ˇ ˇ CESKÉ VYSOKÉ UCENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická katedra rˇídicí techniky Technická 2, 166 27 Praha 6
13. listopadu 2009
Analýza dynamiky pádu sportovní branky, ˇ souvisejících aspektu˚ týkajících se materiálu vc. Ing. Lukáš Ferkl, Ph.D. prof. Ing. Michael Šebek, DrSc. Zpracováno pro Centrum pro výzkum, vývoj, inovace a regionální ˇ 26580985. rozvoj, ICO Pˇredmˇetem této analýzy bylo posouzení obecných fyzikálních vlastností materiál˚u s ohledem na konstrukci branek dle technické normy EN 748, pˇriˇcemž s ohledem na charakter této analýzy není pˇredmˇetem posouzení zdravotních následk˚u v jednotlivých konkrétních pˇrípadech náraz˚u tˇechto materiál˚u na lidské tˇelo. Veškeré závˇery vyplývají z obecných vlastností materiál˚u dle poznatk˚u moderní vˇedy, které s ohledem na charakter zadání nebyly pˇredmˇetem samostatného testování cˇ i dlouhodobých fyzikálních test˚u.
ˇ CVUT v Praze Fakulta elektrotechnická katedra rˇ ídicí techniky Technická 2, 166 27 Praha 6 http://dce.fel.cvut.cz
Ing. Lukáš Ferkl, Ph.D. vˇedecko-výzkumný pracovník tel. +420 224 355 702 fax. +420 224 918 646
[email protected]
ˇ 68407700 IC: ˇ CZ68407700 DIC: Bankovní spojení: KB Praha 6 cˇ .ú. 19-5504540257/0100
Úvod Pˇredmˇetem této analýzy je zajištˇení bezpeˇcnosti branek užívaných dle technické normy EN 748 a souvisejících aspekt˚u týkajících se vlastností jednotlivých materiál˚u (ocel, dural, carbonglass kompozitní materiály). Problematika bezpeˇcnosti branek a pˇrípadných souvisejících zdravotních rizik pˇrímo vyplývá ze dvou základních fyzikálních vlastností: I. Kinetické (pohybové) energie, kterou padající branka v okamžiku pádu má II. S tím, jak rychle (jakým pulzem) dokáže energii pˇredat (tj. jak efektivnˇe dokáže udeˇrit). Z toho je patrné, že analýza se bude týkat pˇredevším analýzy dynamiky pádu sportovní branky. Analýza bude provádˇena na základˇe matematického modelu padající branky a m˚uže posloužit jako východisko pro fyzikální testování skuteˇcné branky, pˇrípadnˇe pro jeho verifikaci. Každopádnˇe kvantitativní výsledky této analýzy jsou založeny na zjednodušeních, která matematické výpoˇcty vždy nutnˇe provázejí. Pro celkové zhodnocení jednotlivých typ˚u branek je potˇreba brát v úvahu pˇredevším kvalitativní výsledky, nebot’ z hlediska porovnání jednotlivých variant poskytují námi použité matematické metody velmi vˇerohodné závˇery. Je tˇreba také upozornit, že konkrétní efekt dopadu branky a zp˚usobené poranˇení závisí na rˇadˇe tˇežko popsatelných fyzikálních fenomén˚u, jako je brzdná dráha pˇri dopadu konstrukce branky na lidské tˇelo, zasažená cˇ ást lidského tˇela, maximální zrychlení (a tím i maximální síla) pˇri dopadu branky atd. Výpoˇcet tˇechto fyzikálních veliˇcin je i v dnešní dobˇe prakticky nemožný, jejich urˇcení vyžaduje spíše experimentální testování podobné testování bezpeˇcnosti automobil˚u (crash–testy). Relevantním výsledkem této studie je tedy porovnání jednotlivých variant sportovních branek, a to jak z hlediska jejich kinetické energie pˇri dopadu, tak z hlediska porovnání jejich stability a náchylnosti k pádu.
