ANALISIS TEORI ANTRIAN MULTI-CHANNEL DENGAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
(Skripsi)
Oleh AGNES MALUDFI PUTRI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
Lucia Dewanti Maharani
ABSTRACK
ANALYSIS MULTI-CHANNEL QUEUING THEORY WITH EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
AGNES MALUDFI PUTRI
Queuing Theory is one of theory to analyze queuing systems. Queuing is a situation where customers have to wait their turn to get services. The basic components contained in the queuing process are arrival, service and queues. Nature arrivals that occur in the queuing system are the random arrival and constant arrival. Based on the order of channels in the queue structure, there are two types of queuing system, single-channel and multi-channel queuing system. There are some customer behavior that can occur in a queue; jockeying, balking and reneging. In this study we use random arrival properties that generally occur in everyday life. The arrival rate will be Poisson distribution with parameter and interarrival time or service time will be exponential distribution with µ parameter. In this research we will discuss the length of the queue L and Lq and the waiting time W and Wq.
Keywords: Queuing theory, multi-channel, exponential distribution
Lucia Dewanti Maharani
ABSTRAK
ANALISIS TEORI ANTRIAN MULTI-CHANNEL DENGAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Oleh
AGNES MALUDFI PUTRI
Teori Antrian adalah salah satu teori untuk menganalisis sistem antrian. Antrian merupakan keadaan dimana pelanggan harus menunggu giliran untuk mendapatkan jasa pelayanan. Komponen dasar yang terdapat dalam proses antrian yaitu kedatangan, pelayanan dan antrian. Sifat kedatangan yang terjadi dalam sistem antrian yaitu kedatangan secara acak dan kedatangan secara konstan. Berdasarkan susunan saluran dalam struktur antrian, terdapat 2 jenis sistem antrian yaitu sistem antrian single-channel dan sistem antrian multi-channel. Terdapat beberapa perilaku customer yang dapat terjadi dalam suatu antrian, yaitu jockeying, balking dan reneging. Dalam penelitian ini karena digunakan sifat kedatangan acak yang umumnya terjadi dalam kehidupan sehari-hari, maka tingkat kedatangan akan berdistribusi Poisson dengan parameter dan waktu pelayanan akan berdistribusi eksponensial dengan parameter µ. Pada penelitian ini akan didiskusikan tentang panjang antrian L dan Lq serta waktu antrian W dan Wq.
Kata kunci: Teori Antrian, Multi-Channel, Distribusi Eksponensial
ANALISIS TEORI ANTRIAN MULTI CHANNEL DENGAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Oleh
Agnes Maludfi Putri Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
MOTTO
“Jenius adalah 1 % dan 99 % keringat. Tidak ada yang dapat menggantikan kerja keras. Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan bertemu kesiapan.” (Thomas Alfa Edison)
“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya” (Al-Baqarah:286)
“Tidak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karena persiapan, kerja keras dan mau belajar dari kegagalan” (General Colin Powell)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, penulis persembahkan karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Ayah, Mama, Fabi yang selalu meberikan semangat dan menjadi sumber motivasi terbesar selama ini
Dosen Pembimbing dan Penguji yang senantiasa mengarahkan dan memberi motivasi kepada penulis
Sahabat-sahabat yang selalu ada. Terima kasih atas keceriaan, semangat, serta motivasi yang diberikan kepada penulis.
Almamater penulis Universitas Lampung
MOTTO
“Jenius adalah 1 % dan 99 % keringat. Tidak ada yang dapat menggantikan kerja keras. Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan bertemu kesiapan.” (Thomas Alfa Edison)
“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya” (Al-Baqarah:286)
“Tidak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karena persiapan, kerja keras dan mau belajar dari kegagalan” (General Colin Powell)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung pada tanggal 20 Agustus 1994, sebagai anak pertama dari dua bersaudara pasangan Bapak Sugeng Wasito dan Ibu Asmariyani.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Al-Kautsar Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) N 1 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 5 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2012.
Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur mandiri. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan tingkat jurusan, fakultas dan universitas yaitu Anggota Gematika 2012-2013, anggota eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode 2013-2014, pengurus Unit Kegiatan Mahasiswa Fakultas (UKMF) Klub Selam Anemon (KSAn) Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, pengurus Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Judo Universitas Lampung, pengurus Forum Penyelam Mahasiswa Indonesia (FoPMI).
Pada tahun 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung, dan pada tahun yang sama penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Bakung Rahayu, Kecamatan Gedung Meneng, Kabupaten Tulang Bawang, Provinsi Lampung.
SANWACANA
Dengan mengucapkan Alhamdulillah penulis panjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul “Analisis Teori Antrian Multi-channel dengan Distribusi Eksponensial”. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Dalam pelaksanaan dan penyusunan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, pengarahan, motivasi serta bimbingan dari berbagai pihak. Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih banyak kepada : 1.
Ibu Dian Kurniasari, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing I, terimakasih untuk bimbingan dan kesediaan waktunya selama penyusunan skripsi ini.
