Matematické struktury

.

Texty k pˇ redn´ aˇ sce

Matematick´ e struktury Aleˇ s Pultr Katedra aplikovan´ e matematiky a ITI, MFF University Karlovy, 2005

.

2

Obsah M´ısto u ´ vodu Kapitola I : Mnoˇ ziny, relace, zobrazen´ı 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Mnoˇziny : dohoda o znaˇcen´ı Binárn´ı relace Zobrazen´ı Ordináln´ı ˇc´ısla, kardináln´ı ˇc´ısla, axiom v´ ybˇeru Relaˇcn´ı systémy, homomorfismy Podobjekty, souˇciny a kvocienty relaˇcn´ıch systém˚ u Projektivn´ı a injektivn´ı vytváˇren´ı struktur

ˇ asteˇ Kapitola II : (C´ cn´ a) uspoˇ r´ ad´ an´ı 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Pˇreduspoˇra´dán´ı a uspoˇrádán´ı Suprema a infima Nˇekterá speciáln´ı uspoˇra´dán´ı Dedekindovo-MacNeilleovo z´ uplnˇen´ı Sloˇzitˇejˇs´ı z jednoduˇsˇs´ıch Adjunkce (Galoisova konexe) Dvˇe vˇety o pevn´ ych bodech Relace “hluboko pod”

Kapitola III : Svazy jako algebry 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

a ∧ b a a ∨ b jako binárn´ı operace Modulárn´ı a distributivn´ı svazy Ideály a filtry v distributivn´ıch svazech Pseudokomplementy a komplementy Heytingovy algebry Booleovy algebry ´ a distributivita Upln´

Kapitola IV : Z´ akladn´ı pojmy univers´ aln´ı algebry 1. Algebraické operace 2. Algebraické struktury, algebry 3. Podalgebry 3

4. 5. 6. 7. 8. 9.

Souˇciny (produkty) algeber Kongruence Volné algebry Tˇr´ıdy algeber uzavˇrené na základn´ı operace. Variety algeber Birkhoffova vˇeta o varietách Poznámky o nˇekter´ ych speciáln´ıch algebrách

Kapitola V : Topologie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Základn´ı topologické pojmy Pˇr´ıklady Spojitá zobrazen´ı Základn´ı konstrukce Nˇekolik speciáln´ıch poˇzadavk˚ u Kompaktnost Souvislost

Kapitola VI : Metrick´ e a uniformn´ı prostory 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Zopakován´ı nˇekolika pojm˚ u Separabilita a totáln´ı omezenost ´ e metrické prostory Upln´ Kompaktn´ı metrické prostory Uniformita, stejnomˇerná spojitost Uniformn´ı prostory. Uniformita a topologie Uniformita a metrika

4

M´ısto u ´ vodu V letn´ım semestru ˇskoln´ıho roku 2005/2006 je pro nˇekteré obory informatiky zavádˇen pˇredmˇet “Matematické struktury”. Jeho u ´kolem je • shrnout nˇekteré vˇeci, kter´ ym se studenti v dosavadn´ım studiu nauˇcili a ukázat na nˇekteré obecné zákonitosti, • doplnit partie, kter´ ym v pˇredchoz´ım studiu pozornost vˇenována nebyla, tˇrebaˇze tvoˇr´ı podstatnou ˇca´st základ˚ u teorie informatiky (to se t´ yká zejména otázek spojen´ ych s ˇcásteˇcn´ ym uspoˇra´dán´ım), • a rozˇs´ıˇrit znalosti z pˇredchoz´ıho (studenti se nˇeco dozvˇedˇeli o metrick´ ych prostorech, v informatice vˇsak ˇcasto potˇrebuj´ı sp´ıˇs prostory obecnˇejˇs´ı; mˇeli nˇekteré konkretn´ı partie z algebry, maj´ı-li se vˇsak zab´ yvat teoretickou informatikou, neuˇskod´ı jim pˇr´ıprava obecnˇejˇs´ımi otázkami universáln´ı algebry). Pˇri studiu pˇredmˇetu se ˇsirˇs´ım rozsahem je vˇzdy trochu problematické doporuˇcovat a shánˇet literaturu. Proto byl pˇripraven tento text, kter´ y v´ıce neˇz pokr´ yvá poˇzadovanou látku. Studenty bych rád hned uklidnil: neleknˇete se, samozˇrejmˇe nebude ke zkouˇsce pˇredepsáno vˇsechno. Nˇekterá m´ısta jsou prostˇe doplnˇen´ım daného thematu, jiná zase mohou slouˇzit jako informace, ke které se ˇctenáˇr tˇreba pozdˇeji vrát´ı. Text je (prozat´ım) rozdˇelen do ˇsesti kapitol. Prvn´ı z nich má dvˇe ˇca´sti. Nejprve jsou zde u ´mluvy z teorie mnoˇzin; jedná se o fakta, která student zná odjinud, je jen tˇreba se (1) dohodnout o znaˇcen´ı a (2) zd˚ uraznit, co bude v dalˇs´ım potˇreba. V druhé ˇca´sti jsou jednoduchá fakta o relac´ıch, relaˇcn´ıch systémech, homomorfismech a základn´ıch konstrukc´ıch. Jsou to opravdu velmi jednoduché (a trochu nudné) záleˇzitosti, ˇctenáˇr by jim ale pozornost vˇenovat mˇel kv˚ uli analogi´ım, které se budou stále vracet v dalˇs´ım. Kapitoly druhá a tˇret´ı jsou vˇenovány ˇca´steˇcn´ ym uspoˇra´dán´ım a jejich speciáln´ım pˇr´ıpad˚ um. V teoretické informatice hraj´ı uspoˇra´dán´ı a otázky s nimi spojené základn´ı roli, a student by jim mˇel vˇenovat zvláˇstn´ı pozornost (pˇrál bych si, aby v tˇechto kapitolách mˇel sp´ıˇs pocit, ˇze se pro své potˇreby nedozvˇedˇel dost). V kapitole druhé jsou pˇredloˇzena základn´ı fakta, v kapitole tˇret´ı najdeme algebraické aspekty speciáln´ıch uspoˇra´dán´ı. 5

V kapitole ˇctvrté se vˇenujeme základn´ım pojm˚ um universáln´ı algebry. Kromˇe obecn´ ych definic a konstrukc´ı se vˇenujeme voln´ ym algebrám, a dokazujeme velmi zásadn´ı Birkhoffovu vˇetu o systémech algeber popsan´ ych rovnicemi. Kapitoly pátá a ˇsestá se zab´ yvaj´ı otázkami topologick´ ymi. Vycház´ıme z toho, ˇze byl student jiˇz v prvn´ım roˇcn´ıku seznámen s metrick´ ymi prostory, coˇz je pro chápán´ı struktury prostoru v´ yborn´ y základ. V teoretické informatice i jinde bude ale potˇrebovat obecnˇejˇs´ı pojmy a o tˇech by se mˇel nˇeco dozvˇedˇet zde. Je tomu vˇenována celá kapitola pátá (topologie) a druhá ˇcást kapitoly ˇsesté (uniformita). Prvn´ı ˇca´st ˇsesté kapitoly doplˇ nuje znalosti z metrick´ ych prostor˚ u. —————————— Nejsou zde, v ˇza´dném smyslu, pˇredkládána definitivn´ı skripta. V perspektivˇe uvaˇzujeme s Annou Tozzi o podstatnˇe rozsáhlejˇs´ım textu (jehoˇz by tento byl základem), kter´ y by mohl slouˇzit i doktorand˚ um. Mˇel by jistˇe obsahovat základy teorie kategori´ı (které jsou zde u ´plnˇe zanedbány), speciálnˇejˇs´ı topologické otázky spojené s informatikou, v´ıce o ˇcásteˇcn´ ych uspoˇrádán´ıch v informatice, nˇeco o dualitách, atd. Oˇcekávám, ˇze téˇz zkuˇsenosti s pˇrednáˇskou poskytnou uˇziteˇcné podnˇety.

Odkazy. Odkazujeme-li na bod v jiné kapitole, je tato vyznaˇcena ˇr´ımskou ˇc´ıslic´ı: tˇreba, “. . . viz IV.3.1” odkazuje na bod 3.1, jsme-li v kapitole jiné. Jsme-li v téˇze kapitole, ˇr´ımskou ˇc´ıslici vynecháváme.

6

Kapitola I

Mnoˇ ziny, relace, zobrazen´ı 1. Mnoˇ ziny : dohoda o znaˇ cen´ı 1.1. Jako obvykle bude prázdná mnoˇzina oznaˇcována symbolem ∅ a náleˇzen´ı symbolem ∈. Inklusi, radˇeji neˇz A ⊂ B, budeme oznaˇcovat A ⊆ B. Inkluse je d˚ uleˇzité ˇca´steˇcné uspoˇra´dán´ı a udrˇzujeme analogii se symbolem ≤. 1.2. Mnoˇziny dané v´ yˇctem obvykle oznaˇcujeme {a, b},

{x},

{x1 , x2 , . . .},

{A1 , . . . , An }

a podobnˇe. Mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u dané vlastnosti V p´ıˇseme jako {x |V(x)} (tˇreba, {A |A ⊆ X}), pˇr´ıpadnˇe vyznaˇc´ıme ˇca´st specifikace pˇred znaménkem |, jako v {a ∈ A |V(a)} (tedy napˇr. {x |x reálné, x ≥ 5} i {x ∈ R |x ≥ 5}). Pro soubory, t.j. soustavy prvk˚ u s pˇr´ıpadn´ ym opakován´ım a poˇrad´ım urˇcen´ ym nˇejak´ ymi prostˇredky (explicite zapsan´ ym poˇrad´ım jako v (a, b) nebo (x1 , x2 , . . . , xn ), pomoc´ı index˚ u (xi )i∈J nebo “funkˇcn´ıch hodnot” (x(i))i∈J , a podobnˇe) nikdy neuˇz´ıváme sloˇzen´ ych závorek. Obvykle uˇz´ıváme závorek prost´ ych, nebo (jako u posloupnost´ı x1 , x2 , . . . ) závorky v˚ ubec vynecháme. 1.3.SSjednocen´ uniky budou oznaˇcovány bˇeˇzn´ ym zp˚ usobem (A ∪ B, T ı a pr˚ A ∩ B, i∈J Ai , i∈J Ai a pod.); pˇripom´ınáme, ˇze pro A soustavu mnoˇzin je [ [ \ \ A= A a A= A. A∈A

A∈A

7

1.4. Soubory typu (x, y) se naz´ yvaj´ı uspoˇrádané dvojice. Podobnˇe uspoˇrádané trojice (x, y, z), ˇctveˇrice, n-tice (x1 , . . . , xn ). Pozn´ amka. Z kursu teorie mnoˇzin ˇctenáˇr asi zná r˚ uzné popisy uspoˇra´dan´ ych mnoˇzin pomoc´ı “neuspoˇra´dan´ ych systém˚ u”, jako tˇreba (a, b) = {a, {a, b}}. Uvˇedomte si, ˇze tam jde o to, zakodovat uspoˇra´danou dvojici pomoc´ı náleˇzen´ı, ne o vysvˇetlen´ı toho, co je poˇrad´ı; co pˇrijde dˇr´ıve a co pozdˇeji mus´ıme umˇet poznat bez toho, uˇz kv˚ uli ˇcten´ı jak´ ychkoli formul´ı, konec konc˚ u i formule nahoˇre. Kartézský souˇcin mnoˇzin X, Y je X × Y = {(x, y) |x ∈ X, y ∈ Y }. Obecnˇeji, kartézsk´ y souˇcin souboru Xi , i ∈ J, je Y Xi = {(xi )i∈J |xi ∈ Xi }. i∈J

Pro koneˇcné soubory p´ıˇseme X × Y × Z,

X 1 × · · · × Xn

a podobnˇe. 1.5. Mnoˇzinu vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny X, t.j. {A |A ⊆ X}, oznaˇcujeme P(X) nebo

exp X

(o jednotnost se nesnaˇz´ıme, v literatuˇre se uˇz´ıvaj´ı r˚ uzné symboly a nen´ı na ˇskodu kdyˇz si na to ˇctenáˇr zvykne). 1.6. Naopak d˚ uslednˇe stejnˇe budeme oznaˇcovat nˇekteré ˇcasto se opakuj´ıc´ı mnoˇziny: N . . . mnoˇzinu pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, Z . . . mnoˇzinu cel´ ych ˇc´ısel, R . . . mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel, 8

pˇresto ale obˇcas pˇripomeneme o co jde. ˇ aˇr mé pravdˇepodobnˇe za sebou nˇejak´ 1.7. Cten´ y kurs formáln´ı teorie mnoˇzin. Zde se budeme (v zásadˇe) drˇzet systému Gödel-Bernays-von Neuˇ aˇr jistˇe aspoˇ mannova. Pokud ale kurs nebyl, nen´ı to ˇzádné neˇstˇest´ı. Cten´ n slyˇsel o paradoxech teorie mnoˇzin (typu “mnoˇzina vˇsech mnoˇzin” a podobnˇe), kter´ ym je potˇreba se vyhnout. Dˇelá se to (v podstatˇe) rozliˇsován´ım mezi mnoˇzinami (soustavami prvk˚ u, které samy mohou b´ yt prvky jin´ ych korektnˇe definovan´ ych soustav) a tˇr´ıdami (soustavami, které jsou korektnˇe definovány, ale prvky jin´ ych uˇz samy b´ yti nemohou). Nˇekdy (ne pˇr´ıliˇs ˇcasto, ale pˇrece jen) bude v tomto textu rozliˇsován´ı mezi mnoˇzinami a tˇr´ıdami nutné.

2. Bin´ arn´ı relace 2.1. (Binárn´ı) relace na mnoˇzinˇe X je libovolná podmnoˇzina R ⊆ X × X. Pozn´ amka. Brzy se budeme zab´ yvat i jin´ ymi neˇz binárn´ımi relacemi (n-árn´ımi, M -árn´ımi a pod.). Pokud je to ale z kontextu zˇrejmé, uˇz´ıvá se slovo relace bez pˇr´ıvlastku pro relace binárn´ı. Budeme to v dalˇs´ım také dˇelat. ˇ Casto se p´ıˇse xRy

m´ısto (x, y) ∈ R

a oznaˇcuje xR = {y |xRy} a Ry = {x |xRy}. Za zvláˇstn´ı oznaˇcen´ı stoj´ı diagonáln´ı relace, nebo diagonála, ∆ = ∆X = {(x, x) |x ∈ X}. 2.2. Relace se mezi sebou skládaj´ı podle pravidla R ◦ S = {(x, z) |∃y, xRy, ySz}. Jiná operace s relac´ı je inverse relace R R−1 = {(x, y) |(y, x) ∈ R}. 9

Následuj´ıc´ı velmi jednoduchá pravidla budeme uˇz´ıvat bez dalˇs´ıho vysvˇetlován´ı. R1 ⊆ R2 , S1 ⊆ S2 ⇒ R1 ◦ S1 ⊆ R2 ◦ S2 a R1−1 ⊆ R2−1 , (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ), ∆ ◦ R = R ◦ ∆ = R, (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ T −1 . Speciálnˇe si vˇsimnˇete, ˇze je-li ∆ ⊆ R, je R ⊆ R ◦ R, a také toho, ˇze na druhé stranˇe R ⊆ R ◦ R neplat´ı obecnˇe. 2.3. Následuj´ıc´ı vlastnosti relac´ı maj´ı ustálená jména ∆⊆R : R −1 R=R : R R◦R⊆R : R R⊆R◦R : R

je je je je

reflexivn´ı, symetrická, transitivn´ı, interpolativn´ı,

reflexivita, symetrie, transtivita, interpolativita.

Ustálené term´ıny se uˇz´ıvaj´ı téˇz pro nˇekteré kombinace: R je ekvivalence ≡ R je reflexivn´ı, symetrická a transitivn´ı. R je pˇreduspoˇrádán´ı ≡ R je reflexivn´ı a transitivn´ı. 2.4. Nejmenˇs´ı reflexivn´ı relace obsahuj´ıc´ı R je zˇrejmˇe R ∪ ∆. Nejmenˇs´ı symetrická pak R ∪ R−1 (vˇsimnˇete si, ˇze R ∩ R−1 je zase nejvˇetˇs´ı symetrická relace obsaˇzená v R). Dosáhnout transitivity je o trochu tˇeˇzˇs´ı, mus´ı se vz´ıt n−kr´ at

z }| { R ∪ (R ◦ R) ∪ (R ◦ R ◦ R) ∪ · · · (R ◦ · · · ◦ R) ∪ · · · . Jako jednoduché cviˇcen´ı dokaˇzte, ˇze nejmenˇs´ı ekvivalence obsahuj´ıc´ı R je n−kr´ at

z }| { e ∪ (R e ◦ R) e ∪ (R e◦R e ◦ R) e ∪ · · · (R e ◦ · · · ◦ R) e ∪ ··· ∆∪R e = R ∪ R−1 . kde R Nejmenˇs´ı interpolativn´ı relace obsahuj´ıc´ı danou obecnˇe neexistuje, ale nejvˇetˇs´ı v dané obsaˇzená ano. S t´ım se setkáme v V.5.5. 10

3. Zobrazen´ı 3.1. Bˇeˇznou definici zobrazen´ı, jak se obvykle zavád´ı v základech teorie mnoˇzin, budeme muset trochu modifikovat. Obvykle se postupuje takto: (Z) Rozˇs´ıˇr´ıme pojem relace na podmnoˇziny R ⊆ X ×Y kartézského souˇcinu v nˇemˇz mnoˇziny X a Y mohou b´ yt r˚ uzné, a zobrazen´ı z X do Y je pak taková relace R ⊆ X × Y , ˇze ke kaˇzdému x ∈ X existuje právˇe jedno y ∈ Y takové, ˇze (x, y) ∈ R. Máme problém s t´ım, ˇze z takové relace nem˚ uˇzeme rekonstruovat obor hodnot Y . Na jeho stanoven´ı ale záleˇz´ı. Budeme tedy zobrazen´ı f : X → Y chápat radˇeji jako následuj´ıc´ı soustavu dat • definiˇcn´ı obor X, • obor hodnot Y , • a jakoukoli specifkaci f pˇriˇrazuj´ıc´ı ke kaˇzdému prvku x ∈ X právˇe jeden prvek z Y (ten potom obvykle oznaˇcujeme f (x)); ta m˚ uˇze b´ yt representováno tˇreba relac´ı ze (Z) nahoˇre, ale také se m˚ uˇzeme na f d´ıvat jako na symbol zastupuj´ıc´ı pˇredpis, nˇekdy tˇreba explicite dan´ y, nˇekdy aspoˇ n formálnˇe pˇredpokládan´ y). Nyn´ı jistˇe nam´ıtnete, ˇze definiˇcn´ı obor je relac´ı R v (Z) urˇcen. To je v tomto okamˇziku pravda, ale ponecháváme si otevˇrená vrátka pro pozdˇejˇs´ı u ´vahy, kdy definiˇcn´ı obor a obor hodnot budou obsahovat dalˇs´ı informaci (mluv´ıme-li tˇreba o spojitém zobrazen´ı: relace f ⊆ X × Y , sama o sobˇe takovou vlastnost jako spojitost nemá, ani kdyˇz specifikujeme mnoˇzinu Y , teprve ve vztahu k strukturám na X a Y tento pojem z´ıskává smysl). Mnoˇzinu vˇsech zobrazen´ı z X do Y budeme oznaˇcovat Y X. 3.2. Máme-li explicitn´ı formuli F pro nˇejaké zobrazen´ı, vyznaˇcujeme to nˇekdy symbolem x 7→ F(x), jako napˇr. v f = (x 7→ x2 + x) : R → R pro reálnou funkci urˇcenou vyznaˇcen´ ym polynomem, nebo v (x 7→ {x}) : X → P(X). 11

3.3. Skl´ ad´ an´ı zobrazen´ı. Relace R ⊆ X × Y a S ⊆ Y × X je moˇzno skládat stejnˇe jako v 2.2, totiˇz podle formule R ◦ S = {(x, z) |∃y, xRy, ySz}. Tak m˚ uˇzeme skládat i zobrazen´ı f : X → Y a g : Y → Z. Jenomˇ ze : Je zvykem psát skládán´ı zobrazen´ı obrácenˇe, t.j. jako gf

nebo g · f

m´ısto f ◦ g.

To vycház´ı z dosazován´ı hodnot (gf )(x) = g(f (x)).

(∗)

Moˇzná to trochu mate, ale snahy zmˇenit tento zp˚ usob psan´ı se zat´ım neujaly (i kdyˇz se pokusy objevuj´ı znovu a znovu). Moˇzná proto, ˇze “správné” poˇrad´ı v konfrontaci s (∗) mate jeˇstˇe v´ıc. Identické zobrazen´ı (x 7→ x) : X → X se obvykle oznaˇcuje idX

nebo téˇz 1X .

Zˇrejmˇe plat´ı formule f (gh) = (f g)h,

a pro f : X → Y je idY · f = f · idX = f.

