Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada M etode Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional

UNI VERSI TAS I NDONESI A

Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada M etode Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional

TESI S Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar M agister Sains

ERWAN SETI AWAN 1206179454

FAKULTAS M ATEM ATI KA DAN I LM U PENGETAHUAN ALAM PROGRAM M AGI STER M ATEM ATI KA DEPOK JANUARI 2014

Analisis penggunaan..., Erwan Setiawan, FMIPA UI, 2014



KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrohim $OKDPGXOLOODKLUDEELO¶alamin, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah 6XEKDQDKX:D7D¶DOD yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis diberikan kemampuan untuk menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini dilakukan untuk memenuhi salah satu persyaratan mendapatkan gelar Magister Sains, Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan tesis ini, sangatlah sulit bagi penulis untuk menyelesaikan tesis ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr.rer.nat. Hendri Murfi, M.Kom selaku dosen pembimbing dan Dr. Yudi Satria, M.T. selaku pembimbing akademik dan dosen pembimbing, yang telah menyediakan waktu, tenaga, pikiran dan memberikan bimbingan dengan penuh kesabaran sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. 2. Dr. Dian Lestari, DEA, selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA UI yang telah memberikan bimbingan selama masa perkuliahan. 3. Prof. Dr. Djati Kerami, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA UI yang telah memberikan bimbingan dan inspirasi kepada penulis. 4. Seluruh staf pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA UI, atas arahan, bimbingan, dan ilmu pengetahuan yang telah diberikan selama perkuliahan. 5. Karyawan/karyawati Departemen Matematika FMIPA UI, yang selalu siap membantu saat penulis butuhkan. 6. Bapak dan Ibu penulis, Sriyono dan Wartini, yang telah banyak memberikan dukungan moril dan materil, serta adik-adik cantikku Erna, Endah, dan Elsa yang penulis sayangi. 7. Istri dan jagoan kecil penulis, Yani dan Daffa, yang penulis sayangi dan selalu memberikan semangat bagi penulis. iv

Universitas Indonesia


8. Rekan-rekan satu angkatan µ¶Mathgister 2012¶¶ yaitu Mas Nurdin, Mas Yogi, Mbak Wed, Maul, Fery, Yana, dan Fitri yang telah memberikan warna dalam hidup penulis selama masa perkuliahan. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya, terutama untuk pengembangan ilmu pengetahuan.

Penulis

v




ABSTRAK

Nama Program Studi Judul

: Erwan Setiawan : Magister Matematika : Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada Metode Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional

Risiko operasional merupakan salah satu jenis risiko pada perbankan yang wajib dikelola dengan baik karena sifatnya yang melekat pada setiap aktifitas fungsional bank. Dalam pengelolaan risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk memperhitungkan kerugian yang diperkirakan dan kerugian yang tidak diperkirakan dalam kebutuhan modal bagi risiko operasional. Kebutuhan modal bagi risiko operasional ini dikenal sebagai Economic Capital (EC). Komite Basel dalam aturan Basel II, memberikan tiga pendekatan dalam perhitungan EC salah satunya pendekatan Advanced Measurement Approach (AMA). Metode AMA yang banyak digunakan adalah metode Loss Distribution Approach (LDA). Dalam metode LDA, bank harus mengestimasi loss severity distribution (distribusi severitas) dan loss frequency distribution (distribusi frekuensi) kemudian membentuk aggregate loss distribution dari gabungan kedua distribusi tersebut. Nilai EC dengan metode LDA didapat dari Value at Risk (VaR) pada aggregate loss distribution dengan tingkat kepercayaan 99,9%. Permasalahan dari metode LDA saat ini adalah dalam mengestimasi distribusi severitas masih berbasis pada suatu model distribusi tertentu, padahal banyak kasus dimana data tidak dapat digambarkan dengan baik oleh suatu model distribusi yang sudah ada. Oleh karena itu, dalam tulisan ini akan dijelaskan solusi dari permasalahan tersebut, yaitu dengan mengestimasi distribusi severitas berbasis pada data. Metode yang digunakan adalah Kernel Density Estimation (KDE). KDE merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui. Hasil dari penelitian adalah estimasi distribusi severitas oleh KDE lebih baik dalam menggambarkan data dibandingkan dengan menggunakan model distribusi tertentu. Nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang menggunakan KDE lebih kecil 1,6 ± 3,2% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang menggunakan model distribusi tertentu.

Kata kunci

: risiko operasional, metode monte carlo, loss distribution approach, kernel density estimation

vii



ABSTRACT

Name Program Study Title

: Erwan Setiawan : Magister of Mathematics : Analysis the Use of Kernel Density Estimation on The Loss Distribution Approach Method for Operational Risk

Operational risk is one kind of risk on banking which must be managed well because of its character is inherent in every fungtional activity in Bank. In the management of operasional risk, Bank must be able to calculate a predictable loss and an unpredictable loss in capital requisite for operasional risk. The capital requisite in operasional risk is known as Economic Capital (EC). In the regulation of Basel II, Committee Basel gives three approaches of calculation in EC. One of that is Advanced Measurement Approach (AMA). In AMA method that is the most used in approach is Loss Distribution Approach (LDA) method. In LDA method, Bank must be able to estimate loss severity distribution (severity distribution) and loss frequency distribution (frequency distribution) and aggregate loss distribution is formed from both of them. Through LDA method, the value at EC can be gotten from Value at Risk (VaR) in aggregate loss distribution with the level of confidence reaches 99,9%. The problem from LDA method recently is in estimation a severity distribution which is still refers to a model on particular distribution whereas there are many cases which can not describe a data well through a distribution model that has been there. Therefore, in this paper, it will be explained how to face or the good solution from that problem. The good solution to face it is through estimation severity distribution that is refers to the data with using Kernel Density Estimation (KDE) method. KDE is a statistic approach non- parametric to estimate the function of distribution from disordered variabel that has not known. The result on this research is estimation of severity distribution through KDE is better than another in describing the data. LDA method using KDE is smaller the value at EC 1,6 % 3,2 % than the value at EC using another distribution model in LDA method.

Keywords

: operational risk, monte carlo, loss distribution approach, kernel density estimation.

viii



DAFTAR I SI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS .................................................. ii LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. iii KATA PENGANTAR ......................................................................................... iv LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............................ vi ABSTRAK .......................................................................................................... vii ABSTRACT......................................................................................................... viii DAFTAR ISI ........................................................................................................ ix DAFTAR TABEL ................................................................................................ xi DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xii DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xiii 1. PENDAHULUAN ........................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1 1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 4 1.3 Batasan Penelitian ................................................................................... 5 1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 5 1.5 Metodologi Penelitian ............................................................................. 5 2. LANDASAN TEORI ...................................................................................... 6 2.1 Risiko Perbankan ..................................................................................... 6 2.1.1 Pengertian Risiko ........................................................................... 6 2.1.2 Jenis ± jenis Risiko......................................................................... 6 2.1.3 Manajemen Risiko ......................................................................... 8 2.2 Risiko Operasional .................................................................................. 8 2.2.1 Tipe Kejadian pada Risiko Operasional ........................................ 9 2.2.2 Economic Capital untuk Risiko Operasional ............................... 10 2.3 Value at Risk ......................................................................................... 13 2.4 Distribusi Probabilitas........................................................................... 13 2.4.1 Distribusi Binomial ...................................................................... 13 2.4.2 Distribusi Poisson ........................................................................ 14 2.4.3 Distribusi Normal/Gaussian ......................................................... 14 2.4.4 Distribusi Log-Normal ................................................................. 15 2.4.5 Distribusi Majemuk ..................................................................... 15 2.5 Loss Distribution Approach .................................................................. 15 2.6 Algoritma Monte Carlo pada metode Loss Distribution Approach...... 16 3. KERNEL DENSI TY ESTI MATI ON ............................................................ 18 3.1 Konsep Dasar ........................................................................................ 18 3.2 Fungsi Kernel ........................................................................................ 20 3.3 Pemilihan Lebar Pita (Bandwidth) ........................................................ 22 4. SI M ULASI DAN PEM BAHASAN ............................................................. 24 4.1 Data Penelitian ...................................................................................... 24 4.2 Estimasi Distribusi Frekuensi ............................................................... 26 ix



4.3

Estimasi Distribusi Severitas ................................................................ 27 4.3.1 Estimasi Distribusi Severitas Menggunakan KDE ...................... 27 4.3.2 Estimasi Distribusi Severitas Menggunakan Suatu Model Distribusi ..................................................................................................... 31 4.3.3 Perbandingan Distribusi Severitas yang Menggunakan KDE dengan yang Menggunakan Suatu Model Distribusi................... 32 Perbandingan Nilai EC antara yang Menggunakan KDE dengan yang Menggunakan Suatu Model Distribusi ................................................. 34 Nilai EC untuk Beberapa Nilai h pada KDE ........................................ 39

