ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL
STUDI LITERATUR
Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Literatur di Jurusan Matematika
Oleh
Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2012
HALAMAN PENGESAHAN
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL
STUDI LITERATUR Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah studi literatur di Jurusan Matematika
Oleh :
Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051 Telah Diperiksa dan Disetujui oleh Pembimbing Pada Tanggal ___/__________/_______
Dosen Pembimbing
Diny Zulkarnaen, M.Si. NIP. 198212132011011008
Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika
Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT. NIP. 197301122000032001
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb. Syukur alhamdulillah ke hadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahNya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan studi literatur dengan judul ” ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL”. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah memberantas segala bentuk kemaksiatan di muka bumi ini, serta menunjukkan jalan yang terang benderang yaitu ad-Dinul Islam. Dalam penulisan studi literatur ini, penulis menyadari bahwa tidak akan mendapatkan hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, dorongan, saran serta do’a dari berbagai pihak. Maka dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. H. Deddy Ismatullah, SH., M.Hum selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung. 2. Dr. H. M. Subandi, Drs. Ir. MP selaku Dekan Fakultas Sain dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung. 3. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT selaku Ketua Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung. 4. Diny Zulkarnaen, M.Si selaku dosen pembimbing yang selalu memberikan bimbingan dan nasihatnya. Semoga Allah SWT membalas kebaikan mereka semua. Penulis berharap semoga studi literatur ini bermanfaat. Aamiin. Wassalamua’alaikun Wr. Wb.
Bandung, 20 Agustus 2012
Penulis
Abstrak
Analisis Model Matematika Pada Makrofag Yang Terinfeksi Virus HIV dan Respon CTL Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051 HIV merupakan singkatan dari Human Immunodeficiency Virus yang dapat menyebabkan AIDS dengan cara menyerang makrofag sehingga dapat merusak sistem kekebalan tubuh manusia yang pada akhirnya tidak dapat bertahan dari gangguan penyakit walaupun yang sangat ringan sekalipun. Pengaruh virus HIV terhadap makrofag dapat dimodelkan secara matematika dan membentuk suatu sistem persamaan diferensial tak linier orde satu. Pada pembahasan diperoleh 3 titik tetap, yaitu titik tetap yang pertama menggambarkan ketiadaan infeksi virus HIV dalam tubuh, titik tetap yang kedua menunjukkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV, sedangkan titik tetap yang ketiga menunjukkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV dan respon CTL. Dengan melaukukan beberapa perhitungan, diperoleh 3 nilai eigen. Saat nilai eigen tersebut semuanya bernilai negatif, menunjukkan bahwa titik keseimbangannya bersifat stabil asimtotik. Kata kunci: model matematika, HIV (Human Immunodeficiency Virus), Makrofag, CTL (Cytotoxic T Lymphocyte).
Abstract
Analysis of Mathematical Models In The Infected Macrophages HIV virus and CTL Responses Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051 HIV stands for Human Immunodeficiency Virus which can cause AIDS by attacking macrophages that can damage the human immune system that ultimately can not survive from disease despite very mild. Effect of HIV on macrophages can be modeled mathematically and establish a system of non linear differential equation of order one. In the discussion gained 3 points fixed, that is a fixed point of the first to describe the absence of HIV infection in the body, the point remains that both demonstrate the stability of the body during an infection with HIV, while the third shows the fixed point stability of the body as having HIV infection and CTL responses. With melaukukan some calculations, obtained 3 eigenvalues. When the eigenvalues are all negative, indicating that the equilibrium point is asymptotically stable. Keywords: mathematical models, HIV (Human Immunodeficiency Virus), macrophages, CTL (Cytotoxic T lymphocytes).
DAFTAR ISI
Abstrak .....................................................................................................
i
Kata Pengantar ........................................................................................
iii
Daftar Isi ...................................................................................................
iv
Daftar Gambar..........................................................................................
vi
Bab I Pendahuluan 1.1. Latar Belakang Masalah ......................................................................
1
1.2. Rumusan Masalah................................................................................
1
1.3. Tujuan Penelitian ................................................................................
2
1.4. Batasan Masalah ................................................................................... 2 1.5. Manfaat Penelitian ...............................................................................
3
1.6. Metode Penelitian ................................................................................. 3 1.7. Sistematika Penelitian .......................................................................... 3 1.8. Kerangka Berfikir ................................................................................. 4 Bab II Kajian Pustaka 2.1. HIV ........................................................................................................ 6 2.2. Makrofag ................................................................................................ 9 2.3. Persamaan Diferensial ............................................................................ 11 2.4. Sistem Persamaan Diferensial ................................................................ 12 2.5. Matriks Jacobi ........................................................................................ 14 2.6. Nilai eigen .............................................................................................. 15 2.7. Titik Tetap ............................................................................................. 15 2.8. Jenis kestabilan ...................................................................................... 17 2.9. Kriteria Routh-Hurwitz .......................................................................... 18 Bab III Pembahasan 3.1. Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV ................ 20 3.1.1. Titik tetap ...................................................................................
21
3.1.2. Jenis kesetabilan .........................................................................
24
3.2. Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV dan Respon CTL..........................................................................
25
3.2.1. Titik tetap ..................................................................................... 27 3.2.2. Jenis kesetabilan ........................................................................... 29 3.3. Contoh kasus ......................................................................................... 34 Bab IV Penutup 4.1. Kesimpulan ............................................................................................. 39 4.2. Saran ....................................................................................................... 41 Daftar Pustaka .............................................................................................
vii
DAFTAR GAMBAR
1.1 Kerangka Berfikir........................................................................................
4
3.1 Skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV ..............................
19
3.2 Skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV dan respon CTL ...
25
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah Menurut
Nasronudin
(2007),
penyakit
infeksi
HIV
(Human
Immunodeficiency Virus) & AIDS (Acquired Immunodeficiency Syndrome) masih merupakan masalah kesehatan global, termasuk di Indonesia. Masalah yang berkembang sehubungan dengan penyakit infeksi HIV & AIDS adalah angka kejadian dan kematian yang masih tinggi. Meskipun telah dicapai berbagai kemajuan di bidang kedokteran dan farmasi, serta telah dilakukan berbagai upaya pencegahan primer maupun sekunder, tetapi angka kesakitan dan kematiannya tetap tinggi. Menurut WHO, hingga Desember 2000, dilaporkan 58 juta jiwa penduduk dunia terinfeksi HIV, dalam kurun waktu tersebut 22 juta jiwa meninggal atau 7.000 jiwa meninggal akibat AIDS setiap hari. Transmisi HIV masih tetap saja berlangsung hingga kini, 16.000 jiwa terinfeksi baru setiap harinya. Proses pengaktifan sistem kekebalan dalam tubuh pada umumnya adalah pengaktifan CTL (Cytotoxic T Lymphocytes). CTL membunuh virus lewat reaksi antigen. Dengan demikian, sel CTL merupakan fungsi biologis yang baik dalam membunuh virus. Dewasa ini semakin banyak disiplin ilmu yang menggunakan model matematika
maupun
penalaran
matematika
sebagai
alat
bantu
dalam
menyelesaikan permasalahan yang dihadapi. Penggunaan model matematika telah banyak membantu menyelesaikan masalah-masalah di berbagai bidang sains, ekonomi dan teknik. Dengan matematika diharapkan akan diperoleh solusi akhir yang tepat, valid dan dapat diterima secara ilmiah oleh dunia ilmu pengetahuan. Pemodelan matematika merupakan salah satu cara untuk mengetahui penyebaran penyakit diantaranya adalah virus HIV.