Kinetická energie padající branky Kinetická energie závisí na hmotnosti branky (pˇresnˇeji na momentu setrvaˇcnosti) a na její úhlové rychlosti. Z pohledu úhlové rychlosti padající branky lze konstatovat, že již samotná rychlost ovlivˇnuje pˇrípadné zp˚usobení zdravotních následk˚u pˇri dopadu. Vhodná konstrukce branky snižující úhlovou rychlost m˚uže výrazným zp˚usobem snížit energii dopadu brány. Poznamenejme, že pˇri pádu branky studujeme rotaˇcní pohyb a používáme tudíž odpovídající fyzikální veliˇciny, které jsou odlišné od bˇežnˇe používaného chápání fyzikálních dˇej˚u vycházejícího z translaˇcního pohybu: Translaˇcní pohyb hmotnost rychlost zrychlení
Rotaˇcní pohyb moment setrvaˇcnosti úhlová rychlost úhlové zrychlení
Moment setrvaˇcnosti tˇelesa (v podstatˇe ekvivalent hmotnosti pˇri rotaˇcním pohybu) je pro hmotný bod dán vztahem Z J=
l2 dm
(1)
kde l je vzdálenost od osy otáˇcení a dm je integraˇcní promˇenná reprezentující hmotnost. Z toho je vidˇet, – str. 2 –
že moment setrvaˇcnosti závisí na rozložení hmoty vzhledem k ose otáˇcení, a to dokonce kvadraticky. Pro hmotný bod m˚užeme daný vztah zjednodušit na J = ml2
(2)
Z tohoto vztahu je již patrné, že jednou z možností, jak snížit moment setrvaˇcnosti branky, je soustˇredˇení hmotnosti branky co nejblíže tˇežišti. Toho se dosáhne napˇríklad pˇresunutím hmotnosti do zadní spodní cˇ ásti brány, která po celou dobu pádu díky pˇresunutí tˇežištˇe p˚usobí proti zvyšování úhlové rychlosti. Z fyzikálního pohledu vlastnˇe dosáhneme (podle rovnic (1) a (2)) dvou zmˇen (viz obrázek 1): • Hmotnost se soustˇredí (tˇežištˇe) do blíže osy otáˇcení – i když pˇriblížení nebude z hlediska absolutních cˇ ísel výrazné, díky kvadratické závislosti (viz (1)) si výraznˇe pom˚užeme. • Tˇežištˇe se zároveˇn pˇresune dále do konstrukce branky a níže, cˇ ímž se zvýší energie potˇrebná pro její pˇreklopení (viz dále).
ˇ ˇ Obr. 1 – Rozdíl mezi bežnou brankou (a) a brankou se zatíženou zadní cˇ ástí (b). Težišt eˇ se pˇresouvá blíže osy otáˇcení, dráha pro pˇreklopení se prodlužuje (a tím se i zvyšuje energie potˇrebná pro pˇreklopení).
Z výše uvedeného popisu je patrné, že i kinetická energie tˇelesa nezávisí jen na úhlové rychlosti otáˇcení a na hmotnostech jednotlivých bod˚u, ale také na vzdálenostech bod˚u od osy otáˇcení. A právˇe nízká základní hmotnost branky z carbonglass kompozitových materiál˚u umožˇnuje pˇresunout hmotnou (tˇežší) cˇ ást brány tak, aby p˚usobila na menším polomˇeru, na vˇetším polomˇeru p˚usobí ménˇe hmotné bˇrevno. To má opˇet za následek snížení energie dopadu brány. Matematicky budeme brát branku jako hmotné kyvadlo, tj. její hmotu soustˇredíme do jejího tˇežištˇe, kterým budeme otáˇcet okolo osy otáˇcení. Pro popis pohybu vyjdeme z popisu moment˚u sil. Moment otáˇcivých sil je pro rotaˇcní pohyb roven Mr = Jε2 = ml2
d2 ϕ(t) dt2
(3)
kde J je moment setrvaˇcnosti, ε je úhlové zrychlení, ϕ(t) je úhel natoˇcení pr˚uvodiˇce tˇežištˇe, m je hmotnost branky a l je délka pr˚uvodiˇce tˇežištˇe. Na branku dále p˚usobí moment ve formˇe gravitaˇcního p˚usobení Mg = mgl sin (ϕ(t))
(4)
kde ϕ(t) je úhel natoˇcení pr˚uvodiˇce tˇežištˇe, m je hmotnost branky, g je tíhové zrychlení a l je délka pr˚uvodiˇce tˇežištˇe. Celkovˇe tedy m˚užeme popsat pohyb branky (s pˇrihlédnutím k vnˇejšímu momentu síly M0 (t) zp˚usobeného napˇr. cˇ lovˇekem houpajícím se na konstrukci branky) nelineární diferenciální rovnicí – str. 3 –
ml2
d2 ϕ(t) + mgl sin (ϕ(t)) − M0 (t) = 0, dt2
