Astronavigace. Zdeněk Halas KDM MFF UK, Aplikace matem. pro učitele

Astronavigace Za´kladnı´ princip

Zdeneˇk Halas KDM MFF UK, 2011

Aplikace matem. pro ucˇitele

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

1 / 13

Astronavigace

Astronavigace Tradicˇnı´ metody

Tradicˇnı´ navigacˇnı´ metody byly v neda´vne´ dobeˇ odsunuty do pozadı´ satelitnı´ navigacı´. Prˇesto ne u´plneˇ, zejme´na u ocea´nsky´ch plaveb se trva´ take´ na znalosti klasicky´ch metod (selha´nı´ elektroniky). U kratsˇ´ıch plaveb je mozˇna´ orientace dı´ky blı´zkosti brˇehu a/nebo pomocı´ dobrˇe vedene´ho lodnı´ho denı´ku. Za´kladnı´ na´stroje astronavigace jsou dodnes I

sextant

I

prˇesne´ meˇrˇenı´ cˇasu

I

The Nautical Almanach, tabulky pro na´morˇnı´ navigaci HO 229

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

2 / 13

Astronavigace

Astronavigace Tradicˇnı´ metody

Tradicˇnı´ navigacˇnı´ metody byly v neda´vne´ dobeˇ odsunuty do pozadı´ satelitnı´ navigacı´. Prˇesto ne u´plneˇ, zejme´na u ocea´nsky´ch plaveb se trva´ take´ na znalosti klasicky´ch metod (selha´nı´ elektroniky). U kratsˇ´ıch plaveb je mozˇna´ orientace dı´ky blı´zkosti brˇehu a/nebo pomocı´ dobrˇe vedene´ho lodnı´ho denı´ku. Za´kladnı´ na´stroje astronavigace jsou dodnes I

sextant

I

prˇesne´ meˇrˇenı´ cˇasu

I

The Nautical Almanach, tabulky pro na´morˇnı´ navigaci HO 229

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

2 / 13

Astronavigace

Astronavigace ´ vodnı´ pozna´mky k navigaci U

Prˇi plavbeˇ nedaleko brˇehu mu˚zˇeme pomocı´ zameˇrˇovacı´ho kompasu zjistit na´meˇr na dva objekty (naprˇ. maja´ky). Pozicˇnı´mi liniemi jsou zde prˇ´ımky. Jejich vynesenı´m do mapy zı´ska´me ihned svou polohu – pru˚secˇı´k.

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

3 / 13

Astronavigace

Astronavigace ´ vodnı´ pozna´mky k navigaci U

Podobneˇ mu˚zˇeme zmeˇrˇit vy´sˇku dvou objektu˚ zna´me´ vy´sˇky (naprˇ. maja´ky) pomocı´ sextantu. Vy´sˇku maja´ku˚ lze nale´zt v tzv. Soupisu sveˇtel cˇi v mapeˇ. Vzda´lenost d (v na´morˇnı´ch mı´lı´ch) od maja´ku vy´sˇky h vypocˇteme z pravou´hle´ho troju´helnı´ka: d=

h · tg α , 1852

kde α je zmeˇrˇeny´ u´hel a deˇlenı´ cˇı´slem 1 852 je kvu˚li prˇepocˇtu na na´morˇnı´ mı´le. Na´morˇnı´ mı´le odpovı´da´ jedne´ minuteˇ polednı´ku. Pozicˇnı´mi liniemi jsou zde kruzˇnice. Nasˇe poloha je v jejich pru˚secˇı´ku.

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

4 / 13

Astronavigace

Astronavigace Za´kladnı´ mysˇlenka astronavigace

V astronavigaci se pouzˇ´ıva´ stejny´ princip pozicˇnı´ch liniı´. Pro urcˇenı´ nasˇ´ı polohy je trˇeba zna´t polohu alesponˇ dvou bodu˚ – mı´sto maja´ku˚ to jsou v astronavigaci nebeska´ teˇlesa: Slunce, Meˇsı´c, planety, hveˇzdy. Potrˇebujeme vsˇak polohu neˇjake´ho objektu na Zemi, ne na nebi. U nebesky´ch teˇles budeme urcˇovat zemeˇpisnou polohu (geographical position), cozˇ je pru˚secˇı´k zemske´ho povrchu se spojnicı´ strˇedu Zemeˇ a nebeske´ho teˇlesa. Potrˇebujeme take´ vzda´lenost zemeˇpisne´ polohy G nebeske´ho teˇlesa od nasˇ´ı lodi: zjistı´me ji zmeˇrˇenı´m vy´sˇky α nebeske´ho teˇlesa nad horizontem pozorovatele. Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

