Bayes statisztika és Bayes hálók az asztma/allergia kutatásban Antal Péter BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Mesterséges Intelligencia Csoport
Tartalom •
Bayes hálók (grafikus modellek) – – – –
• •
Kronológia Az általános Bayes hálós modell Értelmezési szintek Bayes hálók tanulása
Bayes statisztika Bayes hálók és Bayes statisztika orvosbiológiai kutatásban – Genetikai asszociációs kísérletek – Fúziós kihívások
•
Eddigi alkalmazások asthma/allergia kutatásban
Bayes-* •
Thomas Bayes (c. 1702 – April 17, 1761),
• • • • • • • • • •
p(Model| Data) ∝ p(Data| Model) p(Model) Bayes tétel fˆ ≈ f = E p (θ , S |Data ) [ f (θ , S )] Bayes statisztika Bayesi döntéselmélet Bayes hálók Bayes faktor Bayes hiba Bayes rizikó Bayes döntés Bayes becslő ...
brit matematikus és presbiteriánus lelkész
RS2509712
RS2277495
RS17831682
RS7941395
RS17253619
RS12889199
RS17126074
RS1953861
RS7150275
RS6572868
RS1993839
RS1144744
RS3765088
RS17831675
RS1695
RS17666653
RS2357947
RS17127622
RS12587410
RS7149810
RS17666689
RS17694496
RS17197
RS11231128REV
RS708498
RS17125273
RS946615
RS708502
RS1254601
RS1307289
RS12419635
RS1254600
RS1957844
RS1051069
RS7935186
RS3825596
RS708486
RS803012
RS563748
RS17127595
RS762063
RS3742536
RS1874569
RS10141001
RS4939452
RS4898762
RS11827029
RS488483
RS984050
RS7127662
RS569108
nem
RS8004624
RS2074422 RS607639REV
RS12792791REV
RS1565970
RS2277494
RS8013756
RS586571REV
RS17128136
RS735265
RS2273431
RS7118247
RS7145029
RS9671722
RS3794042
RS4939353REV RS10792269REV
RS2509961REV
RS1567083REVRS7925087
RS525574
RS2905506
RS514524
RS3829247RS2298553
RS540170REV
RS646924
RS2237997
RS3751464
RS4901200 RS10498475
RS2233253
RS4939426
RS10144326
RS2298559
Pathology
RS7935803
RS751026
RS2847204
RS528823
RS555835
RS11622740
RS954237 RS3759666
RS1032936 RS2259606 Kor
RS1209087
RS7928208REV RS3763840 RS1201378
RS2340943
RS2302360REV
RS2513081
Történeti áttekintés • • • • • • • • • • • • •
[1921]: S. Wright’s diagrams, „Correlation and causation” [1970] The first (medical) applications (Dombal). [1979] The axiomatization of independencies (Dawid) [1982] The decomposition of a distribution (Lauritzen). [1988] Representation of independencies (Pearl). [1988] Inference methods in polytrees (Pearl). [1989] Exact general inference methods (Lauritzen). [1990] Closed form for the structure posterior (Cooper, Herskovits) [1995] Bayesian inference over BNs (Madigan) [1998] Bayesian inference about causation (Heckerman) [2000] Bayesian inference about relevance (Friedman) [2000] J.Pearl: Causality, Cambridge University Press …..
Bayes tétel Egy algebrai trivialitás
p (Y | X ) p ( X ) = p( X | Y ) = p (Y )
p (Y | X ) p ( X ) ∑ X p(Y | X ) p( X )
Egy tudománytörténeti paradigmaváltás
p( Model | Data) ∝ p( Data | Model) p( Model) És pszichológiai konzekvenciák, megerősítés
P(betegség|tünet)=???
p(tünet|betegség)=0.79 p(betegség)=0.12
Bayes tételtől a Bayes hálókig: Naív/idióta Bayes háló Változók: Asthma-stádium (St), Légzésfunkció(LF), TünetGyakoriság (Gy), TünetSúlyosság (S), ÉjszakaiTünet (É), FizikaiTerhelés (F), Hallgatózási eltérés (H) P(St) Stádium Model P(LF|St)
LégzésFunkció
P(Gy|St) P(S|St) P(É|St) Gyakoriság
Súlyosság
P(F|St)
Éjszakai
P(H|St) Fizikai
Hallgatózás
Diagnosztika
p ( St | LF , Gy , S , É , F , H ) ∝ p ( St ) p ( LF | St ) p ( Gy | St ) p ( S | St ) p ( É | St ) p ( F | St ) p ( H | St ) = p ( St ) ∏ p ( Tünet i
i
| St .)