ϕ(t)|t=0 = ϕ0 ,
dϕ(t) |t=0 = 0 dt
(5)
kde ϕ(t) je úhel natoˇcení pr˚uvodiˇce tˇežištˇe, m je hmotnost branky, l je délka pr˚uvodiˇce tˇežištˇe, g je tíhové zrychlení, M0 (t) je vnˇejší moment síly p˚usobící na branku a t je cˇ as. Spoˇcítáme-li nyní úhlové rychlosti ω a kinetické energie Ek pro pˇrípad, kdy se na brance zhoupne osoba o hmotnosti cca 50 kg, dostáváme – pro branky bˇežnˇe na trhu a jejich carbonglass kompozitové ekvivalenty – následující hodnoty: Tab. 1 – Kinetická energie padající branky, osoba 50 kg (drží se)
železná branka hliníková branka hliníková branka carbonglass kompozitová branka
m[kg] 60 45 30 45
Ek [J] 1175 1276 1743 807
Z tabulky je vidˇet, že carbonglass kompozitová branka má jasnˇe nejnižší kinetickou energii dopadu. Pokud nebudeme uvažovat osobu, která se na brance houpe (na zaˇcátku pádu se pustí), dostáváme následující hodnoty: Tab. 1 – Kinetická energie padající branky, osoba 50 kg (pustí se)
železná branka hliníková branka hliníková branka carbonglass kompozitová branka
m[kg] 60 45 30 45
Ek [J] 461 559 348 124
Poznamenejme, že hodnoty jsou velmi orientaˇcní, protože velmi záleží na zp˚usobu, jakým se cˇ lovˇek na brance zhoupne, v jakém okamžiku se pustí atd. Modelování tˇechto fenomén˚u není pˇredmˇetem této zprávy, spoˇcítané pˇrípady považujeme za hraniˇcní, ovšem vzhledem k absenci experimentálního mˇeˇrení je nutné kvantifikované výsledky považovat pouze za orientaˇcní pro usnadnˇení kvalitativních výsledk˚u komparaˇcního výpoˇctu. Pro osobu o hmotnosti cca 30 kg je situace ještˇe markantnˇejší, carbonglass kompozitová branka se v˚ubec nezhoupne, protože osoba nevyvine dostateˇcný moment síly pro pˇrekonání tˇežištˇe: Tab. 1 – Kinetická energie padající branky, osoba 30 kg (drží se)
železná branka hliníková branka hliníková branka carbonglass kompozitová branka
m[kg] 60 45 30 45
Ek [J] 498 218 851 –
Shrneme-li pˇredchozí poznatky, m˚užeme konstatovat, že pˇri konstrukci je vhodné užít co nejlehˇcí materiály, které též umožní rozložit hmotnost branky tak, aby její zadní cˇ ást gravitaˇcnˇe brzdila pád a zároveˇn tak snižovala kinetickou energii pádu. S ohledem na vlastnosti pˇredmˇetných materiál˚u (železné, duralové a carbonglass kompozitní profily) se tak jeví jako nejvhodnˇejší kombinace carbonglass kompozitních profil˚u, jejichž hmotnost je ˇrádovˇe nižší než u ostatních materiál˚u jež byly pˇredmˇetem posuzování. V této souvislosti uvádíme pro úplnost výpoˇcty kinetické energie branky z železných cˇ i duralových profil˚u a branky z carbonglass kompozitních profil˚u. – str. 4 –
Následky dopadu branky Pro urˇcení konkrétních zdravotních následk˚u dopadu branky na cˇ lovˇeka je tˇreba brát v úvahu nˇekolik základních fyzikálních veliˇcin a fenomén˚u, mezi které patˇrí: • Pevnost materiálu, na který branka dopadá (lidského tˇela) • Deformace materiálu branky pˇri dopadu • Síla p˚usobící pˇri dopadu Co se týˇce odolnosti lidského tˇela vuˇ ˚ ci dopadu, není pˇredmˇetem tohoto rozboru a je otázkou pro odborníky z oblasti lékaˇrství. Lze nicménˇe ˇríci, že každá cˇ ást tˇela má jinou odolnost v˚ucˇ i vnˇejším silám. Deformace materiálu branky hraje pˇri dopadu nezanedbatelnou roli – pružnˇejší náraz totiž zmenšuje maximální zrychlení dosažené pˇri dopadu, což snižuje maximální sílu dopadu (viz níže). Pˇri použití nepružných kovových materiál˚u (železné cˇ i duralové profily) dochází v pˇrípadˇe stˇretu tˇechto materiál˚u s okolním prostˇredím k tvrdým, nepružným