ANALISIS PERAMALAN DATA RUNTUN WAKTU MENGGUNAKAN VECTOR AOUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (VARIMA) (Studi Kasus Data Tingkat Inflasi Indonesia dan BI Rate)
(Skripsi)
RENDI RINALDY
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG 2016
ABSTRACT ANALYZED FORECSTING DATA TIME SERIES PERIODIC USING VECTOR AOUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (VARIMA) (Study in Case Data Inflation Level in Indonesia and BI Rate) By RENDI RINALDY
This research aimed to forecast inflation level in Indonesia and BI Rate using VARIMA model. The result showed that VARIMA (1,1,2) is the best model indicates that each of 4,94% inflation level then BI rate had passed 0,145%. Keywords: Forecasting, VARMA Model, VARIMA Model.
ABSTRAK ANALISIS PERAMALAN DATA RUNTUN WAKTU MENGGUNAKAN VECTOR AOUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (VARIMA) (Studi Kasus Data Tingkat Inflasi Indonesia dan BI Rate)
Oleh RENDI RINALDY
Penelitian ini bertujuan untuk meramalkan tingkat inflasi di Indonesia dan BI rate dengan menggunakan model VARIMA. Hasil memperlihatkan bahwa model VARIMA (1,1,2) adalah model terbaik yang menunjukan bahwa setiap kenaikkan 4,94% tingkat inflasi maka BI rate mengalami kenaikkan 0,145%. Kata kunci: Peramalan, Model VARMA, Model VARIMA.
ANALISI PERAMALAN DATA RUNTUN WAKTU MENGGUNAKAN VECTOR AUTOREGRRESIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (VARIMA) (Studi Kasus Data Tingkat Inflasi Indonesia dan BI Rate)
Oleh
RENDI RINALDY Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Rendi Rinaldy, Dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 31 Oktober 1994, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Bapak Miryadi dan Ibu Yeti Sukmayati.
Menempuh pendidikan awal Taman Kanak-kanak di TK Gajah Mada Bandar Lampung tamat pada tahun 2000, Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 01 Rawa Laut tamat pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 01 Bandar Lampung tamat pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMAN 12 Bandar Lampung tamat pada tahun 2012. Pada tahun 2012 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, melalui jalur Undangan.
Pada saat duduk di bangku kuliah, penulis mengikuti organisasi di dalam kampus. Penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai Anggota Bidang Kaderisasi (2012/2013), sebagai Anggota Bidang Eksternal (2012/2013) dan Wakil Ketua Umum (2014/2015).
Sebagai salah satu mata kuliah wajib, penulis juga pernah mengikuti Kuliah Praktek (KP) di Dinas Pendapatan Daerah (DIPENDA) provinsi Lampung pada tanggal 26 Januari sampai dengan 13 Februari 2015.
Selanjutnya bulan Juli-September 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Tiyuh Bandar Dewa, Kecamatan Tulang Bawang Tengah, Kabupaten Tulang Bawang Barat, Lampung.
SANWACANA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “ANALSIS PERAMALAN DATA RUNTUN WAKTU MENGGUNAKAN VECTOR AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (VARIMA) dengan (Studi Kasus Data Tingkat Inflasi Indonesi dan BI Rate)” sebagai salah satu syarat meraih gelar sarjanaan pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada: 1.
Bapak Drs. Nusyirwan, S.Si., M.Si. Selaku dosen pembimbing I yang selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. Selaku dosen pembimbing II dan Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang selalu sabar membimbing dan mengarahkan
3.
dalam penyelesaian skripsi ini.
4.
memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini.
Ir. Netti Herawati, M.Sc., Ph.D. Selaku dosen penguji yang telah
Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Sc. Selaku dosen pembimbing yang
selalu memberikan nasihat dan motivasi selam penulis menjadi mahasiswa
5.
Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. Selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Seluruh Dosen dan Tenaga Pendidikan Jurusan Matematika yang telah memberikan Ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis.
7.
Ayah dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.
8.
Adik Heni, Evi dan keluarga besarku yang telah memberikan dorongan, semangat dan motivasi kepada penulis.
9.
Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika: Angger, Anwar, Candra, Danar, Geri, Jorgi, Pras, Topik, Yefta, Anggi, Desti, Dwi, Elva, Ernia, Imah, Putri, Ratih, Riyama, Selvi, Yanti, dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bisa disebutkan satu-satu terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini.
10. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan
kenangan selama di kampus.
Bandar Lampung, Desember 2016 Penulis
Rendi Rinaldy
KATA INSPIRASI
“Pertama, mereka mengabaikan anda. Kemudian, mereka tertawa pada anda. Berikutnya, mereka melawan anda. Lalu, anda menang” (-Mahatma Gandhi-)
“Kualitas diri anda dinilai dari bagaimana diri anda bukan apa yang anda miliki” (-Anonymous-)
“Hargailah Apa yang Telah Dicapai Orang Lain, Karena Kalian Tidak Akan Mengerti Apa yang Telah Ia Korbankan Sampai Dititik Itu” (-Rendi Rinaldy-)
PERSEMBAHAN
Teriring do’a dan rasa syukur kepada Allah SWT, Salawat serta salam tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW Ku persembahkan karya kecil ini sebagai rasa sayang dan terimakasih ku kepada: Orang Tua Tercinta Ayah MIRYADI dan Ibu YETI SUKMAYATI atas limpahan kasih sayang, do’a dan tetesan keringat dalam merawat, mendidik dan menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku Adik Tercinta HENI KURNIAWATI dan EVI APRIYANTY yang selalu memberikan dukungan dan menjadi motivasi Serta keluarga besarku yang selalu memberikan semangat Para pendidikku, dosen dan guru-guruku yang telah memberikan ilmu kepadaku Teman-teman seperjuangan angkatan 2012 Keluarga Besar HIMATIKA Sahabat serta teman dekat Almamater tercinta.