2.
Ibu Dra. Wamiliana, M.A. Ph.D. selaku Dosen Pembimbing II, terimakasih untuk bimbingan dan masukannya selama penyusunan skripsi.
3.
Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D. selaku Dosen Penguji, terimakasih atas kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.
4.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing Akademik dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung, terimakasih atas bimbingan dan pembelajarannya dalam menjalani perkuliahan.
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D.,selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 6.
Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
7.
Ayah, Mama dan Adik tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa, materi, dorongan, nasehat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak tergantikan hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada di depan.
8.
Sahabat tersayang Elva, Putri, Dwi, Mutia dan Erni yang selalu ada dalam keadaan apapun.
9.
Sahabat-sahabat seperjuangan Matematika 2012 Ima, Hana, Ica, Ernia, Mba Desti, Yama, Maya, Anggi, Gerry, Yefta, dan semua teman-teman yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
10. Keluarga HIMATIKA dan Klub Selam Anemon FMIPA Universitas Lampung atas kebersamaannya selama ini. 11. Almamater tercinta Universitas Lampung. 12. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Oktober 2016
Agnes Maludfi Putri
Notasi =Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem antrian =Peluang terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian =Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian =Rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri =Rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem antrian =Rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu antrian sampai dilayani =Seorang pelanggan yang sedang dilayani 1 1
=Rata-rata waktu pelayanan =Panjang interval waktu diantara 2 kedatangan berurutan =Jumlah kedatangan per unit waktu (Rata-rata tingkat kedatangan) =Jumlah pelanggan dilayani per unit waktu (Rata-rata tingkat pelayanan) =Banyaknya pelanggan =Banyaknya server =Total biaya harapan =Harapan biaya tunggu untuk kedatangan per periode =Harapan biaya fasilitas dari personel pelayanan per pelanggan =Harapan biaya tunggu per periode =Hasil biaya tunggu untuk setiap kedatangan per periode =Harapan biaya pelayanan per periode =Hasil dari biaya melayani satu orang
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ………………………………………………………
xiv
DAFTAR GAMBAR ................................................................................
xv
I.
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 1.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 1.3. Manfaat Penelitian....................................................................
II.
1 3 3
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 2.2 2.3
Teori Antrian ............................................................................ Distribusi Eksponensial .......................................................... Rantai Markov ........................................................................ 2.3.1 State................................................................................. 2.3.2 Proses Stokastik .............................................................. 2.3.3 Rantai Markov ................................................................ 2.3.4 Rantai Markov Waktu Kontinu ...................................... 2.4 Komponen Model Antrian ...................................................... 2.5 Distribusi Kedatangan ............................................................ 2.6 Distribusi Waktu Pelayanan ................................................... 2.7 Peranan Distribusi Eksponensial ............................................ 2.8 Proses Kelahiran dan Kematian .............................................. 2.9 Perilaku Biaya.......................................................................... 2.10 Tingkat Kegunaan ..................................................................
4 5 8 8 8 8 9 12 16 17 19 20 21 23
III. METODE PENELITIAN 3.1 3.2
Waktu dan Tempat Penelitian.................................................. Metode Penelitian ....................................................................
24 24
IV.
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 4.2
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
V.
Mendeskrisikan konsep analisis antrian single-channel ………. Menganalisis persamaan keseimbangan proses kelahiran dan kematian untuk pada antrian multi-channel berdasarkan konsep antrian single-channel …………………………………………. Menganalisis persamaan berdasarkan persamaan keseimbangan yang telah diketahui …………………………………….…. Menganalisis persamaan berdasarkan persamaan keseimbangan yang telah diketahui ……………………………………… Menganalisis persamaan dengan menjumlahkan dengan persamaan yang telah diketahui ………………………….. Menganalisis persamaan dengan mengalikan 1 dengan persamaan yang telah diketahui …………………………. Menganalisis persamaan dengan menjumlahkan 1 dengan persamaan yang telah diketahui ………………………… Menerapkan hasil analisis teori antrian multi-channel dengan distribusi eksponensial pada studi kasus ……………………..
27
30 33 34 36 37 37 38
KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan …………………………………………………... 5.2 Saran ………………………………………………………….
DAFTAR PUSTAKA
49 50
DAFTAR TABEL
Tabel
4.1 4.2 4.3 4.4
Halaman
Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan Kematian ......... Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan kematian untuk = ; = 1,2,3, … ……………………………………………. Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan kematian untuk = ; = , + 1, + 2, … ……………………………………. Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan kematian pada stasiun pelayanan suatu pompa bensin …………..….……………….
