APLIKASI TEOREMA BURNSIDE PADA PEWARNAAN BOLA YANG MEMBENTUK SEGITIGA TERATUR OLEH TIGA WARNA
APPLICATIONS OF BURNSIDE’S THEOREM ON THE COLORINGS BALLS THAT FORMED REGULAR TRIANGLE BY THREE COLORS
Nur Fatimah, Loeky Haryanto, Amir Kamal Amir Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin
Alamat Koresponden: Nur Fatimah Program Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 Hp: 085656646375 Email:
[email protected]
Abstrak Teorema Burnside merupakan salah satu teorema yang diturunkan dari konsep aksi grup untuk menemukan solusi dari masalah kombinatorik yang tidak dapat diselesaikan dengan hanya menggunakan pengamatan. Penelitian ini bertujuan menghitung banyaknya orbit yang berbeda dari setiap sepuluh bola yang membentuk segitiga teratur apabila setiap bola dari sepuluh bola diwarnai dengan salah satu dari tiga warna berbeda. Metode penelitian dilakukan dengan menurunkan teorema Burnside melalui aksi grup. Lalu menyajikan setiap sepuluh bola dalam notasi matematis. Setelah itu, menyajikan aksi grup sebagai pertukaran posisi bola-bola pada sepuluh bola. Kemudian membuat simulasi pertukaran posisi bola-bola. Hasil penelitian yang diperoleh bahwa teorema Burnside dapat dibuktikan melalui aksi grup. Teorema Burnside dapat menghitung banyaknya orbit yang berbeda dari sepuluh bola yang diwarnai oleh tiga warna yang berbeda. Suatu sepuluh bola yang membentuk segitiga teratur yang diwarnai oleh tiga warna akan menghasilkan 3 x 3654 sepuluh bola yang berbeda. Berdasarkan hasil penelitian disimpulkan bahwa Teorema Burnside dapat digunakan untuk menghitung banyaknya sepuluh bola berbeda dengan menggunakan aksi grup terhadap setiap sepuluh bola apabila setiap bola dari sepuluh bola diwarnai dengan salah satu dari tiga warna berbeda. Kata Kunci: Aksi Grup, Orbit, Teorema Burnside
Abstract Burnside's theorem is one of the theorems derived from the concept of group action to find solutions to combinatorial problems that can not be solved by only using observations. This study aims to count the number of different orbits of every ten balls that form a regular triangle, if each ball of ten balls colored with one of three different colors. The research method is done by lowering the Burnside theorem through group action. Then present every ten balls in a mathematical notation. After that, present the group acts as an exchange position of the balls on the ten ball. Then create a simulated exchange position balls. The results obtained that the Burnside theorem can be proved by the action of the group. Burnside theorem can count the number of different orbits of the ten balls are colored by three different colors. A ten balls that form regular triangles are colored by three colors will result in 3 x 3654 ten different balls. Based on the results of the study concluded that the Burnside theorem can be used to calculate the number of ten different balls using a group action against every ten balls where each ball of ten balls colored with one of three different colors. Keywords: Group Action, Orbit, Burnside’s Theorem
PENDAHULUAN Pengetahuan mengenai aljabar telah berkembang sebelum abad kedua puluh dan teori grup (Grillet,2000) yang merupakan bagian dari aljabar modern mulai dikenal sejak abad kesembilan belas. Teori grup terus dikaji oleh para matematikawan karena mempunyai peranan yang sangat penting pada sejarah perkembangan matematika. Aksi grup (Dummit & Foote, 2004) adalah salah satu bagian dari pembahasan teori grup lanjutan. Selain berguna dalam pembuktian teorema-teorema yang bersifat abstrak dan (biasanya) sedikit mengandung aspek komputasi, dari konsep aksi grup pada suatu himpunan, bisa diturunkan suatu dalil yang bisa digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah komputasi yang terkait