ANALISIS POLA DATA SEBAGAI ALTERNATIF DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT

ANALISIS POLA DATA SEBAGAI ALTERNATIF DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT

oleh DEWI ANUGERAHENI SAHARI M0106035

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2010 i

TUGAS AKHIR ANALISIS POLA DATA SEBAGAI ALTERNATIF DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT yang disusun oleh DEWI ANUGERAHENI SAHARI NIM. M0106035 dibimbing oleh Pembimbing I

Pembimbing II

Winita Sulandari, M. Si

Drs. Siswanto, M. Si

NIP. 19780814 200501 2 002

NIP. 19670813 199203 1 002

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Senin, 8 Maret 2010 dan dinyatakan telah memenuhi syarat Anggota Tim Penguji

Tanda Tangan

1. Dra. Sri Sulistijowati H, M. Si

1. .....................

NIP. 19690116 199402 2 001 2. Drs. Sugiyanto, M. Si

2. .....................

NIP. 19611224 199203 1 003 3. Drs. Muslich, M. Si

3. .....................

NIP. 19521118 197903 1 001

Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan

Ketua Jurusan Matematika

Prof. Drs. Sutarno, M.Sc, Ph. D

Drs. Sutrima, M. Si

NIP. 19600809 198612 1 001

NIP. 19661007 199302 1 001

ii

MOTO

Awali segala hal dengan niat yang baik

iii

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk Ibu, Bapak dan keluargaku tercinta, terimakasih atas kasih sayang, doa, nasehat dan pengorbanan yang kalian berikan, serta untuk teman-temanku, terimakasih atas semuanya

iv

ABSTRAK Dewi Anugeraheni Sahari, 2010. ANALISIS POLA DATA SEBAGAI ALTERNATIF DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Model intervensi adalah suatu model runtun waktu yang digunakan untuk menyelidiki dampak pada data yang berasal dari faktor-faktor eksternal, sehingga dapat digunakan untuk mengestimasi variabel-variabel yang diamati. Dalam menyusun model intervensi, ketepatan mengidentifikasi orde intervensi sangat diperlukan. Proses identifikasi dapat dibantu dengan melakukan pengamatan langsung pada data asli yang menunjukkan pola efek yang disebabkan oleh kejadian yang diketahui dan sebagai tambahannya adalah melakukan pemeriksaan terhadap residu model sebelum intervensi. Terdapat beberapa penelitian yang mengkaji lebih lanjut tentang penentuan orde intervensi melalui residu model. Pada penelitian ini akan dilakukan analisis terhadap pola data untuk menentukan orde intervensi yang diharapkan lebih mudah dan efisien. Untuk menentukan orde intervensi melalui pola data, harus diketahui karakteristik orde terhadap pola data. Karakteristik tersebut diperoleh dari beberapa pola respon hasil simulasi beberapa orde intervensi. Selanjutnya, orde intervensi dapat ditentukan dengan menyesuaikan pola data dengan karakteristik yang diperoleh. Hasil dari penelitian ini diterapkan pada data IHK Surakarta periode Januari 2000 November 2009 dan IHK Nasional periode Januari 1995 Juli 1998. Dalam penerapan ini, orde intervensi diidentifikasi dengan dua metode, yaitu menggunakan pola residu dan pola data. Hasilnya menunjukkan bahwa identifikasi orde intervensi menggunakan pola data lebih mudah dan efisien. Keyword: Runtun waktu, intervensi, model intervensi multi input, orde intervensi, pola data, pola residu, pola respon.

v

ABSTRACT Dewi Anugeraheni Sahari, 2010. DATA PATTERN ANALYSIS AS AN ALTERNATIVE TO DETERMINE THE INTERVENTION ORDER IN MULTIPLE INTERVENTION INPUTS MODEL. Mathematic and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University. Intervention model is a model in time series which is used to explore the impact on the series from external factors which gives an estimate to the observed variables. In developing intervention models, the accuracy of identifying the order of the interventions is needed. The identification may be aided by direct inspection of the data to suggest the form of effect due to the known event, and supplementary evidence may sometimes be available from examination of the reseals from a model fitted before the intervention term is introduced. There was some research that studied more about the determination of the intervention order through the residual model. This research will analyze the data pattern to determine the orders of the intervention. To determine intervention orders through data pattern, it must be known about the characteristics of intervention order. To get the characteristics, some of response pattern with some intervention orders will be simulated. Furthermore, the intervention orders can be determined by adjusting the data pattern with the characteristics pattern to be obtained. The result of this study is applied to CPI (Consumer Price Index) data of Surakarta in January 2000 November 2009 and the national CPI in January 1995 July 1998. In this application, the intervention orders are identified by two methods, through the residual pattern and data pattern. The results showed that the identification of the order of interventions through data pattern is easier and more efficient. Keyword: Time series, intervention, multiple intervention inputs model, intervention order, data pattern, residual pattern, response pattern.

.

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, khususnya kepada 1. Drs. Sutrima, M. Si, selaku ketua Jurusan Matematika. 2. Winita Sulandari, M. Si dan Drs. Siswanto, M. Si selaku pembimbing, atas kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis 3. Seluruh dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan berbagai ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika teori dan penerapan bagi penulis yang sangat bermanfaat dalam penulisan skripsi ini. 4. Orang tua, atas doa dan motivasi yang diberikan selama proses penyusunan skripsi ini 5. Teman-teman angkatan 2006, atas kerjasama dan motivasi yang diberikan saat penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini 6. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

Surakarta, Penulis

vii

Februari 2010

DAFTAR ISI JUDUL ....................................................................................................... i PENGESAHAN .......................................................................................... ii MOTO ........................................................................................................ iii PERSEMBAHAN ....................................................................................... iv ABSTRAK ................................................................................................. v ABSTRACT ............................................................................................... vi KATA PENGANTAR ................................................................................ vii DAFTAR ISI .............................................................................................. viii DAFTAR NOTASI .................................................................................... x DAFTAR TABEL ...................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1 1.2 Perumusan Masalah .............................................................................. 2 1.3 Batasan Masalah ................................................................................... 3 1.4 Tujuan Penulisan................................................................................... 3 1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................ 3

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka ................................................................................... 4 2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik ....................................... 4 2.1.2 Stasioneritas ........................................................................... 4 2.1.3 Fungsi Autokovariansi dan Autokorelasi ................................ 5 2.1.4 Fungsi Autokorelasi Parsial .................................................... 5 2.1.5 Metode ARIMA Box Jenkins ................................................. 6 2.1.5.1 Identifikasi Model ....................................................... 7 2.1.5.2 Estimasi Parameter...................................................... 7 2.1.5.3 Verifikasi Model ......................................................... 9 2.1.5.4 Peramalan ................................................................... 10 viii

2.1.6 Indeks Harga Konsumen (IHK) .............................................. 10 2.2 Kerangka Pemikiran .............................................................................. 12

BAB III METODOLOGI ......................................................................... 14 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN.................................................... 15 4.1 Model Intervensi Multi Input ............................................................... 15 6.1.1 Nilai Respon pada Model Intervensi ......................................... 16 6.1.2 Variabel Intervensi .................................................................. 16 6.1.2.1 Fungsi Pulse ............................................................... 16 6.1.2.2 Fungsi Step ................................................................. 18 6.1.2.3 Fungsi Ramp ............................................................... 20 6.1.3 Keterkaitan Antar-Variabel Intervensi ...................................... 21 6.1.4 Identifikasi Orde Intervensi Melalui Residu .............................. 22 6.1.5 Model Noise ............................................................................. 22 6.1.6 Estimasi Parameter Model Intervensi ........................................ 23 6.1.7 Uji Signifikansi Parameter ........................................................ 24 6.1.8 Uji Diagnostik .......................................................................... 24 4.2 Prosedur Pemodelan Intervensi Multi Input ........................................... 25 4.3 Analisis Pola Data untuk Menentukan Orde Intervensi Multi Input ....... 25 4.4 Contoh Kasus ........................................................................................ 33 4.4.1 Model Intervensi pada Data IHK Kota Surakarta ........................ 33 4.4.2 Model Intervensi pada Data IHK Nasional .................................. 42

BAB V PENUTUP .................................................................................... 46 5.1 Kesimpulan ........................................................................................... 46 5.2 Saran..................................................................................................... 46