Pathfinder • • • • • • • • • • •
Pathfinder system. (Heckerman, Probabilistic Similarity Networks, MIT Press, Cambridge MA). • Diagnostic system for lymph-node diseases. • 60 diseases and 100 symptoms and test-results. • 14,000 probabilities. • Expert consulted to make net. • 8 hours to determine variables. • 35 hours for net topology. • 40 hours for probability table values. • Apparently, the experts found it quite easy to invent the causal links and probabilities. Pathfinder is now outperforming the world experts in diagnosis. Being extended to several dozen other medical domains.
És még egy model
Bayes háló értelmezési szintek • Együttes eloszlás hatékony reprezentálása – Hatékony következtetés és tanulás
• Függetlenségi állítások reprezentálása – Direkt függések
• Oksági modell reprezentálása – „A csomópontok változók, – Az élek direkt, okozati relációk”
Eloszlások faktorizációja • Általános (ÎMarkov hálók) – Potenciálok
p( X 1 ,K, X n ) ∝
∏ϕ
j =1,.., L
j
( X j1 ,..., X jL )
• Speciális (ÎBayes hálók) – Feltételes eloszlások p ( X 1 , K , X n ) = ∏ p ( X i | X 1 , K , X i −1 ) i =1,.., n
=
∏ p( X
i =1,.., n
i
| Pa( X i ))
j
Eloszlások függetlenségeinek gráfos reprezentálása
„A valószínűségszámítás nem a számokról szól”
• Jelölje Ip(X|Z|Y), hogy X,Y függetlenek Z feltétellel p eloszlásban • Az Mp függetlenségi modell tartalmazza az összes p-beli függetlenségi állítást • Kérdések – Lehet-e minden Mp-t egy gráffal reprezentálni? (nem) – Pontosan melyiket lehet? (nem ismert) – Mi a legjobb „közelítés”? (problémafüggő)
Gráffal nem reprezentálható eloszlások/függetlenségi modellek • Intranzitív függés (pl. X és Z lehet független) X
Y
Z
• Alsóbbrendű függetlenségből nem következik magasabbrendű (X,Z)-tól együtt függhet Y, mégha páronként független is X
Z Y
A függetlenségi modell vs gráfok II. • Jó hírek: – Véges karakterizáció egzakt Markov hálós reprezentációra – D-elválasztottság helyes és teljes kalkulus
• Sejtések – Nincs véges karakterizáció egzakt Bayes hálós reprezentációra
• Rossz hírek – Léteznek egzakt módon nem reprezentálható eloszlások (sem Markov, sem Bayes hálókkal) – A reprezentáció redundáns Îoksági értelmezés???
Principles of causality • • • •
strong association, X precedes temporally Y, plausible explanation without alternative explanations, necessity (generally: if cause is removed, effect is decreased or actually: y would not have been occurred with that much probability if x had not been present), • sufficiency (generally: if exposure to cause is increased, effect is increased or actually: y would have been occurred with larger probability if x had been present).
Függetlenségi vs. oksági modell BAJ: egy függetlenségi modellhez több Bayes háló is tartozhat p(X),p(Z|X),p(Y|Z) X Z Y p(X|Z),p(Z|Y),p(Y) X
Z
Y
p(X|Z),p(Z),p(Y|Z) X
Z
Y
p(X),p(Z|X,Y),p(Y) “tranzitív” M ≠ „intranzitív” M
X
Z
Y
„Az idő nyíl” ‘v-struktúra’
Oksági Bayes hálók „Correlation≠causation”, „no cause in, no cause out”
???
„Csak oksági kapcsolatok” feltevés: több változó esetén bizonyos élek egyértelműek Több változó esetén bizonyos esetekben még rejtett változók is kizárhatók E X ?
Z
Z
* ?
