Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak
Király Balázs 2010-11. I. Félév
2
1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok À a) jelölése: N b) elemei: A természetes számok halmazába tartoznak a pozitív egész számok és a 0, azaz N := {0, 1, 2, 3, . . . } c) műveletek Az összeadás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. A kivonás, az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. Á a) jelölése: Z b) elemei: Az egész számok halmazába tartoznak a pozitív és negatív egész számok és a 0, azaz Z := {0, ±1, ±2, ±3, . . . } c) műveletek Az összeadás, a kivonás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. Az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. Â a) jelölése: Q b) elemei: A racionális számok halmazába azon számok tartoznak, melyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Ahhoz, hogy ez a felírás egyértelmű legyen a következő kikötéseket szokás tenni: p |, p ∈ Z, q ∈ Z, q > 0, (p, q) = 1 Q := q c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás (0-ra figyelni kell) nem vezet ki a számhalmazból. A racionális számok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel testet alkot (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). A határátmenet (magyarázat később) és a gyökvonás elvégzése továbbra is problémát jelent. 3
4
1. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK Ã a) jelölése: R b) elemei: A számegyenes pontjaival kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethető számhalmazt nevezzük valós számhalmaznak. c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás (0-ra figyelni kell) és a határátmenet nem vezet ki a számhalmazból. A valós számok halmaza is testet alkot a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel. A gyökvonás elvégzése (negatív számok esetén) továbbra is probléma. Ezt fogja megoldani a komplex számok (C) bevezetése (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül).
További jelölések • Több állítás esetén is ki kell zárnunk a természetes számok közül a nullát. Szokás a nullától megfosztott természetes számok halmazára új jelölést bevezetni: N∗ := N\{0} • Legyen n ∈ N, ekkor a Nn := {k, ∈ N| k < n} halmazt a természetes számok n-edik szeletének nevezzük. • A valós számhalmaz azon elemeit, melyek nem tartoznak a racionális számok közé (a racionális számok halmazának a valós számokra vonatkozó komplementer halmaza) irracionális számoknak nevezzük és Q∗ -gal jelöljük, azaz Q∗ := R\Q
1.2. Az abszolútérték és tulajdonságai 1.1. Definíció. Az a ∈ R szám abszolútértékén az a , ha a ≥ 0 |a| := −a , ha a < 0. számot értjük. 1.2. Tétel. (Az abszolútérték tulajdonságai) i) |a| ≥ 0 minden a ∈ R esetén és |a| = 0 pontosan akkor teljesül, ha a = 0. ii) Bármely a ∈ R esetén −|a| ≤ a ≤ |a|. iii) Legyen a, b ∈ R, ekkor |a + b| ≤ |a| + |b|. (háromszög egyenlőtlenség) iv) Legyen a, b ∈ R, ekkor ||a| − |b|| ≤ |a − b|. v) Legyen a, b ∈ R, ekkor |a · b| = |a| · |b|. 1.3. Megjegyzés. Az abszolútérték geometriai jelentése a számegyenes a 0-tól mért távolság. 1.4. Definíció. Legyen a, b∈R, a
1.3. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA
5
• zárt intervallum: [a, b] := {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} • nyílt intervallum: (a, b) := {x ∈ R| a < x < b} • balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a, b) := {x ∈ R| a ≤ x < b} • balról nyílt, jobbról zárt intervallum: (a, b] := {x ∈ R| a < x ≤ b} 1.5. Definíció. Az a szám R sugarú környezetén az (a − R, a + R) nyílt intervallumot értjük és KR (a)-val jelöljük. 1.6. Következmény. KR (a) környezet pontosan azon x valós számokat tartalmazza, melyekre |x − a| < R.
