Politická ekonomie 49: (1), str. 58-73, VŠE Praha, 2001. ISSN 0032-3233 (Rukopis)
ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ ČASOVÝMI ŘADAMI
PŘI
MODELOVÁNÍ
VZTAHŮ
MEZI
Josef ARLT, Štěpán RADKOVSKÝ, Vysoká škola ekonomická, Praha, Česká národní banka, Praha
1. ÚVOD Jednou ze základních otázek vznikajících při analýze transmisního mechanismu je zjišťování zpoždění, s jakým se průběh jisté časové řady odráží v průběhu jiných časových řad. Existují dva způsoby získání této důležité informace. Jejím zdrojem může být na jedné straně věcný ekonomický rozbor dané problematiky, který je založen na ekonomické teorii a logice ekonomické úvahy. Neméně důležitým zdrojem této informace je však také empirická analýza spočívající v ekonometrickém posouzení vztahů časových řad. Předkládaná studie se zabývá problematikou zjišťování časového zpoždění na základě ekonometrického modelu zachycujícího charakter vztahu mezi časovými řadami. Skládá se ze tří základních částí. První část se zabývá otázkou střední hodnoty zpoždění, rozptylu zpoždění a mediánu zpoždění v rámci modelu rozdělených zpoždění a autoregresních rozdělených zpoždění. Obsahem druhé části je problematika transformace časových řad vstupujících do ekonometrického modelu. Tato část bezprostředně navazuje na část první, neboť odhady základních charakteristik zpoždění v modelu závisí na formě transformace časových řad. Třetí část je praktická, obsahuje analýzu vztahu a časového zpoždění mezi časovými řadami úrokové sazby na nové úvěry a úrokové sazby 1R PRIBOR v České republice.
2. ZPOŽDĚNÍ V MODELU Typickou vlastností statické regrese ekonomických stacionárních a nestacionárních časových řad je autokorelace nesystematické složky. Tento problém lze řešit tak, že se statická regrese dynamizuje, tj. do modelu se na pravou stranu vloží vysvětlované a vysvětlující časové řady v různých zpožděních. Takto konstruované jednorovnicové modely se označují jako modely rozdělených zpoždění ("Distributed Lags Models"), pokud jsou na pravé straně pouze zpožděné vysvětlující časové řady a jako modely autoregresních rozdělených zpoždění ("Autoregressive Distributed Lags Models"), jsou-li na pravé straně jak zpožděné vysvětlující časové řady, tak i časová řada vysvětlovaná v různých zpožděních. Právě modely tohoto typu lze využít pro získání odpovědi na otázku s jakým zpožděním se změny v průběhu jedné časové řady projevují v průběhu druhé časové řady.
2.1 Model rozdělených zpoždění Obecný model rozdělených zpoždění lze vyjádřit ve tvaru ∞
yt = c + ∑ wi∗ xt −i + at, i =0
(1)
kde wi*jsou neznámé konstanty, xt je slabě exogenní proměnná, at je nesystematická složka typu IIN(0,σa2). Často se předpokládá, že wi*≥ 0, i = 0, 1, 2, … . Předpokládejme, že podmíněná střední hodnota yt je konečná, tj. ∞
∗ ∑ wi = ω, kde ω je konečné.
i =0
Budeme-li definovat wi∗ wi = , i = 0, 1, 2, …, ω potom bude platit ∞
∑ wi = 1, 0 ≤ wi ≤ 1, i = 0, 1, 2, … .
i =0
*
Koeficienty wi , i = 0, 1, 2, …, se označují jako koeficienty zpoždění a řada w* = {wi*, i = 0, 1, 2, …} se označuje jako struktura zpoždění. Koeficienty wi, i = 0, 1, 2, … se nazývají normalizované koeficienty zpoždění a řada w = {wi, i = 0, 1, 2, …, ∑i∞=0 wi = 1} je potom normalizovaná struktura zpoždění. Model (1) je možné vyjádřit také pomocí normalizovaných koeficientů zpoždění, má formu ∞
yt = c + ω ∑ wi xt −i + at. i =0
(2)
Definujme nyní diskrétní náhodnou veličinu Z tak, aby platilo P(Z = i) = wi, i = 0, 1, 2, … . Náhodnou veličinou jsou tedy zpoždění modelu (2) a normalizovaná struktura zpoždění se tak stává množinou pravděpodobností. Tuto strukturu lze vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce obsahující jeden nebo více parametrů. Nyní je vhodné zavést tzv. operátor zpoždění B [bližší informace viz Dhrymes (1985)], pro který lze psát BXt = Xt-1 a obecně BpXt = Xt-p. Model (2) je s pomocí operátoru zpoždění možné vyjádřit ve tvaru yt = c + ω W(B)xt+ at, kde W(B) = ∑i∞=0 wi B i Lze zjistit, že (k + 1). derivace funkce W(B) v bodě B = 1 má formu ∞
W(k+1)(1) = ∑ [i (i − 1)(i − 2) ... (i − k )] wi = E[Z(Z-1)(Z-2) … (Z-k)], i = k +1
(3)
kde E(.) je střední hodnota. Je-li k = 0, potom ze vztahu (3) získáme střední hodnotu veličiny Z, tj. ∞
E(Z) = W´(1) = ∑ iwi . i =1
Je-li k = 1, potom ze vztahu (3) dostaneme vztah ∞
W´´(1) = ∑ i (i − 1) wi = E[Z(Z-1)] = E(Z2) - E(Z) = E(Z2) - W´(1). i =2
2
(4)
Vzhledem k definici rozptylu D(Z) = E(Z2) – [E(Z)]2 jej lze vyjádřit jako D(Z) = W´´(1) + W´(1) - [W´(1)]2. Mediánem zpoždění M(Z) je nejmenší m, pro které platí relace m −1
∑ wi ≤
i =0
1 m ≤ ∑ wi . 2 i =0
(5)
(6)
Uvažujme nyní model rozdělených zpoždění s l vysvětlujícími proměnnými. Tento model lze pomocí operátoru zpoždění vyjádřit ve formě yt = c + ω1W1(B)x1t+ ω2W2(B)x2t + … + ωlWl(B)xl + at, ∞
∞
i =0
i =0
kde ωj = ∑ w∗ji , Wj(B) = ∑ w ji B i pro j = 1, 2, …, l. Za předpokladu, že wji ≥ 0, j = 1, 2, …, l, i = 0, 1, 2, … střední hodnoty zpoždění jednotlivých vysvětlujících proměnných mají tvar ∞
E(Zj) = Wj´(1) = ∑ iw ji pro j = 1, 2, …, l i =1
(7)
a rozptyly zpoždění jednotlivých vysvětlujících proměnných lze vyjádřit jako D(Zj) = Wj´´(1) + Wj´(1) - [Wj´(1)]2 pro j = 1, 2, …, l. Mediány zpoždění M(Zj) jsou nejmenší mj, j = 1, 2, …, l, pro která platí relace m j −1
∑ w ji ≤
i =0
1 mj ≤ ∑ w ji pro j = 1, 2, …, l. 2 i =0
(8)
(9)
2.2 Autoregresní model rozdělených zpoždění Uvažujme model yt = c + φ1yt-1 + φ2yt-2 + … + φm yt-m + α0xt + α1xt-1 + … + αn xt-n + at. Tento model se označuje jako autoregresní model rozdělených zpoždění řádu m a n [ADL(m,n)]. Lze jej vyjádřit také ve formě φm(B) yt = c + αn(B)xt + at,
(10)
kde φm(B) = (1 - φ1B - φ2B2 - … - φmBm), αn(B) = (α0 + α1B + α2B2 + … + αnBn). Model (10) je možné zapsat jako yt = c*+ [φm(B)]-1αn(B)xt + ut, kde c* = [φm(B)]-1c, ut = [φm(B)]-1at. Potom platí [φm(B)]-1αn(B) = W*(B) = w0* + w1*B + w2*B2 + … .