4.4 4.5

5. KESI M PULAN DAN SARAN ..................................................................... 41 DAFTAR REFERENSI .................................................................................... 42 LAM PI RAN ....................................................................................................... 43

x



DAFTAR TABEL

Tabel Tabel Tabel Tabel

2.1 4.1 4.2 4.3

-HQLVOLQLELVQLVGDQEHVDUDQ%HWDIDNWRUȕ .................................. 12 Statistik data penelitian 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun ................ 24 Perbandingan nilai EC untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun 37 Perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun ....................................................... 39

xi



DAFTAR GAM BAR

Gambar 3.1

Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa fungsi kernel ..................................................................................................... 21 Gambar 3.2 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa nilai h.... 22 Gambar 4.1 Histogram data penelitian ............................................................ 26 Gambar 4.2 Distribusi frekuensi ..................................................................... 27 Gambar 4.3 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan nilai h berdasarkan metode silverman......................................................................... 28 Gambar 4.4 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan beberapa nilai h30 Gambar 4.5 Distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal . 32 Gambar 4.6 Perbandingan distribusi severitas yang menggunakan KDE dan yang menggunakan log-normal ................................................... 33 Gambar 4.7 Konvergensi nilai EC untuk data 3 tahun .................................... 35 Gambar 4.8 Konvergensi nilai EC untuk data 5 tahun .................................... 36 Gambar 4.9 Konvergensi nilai EC untuk data 10 tahun .................................. 37 Gambar 4.10 Perbandingan tail dari KDE dan log-normal untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun...................................................................... 38

xii



DAFTAR LAM PI RAN

Lampiran 1 Algoritma program ........................................................................ 44 Lampiran 2 Data penelitian ............................................................................... 47 Lampiran 3 Hasil simulasi konvergensi nilai EC .............................................. 53

xiii



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dewasa ini, bank memegang peranan yang sangat penting dalam membangun perekonomian masyarakat. Bank merupakan badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk kredit dan atau bentuk lainnya, guna meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Sebagaimana layaknya badan usaha lain, bank memerlukan modal yang merupakan sarana untuk menyerap kerugian dan kekuatan untuk melakukan ekspansi, artinya setiap ada kerugian bisnis maka akan mempengaruhi permodalan bank. Dengan modal yang besar, kesadaran risiko bank cenderung akan berkurang karena mengandalkan semuanya pada kecukupan modal. Tetapi dengan modal yang kecil bank cenderung tidak bisa melihat jauh ke depan (ekspansi) dan hanya berkutat pada operasional sehari-hari. Oleh karena itu, bank harus memiliki keseimbangan pola pikir dalam mengelola risiko dan permodalan. Risiko dalam konteks perbankan merupakan suatu kejadian potensial yang berdampak negatif terhadap pendapatan dan permodalan bank. Saat ini, situasi lingkungan eksternal dan internal perbankan mengalami perkembangan pesat yang diikuti dengan semakin kompleksnya risiko kegiatan usaha perbankan sehingga meningkatkan kebutuhan praktek tata kelola bank yang sehat (good corporate governance) dan penerapan manajemen risiko. Esensi dari penerapan manajemen risiko adalah kecukupan prosedur dan metodologi pengelolaan risiko sehingga kegiatan usaha bank tetap dapat terkendali pada batas/limit yang dapat diterima serta menguntungkan bank. Penerapan manajemen risiko meliputi pengawasan aktif pengurus bank, kebijakan, prosedur dan penetapan limit risiko, proses identifikasi, pengukuran, pemantauan, sistem informasi, dan pengendalian risiko, serta sistem pengendalian intern. Untuk dapat menerapkan proses manajemen risiko, maka tahap awal bank harus dapat mengidentifikasi risiko dengan cara mengenal dan memahami seluruh risiko yang ada. Setelah dilakukan identifikasi, langkah berikutnya secara

1



2

berturut-turut bank perlu melakukan pengukuran, pemantauan, dan pengendalian risiko. Pengukuran risiko tersebut dimaksudkan agar bank mampu mengkalkulasi eksposur risiko yang melekat pada kegiatan usahanya sehingga bank dapat memperkirakan dampaknya terhadap permodalan yang seharusnya dipelihara dalam rangka mendukung kegiatan usaha bank. Sementara itu, dalam rangka melaksanakan pemantauan risiko, bank harus melakukan evaluasi terhadap eksposur risiko, terutama yang bersifat material dan atau yang berdampak pada permodalan bank. Hasil pemantauan yang mencakup evaluasi terhadap eksposur risiko tersebut dilaporkan secara tepat waktu, akurat dan informatif yang akan digunakan oleh pihak pengambilan keputusan, termasuk tindak lanjut yang diperlukan. Selanjutnya berdasarkan hasil pemantauan tersebut, bank melakukan pengendalian risiko antara lain dengan cara penambahan modal, melindungi aset, dan teknik mitigasi risiko lainnya. Risiko yang melekat (inherent) pada setiap aktifitas fungsional bank adalah risiko operasional. Komite Basel untuk Pengawasan Perbankan, suatu lembaga yang dibentuk oleh bank sentral dari negara-negara Group of Ten (G10) pada tahun 1974, mendefinisikan risiko operasional sebagai risiko kerugian yang disebabkan oleh ketidakcukupan atau kegagalan proses internal, manusia dan sistem atau dari kejadian eksternal. Risiko operasional dapat menimbulkan kerugian keuangan secara langsung maupun tidak langsung dan kerugian potensial atas hilangnya kesempatan memperoleh keuntungan. Salah satu kasus yang menggambarkan pentingnya manajemen risiko operasional adalah kasus Barings Bank di London pada tahun 2004. Kasus Barings Bank terjadi karena seorang treader di kantor cabang Singapura melakukan kegiatan treading diluar kewenangannya. Peristiwa ini mengakibatkan Baring Brothers and Co Ltd mengalami kerugian tidak kurang dari GBP 827 juta yang menyebabkan bank tersebut tidak dapat memenuhi kewajibannya (kecukupan modal) sehingga menjadi bank gagal. Dalam manajemen risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk memperhitungkan kerugian yang diperkirakan (expected loss) dan kerugian yang tidak diperkirakan (un-expected loss) dalam kebutuhan modal bagi risiko operasional. Kebutuhan modal bagi risiko operasional dikenal sebagai Economic



3

Capital (EC). Economic capital adalah ukuran kecukupan modal yang diperlukan untuk menyerap kerugian ekstrem yang tidak diperkirakan dalam periode dan tingkat keyakinan tertentu. Komite Basel dalam aturan Basel II memberikan tiga pendekatan dalam perhitungan modal ekonomis, yaitu: Basic Indicator Approach (BIA), Standardized Approach (SA), dan Advanced Measurement Approach (AMA). Untuk pendekatan BIA dan SA formulasinya sudah ditetapkan dalam aturan Basel II, sedangkan dalam pendekatan AMA pihak bank diberikan keleluasaan untuk mengembangkan metode perhitungan EC secara internal yang berbasis data internal bank, dengan mendapatkan persetujuan dari regulator lokal. Metode AMA yang banyak digunakan adalah metode Loss Distribution Approach (LDA). Dalam metode LDA, bank harus mengestimasi loss severity distribution (distribusi severitas) dari besarnya kerugian pada satu kejadian dalam suatu periode dan loss frequency distribution (distribusi frekuensi) dari banyaknya kejadian rugi dalam suatu periode, kemudian membentuk aggregate loss distribution dari gabungan kedua distribusi tersebut. Nilai EC dengan menggunakan metode LDA didapat dari Value at Risk (VaR) pada aggregate loss distribution dengan tingkat kepercayaan 99,9% (Frachot,Georges, dan Roncalli,2001). Karena aggregate loss distribution dibentuk oleh gabungan dari dua distribusi maka disebut juga sebagai distribusi majemuk. Pada umumnya, tidak terdapat ekspresi analitik untuk distribusi majemuk sehingga perlu dilakukan pendekatan secara numerik untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk. Metode numerik yang banyak digunakan adalah metode monte carlo karena mudah untuk diimplementasikan (Shevchenko, 2010). Langkah pertama untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk adalah mengestimasi distribusi frekuensi dan distribusi severitas. Langkah kedua, dari distribusi frekuensi diambil satu nilai secara acak, misal N, kemudian dilakukan pengambilan nilai secara acak dari distribusi severitas sebanyak N, sebut X(1), X(2), «X(N). Langkah terakhir menjumlahkan semua nilai X(i) untuk mendapatkan sebuah nilai yang merupakan sampel dari distribusi majemuk. Estimasi nilai EC didapatkan dari persentil ke 99,9% dari sampel-sampel yang diambil secara acak dari distribusi majemuk.



4

Permasalahan dari metode ini adalah dalam mengestimasi distribusi severitas saat ini masih berbasis model distribusi tertentu. Padahal sering kali data sebenarnya tidak dapat digambarkan dengan baik oleh model distribusi yang sudah ada. Hal ini tentunya akan berpengaruh pada akurasi dari estimasi nilai EC. Oleh karena itu, dalam tulisan ini akan dijelaskan solusi dari permasalahan tersebut, yaitu dengan mengestimasi distribusi severitas berbasis pada data. Metode yang digunakan adalah Kernel Density Estimation (KDE). KDE merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui. Pembahasan mengenai KDE dalam tesis ini meliputi konsep dasar metode LDA dan KDE, simulasi perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang estimasi distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model distribusi tertentu, analisis pengaruh pemilihan nilai parameter lebar pita (bandwidth) pada KDE terhadap nilai EC yang dihasilkan, dan kesimpulan penelitian. 1.2 Rumusan M asalah Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah 1. Bagaimana analisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional. 2. Bagaimana perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang estimasi distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model distribusi tertentu. 1.3 Batasan Penelitian Batasan yang digunakan dalam penelitian ini adalah 1. Fungsi kernel yang digunakan adalah fungsi kernel Gaussian 2. Dalam LDA yang berbasis model, estimasi distribusi severitas menggunakan satu model distribusi standar yang relatif baik menggambarkan data penelitian.



5

3. Analisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional hanya meliputi: analisis pemilihan lebar pita (bandwidth), analisis pengaruh nilai lebar pita terhadap nilai EC yang dihasilkan 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah 1. Menganalisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional. 2. Membandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang estimasi distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model distribusi tertentu 1.5 M etodologi Penelitian Metodologi penelitian yang dilakukan sebagai berikut: 1. Studi literatur mengenai topik penelitian, seperti risiko pada perbankan, konsep dan penerapan metode LDA untuk risiko operasional, konsep KDE, konsep metode Monte Carlo pada LDA, konsep Value at Risk dan bahasa pemrograman Python. 2. Melakukan simulasi komputasi dengan menggunakan bahasa pemrograman Python, dengan alur sebagai berikut: a. Membentuk data penelitian secara acak menggunakan Python. b. Melakukan estimasi distribusi frekuensi dari data penelitian. c. Melakukan estimasi distribusi severitas dengan menggunakan metode KDE dan metode berbasis model distribusi standar yang ada saat ini. d. Melakukan aproksimasi distribusi majemuk, yang merupakan gabungan dari distribusi frekuensi dan severitas, menggunakan metode monte carlo. e. Menentukan nilai EC yang didapat dari persentil ke 99,9% dari sampelsampel yang diambil secara acak dari distribusi majemuk. f. Melakukan analisis terhadap hasil yang diperoleh dari simulasi komputasi. g. Menarik kesimpulan dari hasil penelitian yang dilakukan.