28 31 32 42
DAFTAR GAMBAR
Gambar
2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 4.1 4.2 4.3 4.4
Halaman
Model sistem antrian single channel- single phase…………………… Model sistem antrian single channel- multi phase ………………........ Model sistem antrian multi channel- single phase …………………… Model sistem antrian multi channel- multi phase ……………….…… Diagram alir langkah-langkah penelitian …………………………… Diagram transisi untuk single channel …………………………..…… Diagram transisi untuk multi channel …………………………...……. Diagram transisi untuk stasiun pelayanan suatu pompa bensin ……... Diagram transisi untuk sebuah toko grosir …………………...………
14 15 15 16 26 28 31 42 45
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Teori Antrian adalah salah satu teori untuk menganalisis sistem antrian. Antrian merupakan keadaan dimana pelanggan harus menunggu giliran untuk mendapatkan jasa pelayanan. Komponen dasar yang terdapat dalam proses antrian, yaitu kedatangan, pelayanan dan antrian. Dalam sistem antrian pola kedatangan yang dapat terjadi, antara lain kedatangan secara konstan dan kedatangan secara acak. Pola kedatangan secara konstan umumnya terjadi pada proses pembuatan atau pengemasan suatu produk. Sedangkan pola kedatangan secara acak umumnya terjadi pada antrian di bank, rumah sakit, dan sebagainya. Berdasarkan susunan saluran dalam struktur antrian, terdapat 2 jenis sistem antrian, yaitu sistem antrian single-channel dan sistem antrian multi-channel. Sistem antrian single-channel artinya hanya terdapat satu pelayanan, sedangkan sistem antrian multi-channel artinya terdapat beberapa pelayanan. Kejadian antrian (queues) terjadi karena permintaan pelayanan lebih besar daripada fasilitas pelayan yang ada dalam sistem antrian. Permintaan pelayanan akan meningkat terus menerus sedangkan ketersediaan fasilitas pelayanan terbatas. Antrian menimbulkan berbagai kerugian (loss), opportunity loss dan wasting time. Antrian
2
yang terlalu panjang memungkinkan terjadinya jockeying (berpindah dari antrian satu ke antrian lainnya), balking (penolakan) dan reneging (pembatalan) sehingga akan merugikan pihak yang membutuhkan layanan. Untuk mengurangi kerugian dalam antrian, perlu dilakukan peningkatan efisiensi sistem antrian. Salah satu cara untuk mengatasi antrian yang terlalu panjang dapat dilakukan dengan menambah saluran pada sistem antrian yang nantinya akan memudahkan pelayanan, sehingga dapat menetralisir antrian yang panjang. Tetapi, menyelenggarakan layanan yang berlebihan juga harus dihindari karena akan mengakibatkan sumber daya yang tersedia terlalu lama menganggur sehingga akan merugikan pihak penyelenggara layanan. Antrian yang panjang umumnya terjadi pada sistem antrian single-channel karena hanya memiliki satu saluran pelayanan. Jika dilakukan penambahan saluran pelayanan, maka sistem antrian single-channel akan membentuk sistem antrian multichannel. Namun, untuk melakukan penambahan saluran layanan tentunya akan menimbulkan biaya tambahan yang tidak sedikit. Pola kedatangan sistem antrian yang akan digunakan dalam penelitian ini menggunakan pola kedatangan yang umumnya terjadi dalam kehidupan sehari-hari, yaitu kedatangan secara acak. Karena pola kedatangan terjadi secara acak, maka waktu pelayanan akan berdistribusi eksponensial. Dalam berbagai bidang dan berbagai
kasus,
teori
antrian
dapat
diterapkan
untuk
mengoptimalkan
penyelenggaraan layanan dengan cara meminimalkan baik biaya penyediaan sumber daya untuk menyelenggarakan layanan maupun biaya yang mungkin timbul pada
3
pihak yang memerlukan layanan. Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis tertarik untuk menganalisis teori antrian multi-channel dengan distribusi eksponensial.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis Teori Antrian Multi-Channel dengan menggunakan Distribusi Eksponensial.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah : 1.
Memberikan informasi tentang teori antrian multi-channel dengan distribusi eksponensial.
2.
Dapat mengaplikasikannya pada kasus yang berkaitan dengan penelitian ini.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Teori Antrian
Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian atau barisbaris penungguan. Teori antrian berkenaan dengan seluruh aspek dari situasi pelanggan (baik orang maupun barang) harus antri untuk mendapatkan suatu layanan. Menurut Heizer dan Render (2009) antrian adalah ilmu pengetahuan tentang bentuk antrian dan merupakan orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani atau meliputi bagaimana perusahaan dapat menentukan waktu dan fasilitas yang sebaik-baiknya agar dapat melayani pelanggan dengan efisien.
Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan. Keadaan sistem menunjuk pada jumlah pelanggan yang berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Populasi adalah jumlah pelanggan (customer) yang datang pada fasilitas pelayanan, sedangkan besarnya populasi merupakan jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan (server). Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan membuang banyak waktu. Rata-rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangatlah tergantung kepada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services).
