 0,6 0,74
i 2 : f 311 2 f 3 f 3 2 f 0 f 2 f 01 f 3 f1 f 0 f 2 1 0,6 (0,1) (0,8) 0,52
Nový (redukovaný) charakteristický polynom F1(z) má tvar F1 ( z ) 0,99 z 2 0,74 z 0,52 f 21 z 2 f11 z f 01 stupeň nového charakteristického polynomu
F1(z) je n = 2 Opět provedeme kontrolu pro nový (redukovaný) charakteristický polynom F1(z), tj. charakteristický polynom s novými koeficienty, tedy f n1 f 01
f 21 f 01
0,99 0,1
Výše uvedená podmínka je opět splněna, můžeme tedy provést redukci charakteristického polynomu druhého stupně F1(z) na charakteristický polynom prvního stupně F2(z). n 2, f n21i f n1 f n1i f 01 f i1 i 0 : f 2210 f 21 f 210 f 01a 10 f12 f 21 f 21 f 01 f 01 0,99 0,99 0,52 0,52 0,7097 i 1:
f 2211 f 21 f 211 f 01 f11 f 02 f 21 f11 f 01 f11 0,99 (0,74) 0,52 (0,74) 0,3478
Výše určené koeficienty tvoří redukovaný charakteristický polynom F2(z), tedy
F2 ( z ) 0,7097 z 0,3478 f12 z f 02 stupeň nového charakteristického polynomu F2(z) je n = 1 Poslední (redukovaný) charakteristický polynom F2(z) již není třeba dále redukovat, jelikož je prvního řádu a jsme schopni jednoduše určit kořen tohoto charakteristického polynomu, tedy
0,7097 z 0,3478 0 z
0,3478 0,49 0,7097
Kořen redukovaného polynomu prvního stupně F2(z) je stabilní (leží uvnitř jednotkové kružnice). Z uvedeného postupu vyplývá, že zadaný systém je stabilní, neboť platí, že charakteristické polynomy, tj. jak původní charakteristický polynom F(z), tak i redukovaný charakteristický polynom F1(z) splňují podmínku f n f 0 a dále pak, že kořen posledního redukovaného charakteristického polynomu F2(z) leží uvnitř jednotkové kružnice. 166
Test stability polynomů podle Nekolného Při určení stability vyjdeme z charakteristického polynomu F(z), přičemž jej budeme uvažovat v záporných mocninách z (pseudocharakteristický polynom), tedy
F ( z ) f 0 f1 z 1 f 2 z 2 f n2 z ( n2) f n1 z ( n1) f n z n
(2.107)
kde fi pro i = 0, 1, 2, …, n jsou reálné koeficienty. Další postup při určování stability podle popisovaného kritéria je takový, že si sestavíme následující schéma. f0
f1
f n 1
fn
fn
f n 1
f1
f0
f 01
f11
a 1n 1
0
f n11
f n1 2
f 01
f 02
0
f 0n 1
f12 n 1 f1
f1n 1
f 0n 1
f 0n
0
r0
r1
fn f0 f n11
rn 1
(2.108)
f 01
f1n 1 f 0n 1
První řádek je tvořen koeficienty charakteristického polynomu F(z) v záporných mocninách z. Sudé řádky vzniknou prohozením koeficientů předchozích lichých řádků. Liché řádky vzniknou sečtením předchozích dvou řádků, z nichž sudý řádek je násobený koeficientem ri, kde i = 0, 1, 2, …, n-1. Každý lichý řádek je alespoň o jeden člen kratší než předchozí lichý řádek, tzn. je prováděna postupná redukce zadaného polynomu. Redukci provádíme n kroků až v posledním řádku zbude jediný koeficient f 0n . Systém s charakteristickým polynomem bude stabilní, pokud je splněna následující podmínka
ri 1
(2.109)
kde i = 0, 1, 2, …, n-1.
PŘÍKLAD Pomocí testu stability polynomů podle Nekolného máme určit stabilitu systému s charakteristickým polynomem F(z), který je zadán ve tvaru
F ( z ) 1 0,8 z 1 0,6 z 2 0,1z 3 167
Schéma řešení
1
0,8
0,6
0,6
0,8
0,1 0,99
0,74
0,52
0,52
0,74
0,99
0,717 0,352 0,352 0,544
0,1 1
r0
0,1 0,1 1
0,1 1
r1
0,52 0,525 0,99
0,525 1
r2
0,352 0,491 0,717
0,491 1
0
0
0,717 0
Z uvedeného postupu vyplývá, že zadaný charakteristický polynom F(z) v záporných mocninách z je stabilní, neboť je splněna podmínka ri < 1 pro i = 0, 1, 2.
2.5.2 Vybrané příklady na určení stability systému V této kapitole jsou uvedeny neřešené příklady na určení stability systému.
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě spojitých systémů s charakteristickými polynomy, pomocí spojitých algebraických kritérií stability, tj. Routhova-Schurova kritéria stability nebo Hurwitzova kritéria stability. 1) F ( s ) s 6 3s 5 5s 4 12 s 3 6 s 2 9 s 1 2) F ( s ) 2 s 4 s 3 s 2 s 1 3) F ( s ) 0,02 s 4 0,5s 3 4 s 2 10 s 10
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě spojitých systémů s charakteristickými polynomy, pomocí spojitých frekvenčních (geometrických) kritérií stability, tj. Michajlovova-Leonhardova kritéria nebo Nyquistova kritéria. Pro Michajlovovo-Leonhardovo kritérium jsou uvažovány následující charakteristické polynomy 1) F ( s ) s 3 3s 2 3s 9 2) F ( s ) s 3 2s 2 2s 40
168
Pro Nyquistovo kritérium jsou uvažovány následující přenosy otevřeného obvodu GO(s) 1) GO ( s )
1 1 s 1,5s 0,75s 0,125 s 0,53
2) GO ( s )
1,5 1,5 s 1,5s 0,75s 0,125 s 0,53
3) GO ( s )
7 s 5s 8s 6
3
2
3
3
2
2
PŘÍKLAD Máme rozhodnout o stabilitě zadaných diskrétních systémů s charakteristickými polynomy, pomocí vybraných kritérií stability. 1) F ( z ) z 3 1,104 z 2 0,406 z 0,05 2) F ( z ) z 4 2,04 z 3 1,51z 2 0,473 z 0,05 3) F ( z ) z 3 1,86 z 2 1,13 z 0,22 4) F ( z ) z 3 1,7 z 2 1,4 z 0,4
2.6 Typy řízených systémů Řízený systém (regulovaná soustava) je zařízení nebo jeho část, na kterém se provádí regulace a v němž se ovlivňuje regulovaná veličina. Jedná se tedy o jeden dynamický (řízený) člen v regulačním obvodu. Vstupní veličinou je akční veličina u(t) a výstupní veličinou je regulovaná veličina y(t). Většina soustav má tu vlastnost, že se po skokové změně akční veličiny regulovaná veličina sama ustálí na nové hodnotě. Takové soustavy se nazývají
proporcionální (statické) na rozdíl od integračních (astatických), u nichž se po skokové změně akční veličiny regulovaná veličina mění trvale.
Proporcionální regulované soustavy Mají tu vlastnost, že po vychýlení z rovnovážného stavu jsou schopny vždy dosáhnout nového rovnovážného stavu bez působení (připojení) dalšího členu do obvodu, tj. regulátoru, za předpokladu stabilních pólů.
169
Dynamické vlastnosti proporcionální regulované soustavy se setrvačností n-tého řádu lze vyjádřit diferenciální rovnicí
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmu(m) (t) bm1u(m1) (t) b1u(t) b0u(t)
m n (2.110)
resp. přenosem
Y ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 b0 (1 s 1 )(1 s 2 ) (1 s m ) GS ( s ) U ( s ) an s n an 1s n 1 a1s a0 a0 (1 sT1 )(1 sT1 ) (1 sTn )
(2.111)
kde u(t) je vstupní veličina, y(t) je výstupní veličinu, b0…bm a a0…an jsou koeficienty dané regulované soustavy, Ti a τi jsou časové konstanty jmenovatele a čitatele, poměr b0/a0 představuje zesílení regulované soustavy. Při řešení jsou uvažovány nulové počáteční podmínky. V tabulce (viz Tabulka 2.10) jsou proporcionální regulované soustavy seřazeny podle řádu jejich setrvačnosti. Jsou uvedeny jejich diferenciální rovnice, přenosy, přechodové charakteristiky, Nyquistovy křivky (frekvenční charakteristiky v komplexní rovině) včetně příkladů regulovaných soustav. Integrační regulované soustavy Integrační regulované soustavy nemají na rozdíl od proporcionálních soustav samoregulační schopnost. Po vyvedení soustavy z rovnovážného stavu se výstupní signál po odeznění přechodového děje mění konstantní rychlostí, za předpokladu stabilních pólů. Vyplývá to např. ze skutečnosti, že člen a0 diferenciální rovnice je roven 0. Dynamické vlastnosti integrační regulované soustavy se setrvačností lze pak vyjádřit diferenciální rovnicí ve tvaru
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) bmu(m) (t) bm1u(m1) (t) b1u(t) b0u(t) m n
(2.112)
resp. přenosem
Y ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 b0 (1 s 1 )(1 s 2 ) (1 s m ) GS ( s ) U (s) a1 s (1 sT1 )(1 sT1 ) (1 sTn 1 ) an s n an 1s n 1 a1s
(2.113)
kde u(t) je vstupní veličina, y(t) je výstupní veličinu, b0…bm a a1…an jsou koeficienty dané regulované soustavy, Ti a τi jsou časové konstanty jmenovatele a čitatele, poměr b0/a1 představuje tzv. statický činitel rychlosti regulované soustavy. Při řešení jsou uvažovány nulové počáteční podmínky. V rovnici (2.113) je uveden jeden pól rovnající se nule, jedná se o tzv. regulovanou soustavu s astatismem 1. řádu. Daná rovnice však může obsahovat i více než jeden pól rovnající se nule, počet nulových pólů pak udává řád (stupeň) astatismu. V tabulce (viz Tabulka 2.11) jsou integrační regulované soustavy seřazeny podle řádu jejich setrvačnosti. Jsou uvedeny jejich diferenciální rovnice, přenosy, přechodové charakteristiky, Nyquistovy křivky (frekvenční charakteristiky v komplexní rovině) včetně příkladů regulovaných soustav. 170
Tabulka 2.10 - Proporcionální regulované soustavy
se setrvačností 0. řádu - ideální proporcionální RS (bezkapacitní)
RS*)
Popis Příklad RS
Diferenciální rovnice a0 y(t ) b0u (t )
R=y
V=u
Přenos
GS (s)
b0 k a0
R
V
Krátké potrubí při regulaci tlaku Skokovým otevřením ventilu V dojde ke zvětšení tlaku vody v krátkém potrubí téměř okamžitě, a to tím dříve, čím kratší je vzdálenost mezi ventilem a snímačem tlaku. Při malých vzdálenostech je kapacita potrubí mezi ventilem a snímačem prakticky zanedbatelná. Díky čemuž má zvětšení tlaku za následek okamžité zvětšení výtokové rychlosti R.
Nyquistova křivka
Přechodová charakteristika
Re
0
y k 0
0
k
Im Im
tt
Diferenciální rovnice a1 y(t ) a0 y(t ) b0u (t )
Příklad RS ∆QP=u
H=y
QP
Přenos
b0 k H QO a1 s a0 Ts 1 kde k = b0/a0 = 1/s0, kde s0 je tzv. činitel Nádrž s volným odtokem kapaliny Zvýšení přítoku o ∆QP se v nádrži projeví autoregulace (samoregulace).
se setrvačností 1. řádu (jednokapacitní)
GS (s)
stoupáním hladiny H a současně i zvyšováním odtoku QO, který je na výšce hladiny závislý. Rychlost zvyšování hladiny, při daném ∆QP je přitom závislá na kapacitě nádrže, tj. na objemu nádrže. Po určité době se odtok vyrovná s přítokem a hladina se ustálí na nové hodnotě. Samoregulační schopnost spočívá v tom, že zvyšování výšky hladiny v nádrži vyvolá i zvyšování výtokové rychlosti.
Nyquistova křivka
Přechodová charakteristika
Re Re
0
y
Im Im
ω=∞
ω=0
k 0
ω=1/T 0
T
ω
tt
k
171
RS*)
Popis Diferenciální rovnice a2 y(t ) a1 y(t ) a0 y(t ) b0u (t )
Příklad RS ∆Q=u T=y
G S 1 ( s)
b0 2
a 2 s a1 s a 0
k (T1 s 1)(T2 s 1) voda
nebo b0 2
a 2 s a1 s a 0
k 2 2
T0 s 2T0 s 1
se setrvačností 2. řádu (dvoukapacitní)
G S 2 (s)
Výměník tepla při regulaci teploty U soustav 2. řádu je charakteristické, že se regulovaná veličina po změně vstupní veličiny nebo při působení poruchy nemění okamžitě, ale s určitou setrvačností, např. regulace teploty u výměníku tepla. Při zvýšení přítoku páry ∆Q dojde nejprve k prostupu tepla stěnou trubky a teprve potom k ohřívání a pozvolnému růstu teploty ohřívaného média (vody). Kapacitami, které způsobují setrvačnost mezi změnou množství páry a změnou teploty vody, jsou přitom materiál stěn parních trubek a objem (množství) vody v nádrži.
Nyquistova křivka
Přechodová charakteristika 2
yy
T
Q
Přenos
ω=∞ 00
ω=0
Im Im
1 0 *)
k
Re
ω
2
1 ω
tt
k
RS - regulovaná soustava
POZNÁMKA Regulované soustavy se setrvačností vyšších řádů mohou také vzniknout zařazením soustav nižších řádů do série. Tedy např. regulovaná soustava se setrvačností 2. řádu, může vzniknout sériovým zapojením dvou regulovaných soustav prvního řádu, tzn., že vstupem takové složené regulované soustavy je výstup z první regulované soustavy 1. řádu a výstupem složené regulované soustavy je pak výstup z druhé regulované soustavy 1. řádu. Soustavy vyšších řádů jsou hlavně proporcionální (statické) soustavy tepelné, jako např. plynové pece při regulaci teploty, …
172
Tabulka 2.11 - Integrační regulované soustavy RS*)
Popis Příklad RS
se setrvačností 0. řádu - ideální integrační RS
Diferenciální rovnice a1 y(t ) b0u (t )
QO
Přenos
b 1 c GS ( s ) 0 S a1 s s kde cS je tzv. statický činitel rychlosti.
QP H=y ∆QP=u
H
Nádrž s nuceným odběrem kapaliny Zvýšení přítoku o ∆QP se v nádrži projeví zvýšením hladiny H, přičemž výška hladiny bude trvale růst, neboť množství kapaliny dopravované čerpadlem je na výšce hladiny nezávislé.
Přechodová charakteristika
Nyquistova křivka Re Re
0
y
Im ω=∞ Im
ω
cS 0
ω=0
t
1
Diferenciální rovnice a2 y(t ) a1 y(t ) b0u (t )
Příklad RS y
Přenos
se setrvačností 1. řádu
GS ( s )
b0 cS s (a2 s a1 ) s (Ts 1)
u
Letadlo při redukci kurzu Těchto typů soustav je menší množství. Chovají se tak např. letadla a lodi při regulaci jejich kurzu.
Přechodová charakteristika
Nyquistova křivka
y
Re Re
ω=∞
cST 0 *)
0
T
1
Im Im
ω
cS
ω=0
tt
RS - regulovaná soustava 173
cST
Regulované soustavy s neminimální fází Přenos některých regulovaných soustav může obsahovat kladné nuly (kladné kořeny čitatele daného přenosu). Tato vlastnost se projeví v průběhu přechodové charakteristiky, která v počátku přechodového děje má výchylku na nesprávnou stranu. Příkladem takového systému může být např. chování vodní turbíny s delším přívodním potrubím (viz Obrázek 2.44). Při přivírání regulačního orgánu dojde vlivem setrvačnosti vody v přiváděcím potrubí ke zvýšení průtokové rychlosti a tedy v počátku přechodového děje i ke zvýšení úhlové rychlosti turbíny. a)
b) y
n=y RO=u
0
RO
k
t
u
n
0
-1
t
Obrázek 2.44 - Chování vodní turbíny s delším přívodním potrubím a) principiální schéma; b) přechodová charakteristika Přenos odpovídající neminimálně fázové regulované soustavě (viz Obrázek 2.44) je přitom ve tvaru
GS ( s )
b0 b1s 1 1s Y (s) k U ( s ) a2 s 2 a1s a0 (1 T1s )(1 T2 s )
(2.114)
Regulovaná soustava s neminimální fází (neminimálně fázový systém) je taková, která má ve svém přenosu alespoň jednu kladnou nulu (kořen čitatele je v pravé polorovině roviny kořenů "s"). Patří sem i regulované soustavy s dopravním zpožděním a s nestabilními póly. Pokud by byl upraven výše uvedený přenos do tvaru, kde by znaménko v čitateli bylo kladné, jednalo by se již o fázově minimální regulovanou soustavu. Zmíněné regulované soustavy, tj. fázově neminimální regulovaná soustava a fázově minimální regulovaná soustava by měly stejnou logaritmicko amplitudovou frekvenční charakteristiku, lišily by se jen v logaritmicko fázových frekvenčních charakteristikách.
POZNÁMKA Nestabilní regulovanou soustavou je regulovaná soustav, která má alespoň jeden pól (kořen jmenovatele přenosu) v pravé polorovině kořenů "s". 174
Regulované soustavy s dopravním zpožděním Mimo výše uvedených vlastností regulovaných soustav, mohou obsahovat regulované soustavy dopravní zpoždění L, které se projeví tak, že výstupní veličina začne reagovat na změnu vstupní veličiny až po určitém čase. Dynamické vlastnosti regulované soustavy s dopravním zpožděním obecně se setrvačností n-tého řádu lze vyjádřit diferenciální rovnicí n
m
ai y (i ) (t ) b j u ( j ) (t L) i 0
(2.115)
j 0
resp. přenosem m
GS ( s )
Y (s) U (s)
bjs j j 0 n
ai s i
e sL
b0 (1 s 1 )(1 s 2 )(1 s m ) sL e a0 (1 sT1 )(1 sT1 )(1 sTn )
(2.116)
i 0
kde u(t) je vstupní veličina, y(t) je výstupní veličinu, b0…bm a a0…an jsou koeficienty dané regulované soustavy, Ti a τi jsou časové konstanty jmenovatele a čitatele, poměr b0/a0 představuje zesílení regulované soustavy k a L je dopravní zpoždění. Při řešení jsou uvažovány nulové počáteční podmínky. Dopravní zpoždění L se může vyskytnout např. při dopravě média na dlouhou vzdálenost, přičemž samotné zpoždění závisí na dopravované vzdálenosti a rychlosti dopravovaného média. Regulovanou soustavou s dopravním zpožděním (viz Obrázek 2.45) může být např. dlouhé potrubí při regulaci teploty, příp. výšky hladiny zásobníku, doprava materiálu pomocí pásového dopravníku, atd. a) QP
b) y
u H=y l [m] L [s] -1
v [m.s ]
∆QP=u
k
l [ m]
0
v [m.s 1 ]
t
L u(t)
u
u(t-L) 1
H
QO
0
t
Obrázek 2.45 - Příklad regulované soustavy s dopravním zpožděním a) principiální schéma; b) přechodová charakteristika Z výše uvedeného obrázku je zřejmé, že v časové oblasti se dopravní zpoždění projeví pouze posunem výstupního signálu přechodové charakteristiky o hodnotu L, tvar dané charakteristiky přitom zůstává stejný jako v případě bez dopravního zpoždění. 175
Tabulka 2.12 - Regulované soustavy s dopravním zpožděním
0. řádu 1. řádu 0. řádu
Diferenciální rovnice a přenos a0 y(t ) b0u(t L) b GS ( s ) 0 e Ls k e Ls a0
a1 y(t ) a0 y(t ) b0u(t L) b0 k GS ( s ) e Ls e Ls a1s a0 Ts 1
a1 y(t ) b0u(t L) b GS ( s ) 0 e Ls cS e Ls a1
a2 y(t ) a1 y(t ) b0u(t L)
1. řádu
integrační se setrvačností
proporcionální se setrvačností
Soustava
Přechodová char.
Im
y k 0 L
cS e Ls s (Ts 1)
ω=0, ω=2πk/L
Re Im
y
k
ω=∞
k 0 L
k
t
ω=0
Re
t
T
Im
y
ω=∞
cS 0 L
Re t
1
ω=0
Im
y
ω=∞
b0 GS ( s ) e Ls 2 a2 s a1s
Nyquistova křivka
Re
cS 0 L
T
1
t
cS.T
2.7 Identifikace řízených systémů Mnohdy nemusí být znám přenos regulované soustavy (řízeného systému), proto je ho třeba nejprve získat, aby bylo možné provést analýzu nebo syntézu regulačního obvodu. Jedním ze způsobů jak získat parametry regulované soustavy je aproximace přechodové charakteristiky řízeného systému nějakým vhodným modelem (přenosem). Identifikace přechodové charakteristiky je jednoduchá, neboť přechodová charakteristika se měří snadno, tzn. objekt se uvede do ustáleného stavu a poté je vstupní veličina změněna skokem na jinou hodnotu. Časový průběh výstupní veličiny přepočítaný na jednotkovou změnu vstupní veličiny je přechodovou charakteristikou. Při identifikaci je předpokládáno, že průběhy přechodových charakteristik jsou filtrovány, či jinak vhodně upraveny, aby případné šumy nezkreslovaly výsledek identifikace.
POZNÁMKA Mimo metod vycházejících z grafického určování parametrů regulovaných soustav z přechodových charakteristik je možno využít k určení těchto parametrů i numerické metody (gradientní metoda, Gauss-Newtonova metoda, ...). 176
2.7.1 Graficko-početní
metody
identifikace
přechodových
charakteristik
řízených systémů Aproximace soustavou prvního řádu Aproximace soustavou 1. řádu bez dopravního zpoždění Soustavou prvního řádu bez dopravního zpoždění lze s dostatečnou přesností aproximovat jen takové přechodové charakteristiky, u kterých je tzv. prodleva v okolí bodu t = 0 velmi malá, viz obrázek níže. Soustavu 1.řádu lze popsat diferenciální rovnicí
a1 y´ (t ) a0 y (t ) b0u (t ), resp. Ty´ (t ) y (t ) u (t )
(2.117)
kde T=a1/a0 je časová konstanta soustavy a k=b0/a0 je zesílení soustavy a přenosem
G ( s )=
k Ts+1
(2.118)
y(t)
yA y(tA)
0
ymax(t)
A
tA
t
Obrázek 2.46 - Přechodová charakteristika soustavy prvního řádu bez dopravního zpoždění Zesílení k se určí ze vztahu
k=
Δy max (t ) y ( ) y (0) = Δu (t ) Δu (t )
(2.119)
Pokud vstupní veličina u(t) = 1 a y(0)=0, potom ustálená hodnota výstupní veličiny je pro t→∞ rovna y(∞) = k. Časová konstanta T se může určit tak, že na experimentálně získané přechodové charakteristice zvolíme bod A se souřadnicemi tA, yA, přičemž pro čas odpovídající zvolenému bodu A je možné dopočítat hodnotu yA ze vztahu t A y A ymax 1 e T
(2.120)
177
Časová konstanta T se určí ze vztahu
T
tA
(2.121)
yA ln1 y max
Aproximace soustavou 1. řádu s dopravním zpožděním Diferenciální rovnicí statické soustavy 1. řádu s dopravním zpožděním zapíšeme ve tvaru Ty´ (t ) y (t ) k u (t L)
(2.122)
její přenos je G(s)
k e L s Ts 1
a)
b)
bez zpoždění
y(t)
y(t) y(tB)
B
ymax(t) se zpožděním 0
L
y(tA) 0
t
ymax(t)
A
L tA
tB
t
Obrázek 2.47 - Přechodová charakteristika soustavy prvního řádu s dopravním zpožděním (a), Aproximace přechodové charakteristiky vyššího řádu charakteristikou prvního řádu s dopravním zpožděním (b) Je-li jeden kořen charakteristické rovnice soustavy vyššího řádu podstatně menší než ostatní kořeny,
je
tvar
příslušné
přechodové
charakteristiky
podobný
tvaru
přechodové
charakteristiky soustavy prvního řádu s dopravním zpožděním. K výpočtu konstant T, L je potřebné vhodně zvolit na experimentálně získané charakteristice dva body A a B, jimiž bude aproximační charakteristika procházet. Je účelné volit jeden bod před inflexním bodem, aby aproximační křivka v pokud možno nejširším rozsahu dobře odpovídala dané charakteristice (viz výše uvedený obrázek). Pro zvolené body musí platit t L A y A ymax 1 e T t L B y B ymax 1 e T
(2.123)
178
Zesílení k je dáno vztahem
k=
ymax (t ) y ( ) y (0) = u (t ) u (t )
(2.124)
Dopravní zpoždění L se určí ze vztahu
yA t B ln1 y max L yA ln1 y max
yB t A ln1 y max yB ln1 y max
(2.125)
Časová konstanta T se určí se vztahu
T
L tA
(2.126)
yA ln1 y max
PŘÍKLAD Pomocí aproximace soustavou 1. řádu s dopravním zpožděním máme určit z naměřené přechodové charakteristiky přenos soustavy G(s), přičemž je uvažováno, že vstupní signál Δu(t) = 1 .