Je-li X ⊆ Y , d´ıváme se na vloˇzen´ı X do Y ˇcasto jako na zobrazen´ı j = (x 7→ x) : X → Y . Mluv´ıme pak o zobrazen´ı vloˇzen´ı a ˇcasto p´ıˇseme j :X ⊆Y. ˇ 3.4. Rekneme, ˇze f je zobrazen´ı prosté jestliˇze x 6= y

⇒

f (x) 6= f (y)

a ˇze je to zobrazen´ı na jestliˇze ∀y ∈ Y ∃x ∈ X, y = f (x). ˇ Rekneme, ˇze f je vzájemnˇe jednoznaˇcné je-li prosté i na. V posledn´ım pˇr´ıpadˇe máme jednoznaˇcnˇe definované inversn´ı zobrazen´ı g : Y → X ( g(y) = x právˇe kdyˇz y = f (x)) charakterisované rovnostmi f g = idY ,

gf = idX . 12

Pokud inversn´ı zobrazen´ı k zobrazen´ı f existuje, oznaˇcuje se obvykle f −1 . Pozorov´ an´ı. f je prosté právˇe kdyˇz je j´ım v operaci skládán´ı moˇzno krátit zleva, t.j., právˇe kdyˇz fg = fh

⇒

g = h.

f je zobrazen´ı na právˇe kdyˇz je j´ım v operaci skládán´ı moˇzno krátit zprava, t.j., právˇe kdyˇz gf = hf ⇒ g = h. ˇ je takov´ (Ze ymi zobrazen´ımi moˇzno krátit tak, jak je ˇreˇceno je zˇrejmé. Nechˇt naopak f nen´ı prosté a nechˇt f (a) = f (b) a a 6= b. Definujme zobrazen´ı g, h : {0} → X pˇredpisy g(0) = a, h(0) = b. Potom f g = f h tˇrebaˇze g 6= h. Nechˇt f nen´ı na. Definujme g, h : Y → {0, 1} pˇredpisy g(x) = 0 pro vˇsechna y, a h(y) = 0 kdykoli y = f (x) pro nˇejaké x, h(y) = 1 jinak. Potom gf = hf a g 6= h.) Pozn´ amky. 1. Vid´ıte, ˇze z hlediska operace skládán´ı jsou zobrazen´ı prostá a zobrazen´ı na jakési protˇejˇsky. Pˇri klasické definici zobrazen´ı bychom s t´ım mˇeli problémy: otázka, zda je zobrazen´ı prosté nebo ne je tam v´ yznamná; otázka, zda zobrazen´ı je na nedává smysl. 2. Jsem si vˇedom toho, ˇze pouˇz´ıván´ı slova “na” jako adjektiva je v ˇceˇstinˇe nehezké (ostatnˇe ani v angliˇctinˇe obdobné pouˇz´ıván´ı slova “onto” nen´ı nic moc). Ale ˇza´dná rozumná alternativa zat´ım nab´ıdnuta nebyla (kdybychom se rozhodli pro “surjektivn´ı”, asi bychom potom mˇeli uˇz´ıvat “injektivn´ı” m´ısto “prosté”, a to je pˇret´ıˇzen´ y term´ın – a nav´ıc by byla ˇskoda neuˇz´ıvat zaˇzitého a pˇekného ˇceského term´ınu). 3. Jako jsou zobrazen´ı vloˇzen´ı jak´ ymisi “nejzákladnˇejˇs´ımi prost´ ymi zobrazen´ımi”, m˚ uˇzeme za “nejzákladnˇejˇs´ı zobrazen´ı na” povaˇzovat faktorisace (kvocienty) podle ekvivalenc´ı E, totiˇz zobrazen´ı q : (x 7→ xE) : X → X/E, kde X/E jen t.zv. mnoˇzina tˇr´ıd ekvivalence (jak si ˇctenáˇr jistˇe vzpom´ıná z prvn´ıho roˇcn´ıku, ekvivalence na X jsou S v pˇrirozeném vzájemnˇe jednoznaˇcném vztahuSs disjunktn´ımi rozklady X = {Xi |i ∈ J} a zobrazen´ı q je zobrazen´ı X → {Xi |i ∈ J} pˇriˇrazuj´ıc´ı prvku x ∈ X tu podmnoˇzinu Xi , do které náleˇz´ı). 13

3.5. Je-li f : X → Y zobrazen´ı a jsou-li A ⊆ X resp. B ⊆ Y podmnoˇziny, p´ıˇseme f [A] = {f (a) |a ∈ A} f −1 [B] = {a |f (a) ∈ B}

(obraz podmnoˇziny A), (vzor podmnoˇziny B).

ˇ (Casto se p´ıˇse prostˇe f (A), f −1 (B), a málokdy to vede k nejasnostem. Ale pˇrece jen, nˇekdy m˚ uˇze b´ yt x zároveˇ n prvkem i podmnoˇzinou X – viz tˇreba ordinály v následuj´ıc´ı podkapitole. Proto radˇeji vol´ıme opatrnˇejˇs´ı oznaˇcen´ı.) Zˇrejmˇe plat´ı f −1 [f [A]] ⊇ A, f [f −1 [B]] ⊆ B. To souvis´ı s mnohem obecnˇejˇs´ı zákonitost´ı – viz II.6. Jako jednoduché cviˇcen´ı si ˇctenáˇr m˚ uˇze dokázat, ˇze f −1 [f [A]] = A pro kaˇzdé A ⊆ X právˇe kdyˇz f je prosté, f [f −1 [B]] = B pro kaˇzdé B ⊆ Y právˇe kdyˇz f je na. ezsk´ em souˇ cinu. O zobrazen´ıch pj = ((xi )i∈J 7→ xj ) : Q 3.6. V´ıce o kart´ ı jako o projekc´ıch. Vˇsimnˇeme si následuj´ıc´ı i∈J Xi → Xj se obvykle mluv´ vlastnosti soustavy projekc´ı. 3.6.1. Tvrzen´ı. Pro kaˇzdou soustavu Q zobrazen´ı fi : Y → Xj , i ∈ J, existuje právˇe jedno zobrazen´ı f : Y → i∈J Xi takové, ˇze ∀i

p i · f = fi .

(∗)

D˚ ukaz. Takové zobrazen´ı je nejv´ yˇs jedno: je-li f (y) = (xi )i∈J je podle (∗) xi = fi (y). Tedy mus´ı b´ yt f dáno pˇredpisem f (y) = (fi (y))i∈J . Na druhé stranˇe tento pˇredpis zˇrejmˇe dává zobrazen´ı, které splˇ nuje soustavu rovnic (∗). Je to velmi jednoduché, ale také dost v´ yznamné pozorován´ı: dává moˇznost charakterisovat kartézsk´ y souˇcin jen prostˇredky algebry skládán´ı zobrazen´ı. Ukaˇzme si jeˇstˇe, ˇze je tak souˇcin opravdu charakterisován jednoznaˇcnˇe. 3.6.2. Tvrzen´ı. Budˇ qi : X → Xi soustava zobrazen´ı taková, ˇze pro kaˇzdou soustavu zobrazen´ı fi : Y → Xj , i ∈ J, existuje právˇe jedno zobrazen´ı f : Y → Y takové, ˇze ∀i qi · f = fi . (∗∗) 14

Q Potom existuje vzájemnˇe jednoznaˇcné zobrazen´ı q : X → i∈J Xi takové, ˇze pi · q = q i . (Jin´ ymi slovy, pˇri jednoznaˇcné ˇreˇsitelnosti soustav rovnic (∗∗) je X spolu s projekcemi qi kartézsk´ y souˇcin, máme jen (pˇrekladem q) pˇr´ıpadnˇe jinak zakodovány J-tice.) Q D˚ ukaz. Podle 3.6.1 máme zobrazen´ ı q : X → i∈J Xi takové, ˇze pi ·q = qi , Q podle pˇredpokladu existuje p : i∈J Xi → X takové, ˇze qi · p = pi . Tedy je pi (qp) = pi

a qi (pq) = qi .

Z jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı soustav (∗) a (∗∗) a z toho, ˇze identická zobrazen´ı jsou ˇreˇsen´ımi, dostáváme qp = id a pq = id.

4. Ordin´ aln´ı ˇ c´ısla, kardin´ aln´ı ˇ c´ısla, axiom v´ ybˇ eru V tomto odd´ıle pˇripomeneme nˇekolik fakt z teorie mnoˇzin. Podrobnosti se ˇ epánek, snadno najdou v bˇeˇzn´ ych uˇcebnic´ıch, napˇr. v knize B. Balcar a P. Stˇ Teorie mnoˇzin, Academia 2005. ˇ 4.1. Srovn´ av´ an´ı velikosti mnoˇ zin. Rekneme, ˇze mnoˇzina X má mohutnost nejvýˇse takovou jako mnoˇzina Y a p´ıˇseme X4Y ˇ existuje-li prosté zobrazen´ı f : X → Y . Rekneme, ˇze mnoˇziny X a Y maj´ı stejnou mohutnost a p´ıˇseme X≈Y existuje-li vzájemnˇe jednoznaˇcné zobrazen´ı X na Y . (Vˇsimnˇete si, ˇze neˇr´ıkáme kolik ta mohutnost je; zat´ım jen dvˇe mnoˇziny podle velikosti srovnáváme. Ale pozdˇeji, v 4.5, mohutnosti dáme smysl jakéhosi ˇc´ısla.) Zˇrejmˇe plat´ı implikace X≈Y

⇒

X4Y 15

i Y 4 X.

Zaj´ımavˇejˇs´ı je, ˇze plat´ı téˇz X4Y

a Y 4X

⇒

X ≈ Y.

To je slavná Cantor-Bernsteinova vˇeta (jej´ı d˚ ukaz pˇredvedeme v II.6.4 jako aplikaci jisté vˇety o pevném bodˇe). 4.2. Dobr´ e uspoˇ r´ ad´ an´ı. Uspoˇra´dán´ımi se budeme podrobnˇeji zab´ yvat v dalˇs´ı kapitole. Zde p˚ ujde jen o velmi speciáln´ı, ale také velmi d˚ uleˇzit´ y pˇr´ıpad. ˇ Rekneme, ˇze relace ≤ na mnoˇzinˇe X je dobré uspoˇrádán´ı (nebo, ˇze je tou relac´ı mnoˇzina X dobˇre uspoˇrádána) jestliˇze • ≤ je symetrická a transitivn´ı, • pro kaˇzdé dva r˚ uzné prvky x, y plat´ı právˇe jedna z moˇznost´ı x ≤ y, y ≤ x, • a kaˇzdá neprázdná podmnoˇzina M ⊆ X má v ≤ nejmenˇs´ı prvek. (Napˇr´ıklad mnoˇzina N pˇrirozen´ ych ˇc´ısel je dobˇre uspoˇra´dána ve standardn´ım uspoˇra´dán´ı podle velikosti – coˇz je ekvivalentn´ı s principem indukce.) 4.3. Axiom v´ ybˇ eru. Tento princip je moˇzno snadno formulovat takto: (AC) Ke kaˇzdému zobrazen´ı f mnoˇziny X na mnoˇzinu Y existuje zobrazen´ı g : Y → X takové, ˇze f g = idY . Plat´ı 4.3.1. Vˇ eta. (Zermelova vˇeta.) Z axiomu výbˇeru plyne, ˇze kaˇzdou mnoˇzinu lze dobˇre uspoˇrádat. Pozn´ amka. Vˇetu lze obrátit. Tedy je axiom v´ ybˇeru ekvivalentn´ı s “Principem Dobrého Uspoˇra´dán´ı”: Kaˇzdou mnoˇzinu lze dobˇre uspoˇrádat. (Viz k tomu dále 4.5.1.) ˇ 4.4. Rekneme, ˇze mnoˇzina nebo tˇr´ıda X je transitivn´ı jestliˇze plat´ı implikace x ∈ X ⇒ x ⊆ X.

16

Pˇ r´ıklad. Bˇeˇzná konstrukce pˇrirozen´ ych ˇc´ısel “z niˇceho”, totiˇz 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, {0}}, . . . , n + 1 = {0, 1, . . . , n} representuje N jako transitivn´ı mnoˇzinu. Ordináln´ı ˇc´ıslo (téˇz ordinál) je transitivn´ı mnoˇzina taková, ˇze je na n´ı relace ∈ (“∈ nebo =”) dobré uspoˇra´dán´ı. = Tˇr´ıdu vˇsech ordináln´ıch ˇc´ısel oznaˇc´ıme Ord. 4.4.1. Vˇ eta. 1. Ord je transitivn´ı tˇr´ıda, a je to vlastn´ı tˇr´ıda (t.j., nen´ı to mnoˇzina). 2. Ord je jediná vlastn´ı tˇr´ıda dobˇre uspoˇrádaná relac´ı ∈ . = 3. Pro kaˇzdou dobˇre uspoˇrádanou mnoˇzinu (X, ≤) existuje isomorfn´ı ordinál α ∈ Ord (t.j., takový, ˇze existuje vzájemnˇe jednoznaˇcné zobrazen´ı f : X → α pro které je x ≤ y právˇe kdyˇz f (x) ∈ f (y). = 4.4.2. D˚ usledek. Z axiomu výbˇeru plyne, ˇze prvky kaˇzdé mnoˇziny je moˇzno pro vhodný ordinál α seˇradit (bez opakován´ı) do transfinitn´ı posloupnosti (xβ )β<α . (β < α p´ıˇseme m´ısto β ∈ α; toto názorné znaˇcen´ı se bˇeˇznˇe uˇz´ıvá, a my to také budeme dˇelat.) 4.5. Kardin´ aln´ı ˇ c´ısla, mohutnosti. Kardináln´ı ˇc´ıslo (téˇz kardinál) je ordináln´ı ˇc´ıslo α které nemá stejnou mohutnost se ˇza´dn´ ym ordináln´ım ˇc´ıslem β < α. Tedy, ˇzádné dva kardinály nemaj´ı stejnou mohutnost. Tˇr´ıdu vˇsech kardináln´ıch ˇc´ısel oznaˇc´ıme Card. Z 4.3.1 dostáváme 4.5.1. D˚ usledek. Z axiomu výbˇeru plyne, ˇze 17

(1) ke kaˇzdé mnoˇzinˇe existuje právˇe jedno kardináln´ı ˇc´ıslo κ takové, ˇze X ≈ κ, a ˇze (2) prvky kaˇzdé mnoˇziny je moˇzno pro vhodný kardinál κ seˇradit (bez opakován´ı) do transfinitn´ı posloupnosti (xα )α<κ .

To jediné kardináln´ı ˇc´ıslo κ pro které X ≈ κ naz´ yváme mohutnost´ı, nebo téˇz kardinalitou mnoˇziny X a oznaˇcujeme |X|. Zde jsou dvˇe pravidla pro práci s mohutnostmi: 4.5.2. Je-li J koneˇcná mnoˇzina a je-li aspoˇ n jedna z mohutnost´ı |Xi | nekoneˇcná, je [ | Xi | = max |Xi |. i∈J

i∈J

Obecnˇeji, je-li aspoˇ n jedna z mohutnost´ı |Xi | nekoneˇcná a je-li |J| ≤ sup |Xi |, je [ | Xi | = sup |Xi |. i∈J

i∈J

Pro kartézský souˇcin (opˇet, je-li aspoˇ n jedna z mnoˇzin Xi nekoneˇcná) plat´ı |X1 × · · · × Xn | = max |Xi |. i=1,...,n

(Co je supremum ˇctenáˇr asi v´ı a pokud ne, stejnˇe pravidlo nebude potˇrebovat dˇr´ıve, neˇz se to dozv´ı v pˇr´ıˇst´ı kapitole.) Pokud ˇctenáˇr oˇcekával nˇejaké zaj´ımavé pravidlo pro souˇcin nekoneˇcnˇe mnoha mnoˇzin, bude zklamán. Ostatn´ımi standardn´ımi axiomy teorie mnoˇzin nen´ı urˇcena ani spoˇcetná mocnina dvoubodové mnoˇziny, jak ukázalo negativn´ı ˇreˇsen´ı slavné hypotézy kontinua.) 4.6. Zornovo lemma a Princip Maximality. Následuj´ıc´ı dvˇe tvrzen´ı, ekvivalentn´ı s axiomem v´ ybˇeru, jsou velmi ˇcasto uˇz´ıvána. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe opˇet trochu pˇredb´ıháme s pojmy; budou vysvˇetleny v následuj´ıc´ı kapitole. Obvykle ale uˇz´ıváme druhou variantu a u té vystaˇc´ıme s t´ım, co uˇz máme. 18

4.6.1. Zornovo Lemma. Budˇ (X, ≤) ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádaná mnoˇzina taková, ˇze v n´ı pro kaˇzdou podmnoˇzinu, která je relac´ı ≤ uspoˇrádána lineárnˇe, existuje horn´ı mez. Potom ke kaˇzdému prvku x ∈ X existuje maximáln´ı y ∈ X takový, ˇze x ≤ y. ˇ ˇ Pˇred druhou variantou zavedme následuj´ıc´ı pojem. Rekneme, ˇze mnoˇziˇ na C podmnoˇzin mnoˇziny X je ˇretˇez, jestliˇze pro kaˇzdé dvˇe A, B ∈ C je bud A ⊆ B nebo B ⊆ A. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı z Zornova lemmatu okamˇzitˇe plyne a je s n´ım (a tedy i s axiomem v´ ybˇeru) ekvivalentn´ı. 4.6.2. Princip Maximality. BuSdˇ A ⊆ P(X) taková, ˇze pro kaˇzdý ˇretˇez C ⊆ A existuje A ∈ A taková, ˇze C ⊆ A. Potom pro kaˇzdou mnoˇzinu A ∈ A existuje B maximáln´ı (vzhledem k inklusi) v A taková, ˇze A ⊆ B. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze pˇri odkazech na princip maximality se ˇcasto také mluv´ı o Zornovˇe lemmatu.

5. Relaˇ cn´ı syst´ emy, homomorfismy V tomto odd´ıle zaˇcneme diskutovat relaˇcn´ı systémy. Jsou to struktury velmi v´ yznamné. I v (skoro) nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadˇe, systému sestávaj´ıc´ım z jediné binárn´ı relace, dostáváme (orientované) grafy; ˇctenáˇr jistˇe v´ı, jak bohaté teorie jsou s nimi spojeny. ˇ M nˇejaká mnoˇzina. M -árn´ı relac´ı na mnoˇzinˇe X rozum´ıme 5.1. Bud libovolnou podmnoˇzinu R ⊆ XM . V pˇr´ıpadˇe mal´ ych koneˇcn´ ych mnoˇzin M (obvykle representovan´ ych jako pˇrirozená ˇc´ısla n) bereme obvykle n kr´ at

}| { z X × ··· × X

m´ısto X n

a tˇrebaˇze n = {0, 1, . . . , n − 1} neváháme indexovat n-tice jako (x1 , . . . , xn ) m´ısto správnˇejˇs´ıho – ale ménˇe pohodlného – (x0 , . . . , xn−1 ). V pˇr´ıpadech n = 1, 2, 3 se obvykle mluv´ı o unárn´ıch resp. binárn´ıch resp. ternárn´ıch relac´ıch R⊆X

resp. R ⊆ X × X 19

resp. R ⊆ X × X × X.

ˇ R, S M -árn´ı relace na 5.2. Homomorfismy a isomorfismy. Budte mnoˇzinách X, Y . Zobrazen´ı f : X → Y naz´ yváme homomorfismem vzhledem k R, S (a ˇcasto p´ıˇseme f : (X, R) → (Y, S)) plat´ı-li ∀ξ ∈ R,

f · ξ ∈ S.