BAB I I LANDASAN TEORI Dalam bab 2, akan dijelaskan mengenai teori ± teori dasar yang terkait dengan penelitian dalam tesis ini, diantaranya risiko perbankan, risiko operasional, value at risk, distribusi probabilitas, loss distribution approach, dan algoritma monte carlo pada metode loss distribution approach. 2.1 Risiko Perbankan Bank merupakan badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk kredit dan atau bentuk lainnya, guna meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Dalam menjalankan kegiatan usahanya, bank selalu bersinggungan dengan risiko. Sejatinya risiko tersebut tidak bisa dihindari akan tetapi sangat mungkin dilakukan pengelolaan risiko agar kegiatan usaha perbankan tidak terganggu dan dapat memberikan keuntungan bagi bank. 2.1.1 Pengertian Risiko Menurut kamus besar Bahasa Indonesia, risiko secara umum adalah akibat yang kurang menyenangkan (merugikan, membahayakan) dari suatu perbuatan atau tindakan. Sedangkan kaitannya dengan perbankan, Bank Indonesia mendefinisikan risiko sebagai tingkat kemungkinan terjadinya kerugian yang harus ditanggung dalam pemberian kredit, penanaman investasi, atau transaksi lain yang dapat berbentuk harta, kehilangan keuntungan, atau kemampuan ekonomis. 2.1.2 Jenis-jenis Risiko Bank Indonesia dalam PBI 5/8/2003 membagi risiko perbankan ke dalam 8 jenis risiko. Hal ini dilakukan untuk mempermudah dalam proses manajemen atau pengelolaan risiko. Jenis-jenis risiko perbankan tersebut antara lain:

6



7

a) Risiko Kredit Risiko kredit didefinisikan sebagai risiko ketidakmampuan debitur atau counterparty melakukan pembayaran kembali kepada bank. b) Risiko Pasar Risiko pasar adalah kerugian pada posisi neraca dan rekening administratif termasuk transaksi derivatif akibat perubahan keseluruhan pada kondisi pasar. c) Risiko Operasional Risiko operasional adalah risiko akibat ketidakcukupan dan/atau tidak berfungsinya proses internal, kesalahan manusia, kegagalan sistem, dan/atau adanya kejadian eksternal yang mempengaruhi operasional bank. d) Risiko Likuiditas Risiko likuiditas adalah risiko akibat ketidakmampuan bank untuk memenuhi kewajiban yang jatuh tempo dari sumber pendanaan arus kas dan/atau dari aset likuid berkualitas tinggi yang dapat diagunkan, tanpa menganggu aktivitas dan kondisi keuangan bank. e) Risiko Hukum Risiko hukum adalah risiko yang timbul akibat tuntutan hukum dan/atau kelemahan aspek yuridis. f) Risiko Reputasi Risiko reputasi adalah risiko akibat menurunnya tingkat kepercayaan stakeholder yang bersumber dari persepsi negatif terhadap bank. g) Risiko Strategik Risiko strategik adalah risiko akibat ketidaktepatan bank dalam mengambil keputusan dan/atau pelaksanaan suatu keputusan stratejik serta kegagalan dalam mengantisipasi perubahan lingkungan bisnis. h) Risiko Kepatuhan Risiko kepatuhan adalah risiko yang timbul akibat bank tidak mematuhi dan/atau tidak melaksanakan peraturan perundang-undangan dan ketentuan yang berlaku.



8

2.1.3 M anajemen Risiko Menurut peraturan Bank Indonesia No. 5/8/PBI/2003 manajemen risiko didefinisikan sebagai serangkaian proses dan metodologi yang digunakan untuk mengidentifikasi, mengukur, memantau, dan mengendalikan risiko yang timbul dari kegiatan usaha bank. Penerapan manajemen risiko akan memberikan manfaat, baik kepada bank maupun otoritas pengawasan perbankan, diantaranya a. Bagi bank Penerapan manajemen risiko dapat meningkatkan shareholder value, memberikan gambaran kepada pengelola bank mengenai kemungkinan kerugian bank di masa datang, meningkatkan metode dan proses pengambilan keputusan yang sistematis yang didasarkan atas ketersediaan informasi, digunakan sebagai dasar pengukuran yang lebih akurat mengenai kinerja bank, digunakan untuk menilai risiko yang melekat pada instrumen atau kegiatan usaha bank yang relatif kompleks serta menciptakan infrastruktur manajemen risiko yang kokoh dalam rangka meningkatkan daya saing Bank. b. Bagi otoritas pengawasan perbankan Penerapan manajemen risiko akan mempermudah penilaian terhadap kemungkinan kerugian yang dihadapi bank yang dapat mempengaruhi permodalan bank dan sebagai salah satu dasar penilaian dalam menetapkan strategi dan fokus pengawasan bank. 2.2 Risiko Operasional Jenis risiko yang selalu melekat dalam setiap aktifitas fungsional bank adalah risiko operasional. Risiko operasional didefinisikan sebagai risiko kerugian yang disebabkan dari ketidakcukupan atau kegagalan proses internal, manusia dan sistem atau dari kejadian eksternal (Basel Committee on Banking Supervision, 2006). Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa penyebab risiko operasional dibagi menjadi empat yaitu proses internal, manusia, sistem, dan kejadian eksternal. a. Proses internal contohnya dokumentasi yang tidak lengkap, pengendalian yang lemah, kelalaian pemasaran, kesalahan penjualan produk, pencucian uang, laporan yang tidak lengkap atau tidak benar, kesalahan transaksi.



9

b. Manusia contohnya permasalahan keselamatan dan kesehatan kerja, perputaran karyawan yang tinggi, penipuan internal, sengketa pekerja, praktik manajemen yang buruk, pelatihan karyawan yang tidak memadai. c. Sistem contohnya kesalahan program, gangguan pelayanan, masalah yang terkait dengan keamanan sistem misalnya virus atau hacking, penggunaan teknologi yang belum diuji coba. d. Kejadian eksternal contohnya pencurian dan penipuan dari luar, kebakaran, bencana alam, kerusuhan dan unjuk rasa, penerapan ketentuan baru. 2.2.1 Tipe Kejadian pada Risiko Operasional Penyebab risiko operasional (proses internal, manusia, sistem, dan kejadian eksternal) dapat timbul karena beberapa faktor, antara lain: x Inadequate segretation of duties ± tidak memadainya pemisahan tugas sehingga fungsi dual control tidak berjalan. x Insufficient training ± tidak memadainya pelatihan yang diberikan kepada petugas/pejabat bank. x Lack of management supervision ± kelemahan supervisi dari manajemen bank Beberapa kelemahan tersebut yang akhirnya memicu terjadinya risiko operasional berdasarkan tipe kejadian Basel II, yaitu: a) Kecurangan secara internal (internal fraud), yaitu tindakan-tindakan yang jenisnya menjurus kepada pencurian, penipuan, penyalahgunaan hak dan milik perusahaan, menghindari regulasi, ketentuan hukum atau kebijakan perusahaan, yang melibatkan sekurang-kurangnya satu orang dalam b) Kejahatan eksternal (external fraud), yaitu tindakan-tindakan yang jenisnya menjurus kepada pencurian, penipuan, penyalahgunaan hak dan milik perusahaan, menghindari regulasi, ketentuan hukum atau kebijakan perusahaan yang dilakukan oleh pihak ketiga. c) Praktek ketenagakerjaan dan keselamatan tempat kerja (employment practices and workplace safety), yaitu tindakan-tindakan yang tidak konsisten dengan ketentuan ketenagakerjaan, ketentuan mengenai keselamatan kerja, atau tindakan yang dapat mengakibatkan timbulnya tuntutan karena adanya kecelakaan, atau tuntutan karena adanya diskriminasi terhadap pegawai



10

d) Klien, produk, dan praktek bisnis (client, products, and business practices), yaitu kegagalan memenuhi kewajiban kepada nasabah, baik karena lalai ataupun tidak sengaja, atau memenuhi sifat dan rancangan produk. e) Kerusakan aset fisik (damage to physical assets), yaitu hilangnya atau rusaknya aset bank secara fisik. f) Gangguan bisnis dan kegagalan sistem (business disruption and system failures), yaitu gangguan terhadap kegiatan usaha atau kegagalan sistem. g) Eksekusi, pengiriman, dan manajemen proses (execution, delivery, process management), yaitu proses transaksi atau manajemen yang gagal termasuk hubungan dagang dengan counterparty. 2.2.2 Economic Capital untuk Risiko Operasional Dalam manajemen risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk memperhitungkan kerugian yang diperkirakan dan kerugian yang tidak diperkirakan dalam kebutuhan modal bagi risiko operasional. Kerugian yang diperkirakan didefinisikan sebagai kerugian yang timbul akibat pelaksanaan kegiatan usaha secara normal. Sedangkan kerugian yang tidak diperkirakan didefinisikan sebagai kerugian yang timbul dari kejadian luar biasa yang potensi kejadiannya sangat kecil dan besarnya kerugian yang ditimbulkan jauh berada di atas nilai wajar yang dapat dikategorikan sebagai kerugian yang diperkirakan. Modal bagi risiko operasional dikenal sebagai Economic Capital (EC). Economic Capital didefinisikan sebagai ukuran kecukupan modal yang diperlukan untuk menyerap kerugian ekstrem yang tidak diperkirakan dalam periode dan tingkat keyakinan tertentu. Komite Basel dalam aturan Basel II memberikan tiga pendekatan untuk menghitung besarnya EC, yaitu: 1. The Basic Indicator Approach (BIA) Pendekatan BIA merupakan pendekatan yang paling sedrhana. Dalam pendekatan BIA, total pendapatan kotor (gross income) digunakan sebagai indikator eksposur. Perhitungan EC dengan pendekatan BIA ditentukan dengan mengalikan pendapatan kotor positif selama tiga tahun sebelumnya dengan suatu persentase tetap (D = 15%) kemudian diambil rata-ratanya.



11 ௡

‫ܥܧ‬஻ூ஺

ͳ ൌ ෍ ߙ ൈ ‫ܫܩ‬௝ ሺʹǤͳሻ ݊ ௝ୀଵ

dimana : ECBIA = Economic Capital dengan pendekatan BIA = Gross Income/pendapatan kotor positif tahunan selama 3 tahun

GI j

sebelumnya

D

= Persentase tetap yang ditetapkan oleh komite sebesar 15%

n

= Banyaknya tahun dari tiga tahun sebelumnya yang pendapatan kotornya positif Pendapatan kotor didefinisikan sebagai pendapatan bunga bersih

(pendapatan bunga dikurangi biaya bunga) ditambah pendapatan bersih non bunga (pendapatan di luar bunga dikurangi biaya di luar bunga). Pendapatan kotor yang negatif selama jangka waktu tiga tahun dikeluarkan dari perhitungan. 2.