5 / 13

Astronavigace

Astronavigace Za´kladnı´ mysˇlenka astronavigace

V astronavigaci se pouzˇ´ıva´ stejny´ princip pozicˇnı´ch liniı´. Pro urcˇenı´ nasˇ´ı polohy je trˇeba zna´t polohu alesponˇ dvou bodu˚ – mı´sto maja´ku˚ to jsou v astronavigaci nebeska´ teˇlesa: Slunce, Meˇsı´c, planety, hveˇzdy. Potrˇebujeme vsˇak polohu neˇjake´ho objektu na Zemi, ne na nebi. U nebesky´ch teˇles budeme urcˇovat zemeˇpisnou polohu (geographical position), cozˇ je pru˚secˇı´k zemske´ho povrchu se spojnicı´ strˇedu Zemeˇ a nebeske´ho teˇlesa. Potrˇebujeme take´ vzda´lenost zemeˇpisne´ polohy G nebeske´ho teˇlesa od nasˇ´ı lodi: zjistı´me ji zmeˇrˇenı´m vy´sˇky α nebeske´ho teˇlesa nad horizontem pozorovatele. Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

5 / 13

Astronavigace

Astronavigace Za´kladnı´ mysˇlenka astronavigace

Urcˇenı´ vzda´lenosti zemeˇpisne´ polohy G nebeske´ho teˇlesa od nasˇ´ı lodi pomocı´ vy´sˇky α nebeske´ho teˇlesa nad horizontem pozorovatele: - ve stupnı´ch je to snadne´: (90◦ − α) - po prˇepocˇtu na na´morˇnı´ mı´le: (90◦ − α) · 60 (1◦ odpovı´da´ 60 na´morˇnı´m mı´lı´m – zde je du˚vod jejich pouzˇ´ıva´nı´). Prˇ´ıklad: Zmeˇrˇ´ıme-li vy´sˇku hveˇzdy α = 60◦ , dostaneme (90◦ − 60◦ ) · 60 = 30 · 60 = 1 800 na´morˇnı´ch mil (asi 3 333 km).

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

6 / 13

Astronavigace

Astronavigace Proble´my prˇi prakticke´ realizaci

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

7 / 13

Astronavigace

Astronavigace Astronomicka´ pozicˇnı´ linie, Nauticky´ almanach

Prakticky nenı´ mozˇne´ do mapy zakreslit pozicˇnı´ kruzˇnice o tak veliky´ch polomeˇrech. Do mapy se tedy zaznacˇı´ pouze jejı´ mala´ cˇa´st, ktera´ je v blı´zkosti nasˇ´ı prˇedpokla´dane´ polohy. Tuto cˇa´st kruzˇnice nahrazujeme prˇ´ımkou – astronomicka´ pozicˇnı´ linie. Je take´ potrˇeba veˇdeˇt, kde se nebeska´ teˇlesa pra´veˇ nacha´zejı´ (tj. zna´t stav, se ktery´m pak srovna´me sva´ meˇrˇenı´). Zemeˇpisnou polohu nebesky´ch teˇles nalezneme v Nauticke´m almanachu, kde nalezneme - deklinaci (mı´sto zemeˇpisne´ sˇ´ırˇky), - hodinovy´ u´hel (mı´sto zemeˇpisne´ de´lky).

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

8 / 13

Astronavigace

Astronavigace Astronomicka´ pozicˇnı´ linie, Nauticky´ almanach

Prakticky nenı´ mozˇne´ do mapy zakreslit pozicˇnı´ kruzˇnice o tak veliky´ch polomeˇrech. Do mapy se tedy zaznacˇı´ pouze jejı´ mala´ cˇa´st, ktera´ je v blı´zkosti nasˇ´ı prˇedpokla´dane´ polohy. Tuto cˇa´st kruzˇnice nahrazujeme prˇ´ımkou – astronomicka´ pozicˇnı´ linie. Je take´ potrˇeba veˇdeˇt, kde se nebeska´ teˇlesa pra´veˇ nacha´zejı´ (tj. zna´t stav, se ktery´m pak srovna´me sva´ meˇrˇenı´). Zemeˇpisnou polohu nebesky´ch teˇles nalezneme v Nauticke´m almanachu, kde nalezneme - deklinaci (mı´sto zemeˇpisne´ sˇ´ırˇky), - hodinovy´ u´hel (mı´sto zemeˇpisne´ de´lky).

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

8 / 13

Astronavigace

Astronavigace Azimut

Astronomicka´ pozicˇnı´ linie (APL) je vlastneˇ tecˇna k pozicˇnı´ kruzˇnici. Ta je kolma´ na polomeˇr (spojnici strˇedu a bodu dotyku), neboli na spojnici zemeˇpisne´ polohy G nebeske´ho teˇlesa a polohy nasˇ´ı. Tato spojnice urcˇuje (orientovany´) smeˇr od na´s k bodu G – azimut. Azimut je analogiı´ na´meˇru. U na´meˇru meˇrˇeny´ objekt vidı´me, u nebeske´ho teˇlesa jej musı´me vypocˇı´tat.

