Algebraické struktury s jednou binární operací

16

Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1

1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa

Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte počkat. Nejprve krátké opakování ze střední školy. Pamatujete na kartézský součin množin? Definice 1.1. (Kartézský součin) Kartézským součinem množiny 𝐴 a 𝐵 nazveme množinu 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}. To jest, jde o množinu všech uspořádaných dvojic, kde první z dvojice je prvkem z množiny 𝐴 a druhý je prvkem z množiny 𝐵. Pár příkladů: ∙ Jestliže 𝐴 = {1, 2} a 𝐵 = {1, 3, 5}, pak 𝐴 × 𝐵 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5)}. ∙ Jestliže 𝐴 = {prasátko, △} a 𝐵 = {Lojzík, 3}, pak 𝐴 × 𝐵 = {(prasátko, Lojzík), (prasátko, 3), (△, Lojzík), (△, 3)}, ale 𝐵 × 𝐴 = {(Lojzík, prasátko), (3, prasátko), (Lojzík, △), (3, △)}, Z tohoto příkladu plyne, že 𝐴 × 𝐵 nemusí být vždy totéž jako 𝐵 × 𝐴. U kartézského součinu záleží na pořadí!

1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa

17

∙ Jestliže 𝐴 = {1, 2} a 𝐵 = {1, 2}, pak 𝐴 × 𝐵 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = 𝐵 × 𝐴. V případě, že 𝐴 = 𝐵 platí 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 = 𝐴 × 𝐴. Nyní si vzpomeňme na základní školu a na sčítání přirozených čísel. Jak se sčítají? Jednoduše, nějaké dvě čísla vezmu, kupříkladu 1 a 1 a jako jejich součet mi vyjde číslo 2. Obdobně součin dvou reálných čísel. Nasypu do něj třeba čísla 2 a 3 a vypadne číslo 6. Obecně, zobrazení, které každé uspořádané dvojici prvků z množiny 𝐴 (což je prvek kartézského součinu 𝐴 × 𝐴) přiřadí nějaký prvek z 𝐴, nazýváme binární operací na množině 𝐴. Definice 1.2. (Binární operace) Binární operací na množině 𝐴 nazveme každé zobrazení ∘ : 𝐴 × 𝐴 ↦→ 𝐴. Hodnotu ∘(𝑎, 𝑏) budeme dále značit 𝑎 ∘ 𝑏 (tak jak jsme zvyklí, nepíšeme +(2, 3), ale 2 + 3). Ekvivalentní formulace: Binární operací na množině 𝐴 nazveme každé zobrazení ∘ definované na množině 𝐴 × 𝐴 takové, že ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ 𝑏 ∈ 𝐴. (Říkáme, že zobrazení ∘ je uzavřené na množině 𝐴 - hodnota 𝑎 ∘ 𝑏 „neunikne“ z množiny 𝐴, ale zůstane v ní.) Pokud bude jasné, že máme na mysli binární operaci, budeme mluvit pouze o operaci. Dodejme, že zobrazení ∘ : 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 ↦→ 𝐴 nazýváme ternární operací na 𝐴, zobrazení ∘ : 𝐴 → ↦ 𝐴 nazýváme unární operací na 𝐴 a obecně zobrazení ∘: 𝐴 ⏟ × 𝐴 ×⏞. . . × 𝐴 ↦→ 𝐴 𝑛 - krát

nazýváme n-ární operací na 𝐴. Příklad 1.3. Rozhodněte, zda je zobrazení ∘ binární operací na množině 𝐴. ∙ ∘ je obvyklé násobení reálných čísel, 𝐴 = R. Násobení reálných čísel je definováno tak, že každé dvojici reálných čísel přiřadí jejich součin, což je opět reálné číslo. Proto jde o zobrazení z R × R do R. Podle Definice 1.2 to znamená, že jde o binární operaci na množině reálných čísel.