(ξ ∈ R je ovˇsem zobrazen´ı z M do X. V pˇr´ıpadech unárn´ıch, binárn´ıch, ternárn´ıch – a podobnˇe dalˇs´ıch n-árn´ıch relac´ı dostáváme pr˚ uhlednˇejˇs´ı podoby této podm´ınky f [R] ⊆ S, (f × f )[R] ⊆ S, t.j. (x, y) ∈ R ⇒ (f (x), f (y)) ∈ S, nebo xRy ⇒ f (x)Sf (y), (f × f × f )[R] ⊆ S, t.j. (x, y, z) ∈ R ⇒ (f (x), f (y), f (z)) ∈ S. ) Zobrazen´ı f : (X, R) → (Y, S) je isomorfismus, je-li vzájemnˇe jednoznaˇcné a plat´ı-li, ˇze ∀ξ : M → X, f · ξ ∈ S právˇe kdyˇz ξ ∈ R. Uvˇedomte si, ˇze t´ım poˇzadujeme totéˇz jako ve formulaci f : (X, R) → (Y, S) je homomorfismus a existuje k nˇemu homomorfismus g : (Y, S) → (X, S) takový, ˇze f g = idY a gf = idX . 5.2.1. Tvrzen´ı. 1. Identické zobrazen´ı idX : (X, R) → (X, R) je isomorfismus. 2. Jsou-li f : (X, R) → (Y, R0 ) a g : (Y, R0 ) → (Z, R00 ) homomorfismy je sloˇzené zobrazen´ı gf : (X, R) → (Z, R00 ) homomorfismus. Pozn´ amka. Identick´ y isomorfismus z bodu 1 je lépe oznaˇcovat id(X,R) aby byl odliˇsen od identitou nesen´ ych zobrazen´ı (X, R) do (X, S) s r˚ uzn´ ymi R a S, které homomorfismy b´ yt mohou a nemus´ı. D˚ ukaz. 1 je triviáln´ı. 2. Je-li ξ ∈ R je f ξ ∈ R0 a tedy (gf )ξ = g(f ξ) ∈ R00 . ˇ 5.3. Typem rozum´ıme soubor ∆ = (∆t )t∈T . Rekneme, ˇze je koneˇcný, jsou-li T a vˇsechny ∆t koneˇcné mnoˇziny, a ˇze je finitárn´ı, jsou-li ∆t koneˇcné (o T pˇri tom nepˇredpokládáme nic). Ve finitárn´ım pˇr´ıpadˇe zpravidle reprent kr´ at }| { z sentujeme arity ∆t pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly, a na X nt se d´ıváme jako na X × · · · × X (stejnˇe jako v 5.1). 20

Relaˇcn´ı struktura typu ∆ = (∆t )t∈T na moˇzinˇe X je soubor R = (Rt )t∈T kde Rt jsou ∆t -árn´ı operace na X. O dvojici (X, R) pak mluv´ıme jako o relaˇcn´ım objektu typu ∆ a nen´ı-li nebezpeˇc´ı nedorozumˇen´ı prostˇe jako o objektu. Mnoˇzina X se pak obvykle naz´ yvá nosná mnoˇzina tohoto objektu. Jsou-li (X, R), (Y, S) (relaˇcn´ı) objekty (typu ∆), ˇrekneme, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je homomorfismus je-li to homomorfismus vzhledem k Rt , St pro vˇsechna t ∈ T . (Pˇresnˇeji vzato, homomorfismus nen´ı jen to zobrazen´ı f : X → Y – o tom mluv´ıme jako o nosném zobrazen´ı daného homomorfismu –; je to ono zobrazen´ı plus informace o strukturách definiˇcn´ıho oboru a oboru hodnot.) P´ıˇseme pak f : (X, R) → (Y, S). V pˇr´ıpadˇe, ˇze (X, R) = (Y, S) mluv´ıme o endomorfismu. 5.3.1. Z 5.2.1 okamˇzitˇe dostáváme ˇ R, R0 , R00 relaˇcn´ı systémy. Potom D˚ usledek. Budte 1. identické zobrazen´ı idX : (X, R) → (X, R) je isomorfismus a 2. jsou-li f : (X, R) → (Y, R0 ) a g : (Y, R0 ) → (Z, R00 ) homomorfismy je sloˇzené zobrazen´ı gf : (X, R) → (Z, R00 ) homomorfismus. Tˇr´ıdu vˇsech objekt˚ u a homomorfism˚ u mezi nimi budeme oznaˇcovat Rel(∆). 5.4. f : (X, R) → (Y, S) se naz´ yvá isomorfismus je-li to isomorfismus vzhledem k Rt , St pro vˇsechna t ∈ T . Zˇrejmˇe, f : (X, R) → (Y, S) je isomorfismus právˇe kdyˇz existuje homomorfismus g : (Y, S) → (X, R) takový, ˇze gf = id(X,R) a f g = id(Y,S) . Je-li pˇri tom (X, R) = (Y, S) mluv´ıme o automorfismu. ˇ kdyˇz jsme se seznámili s dost bohatou Pozn´ amka. Moˇzná, ˇze ted, zásobou struktur na mnoˇzinˇe, je na m´ıstˇe poznámka o d˚ uleˇzitosti isomorfism˚ u. V bˇeˇzné praxi nás obvykle zaj´ımá, sp´ıˇs neˇz objekt (X, R) sám, jeho isomorfismová tˇr´ıda, t.j., “(X, R) aˇz na isomorfismus” (obvykle se mluv´ı o isomorfismovém typu, tady jsme byli na chv´ıli opatrnˇejˇs´ı, aby se slovo “typ” nepletlo s jeho pouˇzit´ım pro specifikaci toho, jak´ y systém relac´ı je právˇe zkoumán): representujeme-li tˇreba nˇejak´ y objekt v poˇc´ıtaˇci, v˚ ubec nás 21

nezaj´ımá, kde jsou uloˇzeny prvky, a pokud by si je poˇc´ıtaˇc nˇejak pˇrerovnal, nic nenam´ıtáme. Na ˇcem ale trváme je aby byly zachovány vztahy mezi nimi. Ale nejde o uloˇzen´ı v poˇc´ıtaˇci; obecnˇe, kdyˇz v nˇejakém matematickém systému pracujeme (tˇreba v aritmetice), na zakodován´ı prvk˚ u nám záleˇz´ı sp´ıˇs z hlediska co je pohodlnˇejˇs´ı, a zakodován´ı ochotnˇe podle toho mˇen´ıme; poˇcetn´ı pravidla t´ım vˇsak nesm´ı b´ yt zasaˇzena.

6. Podobjekty, souˇ ciny a kvocienty relaˇ cn´ıch syst´ em˚ u ˇ (X, R = (Rt )t∈T ) objekt z Rel(∆), bud ˇ Y ⊆X a 6.1. Podobjekty. Bud j : Y → X zobrazen´ı vloˇzen´ı. Na mnoˇzinˇe Y definujme relaˇcn´ı systém téhoˇz typu R|Y = (RY,t )t∈T , kde RY,t = {ξ : ∆t → Y |jξ ∈ Rt }. D´ıváme-li se na ξ : ∆t → X, Y jako na soubory prvk˚ u, dostáváme (ve finitárn´ım pˇr´ıpadˇe urˇcitˇe a obecnˇe asi také) pr˚ uhlednˇejˇs´ı popis RY,t = {(xt )t∈T |xt ∈ Y, (xt )t∈T ∈ Rt } RY,t = {(x1 , . . . , xn ) |(x1 , . . . , xn ) ∈ Rt ∩ (Y × · · · × Y )}. ˇ Rekneme pak, ˇze objekt (Y, R|Y ) je podobjekt objektu (X, R) nesen´ y podmnoˇzinou Y . 6.1.1. Pozorov´ an´ı. Zobrazen´ı vloˇzen´ı j : (Y, R|Y ) ⊆ (X, R) je homomorfismus. Vid´ıme tedy, ˇze je-li f : (X, R) → (X 0 R0 ) homomorfismus, je zobrazen´ı f ·j – ˇcasto oznaˇcované f |Y a nazývané restrikc´ı na Y – také homomorfismus. 6.2. Tvrzen´ı. Budˇ (Y, R|Y ) podobjekt objektu (X, R) a budˇ f : (Z, S) → (X, R) homorfismus takový, ˇze f [Z] ⊆ Y . Potom zobrazen´ı f 0 : Z → Y definované pˇredpisem f 0 (z) = f (z) je homomorfismus. D˚ ukaz. Pro vloˇzen´ı j : Y ⊆ X je f = jf 0 . Je-li ξ ∈ St (⊆ Z ∆t ) máme 0 jf ξ = f ξ ∈ Rt a tedy f ξ ∈ RY t . 6.2.1. Pozn´ amky. 1. Z 6.1.1 a 6.2 vid´ıme, ˇze z homomorfismu f : (X, R) → (Y, S) dostáváme homomorfismy f 0 : (X 0 , R|X 0 ) → (Y 0 , S|Y 0 ) pro libovolné podmnoˇziny X 0 ⊆ X, Y 0 ⊆ Y takové, ˇze f [X 0 ] ⊆ Y 0 . 22

2. Na Y ⊆ X zvolme libovoln´ y relaˇcn´ı systém R0 daného typu takov´ y, ˇze 0 j : Y → X je homomorfismus. Potom ve znaˇcen´ı z 6.2 je j = idY a máme ξ ∈ Rt0 ⇒ ξ = id · ξ ∈ RY t . Tedy je R|Y nejvˇetˇs´ı relaˇcn´ı struktura daného typu na Y taková, ˇze j je homomorfismus. 3. Speciálnˇe v pˇr´ıpadˇe jiˇz zmiˇ novan´ ych orientovan´ ych graf˚ u (totiˇz ve tˇr´ıdˇe Rel((2))) jsou (Y, R|Y ) indukované podgrafy graf˚ u (X, R). ˇ (Xi , Ri ), i ∈ J, soubor objekt˚ 6.3. Souˇ ciny (produkty). Bud u Q zQRel((∆t )t∈T ). Na kartézském souˇcinu X = i∈J Xi (s projekcemi pj : cn´ı systém R typu (∆t )t∈T pˇredpisem i Xi → Xj ) definujme relaˇ (ξ : ∆t → X) ∈ Rt

právˇe kdyˇz ∀i ∈ J, pi ξ ∈ Rit .

Takto z´ıskan´ y objekt (X, R) naz´ yváme souˇcinem nebo produktem souboru (Xi , Ri ), i ∈ J a oznaˇcujeme Y (Xi , Ri ). i∈J

Pro malé koneˇcné soubory p´ıˇseme (X, R) × (Y, S),

(X1 , R1 ) × (X2 , R2 ) × (X3 , R3 )

a podobnˇe. (Tˇreba v souˇcinu (X1 , R1 ) × (X2 , R2 ) máme (x1 , x2 )R(y1 , y2 ) právˇe kdyˇz x1 Ry1 a x2 R2 y2 . ) Q O souˇcinu souboru stejn´ ych objekt˚ u, t.j. i∈J (Xi , Ri ) kde (Xi , Ri ) = (X, R) pro vˇsechna i, se bˇeˇznˇe mluv´ı jako o mocninˇe, a také se takov´ y souˇcin obvykle jako mocnina, tedy jako (X, R)J , oznaˇcuje. 6.3.1. Pozorov´ an´ı. 1. Vˇsechny projekce jsou homomorfismy. 2. R je nejvˇetˇs´ı takov´ y relaˇcn´ı systém, ˇze vˇsechny projekce jsou (jeˇstˇe) homomorfismy.

23

6.3.2. Tvrzen´ı. Budˇ (Xi , Ri ), i ∈ J, soubor relaˇcn´ıch objekt˚ u typu ˇ ∆ = (∆t )t∈T . Bud fi : (Y, S) → (Xi , Ri ), i ∈ J, soubor u. Q homomorfism˚ Potom existuje právˇe jeden homomorfismus f : (Y, S) → i (Xi , Ri ) takový, ˇze pro vˇsechna i ∈ J je pi f = fi . D˚ ukaz. Podle 3.6.2 existuje právˇe jedno takové zobrazen´ı f . Jde tedy jen ˇ ξ ∈ St . Potom, jelikoˇz vˇsechna fi o to dokázat, ˇze f je homomorfismus. Bud jsou homomorfismy, mus´ı pro vˇsechna i ∈ J b´ yt fi ξ ∈ Ri , t.j., pi (f ξ) ∈ Ri . Tedy je f ξ ∈ R. ˇ (X, R) objekt z Rel(∆), ∆ = (∆t )t∈T , a q : X → Y zobrazen´ı 6.4. Bud na. Na mnoˇzinˇe Y definujme relaˇcn´ı systém R typu ∆ pˇredpisem Rt = {qξ |ξ ∈ Rt }. Okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze R je nejmenˇs´ı relaˇcn´ı struktura daného typu taková, ˇze q : (X, R) → (Y, S) je homomorfismus. O objektu (Y, R) se ˇcasto hovoˇr´ı jako kvocientu, nebo faktorovém objektu objektu (X, R) (podle q, nebo podle ekvivalence E = {(x, y) |q(x) = q(y)}). 6.4.1. Tvrzen´ı. Budˇ f : (X, R) → (Z, S) homomorfismus takový, ˇze q(x) = q(y)

⇒

f (x) = f (y).

(∗)

Potom existuje právˇe jeden homomorfismus f : (Y, R) → (Z, S) takový, ˇze f · q = f. D˚ ukaz. Podm´ınka (∗) ˇr´ıká pˇresnˇe to, ˇze existuje zobrazen´ı f takové, ˇze f q = f . Jde tedy jen o to, dokázat, ˇze f je homomorfismus. Ale to je zˇrejmé: je-li η ∈ Rt , je η = qξ pro nˇejaké ξ ∈ Rt a tedy η = f qη = f ξ ∈ St .

.

7. Projektivn´ı a injektivn´ı vytv´ aˇ ren´ı struktur ˇ aˇr si jistˇe vˇsiml spoleˇcn´ 7.1. Cten´ ych rys˚ u souˇcin˚ u a podobjekt˚ u. Obecnˇeji, mˇejme dány objekty (Xi , Ri ), i ∈ J, typu ∆ = (∆t )t∈T , a soustavu zobrazen´ı ri : X → Xi takovou, ˇze (∀i ∈ J, ri f = ri g) 24

⇒

f =g

Q (u souˇcin˚ u to byly projekce pi : j∈J Xj → Xi , u podobjekt˚ u jen jeden objekt (X, R) a jedno zobrazen´ı j : Y ⊆ X). Potom máme triviáln´ı Pozorov´ an´ı. Relaˇcn´ı systém R0 = (Rt0 )t∈T kde Rt0 = {ξ : ∆t → X |∀i ∈ J, ri ξ ∈ Rit } je nejvˇetˇs´ı relaˇcn´ı systém daného typu na X takový, ˇze vˇsechna xobrazen´ı ri jsou homomorfismy (X, R) → (Xi , Ri ). 7.1.1. Vˇ eta. Pro relaˇcn´ı systém R0 z 7.1 plat´ı: (Proj) Je-li (Y, S) ∈ Rel(∆) a je-li f : Y → X zobrazen´ı takové, ˇze vˇsechna fi = ri f jsou homomorfismy (Y, S) → (Xi .Ri ) pak f je homomorfismus (Y, S) → (X, R0 ). Relaˇcn´ı systém R0 je tvrzen´ım (Proj) jednoznaˇcnˇe urˇcen. ˇ ξ ∈ St , t libovolné. Potom fi ξ = (ri f )ξ = ri (f ξ) je v Rit D˚ ukaz. I. Bud a tedy f ξ ∈ Rt0 . II. Má-li systém R00 stejnou vlastnost, jsou identická zobrazen´ı (X, R00 ) → (X, R0 ) i (X, R0 ) → (X, R00 ) homomorfismy, a tedy Rt0 ⊆ Rt00 a Rt00 ⊆ Rt . 7.2. Podobnˇe jsou-li objekty (Xi , Ri ), i ∈ J, a soustava zobrazen´ı si : Xi → X takové, ˇze (∀i ∈ J, f si = gsi )

⇒

f =g

máme triviáln´ı Pozorov´ an´ı. Relaˇcn´ı systém R0 = (Rt0 )t∈T kde Rt0 = {si ξ |ξ ∈ Rit , i ∈ J} je nejmenˇs´ı relaˇcn´ı systém na X takový, ˇze vˇsechna xobrazen´ı si jsou homomorfismy (Xi , Ri ) → (X, R). 7.2.1. Vˇ eta. Pro relaˇcn´ı systém R0 z 7.2 plat´ı: (Inj) Je-li (Y, S) ∈ Rel(∆) a je-li f : X → Y zobrazen´ı takové, ˇze vˇsechna fi = f si jsou homomorfismy (Xi .Ri ) → (Y, S) pak f je homomorfismus (X, R0 ) → (Y, S). 25

Relaˇcn´ı systém R0 je tvrzen´ım (Inj) jednoznaˇcnˇe urˇcen. D˚ ukaz m˚ uˇzeme ponechat ˇctenáˇri jako jednoduché cviˇcen´ı. 7.3. O konstrukci z bodu 7.1 se obvykle mluv´ı jako o projektivn´ım vytváˇren´ı struktury, o konstrukci z bodu 7.1 jako o injektivn´ım vytváˇren´ı. Setkali jsme se zat´ım je s jedn´ım pˇr´ıkladem injektivn´ıho vytváˇren´ı, totiˇz s kvocientem v bodˇe 6.4. Jin´ y pˇr´ıklad, zdánlivˇe nezaj´ımav´ y a pˇresto velmi d˚ uleˇzit´ y, je suma soustavy objekt˚ u. Mˇejme dány objekty (Xi , Ri ), i ∈ J, a pro jednoduchost pˇredpokládejme, S ˇze mnoˇziny Xi jsou disjunktn´ı. Oznaˇcme X = Xi a ji : Xi ⊆ X zobrazen´ı vloˇzen´ı. Potom injektivn´ı konstrukce dává na X relaˇcn´ı systém [ R = (Rt = {ji ξ |ξ ∈ Rit })t∈T i∈J

a pro z´ıskan´ y objekt plat´ı, ˇze • vˇsechna zobrazen´ı ji : (Xi , Ri ) → (X, R) jsou homomorfismy, • a pro kaˇzd´ y systém homomorfism˚ u fi : (Xi , Ri ) → (Y, S) existuje právˇe jeden homomorfismus f : (X, R) → (Y, S) takov´ y, ˇze pro vˇsechna i ∈ J plat´ı f ji = fi (nesen´ y zobrazen´ım f definovan´ ym pˇredpisem f (x) = fi (x) pro x ∈ Xi ). Vˇsimnˇete si, ˇze suma je jak´ ymsi zrcadlov´ ym protˇejˇskem produktu ( srovnejte s 6.3). 7.4. Pozn´ amky. 1. Projektivn´ı a injektivn´ı vytváˇren´ı se neomezuje na obecné relaˇcn´ı struktury. Jsou to konstrukˇcn´ı paradigmata velmi bˇeˇzná u ˇrady bˇeˇzn´ ych struktur, i kdyˇz nemus´ı b´ yt dána tak jednoduch´ ymi formulemi jako zde. Podstatné jsou charaktristiky z tvrzen´ı 7.1.1 a 7.2.1; to, ˇze jsme zde dostali projektivnˇe vytvoˇrenou strukturu jako nejvˇetˇs´ı s danou vlastnost´ı, a injektivnˇe vytvoˇrenou zase jako nejmenˇs´ı, je specifická vlastnost relaˇcn´ıch systém˚ u (tˇreba u topologi´ı jsou projektivnˇe konstruované nejmenˇs´ı a injektivnˇe z´ıskané nejvˇetˇs´ı). 2. Moˇzná je na m´ıstˇe vysvˇetlen´ı, proˇc jsme sumy odbyli v poznámce a proˇc také v dalˇs´ım budeme tento jev zanedbávat. U struktur z bˇeˇzného ˇ konstrukce velmi jednoduchá (prostˇe poloˇzen´ı matematického ˇzivota je to bud 26

objekt˚ u vedle sebe, podobné jako zde je to tˇreba u obecn´ ych prostor˚ u) nebo naopak konstrukce dost sloˇzitá (typicky u algeber, nebo i u speciáln´ıch prostor˚ u). Jednoduch´ y spoleˇcn´ y mnoˇzinov´ y podklad zde nen´ı. V´ıce k tomu bude ˇreˇceno v (zat´ım teprve pˇripravované) kapitole o kategori´ıch.

27

Kapitola II

ˇ asteˇ (C´ cn´ a) uspoˇ r´ ad´ an´ı 1. Pˇ reduspoˇ r´ ad´ an´ı a uspoˇ r´ ad´ an´ı 1.1. Pˇreduspoˇrádán´ı na mnoˇzinˇe M je relace R ⊆ X × X která je • reflexivn´ı, t.j., pro vˇsechna x ∈ X plat´ı xRx, • a transitivn´ı, t.j., xRy a yRz implikuje xRz. Plat´ı-li nav´ıc ⇒

xRy & yRx

x = y,

(antisym)

mluv´ıme o uspoˇrádán´ı nebo o ˇcásteˇcném uspoˇrádán´ı, to druhé chceme-li zd˚ uraznit, ˇze nepoˇzadujeme aby nutnˇe vˇzdy platilo, ˇze ˇ xRy nebo yRx. pro vˇsechna x, y je bud

(lin)

Jestliˇze ale je poˇzadavek (lin) splnˇen, ˇrekneme, ˇze uspoˇrádán´ı R je lineárn´ı; téˇz se uˇz´ıvá term´ınu ˇretˇez. O objektu (X, R) s takovou relac´ı mluv´ıme jako o pˇreduspoˇrádané (uspoˇrádané, atd.) mnoˇzinˇe. 1.2. Z pˇreduspoˇra´dáné mnoˇziny (X, R) snadno dostaneme uspoˇrádanou t´ım, ˇze zavedeme ekvivalenci x∼y

≡

xRy & yRx

a uvaˇzujeme m´ısto X mnoˇzinu tˇr´ıd ekvivalence X/∼. Na té se pak daná relace jev´ı jako uspoˇra´dán´ı. Pokud na rozd´ılu mezi takto ekvivalentn´ımi prvky pˇr´ıliˇs nezáleˇz´ı (coˇz je ˇcast´ y pˇr´ıpad), zjednoduˇs´ıme si t´ım situaci. V dalˇs´ım budeme zpravidla pracovat s uspoˇra´dán´ımi.

