Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
D¨ont´est´amogat´o Rendszerek VII. el˝oad´as Bek´en´e R´acz Anett Debreceni Egyetem
VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Defin´ıci´ ok P´ elda rangsorfordul´ asra
Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak Condorcet nyertes: Az az alternat´ıva, amely az ¨osszes t¨obbi alternat´ıv´aval szemben gy˝ oztesen ker¨ ul ki a p´aros¨osszahsonl´ıt´asb´ ol. Condorcet vesztes: Az az alternat´ıva, amely az ¨osszes t¨obbi alternat´ıv´aval szemben vesztesen ker¨ ul ki a p´aros¨osszahsonl´ıt´asb´ ol. Condorcet rendez´es: A1 , A2 , . . . , An az alternat´ıv´ak egy Condorcet rendez´ese, ha ∀i ∈ 1, . . . , n igaz, hogy az Ai b´armely a sorrendben ut´ana l´ev˝ o Aj (i < j ≤ n) alternat´ıv´aval szemben gy˝oztesen ker¨ ul ki a p´aros¨ osszehasonl´ıt´asb´ol.
VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Defin´ıci´ ok P´ elda rangsorfordul´ asra
Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak
N¨ovekv˝o sorozat-f¨ uggetlen rangsor: Az a rangsor, melyben az els˝o p elem sorrendje (,ahol p ∈ {1, . . . , n}) nem v´altozik, ha t¨or¨olj¨ uk a rangsorb´ ol valamely Aj , p < j ≤ n elemet. Cs¨okken˝o sorozat-f¨ uggetlen rangsor: Az a rangsor, melyben az utols´o p elem sorrendje (,ahol p ∈ {1, . . . , n}) nem v´altozik, ha t¨or¨olj¨ uk a rangsorb´ ol valamely Aj , 1 ≤ j < p elemet. Ammenyiben a rangsorb´ ol egy elem t¨ orl´ese a t¨obbi elem sorrendj´enek v´altoz´as´ahoz vezet rangsorfordul´asr´ol besz´el¨ unk.
VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
VII.el˝ oad´ as
Defin´ıci´ ok P´ elda rangsorfordul´ asra
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Rangsor m´odszer Olyan egy´eni d¨ont´est seg´ıt˝ o elj´ar´as, amikor a d¨ ont´eshoz´o nem ad meg ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enyt az egyes szempontok szerint, hanem csak az alternat´ıv´ak sorrendj´et. A m´ odszerek csak a szempontok szerinti rangsort alapul v´eve d¨ ontenek az alternat´ıv´ak rangsor´ar´ol. A szavaz´asi elj´ar´asok m´odszereit alkalmazhatjuk, mint rangsorm´odszereket.
VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
P´elda A k¨ovetlez˝o rangsor t´abl´azat ´all C1 C2 C3 C4 C5 A 4 5 4.5a 5 4 a 4 4.5 4 5 B 1 C 5 2 1 2b 1 1 2 2b 2 D 2 b E 3 3 3 2 3 a b
VII.el˝ oad´ as
4., 5. helyen holtverseny 1., 2., 3. helyen holtverseny
rendelkez´esre: C6 C7 5 5 4 4 2 1 1 2 3 3
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Borda m´odszer alkalmaz´asa, mint rangsorm´odszer A pontsz´amokat a szempontok szerint kiosztjuk a sorrendnek megfelel˝oen, majd ¨osszeadjuk az alternat´ıv´ak k¨ ul¨ onb¨oz˝o szempontok szerint kapott pontsz´amait.
VII.el˝ oad´ as
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Borda m´odszer alkalmaz´asa, mint rangsorm´odszer A pontsz´amokat a szempontok szerint kiosztjuk a sorrendnek megfelel˝oen, majd ¨osszeadjuk az alternat´ıv´ak k¨ ul¨ onb¨oz˝o szempontok szerint kapott pontsz´amait.
A B C D E
VII.el˝ oad´ as
C1 1 4 0 3 2
C2 0 1 3 4 2
C3 0.5 0.5 4 3 2
C4 0 1 3 3 3
C5 1 0 4 3 2
C6 0 1 3 4 2
C7 0 1 4 3 2
¨ O: 2.5 8.5 21 23 15
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Borda m´odszer alkalmaz´asa, mint rangsorm´odszer A pontsz´amokat a szempontok szerint kiosztjuk a sorrendnek megfelel˝oen, majd ¨osszeadjuk az alternat´ıv´ak k¨ ul¨ onb¨oz˝o szempontok szerint kapott pontsz´amait.
