APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR
SKRIPSI
Oleh TILSA ARYENI 110803058
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
Universitas Sumatera Utara
APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
TILSA ARYENI 110803058
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan Diferensial Semilinear
Kategori
:
SKRIPSI
Nama
:
Tilsa Aryeni
Nomor Induk Mahasiswa
:
110803058
Program Studi
:
SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
:
MATEMATIKA
Fakultas
:
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Medan,
Agustus 2015
Komisi Pembimbing : Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dr. Esther S.M. Nababan, M.Sc NIP.19610318 198711 2 001
Dr. Suyanto. M.Kom NIP. 19590813 198601 1 002
Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002
i Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Agustus 2015
Tilsa Aryeni 110803058
ii Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan Diferensial Semilinear” sebagai salah satu persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si). Shalawat beriringan salam juga penulis ucapkan kepada baginda Rasulullah Muhammad SAW beserta keluarga sahabat dan para pengikutnya. Semoga kita termasuk golongan yang mendapatkan perlindungan di akhirat kelak. Penulis menyadari bahwa dalam penyelesaian skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan dorongan dari berbagai pihak. Pertama, penulis mengucapkan terimakasih yang setulusnya kepada orang tua tercinta ayahanda Drs. Munar dan ibunda Efidriyenti yang selalu memberikan dorongan baik berupa moril dan materil, mendoakan dan selalu memberikan dukungan motivasi yang luar biasa kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik, serta kepada abang dan adik - adik penulis yang senantiasa menyemangati dan mendengarkan curahan hati penulis selama penulisan skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada Bapak Prof. Tulus, M.Si atas saran, masukan dan segala fasilitas yang telah diberikan demi kelancaran penulis selama mengerjakan tugas akhir ini dan juga textbook yang sangat membantu penulis dalam mengkaji literatur sehingga penulis mendapatkan pustaka yang relevan. Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto M.Kom dan Ibu Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc selaku dosen pembimbing 1 dan 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan sarannya kepada penulis. Terimakasih juga kepada Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si sebagai dosen penguji yang telah meluangkan waktu, memberikan saran dan masukan selama penulisan tugas akhir ini. Teristimewa penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar - besarnya kepada Bapak Dr. Victor E. Ginting staf pengajar Matematika di University of Wyoming USA yang telah senantiasa meluangkan waktunya untuk mengajarkan penulis dengan sabar dari awal sampai akhir penulisan skripsi ini. Selama di Indonesia beliau dengan senang hati mengajarkan banyak hal kepada penulis mulai dari materi skripsi, penulisan LATEXdan juga penggunaan program MATLAB. Meskipun beliau sudah kembali iii Universitas Sumatera Utara
ke Amerika, beliau tetap senantiasa memotivasi dan meluangkan waktunya untuk berdiskusi sehingga kekhawatiran penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dapat terobati. Begitu besar ilmu yang beliau berikan sehingga penulis sadar akan luasnya dunia matematika ini dan membuat penulis termotivasi untuk mempelajarinya lebih jauh lagi. Insyaa Allah ilmu yang beliau berikan akan bermanfaat bagi penulis di masa yang akan datang. Terima kasih juga kepada seluruh staf pengajar Matematika USU yang telah mengajarkan banyak hal kepada penulis selama menempuh perkuliahan di jurusan Matematika. Kepada staf admistrasi Departemen Matematika yang telah membantu dan melayani selama proses skripsi ini terutama kepada Bang Bandi yang tidak bosan bosannya menanyakan dan mengingatkan penulis untuk segera menyelesaikan skripsi ini. Penulis juga menyampaikan terimakasih untuk semua teman seperjuangan terutama Nur Aisyah yang sama - sama berjuang dalam menulis, selalu mengingatkan dan menyemangati penulis, juga kepada Sundari Atikah dan Khairunisa atas persahabatan yang terjalin selama perkuliahan ini dan teman - teman Mantari, Ratih, Merryanty, Indah, Joseph dan kepada seluruh generasi 2011 lainnya yang tidak dapat disebutkan namanya satu - persatu. Terimaksih juga kepada teman - teman di IMAPALIKO Nadya, Fira, Kak Reni, Kak Nurul yang setia berbagi cerita, pengalaman dan saling menguatkan di perantauan. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan karena keterbatasan pengetahuan penulis. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kemajuan bersama. Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada pembaca dan dapat berguna untuk penelitian selanjutnya.