DAFTAR ISI
halaman DAFTAR GAMBAR .................................................................................
vi
DAFTAR TABEL .....................................................................................
vii
I.
II.
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah ....................................................
1
1.2. Tujuan Penelitian......................................................................
3
1.3. Manfaat Penelitian....................................................................
3
TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Ekonometrika ...........................................................................
4
2.2
Data Untuk Estimasi Parameter Model ....................................
4
2.3
Ekonometrika Deret Waktu ......................................................
5
2.4
Inflasi ........................................................................................
6
2.4.1
Penggolongan Inflasi ...................................................
6
2.4.2
Menentukan Tingkat Inflasi ........................................
7
BI Rate......................................................................................
7
2.5.1
Fungsi BI Rate..............................................................
8
Peramalan .................................................................................
8
2.5
2.6
iii
2.7
Data Runtun Waktu ..................................................................
9
2.8
Stasioneritas .............................................................................
9
2.8.1
Stasioneritas dalam Ragam ..........................................
10
2.8.2
Stasioneritas dalam Rata-Rata......................................
11
Pemeriksaan Kestasioneran ......................................................
12
2.9.1
Melihat Tren Data dalam Grafik ..................................
12
2.9.2
Koefisen Autokolerasi dan Korelogram ACF ..............
12
29.3
Uji Akar-Unit (Unit Root Test) .....................................
14
2.10 Transformasi Deret Waktu Tidak Stasioner .............................
15
2.11 Operator Backshift ....................................................................
16
2.12 White Noise ..............................................................................
16
2.13 Proses Autoregressive ..............................................................
17
2.14. Analisis Multivariat Deret Waktu ............................................
17
2.15. Model Vector Autoregressive (VAR) .......................................
18
2.15.1 Kestabilan Proses VAR (p) ...........................................
19
2.16. Model Vector Moving Average ...............................................
20
2.17. Model Vector Autoregressive Moving Average .......................
21
2.18. Model Vector Autoregressive Integrated Moving Average......
22
2.19. Extended Cros-Corelation Matrices (ECCM) .........................
22
2.9
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ..................................................
24
3.2
Data Penelitian .........................................................................
24
3.3
Metode Penelitian .....................................................................
24
iv
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V.
4.1
Deskripsi Data ..........................................................................
26
4.2
Identifikasi ................................................................................
26
4.2.1
Uji Stasioneritas ...........................................................
26
4.2.2
Pemilihan Order VARIMA ..........................................
32
4.3
Estimasi Model VARIMA .......................................................
33
4.4
Evaluasi Model VARIMA .......................................................
34
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
v
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1. Grafik plot data tingkat inflasi dan BI Rate di Indonesia Periode Januari 2009 sampai dengan Apil 2016 ............................................... 26 2. Plot ACF data tingkat inflasi................................................................ 27 3. Plot ACF data BI rate .......................................................................... 28 4. Grafik plot data tingkat inflasi dan BI Rate di Indonesia Periode Januari 2009 sampai dengan Apil 2016 setelah di differencing........... 30 5. Plot ACF differencing data Tingkat Inflasi.......................................... 30 6. Plot ACF differencing data BI rate ...................................................... 31 7. Plot hasil uji Ljung-box dari residual model VARIMA (1,1,2) .......... 35
vi
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1.
Uji ADF data tingkat Inflasi dan BI Rate ............................................ 29
2.
Uji ADF data tingkat Inflasi dan BI Rate setelah differencing ............ 32
3.
Nilai statistik ECCM order AR dan MA.............................................. 33
4.
Nilai tingkat signifikan ........................................................................ 34
5.
Matriks AR, MA dan Residual ............................................................ 36
vii
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Inflasi di dunia ekonomi modern sangat memberatkan masyrakat. Hal ini dikarenakan inflasi dapat mengakibatkan lemahnya efesiensi dan produktifitas ekonomi investasi, kenaikan biaya modal, dan ketidakjelasan ongkos serta pendapatan di masa yang akan datang. Salah satu kebijakan moneter pemerintah untuk mempengaruhi perekonomian adalah dengan menaikkan atau menurunkan suku bunga acuan Bank Indonesia (BI) atau disebut BI rate. Dalam transimisi kebijakan moneter yang dikeluarkan BI, kenaikkan atau penurunan BI rate akan mempengaruhi inflasi. Pengaruh yang diberikan oleh perubahan BI rate ini dapat terjadi melalui beberapa jalur yaitu jalur suku bunga kredit, nilai tukar, harga aset, dan ekspektasi. BI menyatakan bahwa pengaruh BI rate terhadap inflasi salah satunya terjadi melalui jalur suku bunga, perubahan BI rate mempengaruhi suku bunga kredit perbankan. Apabila perekonomian sedang mengalami kelesuan BI dapat menggunakan kebijakan moneter yang ekspansif melalui penurunan suku bunga untuk mendorong aktifitas ekonomi.