The Standardised Approach (SA) Tidak seperti dalam pendekatan BIA, pada pendekatan SA perhitungan EC

menggunakan pendapatan kotor pada tiap lini bisnis bank. Terdapat 8 lini bisnis pada bank yaitu keuangan perusahaan (corporate finance), penjualan dan perdagangan (trading and sales), perbankan ritel (retail banking), perbankan komersial (commercial banking), pembayaran dan penyelesaian (payment and settlement), jasa agensi (agency services), perantara ritel (retail brokerage), manajemen aset (asset management). Perhitungan EC dengan pendekatan SA ditentukan dengan mengalikan pendapatan kotor pada setiap lini bisnisnya, dengan suatu persentase tetap E (Beta Factor). ‫ܥܧ‬ௌ஺

ଷ

଼

௝ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ൌ ෍ ݉ܽ‫ ݔ‬൥෍ ߚ௜ ൈ ‫ܫܩ‬௜ ǡ Ͳ൩ ሺʹǤʹሻ ͵

dimana : ECSA

= Economic Capital dengan pendekatan SA

GI i

= Pendapatan kotor untuk lini bisnis ke-i.

Ei

= Persentase tetap untuk lini bisnis ke-i yang besarannya ditetapkan oleh

komite. Besaran Ei untuk tiap lini bisnis dapat dilihat pada tabel 2.1 berikut



12

Tabel 2.1 Jenis lini bisnis dan besaran beta faktor (ȕ) Lini Bisnis

Beta Faktor

.HXDQJDQSHUXVDKDDQȕ1 )

18%

3HQMXDODQGDQSHUGDJDQJDQȕ2 )

18%

3HUEDQNDQULWHOȕ3 )

12%

3HUEDQNDQNRPHUVLDOȕ4 )

15%

3HPED\DUDQGDQSHQ\HOHVDLDQȕ5 )

18%

-DVDDJHQVLȕ6 )

15%

3HUDQWDUDULWHOȕ7 )

12%

0DQDMHPHQDVHWȕ8 )

12%

Nilai beta dari tiap lini bisnis merupakan faktor bobot risiko. Semakin tinggi nilai beta maka semakin besar potensi kerugian risiko operasional pada lini bisnis tersebut. Dalam SA pendapatan kotor yang negatif pada tahun tertentu tetap dimasukkan ke dalam perhitungan dengan cara diganti dengan nol. 3.

The Advanced Measurement Approaches (AMA) Pendekatan yang terakhir adalah AMA. Pendekatan ini memberikan ruang

kepada bank untuk mengembangkan model perhitungan EC secara internal yang berbasis pada data internal bank, dengan persetujuan dari regulator lokal. Menurut Basel II, untuk layak menggunakan AMA, suatu bank harus memenuhi persyaratan minimum berikut: x Dewan direksi dan manajemen senior, jika diperlukan, terlibat aktif dalam pemantauan pelaksanaan kerangka manajemen risiko operasional. x Memiliki konsep sistem manajemen risiko operasional yang baik dan diimplementasikan dengan integritas. x Memiliki sumber daya yang cukup untuk penggunaan pendekatan tersebut pada lini bisnis utamanya, serta pada wilayah-wilayah pengendalian dan audit Terdapat tiga metode dalam pendekatan AMA, yaitu internal measurement approach, loss distribution approach, dan risk drivers and control approach. Metode yang banyak digunaka adalah metode Loss Distribution Approach (LDA).



13

2.3 Value at Risk Misal diberikan tingkat kepercayaan Į ࣅ (0,1), maka Value at Risk (VaR) pada tingkat kepercayaan Į didefinisikan sebagai nilai terkecil l sedemikian sehingga probabilitas kerugian L lebih besar l adalah tidak lebih besar dari (1 ± Į Secara matematis, VaR diberikan oleh persamaan berikut ఈ ൌ ݂݅݊ሼ݈ ‫ܴ א‬ȁܲሺ‫ ܮ‬൐ ݈ሻ ൑ ͳ െ ߙሽሺʹǤ͵ሻ (McNeil, Frey, dan Embrechts 2005) Dalam ekonomi dan keuangan, VaR adalah kerugian maksimum yang tidak akan dilewati untuk suatu probabilitas yang didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan. VaR diterapkan secara luas dalam keuangan untuk manajemen risiko secara kuantitatif. 2.4 Distribusi Probabilitas Sering kali, untuk mengetahui peluang dari semua variabel acak pada suatu percobaan acak lebih mudah menggunakan suatu rumus. Rumus tersebut merupakan fungsi dari nilai-nilai variabel acak, jadi f(x) = P(X = x) dimana X adalah variabel acak. Himpunan semua pasangan berurutan (x,f(x)) disebut distribusi probabilitas untuk variabel acak X. Distribusi probabilitas dibagi menjadi dua yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu. Distribusi probabilitas diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel acak diskrit berikut peluangnya. Sedangkan, untuk distribusi probabilitas kontinu sering disebut sebagai fungsi densitas probabilitas karena nilai-nilai dari variabel acaknya berupa daerah interval (Walpole,1972). 2.4.1 Distribusi Binomial Misalkan terdapat N percobaan yang saling bebas dan tiap percobaan menghasilkan sebuah peluang sukses p dan peluang gagal 1 ± p. Maka distribusi probabilitas untuk variabel acak M, yaitu banyaknya kejadian sukses dalam N percobaan yang saling bebas adalah ܰ ‫݊݅ܤ‬ሺ݉ȁܰǡ ‫݌‬ሻ ൌ ቀ ቁ ‫݌‬௠ ሺͳ െ ‫݌‬ሻேି௠ ǡ ݉

‫ ݉݇ݑݐ݊ݑ‬ൌ Ͳǡͳǡʹǡ ǥ ǡ ݊ሺʹǤͶሻ



14

Variabel acak M dalam kasus ini disebut variabel binomal dan distribusi probabilitas untuk variabel acak M disebut distribusi binomal (Walpole, 1972). 2.4.2 Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi sebuah variabel acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu, sering disebut percobaan poisson. Percobaan poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut: a) Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. b) Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut. c) Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan. Variabel X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson disebut variabel acak poisson dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi poisson. Distribusi probabilitas untuk X adalah ࣪ሺ‫ݔ‬ȁߤሻ ൌ

݁ ିఓ ߤ ௫ ǡ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡ Ǥ ǤǤሺʹǤͷሻ ‫ݔ‬Ǩ

ൌ Ͳǡ‫ܽݕ݈݊݊݅ܽݔ݈݅ܽ݅݊݇ݑݐ݊ݑ‬ dimana µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakaQGDQH «:DOSROH2). 2.4.3 Distribusi Normal/Gaussian Distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam bidang statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal sering disebut distribusi Gaussian, untuk menghormati Gauss (1777 ± 1855) yang berhasil mendapatkan persamaannya dari studi mengenai galat dalam pengukuran yang berulang-ulang terhadap benda yang sama. Suatu variabel acak kontinu X yang memiliki distribusi probabilitas berbentuk genta/lonceng disebut variabel acak normal.



15

Bila X DGDODKVXDWXYDULDEHODFDNQRUPDOGHQJDQPHDQGDQYDULDQVLı2, maka persamaan kurva normalnya adalah ࣨሺ‫ݔ‬ȁߤǡ ߪሻ ൌ

ሺ‫ ݔ‬െ ߤሻଶ ͳ ቆെ ቇሺʹǤ͸ሻ ሺʹߨߪ ଶ ሻଵȀଶ ʹߪ ଶ

GDODPKDOLQLʌ «GDQH 2,«:DOSROH2). 2.4.4 Distribusi Log-Normal Distribusi log-normal adalah suatu distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu yang logaritma dari variabel acaknya berdistribusi normal. Jika X berdistribusi log-normal maka Y = log(X) berdistribusi normal. Variabel acak yang berdistribusi log-normal hanya bernilai positif. Bila X adalah variabel acak yang berdistribusi log-normal dengan mean µ GDQYDULDQVLı2, maka persamaan kurvanya adalah ሺ‫ ݔ‬െ ߤሻଶ ͳ ࣦሺ‫ݔ‬ȁߤǡ ߪሻ ൌ ቆെ ቇ ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൐ ͲሺʹǤ͹ሻ ʹߪ ଶ ‫ݔ‬ሺʹߨߪ ଶ ሻଵȀଶ ൌ Ͳǡ‫ܽݕ݈݊݊݅ܽݔ݈݅ܽ݅݊݇ݑݐ݊ݑ‬ dalam hal ini ln(.) adalah logaritma dengan bDVLVH «. 2.4.5 Distribusi M ajemuk Misalkan S adalah suatu variabel acak yang dibentuk dari beberapa variabel acak X yang identically independent distribution (iid), dimana banyaknya variabel acak X itu sendiri berupa variabel acak N dan X saling bebas terhadap N. Secara matematis S didefinisikan sebagai berikut: ே

ܵ ൌ ܺଵ ൅ ܺଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܺே ൌ ෍ ܺ௜ ሺʹǤͺሻ ௜ୀଵ

dalam hal ini S akan membentuk suatu distribusi probabilitas yang disebut distribusi majemuk. 2.5 Loss Distribution Approach Loss Distribution Approach (LDA) adalah suatu pendekatan statistik yang sangat populer dalam akturia sains untuk menghitung distribusi kerugian (loss distribution). Dalam kaitannya dengan risiko operasional, LDA dipertimbangkan



16

sebagai kerangka dasar untuk pengalokasian economic capital. Konsep dasarnya adalah bank harus mengestimasi, untuk setiap lini bisnis/tipe kejadian, fungsi distribusi probabilitas dari dampak kejadian tunggal dan frekuensi kejadian untuk satu tahun ke depan dengan menggunakan data internal bank tersebut, dan menentukan distribusi probabilitas dari kerugian operasional kumulatif (Frachot, Georges, dan Roncalli,2001). Secara matematis, besarnya kerugian tahunan diberikan oleh persamaan berikut: ே

ܼ ൌ ෍ ܺ ሺ௜ሻ ሺʹǤͻሻ ௜ୀଵ

dimana, Z

= besarnya kerugian per tahun

N

= banyaknya kejadian kerugian yang terjadi selama 1 tahun

X(i) = besarnya kerugian pada kejadian ke- i Karena Z adalah variabel acak yang dibentuk dari variabel acak X(i) untuk i = 1, « N, yang identically independent distribution (iid), kemudian N juga merupakan variabel acak yang saling bebas terhadap X(i) maka Z akan membentuk suatu distribusi majemuk. Dalam kasus ini, distribusi probabilitas dari variabel acak X(i) disebut distribusi severitas, dan distribusi probabilitas dari variabel acak N disebut distribusi frekuensi. Secara umum, tidak terdapat ekspresi secara analitik untuk distribusi majemuk sehingga perlu dilakukan suatu pendekatan secara numerik untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk. Beberapa metode numerik yang terkenal adalah metode Monte Carlo, Fast Fourier Transform dan Panjer Recursion. Metode monte carlo adalah metode yang paling mudah untuk diimplementasikan (Shevchenko, 2009). 2.6 Algoritma M onte Carlo pada M etode Loss Distribution Approach Metode monte carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Algoritma monte carlo merupakan metode monte carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi problem matematis yang sulit dipecahkan secara analitik.