Obrázek 2.48 - Zadaný průběh přechodové charakteristiky 2. řádu pro aproximaci soustavou 1. řádu s dopravním zpožděním
179
V tomto případě budeme aproximovat data přechodové charakteristiky proporcionálního členu se setrvačností druhého nebo vyššího řádu soustavou prvního řádu s dopravním zpožděním. K výpočtu konstant T a L je potřebné vhodně zvolit na experimentálně získané charakteristice dva body A a B, jimiž bude aproximační charakteristika procházet. Je účelné volit jeden bod před inflexním bodem, aby aproximační křivka v pokud možno nejširším rozsahu dobře odpovídala dané charakteristice.
B
A
yB y(tB)
yA y(tA)
tA
tB
Obrázek 2.49 - Volba bodů na přechodové charakteristice soustavy druhého řádu pro aproximaci soustavou 1.řádu s dopravním zpožděním Z průběhu přechodové charakteristiky byly určeny následující data
t A 10,4, y A 0,66, t B 22,8, y B 1,4 Dopravní zpoždění L
y y 0,66 1,4 t B ln1 A t A ln1 B 22,8 ln1 10,4 ln1 y t y t 2 2 4,22 L 0,66 1,4 yA yB ln1 ln1 ln1 ln1 2 2 y t y t Časová konstanta T
T
L tA 4,22 10,4 15,432 0,66 yA ln1 ln1 2 y t ( ) 180
Zesílení k
k=
y max y ( ) y (0) 2 = 2 u (t ) u (t ) 1
Výsledný (aproximovaný) přenos
G ( s)
k 2 e L s e 4, 22 s Ts 1 15,432 s 1
původní charakteristika aproximace charakteristiky
Obrázek 2.50 - Srovnání původní přechodové charakteristiky 2.řádu a jí odpovídající aproximované přechodové charakteristiky 1.řádu s dopravním zpožděním
Aproximace proporcionálních soustav vyšších řádů Přechodová charakteristika proporcionální soustavy vyššího řádu, jejíž charakteristická rovnice nemá komplexně sdružené kořeny (tj. nemá členy schopné vlastních kmitů), je znázorněna na dále uvedeném obrázku. Z jejího tvaru nelze přesně určit ani řád (stupeň), ani parametry soustavy. Proto se používají přibližné metody, pomocí nichž se určují pouze aproximační přenosy soustavy. Tyto metody se liší volbou aproximačního přenosu.
181
Soustavy vyššího řádu lze popsat obecnou diferenciální rovnicí
a n y ( n ) a n1 y ( n1) ... a 2 y a1 y a 0 bm u ( m ) bm1u ( m1) ... b2 u b1u b0 (2.127) a přenosem
G ( s)
bm s m bm1 s m1 ... b2 s 2 b1 s b0 n
a n s a n1 s
n 1
2
... a 2 s a1 s a0
Y ( s) U ( s)
, mn
(2.128)
y(t) Tm
tin
y max (t ) y() y(0)
Qin yin
u Tu
t
Tn
Obrázek 2.51 - Přechodová charakteristika soustavy vyššího řádu Jednou z nejjednodušších metod a prakticky snadno použitelných metod aproximace přechodových charakteristik pro proporcionální soustavy navrhl V. Strejc. Je vhodná pro objekty, které můžeme považovat za proporcionální soustavy. Předpokládáme přitom, že kořeny charakteristické rovnice jsou reálné a záporné. Metoda umožňuje aproximovat naměřená data soustavami n-tého řádu se stejnými časovými konstantami, nebo soustavami druhého řádu s různě velkými časovými konstantami. O způsobu aproximace se rozhodne podle úseků, které vytíná na časové ose tečna, sestrojená v inflexním bodě aproximované přechodové charakteristiky, resp. podle poměru u = Tu/Tn, přičemž úsek Tu je doba průtahu a úsek Tn je doba náběhu. Nejprve sestrojíme tečnu v inflexním bodě přechodové charakteristiky a určíme dobu náběhu Tu a průtahu Tn. Jejich poměrem určíme hodnotu u
u
Tu Tn
(2.129)
Na základě hodnoty u je možné rozhodnout, zda se jedná o soustavu se stejnými nebo různými časovými konstantami.
182
Aproximace soustavou druhého řádu Pro poměr u < 0,104 zvolíme pro aproximaci soustavu druhého řádu s různými časovými konstantami, tedy aproximujeme přechodovou charakteristiku přenosem G(s)
k (T1 s 1)(T2 s 1)
(2.130)
Postup pro stanovení koeficientů přenosu soustavy 1) Určení zesílení k
k
y max (t ) y () y (0) u (t ) u (t )
(2.131)
2) Pro pořadnici y(t1) = 0,72·Δymax(t) odečteme z grafu přechodové charakteristiky časový úsek t1 (blíže viz Obrázek 2.55 v dále uvedeném příkladu) a vypočteme součet časových konstant
T1 T2
t1 1,2564
(2.132)
3) Vypočítáme časový úsek t2
t 2 0,3574 (T1 T2 )
(2.133)
a z naměřené přechodové charakteristiky odečteme příslušnou pořadnici y(t2) 4) Z grafu závislosti y(t2)/ymax(t) = f() (viz níže) určíme poměr časových konstant T1 a T2
T2 T1
y (t 2 ) y max (t )
(2.134)
0.3
0.25
y (t 2 ) 1 0,3574(1 ) 0,3574 1 e e k2y=0.3574 1 1 max (t )
(1 )
0.2
0.15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Obrázek 2.52 - Graf pro určení časových konstant T1, T2 183
Aproximace soustavou n-tého řádu se stejnými časovými konstantami Pro poměr u ≥ 0,104 zvolíme pro aproximaci soustavu n-tého řádu se stejnými časovými konstantami, tedy aproximujeme přechodovou charakteristiku přenosem k (Ts 1) n
G (s)
(2.135)
Postup pro stanovení koeficientu přenosu soustavy 1) Určení zesílení k
k
y max (t ) y () y (0) u (t ) u (t )
(2.136)
2) Z poměru u určíme z níže uvedené tabulky nejbližší vyšší řád n aproximační soustavy 3) Z níže uvedené tabulky také stanovíme pro určený řád aproximačního přenosu hodnoty Tn/T, Tu/T, tin/T, ze kterých určíme průměrnou hledanou časovou konstantu T. Tabulka 2.13 - Hodnoty pro vyhodnocování statických soustav n-tého řádu se stejnými časovými konstantami n
Tu / Tn
yin / Δymax(t)
Tm / Tn
Tn / T
Tu / T
tin / T
1
0
0
1
1
0
0
2
0,104
0,264
0,736
2,718
0,282
1
3
0,218
0,323
0,677
3,695
0,805
2
4
0,319
0,353
0,647
4,463
1,425
3
5
0,410
0,371
0,629
5,119
2,100
4
6
0,493
0,384
0,616
5,699
2,811
5
7
0,570
0,394
0,606
6,226
3,549
6
8
0,642
0,401
0,599
6,711
4,307
7
9
0,709
0,407
0,593
7,164
5,081
8
10
0,773
0,413
0,587
7,590
5,869
9
PŘÍKLAD Pomocí aproximace proporcionální soustavou druhého nebo vyššího řádu bez dopravního zpoždění máme určit z naměřené přechodové charakteristiky přenos soustavy G(s). Bude uvažována aproximace přechodové charakteristiky podle Strejcovy metody a dále Δu(t) = 1. 184
1) Určení přenosu soustavy G(s) pro zadanou přechodovou charakteristiku systému druhého nebo vyššího řádu - zadání č. 1.
Obrázek 2.53 - Zadaný průběh přechodové charakteristiky č.1 pro aproximaci soustavou druhého nebo vyššího řádu Nejprve je třeba určit hodnoty Tu a Tn pro stanovení poměru u a rozhodnout tak jaká aproximace bude použita.
tin
Qin
yin
Tm Tu
Tn
Obrázek 2.54 - Určení inflexního bodu a hodnot Tu a Tn pro průběh přechodové charakteristiky č.1 185
Z průběhu přechodové charakteristiky byly určeny následující data
Tu 2,258, Tn 25,935, t in 8,2, yin 0,457 Poměr u bude tedy
u
Tu 2,258 0,087 Tn 25,935
Jelikož poměr u < 0,104 bude dále uvažována aproximace přechodové charakteristiky na přenos G(s)
k (T1 s 1)(T2 s 1)
Z přechodové charakteristiky tedy odečteme pro y(t1)=0,72.Δymax(t) hodnotu t1, tedy y(t1)=0,72.Δymax(t) = 0,72.2=1,44 t1=25 Součet časových konstant T1 + T2
T1 T2
t1 25 19,898 1,2564 1,2564
Jestliže známe součet časových konstant, vypočteme hodnotu t2
t 2 0,3574 (T1 T2 ) 0,3574 19,898 7,112 Pro tuto vypočtenou hodnotu t2 odečteme příslušnou pořadnici přechodové charakteristiky
y (t 2 ) 0,382
y(t1)
y(t2) t2
t1
Obrázek 2.55 - Odečtení hodnoty t1 a y(t2) pro průběh přechodové charakteristiky č.1 186
Z grafu pro y(t2)/ymax(t) = f() (viz Obrázek 2.52) odečteme hodnotu , přičemž y(t2)/ymax(t) = 0,382/2 = 0,191
T2 0,32 T1
Časové konstanty určíme z poměru a součtu časových konstant T1 + T2, tedy
T1 15,074, T2 4,824 Zesílení k určíme podle vztahu
k
y max (t ) y () y (0) 2 2 u (t ) u (t ) 1
Výsledný (aproximovaný) přenos
G ( s)
k k (T1 s 1)(T2 s 1) (15,074 s 1)(4,824 s 1)
původní charakteristika aproximace charakteristiky
Obrázek 2.56 - Srovnání původní přechodové charakteristiky č.1 a jí odpovídající aproximované přechodové charakteristiky 2. řádu s různými časovými konstantami
187
2) Určení přenosu soustavy G(s) pro zadanou přechodovou charakteristiku systému druhého nebo vyššího řádu - zadání č. 2.
Obrázek 2.57 - Zadaný průběh přechodové charakteristiky č.2 pro aproximaci soustavou druhého nebo vyššího řádu Nejprve je třeba určit hodnoty Tu a Tn pro stanovení poměru u a rozhodnout tak jaká aproximace bude použita.
tin
Qin yin
Tm Tu
Tn
Obrázek 2.58 - Určení inflexního bodu a hodnot Tu a Tn pro průběh přechodové charakteristiky č.2 188
Z průběhu přechodové charakteristiky byly určeny následující data
Tu 11,856, Tn 56,079, t in 30, yin 0,647 Poměr u bude tedy
u
Tu 11,856 0,211 Tn 56,079
Jelikož poměr u ≥ 0,104 bude dále uvažována aproximace přechodové charakteristiky na přenos G (s)
k (Ts 1) n
Z poměru u určíme z tabulky (viz Tabulka 2.13) nejbližší řád n aproximačního přenosu, tedy n=3 Z tabulky (viz Tabulka 2.13) dále stanovíme pro určený 3. řád aproximačního přenosu následující hodnoty
Tu 0,805 T
T
Tu 11,856 14,728 0,805 0,805
Tn 3,695 T
T
Tn 56,079 15,177 3,695 3,695
t in 2 T
T
t in 15 2
Výslednou časovou konstantu určíme jako průměr z vypočtených časových konstant T ze tří výše uvedených vztahů, tedy T (14,728 15,177 15) / 3 14,97 Zesílení k určíme podle vztahu
k
y max (t ) y () y (0) 2 2 u (t ) u (t ) 1
Výsledný (aproximovaný) přenos G (s)
k (Ts 1)
n
2 (14,97 s 1) 3
189
původní charakteristika aproximace charakteristiky
Obrázek 2.59 - Srovnání původní přechodové charakteristiky č.2 a jí odpovídající aproximované přechodové charakteristiky 4. řádu se stejnými časovými konstantami
Aproximace kmitavého členu druhého řádu Má-li soustava dva akumulátory energie, jsou její dynamické vlastnosti popsány systémem druhého řádu. Nastává-li v této soustavě přelévání energie z jednoho akumulátoru do druhého (jako např. v elektrickém RLC obvodu), potom je její přechodová charakteristika kmitavá (periodická). Kmitavou soustavu 2.řádu lze popsat diferenciální rovnicí
a 2 y´´ a1 y´ a 0 y b0 u , resp. T 2 y´´ 2 ξ T y´ y k u
(2.137)
kde T 2 = a2/a0 2ξT = a1/a0, přičemž T je časová konstanta soustavy a ξ je koeficient poměrného tlumení v intervalu 0 < ξ < 1, k = b0/a0 je zesílení soustavy Přenos kmitavého systému
G(s)
k
(2.138)
T 2 s 2 2 T s 1
Grafické znázornění přechodové charakteristiky pro ξ < 1 a k = 1, přičemž pro tento je uvažováno Δymax(t) = 1, Δu(t) = 1, je znázorněno na dále uvedeném obrázku
190
T0
y(t)
σm 1
σm-1 ξ(0;1)
0
t
Obrázek 2.60 - Přechodová charakteristika kmitavého členu Zesílení k je dáno vztahem
k=
ymax (t ) y ( ) y (0) = u (t ) u (t )
(2.139)
Konstanty T a ξ určíme pomocí naměřené přechodové charakteristiky, ze které odečteme maximální překmit σm, překmit v následující půlperiodě σm-1 a dobu kmitu T0. Koeficient poměrného tlumení ξ
ln m m 1 2 ln m m 1
(2.140)
2
Časová konstanta
T
T0 1 2 2
(2.141)
Jelikož překmit σm, pro ξ<1 můžeme určit z rovnice
m e
1 2
(2.142)
Koeficient tlumení ξ je možno přímo určit z níže uvedené tabulky Tabulka 2.14 - Hodnoty maximálního překmitu σm v závislosti na koeficientu tlumení ξ ξ σ [%]
0 100
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 72,92 52,66 37,23 25,38 16,30
191
0,6 9,48
0,7 4,60
0,8 1,52
0,9 0,15
1 0
PŘÍKLAD Pomocí aproximace kmitavým systémem máme určit z naměřené přechodové charakteristiky přenos soustavy G(s), přičemž je uvažováno, že vstupní signál Δu(t)=1.
Obrázek 2.61 - Zadaný průběh kmitavé přechodové charakteristiky Z průběhu na výše uvedeném obrázku je zřejmé, že se jedná o stabilní kmitavý průběh. Z níže uvedeného obrázku se odečtou hodnoty, tj. T0, σm a σm-1.
T0 σm
σm-1
Obrázek 2.62 - Určení hodnot T0, σm a σm-1 pro kmitavý průběh přechodové charakteristiky 192
Z průběhu přechodové charakteristiky byly určeny následující data
m 0,912, m 1 0,416, T0 26,7 Koeficient poměrného tlumení ξ ln
m m 1
2 ln m m 1
2
0,912 ln 0,416 0,912 3,14 2 ln 0,416
2
0,242
Časová konstanta T T
T0 1 2 26,4 1 0,242 2 4,077 2 2 3,14
Zesílení k k
y max (t ) y () y (0) 2 2 u (t ) u (t ) 1
Výsledný (aproximovaný) přenos G (s)
k 2 2 2 2 2 T s 2 T s 1 4,077 s 2 0,242 4,077 s 1 16,62 s 1,973s 1 2 2
původní charakteristika aproximace charakteristiky
Obrázek 2.63 - Srovnání původní přechodové charakteristiky a jí odpovídající aproximované kmitavé přechodové charakteristiky 2. řádu
193
Aproximace integrační soustavy vyššího řádu Integrační soustavy s astatismem prvního řádu můžeme aproximovat přenosem G (s)
kv s (Ts 1) n
(2.143)
kde kv je směrnice asymptoty k přechodové charakteristice, T je časová (setrvačná) konstanta Přechodová charakteristika integrační (astatické) soustavy s astatismem prvního řádu je zobrazena na níže uvedeném obrázku. y(t)
y(t)
α
y(t1) 0
t1
t
t
Obrázek 2.64 - Přechodová charakteristika astatické soustavy Pro konstanty aproximační soustavy platí y (t 1 ) n n 1 n t1 e ( n 1)! kv
(2.144)
přičemž platí t1 nT
(2.145)
k v tg ( )
y (t ) u (t )
(2.146)
Poměr f (n) y (t1 ) /(k v t1 ) je funkcí pouze n a můžeme jej využívat na určení řádu soustavy podle níže uvedené tabulky. Časovou konstantu T určíme ze vztahu t1 nT . Tabulka 2.15 - Tabulka hodnot pro vyhodnocování integračních soustav n
1
2
3
4
5
6
y (t1 ) k v t1
0,368
0,271
0,224
0,195
0,175
0,16
194
PŘÍKLAD Pomocí výše uvedeného způsobu aproximace máme určit z níže uvedené přechodové charakteristiky přenos soustavy G(s), přičemž je uvažováno, že vstupní signál Δu(t) = 1.
Obrázek 2.65 - Zadaný průběh integrační přechodové charakteristiky Z průběhu přechodové charakteristiky nejprve určíme požadované parametry, tj. t1 a y(t1).
y(t)
t1 y(t1)
α t
Obrázek 2.66 - Určení hodnot t1 a y(t1) pro průběh přechodové charakteristiky integračního členu 195
Z průběhu přechodové charakteristiky byly určeny následující data t1 10, y (t1 ) 7,35, y (t ) 180, t 90 Určení zesílení kv, respektive statického činitele
rychlosti k v tg ( )
y (t ) 180 2 t 90
Určení poměru f (n) y (t1 ) /(k v t1 )
f ( n)
y (t1 ) 7,35 0,35 k v t1 2 10
Z tabulky (viz Tabulka 2.15) pak určíme, ze získaného poměru f(n), hodnotu n, tedy n 1
Ze vztahu t1 nT určíme časovou konstantu T t1 nT T
t1 10 10 n 1
Výsledný (aproximovaný) přenos G (s)
2 2 1 s (10 s 1) s (10 s 1)
původní charakteristika aproximace charakteristiky
Obrázek 2.67 - Srovnání původní přechodové charakteristiky a jí odpovídající aproximované přechodové charakteristiky integračního členu se setrvačností 1. řádu
196
2.7.2 Úprava přenosů řízených systémů Často lze přenosy řízených systémů (regulovaných soustav) zjednodušit a upravit přímo na tvary, které se používají při seřizování regulátorů, bez znalosti průběhů přechodových charakteristik a větších výpočtů. 1) Rychlé převedení obecného přenosu proporcionálního členu se setrvačností i-tého řádu s dopravním zpožděním na přenos se setrvačností prvního řádu s dopravním zpožděním nebo na přenos se setrvačností druhého řádu s dopravním zpožděním. Obecný přenos se setrvačností i-tého řádu s dopravním zpožděním G (s)
k e L s i (Ti s 1)
(2.147)
i
Úprava výše uvedeného přenosu na jiné dva tvary a) G1 ( s )
k e L s (T1 s 1)
b) G 2 ( s )
1
k e L s (T2 s 1) 2
(2.148)
2
Tabulka 2.16 - Tabulka pro převod přenosu proporcionálního členu se setrvačností i-tého řádu s dopravním zpožděním na dva jiné typy k způsob G ( s ) e L s i náhrady (Ti s 1) i
k varianta G ( s ) e L s 1 č.1 (T1 s 1)
i
1
2
3
4
5
6
T1 Ti
1
1,568 1,980 2,320 2,615 2,881
L1 Li Ti
0
0,552 1,232 1,969 2,741 3,537
T2 Ti
0,638
1
1,263 1,480 1,668 1,838
L2 Li Ti
*) -0,352
0
0,535 1,153 1,821 2,523
1
k varianta G ( s ) e L s 2 č.2 (T2 s 1) 2 2
*) použitelné pro L1 > 0,352T1 Výše uvedená tabulka byla získána numericky za předpokladu shody přechodových funkcí řízených systémů v hodnotách h(0), h(t0,33), h(t0,7) a h(). 197
2) Další zjednodušovací postupy vyplývají z aproximace malých časových konstant náhradní časovou konstantou a náhradním dopravním zpožděním. Zmíněný postup je možno použít k převodu přenosů řízených systémů na jednodušší tvary. Platí přibližné rovnosti uvedené v následujících tabulkách. Tabulka 2.17 - Tabulka pro převod přenosů řízených proporcionálních systémů na jednodušší tvary k
1)
(T1 s 1) Π in 2 (Ti s 1) k
2)
(T1 s 1) Π in 2 (Ti s 1)
k (T1 s 1)(T x s 1)
Tx Ti T1 Ti
k e Ls (T1 s 1)
L Ti T1 Ti
k (T1 s 1)(T2 s 1) Π in3 (Ti s 1)
3)
(T0 s 2T0 s 1) Π in1 (Ti s 1)
4)
k (T0 s 2 2T0 s 1)
e
i 2,3,..., n
i2
k
i 2,3,..., n
i2
n
n
L Ti T1 Ti
k e Ls (T1 s 1)(T2 s 1) 2
n
i 3,4,..., n
i 3
n
L Ti T0 Ti
Ls
i 1,2,..., n
i 1
Tabulka 2.18 - Tabulka pro převod přenosů řízených integračních systémů na jednodušší tvary k
1)
s Π in1 (Ti s 1) k
2)
s Π in1 (Ti s 1)
k s (T x s 1)
Tx Ti
k Ls e s
L Ti
k
3)
s (T1 s 1) Π in 2 (Ti s 1)
n
i 1,2,..., n
i 1
n
i 1,2,..., n
i 1
k e Ls s (T2 s 1)
n
L Ti T1 Ti
i 2,3,..., n
i2
Často je vhodné použít kombinace náhradní součtové časové konstanty Tx a náhradního dopravního zpoždění L. Pokud v čitateli přenosu řízeného systému vystupuje dvojčlen 1 c je možno jej nahradit výrazem
e s 1 c s
(2.149)
c
za předpokladu, že výsledné náhradní dopravní zpoždění L 0, neboť platí ( 1) n 1 1 c s n e c s 1 c s c 2 s 2 c 3 s 3 2 3 ! n n 0
(2.150)
což je Taylorův rozvoj exponenciální funkce. Výše uvedená aproximace tedy při výpočtu využívá jen dva členy Taylorova rozvoje.
198
PŘÍKLAD Pro zadaný řízený systém máme určit přenosy v jednodušších tvarech. 1) G ( s )
3(2s 1) 6 s e (7 s 1) 3
2) G ( s )
5 ( s 1) (3s 1)(10 s 1) 2
ad 1) G ( s )
3(2s 1) 6 s e (7 s 1) 3
s V čitateli můžeme využít vztahu e c 1 c s , neboť c = 2, tedy zadané dopravní
zpoždění můžeme upravit na hodnotu 6-2=4.