Y KONKLÚZIÓ1: tabula rasa oksági következtetés lehetséges • K2: oksági következtetések spektruma a tárgyterület független feltevések függvényében – – – –
Csak oksági relációk Rejtett változók Modell minimalitás Változószám
„Az okozatiság matematizálása” „a statisztikai idő iránya”
Feladatok Bayes hálóknál • (Passzív megfigyeléses) következtetés – P(Cél-változók|Megfigyelt-változók) – Legvalószínűbb értékkonfiguráció
• Beavatkozásos következtetés – P(Cél-változók|Megfigyelt-változók, Beállított-változók)
• Kontrafaktuális következtetés – P(Cél-változók|Megfigyelt-változók, Átállított-változók)
• Döntési háló, hasznosság és beavatkozási változók – További információ értéke – Maximális hasznú döntés
• Paraméter tanulás • Struktúra tanulás – ÎBNET 1995-
Bayes hálók tanulása • Hipotézisteszteléssel – Függetlenségi tesztek diktálják a hálót
• Bayes statisztika esetén
p ( Model | Data ) ∝ p ( Data | Model ) p ( Model ) Változók: SNP75, SNP10,SNP79, Asthma („best model”: 79<-75->10) 4
20
2
0
0 -2 -4 -6
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
best+75->A best+10->A best+79->A best+ALLSNP->A 75->79
-10
empty
-14
-40
13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133
best+75->A best+10->A best+79->A best+75,10->A
best+75,10->A
-8
-12
1 -20
-60 -80 -100 -120
best+ALLSNP->A 75->79 empty
Bayes háló tulajdonságok • Ötlet: hipotézisek, mint Bayes háló jegyek • Ötlet2: (modellalapú) posterior a hipotézisekre p ( ModelTulajdonság | Data )
= ∑ p (m | Data )1(Tulajdonság − igaz − m − ben) m
= E p ( m|Data ) [1(Tulajdonság − igaz − m − ben)] • Génregularizációs kísérletben – Páronkénti oksági kapcsolatok: független, közös ok, oksági kapcsolat (direkt/indirekt)
• Asszociációs kísérletben – Relevancia???
Feature learning Feature posterior
P ( F = f ) = ∑ G : F G = f P (G ) • Goal: approximate the full-scale summation (integral) • Practical methods: MCMC (Markov Chain Monte Carlo) sampling
A kapcsolt BN jegyek relevanciára – Markov Blanket (sub)Graphs (MBGs) (1) parents of the node (2) its children (3) parents of the children Markov Blanket Sets (MBs) • the set of nodes which probabilistically isolate the target from the rest of the model
– Markov Blanket Membership (MBM) • pairwise relationship
Y
Kapcsolt, eltérő absztrakciós szintű hipotézisosztályok • Az asszociációs tanulmányok kérdései Bayes hálók strukturális jegyeivel formalizálhatók – Páronkénti asszociáció: Markov Blanket Memberhsips (MBM) – Többváltozós/multifaktoriális asszociáció: Markov Blanket sets (MB) – Multifaktoriális asszociáció interakciókkal: Markov Blanket Subgraphs (MBG, C-RPDAG) – Teljes interakciós modell: Részlegesen irányított Bayes háló (PDAG) – Teljes oksági modell:Bayes háló (BN) • Kapcsolt, absztrakciós szinteket alkotnak ezek az asszociációs (feltételes) jegyek – DAG=>PDAG=>MBG=>C-RPDAG=>MB=>MBM
Adatoktól az orvosbiológiai ígéretekig • Személyre • Populációs adatok Statisztikai adatelemzés szabott (családfa) – prevenció • Klinikai adatok – szűrés – diagnosztika • Genetikai profil – gyógyszer – Egyed Bioinformatika – kezelés
– Szövet
• Genomikai profil – Gén-expressziós profil – mikroRNS profil
• Proteomikai profil
• (Nép)betegségek
Tudásmérnökség Rendszermodellek •Génregularizációs hálók •Útvonal elemzés •Modell alapú gyógyszertervezés
– „biológiai” szintű megértése – kezelése – Pl. malária, TBC, asztma, allergia, csontritkulás, elhízás,...
Bioinformatika: tudás és adat fúzió Nagy dimenziójú adatok Környezeti változók Fenotipusos (klinikai) változók … …
Nagy áteresztőképességű Gén Expresszió molekuláris biológiai mérések Gén Expresszió mikroRNS expresszió •DNS chip mikroRNS expresszió •(mikroRNS chip) Comparative Genome Hybridization Comparative Genome Hybridization •CGH chip Egy nukleotidos polimorfizmus Egy nukleotidos polimorfizmus •SNP chip
Nagy mennyiségű, elektronikus tudás OMIM
PubMed Gene Ontology
KEGG
HAPMAP
Ingenuity* miRDB PreMod
dbSNP TRANSFAC ……..