28

1.3. (a) Nespecifikované uspoˇra´dán´ı budeme obvykle oznaˇcovat ≤; samozˇrejmˇe v konkretn´ıch pˇr´ıpadech uˇz´ıváme znaˇcky podle potˇreby (tˇreba ≤1 , ≤0 , , v a pod., viz ostatnˇe pˇr´ıklady v dalˇs´ım paragrafu). ˇ (X, ≤) (pˇred)uspoˇra´daná mnoˇzina. Pro prvky x ∈ X a podmno(b) Bud ˇziny M ⊆ X budeme psát [ [ ↓x = {y |y ≤ x}, ↑x = {y |y ≥ x}, ↓M = ↓x a ↑M = ↑x. x∈M

x∈M

1.4. Pˇ r´ıklady. (a) Bˇeˇzná uspoˇrádán´ı pˇrirozen´ ych, cel´ ych, racionáln´ıch ˇci reáln´ ych ˇc´ısel jsou pˇr´ıklady lineárn´ıch uspoˇra´dán´ı. (b) Dˇelitelnost cel´ ych ˇc´ısel (relace a|b, “a dˇel´ı b”) je pˇreduspoˇra´dán´ı. (c) Inkluse je (ˇca´steˇcné) uspoˇra´dán´ı na mnoˇzinˇe P(X) vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny X. (Vˇsimnˇete si, ˇze inkluse je v jistém smyslu universáln´ım uspoˇra´dán´ım. Kaˇzdé ˇcásteˇcné uspoˇra´dán´ı je totiˇz moˇzno representovat jako systém (nˇekter´ ych) podmnoˇzin vhodné mnoˇziny uspoˇra´dan´ y inklus´ı: máme totiˇz x ≤ y právˇe kdyˇz ↓x ⊆↓y, takˇze (X, R) je representována ˇcást´ı uspoˇra´dané mnoˇziny (P(X), ⊆). 1.5.1 Je li relace R (pˇred)uspoˇra´dán´ı, je i relace R−1 (pˇred)uspoˇra´dán´ı. M´ısto o inversn´ım (pˇred)uspoˇrádán´ı se ˇcasto mluv´ı o (pˇred)uspoˇra´dán´ı opaˇcném nebo duáln´ım k R. P´ıˇse se téˇz (X, R)op

m´ısto (X, Rop ).

1.6. Jsou-li (X, ≤), (Y, ≤) ˇcásteˇcnˇe uspoˇra´dané mnoˇziny (prvn´ı ≤ samozˇrejmˇe nemus´ı b´ yt totéˇz co druhé) a f : X → Y zobrazen´ı, ˇr´ıkáme, ˇze je f isotonn´ı (ˇcasto se téˇz ˇr´ıká monotonn´ı 1 ) plat´ı-li implikace x≤y

⇒

f (x) ≤ f (y).

Plat´ı-li implikace x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y), ˇr´ıkáme, ˇze f je antitonn´ı (pak je ovˇsem f isotonn´ı jako zobrazen´ı (X, ≤) → (Y, ≤)op ). 1

Je to dokonce bˇeˇznˇejˇs´ı, legitimn´ı námitka proti tomuto v´ yrazu je ale jeho pouˇzit´ı jako spoleˇcného term´ınu pro nerostouc´ı a neklesaj´ıc´ı funkce v analyse.

29

Jako u obecn´ ych relac´ı ˇci relaˇcn´ıch systém˚ u ˇr´ıkáme, ˇze f je isomorfismus a ˇze (X, ≤) a (Y, ≤) jsou isomorfn´ı existuje-li isotonn´ı g : (Y, ≤) → (X, ≤) takové, ˇze f · g = id a g · f = id, Snadno vid´ıme, ˇze f je isomorfismus právˇe kdyˇz • je to zobrazen´ı na, a • x≤y

⇔

f (x) ≤ f (y).

2. Suprema a infima ˇ (X, ≤) ˇca´steˇcnˇe uspoˇra´daná mnoˇzina. Rekneme, ˇ 2.1. Bud ˇze prvek x ∈ X je horn´ı (resp. doln´ı) mez podmnoˇziny M ⊆ X, plat´ı-li M ⊆↓x (resp. M ⊆↑x). Nejmenˇs´ı taková horn´ı mez (pokud existuje, coˇz samozˇrejmˇe nemus´ı) se naz´ yvá supremum a oznaˇcuje se sup M (pozdˇeji budeme uˇz´ıvat také jiné symboly). Nejvˇetˇs´ı doln´ı mez mnoˇziny M (existuje-li) se naz´ yvá jej´ım infimem a oznaˇcuje inf M. 2.1.1. Tedy, supremum mnoˇziny M je prvek s takov´ y, ˇze plat´ı (1) M ⊆↓s a (2) M ⊆↓x ⇒ s ≤ x. Z kursu matematické analysy znáte m´ısto (2) jinou podm´ınku: x < s ⇒ ∃y ∈ M, x < y. (2’) Uvˇedomte si, ˇze v pˇr´ıpadˇe lineárn´ıho uspoˇrádán´ı tak dostáváme ekvivalentn´ı definici, obecnˇe by to vˇsak ekvivalentn´ı nebylo. ˇ (X, ≤) uspoˇra´daná mnoˇzina, M ⊆ N ⊆ X. Rekneme, ˇ 2.1.2. Bud ˇze M je nahoru resp. dolu kofináln´ı s N jestliˇze pro kaˇzd´ y prvek n ∈ N existuje prvek m ∈ M takov´ y, ˇze m ≥ n resp. m ≤ n. Je-li z kontextu jasno, o kter´ y smˇer se jedná, ˇr´ıká se prostˇe kofináln´ı. 30

ˇ Casto se uˇz´ıvá následuj´ıc´ı Pozorov´ an´ı. Je-li M nahoru (resp. dolu) kofináln´ı s N a existuje-li sup N (resp. inf N ) pak sup M (resp. inf M ) také existuje a plat´ı sup M = sup N (resp. inf M = inf N ). 2.2. Tvrzen´ı. Plat´ı formule sup{sup Mj |j ∈ J} = sup(

[

Mj ),

j∈J

inf{inf Mj |j ∈ J} = inf(

[

Mj )

j∈J

kdykoli maj´ı levé strany smysl. D˚ ukaz provedeme pro suprema. Poloˇzme s = sup{sj |j ∈ J}. S S Potom je s zˇrejmˇe horn´ı mez´ı mnoˇziny j∈J Mj . Je-li j∈J Mj ⊆↓x je pro kaˇzdé j, Mj ⊆↓x a tedy sj ≤ x. Z toho {sj |j ∈ J} ⊆↓x a koneˇcnˇe s ≤ x. sj = sup Mj ,

2.3. Protoˇze ∅ ⊆↓x pro kaˇzdé x, je sup ∅ nejmenˇs´ı prvek dané uspoˇra´dané mnoˇziny X (pokud existuje). Bˇeˇznˇe se oznaˇcuje ⊥ nebo téˇz 0. Podobnˇe jelikoˇz vˇzdy ∅ ⊆↑x je inf ∅ nejvˇetˇs´ı prvek, obykle oznaˇcovan´ y > nebo téˇz 1. Zároveˇ n samozˇrejmˇe plati, pokud nejmenˇs´ı resp. nejvˇetˇs´ı prvek existuje, inf X = ⊥ (= sup ∅) resp.

sup X = > (= inf ∅).

2.4. Pˇ r´ıklady. (a) Suprema a infima podmnoˇzin reáln´ ych ˇc´ısel R jak je znáte z kursu matematické analysy. Uvˇedomte si, ˇze −∞ resp. +∞ je pˇridan´ y nejmenˇs´ı resp. nejvˇetˇs´ı prvek k mnoˇzinˇe R, která sama nejvˇetˇs´ı ani nejmenˇs´ı prvek nemá. Odtud formulky inf ∅ = +∞, sup ∅ = −∞, které studenty prvn´ıch roˇcn´ık˚ u nˇekdy pˇrekvapuj´ı. 31

(b) V (P(X), ⊆) máme sup{Aj |j ∈ J} =

[

Aj ,

inf{Aj |j ∈ J} =

j∈J

\

Aj .

j∈J

(c) V mnoˇzinˇe pˇrirozen´ ych ˇc´ısel s uspoˇra´dán´ım “a dˇel´ı b” je sup{a, b} nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek ˇc´ısel a, b a inf{a, b} nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel ˇc´ısel a, b. 2.5. Je-li f : (X ≤) → (Y, ≤) isotonn´ı zobrazen´ı, máme triviálnˇe f [↓x] ⊆↓f (x) a f [↑x] ⊆↑f (x), takˇze je-li x horn´ı (doln´ı) mez mnoˇziny M , je f (x) horn´ı (doln´ı) mez mnoˇziny f [M ]. Tedy speciálnˇe sup f [M ] ≤ f (sup M ),

inf f [M ] ≥ f (inf M )

(∗)

(maj´ı-li ty v´ yrazy smysl). V´ıc obecnˇe neplat´ı. Zachováván´ı (nˇekter´ ych, nebo vˇsech) suprem ˇci infim je d˚ uleˇzitá vlastnost nˇekter´ ych speciáln´ıch typ˚ u zobrazen´ı. Zapamatujte si, ˇze nerovnosti (∗) plat´ı obecnˇe; pˇri ovˇeˇrován´ı pˇr´ıpadn´ ych rovnost´ı se mus´ıme starat jen o pˇr´ısluˇsnou opaˇcnou nerovnost. Snadno ale vid´ıme, ˇze isomorfismy suprema i infima zachovávaj´ı.

3. Nˇ ekter´ a speci´ aln´ı uspoˇ r´ ad´ an´ı Pˇri uˇzit´ı (ˇcásteˇcn´ ych) uspoˇra´dán´ı v r˚ uzn´ ych oborech matematiky a informatiky se setkáváme se speciáln´ımi poˇzadavky. V tomto odd´ıle nˇekolik z nich uvedeme. ˇ 3.1. Polosvazy. Rekneme, ˇze uspoˇra´daná mnoˇzina (X, ≤) je doln´ı (resp horn´ı) polosvaz jestliˇze pro libovolné dva prvky x, y ∈ X existuje inf{x, y} ˇ (resp. sup{x, y}). Casto uˇz´ıvané oznaˇcen´ı je x ∧ y pro inf{x, y} a x ∨ y pro sup{x, y} (jiné uˇz´ıvané znaˇcky jsou tˇreba x ∩ y, x u y a pod.). Podle 2.2 v doln´ım polosvazu existuj´ı infima vˇsech neprázdných koneˇcn´ ych podmnoˇzin. Pro existenci infim vˇsech koneˇcn´ ych podmnoˇzin mus´ıme 32

nav´ıc poˇzadovat nejvˇetˇs´ı prvek; potom se obvykle mluv´ı o doln´ım polosvazu s jednotkou. Podobnˇe v horn´ıch polosvazech s nulou máme suprema vˇsech koneˇcn´ ych mnoˇzin. ˇ Casto je z kontextu patrno jde-li o suprema ˇci infima, potom mluv´ıme prostˇe o polosvazu. 3.2. Svazy. Je-li uspoˇrádaná mnoˇzina zároveˇ n doln´ı a horn´ı polosvaz, ˇrekneme, ˇze je to svaz. Opˇet pˇri tom nen´ı automaticky poˇzadována existence extrémn´ıch prvk˚ u. Pokud je máme, mluv´ıme obvykle o svazu s nulou a jednotkou, nˇekdy se téˇz ˇr´ıká omezený svaz. ´ y svaz je uspoˇra´daná mnoˇzina v n´ıˇz kaˇzdá ´ 3.3. Upln´ e svazy. Upln´ podmnoˇzina má supremum a infimum. Vˇ eta. Uspoˇrádaná mnoˇzina je u ´plný svaz právˇe kdyˇz v n´ı má kaˇzdá podmnoˇzina supremum. Podobnˇe s infimy. D˚ ukaz. Hledejme infimum mnoˇziny M za pˇredpokladu existence suprem. Poloˇzme N = {x |M ⊆↑x}, i = sup N. Pro kaˇzdé y ∈ M máme N ⊆↓y, proto i ≤ y, a i je tedy doln´ı mez mnoˇziny M . Je-li M ⊆↑x, je x ∈ N a tedy x ≤ i, takˇze i = inf M . Na polosvazy nem˚ uˇzeme stejn´ y postup pouˇz´ıt, protoˇze i kdyˇz M je koneˇcná, mnoˇzina N z d˚ ukazu m˚ uˇze b´ yt nekoneˇcná. V koneˇcném pˇr´ıpadˇe s t´ım ale problém nen´ı a dostáváme, ˇze kaˇzdý koneˇcný horn´ı polosvaz s nulou je svaz s nulou a jednotkou. 3.4. Usmˇ ernˇ en´ e (pod)mnoˇ ziny. Podmnoˇzinu D uspoˇra´dané mnoˇziny nazveme usmˇernˇenou, má-li kaˇzdá koneˇcná K ⊆ D horn´ı mez v D. Jin´ ymi slovy, D je usmˇernˇená jestliˇze je neprázdná a jestliˇze pro kaˇzdé x, y ∈ D existuje z ∈ D takové, ˇze x, y ≤ z. Uvˇedomte si, ˇze pˇredpoklad neprázdnosti je podstatn´ y. Pˇresnˇeji bychom mˇeli mluvit o nahoru usmˇernˇené mnoˇzinˇe. V bˇeˇzn´ ych aplikac´ıch vˇsak daleko ˇcastˇeji pracujeme s t´ımto neˇz s duáln´ım pojmem a je proto zvykem tuto specifikaci vynechávat. Pozorov´ an´ı. Horn´ı polosvaz který má suprema vˇsech usmˇernˇených podmnoˇzin má suprema vˇsech neprázdných podmnoˇzin. 33

(Máme sup M = sup{sup K |K koneˇcná ⊆ M }, a mnoˇzina {sup K |K koneˇcná ⊆ M } je zˇrejmˇe usmˇernˇená.) 3.5. DCPO. V teoretické informatice hraj´ı velmi d˚ uleˇzitou roli uspoˇrádané mnoˇziny takové, ˇze v nich kaˇzdá usmˇernˇená podmnoˇzina má supremum. Pˇres svou d˚ uleˇzitost se nedoˇckaly speciáln´ıho názvu - i v anglické literatuˇre se pro nˇe pouˇz´ıvá prostˇe zkratka DCPO (directed-complete partial order). Nebudeme se pokouˇset o ˇcesk´ y term´ın a taky budeme této zkratky uˇz´ıvat. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze v ˇradˇe aplikac´ı staˇc´ı poˇzadovat ménˇe, totiˇz jen existenci suprem neklesaj´ıc´ıch posloupnost´ı x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ · · · . 3.6. Pozn´ amka o oznaˇ cen´ı. VVu ´pln´ ych svazech se pro suprema F resp. W S infima bˇeˇznˇe uˇz´ıvá symbol˚ u resp. (také pˇr´ıpadnˇe jin´ ych znaˇcek, , a pod.), tedy tˇreba _ _ xj , atd. {x |x ∈ M }, j∈J

W V Na , a pododobné znaˇcky se nahl´ıˇz´ı jako na funkˇcn´ı nebo operaˇcn´ı symboly, podobnˇe jako na a ∨ b, a ∧ b v 3.1 (viz téˇz následuj´ıc´ı kapitolu). Symbol˚ u sup a inf se uˇz´ıvá sp´ıˇse v pˇr´ıpadech kdy to supremum nebo infimum nemus´ı nutnˇe existovat; tato konvence nen´ı vˇzdy dodrˇzována, ale je celkem bˇeˇzná. Rovnˇeˇz suprema usmˇernˇen´ ych mnoˇzin za pˇredpokladu jejich S↑ e exW↑ povinn´ . Takto ˇci istence se nˇekdy oznaˇcuj´ı “funkˇcn´ımi” symboly jako tˇreba modifikovan´ y symbol samozˇrejmˇe jen pˇripom´ıná, ˇze do “operace” vstupuje usmˇernˇená mnoˇzina, ne ˇze by se snad mˇelo jednat o nov´ y typ suprema.

4. Dedekindovo-MacNeilleovo z´ uplnˇ en´ı 4.1. V obecné ˇca´steˇcnˇe uspoˇra´dané mnoˇzinˇe suprema ˇci infima podmnoˇzin ˇcasto scház´ı. Je pˇrirozená otázka, zda je m˚ uˇzeme nˇejak vhodnˇe pˇridat, t.j. zda m˚ uˇzeme naˇs´ı uspoˇrádanou mnoˇzinu (X ≤) rozˇs´ıˇrit tak, aby vznikl u ´pln´ y ˇ svaz. Pokud by nám neˇslo o nic v´ıc, odpovˇed je jednoduchá: pˇri representaci prvku x ∈ X jako ↓x ∈ P(X) máme naˇs´ı mnoˇzinu vloˇzenu do u ´plného svazu 34

T P(X). Plat´ı pˇri tom i v´ıc: má-li M ⊆ X infimum i, je ↓i = {↓x |x ∈ M }, coˇz je infimum mnoˇziny {↓ x |x ∈ M } v (P(X), ⊆). Toto rozˇs´ıˇren´ı tedy zachová vˇsechna existuj´ıc´ı infima. Jenomˇze se supremy je to ˇspatné: jestliˇze tˇreba a ∨ b exisuje, je ↓(a ∨ b) zˇr´ıdka totéˇz co ↓a∪ ↓b. Otázku o doplnˇen´ı uspoˇrádané mnoˇziny bychom si mˇeli správnˇe poloˇzit takto: Je moˇzno kaˇzdou (ˇcásteˇcnˇe) uspoˇrádanou mnoˇzinu X rozˇs´ıˇrit na u ´plný svaz L tak, aby pˇri tom vˇsechna jiˇz v X existuj´ıc´ı infima resp. suprema byla infimy resp. supremy i v L? ˇ je kladná a budeme se j´ı vˇenovat v tomto odd´ıle. Odpovˇed 4.2. Konstrukce. Pro podmnoˇzinu M uspoˇra´dané mnoˇziny X poloˇzme ub(M ) = {y |y je horn´ı mez M }, lb(M ) = {y |y je doln´ı mez M }, ν(M ) = lb(ub(M )). Koneˇcnˇe definujme DMN(X, ≤) = ({M ⊆ X |ν(M ) = M }, ⊆). 4.3. Lemma.(1) Je-li M ⊆ N , je ub(M ) ⊇ ub(N ) a lb(M ) ⊇ lb(N ). (2) M ⊆ ν(M ) = lb(ub(M )) a M ⊆ ub(lb(M )). (3) ub(↓a) =↑a a lb(↑a) =↓a. (4) ν je monotonn´ı. (5) νν(M ) = ν(M ). D˚ ukaz. (1) aˇz (4) jsou bezprostˇredn´ı pozorován´ı. Podle (1) a (2) dále máme lb(M ) ⊆ lb(ub(lb(M ))) ⊆ lb(M ) a ub(M ) ⊆ ub(lb(ub(M ))) ⊆ ub(M ), takˇze lb(M ) = lb(ub(lb(M ))) a ub(M ) = ub(lb(ub(M ))) a koneˇcnˇe lb(ub(M )) = lb(ub(lb(ub(M )))). 4.4. WVˇ eta. (1) LS= DMN(X) je u ´plný svaz. Suprema v L jsou dána formul´ı j∈J Mj = ν( j∈J Mj ). (2) Zobrazen´ı a 7→↓a je vloˇzen´ı (t.j., prosté zobrazen´ı takové, ˇze a ≤ b právˇe kdyˇz ↓a ⊆↓b) zachovávaj´ıc´ı vˇsechna v X existuj´ıc´ı suprema a infima. D˚ ukaz. (1): Je-li ν(M ) = M a plat´ S S ı-li M ⊇ Mj pro vˇsechna j ∈ J máme M ⊇ Mj a tedy M = ν(M ) ⊇ ν( Mj ). 35

(2): Podle 4.3, ν(↓a) = lb(ub(↓a)) = lb(↑a) =↓a takˇze skuteˇcnˇe ↓a ∈ MacN(X); zˇrejmˇe a ≤ b právˇe kdyˇz ↓ a ⊆↓ b a nav´ıc pro a = inf aj je T ↓a = ↓aj , t.j. infimum jiˇz v P(X) a t´ım sp´ıˇs v DMN(X). Koneˇcnˇe máme _ [ [ ↓aj = ν( ↓aj ) = lb(ub( ↓aj )) = j

j

= lb{x |∀j, x ≥ aj } = lb(↑a) =↓a. 4.5. Pozn´ amka. Speciáln´ı pˇr´ıpad tohoto rozˇs´ıˇren´ı je Dedekindova konstrukce reáln´ ych ˇc´ısel z racionáln´ıch pomoc´ı t.zv. “metody ˇrez˚ u”.

