ANALÝZA KONSTRUKCÍ
5. přednáška
Nosné stěny – rovinná napjatost
Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační
metodou
Primární neznámé: posuny u(x,y), v(x,y) Výchozí rovnice: statické
Silovou
metodou
Primární neznámá: funkce napětí F(x,y) Výchozí rovnice: rovnice kompatibility – vyjádřená ve složkách napětí – Lévyho podmínka
Silová metoda a) Statické rovnice Je-li zatížení pouze po obvodě, položíme objemové síly X = Y = Z = 0 ∂σ x ∂τ xy 1) → X : + =0 ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y 2) → Y : + =0 ∂x ∂y
Celkem 3 neznámé: σx, σy, τxy 2 rovnice statické, 1 rovnice kompatibility
b) Rovnice kompatibility 3)
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 − =0 2 ∂y ∂x ∂x∂y
Z fyzikálních (konstitutivních) rovnic pro rovinnou napjatost dosadíme za εx, εy, γxy
1 Fyzikální rovnice: ε x = (σ x −νσ y ) E 1 ε y = (σ y −νσ x ) E 2(1 +ν ) γ xy = τ xy E Po dosazení do 3)
∂ 2σ y ∂ 2σ y ∂ 2σ y ∂ 2τ xy ∂ 2σ x −ν + −ν − 2 (1 +ν ) =0 2 2 2 2 ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x∂y 2 2 2 2 ∂ σ ∂ τ ∂ σ ∂ τ xy Ze statické y xy y =− ; 2 =− 2 rovnice 2) ∂y ∂x∂y ∂x ∂x∂y
Zůstane
2 ∂ 2τ xy ∂ 2σ x ∂ σ y + −2 =0 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y
Ze statické rovnice 1)
Opětovným dosazením ze statických rovnic: 2 2 ∂ 2σ x ∂ σ y ∂ σ y ∂ 2σ x + + + =0 2 2 2 2 ∂y ∂x ∂y ∂x
Laplaceův operátor:
∂2 ∂2 ∆= 2 + 2 ∂x ∂y
Rovnice kompatibility ve složkách napětí – Lévyho podmínka:
∆ (σ x + σ y ) = 0
c) Řešení soustavy rovnic pomocí funkce napětí F 1)
3 parciální diferenciální rovnice
2)
3)
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y + =0 ∂x ∂y
3 neznámé: σx, σy, τxy
∆ (σ x + σ y ) = 0
Zavedením tzv. Airyho funkce napětí F lze soustavu převést na jedinou rovnici 4. řádu:
∂2 F σx = 2 ∂y
∂2 F σy = 2 ∂x
∂2 F τ xy = − ∂x∂y
Dosazením Airyho funkce do rovnic: ∂3 F ∂3 F − =0⇒0≡0 1) 2 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂3 F ∂3 F + 2 =0⇒0≡0 2) − 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂2F ∂2F 3) ∆ + 2 = 0 ⇒ ∆ ( ∆F ) = 0 2 ∂x ∂y
Stěnová rovnice
∆∆F = 0
Rozepsáním: ∂4 F ∂4F ∂4F ∆∆F = 4 + 2 2 2 + 4 = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y
Biharmonická rovnice
Řešení stěnové rovnice:
V uzavřeném tvaru (složité, téměř nemožné) Přibližné řešení – převedením na soustavu lineárních algebraických rovnic Metoda
konečných prvků Metoda Rayleigh-Ritzova Metoda diferenční (metoda sítí)
d) Okrajové podmínky ke stěnové rovnici
Parciální diferenciální rovnici 4. řádu odpovídají 2 okrajové podmínky v každém bodu okraje Geometrické okrajové podmínky (např. z vetknutí stěny) jsou v silové variantě řešení komplikované Omezíme se pouze na úlohy s předepsanými statickými okrajovými podmínkami Znaménková konvence: Složky zatížení: px, py – kladné složky ve směru kladných poloos x,y Složky napětí: σx, σy, τxy – podle působení na kladných či záporných plochách
Mezi složkami zatížení a napětí platí podmínka ekvivalence. Mezi složkami napětí a Airyho funkcí F platí definiční vztahy F Např. okraj BC: ∂2 F → px = σ x = 2 ∂y ∂2 F ∂ ∂F ↑ p y = τ xy = − =− ∂x∂y ∂y ∂n
Pro snazší vyjádření okrajových podmínek lze využít podobnosti mezi průběhem funkce napětí F na okraji stěny a průběhem ohybového momentu na rámu, který má stejný tvar, rozměry, zatížení a podepření; tzv. L‘Hermitova analogie
L‘Hermitova analogie
Průběh funkce napětí F na hranici stěny je stejný jako průběh ohybových momentů M na náhradním rámu. M > 0 táhne vnitřní vlákna rámu. (F ~ M) Průběh derivace funkce napětí F podle vnější normály ∂F/∂n je stejný jako průběh normálových sil na náhradním rámu. N > 0 je tahová síla. (∂F/∂n ~ N) I při staticky určitém podepření rámu je výpočet M, N úlohou 3× staticky neurčitou (uzavřený rám) Rám přetneme a vnitřní síly v řezu nahradíme „neznámými“ silami
L‘Hermitova analogie Moment v obecném průřezu: M = M* + M0 + N0y – Q0x Moment od vnějšího zatížení
Momenty od staticky neurčitých veličin (lineární průběh)
Při výpočtu napětí derivujeme funkci F dvakrát (a tedy i M):
Lineární funkce nemá na napjatost vliv Náhradní rám můžeme kdekoli přetnout a hodnoty M0, Q0, N0 libovolně volit (např. 0). Změní se funkce napětí, ale napjatost zůstane stejná.