G ( s)
3(2s 1) 6 s 3 3 e e ( 26 ) s e 4 s 3 3 3 (7 s 1) (7 s 1) (7 s 1)
Jelikož všechny časové konstanty mají stejnou velikost využijme k zjednodušení původního přenosu tabulky (viz Tabulka 2.16), přičemž budeme uvažovat obě varianty náhrady původního přenosu Parametry potřebné pro zjednodušení zadaného přenosu
k 3, i 3, T3 7, L3 4 a) první varianta z uvedené tabulky (viz Tabulka 2.16) T1 1,980 T1 1,980 7 13,86 T3 L1 L3 1,232 L1 1,232 7 4 12,624 T3
Náhradní přenos G1 ( s )
k 3 e L s e 12 , 624 s (T1 s 1) 13,86 s 1 1
b) druhá varianta z uvedené tabulky (viz Tabulka 2.16) T2 1,263 T2 1,263 .7 8,841 T3
L2 L3 0,535 L1 0,535 7 4 7,745 T3
Náhradní přenos G2 (s)
3 k e L s e 7 , 745 s 2 (T2 s 1) (8,841s 1) 2 2
199
3
h(t) 2.5
původní přenos náhradní přenos č.1 náhradní přenos č.2
2
1.5
1
0.5
0 0
20
40
60
80
100
120
t
Obrázek 2.68 - Přechodové charakteristiky původního přenosu a náhradních (aproximovaných) přenosů pro zadání č.1
ad 2) G ( s )
5 ( s 1) (3s 1)(10 s 1) 2
V tomto případě můžeme využít ke zjednodušení původního přenosu tabulky (viz Tabulka 2.17), řádku 1, 2 a 3. Parametry potřebné pro zjednodušení zadaného přenosu
~ k 5, T1 10, T2 3, T3 1 (násobná časová konstanta) T3 2 1 2 a) zjednodušení řádek č.1, viz Tabulka 2.17 ~ Tx T2 T3 3 2 5 Náhradní přenos G1 ( s )
k 5 (T1 s 1)(Tx s 1) (10 s 1)(5s 1)
b) zjednodušení řádek č.2, viz Tabulka 2.17 ~ L T2 T3 3 2 5 Náhradní přenos G2 (s)
k 5 e Ls e 5 s (T1 s 1) (10 s 1)
200
c) zjednodušení řádek č.3, viz Tabulka 2.17 ~ L T3 2 Náhradní přenos G3 ( s )
k 5 e Ls e 2 s (T1 s 1)(T2 s 1) (10 s 1)(3s 1)
5
h(t)
4.5
původní přenos náhradní přenos č.1 náhradní přenos č.2 náhradní přenos č.3
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
10
20
30
40
50
60
70
t
Obrázek 2.69 - Přechodové charakteristiky původního přenosu a náhradních (aproximovaných) přenosů pro zadání č.2
2.7.3 Vybrané příklady na identifikaci řízeného systému V této kapitole jsou uvedeny neřešené příklady na graficko-početní metody identifikace a na úpravu přenosů řízených systémů.
PŘÍKLAD Pomocí aproximace proporcionální soustavou prvního, druhého nebo vyššího řádu máme určit z naměřené přechodové charakteristiky přenos soustavy G(s), přičemž je uvažováno, že vstupní signál Δu(t) = 1.
201
y(t)
202
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
200
400
600
800
1000 t
1200
1)
203
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450 t
500
2)
y(t)
204
0
1
2
3
4
5
6
0
200
400
600
800
1000
1200
1400 t
1600
3)
y(t)
PŘÍKLAD Pro zadaný řízený systém máme upravit zadané přenosy na jiný (jednodušší) tvar. 1) G ( s )
1,5(2,5s 1) 5 s e (10 s 1) 4
2) G ( s )
5(2 s 1) (0,5s 1) 2 (8s 1)( s 1)
3) G ( s )
2(3s 1) (80 s 1) (100 s 1)(25s 1)
4) G ( s )
2,5 s (5s 1) 2 (20 s 1)
2
2.8 Regulátory a metody jejich nastavení Cílem řízení je generovat akční veličinu u tak, aby se regulovaná veličina y chovala podle předem zadaného cíle, jež je charakterizován žádanou veličinou w. Velmi účinným způsobem, jak tohoto cíle dosáhnout, je použití záporné zpětné vazby (viz Obrázek 2.70). Ke známému přenosu řízeného systému (regulované soustavy) GS je nutné nalézt takový přenos regulátoru (řídicího systému) GR, aby regulační odchylka e byla co nejmenší, nejčastěji však, aby byla nulová.
W
E
U
GR
Y GS
Obrázek 2.70 - Uvažované základní zpětnovazební zapojení Signály a jim odpovídající obrazy a dále pak přenosy ve výše uvedeném obrázku mohou být buď spojité nebo diskrétní, tj. spojité systémy jsou funkcí času t, diskrétní systémy jsou funkcí diskrétního času kT, kde k představuje krok a T periodu vzorkování. Spojité obrazy a přenosy jsou funkcí komplexní proměnné s, diskrétní obrazy a přenosy jsou funkcí komplexní proměnné z.
2.8.1 Rozdělení regulátorů Existuje řada regulačních principů a regulátorů. Jejich členění může být například podle akční veličiny (spojité, nespojité (diskrétní)), podle příkonu (přímé (bez vnější energie), nepřímé), podle nositele signálu (pneumatické, hydraulické, elektrické). Většina průmyslových regulátorů jsou nepřímé regulátory, které vyžadují vnější energii pro svou funkčnost. Další možné rozčlenění regulátorů je podle jejich struktury, tj. regulátory s pevně danou strukturou (regulátory typu PID) a regulátory s obecnou strukturou (obecný lineární regulátor).
205
U obecného lineárního regulátoru se jeho struktura určuje na základě požadavků na chování uzavřeného regulačního obvodu (fyzikální realizovatelnost, stabilita), případně také na dalších již ne zcela běžných požadavcích, kterými se může přechodový děj podle zvoleného kritéria optimalizovat (například ukončení přechodového děje za co nejmenší počet kroků (u diskrétních regulátorů), omezení akční veličiny, řízení s minimální kvadratickou regulační plochou). V další části jsou popsány spojité a diskrétní regulátory s pevně danou strukturou.
Spojité regulátory Dynamické vlastnosti regulátoru lze popsat rovnicí t
T22 u (t ) T1u (t ) u (t ) r0 e(t ) r1 e( )d r1 0
d e(t ) dt
t
(2.151)
kde r0 e(t ) je proporcionální složka regulátoru, r1 0 e( )d je integrační složka regulátoru, r1
d e(t) dt
je derivační složka regulátoru a T22u (t ) T1u (t ) u(t ) jsou setrvačné členy regulátoru. Jde o popis činnosti skutečného PID regulátoru (PID regulátor se setrvačnými členy). Po provedení Laplaceovy transformace můžeme přenos upravit do následujícího tvaru
r 1 r 1 r0 1 1 1 s k P 1 TD s r0 s r0 TI s U (s) G R (s) 2 2 2 2 E ( s ) 1 T1 s T2 s 1 T1 s T2 s
(2.152)
kde r0 je proporcionální konstanta regulátoru (váha proporcionální složky), r-1 je integrační konstanta regulátoru (váha integrační složky), r1 je derivační konstanta regulátoru (váha derivační složky), TI je integrační časová konstanta regulátoru, TD je derivační časová konstanta regulátoru a kP = r0 je zesílení regulátoru. Pokud časové konstanty setrvačných členů položíme rovny nule (T1 = 0, T2 = 0), dostaneme přenos ideálního PID regulátoru:
GR (s)
q q1 s q 2 s 2 r U (s) 1 k P 1 TD s r0 1 r1 s 0 E (s) s s TI s
(2.153)
Přepočetní vztahy mezi různými způsoby zápisu přenosu PID regulátoru, tj. přepočetní vztahy mezi parametry ve vztahu (2.153) jsou uvedeny níže
k P r0 , TI
r0 k r r1 P , TD 1 r1 k P TD r1 TI r0
k q 2 r1 TD k P , q1 r0 k P , q 0 r1 P TI
206
(2.154)
Přenosy pro ostatní typy regulátorů (P, PI, PD, I) vzniknou tak, že se některé z konstant regulátoru položí rovny nule. P-regulátor, I-regulátor, derivační složka se používá pouze u kombinovaných regulátorů (D-regulátor by nic nevěděl o skutečné hodnotě regulační odchylky, neboť na vstupu je signál úměrný první derivaci, tedy rychlosti odchylky (při konstantní hodnotě e(t) dojde k rozpojení regulačního obvodu, tj. u(t) = 0)) a kombinované regulátory, tj. PD-regulátor, PI-regulátor a PID-regulátor. Tyto regulátory můžeme uvažovat jako ideální (bez setrvačných členů) nebo jako skutečné (se setrvačnými členy). V níže uvedené tabulce jsou uvedeny vlastnosti ideálních regulátorů. Tabulka 2.19 - Vlastnosti ideálních regulátorů Typ
Rovnice
Přechodová charakteristika
Přenos GR(s)
u(t)
u (t ) r0 e(t )
G R s r0
r0
P
t u(t) t
u (t ) r1 e d
G R s
r-1
I
0
r1 s
t u(t)
Dčlen
u (t ) r1
de(t ) dt
G R s r1 s t u(t)
t
u (t ) r0 e(t ) r1 e d
r-1
PI
G R ( s ) r0
r0
0
r1 s
t
u(t)
G R ( s ) r0 r1 s r0
PD
de(t ) u (t ) r0 e(t ) r1 dt
t
u (t ) r0 e r1 e d
u(t)
r-1
t
0
r1
de(t ) dt
G R r0
r0
PID
t
207
r1 r1 s s
Stavitelné parametry regulátorů Pro popis jednotlivých složek regulátoru bylo v předchozí části použito konstant regulátorů r0, r-1 a r1 a časových konstant regulátorů TI, TD. U skutečných regulátorů se setkáváme se stavědly, kterými lze určovat vlivnost (váhu) jednotlivých složek spojitého regulátoru, tedy Pásmo proporcionality - pp [ % ]
pp[%]
1 100 r0
(2.155)
Pásmo proporcionality určuje o jakou hodnotu, vyjádřenou v procentech, se musí změnit vstupní signál regulátoru e(t), aby se akční člen u(t) přestavil z jedné krajní polohy do druhé (změnil polohu z 0 % na 100 % nebo naopak). Integrační časová konstanta - TI [s]
TI
r0 [s] r1
(2.156)
Určíme je u PI-regulátoru pro vstupní signál rovný jednotkovému skoku. Integrační časová konstanta je čas, který by potřeboval čistě integrační regulátor (přechodová charakteristika Iregulátoru je na níže uvedeném obrázku čárkovaná), aby přestavil akční člen (výstupní signál) do polohy, které dosáhne PI-regulátor v čase t = 0 vlivem své proporcionální složky. e(t)
1 0
t
u(t) r-1
r0 TI
0
TI
1
t
Obrázek 2.71 - Přechodová charakteristika PI regulátoru
208
Derivační časová konstanta - TD [s]
TD
r1 [s] r0
(2.157)
Určíme ji u PD-regulátoru pro vstupní signál rovný jednotkové rychlosti. Derivační časová konstanta je čas, který by potřeboval čistě proporcionální regulátor (přechodová charakteristika P-regulátoru je na níže uvedeném obrázku čárkovaná), aby přestavil akční člen (výstupní signál) do polohy, které dosáhne PD-regulátor v čase t = 0 vlivem své derivační složky. e(t) 1
0
1
t
u(t) r0
r1 TD
0
TD
1
t
Obrázek 2.72 - Odezva na jednotkovou rychlost PD regulátoru Více než v 95% průmyslových regulačních obvodů dominují PID regulátory, ve většině případů s vypnutou derivační složkou. Použití I regulátoru je malé.
POZNÁMKA Ideální D-člen (složka) zesiluje šumy a navíc nelze realizovat, proto se nepoužívá. Prakticky se používá reálný D-člen se setrvačností 1. řádu, který je popsán přenosem r1 s (T f s 1) , přičemž Tf je setrvačná konstanta (volí se s ohledem na velikost derivační konstanty r1, resp. derivační časové konstanty TD). Tedy přenos PID regulátoru s filtrem 1. řádu u D-členu lze zapsat takto (zavedení filtru u D-členu PID regulátoru může zlepšit chování regulačního pochodu)
G R ( s ) r0
r1 rs T s 1 1 D , resp. G R ( s ) k P 1 TI s T f s 1 s Tf s 1
209
Diskrétní regulátory Volba periody vzorkování Perioda vzorkování T vystupuje v diskrétních algoritmech regulátorů jako stavitelný parametr. Vzorkovací periodu T, a tím i vzorkovací kmitočet v , není však možné volit libovolně dlouhou (platí v = 2 / T ). Její délka trvání je omezena. Její velikost má podstatný vliv na stabilitu diskrétního regulačního obvodu i na další jeho vlastnosti. Nemá-li nastat při vzorkování zkreslení kmitočtového spektra měřeného signálu e(t) v rozsahu jeho kmitočtového pásma -n do +n musí kmitočet vzorkování v být alespoň dvakrát větší než nejvyšší kmitočet n kmitočtového pásma měřeného signálu e(t), tedy
v 2 n ;
T
n
(2.158)
Uvedená podmínka se nazývá Kotelnikovův teorém, resp. Shannonova věta o vzorkování. Pro přibližné určení vzorkovací periody lze použít některý ze vztahů v níže uvedené tabulce, rozdělených podle typů regulovaných soustav, případně typu regulátoru, přičemž uvedené volby pro periodu vzorkování T jsou navržené vesměs podle dynamiky regulované soustavy. Je možné však, opět přibližně, volit periodu vzorkování T i podle například měřené veličiny. Tabulka 2.20 - Přibližná volba periody vzorkování Hledisko volby
Vztah
Poznámky
Proporcionální nekmitavá regulovaná soustava
6-15 vzorků za čas, kdy přechodová 1 1 T t 0 ,95 charakteristika regulované soustavy 15 6 dosáhne 95 % svého ustáleného stavu
Proporcionální kmitavá regulovaná soustava (0 = 1/T0)
1 1 T T0 5 2
Regulovaná soustava s dominantním T 1 1 L dopravním zpožděním 8 3 Regulátor s diferenční složkou
T (0,1 0,5)TD
T0 - časová soustavy
konstanta
kmitavé
L - dopravní zpoždění TD - derivační časová konstanta
Diskrétní náhrady spojitých operací v číslicovém PID regulátoru Diskrétní (číslicové) regulátory s pevně danou strukturou mají předem známý tvar popsaný rovnicí nebo přenosem a jsou analogií spojitých PID (proporcionálně-integračně-derivačních) regulátorů, jedná se tedy o PSD (proporcionálně-sumačně-diferenční) regulátory, nebo-li diskrétní PID regulátory.
210
Činnost ideálního spojitého PID regulátoru lze popsat vztahem
de(t ) 1 u (t ) k P e(t ) e( )d TD u ( 0) TI 0 dt
(2.159)
a L-přenosem (při nulových počátečních podmínkách, tj. u(0) = 0)
GR (s)
q q1 s q 2 s 2 k r U (s) 1 k P 1 TD s k P I k D s r0 1 r1 s 0 E (s) s s s TI s
(2.160)
kde kP je zesílení regulátoru, TI k P k I je integrační časová konstanta, TD k D k P je derivační časová konstanta. Regulátor spojitého PID regulátoru definuje hodnotu akční veličiny u(t) v libovolném časovém okamžiku t na základě průběhu regulační odchylky e(t) = w(t) - y(t). Jestliže splyne tento okamžik s k-tým vzorkovacím okamžikem, tj. t = kT , je možné výše uvedenou rovnici spojitého PID regulátoru přepsat do následujícího tvaru
u (kT ) k P e(kT )
kP I (kT ) k P TD D(kT ) u (0) TI
(2.161)
který umožňuje určit u číslicového regulátoru akční veličinu v k-tém vzorkovacím okamžiku, pokud budou známy hodnoty integrálu I(kT) a derivace D(kT) v uvažovaném diskrétním časovém okamžiku t = kT. Určení těchto hodnot, tedy I(kT) a D(kT) se provede numerickým výpočtem, kde je uvažováno že v k-tém vzorkovacím okamžiku jsou známy diskrétní hodnoty regulační odchylky (současné a minulé). Většinou se využívá několika jednoduchých způsobů přibližných diskrétních náhrad spojitých algoritmů integrace a derivace. Náhrada integrace Zpětná obdélníková náhrada (ZOBD) k
I (kT ) T e(iT ) i 1
Tz z 1
(2.162)
Dopředná obdélníková náhrada (POBD) k 1
I (kT ) T e(iT ) i 0
T z 1
(2.163)
Lichoběžníková náhrada (LICHO)
e(iT ) e (i 1)T T z 1 2 2 z 1 i 1 k
I (kT ) T
(2.164)
211
e(t)
e(t)
e(t)
3T
0
T
4T 5T
4T 5T
6T
2T
0
t
T
4T 5T
6T
2T 3T
t
b) dopředná obdélníková metoda
a) zpětná obdélníková metoda
0
T
2T 3T
6T
t
c) lichoběžníková náhrada
Obrázek 2.73 - Diskrétní náhrady integrace spojitého signálu Náhrada derivace (pomocí zpětné diference 1. řádu)
D(kT )
e(kT ) e(k 1)T z 1 T Tz
(2.165)
e(t) e(kT) - e[(k-1)T]
zpětná diference 1 řádu
0
(k-1)T
kT
t
Obrázek 2.74 - Diskrétní náhrada derivace spojitého signálu Polohový a přírůstkový algoritmus Polohový algoritmus Diferenční rovnice polohového algoritmu PSD regulátoru při využití integrační náhrady (ZOBD náhrada) a derivační náhrady integrační a derivační složky T T k u (kT ) k P e(kT ) e(iT ) D e(kT ) e(k 1)T u (0) TI i 0 T
(2.166)
Z-přenos polohového algoritmu PSD regulátoru (při použití zpětné obdélníkové náhrady), při nulových počátečních podmínkách, přičemž z níže uvedeného přenosu lze pak vytvořit další diskrétní regulátory jako P, S, PS, PD. GR ( z)
T z 1 U ( z) T z k P 1 D E( z) TI z 1 T z
(2.167)
Nevýhodou polohového (nerekurentního) algoritmu je uchovávat v paměti všechny hodnoty e(iT) pro výpočet sumy odchylky a z ní plynoucího akčního zásahu, což je nevýhodné. Vhodnější je proto pracovat s regulátorem v přírůstkovém, tzn. rekurentním tvaru, tj. neurčuje se celá hodnota akčního zásahu, ale jen její změna (přírůstek) u (kT ) u (kT ) u(k 1)T 212
Přírůstkový algoritmus Dosazením do rovnice polohového algoritmu s využitím rovnice přírůstku akční veličiny ,tj. u(kT) = u(kT) – u[(k-1)T] obdržíme, tzv. přírůstkový algoritmus PSD regulátoru u (kT ) u (kT ) u(k 1)T k P e(kT )
kP I (kT ) k PTD D(kT ) TI
(2.168)
Dosazením výsledků z níže uvedené tabulky do předchozího vztahu za část I(kT) a D(kT), při použití např. zpětné obdélníkové náhrady integrace (ZOBD), dostaneme přírůstkový algoritmus ve tvaru u (kT ) k P e(kT ) [e(k 1)T ]
k PT k T e(kT ) P D e(kT ) 2e(k 1)T e(k 2)T TI T
k P e(kT ) [e(k 1)T ] k S e(kT ) k D e(kT ) 2e(k 1)T e(k 2)T
kde kP je proporcionální konstanta (váha proporcionální složky) diskrétního regulátoru, kS je sumační konstanta (váha sumační složky) diskrétního regulátoru a kD je diferenční konstanta (váha diferenční složky) diskrétního regulátoru Tabulka 2.21 - Určení I(kT) a D(kT) u přírůstkového algoritmu Náhrada
ZOBD
POBD
LICHO
I (kT ) I (kT ) I (k 1)T
T e(kT )
T e(k 1)T
T
e(kT ) e(k 1)T 2
e( kT ) 2e( k 1)T e( k 2)T T
D(kT ) D(kT ) D(k 1)T
Obecný zápis přírůstkového algoritmu PSD regulátoru je u (kT ) u (kT ) u(k 1)T q 0 e(kT ) q1 e(k 1)T q1 e(k 2)T
(2.169)
kde parametry q0 , q1 , q2 jsou určeny v závislosti na použité náhradě integrace v diskrétním PID algoritmu GR ( z)
U ( z ) q 0 q1 z 1 q 2 z 2 E ( z)
resp.
GR ( z)
U ( z ) q 0 q1 z 1 q 2 z 2 E( z) 1 z 1
(2.170)
Tabulka 2.22 - Přepočty parametrů kP, TI, TD spojitého PID regulátoru na parametry přírůstkového diskrétního PID regulátoru q1
q0 Zpětná (ZOBD)
T T kP 1 D TI T
kP kI kD
Dopředná (DOBD)
T k P 1 D T
kP kD
Lichoběžníková (LICHO)
T k P 1 2 D T
q2 kP
TD T
kD
T T kP 1 2 D kP kI 2kD T TI
kP
TD T
kD
T T TD T 1 1 2 D kP kI 2kD kP 1 kP kI kD kP 1 T 2 2 2TI T 2TI
kP
TD T
kD
213
k P 2k D
Modifikace PSD algoritmu U diskrétních regulátorů dochází k velkým změnám akční veličiny vždy, když se výrazně změní regulační odchylky, což je dáno zejména vlivem proporcionální a derivační složky v PSD algoritmu. Na velikost změny regulační odchylky má vliv i šum, kterým je zatíženo měření regulované veličiny. Změna regulační odchylky e(kT) je tedy ovlivňována nejen změnou žádané veličiny w(kT), ale i šumem. Jedním ze způsobů jak čelit prudkým a velkým změnám regulační odchylky e(kT) a tím i akčního zásahu u(kT) je modifikace standardního číslicového PSD algoritmu, např. omezení vlivu u P a D složky PSD algoritmu (Takahashiho modifikace), náhrada derivačního členu průměrnou diferencí, použití neidealizovaného PSD regulátoru, tj. zavedení setrvačného členu (filtru 1.řádu) u D-členu regulátoru, zavedení dopředné vazby, omezení řídicího zásahu, … Omezení vlivu změny řídicí veličiny u P a D složky PSD algoritmu (Takahashiho algoritmus) Pro žádanou hodnotu w(kT) je uvažováno w(kT ) w(k 1)T w(k 2)T pak P složka PSD algoritmu bude e(kT ) e(kT ) e(k 1)T w( kT ) y ( kT ) w( k 1)T y( k 1)T y( k 1)T y ( kT )
a D složka PSD algoritmu bude e( kT ) 2e( k 1)T e( k 2)T T w( kT ) y ( kT ) 2w( k 1)T y( k 1)T w( k 2)T y( k 2)T T y ( kT ) 2 y( k 1)T y( k 2)T T
D ( kT )
Dosazením určených (modifikovaných) složek P a D do přírůstkového algoritmu PSD regulátoru (2.168), při použití např. zpětné obdélníkové náhrady integrace (ZOBD) z výše uvedené tabulky (viz Tabulka 2.21), dostaneme modifikovaný přírůstkový algoritmus PSD regulátoru, tedy u (kT ) k P y(k 1)T y (kT )
k PT k T e(kT ) P D y (kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T (2.171) TI T
k P y(k 1)T y (kT ) k S e(kT ) k D y (kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T
kde kP je proporcionální konstanta diskrétního regulátoru, kS je sumační konstanta diskrétního regulátoru, kD je diferenční konstanta diskrétního regulátoru Zavedení dopředné vazby Dopředná regulace je vhodná zejména v řízení takových procesů, při kterých je požadováno, aby změny žádané veličiny se „dopředu“ co nejdříve zohlednily v řídicím zásahu PSD regulátoru. Omezení řídicího zásahu Diskrétní regulátory mohou dávat také řídicí zásahy, které však nejdou z technického hlediska realizovat (omezení průtoku, tlaků, teplot, ...). To znamená, že řídicí zásah nemůže dále růst 214
nebo klesat a drží se na horní maximální nebo dolní minimální hranici. Vypočítaný akční zásah se liší od skutečného zásahu, který realizuje akční člen. Z lineárního obvodu se stává nelineární obvod (nelinearitou je omezení výstupu akčního členu), čímž vzniká neřízené chování v regulačním obvodu. Tento jev se označuje „wind-up“ a je způsoben zejména integrační (sumační) složkou PSD regulátoru, integrační složka je stále v činnosti (i po dosažení řídicího zásahu hodnoty nasycení), čímž může v obvodě vzniknout velké přeregulování a zároveň se prodlouží čas regulace. U polohových algoritmů se integrace může zastavit zavedením nulové regulační odchylky na vstup integrátoru při podmínce u (t ) u max
při e(t ) 0 zavést e(t ) 0
u (t ) u max
při e(t ) 0 zavést e(t ) 0
U přírůstkových algoritmů lze provést omezení vypočtené hodnoty akční veličiny na intervalu (umin, umax) a v časech u[(k-1)T] uchovávat hodnoty pouze z tohoto intervalu. Je-li u(kT) rovno některé z mezních hodnot, setrvá na této hodnotě, dokud se nezmění znaménko přírůstků u(kT), které přivedly akční veličinu na mezní hodnotu. Protože změna znaménka u(kT) je zapříčiněna změnou znaménka regulační odchylky, „odpoutá“ se hodnota u(kT) od mezní hodnoty v tom kroku, ve kterém dojde ke změně znaménka regulační odchylky.
