Antwoorden Tekscvragen T.1
T.4
- lijd T.2 A is een g e b e u r t e n i s . B g e e f t een t i j d s d u u r p l a a t s v e r l o p e n is.
T.5 aan
die
op
één
a. Lijn B - die b e s c h r i j f t s t i l s t a n d . b. A b e s c h r i j f t een b e w e g i n g v a n u i t de o o r s p r o n g in de n e g a t i e v e r i c h t i n g . C b e w e e g t In de p o s i t i e v e r i c h t i n g , l a t e r langzamer dan eerst: In het tweede s t u k w o r d t e r t i j d e n s veel t i j d ( w ) weinig afstand (x) afgelegd.
T.3
c.
Dit z o u lijn B k u n n e n z i j n ; die zou n a t u u r l i j k o o k op een a n d e r e p l a a t s g e t r o k k e n k u n n e n w o r d e n , m a a r de lijn l o o p t d a n o o k v e r t i c a a l o m h o o g .
T.6 A en B k u n n e n d e z e l f d e s i t u a t i e b e s c h r i j v e n . C en D o o k . A en B b e s c h r i j v e n een a n d e r e s i t u a t i e d a n C en D, m a a r d o o r v e r a n d e r i n g v a n v in -V z o u d e n alle o m s c h r i j v i n g e n op één situatie kunnen slaan.
-
24
©e o^eöü'ÊawD'Èaoit Wsoö=q iaflaJC^'oJdaiGieoc^
2
De gehele wetenschap is slechts een verfijning van ons alledaagse denken.
W a t is g e l i j k t i j d i g h e i d ?
,1
[Refereritiekaideo
L a t e n w e eens b e k i j k e n hoe v e r s c h i l l e n d e w a a r n e m e r s d i e s t i l s t a a n t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r , s a m e n e e n r e f e r e n t i e k a d e r of c o ö r d i n a t e n s t e l s e l k u n n e n o p z e t t e n . E i g e n l i j k b e s t a a t z o ' n r e f e r e n t i e k a d e r g e w o o n uit e e n g r o o t a a n t a l ' w a a r n e m e r s ' die t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r in r u s t z i j n , zoals d e passagiers in e e n rijdende t r e i n of de m e n s e n die s t a a n t e w a c h t e n o p h e t p e r r o n . Z e h e b b e n e l k een k l o k e n e e n m e e t l a t , e n s t a a n k l a a r o m m e t i n g e n v o o r ons t e d o e n zodra w e d a a r o m v r a g e n e n ons b r a a f v a n d e u i t k o m s t e n o p d e h o o g t e t e b r e n g e n . Nu kiezen w e t w e e w a a r n e m e r s , v o o r z i e n v a n i d e n t i e k e k l o k k e n e n m e e t l a t t e n . I n f i g u u r 2 . 1 z i j n ze w e e r g e g e v e n als t w e e z w a r t e p i j l e n - zo t e zien b l i j v e n ze op een b e h o o r i i j k e a f s t a n d v a n e l k a a r o p h u n plek s t a a n . A l l e r e e r s t w i l l e n z i j h u n k l o k k e n g e l i j k z e t t e n , h u n t i j d m e t i n g e n m e t e l k a a r s y n c h r o n i s e r a m i , z o d a t z i j aan d e z e l f d e g e b e u r t e n i s d e z e l f d e t i j d t o e k e n n e n . Hoe ze d a t m o e t e n a a n p a k k e n is t e zien in f i g u u r 2 . 2 .
A Figuur
B 2.1 Wereldlijnen
van twee
25
waarnemers
2„2
E=3ei= g e D ï J k i e t t e c i wacii CcloCckeBi
Je k u n t het g e l i j k z e t t e n v a n k l o k k e n h e t b e s t b e s c h o u w e n als e e n g e w o o n f y s i s c h e x p e r i m e n t . V e r d e r o p zullen we het r e g e l m a t i g h e b b e n o v e r g e d a c h t e - e x p e r i m e n t e n : d a t z i j n e x p e r i m e n t e n die op basis v a n de n a t u u r k u n d i g e t h e o r i e in p r i n c i p e heel goed m o g e l i j k z i j n , m a a r die p r a k t i s c h gezien v a a k o n u i t v o e r b a a r z i j n . Einstein h e e f t in dit g e v a l e e n v o u dige i n s t r u c t i e s g e g e v e n : w a a r n e m e r A p o l l o s t u u r t op t i j d s t i p W A = O een l i c h t s i g n a a l n a a r w a a r n e m e r B a c c h u s , die n o t e e r t d a t het a a n k o m t op t i j d s t i p W g = W i en h e t s i g n a a l m e t e e n m e t een spiegel t e r u g k a a t s t n a a r A p o l l o , bij w i e het t e r u g k e e r t op t i j d s t i p w^ = W j . Het m o m e n t d a t v o o r Apollo precies g e l i j k t i j d i g is m e t W i is h a l v e r w e g e t u s s e n h e t v e r z e n d e n en h e t w e e r o n t v a n g e n v a n het l i c h t s i g n a a l , o f w e l W i = V 2 W 2 . D a t is g e e n v e r r a s s i n g : w e h a d d e n o p basis v a n h e t d i a g r a m n i e t a n d e r s v e r w a c h t . B o v e n d i e n w e t e n w e d a t de t i j d die het kost o m een lichtstraal heen en w e e r t e s t u r e n , a f h a n g t v a n de a f s t a n d t u s s e n d e beide w a a r n e m e r s , z o d a t m e t deze a a n p a k d o o r een g r o t e r e g r o e p w a a r n e m e r s die t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r in r u s t z i j n , een heel stelsel v a n c o ö r d i n a t e n k a n w o r d e n o p g e z e t . Het f e i t d a t iets ' g e l i j k t i j d i g ' kan zijn v o o r e e n g r o e p w a a r n e m e r s die s t i l s t a a n t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r , b e t e k e n t n i e t d a t zij g e b e u r t e n i s s e n die t e g e l i j k p l a a t s v i n d e n , o o k a l t i j d o p h e t z e l f d e t i j d s t i p zullen w a a r n e m e n ! Het s i g n a a l zal er i m m e r s niet a l t i j d e v e n lang o v e r d o e n o m bij d e v e r s c h i l l e n d e w a a r n e m e r s a a n te k o m e n . D a a r d o o r k u n n e n v e r s c h i l l e n d e g e s y n d i r o n i s e e o ' d e v w a a m e m e r s behoorlijk uiteenlopende waarnemingstijdstippen regis t r e r e n , m a a r na c o r r e c t i e v o o r de r e i s t i j d v a n het signaal zullen ze wel h e t z e l f d e t i j d s t i p aan de g e b e u r t e n i s t o e k e n n e n . Let o p ! I n f i g u u r 2.2 is s p r a k e v a n een t e r u g g e k a a t s t e l i c h t s t r a a l ; het l i j k t b o v e n d i e n d a t de s p i e g e l w e t ' h o e k v a n inval = h o e k v a n t e r u g k a a t s i n g ' in de f i g u u r is af t e l e z e n . Er is hier e c h t e r m a ^ r één r u i m t e d i m e n s i e en b i j t e r u g k a a t s i n g k e e r t de l i c h t s t r a a l v a n r i c h t i n g o m . De f i g u u r g e e f t n i e t de loop d o o r de r u i m t e v a n een l i c h t s t r a a l w e e r , m a a r d o o r r u i m t e t i j d . En de w e r e l d l i j n e n v a n l i c h t s t r a l e n m a k e n d a a r i n a l t i j d h o e k e n v a n 4 5 ° m e t de a s sen.
T.7 Sviiiclhiroriiiseresi Maak een t e k e n i n g ( d u s geen r u i m t e t i j d d i a g r a m ) w a a r i n d u i d e l i j k w o r d t hoe A p o l l o en Bacchus h u n k l o k k e n s y n c h r o n i s e r e n .
9
ii
ii
w^
A
B
X
Figuur 2.2 Klokken gelijkzetten (synchroniseren) de hokjes in het diagram hebben een breedte en hoogte van 1 lichtseconde.
26
S a n d e r k i j k t m e t een s u p e r v e r r e k i j k e r n a a r een klok op de p l a n e e t Mars, die een a f s t a n d v a n 78 m i l j o e n k m v a n ons v e r w i j d e r d is. S a n d e r s p o l s h o r l o g e g e e f t 2 3 . 0 0 u u r a a n . Z i e t S a n d e r op de M a r s k l o k d e z e l f d e t i j d als op zijn eigen p o l s h o r l o g e , als de k l o k k e n g e s y n c h r o n i s e e r d zijn?
2.3
B e w e g e n d e stelsefls
Nu w e één r e f e r e n t i e k a d e r h e b b e n o p g e z e t , willen w e m e t precies h e t z e l f d e r e c e p t een t w e e d e i n e r t i a a l s t e l s e l o p z e t t e n v o o r een g r o e p w a a r n e m e r s die zich v o o r t b e w e g e n m e t d e z e l f d e c o n s t a n t e s n e l h e i d . W a a r n e m e r s die t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r v e r s n e l l e n v o r m e n g e e n i n e r t i a a l s t e l s e l o m d a t h u n o n d e r l i n g e s n e l h e i d n i e t c o n s t a n t is — o o k een bal aan e e n t o u w t j e die r o n d g e s l i n g e r d w o r d t m e t ' c o n s t a n t e ' b a a n s n e l h e i d , h e e f t t o c h geen c o n s t a n t e s n e l h e i d , o m d a t de r i c h t i n g e r v a n v o o r t d u r e n d v e r a n d e r t . De r e l a t i v i t e i t s p o s t u l a t e n g a a n d a n niet o p . D a a r o m eisen w e d a t d e r o d e w e r e l d l i j n e n v a n A r n o l d en B r i t n e y r e c h t e l i j n e n z i j n . Ook zij w i l l e n h u n k l o k k e n g e l i j k z e t t e n o m een r o o d k a d e r op te z e t t e n v o l g e n s E i n stein's instructies. A r n o l d en B r i t n e y v o e r e n dus h e t z e l f d e e x p e r i m e n t uit. Als w e d a t in ons d i a g r a m w i l l e n a f b e e l d e n , m o e t e n we ons h o u d e n aan het t w e e d e p o s t u l a a t v a n E i n s t e i n , d a t z e g t d a t de l i c h t s n e l h e i d h e t z e l f d e is v o o r alle w a a r n e m e r s . D a a r o m m a a k t de w e r e l d l i j n v a n h e t licht d a t d o o r de b e w e g e n d e w a a r n e m e r s A r n o l d en B r i t n e y w o r d t u i t g e z o n d e n , d e z e l f d e h o e k t e n o p z i c h t e v a n de z w a r t e assen ( 4 5 g r a d e n o m precies t e z i j n ) als in het s t i l s t a a n d e k a d e r , zoals t e zien is in de f i g u u r 2 . 3 . T=9 S y m c 11 Tl r © 01B s a £ 5 e m e t ! i © d e Z o u d e n A r n o l d en B r i t n e y de b o v e n b e s c h r e v e n s y n c h r o n i s a t i e m e t h o d e o o k k u n n e n u i t v o e ren m e t een g e l u i d s i g n a a l als... a.
A r n o l d en B r i t n e y s t i l s t a a n t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r ?
b.
A r n o l d en B r i t n e y b e w e g e n t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r m e t c o n s t a n t e s n e l h e i d ?
5
A Figuur
B 2.3 Bewegende
X
waarnemers
27
zetten
hun klol
gelijk
2.4
OelD|ktiiJc3iiglh)e5d is reDattöef
A r n o l d en B r i t n e y z i t t e n in een ( h e l e l a n g e ) t r e i n in 2 c o u p é ' s w a a r v a n de t u s s e n d e u r e n o p e n s t a a n . Zie f i g u u r 2 . 4 .
A
B
— — — — — O Figuur
2.4 Liciitsignalen
in een
V
trein
A r n o l d v e r s t u u r t z i j n lichtsignaal op t i j d s t i p O, B r i t n e y r e g i s t r e e r t h e t en s t u u r t h e t t e r u g op t i j d s t i p W B = W i ' en het l
> W'
i
1 i
1
/ /
1
i
/
//..A Figuur
_
—- —- - —
B 2.5 Gelijktijdigheid
X
is
relatief
T.jLO
OeliJktiJdögC'iiesco]
I n f i g u u r 2.6 z i j n t w e e stelsels g e t e k e n d : een z w a r t en een r o o d s t e l s e l . De g e b e u r t e n i s s e n A e n B z i j n g e l i j k t i j d i g in het z w a r t e s t e l s e l . Laat zien d a t de g e b e u r t e n i s s e n in h e t r o d e stelsel n i e t g e l i j k t i j d i g z i j n ( e v t . m e t de t e k e n t o o l ) .
ik \w
B
A
/ / ( 1
/
!^
Figuur
iDrasteïBn e n
Zou liet • • » • » • O
•
2.6
treineiiTi
l
29
2=i
Eén
D^yimtetöjdl;, w e l e i m e r È D a s i l s t e l s e l s
W e k o m e n uit op een b e e l d , w a a r b i j de r a s t e r s v a n i n e r t i a a l s t e l s e l s die b e w e g e n t e n o p zichte v a n het z w a r t e stelsel p l a t g e d r u k t zijn zoals het r o d e stelsel in f i g u u r 2 . 7 a . De z w a r t e vierl
Figuur
2.7a
Figuur
2.7b
Het s c h e n k t een z e k e r e v o l d o e n i n g o m o p g r o n d v a n z u i v e r k w a l i t a t i e v e a r g u m e n t e n t o t z u l k e v e r r a s s e n d e i n z i c h t e n te k o m e n . Toch is d i t e e n g o e d m o m e n t o m iets k w a n t i t a t i e f s t e z e g g e n o v e r de h e l l i n g s h o e k e n v a n h e t r o d e r a s t e r . Als de r o d e reizigers de s n e l h e i d v
30
h e b b e n , v e r p l a a t s e n ze zich in e e n t i j d s d u u r t o v e r een a f s t a n d x=
v>t.
