World Applied Sciences Journal 5 (4): 441-448, 2008 ISSN 1818-4952 © IDOSI Publications, 2008 Aplikasi pada Metode Transform yang Berbeda pada Analisa Free Vibration dari Rotating Non-prismatic Beams Abstrak : Rotating beams
sering digunakan dalam instalasi mekanik yang
berbeda. Dalam paper ini dipelajari free vibration of non-prismatic rotating Euler-Bernoulli beams. Kekakuan matriks dinamik
di evaluasi
dengan
menggunakan metode transform yang berbeda. Metode yang digunakan adalah modeling beam pada cross-sectional area dan momen inersia beam dengan dua fungsi dan
tipe pada cross-section dengan satu atau beberapa element
yang sering digunakan dalam kebanyakan aplikasi teknik
Perkenalan :
Dalam getaran,sebuah sistem harus mempunyai dua karakteristik:Elastisitas dan massa.Sejak semua benda padat memiliki keduanya,semua benda solid pada keadaan yang baik,memungkinkan untuk bergetar.Dengan ini yang dimaksud, adalah mereka dapat pengalaman dari deformasi cyclic atau displacement Tegangan dapat sangat berguna. Tanpa tegangan tidak ada musik atau waktu jam, banyak mesin yang menggunakan tegangan untuk menyorting material. Bagaimanapun juga, tegangan dapat menyebabkan masalah bagi mechanical engineer Unwanted vibration menyebabkan dua main problems: fatigue failure and failure due to excessive deformation. Fatigue failure terjadi ketika sebuah komponen bersubjek ke beban siklis yang mendukung. Amplitudo mean stress mungkin lebih kecil daripada kekuatan daya rentang pada sebuah materilal, tetapi repeated stress cycles dapat menyebabkan crack growth, sampai critical crack length dicapai and the material fails. Campuran Alumunium adalah kelas dari material yang mudah kena
fatigue failure. Jadi meskipun Tegangan
amplitudonya kecil diteruskan ke aluminium komponen dapat menyebabkan kegagalan Excessive deformation dapat mentebabkan juga may a p a b i l a t e g a n g a n n y a t e r j a d i p a d a f r e k u e n s i r e s o n a n s i . Salah satu contohnya pada mesin cuci dengan beban yang tidak seimbang. Pada
particular speed dari rotasi pada
drum
selama putaran,tegangan yang mempunyai amplitudo terbesar mungkin terjadi, yang mungkin cukup untuk membahayajan mesin atau perangkatnya .
Salah satu kegagalan yang disebabkan oleh resonansi adalah Tacoma Narrows Bridge.
Dalam keadaan umum, tegangan dapat dikelaskan sebagai bebas (alami) atau gaya kekuatan. Tegangan bebas terjadi ketika sebuah sistem diberikan displacement kecil atau deformasi dan kemudian dilepaskan. Contohnya pada papan penyelam. Ketika penyelam telah keluar, papan akan mengalami tegangan. Contoh lain adalah senar gitar, ketika pertama kali dipetik dan kemudian dilepaskan maka senar akan bergetar dengan sendirinya. Gaya tegangan diproduksi ketika gaya siklis digunakan pada sistemnya . Diantara kedua kelas dari tegangan dapat dipertimbangkan sebagai damping atau undamping. Damping dalam system menyebabkan energy terhamburkan dan mungkin membangunkan d a r i j u m l a h sumber yang berbeda termasuk friksi internal Sistem tegangan mungkin dapat diklasifikasikan dalam sejumlah derajat yang dimilikinya. Ini adalah nomor dari parameter yang dibutuhkan untuk menjelaskan gaya pada elemen dengan sistem. Dalam kasusi ini lebih dipertimbangkan single degree dari sistem gaya bebas Free vibration Free damped vibration Forced vibration Forced damped vibration
Free vibration of a single degree-of-freedom system Seperti yang telah disebutkan diatas. D a l a m t e g a n g a n se b u a h si s t e r m m e m e r l u ka n e l a s t i si t a s d a n m a s s a . The simplest such system consists of a weight attached to a spring (Figure 1.1): Figure 1.1 Simple spring-mass system Figure 1.2. FBD of the weight
ke L
m
k
e
mg m
x
Diandaikan massa dari sebuah beban adalah m. Dan spring mempunyai have a spring constant (stiffness) atau kekakuan, k panjang ulength L. Ketika beban ditambahkan pada spring akan meregang dengan jumlah e. Gaya ditunjukkan pada f i g u r e 1.2. Equilibrium berat: 0
Σ Fx = mg-ke = ∴ ke = mg
(1.1)
Diandaikan bahwa berat mempunyai displacement, x, dari equilibrium position. free-body diagram dari berat akan ditunjukkan dalam Figure 1.3. Jika dilepaskan beratnya akan berpindah semenjak sistem tidak lagi dalam equilibrium. Figure 1.3.
k(e+x)
From Newton’s second law, Σ Fx = mg-k(e + x) = ma
x
m
where a is the acceleration of the weight in the x-direction.
mg Memakai notasi “dot”,dan substitusi ke dari (1.1) diberikan: mg − mg − kx = mx ∴ mx + kx = 0
(1.2)
Equation (1.2) adalah standar differential equation, dengan solusi which has the solution: x = A sin(ω t + (1.3) ε ) Dimana A and ε adalah konstan yang mana tergantung initial conditions, dan ω k2 = m (1.4) (cek bahwa solusi (1.3) untuk mencari x ) Untuk contoh,diandaikan bahwa massa diberikan initial displacement X0 dari equilibrium position dan kemudian dilepaskan. The initial conditions are that at t = 0, x = X0, and the velocity Putting in these conditions: At t = 0, x = A sin(ω t + ε ) = A sin ε = X 0
x = Aω cos(ω t + ε ) = Aω cos ε = 0.