Berdasarkan paparan di atas, penulis ingin mengangkat tema tulisan ini dengan judul ”ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL ”.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalahnya sebagai berikut: 1. Bagaimana model matematika pada makrofag yang infeksi virus HIV? 2. Bagaimana titik tetap model matematika pada makrofag yang terinfeksi virus HIV? 3. Bagaimana kestabilan Titik tetap dari model matematika pada makrofag yang terinfeksi virus HIV?
1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari pembahasan ini adalah: 1. Mengetahui proses pemodelan infeksi makrofag oleh virus HIV. 2. Mengetahui Titik tetap model infeksi makrofag oleh virus HIV. 3. Mengetahui secara detail kestabilan model makrofag yang terinveksi virus HIV
1.4 Batasan Masalah Dalam penulisan ini, penulis memberikan batasan pembahasan pada: 1. Penderita HIV tanpa adanya pengaruh dari luar tubuh (pengobatan). 2. Parameter yang digunakan dalam model makrofag terhadap infeksi virus HIV bernilai positif
1.5 Manfaat Penelitian Diharapkan dengan adanya penelitian ini penulis mampu mengetahui, menelaah, memahami, dan menganalisa pemodelan matematika serta mengetahui, dan memperdalam pengetahuan tentang model matematika pada makrofag yang terinfeksi virus HIV. 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam studi literatur ini adalah metode penelitian pustaka (Library research), yaitu dengan mengumpulkan data dan informasi dari berbagai sumber seperti buku, jurnal, atau makalah-makalah. Penelitian dilakukan dengan melakukan kajian terhadap buku-buku pemodelan matematika dan jurnaljurnal atau makalah-makalah yang memuat topik tentang makrofag dan HIV (Human Immunodeficiency Virus). Langkah selanjutnya adalah mendalami, mencermati, menelaah, dan mengidentifikasi pengetahuan yang ada dalam kepustakaan.
1.7 Sistematika Penelitian BAB I:
Pendahuluan Pada bab ini penulis paparkan tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, metode penelitian, sistematika penelitian serta kerangka berpikir.
BAB II:
Kajian Pustaka Penulis membahas tentang landasan teori yang dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan pada bab yang merupakan tinjauan teoritis yang terdiri atas
HIV, makrofag, persamaan diferensial,
persamaan diferensial tak linier, sistem persamaan diferensial non linier, matriks jacobi , nilai eigen, titik tetap, jenis kestabilan dan Kriteria Routh-Hurwitz.
BAB III: Pembahasan Pembahasan pada bab ini yaitu tentang pembentukan model matematika pada infeksi virus HIV, terhadap infeksi virus HIV,
model matematika makrofag
menentukan titik tetap, mentukan
kestabilan Titik tetap, dan contoh kasus.
BAB IV: Penutup Penulis pada bab ini membahas tentang kesimpulan dari hasil penelitian serta saran. DAFTAR PUSTAKA
1.8 Kerangka Berfikir Langkah pertama yang dilakukan adalah membuat formulasi dari permsalahan real tentang model makrofag yang terinveksi virus HIV, yaitu dengan mengidentifikasi masalah yang akan timbul tenatang apa yang harus dilakukan dan apa yang diinginkan dari model tersebut. Secara umum penulis tidak bisa menganggap bahwa semua faktor yang berpangaruh pada peristiwa yang sedang di amati dapat dimodelkan dengan matematika. Hal ini disederhanakan dengan mereduksi banyaknya faktor yang berpengaruh terhadap kejadian yang sedang diamati sehingga kompleksitas persoalan bisa direduksi dengan mengasumsikan hubungan sederhana antara variabel. Selanjutnya adalah memperhatikan semua submodel untuk melihat apakah model yang disusun sudah cukup. Kemudian model tersebut akan diselesaikan secara matematika. Dalam hal ini model yang digunakan dan penyelesaiannya menggunakan persamaan diferensial non linear. Mencari titik tetap dari model sel T yang terinveksi virus HIV menjadi bagian penting dalm penelitian ini. Karena titik tetap digunakan untuk mencari jenis kesetabilan model. Bgian selanjutnya adalah menganalisis jenis kesetabilan dari model sel T yang terinveksivirus HIV, apakah stabil atau tidak. Langkah terakhir yaitu
membuat kesimpulan dari model makrofag yang terinveksivirus HIV. Dalam hal ini adalah teorema – teorema yang berhubungan dengan model.
Memformulasikan model real (identifikasi masalah).
Mengasumsikan untuk model makrofag yang terinfeksi virus HIV
Menganalisis titik tetap model
Menyelesaikan masalah matematika Membuat kesimpulan
Menentukan jenis kesetabilan model Gambar 1.1 Kerangka Berfikir
BAB II KAJIAN PUSTAKA
2.1 HIV HIV adalah singkatan dari Human Immunodeficiency Virus yang dapat menyebabkan AIDS dengan cara menyerang sel darah putih yang bernama sel CD4 sehingga dapat merusak sistem kekebalan tubuh manusia yang pada akhirnya tidak dapat bertahan dari gangguan penyakit bahkan yang sangat ringan sekalipun. Virus HIV menyerang sel CD4 dan merubahnya menjadi tempat berkembang biak virus HIV baru kemudian merusaknya sehingga tidak dapat digunakan lagi. Sel darah putih sangat diperlukan untuk sistem kekebalan tubuh. Tanpa kekebalan tubuh maka ketika diserang penyakit, tubuh kita tidak memiliki pelindung. AIDS adalah singkatan dari Acquired Immune Deficiency Syndrome yang merupakan dampak atau efek dari perkembangbiakan virus HIV dalam tubuh makhluk hidup. Virus HIV membutuhkan waktu untuk menyebabkan sindrom AIDS yang mematikan dan sangat berbahaya. Penyakit AIDS disebabkan oleh melemah atau menghilangnya sistem kekebalan tubuh yang tadinya dimiliki karena sel CD4 pada sel darah putih yang banyak dirusak oleh Virus HIV.
2.1.1 Respon selular Sel dengan reseptor CD4 yang terinfeksi HIV menjadi tempat replikasi virus. Sel terinfeksi kemudian melepaskan virion melalui permukaan sel atau melalui sel lisis, yang dapat menginfeksi sel-sel lain. Beberapa virion HIV dibawa dari tempat infeksi ke limfa dimana sel sistem imun lain menjadi terinfeksi. Sejumlah besar virus dapat terperangkap di sini oleh sel bertentakel yang disebut Follicular Dendritic Cell (FDC) yang rentan terhadap infeksi namun dapat bertahan untuk waktu yang lama.
Sel T dan CD4 sebagai target utama HIV, dapat terinfeksi ketika bertemu dengan HIV yang terjebak dalam FDC. Replikasi aktif HIV terjadi pada setiap tahap infeksi. Dalam periode tahunan, saat sejumlah kecil virus terdeteksi dalam darah, sejumlah signifikan virus terakumulasi dalam sel terinfeksi dan FDC. HIV yang terjebak dalam FDC terus menginfeksi sekalipun terlindung oleh antibodi. Dapat dilihat bahwa FDC adalah gudang untuk infeksi HIV dan dapat menjelaskan bagaimana momentum infeksi HIV dapat terjadi. Walaupun sel T dan CD4 merupakan target utama HIV, sel sistem imun lain yang memiliki reseptor CD4 pada permukaannya juga dapat terinfeksi. Sel berumur panjang yang disebut monosit dan makrofag dapat mengandung sejumlah besar virus tanpa menjadi mati. Sel T dan CD4 juga adalah gudang yang penting untuk HIV, karena menyebabkan HIV dalam keadaan inaktif dan stabil. Proses normal imun akan menyebabkan produksi virion HIV. Di dalam dan sekitar germinal center, meningkatnya produksi sitokin seperti tumor necrosis factor (TNF) dan IL-6 dapat mengaktivasi sel T dan CD4 yang meningkatkan kerentanan terhadap infeksi HIV. Aktivasi menyebabkan sel yang tidak terinfeksi menjadi lebih mudah terinfeksi dan meningkatkan replikasi HIV pada sel yang terinfeksi. Sekresi sitokin berbanding terbalik dengan sekresi sel-sel regulasi fungsi normal sistem imun. Sekali terinfeksi, sel T dan CD4 dapat meninggalkan germinal center dan menginfeksi sel T dan CD4 lain yang berkumpul di daerah limfa di sekitarnya. Ada beberapa teori tentang bagaimana HIV menghancurkan sel T dan CD4, yaitu: 1. Direct cell killing. Sel T dan CD4 yang terinfeksi dihancurkan secara langsung ketika sejumlah besar virus diproduksi dan menembus permukaan sel, merusak membran sel, atau ketika protein viral dan asam nukleat yang tekumpul dalam sel menganggu sistem selular. 2. Pembentukan syncytia. Sel terinfeksi dapat bergabung dengan sel tetangga yang tidak terinfeksi, membentuk sel raksasa seperti balon yang disebut syncytia.