(11)
Koeficienty (w0*, w1*, w2*…) lze vyjádřit pomocí koeficientů modelu (10): w0*= α0, w1* = α1 + α0φ1, w2*= α2 + (α1 + α0φ1)φ1 + α0φ2 atd.
3
Model (10) lze tedy zapsat ve formě modelu rozdělených zpoždění yt = c*+ W*(B)xt + ut = c*+
∞
∑w x i =0
∗ i t −i
+ ut ,
Leží-li kořeny polynomiální rovnice φm(B) = 0 vně jednotkového kruhu, potom koeficienty wi*, i = 0, 1, 2, …, polynomu W*(B) konvergují a zároveň platí ∑i∞=0 wi∗ = ω. V modelu (1) předpokládáme, že wi*≥ 0, i = 0, 1, 2, … . Řada normalizovaných koeficientů zpoždění se konstruuje jako wi∗ , i = 0, 1, 2, … . ω Na jejich základě se potom ze vztahů (4), (5) a (6) určí střední hodnota, medián a rozptyl zpoždění vysvětlující časové řady. Lze uvažovat rovněž model autoregresních rozdělených zpoždění s l vysvětlujícími proměnnými wi =
φm(B) yt = c + α1,n(B)x1t + α2,n(B)x2t + … + α l,n(B)xlt + at, kde φm(B) = (1 - φ1B - φ2B2 - … - φmBm), αj,n(B) = (αj0 + αj1B + αj2B2 + … + αjnBn) j = 1, 2, …, l. Tento model je možné vyjádřit jako
pro
yt = c*+ [φm(B)]-1α1,n(B)x1t + [φm(B)]-1α2,n(B)x2t + … + [φm(B)]-1αl,n(B)xlt + ut, kde c* = [φm(B)]-1c, ut = [φm(B)]-1at. V souladu s (11) jej lze zapsat jako yt = c*+ W1*(B)x1t+ W2*(B)x2t + … + Wl*(B)xl + ut,
(12)
kde ∞
Wj*(B) = ∑ w*ji B i pro j = 1, 2, …, l. i =0
Leží-li kořeny polynomiální rovnice φm(B) = 0 vně jednotkového kruhu, potom parametry polynomu Wj*(B), j = 1, 2, …, l, konvergují a zároveň platí ∑i∞=0 w∗ji = ωj, j = 1, 2, …, l. V modelu (12) předpokládáme, že wji*≥ 0, j = 1, 2, …, l, i = 0, 1, 2, … . Řada normalizovaných koeficientů zpoždění se vypočítá jako wji =
w∗ji ωj
, j = 1, 2, …, l, i = 0, 1, 2, … .
Na jejich základě se potom ze vztahů (7), (8) a (9) určí střední hodnoty, mediány a rozptyly zpoždění vysvětlujících časových řad. Jsou-li řady yt a xt kointegrované, potom kořeny polynomiální rovnice φm(B) = 0 leží vně jednotkového kruhu, takže parametry polynomu W*(B) konvergují.
4
3. FUNKČNÍ FORMA EKONOMETRICKÉHO MODELU A JEJÍ VOLBA Při konstrukci ekonometrického modelu existuje několik možností transformace ekonomických časových řad. Nejčastěji se v praxi můžeme setkat se dvěmi z nich. Buď jsou do modelu vkládány netransformované časové řady, nebo logaritmicky transformované. Častým argumentem pro logaritmickou transformaci je relativní jednoduchost interpretace parametrů ekonometrického modelu (jsou interpretovány jako elasticity vysvětlované časové řady vzhledem k vysvětlující časové řadě). Tento argument je zajímavý především při konstrukci modelů ve formě statické regrese, kdy model neobsahuje žádné zpožděné proměnné. V případě dynamické regrese se zpožděnými proměnnými je interpretace parametrů modelu složitější problém. Přirozenější argument pro volbu určité transformace časových řad vstupujících do ekonometrického modelu vyplývá z analýzy charakteru těchto časových řad. Primárním cílem ekonometrické analýzy je hledání nejvhodnějšího lineárního modelu vyjadřujícího vztah časových řad. Aby byly splněny podmínky pro konstrukci takového modelu, je třeba časových řad s jistými vlastnostmi. Protože mnoho časových řad tyto vlastnosti nemá, což způsobuje, že jejich vztah není možné považovat za lineární, je třeba provést transformaci. Pro tento argument svědčí i skutečnost, že modely s odlišně transformovanými časovými řadami často vedou nejen ke zcela rozdílným hodnotám odhadnutých parametrů, ale také k rozdílným závěrům testů parametrů. Tato skutečnost se samozřejmě musí projevit při výpočtu průměrného zpoždění, mediánu zpoždění a rozptylu zpoždění.