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 48 LAMPIRAN

ix

DAFTAR NOTASI

: determinan : sigma : proses stokastik pada waktu ke t : indeks berupa waktu : ruang sampel : mean proses : fungsi autokorelasi : fungsi autokorelasi parsial pada lag k : autokovariansi pada lag k : operator Backsift ( ) : ekspektasi dari variabel random : parameter Moving Average (MA) : parameter Autoregressive : residu model ARIMA pada waktu ke t : standar deviasi deret : variansi deret : tingkat signifikansi pada waktu ke t : variabel intervensi pada waktu ke t : eror model intervensi pada waktu ke t : parameter model intervensi ke-j yang ditentukan orde : parameter model intervensi ke-j yang ditentukan orde r

x

DAFTAR TABEL

4.1. Karakteristik gerak respon dengan beberapa nilai orde intervensi dengan penundaan efek b satuan waktu ....................................................... 30 4.2. Pengaruh setiap parameter dalam variabel input terhadap pola respon ......... 32 4.4. Model data IHK kota Surakarta untuk setiap intervensi ............................... 36 4.6. Model intervensi dengan orde yang diperoleh melalui pola data asli dan melalui pola residu ...................................................................................... 44

xi

DAFTAR GAMBAR

4.1. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 0, 0)...................................... 17 ........................................................................................................................ 4.2. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 1, 0)...................................... 18 4.3. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 0, 0) ....................................... 19 4.4. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 1, 0) ....................................... 19 4.5. Pola respon yang dihasilkan fungsi ramp (b, 1, 0)...................................... 20 4.6. Plot yang menyatakan hubungan antara fungsi pulse, step, dan ramp......... 21 4.7. Plot respon dari setiap variabel input dengan orde yang berbeda ................ 26 4.8. Plot fungsi step, pulse dan ramp dengan berbagai nilai 4.9. Plot data IHK kota Surakarta periode Januari 2000

......................... 29

November 2009

berdasarkan tahun dasar 2007 = 100 ......................................................... 33 4.10. Intervensi 1 pada data IHK kota Surakarta ................................................. 34 4.11. Intervensi 2 pada data IHK kota Surakarta ................................................. 35 4.12. Intervensi 3, 4 dan 5 pada data IHK kota Surakarta ................................... 35 4.13. Intervensi 6 pada data IHK kota Surakarta ................................................ 36 4.16. Plot residu data peramalan pada intervensi 1 sampai data sebelum intervensi 2 .............................................................................................. 37 4.17. Plot residu data peramalan pada intervensi 2 sampai data sebelum intervensi 3 .............................................................................................. 38 4.18. Plot residu data peramalan pada intervensi 3 sampai data sebelum intervensi 4 .............................................................................................. 38 4.19. Plot residu data peramalan pada intervensi 4 sampai data sebelum intervensi 5 .............................................................................................. 39 4.20. Plot residu data peramalan pada intervensi 5 sampai data sebelum intervensi 6 .............................................................................................. 40 4.21 Plot residu data peramalan pada intervensi 6 sampai data observasi terakhir ..................................................................................................... 40 4.24. Plot data IHK nasional (Januari 1995

xii

Juli 1998) .................................... 42

4.25. Plot data IHK nasional pada saat intervensi ............................................... 43 4.28. Plot residu hasil peramalan data IHK nasional ........................................... 44

xiii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Model intervensi merupakan suatu model time series yang dapat digunakan untuk memodelkan dan meramalkan data yang mengandung goncangan atau intervensi baik dari faktor eksternal maupun internal. Analisis intervensi merupakan pengembangan dari konsep MARIMA (Multivariat Autoregresif Integrated Moving Average). Model intervensi diterapkan di berbagai bidang. Salah satunya di bidang ekonomi yang dijelaskan pada artikel berjudul “Intervention Analysis with Applications of Economic and Environmental Problems” yang ditulis oleh Box Tiao (1975). Box Tiao mengusulkan suatu pendekatan untuk mengenali adanya intervensi variabel bebas pada variabel tak bebas (Makridakis et. al, 1995). Aplikasi lain analisis intervensi yang menarik ditemukan di bidang hukum, seperti pada jurnal statistik yang berjudul “ Intervention Time Series Analysis of Crime Rates” oleh Sridharan et. al (2003). Pada jurnal tersebut, mereka menganalisis dampak penghapusan jaminan dan pembuatan hukuman untuk semua kejahatan sejak 1 Januari 1995 terhadap tingkat kejahatan di Virginia. Penerapan analisis intervensi di bidang pariwisata dapat dijumpai pada jurnal yang berjudul “Forecasting Japanese Tourism Demand in Taiwan using An Intervention Aanalysis” (Min, 2003). Dalam jurnal tersebut dilakukan peramalan banyaknya wisatawan dari Jepang yang datang ke Taiwan setelah adanya peristiwa gempa bumi pada tahun 1999 dan adanya Severe Acute Respiratory Syndrome pada tahun 2003. Suatu hal yang menarik dalam tulisan ini adalah adanya variabel intervensi lebih dari satu (multi input). Analisis intervensi yang melibatkan lebih dari satu variabel input juga dijumpai pada tulisan Nuvitasari et. al. pada tahun 2008 yang berjudul “Analisis Intervensi Multi Input Fungsi step dan pulse untuk Peramalan Kunjungan Wisatawan ke Indonesia”. Dalam tulisan tersebut dikatakan bahwa sampai saat ini, penelitian tentang analisis intervensi terbatas hanya memasukkan satu jenis goncangan (single input) yaitu fungsi step

1

atau pulse saja. Namun, dari semua contoh aplikasi yang ada, fungsi intervensi yang dilibatkan dalam analisis hanya terbatas pada fungsi step dan pulse, sedangkan dalam jurnal yang berjudul “Power Computations for Intervention Analysis “ dan pada SAS Help and Documentation disebutkan bahwa terdapat tiga jenis intervensi yang digunakan, yaitu pulse, step, dan ramp. Ada beberapa cara dalam menentukan orde intervensi. Menurut Box dan Reinsell (2008), dengan melihat struktur atau pola data asli dan melakukan pemeriksaan terhadap residu model sebelum intervensi dapat membantu dalam mengidentifikasi orde intervensi. Pada tulisan Ismail et. al (2009) dan Nuvitasari et. al (2008) dibahas lebih lanjut tentang penentuan orde intervensi melalui residu model sebelum intervensi. Akan tetapi, ada kelemahan pada cara tersebut, yaitu jika terdapat lebih dari satu intervensi dengan waktu yang berdekatan, maka sulit untuk menentukan salah satu orde intervensi. Cara tersebut kurang efisien jika diterapkan pada model intervensi multi input, karena banyak tahap yang harus dilakukan. Sepengetahuan penulis, belum ada penelitian yang mengkaji lebih lanjut tentang penentuan orde intervensi melalui pola data asli. Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan dilakukan analisis terhadap pola data asli untuk menentukan orde intervensi. Metode penentuan orde intervensi dari pola data asli ini diharapkan lebih efisien daripada penentuan orde intervensi menggunakan residu model sebelum intervensi. Hasil yang diperoleh pada penelitian ini akan diterapkan pada data IHK Surakarta periode Januari 2000 November 2009 dan IHK Nasional periode Januari 1995 Juli 1998. Dalam penerapan tersebut, penentuan orde intervensi dilakukan dengan dua metode, yaitu dengan melakukan pemeriksaan terhadap residu model sebelum intervensi dan menggunakan pola data asli sesuai dengan hasil penelitian.

1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut.

2

1. Bagaimana prosedur pemodelan data runtun waktu yang dipengaruhi oleh lebih dari satu kejadian intervensi menggunakan model intervensi multi input. 2. Bagaimana cara mengidentifikasi orde intervensi melalui pola data asli. 3. Bagaimana pemodelan intervensi multi input pada data IHK kota Surakarta dan IHK Nasional dengan identifikasi orde intervensi melalui residu dan pola data.

1.3 Batasan Masalah Setiap orde intervensi dalam simulasi dibatasi maksimal 2 karena dalam penerapan nyata, setiap variabel intervensi yang sering dijumpai adalah variabel intervensi yang memiliki orde tidak lebih dari 2 dan waktu kejadian intervensi ditentukan dari pola data.

1.4 Tujuan Penulisan Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. 1.

Menentukan prosedur pemodelan data runtun waktu yang dipengaruhi oleh lebih dari satu kejadian intervensi dengan menggunakan model intervensi multi input.

2.

Mampu mengidentifikasi orde intervensi melalui plot data asli.

3.

Memodelkan data IHK kota Surakarta dan IHK Nasional menggunakan model intervensi multi input.

1.5 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan metode alternatif yang lebih mudah dan efisien dalam identifikasi orde intervensi multi input.