Peramalan merupakan suatu kegiatan untuk mengetahui apa yang akan terjadi di masa yang akan datang menggunakan dan mempertimbangkan data dari masa lampau. Ketepatan secara mutlak dalam memprediksi suatu peristiwa adalah tidak
2
mungkin dicapai. Oleh karena itu, ketika tidak dapat melihat kejadian yang akan datang secara pasti, diperlukan waktu dan biaya yang besar agar mereka dapat memiliki kekuatan dalam menghadapi masa yang akan datang.Peramalan merupakan alat bantu yang penting dalam sebuah perencanaan yang efektif. Runtun waktu adalah rangkaian data yang diukur berdasarkan waktu dengan interval yang sama. Analisis runtun waktu merupakan metode yang mempelajari deret waktu, baik dari segi teori maupun untuk membuat peramalan (prediksi). Analisis runtun waktu merupakan cara menentukan variabilitas data runtun waktu dalam bentuk fungsi periodik dominan. Analisis ini pada dasarnya digunakan untuk melakukan analisis data yang mempertimbangkan pengaruh waktu. Data yang digunakan dapat bersifat deterministik, non-deterministik atau data acak, yang biasanya dikumpulkan secara periodik berdasarkan urutan waktu dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal atau tahun. Analisis runtun waktu tidak hanya bisa dilakukan untuk data yang memiliki satu variabel saja tetapi juga bisa untuk data yang memiliki banyak variabel. Untuk menganalisis data runtun waktu dengan banyak variabel, dapat menggunakan model Vector Autoregressive (VAR).
Data runtun waktu ekonometrika lebih dominan bersifat tidak stasioner maka dari itu diperlukan model yang bisa meramalkan data dengan lebih dari satu variabel dengan sifat tidak stasioner. VARIMA merupakan salah satu model dari VAR, model VARIMA dipergunakan untuk data yang bersifat tidak stasioner. Oleh Karena itu dalam penelitian ini akan digunakan model VARIMA untuk meramalkan data tingkat inflasi di Indonesia dan BI rate.
3
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah memprediksi nilai Inflasi dan BI Rate.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah: 1.
Dapat meperkirakan nilai inflasi dan BI Rate yang akan datang dengan menggunakan metode VARIMA.
2.
Mengetahui seberapa baik metode VARIMA dalam peramalan.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Ekonometrika
Secara sederhana, ekonometrika berarti pengukuran indikator ekonomi (Gujarati dan Porter, 2009).
Ekonometrika, hasil dari suatu pandangan khusus atas peranan ilmu ekonomi, yang terdiri dari penerapan statistika matematika pada data ekonomi untuk memberikan dukungan empiris terhadap model-model yang disusun berdasarkan matematika ekonomi dan untuk memberikan hasil numerik (Tintner, 1968).
Ekonometrika adalah studi tentang penerapan metode statistika untuk masalahmasalah ekonomi. Ekonometrika memiliki banyak jenis untuk digunakan, tetapi semua mengarah ke tiga kategori yang umum yaitu (1) Menguji teori ekonomi, (2) Meramalkan perekonomian, dan (3) Membuat kebijakan ekonomi (Schmidt, 2005).
2.2
Data Untuk Estimasi Parameter Model
Model ekonomi menunjukan hubungan variabel-variabel yang pasti, masalah selanjutnya adalah untuk menemukan himpunan data yang dapat kita gunakan untuk melihat jika hubungan tersebut ada atau tidak. Suatu observasi dari proses
5
membangkitkan data adalah satu himpunan dari nilai-nilai untuk semua variabelvariabel di dalam hubungan yang kita harapkan untuk dipelajari. Suatu sampel, atau himpunan data, adalah koleksi dari banyak observasi dari proses membangkitkan data yang sama. Ada dua jenis-jenis dasar dari sampel, ditambah satu tipe yang ke-tiga yaitu kombinasi dari keduanya (Schmidt, 2005) 1.
Sampel deret waktu adalah sampel yang mengandung observasi – observasi pada satu objek ekonomi pada periode – periode waktu yang berbeda. Tingkat suku bunga dan Produk Domestik Bruto (PDB) pada ekonomi U.S. untuk setiap kuarter dari tahun 1961 sampai 1999.
2.
S a m p e l Cross- section adalah sampel yang mengandung observasiobservasi dari banyak objek ekonomi yang berbeda yang diambil pada satu titik waktu. Contohnya: kemampuan kerja dari banyak perusahaan penerbangan pada tahun 1997.
3.
Sampel Panel/Longitudinal adalah sampel yang mengandung observasiobservasi pada banyak objek ekonomi untuk beberapa periode waktu. Contoh: Sampel dari delapan perusahaan penerbangan yang berbeda dalam waktu lima tahun.
2.3
Ekonometrika Deret Waktu
Ekonometrika deret waktu adalah salah satu teknik ekonometrika yang berkembang relatif pesat. Perkembangan tersebut terutama di dorong oleh kenyataan bahwa sebagian besar pekerjaan ekonometrika untuk menganalisis prilaku ekonomi
6
didasarkan pada data deret waktu. Dalam pengertian sederhana, ekonometrika deret waktu adalah teknik ekonometrika untuk menganalisis prilaku data deret waktu.
Model ekonometrika dapat digunakan untuk menjelaskan struktur hubungan antarpeubah ekonomi yang dapat dijadikan dasar untuk melakukan peramalan/prediksi atau pun sebagai dasar untuk menilai efektivitas berbagai kebijakan ekonomi.