5
Teori tentang antrian pertama diketemukan dan dikembangkan oleh Erlang seorang insinyur dari Denmark, dalam bukunya Solution of Some Problem in the Theory of Probability of Significance in Automatic Telephone Exchange pada tahun 1913. Sewaktu itu Erlang masih bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu-waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Tujuan penggunaan teori antrian adalah untuk merancang fasilitas pelayanan, dalam mengatasi permintaan pelayanan yang berfluktuasi secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya (waktu menganggur) pelayanan dan biaya (waktu) yang diperlukan selama antrian (Subagyo, dkk., 2000).
2.2 Distribusi Eksponensial
Distribusi probabilitas eksponensial merupakan pengujian yang dilakukan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan perkiraan rata-rata populasi, karena distribusi eksponensial memiliki standar deviasi sama dengan ratarata. Distribusi ini termasuk ke dalam distribusi kontinu. Distribusi eksponensial merupakan model waktu (atau panjang atau area) antara kejadian Poisson.
6
Definisi 2.2 Fungsi densitas peluang dari distribusi eksponensial, yaitu ( ) dengan
{
(2.1)
adalah parameter. Fungsi distribusi kumulatifnya, yaitu ( )
∫
(2.2)
Nilai harapan distribusi eksponensial, yaitu ( )
∫ ∫
∫ ∫
dengan menggunakan integral parsial
∫
∫
0.
∫
/
0.
/
0.
/
/1
.
(
/ 1 (
/ )
/1
.∫
0. 0(
.∫
)1
)1
Jadi, nilai harapan distribusi eksponensial adalah ( )
(2.3)
7
Fungsi pembangkit momen distribusi eksponensial, yaitu ( )
∫ ∫ (
∫
) (
. (
( (
( )
/
)
)
)
(
( )| (
( )
)
) (
)
)
(
( )| ( (
) (
)
) )
Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi eksponensial adalah ( )
(2.4)
Varian distribusi eksponensial, yaitu ( )
(
)
( ( ))
. /
Jadi, varian distribusi eksponensial adalah ( ) (Walpole dan Myers, 1995).
(2.5)
8
2.3 Rantai Markov 2.3.1
State
State adalah kondisi yang merupakan peubah acak
, dimana jika suatu partikel
berada pada state tersebut maka dapat berpindah ke state lainnya. Biasanya state dilambangkan dengan bilangan asli, yaitu 1,2,3,…N. Himpunan atau kumpulan dari state-state tersebut membentuk ruang state dan dinyatakan dengan * 2.3.2
, maka
+ (Cox and Miller,1965). Proses Stokastik
Stokastik proses adalah kumpulan dari peubah acak * peluang bersama (
+ di dalam ruang
) dengan nilai di R (bilangan riil). T disebut indeks dari
proses atau ruang parameter, yang biasanya bagian dari R (bilangan riil). bagian dari nilai pada peubah acak
dapat disebut sebagai ruang state dalam proses dan
dinotasikan dengan S (Kijima, 1997).
2.3.3 Rantai Markov Rantai Markov adalah salah satu bentuk dari proses stokastik yang memenuhi sifat Markov, yaitu peluang kejadian atau peubah acak X pada waktu
hanya akan
dipengaruhi oleh kejaidan X pada waktu t dan tidak akan dipengaruhi oleh kejadian sebelum waktu t atau dapat dinyatakan dengan ; * (Kijima, 1997).
|
+
*
|
+
(2.6)
9
2.3.4 Rantai Markov Waktu Kontinu Misalkan ( )
adalah rantai Markov dengan waktu kontinu dengan dan
(2.7)
Maka, peluang transisi rantai Markov dengan waktu kontinu; * ( )
(
* ( )
)
( )
| ( )
( )
( )
+
+ (2.8)
Maka, dengan sifat Markov * ( )
| ( )
+
* ( )
Peluang bersyarat
(2.9)
| ( )
+ untuk
dan
disebut
peluang transisi dan dinyatakan dengan ( (
Dengan ke state
)
* ( )
| ( )
+
(2.10)
) adalah fungsi peluang transisi dari state pada waktu t akan pindah
pada waktu u. Peluang transisi rantai Markov dengan waktu kontinu dapat
dinyatakan dalam bentuk matriks:
(
)
(
) [
Notasi
(
) untuk
( (
) )
( (
) )
( (
) )
(
)
(
)
(
)]
(2.11)
ditafsirkan sebagai peluang transisi dari state
waktu t akan tetap berada di state pada waktu u atau dinyatakan dengan (
)
*
,
-|
+
Peluang transisi di atas disebut occupancy probability.
(2.12)
pada
10
Sedangkan untuk
ditafsirkan sebagai peluang transisi dari state
pada waktu t
akan pindah ke state pada waktu u dan dituliskan dengan (
)
* ( )
| ( )
+
(2.13)
Persamaan Chapman Kolmogorof untuk rantai Markov dengan waktu kontinu dengan dinyatakan dengan (
)
∑
(
)
(
)
(2.14)
Bukti : * ( )
| ( )
+
∑ * ( )
∑ * ( )
| ( )
( )
∑ * ( )
| ( )
+ * ( )
∑ * ( )
| ( )
+ * ( )
(
(
)
∑
)
(
( )
| ( )
+
+ * ( )
| ( )
+
| ( )
| ( )
+
+
)
Dalam matriks: (
)
(
) (
)
Rantai Markov dengan waktu kontinu dibedakan menjadi: 1.