PŘÍKLAD Máme určit pro jaké parametry zadaného spojitého regulátoru GR(s) bude regulační obvod s danou regulovanou soustavou stabilní. Žádaná hodnota w je uvažována ve tvaru jednotkového skoku, tj. w(t) = 1. Bude přitom uvažováno schéma uzavřeného regulačního obvodu uvedené níže. W(s)
1) G S ( s )
b( s ) 3 2 a ( s ) s 3s 2
E(s)
GR(s)
U(s)
G R ( s ) r0
Y(s) GS(s)
r1 1 q1 s q 0 q ( s ) k P 1 s s p(s) TI s
Přenos řízení (uzavřeného obvodu) GW/Y(s) b( s ) q ( s ) G S ( s )G R ( s ) b( s ) q ( s ) a( s) p(s) GW / Y ( s ) b ( s ) q ( s ) 1 G S ( s )G R ( s ) a ( s ) p ( s ) b( s ) q ( s ) 1 a(s) p(s)
215
Pro posouzení stability uzavřeného regulačního obvodu je rozhodující umístění kořenů jmenovatele přenosu systému, v tomto případě uzavřeného obvodu, tedy jmenovatele přenosu řízení, tzv. charakteristického polynomu F ( s ) a ( s ) p ( s ) b( s )q ( s ) . Charakteristický polynom
F ( s ) a ( s ) p ( s ) b( s )q ( s ) ( s 2 3s 2).s 3.(q1 s q 0 ) s 3 3s 2 (2 3q1 ) s 3q 0 K určení parametrů regulátoru, který zajistí stabilitu uzavřeného regulačního obvodu použijeme například Routh-Schurovo kritérium stability, tedy
1
2 3q1
3
1 0
1 3
3q 0
q0 3
2 3q1 q 0
3q 0
Aby byl obvod stabilní, musí platit a) 3q 0 0
b) 2 3q1 q0 0
q0 0
q1
q0 2 3
tedy například pro parametry q 0 5 a q1 1 q1 2 bude zajištěno, že uzavřený regulační obvod bude stabilní.
2) G S ( s )
b( s ) 1 3 2 a ( s ) s 3s 3s 1
G R ( s ) r0 q1
q(s) p( s)
K určení parametrů regulátoru, který zajistí stabilitu uzavřeného regulačního obvodu použijeme v tomto případě Nyquistovo kritérium stability, tedy musíme určit přenos otevřeného regulačního obvodu GO(s). Přenos otevřeného regulačního obvodu GO(s)
GO ( s ) G R ( s )G S ( s ) q1
1
s 3s 3s 1 3
2
q1 s 3s 2 3s 1 3
Určení frekvenčního přenosu otevřeného regulačního obvodu
q1 (1 3 2 ) j (3 3 ) G O ( j ) j 3 3 2 3 j 1 (1 3 2 ) j (3 3 ) (1 3 2 ) j (3 3 ) q1
q1 (1 3 2 ) q1 j (3 3 ) (1 3 2 ) 2 (3 3 ) 2
q1 (1 3 2 ) q1 ( 3 3 ) G O ( j ) j P( ) jQ ( ) (1 2 ) 3 (1 2 ) 2 216
Pro kritický bod [-1, j0] platí Q( ) 0 :
q1 ( 3 3 ) 0 q1 ( 3 3 ) q1 ( 2 3) 0 1 0 2 3 (1 )
P ( ) 1 :
q1 (1 3 2 ) 1 q1 (1 3 2 ) (1 2 ) 3 2 3 (1 )
2,3 3
Pro kladné hodnoty frekvence dostaneme rozsah volby parametru q1, přičemž, aby byl obvod stabilní, musí platit pro 1 0 :
q1 1
pro 2 3 :
q1 1 1
3 2
3
q1
64 q1 8 8
tedy parametr regulátoru q1 0;8 , například volbou parametru q1 5 bude zajištěno, že uzavřený regulační obvod bude stabilní.
PŘÍKLAD Pomocí libovolného kritéria stability máme určit parametr diskrétního regulátoru k jehož přenos GR(z) je zadán, stejně jako je známý i přenos řízeného systému (regulované soustavy) GS(s). Periodu vzorkování budeme uvažovat T = 0,2, relativní posunutí = 0, tvarovač H nultého řádu a žádanou hodnotu w ve tvaru jednotkového skoku, tj. w(t) = 1. Bude uvažováno schéma uzavřeného regulačního obvodu uvedené níže. W(z)
E(z)
Y(z)
U(z)
GR(z)
Přenos spojité regulované soustavy
GS (s)
Přenos regulátoru
GR ( z)
GS(z)
1 s 2,5
k 1 e
T
z
1
kz ze
T
kz ze
0, 2
kz z 0,8187
Diskrétní přenos regulované soustavy GS(z), T = 0,2, byl určen použitím vztahu (2.11) a slovníku Z-transformace GS ( z )
z 1 1 1 1 z 1 1 1 1 1 e 2,5T Z L G S ( s) Z L z z 2,5 z e 2,5T s t kT s s 2,5 t kT Y ( z) 0,1574 0,1574 z 1 z 0,6065 U ( z ) 1 0,6065z 1
217
Diskrétní přenos řízení kz 0,1574 GS ( z) GR ( z) 0,1574 k z z 0,6065 z 0,8187 GW / Y ( z ) 2 kz 0,1574 1 GS ( z) GR ( z) z z (0,1574k 1,452) 0,4965 1 z 0,6065 z 0,8187
Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu
F ( z ) z 2 z (0,1574k 1,452) 0,4965 0 F ( z ) 0 Parametr k je možno určit přímo z charakteristické rovnice, tedy určily by se přímo kořeny charakteristické rovnice z1, z2, z nichž by se poté, z hraničních hodnot (meze stability), určil rozsah parametru k . Pro další výpočet bude dále využita bilineární transformace, tj. převedení charakteristického polynomu F(z) z roviny „z“ do roviny „w“ tedy F(w). Po této transformaci je pak možné využít libovolného spojitého kritéria stability. Charakteristická rovnice v rovině „w“ 2
w 1 w 1 0,1574k 1,4252 0,4965 0 w 1 w 1 (0,0713 0,1574k ) w 2 1,007 w 2,9217 0,1574k 0 Charakteristický polynom F(w)
F ( w) (0,0713 0,1574k ) w 2 1,007 w 2,9217 0,1574k f 2 w 2 f1 w f 0 Nyní je již možno použít libovolné spojité kritérium stability, např. Routh-Schurovo kritérium. Jelikož je však charakteristický polynom 2. řádu, nutná podmínka stability, tzn., že všechny koeficienty charakteristického polynomu budou stejného znaménka, se stane nutnou a postačující podmínkou stability. Musí tedy platit
f 2 0 f1 0 f 0 0 Podmínka pro člen f1 je splněna, parametr k se určí ze zbývajících dvou nerovností
f2 0
f0 0
0,0713 0,1574k 0 k 0,453
2,9217 0,1574k 0 k 18,56
Z nerovností vyplývá, že parametr k, pokud budeme uvažovat pouze kladné hodnoty k, by měl být v rozmezí k(0;18,56), tedy například volbou parametru k = 10 bude zajištěno, že uzavřený diskrétní regulační obvod bude stabilní.
218
2.8.2 Metody pro nastavení parametrů regulátoru V další části budou uvedeny některé vybrané spojité i diskrétní metody nastavení parametrů regulátorů s pevně danou strukturou, tj. pro regulátory typu PID (PSD). Důležitým úkolem je tedy nastavení parametrů regulátoru tak, aby regulační obvod byl stabilní a regulační odchylka konvergovala k nule.
Vybrané metody nastavení parametrů spojitých regulátorů Při ověřování průběhů regulačních pochodů v uzavřeném spojitém regulačním obvodu budeme vycházet ze schématu spojitého regulačního obvodu (viz Obrázek 2.28). Simulační ověření
chování
regulačního
pochodu
bude
provedeno
s
využitím
programu
MATLAB/SIMULINK. Simulační schéma tohoto regulačního obvodu bude uvažováno podle následujícího obrázku
Žádaná hodnota
Řídicí systém
Řízený systém
Regulátor
Regulovaná soustava
y u
Mux
w y, u, w
Obrázek 2.75 - Simulační schéma spojitého regulačního obvodu v MATLAB/SIMULINKu Zieglerova-Nicholsova metoda kritického zesílení Základní myšlenkou je přivést obvod na kmitavou mez stability. Toho dosáhneme použitím pouze proporcionální složky PID regulátoru, derivační a integrační složky budou vyřazeny nastavením TI a TD 0 , resp. r1 0 a r1 0 . Zvyšujeme zesílení kP, resp. r0 až k hodnotě kPk, resp. r0k až do doby, kdy je obvod na hranici stability (netlumené kmity na výstupu z řízeného systému). Zesílení regulátoru, při kterém se tak stane, nazýváme kritickým zesílením k P k Pk , resp. r0 r0 k a periodu kritických kmitů T Tk . Tyto kritické hodnoty dosazujeme do empirických vztahů pro jednotlivé typy
regulátorů (viz následující tabulka) a vypočteme tak jejich stavitelné parametry. 219
y(t)
t Tk Obrázek 2.76 - Určení Tk při r0k Tabulka 2.23 - Nastavení parametrů regulátoru pomocí Zieglerovy-Nicholsovy metody kritického zesílení kP
TI
TD
r0
r-1
r1
P
0,5 kPk
-
-
0,5 r0k
-
-
PI
0,45 kPk
0,85 Tk
-
0,45 r0k
0,54r0 k Tk
-
PD
0,4 kPk
-
0,05 Tk
0,4 r0k
-
0,02 r0kTk
PID
0,6 kPk
0,5 Tk
0,12 Tk
0,6 r0k
1,2r0 k Tk
0,075 r0kTk
POZNÁMKA Kritické zesílení a kritickou periodu kmitů, lze určit i jiným způsobem, a to vložením nelinearity (relé) do zpětnovazebního obvodu (viz níže uvedený obrázek). Z kritických hodnot se pak určí parametry regulátoru podle tabulky uvedené výše (viz Tabulka 2.23). V(s) W(s)
Y(s)
U(s) GS (s) GR (s)
B
A
y
u
Tk
k Pk
4A B
Obrázek 2.77 - Určení Tk a kPk při vložení nelinearity (relé) do regulačního obvodu
220
PŘÍKLAD Máme určit parametry regulátoru pomocí Zieglerovy-Nicholsovy metody kritického zesílení. Uvažujme přitom přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech Přenos soustavy:
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
Přenos regulátoru: G R ( s) r0
2
r1 1 k P 1 s TI s
Experimentálně získané hodnoty a) Nastavováním zesílení r0 na hodnotu, kdy je obvod na hranici kmitavé stability (ostatní parametry regulátoru jsou vyřazeny, tedy r-1=0, resp. TI Získané hodnoty
r0 k 8 Tk 3,6232 Parametry regulátoru
r0 3,6 r1 1,1923 ; resp. k P 3,6 TI 3,0797 Výsledný přenos regulátoru
G R ( s ) r0
r1 1 1,1923 1 3,6 k P 1 3,61 s s 3,0797 s TI s
b) Vložením nelinearity (relé) do zpětné vazby Získané hodnoty
A = 1; B = 0,163 k Pk r0 k
4A 7,8113 Tk = 3,6783 B
Parametry regulátoru
r0 3,5151 r1 1,1468 ; resp. k P 3,5151 TI 3,1266 Výsledný přenos regulátoru
G R ( s ) 3,5151
1,1468 1 3,51511 s 3,1266 s
Výpočtem Při výpočtu kritických hodnot má regulátor v obvodu pouze P složku, tzn. r0, resp. kP. Přenos řízení
GW / Y ( s )
G R ( s )G S ( s ) r0 3 2 1 G R ( s )G S ( s ) s 3s 3s (1 r0 ) 221
Charakteristický polynom uzavřeného regulačního obvodu (URO)
F ( s ) s 3 3s 2 3s (1 r0 ) Pro určení r0k a Tk použijeme například Michajlovovo-Leonhardovo kritérium, tedy nejprve za komplexní proměnnou s dosadíme výraz j
F ( j ) F ( s )
s j
( j ) 3 3( j ) 2 3( j ) 1 r0 U ( ) jV ( )
F ( j ) j 3 3 2 3 j 1 r0 (1 r0 3 2 ) j (3 3 ) Obvod bude na kmitavé mezi stability pokud platí
V k U k 0 pro k 0 tedy
U k 0 :
1 r0 k 3 k2 0 r0k 3 k2 1
V k 0 :
k (3 k2 ) 0
k ,1 0, k , 2,3 3
Na základě výše uvedené podmínky týkající se kritické frekvence, tj. k 0 , je platné pouze řešení
k k ,2 3 Kritická perioda kmitů
Tk
2
k
2 3
3,6276
Kritické zesílení
r0 k 3 k2 1 3( 3 ) 2 1 8 Vypočtené hodnoty
r0 k 8 Tk 3,6276 Parametry regulátoru
r0 3,6 r1 1,1910 ; resp. k P 3,6 TI 3,0835 Výsledný přenos regulátoru
G R ( s ) 3,6
1,1910 1 3,61 s 3,0835s
Z experimentálně získaných hodnot i výpočetně byly určeny velmi podobné parametry PI regulátoru. Pro simulaci regulačního pochodu byly využity parametry, jež byly získány výpočtem. 222
5 y w u
4
y(t), w(t), u(t)
3 2 1 0 -1 -2 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.78 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány výpočetně pomocí Zieglerovy-Nicholsovy metody Zieglerova-Nicholsova metoda nastavení parametrů regulátoru z přechodové charakteristiky regulované soustavy Z naměřené přechodové charakteristiky regulované soustavy (aperiodického, tj. nekmitavého typu) odečteme dobu průtahu Tu, dobu náběhu Tn a zesílení k nebo činitel autoregulace s0. Ze získaných parametrů určíme optimální hodnoty stavitelných parametrů regulátoru (viz níže uvedená tabulka). y(t)
k
Tu
1 s0
t
Tn
Obrázek 2.79 - Přechodová charakteristika proporcionální regulované soustavy
223
Tabulka 2.24 - Nastavení parametrů regulátoru z přechodové charakteristiky regulované soustavy
P
kP
TI
TD
r0
r-1
r1
Tn s0 Tu
-
-
Tn s0 Tu
-
-
PI
0,9
Tn s0 Tu
3,5 Tu
-
0,9
Tn s0 Tu
PD
1,2
Tn s0 Tu
-
0,25 Tu
1,2
Tn s0 Tu
PID
1,25
Tn s0 Tu
2 Tu
0,5 Tu
1,25
Tn s0 Tu
0,26
Tn Tu
2
s0
-
0,63
0,3 Tns0
Tn Tu
-
2
s0
0,63 Tns0
POZNÁMKA Pro určení stavitelných parametrů regulátoru pro regulaci integračních (astatických) soustav (viz níže uvedený obrázek) je nutno z přechodové charakteristiky této soustavy určit následující parametry dobu průtahu - Tu a statický činitel rychlosti - cs y(t)
cs
Tu
1 s1
t
1
Obrázek 2.80 - Přechodová charakteristika integrační regulované soustavy Z výše získaných parametrů se vypočítají s využitím tabulky (viz Tabulka 2.24) stavitelné parametry regulátorů, přičemž součin s0Tn nahradíme parametrem s1.
PŘÍKLAD Máme určit parametry regulátoru pomocí Zieglerovy-Nicholsovy metody nastavení parametrů regulátoru z přechodové charakteristiky regulované soustavy. Uvažujme přitom přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech 224
Přenos soustavy:
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
Přenos regulátoru: G R ( s) r0
2
r1 1 k P 1 s TI s
Určené, resp. získané hodnoty
Tu 0,8051; Tn 3,6957; k 1 s 0 1 Parametry regulátoru
k P 4,1312; TI 2,8179 r0 4,1312; r1
kP 1,4661 TI
Výsledný přenos regulátoru
G R ( s ) 4,1312
1,4661 1 4,13121 s 2,8179s
6 y w u
5 4
y(t), w(t), u(t)
3 2 1 0 -1 -2 -3 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.81 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí Zieglerovy-Nicholsovy metody nastavení parametrů regulátoru z přechodové charakteristiky regulované soustavy
225
Chienova, Hronesova a Reswickova metoda (CHR metoda) Pro nastavení parametrů regulátoru musíme nejdříve určit následující parametry, a to parametr a, L a T. Parametr T je časová konstanta, kterou můžeme určit dvěma způsoby. První je určení T jako času, kdy přechodová charakteristika regulované soustavy dosáhne hodnoty 0,63k (vzdálenost AB). Druhou možností je získat T z doby náběhu, potom platí T = Tn (vzdálenost AC). y(t) k 0,63k
a t
L A
B C
Obrázek 2.82 - Určení parametrů a, L, T z přechodové charakteristiky regulované soustavy Tabulka 2.25 - Nastavení parametrů regulátoru pro CHR metodu Překmit P PI PID
kP 0,3 a 0,35 a 0,6 a
0% TI
TD
1,2T T
0,5L
kP 0,7 a 0,6 a 0,95 a
20% TI
TD
T 1,4T
0,47L
PŘÍKLAD Určeme parametry regulátoru pomocí CHR metody. Uvažujme přitom přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech Přenos soustavy:
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
Přenos regulátoru: G R ( s) r0
2
r1 1 k P 1 s TI s 226
Určené, resp. získané hodnoty
Tu 0,8051; Tn 3,6597; k 1 tedy
L Tu 0,8051; a
k L 0,22; y (T ) 0,6321k T 2,4530 Tn
Parametry regulátoru
k P 1,5909; TI 2,9436 r0 1,5909; r1
kP 0,5405 TI
Přenos regulátoru
G R ( s ) 1,5909
0,5405 1 1,59091 s 2,9436 s
3 y w u
2.5
y(t), w(t), u(t)
2 1.5 1 0.5 0 0
50
100
150 200 250 300 t Obrázek 2.83 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI
regulátor jehož parametry byly získány pomocí metody Chien, Hrones a Reswick
Cohenova-Coonova metoda Metoda návrhu regulátoru vychází z přenosu tří-parametrového modelu
GS ( s )
k e sL 1 sT
(2.172)
227
Tato metoda je navržena tak, že dává poměr tlumení ¼, tzn. že navržený regulátor bude poskytovat regulační pochod, u nějž bude mít odezva druhého kmitu čtvrtinu první amplitudy. Výpočet parametrů regulátoru je uveden v následující tabulce. Tabulka 2.26 - Nastavení parametrů regulátoru pro Cohenovu-Coonovu metodu kP
TI
TD
P
1 r 1 kr 3
-
-
PI
1 r 0,9 kr 12
30 3r L 9 20r
-
PID
1 4 r kr 3 4
32 6r L 13 8r
4 L 11 2r
kde r L / T Parametry regulátoru mohou být vypočteny také využitím tzv. normalizovaného dopravního zpoždění τ (viz následující tabulka). Tabulka 2.27 - Nastavení parametrů regulátoru pro Cohenovu-Coonovu metodu (2. způsob) kP
TI
TD
P
1 0 ,35 1 a 1
-
-
PI
0 ,9 0 ,092 1 a 1
3,3 3 L 1 1,2
-
PID
1,35 0,18 1 a 1
2,5 2 L 1 0,39
0,37 0,37 L 1 0,81
kde a
kL L , T L T
PŘÍKLAD Máme určit parametry regulátoru pomocí Cohenovy-Conovy metody. Uvažujme přitom přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech Přenos soustavy:
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
Přenos regulátoru: G R ( s) r0
2
r1 1 k P 1 s TI s
228
Nejprve je třeba upravit zadaný přenos do požadovaného tvaru (tří-parametrového modelu)
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
2
GS , upr ( s)
1 e 0,8051s 2,453s 1
přičemž časová konstanta T = 2,453 byla určena z přechodové charakteristiky regulované soustavy pro y(T) = 0,6321k (viz Obrázek 2.82) Určené, resp. získané hodnoty
k 1; T 2,453; L 0,8051; r
L 0,3282 T
Parametry regulátoru
k P 2,8256; TI 1,6028 r0 2,8256; r1
kP 1,7629 TI
Přenos regulátoru (viz Tabulka 2.26)
G R ( s ) 2,8256
1,7629 1 2,82561 s 1,6028s
5 y w u
4
y(t), w(t), u(t)
3 2 1 0 -1 -2 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.84 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí Cohenovy-Coonovy metody
229
Metoda vyváženého nastavení Metoda návrhu regulátoru vychází z přenosu tří-parametrového modelu
GS ( s ) Tato
k e sL 1 sT
metoda
(2.173)
zabezpečuje
kromě
minimálního
překmitu
také
vyváženost
mezi
proporcionálními a integračními zásahy a šetří akční členy. V následující tabulce jsou uvedeny výpočty parametrů jednotlivých regulátorů s využitím tzv. normalizovaného dopravního zpoždění τ a průměrné doby ustálení Tar. Tabulka 2.28 - Nastavení parametrů regulátoru pro metodu vyváženého nastavení TI
kP
TD
PI
1 2 1 k 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
PID
1 2 1 k 1 1 2 2
1 1 2 2 Tar 2 1 1 2
kde Tar L T ,
Tar
-
TI 4
L L T
PŘÍKLAD Máme určit parametry regulátoru pomocí metody vyváženého nastavení. Uvažujme přitom přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech Přenos soustavy:
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
Přenos regulátoru: G R ( s) r0
2
r1 1 k P 1 s T s I
Nejprve je třeba upravit zadaný přenos do požadovaného tvaru (tří-parametrového modelu)
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
2
GS , upr ( s)
1 e 0,8051s 2,453s 1
přičemž časová konstanta T = 2,453 byla určena z přechodové charakteristiky regulované soustavy pro y(T) = 0,6321k Určené, resp. získané hodnoty
k 1; T 2,453; L 0,8051; Tar 3,2581; 0,2981
230
Parametry regulátoru (viz Tabulka 2.28)
k P 0,76; TI 2,5496 r0 0,76; r1
kP 0,2981 TI
Přenos regulátoru
G R ( s ) 0,76
0,2981 1 0,761 s 2,5496 s
2.5 y w u
y(t), w(t), u(t)
2
1.5
1
0.5
0 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.85 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí metody vyváženého nastavení
Naslinova metoda U této metody budeme předpokládat charakteristický polynom uzavřeného regulačního obvodu v následujícím tvaru
F ( s ) f n s n f 2 s 2 f1 s f 0
(2.174)
Pokud pro koeficienty fi platí nerovnosti
f i f i 1 f i 1 pro i = 1, 2, …, (n-1)
(2.175)
potom maximální přeregulování ymax [%] (překmit) závisí na hodnotě α podle následně uvedené tabulky 231
Tabulka 2.29 - Závislost ymax [%] na podle Naslina
1,75
1,8
1,9
2
2,2
2,4
ymax [%]
16
12
8
5
3
1
PŘÍKLAD Určeme parametry regulátoru pomocí Naslinovy metody, přičemž překmit budeme uvažovat maximálně 5 %. Uvažujme dále přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech GS ( s)
Přenos soustavy:
1 s 3s 3s 1 3
Přenos regulátoru: G R ( s) r0
2
r1 1 k P 1 s TI s
Nejprve určíme přenos řízení GW/Y(s)
r 1 r0 1 3 2 r0 s r1 GR (s)GS (s) s s 3s 3s 1 4 GW / Y (s) 3 r1 1 GR (s)GS (s) 1 s 3s 3s 2 1 r0 s r1 1 r0 3 s s 3s 2 3s 1 Charakteristický polynom je pak ve tvaru
F ( s ) s 4 3s 3 3s 2 1 r0 s r1 f i 2 f i 1 f i 1
pro i = 1, 2, ...,(n-1)
Platí pro i = 1: 1 r0 2 3 r1 r1 0,375 2
pro i = 2: 9 2 3 1 r0 r0 0,5 pro i = 3: 9 2 1 3 podmínka je splněna vždy Parametry regulátoru
r0 0,5; r1 0,375 k P 0,5; TI
r0 1,33 3 r1
