SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 S - 10
Analisis Waktu Tunggu pada Proses Renewal Suyono, Ibnu Hadi Fakultas MIPA Universitas Negeri Jakarta
[email protected]
Abstrak—Dalammakalahinidibahashal-hal yang terkait dengan waktutunggupada proses renewal. Waktutunggudidefinisikansebagaiwaktusampaiterjadinyakejadiankendihitungsejakwa ktu 0 dandinotasikandenganSn. Dalam makalah ini disajikan hasil-hasil penelitian berupa (1) mean, variansi, fungsi distribusi kumulatif, dan fungsi kepadatan probabilitas distribusidariSN(t)dimana(N(t), t ≥0)adalahproses renewal dan proses Poisson (sebagai kasus khusus dari proses renewal); (2) mean, variansi, fungsi pembangkit momen, limit mean, limit variansi dari jumlah parsial S1 + S2 + ... + Sn pada proses renewal; dan (3) mean, variansi, transformasi Laplace, dan sifat limit dari S1 + S2 + ... + SN(t) baik pada proses Poisson maupun proses renewal Kata kunci:Proses Poisson, proses renewal, transformasi Laplace, waktu tunggu
I.
PENDAHULUAN
Banyaksituasidalamkehidupansehari-haridimanabanyaknyakejadianpadasuatu interval waktumenjadiperhatian yang menarikuntukdianalisis. Beberapacontohsituasitersebutadalahbanyaknyanasabah yang datangkesebuah bank selamasehari, banyaknyaklaimpadasuatuperusahaanasuransiselamasetahun, banyaknyakecelakaan yang terjadi di suaturuasjalantolselamasebulan, dan lain-lain. Situasi-situasiinidapatdimodelkandengan proses renewal. Secaramatematis proses renewal dapatdideskripsikansebagaiberikut. Dimulaidarititikwaktut = 0, misalkanX1menyatakanwaktukejadianpertama, X2adalahwaktuantarakejadianpertamadankedua, X3adalahwaktuantarakejadiankeduadanketiga, danseterusnya. Notasikan Sn = X1 + X2 + … + Xn, n = 1, 2, 3, … danS0 = 0. Definisikanuntukt ≥ 0, N(t) = sup{n : Snt}. KuantitasbahwaN(t) menyatakanbanyaknyakejadian yang terjadipada interval waktu [0,t] dan Snadalahwaktutunggu (waiting time) sampaiterjadinyakejadianken.Jikawaktu-waktuantarkejadianX1, X2, X3, … dianggapsalingindependendanberdistribusiidentikdengansebarangdistribusi, maka proses stokastik (N(t), t 0) dinamakanproses renewal.Sebagaikasuskhususdari proses renewal,jikawaktuwaktuantarkejadianXiberdistribusieksponensial maka proses (N(t), t 0) dinamakan proses Poisson homogen. Proses renewal, danjuga proses Poisson, telahbanyakdibahasdalamliteraturdanmendapatperhatiandaribanyakpeneliti. Dalam Ross [1] telahdibahasdistribusidari proses Poisson, hargaharapan proses Poisson, variansi proses Poisson, distribusiwaktutungguSn, distribusi proses renewal dansifat-sifatasimtotik proses renewal. Suyonodan van der Weide[2]membahasalternating proses renewal sebagaigeneralisasidari proses renewal. Suyonodan van der Weide[3]membahassuperposisidari proses renewal. Terkaitdenganwaktutunggusampaikejadianken, untuk proses Poisson telahdibuktikanbahwaSnberdistribusi gamma, sedangkanuntuk proses renewal distribusiSnhanyadapatdirumuskanbentukumumnya, lihat Ross [1]. Terdapathal yang menarikterkaitdenganwaktutunggu. Jikapada interval waktu [0, t] terjadisebanyakN(t) kejadian, makawaktutunggusampaiterjadinyakejadianterakhirpada interval [0, t] adalahSN(t). TerdapatperbedaanantaraSndanSN(t), yakniindeksdariSnadalahbilangancacahdandistribusinyahanyatergantungpadadistribusiwaktuantarkejadiante tapitidaktergantungpada interval waktu [0, t], sedangkanindeksdariSN(t)adalah variable acakdandistribusinyatergantungpadawaktuantarkejadiandanjugapada interval waktu [0, t]. Dalam makalah ini akan dibahas sifat-sifat distribusi dari SN(t).SelainitudaribarisanwaktutungguS1, S2, …dapatdibentukjumlahparsialJm = S1 + S2 + … + Sn, maupunJN(t)= S1 + S2 + … + SN(t). Secaramatematiskeduaderetinimenarikuntukdianalisis dan akan dibahas sifat-sifatnya pada makalah ini.