Medan, Agustus 2015 Penulis
Tilsa Aryeni
iv Universitas Sumatera Utara
APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR
ABSTRAK Invers dari suatu operator diferensial atau juga dikenal dengan fungsi Green merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial nonhomogen. Penelitian ini membahas fungsi Green dari operator diferensial eliptik bersamaan dengan operator kondisi batas pada ruang satu dimensi. Pada permasalahan matematika yang rumit, fungsi Green dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan numerik. White dan Stuart pada artikelnya menjelaskan bahwa pendekatan numerik fungsi Green juga dapat diperoleh dengan Stochastic Partial Differential Equation (SPDE) yang dikonstruksi menggunakan algoritma Metropolis-Hasting MCMC. Setelah fungsi Green diketahui maka solusi dari suatu persamaan diferensial semilinear dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari integral terhadap fungsi Green dan fungsi semilinearnya. Kata kunci: fungsi Green, operator diferensial, MCMC
v Universitas Sumatera Utara
APPLICATION OF GREEN’S FUNCTION USING MONTE CARLO ALGORITHM IN SEMILINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
ABSTRACT Inverse of a differential operator known as Green’s function is one of the methods for solving inhomogeneous differential equations. This study discusses about the Green’s function for the elliptic differential operator incorporating the boundary operator through its domain in one dimensional space. For a class of complicated mathematical problems, we can estimate the Green’s function using numerical methods. White and Stuart explains that numerical method to estimate Green’s function can also be obtained by SPDE with constructing Metropolis-Hasting MCMC algorithm. If we have known the Green’s function of a problem, then we can write its solution as linear combinations of integral involving the Green’s function and its semilinear function. Keywords: Green’s function, differential operator, MCMC
vi Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
PENGHARGAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1 Persamaan Diferensial Semilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2 Fungsi Green dan Hubungannya dengan Fungsi Delta Dirac . . . .
7
2.3 Fungsi Green untuk Operator Diferensial Eliptik pada Satu Dimensi
8
2.4 Solusi Permasalahan Nilai Batas Orde Dua Semilinear . . . . . . . .
21
BAB 3 FUNGSI GREEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1 Fungsi Green dengan Pendekatan Metode Numerik . . . . . . . . . .
30
3.2 Pendekatan Numerik Fungsi Green dengan Algoritma MCMC . . .
33
3.2.1 Kondisi Batas Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
vii Universitas Sumatera Utara
3.2.2 Kondisi Batas Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2.3 Kondisi Batas Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.3 Solusi Numerik Permasalahan Nilai Batas Orde Dua Semilinear . .
49
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.1 Solusi Fungsi Green dari Suatu Operator Diferensial Eliptik . . . .
54
4.1.1 Kondisi Batas Dirichlet-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.1.2 Kondisi Batas Neumann-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.1.3 Kondisi Batas Robin-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.1.4 Kondisi Batas Neumann-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2 Solusi Fungsi Green Secara Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.1 Menggunakan Integrasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.2 Menggunakan Algoritma MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.3 Solusi Permasalahan Nilai Batas Semilinear . . . . . . . . . . . . . . .
64
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
1. Solusi Fungsi Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2. Solusi Numerik Persamaan Diferensial Semilinear . . . . . . . . . .
72
3. Solusi Fungsi Green dengan Menggunakan Algoritma MCMC . .
74
viii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Bagan penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1
Diskritisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.1
Perbandingan solusi analitik dan solusi numerik untuk beberapa ∆x.
60
4.2
Pendekatan Fungsi Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.3
Fungsi Green dengan Pendekatan MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.4
Fungsi Green dengan Pendekatan MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.5
Solusi dari u00 = eu dengan pendekatan numerik . . . . . . . . . . . . .
67
4.6
e = eu dengan pendekatan numerik . . . . . . . . . . . . . . . . Solusi Lu
68
ix Universitas Sumatera Utara