Met de afspraal<
dat u ; = c x f geeft dat W x=
c D a t k u n n e n w e o o k s c h r i j v e n als X
V
w
c
B e k i j k nu de d r i e h o e k m e t de z i j d e n w , w ' en x in h e t r u i m t e t i j d d i a g r a m f i g u u r 2 . 7 b . I n d e z e d r i e h o e k zien we d a t v o o r de t a n g e n s v a n de h o e k a ( d e h o e k t u s s e n d e w - a s en de w'-as ) g e l d t : X
tan a = — w Hieruit volgt dat:
lan
V Cl = —
c
De r e l a t i e v e s n e l h e i d s p a r a m e t e r v/c w o r d t g e w o o n l i j k w e e r g e g e v e n als b è t a :
c en die n o t a t i e zullen w e v a a k a a n h o u d e n . O m d a t /3 de v e r h o u d i n g t u s s e n t w e e s n e l h e d e n w e e r g e e f t , is h e t een p u u r g e t a l o n a f h a n k e l i j k v a n de keuze v a n n a t u u r k u n d i g e e e n h e d e n . M e r k op d a t o o k de t a n g e n s v a n de h o e k t u s s e n de x - a s en de x ' - a s g e l i j k is aan p. I
DraaSende assera Je k u n t op w w w . n i k h e f . n l / ^ s t a n b / M i n k o w s k i . h t m l m o o i zien hoe h e t p l a t d r u k k e n v a n h e t c o ö r d i n a t e n s t e l s e l a f h a n g t v a n de s n e l h e i d ; de p die d a a r t e r s p r a k e k o m t is u i t g e - d r u k t in procenten van de lichtsnelheid! Tuil
S o a l H n e i d ds r e l a t i e f
I n f i g u u r 2.7a l i j k t het alsof h e t s t i l s t a a n d e stelsel heel u i t z o n d e r l i j k is. T e k e n een n i e u w e f i g u u r m e t een r o o d en een z w a r t s t e l s e l , w a a r i n de assen v a n h e t node stelsel l o o d r e c h t op elkaar staan. Leg u i t , m e t b e h u l p v a n d e t w e e p o s t u l a t e n v a n E i n s t e i n , d a t de g r o o t t e v a n de h o e k t u s sen de r o d e w ' - a s en de z w a r t e w - a s h i e r b i j niet v e r a n d e r t . T.12 a.
Geef in f i g u u r 2.7c de z w a r t e c o ö r d i n a t e n v a n P ' a a n .
Dezelfde s i t u a t i e is n o g m a a l s g e t e k e n d in f i g u u r 2 . 7 d ; nu w o r d t d e r o d e w a a r n e m e r als stilstaand opgevat. b.
Geef in f i g u u r 2 . 7 d de c o ö r d i n a t e n v a n P ' in h e t z w a r t e f r a m e a a n . w'
1
P'
i p
-
Figuur
2.7c
Figuur
31
2.7d
Tcl3
De Juiste raiml-e=as
Bekijk figuur 2.8. Apollo beweegt met v = l / 4 c ten opzichte van Bacchus. Het r e c h t e assenstelsel m e t de w - a s en x - a s is v a n Bacc h u s . De w ' - a s v a n A p o l l o is g e t e k e n d . a.
W e l k e v a n de l i j n e n A t / m E in de f i g u u r 2.8 is d e b i j b e h o r e n d e x'-as?
b.
W e l k e lijn zou IMewton a a n w i j z e n als x ' - a s ?
T.14
p, p, p
W e l k e w a a r d e k a n de r e l a t i e v e s n e l h e i d s p a r a m e t e r (3 a a n n e m e n ? Zo n i e t , w a a r o m niet? a.
(3 < O
b.
(3 = 0
c.
O < (3 < 1
d.
p = 1
e.
p > 1
Figuur
2.8
B e w i j s van gelijke hoeken
Je ziet in f i g u u r 2.7a d a t de n i e u w e r u i m t e - en t i j d a s allebei d e z e l f d e hoek m a k e n m e t de o u d e a s s e n , en m e t de w e r e l d l i j n v a n een l i c h t s i g n a a l . D a t k o m t o m d a t de w e r e l d l i j n v a n h e t l i c h t s i g n a a r i n beide c o ö r d i n a t e n s t e l s e l s de bissectrice is. D a t de x ' - a s een e v e n g r o t e hoek m e t de x - a s m o e t m a k e n als de w ' - a s m e t de w - a s , v a l t m e t een m e e t k u n d i g e c o n s t r u c t i e in t e z i e n ; zie f i g . 2 . 9 . - BE, e v e n w i j d i g aan de x ' - a s , s n i j d t AD in h e t m i d d e n M - d a t v o l g t uit de eis v a n s y n chronisatie. - Rond M k u n j e een cirkel t r e k k e n m e t s t r a a l M D ; deze g a a t d o o r E en F, o m d a t d e h o e k e n AED en AFD r e c h t e h o e k e n z i j n ( s t e l l i n g v a n T h a l e s ) . - ME is d a a r o m o o k de s t r a a l v a n d e g e t r o k k e n c i r k e l . D r i e h o e k AME Is d u s g e l i j k b e n i g . - De h o e k e n CEM en MAB z i j n nu g e l i j k o m d a t de w e r e l d l i j n AE g e l i j k e h o e k e n v a n 4 5 ° m a a k t m e t h o r i z o n t a l e en v e r t i c a l e l i j n e n . Met a n d e r e w o o r d e n : de w ' - a s h e l t e v e n s t e r k n a a r r e c h t s als de x ' - a s n a a r b o v e n helt.
Figuur
2.9 De w'-as helt even ver naar rechts
32
als de x'-as
naar
boven
„7
W a t is e r w e r a s i d e r d ?
Deze n i e u w e l
w'=
w
en X = X-
v>t=
X—m>
c Dit is de z o g e n o e m d e Galileï-transformatie, die het v e r b a n d g e e f t t u s s e n de c o ö r d i n a t e n in t w e e stelsels die t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r b e w e g e n m e t de s n e l h e i d v. Het w o r d t e e n t r a n s f o r m a t i e g e n o e m d , o m d a t er als h e t w a r e een V e r t a l i n g ' p l a a t s v i n d t t u s s e n de g r o o t h e d e n m e t en z o n d e r a c c e n t j e s . V e r d e r o p zullen we o p z o e k g a a n n a a r e e n d e r g e l i j k v e r b a n d t u s s e n v e r s c h i l l e n d e stelsels in de t h e o r i e v a n E i n s t e i n .
1
1
\
1
1 /
/J ^
/.
Figuur
2.10
Volgens
i
/ /
é 11
1
/
/
/
1
/
/'
/•••
^
/ Newton
^'
Is de lichtsnelheid
33
niet
absoluut
Begrippen Referentiekader Synchroniseren Gelijktijdigheid Tijdcoördinaat
Samenvatting °
riddLbLUUrUiriddL
Wanneer verschillende waarnemers gegevens m e t elkaar w i l l e n u i t w i s s e l e n , m o e t e n ze h u n k l o k k e n s y n c h r o n i s e r e n ( g e l i j k z e t t e n ) . Dit s y n c h r o n i s e r e n g e b e u r t via h e t u i t wisselen v a n l i c h t s i g n a l e n . Als de k l o k k e n v a n t w e e w a a r nemers gesynchroniseerd zijn, wijzen hun klokken steeds hetzelfde aan.
Lichtseconde Absolute lichtsnelheid Relatieve snelheidsparameter
• • •
Een r e f e r e n t i e l j a d e r b e s t a a t uit een g r o o t a a n t a l ' w a a r n e m e r s ' die t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r in r u s t z i j n : e e n stelsel v a n r u i m t e - en t i j d c o ö r d i n a t e n .
O
De l i c h t s n e l h e i d is v o o r alle w a a r n e m e r s e v e n g r o o t . Dit leidt t o t een d r a a i i n g v a n de t i j d - en p l a a t s - a s o v e r een h o e k die a f h a n g t v a n de g r o o t t e v a n de s n e l h e i d . De d r a a i i n g s h o e k a w o r d t g e g e v e n d o o r t a n a { = v/c. De grootst mogelijke draaiing bedraagt hierdoor 45°.
O
R e l a t i e v e s n e l E i e i d s p a r a m e t e r /3 - de v e r h o u d i n g v/c, (3 v e r s c h i l t alleen n o e m e n s w a a r d i g v a n O als v erg g r o o t is.
O
Lijnen die v o o r een w a a r n e m e r g e l i j k e t i j d s t i p p e n a a n g e v e n lopen e v e n w i j d i g a a n z i j n p l a a t s a s . Het c o n c e p t g e l i j k t i j d i g h e i d v a n g e b e u r t e n i s s e n h a n g t h i e r d o o r af v a n h e t g e k o z e n r e f e r e n t i e k a d e r : of aan t w e e g e b e u r t e n i s s e n h e t zelfde t i j d s t i p w o r d t t o e g e k e n d , h a n g t af v a n hoe snel de w a a r n e m e r s b e w e g e n . G e l i j k t i j d i g h e i d is e e n r e l a t i e f b e grip.
e
I n de o p v a t t i n g e n v a n N e w t o n w a s de t i j d , en d a a r m e e g e l i j k t i j d i g h e i d , a b s o l u u t en de l i c h t s n e l h e i d a f h a n k e l i j k v a n de s n e l h e i d v a n de w a a r n e m e r . Einstein g a a t uit v a n een a b s o l u t e v u a a r d e v a n d e l i c h t s n e l h e i d , w a a r u i t v o l g t dat g e l i j k t i j d i g h e i d een r e l a t i e f b e g r i p is.
O
L i c h t s e c o n d e - de a f s t a n d die het licht in 1 s e c o n d e in het vacuüm aflegt : 3 • lO'' m.
Je m o e t r e f e r e n t i e k a d e r s k u n n e n t e k e n e n in het r u i m t e t i j d d i a g r a m v o o r w a a r n e m e r s met verschillende snelheden. Je m o e t k u n n e n u i t l e g g e n hoe k l o k k e n k u n n e n w o r d e n g e s y n c h r o n i s e e r d m e t e e n l i c h t signaal. Je m o e t k u n n e n l a t e n zien d a t t w e e t i j d s t i p p e n die g e l i j k t i j d i g zijn in stelsel A niet n o o d z a k e l i j k e r w i j z e g e l i j k t i j d i g zijn in een stelsel B d a t e e n p a r i g b e w e e g t t e n o p z i c h t e v a n stelsel A.
34
§2.1
19
Tijdsinterval
T u s s e n t w e e g e b e u r t e n i s s e n zit e e n t i j d s i n t e r v a l v a n 5 Is. a. Met hoeveel ( g e w o n e ) s e c o n d e n k o m t d i t o v e r e e n ? b. Met hoeveel m e t e r k o m t d i t o v e r e e n ?
2 0 De r u i m t e l i j k e a f s t a n d t u s s e n t w e e g e b e u r t e n i s s e n Stel d a t in f i g u u r 2 . 1 de h o k j e s zo g e k o z e n z i j n d a t het licht 1 s e c o n d e e r o v e r d o e t o m één z o ' n h o k j e t e d o o r l o p e n . Dit g e l d t z o w e l h o r i z o n t a a l als v e r t i c a a l . B e r e k e n de a f s t a n d t u s s e n A en B, in k m u i t g e d r u k t .
21 Wereldlijnen tekenen G e b r u i k d e t e k e n t o o l o m een r u i m t e t i j d d i a g r a m t e m a k e n d a t h o o r t bij een v o o r w e r p d a t zich m e t de halve l i c h t s n e l h e i d v e r p l a a t s t .