Přenos regulátoru
G R ( s ) 0,5
0,375 1 0,51 s 1,333s
232
2.5 y w u
y(t), w(t), u(t)
2
1.5
1
0.5
0 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.86 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí Naslinovy metody
Whiteleyova metoda Metoda vychází ze vzorových typů přenosových funkcí uzavřeného regulačního obvodu, které udávají vyhovující regulační pochod a podle nich upravuje seřízením parametrů regulátorů hodnoty koeficientů přenosové funkce v konkrétním případě tak, aby se koeficienty této konkrétní funkce a funkce vzorové navzájem rovnaly. Takové vzorové přenosové funkce zveřejnil Whiteley a nazval je standardními tvary přenosové funkce, která je poměrem obrazu veličiny výstupní a vstupní skokové funkce (žádané veličiny nebo poruchy). Standardní tvary zaručují, že při dodržení předepsaných koeficientů charakteristické rovnice (charakteristického mnohočlenu) pro daný typ přenosu regulačního obvodu se nepřekročí daná hodnota maximálního přeregulování ∆ymax příp. i doba ustálení tr nebo jiné charakteristické veličiny regulačního pochodu (viz Obrázek 2.87). Budeme předpokládat přenos řízení ve tvaru GW / Y ( s )
b0 an s a1s a0
(2.176)
n
pro nějž najdeme předepsané koeficienty ai standardního tvaru pro daný stupeň GW / Y (q )
b0 an q a1q a0
(2.177)
n
233
+10% y(∞)
y(t)
-10% y(∞)
100% y(∞)
ymax
t tr
Obrázek 2.87 - Regulační pochod odpovídající standardnímu tvaru Obecně má přenos řízení GW/Y(s) členy an ≠ 1, a0 ≠ 1. Proto je nutno jej přetransformovat tak, aby platilo an = a0 = 1. Postup je takový, že nejprve podělíme čitatele i jmenovatele koeficientem a0 a potom použijeme substituci 1
a n s 0 q an
(2.178)
dostaneme tak přenos řízení ve tvaru
GW / Y (q )
n n
b0 a0
2 n
1 n
an a0 a a a a q n 2 0 q 2 1 0 q 1 a0 an a0 an a0 an
n
0
n q 1q 0
(2.179)
Koeficientům αi přiřadíme tabelované hodnoty ai příslušného standardního tvaru z tabulky (viz Tabulka 2.30) pro daný stupeň, tj. ai i . Získáme tak vztahy, ze kterých vypočítáme vyšetřované hodnoty stavitelných parametrů regulátoru, které jsou zahrnuty v koeficientech
i , tj. řešíme soustavu rovnic. Tabelované časy tab , tr tab se přepočítají na skutečné časy podle následujících vztahů
tab n
an tab a , tr tr n n a0 a0 234
Obdobným způsobem byly vypracovány tabulky koeficientů standardního tvaru pro přenosové funkce dalších dvou typů, tedy
GW / Y ( s )
b1s b0 an s a1s a0
(2.180)
GW / Y ( s )
b2 s 2 b1s b0 an s n a1s a0
(2.181)
n
přičemž jim odpovídající tabulky koeficientů jsou uvedeny níže (viz Tabulka 2.31, resp. Tabulka 2.32) Tabulka 2.30 - Standardní tvary přenosové funkce typu (2.176) stupeň n
a6 2 3 4 5 6
charakteristické hodnoty regulovaného pochodu
koeficienty
1
a5
1 3,7
a4
1 3,2 7,5
a3
a2
a1
a0
1 2,6 5,2 9,1
1 2 3,4 5,2 7,5
1,4 2 2,6 3,2 3,7
1 1 1 1 1
tab [s ] t r tab [s] ymax [%] 2,65 3,35 4,25 4,95 5,55
7 9,5 15 >18
5 8,7 11,7 13 13,3
Tabulka 2.31 - Standardní tvary přenosové funkce typu (2.180) stupeň n
a6 2 3 4 5 6
charakteristické hodnoty regulovaného pochodu
koeficienty
1
a5
1 11
a4
1 9 43
a3
a2
a1
a0
1 7,2 29 83
1 5,1 16 38 73
2,5 6,3 12 18 25
1 1 1 1 1
tab [s ] t r tab [s] ymax [%] 2 4,1 5,5 6,8 8
10 10 10 10 10
Tabulka 2.32 - Standardní tvary přenosové funkce typu (2.181) stupeň n
a6 3 4 5 6
charakteristické hodnoty regulovaného pochodu
koeficienty
1
a5
1 36
a4
a3
a2
a1
a0
1 18 251
1 7,9 69 485
6,7 15 69 251
6,7 7,9 18 36
1 1 1 1
235
tab [s ] t r tab [s] ymax [%] 3,5 5,4 6,5 8
10 15 20 20
POZNÁMKA Mimo výše uvedeného postupu nastavení parametrů regulátoru Whiteleyovou metodou standardních tvarů je možno využít i jiný, tj. druhý postup (způsob) pro nastavení parametrů regulátoru touto metodou. Tento postup je uvedený dále v této poznámce. Pro vlastní dynamiku regulačního obvodu je směrodatný polynom ve jmenovateli přenosu řízení. Stejně jako u výše uvedeného postupu i zde je metoda nastavení parametrů regulátoru určena pro tři základní typy přenosů řízení. Základní členění je provedeno podle tvaru žádané hodnoty (skok polohy (skoková změna), skok rychlosti, skok zrychlení) a řádu astatismu otevřeného regulačního obvodu, při splnění podmínky nulovosti regulační odchylky. 1. Nulová regulační odchylka při skokové změně žádané veličiny Přenos řízení a přenos otevřeného regulačního obvodu (řád astatismu q = 1) jsou uvažovány ve tvaru GW / Y ( s )
a0 n
a n s a n 1 s
n 1
GO ( s )
a1 s a 0
a0
(2.182)
a n s a n 1 s n 1 a1 s n
Tabulka 2.33 - Standardní tvary přenosové funkce typu (2.182) stupeň n
charakteristický polynom F(s)
překmit
s 2 1,4cs c 2
2
3
2
5 2
3
3
s 2cs 2c s c
4
s 4 2,6cs 3 3,4c 2 s 2 2,6c 3 s c 4 5
4
8
2 3
3 2
10 4
s 3,2cs 5,2c s 5,2c s 3,2c s c
5
5
10
*) Konstanta c je libovolně volitelná. 2. Nulová regulační odchylka při skoku rychlosti žádané veličiny Přenos řízení a přenos otevřeného regulačního obvodu (řád astatismu q = 2) jsou uvažovány ve tvaru GW / Y ( s )
a1 s a 0 n
a n s a n 1 s
n 1
GO ( s )
a1 s a 0
a1 s a 0
(2.183)
a n s a n 1 s n 1 a 2 s 2 n
Tabulka 2.34 - Standardní tvary přenosové funkce typu (2.183) stupeň n 2 3
charakteristický polynom F(s) s 2 2,5cs c 2 3
2
10 2
s 5,1cs 6,3c s c 4
3
překmit
2 2
3
10 3
4
4
s 7,2cs 16c s 12c s c
5
s 5 9cs 4 29c 2 s 3 38c 3 s 2 18c 4 s c 5
10 10
*) Kořeny charakteristického polynomu tvoří aritmetickou řadu (všechny jsou reálné). 236
3. Nulová regulační odchylka při skoku zrychlení žádané veličiny Přenos řízení a přenos otevřeného regulačního obvodu (řád astatismu q = 3) jsou uvažovány ve tvaru GW / Y ( s )
a 2 s 2 a1 s a 0 a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
GO ( s )
a 2 s 2 a1 s a 0
(2.184)
a n s n a n 1 s n 1 a3 s 3
Tabulka 2.35 - Standardní tvary přenosové funkce typu (2.184) stupeň n
charakteristický polynom F(s) 3
2
2
3
překmit
3
s 6,7cs 6,7c s c
4
s 4 7,9cs 3 15c 2 s 2 7,9c 3 s c 4
15
5
s 5 18cs 4 69c 2 s 3 69c 3 s 2 18c 4 s c 5
20
10
*) Kořeny charakteristického polynomu tvoří geometrickou řadu (všechny jsou reálné).
PŘÍKLAD Určeme parametry regulátoru pomocí Whiteleovy metody. Uvažujme přitom přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech Přenos soustavy:
GS ( s)
1 s 3s 3s 1 3
Přenos regulátoru: GR ( s) r0
2
r1 1 k P 1 s T s I
Nejprve určíme přenos řízení GW/Y(s)
r 1 r0 1 3 2 r0 s r1 GR (s)GS (s) s s 3s 3s 1 GW / Y (s) 4 3 r 1 1 GR (s)GS (s) s 3s 3s 2 1 r0 s r1 1 r0 1 3 s s 3s 2 3s 1 Standardní tvar přenosu získáme dělením všech koeficientů přenosu hodnotou a0 = r-1 a v dalším kroku pak použitím substituce 1
1
a n r 4 s 0 q 1 q 1 an postupně dostáváme
r0 s 1 r1 GW / Y ( s ) 1 4 3 3 3 2 1 r0 r s 1 s s s r1 r1 r1 r1 r1 237
1 r0 r1 4 q 1 r1 GW / Y (q ) 1 2 3 4 1 r1 4 q 4 3 r1 4 q 3 3 r1 4 q 2 1 r0 r1 4 q 1 r1 r1 r1 r1
Vzniklé koeficienty i charakteristické rovnice se porovnají s koeficienty standardního tvaru v odpovídající tabulce (viz Tabulka 2.31) pro čtvrtý stupeň charakteristického polynomu a dostaneme
a4 4 1 1 a3 3 7,2
a 2 2 16
a1 1 12
3 3 r1 4 31 4 3 r1 r1 r1 4 2 3 r1 4 31 r1 r1 2
3 r1
1 1 r0 r1 4 1 r30 1 r03 4 r1 r1 r1 4
a0 0 1 1 Na základě výše uvedených podmínek se určí parametry PI regulátoru. Z podmínky a3 3 se určí parametr r1 a z podmínky a1 1 se určí parametr r0, tedy 4
7,2
12
3 3 r1 0,0301 4 r 7 , 2 1
1 r0 4 r13
r0 124 r13 1 0,1328
Hodnota zesílení regulátoru r0 vyšla záporná. Fyzikální význam nastavení záporné hodnoty nemá smysl. Byla zvolena nesprávná struktura regulátoru. Pro nastavení parametrů regulátoru touto metodou je tady třeba vybrat jinou strukturu regulátoru. Nabízí se možnost použít například regulátor typu I, tzn. čistě integrační regulátor, tedy Přenos regulátoru: G R ( s )
r1 s
Opět nejprve určíme přenos řízení GW/Y(s) 1 r1 3 2 GR ( s )GS ( s ) r1 s s 3s 3s 1 GW / Y ( s ) 4 3 1 1 GR ( s )GS ( s ) r s 3s 3s 2 s r1 1 1 3 s s 3s 2 3s 1
238
Standardní tvar přenosu získáme dělením všech koeficientů přenosu hodnotou a0 = r-1 a v dalším kroku pak použitím substituce 1
1
a n r 4 s 0 q 1 q 1 an postupně dostáváme
1 r 1 4 3 3 3 2 1 s s s s 1 r1 r1 r1 r1 r1
GW / Y ( s )
GW / Y (q )
1 4 r1 4 q 4
1 r1
3 r1 4 q 3
3 r1
1 2 3 r1 4 q 2 1 r1 4 q 1 r1 r1
Vzniklé koeficienty i charakteristické rovnice se porovnají s koeficienty standardního tvaru v odpovídající tabulce (viz Tabulka 2.30) pro čtvrtý stupeň charakteristického polynomu a dostaneme
a4 4 1 1 a3 3 2,6 a2 2 3,4 a1 1 2,6
3 3 r1 4 31 r1 r1 4
4
2 3 r1 4 31 r1 r1 2 1 1 r1 4 1 3 r1 r1 4
3 r1 3 r1 1
4
r13
a0 0 1 1 Na základě výše uvedených podmínek se určí parametry I regulátoru. Z podmínky například
a1 1 se určí parametr r1 , tedy
2,6
1 4
r13
r1 0,2797
Parametr regulátoru r1 lze určit i z podmínek a2 2 a a3 3 , tedy určené řešení není jediné. Tedy parametr r1 může být tedy také následující Pro podmínku a2 2 platí r1 0,7785 Pro podmínku a3 3 platí r1 1,7725 Získali jsme tři různá řešení. Zkontrolujeme stabilitu regulačního obvodu pro tři různé hodnoty jednoho parametru regulátoru.
239
Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu
s 4 3s 3 3s 2 s r1 0 Ověřením stability, například přímým určením kořenů, příp. využitím kritérií stability, je zřejmé, že parametr r1 1,7725 způsobí nestabilitu uzavřeného regulačního obvodu. Zbývající dva parametry zajistí stabilitu uzavřeného regulačního obvodu. Volíme tedy například řešení r1 0,2797 , tedy Přenos regulátoru
GR ( s)
0,2797 s
Z příkladu je zřejmé, že metodě chybí určení použitelnosti pro jednotlivé typu regulátorů, neboť v tomto případě bylo třeba změnit zadaný regulátoru typu PI na regulátor typu I. Dalším úskalím této metody může být i to, že při vyšším stupni charakteristického polynomu a tím i větším počtu podmínek dostaneme více řešení, přičemž výběr řešení není jednoznačný, stejně jako u výše řešeného zadání, kdy vyšly tři výsledky pro jeden parametr, přičemž dva z nich splňovaly podmínku stability uzavřeného regulačního obvodu, tedy nebylo možno jednoznačně rozhodnout, které z řešení vybrat. 2.5 y w u
y(t), w(t), u(t)
2
1.5
1
0.5
0 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.88 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a I regulátor jehož parametry byly získány pomocí Whiteleyovy metody 240
Pokud použijeme jiného postupu (způsobu) nastavení parametrů regulátoru Whiteleyovou metodou standardních tvarů uvedeného v poslední poznámce dostaneme následující řešení. Přenos soustavy a regulátoru tedy uvažujeme takto Přenos soustavy:
GS ( s)
1 3
2
s 3s 3s 1
Přenos regulátoru: G R ( s ) r0
1 ( s 1) 3
r1 r0 s r1 (T s 1) 1 k P I k P 1 s s TI s TI s
Nejprve určíme přenos otevřeného regulačního obvodu GO(s) GO ( s ) G R ( s )G S ( s ) k P
k P (TI s 1) (TI s 1) 1 3 TI s ( s 1) TI s ( s 1) 2 ( s 1)
Vhodnou úpravou přenosu otevřeného obvodu je možné tento přenos zjednodušit, tedy pokud použijeme určitou náhradu (kompenzaci) v tomto přenosu, např. TI 1 , pak dojde ke vzájemnému zkrácení dvojčlenů s 1 , čímž se přenos otevřeného regulačního obvodu zjednoduší na tvar GO ( s ) G R ( s )G S ( s ) k P
kP (TI s 1) 1 3 s s ( s 1) 2 ( s 1)
přenos řízení GW/Y(s) pak bude ve tvaru kP GW / Y ( s )
G R ( s )G S ( s ) 1 G R ( s )G S ( s )
kP s ( s 1) 2 3 kP s 2s 2 s k P 1 s ( s 1) 2
Stupeň astatismu je q = 1, což je zřejmé z přenosu otevřeného regulačního obvodu. K určení zbývajícího parametru regulátoru, tj. parametru kP bude využito výše uvedené tabulky (viz Tabulka 2.33), konkrétně řádku odpovídající třetímu stupni charakteristického polynomu F(s). Porovnáním jmenovatele přenosu řízení GW/Y(s) s polynomem F(s) ze zmíněné tabulky dostaneme hodnotu stavitelného parametru regulátoru, tedy s 3 2 s 2 s k P s 3 2cs 2 2c 2 s c 3 2c 2
c 1
2
2c 1 c 0,5 c3 kP kP 3 c,
k P1 1 (pro c 1),
k P 2 6 0,5 (pro c 0,5)
Z výše uvedeného je zřejmé, že dané řešení není jednoznačné, neboť byly získány dvě hodnoty parametru regulátoru kP. Kontrolou stability bylo ověřeno, že určený parametr kP pro obě získané hodnoty zajistí stabilitu uzavřeného regulačního obvodu. Volíme tedy například řešení k P 6 0,5 0,8909 . Parametry PI regulátoru tedy budou k P 6 0,5 0,8909 a
TI 1 , resp. r0 0,8909 a r1 k P TI 0,8909 . 241
Přenos regulátoru
G R ( s) 0,8909
0,8909 1 0,8909 1 s s
Pro získání jednoznačného řešení při určování parametrů regulátoru při současném použití kompenzace, tak jak bylo provedeno u tohoto příkladu, by zde bylo nutno zvolit jinou strukturu regulátoru, např. regulátor PID. 3 y w u
2.5
y(t), w(t), u(t)
2 1.5 1 0.5 0 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.89 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány využitím druhého způsobu nastavení parametrů regulátoru Whiteleyovou metodou
Metoda požadovaného modelu Metoda umožňuje snadné a rychlé seřízení standardních typů analogových i číslicových regulátorů pro základní druhy regulovaných soustav s dopravním zpožděním. Typ regulátoru je doporučen z hlediska vlastností regulované soustavy a požadavku na nulovou trvalou regulační odchylku způsobenou skokovou změnou polohy žádané veličiny, resp. poruchy působící na výstupu regulované soustavy. Je uvažován zpětnovazební regulační obvod (obecně viz Obrázek 2.70), ve kterém je použit regulátor s přenosem GR(s) (viz Tabulka 2.36). Aby bylo možno použít tuto metodu, musí být zajištěno, aby přenos regulované soustavy GS(s) byl jedním ze základních tvarů uvedených v 242
tabulce (viz Tabulka 2.38). Pro regulované soustavy, které nemají jeden ze základních tvarů obrazového přenosu GS(s), je třeba jejich přenos nejprve aproximovat na jeden ze základních tvarů (viz kapitola 2.7.1 a 2.7.2) a poté použít tuto metodu nastavení parametrů regulátoru. Tabulka 2.36 - Přenosy konvenčních analogových regulátorů použitých u metody požadovaného modelu Typ regulátoru
P
PI
PD
PID
Přenos regulátoru
kP
1 k P 1 TI s
k P 1 TD s
1 TD s k P 1 TI s
Přenos doporučeného spojitého konvenčního regulátoru je dán vztahem
GR (s)
GW / Y ( s) 1 GS ( s) 1 GW / Y ( s)
(2.185)
přičemž požadovaný přenos řízení GW/Y(s) se uvažuje ve tvarech bez dopravního zpoždění GW / Y ( s )
1 TW s 1
s dopravním zpožděním (2.186)
GW / Y ( s )
aO s aO e
Ls
e Ls
(2.187)
kde aO je zesílení otevřeného regulačního obvodu se spojitým regulátorem, L je dopravní zpoždění stejné jako u regulované soustavy, TW je požadovaná časová konstanta regulačního obvodu (viz Obrázek 2.90) Pomocí této metody je možné navrhnout parametry regulátoru jak pro soustavy bez dopravního zpoždění, tak i pro soustavy s dopravním zpožděním, viz Tabulka 2.38. a)
b)
L=0
hW (t)
hW (t) 1
1
>0
L>0
=0
TW
t
L
t
Obrázek 2.90 - Přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu a) L = 0, b) L > 0 pro spojitou verzi nastavení parametrů regulátoru metodou požadovaného modelu
243
U soustav bez dopravního zpoždění (L = 0), je nutné při volbě časové konstanty regulačního obvodu TW brát ohled na omezení akční veličiny a maximální nastavitelnou hodnotu zesílení regulátoru kPmax. U soustav s dopravním zpožděním (L > 0), je třeba zvolit hodnotu překmitu (viz Tabulka 2.37), aby bylo možno určit parametr aO, což je zesílení otevřeného regulačního obvodu. Pokud je dopravní zpoždění L velmi malé, hodnotu určeného koeficientu aO je třeba vhodně snížit s ohledem na omezení akční veličiny a maximální nastavitelnou hodnotu zesílení regulátoru kPmax. Tabulka 2.37 - Koeficient pro výpočet zesílení otevřeného regulačního obvodu
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
2,718 1,944 1,720 1,561 1,437 1,337 1,248 1,172 1,104 1,045 0,992
Určení parametru aO pro zadaný překmit se určí podle vztahu aO
1 L
(2.188)
přičemž rozsah překmitu 0;0,5 odpovídá překmitu 0 - 50 % Nastavitelné parametry jednotlivých typů regulátorů, pomocí metody požadovaného modelu, odpovídající daným typům regulovaných soustav, jsou uvedeny v následující tabulce Tabulka 2.38 - Určení nastavitelných parametrů regulátoru pro metodu požadovaného modelu Regulovaná soustava
Typ
kP L=0
L>0
TI
TD
GS (s)
c S LS e s
P
1 cS TW
aO cS
-
-
GS (s)
k e Ls (T1 s 1)
PI
TI kTW
a O TI k
T1
-
GS ( s)
cS e Ls s (T1 s 1)
PD
1 cS TW
aO cS
-
T1
GS ( s)
k e Ls ; T1 T2 , (T1 s 1)(T2 s 1)
PID
TI kTW
a O TI k
T1 T2
T1T2 T1 T2
PID
TI kTW
a O TI k
2T0
T0 2
GS (s)
k 2 2
(T0 s 2T0 s 1)
e Ls ; 0,5 1
kde Ti jsou časové konstanty (i = 0, 1, 2), je koeficient poměrného tlumení, k je koeficient zesílení, cS - statický činitel rychlosti
244
PŘÍKLAD Určeme parametry regulátoru pomocí metody požadovaného modelu. Uvažujme přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech
GS (s)
Přenos soustavy:
1 3
2
s 3s 3s 1
Přenos regulátoru: G R ( s) r0
1 ( s 1) 3
r1 1 k P 1 s TI s
Pro zadaný přenos regulované soustavy, není možno ihned využít metodu požadovaného modelu. Omezením je nejen samotný přenos regulované soustavy, který neodpovídá ani jednomu typu přenosu regulované soustavy z tabulky (viz Tabulka 2.38), ale také to, že v zadání je definováno, že přenos regulátoru má být ve tvaru PI regulátoru. Z uvedené tabulky tedy vyplývá, že abychom mohli použít nastavení PI regulátoru pomocí metody požadovaného modelu, musíme nejprve upravit zadaný přenos regulované soustavy na tvar odpovídající řádku 2 v uvedené tabulce. Přenos regulované soustavy tedy upravíme na tvar přenosu odpovídající řádku č. 2 (viz Tabulka 2.38), přičemž parametry upraveného přenosu regulované soustavy budeme nejprve uvažovat stejné jako u metod nastavení parametrů regulátoru vycházejících z přenosu tříparametrového modelu, tedy GS ( s )
1 s 3s 3s 1 3
2
GS , upr ( s)
1 e 0,8051s 2,453s 1
přičemž časová konstanta T = 2,453 byla určena z přechodové charakteristiky regulované soustavy pro y(T) = 0,6321k Tvar přenosu GS,upr(s) již odpovídá přenosu řádku 2 tabulky, kde je doporučen PI regulátor
GS ( s )
k e Ls (T1 s 1)
přičemž k = 1; T1 = 2,453; L = 0,8051 Parametry regulátoru budou určeny pro požadovaný překmit přechodové charakteristiky regulačního obvodu = 0,10 10%
1 1 0,7221 L 1,720 0,8051 a T r TI T1 2,453; k P O I 1,7714 r0 1,7714; r1 0 0,7221 k TI aO
245
Přenos regulátoru G R ( s ) 1,7714
0,7221 1 1,77141 s 2,453s
3.5 y w u
3
y(t), w(t), u(t)