Waktu homogen
Rantai Markov dengan waktu kontinu dengan fungsi peluang transisi hanya di pengaruhi oleh beda waktu (
).
Fungsi peluang transisi dinyatakan oleh
11
( (
)
* ( )
| ( )
+
(2.15)
) ditafsirkan sebagai peluang transisi dari state ke state pada beda waktu t
dan u. Persamaan Chapman Kolmogorof dinyatakan oleh (
)
∑
( )
( )
(2.16)
Bukti : (
)
* (
)
∑ * (
)
( )
∑ * (
)
| ( )
∑ * ( )
∑
| ( )
( )
| ( )
+
| ( )
+
+ * ( )
+ * (
)
| ( )
+
| ( )
+
( )
Jika ditulis dalam bentuk matriks : (
2.
)
( ) ( )
Waktu non homogen
Rantai Markov dengan waktu kontinu dengan fungsi peluang tarnsisi akan bergantung pada kedua waktu transisi terakhir yaitu t dan u. Fungsi peluang transisi dinyatakan oleh: (
)
* ( )
| ( )
+
(2.17)
Persamaan Chapman Kolomogorov dinyatakan oleh (
)
∑
(
)
(
)
(2.18)
12
Atau dalam bentuk matriks : (
)
(
)
(
)
(Kijima, 1997).
2.4
Komponen Model Antrian
Komponen-komponen yang dibutuhkan untuk membentuk model matematis dari suatu antrian adalah 1.
Kapasitas sistem
Kapasitas sistem adalah maksimum banyak customer, baik customer yang sedang berada dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang ditampung oleh fasilitas pelayanan pada waktu yang sama (Bronson, 1996). 2.
Disiplin Pelayanan
Sinalungga (2008) dalam bukunya menyatakan bahwa disiplin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih customer dari barisan antrian untuk segera dilayani. Ini merupakan faktor penting pada analisis model antrian. Beberapa jenis disiplin pelayanan adalah sebagai berikut: a.
First Come First Serve (FCFS)
Suatu aturan dimana yang akan dilayani ialah customer yang datang terlebih dahulu. Contohnya antrian di suatu kasir sebuah swalayan. b.
Last Come First Serve (LCFS)
Last Come First Serve (LCFS) merupakan antrian dimana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal. Contohnya antrian pada satu tumpukan barang di
13
gudang. Barang yang terakhir masuk akan berada ditumpukkan paling atas sehingga harus diambil pertama. c.
Service in Random Order (SIRO) atau random selection for services (RSS)
Service in Random Order (SIRO) atau random selection for services (RSS) merupakan pelayanan atau panggilan didasarkan pada peluang secara acak, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih dahulu tiba. Contohnya kertas–kertas undian yang menunggu untuk ditentukan pemenangnya yang diambil secara acak. d.
Priority Service (PS)
Priority Service (PS) artinya prioritas pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai prioritas paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki prioritas paling rendah, meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang keadaan penyakit yang lebih berat dibanding dengan orang lain dalam sebuah rumah sakit. 3.
Perilaku Customer
Perilaku customer saat mengantri dapat mempengaruhi analisis pada barisan antrian. Perilaku manusia dalam sistem antrian jika berperan sebagai customer sebagai berikut: a.
Jockeying adalah suatu perilaku seseorang untuk mengurangi waktu tunggu dengan berpindah dari antrian satu ke yang lainnya.
b.
Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian.
14
c.
Reneging adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut (Gross dan Harris, 2008).
4.
Desain Pelayanan
Desain sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang akan membentuk struktur antrian yang berbeda-beda (Sinalungga, 2008). Desain dari fasilitas pelayanan bisa berupa server yang diatur paralel, seperti kantor pos atau pada teller bank. Server bisa juga diatur menjadi bentuk seri, seperti proses pada mesin yang berurutan, atau bisa disusun menjadi sebuah jaringan, seperti router pada jaringan komputer (Taha, 2007). Berikut adalah model struktur antrian yang sering diterapkan pada suatu sistem antrian: a.
Single Channel – Single Phase
Tipe desain pelayanan ini berarti sistem antrian tersebut hanya memiliki satu server. Single-channel menunjukkan bahwa hanya ada satu server yang bisa 18 memberikan pelayanan sedangkan single-phase menunjukkan bahwa sistem antrian hanya memiliki satu tahap pelayanan. Contohnya pada penjualan karcis masuk obyek wisata yang hanya memiliki satu loket saja. Sistem Pelanggan
Keluar Pelayanan
Gambar 2.1 Model sistem antrian single chanel – single phase
15
b. Single Channel – Multi Phase Desain pelayanan ini berarti bahwa sistem antrian tersebut memiliki server yang disusun secara berurutan atau seri atau bisa disebut juga disusun menjadi beberapa phase. Desain pelayanan seperti ini biasa diterapkan pada saat memperpanjang surat ijin mengemudi (SIM). Untuk memperpanjang SIM tersebut, seseorang diharuskan untuk menyelesaikan proses melalui loket – loket yang tersusun secara berurutan.