153
ISBN. 978-602-73403-0-5
II.
PEMBAHASAN
A. Distribusi SN(t) pada ProsesPoisson Pikirkan proses Poisson (N(t), t ≥ 0) dengan waktu-waktu antar kedatangan X1, X2, … yang berdistribusieksponensial dengan parameter > 0. Definisikan untuk t 0, SN(t) = X1 + X2 + … + X N(t). Variabel acak SN(t) menyatakan waktu tunggu sampai terjadinya kejadian terakhir pada interval waktu [0,t]. Teorema berikut menyajikan sifat-sifat dari SN(t). Teorema 1. Pada proses Poisson waktu tunggu SN(t) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: a.
Fungsi distribusi kumulatif dari SN(t) adalah
FS N ( t ) ( x) e (t x ) , 0 x t.
b.
Fungsi kepadatan probabilitas dari SN(t) adalah
t f S N ( t ) ( x) e (t x ) , 0 x t dan P(S N (t ) 0) e .
c.
Mean dari SN(t) adalah
E[ S N (t ) ] t d.
1
1
e t
Variansi dari SN(t) adalah
Var[ S N (t ) ]
1
2
2t
2
e t
1
2
e 2 t
Bukti: a.
Dengan mengkondisikan pada kejadian N(t) = n diperoleh N (t ) FS N ( t ) ( x) PS N (t ) x P X i x | N (t ) n P( N (t ) n) n 0 i 1
Jika N(t) = 0 maka SN(t) = S0 = 0 dan untuk x ≥ 0, P(S0x| N(t) = 0) = 1, sehingga N (t ) FS N ( t ) ( x) P( N (t ) 0) P X i x | N (t ) n P( N (t ) n) n 1 i 1
PS n x | N (t ) n P( N (t ) n) n 0
Jika diberikan N(t) = n, maka distribusi bersama dari S1, S2, ..., Sn sama dengan distribusi bersama order statistik dari n variabel acak yang saling independen dan berdistribusi identik uniform pada interval (0,t), lihat Ross [1]. Teorema ini mengimplikasikan bahwa fungsi kepadatan probabilitas bersyarat dari S1, S2, ..., Sn jika diberikan N(t) = n adalah
f ( s1 , s 2 ,..., s n | n)
n! , 0 s1 s 2 ... s n t . tn
Sebagai akibat dari teorema di atas, distribusi bersyarat marginal dari Sn jika diberikan N(t) = n adalah
ns nn 1 f S n ( s n | n) f (s1 , s2 ,..., sn | n)ds1ds2 ...dsn1 t n , 0 sn t . 0 s1 s2 ... sn
Dengan demikian fungsi distribusi kumulatif bersyarat dari Sn jika diberikan N(t) = n adalah
FS n ( s n | n)
sn
f S n ( x | n)dx
0
154
nx n 1 sn dx 0 t n t
sn
n
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
Jadi t n x e (t ) FS N ( t ) ( x) FSn ( x | n) P( N (t ) n) e ( t x ) , 0 x t. n!! n 0 n 0 t n
b.