A B C D E Sorrend: D; C ; E ; B; A VII.el˝ oad´ as
C1 1 4 0 3 2
C2 0 1 3 4 2
C3 0.5 0.5 4 3 2
C4 0 1 3 3 3
C5 1 0 4 3 2
C6 0 1 3 4 2
C7 0 1 4 3 2
¨ O: 2.5 8.5 21 23 15
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Cook-Seiford m´odszer alkalmaz´asa, mint rangsorm´odszer Ellenz´esi szintek minimaliz´al´asa magyar m´ odszerrel. A Cook-Seiford m´atrix alakja: P dij := |rik − j|, ahol rik : Ai Ck szerinti rangsz´ama. Azaz, dij az k
Ai j. helyez´est˝ol vett ”t´avols´aga”.
VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Cook-Seiford m´odszer alkalmaz´asa, mint rangsorm´odszer Ellenz´esi szintek minimaliz´al´asa magyar m´ odszerrel. A Cook-Seiford m´atrix alakja: P dij := |rik − j|, ahol rik : Ai Ck szerinti rangsz´ama. Azaz, dij az k
Ai j. helyez´est˝ol vett ”t´avols´aga”.
A B C D E
VII.el˝ oad´ as
1. 25.5 19.5 7 5 13
2. 18.5 14.5 6 2 6
3. 11.5 9.5 11 9 1
4. 4.5 4.5 16 16 8
5. 2.5 8.5 21 23 15
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Cook-Seiford m´odszer alkalmaz´asa, mint rangsorm´odszer Ellenz´esi szintek minimaliz´al´asa magyar m´ odszerrel. A Cook-Seiford m´atrix alakja: P dij := |rik − j|, ahol rik : Ai Ck szerinti rangsz´ama. Azaz, dij az k
Ai j. helyez´est˝ol vett ”t´avols´aga”.
A B C D E
1. 25.5 19.5 7 5 13
2. 18.5 14.5 6 2 6
3. 11.5 9.5 11 9 1
4. 4.5 4.5 16 16 8
5. 2.5 8.5 21 23 15
A hozz´arendel´esi feladatot megoldva a kapott sorrend: C ; D; E ; B; A VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Bernardo m´odszer A Cook-Seiford m´odszer egy m´asik felfog´asa, miszerint az el´egedetts´eget szeretn´enk maximaliz´alni. Bernardo m´atrix fel´ep´ıt´ese: mij := a szempontok darabsz´ama, amelyek szerin Ai a j. poz´ıci´ora ker¨ ul. A feladatot, mint maximaliz´aci´ os hozz´arendel´esi feladatot oldjuk meg.
VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Bernardo m´odszer A Cook-Seiford m´odszer egy m´asik felfog´asa, miszerint az el´egedetts´eget szeretn´enk maximaliz´alni. Bernardo m´atrix fel´ep´ıt´ese: mij := a szempontok darabsz´ama, amelyek szerin Ai a j. poz´ıci´ora ker¨ ul. A feladatot, mint maximaliz´aci´ os hozz´arendel´esi feladatot oldjuk meg. A B C D E
VII.el˝ oad´ as
1. 0 1 3.3 2.3 0.3
2. 0 0 2.3 4.3 0.3
3. 0 0 0.3 0.3 6.3
4. 2.5 4.5 0 0 0
5. 4.5 1.5 1 0 0
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Bernardo m´odszer A Cook-Seiford m´odszer egy m´asik felfog´asa, miszerint az el´egedetts´eget szeretn´enk maximaliz´alni. Bernardo m´atrix fel´ep´ıt´ese: mij := a szempontok darabsz´ama, amelyek szerin Ai a j. poz´ıci´ora ker¨ ul. A feladatot, mint maximaliz´aci´ os hozz´arendel´esi feladatot oldjuk meg. A B C D E
1. 0 1 3.3 2.3 0.3
2. 0 0 2.3 4.3 0.3
A feladatot megoldva a sorrend: C ; D; E ; B; A VII.el˝ oad´ as
3. 0 0 0.3 0.3 6.3
4. 2.5 4.5 0 0 0
5. 4.5 1.5 1 0 0
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Outranking m´odszerek
A m´odszer outranking m´atrix´anak fel´ep´ıt´ese: kij := Ai h´any szempont szerint el˝ ozi meg Aj -t. K¨ohler m´odszer A helyez´esek kioszt´asa 1.-t˝ ol Primal Dual max{min kij } min{max kij } i
VII.el˝ oad´ as
j
j
i
Arrow & Raynaud m´odszer A helyez´esek kioszt´asa n.-t˝ol Primal Dual min{max kij } max{min kij } i
j
j
i
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Primal
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
max:
VII.el˝ oad´ as
Min 0 1 3 3 0 3
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Primal
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
max: 1. helyen: C; D.
VII.el˝ oad´ as
Min 0 1 3 3 0 3
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Primal
A B E
A 5 7
B 1 6
E 0 1 -
max:
VII.el˝ oad´ as
Min 0 1 6 6
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Primal
A B E
A 5 7
B 1 6
E 0 1 -
max: 2. helyen: E.