22 Tijd langs de v e r t i c a l e as? Bij n a t u u r k u n d e l e e r d e j e : " h o e s t e i l e r een r u i m t e t i j d d i a g r a m l o o p t , hoe g r o t e r de s n e l h e i d . " Is d a t in d i t g e v a l o o k w a a r ? §2.2
23 Het gelijkzetten van klokken Bekijk figuur 2.2. A n n i e en Bert m a a k t e n de a f s p r a a k h u n k l o k k e n op de v o l g e n d e m a n i e r g e l i j k te z e t t e n : A n n i e z e n d t een l i c h t s i g n a a l r i c h t i n g B e r t , op het t i j d s t i p tA = 12 h. B e r t o n t v a n g t h e t s i g n a a l en z e n d t h e t o n m i d d e l l i j k t e r u g n a a r A o p het t i j d s t i p tg, =12 h. a. W a t w i j s t de k l o k v a n A n n i e aan als zij h e t d o o r B e r t t e r u g g e k a a t s t e signaal o n t v a n g t ? A n n i e en Bert h a d d e n a f g e s p r o k e n d a t A n n i e na o n t v a n g s t v a n h e t d o o r Bert g e z o n d e n s i g n a a l h a a r k l o k zo zou i n s t e l l e n d a t die h e t z e l f d e a a n w i j s t als de k l o k v a n Bert. b. Hoe m o e t A n n i e h a a r k l o k d a n v e r z e t t e n ? De k l o k k e n v a n A n n i e en B e r t z i j n g e l i j k g e z e t . Ergens t u s s e n h u n in g a a t een l a m p a a n . A n n i e n o t e e r t d a t zij het e e r s t e licht v a n die l a m p o n t v a n g t o p tA = 4 s; Bert o n t v a n g t het e e r s t e licht op te = 5 s. A n n i e e n Bert l a t e n e l k a a r dit weten. c. Leg uit op w e l k t i j d s t i p de l a m p aan g i n g en op w e l k e p l a a t s de l a m p t o e n w a s . A a n w i j z i n g : j e k u n t d i t b e a n t w o o r d e n als j e de w e r e l d l i j n e n v a n d e l i c h t s t r a l e n die A n n i e en Bert o n t v a n g e n ' t e r u g in de t i j d ' t e k e n t .
35
24 Afstandsbepaling met een klok Er s t a a n t w e e w a a r n e m e r s op b e p a a l d e afs t a n d e n v a n m i j . Laat in d i a g r a m 2 . 1 1 zien hoe il< m e t h u n m e d e w e r l < i n g , d o o r m i d d e l v a n een t i j d m e t i n g h u n o n d e r l i n g e a f s t a n d kan b e p a len.
Figuur
2.11 Afstandsmeting
met een
klok
§2.3
25 Lichtsignalen van bewegende staande waarnemers
en
stilJ clarlolte
C h a r l o t t e z e n d t een lichtsignaal n a a r B r i t n e y , d a t B r i t n e y in h e t r u i m t e - t i j d p u n t dat m e t e e n b l a u w e stip is w e e r g e g e v e n , o n t v a n g t . T e k e n in f i g u u r 2 . 1 2 d p w e r e l d l i j n v a n d i t l i c h t s i g n a a l . B r i t n e y z e n d t in h e t r u i m t e - t i j d p u n t d a t a a n g e g e v e n is m e t de z stip t w e e l i c h t s i g n a l e n u i t ; e e n n a a r v o r e n , de a n d e r e naar a c h t e r e n . T e k e n in f i g u u r 2 . 1 2 de w e r e l d l i j n e n v a n deze lichtstralen.
T
—
—
7 —
Figuur
2.12
A Britney
i
•
Wereldlijnen
'
•
van
'
X lichtstralen
§2.4
26 a. De b o v e n s t e s t i p p e l l i j n In f i g u u r 2.5 s t a a t p e r d e f i n i t i e v o o r de lijn die d e z e l f d e t i j d m a r k e e r t in de b e w e g e n d e stelsels. Leg uit d a t alle l i j n e n die hier e v e n w i j d i g a a n l o p e n o o k l i j n e n m o e t e n z i j n v a n h e t z e l f d e t i j d s t i p en d a t de s t i p p e l l i j n d o o r de o o r s p r o n g de nieuwe ruimte-as (x'-as) moet zijn.
I n § 2 . 4 s t a a t o v e r de v e r s c h i l l e n d e assen in f i g u u r 2 . 5 : " g e b e u r t e n i s s e n die in h e t z w a r t e stelsel g e l i j k t i j d i g zijn en dus op dezelfde h o r i z o n t a l e z w a r t e lijn l i g g e n , meestal n i e t g e l i j k t i j d i g zullen z i j n in h e t r o d e s t e l s e l ! " b. W a n n e e r zijn g e b e u r t e n i s s e n d a n wel g e l i j k t i j d i g in h e t r o d e e n in het z w a r t e stelsel?
27 a. O v e r w e l k e t w e e s n e l h e i d s m e t i n g e n z i j n t w e e w a a r n e m e r s die t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r b e w e g e n h e t a l t i j d eens? b. O v e r w e l k e s n e l h e i d s m e t i n g e n z i j n ze h e t o n e e n s ?
36
28 Deze o p g a v e g a a t o v e r f i g u u r 2 . 5 . a. Bepaal de s n e l h e i d v a n A r n o l d . Leg uit t e n o p z i c h t e w a a r v a n die s n e l h e i d w o r d t b e paald. b. De gele l i j n e n s t a a n l o o d r e c h t op e l k a a r . Is d i t a l t i j d h e t g e v a l bij de w e r e l d l i j n e n v a n l i c h t s i g n a l e n die zich in t e g e n g e s t e l d e r i c h t i n g v o o r t p l a n t e n ? Licht t o e . Het e e r s t e gele l i j n s t u k t u s s e n A en W i ' is v e e l l a n g e r dan het t w e e d e gele l i j n s t u k t u s s e n en W 2 ' .
Wi'
c.
Kun j e d a a r o m z e g g e n d a t " d e a f s t a n d die het licht in het e e r s t e s t u k a f l e g t g r o t e r is d a n in het t w e e d e s t u k " ? Is die u i t s p r a a k a b s o l u u t goed of a b s o l u u t f o u t ?
d . I^lag j e , op d e z e l f d e m a n i e r , z e g g e n d a t h e t licht in het e e r s t e s t u k l a n g e r e t i j d o n d e r w e g is d a n in het t w e e d e s t u k ? B r i t n e y d o e t h e t z e l f d e als A r n o l d : op h a a r t i j d s t i p O z e n d t zij een l i c h t s i g n a a l 3 n a a r A r n o l d , die na o n t v a n g s t o n m i d d e l l i j k een s i g n a a l 4 t e r u g z e n d t . e. T e k e n deze s i g n a l e n in b o v e n s t a a n d e f i g u u r 2.5 e r b i j - b e d e n k e e r s t in w e l k p u n t B r i t ney zich v o l g e n s A r n o l d op t = O b e v i n d t !
29
Blikseminslag
S t e l d a t j e op een p e r r o n s t a a t w a a r een t r e i n langs r i j d t . Als h e t m i d d e n v a n de t r e i n pal v o o r j o u is, slaan t w e e b l i k s e m s t e g e l i j k i n , in de v o o r k a n t e n d e a c h t e r k a n t v a n de t r e i n . De t r e i n b e w e e g t n a a r r e c h t s . a. Zal j i j die b l i k s e m s t e g e l i j k w a a r n e m e n ? b. G e l d t d a t o o k v o o r een r e i z i g e r die zich precies m i d d e n in de t r e i n b e v i n d t ? O m d i t t e a c h t e r h a l e n m o e t j e de t e k e n t o o l g e b r u i k e n : t e k e n de w e r e l d l i j n e n v a n d e v o o r k a n t , h e t m i d d e n en de a c h t e r k a n t v a n d e t r e i n , en v a n de b l i k s e m f l i t s e n . V e r k l a a r nu d a t de t r e i n r e i z i g e r de f l i t s e n n i e t t e g e l i j k e r t i j d w a a r n e e m t , h o e w e l beide l i c h t s i g n a l e n een h a l ve treinlengte m e t gelijke snelheid onderweg zijn.
30 * Synchronisatie van klokicen m e t drie w a a r n e m e r s a. V e r z i n een p r o c e d u r e w a a r b i j de k l o k k e n v a n drie w a a r n e m e r s , die allen m e t d e z e l f d e snelheid bewegen, gesynchroniseerd w o r d e n .
b. I^aak een t e k e n i n g v a n de p r o c e d u r e in een r u i m t e t i j d d i a g r a m .
§2.6 3 1 De s n e l h e i d s p a r a m e t e r p a. Leg uit d a t de r e l a t i e v e s n e l h e i d s p a r a m e t e r p geen eenheid heeft. b. B e r e k e n de w a a r d e v a n p v o o r een f i e t s e r ( 1 8 k m / h ) , een a u t o ( 1 0 0 k m / h ) , een s t r a a l j a g e r (3000 km/h). c. W e l k e conclusie k u n j e op g r o n d v a n j e a n t w o o r d e n op v r a a g b t r e k k e n o m t r e n t de h e l l i n g s h o e k e n v a n de n i e u w e t i j d - en r u i m t e assen v a n de s t r a a l j a g e r ? d . Zie f i g u u r 2 . 7 a . T e k e n in f i g u u r 2 . 1 3 t w e e stelsels w a a r i n de assen v a n h e t stelsel d a t in f i g u u r 2.7a r o o d is w e e r g e g e v e n , l o o d r e c h t op e l k a a r s t a a n . Het stelsel d a t in f i g . 2.7a nog m e t b e h u l p v a n l o o d r e c h t e assen w o r d t g e t e k e n d , k r i j g t d a n assen die n i e t m e e r l o o d r e c h t op e l k a a r s t a a n .
37
Figuur
2.13
Van rood naar
zwart
" O m een v o o r alle i n e r t i ë l e w a a r n e m e r s g e l i j k e l i c h t s n e l h e i d t e k r i j g e n is het n o d i g d a t e e n p u n t op de w e r e l d l i j n v a n een l i c h t s t r a a l g e l i j k e c o m p o n e n t e n langs de r u i m t e - e n t i j d - a s heeft". e. Moet dit o o k in h e t ' p l a t g e d r u k t e ' stelsel g e l d e n ? §2.7 32 Absoluut of relatief? a. W a t is a b s o l u u t bij N e w t o n , w a t bij Einstein en w a t is r e l a t i e f ? B e a n t w o o r d d i t v o o r : verplaatsing, tijd, snelheid, lichtsnelheid. b. Geef in f i g u u r 2.5 de a f s t a n d t u s s e n A r n o l d en B r i t n e y in h e t r o d e stelsel a a n .
33 Gelijk of verschillend? T w e e w a a r n e m e r s A n k i e en B e r n a r d b e w e g e n t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r m e t c o n s t a n t e s n e l heid. W e l k e v a n de v o l g e n d e g r o o t h e d e n h e b b e n v o o r A n k i e en B e r n a r d d e z e l f d e w a a r d e : a. de l i c h t s n e l h e i d b. de s n e l h e i d v a n e e n e l e k t r o n c.
het g e t a l v a n A v o g a d r o
d. de t i j d t u s s e n t w e e g e b e u r t e n i s s e n e. de k i n e t i s c h e e n e r g i e v a n een p r o t o n ?
Figuur
2.14
Gelijl
X volgens
Newton
34 N e w t o n versus Einstein I n f i g u u r 2 . 1 4 is s p r a k e v a n d r i e w a a r n e m e r s . A , in h e t z w a r t e s t e l s e l , en B e n C d i e m e t g e l i j k e s n e l h e i d t e n o p z i c h t e v a n A b e w e g e n , op c o n s t a n t e a f s t a n d v a n e l k a a r . De b e d o e l i n g is d a t B en C h u n k l o k k e n g a a n g e l i j k z e t t e n , d o o r u i t w i s s e l i n g v a n l i c h t s i g n a l e n . Z i j w e r k e n v a n u i t h e t idee d a t de t i j d u n i v e r s e e l is ( N e w t o n ) . V o l g e n s IMewton m e e t A v o o r de s n e l h e i d v a n h e t licht d a t B u i t z e n d t u = c + v , e n v o o r h e t d o o r C t e r u g g e k a a t s t e licht u ' = -c -t- v. a. Ben j e het eens m e t de b e w e r i n g d a t P en Q z o w e l in h e t r o d e als in het z w a r t e stelsel g e l i j k t i j d i g zijn? b. W a t v a l t j e op aan de g e l i j k t i j d i g h e i d s l i j n e n in beide stelsels?
38
Links is de k l o k v a n A p o l l o , r e c h t s die v a n Bacchus. Zij h e b b e n de v o l g e n d e a f s p r a a k g e m a a k t o m hun k l o k k e n t e k u n n e n g e l i j k z e t t e n : als B een s i g n a a l v a n A o n t v a n g t , zet B zijn k l o k op 0. A z e n d t op een w i l l e k e u r i g t i j d s t i p ( i n de t e k e n i n g t = 1 3 ) een lichtsignaal n a a r B. B ' s k l o k w i j s t o p d a t m o m e n t 35 a a n . Als B het s i g n a a l o n t v a n g t w i j z e n de k l o k k e n 18 en 4 0 a a n ; h e t signaal w a s 5 tijdseenheden onderweg, maar dat weten A en B nog niet. B z e n d t o n m i d d e l l i j k een s i g n a a l n a a r A t e r u g , en zet zijn klol< op 0. A o n t v a n g t h e t t e r u g g e z o n d e n s i g n a a l op t = 2 3 . Hij b e r e k e n t d a t het s i g n a a l 10 tijdseenheden onderweg is geweest ( h e e n en t e r u g ) e n d a t B ' s k l o k d u s 5 a a n w i j s t , op h e t m o m e n t d a t A h e t s i g naal o n t v a n g t . A z e t z i j n klok op 5 : de k l o k k e n lopen v a n a f nu g e l i j k .
b.