Fungsi kepadatan probabilitas dari SN(t) adalah
f S N ( t ) ( x)
d FS N ( t ) ( x) e (t x ) , 0 x t. dx
Waktu tunggu SN(t) mempunyai massa pada titik 0. Jelas bahwa SN(t) = 0 jika dan hanya jika N(t) = 0, dan N(t) = 0 jika dan hanya jika X1>t. Jadi
P( S N (t ) 0) P( X 1 t ) e x dx e t . t
c.
Mean dari SN(t) adalah t
t
E[ S N (t ) ] 0 P( N (t ) 0) xf S N ( t ) ( x)dx xe (t x ) dx t 0
d.
0
1
1
e t
Momen kedua dari SN(t) adalah t
E[ S N2 (t ) ] 0 P( N (t ) 0) x 2 f S N ( t ) ( x)dx t 2 0
2t
2
2
2
2
2
e t
Sebagai akibatnya
Var[ S N (t ) ] E[ S N2 (t ) ] ( E[ S N (t ) ]) 2
1
2
2t
2
e t
1
2
e 2t
B. Distribusi SN(t) pada ProsesRenewal Pikirkan proses renewal (N(t), t ≥ 0) dengan waktu-waktu antar kedatangan X1, X2, … yang berdistribusi sebarang dengan fungsi distribusi kumulati F. Sifat-sifat dari SN(t) disajikan dalam bentuk transformasi Laplace yang dapat diinversi secara numerik, lihat [4].
Teorema 2. Pada proses renewal waktu tunggu SN(t) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: a. Transformasi Laplace dari SN(t) adalah
1 F * ( ) Eexp S e dt [1 F * ( )] t
N (t )
0
dimana F* adalah transformasi Laplace-Stieltjes dari F.
155
ISBN. 978-602-73403-0-5
b.
Transformasi Laplace dari mean dan momen kedua dari SN(t) adalah
ES e
t
N (t )
dt
0
xe
x
dF ( x)
0
[1 F * ( )]
dan
( ) x [1 F * ( )] x e dF ( x) 2 xe dF ( x) 0 0 [1 F * ( )]
ES 2 N (t )
0
2
x
2
Bukti: a. Untuk fungsi terukur dan α, β> 0, N (t ) t 1 F * ( ) e dt E exp ( X ) i 0 i 1 [1 e t (t ) dF (t )]
0
lihat [5]. Ambil (t) = t, maka
1 F * ( ) Eexp S e dt [1 F * ( )] . t
N (t )
0
b.
Transformasi Laplace dari mean dan momen kedua dariSN(t)masing-masing dapat diperoleh dengan mencari turunan pertama dan kedua dari transformasi Laplace dari SN(t) terhadap α lalu mengganti α dengan 0.
C. Sifat-sifat dariJmpada proses renewal Teorema berikut tentang sifat-sifat dari
m
n
n 1
i 1
J m S n dimana S n X i pada proses renewal.
Teorema 3. Jumlah parsial Jm pada proses renewal memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: a. Mean dari Jm adalah
E[ J m ] b.
1 m(m 1) . 2
Variansi dari Jm adalah
Var[ J m ]
m(m 1)(2m 1) 2 . 6
156
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
c.
Fungsi pembangkit momen dari Jm adalah m
M J m (t ) M X (t (m 1 i)) . i 1
d.
Limit mean dari Jm adalah
lim
m
e.
E[ J m ] . 2 m2
Limit variansi dari Jm adalah
Var[ J m ] 2 lim . m 3 m3 Bukti:
a.
Mean dari Jm adalah
1 m m E[ J m ] E (m 1 i) X i (m 1 i) m(m 1) 2 i 1 i 1 b. c.
Variansi dari Jm adalah
m(m 1)(2m 1) 2 m m 2 2 Var[ J m ] Var (m 1 i) X i (m 1 i) 6 i 1 i 1 d.
Fungsi pembangkit momen dari Jm adalah
m m M J m (t ) E exp t (m 1 i) X i M X (t (m 1 i)) i 1 i 1 e.