Berdasarkan hal tersebut, analisis deret waktu secara umum dapat dibagi menjadi dua kelompok, yaitu (1) analisis yang sifatnya menjelaskan pola data tersebut berdasarkan waktu dan (2) analisis yang sifatnya eksplanatoris, yakni yang menganalisis hubungan peubah-peubah deret waktu (Juanda dan Junaidi, 2012).
2.4
Inflasi
Hal yang akan selalu dijumpai di setiap Negara. Suatu masalah yang sangat sensitif dan selalu terjadi. Efek dari inflasi pun sangat besar dalam setiap Negara. Inflasi merupakan suatu proses kenaikan harga – harga yang berlaku dalam perekonomian (Sadono Sukirno, 2002).
2.4.1 Penggolongan Inflasi
Inflasi dibedakan menjadi 4 macam, yaitu (Boediono, 1998). a) Inflasi Ringan
:
< 10 %%
per tahun
b) Inflasi Sedang
:
10 – 30 %
per tahun
7
c) Inflasi Berat
:
d) Hiperinflasi
:
30 – 100 % ≥ 100 %
per tahun per tahun.
2.4.2 Menentukan Tingkat Inflasi
Tingkat inflasi digunakan untuk menggambarkan perubahan – perubahan harga – harga yang berlaku dari satu periode ke periode lainnya. Untuk menentukannya perlu diperhatikan data indeks harga konsumen dari satu periode tertentu dan seterusnya dibandingkan dengan indeks harga pada periode sebelumnya. Rumus yang dipakai untuk menentukan laju inflasi adalah sebagai berikut (Suharyadi dan Purwanto, 2003: 152) : =
−
× 100
dimana: : Laju inflasi : Indeks harga konsumen periode ke t : Indeks harga konsumen periode ke t-1 (periode sebelumnya).
2.5
BI Rate
BI Rate adalah suku bunga dengan tenor satu bulan yang diumumkan oleh Bank Indonesia secara periodik untuk jangka waktu tertentu yang berfungsi sebagai sinyal (stance) kebijakan moneter (Dahlan siamat, 2005).
8
2.5.1 Fungsi BI Rate
BI Rate diumumkan oleh Dewan Gubernur Bank Indonesia setiap Rapat Dewan Gubernur bulanan dan diimplementasikan pada operasi moneter yang dilakukan Bank Indonesia. Melalui pengelolaan likuiditas (liquidity management) di pasar uang untuk mencapai sasaran operasional kebijakan moneter.
Sasaran operasional kebijakan moneter dicerminkan pada perkembangan suku bunga Pasar Uang antar Bank Overnight (PUAB O/N). Pergerakan di suku bunga PUAB ini diharapkan akan diikuti oleh perkembangan di suku bunga deposito, dan pada gilirannya suku bunga kredit perbankan.
Dengan mempertimbangkan pula faktor-faktor lain dalam perekonomian, Bank Indonesia pada umumnya akan menaikkan BI Rate apabila inflasi ke depan diperkirakan melampaui sasaran yang telah ditetapkan, sebaliknya Bank Indonesia akan menurunkan BI Rate apabila inflasi ke depan diperkirakan berada di bawah sasaran yang telah ditetapkan.
2.6
Peramalan
Peramalan adalah sebuah prediksi beberapa peristiwa atau kejadian-kejadian masa mendatang. Peramalan merupakan masalah penting yang mencakup banyak bidang yaitu bisnis dan industri, pemerintahan, ekonomi, ilmu lingkungan, kedokteran, ilmu sosial, politik, dan keuangan.
9
Masalah peramalan sering diklasifikasikan sebagai jangka pendek, jangka menengah, dan jangka panjang. Masalah peramalan jangka pendek melibatkan memprediksi hanya peristiwa yang periode waktu beberapa (hari, minggu, bulan) ke depan. Jangka menengah perkiraan memperpanjang dari satu sampai dua tahun ke depan, dan peramalan jangka panjang masalah bisa melampaui bahwa dengan bertahun-tahun (Montgomery, 2009).
2.7
Data Runtun Waktu
Data runtun waktu didefinisikan sebagai kumpulan pengamatan kuantitatif yang disusun secara kronologis. Runtun waktu selalu digunakan dalam bidang ekonometrik. Awalnya, Tinbergen (1939) membangun model ekonometrik pertama untuk Amerika Serikat dan kemudian memulai program penelitian ilmiah ekonometrik secara empiris (Kirchgassner and Wolters, 2007).
Data runtun waktu yang memiliki dua atau lebih variabel disebut multivariate time series (peubah ganda runtun waktu). Model peubah ganda runtun waktu melibatkan beberapa variabel yang tidak hanya berturut namun juga saling berkorelasi (Montgomery, Jennings, and Kulahci, 2008).
2.8
Stasioneritas
Analisis data runtun waktu bertumpu pada asumsi penyederhanaan bahwa proses runtun waktu harus stasioner. Proses stasioner adalah bahwa rata-rata dan ragam
10
dalam keadaan konstan dari waktu ke waktu. Jika data yang digunakan tidak stasioner, maka data harus dimodifikasi untuk menjadikan data tersebut stasioner.