2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.91 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí metody požadovaného modelu Z průběhu regulačního pochodu je zřejmé, že překmit výstupní veličinu u výše uvedeného regulačního pochodu je větší než požadovaných 10 %. Daný rozdíl je způsobený méně přesnou aproximací původního přenosu regulované soustavy požadovaným tvarem přenosu regulované soustavy. Je tedy třeba zdůraznit, čím přesnější aproximace regulované soustavy, tím více odpovídající chování regulačního pochodu, tj. splnění zadaných podmínek, jako je například požadovaný překmit u systémů s dopravním zpožděním nebo požadovaná časová konstanta regulačního obvodu TW u systémů bez dopravního zpoždění, kterou je možno určit například jako součet časových konstant získaných z přenosu regulované soustavy. V další části příkladu je ukázáno, že zpřesněním aproximace zadaného přenosu regulované soustavy požadovaným tvarem přenosu je možno se více přiblížit žádanému chování regulačního pochodu, tedy zajistit parametry regulačního pochodu, například požadovaný překmit, dobu regulace, atd. Jelikož v předchozí části bylo již podrobně popsáno určení parametrů regulátoru metodou požadovaného modelu, budou v další části tohoto příkladu uvedeny výsledky bez podrobnějšího popisu řešení. 246
Přesnější náhrada zadaného přenosu regulované soustavy Bylo využito výsledků kapitoly 2.7.2, konkrétně tabulky pro převod přenosů proporcionálního členu i-tého řádu (viz Tabulka 2.16) a) varianta č.1 (tří-parametrový model) GS (s)
1 s 3 3s 2 3s 1
1 ( s 1) 3
1 1 e 1, 232 s G SA,,upr (s) 1,98s 1
b) varianta č.2 (tří-parametrový model se setrvačností 2.řádu) GS (s)
1 3
2
s 3s 3s 1
1 ( s 1)
3
1 (1,263s 1)
2
2 e 0,535 s G SA,,upr (s)
Určení parametrů regulátoru 1 a) Parametry regulátoru pro upravený přenos regulované soustavy GSA,,upr (s)
Pro upravený přenos regulované soustavy byly využity výpočty parametrů regulátoru z řádku č.2 výše uvedené tabulky (viz Tabulka 2.38) pro zadaný překmit 10 %. Typ regulátoru je podle zmíněné tabulky PI regulátor, což odpovídá požadovanému typu regulátoru v zadání, tedy
1 1 0,4719 L 1,720 1,232 a T r TI T1 1,98; k P O I 0,9344 r0 0,9344; r1 0 0,4719 k TI aO
G R ( s) 0,9344
0,4719 1 0,9344 1 s 1,98s
2 b) Parametry regulátoru pro upravený přenos regulované soustavy G SA,,upr (s)
Pro upravený přenos regulované soustavy byly využity výpočty parametrů regulátoru z řádku č.4 (zde je však možno využít i řádku č.5) výše uvedené tabulky (viz Tabulka 2.38) pro zadaný překmit 10 %. V tomto případě, podle zmíněné tabulky, budeme muset použít jiný typ regulátoru, než jaký byl požadován v zadání, tzn. bude využit regulátor typu PID, tedy
1 1 1,0867 L 1,720 0,535 a T TT TI T1 T2 2,5260; k P O I 2,7451; TD 1 2 0,6315 r0 , r1 , r1 k T1 T2 aO
r0 k P 2,7451; r1
G R ( s) 2,7451
r0 1,0867; r1 r0TD 1,7335 TI
1,0867 1 1,7335s 2,74511 0,6315s s 2,5260s 247
h(t)
1 0.9
původní přenos GS(s)
0.8
upravený přenos GS,upr(s)
0.7
upravený přenos GA,1 (s) S
0.6
upravený přenos GA,2 (s) S
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18 t
Obrázek 2.92 - Srovnání přechodové charakteristiky zadané regulované soustavy s přechodovými
y(t), w(t), u(t)
y(t), w(t), u(t)
charakteristikami regulovaných soustav získaných úpravami zadané regulované soustavy 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
y w u
50
100
150 t
200
250
300
y w u
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.93 - Průběhy regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI, resp. PID regulátor, jejichž parametry byly získány pomocí metody požadovaného modelu pro 1 2 upravené přenosy zadané regulované soustavy G SA,,upr ( s ) a G SA,,upr (s)
248
Regulační obvody s dopravním zpožděním V regulačních obvodech se často vyskytuje člen dopravního zpoždění, který představuje exponenciální výraz e-Ls. Tento člen dopravního zpoždění je zejména vlastností regulované soustavy a zhoršuje stabilitu obvodu. Dopravní zpoždění můžeme kompenzovat a to použitím zapojení, jež je nazýváno jako Smithův prediktor. Mimo kompenzace dopravního zpoždění pomocí níže uvedeného zapojení můžeme použít i klasický zpětnovazební obvod, s tím, že toto zpoždění aproximujeme. Aproximované dopravní zpoždění poté můžeme zahrnout přímo do přenosu regulované soustavy, a pro takto upravenou soustavu využít metod syntézy navržených pro nastavení parametru regulátoru pro soustavy bez dopravního zpoždění. U soustav obsahujících dopravní zpoždění není vždy nutné provádět kompenzace tohoto zpoždění pomocí Smithova prediktoru nebo aproximovat toto zpoždění. Existují totiž i metody syntézy, které určí parametry regulátoru i pro soustavy obsahující dopravní zpoždění, a to například metoda požadovaného modelu, metody vycházející z tříparametrového modelu (soustava se setrvačností 1. řádu s dopravním zpožděním), aj. W(s)
E(s)
řízený systém GR (s)
GS (s)
e -Ls
GS (s)
e -Ls
Y(s)
model
Obrázek 2.94 - Smithův prediktor Simulační ověření chování regulačního pochodu může být například opět provedeno s využitím programu MATLAB/SIMULINK. Simulační schéma obvodu by pak bylo uvažováno následující Řídicí systém Žádaná hodnota
Regulátor
Řízený systém
Dopravní zpoždění
Regulovaná soustava bez zahrnutého dopravního zpoždění
Dopravní zpoždění
Řízený systém
Dopravní zpoždění
Regulovaná soustava - model bez zahrnutého dopravního zpoždění
Dopravní zpoždění - model
y u w
Mux
Obrázek 2.95 - Simulační schéma Smithova prediktoru v MATLAB/SIMULINKu 249
y, u, w
Přenos řízení regulačního obvodu určíme z výše uvedeného obrázku. Dostáváme tedy
GW / Y ( s )
Y ( s) GR ( s )GS ( s ) e sL W ( s ) 1 GR ( s )GS ( s ) e sL GR ( s )GS ( s ) e sL GR ( s )GS ( s )
G ( s )GS ( s ) e sL R 1 GR ( s )GS ( s )
(2.189)
Charakteristická rovnice uzavřeného obvodu
1 G R ( s )G S ( s ) 0
(2.190)
již neobsahuje člen s dopravním zpožděním a je stejná jako u obvodu bez dopravního zpoždění. Aby mohla být u tohoto zapojení zajištěna kompenzace dopravního zpoždění, je nutná přesná znalost tohoto zpoždění. Pokud nejsme schopni realizovat spojitý model dopravního zpoždění s přenosem
G L ( s ) e sL
(2.191)
je nutno toto dopravní zpoždění aproximovat, viz níže. Aproximace dopravního zpoždění Existuje několik způsobů aproximace dopravního zpoždění, zde jsou uvedeny tři způsoby aproximace dopravního zpoždění Padého aproximace
e Ls
Pn ( s ) Qn ( s )
(2.192)
kde Pn(s) a Qn(s) se určí ze vztahů
Pn ( s ) 1
1n n ! s n Ln sL nn 1 s 2 L2 2n ! 2 2n2n 1 2 !
Qn ( s ) 1
sL nn 1 s 2 L2 n! n n s L 2n ! 2 2n2n 1 2!
Nejčastěji je používána Padého aproximace ve zjednodušeném tvaru (n = 1)
e Ls
sL 2 sL 1 2 1
(2.193)
250
Taylorova aproximace čitatele
e Ls 1 Ls
(1) n n! Ls n n 0
(2.194)
Pro n = 1 platí
e Ls 1 Ls
(2.195)
Taylorova aproximace jmenovatele e Ls
1 1 Ls 1 Ls e
1 1 n!Ls n n0
(2.196)
Pro n = 1 platí
e Ls
1 1 Ls
(2.197)
POZNÁMKA Přesnost aproximace lze ovlivnit volbou hodnoty n, přičemž platí, že čím vyšší je n tím je aproximace přesnější, ale na druhou stranu roste stupeň čitatele, resp. jmenovatele výsledného aproximovaného přenosu. Hodnota n by se proto měla volit s ohledem na velikost dopravního zpoždění. Pro aproximaci menšího dopravního zpoždění (menší s ohledem na dynamiku řízeného systému) je možno použít hodnoty n = 1, n = 2.
PŘÍKLAD Mějme přenos soustavy s dopravním zpožděním ve tvaru
GS ( s) GS * ( s ) e Ls
1 e 10 s 20 s 1
S využitím výše popsaných aproximací dopravního zpoždění máme pro zadanou regulovanou soustavu vykreslit přechodové charakteristiky a frekvenční charakteristiky v komplexní rovině. Pro aproximaci dopravního zpoždění bude použita hodnota n = 1, tedy a) přenos soustavy při použití Padého aproximace G SA,1 ( s )
1 20 s 1
10 s 2 10 s 1 5s 2 2 10 s 200 s 50 s 2 100 s 2 25s 1 1 2 1
251
b) přenos soustavy při použití Taylorovy aproximace čitatele
G SA, 2 ( s )
1 1 10s 1 10s 20s 1 20s 1
c) přenos soustavy při použití Taylorovy aproximace jmenovatele G SA, 3 ( s )
1 1 1 2 20 s 1 1 10s 200s 30s 1
h(t)
1
GS(s) - původní přenos *
GS(s) - zanedbání dopravního zpoždění
0.5
A,1
GS (s) - Padého aproximace A,2
GS (s) - Taylorova aproximace čitatele A,3
GS (s) - Taylorova aproximace jmenovatele 0
-0.5
0
20
40
60
80
100
120 t
Obrázek 2.96 - Přechodové charakteristiky pro zadanou soustavu při použití 3 způsobů aproximace dopravního zpoždění 0.2 Im
GS(s) - původní přenos *
GS(s) - zanedbání dopravního zpoždění
0
A,1
GS (s) - Padého aproximace A,2
GS (s) - Taylorova aproximace čitatele
-0.2
A,3
GS (s) - Taylorova aproximace jmenovatele -0.4
-0.6
-0.8 -0.5
0
0.5
1 Re
Obrázek 2.97 - Frekvenční charakteristiky v komplexní rovině (Nyquistovy charakteristiky) pro zadanou soustavu při použití 3 způsobů aproximace dopravního zpoždění
252
PŘÍKLAD Mějme přenos regulované soustavy s dopravním zpožděním ve tvaru GS s
2 e 2 s 4s 1
Přenos regulátor je ve tvaru G R s r0
r1 1 k P 1 s TI s
Máme navrhnout parametry regulátoru s využitím Naslinovy metody pro maximální překmit 5 %. Dané dopravní zpoždění přitom máme a) zanedbat b) aproximovat vybranou metodou aproximace, např. Taylorovou aproximací jmenovatele c) kompenzovat pomocí Smithova prediktoru ad a)
výpočet parametrů regulátoru pro přenos regulované soustavy, kde se při výpočtu nebude uvažovat dopravní zpoždění (zanedbáme dopravní zpoždění)
Pro danou metodu syntézy, tj. Naslinovu metodu nejprve určíme přenos řízení r 2 r0 1 G R s G S s 2r0 s 2r1 s 4 s 1 GW / Y s 2 r 2 4 s s 1 2r0 2r1 1 G R s G S s 1 r0 1 s 4 s 1
Charakteristický polynom je pak ve tvaru
F ( s ) 4 s 2 s (1 2r0 ) 2r1 f i 2 f i 1 f i 1
pro i = 1, 2, ...,(n-1)
Platí (α = 2, viz Tabulka 2.29) pro i = 1: 1 2r0 2 2 2 r1 4 Máme tedy 1 rovnici a 2 neznámé. Z podmínky stability určíme jednu z neznámých, tj. r-1, neboť pro splnění podmínky stability musí platit 2 r-1>0 r-1>0, tj. všechny členy charakteristické rovnice v tomto případě 2. řádu musí být větší jako nula, aby byla splněna v tomto případě nejen nutná, ale i postačující podmínka stability.
r1 0 r1 1
1 2r0 2 2 2 1 4
1 2r0 2 16
r0
Parametry regulátoru r0 2; r1 1 k P 2; TI
r0 2 r1
253
16 1 2
r0 1,5 r0 2
Přenos regulátoru G R ( s) 2
3
1 1 2 1 s 2s
x 10
23
y w u
2
y(t), w(t), u(t)
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.98 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí Naslinovy metody při zanedbání dopravního zpoždění Z průběhu výše uvedeného regulačního pochodu (viz Obrázek 2.98) pro regulační obvod seřízený Naslinovou metodou se zanedbáním dopravního zpoždění je zřejmé, že daný regulační obvod je nestabilní. ad b) výpočet parametrů regulátoru pro přenos s aproximovaným dopravním zpožděním; k aproximaci dopravního zpoždění použijeme prvních dvou členů Taylorova rozvoje (Taylorova aproximace jmenovatele) Nejprve určíme nový přenos řízeného systému s aproximovaným dopravním zpožděním GS ( s)
2 2 1 2 e 2 s GS A ( s) 2 4s 1 4 s 1 2 s 1 8s 6 s 1
Pro danou metodu syntézy, tj. Naslinovu metodu, určíme přenos řízení r 2 r0 1 2 G R s G S s 2r0 s 2r1 s 8s 6 s 1 GW / Y s 3 r 1 G R s G S s 2 8s 6 s 2 s 1 2r0 2r1 1 r0 1 2 s 8s 6 s 1
254
Charakteristická rovnice je pak ve tvaru
F ( s ) 8s 3 6 s 2 s (1 2r0 ) 2r1 0 f i 2 f i 1 f i 1
pro i = 1, 2, ...,(n-1)
Platí (pro α = 2) pro i = 1: 1 2r0 2 2 2 r1 6 pro i = 2: 6 2 2(1 2r0 ) 8 Pro výpočet nastavitelných parametrů regulátoru r0 a r-1 použijeme v podmínkách pro i = 1 a 2 mezní případ, tedy rovnost 36 16(1 2r0 ) 36 16 32r0 20 32r0 r0 0,625 (1 2 0,625) 2 24r1 5,0625 24r1 r1 0,2109
Parametry regulátoru r0 0,625; r1 0,2109 k P 0,625; TI
r0 2,9635 r1
Přenos regulátoru G R ( s ) 0,625
0,2109 1 0,625 1 s 2,9635s
2.5 y w u
y(t), w(t), u(t)
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.99 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí Naslinovy metody při aproximaci dopravního zpoždění
255
Na výše uvedeném obrázku (viz Obrázek 2.99) je zobrazen průběh regulačního pochodu pro regulační obvod seřízený Naslinovou metodou s uvažování aproximace dopravního zpoždění. Z uvedeného průběhu je zřejmé, že daný regulační obvod je stabilní. Výsledný překmit je větší jak 25 %, což je více než požadovaný překmit 5 %. Daný rozdíl může být způsobený ne zcela přesnou aproximací daného dopravního zpoždění, případně také nepřesností samotné použité metody nastavení parametrů regulátoru. ad c)
výpočet parametrů regulátoru pro přenos zadané regulované soustavy, kde při výpočtu nebude přímo zahrnuto dopravní zpoždění, ale toto dopravní zpoždění bude v regulačním obvodu kompenzováno pomocí rozvětveného regulačního obvodu s modelem regulované soustavy (Smithův prediktor - viz Obrázek 2.94, resp. Obrázek 2.95)
Postup při určování parametrů regulátoru a tedy i výsledné parametry a přenos regulátoru jsou stejné jako u bodu a), tzn. Přenos regulátoru G R ( s) 2
1 1 2 1 s 2s
Rozdíl oproti bodu a) je v tom, že pro získání regulačního pochodu je použito schéma na výše uvedeném obrázku (viz Obrázek 2.95), kde vliv dopravního zpoždění, které je obsaženo v zadaném přenosu regulované soustavy, je kompenzován daným zapojením. 2.5 y w u
2
y(t), w(t), u(t)
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0
50
100
150 t
200
250
300
Obrázek 2.100 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PI regulátor jehož parametry byly získány pomocí Naslinovy metody při použití Smithova predátoru 256
Na výše uvedeném obrázku (viz Obrázek 2.100) je zobrazen průběh regulačního pochodu pro regulační obvod s kompenzací dopravního zpoždění seřízený Naslinovou metodou Z uvedeného průběhu je zřejmé, že daný regulační obvod je stabilní. Samotné dopravní zpoždění se díky použitému rozvětvenému regulačnímu obvodu (viz Obrázek 2.94, resp. Obrázek 2.95) projeví pouze posuvem regulačního pochodu právě o hodnotu dopravního zpoždění, což je zřejmé i z rovnice (2.189).
Výpočtové postupy při analýze a syntéze diskrétních regulačních obvodů s číslicovým regulátorem Výpočtové postupy při analýze a syntéze diskrétních regulačních obvodů s číslicovým regulátorem jsou dále rozděleny podle velikosti vzorkovací periody T, tzn. pro malou periodu vzorkování T a pro větší, příp. velkou periodu vzorkování T. Velikost vzorkovací periody T je přitom vztažena k dynamice regulované soustavy. Malá vzorkovací perioda T Při malé vzorkovací periodě T, tj. v případech, kdy T je podstatně menší než definují podmínky (viz Tabulka 2.20), např. T << 0,33L, resp. T << 0,17t0,95, případně T je i menší, je možno použít níže uvedenou strukturu diskrétního regulačního obvodu (viz Obrázek 2.101). a) w(t)
v(t) e(t)
e(kT) A/Č
u(kT)
ČÍSLOVÝ REGULÁTOR
Č/A
uH(t)
y(t)
REGULOVANÁ SOUSTAVA
SPOJITÝ REGULÁTOR ODPOVÍDAJÍCÍHO TYPU OBSAHUJÍCÍ NAVÍC ZPOŽDĚNÍ O VELIKOSTI T/2
b)
V(s) W(s)
E(s)
GR(s)
U(s)
e
T2 s
UH(s)
GS(s)
Y(s)
GSL (s )
Obrázek 2.101 - Blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem pro malou vzorkovací periodu Analogově-číslicový převodník A/Č je předsunut před číslicový regulátor a společně s číslicově analogovým převodníkem Č/A vytváří nový celek, tj. spojitý regulátor 257
odpovídajícího typu obsahující navíc zpoždění, které je rovno jedné polovině periody vzorkování T. Výstupní veličinou číslicového regulátoru je diskrétní akční veličina u(kT), která je po využití číslicově-analogového převodníku Č/A ve výsledku převedena na po částech spojitou veličinu v čase, tzv. tvarovanou veličinu uH(t) mající nejčastěji schodovitý průběh. Je přitom uvažováno, že blok Č/A obsahuje také tvarovač, který převede získanou posloupnost impulsů z Č/A převodníku na po částech spojitý signál. u(t) u+(t) uH(t) u(kT)
u(kT)
uH(t) u+(t) = u(t - T/2)
u(t) T/2
0
T
2T 3T 4T 5T 6T
T, kT
Obrázek 2.102 - Průběhy akčních veličin v regulačním obvodu s číslicovým regulátorem Z výše uvedeného obrázku vyplývá, že tvarovanou akční veličinu uH(t) pro malou hodnotu vzorkovací periodu T je možno nahradit spojitou akční veličinou u(t) zpožděnou o polovinu vzorkovací periody, tj. u+(t) = u(t - T/2) a že tato náhrada je tím lepší, čím menší je vzorkovací perioda. Pro přibližnou analýzu a syntézu regulačního obvodu s číslicovým regulátorem může být použito blokové schéma podle výše uvedeného obrázku (viz Obrázek 2.101). Číslicový regulátor se nahradí analogovým regulátorem odpovídajícího typu a člen dopravního zpoždění se přiřadí k regulovanou soustavě (viz Obrázek 2.101b). Pokud by se pro analýzu a syntézu použily metody, které jsou nevhodné pro regulované soustavy obsahující dopravní zpoždění, bylo by nutno nejprve použít některou z aproximací dopravního zpoždění (blíže viz obsah podkapitoly „Regulační obvody s dopravním zpožděním“), např.
e Ts
T s 1 4 příp. e Ts T T 1 s 1 s 4 2 1
(2.198)
Přesnější aproximace nejsou využívány a dále je třeba si uvědomit z hlediska výsledků, že jde pouze o přibližný postup. 258
Větší, příp. velká vzorkovací perioda T Při uvažované vzorkovací periodě T, tj. v případech, kdy T je přibližně rovno nebo je i větší než definují podmínky (viz Tabulka 2.20), např. T ≈ 0,33L, resp. T ≈ 0,17t0,95 případně T je i větší, je možno použít uvedenou strukturu diskrétního regulačního obvodu podle níže uvedeného obrázku (viz Obrázek 2.103). a) w(kT)
v(kT) e(kT)
ČÍSLOVÝ REGULÁTOR
u(kT)
Č/A
uH(t)
REGULOVANÁ SOUSTAVA
y(t)
y(kT) A/Č
DIKRÉTNÍ REGULOVANÁ SOUSTAVA
b)
V(z) W(z)
E(z)
GR(z)
U(z)
GS(z)
Y(z)
Obrázek 2.103 - Blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem pro větší, příp. velkou vzorkovací periodu Analogově-číslicový převodník je v tomto případě předsunut na výstup regulované soustavy, takže původní regulovaná soustava spolu s oběma převodníky Č/A a A/Č vytváří diskrétní regulovanou soustavu. Tedy dostáváme tak diskrétní regulační obvod s přenosem regulátoru GR(z) a s přenosem regulované soustavy GS(z). Z-přenos regulované soustavy GS(z) se určí ze vztahu (2.11), kde je uvažován tvarovač 0-tého řádu. Parametry diskrétního regulátoru se pak určí pomocí diskrétních metod syntézy, které jsou popsány v další části. Popsaný přístup k řešení diskrétních regulačních obvodů pro uvedenou velikost periody vzorkování (větší perioda vzorkování, příp. velká perioda vzorkování) je využit při ověřování diskrétních metod syntézy.