Pelanggan
Fasilitas Pelayanan Tahap 1
Fasilitas Pelayanan Tahap 2
Gambar 2.2 Model sistem antrian single channel – multi phase c. Multi Channel – Single Phase Desain pelayanan ini memiliki server yang disusun secara paralel yang dialiri dari satu antrian tunggal. Contohnya seperti saat nasabah mengantri di bank dengan beberapa loket teller. Fasilitas Pelayanan 1 Pelanggan
Fasilitas
Keluar
Pelayanan 2
Gambar 2.3 Model sistem antrian multi channel – single phase d. Multi Channel – Multi Phase Desain pelayanan ini memiliki satu antrian tunggal yang melewati beberapa jalur server yang tersusun paralel dan tiap jalur server tersebut terdapat beberapa server yang tersusun seri. Contohnya seperti pendaftaran pasien di rumah sakit. Pasien
Keluar
16
mendaftar di rumah sakit menuju loket pendaftaran yang terdiri dari beberapa loket. Kemudian, pasien melanjutkannya dengan menuju klinik yang diinginkan.
Fasilitas Pelayanan Tahap 1 Jalur 1
Fasilitas Pelayanan Tahap 2 Jalur 1
Keluar
Fasilitas Pelayanan Tahap 1 Jalur 2
Fasilitas Pelayanan Tahap 2 Jalur 2
Keluar
Pelanggan
Gambar 2.4 Model sistem antrian multi channel – multi phase
5.
Sumber Pemanggilan
Sumber pemanggilan customer bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber yang terbatas (finite source) berarti bahwa customer yang datang untuk mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin yang menunggu servis dari montir mesin tersebut. Sumber yang tak terbatas (infinite source) adalah customer yang terus datang tanpa henti, seperti panggilan pada sentral telepon (Taha, 2007).
2.5
Distribusi Kedatangan
Distribusi kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan oleh waktu antar kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan. Distribusi kedatangan ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yang berada dalam sistem ataupun tidak bergantung pada keadaan sistem tersebut. Distribusi ini dapat deterministik (diketahui secara pasti), atau berupa suatu
17
variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telah diketahui. Bila distribusi kedatangan tidak disebut secara khusus, maka dianggap bahwa pelanggan tiba satu per satu. Asumsinya adalah kedatangan pelanggan mengikuti suatu proses dengan distribusi peluang tertentu. Distribusi peluang yang sering digunakan adalah distribusi Poisson karena kedatangan bersifat bebas dan tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson menyatakan kedatangan yang terjadi secara acak.yang disimbolkan dengan konstanta (Kakiay, 2004). Peluang n kedatangan dalam waktu t ditentukan dengan rumus : *
+
(2.19)
dimana: = rata-rata kedatangan persatuan waktu t = periode waktu n = jumlah kedatangan dalam waktu t [
P (n,t) = peluang n kedatangan dalam waktu t (Ross, 2014).
2.6
Distribusi Waktu Pelayanan
Bentuk pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Besaran ini bergantung pada jumlah pelanggan yang telah berada di dalam fasilitas pelayanan ataupun tidak bergantung pada keadaan tersebut. Karena kedatangan mengikuti distribusi Poisson
18
dapat ditunjukkan secara matematis bahwa waktu antar kedatangan akan terdistribusi sesuai dengan distribusi eksponensial (Ross, 2014) *
+
*
+
(2.20) (2.21)
dimana: *
+ = peluang di mana waktu antar kedatangan
*
+ = peluang di mana waktu antar kedatangan T > suatu waktu tertentu
suatu waktu tertentu
= rata - rata kedatangan persatuan waktu t = suatu waktu tertentu Pelayanan dapat dilakukan dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masingmasing dapat mempunyai satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan yang disebut dengan server. Apabila terdapat lebih dari satu fasilitas pelayanan maka pelanggan dapat menerima pelayanan melalui suatu urutan tertentu atau fase tertentu. Pada suatu fasilitas pelayanan, pelanggan akan masuk dalam suatu tempat pelayanan dan menerima pelayanan secara tuntas dari pelayan (server). Bila tidak disebutkan secara khusus, pada bentuk pelayanan ini, maka dianggap bahwa satu pelayan dapat melayani secara tuntas satu pelanggan. Rata-rata pelayanan dapat diberi simbol
yang merupakan jumlah pelanggan yang dapat dilayani dalam satuan waktu. Sedangkan rata-rata waktu yang dipergunakan untuk melayani setiap pelanggan diberi simbol 1/μ unit (satuan). Distribusi waktu pelayanan terbagi menjadi dua komponen penting yaitu: pelayanan secara individual (single service), dan pelayanan secara kelompok (bulk service) (Kakiay, 2004).