"'V
\ \ \
\ \ \
\
1_
\
\ \
T.8 Nee, het licht h e e f t t i j d nodig o m S a n d e r t e b e r e i k e n . O m d a t de l i c h t s n e l h e i d 0,3 m i l j o e n k m / s is, h e e f t h e t v o o r die 78 miljoen k m 78/0,3 = 260 seconden nodig. De k l o k op IMars, zoals j e die op t = 2 3 . 0 0 . 0 0 ziet o p a a r d e , g e e f t 2 2 h. 5 5 ' . 4 0 " a a n .
\
\ \\
T.13 a. Lijn C.
T.9 De beschreven synchronisatiemethode h e e f t nodig dat de s i g n a l e n heen en t e r u g d e z e l f d e s n e l h e i d h e b b e n . I n s i t u a t i e A is d a t m o g e l i j k (als e r g e e n w i n d r o e t in het e t e n g o o i t ) , in s i t u a t i e B k a n d i t n i e t .
b. lijn D. T.14 P kan de w a a r d e n v a n a t / m d a a n n e m e n . P > 1 kan niet, o m d a t v niet g r o t e r d a n c kan zijn (zie h o o f d s t u k 3 ) .
39
3
©m^mamh
mm
g e w o l g
Ik denk nooit aan de toelwmst,
die komt snel genoeg.
Kun j e een lichtstraal inhalen?
3.i
C a y s a l i t e o t Bin d e p r o b D e m e m i
s t e l , e r z i j n t w e e g e b e u r t e n i s s e n , die w e a a n g e v e n m e t 1 en 2 in f i g u u r 3 . 1 . Bij 1 s t o r m t Pistolen P a u l t j e m e t een r e v o l v e r de h u i s k a m e r b i n n e n , en bij 2 w o r d t t a n t e S i d o n i a d o o d g e s c h o t e n . V a n u i t h e t z w a r t e k a d e r is het logisch o m t e c o n c l u d e r e n d a t de m o o r d o p S i d o n i a is g e p l e e g d d o o r P a u l t j e , o m d a t het d i a g r a m d u i d e l i j k laat zien d a t 1 na t w e e t i j d s e e n h e d e n g e b e u r t en 2 na d r i e . Maar b e s c h o u w h e t d r a m a nu eens v a n u i t het r o d e k a d e r . De r o d e w a a r n e m e r s b e w e r e n d a t e e r s t (na é é n t i j d s e e n h e i d ) t a n t e Sidonia w o r d t n e e r g e s c h o t e n , en pas d a a r n a ( e e n e e n h e i d l a t e r ) d a t P a u l t j e de k a m e r b i n n e n s t o r m t . De g e b e u r t e n i s s e n h e b b e n v o o r hen e e n a n d e r e v o l g o r d e . H e l p ! Het l i j k t e r o p d a t w e op een f a t a l e z w a k t e v a n de t h e o r i e z i j n g e s t u i t , w a n t h o e k a n de v o l g o r d e v a n g e b e u r t e n i s s e n nou r e l a t i e f z i j n ? H e e f t Einstein in z i j n e n t h o u s i a s m e m e t z i j n t w e e d e p o s t u l a a t h e t heilige p r i n c i p e v a n o o r z a a k en g e v o l g o v e r b o o r d g e g o o i d ? W e k u n n e n n i e t z o n d e r c a u s a l i t e i t : die v o r m t de basis v a n h e t hele n a t u u r k u n d i g e w e r e l d b e e l d . Met g e v o l g e n die v o o r a f g a a n aan h u n o o r z a a k k u n n e n w e niets b e g i n n e n . Niet v a n w e g e een w e t e n s c h a p p e l i j k s o o r t b e k r o m p e n h e i d , m a a r o m d a t onze w e r e l d e l k e s a m e n h a n g z o u v e r l i e z e n . Als w e e e r s t z o u d e n zien d a t i e m a n d w o r d t n e e r g e s c h o t e n en pas d a a r n a het p i s t o o l s c h o t g e l o s t zou w o r d e n , is h e t in p r i n c i p e m o g e l i j k o m de f a t a l e d a a d te v o o r k o m e n - o o k al is het s l a c h t o f f e r al d o o d . D a t is a b s u r d . O m t e b e g r i j p e n hoe d i t precies zit in de speciale r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e , die ons l i j k t t e b e r o v e n v a n de ons zo d i e r b a r e c a u s a l i t e i t , g a a n w e e e r s t k i j k e n n a a r de e i g e n s c h a p p e n v a n s n e l h e d e n in h e t c o n c e p t u e l e r a a m w e r k v a n Einstein's t h e o r i e .
1 i
7
'
y
x'
r-
X T.15
Causaliteit
O m s c h r i j f in j e e i g e n w o o r d e n het b e g r i p ' c a u s a l i t e i t ' .
40
Figuur
3.1 Tante
Sidonia
t
3=2
S nell Dn e d e mi o p t e l l e n w o l g e n s
Mewton
Hoe w e r k t e het o p t e l l e n v a n s n e l h e d e n g e z i e n v a n u i t v e r s c h i l l e n d e w a a r n e m e r s bij IMewt o n ? Dat b e k i j k e n w e aan de h a n d v a n h e t v o l g e n d e g e d a c h t e - e x p e r i m e n t . De r o d e pijl in f i g u u r 3.2 s t e l t een s u p e r - T G V v o o r , e e n h o g e s n e l h e i d s t r e i n die een s n e l h e i d h e e f t v a n 2 / 7 c, t w e e z e v e n d e v a n de l i c h t s n e l h e i d . D o o r die t r e i n r e n t een m e i s j e m e t b l a u w e o g e n m e t n o g m a a l s 2 / 7 c in de r i j r i c h t i n g ( d a t is d u s t w e e z e v e n d e v a n de s n e l h e i d die c o r r e s p o n d e e r t m e t de g e e l r o o d g e s t i p p e l d e p i j l , gezien v a n u i t h e t r o d e k a d e r ; zie f i g u u r 3 . 2 ) . D a t l e v e r t de b l a u w e pijl o p , en i n d e r d a a d s t e l t die pijl in het z w a r t e stelsel een s n e l h e i d v o o r v a n 2 / 7 c + 2 / 7 c = 4 / 7 c ( m e t b e t r e k k i n g t o t de gele p i j l , die s t a a t v o o r de l i c h t s n e l heid in het z w a r t e s t e l s e l ) . En d a t k l o p t precies m e t onze n a ï e v e , n e w t o n i a a n s e v e r w a c h tingen. Nu g a a n w e e e n s o o r t g e l i j k e s i t u a t i e b e s c h r i j v e n , m a a r d a n v a n u i t Einstein's p e r s p e c t i e f .
11
>A
li
c
/
f
*
*
1 1
c'
1
1
1
)
7 /
1 *
^ l f
/i 7
1 / Figuur
T.16
3.2 Is de lichtsneltieid
/ een
^'
constante?
Wereldlijnen
Geef de b e t e k e n i s v a n i e d e r e pijl in f i g u u r 3 . 2 .
3o3
Sneilneden optedien ¥@lgens
Einstein
We k i j k e n n o g m a a l s n a a r een v e r g e l i j k b a a r e x p e r i m e n t , alleen h e e f t de t r e i n nu e e n s n e l heid v a n V = Vi c en r e n t het m e i s j e m e t de b l a u w e o g e n o o k m e t u' = V2 c d o o r d e t r e i n n a a r v o r e n . Het is n i e t m o e i l i j k t e zien w a a r de rode w e r e l d l i j n v o o r de t r e i n in f i g u u r 3.3 m o e t l o p e n : o m d a t die half zo snel g a a t als h e t l i c h t , m o e t e n de o n d e r s t e t w e e l i g g e n d e z w a r t e p i j l e n e v e n lang z i j n . Nu w e t e n w e d a t v a n w e g e h e t t w e e d e p o s t u l a a t de l i c h t s n e l heid h e t z e l f d e is in de r o d e t r e i n als v o o r o n s ( d e w a a r n e m e r s in h e t z w a r t ) , z o d a t e r m a a r één gele pijl is die h e t lichtsignaal v o o r s t e l t in beide stelsels. Maar w a a r m o e t de b l a u w e wereldlijn van het meisje komen? Als iets in h e t r o d e stelsel b e w e e g t m e t de h e l f t v a n de l i c h t s n e l h e i d , d a n m o e t d a t v o o r w e r p in dezelfde t i j d precies half zo v e r k o m e n als een l i c h t s i g n a a l in d a t s t e l s e l . Zoals j e w e e t w o r d e n de a f s t a n d e n in de t r e i n g e m e t e n in de r o d e x ' - r i c h t i n g , en n i e t langs de h o r i z o n t a l e z w a r t e l i j n e n . D a a r o m l o o p t de b l a u w e pijl precies zo d a t d e t w e e r o d e t w e e p u n t i g e
41
p i j l e n e v e n lang z i j n , w a t b e t e k e n t d a t het m e i s j e m e t de b l a u w e o g e n in de x - r i c h t i n g i n d e r d a a d t e l k e n s de h e l f t v a n de a f s t a n d a f l e g t die een lichtflits in d i e z e l f d e t i j d a f l e g t . De v r a a g is nu m e t w e l k e snelheid de b l a u w e pijl c o r r e s p o n d e e r t in h e t z w a r t e k a d e r , d u s v o o r de s t i l s t a a n d e w a a r n e m e r s . Figuur 3.3 g e e f t ons m e t e e n e e n k w a l i t a t i e f m a a r o v e r d u i d e l i j k a n t w o o r d : de s n e l h e i d v a n de b l a u w e pijl is niet c + c = c, zoals w e in al o n z e n a ï v i t e i t h a d d e n v e r w a c h t , m a a r is d u i d e l i j k k l e i n e r d a n de l i c h t s n e l h e i d . We k u n n e n uit onze t e k e n i n g zelfs m o e i t e l o o s b e g r i j p e n d a t hoe h a r d h e t m e i s j e in d e t r e i n o o k h o l t , ze v o o r de z w a r t e w a a r n e m e r s n o o i t de s n e l h e i d c zal b e r e i k e n zolang zij l a n g z a m e r r e n t d a n c t e n o p z i c h t e v a n de t r e i n ! En als ze zich w e l m e t de l i c h t s n e l h e i d z o u v o o r t b e w e g e n , d a n zou ze die s n e l h e i d o o k m e t e e n h e b b e n v o o r alle w a a r n e m e r s , g e h e e l in o v e r e e n s t e m m i n g m e t h e t t w e e d e p o s t u l a a t v a n Einstein. W e k u n n e n n o g e e n s t a p v e r d e r g a a n en ons a f v r a g e n w a t e r zal g e b e u r e n als h e t m e i s j e een g r o e n e bal v o o r zich uit g o o i t m e t een s n e l h e i d k l e i n e r dan c. Precies d e z e l f d e r e d e n e ring als h i e r v o o r l e v e r t d a n w e d e r o m de conclusie op d a t de s n e l h e i d v a n de bal v o o r de z w a r t e w a a r n e m e r s a l t i j d m i n d e r zal zijn d a n c. Deze a n a l y s e l e i d t t o t de v e r r a s s e n d e conclusie d a t j e zoveel s n e l h e d e n bij e l k a a r k u n t o p t e l l e n als j e m a a r w i l t , m a a r d a t als e l k v a n die s n e l h e d e n k l e i n e r is d a n c, h e t e i n d r e s u l t a a t o o k a l t i j d k l e i n e r is dan c. |v|et a n d e r e w o o r d e n : v o l g e n s de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e is er een m a x i m u m s n e l h e i d v o o r b e w e g e n d e v o o r w e r p e n , en d a t is de l i c h t s n e l h e i d . Deze s n e l heid is a b s o l u u t in die zin d a t ze h e t z e l f d e is v o o r alle w a a r n e m e r s . Dit is v r i j e e n v o u d i g aan t e t o n e n , zoals w e gezien h e b b e n , m a a r h e t b l i j f t een v a n de v e r r a s s e n d s t e en m e e s t t e g e n i n t u ï t i e v e g e v o l g e n v a n Einstein's p o s t u l a t e n . Als j e j e een d e e l t j e v o o r s t e l t d a t v o o r t r a a s t m e t een s n e l h e i d die n e t iets k l e i n e r Is d a n de l i c h t s n e l h e i d , z o u j e t o c h v e r w a c h t e n d a t j e het m e t een e x t r a d u w t j e een s n e l h e i d z o u k u n n e n g e v e n die g r o t e r is d a n d e l i c h t s n e l h e i d ... I^aar n e e , d a t is o n m o g e l i j k ; w e zullen op deze k w e s t i e t e r u g k o m e n in h o o f d s t u k 6. T e r u g naar het ^neisje m e t de b l a u w e o g e n in de t r e i n . De v r a a g was w a t h a a r s n e l h e i d in h e t z w a r t e stelsel is. Daar k u n n e n w e a c h t e r k o m e n d o o r t e k i j k e n n a a r de h o r i z o n t a l e z w a r t e p i j l e n die aan w e e r s z i j d e n v a n de b l a u w e w e r e l d l i j n l i g g e n . We zien d a n d a t h a a r s n e l h e i d 4 / 5 c is. De r e l a t i v i s t i s c h e w e t die de o p t e l l i n g v a n s n e l h e d e n v a s t l e g t , l u i d t v o o r dit g e v a l d u s :
1
,
1
4
-C< + > -C= - C 2 2 5 Dit r e s u l t a a t o n d e r s t r e e p t h e t f e i t dat deze n a t u u r k u n d i g e m a n i e r v a n o p t e l l e n die w e hier a a n g e v e n m e t < + > , n i e t de g e w o n e r e k e n k u n d i g e o p t e l l i n g is, die w e a a n g e v e n m e t + . ]
V u
V
u'
c
/
t * —'
"-^
7' / /
f
#
X
Figuur
3.3 Optelling
van snel lieden
42
volgens
Einstein
T.17
Snelheid is relatief
Bepaal m e t b e h u l p v a n f i g u u r 3.4 d e s n e l h e i d v a n t r e i n en m e i s j e in beide stelsels ( j e g e e f t dus 4 g e t a l l e n ) u i t g e d r u k t in c.