1.3. Számhalmaz alsó és felső határa 1.7. Definíció. Legyen ∅ = 6 A ⊆ R. Ha létezik α ∈ A elem, melyre igaz, hogy α ≥ a minden a ∈ ∈ A esetén, akkor a α számot az A halmaz maximumának nevezzük és a max A := α jelölést használjuk. 1.8. Definíció. Legyen ∅ = 6 A ⊆ R. Ha létezik β ∈ A elem, melyre igaz, hogy β ≤ a minden a ∈ ∈ A esetén, akkor a β számot az A halmaz minimumának nevezzük és a min A := β jelölést használjuk. 1.9. Tétel. Véges halmaznak mindig van legnagyobb és legkisebb eleme (maximuma és minimuma). 1.10. Következmény. Az hogy valamely ∅6= A⊆R halmaznak nincs minimuma, megfogalmazható pozitív állítás formájában is: ∀m ∈ A esetén ∃a ∈ A elem, hogy a < m. 1.11. Következmény. Hasonlóan, ha az ∅ 6= A ⊆ R halmaznak nincs maximuma, akkor ∀M ∈ A esetén ∃a ∈ A elem, hogy a > M. 1.12. Definíció. Legyen ∅ 6= A ⊆ R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz felülről korlátos, ha létezik K ∈ R szám, melyre a ≤ K, minden a ∈ A esetén. Ekkor a K ∈ R valós számot a halmaz egy felső korlátjának nevezzük. 1.13. Definíció. Legyen ∅ = 6 A ⊆ R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz alulról korlátos, ha létezik k ∈ R szám, melyre a ≥ k, minden a ∈ A esetén. Ekkor a k ∈ R valós számot a halmaz egy alsó korlátjának nevezzük. 1.14. Definíció. Legyen ∅6= A⊆R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz korlátos, ha létezik M ∈R+ szám, melyre |a| ≤ M, minden a ∈ A esetén. Ekkor a M ∈ R nemnegatív valós számot a halmaz egy korlátjának nevezzük. 1.15. Következmény. Az ∅ 6= A ⊆ R halmaz pontosan akkor korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos.
6
1. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK
1.16. Következmény. Legyen ∅ = 6 A ⊆ R felülről korlátos halmaz és K ∈ R a halmaz egy felső ∗ korlátja. Ekkor minden K > K valós szám jó felső korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik felső korlátja, akkor végtelen sok van. 1.17. Következmény. Legyen ∅ = 6 A ⊆ R alulról korlátos halmaz és k ∈ R a halmaz egy alsó korlátja. Ekkor minden k∗ < k valós szám jó alsó korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok van. 1.18. Tétel. Felülről korlátos halmaz felső korlátjai között mindig van legkisebb és alulról korlátos halmaz alsó korlátjai között mindig van legnagyobb. 1.19. Definíció. A ξ∈R számot az ∅6=A⊆R halmaz szuprémumának (felső határának) nevezzük, ha i) ξ egy felső korlát, azaz ξ ≥ a minden a ∈ A esetén. ii) ξ a legkisebb felső korlát, azaz bármely K < ξ esetén létezik a ∈ A elem, melyre a > K teljesül. 1.20. Definíció. A ξ ∈ R számot az ∅ 6= A ⊆ R halmaz infimumának (alsó határának) nevezzük, ha i) ξ egy alsó korlát, azaz ξ ≤ a minden a ∈ A esetén. ii) ξ a legnagyobb alsó korlát, azaz bármely k > ξ esetén létezik a ∈ A elem, melyre a < k teljesül. 1.21. Következmény. Ha az ∅ 6= A ⊆ R halmaznak van maximuma, akkor van szuprémuma is és sup A = max A és hasonlóan ha az ∅ = 6 A ⊆ R halmaznak van minimuma, akkor van infimuma is és inf A = min A. 1.22. Következmény. Ha az ∅ = 6 A ⊆ R halmaz tartalmazza egy K felső korlátját, akkor a halmaznak van maximuma és max A = K és hasonlóan ha az ∅ 6= A ⊆ R halmaz tartalmazza egy k alsó korlátját, akkor a halmaznak van minimuma és min A = k. 1.1. Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az ∅6= A⊆R felülről nem korlátos. Megoldás. ∀K ∈ R, ∃a ∈ A, a > K.
♦
1.2. Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az ∅6= A⊆R alulról nem korlátos. Megoldás. ∀k ∈ R, ∃a ∈ A, a < k.
♦
1.3. Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az ∅ 6= A ⊆ R nem korlátos. Megoldás. ∀M ∈ R, ∃a ∈ A, |a| > M.