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

9 / 13

Astronavigace

Astronavigace Azimut

Astronomicka´ pozicˇnı´ linie (APL) je vlastneˇ tecˇna k pozicˇnı´ kruzˇnici. Ta je kolma´ na polomeˇr (spojnici strˇedu a bodu dotyku), neboli na spojnici zemeˇpisne´ polohy G nebeske´ho teˇlesa a polohy nasˇ´ı. Tato spojnice urcˇuje (orientovany´) smeˇr od na´s k bodu G – azimut. Azimut je analogiı´ na´meˇru. U na´meˇru meˇrˇeny´ objekt vidı´me, u nebeske´ho teˇlesa jej musı´me vypocˇı´tat.

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

9 / 13

Astronavigace

Astronavigace Azimut – vy´pocˇet

Proble´m s azimutem: potrˇebujeme bod G (zemeˇpisna´ poloha nebeske´ho teˇlesa), ale take´ zna´t nasˇi polohu – tj. u´daj, ktery´ teprve hleda´me. . . Nasˇi polohu musı´me odhadnout – lze na za´kladeˇ dobrˇe vedene´ho lodnı´ho denı´ku. Zı´ska´me polohu pravdeˇpodobnou P. Plohu pravdeˇpodobnou zaznacˇı´me do mapy a ˇ as meˇrˇenı´ je trˇeba co sextantem zmeˇrˇ´ıme vy´sˇku nebeske´ho teˇlesa. C nejprˇesneˇji zaznamenat (zemska´ rotace).

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

10 / 13

Astronavigace

Astronavigace Intercept

Z pravdeˇpodobne´ polohy lze dopocˇı´tat u´hel, pod jaky´m se nebeske´ teˇleso nacha´zı´ nad horizontem. Ma´me dveˇ vy´sˇky: I

skutecˇna´ vy´sˇka α (zmeˇrˇena´ sextantem)

I

pravdeˇpodobna´ vy´sˇka β (na za´kladeˇ odhadnute´ nasˇ´ı polohy P)

Jejich rozdı´l α − β v minuta´ch (tj. na´morˇnı´ch mı´lı´ch) nazy´va´me intercept. I

α − β > 0 ⇒ nacha´zı´me se blı´zˇe k nebeske´mu teˇlesu (k bodu G), nezˇ je pravdeˇpodobna´ poloha P

I

α − β < 0 ⇒ nacha´zı´me se da´le od nebeske´ho teˇlesa (od bodu G), nezˇ je pravdeˇpodobna´ poloha P

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

11 / 13

Astronavigace

Astronavigace Vynesenı´ APL do mapy

Nynı´ zaznacˇı´me do mapy spojnici GP, ktera´ bude podle zname´nka interceptu zkra´cena (+) cˇi prodlouzˇena (−) o intercept prˇed/za bod P. Vznikly´m koncovy´m bodem vedeme kolmici k prˇ´ımce GP, cozˇ je hledana´ astronomicka´ pozicˇnı´ linie. Nasˇe poloha je v pru˚secˇı´ku dvou APL. Prˇesnost APL je u zkusˇeny´ch naviga´toru˚ asi 20 (tj. do 4 km).

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

12 / 13

Astronavigace

Astronavigace Vynesenı´ APL do mapy

Nynı´ zaznacˇı´me do mapy spojnici GP, ktera´ bude podle zname´nka interceptu zkra´cena (+) cˇi prodlouzˇena (−) o intercept prˇed/za bod P. Vznikly´m koncovy´m bodem vedeme kolmici k prˇ´ımce GP, cozˇ je hledana´ astronomicka´ pozicˇnı´ linie. Nasˇe poloha je v pru˚secˇı´ku dvou APL. Prˇesnost APL je u zkusˇeny´ch naviga´toru˚ asi 20 (tj. do 4 km).

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

12 / 13

Astronavigace

Astronavigace Nauticky´ troju´helnı´k

Proble´m s vy´sˇkou nebeske´ho teˇlesa: - meˇrˇ´ıme vy´sˇku teˇlesa nad horizontem skutecˇne´ polohy. - svoji prˇesnou polohu vsˇak nezna´me, pouze pravdeˇpodobnou P. Potrˇebovali bychom tedy vy´sˇku hP nebeske´ho teˇlesa nad horizontem polohy pravdeˇpodobne´ P. P − G = 90◦ − hP Nauticky´ troju´helnı´k – troju´helnı´k PGO (O – po´l polokoule, na ktere´ se nacha´zı´me). ˇ esˇenı´ nauticke´ho troju´helnı´ka: nalezenı´ pravdeˇpodobne´ vy´sˇky R nebeske´ho teˇlesa a azimutu.

Zdeneˇk Halas (KDM MFF UK, 2011)

Astronavigace

Aplikace matem. pro ucˇitele

13 / 13