3

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka Pada penelitian ini diperlukan teori-teori yang relevan sebagai dasar dalam pembahasan. Berikut ini diberikan beberapa teori, yaitu proses stokastik, fungsi autokovariansi, fungsi autokorelasi, fungsi autokorelasi parsial, proses white noise, metode Box Jenkins, dan Indeks Harga Konsumen (IHK) terutama dalam penyamaan tahun dasar.

2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik Suatu runtun waktu adalah himpunan observasi berurut dalam waktu. Jika dari pengalaman yang lalu, keadaan yang akan datang dari suatu runtun waktu dapat diramalkan secara pasti, maka runtun waktu tersebut disebut deterministik. Jika pengalaman yang lalu hanya dapat menunjukkan struktur probabilistik keadaan yang akan datang dari suatu runtun waktu, maka runtun waktu semacam ini dinamakan stokastik (statistik) (Soejoeti,1987). Suatu proses stokastik adalah suatu keluarga variabel random yang diberi indeks berupa waktu atau dinyatakan sebagai

, dengan

berada dalam ruang sampel dan t berada dalam suatu

himpunan indeks (Wei,1994). Suatu runtun waktu stokastik dapat dipandang sebagai realisasi (fungsi sampel) dari proses stokastik (Soejoeti,1987). Suatu proses stokastik

biasa dinyatakan dengan

variabel random

atau

atau

dan barisan dari disebut suatu

proses stokastik. Fungsi distribusi bersama suatu himpunan variabel random dari suatu proses stokastik

didefinisikan sebagai

= (Wei,1994).

2.1.2 Stasioneritas Suatu proses stokastik dikatakan stasioner orde ke-n jika 4

(2.1) untuk k integer. Suatu proses dikatakan strictly stationarity persamaan (2.1) untuk sejumlah besar untuk

, dengan

jika berlaku

. Jika persamaan (2.1) berlaku

adalah sebarang bilangan bulat, maka persamaan (2.1)

juga akan berlaku untuk

karena fungsi distribusi orde ke-m menentukan

semua fungsi distribusi orde yang lebih kecil dari

, artinya jika suatu proses

dikatakan stasioner pada orde ke-m, maka proses tersebut juga stasioner pada orde ke

(Wei,1994). Dalam penelitian ini, stasioneritas diperlukan dalam memodelkan data

sebelum intervensi menggunakan metode ARIMA Box Jenkins. Pada tahap identifikasi diperlukan fungsi autokorelasi (Autocorelation Function/ ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (Parcial Autocorelation Function/ PACF).

2.1.3 Fungsi Autokovariansi dan Autokorelasi Kovariansi antara

dan korelasi antara

dan

dan

adalah

adalah

kor untuk semua

dengan

.

(Wei,1994).

2.1.4 Fungsi Autokorelasi Parsial Pada runtun waktu yang stasioner parsial dari lag

adalah korelasi antara

dari variabel

dan

, fungsi autokorelasi setelah menghilangkan efek

yang dinotasikan dengan

atau dinyatakan

. Dapat dikatakan bahwa dan

adalah koefisien korelasi dari distribusi bivariat

dengan syarat

(Cryer, 1986). Jika

adalah himpunan autokorelasi parsial, maka dapat dirumuskan dengan

adalah matriks autokorelasi

5

yaitu

dan

adalah

dengan elemen pada kolom terakhir diganti dengan

,

sehingga diperoleh

=

(Wei, 1994).

2.1.5 Metode ARIMA Box Jenkins Metode ARIMA Box Jenkins merupakan suatu pendekatan pembentukan model yang kuat untuk analisis runtun waktu (Makridakis et. al, 1995). Metode ini terdiri dari tiga tahap, yaitu identifikasi, estimasi dan verifikasi. Model yang diperoleh digunakan untuk melakukan peramalan beberapa waktu ke depan.

6

2.1.5.1 Identifikasi Model Proses identifikasi model ARIMA Box Jenkins memerlukan dua tahap berikut. 1. Menstasionerkan data runtun waktu jika data tersebut belum stasioner. Untuk mengetahui

kestasioneran

data

dapat

dilakukan

dengan

melakukan

pemeriksaan terhadap plot data atau ACF dari data. Jika plot autokorelasi turun secara eksponensial, maka data belum stasioner. Untuk menstasionerkan data yang tidak stasioner terhadap mean dilakukan dengan differencing orde satu atau dua, sedangkan untuk menstasionerkan data yang tidak stasioner terhadap variansi sering dilakukan dengan transformasi logaritma (Makridakis et.al, 1995). 2. Membuat plot ACF dan PACF dari runtun waktu yang telah distasionerkan masing-masing dengan batas 2SE( ) dan 2SE(

). Dari plot tersebut dapat

ditentukan model sementara. Penentuan tersebut didasarkan pada kriteria berikut. a. Jika

untuk

(plot PACF terputus pada lag ), maka data

runtun waktu memiliki model AR(p) atau ARIMA (p, 0, 0). b. Jika untuk

,

adalah korelasi sampel pada lag

dengan (plot ACF terputus pada lag q), maka data runtun

waktu memiliki model MA(q) atau ARIMA(0,0, q). c. Jika

tidak terputus pada lag

dan

tidak terputus pada lag , maka

data runtun waktu memiliki model ARMA(p,q) atau ARIMA(p, 0, q). (Soejoeti,1987).

2.1.5.2 Estimasi Parameter Setelah satu atau beberapa model sementara diperoleh, langkah selanjutnya adalah mencari estimasi terbaik untuk parameter-parameter dalam model. Metode yang digunakan adalah metode MLE (Maximum Likelihood Estimation). Model ARIMA(p,d,q) dinyatakan (2.2)

7

dengan operator AR operator MA Asumsi dari model adalah mean nol dan variansi

berdistribusi normal identik independen dengan

. Fungsi kepadatan bersama dari

adalah (2.3)

Misal

: vektor parameter : vektor parameter Dari persamaan (2.2), diperoleh (2.4) Persamaan (2.4) dipandang sebagai hubungan berulang antara Jika nilai parameter dan

diketahui, maka setiap nilai

yang berturutan.

dapat dihitung sebagai

fungsi parameter dan observasi. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.4) ke dalam persamaan (2.3), diperoleh fungsi kepadatan bersama

sebagai berikut.

(2.5) Dari persamaan (2.5) diperoleh fungsi Likelihood untuk parameter model sebagai (2.6) Dari persamaan (2.6) dapat dinyatakan bahwa nilai parameter akan diperoleh dengan meminimumkan

. Setelah diperoleh nilai parameter hasil

estimasi, selanjutnya dilakukan uji signifikansi parameter. Uji yang digunakan adalah uji Sudent-t yang dinyatakan sebagai berikut (Soejoeti,1987). Berikut adalah uji Sudent-t untuk parameter model ARIMA Box Jenkins.

8

1. Menentukan hipotesis H0 :

(parameter dalam model signifikan tidak berbeda dengan nol)

H1 :

(parameter dalam model signifikan berbeda dengan nol)

dengan λ : parameter dalam model ARIMA 2. Menentukan tingkat signifikansi 3. Menghitung nilai dari statistik uji 4. Menentukan daerah kritis : H0 ditolak jika dengan

atau

,

adalah banyaknya observasi

5. Mengambil kesimpulan (Box dan Reinsell, 2008)

2.1.5.3 Verifikasi Model Setelah dilakukan estimasi parameter pada model ARIMA, tahap selanjutnya adalah verifikasi, yaitu menguji apakah model yang diestimasi cukup cocok dengan data. Tahap ini meliputi uji kenormalan dan autokorelasi pada residu. Uji kenormalan yang digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov, sedangkan untuk menguji ada tidaknya autokorelasi pada residu digunakan uji Box Pierce. Berikut adalah beberapa langkah yang dilakukan pada masing-masing uji. 1. Uji Kolmogorov Smirnov a. H0 : residu berdistribusi normal H1 : residu tidak berdistribusi normal b. Tingkat signifikansi c.