17

Algortima monte carlo pada metode LDA adalah sebagai berikut: 1. Melakukan estimasi distribusi frekuensi 2. Melakukan estimasi distribusi severitas 3. Untuk k = 1 a) Melakukan pengambilan bilangan secara acak dari distribusi frekuensi, misal bilangan yang terambil N. b) Melakukan pengambilan secara acak sebanyak N dari distribusi severitas, misal X(1), X(2)«X(N) dengan X(1), X(2)«X(N) saling bebas. ሺ௜ሻ c) Hitung ܼ ሺ௞ሻ ൌ σே ௜ୀଵ ܺ

4. Ulangi langkah no.1 untuk k = 2 sampai dengan k = K Pada akhirnya akan diperoleh Z(1)« Z(K) yang merupakan sampel dari distribusi majemuk. Untuk mendapatkan estimasi modal risiko di tahun berikutnya maka Z(1)«Z(K) diurutkan sebagai berikut ܼ෨ ሺଵሻ ൑ ‫ ڮ‬൑ ܼ෨ ሺ௄ሻ , kemudian ditentukan persentil ke 99,9 % (Shevchenko, 2009).



BAB I I I KERNEL DENSI TY ESTI MATI ON Dalam bab 3 ini, akan dibahas mengenai konsep dasar dari metode kernel density estimation, fungsi kernel, dan pemilihan lebar pita (bandwidth). 3.1 Konsep Dasar Kernel Density Estimation (KDE) merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui. Dalam ekonometrika, KDE dikenal sebagai metode Parzen-Rosenblatt window. Konsep dasar dari KDE adalah mengestimasi fungsi densitas di suatu titik x dengan menggunakan pengamatan disekitarnya. Misalkan vektor pengamatan x diambil dari suatu fungsi distribusi probabilitas p(x) yang tidak diketahui, maka probabilitas bahwa vektor x akan berada dalam suatu daerah R adalah ܲ ൌ න ‫݌‬ሺ‫ܠ‬ሻ݀‫ܠ‬ሺ͵Ǥͳሻ ோ

Misalkan N pengamatan diambil dari distribusi probabilitas p(x). Karena setiap titik data memiliki probabilitas P untuk berada dalam daerah R, maka distribusi probabilitas banyaknya k titik data yang berada dalam daerah R akan mengikuti distribusi binomial ሺ݇ȁܰǡ ܲሻ ൌ

ܰǨ ܲ௞ ሺͳ െ ܲሻேି௞ ሺ͵Ǥʹሻ ݇Ǩ ሺܰ െ ݇ሻǨ

Dari persamaan (3.2) dapat diperoleh bahwa mean k/N adalah E(k/N) = P dan variansi k/N adalah var(k/N) = P(1 ± P)/N. Untuk N yang sangat besar maka variansi dari k/N akan semakin kecil dan mengakibatkan data cenderung berkumpul di mean, sehingga

݇ ؆ ܲሺ͵Ǥ͵ሻ ܰ

Jika diasumsikan bahwa daerah R cukup kecil sehingga probabilitas p(x) konstan atas daerah R, maka persamaan (3.1) akan menjadi ܲ ؆ ‫݌‬ሺ‫ܠ‬ሻܸሺ͵ǤͶሻ

18



19

dengan V adalah volume dari R. Subtitusikan persamaan (3.3) ke (3.4) maka diperoleh estimasi dari fungsi distribusi probabilitas dalam bentuk ‫݌‬ሺ‫ܠ‬ሻ ൌ

݇ ሺ͵Ǥͷሻ ܸܰ

Persamaan (3.5) dapat dikembangkan dengan dua cara. Pertama, dengan menetapkan k dan kemudian menentukan nilai V dari data, hal ini yang mendasari metode k-nearest-neighbour, metode ini tidak akan dibahas lebih lanjut. Kedua, dengan menetapkan V dan kemudian menentukan k dari data, hal ini yang mendasari metode Kernel Density Estimation (KDE). Sekarang, asumsikan bahwa daerah R adalah hypercube berdimensi D yang memiliki pusat di titik x.

Kemudian definisikan fungsi sebagai berikut: ȁ‫ݑ‬௜ ȁ ൑ ͳȀʹ ͳǡ ‫ܭ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ቄ ሺ͵Ǥ͸ሻ Ͳǡ ȁ‫ݑ‬௜ ȁ‫݈݊݅ܽ݃݊ܽݕ‬ dengan i «D. Fungsi ini adalah contoh fungsi kernel yang disebut Parzen Windows. Dari persamaan (3.6) nilai K((x ± xn)/h) akan sama dengan 1 jika titik data xn berada dalam hypercube dengan sisi h dan pusat x, dan nol untuk sebaliknya. Dengan demikian banyaknya data yang berada dalam hypercube ini adalah ே

݇ ൌ ෍ ‫ ܭ‬ቀ ௡ୀଵ

‫ ܠ‬െ ‫ܖܠ‬ ቁ ሺ͵Ǥ͹ሻ ݄

Substitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (3.5) maka diperoleh ே

ͳ ͳ ‫ ܠ‬െ ‫ܖܠ‬ ቁ ሺ͵Ǥͺሻ ‫݌‬௄஽ா ሺ‫ܠ‬ሻ ൌ ෍ ஽ ‫ ܭ‬ቀ ܰ ݄ ݄ ௡ୀଵ

D

dimana V = h merupakan volume dari kubus berdimensi D dengan sisi h (Bishop, 2006).



20

Dalam kasus univariat, persamaan (3.8) menjadi ே

ͳ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬௡ ‫݌‬௄஽ா ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ෍‫ܭ‬ቀ ቁ ሺ͵Ǥͻሻ ݄ܰ ݄ ௡ୀଵ

(Zambom dan Dias, 2012). Contoh: Diberikan data X = {4,5,6,6,13,14,15,15,15,17}. Dengan menggunakan fungsi kernel Parzen Windows, tentukan probabilitas p(x) di x = 3,11,15, dengan menggunakan h = 4. Solusi:

‫݌‬ሺ‫ ݔ‬ൌ ͵ሻ ൌ ൌ

ே ͳ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬௡ ෍ ‫ܭ‬ቀ ቁ ଵ ݄ܰ ݄ ௡ୀଵ

ͳ ͵െͶ ͵െͷ ͵ െ ͳ͹ ൤‫ ܭ‬൬ ൰൅‫ܭ‬൬ ൰ ൅ ‫ڮ‬൅ ‫ܭ‬൬ ൰൨ ଵ ͳͲ ൈ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ

ൌ ͲǡͲͷ dengan cara yang sama diperoleh, ͳ ሾͲ ൅ Ͳ ൅ Ͳ ൅ Ͳ ൅ ͳ ൅ Ͳ ൅ Ͳ ൅ Ͳ ൅ Ͳ ൅ Ͳሿ ൌ ͲǡͲʹͷ ͳͲ ൈ Ͷଵ ͳ ሾͲ ൅ Ͳ ൅ Ͳ ൅ Ͳ ൅ ͳ ൅ ͳ ൅ ͳ ൅ ͳ ൅ ͳ ൅ ͳሿ ൌ Ͳǡͳͷ ‫݌‬ሺ‫ ݔ‬ൌ ͳͷሻ ൌ ͳͲ ൈ Ͷଵ ‫݌‬ሺ‫ ݔ‬ൌ ͳͳሻ ൌ

3.2 Fungsi Kernel Estimasi fungsi distribusi probabilitas dengan menggunakan KDE selalu melibatkan fungsi kernel. Suatu fungsi K(u) disebut fungsi kernel jika K fungsi ஶ

kontinu, bernilai riil, simetris, terbatas, dan ‫ି׬‬ஶ ‫ܭ‬ሺ‫ݑ‬ሻ݀‫ ݑ‬ൌ ͳ. Beberapa contoh fungsi kernel yang banyak digunakan adalah 1. Seragam ‫ܭ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ൜

ͳȀʹǡ ‫݇ݑݐ݊ݑ‬ȁ‫ݑ‬௜ ȁ ൑ ͳ ሺ͵ǤͳͲሻ Ͳǡ ‫݇ݑݐ݊ݑ‬ȁ‫ݑ‬௜ ȁ‫݈݊݅ܽ݃݊ܽݕ‬



21

2. Segitiga ‫ܭ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ൜

ͳ െ ȁ‫ݑ‬ȁǡ ‫݇ݑݐ݊ݑ‬ȁ‫ݑ‬௜ ȁ ൑ ͳ ሺ͵Ǥͳͳሻ Ͳǡ ‫݇ݑݐ݊ݑ‬ȁ‫ݑ‬௜ ȁ‫݈݊݅ܽ݃݊ܽݕ‬

3. Epanechnikov ‫ܭ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ൜

͵ȀͶሺͳ െ ‫ݑ‬ଶ ሻǡ ‫݇ݑݐ݊ݑ‬ȁ‫ݑ‬௜ ȁ ൑ ͳ ሺ͵Ǥͳʹሻ ‫݇ݑݐ݊ݑ‬ȁ‫ݑ‬௜ ȁ‫݈݊݅ܽ݃݊ܽݕ‬ Ͳǡ

4. Gaussian ‫ܭ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ

ͳ ൬െ ‫ݑ‬ଶ ൰ ǡ ‫݇ݑݐ݊ݑ‬ȁ‫ݑ‬௜ ȁ ൏ λሺ͵Ǥͳ͵ሻ ʹ ξʹߨ ͳ

Dalam KDE, tingkat kemulusan dari pKDE(x) ditentukan oleh fungsi kernel K dan lebar pita h yang disebut parameter pemulus. Tetapi pengaruh kernel K tidak sedominan parameter pemulus h. Perbandingan tingkat kemulusan dari beberapa fungsi kernel K dapat dilihat pada gambar 3.1 berikut:

Gambar 3.1 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa fungsi kernel Dari gambar 3.1 terlihat bahwa fungsi kernel yang menghasilkan fungsi probabilitas dengan tingkat kemulusan yang baik adalah fungsi kernel gaussian.