3.1 Obecná funkční forma Uvažujme autoregresní model rozdělených zpoždění bez nesystematické složky ve formě yt = c + φ1yt-1 + α0xt + α1xt-11).
(13)
Model s mocninnou transformací všech proměnných lze zapsat jako ytλ = c + φ1yt-1λ + α0xtλ + α1xt-1λ.
(14)
Tento model je možné transformovat následujícím způsobem ytλ - 1 = dλ - 1 + φ1(yt-1λ−1) + α0(xtλ −1) + α1( xt-1λ−1), kde dλ = c + φ1 + α0+ α1. Dělení této rovnice konstantou λ vede k rovnici ytλ − 1 d λ − 1 yλ −1 xλ −1 xλ −1 . = + φ1 t −1 +α0 t + α 1 t −1 λ λ λ λ λ
(15)
Protože limita pro λ → 0 všech proměnných v modelu (15) je typu 0/0, podle l´Hospitalova pravidla platí, že model lim λ →0
ytλ − 1 yλ −1 xλ − 1 xλ − 1 d λ −1 = lim λ →0 + φ1 lim λ →0 t −1 + α 0 lim λ →0 t + α1 lim λ →0 t −1 λ λ λ λ λ
1)
Pro jednoduchost a názornost volíme model autoregresních rozdělených zpoždění. Závěry jsou totožné jak pro model ve formě statické regrese (regrese bez zpoždění), tak i pro obecný model autoregresních rozdělených zpoždění. 5
lze vyjádřit ve formě ln yt = ln d + φ1 ln yt-1 + α0 ln xt + α1 ln xt-1.
(16)
Jestliže tedy λ = 1, potom model (14) je identický s modelem (13). V případě, že λ → 0, model (14) konverguje k modelu (16). Jestliže λ = 0, je model (14) definován jako logaritmický2).
3.2 Odhad parametru λ Problematikou odhadu parametru λ se zabývá Zarembka (1968) a Spitzer (1982). Uvažujme model (15) s nesystematickou složkou, tj. ytλ − 1 d λ − 1 yλ −1 xλ −1 xλ −1 = + φ1 t −1 +α0 t + α 1 t −1 + et , λ λ λ λ λ kde et ~ IIN(0,σe2). Tento model vynásobíme číslem y& − λ , kde y& je geometrický průměr časové řady yt, t = 1, 2, , … T, tj. 1/ T
T y& = ∏ yt t =1
T = exp T −1 ∑ ln yt . t =1
Nyní má model formu yt* − 1 (d / y& )λ − 1 y λ −1 xλ −1 xλ −1 = + φ1 y& −λ t −1 + α 0 y& −λ t + α1 y& −λ t −1 + e t* , λ λ λ λ λ λ
(17)
kde yt* = yt / y& , et* = y& − λ et , et* ~ IIN(0,σ(λ)2). Lze jej zjednodušeně vyjádřit následujícím způsobem yt*(λ ) = d * + φ1* yt(−λ1) + α 0* xt( λ ) + α1* xt(−λ1) + et* ,
(18)
kde φ1* = φ1 y& − λ , α 0* = α 0 y& − λ , α1* = α1 y& − λ . Věrohodnostní funkce pro odhad parametrů tohoto modelu (pro původní časovou řadu transformovanou geometrickým průměrem) má formu T *( λ ) − ∑ ( yt − d * − φ1* yt(−λ1) − α 0* xt( λ ) − α 1* xt(−λ1) ) 2 1 J, L(d * ,φ1* ,α 0* ,α 1* ,σ (λ ) 2 , λ ) = exp t =1 (2π )T / 2 σ (λ )T 2σ (λ ) 2
kde J je Jakobián transformace závisle proměnné, tj. T
J=
∏ t =1
T dyt*(λ ) = yt*λ −1 . ∏ * dyt t =1
2)
Velmi častým argumentem pro použití logaritmického modelu je interpretace elasticity vysvětlované časové řady vzhledem k vysvětlujícím časovým řadám. V případě modelu (14) je elasticita řady ytλ vzhledem k xtλ dána vztahem λ
x ∂y λ x λ . λ = α0 . ηx = λ ∂x y y Jestliže λ = 0, elasticita je dána parametrem regresního modelu, tj. ηx = α0. 6
Logaritmus věrohodnostní funkce ln L(d * , φ1* , α 0* , α1* , σ (λ ) 2 , λ ) = −
1 T T ln(2π ) − ln σ (λ ) 2 − 2 2 2σ (λ ) 2
T
∑e t =1
*2 t
T
+ (λ − 1)∑ ln yt* t =1
je maximalizován pro parametry d*,φ1∗,α0∗,α1∗,σ(λ)2 za předpokladu λ. Maximalizovaná funkce bez konstanty má tvar max(λ)
=−
T T ln σˆ (λ ) 2 + (λ − 1) ∑ ln yt* . 2 t =1
(19)
Vzhledem k tomu, že 1 T ln yt* = ln yt - ln y& = ln yt - ∑ ln y t , T t =1 platí T T 1 T * ∑ ln y t = ∑ ln y t − ∑ ln y t = 0. t =1 t =1 T t =1
Funkci (19) lze tedy zapsat jako max(λ)
=−
T ln σˆ (λ ) 2 . 2
(20)
Je zřejmé, že k maximalizaci (20) vede minimalizace σˆ (λ ) . Odhad parametru λ maximalizující funkci (20) lze získat tak, že se pomocí metody nejmenších čtverců odhadnou parametry modelu (18) pro různé hodnoty λ (pro λ = 0 jsou v modelu všechny proměnné logaritmicky transformované) a volí se taková hodnota λ, která vede k minimálnímu reziduálnímu součtu čtverců (T-4)σˆ (λ ) 2 . Funkci (20) je možné vyjádřit pro různé hodnoty λ rovněž graficky a podle maxima této funkce se najde λˆ . Na základě tohoto grafu lze získat rovněž aproximaci 95% intervalu spolehlivosti pro parametr λ. Vychází se přitom ze vztahu ˆ)-
max( λ
max(λ)
<
1 2 χ (1) 0,05 = 1,92. 2
4. PRAKTICKÁ APLIKACE V této části budeme zkoumat zpoždění ve vztahu úrokové sazby na nově čerpané klientské úvěry a úrokové sazby 1R PRIBOR. V této souvislosti nás bude zajímat nejen otázka vývoje základních charakteristik zpoždění v průběhu optimalizace modelu, ale také výsledky rekurzivní analýzy, které nám podají velmi zajímavé informace o vývoji zpoždění v konkrétním časovém úseku.