Vybrané metody nastavení parametrů diskrétních regulátorů Při ověřování průběhů regulačních pochodů v uzavřeném diskrétním regulačním obvodu budeme vycházet ze schématu diskrétního regulačního obvodu (viz Obrázek 2.29, příp. Obrázek 2.103). Simulační ověření chování regulačního pochodu bude provedeno s využitím programu MATLAB/SIMULINK. Simulační schéma tohoto obvodu bude uvažováno podle následujícího obrázku (viz Obrázek 2.104). 259
Řídicí systém Žádaná hodnota
Řízený systém Tvarovač 0-tého řádu
Diskrétní regulátor
Regulovaná soustava (spojitá)
y u
Mux
w
y, u, w
Obrázek 2.104 - Simulační schéma diskrétního regulačního obvodu v MATLAB/SIMULINKu U některých metod nastavení parametrů regulátoru bude pro ověření simulačního chování regulačního pochodu využito i jiné simulační schéma, které bude obsahovat modifikovaný PSD algoritmus, konkrétně Takahashiho modifikaci PSD algoritmu (viz rovnice (2.171)). Řízený systém Žádaná hodnota
Tvarovač 0-tého řádu
Regulovaná soustava (spojitá) y u w
Mux y, u, w
1
1
u(k-1)
z
y(k)
1
y(k-1)
1
z
y(k-2)
z
k_P
u(k)
k_S
2 k_D
Obrázek 2.105 - Simulační schéma diskrétního regulačního obvodu v MATLAB/SIMULINKu pro Takahashiho modifikaci PSD algoritmu V další části bude zejména u diskrétních verzí Zieglových-Nicholsových metod (tj. metoda seřízení regulátoru z kritických hodnot regulátoru a metoda seřízení regulátoru z průběhu přechodové charakteristiky regulované soustavy) použita modifikovaná verze (Takahashiho modifikace) obecně PSD algoritmu. Modifikované algoritmy základní verze PSD regulátoru jsou jedny z možných způsobů jak čelit prudkým a velkým změnám žádané veličiny w(kT) na 260
regulační pochod. U výše zmíněných Zieglových-Nicholsových metod jsou tedy využity modifikované algoritmy regulace, které lze zapsat v přírůstkovém tvaru (u algoritmu regulátoru typu P se modifikace neprovádí), tedy regulátor typu P
u ( kT ) k P e( kT ) e( k 1)T
(2.199)
modifikovaný algoritmus regulátoru typu PS u(kT) k P y(k 1)T y(kT)
k PT e(kT) k P y(k 1)T y(kT) k S e(kT) TI
(2.200)
modifikovaný algoritmus regulátoru typu PSD u (kT ) k P y(k 1)T y(kT )
k PT k T e(kT ) P D y(kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T (2.201) TI T
k P y(k 1)T y(kT ) k S e(kT ) k D y(kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T
přičemž platí u ( kT ) u ( kT ) u ( k 1)T . Je zřejmé, že u modifikovaných regulátorů v přírůstkovém tvaru proporcionální a diferenční složky nezpracovávají žádanou veličinu w(kT). V modifikovaných regulátorech v přírůstkovém tvaru váhy proporcionální kP, sumační, kS a diferenční kD složky závisí na druhu aproximace integrálu a derivace (viz Tabulka 2.21, Tabulka 2.22). Ve výše uvedených modifikovaných algoritmech PS a PSD regulátoru je uvažována zpětná obdélníková metoda (ZOBD).
Seřízení regulátoru z kritických hodnot regulátoru (diskrétní verze modifikované Zieglerovy - Nicholsovy metody) Seřizování stavitelných parametrů PSD regulátoru z kritických hodnot regulátoru vychází z její spojité verze návrhu PID regulátoru metodou kritického zesílení regulátoru, kde se nejprve vyřadí integrační a derivační složky PID regulátoru a následně se zvyšuje zesílení proporcionální složky až do okamžiku, kdy regulační obvod kmitá netlumeně. Tomuto kritickému nastavení pak odpovídá zesílení P složky r0k, resp. kPk a periody kmitů TK . Z těchto dvou hodnot jsou pak určeny hodnoty parametrů P, I a D složky, resp. P, S a D složky diskrétního regulátoru (viz dále uvedená tabulka). y(t)
t Tk Obrázek 2.106 - Určení kritických hodnot regulátoru r0k a Tk 261
Tabulka 2.39 - Nastavení parametrů regulátoru pomocí modifikované Zieglerovy-Nicholsovy metody kritického zesílení - diskrétní verze Typ regulátoru
kP
kS
kD
P
0,5k Pk
-
-
0 ,54 k Pk T Tk
-
PS
3T 0, 45 k Pk 1 5 Tk
PSD
T 0,6 k Pk 1 Tk
1,2 k Pk
T
3k Pk T k 40 T
Tk
Struktura, výše v tabulce uvedených regulátorů, bude v další části uvažována v přírůstkovém tvaru podle (2.199), (2.200) a (2.201). Schéma regulačního obvodu pak pro obecně PSD algoritmus bude uvažována podle výše uvedeného schématu (viz Obrázek 2.105).
POZNÁMKA Pro soustavu se setrvačností 2. řádu je možno použít níže uvedené schéma pro určení kritických parametrů Tk a kPk sloužících k určení parametrů PSD regulátoru. Z-přenos regulované soustavy je přitom uvažován ve tvaru G(s) G( z )
b1 z 1 b2 z 2
1 a1 z 1 a 2 z 2 START r1
1 a2 , b2
b b1 r1 a1 ,
ANO
k
1 b arccos , T 2
Tk
ANO
r2
a1 a 2 1 b2 b1
c b2 r1 a 2
b 2 4c 0
NE
2 k
TK 2T
b 2 4c 0
k PK r1
NE k PK r2
kP , kS , kD
Obrázek 2.107 - Schéma určení kritických parametrů regulátoru pro určení parametrů PSD regulátoru pro soustavu 2. řádu 262
PŘÍKLAD Máme určit parametry regulátoru pomocí diskrétní verze modifikované ZieglerovyNicholsovy metody kritického zesílení. Uvažujme přitom spojitý přenos regulované soustavy ve tvaru 3 (12 s 1)(2 s 1)
GS ( s)
a modifikovanou verzi PSD regulátoru (Takahashiho modifikace) ve tvaru u (kT ) u(k 1)T u (kT ) k P y(k 1)T y (kT ) k S e(kT ) k D y (kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T
Nejprve je třeba určit periodu vzorkování T pro kterou pak určíme diskrétní přenos regulované soustavy a použijeme ji také k určení parametrů zadaného modifikovaného PSD regulátoru, tedy periodu vzorkování určíme například ze vztahu (viz Tabulka 2.20)
1 1 1 1 T t 0,95 38 2,53 6,33 T 4 15 6 15 6 Zadané regulované soustavě a určené periodě vzorkování T odpovídá Z-přenos, jež se určí ze vztahu (2.11), tedy
GS ( z )
b1 z 1 b2 z 2
1 a1 z 1 a 2 z 2
0 ,5017 z 1 0 ,2336 z 2 1 0 ,8519 z 1 0 ,09697 z 2
Určení hodnoty kritického zesílení kPk a kritické periody kmitů Tk podle schéma na výše uvedeném obrázku (viz Obrázek 2.107)
r1
1 a 2 1 0 ,09697 3,8652 b2 0,2336
r2
a1 a 2 1 0,8519 0,09697 1 7,2701 b2 b1 0 ,2336 0 ,5017
b b1 r1 a1 0 ,5017 3,8652 0 ,8519 1,0873 c b2 r1 a 2 0 ,2336 3,8652 0 ,09697 1 d b 2 4c 1,0873 2 4 1 2,8178 Pro výpočet kritických hodnot Tk a kPk použijeme následující vztahy, protože určený diskriminant d < 0, platí tedy
k
1 T
b 1 1,0873 arccos arccos 0,5364 2 5 2
263
Tk
2π
k
2π 11,7138 0 ,5364
k Pk r1 3,8652 Pomocí vztahů uvedených v tabulce nastavení parametrů regulátoru pro tuto metodu (viz Tabulka 2.39) se určí parametry modifikovaného PSD regulátoru
k P 0 ,6k Pk
k S 1,2k Pk kD
T 4 0 ,6 3,8652 1,5272 Tk 11,7138
T Tk
1,2 3,8652
4 1,5839 11,7138
3k Pk Tk 3 3,8652 4 0,8489 40T 40 4
Diferenční rovnice modifikovaného PSD algoritmu v přírůstkovém tvaru u(kT ) u(k 1)T u(kT ) k P y(k 1)T y(kT ) k S e(kT ) k D y(kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T
1,5272 y(k 1)T y(kT ) 1,5839e(kT ) 0,8489 y(kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T
2,3761y(kT ) 3,2817 y(k 1)T 0,8489y(k 2)T 1,5839e(kT )
2.5 y w u
2
y(t), w(t), u(kT)
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0
100
200
300 t, kT
400
500
600
Obrázek 2.108 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PSD regulátor jehož parametry byly získány pomocí modifikované Zieglerovy-Nicholsovy metody kritického zesílení
264
Seřízení regulátoru z průběhu přechodové charakteristiky regulované soustavy (diskrétní verze modifikované Zieglerovy-Nicholsovy metody) Tato metoda nastavení parametrů PSD regulátoru vychází z její spojité verze nastavení parametrů PID regulátoru, tedy z určení parametrů regulátoru ze známého průběhu přechodové charakteristiky regulované soustavy. V přechodové charakteristice (viz dále uvedený obrázek) najdeme inflexní bod. V tomto bodě sestavíme tečnu. Tím určíme dobu náběhu Tu, dobu průtahu Tn a odečteme hodnotu statického zesílení k. Z těchto dvou hodnot jsou pak určeny hodnoty parametrů P, I a D složky, resp. P, S a D složky diskrétního regulátoru (viz níže uvedená tabulka). y(t)
k
Tu
t
Tn
Obrázek 2.109 - Přechodová charakteristika proporcionální regulované soustavy Tabulka 2.40 - Nastavení parametrů regulátoru pomocí modifikované Zieglerovy-Nicholsovy metody vycházející z přechodové charakteristiky regulované soustavy Typ regulátoru
kP
kS
kD
P
Tn k (Tu T )
-
-
PS PSD
0 ,9Tn k (Tu 0 ,5T ) 1,2Tn k (Tu T )
0 ,135TnT
0 ,27TnT
k (Tu 0 ,5T )
2
k (Tu 0 ,5T ) 2
0 ,6TnT
0 ,3TnT k (Tu 0 ,5T )
2
k (Tu 0 ,5T )
0 ,5Tn
2
kT
Struktura, výše v tabulce uvedených regulátorů, bude v další části uvažována v přírůstkovém tvaru podle (2.199), (2.200) a (2.201). Schéma regulačního obvodu pak pro obecně PSD algoritmus bude uvažována podle výše uvedeného schématu (viz Obrázek 2.105). Uvedená tabulka se nedoporučuje používat pro Tu / T → 0 265
PŘÍKLAD Máme určit parametry regulátoru pomocí diskrétní verze modifikované ZieglerovyNicholsovy metody vycházející z průběhu přechodové charakteristiky regulované soustavy. Z průběhu přechodové charakteristiky regulované soustavy byly určeny parametry Tu, Tn a k . Uvedené parametry byly přitom získány z přechodové charakteristiky regulované soustavy pro přenos ve tvaru
GS (s)
3 k 3, Tu 1,1267 , Tn 17,1785 (12 s 1)(2 s 1)
Regulátor budeme uvažovat ve tvaru modifikované verze PSD algoritmu (Takahashiho modifikace), tedy
u (kT ) u(k 1)T u (kT )
k P y(k 1)T y (kT ) k S e(kT ) k D y (kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T
Nejprve je třeba určit periodu vzorkování T pro kterou pak určíme diskrétní přenos regulované soustavy a použijeme ji také k určení parametrů zadaného modifikovaného PSD regulátoru, tedy periodu vzorkování můžeme určit ze vztahu ve výše uvedené tabulce (viz Tabulka 2.20), tedy například
1 1 1 1 T t 0,95 38 2,53 6,33 T 4 15 6 15 6 Pomocí vztahů uvedených v tabulce nastavení parametrů regulátoru pro tuto metodu (viz Tabulka 2.40) se určí parametry modifikovaného PSD regulátoru
kP kS
kD
1,2Tn k (Tu T )
0 ,3Tn T k (Tu 0 ,5T ) 2
0 ,6TnT k (Tu 0 ,5T ) 2
0 ,5Tn kT
1,2 17,1785 3 (1,1267 5)
0 ,6 17,1785 4 3 (1,1267 0 ,5 4) 2
0 ,5 17,1785
3 4
0 ,3 17,1785 4 3 (1,1267 0 ,5 4)
2
0,6374
1,4057
0,7158
Diferenční rovnice modifikovaného PSD algoritmu v přírůstkovém tvaru u (kT ) u(k 1)T u (kT ) k P y(k 1)T y (kT ) k S e(kT ) k D y (kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T
0,6374 y(k 1)T y (kT ) 1,4057e(kT ) 0,7158 y (kT ) 2 y(k 1)T y(k 2)T 1,3532 y (kT ) 2,069 y(k 1)T 0,7158 y(k 2)T 1,4057e(kT )
266
2.5 y w u
2
y(t), w(t), u(kT)
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0
100
200
300 t, kT
400
500
600
Obrázek 2.110 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PSD regulátor jehož parametry byly získány pomocí modifikované Zieglerovy-Nicholsovy metody nastavení parametrů regulátoru z přechodové charakteristiky regulované soustavy
Metoda požadovaného modelu (diskrétní verze metody) Tato metoda nastavení parametrů PSD regulátoru vychází z její spojité verze nastavení parametrů PID regulátoru, tedy ze spojité verze metody požadovaného modelu. Metoda umožňuje snadné a rychlé seřízení standardních typů číslicových a analogových regulátorů pro základní druhy regulovaných soustav s dopravním zpožděním. Typ regulátoru je doporučen z hlediska vlastností regulované soustavy a požadavku na nulovou trvalou regulační odchylku způsobenou skokovou změnou polohy žádané veličiny, resp. poruchy působící na výstupu regulované soustavy. Je uvažován zpětnovazební regulační obvod podle následujícího obrázku (viz Obrázek 2.111). Aby bylo možno využít tuto metodu, musí být zajištěno, aby přenos regulované soustavy GS(s) byl jedním ze základních tvarů uvedených v tabulce (viz Tabulka 2.43). Pro regulované soustavy, které nemají jeden ze základních tvarů obrazového přenosu GS(s), je třeba jejich přenos nejprve aproximovat na jeden ze základních tvarů (viz kapitola 2.7.1 a 2.7.2) a poté použít tuto metodu nastavení parametrů regulátoru.
267
W(z )
E(z)
Y(z )
U( z )
GR(z)
GS( z )
Obrázek 2.111 - Blokové schéma diskrétního regulačního obvodu uvažované pro metodu požadovaného modelu Tabulka 2.41 - Přenosy konvenčních regulátorů použitých u metody požadovaného modelu Typ regulátoru
P
PS
PD
PSD
Přenos regulátoru
kP
T z k P 1 T I z 1
T z-1 k P 1 D T z
T z-1 T z k P 1 D TI z 1 T z
Přenos doporučeného číslicového konvenčního regulátoru je dán vztahem
GR ( z)
GW / Y ( z ) 1 G S ( z ) 1 GW / Y ( z )
(2.202)
přičemž požadovaný přenos řízení GW/Y(z) se uvažuje ve tvarech bez dopravního zpoždění
GW / Y ( z )
cW e
1 cW z cW
s dopravním zpožděním (2.203)
T TW
GW / Y ( z )
d
aO T z 1 aO Tz
d
z d
(2.204)
L T
aO je zesílení otevřeného regulačního obvodu se spojitým regulátorem, d je diskrétní dopravní
zpoždění, TW je požadovaná časová konstanta regulačního obvodu, T je perioda vzorkování. Pomocí této metody je možné navrhnout parametry regulátoru jak pro soustavy bez dopravního zpoždění, tak i pro soustavy s dopravním zpožděním (viz Tabulka 2.43). a) h W (t )
L=0
b) h W (t )
1
1
>0
L>0
=0
TW
t
L
t
Obrázek 2.112 - Přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu a) L = 0, b) L > 0 pro diskrétní verzi nastavení parametrů regulátoru metodou požadovaného modelu 268
U soustav bez dopravního zpoždění (L = 0), je nutné při volbě časové konstanty regulačního obvodu TW brát ohled na omezení akční veličiny a maximální nastavitelnou hodnotu zesílení regulátoru kPmax. Časovou konstantu regulačního obvodu TW je možno určit ze vztahu
T 0,286 TW
(2.205)
U soustav s dopravním zpožděním (L > 0), je třeba zvolit hodnotu překmitu (viz Tabulka 2.42), aby bylo možno určit parametr aO, což je zesílení otevřeného regulačního obvodu. Pokud je dopravní zpoždění L velmi malé, hodnotu určeného koeficientu aO je třeba vhodně snížit s ohledem na omezení akční veličiny a maximální nastavitelnou hodnotu zesílení regulátoru kPmax. Ze závislosti L = f (T) lze určit periodu vzorkování T, tedy
T 0,314 L
(2.206)
Tabulka 2.42 - Koeficienty a pro výpočet zesílení otevřeného regulačního obvodu
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
1,282 0,984 0,884 0,832 0,763 0,697 0,669 0,640 0,618 0,599 0,577 2,718 1,944 1,720 1,561 1,437 1,337 1,248 1,172 1,104 1,045 0,992
Určení parametru aO pro zadaný překmit se určí podle vztahu
aO
1 T L
(2.207)
přičemž rozsah překmitu 0;0,5 odpovídá překmitu 0 – 50 % Nastavitelné parametry jednotlivých typů regulátorů, pomocí metody požadovaného modelu, odpovídající daným typům regulovaných soustav, jsou uvedeny v následující tabulce Tabulka 2.43 - Určení nastavitelných parametrů regulátoru pro diskrétní verzi metody požadovaného modelu Regulovaná soustava
Typ
kP L=0
L>0
GS (s)
c S LS e s
P
2 c S (2TW T )
aO cS
GS (s)
k e Ls (T1 s 1)
PS
2TI k (2TW T )
a O TI k
GS ( s)
cS e Ls s (T1 s 1)
PD
2 c S (2TW T )
aO cS
269
TI
TD
-
-
T1 -
T 2
-
T1
T 2
Regulovaná soustava
GS (s)
k e Ls (T1 s 1)(T2 s 1) k 2 2
(T0 s 2Ts 1)
e Ls
TI
TD
L=0
L>0
PSD
2TI k (2TW T )
a O TI k
T1 T2 T
T1T2 T T1 T2 4
PSD
2TI k (2TW T )
a O TI k
2T0 T
T0 T 2 4
T1 T2 GS ( s)
kP
Typ
0,5 1
kde Ti jsou časové konstanty (i = 0, 1, 2), je koeficient poměrného tlumení, k je koeficient zesílení, cS - statický činitel rychlosti, L je dopravní zpoždění, T je perioda vzorkování
PŘÍKLAD Určeme parametry regulátoru pomocí metody požadovaného modelu. Uvažujme přenos regulované soustavy a regulátoru v následujících tvarech Přenos soustavy:
GS (s)
3 (2s 1)(12s 1)
T
z
T z-1
Přenos regulátoru: k P 1 , resp. G R ( z ) D T z T z 1 I
q0 q1 z 1 q 2 z 2 1 z 1
Pro zadaný přenos regulované soustavy, jak lze vidět z výše uvedené tabulky (viz Tabulka 2.43), je možno ihned využít metodu požadovaného modelu pro návrh parametrů zadaného regulátoru, neboť struktura zadaného regulátoru odpovídá struktuře regulátoru uvedeného u daného typu regulované soustavy, tj. řádku č.4 tabulky. Parametry ze zadaného přenosu soustavy jsou tedy k = 3; T1 = 12; T2 = 2, L = 0 je nutné uvědomit si, že z řádku 4 výše uvedené tabulky vyplývá T1 ≥ T2, tedy větší časová konstanta je rovna proměnné T1
Nejprve je třeba určit periodu vzorkování T, abychom bylo možno určit parametry zadaného PSD regulátoru, tedy periodu vzorkování určíme například ze vztahu (viz Tabulka 2.20) 1 1 1 1 T t 0,95 38 2,53 6,33 T 4 15 6 15 6
Určení časové konstanty uzavřeného regulačního obvodu TW T TW round 0 ,286
5 TW round 0 ,286
TW 18 TW 20
Pomocí vztahů uvedených v tabulce nastavení parametrů regulátoru pro tuto metodu (viz Tabulka 2.43) se určí parametry PSD regulátoru, tedy TI T1 T2 T 12 2 4 10
270
kP
2TI 2 10 0,1515 k (2TW T ) 3 (2 20 4)
TD
T1T2 T 12 2 4 0,5 T1 T2 4 12 2 4
Pro určení koeficientů q0, q1 a q2 použijeme přepočtové vztahy pro zpětnou obdélníkovou náhradu (ZOBD), viz Tabulka 2.22. T T 0,5 4 0,2310 q 0 k P 1+ D 0,1515 1+ 4 10 T TI T 0,5 q1 k P 1+2 D 0,1515 1+2 0,1894 4 T T 0,5 0,01893 q 2 k P D 0,1515 T 4
Přenos regulátoru GR ( z)
q 0 q1 z 1 q 2 z 2 1 z 1
0,2310 0,1894 z 1 0 ,01893 z 2 1 z 1
Diferenční rovnice u ( kT ) u ( kT ) u ( k 1)T q 0 e( kT ) q1e( k 1)T q 2 e( k 2)T
u ( kT ) 0,2310 e( kT ) 0,1894 e( k 1)T 0 ,01893e( k 2)T
2
y w u
1.8
y(t), w(t), u(kT)
1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
100
200
300 t, kT
400
500
600
Obrázek 2.113 - Průběh regulačního pochodu pro zadaný přenos regulované soustavy a PSD regulátor jehož parametry byly získány pomocí diskrétní verze metody požadovaného modelu 271
Pokud bychom chtěli pomocí této metody syntézy zajistit, aby zadaný průběh regulačního pochodu měl například kmitavý průběh, resp. průběh se zadaným překmitem, bylo by možné to provést například dále uvedeným postupem. Tedy, zadaný přenos regulované soustavy by se upravil na přenos regulované soustavy s dopravním zpožděním, u nějž tato metoda syntézy umožňuje nastavit požadované chování, tedy překmit. Pro zajištění požadovaného překmitu je nutné, aby upravený přenos co nejvíce odpovídal, z hlediska jeho průběhu, zadanému přenosu regulované soustavy.
2.8.3 Kvalita regulace Aby bylo možno srovnat mezi sebou jednotlivé metody nastavení parametrů regulátoru je třeba použít nějakou metodu určující kvalitu regulace. Kvalitu regulace je přitom možno posuzovat podle doby regulace tr, relativního překmitu (přeregulování), příp. podle regulační plochy, která je mírou výměny energie v průběhu regulačního pochodu s požadavkem, aby regulační plocha byla minimální. Metoda posouzení kvality regulace podle regulační plochy určuje velikost regulační plochy ležící mezi přechodovou charakteristikou regulačního obvodu y(t) a vstupním signálem ve tvaru žádané hodnoty w(t). Názorně je to zobrazeno na následujícím obrázku, kde y1(t) představuje aperiodický průběh a y2(t) periodický průběh, přičemž tr značí dobu regulace. y(t) ym y2(t)
w(t) = y()
v(t)
2∆
y()
1
V(s)
y1(t)
t
W(s)
GR (s) w(t) 1
JK tm
Y(s)
GS (s)
t
t
tr
Obrázek 2.114 - Regulační pochody kmitavé (y1) a periodické (y2) vyvolané změnou žádané hodnoty w nebo vznikem poruchy v Doba regulace tr je dána časem, kdy regulovaná veličina y(t) vejde do pásma o šířce 2·Δ, tj. y() ± Δ, kde tolerance regulace Δ je dána vztahem Δ = δ·y(); δ = 0,01 - 0,05 (1 - 5) %, kde δ je relativní tolerance regulace a má nejčastější hodnoty 0,05 nebo 0,02. 272
Relativní překmit (přeregulování) κ je možno určit podle vztahu
y m y ( ) y ( )
(2.208)
Výpočet kvadratické regulační plochy (JK) je proveden podle vztahu
tr
J K y (t ) y () dt y (t ) w(t ) dt y (t ) w(t ) 2 dt 2
0
2
0
(2.209)
0
Výhodou tohoto kritéria je, že se dá využít nejen pro aperiodické, ale i pro periodické průběhy, kde je, díky mocnině druhého řádu, zabráněno případnému zkreslení při výpočtu regulační plochy. Cílem úspěšnosti seřizování regulátoru je, aby uvedený integrál (regulační plocha) byla minimální.
POZNÁMKA K vyhodnocení kvality regulace lze použít kromě kritéria kvadratické plochy, značené jako ISE, i jiných integrálních kritérií značených ITAE, ITE, ITSE, ISTE, IAE, IE.