Limit mean dari Jm adalah
E[ J m ] m(m 1) lim 2 m m m 2 2m 2 lim
f.
Limit variansi dari Jm adalah
Var[ J m ] m(m 1)(2m 1) 2 2 lim m m 3 m3 6m 3 lim
D. Sifat-sifat dariJN(t)pada proses Poisson
Teorema berikut tentang sifat-sifat dari
N (t )
n
n 1
i 1
J N (t ) S n dimana S n X i pada proses Poisson.
157
ISBN. 978-602-73403-0-5
Teorema 4. Jumlah parsial JN(t) pada proses Poisson memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: a. Transformasi Laplace dari JN(t) adalah
(1 t e t ) E exp J N (t ) exp
b.
Mean dari JN(t) adalah
E J N (t ) c.
t 2 2
Variansi dari JN(t) adalah
t Var J 3
3
N (t )
d.
Limit distribusi dari JN(t) adalah normal dengan mean t2/2 dan variansi t3/3 untuk t.
Bukti: a. Transformasi Laplace dari JN(t) n E exp J N (t ) E exp S i | N (t ) n P( N (t ) n) n 0 i 1
n E exp U i P( N (t ) n) n 0 i 1
dimana Ui saling independen dan berdistribusi identik uniform pada interval (0,t). Karena
Eexp U i
1 1 e t t
maka
E exp J N (t )
n (1 t e t ) 1 ( t ) t 1 e t e exp n! n 0 t
n
b. Mean dari JN(t) n N (t ) ( t ) n t E J N (t ) E S i | N (t ) nP( N (t ) n) E[U i ] e n! n 0 n 0 i 1 i 1
Karena Ui berdistribusi uniform pada interval (0,t) maka
E J N (t )
nt (t ) n t t 2 e n! 2 n 0 2
(t ) n 1 t t 2 e 2 n 1 ( n 1)!
c. Momen kedua dari JN(t) Momen kedua dari JN(t) dapat dibuktikan secara serupa dengan bukti untuk mean dari JN(t), yakni dengan menggunakan teknik ekspektasi bersyarat dan menggunakan sifat statistik urutan dari distribusi eksponensial. Dapat diperiksabahwa
E J N2 (t )
t 3 3
2 t 4 4
Sebagai akibatnya, variansi dari JN(t) adalah
Var J N (t ) E J N2 (t ) E J N (t ) d. Limit distribusi dari JN(t)
158
2
t 3 3
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
J N (t ) 12 t 2 E exp i 1 t 3 3
exp 1 i 3t E exp i 3 J 2 t t N ( t )
Menggunakan hasil bagian a diperoleh
i 3 1 1 t t 3 / 2 E exp J N (t ) exp i 3t 2 o(t ) 2 2 t t i 3 untuk t. Sebagai akibatnya
J N (t ) 12 t 2 E exp i 1 t 3 3
exp 1 2 untuk t 2
yang merupakan fungsi karakteristik dari distribusi normal standar. Jadi dapat disimpulkan bahwa JN(t) mendekati distribusi normal dengan mean t2/2 dan variansi t3/3 untuk t. E. Sifat-sifat dariJN(t)pada proses renewal Untuk membahas sifat-sifat dari JN(t)akan digunakan teori tentang proses titik, lihat [6], [7] dan [8]. Misalkan (,F,P) adalah ruang probabilitas di mana barisan variabel acak non-negative X1, X2, … yang saling independen dan berdistribusi identik didefinisikan, dan juga barisan variabel acak U1, U2, …, yaitu barisan variabel acak yang saling independen dan berdistribusi eksponensial dengan parameter 1 didefinisikan, sedemikian hingga barisan (Xi) dan (Ui) saling independen. Misalkan T1, T2, … adalah barisan jumlah parsial dari U1, U2, …, yakni Tn = U1 + U2 + … + Un. Maka pemetaan
