Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lingkup Materi
Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert Basis ortonormal dari ruang Hilbert Teorema proyeksi dan lema Riesz Jumlah langsung Produk tensor
Ruang Vektor Kompleks Ruang vektor atas adalah grup Abelian aditif X, sedemikian sehingga untuk setiap x, y 1)
X,
dan e suatu unsur identitas di berlaku:
,
( x y)
x
y,
)x
x
x,
2) ( 3) ( 4) e.x
)x x.
( x),
Contoh ruang vekto 1) Himpunan M mn
yang merupakan himpunan matriks berukuran m n
dengan entri-entri bilangan kompleks adalah suatu ruang vektor. 2) 3 :
x, y, z x, y, z
x1, y1, z1
x2 , y2 , z2 :
dengan
x1 x2 , y1
skalar bilangan kompleks ruang vektor.
penjumlahan
y2 , z1 z2
x1, y1, z1 :
titik
demi
titik
dan dilengkapi perkalian
x1, y1, z1
adalah suatu
Ruang vektor bernorm Misalkan X suatu ruang vektor atas . Norm di pemetaan
X adalah sebuah
, sedemikian sehingga untuk setiap x, y
:X
X,
berlaku: 1)
x
0,
2)
x
0 jika dan hanya jika x 0,
3)
x
4)
x y
x,
x
y.
Selanjutnya, ruang vektor X yang dilengkapi dengan norm . atau ditulis X , disebut ruang vektor bernorm.
Hasil Kali Dalam - Ruang HKD X suatu ruang vektor atas . Suatu hasil-kali dalam pada ruang
Misalkan
, sedemikian sehingga untuk setiap
vektor X adalah pemetaan .| . : X X x, y, z
X dan sembarang skalar
1)
x
2)
x| y
3)
x| x
y| z
x| z
,
berlaku:
y|z ,
y|x ,
0 dan x | x
0 jika dan hanya jika x=0.
Selanjutnya, ruang vektor X yang dilengkapi dengan hasil-kali dalam . | . atau ditulis X , .| .
disebut ruang hasil-kali dalam.
Contoh Ruang HKD Perhatikan ruang fungsi kompleks kontinu:
C a, b : Misalkan
f , g C a, b .
f : a, b Tulis
f
f kontinu . f1 if 2
dan
g
g1 ig 2
fi , gi ; i 1, 2 adalah fungsi-fungsi real kontinu dengan domain a, b .
Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar berturut-turut:
f
g x :
f1 x
g1 x
i f2 x
x :
f1 x
i f2 x ,
dan
f
g2 x
dengan
Contoh Ruang HKD untuk setiap x
a, b dan
. Dapat ditunjukkan C a, b
adalah ruang vektor atas
. Selanjutnya didefinisikan: b
f g :
f1 x
if 2 x
g1 x
ig 2 x dx.
a
(C a, b , .| . ) adalah ruang hasil-kali dalam. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar berturut-turut:
f
g x :
f1 x
g1 x
i f2 x
x :
f1 x
i f2 x ,
dan
f
g2 x
Ruang Banach, Ruang Hilbert Misalkan X , adalah ruang vektor bernorm, ruang X disebut lengkap jika setiap barisan Cauchy xn di X konvergen di X. Suatu ruang vektor bernorm yang lengkap disebut ruang Banach. Selanjutnya, suatu ruang vektor bernorm yang lengkap yang normnya diinduksi dari hasil-kali dalam disebut ruang Hilbert.
Contoh Ruang Hilbert Perhatikan himpunan semua barisan bilangan kompleks
l2 :
yn
xn
y1, y2 ,...
xn
2
.
Misalkan
xn
l2
x1, x2 ,...
xn
yaitu dan
l 2 , didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
berturut-turut:
xn
yn
x1, x2 ,...
y1, y2 ,...
x1 y1, x2
y2 ,...
dan
xn
x1, x2 ,...
x1, x2 ,... untuk setiap
.
Contoh Ruang Hilbert Dapat ditunjukkan bahwa ruang barisan ruang vektor atas
l2
adalah
. Lebih lanjut, dengan hasil-kali
dalam dan normnya berturut-turut adalah
x y
xi yi i 1
dan
x
xx
1 2
xi
2
1 2
,
dapat ditunjukkan bahwa ruang
i 1
barisan
l2
suatu ruang Hilbert.
Basis ortonormal ruang Hilbert Sebuah himpunan {u } disebut himpunan ortonormal bila j
u ,u j
0 untuk j
k
k dan u , u j
j
1.
Lemma: Misalkan {u } sebuah basis ortonormal dari ruang Hilbert H . Maka setiap f H dapat dituliskan sebagai: n
j
j 1
f
f
||
f ,f
n ||
j 1
u,f u, j
di mana f dan f adalah saling ortogonal. ||
j
Basis ortonormal ruang Hilbert Lemma: Misalkan {u } sebuah basis ortonormal dari ruang Hilbert H. Maka u,f 0 untuk setiap 1 j n. Dalam hal khusus n
j
j 1
j
f
2
n j 1
2
| u,f | j
f
2
.