2.8.1 Stasioner dalam Ragam
Modifikasi untuk menstasionerkan data dalam ragam harus dilakukan sebelum melakukan analisis data. Kita dapat mengubah data yang tidak stasioner dalam ragam menjadi stasioner dengan melakukan transformasi pada data. Misalnya: 1.
Jika simpangan baku pada data runtun waktu diketahui sebanding, maka dilakukan transformasi logaritma natural agar menghasilkan data runtun baru dengan ragam yang konstan.
2.
Jika ragam pada data runtun waktu diketahui sebanding, maka dilakukan transformasi akar kuadrat agar ragam pada data runtun waktu baru menjadi konstan.
Dan masih banyak lagi transformasi lain yang mungkin dapat dilakukan, tetapi kedua cara transformasi di atas (terutama transformasi logaritma) sering digunakan dalam praktik.
Transformasi log dan transformasi akar kuadrat adalah anggota dari transformasi Box-Cox. Dengan transformasi ini kita mendefinisikan series
′
baru
(ditransformasi) sebagai berikut: ′
Dimana
=
−1
adalah bilangan real. Sebagai catatan bahwa
beberapa nilai
tidak boleh negatif. Jika
negatif, maka ditambahkan sebuah konstanta positif
semua nilai bernilai positif (Pankratz, 1991).
sehingga
11
2.8.2 Stasioner dalam Rata-Rata
Ketika deret tidak menunjukkan rata-rata yang konstan, biasanya kita dapat membuat deret baru dengan melakukan differencing (pembedaan) pada data, yaitu dengan menghitung perubahan berturut-turut pada deret untuk semua , sebagai berikut: =
−
(Jika sebelumnya sudah dilakukan transformasi untuk menstabilkan ragam, maka series yang digunakan untuk dilakukan pembedaan adalah series
′
bukan
).
Melakukan penghitungan ini sebanyak satu kali untuk semua , maka disebut pembedaan pertama (first differencing). Jika deret yang dihasilkan belum memiliki rata-rata yang konstan, maka dihitung pembedaan pertama (first differences) dari hasil pembedaan pertama (first differences) sebelumnya untuk semua . Selanjutnya pembedaan pertama dari
dinotasikan dengan
∗
, sebagai
berikut: =
∗
−
∗
=(
−
)−(
−
)
Deret yang dihasilkan disebut pembedaan kedua (second differences) dari Notasi
.
dinotasikan sebagai tingkat pembedaan (differencing). Sehingga untuk
pembedaan pertama
= 1, untuk pembedaan kedua,
= 2 dan seterusnya. Jika
data asli tidak memiliki rata-rata yang konstan, biasanya setelah dilakukan pembedaan hingga
= 1 data sudah memiliki rata-rata yang konstan,
hampir tidak pernah diperlukan (Pankratz, 1991).
>2
12
2.9
Pemeriksaan Kestasioneran
Terdapat tiga cara umum digunakan dalam melakukan pendugaan terhadap kestasioneran data. Ketiga cara tersebut adalah (Juanda dan Junaidi, 2012): 1. Melihat tren data dalam grafik. 2. Menggunakan koefisien autokorelasi dan korelogram. 3. Uji akar-akar unit (unit root test).
2.9.1
Melihat Tren Data dalam Grafik
Untuk menduga apakah suatu data bersifat stasioner atau tidak, secara visual dapat dilihat dari tren atau kecenderungan pola data tersebut (Juanda dan Junaidi, 2012).
2.9.2
Koefisien Autokorelasi dan Korelogram ACF
Autokorelasi untuk lag k (korelasi antara
dimana
=
∑
( ∑
dan
dinyatakan sebagai
− )( − ) ( − )
adalah koefisien autokorelasi untuk lag k, dan
deret waktu. Karena
, yaitu :
adalah rata-rata data
merupakan fungsi dari k, maka hubungan autokorelasi
dengan lagnya dinamakan fungsi autokorelasi (autocorrelatiom functiom=ACF). Jika fungsi autokorelasi tersebut digambarkan dalam bentuk kurva, dikenal dengan istilah korelogram ACF. 1.
Pengamatan pola korelogram ACF; data deret waktu yang tidak stasioner akan memiliki pola korelogram yang menurun secara eksponenial mendekati titik nol. Sebaliknya, data deret waktu yang stasioner memiliki pola
13
korelogram dengan nilai positif negatif yang bergantian disekitar nol atau tidak berbeda signifikan dengan nol. 2.
Pengujian signifikansi nilai autokorelasi; menurut Bartlett, jika data deret waktu bersifat random, koefisien ACF akan mengikuti distribusi normal ρ~N(0, ) dengan n adalah jumlah atau ukuran sampel. Dengan hipotesi nol H0 :
nyata
= 0 dan hipotesis alternatifnya H1 : = 5%, jika
≠ 0. Misalnya dengan taraf
terletak antara −1,96 1/ <
keputusannya belum cukup bukti untuk menolak H0. 3.
< 1,96 1/
,
Uji Statistik Q; uji ini dikembangkan oleh Box dan Pierce yang dikenal dengan uji statistic Q, dengan rumus: =
~
( )
Hipotesis nol (H0) untuk uji ini adalah semua koefisien ACF sampai lag tertentu = 0. Jika statistic adalah stasioner. 4.
<
( ),
H0 diterima, berarti data deret waktu
Uji Statistik Ljung-Box (LB); pengujian ini dikembangkan oleh Ljung-Box yang dikenal dengan uji statistic Ljung-Box (LB), dengan rumus: = ( + 2)
−1
~
( ).