Komplex, hierarchikus,tudásgazdag hipotézisek •Asszociációk •Multifaktoriális interakciók •Okozati relációk •Alrendszerek, rendszerek
Szabadszöveges tudástárak
Szemi-formális tudásbázisok Elektronikus ontológiák, taxonómiák – UMLS, MeSH, Gene Ontology, MGED ontológia, SNP ontológia
• • • • •
Formális tudásbázisok Valószínűségi tudásmodellek/logikák Szemantikus világháló Annotált, integrált adatbázisok Annotált, integrált web-szolgáltatások
z és
• •
l ét e
– Pl. Pubmed 15 millió absztrakt – Cikk állítása formálisan
szá
kö v
et k
Tudás reprezentáció helyettesítés
ez
té s
lés
•
tás í m
köz
Tudásmérnöki trendek (fúzióhoz)
Tudásmérnöki feladatok: •reprezentáció, •kinyerés, •következtetés, •fenntartás Enciklopédisták (D.Diderot) Logikai pozitivizmus/empirizmus (R. Carnap ) “World Brain” (H.G.Wells,1938)
Elektronikus, hatalmas mennyiségű, egységesített, valószínűségi, empirikusan lehorgonyzott, formálisan reprezentált tudás
Indukciós trendek (fúzióhoz) •
Statisztikai, számításelméleti tanulási elméletek – Nem-parametrikus konzisztencia eredmények – Nem-aszimptotikus konvergencia eredmények – ...
•
Bayes statisztika – Markov Lánc Monte Carlo módszerek (MCMC) – Hibrid/Hierarchikus/Kapcsolt/... MCMC-ek – ..
•
W.Ockham D.Hume K.R.Popper
T.Bayes P.Laplace
Oksági következtetés – Oksági kapcsolatok indukciója passzív megfigyelésekből – Oksági kapcsolatok formalizálása (kauzális Bayes hálókkal/ strukturális egyenletekkel) – Megfigyelések és beavatkozások tervezhetősége (kiváltása) – (Beavatkozások hatásának valószínűségi modellezése – Kontrafaktuális következtetések)
D.Hume H.Reichenbach
Genetic Association Studies (GAS): a statistical view •
Genome-wide association studies (GWASs) – Sample size: ~1000 – |Response/outcome (target) variables|: ~10 – Predictor/explanatory: • |SNPs| (nominal/numeric, unphased genotype): ~105, 106 • |Environmental variables|: ~10
– Cost: 1000x1000 Euro
•
Partial genome screening studies (PGSSs) – Sample size: ~1000 – |Response/outcome (target) variables|: ~10 – Predictor/explanatory: • |SNPs| (nominal/numeric, unphased genotype): ~102 • |Environmental variables|: ~10
– Cost: 10000 Euro
•
The goal is the exploration of… – the relevance of explanatory variables w.r.t. the target variables – the interdependence of explanatory variables
The genomic background of asthma SU/DGCI: András Falus, Csaba Szalai, Ildikó Ungvári Sample size: 1100 SNPs: 46 (150) Clinical variables 4 (10) Clinical data
Genetic (SNP) data
Literature
Pairwise association Multivariable analysis Multivariable analysis with interactions Complete dependency models
Expertise
Complete causal models:
Overview (SNP)
Data analysis
Study design
Localization dbSNP, HAPMAP, Gene Ontology, TRANSFAC, PreMod, miRDB, KEGG Haplotype prediction
Vocabulary construction
Document corpus collection
Textmining
Priors for data analysis Earlier data sets
Priors for study design
Logical filters for SNPs
Genomic data with phenotypic and environmental variables
Ranking models for SNPs
Classical analysis
Private knowledge bases
Decision Networks for sets of SNPs
System (Network) analysis Expert
Relevance (association) analysis
Bayesian Data Analysis Causal inference
Predictive models
Knowledge-rich interpretation of Bayesian data analysis
Priors for interpretation, evaluation Measurement
Missing data management
Cross-compared classical and Bayesian data analysis
An overview of results HWE – Hardy-Weinberg equilibrium test, ODDS – odds ratio, ARM – Cochran-Armitage trend test, LRCO – logistic regression (continuous case), LRCAT – logistic regression (categorical case), MBM – Bayesian pairwise relevance, MBS-1–9 relevant sets by Bayesian analysis. (only MBM values are numeric, others are arbitrary values for visualization) 1 Relevance: HI
Probability of relevance of SNPs
0.9
Relevance: MED
0.8
HWE
0.7
ODDS A RM
0.6
LRCO 0.5
LRCA T MBM
0.4
MBS-1 MBS-2
0.3
MBS-3 Relevance: LO
0.2 0.1
Irrelevant
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
0.01 0
SNP identifiers
Uncertainty/sample complexity in multivariate analysis?