5. Sloˇ zitˇ ejˇ s´ı z jednoduˇ sˇ s´ıch 5.1. Pˇripomeˇ nte si konstrukce z I.6. Snadno vid´ıme, ˇze podobjekt uspoˇra´dané mnoˇziny (X, ≤) z´ıskan´ y z libovolné podmnoˇziny Y ⊆ X je opˇet uspoˇra´daná mnoˇzina. O uspoˇra´dán´ı ≤ ∩(Y ×Y ) =≤ |Y se ˇcasto mluv´ı jako o uspoˇrádán´ı indukovaném uspoˇra´dán´ım na vˇetˇs´ı mnoˇzinˇe. Uˇz´ıvá se pro nˇej obvykle stejného symbolu, coˇz sotva m˚ uˇze vést k nedorozumˇen´ı. Q Také produkt (Xi , Ri ) v nˇemˇz vˇsechny objekty (Xi , Ri ) jsou uspoˇra´dané mnoˇziny je uspoˇrádaná mnoˇzina, coˇz opˇet vid´ıme bez jak´ ychkoli problém˚ u. Jinak je tomu s kvocienty: ztotoˇzn´ıme-li tˇreba v ˇretˇezu {1 < 2 < · · · < n} kde n ≥ 4 prvn´ı a posledn´ı prvek, nedostaneme ani pˇreduspoˇrádán´ı. Na druhé stranˇe sumy uspoˇra´dan´ ych mnoˇzin (jako v I.7.3) uspoˇra´dané jsou. 5.2. Co se v souˇcinech nezachovává je ale linearita. Vˇsimnˇete si, ˇze pomoc´ı produkt˚ u a podobjekt˚ u dostaneme libovolnou ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádanou mnoˇzinu jiˇz z dvoubodového ˇretˇezce 2 = ({0, 1}, ≤). Skuteˇcnˇe, pro libovolnou mnoˇzinu M je mocnina (produkt stejn´ ych objekt˚ u, viz I.6.3) 2M isomorfn´ı s (P(M ), ⊆) ˇ podmnoˇzinu {m |xm = 1}) a pˇripomeˇ (k (xm )m∈M pˇriˇradte nte si 1.4). 36

5.3. Na vloˇzen´ı obecné uspoˇra´dané mnoˇziny (X, ≤) do 2X se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na vytváˇren´ı (libovolnˇe) sloˇzitého objektu daného typu z objektu velmi jednoduchého. Teoreticky je i tato triviáln´ı konstrukce v´ yznamná, prakticky si ale moc nepom˚ uˇzeme: souˇcin je zde pˇr´ıliˇs velk´ y. Zaj´ımavˇejˇs´ı je vkládán´ı koneˇcn´ ych uspoˇrádan´ ych mnoˇzin do souˇcinu obecnˇejˇs´ıch lineárn´ıch uspoˇra´dán´ı, které i probereme nyn´ı. 5.3.1. Lemma. Budˇ (X, ≤) linovolná koneˇcná uspoˇrádaná mnoˇzina. Potom pro libovolné dva nesrovnatelné body a, b z X existuje homomorfismus φab : (X, <) → (N, <) takový, ˇze φab (a) < φab (b). (Pozor: Jde o homomorfismus vzhledem k relac´ım ostrého uspoˇra´dán´ı, tedy o v´ıc neˇz isotonii.) D˚ ukaz. Z technick´ ych d˚ uvod˚ u pˇridejme k (X, ≤) jeˇstˇe nov´ y nejmenˇs´ı prvek ⊥, tedy ⊥ < x pro vˇsechna x ∈ X. Oznaˇcme jeˇstˇe ≺ relaci bezprostˇredn´ıho následován´ı (t.j., x ≺ y jestliˇze x < y a kdykoli x < z ≤ y pak z = y). Pro zobrazen´ı α : {(x, y) |x ≺ y} → N \ {0} definujme X φα (x) = max{ α(xi , xi+1 ) |x0 = ⊥ ≺ x1 ≺ · · · ≺ xn = x}. Zˇrejmˇe plat´ı x
⇒

φα (x) < φα (y).

Jelikoˇz a, b jsou nesrovnatelné, existuje dvojice c ≺ b, která se nevyskytuje v ˇza´dném ˇretˇezci x0 = ⊥ ≺ x1 ≺ · · · ≺ xn = a. Zvol´ıme-li α(c, b) dost veliké, a vˇsechny ostatn´ı hodnoty α(x, y) = 1, bude φα (x) < φα (b). 5.3.2. Tvrzen´ı Pro kaˇzdou koneˇcnou uspoˇrádanou mnoˇzinu (X ≤) je moˇzno (X, <) vloˇzit do mocniny (N, <)k s koneˇcným k. D˚ ukaz. Je-li (X, ≤) lineárn´ı, nen´ı co dokazovat. Jinak, ke kaˇzdé dvojici (a, b) nesrovnateln´ ych element˚ u zvolme φab podle lemmatu a oznaˇcme Φ mnoˇzinu takto zvolen´ ych zobrazen´ı. Vezmˇeme (N, <)Φ a definujme ι : (X, <) → (N, <)Φ poˇzadavkem pφ ι = φ (podle 6.3.2 je t´ım ι jednoznaˇcnˇe definováno; nenechte se vylekat t´ım, ˇze φ vystupuje jako index i jako homomorfismus, proti tomu nic nemluv´ı). Potom je ι vloˇzen´ı podobjektu: relaci < samozˇrejmˇe zachovává a nen´ı-li x = y ani x < y ani y < x 37

nemohou b´ yt ι(x) a ι(y) srovnatelná, protoˇze pφxy ι(x) = φxy (x) < pφxy ι(y) zat´ımco pφyx ι(x > pφyx ι(y), a projekce by relaci zachovala. Pozn´ amky. 1. Vˇsimnˇete si podstatného faktu, ˇze je-li zde x representováno posloupnost´ı ˇc´ısel (x1 , . . . , xk ), a vˇetˇs´ı y pomoc´ı (y1 , . . . , yn ), je xi < yi pro vˇsechna i. To sehraje roli v dalˇs´ım bodˇe. ˇ aˇr má pravdˇepodobnˇe dojem, ˇze jsme si opˇet moc nepomohli. 2. Cten´ Poˇcet nesrovnateln´ ych dvojic (a tedy exponent z d˚ ukazu) je stále jeˇstˇe dost velk´ y. Jenomˇze zat´ım co v representaci pomoc´ı 2M je velikost exponentu nutná, zde ˇslo jen o technick´ y postup a ve skuteˇcnosti staˇc´ı ˇcasto exponent velmi mal´ y. 5.4. Lemma 5.3.1 umoˇzn ˇuje téˇz následuj´ıc´ı representaci obecného uspoˇra´dán´ı pomoc´ı lineárn´ıch (jedná se ale v podstatˇe o totéˇz jako v pˇredchoz´ı vˇetˇe) Tvrzen´ı. Kaˇzdé koneˇcné uspoˇrádán´ı je pr˚ unik lineárn´ıch uspoˇrádán´ı. D˚ ukaz. Pro φ ∈ Φ v d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety definujme lineárn´ı uspoˇra´dán´ı ˇ ≤φ takto: prvky z kaˇzdé φ−1 [{i}] seˇradme libovolnˇe a je-li φ(x) < φ(y) poloˇzme x <φ y. Potom je \ ≤= ≤φ . φ∈Φ

Skuteˇcnˇe, je-li x < y, je φ(x) < φ(y), a tedy x <φ y, pro kaˇzdé φ. Jsou-li x a y nesrovnatelné, máme x <φxy y a y <φyx x, takˇze (x, y) v pr˚ uniku nen´ı. D´ıváme-li se na lineárn´ı uspoˇrádán´ı jako na uspoˇrádán´ı v jistém smyslu jednoduchá, vyjadˇruje nejmenˇs´ı potˇrebn´ y poˇcet lineárn´ıch uspoˇra´dán´ı v representaci z tohoto tvrzen´ı jakousi m´ıru sloˇzitosti daného uspoˇrádán´ı ≤. Naz´ yvá se Dushnik-Millerova dimense uspoˇrádán´ı ≤. Jako cviˇcen´ı dokaˇzte, ˇze minimáln´ı exponent z 5.3 je totéˇz ˇc´ıslo.

6. Adjunkce (Galoisova konexe) 6.1. Isotonn´ı zobrazen´ı f : X → Y , g : Y → X jsou adjungována (Galoisovsky adjungována, jsou v Galoisovˇe konexi), f nalevo a g napravo (f je

38

levý adjunkt zobrazen´ı g, g je pravý adjunkt zobrazen´ı f ) jestliˇze plat´ı ∀x ∈ X, y ∈ Y, f (x) ≤ y ⇔ x ≤ g(y). 6.2. Prav´ y (resp. lev´ y) Galois˚ uv adjunkt nemus´ı k danému zobrazen´ı existovat (brzy se k tomu dozv´ıme nutnou, a do jisté m´ıry i postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku). Existuje-li vˇsak, je urˇcen jednoznaˇcnˇe. (Je-li fi (x) ≤ y ⇔ x ≤ g(y), i = 1, 2, je f1 (x) ≤ y ⇔ f2 (x) ≤ y.) 6.3. Pˇ r´ıklady. (a) Vzájemnˇe inversn´ı isomorfismy jsou adjungovány, a to zprava i zleva. (b) “Témˇeˇr inversn´ı celoˇc´ıselné funkce”: Nechˇt se zobrazen´ı f : N → N (kde N je zde mnoˇzina kladn´ ych cel´ ych ˇc´ısel) dá rozˇs´ıˇrit na reálnou rostouc´ı e funkci f na intervalu h1, +∞) která má inversn´ı funkci φ. Potom, oznaˇc´ıme-li bxc resp. dxe doln´ı resp. horn´ı celou ˇcást reálného ˇc´ısla x, je dφ(−)e lev´ y adjunkt zobrazen´ı f, a bφ(−)c prav´ y adjunkt zobrazen´ı f (coˇz okamˇzitˇe vid´ıme z toho, ˇze dφ(m)e ≤ n právˇe kdyˇz φ(m) ≤ n, a bφ(m)c ≥ n právˇe kdyˇz φ(m) ≥ n). Tak napˇr´ıklad jsou dlog2 e a blog2 c lev´ y a prav´ y adjunkt k mocnˇen´ı 2n . ˇ X, Y libovolné mnoˇziny a f : X → Y zobrazen´ı mezi nimi. (c) Budte Máme f [A] ⊆ B právˇe kdyˇz A ⊆ f −1 [B]. Tedy jsou zobrazen´ı f [−] : P(X) → P(Y ), f −1 [−] : P(Y ) → P(X) adjungovány, f [−] nalevo a f −1 [−] napravo. (d) f −1 [−] mé téˇz prav´ y adjunkt: je totiˇz f −1 [B] ⊆ A právˇe kdyˇz B ⊆ Y \ f [X \ A]. Zobrazen´ı f [−] ale lev´ y adjunkt nemá. ˇ M mnoˇzina (“abeceda”), M + pologrupa slov v M a X = P(M + ). (e) Bud Oznaˇc´ıme-li pro A, B, C ∈ X A · B = {ab |a ∈ A, b ∈ B}, C/B = {w |∀b ∈ B, wb ∈ C}, A\C = {w |∀a ∈ A, aw ∈ C}, 39

plat´ı A·B ⊆C

právˇe kdyˇz A ⊆ C/B

právˇe kdyˇz B ⊆ A\C.

Zobrazen´ı (A 7→ A · B) : X → X resp. (B 7→ A · B) : X → X jsou tedy levé adjunkty k C 7→ C/B resp. C 7→ A\C. 6.4. V´ yhodn´ y popis adjunkc´ı dostáváme z následuj´ıc´ıho tvrzen´ı. Vˇ eta. Isotonn´ı zobrazen´ı f : X → Y a g : Y → X jsou adjungována (f nalevo, g napravo) právˇe kdyˇz plat´ı f (g(y)) ≤ y

a

x ≤ g(f (x)0 (symbolicky

f g ≤ id a gf ≥ id).

D˚ ukaz. Jsou-li f, g v adjunkci, plynou nové nerovnosti z toho, ˇze g(y) ≤ g(y) a f (x) ≤ f (x). Nechˇt naopak nové nerovnosti plat´ı; je-li f (x) ≤ y máme x ≤ g(f (x)) ≤ g(y), je-li x ≤ g(y) je f (x) ≤ f (g(y)) ≤ y. 6.5. D˚ usledek. Jsou-li isotonn´ı zobrazen´ı f, g adjungována, plat´ı f gf = f

a

gf g = g.

(Jelikoˇz gf (x) ≥ x je f (gf (x)) ≥ f (x); na druhé stranˇe je f g(f (x)) ≤ f (x). ) 6.6. Vˇ eta. Levé Galoisovy adjunkty zachovávaj´ı suprema, a pravé zachovávaj´ı infima. D˚ ukaz provedeme pro suprema. Nechˇt s = sup M existuje. Potom je (viz 2.5) pˇredevˇs´ım f (s) horn´ı mez´ı mnoˇziny f [M ]. Je-li x horn´ı mez mnoˇziny f [M ] máme, pro vˇsechna m ∈ M , f (m) ≤ x a tedy m ≤ g(x). Je tedy g(x) horn´ı mez mnoˇziny M , odtud s ≤ g(x) a koneˇcnˇe f (s) ≤ x. 6.7. Vˇetu 6.6 nelze beze vˇseho obrátit. Nen´ı divu, kdyby uspoˇrádané mnoˇziny X, Y mˇely suprema ˇci infima jen pro málo podmnoˇzin, byla by podm´ınka jejich zachován´ı slabá. Plat´ı vˇsak Vˇ eta. Jsou-li X, Y u ´plné svazy, je isotonn´ı zobrazen´ı f : X → Y levý (resp. pravý) adjunkt právˇe kdyˇz zachovává vˇsechna suprema (resp. infima). D˚ ukaz. Nechˇt f zachovává suprema. Definujme zobrazen´ı g : Y → X pˇredpisem g(y) = sup{x |f (x) ≤ y}. 40

Triviálnˇe f (x) ≤ y implikuje x ≤ g(y). Ale téˇz naopak, je-li x ≤ g(y) = sup{z |f (z) ≤ y}, dostáváme f (x) ≤ sup{f (z) |f (z) ≤ y} ≤ y.

6.8. Pozn´ amka. P˚ uvodn´ı Galoisova konexe, tak jak se objevila v Galoisovˇe teorii ˇreˇsitelnosti algebraick´ ych rovnic, byla konexe mezi antitonn´ımi zobrazen´ımi, f (x) ≤ y právˇe kdyˇz g(y) ≤ x. S touto variantou v literatuˇre dosud ˇcasto setkáváme. Kromˇe p˚ uvodnosti pro ni ale mnoho nemluv´ı: isotonn´ı definice je pr˚ uhlednˇejˇs´ı, a antitonn´ı varianta s z n´ı snadno naformuluje (isotonn´ı varianta naformulovaná pˇres antitonn´ı mi naopak pˇripadá dost kˇreˇcovitá).

7. Dvˇ e vˇ ety o pevn´ ych bodech 7.1. Vˇ eta. (Bourbakiho vˇeta o pevném bodˇe.) Nechˇt v (X, ≤) existuje nejmenˇs´ı prvek a nechˇt tam má kaˇzdý ˇretˇezec x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ · · · supremum. Nechˇt f : X → X zachovává suprema takovýchto ˇretˇezc˚ u. Potom f má pevný bod (t.j., existuje y ∈ X takové, ˇze f (y) = y), a mezi pevnými body existuje nejmenˇs´ı. D˚ ukaz. Poloˇzme x0 = ⊥ a definujme xn pˇredpisem xn+1 = f (xn ). Jelikoˇz x0 = ⊥ ≤ x1 dostáváme indukc´ı xn+1 = f (xn ) ≤ f (xn+1 ) = xn+2 a tedy plat´ı x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn ≤ · · · . Oznaˇcme y = sup xn . Potom f (y) = sup f (xn ) = sup xn+1 = y a y je pevn´ y bod. ˇ Bud téˇz f (z) = z. Máme ⊥ ≤ z a tedy indukc´ı xn+1 = f (xn ) ≤ f (z) = z, takˇze z je horn´ı mez ˇretˇezce x0 , x1 , x2 , . . . , a tedy y ≤ z. 7.2. Tˇrebaˇze je to vˇeta velmi jednoduchá, má d˚ uleˇzité d˚ usledky. Jedn´ım z nich je známá Prvn´ı Kleeneova vˇeta o rekursi. Uvaˇzujme mnoˇzinu X = {f |f : A * B} parciáln´ıch zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny B uspoˇra´danou relac´ı rozˇs´ıˇren´ı, t.j., f vg

právˇe kdyˇz definiˇcn´ı obor D(f ) funkce f je obsaˇzen v definiˇcn´ım oboru D(g) funkce g a na D(f ) je f (x) = g(x). 41

Spojitý funkcionál f : X → X je isotonn´ı zobrazen´ı takové,ˇze je-li F (f )(a) = b, existuje koneˇcná g v f taková, ˇze F (g)(a) = b. (Napˇr´ıklad: A = B je mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel a F je rekursn´ı pravidlo.) Plat´ı Vˇ eta. (Kleene) Pro kaˇzdý spojitý funkcionál F existuje nejmenˇs´ı f takové, ˇze F (f ) = f . D˚ ukaz. Potˇrebujeme dokázat, ˇze F zachovává suprema ˇretˇezc˚ u. Pro ˇretˇeS zec f1 v f2 v · · · v fn v · · · je zˇrejmˇe supremem zobrazen´ı f definované na D(fn ) pˇredpisem f (x) = fn (x) na D(fn ). Triviálnˇe plat´ı, ˇze sup F (fn ) v F (f ). Na druhé stranˇe, je-li F (f )(a) = b, je f (g)(a) = b pro nˇejaké koneˇcné g v f . Z koneˇcnosti vid´ıme, ˇze g v fk pro dostateˇcnˇe velké k; tedy F (fk )(a) = b. Tedy je i (sup F (fn ))(a) = b. 7.3. Vˇ eta. (Tarského-Knasterova vˇeta o pevném bodˇe) Kaˇzdé isotonn´ı zobrazen´ı u ´plného svazu do sebe má pevný bod. ˇLu D˚ ukaz. Bud ´pln´ y svaz a f : L → L isotonn´ı. Poloˇzme M = {x |x ≤ f (x)} a s = sup M . Pro x ∈ M je x ≤ s a tedy x ≤ f (x) ≤ f (s) takˇze f (s) je horn´ı mez mnoˇziny M a máme s ≤ f (s), a z isotonie f (s) ≤ f (f (s)), takˇze f (s) ∈ M . Proto téˇz f (s) ≤ s, a koneˇcnˇe tedy f (s) = s.

Pozn´ amka. Dokázali jsme vlastnˇe, ˇze existuje nejvˇetˇs´ı pevn´ y bod zobrazen´ı f . Obdobnou u ´vahou o inf{x |x ≥ f (x)} dostaneme existenci nejmenˇs´ıho pevného bodu. 7.4. D˚ ukaz této vˇety o pevném bodˇe byl opˇet velmi jednoduch´ y. Vˇeta vˇsak má mnoho velmi d˚ uleˇzit´ ych a netriviáln´ıch d˚ usledk˚ u. Dva z nich pˇredvedeme. ˇ f :X →Y a g :Y →X 7.4.1. Cantor-Bernsteinova vˇ eta. Budte prostá zobrazen´ı. Potom existuje vzájemnˇe jednoznaˇcné zobrazen´ı h mnoˇziny X na mnoˇzinu Y . Toto zobrazen´ı je moˇzno nalézt takové, ˇze v kaˇzdém bodˇe je h(x) definováno budˇ ve shodˇe s f , nebo inversnˇe s g. 42

D˚ ukaz. Definujme F : P(X) → P(X) pˇredpisem F (M ) = X \g[Y \f [M ]] a vezmˇeme A nˇekter´ y jeho pevn´ y bod. Máme tedy A = X \ g[Y \ f [A]], Poloˇzme

( h(x) =

to jest X \ A = g[Y \ f [A]].

(∗)

f (x) pro x ∈ A g −1 (x) pro x ∈ /A

(podle (∗) má takové g −1 (x) pro x ∈ / A smysl, samozˇrejmˇe jednoznaˇcn´ y). Jelikoˇz g je prosté, máme podle (∗), g −1 [X \A] = g −1 g[Y \f [A]] = Y \f [A] takˇze pro x ∈ A a y ∈ X \ A je h(x) 6= h(y); pro x 6= y a x, y ∈ A nebo x, y ∈ / A je h(x) 6= h(y) triviálnˇe. Tedy je h prosté. ˇ y ∈ f [A] a pak je h-obrazem prvku z A, nebo je Pro y ∈ Y je bud y ∈ Y \ f [A] a potom je y = h(g(y)). Zobrazen´ı h je tedy na. 7.4.2. Stabilita her dvou osob s u ´ plnou informac´ı. Hru dvou osob s u ´plnou informac´ı m˚ uˇzeme popsat takto: je dána mnoˇzina X (mnoˇzina moˇzn´ ych stav˚ u hry), relace A ⊆ X × X (pravidla pro prvn´ıho hráˇce), relace B ⊆ X × X (pravidla pro druhého hráˇce), a prvek x0 ∈ X (poˇca´teˇcn´ı stav). Partie v takové hˇre je posloupnost x0 Ax1 Bx2 Ax3 · · ·

(koneˇcná nebo nekoneˇcná) .