22

3.3 Pemilihan Lebar Pita (Bandwidth) Parameter lain dalam estimasi fungsi distribusi probabilitas menggunakan KDE adalah lebar pita h. Pemilihan lebar pita h yang terlalu kecil akan menyebabkan pKDE(x) terlalu berduri sehingga sulit untuk diinterpretasikan, sedangkan lebar pita h yang terlalu besar akan menyebabkan pKDE(x) terlalu mulus sehingga dapat menutupi struktur data. Perbandingan beberapa nilai h pada pKDE(x) yang menggunakan fungsi kernel gaussian dapat dilihat pada gambar 3.2 berikut:

Gambar 3.2 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa nilai h. Dari gambar 3.2 terlihat bahwa untuk h = 0,1 akan menyebabkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) terlalu berduri dan pemilihan h = 2 akan menyebabkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) terlalu mulus sedangkan untuk h = 0,6 fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) memiliki tingkat kemulusan yang baik karena sesuai dengan struktur data atau bisa dikatakan h = 0,6 adalah nilai h yang optimal. Penelitian mengenai pemilihan lebar pita h yang optimal telah banyak dilakukan, namun sampai saat ini belum ada metode yang paling bagus untuk dapat digunakan dalam setiap situasi. Dalam banyak kasus, pemilihan nilai h



23

cukup dengan melihat fungsi distribusi probabilitas yang dihasilkan oleh nilai h dalam rentang nilai tertentu. Pertama dimulai dengan nilai h yang besar, dan terus turun sampai didapatkan nilai h yang cukup optimal, yaitu nilai h yang menghasilkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) yang cukup baik menggambarkan struktur data. Akan tetapi untuk beberapa kasus diperlukan suatu metode kuantitatif dalam mengestimasi nilai h yang optimal (Zambom dan Dias 2012). Salah satu metode kuantitatif untuk estimasi nilai h yang banyak digunakan adalah metode silverman, yaitu ݄෠ ൌ ͳǡͲ͸‫ି ܰݏ‬ଵȀହ ሺ͵ǤͳͶሻ dengan s adalah standar deviasi sampel dan N adalah banyaknya data sampel. Asumsi yang digunakan dalam metode ini adalah fungsi distribusi probabilitas data sebenarnya adalah gaussian dan fungsi kernel yang digunakan gaussian (Zambom dan Dias, 2012).



BAB I V SI M ULASI DAN ANALI SI S Dalam bab ini, dilakukan simulasi yang bertujuan untuk melihat perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE dalam estimasi distribusi severitasnya dengan LDA yang menggunakan model distribusi tertentu dalam estimasi distribusi severitasnya. Perangkat lunak yang digunakan adalah bahasa pemrograman Python. Algoritma inti program diunduh dari http://scikit-learn.org, http://docs.scipy.org, dan http://matplotlib.org. Alur pembahasan dalam simulasi ini meliputi data penelitian, estimasi distribusi frekuensi, estimasi distribusi severitas, perbandingan nilai EC antara KDE dan model distribusi tertentu, perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE. 4.1 Data Penelitian Data penelitian dalam tesis ini dibangun secara acak menggunakan microsoft excel dan python. Data penelitian terdiri dari 3 data, yaitu data 3 tahun, data 5 tahun, dan data 10 tahun dengan nilai data dalam satuan ribuan rupiah. Statistik data penelitian dapat dilihat pada tabel 4.1 berikut: Tabel 4.1 Statistik data penelitian 3 tahun, 5 tahun dan 10 tahun Tahun Ke-

1

2

3

Frekuensi

183

149

163

Mean

39,836.09

44,062.72

54,967.08

Standar Deviasi

18,137.52

23,814.23

22,071.61

Tahun Ke-

1

2

3

4

5

Frekuensi

55

65

70

50

60

Mean

32,256.70

28,569.98

36,447.10

54,637.52

49,342.57

Standar Deviasi

11,787.16

13,314.75

20,037.53

28,458.42

26,551.13

Tahun Ke-

1

2

3

4

5

6

7

Frekuensi

50

60

50

65

45

55

50

Mean

34,798.56

33,710.42

38,019.44

32,382.11

35,281.24

36,008.76

36,435.36

39,

Standar Deviasi

14,201.39

13,912.41

13,612.59

13,322.23

14,370.14

13,805.79

21,059.44

22,

24



25

7

8

9

10

50

60

50

55

36,435.36

39,506.53

45,152.88

49,761.51

21,059.44

22,926.98

23,127.57

24,497.91

Sedangkan untuk rincian data penelitian dapat dilihat dalam lampiran 2 dengan histogram data penelitian disajikan dalam gambar 4.1 berikut:



26

Gambar 4.1 Histogram data penelitian 4.2 Estimasi Distribusi Frekuensi Frekuensi kerugian per tahun dalam risiko operasional menghasilkan nilainilai bagi variabel acak N, yaitu banyaknya frekuensi kerugian yang terjadi dalam waktu satu tahun. Banyaknya frekuensi kerugian yang terjadi dalam tahun tertentu tidak bergantung pada banyaknya frekuensi kerugian dalam tahun yang lain. Oleh karena itu, distribusi probabilitas dari variabel acak N adalah berdistribusi poisson. Parameter dalam distribusi poisson adalah mean µ. Untuk data 3 tahun memiliki µ=165, data 5 tahun memiliki µ=60, dan data 10 tahun memiliki µ=54. Distribusi frekuensi yang terbentuk dapat dilihat pada gambar 4.2 berikut:



27

Gambar 4.2 Distribusi frekuensi 4.3 Estimasi Distribusi Severitas 4.3.1 Estimasi Distribusi Severitas M enggunakan KDE Langkah pertama dalam mengestimasi distribusi severitas menggunakan KDE adalah menentukan paramater pemulus untuk distribusi severitas. Parameter pemulus pertama adalah pemilihan fungsi kernel. Dalam penelitian ini fungsi kernel yang digunakan adalah fungsi kernel gaussian karena bisa menghasilkan fungsi distribusi probabilitas dengan tingkat kemulusan yang baik. Parameter pemulus kedua adalah pemilihan nilai h. Pemilihan nilai h berdasarkan metode kuantitatif yaitu metode silverman dapat dilihat pada gambar 4.3 berikut:



28

Gambar 4.3 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan nilai h berdasarkan metode silverman



29

Dari gambar 4.3 dapat dilihat bahwa pemilihan nilai h menggunakan metode silverman masih kurang optimal menggambarkan data yang sebenarnya karena distribusi severitas yang dihasilkan masih terlalu besar mengestimasi daerah yang lebih kecil dari nilai minimum data. Oleh karena itu, pemilihan nilai h akan dilanjutkan dengan cara yang umum digunakan yaitu berdasarkan distribusi severitas yang dihasilkan oleh beberapa nilai h kemudian secara visual akan ditentukan nilai h yang optimal, yaitu nilai h yang bisa menghasilkan distribusi severitas yang cukup baik menggambarkan data penelitian. Hasil dari beberapa nilai h dapat dilihat pada gambar 4.4 berikut:



30

Gambar 4.4 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan beberapa nilai h Dari gambar 4.4 dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu untuk data 3 tahun dipilih nilai h yang optimal adalah h = 5000 karena cukup baik



31

menggambarkan data secara keseluruhan, untuk data 5 tahun dipilih nilai h yang optimal adalah h = 3000 karena tidak terlalu besar mengestimasi daerah yang nilainya lebih kecil dari nilai minimum data, dan untuk data 10 tahun dipilih nilai h yang optimal adalah h = 3000 karena bisa menggambarkan data dengan baik termasuk tidak berlebihan dalam estimasi untuk data-data yang bernilai besar. Kemudian untuk nilai h = 500 distribusi severitas yang dihasilkan akan terlalu berduri dan untuk nilai h = 10000 distribusi severitas yang dihasilkan akan terlalu mulus. 4.3.2 Estimasi Distribusi Severitas M enggunakan Suatu M odel Distribusi Dari histogram data penelitian dalam gambar 4.1 terlihat bahwa data cenderung berkumpul di daerah yang nilai datanya relatif kecil (menceng kiri), dan data seluruhnya bernilai positif. Oleh karena itu, untuk ketiga data penelitian dipilih model distribusi yang relatif cocok yaitu distribusi log-normal. Tampilan distribusi log-normal untuk data penelitian dapat dilihat pada gambar 4.5 berikut:



32

Gambar 4.5 Distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal 4.3.3 Perbandingan Distribusi Severitas yang M enggunakan KDE dengan yang M enggunakan Suatu M odel Distribusi Perbandingan distribusi severitas antara yang menggunakan KDE dengan yang menggunakan suatu model distribusi tertentu dilakukan untuk melihat secara visual, manakah dari dua distribusi severitas yang dihasilkan, yang mampu lebih baik dalam menggambarkan data penelitian.