Lessons from the applications of the BMLA • High-level of uncertainty in multivariate analysis • There are stable sub-parts (e.g., subset, subgraphs) • Results for target variables and for certain SNPs could be aggregated 3.50E-001 3.00E-001
p(MBS|D)
2.50E-001 Posterior
2.00E-001
Approximation
1.50E-001 1.00E-001 5.00E-002 0.00E+000 0
10
20
Rank(MBS) 30
The peakness of the posteriors of the most probable MB sets and their MBM-based approximations. (46 variables, 1000 samples)
“Sample complexity” for FSS 20 18 16
Entropy
14 12
MBM
10
MBS
8
MBG
6 4 2 0 0
1000
2000
4000
5000
Sample size
1.00E+000
S200
8.00E-001
S500 S1000
6.00E-001
S2000
4.00E-001
S5000
2.00E-001
0 00 20
0 00 10
00 50
00 20
00 10
0 50
0
0.00E+000
20
Posteriors of MB sets, p(MBS|D)
1.20E+000
3000
Sample size
The summed entropies of the p(MBM(Y,Xi,G)|D) posteriors, and the entropy of the MBS and MBG posteriors for the artificial model (with 7+1 variables).
The sequential posteriors of relevant MB sets for the model with 50 variables.
1.00E+000 9.00E-001 8.00E-001 7.00E-001 6.00E-001 5.00E-001 4.00E-001 3.00E-001 2.00E-001 1.00E-001 0.00E+000
The maximal posteriors for k-relevance/k-MBS for Asthma. [SNP9, SNP7, SNP10, SNP14, SNP5, SNP12, Allergy, Gender]
SNP9, SNP7, SNP10, SNP14, SNP17, SNP3, SNP4, SNP5, SNP12, Allergy, Gender SNP9, SNP7, SNP10, SNP6, SNP14, SNP8, SNP3, SNP4, SNP5, SNP12, Allergy, Gender SNP9, SNP7, SNP10, SNP6, SNP14, SNP17, SNP8, SNP3, SNP4, SNP5, SNP12, Allergy, Gender SNP2, SNP22, SNP7, SNP10, SNP6, SNP14, SNP8, SNP3, SNP4, SNP31, SNP5, SNP12, Allergy, Gender SNP2, SNP22, SNP7, SNP10, SNP6, SNP14, SNP8, SNP11, SNP3, SNP4, SNP31, SNP5, SNP12, Allergy, Gender
SNP9, SNP7, SNP10, SNP14, SNP3, SNP4, SNP5, SNP12, Allergy, Gender
SNP9, SNP7, SNP14, SNP3, SNP4, SNP5, SNP12, Allergy, Gender
SNP9, SNP7, SNP10, SNP14, SNP5, SNP12, Allergy, Gender
SNP9, SNP7, SNP14, SNP5, SNP12, Allergy, Gender
SNP7, SNP14, SNP5, SNP12, Allergy, Gender
SNP7, SNP14, SNP5, Allergy, Gender
SNP7, SNP5, Allergy, Gender
SNP7, SNP5, Allergy
SNP5, Allergy
Allergy
Scalable multivariate analysis
Problem: the “polynomial”gap between simple and complex features (e.g., MBM (n2) and MBS (2n)) Idea: If all Xi in set S with size k are members of a Markov Boundary set, then S is called a k-ary Markov Boundary subset (O(nk)).
p (G : X ⊆ MBS (G ) | DN )
Posterior probability of relevance
SNP-to-gene aggregation 1
Gene-1
0.8
Gene-2
0.6
Gene-3
0.4
Gene-4
0.2
Gene-5
0
Gene-6 0
1000
2000
3000
4000
Sample size
5000
Gene-7 Gene-8
The sequential posteriors that a given gene contains a SNP relevant for asthma Abstraction levels: SNP, haplo-block, gene,..., pathway Note that it is different from aggregated multi-variables.