Jika nilai statistic LB lebih kecil dari nilai kritis statistik tabel nyata , maka data stasioner (Juanda dan Junaidi, 2012).
dengan taraf
14
2.9.3 Uji Akar – Unit (Unit Root Test)
Uji Kestasioneran atau ketidakstasioneran yang sangat popular beberapa tahun belakangan ini adalah uji akar-akar unit (unit root test). Berdasarkan persamaan proses stokastik akar-akar unit dengan mengurangkan dengan
pada kedua ruas
nya diperoleh : −
=ρ
−
+
= (ρ − 1)
+
dan dapat ditulisakan dengan cara lain sebagai: ∆
=δ
+
dimana δ = (ρ − 1) dan ∆ adalah operator diferensi pertama. Metode yang digunakan untuk uji akar-akar unit adalah: 1.
Uji DF (Dickey Fuller Test); uji t untuk menguji δ = 0 tidak valid karena δ tidak
mengikuti distribusi normal. Dicky and Fuller menunjukan bahwa nilai koefisien δ akan mengikuti distribusi stastitik ̂ (
), dan menyusun statistik ô sebagai
titik kritis pengujian. Hipotesis yang digunakan adalah:
- Hipotesis nol: H0 : δ = 0 (artinya terdapat unit root atau deret waktu tidak stasioner atau memiliki tren stokastik)
- Hipotesis alternatif: H1: δ < 0 (atinya deret waktu stasioner, kemungkinan berdasarkan tren deterministic) (Gujarati dan Porter, 2009).
Nilai ̂ -statistik yang diperoleh kemudian dibandingkan dengan ̂ -McKinnon
Critical Value. Jika ̂ -statistik < ̂ -tabel, maka H0 diterima atau tidak cukup bukti menolak H0, artinya data tidak stasioner (Juanda dan Junaidi, 2012).
15
2. Uji ADF (Augmented Dickey Fuller Test); pada Uji DF asumsi yang digunakan adalah galat
tidak berkorelasi. Tetapi jika pada kondisi
berkorelasi, uji
yang dapat digunakan adalah uji ADF. Uji ADF terdiri dari estimasi dari regresi berikut: ∆
=
+
+
+
+
∝ ∆
dimana å adalah galat white noise murni dan ∆ ∆
= (∆
−∆
+
= (∆
−∆
),
), dst. Pada uji ADF kita juga menguji apakah δ = 0
dan uji ADF mengikuti distribusi yang sama dengan statistic DF, jadi dapat digunakan nilai kristis yang sama (Gujarati dan Porter, 2009).
2.10
Transformasi Deret Waktu Tidak Stasioner
Kita dapat mentransformasi deret waktu untuk membuatnya menjadi stasioner. Metode transformasi bergantung apakah deret waktunya merupakan proses stasioner diferensi (DSP) atau proses stasioner tren (TSP). Dapat dinyatakan jika suatu deret waktu adalah DSP tetapi kita perlakukan sebagai TSP, ini disebut dengan underdifferencing. Sebaliknya jika suatu deret waktu merupakan TSP tetapi kita perlakukan seperti DSP, ini yang disebut dengan overdifferencing (Gujarati dan Porter, 2009).
Menurut (Brandt dan Williams, 2007), transformasi yang biasanya menggunakan logaritma natural (ln) dari variabel-variabel yang cenderung memiliki tren atau tidak stasioner pada ragamnya. Menggunakan logaritma dari data menunjukan bahwa dasar dari model VAR adalah menyatakan tingkat pertumbuhan dari period ke periode
16
untuk data. Penafsiran ini muncul dari pendekatan dari tingkat pertumbuhan (yang umum dalam ilmu ekonomi) berikut: −
≈ ln( ) − ln(
)
Walaupun suatu transformasi logaritma atau akar kuadrat tidak mungkin karena beberapa kenyataan nilai dari
adalah negatif, salah satu cara untuk meredam nilai
negating tersebut dengan menggunakan
2.11
= log(
+ 3) (Brooks, 2008).
Operator Backshift
Operator backshift B dapat didefinisikan sebagai : =
= ⋮
= 2.12
White noise
White noise adalah suatu proses antar variabel random yang berurutan tidak terjadi korelasi dan mengikuti distribusi tertentu. Kondisi pengamatan dari proses ( ) yang stasioner ditunjukkan dengan nilai mean ( ) = {(
− }2 = 2
,
( )=
adalah proses yang konstan. kovarian ( ,
− ) yang
merupakan fungsi hanya dari pembedaan waktu (Abraham and Johannes, 2005).
17
2.13
Proses Autoregressive
Menurut (Brooks, 2008), suatu model autoregressive adalah satu dimana nilai pada saat ini dari suatu variabel, , bergantung hanya berdasarkan pada nilai-nilai variabel tersebut yang diambil pada periode-periode sebelumnya ditambah dengan galat. Suatu model autoregressive dengan order , dilambangkan dengan AR( ), yang dapat dinyatakan sebagai:
dimana
=
+
+
+. . . . +
+
white noise disturbance term. Persamaan ini juga dapat dituliskan lebih
sederhana menggunakan notasi sigma menjadi: =
+
+
atau dengan menggunakan operator lag, sebagai : =
2.14
+
+
Analisis Multivariat Deret Waktu
Analisis multivariate deret waktu yang mempertimbangkan banyak deret waktu secara bersama-sama (secara simultan). Ini merupakan bagian dari analisis statistika mulitivariate tetapi secara spesifik memenuhi data dependen. Memahami hubunganhubungan antara faktor-faktor dan menyediakan prediksi-prediksi yang akurat dari variabel-variabel tersebut yang diperhitungkan dalam pengambilan keputusan. Keobjektifan dari analisis multivariate time series termasuk untuk mempelajari
18
hubungan-hubungan dinamis antara variabel-variabel dan memperbaiki keakuratan dari prediksi.