X Figuur
.4
Eemi m a g i s t r a i e
3.4
formule
I n deze p a r a g r a a f g a a n w e e e n e x a c t k w a n t i t a t i e f a n t w o o r d g e v e n op rode t r e i n langs een p e r r o n r i j d t m e t s n e l h e i d v, en in de t r e i n h o l t een o g e n in de r i j r i c h t i n g m e t s n e l h e i d u', w a t is d a n de s n e l h e i d u v a n h e t v a n h e t p e r r o n ? ' O m h e t a n t w o o r d te v i n d e n m a k e n w e g e b r u i k v a n de g e l i j k v o r m i g e d r i e h o e k e n in h e t p l a t t e v l a k . Zie f i g . 3 . 5 .
de v r a a g : 'Als een meisje met blauwe meisje ten opzichte eigenschappen van
We leiden de g e w e n s t e u i t d r u k k i n g v o o r u in t e r m e n v a n u' en v, af in z e v e n s t a p p e n , w a a r b i j we g e b r u i k m a k e n v a n h e t f e i t d a t de t w e e g r o e n e d r i e h o e k e n in f i g u u r 3.5 g e l i j k v o r m i g z i j n : ze v e r s c h i l l e n in g r o o t t e , m a a r h e b b e n d e z e l f d e v o r m . Er is d a n e e n v a s t e v e r h o u d i n g t u s s e n de c o r r e s p o n d e r e n d e z i j d e n v a n beide d r i e h o e k e n . Ben j e k l a a r v o o r een klein p o t j e r e k e n e n ?
1.
I n het z w a r t e stelsel w o r d t een lichtflits n a a r r e c h t s u i t g e z o n d e n . I n 6 z w a r t e t i j d s e e n h e d e n ( d i t a a n t a l is zo g e k o z e n d a t f i g u u r 3.5 e r p r e t t i g uit k o m t t e z i e n ) is d e flits v a n h e t r u i m t e t i j d p u n t A n a a r h e t r u i m t e t i j d p u n t G g e g a a n . Hoe v e r is de flits in h e t r o d e stelsel g e k o m e n ? I n r u i m t e t i j d p u n t e n u i t g e d r u k t : o o k v a n A n a a r G. I n t i j d s d u u r u i t g e d r u k t : v a n A n a a r D en in r u i m t e u i t g e d r u k t : v a n A n a a r B.
2.
De h a r d l o o p s t e r l o o p t m e t s n e l h e i d Vz c t e n o p z i c h t e v a n de t r e i n . Z i j k o m t d u s in d e t i j d s d u u r AD half zo v e r ( g e m e t e n t e n o p z i c h t e v a n d e t r e i n ) als h e t licht. Alle t i j d s t i p p e n die d e z e l f d e t i j d a a n g e v e n in de t r e i n als h e t t i j d s t i p D liggen op de lijn d o o r DG. De halve a f s t a n d A B is g e l i j k aan DF. D a a r o m g a a t de w e r e l d l i j n v a n d e h a r d l o o p s t e r d o o r A en F: het Is de b l a u w e l i j n .
3.
De t w e e r e c h t h o e k i g e g r o e n e d r i e h o e k e n zijn g e l i j k v o r m i g , o m d a t j e de ene o v e r k u n t v o e r e n in de a n d e r e d o o r e r t w e e e e n v o u d i g e b e w e r k i n g e n op t o e t e p a s s e n . Eerst spiegel j e de d r i e h o e k t e n o p z i c h t e v a n een lijn die l o o d r e c h t op de gele lijn s t a a t e n d o o r het r a a k p u n t v a n de d r i e d r i e h o e k e n l o o p t , en v e r v o l g e n s herschaal j e h e m . Of a n d e r s : DF is e v e n w i j d i g a a n AB en m a a k t d a a r o m d e z e l f d e h o e k m e t de z w a r t e x - a s als A B : D D F H = D EAB. De r o d e assen w ' en x ' m a k e n g e l i j k e h o e k e n m e t de z w a r t e assen w en x , d u s D DFH = D CAD. De g r o e n e d r i e h o e k e n h e b b e n o o k nog beide e e n r e c h t e h o e k : ze zijn g e l i j k v o r m i g .
43
De v e r h o u d i n g t u s s e n de t w e e l o o d r e c h t e z i j d e n v a n de g r o t e d r i e h o e k , s / a , is de afs t a n d s = vt die de r o d e t r e i n a f l e g t in e e n b e p a a l d e t i j d , g e d e e l d d o o r de a f s t a n d a = ct die h e t gele lichtsignaal a f l e g t in d i e z e l f d e t i j d . Deze v e r h o u d i n g is d u s g e l i j k a a n v/c o f w e l jS en h a n g t n i e t af v a n het g e k o z e n t i j d s t i p . O m d a t de v e r h o u d i n g t u s s e n de c o r r e s p o n d e r e n d e z i j d e n v a n beide g r o e n e d r i e h o e k e n t e l k e n s h e t z e l f d e is, g e l d t d a t r/a = b/s. O m d e z e v e r h o u d i n g t e bepalen v e r g e l i j k e n w e h u n l a n g s t e z i j d e n , die o o k deel u i t m a k e n v a n de r o d e d r i e h o e k . V a n u i t h e t r o d e stelsel bezien is de v e r h o u d i n g t u s s e n de k o r t s t e ( D F ) en de langste ( A D ) v a n deze t w e e rode z i j d e n per d e f i n i t i e g e l i j k aan u'/c. Dit v o l g t uit precies h e t z e l f d e a r g u m e n t als we bij s t a p 2 h e b b e n g e b r u i k t , m a a r d a n v o o r het rode s t e l s e l . AD s t a a t v o o r d e a f s t a n d die h e t licht h e e f t a f g e l e g d in h e t r o d e k a d e r en is e v e n lang als DG. DF is d e afs t a n d die h e t m e i s j e in d e z e l f d e t i j d h e e f t a f g e l e g d in de t r e i n . We k r i j g e n :
DF _ u'yj _ ?/ AD
c
cyt
Dus g e l d t d a t b/s = u/c en d u s o o k r/a = u'/c. Als w e nu beide k a n t e n v a n deze v e r g e l i j k i n g e n v e r m e n i g v u l d i g e n m e t r e s p e c t i e v e l i j k s en a , v i n d e n w e :
,
u'ys
u'm
en r =
0=
c
c
De s n e l h e i d u die w e w i l l e n b e p a l e n v o l d o e t a a n e e n e e n v o u d i g e r e l a t i e in h e t z w a r t e k a d e r : s+r is de a f s t a n d die h e t m e i s j e h e e f t a f g e l e g d in de t i j d s d u u r {a+b)/c. De d e ling d o o r c is n o d i g , o m d a t w e de v e r t i c a l e as een r u i m t e - a s is die w e g e d e f i n i e e r d h e b b e n als c • t. Dus g e l d t d a t
u _ s+ r c
a+h
W e z i j n e r b'ijna! I n de v e r g e l i j k i n g uit s t a p 6 v u l l e n w e de u i t d r u k k i n g e n in v o o r b en r uit s t a p 5. V e r d e r is:
a= c>t en s= v>t Dit g e b r u i k e n w e in het r e s u l t a a t v a n s t a p 6 o m de b e r o e m d e f o r m u l e te v i n d e n die Einstein als e e r s t e h e e f t a f g e l e i d .
WA
H
./
G r
F ~~J—
'•
s
u'
^
b D
/
B
m
X
A Figuur
E 3.5 Afleiding
van de
optelformule
44
Optel formule voor snelheden Als een v o o r w e r p A ( h o l l e n d m e i s j e in de t r e i n ) b e w e e g t m e t een s n e l h e i d u' t e n o p z i c h t e v a n v o o r w e r p B ( d e t r e i n ) en B b e w e e g t m e t een s n e l h e i d v ( i n d e z e l f d e r i c h t i n g ) t e n o p zichte v a n v o o r w e r p C ( d e r a i l s ) , d a n is de s n e l h e i d v a n A t e n o p z i c h t e v a n C g e g e v e n d o o r de m a g i s t r a l e f o r m u l e v a n Einstein v o o r h e t o p t e l l e n v a n s n e l h e d e n : U =
Symbolen:
u'+V
j — U-V
of
u
=
r
' . (U+V)-
1 U-V
s n e l h e d e n z o n d e r a c c e n t w o r d e n g e m e t e n d o o r de s t i l s t a a n d e w a a r n e m e r , m e t a c c e n t d o o r de b e w e g e n d e , v is de s n e l h e i d v a n de b e w e g e n d e w a a r n e m e r . Het v o o r w e r p d a t b e w e e g t t . o . v . de b e w e g e n d e w a a r n e m e r h e e f t v o o r h e m s n e l h e i d u', v o o r de s t i l s t a a n d e w a a r n e m e r s n e l h e i d u. U,u\v en C h e b b e n d e z e l f d e e e n h e i d ( b v . ms"^).
Na al dit m e e t k u n d i g e g e p l o e t e r is h e t l e u k o m e v e n stil t e s t a a n bij het r e s u l t a a t o m t e k i j k e n o f h e t k l o p t m e t de e i g e n s c h a p p e n die we in de v o r i g e p a r a g r a a f al h a d d e n a f g e l e i d . •
Als w e de w a a r d e n uit h e t e e r d e r e v o o r b e e l d i n v u l l e n , v = V2 c en u' = V2 c, zien w e d a t f i g u u r 3.5 ons n i e t v o o r de g e k h e e f t g e h o u d e n . W e k r i j g e n i n d e r d a a d u = 4/5 c, d e zelfde u i t k o m s t die w e e e r d e r m e t h e t b l o t e o o g h a d d e n a f g e l e z e n .
•
Als u ' en v allebei veel k l e i n e r z i j n d a n de l i c h t s n e l h e i d , z o d a t u/c en v/c heel kleine waarden a a n n e m e n , verwachten we natuurlijk het v e r t r o u w d e newtoniaanse resultaat. I n d a t geval zal de t e r m u V / c ^ in de n o e m e r zo p i e p k l e i n z i j n d a t deze v e r w a a r l o o s b a a r Is t e n o p z i c h t e v a n de 1 e r n a a s t . D a a r o m m o g e n w e die t e r m w e g l a t e n , z o d a t w e d e b e k e n d e f o r m u l e t e r u g k r i j g e n die w e bij N e w t o n z o u d e n v e r w a c h t e n : u = u' + v.
•
Als w e v o o r u' de w a a r d e c k i e z e n , d a n v o l g t uit de f o r m u l e d a t u = c, o n a f h a n k e l i j k v a n de w a a r d e v a n v. Dit is n i e t s a n d e r s d a n de u i t s p r a a k d a t de l i c h t s n e l h e i d h e t z e l f d e is v o o r alle w a a r n e m e r s . Zelfs als j e t w e e m a a l c bij e l k a a r o p t e l t , k o m j e uit op u = c.
W a a r o m k u n j e bij N e w t o n s n e l h e d e n g e w o o n bij e l k a a r o p t e l l e n , t e r w i j l d a a r bij Einstein z o ' n i n g e w i k k e l d e f o r m u l e v o o r n o d i g is? D a t k o m t e i g e n l i j k d o o r d a t e e n s n e l h e i d p e r d e f i nitie een r u i m t e l i j k e a f s t a n d {Ax) is, g e d e e l d d o o r de v e r s t r e k e n t i j d {At). Bij N e w t o n w a s de t i j d u n i v e r s e e l , z o d a t At n i e t v e r a n d e r t en alleen Ax a n d e r s w o r d t als j e o v e r g a a t v a n h e t ene n a a r h e t a n d e r e s t e l s e l . I n de t h e o r i e v a n Einstein d a a r e n t e g e n v e r a n d e r e n x en t allebei op v e r s c h i l l e n d e w i j z e , w a a r d o o r de f o r m u l e v o o r de o p t e l l i n g veel i n g e w i k k e l d e r en niet-lineair wordt.
T.ie
Welke snelheid?
Een b u i t e n a a r d s r u i m t e s c h i p b e w e e g t m e t een s n e l h e i d v a n 0,4 c r i c h t i n g de a a r d e . Ze v u r e n een r a k e t op de a a r d e a f m e t een s n e l h e i d v a n 0,8 c. B e r e k e n m e t Einstein's f o r m u l e de s n e l h e i d v a n de r a k e t t e n o p z i c h t e v a n de a a r d e .