Joint analysis for multiple targets MBM posteriors for various targets
Targets (Outcome): Asthma, Allergy, Rhinitis 1.00E+000 8.00E-001 6.00E-001 4.00E-001 2.00E-001 0.00E+000 r P5 NP7 nde P14 P10 P12 NP9 NP4 NP3 P31 NP2 NP8 P17 P15 NP6 P38 P23 P11 P16 P22 N e S S G S N S N S N S S S SN S S S N S N S S N S N S N S N SN
All (measured) All (approximated) Asthma Allergy Rhinitis
The MBM posteriors that a SNP is relevant for asthma, allergy and rhinitis, both separately and jointly. Note that it cannot be done off-line (contrary to k-MBS/k-MBG and feature aggregation).
Redundancy and interaction p (G : X i , X j ⊆ MBS (G ) | DN )
SNP9,SNP31,
?
SNP2,SNP9,
p (G : X i ∈ BS (G ) | DN ) p (G : X j ∈ MBS (G ) | DN )
SNP12,Allergy,
Absolute difference
SNP14,Allergy,
MBM-based approximation 2-MBS estimation
SNP7,Allergy, SNP6,SNP8, SNP2,SNP31, SNP3,SNP4, 0.00E+00 0
2.00E001
4.00E001
6.00E001
8.00E001
1.00E+00 0
The quantification of interaction and redundancy by the decomposability of the posterior. Single measure (instead of many Bayes factors).
Conditional (and contextual) relevance The maximimum a posterior Markov Blanket subgraph
SNP5 SNP7
SNP9 SNP31 Gender
AllergyAsthma SNP46
Rhinitis SNP3 SNP27
SNP4
Fusion using probabilistic logic Literature Web
Discovery
Text-mining
Probabilistic knowledge bases and worldwide web Domain-specific knowledge Explanation GO, generation Ingenuity Query PharmKB, answering
Web-mining
KB-1 . . . KB-n
• • •
……
Kernels
Inductive knowledge
Ch Fin emo Mo ger info ..m l.do prin rma ini cki ting tics ng ng ,
Kernels
Data-1
Posteriors .....
Data-n
P SN
e
c ts e ff
multivariate Bayesian data analysis, the use of more powerful logic for representing knowledge, uncertainty management in knowledge representation, induction, and inference, P(φ | KB ) =P(φ P (φ is | pKB , lKB,|kKB ( pKB syntactic semantics: | KB ) =provable P (φ is provable pKB),plKB ) p )( pKB )
∑
pKB
∑
pKB
Diákok, kollégák •
•
Végzett diákok – Ercsényi Dániel: Bayes hálók strukturális tulajdonságainak vizsgálata MCMC módszerekkel (2005) – Gézsi András: Monte Carlo módszerek Bayes hálók komplex strukturális jegyeinek következtetésére (2006) – Barna Gergely: Bayes-hálók dekomponált tanulása a priori tudás felhasználásával (2005) – Szabadka Zoltán (Grolmusz Vince): Fehérje-kismolekula kölcsönhatások vizsgálata molekuláris dokkolással (2006) – Iván Gábor(Grolmusz Vince): Protein-ligand komplexek kötőhelyeinek vizsgálata adatbányászati algoritmusokkal (2006) – Orbán György: Kontextuális függések szerepe Bayes hálók tanulásában (2006) – Rohla Tibor: Monte Carlo módszerek Bayes hálók egyszerű strukturális jegyeinek következtetésére (2007) – Palotai Robin (Csermely Péter): Modulkeresés, klaszterezés fehérje-fehérje hálózatokban – Temesi Gergely (Falus András): Információ menedzsment és intelligens adatelemzés az SNP analízis támogatására – Gergely Balázs: Statisztikus szövegbányászat Jelenlegi diplomázó, orvosbio. másoddiplomázó, és doktorandusz diákok – Millinghoffer András: A first-order probabilistic logic for fusing data and prior knowledge – Hullám Gábor: Valószínűségi tudásmodellek tanulása – Hajós Gergely: Döntéstámogató keretrendszer SNP asszociációs kísérletek tervezéséhez – Kecskeméthy Péter (Oxford): Bayesi relevancia elemzés feltételes modellekkel – Huszár Ferenc: nem-parametrikus Bayesi modellek a kognitív pszichológiában – Erdélyi Boróka: Bayesi logisztikus regresszió – Szabados Péter: orvosbiológiai tudásbázisok – Arany Ádám: Bayesi térszerkezet predikció
Köszönöm a figyelmet!