4.1 Vztah úrokové sazby na nově čerpané klientské úvěry a úrokové sazby 1R PRIBOR Máme k dispozici měsíční časové řady dvou úrokových sazeb od ledna roku 1993 do března roku 2000. Úroková sazba na nově čerpané klientské úvěry celkem (RNUC) byla vypočtena jako vážený aritmetický průměr sazeb z nově poskytnutých úvěrů, úroková sazba
7
1R PRIBOR (R1R) byla vypočtena jako prostý aritmetický průměr denních hodnot. Průběh těchto časových řad je zachycen na obr. 1. Pro analýzu byly z časových řad vynechány hodnoty z května, června a července roku 1997, tedy z období měnových turbulencí. Obrázek 1 Úroková sazba na nově čerpané klientské úvěry, úroková sazba 1R PRIBOR 23
R1R RNUC
21 19
%
17 15 13 11 9 7 1/00
7/99
10/99
4/99
1/99
10/98
7/98
4/98
1/98
10/97
7/97
4/97
1/97
10/96
7/96
4/96
1/96
10/95
7/95
4/95
1/95
10/94
7/94
4/94
1/94
7/93
10/93
4/93
1/93
5
Při konstrukci modelu charakterizujícího vztah těchto časových řad je účelné vycházet z definice transmisního mechanismu české ekonomiky (viz Arlt, Guba, Matalík, Stiller, Syrovátka, 1998), ze kterého vyplývá, že kauzální závislost jde od úrokové sazby 1R PRIBOR směrem k úrokové sazbě na nové úvěry. Vzhledem ke konstrukci analyzovaných časových řad (průměrné měsíční hodnoty) lze předpokládat kauzální závislost v různých zpožděních včetně tzv. okamžité kauzální závislosti, při které jsou příčina a následek zkoumány ve stejném čase t. Budeme tedy uvažovat jednorovnicový model, kde závisle proměnnou je úroková sazba na nové úvěry a nezávisle proměnnou je sazba 1R PRIBOR. Analýza reziduí vycházejících ze statické regrese typu RNUCt = c + α R1Rt + εt a další ověřovací postupy nás přivedly k autoregresnímu modelu rozdělených zpoždění řádu (1,0) s umělými proměnnými D1t (obsahuje hodnotu jedna v srpnu 1997, jinak nuly) a D2t (do srpna 1997 nuly, od srpna 1997 včetně jedničky), který se označuje jako ADL(1,0). Tento model má tvar RNUCt = c + b1D1t + b2D2t + φ RNUCt-1 + α R1Rt + at. (21) Důležitým předpokladem, ze kterého při tvorbě modelu vycházíme, je slabá exogenita sazby 1R PRIBOR vzhledem k parametrům podmíněného modelu (21). Pro výpočet základních charakteristik zpoždění je třeba najít vhodnou transformaci časových řad. Budeme přitom vycházet z modelu typu (17), který má v tomto případě formu •
•
• • ( RNUC t / RNUC ) λ − 1 (d / RNUC ) λ − 1 RNUC tλ−1 − 1 R1Rtλ − 1 * , = + b1* D1t + b2* D2t + φ RNUC −λ + α RNUC −λ + et λ λ λ λ
•
(22)
kde RNUC je geometrický průměr časové řady RNUCt. Tab. 1 obsahuje hodnoty logaritmu věrohodnostní funkce (20), reziduální směrodatné odchylky, odhadu parametrů modelu (22), průměrného zpoždění, rozptylu zpoždění a mediánu zpoždění pro hodnoty λ od -0,4 do 1,4. Tučně jsou zde vyjádřeny hodnoty pro λ = 0, tj. pro logaritmickou transformaci, pro λ = 1, tj. pro žádnou transformaci a λ = 0,5, tj. pro transformaci druhou odmocninou, která maximalizuje věrohodnostní funkci.