33

Gambar 4.6 Perbandingan distribusi severitas yang menggunakan KDE dan yang menggunakan Log-Normal



34

Dari gambar 4.6 terlihat bahwa untuk ketiga data yang digunakan dalam penelitian ini, distribusi severitas yang menggunakan KDE lebih baik dalam menggambarkan data penelitian karena bisa mengestimasi daerah-daerah lokal tempat berkumpulnya data, sedangkan distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal tidak bisa melakukannya. 4.4 Perbandingan Nilai EC antara yang M enggunakan KDE dengan yang M enggunakan Suatu Model Distribusi Perhitungan nilai EC dilakukan secara numerik menggunakan metode monte carlo. Melalui metode monte carlo akan didapatkan variabel-variabel acak yang merupakan sampel dari distribusi majemuk. Kemudian variabel-variabel acak tersebut diurutkan dari nilai yang terkecil ke nilai yang terbesar lalu ditentukan persentil ke 99,9% yang merupakan estimasi nilai EC di tahun berikut. Simulasi dilakukan sebanyak 10 kali dan dilakukan terhadap beberapa jumlah sampel, diantaranya 1, 10, 102, 103, 104, 105, dan 106. Hasil dari simulasi disajikan dalam gambar 4.7, 4.8, dan 4.9 berikut:



35

Gambar 4.7 Konvergensi nilai EC untuk data 3 tahun



36

Gambar 4.8 Konvergensi nilai EC untuk data 5 tahun



37

Gambar 4.9 Konvergensi nilai EC untuk data 10 tahun Dari gambar 4.7, 4.8, dan 4.9 dapat dilihat bahwa nilai EC akan mulai konvergen ke suatu nilai ketika banyaknya sampel adalah 105, hal ini sesuai dengan karakteristik dari metode monte carlo yang membutuhkan sampel minimal sebanyak 105 agar simulasi yang dilakukan konvergen ke suatu nilai. Perbandingan nilai EC yang diperoleh dari hasil simulasi lebih jelasnya dapat dilihat pada tabel 4.2 berikut Tabel 4.2 Perbandingan nilai EC untuk data 3 tahun, 5 tahun dan 10 tahun M etode KDE LogNormal

Nilai EC 9,747,878.30 9,743,212.00 9,893,008.39 9,901,079.80

Banyak Sampel (10^x) 5 6 5 6

Standar Deviasi 26,312.37 6,552.70 22,764.94 4,819.10



38

M etode KDE LogNormal M etode KDE LogNormal

Nilai EC 3,521,863.00 3,520,330.50 3,634,601.30 3,632,659.70 Nilai EC 3,094,578.40 3,091,952.80 3,174,356.50 3,178,200.00

Banyak Sampel (10^x) 5 6 5 6 Banyak Sampel (10^x) 5 6 5 6

Standar Deviasi 14,715.35 2,217.44 14,731.33 3,483.08 Standar Deviasi 13,752.27 3,152.31 15,369.37 3,336.79

Dari tabel 4.2 dapat dilihat bahwa untuk data 3 tahun nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE lebih kecil sebesar 1,6%, untuk data 5 lebih kecil sebesar 3,2%, dan untuk data 10 tahun lebih kecil sebesar 2,8% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan log-normal. Kemudian ketika banyaknya sampel adalah 106 nilai EC semakin jelas menuju ke satu nilai hal ini dapat dilihat dari standar deviasinya yang lebih kecil dibandingkan ketika banyaknya sampel adalah 105. Perbedaan nilai EC yang dihasilkan untuk ketiga data penelitian, disebabkan oleh estimasi yang berlebih dari model distribusi log-normal pada daerah yang nilainya jauh lebih besar dari nilai maksimum data, untuk lebih jelas dapat dilihat pada gambar 4.10 berikut:

Gambar 4.10 Perbandingan tail dari KDE dan Log-Normal untuk data 3 tahun (a), 5 tahun (b), dan 10 tahun (c)



39

4.5 Nilai EC untuk Beberapa Nilai h pada KDE Simulasi ini dilakukan untuk mengetahui seberapa besar pengaruh pemilihan nilai h terhadap nilai EC yang dihasilkan. Simulasi dilakukan dengan menggunakan sampel sebanyak 105. Hasil dari simulasi dapat dilihat pada tabel 4.3 berikut: Tabel 4.3 Perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun Bandwidth (h) 500 2000 2500 3000 4000 5000 6810 10000 Bandwidth (h) 500 2000 3000 4000 5000 7802 10000 Bandwidth (h) 500 1500 3000 4000 5000 5606 10000

Nilai EC 9,731,174.67 9,734,267.03 9,730,971.32 9,735,190.15 9,741,654.05 9,747,878.30 9,750,494.27 9,769,592.46 Nilai EC 3,513,631.70 3,514,677.00 3,521,863.00 3,518,947.10 3,522,754.50 3,536,074.70 3,552,739.60 Nilai EC 3,086,040.10 3,081,622.20 3,094,578.40 3,096,651.10 3,095,726.80 3,094,041.70 3,120,605.70

Standar Deviasi

7,905

Standar Deviasi

8,030

Standar Deviasi

6,178

Dari tabel 4.3 dapat diambil kesimpulan bahwa nilai h yang berbeda-beda dengan catatan tidak terlalu berduri atau terlalu mulus berpengaruh kecil terhadap



40

perbedaan nilai EC. Hal ini dapat dilihat dari nilai standar deviasi yang kecil dari nilai EC yang dihasilkan oleh beberapa nilai h. Seperti untuk data 3 tahun pemilihan nilai h antara 2000 dan 6810 memiliki standar deviasi sebesar 7905, untuk data 5 tahun pemilihan nilai h antara 2000 dan 7802 memiliki standar deviasi sebesar 8030, dan untuk data 10 tahun pemilihan nilai h antara 1500 dan 5606 memiliki standar deviasi sebesar 6178.



BAB V KESI M PULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari simulasi yang telah dilakukan dalam penelitian ini diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu: 1. Konvergensi tail menuju p(x) = 0 dari distribusi severitas berpengaruh pada besar kecilnya nilai EC yang dihasilkan. 2. Perbedaan nilai lebar pita h, yang merupakan parameter dalam KDE, dengan catatan tidak terlalu berduri atau terlalu mulus memberikan pengaruh yang kecil terhadap perbedaan nilai EC yang dihasilkan. 3. Nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE lebih kecil 1,6 ± 3,2% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan model distribusi log-normal. 5.2 Saran Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menggunakan data riil untuk bisa melihat metode manakah yang lebih baik.

41



DAFTAR REFERENSI Basel Committee on Banking Supervision. (2006). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standars: a revised framework. Basel. Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer: New York. Frachot, A. Georges, P. dan Roncalli, T. (2001). Loss Distribution Approach for Operational Risk. Working Paper, Groupe de Recherche Operationnelle: France. Diunduh pada: 25 Mei 2013 McNeil, A. J., Frey, R., Embrechts, P. (2005). Quantitative Risk Management. Princeton University Press : United States of America. Shevchenko, P.V. (2009). Implementing Loss Distribution Approach for Operational Risk. Applied Stochastic Models in Business and Industry, vol. 26(3), pages 277±307. Walpole, R.E. (1972). Introduction to Statistics. The Macmillan Company : United States of America Zambom, A. Z. dan Dias, R. (2012). A review of Kernel Density Estimation with Applications to Econometrics. arXiv:1212.2812v1 [stat.ME]. diunduh pada: 26 Oktober 2013.

42



LAMPIRAN

43



44

Lampiran 1. Algoritma Program Program Distribusi Frekuensi

Program Distribusi Severitas



45

Program Monte Carlo pada metode LDA yang menggunakan KDE



46

Program Monte Carlo pada metode LDA yang menggunakan Log-Normal



47

Lampiran 2. Data Penelitian

A. Data 3 Tahun 40300.62 38727.38 53765.29 38045.06 24539.99 25507.37 36071.84 94234.57 37974.50 37445.79 49573.86 45908.76 23976.42 76543.65 37296.72 30299.76 33438.58 42076.37 24735.90 35467.67

56812.29 49227.23 43860.94 98473.56 29064.70 23758.76 35420.12 16859.71 43341.08 34754.31 41500.74 25318.09 28677.36 40899.08 25216.34 94544.75 89148.99 107098.20 29197.53 85471.74

72398.88 29774.31 28971.04 47597.66 39312.79 48923.74 40557.92 25683.13 31776.48 39309.25 30130.86 35194.31 27386.13 52179.77 42668.00 100662.37 30909.57 45847.39 19992.32 23769.27

25525.84 19490.39 43355.53 43574.12 38971.85 61480.68 20181.31 39508.91 39759.66 21301.35 45398.11 13357.94 41301.40 41837.41 35297.43 28328.40 29983.53 48618.17 19666.45 44253.94

TAHUN 1 44609.56 21804.22 37121.80 33599.01 65350.37 43586.17 35921.30 27052.69 36258.00 29380.63 51874.30 31589.27 45728.38 29619.94 36669.30 34478.04 36649.60 41158.50 22452.36 46586.45 22789.33 31269.36 34888.41 33356.43 32702.65 46284.23 71670.00 80150.84 19196.53 37369.89 12443.45 43728.37 24911.18 48406.15 27987.50 31735.19 40831.86 35130.85 32262.57 12576.15

26732.05 27844.65 27791.22 46682.68 13148.12 35180.27 69805.32 47403.11 36553.79 28146.64 26627.92 34232.16 40155.70 38200.60 14931.65 40038.18 17743.19 43872.14 48335.27 53993.11

38502.46 30250.48 45510.56 22147.88 39835.93 24818.06 96735.82 32851.87 38008.54 52249.26 22499.31 46361.15 57898.15 63031.37 53475.69 36998.71 37940.82 67200.81 34662.57 32357.25

17529.75 68633.62 48582.47 53420.81 48101.62 14022.84 58704.48 25584.17 31214.42 25294.81 74691.48 41965.98 64108.20 63702.39 21234.47 41949.40 43616.81 56045.12 13727.08 15383.49 16437.78 26986.10 18318.93 TOTAL 7290004.74

14918.23 23603.45 24289.59 64134.62 70098.57 46579.95 52082.91 60488.91 43343.73 29717.26 66641.16 40011.84 28782.36 23041.51 37559.22 10626.43 25929.89 58480.04 32324.42 11294.87

54439.42 26294.97 44387.28 27540.55 71395.13 31482.12 64807.86 43106.53 12191.75 39352.82 23544.22 45025.35 37073.57 16388.14 57086.88 64515.97 22656.47 70305.47 22118.77 43366.92

50621.54 61554.92 85762.29 71676.49 29033.66 22654.78 34300.66 15747.02 27527.09 33219.28 15506.15 60854.44 51190.91 63235.69 21060.43 48891.15 71690.46 27276.39 49390.21 53666.58