18

Algebraické struktury s jednou binární operací

∙ ∘ je restrikce násobení reálných čísel na množinu iracionálních čísel I, 𝐴 = I. ∘ je tedy zobrazení, které „funguje“ stejně jako násobení reálných čísel, ale omezíme se pouze na násobení iracionálních čísel. Vezměme příklad: √ √ 2 ∘ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞2 = ⏟ 2⏞ . ∈I

∈I

∈I /

Vynásobili jsme dvě iracionální čísla, ale jejich součin již iracionální číslo není! Proto ∘ není operací na 𝐼 (Nejde o zobrazení z I × I do I). ∙ ∘ je restrikce sčítání přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel 𝐴 = {2𝑘 − 1 | 𝑘 ∈ N}. Sečteme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde číslo sudé, proto ∘ není operací na 𝐴. ∙ ∘ je restrikce násobení přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel 𝐴 = {2𝑘 − 1 | 𝑘 ∈ N}. Vynásobíme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde opět číslo liché. Podmínka uzavřenosti zobrazení ∘ na 𝐴 je splněna. Proto ∘ je binární operací na 𝐴. Množinu 𝐴, na níž je definována nějaká operace (označit ji můžeme různě, ∘, *, +, ., . . . ) budeme říkat grupoid. Přesněji řečeno, budeme tak nazývat uspořádanou dvojici, která sestává z této množiny a této operace. Definice 1.4. (Grupoid) Uspořádanou dvojici (𝐴, ∘), kde 𝐴 je neprázdná množina a ∘ je binární operace nazýváme grupoid. Známých grupoidů je mnoho, například: ∙ (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání, ∙ (𝐹, +), kde 𝐹 je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, ∙ (𝐹, ∘), kde 𝐹 je množina reálných funkcí definovaných na R a ∘ je jejich skládání, ∙ (𝑀(𝑛,𝑛) , ·), kde 𝑀(𝑛,𝑛) je množina čtvercových matic reálných čísel o 𝑛 řádcích a · je jejich obvyklé násobení.

19


Z výše uvedeného (Příklad 1.3) je patrné, že například množina iracionálních čísel spolu s jejich obvyklým násobením grupoid netvoří, neboť součin dvou iracionálních čísel již nemusí být iracionální číslo. Grupoid, jehož operace je asociativní budeme nazývat pologrupou. Definice 1.5. (Pologrupa) Uspořádanou dvojici (𝐴, ∘), kde 𝐴 je neprázdná množina a ∘ je zobrazení definované na množině 𝐴 × 𝐴 takové, že 1.) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ 𝑏 ∈ 𝐴,

(tzn. (𝐴, ∘) je grupoid )

2.) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐,

(∘ je asociativní)

nazýváme pologrupou. Všechny výše uvedené příklady grupoidů jsou také příklady pologrup, neboť ∙ sčítání celých čísel je asociativní. Například platí: (1 + 2) + 5 = 3 + 5 = 8 = 1 + 7 = 1 + (2 + 5), ∙ Sčítání čtvercových matic reálných čísel je asociativní.Například platí: (︂ )︂ (︂(︂ )︂ (︂ )︂)︂ (︂(︂ )︂ (︂ )︂)︂ (︂ )︂ 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1 1 3 + + = + + 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 ∙ sčítání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Například platí: (𝑥2 + 𝑥) + 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥2 + (𝑥 + 𝑥), ∙ skládání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Uvažujme například funkce dané předpisy 𝑓 : 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑔 : 𝑔(𝑥) = 2𝑥 a ℎ : ℎ(𝑥) = sin 𝑥. Potom – Funkce 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ) zobrazuje dle následujícího schématu: (︁ )︁ 𝑔 𝑓 ℎ 𝑥 −→ sin 𝑥 −→ 2 sin 𝑥 −→ 2 sin 𝑥 + 1 To jest, (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)) (𝑥) = 2 sin 𝑥 + 1 – Funkce (𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ zobrazuje dle následujícího schématu: (︁ )︁ 𝑔 𝑓 ℎ 𝑥 −→ sin 𝑥 −→ 2 sin 𝑥 −→ 2 sin 𝑥 + 1 To jest, ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ) (𝑥) = 2 sin 𝑥 + 1 Ještě uvedeme příklad grupoidu, který není pologrupou. Podle definice pologrupy tedy půjde o grupoid, jehož operace není asociativní.