náraz˚um, pˇri kterých je snížení zrychlení vlivem deformace materiálu zcela zanedbatelné. V pˇrípadˇe užití speciálních náplet˚u (napˇr. kombinace triaxialního nápletu) carbonglass kompozitního materiálu a díky využití karbonového vlákna je možné profil konstrukcí vyrobit pružnˇejší oproti obecnˇe využívaným železným a duralovým profil˚u. Tato konstrukce pak umožˇnuje pružné utlumení nárazu pˇredmˇetné konstrukce, v daném pˇrípadˇe bˇrevna. Postihnutí síly pusobící ˚ pˇri dopadu je obecnˇe velice složité a vyžaduje komplikované výpoˇcty založené na empiricky namˇeˇrených datech, což je daleko mimo rámec této analýzy. Výsledky jsou navíc obecnˇe spíše orientaˇcní a je potˇreba je metodicky ovˇeˇrovat experimenty (jak je známé napˇr. z automobilových crash–test˚u). Vnˇejší síla p˚usobící na tˇeleso je popsána rovnicí F = ma
(6)
kde F je síla, m je hmotnost tˇelesa a a je jeho zrychlení. V našem pˇrípadˇe se sice jedná o rotaˇcní pohyb, ale v okamžiku dopadu již m˚užeme uvažovat pohyb pˇrímoˇcarý, rovnomˇernˇe zrychlený (resp. brzdˇený) vzhledem k tomu, že se odehrává na velmi krátké, prakticky svislé dráze. Jelikož dále platí a=
ds dt
(7)
kde a je zrychlení, ds je element dráhy a dt je element cˇ asu, je zˇrejmé, že pro pˇresné urˇcení síly p˚usobící na tˇeleso je nutné znát cˇ asový pr˚ubˇeh dráhy, v našem pˇrípadˇe branky dopadající na cˇ lovˇeka. To je však velmi obtížné, protože silnˇe závisí na pružnosti dopadající branky, lidského tˇela a podkladu, na kterém cˇ lovˇek leží. Zanedbáním tˇechto faktor˚u získáme nekoneˇcnˇe velikou sílu, což je evidentnˇe špatný výsledek. Jelikož je velmi obtížné dané fenomény modelovat, spíše se cˇ asto provádí experimentální zjištˇení síly dopadu, pˇriˇcemž se použije figurína cˇ lovˇeka (test dummy) s parametry podobnými skuteˇcnému cˇ lovˇeku. Hodnoty zrychlení se potom urˇcují bud’ pˇrímo (použití akcelerometr˚u), nebo se nepˇrímo spoˇcítají napˇr. pomocí záznamu rychlobˇežné kamery.
– str. 5 –
Závˇer Dovolujeme si tedy shrnout, že pro zamezení negativních následk˚u na zdraví v pˇrípadˇe pádu branky je vhodné se zamˇeˇrit na dvˇe výše zásadní oblasti konstrukce branky, a to co se týˇce: I. úhlové rychlosti – konstrukˇcní opatˇrení snižující úhlovou rychlost pˇri dopadu branky II. materiál pro konstrukci branky – obecnˇe lze konstatovat, že carbonglass kompozitní materiály jsou díky lehkosti a svým pˇrirozeným vlastnostem (pružnost, pevnost) vhodnˇejším materiálem, který v pˇrípadˇe dopadu na lidské tˇelo zp˚usobuje nižší míru zdravotních následk˚u než klasické kovové materiály (železné cˇ i duralové profily). Pˇredmˇetem této analýzy bylo posouzení obecných fyzikálních vlastností materiál˚u s ohledem na konstrukci branek dle technické normy EN 748, pˇriˇcemž s ohledem na charakter této analýzy není pˇredmˇetem posouzení zdravotních následk˚u v jednotlivých konkrétních pˇrípadech náraz˚u tˇechto materiál˚u na lidské tˇelo. Veškeré závˇery vyplývají z obecných vlastností materiál˚u dle poznatk˚u moderní vˇedy, které s ohledem na charakter dotazu nebyly pˇredmˇetem samostatného testování cˇ i dlouhodobých fyzikálních test˚u. Naše katedra patˇrí k pˇredním pracovištím zabývajícím se matematicko-fyzikálním modelováním a simulacemi, pˇriˇcemž v oblasti materiálového inženýrství úzce spolupracujeme s univerzitou v Coimbˇre, která je jedním z pˇredních evropských pracovišt’ v oblasti materiálového inženýrství.
Ing. Lukáš Ferkl, Ph.D.
prof. Ing. Michael Šebek, DrSc.
– str. 6 –