3. Apoptosis. Sel T dan CD4 yang terinfeksi dapat terbunuh ketika regulasi selular
terganggu
oleh
protein
HIV,
yang
mungkin
menyebabkan
penghancuran sendiri sel yang dikenal sebagai apoptosis. 4. Innocent bystanders. Sel yang tidak terinfeksi dapat mati dengan skenario innocent bystanders. Pertikel HIV dapat berikatan dengan permukaan sel, menyebabkan sel seakan-akan terinfeksi sehingga sel dihancurkan oleh sel T killer. 2.1.2 Perjalanan Infeksi Infeksi primer HIV diikuti oleh ledakan viremia dimana virus dengan mudah terdeteksi pada darah peripheral dalam sel mononuklear dan plasma. Jumlah sel T dan CD4 dalam aliran darah menurun 20-40%. Dua sampai empat minggu setelah terpapar virus, hingga 70% orang yang terinfeksi HIV mengalami gejala seperti flu yang berhubungan dengan infeksi akut. Ledakan tersebut diikuti dengan replikasi tingkat rendah ketika sistem imun pasien melawan balik yang menyebabkan penurunan HIV secara dramatis dengan adanya sel T killer (sel T dan CD8) yang menyerang dan membunuh sel Terinfeksi yang memproduksi virus, dan sel B yang memproduksi antibodi. Sel T dan CD4 pasien dapat meningkat kembali sampai 80-90% yang menyebabkan pasien terbebas dari gejala yang berhubungan dengan HIV selama bertahun-tahun, walaupun replikasi tingkat rendah HIV tetap berlangsung dan menghancurkan sistem imun secara terusmenerus. Selama periode tersebut, sistem imun mencukupi untuk menjaga kekebalan tubuh dan mencegah kebanyakan infeksi. Fase akhir infeksi HIV terjadi ketika sejumlah signifikan limfosit CD4 telah hancur dan produksi kembali tidak sebanding. Pasien menunjukkan demam yang berlangsung lama (lebih dari satu bulan) dan penurunan berat badan. Kegagalan sistem imun mengacu pada manifestasi klinik AIDS. 2.1.3 Perjalanan Menjadi AIDS Orang yang terinfeksi HIV dapat hidup rata-rata 8-10 tahun setelah infeksi inisial dan sebelum perkembangan gejala klinis AIDS. Perubahan menjadi AIDS tidak dipengaruhi oleh jenis kelamin, kehamilan, ataupun faktor resiko. Kondisi
yang menentukan AIDS adalah jumlah sel T dan CD4 yang kurang dari 200 sel/mm3 darah dan adanya infeksi oportunistik tipikal atau kanker, phneumonia, dan Mycobacterium avium complex. Infeksi oportunistik disebabkan oleh mikroba yang biasanya tidak menyebabkan penyakit pada orang sehat. Infeksi biasanya parah dan terkadang fatal karena sistem imun sangat rusak oleh HIV. 2.2 Makrofag Makrofag merupakan sel fagosit mononuklear yang utama di jaringan dalam proses fagositosis terhadap mikroorganisme dan kompleks molekul asing lainnya. Makrofag diproduksi di sumsun tulang belakang dari sel induk mieloid yang mengalami proliferasi dan dilepaskan ke dalam darah sesudah atau satu periode melalui fase monoblas-fase promonosit-fase monosit. Monosit yang telah meninggalkan sirkulasi darah akan mengalami perubahan-perubahan untuk kemudian menetap di jaringan sebagai makrofag. Makrofag sebagai sel fagosit mampu membunuh kuman melalui dua mekanisme yaitu: 1.
Proses oksidatif (oxygen dependent mechanisms) Proses oksidatif yang terjadi berupa peningkatan penggunaan oksigen,
peningkatan proses hexose inonophosiphate shunt (HMPS), peningkatan produksi hydrogen peroxide (H202) dan produksi beberapa senyawa seperti superoxide anion, hydroxyl radicals, single oxygen, myeloperoxiclase yang dapat saling bereaksi diantaranya: enzymatic generation of superoxide anion, spontaneous generation of single oxygen and hydroxyl radicals dan enzymatic generation of halogening comnpound, reaksi-reaksi ini menghasilkan metabolit oksigen yang toksik sehingga dapat digunakan untuk membunuh kuman. 2.
Proses non oksidatif (oxygen independent mechanism) Proses non oksidatif berlangsung dengan bantuan berbagai protein seperti
hydrolytic enzyme, defensins (cationic protein), lysozyme, lactoferrin clan nitric oxide synthase (NOS). Pada aktivitas nitric oxide synthase (NOS) diperlukan bantuan IFNγ dan TNFα tipe I yang dapat meningkatkan produksi NO dari makrofag di organ limfe.
Makrofag dalam darah dapat diaktivasi oleh berbagai macam stimulant atau aktivator, termasuk mikroba dan produknya, kompleks antigen antibodi, inflamasi, limfosit T tersensitasi, sitokin dan trauma. Makrofag yang teraktivasi mempunyai jumlah lisosom yang meningkat dan menghasilkan serta melepaskan IL-1, yang mempunyai aktivitas luas dalam inflamasi. IL-1 berperan dalam terjadinya demam dan aktivasi sel limfoid, menyebabkan pelepasan sitokin lainnya. Menurut fungsinva makrofag dibagi menjadi 2 golongan, pertama sebagai fagosit profesional dan kedua secagai APC (antigen presenting cell) yang berfungsi menyajikan antigen kepada limfosit. Makrofag sebagai fagosit professional, sel ini dapat menghancurkan antigen dalam fagolisosom, dan juga melepaskan berbagai enzim dan isi granula ke luar sel, bersama-sama dengan sitokin seperti tumor necrosis factor (TNF) yang dapat membunuh organisme patogen. Pengenalan makrofag terhadap substansi asing dimungkinkan oleh adanya reseptor untuk
fosfolipid sedangkan fungsi
sebagai
sel efektor yaitu
menghancurkan mikroorganisme serta sel-sel ganas dan benda-benda asing karena sel ini antara lain mempunyai sejumlah lisosom di dalam sitoplasma yang mengandung hidroluse maupun peroksidase yang merupakan enzim perusak yang dibutuhkan untuk pembunuhan intraselluler. Enzim-enzim ini dapat keluar dari fagosom dan sel. Makrofag juga mengekspresikan MHC kelas II pada permukaannya. Makrofag ini tidak bekerja sendiri dalam menanggulangi infeksi. Mereka berinteraksi dengan limfosit yang juga mengumpul di tempat invasi bakteri. Proses pengaktifan makrofag bukanlah proses tunggal. Untuk melihat apakah makrofag teraktivasi maka dilakukan pengukuran tertentu misalnya kemampuan killing terhadap mikroba. Pengukuran lain misalnya kemampuan killing terhadap sel tumor. Aktivasi makrofag diakibatkan adanya peningkatan transkripsi gen-gen. Peningkatan ekspresi gen-gen tersebut maka makrofag dapat melakukan fungsi yang tidak dapat dilakukan oleh sel yang sama dalam keadaan istirahat. Fungsi tersebut antara lain adalah killing bakteria yang sudah difagositosis. Sitokin aktifator makrofag yang poten adalah IFNγ. IFNγ bukanlah satu-satunya sitokin
yang mengaktivasi makrofag, tetapi makrofag juga diaktifkan oleh kontak dengan limfosit T melalui CD40. Beberapa ciri yang menunjukkan makrofag teraktivasi diuraikan sebagai berikut: 1. Makrofag teraktivasi akan meningkat kemampuan killing-nya terhadap mikroortlanisme. 2. Makrofag teraktivasi akan memacu inflamasi akut dengan mengeluarkan mediator-mediator inflamasi. 3. Makrofag teraktivasi akan meningkat efisiensinya sebagai set APC. 2.3 Persamaan Diferensial Definisi 2.1: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-11) Definisi 2.2: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1984: 3). Definisi 2.3: Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui (Finizio dkk, 1982 : 1) Contoh: 1) 2) 3)
′
"
10
′
6
7
0
sin
Menurut peubah bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu persamaan diferensial biasa dan parsial sedangkan persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear.