♦
1.3. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA
7
1.4. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmaz alsó- és felső határát. 1 : n ∈ N, n > 0 A= n Megoldás. Sejtés: sup A = 1. Bizonyítás:. i) Az 1 egy jó felső korlát, hiszen ∀a ∈ A a ≤ 1, mivel n ≥ 1 ⇒
1 1 ≤ =1 n 1
ii) Az 1 a legkisebb felső korlát, vagyis ∀K < 1 esetén ∃a ∈ A : a > K. a = 1 = 11 ∈ A minden K-ra ilyen. Azaz K = 1 valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy 1 ∈ A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.) Sejtés: inf A = 0. Bizonyítás:. i) A 0 egy jó alsó korlát, mivel ∀a ∈ A a ≥ 0. nyilvánvaló, hiszen 1, n ≥ 0 ⇒ a =
1 ≥ 0. n
ii) A 0 a legnagyobb alsó korlát, vagyis ∀k > 0 esetén ∃a ∈ A : a < k. Legyen b = k1 ∈ R+ . Az archimédeszi axióma alapján 1, b ∈ R+ számokhoz ∃n ∈ N b < n · 1. Ekkor 1 1 a := < = k. n b Azaz k = 1 valóban a legnagyobb alsó korlát. 1.5. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf {−x : x ∈ X} = − sup X. Megoldás. Legyen α := − sup X és legyen Y := {−x : x ∈ X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel −α = sup X ⇒ ∀x ∈ X − α ≥ x ⇔ α ≤ −x ∀x ∈ X ⇔ α ≤ y ∀y ∈ Y.
8
1. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ii) Az α az Y infimuma, azaz ∀k > α esetén ∃y0 ∈ Y : y0 < k. Mivel −α az X szuprémuma ezért bármely K < −α esetén létezik x ∈ X elem, hogy x > K. Legyen K0 = −k < −α és legyen x0 a fentiek alapján K0 -hoz talált X-beli elem, azaz x0 > K0 ⇔ k = −K > α ∃y0 = −x0 ∈ Y y0 = −x0 < −K = k. ♦
Azaz α valóban az Y halmaz infimuma. 1.6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x + y : x ∈ X, y ∈ Y } = sup X + sup Y . | {z } | {z } | {z } =:A
α
β
Megoldás. i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x ≤ α (∀x ∈ X) és y ≤ β (∀y ∈ Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x + y ≤ α + β ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y. ii) α + β a legkisebb felső korlát, azaz ∀K < α + β esetén ∃a ∈ A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k1 < α és létezik k2 < β, hogy K = k1 +k2 . (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesít egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k1 < α = sup X ⇒ ∃x0 ∈ X, x0 > k1 , k2 < β = sup Y ⇒ ∃y0 ∈ Y, y0 > k2 . Így a := x0 + y0 ∈ A esetén a > K = k1 + k2 teljesül.
♦
1.4. Nevezetes összefüggések 1.23. Tétel. (Számtani és mértani közép közötti összefüggés) Legyen a1 , a2 , . . . , an n darab nemnegatív szám (n∈N∗ ). Ekkor a számok számtani közepe nem kisebb ugyanezen számok mértani közepénél, azaz √ a1 + a2 + · · · + an n a1 · a2 · . . . · an ≤ n és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a1 = a2 = · · · = an . 1.24. Tétel. (Általánosított háromszögegyenlőtlenség) Bármely x1 , x2 , . . . xn ∈ R, n ∈ N∗ számokra |x1 + x2 + · · · + xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |. 1.25. Tétel. (Bernoulli egyenlőtlenség) Minden n ∈ N∗ és h ∈ R esetén a) 1 + nh ≤ (1 + h)n , ha h > −1, b) (1 + h)n ≤ 1 + 2nh, ha 0 < h <
1 . 2n
2. fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai 2.1. Definíció. I. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. II. Azokat a hozzárendeléseket, melyek a természetes számok minden eleméhez egy X halmaz egy és csakis egy elemét rendelik, sorozatoknak nevezzük.
Jelölések, elnevezések : • x : N → X (X 6= ∅): sorozat • x(n) := xn (n ∈ N): sorozat n. tagja, n: elem indexe. • További jelölések sorozatra: x = (x0 , x1 , . . . ) x = (xn , n ∈ N) xn (n ∈ N) • Megkülönböztetünk néhány sorozatot: ◦ Ha X = R, akkor x valós számsorozat, ◦ Ha X = C, akkor x komplex számsorozat, ◦ vektorsorozat, ◦ intervallumsorozat, ◦ függvénysorozat.
Sorozatok megadása • Felsorolással: Pl. (1,3,5,7,9,11, . . . ), • Képlettel: Pl. xn = 2n + 1,(n ∈ N), • Rekurzióval: Pl. 1. x0 = 1, xn = xn−1 + 2, (n ∈ N∗ ), 2. x0 = x1 = 1, xn+1 = xn−1 + xn , (n ∈ N, n ≥ 2): Fibonacci sorozat, 9