dengan himpunan tersebut. Dalil tersebut seringkali disebut Teorema Burnside. Teorema Burnside dapat diterapkan untuk menemukan solusi dari masalah kombinatorik yang tidak dapat diselesaikan dengan hanya menggunakan pengamatan. Beberapa peneliti telah mengaplikasikan teorema ini. Hall dan Klingsberg (2004) mengaplikasikan Teorema Burnside dalam irama suatu musik. Suatu pola irama musikal adalah barisan dalam suatu himpunan, dimana dianggap perulangan pola irama adalah siklus irama. Selanjutnya pada kesempatan berbeda, Evans dan Holt (2005) menggunakan persamaan kelas dari aksi grup terbatas bersama dengan teorema perhitungan orbit Burnside untuk menurunkan teorema pembagian klasik. Berikutnya pada kesempatan lain, Pisanski et al., (2006) mengaplikasikan Teorema Burnside pada masalah Escher satu dimensi untuk menentukan berapa banyak pola yang berbeda yang akan dihasilkan dengan secara berulang kali pada persegi 2x2 yang memiliki empat unit kotak yang diisi dengan motif asimetrik dalam salah satu dari empat aspek. Selanjutnya, Bona dan Laflamme (2008) mengaplikasikan Teorema Burnside di bidang kimia untuk menghitung banyaknya isomer suatu molekul pada dua molekul yang berbeda, yang memiliki bangun geometri yang sama namun memiliki susunan atom-atom yang berbeda ragam jenisnya. Kemudian dari peneliti lain, Wagner (2008) yang mengaplikasikan Teorema Burnside ini pada masalah pewarnaan m obyek oleh n warna pada suatu papan dam jika rotasi dan refleksi diperbolehkan. Teorema Burnside tersebut digunakan untuk menentukan banyaknya susunan kombinasi warna yang tidak ekuivalen dari sejumlah objek yang memiliki sifat simetri (Yale, 1998), dimana objek-objek tersebut dianggap sebagai pewarnaan berbeda dari beberapa gambar dengan
titik, dan
kemungkinan warna untuk
setiap titik. Berdasarkan pada penelitian Wagner (2008) tersebut, selanjutnya akan dicoba mengkaji penerapan Teorema Burnside pada masalah pewarnaan bola yang membentuk
segitiga teratur oleh tiga warna (Gambar 1). Masalah tersebut dicari solusinya dengan cara menghitung banyaknya susunan kombinasi warna yang tidak ekuivalen dari sejumlah objek yang memiliki sifat simetri. Tujuan Penelitian ini adalah untuk menghitung banyak orbit yang berbeda dari setiap sepuluh bola yang membentuk segitiga teratur apabila setiap bola dari sepuluh bola diwarnai dengan salah satu dari tiga warna berbeda.
BAHAN DAN METODE Secara umum kerangka penelitian ini dimulai dengan menurunkan teorema Burnside dengan menggunakan konsep aksi grup. Setelah itu, menyajikan setiap sepuluh bola berwarna yang membentuk segitiga teratur dalam bentuk notasi matematis. Setelah notasi matematis terbentuk, gunakan aksi grup terhadap notasi tersebut dalam proses pertukaran posisi bolabola berwarna. Aksi grup tersebut menjadi dasar untuk mengetahui banyaknya orbit yang berbeda yang dapat diperoleh dari sepuluh bola yang membentuk segitiga teratur. Adapun variabel penelitian adalah mencari banyaknya orbit yang berbeda yang dapat diperoleh dari sepuluh bola yang membentuk segitiga teratur oleh tiga warna. Software komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Maple.
HASIL Teorema 1 (Burnside) Misalkan G adalah grup berhingga (finite) dan X adalah himpunan berhingga. Jika r adalah banyaknya orbit dalam X terhadap aksi G, maka: r. |G| =
X ∈
di mana X = {x ∈ X|g ∘ x = x}. Bukti : Perhatikan semua pasangan ( , ) dimana
∘
pasangan tersebut. Pasangan ( , ) ditentukan oleh
=
adalah banyaknya
dan . Maka diperoleh,
dan ∈
Kemudian
= , dan misalkan
|
= ∈
|, (1)
= ∈
| | = | | | |
1 |
∈
|
. (2)
Perhatikan satu orbit di ruas kanan (2), diperoleh hasil 1 ∈
|
|
= 1. (3)
Subtitusi hasil (3) ke dalam jumlahan (2) dengan indeks berjalan pada semua orbit, diperoleh = | | ∙(banyaknya orbit di
oleh aksi ) = | | ∙ .