Statistik uji

,

dengan

fungsi distribusi kumulatif normal standar dari variabel random fungsi distribusi empiris dari d. Daerah kritis : H0 ditolak jika

kuantil ke

9

e. Mengambil kesimpulan (Praptono, 1986) 2. Uji Box Pierce a. H0 :

(tidak ada autokorelasi hingga lag ke-K )

H1 : paling tidak terdapat 1 pasang lag yang berautokorelasi b. Tingkat signifikansi c. Statistik uji

dengan n adalah banyaknya

observasi d. Daerah kritis : H0 ditolak jika

dengan

adalah banyaknya

parameter yang diestimasi e. Mengambil kesimpulan (Box dan Reinsell, 2008)

2.1.5.4 Peramalan Langkah terakhir dalam pembentukan model adalah peramalan. Dalam tahap ini misal

, maka nilai peramalan

yang akan datang

adalah

untuk

dan untuk

dengan

,

adalah observasi yang sebenarnya

jika

. Untuk

setiap proses stasioner, nilai ramalannya akan mendekati mean proses (Soejoeti,1987).

2.1.6 Indeks Harga Konsumen (IHK) Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data IHK kota Surakarta periode Januari 2000 November 2009 dan IHK nasional periode Januari

10

1995 Juli 1998. Pada periode tersebut, pola data menunjukkan adanya goncangan, sehingga dapat dimodelkan menggunakan model intervensi. Angka indeks yang memperhitungkan semua barang yang dibeli oleh konsumen pada setiap harganya disebut IHK. Angka ini digunakan sebagai dasar dalam

perhitungan besarnya laju kenaikan harga-harga secara umum dalam

periode tertentu (Wijayanta dan Aristanti, 2007). Menurut Syamsuddin (2005), rumus menghitung indeks harga adalah (2.7) dengan : IHK pada tahun

(yang dihitung)

: Jumlah harga-harga pada tahun : Jumlah harga-harga pada tahun dasar Data IHK yang digunakan pada penelitian ini dihitung berdasarkan tahun dasar yang berbeda-beda. Oleh karena itu, harus dilakukan penyamaan tahun dasar. Dari persamaan (2.7), rumus penyamaan tahun dasar dapat diturunkan sebagai berikut. Misal diketahui nilai IHK pada tahun n yang dihitung menggunakan 2 tahun dasar, a dan b, maka (2.8) (2.9) dengan : IHK pada tahun

yang dihitung menggunakan tahun dasar a

: IHK pada tahun

yang dihitung menggunakan tahun dasar b

: Jumlah harga-harga pada tahun : Jumlah harga-harga pada tahun dasar a : Jumlah harga-harga pada tahun dasar b dari persamaan (2.9) dan (2.10) diperoleh

11

2.10 Jika suatu nilai IHK pada tahun m yang dihitung menggunakan tahun dasar a dan nilai tersebut akan diubah menjadi bertahun dasar b, maka .

(2.11)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.11) ke persamaan (2.12), diperoleh

Sebaliknya jika suatu nilai IHK pada tahun m yang dihitung menggunakan tahun dasar b dan nilai tersebut akan diubah menjadi bertahun dasar a, maka

Dengan demikian, dapat diperoleh langkah-langkah penyamaan tahun dasar data IHK dapat dituliskan sebagai berikut. 1. Mengambil 1 data yang dihitung menggunakan 2 tahun dasar, misalnya tahun dasar a dan b, kemudian menghitung nilai , misal disebut disebut

dan nilai

,

.

2. Jika semua data yang bertahun dasar a ingin diubah menjadi data bertahun dasar b, maka semua data dikalikan dengan

.

3. Jika semua data yang bertahun dasar b ingin diubah menjadi data bertahun dasar a, maka semua data dikalikan dengan

.

2.2 Kerangka Pemikiran ARIMA merupakan model runtun waktu linear nonstasioner. Namun, model ARIMA tidak cukup merepresentasikan pola data runtun waktu yang mengandung satu atau lebih intervensi. Oleh karena itu, dalam memodelkan data yang demikian digunakan model intervensi (single input maupun multi input).

12

Secara garis besar model intervensi terbagi menjadi dua bagian, yaitu model respon dan model dasar (model awal tanpa pengaruh intervensi yang merupakan model ARIMA). Pembentukan model respon dipengaruhi oleh orde intervensi. Pada penelitian sebelumnya, orde intervensi diidentifikasi melalui pola residu model sebelum intervensi. Hasil identifikasi orde yang berbeda pada setiap variabel input menghasilkan pola respon yang berbeda pula. Pola respon ekuivalen dengan pola data yang dipengaruhi intervensi. Dalam skripsi ini akan dilakukan pengamatan mengenai pengaruh orde intervensi terhadap pola respon, melalui simulasi beberapa orde intervensi dalam setiap variabel input Variabel input yang digunakan adalah fungsi pulse, step, dan ramp. Dari pengamatan dapat diperoleh karakteristik orde intervensi terhadap pola respon. Jika karakteristik ini dituliskan secara sistematik, maka hal ini dapat dijadikan dasar penentuan orde intervensi melalui plot data asli. Penentuan orde intervensi dengan metode ini diharapkan lebih efisien daripada melalui pemeriksaan residu. Data IHK Surakarta periode Januari 2000 - November 2009 dan IHK Nasional periode Januari 1995 - Juli 1998 akan dijadikan sebagai contoh kasus dalam skripsi ini. Model intervensi akan diterapkan pada data tersebut dengan menggunakan dua metode dalam orde intervensinya, yaitu melalui plot data asli dan residu.

13

BAB III METODOLOGI

Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur, simulasi, dan diterapkan pada contoh kasus dengan mengacu pada buku-buku analisis runtun waktu dan karya ilmiah tentang analisis intervensi yang meliputi hasil-hasil penelitian dan jurnal. Dengan metode tersebut, penulis dapat melakukan pendalaman materi tentang analisis intervensi multi input, terutama dalam menentukan orde intervensi melalui plot data asli. Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini. 1. Kaji ulang model intervensi multi input menurut Wei (1994). 2. Analisis pola data untuk menentukan orde intervensi multi input. a. Membuat plot respon dari setiap variabel input dengan beberapa kombinasi nilai orde intervensi dan mengamati gerak respon, sehingga dapat ditentukan perbedaannya. Simulasi dilakukan dengan bantuan software Minitab 15. b. Membuat kesimpulan tentang ciri-ciri gerak respon dengan beberapa nilai orde intervensi, kemudian menjadikan ini sebagai dasar dalam menentukan orde intervensi melalui plot data asli. 3. Menerapkan model intervensi multi input pada kasus data IHK Surakarta periode Januari 2000 1995

November 2009 dan IHK Nasional periode Januari

Juli 1998 dengan identifikasi orde intervensi menggunakan pola residu

dan hasil yang diperoleh pada langkah 2. Penerapan pada contoh kasus ini dilakukan dengan bantuan software SAS 9.1.

14

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam skripsi ini akan dikaji lebih lanjut tentang model intervensi multi input dan penentuan orde intervensi melalui analisis pola data asli.

5.1 Model Intervensi Multi Input Dalam model intervensi, goncangan atau intervensi disebut deret input yang bernilai diskrit, sedangkan data time series yang akan dimodelkan disebut sebagai deret output. Dengan model intervensi, dapat diketahui seberapa besar dan lama efek dari kejadian intervensi. Proses mengestimasi efek dari intervensi disebut analisis intervensi (intervention analysis or interrupted time series analysis) (SAS Help and Documantation). Model intervensi pertama kali dikemukakan oleh Box dan Tiao (1975) yang meneliti efek pemberlakuan undang-undang desain mesin terhadap tingkat polusi oxidant di daerah Los Angeles (Makridakis et. al, 1995). Model intervensi multi input mempunyai dua bagian, yaitu model respon dan model dasar. Model respon menunjukkan besarnya pengaruh intervensi, sedangkan model dasar merupakan model data tanpa pengaruh intervensi. Menurut Wei (1994), bentuk umum dari model intervensi multi input adalah (4.1) dengan, : variabel respon pada waktu t (deret output) : variabel intervensi ke j pada waktu t (deret input) : eror, yaitu model ARIMA tanpa efek intervensi : orde pada model intervensi ke-j dan

didefinisikan sebagai berikut ,

15

4.1.1 Nilai Respon pada Model Intervensi Model respon dari variabel intervensi dirumuskan sebagai (4.2) dengan : besarnya respon (pengaruh) intervensi pada waktu t : orde pada model intervensi dan

suatu bentuk polinomial dari parameter-parameter model

intervensi yang termuat pada respon, didefinisikan sebagai

Dengan substitusi persamaan (4.2) ke (4.1), bentuk umum model intervensi multi input menjadi

dengan

menyatakan besarnya respon (pengaruh) intervensi ke-j pada waktu

ke-t.

4.1.2 Variabel Intervensi Terdapat tiga variabel intervensi yaitu fungsi pulse, step dan ramp (Mcleod dan Vingilis, 2005). Penulisan variabel intervensi atau disebut juga variabel input biasanya diikuti dengan ordenya (b, r, s).