TAHUN 2 42874.08 30011.22 24794.91 32561.31 61616.41 47718.98 13870.70 66235.63 44928.23 71125.72 51501.97 44896.30 52812.86 24341.17 79162.79 43021.12 25935.89 94440.38 30157.07 19035.39 11943.42 56649.55 48876.07 49994.66 52707.30 56538.96 46045.05 46005.04 32201.22 25062.11 20128.25 43095.11 53830.05 70312.47 40869.05 12290.61 10347.02 33658.44 47499.58 47077.26

27018.42 73541.17 47889.61 34017.79 15912.41 57536.50 74425.29 23087.20 13645.06 24537.40 15628.00 22989.72 61195.21 72222.52 22737.89 39429.91 93409.97 36115.69 75057.69 56990.35

72900.82 89711.33 96046.43 87557.30 74746.16 35450.81 27049.77 21354.52 15034.61 15539.48 15825.55 31091.49 13167.93 72236.39 34543.99 19448.58 77273.80 56539.08 64582.78 78489.87 55762.50 69043.96 33813.58 77281.49 84918.20 11925.88 91891.76 26606.74 46059.39 TOTAL 6565344.63



48

92398.71 44683.91 76566.34 63014.00 40857.10 57227.90 76577.02 67769.66 98920.52 90395.53 90052.19 27524.75 42660.31 25044.42 27717.19 98002.18 35920.56 47869.52 18952.75 32034.76

27331.39 73980.98 28153.53 59022.00 81326.84 76284.44 20068.76 90824.58 54098.06 39131.89 40931.87 86793.70 45833.86 38238.58 20409.09 33503.33 66906.72 25715.81 19715.56 38298.96

95320.90 29991.43 49808.83 17112.63 60830.72 49407.16 71100.19 91093.70 51461.03 58340.34 17623.48 70136.25 57088.77 43829.71 66127.79 90522.39 90877.24 59194.31 16857.44 82699.87

TAHUN 3 70180.82 64220.62 53988.48 34744.45 75553.27 19512.40 11403.55 51641.09 34342.88 26471.90 94107.13 79477.51 21318.62 73870.00 58585.11 71347.73 59569.90 74728.68 23756.85 47718.93

78723.02 63770.30 85704.75 70128.54 93102.09 87267.71 44562.06 20271.12 56934.50 55551.84 79872.97 73945.45 41039.93 71854.66 46833.64 46193.93 22522.28 16675.97 46605.93 96478.00

29641.24 63193.16 22497.38 84307.89 47719.19 17667.11 21738.15 58702.64 51906.03 96335.12 39250.76 50402.76 43890.91 33680.03 22142.71 82527.81 32958.25 27714.95 85301.03 57139.55 27458.54 74035.92 52631.32 100691.77 65895.93 65311.24 35836.14 46452.80 92040.50 89471.19 72402.90 58841.73 63983.46 32510.20 24713.51 56119.36 67626.64 59354.00 60084.47 30329.90

51226.28 74293.89 67348.61 80739.38 11801.25 43609.76 26293.10 81646.91 22260.81 45733.94 90521.00 52721.78 37747.74 37568.58 60998.66 77720.03 60444.32 94945.34 58613.67 76618.03 30057.91 52191.44 45261.16 TOTAL 8959633.84

B. Data 5 Tahun 16990 41606 29493 15553 14796 38280 28636 49424 14058 38522

46319 39810 39070 12434 49059 22659 42380 12663 10864 34484

44563 22052 31359 30867 32011 17253 42160 34100 49182 46949

18076 40192 16366 32435 19470 41806 42572 48206 25167 14643

TAHUN 1 19714 14045 43216 37157 34294 12047 42129 30686 38480 12972 34200 44223 31297 40587 46828 39522 28039 28817 18207 29478

14991 39266 10586 41130 38692 42466 41483 45171 37238 18419

TAHUN 2 47099 44040 16878 43467 10620 20773 45392 48813 11942 46809

29728 19220 13975 13883 33321 15703 13218 12663 42518 11175 44743 32085 30861 19216 16734 TOTAL 1612835

21398 10401 18162 30836 47335 16617 12477 14057 40423 10877

14650 22074 38410 16304 27871 46337 26589 20311 25036 10526 21878 24815 27636 10481 27598 TOTAL 1857049



49

15667 12986 15796 36480 49146 62872 46228 25532 13483 17442

66055 68450 50688 24235 12928 18394 28218 12590 38464 15638

18236 32762 54876 41080 74732 34702 49440 55021 32326 22943

TAHUN 3 18757 16422 71847 12934 10173 58913 18548 63258 41342 10751

55596 32597 70388 19870 36383 47701 13423 54300 25709 95379

58520 90118 30659 10233 26785 91544 91785 38367 63159 77866

TAHUN 4 31488 40927 95090 81409 76332 58802 91462 22745 32445 27892

54758 67190 91575 16884 62125 75578 84431 28473 39369 54966

19916 95982 37021 67026 63907 98488 53024 10720 20347 56898

13568 68733 34481 24590 21182 67641 38610 28659 36895 50365

22016 22459 43579 10801 58058 71646 71005 13309 11323 20741 38128 33489 26201 49547 64895 68385 44170 17350 54822 54294 TOTAL 2551297

76447 11571 43127 56429 95176 20681 47702 92826 68747 19625 76992 13684 94911 55046 11205 51664 91423 94111 39229 82306 TOTAL 2731876

TAHUN 5 32381 14654 33618 13149 73443 42893 17737 79239 33709 12392 25982 13644 34722 60194 11409 86575 90671 19188 34046 68248

74466 70239 36827 92275 90712 88291 48104 45031 20717 52222 37766 31399 92669 16484 50412 34292 29197 43275 37821 71783 TOTAL 2960554

C. Data 10 Tahun 20773 13517 28584 57189 39207 58094 20037 18013 26659 23279

12914 19455 21155 30235 55441 21344 46189 59468 27890 53657

TAHUN 1 29920 53521 32385 34701 31836 54027 34738 44284 51506 26832

29130 34106 46952 20217 34111 59776 21003 21713 27276 53679 23149 32181 40907 22603 55045 15476 21886 56361 37368 40139 TOTAL 1739928



50

49206 59111 26499 58538 17192 55402 44980 18156 35940 16644

30891 27062 37725 16606 58472 34665 45208 20075 21747 44428

35690 35497 28555 52927 37430 32819 48054 20952 42632 19308

TAHUN 2 18081 50347 10228 41176 37578 41464 46535 15330 32379 22392 36746 40822 26268 15211 53952 15291 11287 20938 38596 59717

18029 57575 14515 36128 39721 49485 38725 29686 56652 13486

43340 31442 19164 48875 38325 13884 35990 32218 40258 36301

TAHUN 3 43303 58274 55882 16251 41293 48137 52751 44408 29906 28515

50836 11975 51259 32547 30754 49353 20082 18425 47653 52435

24555 48232 47856 16692 27855 16615 23333 44064 44519 37329

TAHUN 4 35383 46632 10577 41710 40489 18215 22397 12882 28083 14871

24687 11507 55764 40929 42242 51687 12422 24694 15297 52772

33001 53573 47490 52092 39394 20108 32386 18516 30293 38204

TAHUN 5 16466 33223 12320 29436 22525 32586 40586 10266 57190 51986

52613 29846 34082 15509 12479 57936 14887 46409 40709 32689 35101 34463 30370 29820 25117 23490 31518 43240 17926 44551 TOTAL 2022625

39560 59120 44882 56297 53362 22818 56396 20597 35740 36982 24807 26604 39906 45733 54875 44664 52423 35748 25276 12663 TOTAL 1900972

38021 51366 11797 20672 30715 55702 32062 46736 38534 12854

23074 25164 38393 29567 15625 25399 26184 50632 40694 46527 10816 42370 18429 29244 39773 TOTAL 2104837

51736 23591 40491 27034 28806 35840 53364 32129 54372 30264 40083 56612 57484 21374 30834 TOTAL 1587656



51

32391 45903 45668 46486 34489 36147 39498 16823 15311 23745

39031 46730 10355 56332 26363 41967 28818 14386 42364 59190

33943 49764 15393 45839 51484 45796 47173 14262 38367 55311

71730 40824 69596 23562 34101 26522 17267 10571 13722 46750

43344 21049 13037 44449 46748 44367 11603 51033 15887 51525

49195 76735 12442 28116 16720 26940 45326 25350 13611 12696

15232 26241 85372 19661 16136 32204 20061 34841 19949 74304

TAHUN 6 47294 14003 30990 20724 46286 43811 17288 19192 44185 49321 30712 31071 40587 14682 32298 57483 27562 15266 37180 51609

TAHUN 7 24368 11807 52995 63143 20147 10877 70514 23931 63880 19392

18602 13294 10217 18116 57662 11095 18081 59531 56881 13665 17700 22396 44535 42425 26987 93437 94496 32808 36694 31718 TOTAL 1821768

TAHUN 8 49549 73306 13297 77933 16632 65500 67923 73864 49188 75324 82364 70647 11961 63696 17173 64880 21177 75877 30354 70341

68260 67540 61910 74569 71976 64105 68828 72399 64582 69156

TAHUN 9 20251 41806 14873 58421 38006 82526 73648 39774 44672 37077

15807 52891 46962 50983 57993 49667 27631 39322 27323 29035 41706 47327 41525 19307 59462 TOTAL 1980482

60177 41977 30704 40008 15791 29742 13184 26849 26201 23555 39060 30897 49053 49994 14031 41425 10116 15739 63613 15514 TOTAL 2370392

17468 57364 38999 66046 42845 39299 33380 68501 29834 26079 19980 26171 42524 25660 23421 37779 42766 105890 13476 21782 TOTAL 2257644



52

20685 74401 17451 25392 62318 72914 72676 64082 70282 72417

68511 59356 63595 59419 66277 69011 71296 65645 71165 71364

TAHUN 10 58549 13628 23307 16415 14347 20284 11514 73745 17911 17319 28453 23456 18601 22317 29815 13208 18607 14183 31736 13567

66923 72951 67453 58590 74411 71487 75096 66726 67983 74152 64180 75274 75079 64691 62668 TOTAL 2736883



53

Lampiran 3. Hasil Simulasi Konvergensi Nilai EC 1. Data 3 tahun nilai EC dengan KDE dan lognormal secara berurutan



54

2. Data 5 tahun nilai EC dengan KDE dan lognormal secara berurutan



55

3. Data 10 tahun nilai EC dengan KDE dan lognormal secara berurutan



Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada M etode Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional

Recommend Documents