Juga setiap unsur f di ruang yang direntang oleh {u } memenuhi f f f
n
j
dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika f
f. ||
j 1
Fungsi Bilinear Definisi: Fungsi Bilinear Misalkan U, V dan W merupakan ruang vektor atas lapangan F. Sebuah fungsi f :U V
W adalah bilinear jika
fungsi tersebut linear pada kedua variabelnya
secara terpisah, yaitu:
f ru su ', v dan f u, rv sv ' r, s
F ; v, v ' V dan u, u ' U
rf u, v
sf u ', v ........(linear kiri)
rf u, v
sf u, v ' ........(linear kanan)
Contoh fungsi bilinear a. Suatu hasil kali dalam . . :V V vektor atas lapangan real
R pada ruang
adalah suatu fungsi
bilinear. b. Misalkan E, F ruang vektor dan M aljabar, kemudian
:E
M dan
:F
M masing-
masing adalah suatu fungsi linear. Maka fungsi
:E F e, f
M , dengan e
fungsi bilinear.
f ,
e, f
E F adalah suatu
Hasil kali tensor Definisi: Hasil Kali Tensor Misalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F dan misalkan T subruang dari ruang vektor bebas FU
V
yang dibangun oleh vektor-vektor berbentuk:
r u, v dan r u, v
s u ', v s u, v '
ru su ', v …...(*) u, rv sv ' ……(**)
r , s skalar di F; u, u ' U dan v, v ' V . Ruang kosien FU tensor dari U dan V dan dinotasikan oleh U V .
V
T dikatakan hasil kali
Hasil kali tensor Setiap vektor yang dibangun oleh subruang T merupakan elemen nol pada ruang vektor U
V . Dengan demikian
elemen-elemen dari U V
berbentuk ri ui , vi
tetapi biasanya koset u, v elemen dari U
T dinotasikan oleh u ui
V ditulis dalam bentuk
r u dan r u
v
s u' v v
T
s u
vi di mana
ru su ' v'
u
v , oleh karena itu setiap
v ….(***)
rv sv ' …(****)
Hasil kali tensor Setiap elemen U
V
tidak selalu dapat ditulis secara tunggal
u finite
i
v
i
x finite
i
y
i
jika dan hanya jika kita dapat menemukan elemen yang sama dalam bentuk jumlah berhingga lain.
Hasil kali tensor: konstruksi Langkah 1
Misalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F, kemudian kita konstruksi suatu ruang vektor bebas atas lapangan F dengan U V sebagai generator. Berdasarkan definisi ruang vektor bebas, kita dapatkan
F : U V
finite
i
u ,v : i
i
i
F, u ,v i
i
U V
Ini adalah kombinasi linier berhingga dari elemen-elemen di U V .
.
Hasil kali tensor: konstruksi Langkah 2 Selanjutnya pilih subruang T dari FU
V
, yang dibangun oleh vektor-vektor berbentuk (*)
dan (**). Kemudian akan dibuktikan bahwa pemetaan kanonik mana
ri ui , vi
u, v
u, v
T untuk setiap
merupakan suatu fungsi bilinear. Artinya:
ru su ', v
r
u, v
s
u ', v ........(linear kiri)
r
u, v
s
u, v ' ........(linear kanan)
dan
u, rv sv ' r, s
F ; v, v ' V dan u, u ' U
: FU
ri ui , vi
V
FU u, v
V
T di
FU
V
,
Hasil kali tensor: elemen tensor Berdasar definisi hasil kali tensor dari ruang vektor U dan V (dinotasikan U ruang kosien FU
V
pemetaan kanonik
u, v
T . Sehingga setiap elemen dari U : FU
FU
V
V
T dengan
T dikatakan elemen tensor dari U
V merupakan suatu hasil
u, v
V
u, v
v
s u' v
r u
v
s u
v'
untuk setiap u, u ' U ; v, v ' V dan skalar r , s
ru su ' u F.
T , selanjutnya koset
yang dinotasikan sebagai u
Berdasarkan (***) dan (****) elemen tensor tersebut bersifat:
r u
V ) adalah
v
rv sv '
v.
Hasil kali tensor: sifat universal Teorema 3.8.1: Sifat Universal Hasil Kali Tensor Misalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F. Suatu fungsi
t :U V
U
V adalah fungsi bilinear yang didefinisikan oleh
t u, v Jika f : U V
u
v ……………………(3.8.1.1)
W adalah sembarang fungsi bilinear dari U V pada suatu ruang
vektor W atas F , maka terdapat suatu transformasi linear unik t
Jika terdapat s : U V X U V
:U
V
W sehingga
f ………………(3.8.1.2)
X fungsi bilinear lain yang memenuhi sifat tersebut, maka
Hasil kali tensor: sifat universal t bilinear U V
U
V linear
f bilinear
W Gambar 3.8.1 Sifat universal hasil kali tensor
