PENGAMBILAN KEPUTUSAN DENGAN METODE PERAMALAN AUTOREGRESIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARIMA) (Studi Kasus: PT Tembaga Mulia Semanan)

Prosiding Seminar Nasional Manajemen Teknologi X Program Studi MMT-ITS, Surabaya 1 Agustus 2009

PENGAMBILAN KEPUTUSAN DENGAN METODE PERAMALAN AUTOREGRESIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARIMA) (Studi Kasus: PT Tembaga Mulia Semanan) Nurlailah Badariah, Iveline Anne Marie, Linda Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Trisakti Jl. Kyai Tapa, Grogol Jakarta Barat [email protected]

ABSTRAK ARIMA, model yang terdiri dari dua aspek, yaitu aspek otoregresi dan Moving Average (rata-rata bergerak). Secara konseptual Moving Average dalam ARIMA berbeda dengan metode Moving Average yang dikenal dalam teknik peramalan. Model otoregresi merupakan model yang menggambarkan hubungan antara variabel terikat Y dengan variabel bebas yang merupakan nilai Y pada waktu sebelumnya, sedangkan model Moving Average merupakan model yang menggambarkan ketergantungan variabel terikat Y terhadap nilai-nilai error pada waktu sebelumnya yang berurutan. Error disebut juga nilai kesalahan atau deviasi nilai prediksi terhadap nilai sesungguhnya. Tujuan dari pembahasan ini adalah menerapkan metode peramalan ARIMA pada PT Tembaga Mulia Semanan yang memproduksi kawat tembaga, guna memprediksi penjualan produk jadi copper rod diameter 8 mm pada bulan September 2008 sampai Pebruari 2009. Proses perhitungan dimulai dari membuat plot data penjualan yang diambil dari data historis penjualan dari bulan September 2004 sampai Agustus 2008. Metode ARIMA memberikan nilai kesalahan peramalan sebesar 1.162.949,8483. Kata kunci : Teknik peramalan, Moving Average,ARIMA

PENDAHULUAN Menurut Makridakis (1992: 450), model-model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) telah dipelajari mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976) dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk analisis deret berkala, peramalan dan pengendalian. Model Autoregresif (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan kemudian dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model Moving Average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Akan tetapi Wold-lah (1938) yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi ARMA. Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arah, yaitu identifikasi efisien dan prosedur penaksiran (untuk proses AR, MA dan ARMA campuran), perluasan dari hasil tersebut untuk mencakup data deret musiman (seasonal time series) dan pengembangan sederhana yang mencakup proses-proses non stasioner. Box dan Jenkins (1976) secara efektif telah berhasil mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang diperlukan untuk memahami dan memakai modelmodel ARIMA. Dasar dari pendekatan terdiri dari tiga tahap, yaitu identifikasi, penaksiran dan pengujian serta penerapan.


A. Kombinasi-kombinasi yang Berorde Lebih Tinggi: ARIMA (p,d,q) Variasi model ARIMA tidak terbatas jumlanya. Model umum dikenal sebagai ARIMA (p,d,q): AR: p = orde dari proses autoregresif I: d = tingkat pembedaan (degree of differencing) MA: q= orde dari proses moving average. Dalam praktek, jarang diperlukan nilai p, d, q selain dari 0, 1 atau 2. B. Tahap-Tahap Analisa Time Series [Spyros Makridakis, 1992: 451, 478, 480, 486] Ada beberapa tahap dalam melakukan analisis time series, yaitu: Tahap I Identifikasi

Rumuskan kelompok model-model yang umum Penetapan model untuk sementara

Tahap II Penaksiran dan Pengujian Parameter

Penaksiran parameter pada model sementara

Pemeriksaan diagnosis (Apakah model memadai?)

Tidak

Tahap III Penerapan

Ya

Gunakan model untuk peramalan

Identifikasi Model Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat non stasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan deret berkala yang stasioner. Oleh karena itu kita perlu memiliki notasi yang berlainan untuk deret berkala non stasioner yang asli dengan pasangan stasionernya, sesudah adanya pembedaan (differencing). Stasioneritas dan Non Stasioneritas Stasioneritas dapat diperoleh melalui penggunaan metode pembedaan (diferencing). Notasi yang sangat bermanfaat adalah operator shift mundur (backward shift), B, penggunaannya ialah sebagai berikut: B X t = X t 1 B2 X t = X t  2 Operator shift mundur sangat tepat untuk menggambarkan proses pembedaan (diferencing).