45
3,5
C a y s a l i t e i t gec^ed
Met het s u b l i e m e g e g e v e n d a t de l i c h t s n e l h e i d de a b s o l u t e m a x i m u m s n e l h e i d is, k u n n e n w e t e r u g k e r e n n a a r onze t e g e n s t r i j d i g e en o n o p g e l o s t e m o o r d z a a k v a n p a r a g r a a f 3 . 1 . O m d a t niets sneller kan g a a n d a n licht, k u n n e n de g e v o l g e n v a n een b e p a a l d e g e b e u r t e n i s zich o o k n o o i t sneller d a n h e t licht d o o r de r u i m t e t i j d v e r s p r e i d e n . I n f i g u u r 3.6 w o r d t d u i d e l i j k w a t d i t b e t e k e n t v o o r onze v e r e e n v o u d i g d e w e r e l d m e t één r u i m t e - en é é n t i j d d i m e n s i e . G e b e u r t e n i s 1 kan alleen g e v o l g e n h e b b e n v o o r g e b e u r t e n i s s e n erna die v a l l e n b i n n e n de gele w i g , die w o r d t b e g r e n s d d o o r de w e r e l d l i j n e n v a n l i c h t s i g n a l e n in d e p o s i t i e v e en n e g a t i e v e x - r i c h t i n g (die h e t z e l f d e z i j n v o o r alle w a a r n e m e r s ) . De e f f e c t e n v a n d e g e b e u r t e n i s zullen zich i m m e r s a l t i j d v e r s p r e i d e n m e t e e n s n e l h e i d kleiner of g e l i j k a a n c. O m d a t w e in w e r k e l i j k h e i d t e m a k e n h e b b e n m e t d r i e r u i m t e l i j k e d i m e n s i e s , m o e t j e j e de w i g e i g e n l i j k v o o r s t e l l e n als de t w e e d i m e n s i o n a l e v e r s i e v a n een k e g e l . D a a r o m w o r d t h e t gele g e b i e d g e w o o n l i j k de v o o r w a a r t s e l i c h t k e g e l g e n o e m d . Als w e d a a r e n t e g e n w i l l e n w e t e n w e l k e g e b e u r t e n i s s e n e r a l l e m a a l i n v l o e d z o u d e n k u n n e n h e b b e n op een b e p a a l d e g e b e u r t e n i s , b i j v o o r b e e l d g e b e u r t e n i s 2 , dan m o e t e n d e z e zich o m dezelfde r e d e n b e v i n d e n b i n n e n de b i j b e h o r e n d e d o n k e r g e l e a c h t e r w a a r t s e l i c h t k e g e l . Merk o p d a t de v o o r - d a n wel a c h t e r w a a r t s e l i c h t k e g e l v a n een g e b e u r t e n i s h e t z e l f d e z i j n in alle i n e r t i a a l s t e l s e l s . De kegels z i j n a b s o l u u t : ze h o r e n bij de g e b e u r t e n i s , n i e t bij e e n b e p a a l d e w a a r n e m e r . Wel is h e t zo d a t een p u n t P, d a t zich b i j v o o r b e e l d b u i t e n d e l i c h t k e g e l s v a n 1 b e v i n d t , v o o r e e n w a a r n e m e r die d o o r p u n t 1 g a a t , in h e t v e r l e d e n , h e t h e d e n o f de t o e k o m s t kan l i g g e n , a f h a n k e l i j k v a n z i j n s n e l h e i d . Maar deze o n b e p a a l d h e i d v a n de t i j d s v o l g o r d e d o e t er niet t o e , o m d a t e r n o o i t een s i g n a a l v a n p u n t 1 n a a r P k a n g a a n o f a n d e r s o m . T u s s e n de g e b e u r t e n i s s e n bij p u n t 1 e n p u n t P k a n g e e n o o r z a k e l i j k verband bestaan. Als w e nu t e r u g g a a n n a a r onze v e r w a r r i n g o v e r o o r z a a k e n g e v o l g in p a r a g r a a f 3 . 1 , z i e n we d a t de p u n t e n 1 en 2 zich b u i t e n e i k a a r s l i c h t k e g e l s b e v i n d e n . D a a r m e e is de c a u s a l i t e i t g e r e d . Het is o n m o g e l i j k d a t Pistolen P a u l t j e t a n t e Sidonia h e e f t o m g e l e g d - een hele g e ruststelling. G e b e u r t e n i s s e n k u n n e n alleen in een causaal v e r b a n d m e t e l k a a r s t a a n , als zij b i n n e n e l k a a r s l i c h t k e g e l v a l l e n . I n die g e v a l l e n is de t i j d s v o l g o r d e v a n g e b e u r t e n i s s e n o n a f h a n k e l i j k v a n de s n e l h e i d v a n de w a a r n e m e r . G e e n v o e r t u i g o f s i g n a a l kan s n e l l e r d a n h e t licht g a a n . Dit h e e f t als c o n s e q u e n t i e d a t de o p e n i n g s h o e k v a n de k e g e l een m a x i m u m h e e f t . En m e t de b e k e n d e v e r v a n g i n g v a n de t i j d - a s d o o r e e n c t - a s w a a r b i j alle h o k j e s z i j d e s v a n 1 l i c h t s e c o n d e h e b b e n , is die t o p h o e k 90°.
\
^
1
1
l 1
/ 1
—
/
/
L'—
1
1 1 ^ /
X Figuur
3.6 Paultje
kan het niet gedaan 46
hebben
T.19
Invloed van gebeurtenissen
a.
Laat zien well<e v a n de g e b e u r t e n i s s e n A, B en C uit f i g u u r 3.7 i n v l o e d o p e l k a a r k u n n e n h e b b e n g e h a d en w e l k e n i e t .
b.
T e k e n een g e b e u r t e n i s die v e r o o r z a a k t w o r d t d o o r 2 l i c h t s t r a l e n v a n u i t A en C.
c.
Kan j e een g e b e u r t e n i s t e k e n e n die w e l d o o r A k a n w o r d e n b e ï n v l o e d , m a a r n i e t d o o r B?
3
•
h w
C
9 B
X Figuur
T.20
3.7
Causaal v e r b a n d ?
Een m e t e o r i e t s l a a t in o p de m a a n ( g e b e u r t e n i s A ) . Een t e l e s c o o p die op de m a a n g e r i c h t w a s , g a a t e x a c t 0 , 4 7 s later s t u k ( g e m e t e n in e e n stelsel d a t a a n d e a a r d e is b e v e s t i g d ) . Dit is g e b e u r t e n i s B. Kan een causaal v e r b a n d b e s t a a n t u s s e n d e z e t w e e g e b e u r t e n i s s e n ? T i p : de a f s t a n d a a r d e - m a a n is 3 8 4 . 0 0 0 k m .
47
Begrippen Causaliteit Voorwaartse lichtkegel Achterwaartse lichtkegel Optelwet voor snelheden
Samenvatting Als g e l i j k t i j d i g h e i d a f h a n g t v a n de b e w e g i n g s t o e s t a n d v a n d e w a a r n e m e r , b e s t a a t in t h e o r i e h e t g e v a a r d a t o o k d e t i j d s v o l g o r d e v a n t w e e g e b e u r t e n i s s e n r e l a t i e f w o r d t . Dit z o u leiden t o t het v e r l i e s v a n c a u s a l i t e i t : de o o r z a a k m o e t a l t i j d aan h e t g e v o l g v o o r a f g a a n . C a u s a l i t e i t w o r d t g e r e d d o o r d a t het g e v o l g a l t i j d b i n n e n de v o o r w a a r t s e l i c h t k e g e l v a n de o o r z a a k m o e t l i g g e n . En de l i c h t k e g e l v a n e e n g e b e u r t e n i s b r e i d t zich m e t d e l i c h t s n e l h e i d in r u i m t e t i j d u i t - de m a x i m a l e s n e l h e i d w a a r m e e e e n signaal ( l i c h t , r a d i o g o l f o f a f g e s c h o t e n k o g e l ) zich k a n uitbreiden. Lichtkegels l i g g e n o n d e r en b o v e n een r u i m t e p u n t P. De o n d e r s t e , de a c h t e r w a a r t s e l i c h t k e g e l , g e e f t a a n w e l k e g e b e u r t e n i s s e n P k u n n e n b e ï n v l o e d e n ; de b o v e n s t e , de v o o r w a a r t s e l i c h t k e g e l , g e e f t aan w e l k e g e b e u r t e n i s s e n door P beïnvloed kunnen w o r d e n . Het o p t e l l e n v a n s n e l h e d e n v e r l o o p t bij Einstein a n d e r s d a n bij N e w t o n . Bij N e w t o n g e l d t v o o r d e s o m s n e l h e i d u v a n t w e e s n e l h e d e n u'en v: ll = u'+V Bij Einstein k o m t hier e e n c o r r e c t i e t e r m b i j : u'+V u =
U V
Deze t e r m z o r g t e r v o o r d a t de s o m s n e l h e i d de l i c h t s n e l h e i d n o o i t o v e r s c h r i j d t . B o v e n d i e n v o l g t e r u i t d a t a a n de eis d a t de l i c h t s n e l h e i d v o o r alle w a a r n e m e r s e v e n g r o o t is, w o r d t voldaan.
Wat Je moet l
Je Je Je en
m o e t In een r u i m t e t i j d d i a g r a m s n e l h e d e n k u n n e n a f l e z e n in v e r s c h i l l e n d e s t e l s e l s . m o e t s n e l h e d e n k u n n e n o p t e l l e n v o l g e n s de f o r m u l e v a n E i n s t e i n . m o e t k u n n e n a a n g e v e n w e l k e g e b e u r t e n i s s e n i n v l o e d op e l k a a r k u n n e n u i t o e f e n e n u i t l e g g e n w a a r o m d a t zo is.
48
© p g a w e o u §3.1
35
Causaliteit
Het l i j k t er op d a t in f i g u u r 3 . 1 c a u s a l i t e i t g e r e d k a n w o r d e n d o o r h e t p u n t 2 t w e e t i j d s e e n h e d e n o m h o o g t e s c h u i v e n : nu k o m t o o k in h e t r o d e stelsel g e b e u r t e n i s 2 na g e b e u r t e n i s 1. Zo l i j k t alles in o r d e , z o w e l in h e t z w a r t e als in h e t g e k l e u r d e s t e l s e l . De h o k j e s zijn w e e r zo i n g e d e e l d d a t z o w e l h o r i z o n t a a l als v e r t i c a a l de l e n g t e v a n e e n h o k j e m e t 1 l i c h t s e c o n d e o v e r e e n k o m t . Stel d a t in f i g u u r 3.8 in h e t r u i m t e t i j d p u n t 1 h e t s c h o t w o r d t g e l o s t , en d a t in p u n t 2 t a n t e Sidonia n e e r v a l t . Bepaal in het z w a r t e stelsel de s n e l h e i d v a n de k o g e l , als die v a n p u n t 1 n a a r p u n t 2 g a a t .
/ 1 1
>
2 1
Figuur §3.2
3.8 De snelheid
J
van de
kogel
^
36 Het t w e e d e
postulaat
I n f i g u u r 3.2 w o r d t iets w e e r g e g e v e n d a t in t e g e n s p r a a k is m e t h e t t w e e d e p o s t u l a a t v a n Einstein. a. Hoe l u i d t d a t t w e e d e p o s t u l a a t ? b. Geef aan w a t er in de f i g u u r d a a r m e e in s t r i j d is.
49
A
Figuur
3.9
§3.3
37 W a t b e t e k e n e n de lijnen in de f i g u u r 3.5? I n b o v e n s t a a n d e f i g u u r 3 . 9 , een k o p i e v a n de f i g u u r 3 . 5 , h e e f t een a a n t a l r u i m t e t i j d p u n t e n e e n n a a m (A t / m G) g e k r e g e n . H i e r o n d e r v o l g t een a a n t a l v r a g e n , in de t r a n t v a n : " w a t is de b e t e k e n i s v a n de l e n g t e v a n het l i j n s t u k CD in h e t z w a r t e s t e l s e l ? " , m e t als b e d o e l d a n t w o o r d : " h e t is de v e r p l a a t s i n g v a n de t r e i n in h e t z w a r t e s t e l s e l , g e d u r e n d e 4 z w a r t e tijdseenheden." a. W a t is de b e t e k e n i s v a n de l e n g t e v a n CE in h e t z w a r t e stelsel? b. W a t is de b e t e k e n i s v a n de l e n g t e v a n DE in h e t z w a r t e stelsel? c. W a t is de b e t e k e n i s v a n de l e n g t e v a n AD in h e t r o d e stelsel? d . W a t is de b e t e k e n i s v a n de v e r h o u d i n g CD/AC? e. N o e m een l i j n s t u k in het rode stelsel d a t d e z e l f d e b e t e k e n i s als CE in h e t z w a r t e stelsel heeft. f.