8
Tabulka 1 Logaritmus věrohodnostní funkce, odhady parametrů, průměr, rozptyl a medián zpoždění pro dané λ * * * ~z φˆ bˆ1 bˆ2 αˆ σˆ (λ) S2 λ (λ) z dˆ z
max
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1 1.2 1.4
279.7452 280.4968 281.0259 281.3507 281.4875 281.4900 281.4508 281.2531 280.9054 280.4175 279.7977
0.035782 0.035464 0.035241 0.035105 0.035048 0.035047 0.035063 0.035146 0.035292 0.035497 0.035760
0.764 0.759 0.754 0.749 0.744 0.742 0.739 0.735 0.731 0.727 0.723
0.171 0.176 0.182 0.187 0.191 0.194 0.196 0.200 0.204 0.208 0.211
0.030 0.030 0.030 0.030 0.031 0.031 0.031 0.031 0.031 0.031 0.031
0.150 0.154 0.157 0.161 0.165 0.167 0.169 0.173 0.178 0.182 0.187
-0.033 -0.033 -0.034 -0.034 -0.034 -0.034 -0.034 -0.034 -0.034 -0.034 -0.034
3.232 3.145 3.061 2.981 2.905 2.869 2.835 2.771 2.713 2.661 2.616
13.681 13.038 12.430 11.864 11.344 11.102 10.872 10.449 10.073 9.743 9.457
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Z uvedené tabulky vyplývá, že pro výpočet průměrného zpoždění, rozptylu zpoždění a mediánu zpoždění je třeba časové řady transformovat na řady druhých odmocnin. Podíváme-li se však na hodnoty odhadů jednotlivých parametrů modelu pro λ = 0, 0,5, 1 vidíme, že se od sebe výrazně neliší. V případě modelu s transformací druhou odmocninou, tj. z našeho pohledu "optimálního" modelu, je hodnota průměrného zpoždění 2,9 měsíce, v případě modelu bez transformace je průměrné zpoždění 2,7 měsíce a v modelu s logaritmickou transformací je průměrné zpoždění 3,1 měsíce. Průměrné zpoždění se tedy u jednotlivých modelů příliš neliší. Medián zpoždění je ve všech případech pouze 2 měsíce. Rozpor mezi průměrným zpožděním (ve všech třech případech přibližně 3 měsíce) a mediánem zpoždění je dán charakterem normalizovaných koeficientů zpoždění, které jsou obsaženy v tab. 2. Tabulka 2 Normalizované koeficienty zpoždění 0 1 2 3 4 i
wi
0.258
0.192
0.142
0.105
0.078
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.058
0.043
0.032
0.024
0.018
0.013
0.010
0.007
0.005
0.004
0.003
Normalizované koeficienty zpočátku klesají poměrně výrazně, zatímco pozdější pokles je pomalý, což znamená, že do výpočtu průměrného zpoždění jsou zahrnuta také zpoždění, která bychom mohli označit jako extrémně vysoká. Z této úvahy vyplývá, že 3 měsíce je třeba považovat za horní mez střední hodnoty zpoždění, se kterým působí úroková sazba 1R PRIBOR na úrokovou sazbu na nové úvěry. V této souvislosti je rovněž zajímavé, že hodnota rozptylu zpoždění pro λ = 0,5 je přibližně 11,1, což je extrémně vysoké číslo. Z této informace lze zpětně usuzovat na přesnost odhadu střední hodnoty zpoždění prostřednictvím průměru zpoždění. Lze konstatovat, že tento odhad je značně nepřesný. Vzniká otázka, co způsobuje tuto nepřesnost. Jistou odpověď může dát rekurzivní analýza zpoždění. Tab. 3 obsahuje odhady optimální hodnoty parametru λ modelu (21), dále pak odhady parametrů, odhady jejich směrodatných chyb, průměrné zpoždění, medián zpoždění a rozptyl zpoždění pro časové řady začínající lednem 1993 a končící lednem 1996, dubnem 1996, …, únorem 2000, březnem 2000.
9
Tabulka 3 Rekurzivní odhady parametrů, směrodatných chyb, průměr, rozptyl a medián zpoždění * * * Sz2 φˆ αˆ λ z bˆ1 bˆ2 dˆ (λ) σˆ (λ )
~z
max
1/96 4/96 7/96 10/96 1/97 4/97 10/97 1/98 4/98 7/98 10/98 1/99 4/99 7/99 10/99 11/99 12/99 1/00 2/00 3/00
0.8 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 1.2 1.1 1.2 1.3 1.4 2.3 1.9 1.7 1.2 1.0 0.8 0.7 0.6 0.5
126.8 137.9 149.6 161.8 173.9 186.1 197.6 208.6 220.9 233.7 245.5 241.5 248.7 256.2 264.9 268.2 271.5 274.8 278.0 281.5
0.0325 0.0318 0.0308 0.0297 0.0288 0.0279 0.0275 0.0274 0.0267 0.0259 0.0256 0.0318 0.0331 0.0344 0.0350 0.0350 0.0350 0.0350 0.0351 0.0350
0.270 0.307 0.328 0.328 0.327 0.327 0.333 0.307 0.315 0.308 0.322 0.514 0.613 0.669 0.709 0.713 0.723 0.730 0.743 0.742
0.251 0.243 0.238 0.239 0.239 0.239 0.244 0.249 0.249 0.254 0.261 0.267 0.246 0.231 0.214 0.210 0.205 0.201 0.195 0.194
0.034 0.033 0.031 0.031 0.031 0.031 0.027 0.024 0.020 0.018 0.018 0.022 0.025 0.027 0.029 0.030 0.030 0.030 0.030 0.031
0.079 0.082 0.079 0.079 0.087 0.140 0.159 0.170 0.173 0.171 0.169 0.169 0.169 0.167
0.371 0.442 0.488 0.489 0.486 0.486 0.500 0.443 0.459 0.446 0.474 1.057 1.587 2.023 2.436 2.483 2.607 2.703 2.886 2.869
0.043 0.037 0.041 0.040 0.032 -0.005 -0.021 -0.028 -0.032 -0.032 -0.033 -0.033 -0.034 -0.034
0.508 0.638 0.727 0.727 0.722 0.723 0.749 0.639 0.671 0.643 0.700 2.176 4.093 6.106 8.373 8.656 9.423 10.014 11.249 11.147
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2
Rekurzivní analýza ukazuje velmi zajímavý vývoj λ maximalizujícího funkci (20). Až do listopadu 1998 se jeho hodnota pohybovala okolo 1, což znamená žádnou transformaci. Od prosince 1998 došlo nejprve k značnému růstu a posléze k postupnému poklesu této hodnoty až na číslo 0,5 v březnu roku 2000, což znamená transformaci druhou odmocninou. Vývoj průměrného zpoždění a rozptylu zpoždění ukazují obr.2a),b). Od prosince roku 1998 se výrazně měnily hodnoty parametrů modelu a tím došlo i ke změnám průměrného zpoždění a rozptylu zpoždění. Do této doby se průměrné zpoždění pohybovalo pod hranicí hodnoty 0,5. Rovněž rozptyl zpoždění byl poměrně nízký, pohyboval se okolo hodnoty 0,7. Od prosince 1998 se však průměrné zpoždění výrazně zvyšovalo, značně se zvyšoval také rozptyl zpoždění. Od července 1998 docházelo k postupnému snižování 2T REPO sazby, které se promítlo i do poklesu sazby 1R PRIBOR. Ne vždy ovšem panovalo jednoznačné přesvědčení o dalším snižování klíčové úrokové sazby, což se projevilo zvýšenou nejistotou ohledně dalšího vývoje a zřejmě i zpomalením reakce komerčních bank. Obrázek 2a) Rekurzivní průměr zpoždění 3.5