Misalkan
=(
,…,
)′ adalah observasi-observasi deret waktu berdimensi
pada ruang titik-titik waktu yang sama. Statistika menyatakan, suatu deret waktu =(
,…,
(Tsay, 2014).
2.15
)′ adalah vektor random yang mengandung
random variabel
Model Vector Autoregressive (VAR)
Untuk menganalisis secara kuantitatif data runtun waktu dengan melibatkan lebih dari satu variabel bebas (multivariate time series) digunakan metode Vector Autoregressive (VAR). Metode VAR memperlakukan semua variabel secara simetris. Satu vektor berisi lebih dari satu variabel bebas dan pada sisi kanan terdapat nilai lag (lagged value) dari variabel tak bebas sebagai representasi dari sifat autoregresive dalam model.
Secara singkat, suatu deret waktu multivariate
adalah suatu proses VAR dengan
order 1, atau VAR(1), jika mengikuti model berikut :
dimana
=
+
adalah vektor berdimensi ,
+
adalah matirks berukuran
× , dan
{ } adalah barisan dari vektor-vektor random secara berurutan yang tidak
berkorelasi dengan mean nol dan matriks kovarian ∑. Pada penerapannya, matriks kovarian ∑ haruslah definit positif; atau dengan kata lain, dimensi dari
dapat
19
diubah. Menurut (Tsay, 2005), pada literatur, juga sering diasumsikan
merupakan
normal multivariat.
Generalisasi dari VAR(1) ke VAR(p) mudah dilakukan. Deret waktu
mengikuti
model VAR(p) jika memenuhi :
dimana
dan
=
+
+ ...+
+
,
telah didefinisikan sebelumnya, dan
>0
adalah matriks berukuran
× . Dengan menggunakan operator back-shift B (operator lag), model VAR(p)
dapat ditulis sebagai :
−
− ...−
=
+
,
>0
× . Brntuk ini dapat ditulis kedalam bentuk
dimana I adalah matriks identitas yang lebih sederhana sebagai:
( )
=
+
2.15.1 Kestabilan Proses VAR ( ) Jika
merupakan proses VAR( ), VAR(1) berdimensi =
dapat didefinisikan, dimana:
∶= ⎡ 0 ⎢ ∶= ⎢ 0 ⎢ ⋮ ⋮ ⎣ 0 0
(
+
+
⋮
,
⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
0 0 ⋮
× 1)
(
×
bersesuaian dengen :
)
∶= (
⎤ 0⎥ 0⎥, ⋮⎥ 0⎦
0 ⋮ , 0
× 1)
= (
0 ⋮ 0
× 1)
20
stabil jika : det
−
| |≤1
≠0
dengan, det
−
= det
−
−. . . −
.
Berdasarkan definisi karakteristik polynomial dari suatu matriks, kita sebut polynomial ini sebagai karakteristik polynomial kebalikan dari proses VAR( ). Jadi, proses stabil jika karakteristik polynomial kebalikannya tidak memiliki akar-akar di dalam dan pada lingkaran unit kompleks. Secara formal det
−
−. . . −
≠0
Kondisi ini disebut kondisi kestabilan (Lütkepohl, 2005).
2.16
stabil jika: | | ≤ 1.
Model Vector Moving Average (VMA)
Sebuah deret waktu Average) order
berdimensi
disebut sebagai model VMA (Vector Moving
jika =
Dengan
+
−
: : Adalah konstan vektor yang menunjukan mean dari : Adalah matriks
×
dengan
: Adalah white noise series Dengan Var ( ) = ∑ [
,
≠0
] definite positive.
21
Menurut (Tsay, 2005), VMA model banyak digunakan untuk banyak kasus. Di dalam keuangan baik sekali dalam mengetahui lonjakan negatif lag-1 korelasi serial dengan frequensi tinggi (high-frequency).
Model VMA dengan order 1 atau VMA (1) =
=[
Untuk model menggunakan =
=
+
=
−
+
−
] dapat ditulis sebagai berikut :
,
+
Atau bisa ditulis dengan
2.17
+
−
−
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
−
−
,
,
,
,
Model Vector Aoutregressive Moving Average (VARMA)
Menurut (Tsay, 2005), sebuah deret waktu
berdimensi
bisa dikatakan proses
vector autoregressive moving-average VARMA ( , ) jika Dengan
∅( )
:
∅
=∅ + ( )
: Adalah vektor konstan
∅( ) : ( ) :
−∑
−∑
∅
matriks polynomial matriks polynomial
: Adalah sequence dari bebas stokasitik identik vektor acak dengan mean nol dan definite positive matriks kovarian ∑_a.