e) Řešení stěnové rovnice metodou sítí
Metoda sítí – převádí řešení diferenciální rovnice (∆∆F = 0) na soustavu lineárních algebraických rovnic
Postup řešení: 1) Řešenou oblast (stěnu) pokryjeme sítí 2) Stěnovou rovnici zapisujeme v jednotlivých uzlech sítě, za neznámé považujeme hodnoty Airyho funkce napětí F v uzlech sítě (F1, F2, …) 3) Parciální derivace nahrazujeme vhodnými algebraickými výrazy (diferenčními náhradami)
1. Diferenční náhrady a) Funkce jedné proměnné Nahrazení parabolou 2. stupně + věta o střední hodnotě
Diferenční náhrada za 1. derivaci:
dFi Fi +1 − Fi −1 = tan α = dx 2hx hx … diferenční krok
(1)
Diferenční náhrada za 2. derivaci:
d 2 F d dF = = 2 dx dx dx F′ hx − F′ hx =
i+ 2
i− 2
hx
=
Fi +1 − Fi Fi − Fi −1 − hx hx = hx hx/2 … poloviční diferenční krok
d 2 Fi Fi +1 − 2 Fi + Fi −1 = 2 dx hx2
(2)
Všechny diferenční náhrady za vyšší derivace lze odvodit aplikací výrazů (1) a (2), např.: Fi + 2 − 2 Fi +1 + Fi Fi − 2 Fi −1 + Fi − 2 − 2 3 2 hx hx2 d F d d F Fi′′+1 − Fi′′−1 = 2 = = 3 dx dx dx 2hx 2hx
d 3 Fi Fi + 2 − 2 Fi +1 + 2 Fi −1 − Fi − 2 = 3 dx 2hx3 d 4 Fi d d 3 Fi = 3 4 dx dx dx
Liché derivace v bodě i neobsahují Fi
d 2 d 2 Fi Fi + 2 − 4 Fi +1 + 6 Fi − 4 Fi −1 − Fi − 2 = 2 2 = 4 dx dx h x
b) Funkce dvou proměnných Obyčejné derivace přechází na parciální. Značení: čárkou derivace podle x, tečkou derivace podle y. ∂ 4 Fi , j ∂x
4
∂ 4 Fi , j ∂y
4
= =
Fi + 2, j − 4 Fi +1, j + 6 Fi , j − 4 Fi −1, j − Fi − 2, j hx4 Fi , j + 2 − 4 Fi , j +1 + 6 Fi , j − 4 Fi , j −1 − Fi , j − 2 hy4
Čtvrtá derivace smíšená: ∂ 4 Fi , j
2 ∂ 2 ∂ Fi , j = 2 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y 2
&& − 2 F&& + F&& ∂2 F i +1, j i, j i − 2, j && = F = 2 ( i, j ) 2 ∂ x h x
c) Diferenční náhrada za stěnovou rovnici ∂4 F ∂4F ∂4F ∆∆F = 4 + 2 2 2 + 4 = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y
Pro čtvercovou síť (hx = hy = h) dostaneme diferenční schéma:
1 ⋅Fi , j = ∆∆F = 0 h
2. Řešení stěny metodou sítí Diferenční schéma pro stěnovou rovnici uplatníme ve všech vnitřních uzlech sítě Při zápisu rovnic v bodech blízko hranice padne diferenční schéma jednak: • do uzlů uvnitř (1, 2, …) • do uzlů na hranici (a, b, …) • do uzlů vnějších (mimo oblast) (A, B, …)
Hodnoty funkce napětí F v těchto bodech vyjádříme pomocí okrajových podmínek
Okrajové podmínky L‘Hermitova analogie poskytuje: a) Hodnoty F přímo na hranici oblasti (F ~ M na náhradním rámu)
Fa = M a Fb = M b
b) Hodnoty F v bodech vně oblasti v závislosti na hodnotách v bodech hraničních a v bodech uvnitř oblasti (z první derivace funkce F podle vnější normály) (∂F/∂n ~ N na náhradním rámu) ∂F = Na ∂n a ∂F = Nb ∂n b
FA − F4 ⇒ FA = 2hN a + F4 2h FB − F3 ⇒ FB = 2hN b + F3 2h
Po uplatnění okrajových podmínek se základní soustava stane nehomogenní. Jejím netriviálním řešením jsou funkční hodnoty ve všech vnitřních bodech sítě (F1, F2, F3, …, F12) Složky napětí řešíme pomocí diferenčních náhrad.
Složky napětí pomocí diferenčních náhrad: ∂2 F σx = 2 ∂y
Fi , j +1 − 2 Fi , j + Fi , j −1
∂2 F σy = 2 ∂x
Fi +1, j − 2 Fi , j + Fi −1, j
∂2 F τ xy = − ∂x∂y
h2
h2
Fi +1, j −1 + Fi −1, j +1 − Fi +1, j +1 − Fi −1, j −1 4h 2
1 ⋅ 2 h 1 ⋅ 2 h
1 ⋅ 2 4h
Děkuji za pozornost a těším se s vámi na shledanou za týden.