4.1.2.1 Fungsi Pulse Secara matematis bentuk intervensi fungsi pulse pada waktu T dinotasikan sebagai (4.3)

16

Fungsi ini dapat digunakan untuk merepresentasikan pengaruh intervensi yang sifatnya temporer atau transien dan menghilang setelah waktu T (Box dan Reinsell, 2008). Terdapat beberapa kemungkinan respon dalam intervensi pulse. Beberapa keadaan yang sering dihadapi yaitu 1. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara langsung (tidak bertahap), pengaruhnya sebesar (4.4) (Wei, 1994). Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi pulse (b, 0, 0). Pola respon pada persamaan (4.4) disajikan pada Gambar 4.1.

Vt

Pola respon fungsi pulse (b, 0, 0)

t

Gambar 4.1. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 0, 0)

2. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara bertahap, efeknya sebesar (4.5) di mana

. Untuk

, persamaan (4.5) menjadi (4.4). Pada

sebagian besar kasus dijumpai

dan intervensi berpengaruh

terhadap respon secara bertahap. (Wei, 1994). Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi pulse (b, 1, 0). Pola respon pada persamaan (4.5) disajikan pada Gambar 4.2.

17

Vt

Pola respon fungsi pulse (b, 1, 0)

t

Gambar 4.2. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 1, 0)

4.1.2.2 Fungsi Step Secara matematis bentuk intervensi fungsi step pada waktu ke T dinotasikan sebagai (4.6) Fungsi ini dapat menunjukkan efek intervensi yang permanen setelah waktu T . Dari persamaan (4.3) dan (4.6) dapat dilihat bahwa fungsi pulse dapat diturunkan dari fungsi step, yaitu

Terdapat beberapa kemungkinan respon dalam intervensi step. Beberapa keadaan yang sering dihadapi dituliskan sebagai berikut. 1. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara langsung (tidak bertahap), pengaruhnya sebesar (4.7) (Wei, 1990). Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi step (b, 0, 0). Pola respon pada persamaan (4.7) oleh fungsi ini disajikan pada Gambar 4.3.

18

Vt

Pola respon fngsi step (b, 0, 0)

t

Gambar 4.3. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 0, 0)

2. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara bertahap, efeknya sebesar (4.8) di mana

. Untuk

, persamaan (4.8) menjadi (4.7). Untuk

, dampak dari intervensi akan naik secara linear tanpa loncatan. Pada sebagian besar kasus dijumpai

dan intervensi berpengaruh

terhadap respon secara bertahap (Wei, 1994). Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi step (b, 1, 0). Pola respon pada persamaan (4.8) disajikan pada Gambar 4.4.

Vt

Pola respon fungsi step (b, 1, 0)

t

Gambar 4.4. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 1, 0)

19

4.1.2.3 Fungsi Ramp Fungsi intervensi ramp adalah suatu fungsi intervensi kontinu yang naik secara linear setelah waktu terjadinya intervensi (SAS Help and Documantation). Fungsi ramp dinotasikan sebagai (4.9) Dari persamaan (4.1) dan (4.9) dapat dilihat bahwa ramp dapat diturunkan dari fungsi step, yaitu

atau

Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara secara linear setelah waktu terjadinya intervensi, pengaruhnya sebesar (4.10) Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi ramp (b, 0, 0). Pola respon pada persamaan (4.10) oleh fungsi ini disajikan pada Gambar 4.5.

Vt

Pola respon fungsi ramp (b, 0, 0)

t

Gambar 4.5. Pola respon yang dihasilkan fungsi ramp (b, 1, 0)

20

4.1.3 Keterkaitan Antar-Variabel Intervensi Jika pola respon yang dihasilkan setiap variabel input berorde dengan nilai

berbeda-beda digambarkan dalam satu sumbu koordinat, maka

dapat diamati gerak respon dari nilai

yang kecil (mendekati 0) sampai nilai

yang besar (mendekati 1). Keadaan ini diilustrasikan pada Gambar 4.6. Dari pengamatan tersebut, dapat disimpulkan bahwa untuk orde

,

1. fungsi pulse akan menjadi fungsi step jika nilai 2. fungsi step akan menjadi fungsi ramp jika nilai

Fungsi Pulse (0,1,0) dengan berbagai nilai Delta menuju Fungsi Step 3.0

Variable delta =0.2 delta=0.4 delta=0.6 delta=0.8 delta=1 delta=0.9 delta=0.95 delta=0.98

2.5

Y-Data

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -5

0

5

10

15

T+_

(a) Fungsi Step dengan berbagai nilai Delta menuju Fungsi Ramp 16

Variable delta_0.2 delta_0.4 delta_0.6 delta_0.8 delta_0.9 delta_1

14 12

Y-Data

10 8 6 4 2 0 -5

0

5

10

15

T+_

(b) Gambar 4.6. Plot yang menyatakan hubungan antara fungsi pulse, step, dan ramp 21

4.1.4

Identifikasi Orde Intervensi Melalui Residu

Dalam mengidentifikasi orde intervensi (b, r, dan s) dapat dilakukan dengan melihat pola residu dari hasil peramalan data setelah intervensi menggunakan model sebelum intevensi. Misalkan residual dinotasikan sebagai

,

maka Nilai

ditentukan dengan melihat kapan efek intervensi mulai terjadi (nilai

residual keluar dari batas

), nilai

menunjukkan kapan gerak bobot respon

mulai mengalami penurunan (nilai residual keluar dari batas

), dan

menunjukkan pola dari residual. (Nuvitasari et. al, 2008 ). Namun, penentuan orde dengan prinsip ini memiliki kelemahan sebagai berikut. 1. Orde r akan sulit ditentukan ketika data mengandung lebih dari satu intervensi yang waktunya berdekatan. 2. Dalam model intervensi, pengaruh intervensi mulai muncul tepat ketika data mengalami lonjakan. Lonjakan ini jelas terlihat pada pola data asli, sehingga orde b dapat ditentukan secara langsung melalui pola data asli, tanpa harus melihat pola residu dari hasil peramalan data setelah intervensi menggunakan model sebelum intevensi.

4.1.5 Model Noise Dalam model intervensi, model noise merupakan model ARIMA dari deret respon yang bebas dari intervensi, yaitu deret respon sebelum terjadi intervensi. Model noise dapat dinyatakan

dengan : parameter Moving Average (MA) : parameter Autoregresif (AR) : sesatan, yaitu variabel random independen berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi

22

4.1.6 Estimasi Parameter Model Intervensi Estimasi

parameter

untuk

model

intervensi

multi

input

dapat

menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Model umum intervensi multi input pada persamaan 4.1 dapat dinyatakan sebagai

Dengan asumsi bahwa bersama dari

, maka dapat dituliskan fungsi kepadatan

sebagai

(4.11) Dari persamaan (4.11) diperoleh fungsi Likelihood untuk parameter model intervensi multi input, yaitu

Misal

dan

,

dengan

, persamaan (4.1) menjadi (4.12) Misal

dan

, persamaan (4.12) menjadi (4.13)

Sehingga diperoleh nilai Dari persamaan (4.13) dapat dinyatakan bahwa nilai parameter akan diperoleh dengan meminimumkan

.

Sebagai contoh sederhana, jika dimisalkan model intervensi adalah , maka diperoleh Nilai minimum dari

(4.14) diperoleh pada saat turunan pertama dari persamaan

(4.14) disamadengankan nol.

23

4.1.7 Uji Signifikansi Parameter Dalam model intervensi multi input, setelah dilakukan estimasi parameter intervensi, akan diuji apakah terdapat pengaruh kejadian intervensi terhadap data yang bersangkutan. Uji yang digunakan adalah uji Student-t yang langkah-langkah meliputi 1. H0 :

(parameter dalam model signifikan tidak berbeda dengan nol)

H1 :

(parameter dalam model signifikan berbeda dengan nol)

dengan

: parameter ke-i pada intervensi ke-j dalam model intervensi

multi input 2. tingkat signifikansi 3. statistik uji 4. daerah kritis : H0 ditolak jika

atau

, dengan n

adalah banyaknya data sampai intervensi ke-j (Box dan Reinsell, 2008). . 4.1.8 Uji Diagnostik Dalam analisis intervensi multi input, uji diagnostik yang harus dilakukan adalah uji kenormalan dan autokorelasi pada residu. Uji kenormalan yang digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov, sedangkan untuk menguji ada tidaknya autokorelasi pada residu digunakan uji Box Pierce.