2.3.1 Persamaan Diferensial Biasa Definisi 2.4: Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12) Persamaan-persamaan yang memuat turunan biasa disebut persamaan diferensial biasa. 2
Contoh :
2.3.2 Persamaan Diferensial Non Linear Persamaan Diferensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan persamaan diferensial linier (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-15) Dengan demikian persamaan diferensial
, ′, … ,
0 adalah
persamaan diferensial tak linear jika salah satu dari berikut di penuhi oleh : a. b.
tidak berbentuk polinom dalam , ′ , … ,
tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam , ′ , … ,
Contoh: 1.
′
′′
′
′′
2. sin
0 persamaan diferensial tak linear karena
polinom berpangkat dua dalam , ′ , ′′. cos
, ′, … ,
0 persamaan diferensial tak linear karena
berbentuk polinom
tidak
2.4 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.5: Sistem persamaan diferensial adalah suatu persamaan diferensial berorde n dan telah dinyatakan sebagai suatu sistem dari n persamaan berorde satu (Conte dan Boor,1993:359). Persamaan itu dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: !
" ,
,
′
,…,
!#$
Secara umum, suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut: $ &
…
% %
% %
$
"$
,
$, &, … , !
"&
,
$, &, … , !
"&
&
,
$, &, … , !
… …
!
% ! %
Sistem persamaan diferensial merupakan persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari satu persamaan yang harus konsisten serta trivial. Sistem persamaan diferensial adalah gabungan dari n buah persamaan diferensial dengan n buah fungsi tak diketahui, dalam hal ini, n merupakan bilangan bulat positif ≥ 2. Sistem persamaan diferensial juga dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem non linear. 2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Non Linear Sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan diferensial tak linear dengan n buah fungsi tak diketahui. Sistem ini disebut juga sistem tak linear. Bentuk umum sistem persamaan diferensial non linear dapat di tulis sebagai berikut: % %
% %
"
'
,
,
" dan ' mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk semua
,
, dengan:
% % % %
" , ' ,
% %
,
" , ' ,
,
()* )+ ,, 1992: 194
2.5 Matriks Jacobi 0, 1 dan 2 0, 1 diferensiabel di sebuah daerah, maka determinan
Jika
%)+ 2 terhadap 0 %)+ 1 determinan fungsional orde kedua yang didefinisikan
Jacobian (jacobian detererminant), atau secara singkat disebut Jacobian, dari
oleh
3 ,2 3 0, 1
3 31 4 32 31
3 430 32 30
5 6 26
7
27
5
Demikian juga, determinan orde ketiga 3 , 2, ( 3 0, 1, 8
6
7
9 26 (6
:
27 (7
2: 9 (:
Demikian jacobian dari , 2, ( terhadap 0, %)+ 8 (Murray,1997) Contoh: Suatu sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini: %8 % % %
% %
B
)8
β
F
C8
D
C8
β
G H
Menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: I
J
) C C 0
0 D β β
β
C8
C8 β K F GH
2.6 Nilai eigen Definisi 2.6: Jika L adalah matriks + +, maka vektor tak nol di dalam M !
dinamakan vektor eigen ( eigen vector) dari L jika L adalah kelipatan skalar dari ; yakni L
dan
C
Untuk suatu skalar C. Skalar C dinamakan nilai eigen (eigen value) dari L dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan C. (Anton, 1997: 277).
Untuk mencari nilai eigen matriks L yang berukuran + + maka kita
menuliskan kembali L L
CN
C sebagai
atau secara ekuivalen CN
L
0
Supaya C menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan ini. Akan tetapi persamaan L
hanya jika
%O CN
L
0
CN akan mempunyai pemecahan taknol jika dan
Ini dinamakan persamaan karakteristik dari L; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari L. Bila diperluas, maka %O CN yang kita namakan polinom karakteristik dari L.
L adalah polinom C
2.7 Titik Tetap sistem (3.1). Titik P disebut titik tetap, jika " P
0. Titik tetap disebut juga titik
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada
kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap. (Tu 1994) Contoh: Suatu sistem persamaan diferensial berikut ini: %8 %
)
1
Q H
% %
1 ) 2
)
% %
)
Q
Penyelesaian: )
1 ) 2
)
•
•
)
) )
) ) ) )
•
1
1
1
1
Q
Q Q
)
1
&
)
)
)
Q H Q H
Q H
Q H
0
2%
Q
1 ) 2 1 ) 2
%
Q H
Q
R
2%
Q
0
)
R
2%
Q H )
%
)
)
0
R
Q
1
0
R
Q
R
R
2%
2%
2%
$
%
Q
) R
0 R
Q
0
)
2%
Q
2)% ) Q
Q % R ) ) Q
2)& %
H
)
Q % R ) ) Q 1
Memiliki titik tetap S , , HT: U
2)& % Q
#V
W
,
&
WXY
,H
WXY
#V X&W
W WXY $XY
Z
2.8 Jenis kestabilan Kestabilan sebuah sistem ditentukan oleh tanggapannya terhadap masukan (input) atau gangguan (perturbasi). Secara naluriah, sistem yang stabil adalah sistem yang tetap dalam keadaan diam bila tidak dirangsang oleh sumber luar dan akan kembali diam jika semua rangsangan dihilangkan. Jadi, sistem adalah stabil jika tanggapan denyutnya (prilaku kurva sistem) mendekati nol ketika waktu mendekati tak hingga. Keadaan seimbang pertumbuhan populasi dikenal dengan istilah titik tetap. Kondisi titik tetap mempunyai dua keadaan yaitu stabil dan tidak stabil. Istilah kestabilan sangat umum dipakai untuk menggambarkan keadaan dinamika suatu sistem yang tidak mengalami gejolak. Perubahan-perubahan yang berlangsung dalam sistem dianggap sangat kecil dan tidak terlihat gejolak-gejolak yang berarti. Keadaan stabil titik tetap suatu sistem dibedakan atas dua macam, yaitu kestabilan dan kestabilan asimptotik. Kestabilan tercapai jika perilaku kurva pertumbuhan berada di sekitar titik tetap, sedangkan kestabilan asimtotiktercapai jika perilaku kurva pertumbuhan menuju titik tetap. Kestabilan asimtotiksendiri terbagi menjadi dua yaitu asimtotikglobal dan asimtotiklokal. Jika suatu sistem memiliki titik tetap yang unik (tunggal), maka sering diduga bahwa stabilitas global dan lokal dari suatu sistem adalah ekuivalen. Sebuah sistem dikatakan stabil secara lokal jika sejumlah ukuran gangguan yang sedikit berubah-ubah terhadap titik tetap, sistem tetap di dekat titik tetap, dan dalam suatu region yang tertentu. Selanjutnya, jika sistem menuju titik tetap, dikatakan bahwa sistem stabil secara lokal dan asimptotikal. Sedangkan secara global terjadi, jika sejumlah ukuran gangguan yang sedikit berubah-ubah terhadap titik tetap, sistem tetap di dekat titik tetap, dan relatif terhadap keseluruhan sistem. Ditinjau dari nilai eigen, titik tetap nol sistem (3.1) ada 5 macam yaitu: (Distefano: 1992)
1. Jika nilai eigen J adalah real berbeda dan berlawanan tanda (C$ [ 0 [ C& ) maka
\ ∞ dan
\ ∞ jika
\ ∞ dan titik tetap sistem (3.1) dinamakan
saddle (pelana). Akibatnya titik tetap tidak stabil.