ISBN : 978-979-99735-8-0 A-23-2


Pembedaan pertama: X 't = X t - X t 1 = X t -B X t = (1-B) X t Pembedaan orde kedua: X”t = X’t - X’t-1 = (Xt - Xt-1) - (Xt-1 - Xt-2) = Xt - 2 Xt-1 + Xt-2 = (1- 2 B + B2 ) Xt 2 = (1- B) Xt Proses Autoregresif Secara umum, proses AR orde ke-p ialah sebagai berikut: ARIMA (p,0,0) X t =  '  1 X t 1  2 X t  2  ...   p X t  p  et dimana:  ' = nilai konstan  j = parameter autoregressive ke- j

et = nilai galat pada saat ke- t Dua kasus yang sering dihadapi ialah p=1 dan p=2, yaitu berturut-turut untuk model AR (1) dan AR (2). ARIMA (1,0,0) X t =  ' + 1 X t 1 + et ARIMA(2,0,0) X t =  ' + 1 X t 1 + 2 X t  2 + et Dengan menggunakan operator shift mundur, B, persamaannya menjadi: ARIMA (1,0,0) X t - 1 X t 1 =  ' + et atau (1- 1 B) X t =  ' + et ARIMA (2,0,0) X t - 1 X t 1 - 2 X t  2 =  ' + et atau (1- 1 B - 2 B2) X t =  ' + et Selang nilai yang diijinkan dalam model AR (1) adalah -1 < 1 < +1 Proses Moving Average ARIMA (0,0,q) atau MA (q) MA umum berorde q dapat ditulis sebagai berikut: ARIMA (0,0,q) atau MA (q) X t =   et  1et 1   2et  2  ...   q et  q ARIMA (0,0,1) atau MA (1) X t =  + (1- 1 B) et ARIMA (0,0,2) atau MA (2) X t =  + (1- 1 B -  2 B2) et Model AR dan MA orde pertama: 1 dan 1 harus terletak diantara -1 dan +1 untuk AR (1) : -1 < 1 < + 1 untuk MA (1) : -1 < 1 < + 1 Model AR dan MA orde kedua: untuk AR (2) : -2 < 2 < + 2 dan -1 < 2 < + 1 untuk MA (2) : -2 <  2 < + 2 dan -1 <  2 < + 1

ISBN : 978-979-99735-8-0 A-23-3


Campuran: Proses ARMA Model umum campuran proses AR (1) murni dan proses MA (1) murni ialah: ARIMA(1,0,1) X t =  ' + 1 X t 1 + et - 1 et 1 atau (1- 1 B) X t =  ' + (1- 1 B) et Campuran: Proses ARIMA Apabila nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk ARIMA (1,1,1) ialah: (1-B) (1- 1 B) X t =  ' + (1- 1 B) et Model umum ARIMA (p,d,q) dengan p=q=2 dan d=1, menghasilkan berbagai pola autokorelasi, parsial dan spectra yang banyak. Namun model-model yang lebih sederhana seperti AR (1), MA (1), AR (2) dan MA (2) memberikan beberapa tampilan identifikasi yang dapat membantu pembuat ramalan dalam menetapkan model ARIMA yang tepat. Prinsip-prinsip Identifikasi Model Ada beberapa prinsip yang dapat dipakai untuk mengidentifikasikan model ARIMA Box-Jenkins, yaitu: 1. Membuat deret stasioner Analisis sementara terhadap data mentah dapat dengan mudah memperlihatkan apakah suatu deret berkala stasioner pada nilai tengah dan ragamnya. Pembedaan orde pertama atau kedua biasanya akan mengenai nonstasioneritas nilai tengah. Transformasi logaritma terhadap data mentah akan mengenai nonstasioneritas ragam. 2. Mempertimbangkan aspek-aspek bukan musiman AR (1) Autokorelasi parsial menurun secara eksponensial, satu autokorelasi yang nyata. MA (1) Autokorelasi parsial menurun secara eksponensial, satu autokorelasi yang signifikan. AR (2) Autokorelasi seperti gelombang sinus yang teredam dan dua autokorelasi yang signifikan. MA (2) Autokorelasi parsial seperti gelombang sinus yang teredam dan dua autokorelasi yang signifikan. ARIMA (1,1) Autokorelasi dan parsial yang mendekati nol secara eksponensial. 3. Aspek-aspek musiman Pengujian autokorelasi, parsial dan spektrum garis dapat membantu penetapan proses AR dan MA untuk aspek-aspek musiman dari data. Penaksiran Parameter Ada dua cara mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter tersebut, yaitu dengan cara coba-coba (menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut) dan dengan perbaikan secara iteratif (memilih taksiran awal dan membiarkan komputer memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif). Pemeriksaan Diagnostik Setelah menaksir nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang ditetapkan sementara, selanjutnya perlu pemeriksaan diagnostik untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai. Ada dua cara mendasar, yaitu mempelajari nilai sisa (residual)