20


Příklad 1.6. Uvažujme grupoid (𝐴, *), kde 𝐴 = {1, 2, 3} ⊆ N a operace * je dána následující tabulkou: * 1 2 3

1 2 3 1

2 3 2 1

3 1 . 1 1

Podle této tabulky určíme, že 1 * (2 * 3) = 1 * 1 = 2, ale (1 * 2) * 3 = 3 * 3 = 1. Vidíme, že 1 * (2 * 3) ̸= (1 * 2) * 3. Operace * proto není asociativní a grupoid (𝐴, *) tak není pologrupou. Vzpomeňme na násobení reálných čísel. Násobíme-li libovolné reálné číslo 𝑎 číslem 1, obdržíme opět číslo 𝑎. Říkáme, že číslo 1 je neutrálním prvkem vzhledem k násobení reálných čísel. Přičteme-li k libovolnému reálnému číslu 𝑎 číslo 0, obdržíme opět číslo 𝑎. Říkáme, že číslo 0 je neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání reálných čísel. Podobně u matic, neutrálním prvkem vzhledem k násobení je jednotková matice a vzhledem ke sčítání je to nulová matice. Definice 1.7. (Neutrální prvek) Nechť ∘ je operace na množině 𝐴. Prvek e ∈ 𝐴 nazveme neutrálním prvkem vzhledem k operaci ∘ právě když ∀𝑎 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ e = e ∘ 𝑎 = 𝑎. Pologrupu, v níž existuje nějaký neutrální prvek, nazýváme monoid. Definice 1.8. (Monoid) Uspořádanou dvojici (𝐴, ∘), kde 𝐴 je neprázdná množina a ∘ je zobrazení definované na množině 𝐴 × 𝐴 takové, že 1.) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ 𝑏 ∈ 𝐴, 2.) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐, 3.) ∃ e ∈ 𝐴 ∀𝑎 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ e = e ∘ 𝑎 = 𝑎,

(uzavřenost) (asociativnost) (existence neutrálního prvku)

nazýváme monoid. Při pohledu na definici monoidu by mohlo leckoho napadnout, proč v bodu 3.) vystupuje 𝑎 ∘ e i e ∘ 𝑎. Vždyť je to totéž, ne? Ne, nemusí být! Záleží na operaci. Třeba sčítání reálných čísel komutativní je, pro každé dvě reálná čísla 𝑎

21


a e opravdu platí 𝑎 + e = e + 𝑎. Ale symbol ∘ může představovat třeba násobení matic, a to komutativní není. Obecně pro dvě matice 𝐴 a 𝐸 (byť třeba čtvercové a o stejném počtu řádků) neplatí, že 𝐴 · 𝐸 = 𝐸 · 𝐴. Algebraickou strukturu, jejíž operace je komutativní častujeme přídomkem Abelova. Mluvíme tak o Abelově grupoidu, Abelově pologrupě, Abelově monoidu, či grupě. Ale vraťme se k monoidům. Pár příkladů: ∙ (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání. (Z, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je celé číslo 0 ∈ Z (𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎) a + je komutativní operace. ∙ (𝑀(𝑛,𝑛) , ·), kde 𝑀(𝑛,𝑛) je množina čtvercových matic reálných čísel o 𝑛 řádcích a · je jejich obvyklé násobení. (𝑀(𝑛,𝑛) , ·) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je jednotková matice 𝐸 (𝐴 · 𝐸 = 𝐸 · 𝐴 = 𝐴). Ale není to Abelův monoid, protože · není komutativní operace. ∙ (𝐹, +), kde 𝐹 je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, (𝐹, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je funkce 𝑜 daná předpisem ∀𝑥 ∈ R : 𝑜(𝑥) = 0 ∈ R a jejich obvyklé sčítání je komutativní. ∙ (𝐹, ∘), kde 𝐹 je množina reálných funkcí definovaných na R a ∘ je jejich skládání, (𝐹, ∘) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je identita, to jest funkce 𝑖𝑑 daná předpisem ∀𝑥 ∈ R : 𝑖𝑑(𝑥) = 𝑥. Ale není to Abelův monoid, protože skládání funkcí není komutativní operace. ∙ Uvažujme algebraickou strukturu (𝐴, *), kde 𝐴 = {1, 2, 3} ⊆ N a operace * je dána následující tabulkou: * 1 2 3 Z této tabulky je vidět, že:

1 3 1 2

2 1 2 3

3 2 . 3 1

22


1.) Operace * je uzavřená na množině 𝐴 = {1, 2, 3} (v tabulce se neobjevilo nic jiného, než 1, 2, nebo 3). 2.) Operace * je asociativní, neboť (pro stručnost uvedeme jen 3 z 27 možností, které je třeba prověřit): (1 * 1) *1 = 1 * (1 * 1) ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ 3 ⏞3 ⏟ ⏞ ⏟ 2

2

(1 * 1) *2 = 1 * (1 * 2) ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ 3 ⏞1 ⏟ ⏞ ⏟ 3

3

2

2

.. . (3 * 3) *3 = 3 * (3 * 3) ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ 1 ⏟ ⏞ ⏟ ⏞1 3.) Neutrálním prvkem vzhledem k operaci * je prvek 2, neboť: 1*2 = 2*1 = 1 2*2 = 2*2 = 2 3*2 = 2*3 = 3

Můžeme proto tvrdit, že algebraická struktura (𝐴, *) je monoid. Navíc vidíme, že tabulka je symetrická podle diagonály. To je neklamným znakem toho, že * je operace komutativní. Proto si můžeme dovolit ještě silnější tvrzení, a to, že (𝐴, *) je Abelův monoid. Vyvstává otázka. Může býti v monoidu i více neutrálních prvků? Odpověď je jednoduchá. Ne! Věta 1.9. (O jednoznačnosti neutrálního prvku) Nechť (𝐴, ∘) je monoid. Potom v 𝐴 existuje jediný neutrální prvek vzhledem k operaci ∘. Důkaz. Předpokládejme, že e1 ∈ 𝐴 a také e2 ∈ 𝐴 je neutrální prvek vzhledem k operaci ∘. Potom e1 = e1 ∘ e2 = e2 . Znemená to, že neexistují dva různé neutrální prvky vzhledem k operaci ∘.

23


Zavedeme další pojem. Opět vzpomeňme na násobení reálných čísel. Kterým číslem je třeba vynásobit číslo 2 tak, aby vyšlo číslo 1 (neutrální prvek)? Ano správně, jednou polovinou. Analogie pro sčítání reálných čísel je následující. Které číslo je třeba přičíst k číslu 2 tak, aby vyšlo číslo 0 (neutrální prvek při sčítání)? Jistě, bude to číslo −2. Říkáme, že jedna polovina je inverzním prvkem čísla 2 vzhledem k násobení reálných čísel. Číslo −2 je zase inverzním prvkem k číslu 2 vzhledem ke sčítání reálných čísel. Definice 1.10. (Inverzní prvek) Nechť ∘ je operace na množině 𝐴 a e je neutrální prvek vzhledem k operaci ∘. Prvkem inverzním k prvku 𝑎 ∈ 𝐴 vzhledem k operaci ∘ nazveme každý prvek 𝑎−1 ∈ 𝐴 takový, že 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∘ 𝑎 = e. Všimněme si, že ne každé reálné číslo má inverzní prvek vzhledem k násobení (inverze k nule neexistuje), ale každé reálné číslo má svůj inverzní prvek vzhledem ke sčítání. Monoid, kde každý prvek má svůj inverzní prvek budeme nazývat grupou. Prvek inverzní k prvku 𝑎 budeme označovat 𝑎−1 . Definice 1.11. (Grupa) Uspořádanou dvojici (𝐴, ∘), kde 𝐴 je neprázdná množina a ∘ je zobrazení definované na množině 𝐴 × 𝐴 takové, že 1.) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ 𝑏 ∈ 𝐴,

(uzavřenost)

2.) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐, 3.) ∃ e ∈ 𝐴 ∀𝑎 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ e = e ∘ 𝑎 = 𝑎, 4.) ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃ 𝑎−1 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∘ 𝑎 = e,

(asociativnost) (existence neutrálního prvku) (existence inverzních prvků)

nazýváme grupa. Grupa je speciálním případem monoidu. Víme proto, že v ní existuje pouze jediný neutrální prvek (Věta 1.9). Jak je to ale s inverzními prvky? Může mít daný prvek více prvků inverzních? V grupě ne! Věta 1.12. (O jednoznačnosti inverzního prvku) Nechť (𝐴, ∘) je grupa. Potom v 𝐴 existuje ke každému prvku právě jeden prvek inverzni. To jest, platí: ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃! 𝑎−1 ∈ 𝐴 : 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∘ 𝑎 = e, kde e je neutrální prvek vzhledem k operaci ∘.