24

4.2 Prosedur Pemodelan Intervensi Multi Input Berdasarkan beberapa referensi yang digunakan dalam skripsi ini, prosedur pemodelan intervensi multi input dapat dituliskan secara ringkas, yaitu 1. memodelkan deret

menggunakan prosedur Box Jenkins

2. identifikasi orde setiap intervensi 3. estimasi parameter model intervensi multi input 4. uji signifikansi parameter 5. uji diagnostik yang meliputi uji kenormalan dan autokorelasi residu

4.3 Analisis Pola Data untuk Menentukan Orde Intervensi Multi Input Pola respon pada model intervensi identik dengan pola data saat dipengaruhi intervensi. Hal ini menjadi dasar dalam identifikasi orde intervensi melalui pola data. Kombinasi nilai orde r dan s yang berbeda pada setiap variabel input menghasilkan pola respon yang berbeda. Pola respon dengan kombinasi nilai r dan s yang berbeda-beda pada setiap variabel input dapat dilihat pada Gambar 4.7. Jika dilakukan pengamatan pada Gambar 4.7, maka dapat diperoleh beberapa karakteristik pola respon dengan beberapa nilai orde intervensi. Karakteristik yang diperoleh dari hasil pengamatan ini dituliskan pada Tabel 4.1. Dari Tabel 4.1 dapat disimpulkan bahwa keberadaan parameter

menunjukkan

adanya gerak respon secara exponensial, baik mengalami kenaikan maupun penurunan. Khusus untuk fungsi ramp, tidak dijumpai adanya pola gelombang sinus, walapun nilai

. Dari hasil pengamatan terhadap plot respon dari ketiga

variabel intervensi dengan berbagai orde, dapat dituliskan secara umum tentang pengaruh dari setiap parameter terhadap pola respon. Hal ini disajikan dalam Tabel 4.2. Pengaruh parameter

terhadap pola respon dapat dilihat pada Gambar

4.8.

25

26

27

28

29

abel 4.1. Karakteristik gerak respon dengan beberapa nilai orde intervensi dengan penundaan efek b satuan waktu

Pulse

0,0

1,0

1,1

Karakteristik gerak respon fungsi Step

Ramp Data mengalami Data mengalami lonjakan sebesar Data mengalami lonjakan 1 lonjakan sebesar pada waktu kali sebesar pada waktu pada waktu , diikuti , kemudian pola data kemudian data stabil proses kenaikan langsung kembali seperti pada pada nilai tersebut, bobot respon semula (tanpa ada proses tetapi masih (arah naik atau penurunan bobot respon membentuk pola seperti turun) secara secara eksponensial) semula linear Data mengalami lonjakan sebesar Data mengalami lonjakan 1 pada waktu kali mulai waktu diikuti proses kenaikan kemudian mengalami bobot respon (arah naik proses penurunan bobot atau turun) secara respon secara eksponensial eksponensial mulai mulai waktu hingga waktu , kemudian pola data kembali seperti data stabil pada pada semula nilai tertentu dengan pola seperti data semula

Data mengalami lonjakan sebanyak kali sebesar dan ,,kemudian mengalami proses penurunan bobot respon secara eksponensial mulai waktu hingga pola data kembali seperti semula

Data mengalami lonjakan sebanyak kali sebesar dan , kemudian mengalami proses kenaikan bobot respon (arah naik atau turun) secara eksponensial mulai waktu , kemudian data stabil

30

Data mengalami lonjakan sebesar pada waktu diikuti proses kenaikan bobot respon (arah naik atau turun) secara eksponensial

Data mengalami lonjakan sebanyak kali sebesar , kemudian mengalami proses kenaikan bobot respon (arah naik atau turun) secara eksponensial mulai waktu

pada pada nilai tertentu dengan pola seperti data semula

2,0

2,1

Data mengalami lonjakan 1 kali sebesar Data mengalami lonjakan 1 mulai waktu kali sebesar mulai , kemudian mengalami waktu , kemudian proses kenaikan bobot mengalami proses respon (arah naik atau kenaikan bobot respon turun) dengan pola dengan pola gelombang gelombang sinus sinus dilanjutkan dengan dilanjutkan dengan pola pola eksponensial mulai eksponensial mulai waktu hingga pola waktu , kemudian data kembali seperti data stabil pada pada semula nilai tertentu dengan pola seperti data semula Data mengalami lonjakan 2 kali sebesar dan Data mengalami lonjakan 2 mulai waktu kali sebesar dan , kemudian mulai waktu mengalami proses , kemudian kenaikan bobot respon mengalami proses (arah naik atau turun) kenaikan bobot respon dengan pola gelombang dengan pola gelombang sinus dilanjutkan sinus dilanjutkan dengan dengan pola pola eksponensial mulai eksponensial mulai waktu hingga pola waktu , data kembali seperti kemudian data stabil semula pada pada nilai tertentu dengan pola seperti data semula

31

Data mengalami lonjakan sebesar pada waktu diikuti proses kenaikan bobot respon (arah naik atau turun) secara eksponensial

Data mengalami lonjakan sebanyak kali sebesar dan , kemudian mengalami proses kenaikan bobot respon (arah naik atau turun) secara eksponensial mulai waktu

Tabel 4.2. Pengaruh setiap parameter dalam variabel input terhadap pola respon

Variabel input Pulse

Step

Ramp

Besarnya menentukan besarnya lonjakan pada awal mulai adanya efek, banyaknya parameter menentukan banyaknya lonjakan

yang paling berpengruh adalah yaitu menunjukkan besarnya lonjakan yang pertama kali pada respon, sedangkan untuk yang lain hampir tidak berpengaruh pada pola respon

Besarnya menentukan besar dan lama tidaknya efek dari variabel input (semakin besar akan semakin besar efek dan semakin lama mengalami pola exponensial, sehingga semakin lama data menjadi stabil kembali) Sama seperti pada fungsi step dan pulse, tetapi data tidak pernah stabil (kembali pada pola data awal)

32

Terlihat sangat jelas (semakin besar nilai semakin besar amplitudo gelombang, sehingga semakin lama Keberadaan menghilangnya) Terlihat tidak menunjukkan terlalu jelas, adanya pola nilai gelombang tidak terlalu sinus dalam berpengaruh proses dalam proses exponensial exponensial yang semakin lama Hampir tidak besarnya terlihat (hampir amplitudo tidak gelombang berpengaruh semakin pada pola data) kecil mendekati nol

4.4 Contoh Kasus 4.4.1 Model Intervensi pada Data IHK Kota Surakarta Contoh kasus yang digunakan adalah data IHK kota Surakarta periode Januari 2000

November 2009 berdasarkan tahun dasar 2007 100. Data terdapat

pada Tabel 4.3 dalam lampiran. Plot data disajikan pada Gambar 4.9.

Plot data IHK kota Surakarta Nilai 120

110

100

Intervensi 2

90

80

Intervensi 6

Intervensi 1

70

Intervensi 3, 4, dan 5

60

50

waktu Sumber: Badan Pusat Statistik

Gambar 4.9. Plot data IHK kota Surakarta periode Januari 2000 2009 berdasarkan tahun dasar 2007 = 10

November

Berdasarkan plot data pada Gambar 4.9, terlihat ada intervensi November 2002, Januari 2004, Mei 2005, Oktober 2005, Januari 2006, dan Juni 2008. Intervensi pada November 2002, Januari 2004, Oktober 2005, Januari 2006, Juni 2008 dapat digolongkan dalam itervensi step karena polanya menunjukkan adanya efek intervensi yang permanen setelah waktu intervensi. Intervensi pada Mei 2005 dapat digolongkan dalam itervensi pulse karena polanya menunjukkan adanya efek intervensi yang temporer.

33

Model deret

, yaitu model data sebelum intervensi 1 adalah ARI (1,1),

tercantum pada Tabel 4.4. Selanjutnya dilakukan identifikasi orde intervensi pada data. Pada kasus ini, identifikasi orde intervensi akan dilakukan dengan menggunakan dua cara, yaitu melalui plot data asli dan melalui residu. Dalam identifikasi ini, orde

untuk semua intervensi.