19
2.7
Peranan Distribusi Eksponensial
Misalkan T adalah jumlah waktu proses menghabiskan waktu pada suatu state sebelum pindah ke sebuah state berbeda. Maka T merupakan peubah acak. Proses Markov menyiratkan bahwa *
+
|
*
+
(2.22)
+
(2.23)
Bukti : *
*
+
|
+ *
+ +
* *
+
(
)
* *
|
+ +
*
Bukti : *
|
+
(
) (
)
(
) (
( ) )
(
)
(
)
(
(
)
)
*
+
Dengan kata lain, distribusi peluang dari sisa waktu sampai sebuah perpindahan akan selalu sama, tidak peduli berapa banyak waktu yang sudah dihabiskan pada state
20
tersebut. Dapat dikatakan T adalah lack of memory. Dimana hanya ada satu distribusi peluang kontinu dengan sifat lack of memory, yaitu distribusi eksponensial (Hillier and Leiberman, 1980).
2.8
Proses Kelahiran dan Kematian
Asumsi dasar model antrian yaitu masukan (pelanggan yang tiba) dan keluaran (pelanggan yang meninggalkan antrian) dari sistem antrian yang terjadi berdasarkan proses kelahiran dan kematian. Syarat kelahiran berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan baru yang memasuki sistem antrian dan kematian berhubungan dengan pelanggan yang telah dilayani meninggalkan sistem antrian. State dari sistem saat waktu t (
) ditandai dengan N(t) yang merupakan jumlah pelanggan dalam
sistem antrian saat waktu t. Adapun asumsi dari proses kelahiran dan kematian, yaitu:
Asumsi 1
Diberikan N(t) = n, distribusi peluang dari sisa waktu sampai kelahiran selanjutnya (kedatangan) adalah eksponensial dengan parameter
(
)
Asumsi 2
Diberikan N(t) = n, distribusi peluang dari sisa waktu sampai kematian selanjutnya (pelayanan selesai) Adalah eksponensial dengan parameter
(
)
Asumsi 3
Asumsi variabel acak 1 (sisa waktu sampai kelahiran selanjutnya) dan asumsi variabel acak 2 (sisa waktu sampai kelahiran selanjutnya) hubungannya bebas.
21
Transisi selanjutnya pada state salah satu proses dari keduanya, yaitu (kelahiran tunggal) atau
( kematian tunggal) (Hillier and Lieberman,
1980).
2.9
Perilaku Biaya
Dalam sistem antrian ada dua jenis biaya yang timbul, yaitu biaya karena orang mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. 1.
Biaya Pelayanan
Misalnya suatu supermarket yang ingin menambah checkout counter perlu membiayai seluruh perlengkapan counter tambahan dan menggaji pelayan baru. Ini berarti jika tingkat pelayanan diperbaiki, biaya pelayanan akan bertambah. Biaya pelayanan dapat juga dilihat dari sisi pandang yang lain. Jika tingkat pelayanan bertambah, waktu nganggur pelayan diperkirakan juga bertambah, yang berarti suatu kenaikan dalam opportunity cost karena tidak mengalokasikan pelayan ke kegiatan produktif yang lain. Cara yang digunakan untuk menghitung biaya pelayanan dapat berbeda untuk kasus yang berbeda. Cara apapun yang dipakai seharusnya memberikan jumlah yang sama. Model harapan biaya total dari suatu sistem antrian : (
)
( )
(
)
22
(
)
(2.24)
dengan ( ) adalah harapan biaya total pelayanan S adalah jumlah fasilitas pelayanan adalah biaya per fasilitas pelayanan per unit waktu 2.
Biaya menunggu
Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat pelayanan dan waktu menunggu. Namun terkadang sulit menyatakan secara ekspilit biaya menunggu per unit waktu. Biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha, atau biaya turunnya produktivitas bagi pekerja. Ini berarti serupa dengan biaya pelayanan, dimana penentuannya dapat berbeda dari satu kasus ke kasus lain. Sehingga, masalah keputusannya merupakan konflik antara biaya menunggu bagi pengantri melawan biaya pelayanan. Jika biaya menganggur seorang individu diketahui, maka harapan total biaya menunggu per periode waktu : (
)
(2.25)
dimana, (
) adalah Total biaya menunggu per unit waktu
adalah Rata-rata jumlah individu yang menunggu per unit waktu dalam sistem adalah Biaya menunggu per individu per unit waktu (Hadianti, 2006).
23
2.10 Tingkat Kegunaan (Utilitas)
Pada sistem saluran ganda, untuk mencari tingkat kegunaan dari fasilitas pelayanan adalah dengan membagi tingkat kedatangan dengan tingkat pelayanan yang dikali dengan banyaknya saluran dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut : (2.26) dengan λ = tingkat kedatangan pelanggan μ = tingkat pelayanan s = banyaknya saluran Tingkat kegunaan ( ) merupakan faktor kegunaan yang menyatakan jumlah kedatangan yang diharapkan per rata-rata waktu pelayanan. Ukuran steady state adalah keadaan yang stabil di mana laju kedatangan kurang dari laju pelayanan, yaitu (Supranto,1987).