Hráˇc prohrává je-li na tahu, ale pravidla uˇz mu hrát nedovol´ı, v té situaci pak jeho protihráˇc vyhrává. Nekoneˇcnou partii vyhodnocujeme jako remisu. Strategie pro prvn´ıho resp. druhého hráˇce je podmnoˇzina S ⊆ A resp. S ⊆ B. Strategie je vytrvalá, umoˇzn ˇuje-li z˚ ustat ve hˇre pokud uˇz se do n´ı hráˇc dostal, t.j., dejme tomu pro prvn´ıho hráˇce, kdykoli xSy a yBz existuje u takové, ˇze zSu. Vytrvalá strategie S jeˇstˇe nezaruˇcuje, ˇze hráˇc neprohraje; k tomu se mus´ı jeˇstˇe dostat do stavu v nˇemˇz S m˚ uˇze pouˇz´ıt. Tedy, neprohrávaj´ıc´ı strategie prvn´ıho hráˇce je taková vytrvalá strategie S pro kterou x0 S 6= ∅, a pro druhého hráˇce mus´ı b´ yt taková, ˇze yS 6= ∅ pro kaˇzdé y takové, ˇze x0 Ay. Variantu následuj´ıc´ı vˇety dokázal Kalmár v roce 1928. Vˇ eta. Aspoˇ n jeden z hráˇc˚ u má neprohrávaj´ıc´ı strategii. Následkem toho, nedovoluje-li hra nekoneˇcné partie, jeden z hráˇc˚ u má vyhrávaj´ıc´ı strategii. 43

D˚ ukaz. Pro P ⊆ X × X poloˇzme r(P ) = {(x, y) |yP = ∅} a pro pevná A, B ⊆ X × X definujme zobrazen´ı φAB : P(X × X) → P(X × X), zˇrejmˇe isotonn´ı, pˇredpisem φAB (P ) = A ∩ r(B ∩ r(P )). Vezmˇeme A, B relace z definice hry, zvolme SII nˇejak´ y pevn´ y bod zobrazen´ı φBA (takˇze SII = B ∩ r(A ∩ r(SII )) ) a poloˇzme SI = A ∩ r(SII ). Potom je SI pevn´ y bod φAB (máme φAB (SI ) = A ∩ r(B ∩ r(A ∩ r(SII ))) = A ∩ r(SII ) = SI ). Fakt. SI resp. SII je vytrvalá strategie prvn´ıho resp. druhého hráˇce. ˇ xSII y a yAz. Kdyby zSII = ∅, bylo by (y, z) ∈ (Tˇreba pro SII : Bud A ∩ r(SII ). Jenomˇze (x, y) ∈ SII ⊆ r(A ∩ r(SII )) a tedy by mnoˇzina y(A ∩ r(SII )) mˇela b´ yt prázdná. ) Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze druh´ y hráˇc prohraje. Tedy se nemohl dostat k tahu ve strategii SII coˇz znamená, ˇze prvn´ı hráˇc mohl zvolit prvn´ı tah x0 Ax1 tak, ˇze xSII = ∅. Tedy (x0 , x1 ) ∈ A ∩ r(SII ) = SI a SI je neprohrávaj´ıc´ı strategie prvn´ıho hráˇce.

8. Relace “hluboko pod” V tomto odd´ıle se jen krátce zm´ın´ıme o jisté relaci odvozené z ˇcásteˇcného uspoˇra´dán´ı, která sehrála v´ yznamnou roli v nˇekter´ ych parti´ıch teoretické informatiky. ˇ 8.1. Rekneme, ˇze x je hluboko pod y v uspoˇrádané mnoˇzinˇe (X, ≤), a p´ıˇseme x y, jestliˇze pro kaˇzdou usmˇernˇenou podmnoˇzinu D ⊆ X (viz 3.4) plat´ı implikace y ≤ sup D

⇒

∃d ∈ D, x ≤ d.

Pˇ r´ıklady. (a) V lineárnˇe uspoˇra´dan´ ych mnoˇzinách je x y právˇe kdyˇz x < y (viz (2’) v 2.1.1). To je nezaj´ımav´ y pˇr´ıpad a v aplikac´ıch roli nehraje.

44

(b) Ve svazu (P(X) ⊆) je A B právˇe kdyˇz A je koneˇcná (s t´ım souvis´ı v´ yraz “A ⊂⊂ B” nˇekdy v litreatuˇre uˇz´ıvan´ y pro “A je koneˇcná podmnoˇzina B”). (c) Abychom mohli uvést skuteˇcnˇe podstatn´ y pˇr´ıklad, trochu pˇredbˇehneme. M˚ uˇzeme snad ale pˇredpokládat, ˇze se ˇctenáˇr uˇz dˇr´ıve nˇeco dozvˇedˇel o metrick´ ych prostorech a ˇze v´ı, ˇze z kaˇzd´ıho pokryt´ı kompaktn´ıho prostoru otevˇren´ ymi mnoˇzinami lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı. Vezmˇeme svaz otevˇren´ ych mnoˇzin nˇejakého metrického prostoru (uspoˇ ˇra´dan´ y inklus´ı). Budte U, V otevˇrené mnoˇziny takové, ˇzS e existuje kompaktn´ı K takové, ˇze U ⊆ K ⊆ V . Potom je U V : je-li V ≤ D kde D je systém otevˇren´ ych mnoˇzin, existuj´ı V1 , . . . , Vn ∈ D takové, ˇze K ⊆ V1 ∪· · ·∪Vn . Je-li D usmˇernˇen´ y, existuje W ∈ D taková, ˇze pro vˇsechna i je Vi ⊆ W , takˇze U ⊆ K ⊆ W. Zˇrejmˇe plat´ı 8.1.1. Pozorov´ an´ı. 1. Je-li x y, je x ≤ y. 0 2. Je-li x ≤ x y 0 ≤ y, je x y. ˇ 8.2. Rekneme, ˇze uspoˇra´daná mnoˇzina je spojitá, je-li _ ∀x, x = {y |y x}, a jsou-li vˇsechny mnoˇziny {y |y x} usmˇernˇené. (Pˇripomeˇ nte si pˇr´ıklad (c) v 8.1. Jednalo-li se o lokálnˇe kompaktn´ı prostor, byl svaz otevˇren´ ych mnoˇzin spojit´ y.) 8.3. Tvrzen´ı. Ve spojité uspoˇrádané mnoˇzinˇe je relace interpolativn´ı. Nav´ıc plat´ı, ˇze je-li a1 , a2 b, existuje prvek c takový, ˇze (simultánnˇe) a1 , a2 c b. ˇ a b. Máme b = W{x |x b}, a kaˇzd´ D˚ ukaz. Bud y prvek x b m˚ uˇzeme vyjádˇrit podobnˇe, takˇze je _ b = {x |∃y, x y b}, (∗) coˇz je opˇet usmˇernˇená mnoˇzina (je-li xi yi b je pro vhodné y b, y1 , y2 ≤ y a tedy x1 , x2 y ; z usmˇernˇenosti mnoˇziny {x |x y} pak dostaneme x takové, ˇze xi x y b). Jestliˇze jsou ai b, existuj´ı xi a yi takové, ˇze ai ≤ xi yi b. Opˇet zvolme c b tak, aby yi ≤ c a dostaneme ai c b. 45

ˇ aˇr si jistˇe vˇsiml, ˇze jednu u Cten´ ´vahu jsme jakoby dˇelali dvakrát. Poprvé jsme se potˇrebovali ujistit, ˇze mnoˇzina v (∗) je v˚ ubec usmˇernˇená, abychom mohli pouˇz´ıt definici relace : ta totiˇz o obecn´ ych supremech neˇr´ıká nic. 8.3.1. D˚ usledek. Je-li ve spojité uspˇrádané mnoˇzinˇe (X, ≤) pro nˇejaké prvky a b, je-li D ⊆ X usmˇernˇená, a je-li b ≤ sup D, existuje d ∈ D takové, ˇze a d. 8.4. V aplikac´ıch ˇcasto m´ısto spojit´ ych uspoˇra´dan´ ych mnoˇzin vystupuj´ı uspoˇra´dané mnoˇziny s náasleduj´ıc´ı o trochu silnˇejˇs´ı vlastnost´ı. Prvek a ∈ (X, ≤) nazveme kompaktn´ım je-li a a. Uspoˇra´daná mnoˇzina je algebraická, je-li jej´ı kaˇzd´ y prvek usmˇernˇen´ ym supremem kompaktn´ıch W y ≤ x. JinakWˇreˇceno, v definici 8.2 je v´ yraz x = {y |y x} nahrazen v´ yrazem x = {y |y y ≤ x}.

46

Kapitola III

Svazy jako algebry Na suprema a ∨ b ˇci infima a ∧ b v polosvazech a svazech se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na binárn´ı operace a v této kapitole budeme tomuto pohledu dávat pˇrednost. Co se t´ yˇce vnitˇrn´ı struktury polosvaz˚ u a svaz˚ u dostaneme ekvivalentn´ı popisy, které nav´ıc otev´ıraj´ı ˇradu d˚ uleˇzit´ ych otázek. Je ovˇsem tˇreba si uvˇedomit, ˇze pˇri algebraickém pohledu se mˇen´ı preference zobrazen´ı: u uspoˇra´dan´ ych mnoˇzin bylo pˇrirozené dávat pˇrednost isotonn´ım zobrazen´ım, u algeber nás v´ıc zaj´ımaj´ı homomorfismy, t.j. zobrazen´ı, která respektuj´ı operace (napˇr., splˇ nuj´ı rovnice f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b) a pod.). Homomorfism˚ u je samozˇrejmˇe ménˇe.

1. a ∧ b a a ∨ b jako bin´ arn´ı operace 1.1. Z II.2.2 okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze plat´ı a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c, a ∧ b = b ∧ a, a ∧ a = a.

(∧-eq)

Má-li polosvaz nejvˇetˇs´ı prvek 1, plat´ı dále 1 ∧ a = a.

(1-eq)

1.2. Rovnice (∧-eq) popisuj´ı strukturu polosvazu. Plat´ı totiˇz Vˇ eta. Nechˇt je na mnoˇzinˇe X dána binárn´ı operace ∧ splˇ nuj´ıc´ı rovnice (∧-eq). Potom existuje právˇe jedno uspoˇrádán´ı v nˇemˇz je a ∧ b = inf{a, b}. Takto uspoˇrádaná mnoˇzina X je polosvaz s jednotkou právˇe kdyˇz v nˇem existuje prvek 1 splˇ nuj´ıc´ı rovnici (1-eq). 47

D˚ ukaz. Takové uspoˇra´dán´ı je nejv´ yˇs jedno, protoˇze mus´ı b´ yt x ≤ y právˇe kdyˇz x = inf{x, y}. Definujme tedy x≤y

≡df

x ∧ y = x.

Tato relace je uspoˇra´dán´ı: x ≤ x protoˇze x ∧ x = x; je-li x ≤ y ≤ z máme x ∧ y = x a y ∧ z = y a tedy x ∧ z = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) = x ∧ y = x a tedy x ≤ z; koneˇcnˇe je-li x ≤ y ≤ x je x = x ∧ y = y ∧ x = y. V tomto uspoˇrádán´ı je x ∧ y = inf{x, y}: pˇredevˇs´ım je to doln´ı mez mnoˇziny {x, y}, protoˇze (x ∧ y) ∧ x=(x ∧ x) ∧ y = x ∧ y a jeˇstˇe bezprostˇrednˇeji (x ∧ y) ∧ y = x ∧ y; je z doln´ıch mez´ı nejvˇetˇs´ı, protoˇze je-li z ∧ x = z = z ∧ y máme z ∧ (x ∧ y) = (z ∧ x) ∧ y = z ∧ y = z a tedy z ≤ x ∧ y. Je-li 1 ∧ a = a je v naˇs´ı definici a ≤ 1. 1.3. Je-li X svaz, máme kromˇe operace ∧ dalˇs´ı operaci ∨ splˇ nuj´ıc´ı rovnice a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∨ b = b ∨ a, a∨a=a

(∨-eq)

a operace ∧ a ∨ jsou svázány rovnicemi a ∧ (a ∨ b) = a,

a ∨ (a ∧ b) = a.

(∧∨-eq)

Plat´ı Vˇ eta. Nechˇt jsou na mnoˇzinˇe X dány binárn´ı operace splˇ nuj´ıc´ı rovnice (∧-eq), (∨-eq) a (∧∨-eq). Potom na X existuje právˇe jedno uspoˇrádán´ı ≤ takové, ˇze a ∧ b = inf{a, b} a a ∨ b = sup{a, b}. X je svaz s nulou a jednotkou právˇe kdyˇz v nˇem existuj´ı prvky 0 a 1 splˇ nuj´ıc´ı 0 ∨ a = 1 ∧ a = a pro vˇsechna a. D˚ ukaz. Jako v zaˇca´tku pˇredchoz´ıho d˚ ukazu pˇredevˇs´ım vid´ıme, ˇze uspoˇra´dán´ı mus´ı b´ yt urˇceno poˇzadavkem x ≤ y právˇe kdyˇz x = inf{x, y}. Aplikac´ı téhoˇz na X op vid´ıme, ˇze ale téˇz mus´ı b´ yt x ≤ y právˇe kdyˇz y = sup{x, y}. Celá záleˇzitost se tedy redukuje na otázku, zda tyto poˇzadavky je moˇzno sladit (potom uˇz tvrzen´ı plyne z pˇredchoz´ı vˇety aplikované na X a X op ). Jde tedy o to, zda definice x ≤1 y x ≤2 y

právˇe kdyˇz x ∧ y = x, právˇe kdyˇz x ∨ y = y 48

dávaj´ı totéˇz uspoˇra´dán´ı. Máme-li vˇsak x ∧ y = x, je y = y ∨ (x ∧ y) = y ∨ x, a je-li y = y ∨ x je x = x ∧ (y ∨ x) = x ∧ y. 1.4. Budeme-li dále mluvit o podsvazech nebo podpolosvazech, máme na mysli podalgebry. To jest, nestaˇc´ı aby to byla podmnoˇzina v n´ıˇz je zachováno uspoˇra´dán´ı: mus´ı b´ yt nav´ıc také uzavˇrena na pˇr´ısluˇsná suprema a infima. Pozn´ amka. V II.5.1 jsme se setkali s t´ım, ˇze ne kaˇzdé zobrazen´ı na dovolovalo (injektivn´ı) vytvoˇren´ı (správného) kvocientu; zde ani kaˇzdé vloˇzen´ı (obecnˇeji, prosté zobrazen´ı) nedovol´ı projektivn´ı vytváˇren´ı (správného podobjektu). Tak je tomu u algeber bˇeˇznˇe. Na druhé stranˇe, souˇciny svaz˚ u, polosvaz˚ u, atd., jsou algebry stejného typu. I to je u algeber jev bˇeˇzn´ y, a dozv´ıme se o nˇem v´ıc v pˇr´ıˇst´ı kapitole.

2. Modul´ arn´ı a distributivn´ı svazy ˇ 2.1. Rekneme, ˇze svaz L je modulárn´ı, plat´ı-li v nˇem implikace a≤c

⇒

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c.

2.1.1. Pozn´ amka. Uvˇedomte si, ˇze implikace a≤c

⇒

a ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ c.

plat´ı vˇzdy. V modularitˇe jde tedy o opaˇcnou nerovnost. 2.2. Modulárn´ı svazy hraj´ı v´ yznamnou roli v algebˇre i jinde, pro nás zde ale tento pojem hraje roli sp´ıˇs pomocnou. Proto z mnoha zaj´ımav´ ych vlastnost´ı zde dokáˇzeme jen následuj´ıc´ı charakteristiku. Vˇ eta. Svaz L je modulárn´ı právˇe kdyˇz neobsahuje podsvaz isomorfn´ı se svazem C5 z obrázku 1. (Na obrázku jsou prvky uspoˇrádány zdola nahoru po vyznaˇcen´ ych cestách. Podobnˇe v dalˇs´ım.) D˚ ukaz. I. Nechˇt L obsahuje C5 . Potom (uˇz´ıváme znaˇcen´ı z obrázku) je x ∨ (a ∧ y) = x ∨ b = x < y = c ∧ y = (x ∨ a) ∧ y tˇrebaˇze x ≤ y. Tedy L nen´ı modulárn´ı. 49

ck Q

ak

Q Q yk

xk

@ @ @

bk

Obr. 1: C5 , konfigurace zakázaná v modulárn´ım svazu. II. Nechˇt L nen´ı modulárn´ı. Tedy existuj´ı u, v, w tak, ˇze u ≤ w a u ∨ (v ∧ w) < (u ∨ v) ∧ w. Potom v nem˚ uˇze b´ yt srovnatelné s u ∨ (v ∧ w) ani s (u ∨ v) ∧ w (kdyby bylo v ≤ (u ∨ v) ∧ w bylo by v ≤ w a u ∨ (v ∧ w) = (u ∨ v) ∧ w = u ∨ v; kdyby bylo v ≥ u ∨ (v ∧ w), bylo by v ≥ u a tedy u ∨ (v ∧ w) = (u ∨ v) ∧ w = v ∧ w). Máme v ∨ u ∨ (v ∧ w) = v ∨ u a jelikoˇz jeˇstˇe (u ∨ v) ∧ w ≤ v ∨ u, je téˇz v ∨ u ≥ v ∨ ((u ∨ v) ∧ w). Podobnˇe v ∧ (u ∨ (v ∧ w) = v ∧ (u ∨ v) ∧ w = v ∧ w. V L tedy dostaneme kopii C5 poloˇz´ıme-li a = v, b = v ∧ w, c = v ∨ w, x = u ∨ (v ∧ w) a y = (u ∨ v) ∧ w. 2.3. Svaz je distributivn´ı plat´ı li v nˇem rovnice a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

(distr)

To velmi pˇripom´ıná vztah mezi sˇc´ıtán´ım a násoben´ım jak ho znáte z aritmetiky. Analogie vˇsak nejde pˇr´ıliˇs daleko. Trochu pˇrekvapivˇe zde automaticky máme téˇz distributivitu v opaˇcném poˇrad´ı operac´ı. Plat´ı totiˇz 2.3.1. Vˇ eta. Svaz L je distributivn´ı právˇe kdyˇz v nˇem plat´ı rovnice a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

(distr’)

Jinými slovy, L je distributivn´ı právˇe kdyˇz Lop je distributivn´ı. D˚ ukaz. Plat´ı-li (distr), máme (a∨b)∧(a∨c) = ((a∧(a∨c))∨(b∧(a∨c))) = a ∨ (b ∧ a) ∨ (b ∧ c) = a ∨ (b ∧ c). Stejnˇe dostaneme opaˇcnou implikaci. 2.4. Jelikoˇz pˇri a ≤ c je a ∨ c = c vid´ıme okamˇzitˇe, ˇze kaˇzdý distributivn´ı svaz je modulárn´ı. 2.5. Lemma. Modulárn´ı svaz je distributivn´ı právˇe kdyˇz v nˇem plat´ı rovnost (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c). 50

Pozn´ amka. Nerovnost (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c). zˇrejmˇe plat´ı vˇzdy, jde tedy jen o opaˇcnou nerovnost. D˚ ukaz. I. Je-li svaz distributivn´ı, je (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c) = (a ∨ (b ∧ (a ∨ c))) ∧ (b ∨ c) = (a ∧ (b ∨ c)) ∨ (b ∧ (a ∨ c)) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ a) ∨ (b ∧ c). II. Nechˇt rovnice plat´ı. Potom máme (a ∨ b) ∧ c = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ∧ c = ((a ∧ b) ∨ ((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) ∧ c. Je-li svaz nav´ıc modulárn´ı máme dále, protoˇze (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≤ c, · · · = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c) = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c).

2.6. Vˇ eta. Svaz L je distributivn´ı právˇe kdyˇz neobsahuje podsvaz isomorfn´ı se svazem C5 z obrázku 1 ani podsvaz isomorfn´ı se svazem D3 z obrázku 2. ck @ @ @ yk xk

ak @ @ @

bk

Obr. 2: D3 , dalˇs´ı konfigurace zakázaná v distributivn´ım svazu. D˚ ukaz. I. Obsahuje-li L konfiguraci C5 nen´ı ani modulárn´ı. Obsahuje-li D3 je distributivita poruˇsena nerovnost´ı (a ∧ x) ∨ (a ∧ y) = b 6= a = a ∧ c = a ∧ (x ∨ y). ˇ II. Nechˇt svaz nen´ı distributivn´ı. Nen´ı-li modulárn´ı, obsahuje C5 . Bud tedy L modulárn´ı. Podle 2.5 existuj´ı a, b, c ∈ L takové, ˇze d = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) < h = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c). Poloˇzme

u = (a ∨ (b ∧ c)) ∧ (b ∨ c), v = (b ∨ (a ∧ c)) ∧ (a ∨ c), w = (c ∨ (a ∧ b)) ∧ (a ∨ b). 51

Dokáˇzeme, ˇze u ∧ v = u ∧ w = v ∧ w = d a u ∨ v = u ∨ w = v ∨ w = h.

(∗)

K tomu staˇc´ı dokázat jen to, ˇze u ∧ v = d (zbytek dostaneme permutac´ı prvk˚ u a, b, c a zámˇenou ∧ a ∨ kterou m˚ uˇzeme udˇelat proto, ˇze z definice prvk˚ u u, v, w dostaneme pomoc´ı modularity u = (a ∧ (b ∨ c)) ∨ (b ∧ c), v = (b ∧ (a ∨ c)) ∨ (a ∧ c), w = (c ∧ (a ∨ b)) ∨ (a ∧ b). ) Skuteˇcnˇe máme (uˇz´ıváme opˇet modularity) u ∧ v = (a ∨ (b ∧ c)) ∧ (b ∨ c) ∧ (b ∨ (a ∧ c)) ∧ (a ∨ c) = = (a ∨ (b ∧ c)) ∧ (b ∨ (a ∧ c)) = (a ∧ (b ∨ (a ∧ c))) ∨ (b ∧ c) = = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c). Podle (∗), jelikoˇz d 6= h, máme nyn´ı D3 representováno nesrovnateln´ ymi prvky u, v, w, spoleˇcn´ ym infimem dvojic d a spoleˇcn´ ym supremem dvojic h. 2.7. Vˇ eta. Svaz L je distributivn´ı právˇe kdyˇz kaˇzdá soustava rovnic tvaru a∧x=b a∨x=c má nejvýˇs jedno ˇreˇsen´ı. D˚ ukaz. I. Nechˇt je L distributivn´ı a nechˇt a ∧ x = b, a ∨ x = c, a ∧ y = b a a ∨ y = c. Potom x = x ∧ (a ∨ x) = x ∧ (a ∨ y) = (x ∧ a) ∨ (x ∧ y) = (y ∧ a) ∨ (x ∧ y) = y ∧ (a ∨ x) = y ∧ (a ∨ y) = y. II. Nechˇt L nen´ı distributivn´ı. Potom v kterékoli z konfigurac´ı C5 nebo D3 jsou x i y ˇreˇsen´ı naˇs´ı soustavy rovnic.