(4)
Karena |
=
| =
∈
, ∈
maka berlaku .| | =
. ∈
Akibat 1 Jika G adalah grup berhingga (finite) dan X adalah himpunan-G berhingga, maka (banyaknya orbit dalam X terhadap aksi G) =
1 |G |
X . (5) ∈
Tabel 1 menunjukkan banyaknya unsur-unsur atau cara-cara pewarnaan x yang tidak berubah jika dikenakan aksi grup oleh g. Untuk mempertahankan cara pewarnaan x pada saat g beraksi pada x (g◦x= x), maka elemen dalam satu siklus harus memiliki warna yang sama. Dengan menggunakan Persamaan (5), banyaknya orbit dari sepuluh bola yang berbentuk segitiga teratur yang berbeda oleh tiga warna adalah =
1 | |
∈
1 = (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ) = 3654. 6
PEMBAHASAN Penelitian ini menunjukkan bahwa banyak orbit yang berbeda dari setiap sepuluh bola yang membentuk segitiga teratur apabila setiap bola dari sepuluh bola diwarnai dengan salah satu dari tiga warna berbeda adalah 3 x 3654 orbit. Nilai tersebut diperoleh berdasarkan teorema Burnside (Fraleigh, 2002) yang telah dibuktikan dengan menggunakan konsep aksi grup (Dummit & Foote, 2004). Jika grup G beraksi pada himpunan cara-cara pewarnaan X dan r adalah banyaknya cara pewarnaan yang tidak dapat dibedakan dalam X, maka r adalah total banyaknya orbit Gx pada X. Teorema Burnside memberikan hasil
=
1 | |
(6) ∈
Dengan menggunakan Teorema Burnside, dengan mudah dapat diketahui banyaknya sepuluh bola yang membentuk segitiga yang berbeda yang dihasilkan dari 3 x 19683 cara pewarnaan. Setiap permutasi dinyatakan dengan menulis secara lengkap semua siklus yang menjadi faktornya. Dengan kata lain, setiap obyek (angka atau huruf) yang dipermutasi harus ditulis. Sebagai contoh permutasi identitas 0S3 yang dalam notasi siklus dapat ditulis (1), harus ditulis [(1)(2)(3)][(4)(5)(6)(7)(8)(9)]. (Anthony, 1988) Selanjutnya untuk setiap permutasi g, ditulis s = s(g) sebagai lambang yang menyatakan banyaknya siklus dalam permutasi g. Oleh karena itu, diperoleh s(0) = 9 sedangkan untuk permutasi 1= [(1,2,3)][(4,8,6)(5,9,7)] yang menyajikan rotasi 1200 diperoleh s(1) = 3. (Wagner, 2008) Berdasarkan definisi, ∣Xg∣ merupakan ukuran dari himpunan Xg= {xX | g◦x= x}, berisikan cara-cara pewarnaan x yang tidak berubah jika dikenakan aksi grup oleh g. Untuk mempertahankan cara pewarnaan x pada saat g beraksi pada x (g◦x= x), maka elemen dalam satu siklus harus memiliki warna yang sama sehingga ∣Xg∣= ncs(g)
(7)
dimana nc adalah banyaknya warna. (Wagner, 2008) Dengan menggunakan Teorema Burnside, banyaknya orbit sepuluh bola yang membentuk segitiga berbeda menggunakan 3 warna dengan asumsi warna titik pusat sama adalah 3654. Tapi karena ada 3 cara mewarnai titik pusat, maka dari seluruh 3 x 19683 sepuluh bola yang membentuk segitiga dengan nc = 3 warna, diperoleh 3 x 3654 orbit sepuluh bola yang membentuk segitiga yang berbeda. KESIMPULAN DAN SARAN Suatu sepuluh bola yang membentuk segitiga yang diwarnai dengan 3 warna akan menghasilkan 3 x 3654 sepuluh bola yang membentuk segitiga yang berbeda, masing-masing sepuluh bola yang membentuk segitiga bersesuaian dengan 3 x 3654 orbit (kelompok cara pewarnaan) dari 3 x 39 = 3 x 19683 cara pewarnaan. Untuk penelitian selanjutnya, mengaplikasikan teorema Burnside pada struktur molekul karena semua molekul adalah bangun simetri yang terdiri atas beberapa atom (sebagai warna) yang berbeda.
DAFTAR PUSTAKA Anthony, Mark. (1988). Groups and Symmetry. Springger-Verlag, New York. Bona, A. and Laflamme, C. (2008). Classification of Chemical Compund Pharmacophore Structures. The MIIS Eprints Archive [Study Group Report]. Dummit and Foote. (2004). Abstract Algebra Third Edition. John Wiley & Sons, Inc. Evans, T. and Holt, B. (2005). Deriving Divisibility Theorems with Burnside’s Theorem. Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 5(1). Fraleigh, John B. (2002). A First Course In Abstract Algebra Seventh Edition. Addison Wesley. Grillet, Pierre A. (2000). Abstract Algebra Secont Edition. Graduate Texts in Mathematics. Hall, R. and Klingsberg, P. (2004). Asymmetric Rhythms, Tiling Canons, and Burnside’s Lemma. Saint Joseph’s University. Pisanski, Servatius and Schattschneider. (2006). Applying Burnside’s Lemma to A OneDimensional Escher Problem. University of Ljubljana and University. Wagner, Lucas. (2008). Beyond Burnside’s Lemma. Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol. 9[2]. Yale, Paul B. (1998). Geometry and Symmetry. Dover Publication (Reprint).
LAMPIRAN
Gambar 1. Sepuluh Bola Bentuk Segitiga Teratur oleh Tiga Warna
Tabel 1. Jenis Rotasi Sepuluh Bola Bentuk Segitiga Teratur Jenis
Contoh
∣Xg∣
Identitas
[(1)(2)(3)][(4)(5)(6)(7)(8)(9)]
39
1200 rotation
[(1,2,3)][(4,8,6)(5,9,7)]
33
2400 rotation
[(1,3,2)][(4,6,8)(5,7,9)]
33
Diagonal reflection 1
[(1)(2,3)][(4,9)(5,8)(6)(7)]
36
Diagonal reflection 2
[(1,3)(2)][(4,7)(5,6)(8)(9)]
36
Diagonal reflection 3
[(1,2)(3)][(4)(5)(6,9)(7,8)]
36