Sz2 12
3.0
10
2.5
8
2.0
6
1.5
10
1/00
8/99
3/99
10/98
5/98
12/97
4/97
11/96
1/96
1/00
8/99
3/99
10/98
5/98
12/97
0 4/97
0.0 11/96
2
6/96
0.5
6/96
4
1.0
1/96
z
Obrázek 2b) Rekurzivní rozptyl zpoždění
Na závěr této části ještě posoudíme, zda mezi analyzovanými časovými řadami existuje dlouhodobý vztah. Pro zjednodušení budeme vycházet z modelu (21), tj. modelu s netransformovanými proměnnými, ve zbylých dvou případech (logaritmická transformace, transformace druhou odmocninou) lze získat obdobný výsledek. Model (21) je možné transformovat do tvaru modelu korekce chyby ∆RNUCt = c + b1D1t + b2D2t +α ∆R1Rt + (φ -1)(RNUCt-1 -
α R1R t-1) + at. (23) 1−φ
Z tab. 4, kde jsou uvedeny odhady parametrů modelu (21) vyplývá, že v modelu (23) je přítomen člen korekce chyby, neboť odhad zatížení (parametr (φ -1)) je poměrně vysoký. Časové řady úrokových sazeb lze tedy považovat za kointegrované. Tabulka 4 Model RNUCt = c + b1D1t + b2D2t + φ RNUCt-1 + α R1Rt + at Závisle proměnná: RNUC Proměnná
c RNUC(-1) R1R D1 D2
R2 Upravený R2 Směrodatná odchylka reziduí Reziduální součet čtverců h statistika
Odhad. parametru 1.22495 0.73067 0.20437 2.26540 -0.43440 0.96807 0.96644 0.44981 15.7815 -1.10421
Směrodatná Hladina t-test chyba významnosti 0.35827 3.41907 0.00010 0.05091 14.3525 0.00000 0.03716 5.50017 0.00000 0.46424 4.87985 0.00001 0.11125 -3.90486 0.00020 Průměr závisle proměnné 12.9970 Směrodatná odchylka závisle proměnné 2.45527 F-test 591.300 Hladina významnosti F 0.00000
4.2 Vztah úrokové sazby na nově čerpané klientské úvěry a úrokové sazby 1R PRIBOR -analýza zkrácených časových řad Charakter závislosti úrokové sazby na nově čerpané klientské úvěry a úrokové sazby 1R PRIBOR je v období od ledna 1993 do září 1994 odlišný od vztahu časových řad v následujícím období. Tato skutečnost je dána tím, že zpočátku nebyla úroková sazba na nově čerpané klientské úvěry příliš těsně navázána na hladinu úrokových sazeb na mezibankovním trhu. Po zkrácení časových řad o toto období (leden 1993 až září 1994) má závislost analyzovaných časových řad jiný charakter. Zkrácené časové řady obsahuje obr. 3. Obrázek 3 Úroková sazba na nově čerpané klientské úvěry, úroková sazba 1R PRIBOR - zkrácené časové řady 23
R1R RNUC
21 19
15 13 11 9 7
11
1/00
10/99
7/99
4/99
1/99
10/98
7/98
4/98
1/98
10/97
7/97
4/97
1/97
10/96
7/96
4/96
1/96
10/95
7/95
4/95
1/95
5 10/94
%
17
Pro zachycení vztahu mezi časovými řadami použijeme opět model ADL(1,0) s umělými nula-jednotkovými proměnnými D1t a D2t ve tvaru (21). Při hledání vhodné transformace vycházíme z modelu (22). Tab. 5 obsahuje hodnoty logaritmu věrohodnostní funkce (20), reziduální směrodatné odchylky, odhadu parametrů modelu (22), průměrného zpoždění, rozptylu zpoždění a mediánu zpoždění pro hodnoty λ od -0,4 do 1,4. Tučně jsou zde vyjádřeny hodnoty pro λ = 0, tj. pro logaritmickou transformaci a pro λ = 1, tj. žádnou transformaci, která maximalizuje věrohodnostní funkci. Tabulka 5 Logaritmus věrohodnostní funkce, odhady parametrů, průměr, rozptyl a medián zpoždění pro dané λ * * * ~z φˆ bˆ1 bˆ2 αˆ σˆ (λ) S2 λ (λ) z dˆ z
max
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
231.9337 233.6502 235.0893 236.2550 237.1527 237.7892 238.1720 238.3101 238.2128 237.8905
0.025185 0.024509 0.023955 0.023516 0.023183 0.022950 0.022811 0.022761 0.022796 0.022913
0.593 0.592 0.592 0.592 0.592 0.592 0.593 0.593 0.593 0.594
0.311 0.317 0.323 0.329 0.334 0.339 0.343 0.347 0.351 0.354
0.056 0.057 0.057 0.058 0.058 0.059 0.059 0.059 0.059 0.060
0.119 0.123 0.128 0.133 0.138 0.144 0.150 0.156 0.162 0.168
-0.035 -0.037 -0.038 -0.039 -0.040 -0.042 -0.043 -0.044 -0.045 -0.046
1.455 1.453 1.452 1.451 1.452 1.453 1.454 1.457 1.460 1.463
3.572 3.564 3.559 3.558 3.559 3.563 3.569 3.578 3.590 3.603
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Z uvedené tabulky vyplývá, že pro výpočet průměrného zpoždění, rozptylu zpoždění a mediánu zpoždění není třeba provádět žádnou transformaci časových řad. Z této tabulky je rovněž patrné, že při logaritmické transformaci se oproti žádné transformaci výrazně nemění odhady parametrů modelu. S lineárně rostoucím λ se průměrné zpoždění a rozptyl zpoždění mění velmi málo. V případě modelu s netransformovanými časovými řadami, tj. "optimálního" modelu, je průměrné zpoždění přibližně 1,5 měsíce a medián zpoždění 1 měsíc, v modelu s logaritmicky transformovanými časovými řadami, jsou průměrné zpoždění a medián prakticky stejné jako v předchozím modelu. Je zřejmé, že zkrácení časových řad vedlo ke snížení průměrného zpoždění a mediánu a ke zmenšení jejich rozdílu. Normalizované koeficienty zpoždění modelu s netransformovanými časovými řadami jsou obsaženy v tab. 6. Tabulka 6 Normalizované koeficienty zpoždění 0 1 2 3 4 i
wi
0.407
0.241
0.143
0.085
0.050
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.030
0.018
0.010
0.006
0.004
0.002
0.001
0.001
0.000
0.000
0.000
Z tabulky je vidět, že normalizované váhy klesají daleko rychleji než v případě modelů dlouhých časových řad. Právě toto vede ke sblížení průměrného zpoždění a mediánu zpoždění. Také rozptyl zpoždění se výrazně snížil, jeho hodnota je v případě obou typů modelů přibližně 3,6.