dinamakan node (simpul). Jika kedua nilai eigen negatif C$ , C& [ 0 maka
2. Jika nilai eigen J adalah real berbeda dan sama tanda, maka titik tetap
titik tetapnya stabil (asimtotik), yaitu
\ 0 dan
\ 0 tanpa osilasi jika
\ ∞ dan jika keduanya positif C$ , C& ] 0 maka titik tetap tidak stabil \ ∞ dan
yaituu
\ ∞ tanpa osilasi jika \ ∞.
nilai eigen negatif C$
C& [ 0 maka titik tetap star stabil (asimtotik), dan
3. Jika nilai eigen J adalah real sama, maka titik tetap dinamakan star. Jika kedua jika keduanya positif C$
C& ] 0 maka titik tetap star tak stabil.
4. Jika nilai eigen J adalah kompleks konjugat C$,&
^ _ `a, ^ b 0, maka titik
^ [ 0, tidak stabil untuk ^ ] 0.
tetap dinamakan focus (spiral). Penyelesaian dari sistem (3.1) merupakan osilasi dan stabil (asimtotik) untuk
5. Jika nilai eigen J adalah imajiner sejati yaitu C$,&
`a maka
titik
tetap
dinamakan centre (pusat). Penyelesaian dari sistem (3.1) adalah periodik dan kurvanya tertutup. Titik tetap sistem adalah stabil netral.
2.9 Kriteria Routh-Hurwitz Kriteria Routh-Hurwitz ini digunakan ketika nilai eigen persamaan karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Jika diberikan persamaan karakteristik c C
Cd
)$ Cd#$
e
)d
0
maka didefinisikan matriks sebagai berikut: ($
f)$ g
(k
)$ J l )&k#$
(&
) h $ )i
1 j )&
e 0 m lK e )k
(d
)$ Jl 0
e m e
0 lK )d
Dengan syarat setiap unsur (l,m) pada matriks (k adalah no
)&o# , 0+ 0q 0 [ 2r s t q u p 1, 0+ 0q 2r s 0, 0+ 0q 2r [ s ) )0 2r ] q s
Dengan demikian, titik tetap P stabil jika dan hanya jika det (k ] 0, untuk
setiap v
1,2,3, … , q.
Untuk k=2 k=3 dan k=4, kriteria Routh-Hurwitz diberikan berikut ini: q
2: )$ ] 0,
)& ] 0
q
4: )$ ] 0,
)i ] 0,
q
3: )$ ] 0,
(Edelstein-Keshet 1988).
)i ] 0, )$ )& ] )i
)x ] 0,
)$ )& )i ] )i
&
)$ & )x
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV HIV, Akronim dari Human Immunodeficiency Virus, merupakan penyebab dari AIDS (Acquired Immunodeficiency Syndrome) yang menyerang sel darah putih (sel CD4). Sesuai dengan namanya, virus HIV hanya menyerang manusia khususnya sistem kekebalan tubuh manusia yang melindungi tubuh dari infeksi. Sel imun yang terinfeksi adalah CD4+ sel T, makrofag, dan sel dendritik. CD4+ sel T secara langsung maupun tidak langsung dihancurkan oleh virus tersebut. Infeksi HIV menyebabkan sistem kekebalan tubuh akan semakin lemah. Makrofag dan sel-T memliki peranan penting dalam perkembangan penyakit HIV. Tropisme HIV terutama ditentukan oleh tingkat masuknya seluler pada membran fusi melalui sel CD4. Namun untuk berhasil masuk, membutuhkan kehadiran coreceptors yang sesuai. HIV dapat menggunakan berbagai coreceptors untuk masuk kedalam sel, dan ini menentukan jenis sel yg dapat dimasuki virus. Lebih khusus, terdapat dua coreceptors penting yang mengatur masuknya HIV ke dalam makrofag dan sel-T. Yaitu coreceptor CCR5 dan CXCR4. coreceptor CCR5 ada pada makrofag dan sel-T, sedangkan coreceptor CXCR4 hanya terdapat pada selT saja. Sebagai pendekatan pertama, dinamika antara HIV dan populasi makrofag dapat digambarkan oleh model dinamika infeksi yang sederhana. β
λ
X
Y
%
)
Gambar 3.1 Skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV
Berdasarkan gambar 3.1 di atas, variabel-variabel yang digunakan adalah 1. Populasi Makrofag yang tidak terinfeksi (X)
2. Populasi Makrofag yang terinfeksi (Y) Dimana y, z { 0.
Setelah mengetahui variabel-variabel yang digunakan dalam membentuk model matematika, maka selanjutnya adalah menentukan notasi-notasi untuk memenuhi variabel-variabel tersebut. Parameter-parameter yang digunakan pada pembentukan model matematika pada makrofag terhadap infeksi virus HIV adalah sebagai berikut: • • • •
λ
% β
)
laju produksi makrofag laju kematian makrofag secara alami laju terinfeksi makrofag laju kematian makrofag yang terinfeksi secara alami
Sehingga dapat dibentuk dalam sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini: a)
λ
b)
β M~
C` %)
%
)
β
3.1
Diasumsikan bahwa hanya ada 1 virus HIV yang masuk ke dalam makrofag. Makrofag akan menjadi terinfeksi virus HIV jika sel tersebut melakukan kontak langsung dengan antigen, bentuk persamaannya adalah β Berdasarkan uraian di atas, maka faktor yang mempengaruhi laju perubahan populasi makrofag terhadap waktu adalah laju produksi makrofag dikurangi laju kematian makrofag secara alami dikurangi laju terinfeksinya makrofag. (3.1.a) Laju perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh laju perkembangan makrofag yang terinfeksi dikurangi laju matinya makrofag yang terinfeksi (mati alami). (3.1.b) 3.1.1 Titik tetap Secara analitik, pehitungan titik tetap dari model matematika sistem (3.1) adalah sebagai berikut:
% %
%
λ
% %
β
–) (β
0
))
atinya
=0 atau β
untuk
0, dari
λ %
β
λ %
β 0
λ % λ
)
0
didapat:
Dari persamaan β
0
) 0
0
%
0
β
0
0 diperoleh 0
•
Sehingga titik tetap yang pertama ( E1) adalah S , T: U
€
,
0Z, titik
tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi. untuk β β β
)
0, dari
)
0
)
) `
0 diperoleh
Sedangakn untuk mencari nilai y: λ %
β
0
β
λ %
–)
0
)
ke persamaaan λ %
Substitusi nilai λ % )
λ
λ` `
) )
)
λ`
λ`
λ )
`
)% `
`) % `
0
+
0
)
0 diperoleh:
)% `
)%
)%
Sehingga titik tetap yang kedua ( E2) adalah S , T: U
W
•
,
€
W
•
Z, titik
tetap yang kedua menunjukkan atau menggambarkan kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV. Berdasarkan titik tetap yang kedua, ada kemungkinan nilai syarat bahwa λ )
]0
] 0.