Orde setiap intervensi dapat diidentifikasi menggunakan plot data asli yang disajikan lebih jelas pada Gambar 4.10 – 4.13. Pada Gambar 4.10 dan 4.11 terlihat data mengalami lonjakan sebanyak satu kali masing-masing pada waktu intervensi 1 dan intervensi 2. Selain itu data terlihat tidak menunjukkan adanya proses eksponensial. Hal ini menunjukkan bahwa orde

dan

diperoleh jenis intervensi 1 dan 2 adalah step (0, 0, 0). . nilai F13

Plot Intervensi 1 pada data IHK kota Surakarta

69.0

68.5

68.0

67.5

s =0

67.0

66.5

66.0

65.5

65.0

64.5

waktu

Gambar 4.10. Intervensi 1 pada data IHK kota Surakarta

34

, sehingga

nilai F13

Plot Intervensi 2 pada data IHK kota Surakarta

77 76 75 74 73 72 71

s =0

70 69 68 67

waktu

Gambar 4.11. Intervensi 2 pada data IHK kota Surakarta Pada Gambar 4.12 terlihat data mengalami lonjakan sebanyak satu kali pada waktu intervensi 3, 4, dan 5. Selain itu data terlihat tidak menunjukkan adanya proses eksponensial. Hal ini menunjukkan bahwa orde

dan

,

sehingga diperoleh jenis intervensi 3, 4, dan 5 masing-masing adalah step (0, 0, 0), step (0, 0, 0), dan pulse (0, 0, 0). Pada Gambar 4.13 terlihat data mengalami lonjakan sebanyak tiga kali pada waktu intervensi 6. Selain itu data terlihat tidak menunjukkan adanya proses eksponensial. Hal ini menunjukkan bahwa orde dan

, sehingga diperoleh jenis intervensi 6 adalah step (0, 0, 2).

nilai F13 Plot Intervensi 3, 4 dan 5 pada data IHK kota Surakarta 92 90 88

s=0

86 84

s=0

82 80

s=0

78 76 74 72

waktu

Gambar 4.12. Intervensi 3, 4 dan 5 pada data IHK kota Surakarta 35

nilai

Intervensi 6 pada data IHK kota Surakarta

F13 110.0

107.5

105.0

Terdapat 3 lonjakan pada awal intervensi, maka s=2

102.5

100.0

97.5

95.0 92.5

90.0 87.5

waktu

Gambar 4.13. Intervensi 6 pada data IHK kota Surakarta Metode lain yang digunakan untuk mengidentifikasi orde intervensi adalah menggunakan plot residu. Untuk mendapatkan nilai residu yang digunakan untuk mengidentifikasi orde intervensi, dilakukan pemodelan pada data asli dengan batas waktu berbeda (sesuai kejadian intervensi). Model tersebut disajikan pada Tabel 4.4 dengan estimasi parameter pada Output 4.1 4.6 dalam lampiran. Dari Output tersebut dihasilkan nilai parameter yang signifikan (

.

Tabel 4.4. Model data IHK kota Surakarta untuk setiap intervensi

Sebelum intervensi 1 Sebelum intervensi 2

1.1796

1.7694

p-value uji Kenormalan >0.15

1.0771

1.6156

0.079

Sebelum intervensi 3

1.0030

1.5045

0.085

Sebelum intervensi 4

0.9871

1.4806

0.076

Sebelum intervensi

0.9691

1.4537

>0.15

Batas waktu

Batas Residu

Model

36

5 Sebelum intervensi 6

0.9667

1.4500

>0.15

Setiap residu model pada Tabel 4.4 memenuhi asumsi kenormalan dan tidak berautokorelasi. Uji kenormalan yang digunakan adalah uji Kolmogorof Smirnov dengan tingkat signifikansi 0.05. Plot probabilitas normal disajikan pada Gambar 4.14 (a-f) dalam lampiran, sedangkan plot autokorelasi disajikan pada Gambar 4.15 (a-f) dalam lampiran. Model tersebut digunakan untuk meramalkan data selanjutnya sampai sebelum terjadinya intervensi yang berikutnya. Dari peramalan yang diperoleh, dicari nilai residunya. Nilai residu ini yang akan digunakan untuk mengidentifikasi orde setiap intervensi sesuai dengan ketentuan. Model sebelum intervensi 1 digunakan untuk meramalkan data pada intervensi 1 sampai data sebelum intervensi 2. Plot residu dari hasil peramalan tersebut disajikan pada Gambar 4.16.

Plot Residu 1 2

Variable data 2sigma 3sigma 0 -2sigma -3sigma

1

Data

0 -1 -2 -3 -4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

Waktu intervensi 1 +_

Gambar 4.16. Plot residu data peramalan pada intervensi 1 sampai data sebelum intervensi 2

37

Dari Gambar 4.16 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi batas

dan terbentuk suatu pola sejak data pertama, maka diperoleh nilai orde dan

Jadi, dapat disimpulkan bahwa intervensi 1 adalah step (0, 0, 0).

Model sebelum intervensi 2 digunakan untuk meramalkan data pada intervensi 2 sampai data sebelum intervensi 3. Plot residu dari hasil peramalan tersebut disajikan pada Gambar 4.17.

Residu 2

Data

2 1


0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 0

2

4

6

8

10

12

14






Model sebelum intervensi 3 digunakan untuk meramalkan data pada intervensi 3 sampai data sebelum intervensi 4. Plot residu dari hasil peramalan tersebut disajikan pada Gambar 4.18. Dari Gambar 4.18 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi batas

, maka diperoleh nilai orde

. Data residu pada bagian ini jumlahnya terlalu sedikit dikarenakan selang waktu antara intervensi 3 dan 4 yang sangat pendek. Hal ini mengakibatkan orde r pada intervensi 3 sulit untuk diidentifikasi, sehingga orde r ditentukan melalui plot data asli, diperoleh

. Jadi, intervensi 3 merupakan fungsi pulse (0, 0, 0).

38

Plot Residu 3 6

Variable data 2_sigma 3_sigma 0 -2_sigma -3_sigma

5 4

Data

3 2 1 0 -1 -2 0

1

2

3

4

Waktu Intervensi 3 +_



Plot Residu 4 6


5

Data

4 3 2 1 0 -1 -2 0

1

2

Waktu intervensi 4+_



, maka diperoleh nilai orde

. Jumlahnya data residu terlihat sangat

sedikit dikarenakan selang waktu antara intervensi 4 dan 5 yang sangat pendek. Hal ini mengakibatkan orde r pada intervensi 4 sulit untuk diidentifikasi, sehingga orde r ditentukan melalui plot data asli, diperoleh disimpulkan bahwa intervensi 4 adalah step (0, 0, 0).

39

. Jadi dapat


Plot Residu 5 12.5

Variable Data 2sigma 3sigma 0 -2sigma -3sigma

10.0

Data

7.5 5.0 2.5 0.0

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

Waktu intervensi 5+_





Model sebelum intervensi 6 digunakan untuk meramalkan data pada intervensi 6 sampai data observasi terakhir. Plot residu dari hasil peramalan tersebut disajikan pada Gambar 4.21.

Plot Residu 6 12.5


10.0

Data

7.5 5.0 2.5 0.0

0

2

4

6

8

10

12

14

16


Gambar 4.21. Plot residu data peramalan pada intervensi 6 sampai data observasi terakhir

40

Dari Gambar 4.21 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi batas asli (

, maka

. Nilai ini berbeda dengan hasil identifikasi melalui plot data

). Namun, setelah dilakukan uji signifikansi parameter model, nilai memberikan nilai parameter yang tidal signifikan. Oleh karena itu, nilai s

yang digunakan adalah nilai

yang diidentifikasi melaui plot data asli. Dari

Gambar 4.21 terlihat pula adanya suatu pola sejak data pertama, maka

.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa intervensi 2 adalah step (0, 0, 2). Dari orde intervensi yang telah diidentifikasi, diperoleh model intervensi akhir, yaitu

(4.15) Estimasi parameter model intervensi 4.15 dapat dilihat pada Output 4.7 dalam lampiran, dengan nilai parameter model yang signifikan (

. . Residu

model ini memenuhi asumsi kenormalan dan autokorelasi. Uji kenormalan yang digunakan adalah uji Kolmogorof Smirnov dengan tingkat signifikansi 0.05. Plot probabilitas normal dan hasil uji disajikan pada Gambar 4.22 dalam lampiran, sedangkan plot autokorelasi disajikan pada Gambar 4.23 dalam lampiran.