24
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Ajaran 2015/2016 di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan secara studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku, jurnal-jurnal, atau media lain yang dapat menunjang proses penulisan skripsi ini.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mendeskripsikan konsep analisis antrian single-channel 2. Menganalisis persamaan keseimbangan proses kelahiran dan kematian untuk pada antrian multi-channel berdasarkan konsep antrian single-channel yang telah diketahui. 3. Menganalisis persamaan diketahui.
berdasarkan persamaan keseimbangan
yang telah
25
4. Menganalisis persamaan
berdasarkan persamaan keseimbangan
yang telah
diketahui. 5. Menganalisis persamaan
dengan menjumlahkan
dengan persamaan
yang
dengan persamaan
yang
telah diketahui. 6. Menganalisis persamaan telah diketahui. 7. Menganalisis persamaan yang telah diketahui.
dengan mengalikan 1
dengan menjumlahkan 1
dengan persamaan
8. Menerapkan hasil analisis teori antrian pada studi kasus.
Langkah-langkah penelitian yang telah diuraikan sebelumnya, dapat digambarkan dalam diagram alir sebagai berikut
Mulai
Deskripsikan konsep analisis antrian single-channel
Analisis persamaan keseimbangan proses kelahiran dan kematian untuk
Analisis persamaan
A
26
A
Analisis persamaan
Analisis persamaan
Analisis persamaan
Analisis persamaan
Terapkan hasil analisis teori antrian pada studi kasus
Selesai
Gambar 3.1 Diagram alir langkah-langkah penelitian
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, teori antrian dapat digunakan untuk menganalisis suatu sistem antrian, beserta komponen di dalamnya yaitu, pelanggan, fasilitas pelayanan dan antrian. Sifat kedatangan yang terjadi dalam suatu sistem antrian umumnya bersifat acak, maka tingkat kedatangan akan berdistribusi Poisson dan waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan akan berdistribusi =
eksponensial. Sehingga, diperoleh persamaan antrian;
=
dengan
!(
)
,
=
!(
)
+
,
=
!(
!(
)
+
,
)
L adalah rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem antrian Lq adalah rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri W adalah rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem antrian Wq adalah rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan menunggu dalam antrian sampai dilayani.
50
5.2 Saran
Pada penulisan skripsi ini, penulis hanya melakukan analisis teori antrian multichannel dengan distribusi eksponensial dan menjawab beberapa pertanyaan dalam studi kasus untuk menggambarkan permasalahan antrian single-channel dan multichannel. Oleh karena itu, penulis mengharapkan dan menyarankan peneliti selanjutnya dapat lebih mengembangkan permasalahan-permasalahan yang terdapat dalam teori antrian dan dapat menerapkan langsung dalam sistem antrian yang terjadi pada kehidupan sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
Bronson, R. (1996). Teori dan Soal-Soal Operations Research (Terjemahan Hans Wospakrik). Erlangga, Jakarta. Cox, D. R. and Miller, H. D. (1965). The Theory of Stochastic Processes. Methuen, London. Gross, D and Haris, C. M. (2008).Fundamental of Queueing Theory. 4th ed. John Willey & Sons Inc, New Jersey. Hadianti, R. (2006). Kapita Selekta Terapan I (Teori Antrian). ITB, Bandung. Hezier, Jay and Bany, Render. (2009). Operation Management. Terjemahan oleh Dwianoegrawati Setyaningsih & Indra Almahdy. Edisi 7. Buku I. Salemba empat, Jakarta. Hillier, Frederick S. and Lieberman, Gerald J. (1980). Introduction to Operation Research. 3rd ed. Holden-Day, USA. Kakiay, Thomas J. (2004. Dasar-dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata. Andi Offset, Yogyakarta. Kijima, M. 1997. Markov Process for Stochastic Modelling. Chapman & Hall, London. Ross, Sheldon M. (2014). Introduction to Probability Models. 11th ed. Academic Press, USA. Sinalungga, S. (2008). Pengantar Teknik Industri. Graha Ilmu, Yogyakarta. Subagyo Pangestu, Marwan Asri, T. Hani Handoko.(2000). Dasar-dasar Operation Research.BPFE.Yogyakarta.
52
Supranto, J., (1987), Riset Operasi: Untuk Pengambilan Keputusan, Universitas Indonesia Press, Jakarta. Taha, H. (2007). Operations Research and Introduction. Pearson Education Inc, New Jersey. Walpole, E. R and Myers, H. R., (1995). Probability and statistic for engineers and scientists, four edition.Translated by R.K. Sembiring. Bandung: Insitut Teknologi Bandung.