52

3. Ide´ aly a filtry v distributivn´ıch svazech 3.1. Analogicky s definic´ı, kterou asi znáte z teorie okruh˚ u (d´ıvejme se na chv´ıli na operaci ∨ jako na “sˇc´ıtán´ı” a na ∧ jako na “násoben´ı”) definujeme ideál v distributivn´ım svazu L s nulou a jednotkou jako podmnoˇzinu J ⊆ L takovou, ˇze 0 ∈ J, a, b ∈ J ⇒ a ∨ b ∈ J, b ≤ a & a ∈ J ⇒ b ∈ J.

(idl)

V analogii s definic´ı ideál˚ u v okruz´ıch ˇctenáˇr asi oˇcekával m´ısto tˇret´ıho poˇzadavku poˇzadavek b ∈ L & a ∈ J ⇒ a ∧ b ∈ J; formule v (idl) je s t´ım ale ekvivalentn´ı (b ≤ a jsou pˇresnˇe ty prvky, které se daj´ı napsat jako b0 ∧ a pro b0 ∈ L) a snadnˇeji se s n´ı pracuje. V´ıme jiˇz také, ˇze na rozd´ıl od okruh˚ u je situace mezi operacemi ∨ a ∧ symetrická. To ale nen´ı jedin´ y d˚ uvod pro zaveden´ı následuj´ıc´ıho pojmu; motivace je bohatˇs´ı, tˇreba okol´ı bod˚ u v topologii (viz jednu z dalˇs´ıch kapitol) se chovaj´ı takov´ ymto zp˚ usobem. Filtr v L je definován jako podmnoˇzina F ⊆ L taková, ˇze 1 ∈ F, a, b ∈ F ⇒ a ∧ b ∈ F, b ≥ a & a ∈ F ⇒ b ∈ F.

(fltr)

ˇ Rekneme, ˇze ideál resp. filtr je vlastn´ı, jestliˇze to nen´ı cel´ y svaz L, tedy ˇ v pˇr´ıpadˇe ideálu jestliˇze 1 ∈ / J, v pˇr´ıpadˇe filtru jestliˇze 0 ∈ / F . Casto se automaticky pˇredpokládá, ˇze ideál resp. filtr vlastn´ı je. 3.2. Prvoideál resp. prvofiltr je vlastn´ı ideál J resp. filtr F takov´ y, ˇze kdykoli a ∧ b ∈ J, máme a ∈ J nebo b ∈ J resp. kdykoli a ∨ b ∈ F, máme a ∈ F nebo b ∈ F (srovnejte s odpov´ıdaj´ıc´ı definic´ı v okruz´ıch). 53

Maximáln´ı ideál resp. filtr je vlastn´ı ideál resp. filtr, kter´ y nen´ı obsaˇzen v ˇ ˇza´dném vˇetˇs´ım ideálu resp. filtru. Casto potˇrebujeme maximalitu vzhledem k nˇejaké speciálnˇejˇs´ı podm´ınce – viz tˇreba Birkhoffova vˇeta dále. 3.3. Prvofiltry na L jsou v pˇrirozeném vzájemnˇe jednoznaˇcném vztahu s homomorfismy (zachovávaj´ıc´ımi 0 a 1) h : L → 2, kde 2 je dvouprvkov´ y svaz {0 < 1}. ˇ Skuteˇcnˇe: k prvofiltru F ⊆ L pˇriˇradme zobrazen´ı ( hF : L → 2 definované pˇredpisem hF (x) =

0 jestliˇze x ∈ / F, 1 jestliˇze x ∈ F.

Potom máme hF (a ∧ b) = 1 právˇe kdyˇz a ∧ b ∈ F právˇe kdyˇz a ∈ F a b ∈ F právˇe kdyˇz hF (a) ∧ hF (b) = 1, a hF (a ∨ b) = 1 právˇe kdyˇz a ∨ b ∈ F právˇe kdyˇz a ∈ F nebo b ∈ F právˇe kdyˇz hF (a) ∨ hF (b) = 1; hF (0) = 0 protoˇze F je vlastn´ı filtr, a hF (1) = 1 protoˇze 1 ∈ F . Na druhé stranˇe k homomorfismu h : L → 2 definujme Fh ⊆ L pˇredpisem a ∈ Fh

právˇe kdyˇz

h(a) = 1.

Potom 0 ∈ / Fh 3 1 a kdykoli a, b ∈ Fh je h(a ∧ b) = h(a) ∧ h(b) = 1 a tedy a ∧ b ∈ Fh ; je-li a ∨ b ∈ Fh , t.j., h(a ∨ b) = h(a) ∨ h(b) = 1, nem˚ uˇze b´ yt h(a) = h(b) = 0. Koneˇcnˇe máme a ∈ FhF právˇe kdyˇz hF (a) = 1 právˇe kdyˇz a ∈ F , a hFh (a) = 1 právˇe kdyˇz a ∈ Fh právˇe kdyˇz h(a) = 1. Prvofiltry a pˇr´ısluˇsné homomorfismy do svazu 2 jsou v konstrukc´ıch ˇcasto vzájemnˇe nahrazovány, podle toho, co je právˇe technicky v´ yhodnˇejˇs´ı. 3.4. Lemma. Nechˇt J je ideál a F filtr v L a nechˇt plat´ı J ∩ F = ∅. Potom existuje filtr F ⊇ F maximáln´ı vzhledem k podm´ınce F ∩ J = ∅, a tento F je prvofiltr. ˇ F nˇejaká soustava filtr˚ D˚ ukaz. Bud u obsahuj´ıc´ıch F a disjunktn´ıch s J, ˇ F1 ⊆ F2 nebo F2 ⊆ F1 . Potom taková, ˇze S pro kterékoli dva F1 , F2 ∈ F je bud je zˇrejmˇe F filtr, stále jeˇstˇe disjunktn´ı s J. Podle Zornova lemmatu (ve variantˇe principu maximality, viz I.4.6) tedy maximáln´ı filtr F z prvn´ı ˇca´sti tvrzen´ı existuje. Jde o to, dokázat, ˇze je to prvofiltr. 54

ˇa∈ Bud / F, b ∈ / F a a ∨ b ∈ F . Definujme G = {x |x ∨ b ∈ F }. Jsou-li x, y ∈ G máme (x ∧ y) ∨ b = (x ∨ b) ∧ (y ∨ b) ∈ F a tedy x ∧ y ∈ G, je-li z ≥ x je z ∨ b ≥ x ∨ b ∈ F a tedy z ∈ G. Tedy je G filtr a jelikoˇz zˇrejmˇe G ⊇ F a G 3 a ∈ / F , je to filtr ostˇre vˇetˇs´ı neˇz F a tedy jiˇz nem˚ uˇze b´ yt disjunktn´ı s J. Zvolme c1 ∈ G ∩ J (tedy speciálnˇe c1 ∨ b ∈ F ) a definujme H = {x |x ∨ c1 ∈ F }. Stejnˇe jako nahoˇre, H je filtr a je ostˇre vˇetˇs´ı neˇz F , obsahuje totiˇz b. Mus´ı tedy jiˇz obsahovat nˇejak´ y c2 ∈ J. To je ale spor, mˇeli bychom c1 ∨ c2 ∈ J ∩ F . 3.5. Vˇ eta. (Birkhoffova vˇeta) Nechˇt J je ideál a F filtr v L a nechˇt plat´ı J ∩ F = ∅. Potom existuj´ı prvofiltr F ⊇ F a prvoideál J ⊇ J takové, ˇze J ∩ F = ∅. D˚ ukaz. Z lemmatu vezmˇeme F a J a pouˇzijme podruhé toto lemma v duáln´ı podobˇe (t.j., zámˇenou ideál˚ u a filtr˚ u, a operac´ı ∨ a ∧) na tuto disjunktn´ı dvojici). 3.5.1. Pozn´ amky. 1. Existenci maximáln´ıch filtr˚ u z definice 3.2 (a prvofiltr˚ u) obsahuj´ıc´ıch dan´ y (vlastn´ı) filtr dostaneme samozˇrejmˇe uˇzit´ım ideálu ↓0, podobnˇe pro ideály. 2. ˇcasto se uˇz´ıvá následuj´ıc´ı d˚ usledek vˇety 3.5: ˇ Necht (v distributivn´ım svazu s nulou a jednotkou) a b. Potom existuje prvofiltr F takový, ˇze b ∈ / F 3 a. 3. Pouˇzit´ı Zornova lemmatu (ekvivalentn´ıho s axiomem v´ ybˇeru) bylo podstatné. Bez v´ ybˇerového principu by vˇeta neplatila.

4. Pseudokomplementy a komplementy ˇ L svaz s nulou, a ∈ L. Nejvˇetˇs´ı element x takov´ 4.1. Bud y, ˇze x ∧ a = 0, pokud existuje (coˇz samozˇrejmˇe nemus´ı), naz´ yváme pseudokomplementem prvku a a obvykle oznaˇcujeme a∗ .

55

Pseudokomplement je tedy urˇcen (zˇrejmˇe jednoznaˇcnˇe) formul´ı x ≤ a∗

právˇe kdyˇz x ∧ a = 0.

(psc)

Pseudokomplementárn´ı svaz je svaz (s nulou) jehoˇz kaˇzd´ y element má pseudokomplement. Speciálnˇe máme v pseudokomplementárn´ım svazu a ≤ 0∗

právˇe kdyˇz a ∧ 0 = 0 t.j. vˇzdy.

Tedy pseokomplementárn´ı svaz má vˇzdy nulu i jednotku a plat´ı 0∗ = 1, a zˇrejmˇe téˇz 1∗ = 0. 4.2. Z formule (psc) okamˇzitˇe dostáváme Pozorov´ an´ı. Zobrazen´ı a 7→ a∗ pseudokomplementárn´ıho svazu do sebe je antitonn´ı. 4.3. Vˇ eta. 1. a ≤ a∗∗ . 2. a∗ = a∗∗∗ . 3. a ∧ b = 0 právˇe kdyˇz a∗∗ ∧ b = 0. 4. (a ∨ a∗ )∗ = 0. D˚ ukaz. 1. Protoˇze a ∧ a∗ = 0 máme a ≤ (a∗ )∗ . 2. Z 1 okamˇzitˇe a∗ ≤ (a∗ )∗∗ , z 1 a antitonie a∗ ≥ (a∗∗ )∗ . 3. Z 2: a ∧ b = 0 právˇe kdyˇz b ≤ a∗ právˇe kdyˇz b ≤ (a∗∗ )∗ pravˇe kdyˇz a∗∗ ∧ b = 0. 4. x ∧ (a ∨ a∗ ) = 0 právˇe kdyˇz x ∧ a = 0 a x ∧ a∗ = 0, t.j. x ≤ a∗ a x ≤ a∗∗ , tedy x ≤ a∗ ∧ a∗∗ = 0. 4.4. Vˇ eta. V psudokomplementárn´ım svazu plat´ı formule (a ∧ b)∗∗ = a∗∗ ∧ b∗∗ . D˚ ukaz. Triviálnˇe (a ∧ b)∗∗ ≤ a∗∗ ∧ b∗∗ . Na druhé stranˇe máme podle 4.3.1, a ∧ b ≤ (a ∧ b)∗∗ , tedy a ∧ b ∧ (a ∧ b)∗ = 0 a podle 4.3.3 a∗∗ ∧ b ∧ (a ∧ b)∗ = 0 a znovu podle 4.3.3 a∗∗ ∧ b∗∗ ∧ (a ∧ b)∗ = 0, a koneˇcnˇe a∗∗ ∧ b∗∗ ≤ (a ∧ b)∗∗ .

56

4.5. Vˇ eta. (DeMorganova formule) Nechˇt v pseudokomplementárn´ım svazu L existuje supj∈J aj . Potom existuje inf j∈J a∗j a plat´ı (sup aj )∗ = inf a∗j . j∈J

j∈J

D˚ ukaz. y ≤ (sup xj )∗ právˇe kdyˇz y ∧ (sup xj ) = 0 právˇe kdyˇz sup xj ≤ y ∗ právˇe kdyˇz pro vˇsechna j, xj ≤ y ∗ právˇe kdyˇz pro vˇsechna j, xj ∧ y = 0 právˇe kdyˇz pro vˇsechna j, y ≤ x∗j . 4.6. Pozn´ amky. 1. Pseudokomplement v pseudokomplementárn´ım svazu je pˇr´ıpad Galoisovy (samo)adjunkce: z ekvivalenc´ı y ≤ x∗ ⇔ x ∧ y = 0 ⇔ x ≤ y ∗ dostaneme x∗ ≤op y

právˇe kdyˇz x ≤ y ∗ ;

tedy je (x 7→ x∗ ) : (X, ≤) → (X, ≤)op lev´ y adjunkt k (x 7→ x∗ ) : (X, ≤)op → (X, ≤). Odtud Vˇeta 4.5 okamˇzitˇe plyne (vzpomeˇ nte si na II.6). Srovnejte téˇz 4.3.1 s II.6.4. 2. Pseudokomplementárn´ı svaz nemus´ı b´ yt distributivni. Vˇetu 4.5 vˇsak m˚ uˇzeme chápat jako jakousi “slabou distributivitu”. M˚ uˇzeme ji pˇrepsat do tvaru _ _ ( xj ) ∧ y = 0 právˇe kdyˇz (xj ∧ y) = 0. 4.7. Prvek b nazveme komplementem prvku a ve svazu L, plat´ı-li a ∧ b = 0 a a ∨ b = 1. Komplement samozˇrejmˇe nemus´ı existovat. A ani nemus´ı b´ yt jednoznaˇcnˇe urˇcen: viz prvky x, y, komplementy a v (dokonce modulárn´ım) svazu D3 z 2.6. Podle vˇety 2.7 ale máme 4.7.1. Pozorov´ an´ı. V distributivn´ım svazu má kaˇzdý prvek nejvýˇs jeden komplement. 4.8. Pseudokomplementy nemus´ı b´ yt komplementy. Plat´ı ale aspoˇ n Vˇ eta. 1. V pseudokomplementárn´ım svazu je (a ∨ a∗ )∗∗ = 1. 2. V distributivn´ım svazu je kaˇzdý komplement pseudokomplement. D˚ ukaz. 1 Plyne okamˇzitˇe z 4.3.4. 57

2. Je-li b komplement a a x∧a = 0 máme x = x∧(a∨b) = (x∧a)∨(x∧b) = x ∧ b a tedy x ≤ b. 4.9. Z vˇety 2.7 také okamˇzitˇe dostáváme Pozorov´ an´ı. Nechˇt L, M jsou svazy s nulou a jednotkou, a nechˇt h : L → M je homomorfismus zachovávaj´ıc´ı 0 a 1. Nechˇt svaz M je distributivn´ı. Potom h zachovává komplementy. Homomorfismy mezi pseudokomplementárn´ımi svazy ale nemus´ı zachovávat pseudokomplementy. Plat´ı jen zˇrejmá nerovnost f (a∗ ) ≤ f (a)∗ .

5. Heytingovy algebry 5.1. Heytingova operace ve svazu L je binárn´ı operace a → b splˇ nuj´ıc´ı poˇzadavek a ∧ b ≤ c právˇe kdyˇz a ≤ b → c. (Hey) Svazu s nulou a jednotkou a Heytingovou operac´ı (to, ˇze má jednotku je ale automatické: jelikoˇz x ∧ a ≤ a je vˇzdy x ≤ a → a) ˇr´ıkáme Heytingova algebra. Z formule (Hey) okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze ( b → c1 ≤ b → c2 , c1 ≤ c2 ⇒ (1.1) c1 → b ≥ c2 → b. 5.2. Pro kaˇzdé pevné b dává formule (1.1) adjunkci x∧b ≤ y ≡ x ≤ b → y mezi zobrazen´ımi (x 7→ x ∧ b) a (x 7→ b → y) svazu L do sebe. Jelikoˇz prvn´ı z tˇechto zobrazen´ı je dáno svazovou strukturou, je j´ım urˇceno i druhé, a t´ım máme urˇcenu i operaci →. Tedy: 5.2.1. Strukturu svazu m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit na Heytingovskou nejvýˇse jedn´ım zp˚ usobem. 5.2.2. Z II.6.6 dostaneme okamˇzitˇe tuto nutnou podm´ınku: Pˇripouˇst´ı-li svaz Heytingovu operaci, plat´ı v nˇem (sup M ) ∧ x = sup{m ∧ x |m ∈ M } 58

kdykoli sup M existuje. Speciálnˇe: Heytingova algebra je vˇzdy distributivn´ı. 5.2.3. V pˇr´ıpadˇe u ´plného svazu dostáváme dokonce nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku: ´ y svaz L pˇripouˇst´ı Heytingovu operaci právˇe kdyˇz v nˇem plat´ı zeUpln´ s´ılená rovnice distributivity _ _ ( aj ) ∧ b = (aj ∧ b) (frm) j∈J

j∈J

pro kaˇzdý systém {aj |j ∈ J} ⊆ L a kaˇzdé b ∈ L. 5.2.4. Heytingova algebra je vˇzdy pseudokomplementárn´ı. Máme totiˇz a∗ = a → 0. O tom trochu v´ıce dále v 5.9. 5.3. Pozn´ amka. Vzhledem k jednoznaˇcnosti Heytingovy operace jsou tedy u ´plné Heytingovy algebry totéˇz jako svazy splˇ nuj´ıc´ı distributivn´ı pravidlo (frm) z 5.2.3. Pohled na vˇec se vˇsak zmˇen´ı, ptáme-li se na privilegovaná zobrazen´ı. U svaz˚ u to budou ta, která zachovávaj´ı 0, 1, ∧ a ∨, u Heytingov´ ych algeber budeme nav´ıc poˇzadovat aby h(a → b) = h(a) → h(b). Dalˇs´ı, a zvláˇsˇt v´ yznamn´ y, je v´ ybˇer zobrazen´ı zachovávaj´ıc´ıch vˇsechna suprema a koneˇcná infima. Takové homomorfismy jsou základn´ım pojmem t.zv. bezbodové topologie; zm´ın´ıme se o nich pozdˇeji. Pro obecn´ y svazov´ y homomorfismus mezi Heytingov´ ymi algebrami plat´ı h(a → b) ≤ h(a) → h(b) (protoˇze ze zˇrejmé nerovnosti (a → b) ∧ a ≤ b dostaneme h(a → b) ∧ h(a) ≤ h(b)). 5.4. Dalˇ s´ı pozorov´ an´ı kolem adjunkce. Pˇredevˇs´ım, jelikoˇz x 7→ (a → x) je prav´ y adjunkt, máme a → inf bj = inf (a → bj ) j∈J

j∈J

kdykoli infimum na levé stranˇe existuje. 59

(5.4.1)

Vˇsimnˇeme si dále, ˇze ˇze z formule (Hey) dostáváme téˇz a ≤ b→c

≡

a∧b≤c

≡

b ≤ a → c,

takˇze zde jeˇstˇe máme adjunkce x → c ≤op y

právˇe kdyˇz x ≤ y → c.

(5.4.2)

Tedy, pro kaˇzdé c je zobrazen´ı (x 7→ (x → c)) : L → Lop levý adjunkt k zobrazen´ı (x 7→ (x → c)) : Lop → L a máme (sup aj ) → c = inf (aj → c). (5.4.3) j∈J

j∈J

5.5. Z vˇety II.6.4 (a samozˇrejmˇe téˇz snadno pˇr´ımo) dostáváme téˇz nerovnosti a ∧ (a → b) ≤ b, a ≤ b → (a ∧ b)

(5.5.1) (5.5.2)

a v´ıme, ˇze tato dvojice nerovnost´ı je ekvivalentn´ı s (Hey). 5.6. Nˇ ekolik dalˇ s´ıch bezprostˇ redn´ıch formul´ı. Z a ∧ b ≤ a dostáváme a ≤ b → a.

(5.6.1)

Jelikoˇz 1 = a → b právˇe kdyˇz 1 ≤ a → b máme a ≤ b právˇe kdyˇz a → b = 1.

(5.6.2)

Dále, 1 → a ≤ 1 → a a tedy 1 → a = (1 → a) ∧ 1 ≤ a, coˇz spolu s (5.6.1) dává 1 → a = a.