: (Tn ( ), X n ( )) n 1
di mana
( x, y )
adalah ukuran Dirac pada titik (x,y) merupakan proses Poisson pada E = [0,) [0,)
dengan ukuran intensitas (dtdx) = dt dF(x). Misalkan M adalah himpunan semua ukuran titik pada E. Distribusi dari akan dinotasikan dengan P, yakni P = P o -1. Definisikan untuk t ≥ 0, fungsional A(t) pada M dengan
A(t , ) 1[ 0,t ) ( s) x (dsdx) . E
Definisikan juga
J (t , ) 1[ 0, x ) (t A(t , )) ([r , s) [0, ))u1[ 0, s ) (r ) (drdu) (dsdx) E E
Maka dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa dengan probabilitas 1,
J N (t ) J (t , ) Teorema 5. Misalkan X1, X2, … adalahbarisanvariabelacak non-negatif salingindependendanberdistribusiidentikdengansebarangfungsidistribusiF. Definisikan Sn = X1 + X2 + … + Xn, n = 1, 2, 3, … S0 = 0, dan (N(t), t ≥ 0) adalah proses renewal dengan waktu tunggu Sn. Definisikan untuk t ≥ 0, N (t )
J N (t ) S n . n 1
Maka untuk a, b> 0,
bt E (exp{aJ N (t ) }e dt 0
1 F * (b) n F * (a(n 1 i) b) . b n 0 i 1
159
yang
ISBN. 978-602-73403-0-5
Bukti:
E (e
aJ N ( t )
) exp{a 1[ 0, x ) (t A( s, )) ([r , s) [0, ))u1[ 0, s ) (r ) (drdu) (dsdx)}P (d ) M
EE
1
[ 0, x )
ME
(t A( s, ) exp{a ([r , s) [0, ))u1[ 0, s ) (r ) (drdu)} (dsdx)P (d ) E
Dengan menerapkan rumus Palm diperoleh
E (e
aJ N ( t )
) 1[ 0, x ) (t A( s, ( s , x ) )) 0 0M
exp{ a ([r , s) [0, ))u1[ 0, s ) (r ) (drdu)}P (d )dF ( x)ds E
Dengan menggunakan teorema Fubini diperoleh
E (e
aJ N ( t )
0
1 F * (b) )e dt 0 M exp{E [a ([r, s) [0, ) b]u1[0,s ) (r ) (drdu)}P (d )ds b bt
Integral terhadap P dapat ditulis sebagai jumlah integral atas himpunan B n = { M : ([0,s)[0,)) = n}, n = 0, 1, 2, .... Tetapkan sebuah nilai n dan ambil M sedemiian hingga ([0,s)[0,)) = n dan supp() = ((ti,xi)), i = 1, 2, ... Maka tn< s tn+1. Untuk ukuran tersebut, integral terhadap Pdapat dituliskan sebagai
[a ([r, s) [0, ) b]u1[0,s ) (r ) (drdu) (a[ N 1 i] b) xi i 1
E
Karena ukuran Padalah bayangan dari ukuran P di bawah pemetaan , maka dengan menyajikan integral terhadap Patas Bn sebagai integral terhadap P atas himpunan An = {: Tn() < s Tn+1()} dan dengan mengunakan asumsi bahwa barisan (T n) dan (Xn) saling independen, diperoleh
exp{ [a ([r , s) [0, ) b]u1
[ 0, s )
Bn
(r ) (drdu) P (d )
E
n exp (a[n 1 i] b) X i ( ) P(d ) i 1 An n
F * (a[n 1 i ] b) i 1
s n e s n!
Jadi n s n e s F * (a[n 1 i] b) exp E [a ([r, s) [0, ) b]u1[0,s ) (r ) (drdu)P (d ) n! n 0 i 1 M
Karena untuk setiap n,
s n e s 0 n! ds 1 maka teorema terbukti.