24

Algebraické struktury s jednou binární operací Důkaz. Předpokládejme, že 𝑎−1 a také 𝑎−1 jsou inverzní prvky k 𝑎 vzhledem 1 2 k operaci ∘. (𝐴, ∘) je grupa, proto operace ∘ je asociativní. A tak −1 −1 −1 −1 −1 −1 𝑎−1 1 = 𝑎1 ∘ e = 𝑎1 ∘ (𝑎 ∘ 𝑎2 ) = (𝑎1 ∘ 𝑎) ∘𝑎2 = 𝑎2 . ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ e

e

Znamená to, že neexistují dva různé inverzní prvky k prvku 𝑎 vzhledem k operaci ∘.

Věta 1.13. Nechť (𝐴, ∘) je grupa, 𝑎 ∈ 𝐴. Potom platí: (𝑎−1 )−1 = 𝑎. To jest, inverzním prvkem k 𝑎−1 je 𝑎. Ještě jinak, prvek je inverzním prvkem ke svému inverznímu prvku.

Důkaz. Důkaz plyne okamžitě z definice inverzního prvku (Definice 1.10).

Věta 1.14. Nechť (𝐴, ∘) je grupa, 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴. Potom platí: −1 −1 (𝑎1 ∘ 𝑎2 ∘ · · · ∘ 𝑎𝑛 )−1 = 𝑎−1 𝑛 ∘ · · · ∘ 𝑎2 ∘ 𝑎1 .

Důkaz. Tvrzení věty plyne z asociativity operace ∘ ((𝐴, ∘) je grupa!): −1 (𝑎1 ∘ 𝑎2 ∘ · · · ∘ 𝑎𝑛 ) ∘ (𝑎−1 ∘ · · · ∘ 𝑎−1 2 ∘ 𝑎1 ) ⏟ ⏞ 𝑛

=

e

−1 ∘ · · · ∘ 𝑎−1 = (𝑎1 ∘ 𝑎2 ∘ · · · ∘ 𝑎𝑛−1 ) ∘ (𝑎−1 2 ∘ 𝑎1 ) = ⏞ 𝑛−1 ⏟ e

.. . =

∘ 𝑎−1 (𝑎1 ∘ 𝑎2 ) ∘ (𝑎−1 1 ) ⏞ 2 ⏟

=

e

=

𝑎1 ∘ 𝑎−1 1

= e.

−1 −1 Obdobně se dá ukázat, že (𝑎−1 𝑛 ∘ · · · ∘ 𝑎2 ∘ 𝑎1 ) ∘ (𝑎1 ∘ 𝑎2 ∘ · · · ∘ 𝑎𝑛 ) = e.

25


Značení 1.15. Pro jednoduchost zápisu zavedeme následující značení. Nechť (𝐴, ∘) je grupa, 𝑎 ∈ 𝐴 a 𝑛 ∈ N. Potom prvek 𝑎 ⏟ ∘ 𝑎 ∘ ⏞· · · ∘ 𝑎 budeme označovat 𝑛 – krát

−1 −1 −1 −𝑛 symbolem 𝑎𝑛 . Prvek 𝑎 ⏟ ∘ 𝑎 ∘⏞ · · · ∘ 𝑎 budeme označovat symbolem 𝑎 . 𝑛 – krát

To jest, 𝑎𝑛 = 𝑎 ⏟ ∘ 𝑎 ∘ ⏞· · · ∘ 𝑎 𝑛 – krát

a 𝑎−𝑛 = ⏟𝑎−1 ∘ 𝑎−1 ∘⏞ · · · ∘ 𝑎−1 . 𝑛 – krát

Neutrální prvek v grupě (𝐴, ∘) budeme označovat symbolem 𝑎0 . S využitím zavedeného značení zformulujeme přímý důsledek Věty 1.14. Věta 1.16. Nechť (𝐴, ∘) je grupa, 𝑎 ∈ 𝐴. Potom: 1. ∀ 𝑛 ∈ N : (𝑎𝑛 )−1 = (𝑎)−𝑛 . 2. ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ Z : 𝑎𝑚 ∘ 𝑎𝑛 = (𝑎)𝑚+𝑛 . Důkaz. První tvrzení je tvrzením Věty 1.14 pro případ 𝑎1 = 𝑎2 = · · · = 𝑎𝑛 . Tvrzení druhé pak okamžitě plyne z tvrzení prvního a zavedeného značení.