22
2.18
Model Vector Autoregressive Integrated Moving Average (VARIMA)
Vector data time series yang telah melalui proses differencing dinyatakan sebagai model VARIMA (Vector Autoreggressive Integrated Moving Average Process) (Wei, 2006). ∅( ) ( )
Dengan :
= ( )
∅ ( ) = adalah matriks aoutoregressive polynomial order p
( ) = adalah matriks moving average polynomial order q = adalah proses white noise vektor Gaussian
( ) = adalah order untuk integrated hasil proses differencing 2.19
Extended Cross-Corelation Matrices (ECCM)
Menggunakan hasil konsistensi fitting VAR secara iterasi, menjelaskan ECCM yang dapat digunakan untuk spesifikasi order ( , ) dari suatu model VARMA (Tia dan Tsay, 1983).
Kemudian, akan digunakan model VARMA (1, ) untuk menjelaskan tentang
gagasan, yang dimana dengan kata lain diaplikasikan ke model umum VARMA.
Tinjau iterasi ke-j matrik koefisien ∅ VAR (1). Misalkan ∅ = ∅ menunjukan bahwa
≤ didefinisikan proses transformasi ke-j ( ) ,
=
−∅
( )
23
Dimana index 1 dari untuk AR order VMA ( ).
melambangkan bahwa transformasi series didesain ( )
= 1 sehingga dari konsistensi dari ∅ , ( ) ,
Menyediakan bahwa ( ) , memenuhi
argument
( ) ,
( ) ,
=
−
mengikuti model
−⋯−
≤ . Untuk itu, cross-correlation matrices dari
syarat bahwa
( ) ,
= 0 untuk
≥
+ 1 dan
≥ , dimana
berarti menandakan proses dalam penelitian. Untuk merangkum
secara sistematis dari series hasil transformasi berdasarkan tabel cross-correlation matrices dari 2005).
( ) ,
( ) ,
( ) ,
untuk penetuan order, untuk
= 0,1, ⋯ (Tsay,
26
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2016/2017 bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data inflasi Indonesia dan BI Rate dalam skala bulanan dari Januari 2009 sampai dengan April 2016.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Identifikasi a. Melakukan uji stasioner Melihat kestatsioneran data dengan menggunakan plot deret waktu, grafik Autocorrelation Function (ACF) dan Augmented Dickey Fuller test (ADF). b. Melakukan pembedaan (differencing) apabila data belum stasioner dalam rata-rata variansi.
25
2. Menganalisis model VARIMA a. Melakukan pemilihan order pada model VARIMA ( , , ) dengan
menggunakan metode extended cross-corelation matrices (ECCM).
b. Melakukan estimasi terhadap model dengan melihat nilai dari signifikasi variabel. c. Mengevaluasi model, uji asumsi dengan menggunkan uji white noise.
V.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan metode VARIMA pada data tingkat inlasfi dan BI rate Indonesia periode January 2009 sampai dengan April 2016 dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1.
Berdasarkan analisis dengan metode VARIMA, diperoleh model terbaik yaitu model VARIMA(1,1,2). =
2.
−0,000080 0,8240 0,382 + 0,000063 −0,0156 0,389 −
0.4694 −1.2956 −0.0609 −0.0426
−1+
−1−
0.6257 1.29935 −0.0354 0.00441
Berdasarkan model tersebut dapat diketahui bahwa setiap kenaikan 4,94% tingkat inflasi maka BI rate akan mengalami kenaikkan 0,145%.
−2
DAFTAR PUSTAKA
Abraham, B. and Johannes L. 2005. Statistical Methodes for Forcasting, A. Jhon Wiley and Sons Inc., New Jersey.
Brandt, P.T. and Williams, J. T. 2007. Multiple Time Series Models. Sage Publications, USA. Brooks, C. 2008. Introductory: Econometrics for Finance. 2nd ed. Cambridge University Press, NY.
Douglas, M. C. 2009. Statistical Quality Control. 6th ed. John Wiley &Sons Pte. Ltd., Asia.
Douglas, M. C., Jennings C.L., and Kulahci, M. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. John Wiley & Sons, New Jersey. Gujarati, D. N., and Porter, D. C. 2009. Basic Econometrics. 5th ed. The McGraw Hill Companies, NY.
Juanda, B. dan Junaidi. 2012. Ekonometrika Deret Waktu. Institut Pertanian Bogor Press, Bogor.
Kichgassner, G. and Wolters, J. 2007. Introduction To Modern Time Series Analysis, Springer, USA.
Helmut, K. 2005. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. SpringerVerlag Berlin Heidelberg, Germany.
Pankratz, A. 1991. Forecasting With Dynamic Regression Models. John Wiley & Sons, Inc., NY.
Schmidt, S. J. 2005. Econometrics. The McGraw Hill Companies, NY.
Siamat, D. 2005. Manajemen Lembaga Keuangan. “Kebijakan Moneter dan Perbankan”. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.
Sukirno, S. 2002. Teori Mikro Ekonomi. Cetakan Keempat Belas. Rajawali Press, Jakarta.
Spyros, M. 1993. Metode dan Aplikasi Peramalan. Airlangga, Jakarta.
Tintner, G. 1968. Methodology of Mathematical Economics and the Econometrics. The University of Chicago Press, Chicago. Tsay, R. S. 2005. Analysis of Financial Time Series. 2nd ed. John Wiley & Sons, USA.
Tsay, R. S. 2014. Multivariate Time Series Analysis : With R and Financial Applications. John Wiley & Sons, USA.
Wei, W. W.S. 2006. Time series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. 2nd Edition. Pearson Educations, Inc., USA.