[ 0, yang artinya tidak terjadi infeksi. Sehingga diberikan
% ]0 `
λ % ] ) `
λ` ]1 )% M~ ] 1
(3.2)
Artinya R0] 1 Oq0a1)rO+ dengan
] 0, Jadi M~ ] 1 merupakan syarat agar
] 0.
3.1.2 Jenis kestabilan Untuk mengetahui jenis kestabian dari sistem (3.1) maka terlebih dahulu dicari matriks Jacobi dari sistem tersebut. I
h
% `
`
% ƒ
`
`
)
` )
j
Akar-akar karakteristik untuk sistem (3.1) adalah: 5
%
`
ƒ `
%
)
ƒ `
)
ƒ
ƒ ƒ
5
0
f
`&
`
Untuk titik tetap pertama ( E1) U„ `C % `C ƒ ‰ %
%
)
ƒ ‰
%
)
ƒŠ ƒŠ
…
†
`&C 0 %
`
0
,‡
0
g 0
0
ˆZ diperoleh:
Diperoleh Nilai eigen: ƒ$
ƒ&
%
`C %
`C )% `C ) )% )
) M~
)
1 1
1 , ƒ& akan bernilai negatif apabila M~ [ 1
Dari uraian diatas diperoeh teorema sebagai berikut: Titik tetap ( E1) bersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1.
Teroma 3.1
Untuk titik tetap yang kedua ( E2) U„
‹
Œ
,‡
…
‹
†
Z diperoleh:
Œ
%
ƒ&
ƒ$
ƒ ‰
%
ƒ
%
ƒ
%
ƒ$ ƒ&
`) `
ƒ
%ƒ
ƒ&
R )
`C
)
ƒ
`)
ƒ
`C
`C
)% •W
•€
)% M~
C )
`)C )
ƒ
Q )
ƒŠ
)% %
)%
`& ) C ` )
% `
0
)%
0
`)% `
0
% `
0
0
1Ž
1 , ƒ& akan bernilai positif apabila M~ ] 1
Karena negatif maka ƒ$
ƒ& [ 0 •
Bernilai positif maka ƒ$ . ƒ& ] 0 •
ƒ$ dan ƒ& negatif u ƒ$ dan ƒ& berbeda tanda
ƒ$ dan ƒ& negatifu ƒ$ dan ƒ& positif
Dari kedua pertimbangan diatas, maka diperoleh akar-akar bernilai negatif. Titik tetap ( E2) bersifat stabil asimtotik apabila M~ ] 1.
Teroma 3.2
3.2 Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV dan Respon CTL Diantara mekanisme makrofag, khususnya terhadap mikroorganisme intraselular adalah sel T sitotoksik CD8 yang dapat mengenal antigen tertentu secara spesifik disertai interaksi dengan MHC kelas I melisiskan sel yang terinfeksi. Dinamika antara HIV, populasi makrofag dan respon CTL dapat digambarkan sebagai berikut:
G
β
λ
X
Y
%
)
R
Z Q
Gambar 3.2 skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV dan respon CTL
Berdasarkan gambar 3.2 di atas, variabel-variabel yang digunakan adalah 1. Populasi Makrofag yang tidak terinfeksi (X) 2. Populasi Makrofag yang terinfeksi (Y) 3. Populasi limfosit T sitotoksik (CTL)/CD8 (Z) Dimana y, z, ’ { 0.
Setelah mengetahui variabel-variabel yang digunakan dalam membentuk model matematika, maka selanjutnya adalah menentukan notasi-notasi untuk memenuhi variabel-variabel tersebut. Parameter-parameter yang digunakan pada pembentukan model matematika pada makrofag terhadap infeksi virus HIV adalah sebagai berikut: • • • • • • •
λ
%
laju produksi makrofag
G
laju kematian makrofag yang terinfeksi secara alami
β
laju kematian makrofag secara alami
)
laju terinfeksi makrofag
Q
laju laju proliperasi CTL dalam merespon antigen
R
laju proses lisis pada makrofag yang terinfeksi
laju kematian CTL secara alami
Sehingga dapat dibentuk dalam sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini: a)
λ
b)
β
c)
“
M~
R H C` %)
%
)
QH
β
G H
3.3
Laju perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh laju perkembangan makrofag yang terinfeksi dikurangi laju matinya makrofag yang terinfeksi (mati alami) serta dikurangi laju proses lisis (penguraian) oleh CTL terhadap sel yang terinfeksi virus HIV. (3.3.b) Ketika limfosit mengamat-amati sel, melihat ada sel yang diperkirakan telah kemasukan virus, maka sel tersebut dibunuh oleh sel T limfosit, namanya CTL (Cytotoxic T Lymphocyte/sel T si peracun). Sel T sitotoksik (CTL) yang teraktivasi, yaitu sel T- sitotoksik yang pernah terpapar pada antigen tertentu dan diprogramkan untuk berproliferasi bila terpapar lagi pada antigen bersangkutan, tidak akan berfungsi sebagai sitotoksik kalau reseptor selnya tidak terikat pada antigen, Maka perubahan jumlah limfosit T sitotoksik (CTL) terhadap waktu dipengaruhi oleh laju proliferasi yang dilakukan oleh CTL terhadap sel yang terinfeksi virus HIV pada saat merespon antigen dikurangi laju kematian sel CTL secara alami, hal ini dapat digambarkan dalam bentuk persamaan (3.3.c) 3.2.1 Titik tetap Secara analitik, pehitungan titik tetap dari model matematika sistem (3.3) % %
λ
%H %
R H
adalah sebagai berikut:
% %
%
β
Dari persamaan c H H R
Artinya H untuk H
QH
“
Q
)
QH
G H
0
0
0
didapat: 0
0
0 atau R
0, dari
β
“
Q
0.
0 diperoleh:
Titik tetap yang pertama ( E1) adalah S , , HT: U
€
,
0, H
0Z, titik
,H
0Z, titik
tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi. Titik tetap yang kedua ( E2) adalah S , , HT: U
W
•
,
€
W
•
tetap yang kedua menunjukkan atau menggambarkan kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV. untuk R R R
Q
0, dari
Q
0
Q
λ %
λ λ
0 diperoleh
Q R
untuk mencari nilai
λ %
“
β Y V
β
%
”Y V
”Y V
βQ ‰ R
%
C C
substitusi nilai
ke persamaaan
diperoleh;
0
0
0
%Š
βQ %R ‰ R Š %R
CR
βQ
untuk mencari nilai H substitusi nilai
dan
ke persamaaan
diperoleh:
β
β‰
%R
)
CR
βCQ %R βQ
G H
Q Š‰ Š βQ R )Q R
cβCQ %R βQ
cβCQ %R βQ
GQH GQH
V
,H
GQH R
Q R
GQH
)Q
0
G
Q H R
0
0
)Q %R %R βQ
βQ
Q cβC
)%R )βQ %R βQ
)Q%R )QβQ %R βQ
H
Q cβC )%R )βQ GQ %R βQ
H
c βC )% )Qβ G %R Qβ
cβC )%R )βQ G %R βQ
H
Y
)
cβCQ cβCQ
GQH
GQH
)Q
0
Sehingga titik tetap yang ketiga ( E3) adalah S , , HT: U • ”€#W –
#WY”
VXY”
€V
VX”Y
,
Z, titik tetap yang ketiga menunjukkan atau menggambarkan
kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV 3.2.2 Jenis kestabilan
Untuk mengahui jenis kesetabian dari sistem (3.3) maka terlebih dahulu dicari matriks Jacobi dari sistm tersebut.