I s e r een l i j n s t u k , en zo j a w e l k , aan t e w i j z e n d a t in h e t r o d e stelsel d e z e l f d e b e t e k e n i s h e e f t als CD in het z w a r t e stelsel?
g . W e l k l i j n s t u k in h e t z w a r t e stelsel h e e f t d e z e l f d e b e t e k e n i s als AG in h e t r o d e stelsel? De b l a u w e l i j n , die de b e w e g i n g v a n de h a r d l o o p s t e r in h e t z w a r t e stelsel a a n g e e f t , v e r d e e l t l i j n s t u k DG in t w e e g e l i j k e d e l e n DF en FG. h. W a t is de b e t e k e n i s v a n de l e n g t e DG in h e t r o d e stelsel? i. W a a r o m g e l d t : DF = FG? De h a r d l o o p s t e r b e s l u i t v a n l o o p r i c h t i n g o m t e d r a a i e n ( n i e u w e s n e l h e i d - 1 / 2 c t . o . v . de t r e i n ) . I n het r u i m t e - t i j d p u n t F k e e r t zij v a n b e w e g i n g s r i c h t i n g o m . j . T e k e n h a a r w e r e l d l i j n . W a t m e r k j e op?
3 8 Do it y o u r s e l f De b e d o e l i n g is dat j e een f i g u u r als f i g u u r 3.5 m e t de t e k e n t o o l z e l f s t a n d i g t e k e n t , a a n d e h a n d v a n de v o l g e n d e a a n w i j z i n g e n . a. T e k e n z w a r t e a s s e n . b. Een t r e i n h e e f t s n e l h e i d 0,8 c t e n o p z i c h t e v a n h e t z w a r t e f r a m e . T e k e n de w e r e l d l i j n v a n de t r e i n , jviaak h e t c o ö r d i n a t e n s t e l s e l v a n de t r e i n af m e t een x ' - a s . c. I n de t r e i n r e n t een j o n g e n m e t s n e l h e i d 0,5 c, g e m e t e n in h e t stelsel v a n de t r e i n , n a a r voren. Kies e e n w i l l e k e u r i g p u n t op de w e r e l d l i j n v a n de t r e i n . Geef m e t e e n lijn alle p u n t e n , die in h e t stelsel v a n de t r e i n d e z e l f d e p l a a t s c o ö r d i n a a t h e b b e n als d i t p u n t , a a n . d . Pas op h e t oog 0,5 m a a l de a f s t a n d die h e t licht in h e t t r e i n s t e l s e l h e e f t a f g e l e g d af op de n e t g e t e k e n d e l i j n . T e k e n de w e r e l d l i j n v a n de h a r d l o p e r . e. jvieet zijn s n e l h e i d in h e t z w a r t e s t e l s e l .
50
§3.4
3 9 Snelheden optellen volgens Einstein B e a n t w o o r d de v o l g e n d e v r a g e n o v e r de f o r m u l e : u =
a. Leg uit d a t v o o r u = u ' + V.
snelheden
veel
kleiner dan
c bovenstaande
formule
overgaat
in
b. T e n o p z i c h t e w a a r v a n w o r d e n u, v en u ' g e m e t e n ? Zie f i g u u r 3 . 5 . Daarin b e w e e g t een t r e i n m e t s n e l h e i d V2 c t e n o p z i c h t e v a n h e t z w a r t e s t e l s e l . I n de t r e i n r e n t een m e i s j e m e t s n e l h e i d Vz c, g e m e t e n t e n o p z i c h t e v a n de t r e i n , naar voren. c.
Bereken haar snelheid ten opzichte van het zwarte stelsel.
d . C o n t r o l e e r of aflezing v a n deze s n e l h e i d uit f i g u u r 3.3 h e t z e l f d e r e s u l t a a t o p l e v e r t . I n h e t a t o o m m o d e l v a n Bohr c i r k e l t het e l e k t r o n in d e b i n n e n s t e schil m e t s n e l h e i d Z • c / 1 3 7 r o n d de k e r n . Hierin is Z het a t o o m n u m m e r v a n de k e r n I s h e t r e d e l i j k o m deze beweging met behulp van de Newtonse mechanica te beschrijven voor: e. e e n w a t e r s t o f a t o o m ? f.
een goudatoom?
g . Is de w e r e l d l i j n v a n de h a r d l o o p s t e r die j e in o p g a v e 3 7 , o n d e r d e e l j , h e b t g e t e k e n d , in overeenstemming met bovengegeven formule? h. u ' en V k o m e n s y m m e t r i s c h in de f o r m u l e v o o r , d.w.z j e k u n t u ' d o o r v v e r v a n g e n en v d o o r u ' z o n d e r d a t de f o r m u l e v e r a n d e r t . Breng m e t b e h u l p v a n e e n g e t a l l e n v o o r b e e l d (geen berekening nodig!) onder woorden wat dit betekent. i.
* Een s t r a a l j a g e r v l i e g t m e t een s n e l h e i d v a n 5 0 0 m / s . De s t r a a l j a g e r v u u r t een r a k e t af m e t een s n e l h e i d v a n 3 0 0 0 m / s . B e r e k e n hoe snel w i j de r a k e t zien v l i e g e n op a a r d e .
40 Vergelijking t u s s e n formules van Wewtoii en Eioisleiii) V o l g e n s Einstein h e b b e n w e de f o r m u l e : Ji =
u'+u
; — . V o l g e n s N e w t o n : u = u'+ UV
v
a. Als j e V = c n e e m t , w e l k e s n e l h e i d k r i j g j e d a n v o o r ul b. I n w e l k e g e v a l l e n k o m e n de u i t k o m s t e n v a n de t w e e f o r m u l e s e x a c t o v e r e e n ?
41 a. Een s t e r r e n s t e l s e l b e w e e g t m e t s n e l h e i d 2 / 3 c bij ons v a n d a a n . Het licht h e e f t s n e l h e i d c t e n o p z i c h t e v a n d i t s t e r r e n s t e l s e l . Hoe g r o o t is de s n e l h e i d v a n h e t licht t e n o p z i c h t e v a n ons? Een s t e r r e n s t e l s e l b e w e e g t zich m e t s n e l h e i d 2 / 3 c bij ons v a n d a a n . Een a n d e r stelsel b e w e e g t e v e n snel bij ons v a n d a a n , in t e g e n o v e r g e s t e l d e r i c h t i n g . b. Kan h e t licht v a n h e t ene stelsel het a n d e r e o o i t b e r e i k e n ? c.
B e r e k e n m e t b e h u l p v a n de f o r m u l e de o n d e r l i n g e s n e l h e i d v a n d e stelsels.
51
4 2 O n t s n a p p e n de boeven? Drie b a n k r o v e r s zijn m e t hun b u i t op de v l u c h t v o o r de p o l i t i e . Hun v l u c h t a u t o g a a t m e t een s n e l h e i d v a n % c. De p o l i t i e a u t o g a a t m a a r m e t een s n e l h e i d v a n Vz c. Deze beide s n e l h e d e n w o r d e n g e m e t e n t e n o p z i c h t e v a n de g r o n d . Een a g e n t v u u r t een k o g e l a f m e t een s n e l h e i d v a n V3 c. Deze laatste s n e l h e i d is g e m e t e n t e n o p z i c h t e v a n de p o l i t i e a u t o . a. B e r e i k t de kogel de b o e v e n v o l g e n s N e w t o n ? b. B e r e i k t de kogel de b o e v e n v o l g e n s Einstein? c. W a a r s c h i j n l i j k heb j e o n d e r d e e l b e a n t w o o r d v a n u i t een w a a r n e m e r die zich o p d e g r o n d b e v i n d t . B e a n t w o o r d o n d e r d e e l b n u , v a n u i t h e t g e z i c h t s p u n t v a n de p o l i t i e , de b o e v e n en de k o g e l . Vul de g a t e n in o n d e r s t a a n d e t a b e l .
Figuur
3.10
Snelheid van t.o.v.4^
Grond
Politie
ECogel
Boeven
O n t s n a p p e n ze?
Grond
Politie
Boeven
Kogel
§3.5
43
* Sneller dan licht?
Karei h e e f t een hele s t e r k e z a k l a m p en hij wil d a a r m e e l a t e n zien d a t h e t m o g e l i j k is o m s n e l l e r d a n h e t licht i n f o r m a t i e t e s t u r e n . Hij v r a a g t Jan en Piet o m 1 k m uit e l k a a r t e g a a n s t a a n . Karei m o n t e e r t z i j n z a k l a m p op een p l a t e n s p e l e r die een m a a l p e r s e c o n d e r o n d d r a a i t en z e t deze p l a t e n s p e l e r o p 1 0 0 . 0 0 0 k m a f s t a n d v a n Jan en Piet (zie f i g u u r 3 . 1 1 ) .
Kaïel 1 km
a. Jan ziet de z a k l a m p v o o r b i j f l i t s e n . Hoe lang d u u r t het v o o r d a t Piet de l i c h t s t r a a l o o k ziet?
Figuur
3.11
Situatie
met Jan, Piet en de
zal
b. Jan p a k t een l a s e r p i s t o o l en s c h i e t o p Piet. Hoe lang d u u r t h e t v o o r d a t Plet g e r a a k t w o r d t ? Kun j e c o n c l u d e r e n d a t de b u n d e l v a n d e z a k l a m p s n e l l e r dan het licht g a a t ? Je k u n t z e g g e n d a t b o v e n s t a a n d v o o r b e e l d n i e t e e r l i j k is. I m m e r s , de f o t o n e n uit d e z a k l a m p g a a n zelf n i e t s n e l l e r d a n h e t l i c h t . c.
Karei z e g t nu d a t Jan pas m a g s c h i e t e n als hij h e t licht v a n de z a k l a m p v o o r b i j z i e t k o m e n . T e g e n Piet z e g t Karei d a t hij m o e t b u k k e n als hij de z a k l a m p ziet. Is Piet op t i j d o m het laserpistool te ontwijken?
d . Karei z e g t d a t e r nu i n f o r m a t i e s n e l l e r d a n h e t licht is v e r s t u u r d . Ben j e het m e t h e m eens? Waarom (niet)?
52
44 Causaliteit - onschuld b e w e z e n Het is 1 9 0 0 . I n H a m b u r g ( N o o r d - D u i t s l a n d ) is o m 12 u u r 's n a c h t s een m i s d r i j f g e p l e e g d . Een z e k e r e A l b e r t E., g e b o r e n t e in U l m ( Z u i d - D u i t s l a n d ) w o r d t v e r d a c h t . Hij b e w e e r t e c h t e r zijn o n s c h u l d t e k u n n e n b e w i j z e n ! D a t g a a t als v o l g t : • Hij k a n a a n t o n e n d a t hij o m 19 u u r (5 u u r v o o r h e t m i s d r i j f ) nog in I^lünchen w a s . De a f s t a n d I ^ i j n c h e n - H a m b u r g is 6 0 0 k m . • Het snelste v e r v o e r m i d d e l (in 1 9 0 0 ) h a a l t 100 k m / h . De politie ziet niet in d a t d i t e e n b e w i j s is, d u s v o e g t A l b e r t E. e r nog aan t o e : •
De m i n i m a l e reistijd t u s s e n H a m b u r g en M ü n c h e n b e d r a a g t 6 u u r .
•
O m d a t hij o m 19 u u r n o g in I^lünchen w a s , k a n hij n i e t o m 2 4 u u r in H a m b u r g g e w e e s t zijn.
T o e n zij dit b e g r e p e n h a d d e n , r a a d d e E. de politie aan o p v e r g e l i j k b a r e m a n i e r a n d e r e m o g e l i j k e d a d e r s uit t e s l u i t e n . Op e e n k a a r t ( f i g u u r 12) r o n d H a m b u r g w o r d e n h i e r t o e cirkels g e t r o k k e n , m e t s t r a a l 1 0 0 , 2 0 0 , 3 0 0 , enz. k m . Bij die cirkels w o r d e n r e l e v a n t e t i j d stippen gezet. V r a a g : w e l k e b e t e k e n i s h e b b e n deze t i j d s t i p p e n v o o r d i t m i s d r i j f ?
Enschctle Osnabrück
sderland
-.J»".
Hannover ' O „ ° • Hiid«heinio
BielDfeld
' ,
,
Grttor.
,
' % ^ Halle.'
„O . > a . o • o « » - r - * - . . , - ' V , * « r ' Düsseldorf O
.
ry,
.laastfichl
^
••^oKBsset
OKöln ' w rxuin , q siegen
IIL'
Ó Aachen
B°nn "
y- • V^.
Figuur
oWuppnrtal
O ir.ui-
3.12
Frankfurt
Deutschland
.
JÜB»'
^SAW
^^K|gr«
-
363 km
>
ChomniU O
jBlkrV \
: Dresden
" °
, Germany
A a m Main
Onschuldiger!
,
V
D u r g
Drah
PtJ
Figuur 3.13 De schuldige binnen de kegel
uitsluiten
bevindt
V e r v o l g e n s b e d e n k t m e n d a t deze i n f o r m a t i e m o o i e r is w e e r t e g e v e n in de ( 2 d i m e n s i o n a l e ) w e e r g a v e v a n een a n d e r e 3 - d i m e n s i o n a l e f i g u u r 3 . 1 3 . Die is h i e r n a a s t getekend.