VII.el˝ oad´ as
Min 0 1 6 6
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Primal
A B
A 5
B 1 -
max:
VII.el˝ oad´ as
Min 1 5 5
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Primal
A B
A 5
B 1 -
max: 3. helyen: B. 4. helyen: A.
VII.el˝ oad´ as
Min 1 5 5
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Primal
A B
A 5
B 1 -
Min 1 5
max: 3. helyen: B. 4. helyen: A. A sorrend: C;D;E;B;A vagy D;C;E;B;A
VII.el˝ oad´ as
5
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Dual
VII.el˝ oad´ as
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
Min:
Max:
7
6
3
3
6
3
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Dual
1. helyen: C; D.
VII.el˝ oad´ as
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
Min:
Max:
7
6
3
3
6
3
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Dual
VII.el˝ oad´ as
A B E
A 5 7
B 1 6
E 0 1 -
Min:
Max:
7
6
1
1
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Dual
2. helyen: E.
VII.el˝ oad´ as
A B E
A 5 7
B 1 6
E 0 1 -
Min:
Max:
7
6
1
1
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Dual
VII.el˝ oad´ as
A B
A 5
B 1 -
Min:
Max:
5
1
1
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Dual
3. helyen: B. 4. helyen: A.
VII.el˝ oad´ as
A B
A 5
B 1 -
Min:
Max:
5
1
1
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
K¨ohler m´odszer Dual
A B
A 5
B 1 -
Min:
Max:
5
1
1
3. helyen: B. 4. helyen: A. A sorrend: C;D;E;B;A vagy D;C;E;B;A
VII.el˝ oad´ as
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
min:
VII.el˝ oad´ as
Max 1 5 6 7 7 1
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
min: 5. helyen: A.
VII.el˝ oad´ as
Max 1 5 6 7 7 1
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
B C D E
B 6 6 6
C 1 3 1
D 1 3 0
E 1 5 6 -
min:
VII.el˝ oad´ as
Max 1 6 6 6 1
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
B C D E
B 6 6 6
C 1 3 1
D 1 3 0
E 1 5 6 -
min: 4. helyen: B.
VII.el˝ oad´ as
Max 1 6 6 6 1
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
C D E
C 3 1
D 3 0
E 5 6 -
min:
VII.el˝ oad´ as
Max 5 6 1 1
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
C D E
C 3 1
D 3 0
E 5 6 -
min: 3. helyen: E.
VII.el˝ oad´ as
Max 5 6 1 1
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
C D
C 3
D 3 -
min:
VII.el˝ oad´ as
Max 3 3 3
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
C D
C 3
D 3 -
min: 1. helyen: C;D
VII.el˝ oad´ as
Max 3 3 3
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Primal
C D
C 3
D 3 -
Max 3 3
min: 1. helyen: C;D A sorrend: C;D;E;B;A vagy D;C;E;B;A
VII.el˝ oad´ as
3
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
VII.el˝ oad´ as
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
Max:
Min:
5
1
1
0
0
5
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
5. helyen: A.
VII.el˝ oad´ as
A B C D E
A 5 6 7 7
B 1 6 6 6
C 1 1 3 1
D 0 1 3 0
E 0 1 5 6 -
Max:
Min:
5
1
1
0
0
5
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
VII.el˝ oad´ as
B C D E
B 6 6 6
C 1 3 1
D 1 3 0
E 1 5 6 -
Max:
Min:
6
1
0
1
6
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
4. helyen: B.
VII.el˝ oad´ as
B C D E
B 6 6 6
C 1 3 1
D 1 3 0
E 1 5 6 -
Max:
Min:
6
1
0
1
6
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
VII.el˝ oad´ as
C D E
C 3 1
D 3 0
E 5 6 -
Max:
Min:
1
0
5
5
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
3. helyen: E.
VII.el˝ oad´ as
C D E
C 3 1
D 3 0
E 5 6 -
Max:
Min:
1
0
5
5
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
VII.el˝ oad´ as
C D
C 3
D 3 -
Max:
Min:
3
3
3
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
1. helyen: C;D
VII.el˝ oad´ as
C D
C 3
D 3 -
Max:
Min:
3
3
3
Alternat´ıv´ ak rangsora Rangsor m´ odszerek
Bevezet´ es Borda m´ odszer Cook-Seiford m´ odszer Bernardo m´ odszer Outranking m´ odszerek
Arrow & Raynaud m´odszer Dual
C D
C 3
D 3 -
Max:
Min:
3
3
3
1. helyen: C;D A sorrend: C;D;E;B;A vagy D;C;E;B;A
VII.el˝ oad´ as