41

4.4.2 Model Intervensi pada Data IHK Nasional Intervensi dengan variabel input fungsi ramp dijumpai pada data IHK nasional pada Januari 1995

Juli 1998 dengan tahun dasar April 1988 Maret

1989 =100. Data terdapat pada Tabel 4.5 dalam lampiran Plot data disajikan pada Gambar 4.24.

nilai F1

Plot data IHK nasional (Januari 1995

Juli 1998)

320

300

280

Intervensi 260

240

220

200

180

160

waktu

Sumber: Badan Pusat Statistik

Gambar 4.24. Plot data IHK nasional (Januari 1995

Juli 1998)

Berdasarkan plot data pada Gambar 4.24, terlihat pada Januari 1998 data mulai tergoncang dengan pola data cenderung naik secara linear tanpa ada proses exponensial, tetapi mengalami 3 lonjakan. Hal ini diilustrasikan lebih jelas pada Gambar 4.25. Dapat disimpulkan data mengandung intervensi fungsi ramp dengan orde

(sesuai batasan masalah dengan

Desember 1997),

dan

. Jika orde intervensi ditentukan dari plot residual, maka data sebelum intervensi (Januari 1995-November 1997) atau

harus terlabih dahulu

dimodelkan menggunakan model ARIMA Box Jenkins. Dari Output 4.8 pada lampiran, model

yang diperoleh adalah .

42

Residu model ini memenuhi asumsi kenormalan dan autokorelasi. Uji kenormalan yang digunakan adalah uji Kolmogorof Smirnov dengan tingkat signifikansi 0.05. Plot probabilitas normal dan hasil uji disajikan pada Gambar 4.26 dalam lampiran, sedangkan plot autokorelasi disajikan pada Gambar 4.27 dalam lampiran. Selanjutnya, dilakukan peramalan mulai Desember 1997 sampai Juni 1988. Plot residu data peramalan disajikan pada Gambar 4.28.

nilai

Plot data IHK nasional pada saat intervensi

F1 320

300

280

260

Ada 3 lonjakan pada awal intervensi, maka

240

220

200

180

waktu

Gambar 4.25. Plot data IHK nasional pada saat intervensi

Orde ditentukan dengan melihat nilai dan plot data residu data peramalan dengan batas

, sedangkan orde

(sesuai

dengan batasan masalah). Dari Gambar 4.28 terlihat bahwa nilai residu sudah keluar dari batas sedangkan nilai

pada 1 periode setelah intervensi, sehingga

,

karena pada 2 periode setelah waktu intervensi, residu

terlihat mulai membentuk suatu pola tren linear. Identifikasi orde intervensi melalui plot residu ini memberikan hasil berbeda dengan

identifikasi orde

intervensi melalui plot data asli. Model intervensi dengan orde yang diperoleh dari kedua metode disajikan pada Tabel 4.6

43

Plot Residu 90


80 70

Data

60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

Waktu intervensi +_

Gambar 4.28. Plot residu hasil peramalan data IHK nasional

Tabel 4.6. Model intervensi dengan orde yang diperoleh melalui pola data asli dan melalui pola residu penentuan Orde orde intervensi intervensi (b, r, s) Melalui plot data asli

(0, 0, 2)

Melalui residu

(0, 2, 1)

Parameter

Signifikansi parameter < 0.0001 < 0.0001 < 0.0001 < 0.0001 < 0.0001 0.8941 0.8655 < 0.0001 0.3532 0.0215 < 0.0001

Dari Tabel 4.6 dapat diketahui bahwa model intervensi yang diperoleh dengan orde ditentukan dari plot data asli menghasilkan parameter yang signifikan, sedangkan model intervensi dengan orde yang ditentukan dari residu menghasilkan parameter tidak signifikan.. Estimasi parameter untuk kedua model ini masing-masing disajikan pada Output 4.9 dan 4.10 dalam lampiran. Oleh karena itu, model yang dapat digunakan adalah model intervensi fungsi ramp (0, 0, 2), yaitu

44

(4.16) Residu model pada persamaan (4.16) memenuhi asumsi kenormalan dan autokorelasi. Plot probabilitas normal dan hasil uji disajikan pada Gambar 4.29 dalam lampiran, sedangkan plot autokorelasi disajikan pada Gambar 4.30 dalam lampiran.

45

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Dari pembahasan pada skripsi ini diperoleh kesimpulan bahwa terdapat beberapa langkah dalam membuat model intervensi multi input. Langkah-langkah tersebut meliputi pemodelan data sebelum intervensi pertama menggunakan model ARIMA Box Jenkins, identifikasi orde intervensi, estimasi parameter, dan uji diagnostik model. Pada tahap identifikasi orde intervensi, terdapat dua metode yang dapat digunakan. Metode pertama adalah metode identifikasi orde intervensi melalui pola residu model sebelum intervensi, sedangkan metode kedua melalui pola data asli. Metode pertama memiliki kelemahan, yaitu ada salah satu orde intervensi yang sulit diidentifikasi jika selang waktu antara dua intervensi sangat dekat. Metode kedua memberikan solusi pada masalah tersebut. Pada metode ini, identifikasi dilakukan melalui pola data asli secara langsung dengan cara menyesuaikan pola data dengan karakteristik orde intervensi. Kedua metode diterapkan pada data IHK kota Surakarta dan IHK nasional. Metode pertama menghasilkan model dengan parameter yang tidak signifikan, sedangkan metode kedua menghasilkan model dengan parameter yang signifikan dan lebih mudah dilakukan. Hasil pada penerapan ini menunjukkan bahwa metode kedua lebih mudah dan efisien daripada metode pertama. Namun, metode kedua menuntut kejelian dari peneliti dalam mengamati pola data.

5.2 Saran Dalam skripsi ini, penulis melakukan pemeriksaan karakteristik orde intervensi terhadap pola data asli. Berbagai karakteristik yang diperoleh dapat digunakan dalam menentukan orde intervensi melalui pola data asli. Bagi pembaca yang tertarik untuk menerapkan model intervensi pada suatu data, terutama model intervensi multi input, sebaiknya identifikasi orde intervensi

46

dilakukan melalui pola residu dan data asli, karena keduanya dapat saling mendukung.

47

DAFTAR PUSTAKA

Anonymous. (2005), SAS Help and documentation. Index: Intervention Models and Interrupted Time Series. Badan Pusat Statistik. (1995-2009), Indeks Harga Konsumen dan Inflasi kota Surakarta. Surakarta: Badan Pusat Statistik. Cryer, J. D.(1986), Time Series Analysis.London: PWS Publishers. Box, G E. P., Gwilym M. J., Gregory C. R. (2008), Time Series Analysis and Control Foecasting. Canada: Wiley and sons. Ismail, Suhartono, A. Yahaya, R. Efendi. (2009), Intervention Model for Analyzing the Impact of Terrorism to Tourism Industry. Journal of Mathematics and statistics 5 (4): 322-329. ISSN 1549-3644. Makridakis, S., Steven C. W., Victor E. M. (1995), Metode dan Aplikasi Peramalan, Jakarta: Erlangga. McLeod, A. I dan E. R. Vingilis. (2005), Power Computation for Intervention Analysis. American Statistical Association and the American Society for Quality Technometrics, Vol. 47, No. 2 DOI 10.1198/004017005000000094. Min, J. C.(2007), Forecasting Japanese Tourism Demand in Taiwan using an Intervention Analysis. International Journal of Culture, Tourism and Hospitality

Research Vol. 2 No. 3, 2008 pp. 197-216 q Emerald Group Publishing Limited 1750-6182 DOI 10.1108/17506180810891582. Nuvitasari, E., Suhartono, Sasmito H. W. (2008), Analisis Intervensi Multi Input fungsi step dan pulse untuk Peramalan Kunjungan Wisatawan ke Indonesia, Financial Statistics Directorate, Information Technology, and Tourism, the Central Statistics Agency Jl. dr. Sutomo No. 6-8 Jakarta 10710. http://oc.its.ac.id/detilmateri.php?idp=746. Praptono.(1986), Statistik Non Parametrik. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Jakarta. Santoso, P. B dan Muliawan H.(2007), Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomi

dan Niaga. Jakarta: Erlangga. Soejoeti, Z. (1987), Analisis Runtun Waktu, Jakarta: Karunia. Sridharan, S., Suncica V., Siem J. K. (2003), Intervention Time Series Analysis of Crime Rates, Timbergen Institute Discussion Paper, TI 2003-040/4.

Syamsuddin. (2005), Dasar Matematika Bisnis dan Manajemen SMK, Bandung: Grasindo.

48

Wei, W. W. S. (1994), Time Series Analysis, Canada: Allan M. Wylde.

Wijayanta, B. dan Aristanti W.(2007), Ekonomi & Akuntansi: Mengasah Kemampuan Ekonomi, Bandung: Citra Praya.

49

50

ANALISIS POLA DATA SEBAGAI ALTERNATIF DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT

Recommend Documents