53
zich
Alle m o g e l i j k e v e r d a c h t e n die k u n n e n a a n t o n e n d a t zij op e n i g m o m e n t een p l a a t s - en t i j d c o ö r d i n a a t h a d d e n die b u i t e n de g e t e k e n d e k e g e l v a l l e n , z i j n o n s c h u l d i g ! Dit idee k u n j e o o k op slechts 1 r u i m t e d i m e n s i e t o e p a s s e n . De cirkels r o n d H a m b u r g z o u d e n v e r v a n g e n m o e t e n w o r d e n d o o r l i j n s t u k k e n m e t als l e n g t e de d i a m e t e r v a n de c i r k e l die zij v e r v a n g e n . De kegel v e r a n d e r t d a n in e e n e e n v o u d i g e r f i g u u r , m e t s l e c h t s t w e e d i m e n s i e s : é é n v o o r de t i j d en de a n d e r e v o o r de p l a a t s . I^erk op d a t de o n s c h u l d v a n A l b e r t E. n i e t b e w e z e n had k u n n e n w o r d e n als hij de b e s c h i k k i n g had g e h a d o v e r een v o e r t u i g d a t 2 0 0 k m / h k o n h a l e n ! Figuur 3.13 zou d a n v e r v a n g e n m o e t e n w o r d e n d o o r een kegel m e t een g r o t e r e t o p h o e k . En b i n n e n die g r o t e r e kegel zou h e t p u n t m e t c o ö r d i n a t e n ( l ^ l ü n c h e n , 19 h) w è l v a l l e n !
45 Causaal verband? I n f i g u u r 3 . 1 4 zijn t w e e g e b e u r t e n i s s e n A en B g e t e k e n d , die v o o r een z w a r t e w a a r n e m e r niet g e l i j k t i j d i g z i j n .
A
a. T e k e n een stelsel w a a r i n de g e b e u r t e nissen A en B w e l g e l i j k t i j d i g p l a a t s v i n d e n . b. Bepaal de s n e l h e i d v a n d i t s t e l s e l .
B gk f
c. Leg nu uit d a t t u s s e n de g e b e u r t e n i s s e n B e n A g e e n causaal v e r b a n d kan b e s t a a n .
X
Figuur 46
3.14
Causaal
verband?
* Lichtkegels
a. T e k e n in f i g , 3.15 de l i c h t k e g e l s v a n de gebeurtenis P : (x,w)= (5,3) b. T e k e n een stelsel w a a r b i j Q: ( 7 , 4 ) v o o r P p l a a t s v i n d t . V o o r w e l k e s n e l h e d e n is d i t het geval? c. Laat zien d a t de Q niet v o o r P plaats k a n v i n d e n als w e kiezen Q: ( 4 , 5 ) .
1 Q
d . Met w e l k e s n e l h e i d z o u een s i g n a a l verstuurd moeten worden vanuit P om in Q aan t e k o m e n ? e. W e
hebben
i
p
gebeurtenissen Geef de a l g e m e n e c o n d i t i e d a t deze t w e e g e b e u r t e nissen o o r z a k e l i j k s a m e n h a n g e n .
P:(xi,Wi) e n Q:
twee
(X2,W2).
X
Figuur
54
3.15 Lichtl<egels
en causaal
verband
47 * Een ontmoeting met T a c h y - J o h n ( v e r v o l g ) . We s t e l l e n ons v o o r d a t er een o n t m o e t i n g p l a a t s v i n d t t u s s e n de z w a r t e w a a r n e m e r en ene T a c h y - J o i i n (T-J) die m e t e e n s n e l h e i d v a n v = 2 c l a n g s k o m t . De o n t m o e t i n g v i n d t p l a a t s in de o o r s p r o n g . I n h o o f d s t u k 1 a n a l y s e e r d e n w e d i t p r o b l e e m aan de h a n d v a n h e t r u i m t e t i j d d i a g r a m uit f i g u u r 3 . 1 6 :
1
w'
1 H
\
\
F
G X
A
Figuur
3.16
Ontmoeting
We z a g e n d a t er p r o b l e m e n o n t s t o n d e n d o o r een s c h e n d i n g v a n h e t 1 ^ p o s t u l a a t v a n E i n s t e i n : z w a r t n e e m t de b e w e g i n g v a n T-J a n d e r s w a a r d a n T-J die v a n z w a r t w a a r n e e m t . Een n a d e r e b e s c h o u w i n g d o e t ons inzien w a a r deze s c h e n d i n g v a n d a a n k o m t . T-J z e n d t in de f i g u u r alleen s i g n a l e n uit in zijn p o s i t i e v e r u i m t e r i c h t i n g ! En deze s i g n a l e n na h e t p a s s e e r p u n t lopen o o k nog in de n e g a t i e v e t i j d r i c h t i n g v a n T - J . a. Leg dit uit. b. T e k e n nu een h e r z i e n e v e r s i e v a n f i g u u r 3 . 1 6 w a a r i n op de t w e e g e n o e m d e p u n t e n c o r r e c t i e s zijn a a n g e b r a c h t . c. Hoe e r v a a r t de z w a r t e w a a r n e m e r de hele o n t m o e t i n g ( b e s c h r i j f de o n t m o e t i n g als een reeks v a n w a a r n e m i n g e n v a n de z w a r t e w a a r n e m e r ) ? d . I s op deze w i j z e w e l v o l d a a n a a n E i n s t e i n ' s 1*^ p o s t u l a a t ? Ga d a a r t o e na hoe T-J de o n t m o e t i n g zou e r v a r e n , w a a r b i j de z w a r t e w a a r n e m e r m e t r e g e l m a t i g e t u s s e n p o z e n lichtsignalen uitzendt.
Zoals j e zal z i j n o p g e v a l l e n , m o e t e r een prijs b e t a a l d w o r d e n o m a a n E i n s t e i n ' s e i s e n t e v o l d o e n : s o m m i g e s i g n a l e n die T-J in zijn p o s i t i e v e t i j d r i c h t i n g u i t z e n d t , lopen in de n e g a tieve zwarte tijdrichting. e. I s iets v e r g e l i j k b a a r s a a n de h a n d m e t de s i g n a l e n die de z w a r t e w a a r n e m e r u i t z e n d t ? f. T - J ' s l i c h t k e g e l is g e d r a a i d t . o . v . d i e v a n d e z w a r t e w a a r n e m e r . T r e e d t z o e e n draaiing ook wel eens op bij w a a r n e m e r s die ten opzichte v a n elkaar een l a g e re snelheid dan c bezitten? g . B r e n g o n d e r w o o r d e n w e l k e p r o b l e m e n m e t c a u s a l i t e i t z o u d e n o n t s t a a n als e r m e n s e n ( o f m a c h i n e s , of s i g n a l e n ) s n e l l e r d a n h e t licht z o u d e n k u n n e n g a a n .
55
Antwoorden tekstvragen
T.18
T.15
De s n e l h e i d v a n h e t r u i m t e s c h i p in h e t stelsel v a n d e a a r d e b e d r a a g t v = 0 , 4 c ( d a n is de p o s i t i e v e as zo g e k o z e n d a t die s a m e n v a l t m e t de richting v a n de s n e l heid v a n h e t r u i m t e s c h i p ) . De r a k e t b e w e e g t m e t s n e l h e i d u ' = 0,8 c t e n o p zichte van het ruimteschip. Dan is de s n e l h e i d v a n de r a k e t t e n o p zichte van ons: u'+V
Twee elloar liteit') is v a n
g e b e u r t e n i s s e n zijn causaal m e t v e r b o n d e n ( d a n b e s t a a t er ' c a u s a als de ene g e b e u r t e n i s de o o r z a a k de a n d e r e g e b e u r t e n i s .
T.16 De z w a r t e v e r t i c a l e p i j l : de w - a s o f t e w e l de lijn x = 0. De rode p i j l : de w e r e l d l i j n v a n de t r e i n De b l a u w e : de w e r e l d l i j n v a n het m e i s j e . De g e l e , m e t c e r b i j g e s c h r e v e n ; de w e r e l d l i j n v a n een f o t o n in h e t z w a r t e s t e l sel. De g e e l r o o d g e s t i p p e l d e : de w e r e l d l i j n v a n een f o t o n in het r o d e stelsel v o l g e n s Newton.
( 0 , 8 c -I- 0,4 c) / ( 1 4- 0 , 4 c . 0 , 8 c / c 2 ) 1 , 2 c / 1,32 = 1 0 / 1 1 c.
=
T.19
/
ii
/
\
\ fA-
-'^ / ^ C\ B
X
/
•
\ \
\
• T.17
a. B ligt in b i n n e n de a c h t e r w a a r t s e l i c h t kegel v a n z o w e l A als C; B kan d a a r o m A v e r o o r z a a k t h e b b e n , en o o k C. A v a l t b u i t e n C s l i c h t k e g e l en is d a a r o m n i e t causaal m e t C v e r b o n d e n . b. Dit is de g e b e u r t e n i s in de t o e k o m s t die h e t s n i j p u n t is v a n de gele e n rode l i j n e n uit A en C. c. Nee, d a t kan n i e t : alle p u n t e n b i n n e n de v o o r w a a r t s e l i c h t k e g e l v a n u i t A l i g g e n o o k b i n n e n die v a n u i t B en z i j n d u s d o o r B beïnvloedbaar.
I n h e t z w a r t e s t e l s e l : de snelheid v a n de t r e i n is 1/4 c; die v a n het m e i s j e 2 / 4 c. I n h e t rode stelsel ( v a n de t r e i n ) : de t r e i n s t a a t s t i l , het m e i s j e h e e f t s n e l h e i d ( o n g e v e e r ) 0,3 c: de k o r t e rode pijl h e e f t e e n l e n g t e die ca. 3 0 % is v a n de a f s t a n d die h e t licht in de o v e r e e n k o m s t i g e t i j d in h e t rode stelsel a f l e g t .
T.20 Die e v e n t u e l e o o r z a a k zou de a f s t a n d m a a n - a a r d e ( r u i m 3 0 0 . 0 0 0 k m ) in 0 , 4 7 s h e b b e n o v e r b r u g d . Dat z o u e e n s n e l h e i d v e r e i s e n die g r o t e r is d a n d e l i c h t s n e l heid, hetgeen niet kan. De inslag v a n de m e t e o r i e t k a n d a a r o m niet de o o r z a a k z i j n v a n h e t k a p o t g a a n v a n de t e l e s c o o p .
56
4
TajdsyiitrekkDog
Alles moet zo eenvoudig mogelijk diger dan dat.
worden voorgesteld,
maar niet
eenvou-
Lopen b e w e g e n d e k l o k k e n echt l a n g z a m e r ?
4.1
CCyimt u m i j werteilBeini h o e l a a t Biet is?
G e l i j k t i j d i g h e i d is relatief; w e l k e g e b e u r t e n i s s e n v o o r iennand g e l i j k t i j d i g p l a a t s v i n d e n h a n g t af v a n h a a r r e f e r e n t i e k a d e r , d a t w o r d t b e p a a l d d o o r h a a r s n e l h e i d . Als j e n a a r f i g u u r 4 . 1 k i j k t , k u n j e j e a f v r a g e n hoe l a a t h e t is in h e t p u n t w ' . V o o r de w a a r n e m e r s in h e t z w a r t is d a t g e l i j k t i j d i g m e t w = 5 t i j d s e e n h e d e n , m a a r v o o r d e r o d e w a a r n e m e r s is h e t g e l i j k t i j d i g m e t w* = 3,3 e e n h e d e n . I^isschien m a a k j e j e nu z o r g e n o v e r een m o g e l i j k e i n c o n s i s t e n t i e v a n d e t h e o r i e , of m i s s c h i e n v e r r a s t h e t a n t w o o r d j e n i e t : g e l i j k t i j d i g h e i d is i m m e r s relatief. Het g e n o e m d e v e r s c h i l in t i j d s d u i d i n g ligt e i g e n l i j k w e l v o o r d e h a n d als j e j e r e a l i s e e r t d a t in d i t v o o r b e e l d t w e e w a a r n e m e r s in v e r s c h i l l e n d e stelsels allebei v e r w i j zen n a a r d e t i j d s a a n d u i d i n g o p h e t z w a r t e h o r l o g e . De i n t e r e s s a n t e v r a a g is e c h t e r w e l k e t i j d e e n r o o d h o r l o g e a a n g e e f t v o o r w', en h o e die zich v e r h o u d t t o t de t i j d d i e d e w a a r n e m e r in h e t z w a r t a a n d a t z e l f d e m o m e n t t o e k e n t . Eén d i n g w e t e n w e z e k e r : als d e b e t r e f f e n d e r o d e w a a r n e m e r z i j n h o r l o g e in d e o o r s p r o n g precies o p nul h e e f t g e z e t , d a n w i j s t d a t k l o k j e é é n b e p a a l d e t i j d a a n v o o r w'. O m e r a c h t e r t e k o m e n w a t d i e t i j d i s , g a a n w e zorgvuldig gebruikmaken van het relativiteitspostulaat.
T.21
W a t h o o r t bij w a t ?
Z e t d e j u i s t e l e t t e r ( w , w ' en w * u i t f i g u u r 4 . 1 ) b i j d e j u i s t e o m s c h r i j v i n g a.
Een t i j d s t i p o p h e t r o d e h o r l o g e .
b.
T i j d s t i p o p h e t z w a r t e h o r l o g e d a t v o l g e n s z w a r t g e l i j k t i j d i g is m e t
c.
T i j d s t i p o p h e t z w a r t e h o r l o g e d a t v o l g e n s r o o d g e l i j k t i j d i g is m e t u ; ' .
57
w'.