Věta 1.17. (O krácení v grupě) Nechť (𝐴, ∘) je grupa. Potom pro každé 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 platí: (𝑎 ∘ 𝑐 = 𝑏 ∘ 𝑐) ⇒ (𝑎 = 𝑏)

Důkaz. (𝐴, ∘) je grupa, proto existuje 𝑐−1 , a operace ∘ je asociativní. Předpokládejme, že 𝑎 ∘ 𝑐 = 𝑏 ∘ 𝑐 a e je neutrální prvek v (𝐴, ∘). Odtud: 𝑎 = 𝑎 ∘ e = 𝑎 ∘ (𝑐 ∘ 𝑐−1 ) = (𝑎 ∘ 𝑐) ∘ 𝑐−1 = (𝑏 ∘ 𝑐) ∘ 𝑐−1 = 𝑏 ∘ (𝑐 ∘ 𝑐−1 ) = 𝑏 ∘ e = 𝑏.

Poznámka 1.18. Často se místo symbolu ∘ pro operaci v grupě používá symbol +, nebo · (ať už představují jakékoli operace). V takovém případě se poněkud liší symbolika při použití operace + a při použití · (odpovídá tomu, jak jsme zvyklí tyto operace zapisovat u reálných čísel):

26


aditivní zápis:

𝑎 ⏟ + 𝑎 +⏞· · · + 𝑎 = 𝑛𝑎 𝑛 – krát

𝑎 ⏟ · 𝑎 · ⏞· · · · 𝑎

multiplikativní zápis:

= 𝑎𝑛

𝑛 – krát

Při použití symbolu + mluvíme o aditivní grupě (𝐺, +), při použití symbolu · mluvíme o multiplikativní grupě (𝐺, ·). V aditivní grupě nazýváme neutrální prvek nulovým prvkem, v multiplikativní grupě nazýváme neutrální prvek jednotkovým prvkem.

1.1.1

Cvičení

Rozhodněte, zda (𝐴, ∘) tvoří grupu. 1.) 𝐴 = N a ∘ je obvyklé sčítání přirozených čísel. 2.) 𝐴 = Z a ∘ je obvyklé sčítání celých čísel. 3.) 𝐴 = Q a ∘ je obvyklé sčítání racionálních čísel. 4.) 𝐴 = I a ∘ je obvyklé sčítání iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I). 5.) 𝐴 = N a ∘ je obvyklé násobení přirozených čísel. 6.) 𝐴 = Z a ∘ je obvyklé násobení celých čísel. 7.) 𝐴 = Q a ∘ je obvyklé násobení racionálních čísel. 8.) 𝐴 = Q − {0} a ∘ je restrikce obvyklého násobení racionálních čísel na Q − {0}. 9.) 𝐴 = I − {0} a ∘ je obvyklé násobení iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I − {0}). 10.) 𝐴 = {0, 1, 2} ⊆ N a operace ∘ = + je dána následující tabulkou: + 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

√ 11.) 𝐴 = {𝑎 + 𝑏 2 | 𝑎, 𝑏 ∈ Q, (𝑎, 𝑏) ̸= (0, 0)} a ∘ je restrikce obvyklého násobení reálných čísel na množinu 𝐴.

1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 12.) 𝐴 = 𝑅2×2 je množina čtvercových matic reálných čísel o dvou řádcích a dvou sloupcích a ∘ je obvyklé násobení matic. 13.) 𝐴 = 𝑆𝑛 je množina permutací 𝑛-prvkové množiny a ∘ je skládání funkcí.

27

Algebraické struktury s jednou binární operací

Recommend Documents