I
% ` ` 0
J %
` ` 0
` ƒ
` ) RH
GH `
R
0 G
Q
GH
ƒ
R
0 G Q
GH
ƒ R
Q
Akar-akar karakteristik untuk (3.3) adalah: 9
%
`
%
`
`
` ƒ 5
0
ƒ f `
`&
)
)
RH
RH
)
R
GH
ƒ
Q
ƒ$
ƒ& ƒi
ƒ ‰
% ‰
Q
`C %
`C ‰ )% M~
`C %
)
ƒŠ
Q
ƒ
0
…
ƒ
ƒ
G Q
R
Untuk titik tetap yang pertama ( E1) U„ %
K
0
†
ƒ
9
0
` ` 5 0
5
ƒ
,‡
G RHg
ˆ, —
G Q
R
ƒ
ˆZ diperoleh:
)Š
1Š
1 , ƒi akan bernilai negatif apabila M~ [ 1
Titik tetap ( E1) baersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1.
Teroma 3.3
Untuk titik tetap yang kedua ( E2) U„
‹
Œ
%
`
ƒ `
)
ƒ R
Q
%
`
ƒ `
)
ƒ R
Q
%
`
ƒ `
)
ƒ R
Q
,‡
ƒ
ƒ ƒ
…
‹
†
Œ
`& `&
,—
) `
R
`) R
R
ˆZ diperoleh: Q
Q
Q
ƒ
ƒ
ƒ
0
0
0
5
% R
`
%
`
R
R
•
•
ƒ$
ƒ&
Q
Q
ƒ f‰ %
`C )
%
ƒ fƒ
`C )
ƒ&
C`
ƒ
0
ƒ f‰
Q R
ƒ R `
Q ƒ
`C )
ƒ fƒ &
ƒ
ƒŠ
`C )
%Š
ƒ
Q
ƒ
ƒ
ƒŠ
)% M~
ƒŠ
ƒ
`) ‰
C`
%) R
ƒ
C`
C`
ƒ
C`
%) g
1 g
C )
% Š R `
Q
%)
0
C`
%) g
%) g 0
%) g
0
Q
ƒ
0
0
ƒ
0
0
Q, ƒ$ akan bernilai negatif apabila R [ Q
•€ W
ƒ&
ƒ
`C ‰ )
ƒ f‰ %
Q
R
%
ƒ R
ƒ
Q
R
ƒ
)
Q
Q
R
R
ƒ `
ƒ& ƒi
C` •1
ƒi
`C )
)% M~
Karena negatif maka ƒ&
$
˜™
Ž
0
1 , ƒ& ƒi akan bernilai positif apabila M~ ] 1
ƒi [ 0 •
ƒ& dan ƒi negatif u ƒ& dan ƒi berbeda tanda
ƒ dan ƒi negatifu Bernilai positif maka ƒ& . ƒi ] 0 • & ƒ& dan ƒi positif
Dari kedua pertimbangan diatas, maka diperoleh akar-akar bernilai negatif.
0
Teroma 3.4 Titik tetap ( E2) saat mengalami infeksi tanpa respon CTL ada apabila
memenuhi (3.2), dan bersifat stabil asimtotik bila R [ Q. Untuk titik tetap yang ketiga ( E3) U„ diperoleh: Q •
`
•
%
%
ƒ
` `
)
0
ƒ [ ` ƒ
GH
%
ƒ
)
GH
•Y
ƒ
V
`
€V
VX”Y
ƒ R
)
• ”€#W
c βC ‰
`CR %R βQ
)
R% %R
ƒ
)
R
•
Q
%
Q
ƒ
`
ƒ
0
R
Y
Q
V
ƒ
ƒ [ `
Q
Q
)
ƒ
–
œ š
Qβ Š Qβ
Qβ Š Qβ
,—
• ›…#‹† #‹œ› ž †šXœ›
ƒ
G RHg
#WY”
Ž
VXY”
ƒ
)% )Qβ Š %R Qβ
cβC %R Qβ
)‰
R% %R
Q
G•
`CR %R βQ
)‰
,‡
…š
†šX›œ
ƒ
ƒ
‰
)
)
R)% %R
`&
ƒ
)
)Qβ Š Qβ
Z R
ƒ
ƒ
ƒ
GH
ƒ R
Q
ƒ
G RHg
`&
R
)
• %
•Y V
‰ %
`Q R
ƒi
%ƒ &
%ƒ &
ƒi
ƒi
ƒŽ f
ƒ & ‰%
ƒ
ƒŠ fƒ &
G RHg
`Q & ƒ R
ƒG RH
`Q & ƒ R
%G RH
ƒ & ‰%
ƒ
`Q Š R
`Q Š R
G RHg+ ` & ƒ` &
`Q G RH R
ƒ G RH
ƒ G RH
ƒ` & `&
`&
ƒi
0
ƒ
ƒG RH
%G RH
G RH ‰%
G RH %
0
ƒ` &
`Q G RH R `Q Š R
`Q R
0
0
0
0
Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz didapatkan: )$ ] 0
)i ] 0
)$ )&
‰%
`Q Š G RH R
`&
`Q Š R
`&
‰%G RH
`Q G RHŠ R
‰%` &
G RH ‰%
`Q Š R
‰%
G RH ‰%
)$ )& ] )i
`&
‰%
`Q Š R
`Q & ` R
Š
`Q Š ] G RH ‰% R
`Q Š R
)i
Karena sistem (3.3) untuk titik tetap ke tiga memenuhi kriteria RouthHurwitz maka sistem (3.3) dikatakan stabil asimtotik pada titik tetap ketiga.
Berdasarkan titik tetap yang ketiga, ada kemungkinan nilai H [ 0, yang
artinya tidak terjadi infeksi. Sehingga diberikan syarat bahwa H ] 0. c βC
)%
)Qβ ] 0
c βC
)% ] )Qβ
)% )Qβ ] )% )% Qβ M~ 1 ] R% Qβ M~ ] 1 R% c
`C )%
Teroma 3.5
Titik tetap ( E3) saat mengalami infeksi ada apabila M~ ] 1
bersifat stabil asimtotik.
Y• V
, dan selalu
3.3 Contoh kasus Dari persamaan yang terbentuk pada Model Makrofag yang terinfeksi Virus HIV, membentuk sistem persamaan diferensial non linier orde satu. Misalkan diberikan parameter pada persamaan diferensial sebagai berikut: • λ
• %
1
• G
0,5
• β
0,1
• )
2
• Q
0,15
• R
1
0,1
3.3.1 Contoh kasus untuk Model Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV Model Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV, sistem persaaannya menjadi: a) b)
1
2
0,1
0,5
2
Maka titik tetap yang pertama ( E1) adalah S , T: S
tetap yang kedua ( E2) adalah S , T: S
0,25,
1,95T
3.4
10,
0T, titik
10,
Dari sistem (3.4), maka diperoleh titik tetap yang pertama yakni S
0T, yang menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi,
sedangkan titik tetap yang kedua S
0,25,
1,95T yang menunjukkan atau
menggambarkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV.