12
Tabulka 7 Rekurzivní odhady parametrů, směrodatných chyb, průměr, rozptyl a medián zpoždění * * * Sz2 φˆ αˆ λ z bˆ1 bˆ2 dˆ (λ) σˆ (λ )
~z
max
1/96 4/96 7/96 10/96 1/97 4/97 10/97 1/98 4/98 7/98 10/98 1/99 4/99 7/99 10/99 11/99 12/99 1/00 2/00 3/00
-0.5 -0.5 6.0 10.8 10.3 11.0 3.0 -1.4 -1.3 -0.7 0.0 1.8 1.4 1.6 1.4 1.3 1.2 1.1 1.1 1.0
65.3 78.0 91.7 106.7 120.9 135.3 147.4 155.6 168.4 182.0 194.6 190.3 201.9 210.6 220.7 224.3 227.9 231.5 234.6 238.3
0.0169 0.0165 0.0155 0.0140 0.0133 0.0127 0.0131 0.0149 0.0149 0.0145 0.0145 0.0206 0.0206 0.0217 0.0223 0.0223 0.0224 0.0225 0.0227 0.0228
0.237 0.340 0.379 0.443 0.433 0.447 0.419 0.345 0.352 0.326 0.367 0.501 0.513 0.553 0.581 0.577 0.580 0.584 0.596 0.593
0.217 0.214 0.513 0.948 0.900 0.962 0.340 0.195 0.196 0.224 0.272 0.391 0.386 0.376 0.360 0.360 0.358 0.354 0.348 0.347
0.043 0.041 0.055 0.071 0.069 0.070 0.037 0.023 0.019 0.017 0.025 0.046 0.051 0.053 0.055 0.056 0.057 0.058 0.058 0.059
0.116 0.069 0.069 0.071 0.087 0.135 0.136 0.150 0.156 0.155 0.155 0.154 0.158 0.156
0.310 0.516 0.609 0.794 0.764 0.807 0.721 0.528 0.542 0.484 0.581 1.006 1.052 1.235 1.385 1.365 1.381 1.405 1.474 1.457
0.024 0.035 0.038 0.036 0.016 -0.032 -0.036 -0.041 -0.043 -0.043 -0.044 -0.044 -0.044 -0.044
0.406 0.782 0.981 1.424 1.347 1.459 1.241 0.806 0.836 0.718 0.919 2.018 2.160 2.762 3.305 3.227 3.287 3.377 3.646 3.578
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Rekurzivní analýza je obsažena v tab. 7, která obsahuje odhady optimální hodnoty parametru λ modelu (21), dále pak odhady parametrů, odhady jejich směrodatných chyb, průměrné zpoždění, medián zpoždění a rozptyl zpoždění pro časové řady začínající lednem 1993 a končící lednem 1996, dubnem 1996, …, únorem 2000, březnem 2000. Vývoj průměrného zpoždění a rozptylu zpoždění ukazují obr. 4a),b).
1/00
8/99
3/99
10/98
5/98
0.0 12/97
0.0
4/97
0.5 11/96
0.2
1/96
1.0
1/00
1.5
0.4
8/99
0.6
3/99
2.0
10/98
2.5
0.8
5/98
3.0
1.0
12/97
3.5
1.2
4/97
1.4
11/96
Sz2 4.0
6/96
1.6
1/96
z
Obrázek 4b) Rekurzivní rozptyl zpoždění
6/96
Obrázek 4a) Rekurzivní průměr zpoždění
Rekurzivní analýza ukazuje, že vzhledem k charakteru měnlivosti parametru λ lze zkoumané období rozdělit na tři části. Roky 1996 a 1997 jsou charakteristické značnou variabilitou jeho hodnot, k jisté stabilizaci došlo v roce 1998 a v roce 1999. V těchto letech se však hodnoty λ liší svojí úrovní. Zatímco převážnou část roku 1998 kolísají kolem hodnoty -1, v roce 1999 se pohybují okolo hodnoty 1,5. Značná měnlivost je také u odhadů všech parametrů modelu. V letech 1996 a 1997 se variabilita projevila u všech parametrů modelu. K výraznému skoku došlo především v období následujícím vynechané extrémně vysoké
13
hodnoty časových řad, tj. od srpna 1997. Nejvíce se měnil odhad parametru α, který vyjadřuje sílu závislosti analyzovaných časových řad. Změna hodnot parametrů se v tomto období u zkrácených časových řad projevila daleko výrazněji, než u dlouhých časových řad. V důsledku změn odhadů parametrů se měnil i průměr a rozptyl zpoždění. K dalšímu zlomu ve vztahu analyzovaných časových řad došlo v prosinci roku 1998. Postupná změna hodnot odhadů parametrů (u parametru φ náhlý růst a po následném poklesu postupný růst), která od tohoto měsíce probíhala vedla pochopitelně i ke změnám průměrného zpoždění a rozptylu zpoždění. Od října 1997 do listopadu 1998 se průměrné zpoždění pohybovalo mírně nad hodnotou 0,5. Rovněž rozptyl zpoždění byl v tomto období poměrně nízký, okolo hodnoty 0,8. Od prosince 1998 se však průměrné zpoždění zvyšovalo, zvyšoval se také rozptyl zpoždění. Stejně jako u dlouhých časových řad se v tomto období projevovala zvýšená míra nejistoty na trhu, tato skutečnost způsobovala zpomalení poklesu sazby na nově čerpané klientské úvěry ve srovnání se sazbou 1R PRIBOR. Stejně jako v minulé části posoudíme ještě, zda mezi analyzovanými časovými řadami existuje dlouhodobý vztah. Model korekce chyb má obdobně jako v případě nezkrácených časových řad tvar ∆RNUCt = c + b1D1t + b2D2t +α ∆R1Rt + (φ -1)(RNUCt-1 -
α R1R t-1) + at. (24) 1−φ
Z tab. 8, kde jsou uvedeny odhady parametrů modelu (21) pro zkrácené časové řady vyplývá, že v modelu (24) je přítomen člen korekce chyby, neboť odhad zatížení (parametr (φ -1)) je poměrně vysoký. Také zkrácené časové řady úrokových sazeb lze tedy považovat za kointegrované. Tabulka 8 Model RNUCt = c + b1D1t + b2D2t + φ RNUCt-1 + α R1Rt + at Závisle proměnná: RNUC Proměnná
c RNUC(-1) R1R D1 D2
R2 Upravený R2 Směrodatná odchylka reziduí Reziduální součet čtverců h statistika
Odhad. parametru 1.46931 0.59293 0.34718 1.92135 -0.54473 0.98978 0.98906 0.28096 4.49950 -1.11544
Směrodatná Hladina t-test chyba významnosti 0.25583 5.74324 0.00000 0.04868 12.1797 0.00000 0.03988 8.70549 0.00000 0.29864 6.43360 0.00000 0.07875 -6.91736 0.00000 Průměr závisle proměnné 12.6674 Směrodatná odchylka závisle proměnné 2.68600 F-test 1379.52 Hladina významnosti F 0.00000