Teorema 6. Dengan asumsi sebagaimana pada Teorema 5, jika
E[ J
N (t )
]e
0
dan jika
bt
E[ X 1e bX1 ] , maka untuk b>0
E[ X 1e bX1 ] dt . b[1 F * (b)] 2
E[ X 12 e bX1 ] , maka untuk b>0
160
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
2 bt E[ J N (t ) ]e dt 0
[1 F * (b)]E[ X 12 e bX1 ] 2[2 F * (b)]E[ X 1e bX1 ] 2 . b[1 F * (b)]3 b[1 F * (b)] 4
Bukti: Transformasi Laplace dari mean dan momen kedua dariJN(t)masing-masing dapat diperoleh dengan mencari turunan pertama dan kedua dari transformasi Laplace dari SN(t) terhadap α lalu mengganti α dengan 0. Teorema 7. Jika E[ X 1 ] maka untuk t menuju tak hingga
E[ J N (t ) ] ~
t2 . 2
Bukti: Jelas bahwa
e
bt
d E[ J N (t ) ] lim E[ J N (t ) ]e t
0
Karena
bt
b E[ J N (t ) ]e bt dt . 0
0 J N (t ) tN (t ) maka t 0 lim E[ J N (t ) ]e bt lim tN (t )e bt lim t o(1) e bt 0 t t t
Sebagai akibatnya
0
0
bt bt e d E[ J N (t ) ] b E[ J N (t ) ]e dt
E[ X 1e bX1 ] [1 F * (b)] 2
Dengan menggunakan teorema konvergensi terdominasi disimpulkan E[ X 1e
bX1
] o(1) dan
F * (b) 1 b o(b) untuk b 0.
Jadi
e
bt
d E[ J N (t ) ] ~
0
Karena
1
2
untuk b 0.
E[ J N (t ) ] tidak turun, maka dengan menggunakan teorema Tauber (dengan = 2) teorema
terbukti.
III.
SIMPULAN DAN SARAN
WaktutungguSN(t)dan waktu tunggu Sn mempunyai sifat-sifat yang berbeda baik pada proses Poisson maupun pada proses renewal. Pada proses Poisson SN(t)bukan berdistribusi gamma, bahkan memiliki massa pada titik t = 0. Mean, variansi, fungsi pembangkit momen, dan sifat-sifat limit dari jumlah parsial Jn = S1 + S2 + ... + Sndan jumlah parsial JN(t) = S1 + S2 + ... + SN(t)juga berbeda baik pada proses Poisson maupun pada proses renewal. Sifat-sifat dari SN(t) dan JN(t)pada proses renewal disajikan dalam bentuk transformasi Laplace yang harus diinversi secara numerik. Distribusi probabilitas dari JN(t)disajikan dalam bentuk transformasi Laplace ganda yang berbentuk deret tak hingga dengan suku-suku yang sangat kompleks. Oleh karena itu disarankan untuk dikembangkan suatu prosedur untuk menginversi transformasi Laplace ganda dari JN(t)yang cepat dan akurat.
DAFTAR PUSTAKA [1] [2]
S. M. Ross, Introduction to Probability Models, Seventh Edition, Academic Press, San Diego, 2000. Suyono and J. A. M. Van der Weide., “A Method for Computing Total Downtime Distributions in Repairable Systems”, Journal of Applied Probability vol. 40 no. 3, pp. 343-353, 2003.
161
ISBN. 978-602-73403-0-5
[3] [4] [5] [6] [7] [8]
Suyono and J. A. M. Van der Weide, “Note on Superposition of Renewal Processes”, Jurnal Matematika dan Sains vol. 15 no. 2 tahun 2010 pp. 93-100, 2010. P. W. IsegerandM. A. J. Smith, “A new method for inverting Laplace transforms”, Econometric Institute, EUR Rotterdam,pp. 1 – 14, 1998. Suyono, Renewal Processes and Repairable Systems, Delft University Press, Delft, 2002. R. D. Reiss, A Course on Point Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1993. S. I. Resnick, Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1987. S. I. Resnick, Adventures in Stochastic Processes, Birkauser, Boston, 1992.
162