Dengan memasukkan nilai parameter pada sistem (3.4), maka diperoleh 0,1 2 2
matriks Jacobi yakni: I
I$
h
0,1 0
2
0,5
0,1 20 ¡ 0 19,5 ƒ
j
20 ¢ 19,5 ƒ
Akar-akar karakteristiknya adalah: ¢
ƒ$
ƒ&
0,1
ƒ 19,5
0,1
19,5
0
ƒ
0
Nilai eign di sekitar titik tetap pertama yang menunjukkan kestabilan saat ketiadaannya infeksi, berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.4) di titik tetap pertama adalah tidak stabil. Sedangkan matriks Jacobi di sekitar titik tetap kedua yang menunjukan 0,1 3,9
0,5 j 0
kestabilan saat terjadinya infeksi, yaitu: I&
h
0,1 ƒ 3,9
0,5 5 ƒ
Akar-akar karakteristiknya adalah: 5
ƒ
&
ƒ$
ƒ&
0,1
ƒ
0,1ƒ
0,05
0,05
ƒ
1,95
0
0
0,5 3,9
1,3955a
0
1,3955a
Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.4) di titik tetap kedua adalah stabil asimtotik.
3.3.2 Contoh kasus untuk Model Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV dan Respon CTL Model Makrofag yang Terinfeksi virus HIV dan Respon CTL, Sistem persaaannya menjadi: 1
a) b) c)
2
0,1
0,15 H
“
2
0,5
0,1H
1 H
3.5
Maka titik tetap yang pertama ( E1) adalah S , , HT: S
titik tetap yang kedua ( E2) adalah S , , HT: S tetap yang ketiga ( E3) adalah S , , HT: S
10,
0,25,
0,6667, H
10,
1,95, H
0, H
0T,
0T, titik
0,8953T
Dengan memasukkan nilai parameter pada sistem (3.5), maka diperoleh matriks Jacobi yakni: I
0,1 2 2 0
J
2
2 0,5 1H 0,15H
0,15
0 1
K 0,1
Dan nilai matriks Jacobi di sekitar titik tetap pertama yang menunjukan 0,1 J 0 0
20 19,5 0
0 0 K 0,1
kestabilan saat ketiadaannya infeksi, yaitu: I$
0,1 0 0
ƒ
20 19,5 ƒ 0
0 0 0,1
Akar-akar karakteristiknya adalah: 9 ƒ$
ƒ& ƒi
0,1
ƒ 19,5
0,1
0,1
ƒ
0,1
ƒ
ƒ
9
0
0
19,5
Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.5) di titik tetap pertama adalah tidak stabil.
Sedangkan nilai matriks Jacobi di sekitar titik tetap kedua yang menunjukan 2,1 J 2 0
0 0,5 0
0 1K 0,05
kestabilan saat terjadinya infeksi, yaitu: I&
2,1 2 9 0
ƒ
0 0,5 0
0 1 9 0,05 ƒ
Akar-akar karakteristiknya adalah:
( 2,1 ƒ$
ƒ&
ƒ
ƒ
0,5
0,5
2,1
ƒ ( 0,05
0
ƒ
0
0,05
ƒi
Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.5) di titik tetap kedua adalah tidak stabil. Sedangkan nilai matriks Jacobi di sekitar titik tetap ketiga yang menunjukan 1,4333 J 1,3333 0
1,3953 0 0,1343
0 0,6667K 0
kestabilan saat terjadinya infeksi, yaitu: Ii
1,4333 ƒ 1,3333 0
1,3953 ƒ 0,1343
Akar-akar karakteristiknya adalah: 9
1,4333
1,4333
1,4333
1,4333ƒ & ƒi
ƒ$
ƒ& ƒi
ƒ ƒ ¢ 0,1343 ƒ f ƒ&
ƒ ƒ&
0,6821 0,0692
0,6667 ¢ ƒ
0
1,3333 1,3953 ¢ 0
0,6667 0,1343 g
0,0896
1,4333 (0,0896
1,4333ƒ & 0,6821
0 0,66679 ƒ
1,9526ƒ
1,1792a
1,1792a
1,8603ƒ ƒi
0,1284
0
1,3953 1,3333 ƒ
0,0896ƒ 0
0,6667 ¢ ƒ
1,8603ƒ
0
0
0
Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.5) di titik tetap ktiga adalah stabil asimtotik.
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab III, maka dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa: 1. Model Makrofag yang terinfeksi virus HIV membentuk sebuah sistem persamaan diferensial non linier orde satu yang terdiri atas 2 persamaan, yaitu: a.
λ
b.
β
%
)
β
Analisis model matematika dari dua persamaan di atas adalah: a) Persamaan pertama menjelaskan tentang laju perubahan populasi makrofag terhadap waktu, persamaan kedua menjelaskan tentang laju perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu. b) Secara analitik titik tetap dari dua persamaan di atas menghasilkan 2 titik tetap yaitu:
a. Titik tetap yang pertama ( E1) adalah S , T: U
€
,
0Z, titik
tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi.
b. Titik tetap yang kedua ( E2) adalah S , T: U
W
•
,
€
W
•
Z, titik
tetap yang kedua menunjukkan atau menggambarkan kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV.
c) Titik tetap ( E1) bersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1. Titik tetap ( E2) bersifat stabil asimtotik apabila M~ ] 1.
2. Model Makrofag yang terinfeksi virus HIV dan Respon CTL membentuk sebuah sistem persamaan diferensial non linier orde satu yang terdiri atas 3 persamaan, yaitu:
a.
λ
b.
β
c.
%
R H
“
)
β
QH
G H
Analisis model matematika dari tiga persamaan di atas adalah: a) Persamaan pertama menjelaskan tentang laju perubahan populasi makrofag terhadap waktu, persamaan kedua menjelaskan tentang laju perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu yang dipengaruhi respon CTL, persamaan ketiga menjelaskan tentang laju perubahan populasi CTL. b) Secara analitik titik tetap dari dua persamaan di atas menghasilkan 3 titik tetap yaitu:
a. Titik tetap yang pertama ( E1) adalah S , , HT: U
€
,
0, H
0Z, titik tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi.
b. Titik tetap yang kedua ( E2) adalah S , , HT: U •
,H
0Z,
titik
tetap
yang
kedua
W
•
,
€
W
menunjukkan
atau
menggambarkan kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV.
c. Titik tetap yang ketiga ( E3) adalah S , , HT: U Y V
,H
• ”€#W –
#WY”
VXY”
€V
VX”Y
,
Z, titik tetap yang ketiga menunjukkan atau
menggambarkan kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV Titik tetap ( E1) bersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1. Titik tetap ( E2)
bersifat stabil asimtotik bila R [ Q. Titik tetap ( E3) saat mengalami infeksi ada saat mengalami infeksi tanpa respon CTL ada apabila memenuhi (3.2), dan apabila M~ ] 1
Y• V
, dan selalu bersifat stabil asimtotik.
Dapat disimpulkan bahwa jumlah makrofag secara perlahan tetapi pasti akan mengalami penurunan hal ini disebabkan adanya replikasi virus yang menyebabkan terganggunya pembentukan limfosit baru, pada makrofag yang terinfeksi jumlah populasi saat awal terinfeksi sempat mengalami penurunan yang dipengaruhi oleh adanya proses lisis oleh CTL namun pada akhirnya akan terus mengalami kenaikan, sedangkan jumlah populasi pada CD8/CTL akan terus mengalami peningkatan karena adanya proliferasi yang disebabkan replikasi virus. 4.2 Saran Pembahasan mengenai model matematika ini masih terbuka bagi peneliti lain. Pada pembahasan selanjutnya menindak lanjuti penelitian ini, dapat dikembangkan model dengan menganalisis Model Makrofag yang terinfeksi virus HIV yang memperhitungkan faktor lain seperti terapi, vaksinasi dan lainnya.