5. ZÁVĚR Zjišťování délky zpoždění, s jakým se měnlivost v jedné ekonomické časové řadě odráží v měnlivosti řady druhé je velmi důležitou praktickou úlohou. Modely rozdělených zpoždění a autoregresních rozdělených zpoždění umožňují konstrukci střední hodnoty, rozptylu a mediánu zpoždění. Odhady parametrů modelů rozdělených zpoždění a autoregresních rozdělených zpoždění vedou k odhadům těchto základních charakteristik zpoždění. Je zřejmé, že hodnoty odhadů závisí na transformaci časových řad vstupujících do modelu. Volbu vhodné transformace umožňuje optimalizace provedená pomocí věrohodnostní funkce.
14
Metodologie zjišťování zpoždění byla ilustrována na příkladu analýzy vztahu časových řad úrokové sazby na nově čerpané klientské úvěry a úrokové sazby 1R PRIBOR. Z definice transmisního mechanismu ČR vyplývá, že závisle proměnnou je časová řada úrokové sazby na nově čerpané klientské úvěry. Důkladnou analýzou vztahu daných časových řad bylo zjištěno několik změn charakteru závislosti ve sledovaném období, což vedlo jednak ke změnám transformace časových řad vstupujících do modelu a rovněž ke změnám odhadů základních charakteristik zpoždění. Velmi cenné informace o zlomech ve vztahu analyzovaných časových řad a o jeho stabilitě poskytla rekurzivní analýza. Poznatky z teoretické a praktické části provedené studie lze shrnout do následujících obecných závěrů: a) pro zjišťování zpoždění ve vztahu dvou či více ekonomických časových řad je třeba vycházet z dynamického tvaru modelu, tj. modelu rozdělených zpoždění či autoregresních rozdělených zpoždění. Odhady parametrů těchto modelů umožňují odhadnout střední hodnotu, rozptyl a medián zpoždění. b) důležitou podmínkou pro získání relativně přesných odhadů je ověření empirické vhodnosti zvoleného modelu. To zahrnuje nejen testování slabé exogenity vysvětlujících časových řad vzhledem k parametrům modelu a testování autokorelace či heteroskedasticity nesystematické složky modelu, ale také řešení problému volby vhodné transformace časových řad vstupujících do modelu. c) při praktické analýze zpoždění českých ekonomických časových řad není možné očekávat konstantní charakteristiky zpoždění za celé analyzované období 90. let. Lze předpokládat, že se charakter vztahu časových řad v tomto období mění, jedna část se může vyznačovat lineárním vztahem, jiná vztahem nelineárním. Analyzované období je charakteristické také proměnlivou mírou nejistoty na trhu, což se ukazuje především v přesnosti odhadů parametrů a charakteristik zpoždění. d) ekonometrickou analýzou získané informace o vztahu časových řad a zpoždění je nezbytné konfrontovat s ekonomickou logikou dané problematiky, neboť znalost ekonomické podstaty může výrazně pomoci nejen při volbě vhodného modelu a jeho ověřování, ale také při interpretaci empirických výsledků a eliminaci subjektivního přístupu při měření délky zpoždění.
15
Literatura: Arlt, J.: Moderní metody modelování ekonomických časových řad. Praha, Grada 1999. Arlt, J., Guba, M., Matalík, I., Stiller, V., Syrovátka, J.: Definice měnového transmisního mechanismu v ČR a analýza základních vybraných vazeb. Praha, ČNB 1998 (interní materiál). Box, G. E. P., Cox, D. R.: An Analysis of Transformations. Journal of the Royal Statistical Society, 1964, č. 2, s. 211-243. Dhrymes, P. J.: Distributed Lags. Amsterdam, North-Holland 1985. Hendry, D. F.: Dynamic Econometrics. Oxford, Oxford University Press 1995. Spitzer, J.: A Primer on Box-Cox Estimation. Review of Economics and Statistics, 1982, č. 64, s. 307-313. Zarembka, P.: Functional Form in the Demand for Money. Journal of the American Statistical Association, 1968, č. 63, s. 502-511.
THE LAG ANALYSIS IN MODELLING OF RELATIONSHIP OF ECONOMIC TIME SERIES Josef ARLT, Štěpán RADKOVSKÝ, University of Economics, Prague, Czech National Bank, Prague
Abstract: The distributed lags models enable the construction of the lag mean, median and variance. The estimators of parameters of the distributed lags models and the autoregressive distributed lags models enable to create the estimators of these basic characteristics. It is obvious that the values of estimators depend on the form of the time series transformation. The methodology of selection of suitable transformation of time series is based on the principle of maximization of the likelihood function. The computation of basic characteristics of the lags in the econometric model is illustrated on the example of the analysis of relationship between the interest rates on new granted credits and 1R PRIBOR. This analysis revealed some changes in character of dependency of time series and changes of values of estimators of basic lag characteristics in the period since 1993. In this connection the recursive analysis gave valuable information. Keywords: econometric model, distributed lags, lag mean, time series transformation, recursive analysis, interest rates JEL Classification: C220, C120, E490
16