ITAE t e(t ) dt 0
ISTE t 2 e 2 (t )dt 0
ITE te(t )dt 0
IAE e(t ) dt 0
ITSE te 2 (t )dt 0
(2.210)
IE e(t )dt 0
Uvedená kritéria kvality regulace je možné použít jak pro spojité tak i pro diskrétní vyhodnocení kvality regulačního obvodu. Ve všech případech je možno při určení kvality regulačního pochodu nahradit integrál za sumu, čímž se vlastně provede numerická integrace.
2.8.4 Vybrané příklady na syntézu regulačního obvodu V této kapitole jsou uvedeny neřešené příklady zaměřené na syntézu spojitého i diskrétního regulačního obvodu.
PŘÍKLAD S využitím kritérií stability, máme určit parametry spojitého PI regulátoru GR(s), přičemž přenos řízeného systému GS(s), se skládá ze dvou sériově zapojených členů S1 a S2, jež jsou popsány pomocí základních charakteristik, a to člen S1 je popsán frekvenční charakteristikou v komplexní rovině (Nyquistovou křivkou) a člen S2 je popsán přechodovou charakteristikou. 273
Přenos řízeného systému S2
S1
Přechodová charakteristika 2
-1
1.5
-2
h(t)
Im
Nyquistova křivka 0
-3
= 0,4
1
0.5
-4 0
2
4 Re
6
0
8
0
0.5
1
1.5
t
T=0,3
Přenos regulátoru
G R ( s ) r0
r1 1 q1 s q 0 q ( s ) k P 1 s T s s p(s) I
Žádaná hodnota w je uvažována ve tvaru jednotkového skoku, tj. w(t) = 1. Schéma regulačního obvodu bude uvažováno podle níže uvedeného blokového schématu W(s)
E(s)
GR(s)
U(s)
Y(s) GS(s)
PŘÍKLAD S využitím libovolné spojité metody syntézy, máme určit parametry spojitého PI, případně PID regulátoru GR(s), přičemž přenos řízeného systému GS(s) je zadán. Přenosy řízeného systému (regulované soustavy) 1) G S ( s ) 2) G S ( s)
2 ( s 0,5) 3 3 (10s 1)(2s 1)
274
3) GS ( s) 4) G S ( s )
2 e 2 s (4s 1)
3s 4 (10s 1)(2s 1)
2
e 5 s
Obecný přenos (struktura) PI regulátoru , případně. PID regulátoru G R ( s ) r0
r1 1 q1 s q 0 q ( s ) , případně k P 1 s T s s p ( s ) I
q 2 s 2 q1 s q 0 q ( s ) r1 1 G R ( s ) r0 r1 s k P 1 TD s s T s s p(s) I
Žádaná hodnota w je uvažována ve tvaru jednotkového skoku, tj. w(t) = 1. Schéma regulačního obvodu bude uvažováno podle níže uvedeného blokového schématu W(s)
E(s)
U(s)
GR(s)
Y(s) GS(s)
PŘÍKLAD S využitím libovolné diskrétní metody syntézy, máme určit parametry diskrétního PS případně PSD regulátoru GR(z), přičemž přenos spojitého řízeného systému GS(s) je zadán a jemu odpovídají Z-přenos určen pro danou periodu vzorkování T. Přenosy řízeného systému (regulované soustavy) 1) G S ( s )
2 (5s 1)
2
GS ( z )
2) G S ( s )
2,5 (20 s 1)(4s 1)
GS ( z )
3) G S ( s )
2 e 2 s (4 s 1)
GS ( z )
0,1804 z 0,1292 2
z 1,123 z 0,3679
pro T = 2,5
0,8163 z 0,3189 2
z 0,4932 z 0,0608
pro T = 7
0,4424 2 z pro T = 1 z 0,7788
Obecný přenos (struktura) PS regulátoru, případně PSD regulátoru T z 1 T z T z , případně G R ( z ) k P 1 Polohový tvar: G R ( z ) k P 1 D TI z 1 TI z 1 T z
275
Přírůstkový tvar: G R ( z )
q0 q1 z 1 1 z 1
, případně G R ( z )
q0 q1 z 1 q 2 z 2 1 z 1
Žádaná hodnota w je uvažována ve tvaru jednotkového skoku, tj. w = 1. Perioda vzorkování T je dána u každé zadané regulované soustavy. Schéma regulačního obvodu bude uvažováno podle dále uvedeného blokového schématu W(z)
E(z)
GR(z)
U(z)
276
Y(z) GS(z)
3 DOPLŇKY 3.1 Základní slovník Laplaceovy transformace a Z-transformace ................................... 278 3.2 Základní popis programu MATLAB .......................................................................... 279 3.2.1
Základní práce s MATLABem .......................................................................... 280
3.2.2
Doplňující vybrané informace k programu MATLAB ..................................... 283
3.2.3
Základní práce a stručný popis nadstavy MATLABu - SIMULINK ................ 286
277
3 DOPLŇKY 3.1 Základní slovník Laplaceovy transformace a Z-transformace Tabulka 3.1 - Základní slovník č. Originál f (t) Obraz F(s)
Originál f (kT)
Obraz F(z)
1 (t )
1
(kT )
1
2 (t mT )
e mTs
[(k m)T )]
z m
3 (t )
1 s
(kT )
z z 1
1
4
t
5
1 2 t 2
s
1 s3 n!
n
6
t
7
e
8
te
9
1 2 a t t e 2
s n 1
a t
a t
Tz
kT
2
( z 1) 2
1 (kT ) 2 2
T 2 z ( z 1) 2 ( z 1) 3
(kT ) n
lim (1) n
1 sa
e
1 ( s a) 2
kT e
1 (s a) 3
a 0
z
a kT
z e aT
dn z ; n 1, 2, ... n aT da ( z e ) ; a - obecné komplexní číslo
Tze aT
a t
( z e aT ) 2
1 a kT (kT ) 2 e 2
T 2 z ( z 1) T 2 e aT z ( z e aT ) 2 ( z 1) 3 2 ( z e aT ) 3
n!
n!
( s a ) n 1
( s a ) n 1
d n ze aT ; n 1, 2, ... da n ( z e aT )
1 s( s a)
1 s(s a)
1 z z aT a z 1 z e
12
ak
z za
13
Dk k D n1 n 1
n
10 t e
11
a t
1 (1 e at ) a
278
z ( z D) n
; D - obecné komplexní číslo
D 0, n 1, 2, ...
č. Originál f (t) Obraz F(s) 14 sin( t ) 15 cos( t )
16 e
at
sin( t )
17 e at cos( t )
s2 2
s s2 2
(s a) 2 2
sa (s a) 2 2
Originál f (kT)
z sin(T )
sin(kT )
2
z 2 z cos(T ) 1
cos( kT )
e
akT
Obraz F(z)
sin(kT )
e akT cos(kT )
z 2 z cos(T ) z 2 2 z cos(T ) 1
ze aT sin(T ) z 2 2 ze aT cos(T ) e 2 aT z 2 ze aT cos(T ) z 2 2 ze aT cos(T ) e 2 aT
3.2 Základní popis programu MATLAB MATLAB (MATrix LABoratory) je velmi výkonný jazyk pro technické výpočty. Integruje výpočty, vizualizace a programování do jednoduše použitelného prostředí. Mezi hlavní oblasti použití patří
modelování a simulace
inženýrské výpočty a grafika
tvorba grafického uživatelského rozhraní
analýza dat a jejich vizualizace
atd.
MATLAB obsahuje celou řadu různě složitých funkcí, které jsou součástí jádra (zabudované funkce). Skupiny takovýchto funkcí, které se hodí k řešení určitého okruhu problémů se nazývají Toolboxy. Existuje celá řada Toolboxů - Control Toolbox, System Identification Toolbox, Symbolic Math Toolbox, Optimization Toolbox, Partial Differential Equation Toolbox, Fuzzy Logic Toolbox, Neural Network Toolbox, Statistics Toolbox, Wavelet Toolbox, Virtual Reality Toolbox, atd. Příkazy se do MATLABu zadávají do okna Command Window (viz dále uvedený obrázek) za „>>” a ukončují se stiskem klávesy „Enter“. Pokud chceme psát více příkazů na jeden řádek, musíme je oddělit čárkou či středníkem. Šipkou nahoru na klávesnici se posouváme v historii příkazů. Nápověda je v MATLABu velmi propracovaná. Lze ji spustit stisknutím tlačítka F1 na klávesnici nebo napsáním příkazu help do příkazového řádku. Zde jsou velmi přehledným
279
způsobem zpracována jednotlivá témata nápovědy. Pokud bychom chtěli získat nápovědu ke konkrétnímu příkazu, zadáme do příkazového řádku příkaz help příkaz nebo doc příkaz. Po zadání se do Command Window vypíše stručná nápověda k zadanému příkazu, tj. popis i ukázkový příklad využití daného příkazu. Samostatnou nadstavbu MATLABu tvoří SIMULINK. Ten řeší soustavy lineárních i nelineárních diferenciálních rovnic s grafickým zadáváním řešené soustavy. Umožňuje graficky sledovat průběhy veličin v libovolném místě zapojení. Používá se např. pro simulaci dynamického chování systému.
Obrázek 3.1 - Základní zobrazení aplikace MATLAB po spuštění
3.2.1 Základní práce s MATLABem Použití MATLABu a) jako kalkulačka – používá se přímo v příkazovém okně, příkazy se píší za >> a MATLAB si je pamatuje (je možné listovat šipkama) – pro potlačení výpisu se používá na konci zadávacího řádku znak ; – všechny proměnné se ukládají do tzv. Workspace a je možné je použít
280
např.
>> 2*3
výpis na obrazovku: „ans =6“ jestliže řádek nemá přiřazení, výsledek se vypíše jako ans (answer)
>> hodnota=2*3
výpis na obrazovku: „hodnota =6“
>> a=2; >> b=3; >> c=a*b b) jako programovací jazyk – je možné psát programy pomocí různých funkcí a ukládat je jako soubory s příponou *.m (tzv. m-files) Základní operace a funkce Operátory Základní:
+ , - , * , ^ , / (pravé dělení) , \ (levé dělení)
Relační:
> , < , <= , >= , == , ~=
Logické:
& (and) , (or) , ~ (not)
Speciální znaky [ ] (vektor a matice) ( ) (funkce) % (komentář) ; (zamezení výpisu) : (cyklus) Elementární matematické funkce abs( ) - absolutní hodnota
exp( )
- exponenciála
round( ) - zaokrouhlení
sin( )
log( )
- přirozený logaritmus
sign( )
- signum
asin( ) - arc sinus
log10( ) - dekadický logaritmus
sqrt( )
- odmocnina
cos( ) - cosinus
imag( ) - imag. část kompl. čísla
sum( )
- součet
cosh( ) - cosinus hyper.
real( )
- reálná část kompl. čísla prod( ) - součin prvků
tan( ) - tangens
rem( )
- zbytek po dělení
- sinus
281
rand( ) - náhodné číslo
Elementární maticové operace: A+B - sčítání A/B
- dělení matic zprava (B*A-1)
A-B - odčítání
A*B - násobení
A\B - dělení matic zleva (A-1*B)
A^n - umocnění
Speciální maticové operace (vektorové) A.*B - a(i,j)*b(i,j)
A.^n - a(i,j) n
n je reálné číslo
A./B
A.\B
A,B jsou stejné dimenze
- b(i,j):a(i,j)
- a(i,j): b(i,j)
Hlavní maticové funkce det( )
- determinant
inv( ) - inverze
norm( ) - norma
pinv( ) - pseudoinverze
orth( )
eig( ) - vlastní hodnoty a vektory
- ortogonalizace
rank( ) - dimenze, hodnost
poly( ) - charakteristický polynom
PŘÍKLAD >> A=[ 1 0 1; 2 1 1 ; 3 1 0] >> B=A(:,j)
j-tý sloupec matice A
>> C=A(i,:)
i-tý řádek matice A
>> D=A(:)
vektor obsahuje celou matici A (po sloupcích)
Grafická podpora MATLABu plot(x,y,´typ´) - vykreslí základní graf proměnných x a y (typ: - spojitá, -- přerušovaná, : tečkovaná čára)
PŘÍKLAD >> t=0 : 0.1 : 4*pi; >> y=sin(t); >> plot(t,y)
nebo
>> plot(t,y,´:b´) - čára bude modrá (blue), tečkovaná
Nápověda Kromě kompletní dokumentace dostupné (pokud je nainstalována) přes menu help je možno získat nápovědu k jednotlivým příkazům pomocí >> help příkaz
282
3.2.2 Doplňující vybrané informace k programu MATLAB V další části je uveden popis, včetně konkrétních ukázek nastavení, některých vybraných základních funkcí a také některých funkcí z Control Toolboxu a Symbolic Tooboxu, jež je možno využít při analýze a syntéze regulačních obvodů. Polynomy - zadávají se koeficienty polynomu jako řádkové vektory v sestupném pořadí! tedy např. zadání >> a=[1 0 -6 4 3] odpovídá polynomu a s 4 6 s 2 4s 3 roots( p ) - hledání kořenů polynomu poly( p ) - konverze kořenů polynomu na polynom [r,p,k]=residue( b,a ) - rozklad na parciální zlomky
r r2 b( s ) 1 ... k a ( s) s p1 s p 2
conv (a, b) - násobení polynomů (dělení je pak provedeno příkazem deconv)
PŘÍKLAD >> p=[ 1 - 3 2] >> r=roots(p)
zobrazí kořeny polynomu p, tj. r = [ 1 2]
>> r=[ 1 2] >> p=poly(r)
zobrazí výsledný polynom p pro kořeny 1 a 2, tj. p = [ 1 - 3 2]
>> b=[ 1 –0.2] >> a=[ 1 3 2] >> [r,p]=residue( b,a )
nebo
>> [r,p]=residue([ 1 –0.2], [ 1 3 2] )
Laplaceova transformace (Symbolic Toolbox) laplace - přímá Laplaceova transformace syms a s t w x
(deklarace symbolických proměnných)
laplace(t^5)
120/s^6
laplace(exp(a*t))
-1/(-a+s)
laplace(sin(t*w))
w/(s^2+w^2)
laplace(sym(2)*heaviside(t-3))
2/(s*exp(3*s))
laplace(t^sym(3/2))
(3*pi^(1/2))/(4*s^(5/2))
laplace(diff(sym('f(t)')))
s*laplace(f(t), t, s) - f(0)
283
ilaplace - zpětná Laplaceova transformace syms s t w ilaplace(1/(s-1))
exp(t)
ilaplace(1/(s^2+1))
sin(t)
ilaplace(s/(s^2 + w^2))
cos(w*t)
ilaplace((4/s)*exp(-2*s))
4*heaviside(t-2)
Z-transformace (Symbolic Toolbox) ztrans - přímá Z-transformace syms k T w z
(deklarace symbolických proměnných)
ztrans(sym(2))
(2*z)/(z-1)
ztrans(sym('a^k'))
-z/(a - z)
ztrans(sin(w*k*T))
(z*sin(T*k))/(z^2-2*cos(T*k)*z+1)
ztrans(sym('f(k+1)'))
z*ztrans(f(k),k,z)-z*f(0)
iztrans - zpětná Z-transformace syms z k
(deklarace symbolických proměnných)
iztrans(z/(z-2))
2^n
iztrans((3*z)/((z-1)^2),k)
3*k
Spojitá analýza přenosu (Control Toolbox) Přenos systému je uvažován ve tvaru G ( s) step(b,a)
b( s ) a( s)
- vykreslí přechodovou charakteristiku systému
impulse(b,a) - vykreslí impulsní charakteristiku systému nyquist(b,a) - vykreslí
amplitudově-fázovou
frekvenční
charakteristiku
systému
v komplexní rovině bode(b,a)
- vykreslí Bodeho diagram (frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích)
nichols(b,a) - vykreslí Nicholsův diagram Mimo vykreslení základních charakteristik uvedených výše je možno si nechat uložit i vypočítané body do proměnných, např. [Y,T,X] = step(b,a). Systémy (LTI objekty) se mohu definovat pomocí příkazu sys=tf(b,a) 284
poté je možno zapsat některé příkazy v jednodušším tvaru, tzn. např. step(sys), impulse(sys), nyquist(sys), bode(sys) Další výhodou použití tf je možnost definování systémů i s dopravním zpožděním sys=tf(b,a,'iodelay',L)
kde L představuje hodnotu dopravního zpoždění
PŘÍKLAD Budeme uvažovat přenos G ( s )
b( s ) 2 2 a ( s ) s 3s 1
>> a=[ 1 3 2 ] >> b=[ 2 ] >> sys=tf(b,a) >> step(sys) Diskrétní analýza přenosu (Control Toolbox) Přenos systému je uvažován ve tvaru G ( z )
b( z ) a( z )
Při využití LTI objektů, tj. například funkce tf je možné zobrazit základní charakteristiky s využitím stejné syntaxe jako u spojitých systémů, tj. step(sys), impulse(sys), nyquist(sys), bode(sys) přičemž definice diskrétního přenosu je následující sys=tf(b,a,T)
kde b, a jsou polynomy čitatele jmenovatele diskrétního přenosu a T je perioda vzorkování (pokud je perioda neznámá nastaví se tato na hodnotu -1)
PŘÍKLAD Budeme uvažovat přenos G ( z )
0,1548 z 0,0939 b( z ) 2 a ( z ) z 0,9744 z 0,2231
T 0,5
>> a=[ 1 -0.9744 0.2231 ] >> b=[ 0.1548 0.0939 ] >> sys=tf(b,a,0.5) >> step(sys) Převod mezi spojitým a diskrétním systémem (Control Toolbox) Při využití LTI objektů, tj. například funkce tf je možné velmi snadno určit ze spojité přenosu diskrétní přenos a naopak 285
sys_s=tf(b,a)
kde b, a jsou polynomy čitatele jmenovatele spojitého přenosu
sys_d=tf(b,a,T) kde b, a jsou polynomy čitatele jmenovatele diskrétního přenosu a T je perioda vzorkování c2d(sys_s,T) - převede spojitý přenos na diskrétní, se zadanou periodou vzorkování T d2c(sys_d)
- převede diskrétní přenos na spojitý
3.2.3 Základní práce a stručný popis nadstavy MATLABu - SIMULINK Nadstavba SIMULINK slouží k simulaci dynamických systémů. V podstatě se pomocí buď již existujících nebo vlastních bloků (funkcí), které jsou součástí knihoven, jako např. Continuous, ..., sestaví zadané simulační schéma zapojení. Samotné spuštění SIMULINKu je možno provést několika způsoby a) ikonou SIMULINK na panelu nástrojů b) přes Launch Pad c) napsáním SIMULINK v příkazovém okně Některé vybrané bloky jsou uvedeny včetně jejich popisu pod níže uvedeným obrázkem
Obrázek 3.2 - Základní zobrazení nadstavby programu MATLAB - SIMULINK Knihovny vybraných funkcí SIMULINKu Knihovna "Continuous" (spojité funkce) Transfer Fcn
–
umožňuje zadat přenos
Derivative
–
umožňuje zadat derivační člen
Integrator
–
umožňuje zadat integrační člen
Transport Delay
–
umožňuje zadat dopravní zpoždění 286
Knihovna "Discrete" (diskrétní funkce) Discrete Transfer Function
–
umožňuje zadat přenos v kladných mocninách "z"
Discrete Filter
–
umožňuje zadat přenos v záporných mocninách "z"
Zero-Order Hold
–
tvarovač 0-tého řádu
Knihovna "Discontinuities" (nespojitosti, nelinearity) Saturation
–
umožňuje zadat relé
Relay
–
umožňuje zadat saturaci-omezení
Knihovna "Math" (matematické funkce) Sum
–
umožňuje zadat sčítací člen
Product
–
součin
Gain
–
zesílení (konstanta)
Knihovna "Ports & Subsystems" Subsystem
–
zadání „podsystému“
In, Out
–
jeho vstup a výstup
Mux
–
„slučovač“
Demux
–
„rozbočovač“
Sinks
–
výstupy
Scope
–
vykresluje průběh veličiny
To File
–
ukládá data do souboru
To Workspace
–
ukládá data do pracovního prostoru
Knihovna "Signal Routing"
Knihovna "Sources" (vstupy) Step
–
jednotkový skok
Clock
–
hodiny
Sine Wave
–
sinusový signál
Repeating sequence
–
opakování dané sekvence vstupního signálu
Ramp
–
lineární rampa
Knihovna "Simulink Extras/Additional linear" (speciální bloky) PID
–
umožňuje zadat PID regulátor
287
Pro vytvoření simulačního schéma je potřeba otevřít v hlavním menu File – New – Model a pak vybrané bloky přenášet levým tlačítkem myši do nového okna. Jednotlivé bloky lze spájet jednoduchým kliknutím a tažením čáry od výstupu jednoho bloku ku vstupu do jiného bloku. Bloky lze rovněž kopírovat, otáčet, … 1
PID Step
s+1
PID Controller
Scope
Transfer Fcn
Obrázek 3.3 - Ukázka SIMULINKového schématu spojitého uzavřeného regulačního obvodu
1
1
1-z-1 Step
Discrete Filter
s+1 Zero-Order Hold
Transfer Fcn
Scope
Obrázek 3.4 - Ukázka SIMULINKového schématu diskrétního uzavřeného regulačního obvodu Úprava (editace) obsahu bloků (funkcí) Úpravu lze provádět dvojitým kliknutím na blok, do bloků lze vpisovat buď přímo čísla, nebo proměnné (ty lze pak v MATLABu vypočítávat)
288
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 2. přeprac. vyd. Praha : BEN - technická literatura, 2004. 664 s. [2] BOBÁL, V. Identifikace systémů. Brno: ES VUT v Brně, 1990. 185 s. [3] HYNIOVÁ, K. Řídicí technika. Praha: ČVUT v Praze, 2006. 151 s. [4] JURA, P. Signály a systémy; Část 2: Spojité systémy. Brno: VUT v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, 76 s. [5] KŘÍŽ, R., VÁVRA, P. Strojírenská příručka; 2. svazek. Praha: SCIENTIA, s.s r.o. 1993. 224 s. [6] LORENC, J. Automatizační technika I. 4. doplněné vyd. Praha: SNTL, 1981. 140 s. [7] NOSKIEVIČ, P. Modelování a identifikace systémů. Ostrava: Montanex, a.s., 2006. 276 s. [8] PROKOP, R. Základy automatizace pro bakalářské studium. Zlín: VUT v Brně, FT Zlín, 1998. 52 s. [9] PROKOP, R., MATUSŮ, R., PROKOPOVÁ, Z. Teorie automatického řízení - lineární spojité dynamické systémy. Zlín: UTB Zlín, 2006. 98 s. [10] ŠMEJKAL, L., MARTINÁSKOVÁ, M. PLC a automatizace. 2.dotisk, 1. vydání. Praha: BENtechnická literatura, 2003. 224s. [11] ŠVARC, I., ŠEDA, M., VÍTEČKOVÁ, M. Automatického řízení. Brno: Akademické nakladatelství CERM, FSI VUT v Brně, 2007. 324 s. [12] ŠVARC, I. Základy automatizace. Brno: VUT v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2002. 102 s. [13] VÍTEČKOVÁ, M. Matematické metody používané v oblasti automatizace a řízení. [online]. [1999] [cit. 2009-02-10]. Dostupný z WWW:
[14] VÍTEČKOVÁ, M., VÍTEČEK, A. Základy automatické regulace. 2. přeprac. vyd. Ostrava: VŠB-Technická univerzita Ostrava, 2008. 244s. [15] VOLEJNÍK, O., MODRLÁK, O. Stručný manuál MATLABu pro předměty teorie řízení. [online]. [2005] [cit. 2008-09-19]. Dostupný z WWW: . [16] WAGNEROVÁ, R., MINÁR, K. Prezentační a výukový modul pro oblast analýzy regulačních obvodů v prostředí Intranetu. [online]. 15.6.2000 [cit. 2009-03-18]. Dostupný z WWW: [17] WAGNEROVÁ, R., MINÁŘ, M. Syntéza lineárních regulačních obvodů. [online]. [2000] [cit. 2009-04-28]. Dostupný z WWW:
289
Název
Automatizace - Vybrané statě
Autor
Pavel Navrátil
Vydavatel
Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně
Vydání
první
Vyšlo
2011
Náklad
Vydáno elektronicky
Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou ISBN 978-80-7318-935-8