ISBN : 978-979-99735-8-0 A-23-4


untuk melihat apakah masih terdapat beberapa pola yang belum diperhitungkan dan mempelajari statistik sampling dari pemecahan optimum untuk melihat apakah model tersebut masih dapat disederhanakan. HASIL DAN DISKUSI Peramalan dengan Metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) Peramalan dengan metode ARIMA dibuat dengan menggunakan software Minitab 14.0. 1. Plot Data Plot data historis penjualan produk jadi (copper rod diameter 8 mm) dari 48 periode sebelumnya, yaitu dari bulan September 2004 sampai Agustus 2008. Tabel 1. Data Penjualan Copper Rod diameter 8 mm Periode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Jumlah (Ton) 5217,50 4950,20 3564,00 5105,79 4891,66 6109,00 6190,00 7297,30 4907,00 4259,70 3838,80 7071,90

Periode 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Jumlah (Ton) 6707,14 6595,00 4230,00 5178,50 5042,00 5467,00 4456,00 4224,00 4161,00

22 23 24

3788,00 3786,80 6483,50

Periode 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Jumlah (Ton) 3950,00 7031,02 4668,00 2770,00 4657,00 3846,40 3978,80 3447,08 2873,60 3410,00 3861,70 4239,80

Periode 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Jumlah (Ton) 4967,20 4162,23 5075,00 5239,00 5062,90 4337,00 4956,00 3997,00 4369,90 4844,00 4942,20 4815,00

Penjaulan (Ton)

Sales 8000.00 6000.00 4000.00

Sales

2000.00 0.00 1

5

9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 Periode (Bulan)

Gambar 1. Plot data Penjualan Copper Rod ø 8 mm September 2004-Agustus 2008

terlihat bahwa data mempunyai kecenderungan trend, siklis dan musiman. ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) dapat diterapkan untuk jenis data tersebut. 2. Identifikasi Model Data Identifikasi Model Data dilakukan dengan membuat ACF (Autocorrelation function) dan PACF (Partial Autocorrelation function).

ISBN : 978-979-99735-8-0 A-23-5

Prosiding Seminar Nasional Manajemen Teknologi X Program Studi MMT-ITS, Surabaya 1 Agustus 2009 Autocorrelation function: C1 Lag 1 3 5 7 9 11

ACF 0.307064 -0.013122 0.173351 0.002033 -0.141098 0.066642

T 2.13 -0.08 1.06 0.01 -0.81 0.38

LBQ 4.81 7.25 9.06 11.92 13.37 14.03

Lag 2 4 6 8 10 12

ACF 0.215424 0.049799 0.223707 0.061380 0.076829 0.189757

T 1.37 0.30 1.34 0.35 0.44 1.07

LBQ 7.24 7.38 11.92 12.14 13.74 16.43

Statistik T digunakan untuk uji hipotesis yang mendekati korelasi pada lag ke z t dengan zt-k (k adalah lag). Output pada window session menunjukkan nilai statistik T pada lag 1 ialah 2.13 (Nilai melebihi z0.05=1.645). Kesimpulannya, pada lag 1 (antara zt dengan ztk) ada korelasi cukup signifikan. Selain lag 1, korelasinya tidak signifikan. Partial Autocorrelation Function: C1 Lag 1 3 5 7 9 11

PACF 0.307064 -0.125341 0.197464 -0.183991 -0.129855 0.028322

T 2.13 -0.87 1.37 -1.27 -0.90 0.20

Lag 2 4 6 8 10 12

PACF 0.133746 0.063964 0.121678 0.081476 0.105193 0.131947

T 0.93 0.44 0.84 0.56 0.73 0.91

Kesimpulannya, pada lag 1 ada korelasi cukup signifikan.  Uji Stasioneritas Data Uji stasioneritas data dilakukan dengan bantuan software Eviews 5.0. Uji stasioneritas dilakukan dengan uji akar-akar unit (unit root test) dengan metode Augmented Dickey Fuller.

Gambar 2. Uji Stasioneritas Data dengan Augmented Dickey Fuller

Nilai statistik t untuk Augmented Dickey Fuller lebih kecil daripada nilai kritis pada level 1%, 5% dan 10%. Hipotesis nol (data mempunyai akar unit) ditolak dan disimpulkan bahwa data tidak mempunyai akar unit dan data bersifat stasioner. Nilai d untuk orde ARIMA ialah nol (0). 3. Menaksir Parameter Model Dari hasil uji statistik t untuk nilai-nilai ACF dan PACF, ACF signifikan pada lag 1 dan PACF juga signifikan pada lag 1. Selanjutnya dilakukan estimasi terhadap lag yang signifikan untuk mendapatkan model terbaik. Estimasi dilakukan dengan metode OLS (Ordinary Least Square) dengan software Eviews 5.0. Hasil estimasi dengan model AR(1) dan MA(1) atau ARIMA (1,0,1) ialah:

ISBN : 978-979-99735-8-0 A-23-6


Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

4755.994

248.0096

19.17666

0.0000

AR(1)

0.533926

0.381273

1.400377

0.1684

MA(1)

-0.246635

0.437615

-0.563588

0.5759

Nilai statistik t pada derajat kepercayaan 95% yaitu 1.960. Karena nilai statistik t AR(1) dan MA(1) tidak lebih besar dari 1.96, maka dapat dikatakan model AR(1) dan MA(1) belum dapat digunakan untuk peramalan. Untuk itu dilakukan estimasi kedua untuk model AR(1), hasilnya ialah: Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

4758.016

218.2079

21.80497

0.0000

AR(1)

0.307067

0.141575

2.168941

0.0354

Nilai statistik t untuk model AR(1)> 1.96, berarti model AR(1) signifikan dan dapat dilakukan untuk peramalan. Untuk membuktikan, dilakukan estimasi ketiga terhadap model MA(1), hasilnya ialah: Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C MA(1)

4772.507 0.223762

183.3697 0.143688

26.02669 1.557273

0.0000 0.1263

Hasilnya terbukti bahwa model MA(1) tidak signifikan dan model yang digunakan untuk peramalan ialah AR(1). Model ARIMAnya ialah ARIMA (1,0,0), atinya bahwa orde autoregressive=1, orde differencing=0 dan orde moving average=0. Hasil pemodelan data telah signifikan dan memenuhi asumsi yang disyaratkan, sehingga dapat dibuat peramalan dengan model AR (1). yang dilakukan dengan Software Minitab 14.0. Peramalan dilakukan untuk 46 periode sebelumnya (dari periode 3 ke 48) dan 6 periode ke depan (periode 49 sampai 54). Sehingga backforecast ialah 46 dan forecast ialah selama 6 bulan ke depan, sehingga lead (backforecast + forecast) ialah 46+6 = 52, sedangkan originnya 2 (artinya peramalan dimulai dari data ke 3 sampai 54). Dapat disimpulkan bahwa hasil peramalan untuk 6 periode berikutnya ialah: Tabel 2. Peramalan ARIMA(1,0,0) untuk 6 Periode Berikutnya Periode 49 50 51 52 53 54

Hasil Peramalan 4775,76 4775,76 4775,76 4775,76 4775,76 4775,76

ISBN : 978-979-99735-8-0 A-23-7


Perhitungan Nilai Kesalahan Peramalan dengan MSE Dalam melakukan peramalan, hasil peramalan yang diperoleh tidak benar-benar tepat, terdapat nilai kesalahan peramalan yang merupakan selisih antara nilai peramalan dengan nilai sesungguhnya. Peramalan dengan metode ARIMA memberikan nilai kesalahan peramalan sebesar n

e MSE =

i 1

N

2

i

=

53.495.693,0234 = 1.162.949,8483 46

Nilai kesalahan peramalan di atas cukup besar bila dibandingkan dengan menggunakan metode peramalan Regresi Siklis dan Dekomposisi untuk data historis di atas. DAFTAR PUSTAKA Biegel, John. E. 1992. Pengendalian Produksi Suatu Pendekatan Kuantitatif. Jakarta: CV Akademika Pressindo. Fogarty, D.W., Blackstone, John H. 1991. Production and Inventory Management. Edisi 2. South Western Publishing Co. Groover, Mikell P. 2008. Automation, Production Systems and Computer Integrated Manufacturing. 3rd edition. New Jersey: Pearson Education Inc. Upper Saddle River. Iriawan, Nur, PhD dan Septin Puji Astuti, S.Si, MT. 2006. Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan Minitab 14. Yogyakarta: CV Andi Offset. Kusuma, Hendra. 2002. Manajemen Produksi, Perencanaan dan Pengendalian Produksi. Edisi 2. Yogyakarta: Andi Yogyakarta. Makridakis, Spyros, Steven C. Wheelwright dan Victor E. McGee. 1992. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi 2. Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Nasution, Arman Hakim. 1999. Perencanaan dan Pengendalian Produksi. Jakarta: Institut Teknologi Sepuluh November. Nachrowi Djalal N. 2004. Teknik Pengambilan Keputusan.. Jakarta: PT. Grasindo

ISBN : 978-979-99735-8-0 A-23-8

PENGAMBILAN KEPUTUSAN DENGAN METODE PERAMALAN AUTOREGRESIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARIMA) (Studi Kasus: PT Tembaga Mulia Semanan)

Recommend Documents