(5.6.3)

Operace ∧ je asociativn´ı a tedy x ≤ (a ∧ b) → c právˇe kdyˇz x ∧ a ∧ b ≤ c právˇe kdyˇz x ∧ a ≤ b → c právˇe kdyˇz x ≤ a → (b → c). Odtud (a ∧ b) → c = a → (b → c) = b → (a → c). 5.7. Tˇ ri jednoduch´ e d˚ usledky. 60

(5.6.4)

Podle (5.5.1) a (5.6.1) máme a ∧ (a → b) ≤ a ∧ b ≤ a ∧ (a → b) takˇze a ∧ (a → b) = a ∧ b.

(5.7.1)

Z toho dále a → b ≤ a → (a ∧ b) coˇz spolu s (1.1) dává a → b = a → (a ∧ b).

(5.7.2)

Z (5.7.1) a (5.7.2) pak okamˇzitˇe usoud´ıme, ˇze a ∧ b = a ∧ c právˇe kdyˇz a → b = a → c.

(5.7.3)

5.8. Jen o málo sloˇzitˇejˇs´ı je formule x = (x ∨ a) ∧ (a → x)

(5.8.1)

(podle (5.6.1), x ≤ (x ∨ a) ∧ (a → x); podle (5.5.2) je (x ∨ a) ∧ (a → x) = (x ∧ (a → x)) ∨ (a ∧ (a → x) ≤ x).) 5.9. Pozn´ amka o logice. Heytingova algebra je v podobném vztahu k t.zv. intuicionistické (Brouwerovské) logice (zhruba ˇreˇceno, logice bez “pravidla o vylouˇceném tˇret´ım”) jako je Booleova algebra (o té bude budeme mluvit v pˇr´ıˇst´ım odstavci, ale definici ˇctenáˇr jiˇz jistˇe nˇekde vidˇel) k logice klasické. Pod´ıvejme se nyn´ı na to, jak málo mus´ıme pˇredpokládat, abychom jiˇz mˇeli logiku, která se jen trochu (i kdyˇz pˇrece jen v´ yznamnˇe) liˇs´ı od klasické. Mezi v´ yroky v nˇejaké teorii uvaˇzujme relaci A ` B (“z A plyne B”). To je sice jen pˇreduspoˇra´dán´ı, ne uspoˇrádán´ı, ale v´ıme jiˇz, ˇze na tom pˇr´ıliˇs nezáleˇz´ı. Konjunkce A&B je infimum v `, a disjunkce je supremum. Mˇejme nyn´ı spojku A ⇒ B o které poˇzadujeme vyvozovac´ı pravidlo (t.zv.“modus ponens”) A&(A ⇒ B) ` B, (plat´ı-li A a implikace A ⇒ B, plat´ı B) a nav´ıc A ` B → (A&B) (“plat´ı-li A plat´ı pro kaˇzdé B implikace A ⇒ (A&B)” – o implikaci m˚ uˇzeme tˇeˇzko poˇzadovat ménˇe) dostáváme podle 5.5 Heytingovskou strukturu, takˇze napˇr. konjunkce distribuuje pˇres libovolné disjunkce. Zejména ale máme pseudokomplement A∗ , kter´ y sice nemus´ı splˇ novat rovnici A = A∗∗ , ale 61

aspoˇ n A∗ = A∗∗∗ , to jest B je rovna své dvoj´ı negaci jakmile je v˚ ubec negac´ı ∗ nˇejakého v´ yroku. Podobnˇe konjunkce A ∨ A nemus´ı vˇzdy b´ yt 1, ale v rámci tˇech v´ yrok˚ u, které jsou negacemi jin´ ych, supremum A a A∗ uˇz jednotka je. O tom v´ıce dále v 6.6. 5.10. Heytingova operace jako relativn´ı pseudokomplement. Z x ∧ (x → a) ≤ a (viz (5.1)) dostáváme x ≤ (x → a) → a

(5.10.1)

(x → a) ∧ ((x → a) → a) = a.

(5.10.2)

a z (5.6.1) pak Z (5.10.1) a antitonie podobnˇe jako v 4.3 dostaneme ((x → a) → a) → a) = x → a.

(5.10.3)

Je-li x ∨ (x → a) ≤ (y → a) je x → a ≤ y → a a tedy y ∧ (x → a) ≤ a a na druhé stranˇe x ≤ y → a a tedy y ≤ x → a a koneˇcnˇe y = y ∧ y ≤ a. Tedy je-li x ∨ (x → a) ≤ y → a je y ≤ a a proto y → a = 1.

(5.10.4)

ˇ nyn´ı S ⊆ L taková podmnoˇzina, ˇze je Heytingovou algebrou se Bud ˇ a jej´ı nejmenˇs´ı prvek. Potom formule stejnou operac´ı → jako L sama, a bud x∗a = x → a dává pseudokomplement v S a formule nahoˇre dávaj´ı standardn´ı x ≤ x∗a∗a a x∗a = x∗a∗a∗a . Formule (5.10.4) pak ˇr´ıká, ˇze jedin´ y “negovan´ y” ∗a prvek nad x ∨ x je 1.

6. Booleovy algebry 6.1. Booleova algebra je distributivn´ı svaz takov´ y, ˇze kaˇzd´ y prvek v nˇem má komplement. Komplement prvku a budeme oznaˇcovat ac . V definici komplementu je symetrická role nuly a jednotky, a operac´ı ∨ a ∧. Máme tedy 6.1.1. Pozorov´ an´ı. Je-li L Booleova algebra, je i Lop Booleova algebra. 62

6.2. Vˇ eta. Kaˇzdá Booleova algebra L je Heytingova algebra. Formule b → c = bc ∨ c totiˇz dává Heytingovu operaci v L. D˚ ukaz. Je-li a ≤ bc ∨ c je a ∧ b = (bc ∨ c) ∧ b = 0 ∨ c ∧ b ≤ c; je-li a ∧ b ≤ c je a = a ∧ (bc ∨ b) ≤ (a ∧ bc ) ∨ c ≤ bc ∨ c. Pozn´ amka. Taková formule dává ze vˇsech pseudokomplementárn´ıch svaz˚ u Heytingovu operaci jen v Booleov´ ych algebrách. Kdyby totiˇz bylo ∗ obecnˇe a → b = a ∨ b, bylo by speciálnˇe 1 = a → a = a∗ ∨ a a a∗ by byl komplement. Ale z u ´vahy v d˚ ukazu vid´ıme, ˇze v kaˇzdém distributivn´ım svazu, má-li b komplement bc máme adjunkci x∧b≤y

právˇe kdyˇz x ≤ bc ∨ y,

takˇze jakmile má v Heytingovˇe algebˇre nˇejaký element b komplement, je pro nˇej, a pro libovolné c, vˇzdy b → c = bc ∨ c. Obecnˇe pak plat´ı b∗ ∨ c ≤ b → c, protoˇze (b∗ ∨ c) ∧ b ≤ b ∧ c ≤ c. 6.3. D˚ usledek. V Booleovˇe algebˇre L plat´ı (sup A) ∧ b = sup{a ∧ b |a ∈ A} kdykoli má pro A ⊆ L levá strana smysl. Speciálnˇe tedy v u ´plné Booleovˇe algebˇre plat´ı zes´ılená distributivita (frm) z 5.2.3 _ _ ( aj ) ∧ b = (aj ∧ b) j∈J

j∈J

a jelikoˇz je pak i Lop u ´plná Booleova algebra, také ^ ^ ( aj ) ∨ b = (aj ∨ b). j∈J

j∈J

63

6.4. De Morganovy formule. Zobrazen´ı h = (a 7→ ac ) : L → L je antitonn´ı a plat´ı h(h(a)) = a, takˇze je to isomorfismus mezi L a Lop . Podle II.6.6 tedy máme _ ^ ^ _ ( aj )c = acj i ( aj )c = acj . j∈J

j∈J

j∈J

j∈J

Vˇsimnˇete si, ˇze jsme k tomu nepotˇrebovali distributivitu. 6.5. Ultrafiltry. V Booleov´ ych algebrách jsou vˇsechny prvofiltry a prvoideály maximáln´ı. Plat´ı Vˇ eta. Budˇ F vlastn´ı filtr v Booleovˇe algebˇre L. Potom jsou následuj´ıc´ı tvrzen´ı ekvivalentni. 1. F je maximáln´ı filtr, 2. F je prvofiltr, 3. pro kaˇzdé a ∈ L je budˇ a ∈ F nebo ac ∈ F . D˚ ukaz. (1)⇒(2) je jiˇz implicite v 3.4, ale dokaˇzme to pˇr´ımo. Je-li F maximáln´ı vlastn´ı filtr, a ∨ b ∈ F a a ∈ / F , definujme G = {x |x ∨ b ∈ F }. Potom je G filtr a je zˇrejmˇe ostˇre vˇetˇs´ı neˇz F (neboˇt a ∈ G \ F ); tedy nen´ı vlastn´ı, tedy 0 ∈ G a koneˇcnˇe b = 0 ∨ b ∈ G. (2)⇒(3) plyne z toho, ˇze a ∨ ac = 1 ∈ F . ˇ F ( G pro nˇejak´ (3)⇒(1): Bud y filtr G. Zvolme a ∈ G \ F . Jelikoˇz c a∈ / F mus´ı b´ yt a ∈ F ⊆ G, tedy a, ac ∈ G a koneˇcnˇe 0 = a ∧ ac ∈ G. Filtr G tedy nen´ı vlastn´ı. Pro prvofiltry (≡ maximáln´ı filtry) v Booleov´ ych algebrách se uˇz´ıvá term´ın ultrafiltry. ˇ L Heytingova algebra. Poloˇzme 6.6. Booleanizace. Bud BL = {a ∈ L |a = a∗∗ } a definujme zobrazen´ı b : L → BL pˇredpisem b(a) = a∗∗ .

64

Vˇ eta. BL je Booleova algebra. Koneˇcná infima v BL se shoduj´ı s koneˇcnými infimy v L, a pro suprema plat´ı formule sup BL M = (sup L M )∗∗ kdykoli má pravá strana smysl. Je-li tedy L u ´plný svaz, je i svaz BL u ´plný. Zobrazen´ı b zachovává koneˇcná infima a vˇsechna existuj´ıc´ı suprema. Nav´ıc o nˇem plat´ı implikace b(a) = 0 ⇒ a = 0. (Posledn´ı implikace je ovˇsem triviáln´ı. Hraje ale v´ yznamnou u ´lohu – jedná se o t.zv. hustotu homomorfismu mezi distributivn´ımi svazy.) D˚ ukaz. Nechˇt M ⊆ L má supremum s. Potom je s∗∗ v BL a kdykoli a ∈ BL je takov´ y, ˇze pro vˇsechna m ∈ M je a ≥ m, je a ≥ s a tedy a = ∗∗ ∗∗ a ≥ s . Máme 1 ≤ 1∗∗ . Pro a, b ∈ BL, a ∧ b = a∗∗ ∧ b∗∗ ≥ (a ∧ b)∗∗ ≥ a ∧ b. Pro zobrazen´ı b máme b(1) = 1 a podle 4.4 b(a ∧ b) = b(a) ∧ b(b).Tedy b zachovává koneˇcná infima. Je-li b ∈ BL je a ≤ b právˇe kdyˇz a∗∗ ≤ b. Tedy, oznaˇc´ıme-li ι : BL ⊆ L zobrazen´ı vloˇzen´ı, vid´ıme, ˇze máme adjunkci b(a) ≤ b právˇe kdyˇz a ≤ ι(b) a proto b jako lev´ y adjunkt zachovává vˇsechna existuj´ıc´ı suprema. ˇ O BL jsme dosud nedokázali, ˇze je distributivn´ı. To m˚ uˇzeme udˇelat ted. Jsou-li a, b, c ∈ BL je a = b(a), b = b(b) a c = b(c) a tedy (a∨BL b) ∧BL c = (b(a) ∨BL b(b)) ∧BL b(c)) = = b((a ∨ b) ∧ c) = b((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) = = (b(a) ∧BL b(c)) ∨BL (b(b) ∧BL b(c))) = (a ∧BL c) ∨BL (b ∧BL c) (ˇze homomorfismy na zachovávaj´ı obecnˇe platné rovnice je ovˇsem znám´ y fakt z obecné algebry; protoˇze jsme o tom ale jeˇstˇe nemluvili, provedli jsme v´ ypoˇcet podrobnˇe). Koneˇcnˇe podle 4.3.4 máme a ∨BL a∗ = (a ∨ a∗ )∗∗ = 1, takˇze jsou a∗ v BL komplementy.

Konstrukci b : L → BL, nˇekdy prostˇe jen Boolovˇe algebˇre BL, se ˇr´ıká Booleanisace Heytingovy algebry L. 65

6.7. Pozn´ amky. 1. Distributivitu v Booleov´ ych algebrách potˇrebujeme napˇr. kv˚ uli jednoznaˇcnosti komplementu (viz 2.7). Byla téˇz nezbytná pro ovˇeˇren´ı, ˇze bc ∨ c byla Heytingovská operace. Vˇsimnˇete si, ˇze z tohoto faktu dostáváme v Booleovsk´ ych algebrách silnˇejˇs´ı distributivitu (frm) jako v 5.2.3, a distributivitu k n´ı duáln´ı. ˇ aˇr se jistˇe jiˇz setkal se svazy, které mˇely cosi jako kanonick´ 2. Cten´ y komplement, a nebyly distributivn´ı. Tak napˇr´ıklad ve svazu vektorov´ ych podprostor˚ u vektorového prostoru V koneˇcné dimense takovou roli hraje orthogonáln´ı doplnˇek, pro kter´ y plat´ı W ∩ W ⊥ = {0} i W ∨ W ⊥ = V (pˇritom, samozˇrejmˇe, W ∩ W 0 = {0} i W ∨ W 0 = V m˚ uˇze platit pro mnoho dalˇs´ıch 0 podprostor˚ u W ⊆ V ). – De Morganovy formule ovˇsem plat´ı i v takov´ ych pˇr´ıpadech. 3. Booleanizaci lze t´ımto zp˚ usobem konstruovat jiˇz na polosvazu s 0 a pseudokomplementem splˇ nuj´ıc´ım podm´ınku x ∧ a = 0 ⇔ x ≤ a∗ . Pravidla ∗∗ ∗ ∗∗∗ a ≤ a , a = a a (a ∧ b)∗∗ = a∗∗ ∧ b∗∗ se odvod´ı stejnˇe jako dˇr´ıve, stejnˇe se definuje i BL. Snadno se zjist´ı, ˇze a t b = (a∗ ∧ b∗ )∗ je supremum v BL, a ˇze a → b = (a ∧ b∗ )∗ je tam Heytingovskou operac´ı, takˇze je z´ıskan´ y svaz distributivn´ı. Zbytek je uˇz zˇrejm´ y.

´ 7. Upln´ a distributivita 7.1. Z 2.3.1 si pamatujeme, ˇze podm´ınky distributivity (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) a (a ∧ b) ∨ c = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c) jsou ve svazech ekvivalentn´ı. Vu ´pln´ ych Booleov´ ych algebrách plat´ı silnˇejˇs´ı _ _ ^ ^ ( aj ) ∧ b = (aj ∧ b) a zároveˇ n ( aj ) ∨ b = (aj ∨ b). Tyto dvˇe podm´ınky obecnˇe ekvivalentn´ı nejsou. Vezmˇeme tˇreba za L svaz vˇsech otevˇren´ ych podmnoˇzin na reálné pˇr´ımce. Protoˇze suprema jsou zde sjednocen´ı a koneˇcná infima pr˚ uniky, je zde zˇrejmˇe splnˇena prvn´ı z podm´ V ınek. 1 1 Vezmeme-li (− n , n ) a b = R\{0}, máme an = ∅ V ale za an otevˇrené intervaly V a tedy ( aj ) ∨ b = b zat´ım co (aj ∨ b) = R.

66

ˇ 7.2. Rekneme, ˇze svaz je u ´plnˇe distributivn´ı plat´ı-li v nˇem pro kaˇzd´ y systém aij , i ∈ I, j ∈ Ji rovnice _ ^ ^ _ ( aij ) = ( ai,φ(i) ), (cdistr) i∈I j∈Ji

Q φ∈ Ji i∈I

Q kde prvky produktu Ji p´ıˇseme jako (φ(i))i . To je splnˇeno napˇr ve svazu P(X) vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny X. Ukáˇzeme, ˇze na rozd´ıl od (frm) je tato rovnost ekvivalentn´ı s rovnost´ı v n´ıˇz nahrad´ıme suprema infimy a naopak. Q 7.3. Lemma. Poloˇzme Φ = Ji . Budˇ ψ : Φ → I libovolné zobrazen´ı. Potom existuje i = iψ takové, ˇze pro kaˇzdé j ∈ Ji existuje φ ∈ Φ pro které je ψ(φ) = i a φ(i) = j. D˚ ukaz. Kdyby ne, existovalo by pro kaˇzdé i ∈ I nˇejaké α(i) ∈ Ji takové, ˇze pro φ ∈ Φ pro které ψ(φ) = i je φ(i) 6= α(i). Potom by ale pro φ = α a i0 = ψ(α) bylo α(i0 ) 6= α(i0 ). 7.4. Vˇ eta. Rovnice (cdistr) plat´ı v u ´plném svazu právˇe kdyˇz plat´ı ^ _ _ ^ ( aij ) = ( ai,φ(i) ). i∈I j∈Ji

Q φ∈ Ji i∈I

D˚ ukaz. Dokáˇzeme, ˇze tato rovnost plyne z (cdistr), druhá implikace se odvod´ı podobnˇ e. W V W V Nerovnost i∈I ( j∈Ji aij ) ≥ φ∈Q Ji ( i∈I ai,φ(i) ) je zˇrejmá, protoˇze pro V V W kaˇzdé φ máme i∈I ( j∈Ji aij ) ≥ ( i∈I ai,φ(i) ). Jde tedy o opaˇcnou nerovnost. Poloˇzme nejprve pro φ ∈ Φ a i ∈ I, bφi = aiφ(i) . Potom podle (cdistr) _ ^ ^ _ _ ^ ( bφ,i ) = ( bφ,ψ(φ) ). ( ai,φ(i) ) = φ∈

Q

Ji i∈I

Q φ∈ Ji i∈I

ψ∈I Φ φ∈Φ

Podle lemmatu máme pro kaˇzdé ψ : Φ → I index i = iψ takov´ y,Wˇze pro kaˇzdé j ∈ Ji je bφ,ψ(φ) = bφ,i = aiφ(i) = aij pro nˇejaké φ, takˇze je j∈Ji aiψ j ≤ ψ W V W V W b ; tedy tak´ e ( b ) ≥ ( a ). Φ ij φ,ψ(φ) φ,ψ(φ) φ∈Φ ψ∈I φ∈Φ i∈J j∈Ji

67

Kapitola IV

Z´ akladn´ı pojmy univers´ aln´ı algebry 1. Algebraick´ e operace 1.1. n-árn´ı operac´ı na mnoˇzinˇe X rozum´ıme zobrazen´ı n kr´ at

z }| { α : X = X × · · · × X → X. n

Obecnˇeji, je-li M pevná mnoˇzina, M -árn´ı operace na X je zobrazen´ı α : X M → X. Ve speciáln´ıch pˇr´ıpadech n = 0, 1, 2, 3 mluv´ıme o nulárn´ıch, unárn´ıch, binárn´ıch a ternárn´ıch operac´ıch. Jelikoˇz X 0 = {∅} je jednoprvková mnoˇzina, nulárn´ı operace je dána hodnotou α(∅). Jako takové pevnˇe dané hodnoty je obvykle nahl´ıˇz´ıme, a ˇcasto o nich mluv´ıme jako o konstantách. ˇ aˇr se asi zat´ım v praxi setkával nejˇcastˇeji s operacemi Pozn´ amka. Cten´ binárn´ımi (sˇc´ıtán´ı ˇci násoben´ı ˇc´ısel, sˇc´ıtán´ı vektor˚ u, pr˚ uniky nebo sjednocen´ı – obecnˇeji pr˚ useky a spojen´ı ve svazech), unárn´ımi (pˇriˇrazen´ı ˇc´ısla −x k x, prvku x−1 k x v grupˇe, násoben´ı pevn´ ym reáln´ ym ˇc´ıslem ve vektorovém prostoru, komplement v Boolovˇe algebˇre) a nulárn´ımi (r˚ uzné “neutráln´ı prvky” pˇri jin´ ych operac´ıch – nula, jednotka, nulov´ y vektor). S operacemi do kter´ ych vstupuje v´ıce prvk˚ u se v praxi ˇcasto setkáváme jako s operacemi sloˇzen´ ymi z jin´ ych: aritmetick´ y pr˚ umˇer n ˇc´ısel, barycentr troj´ uheln´ıka jako funkce jeho vrchol˚ u, atd. To ale nen´ı jedin´ y ani hlavn´ı d˚ uvod uvaˇzován´ı obecn´ ych arit. 1.2. Velmi d˚ uleˇzité, i kdyˇz triviáln´ı, operace jsou projekce pj = ((x1 , . . . , xn ) 7→ xj ) : X n → X. 68

Kromˇe jiného hraj´ı velmi podstanou roli pˇri vytváˇren´ı odvozen´ ych operac´ı. 1.3. Zobrazen´ı f : X → Y naz´ yváme homomorfismem vzhledem k opeM M rac´ım α : X → X, β : Y → Y , plat´ı-li pro kaˇzdé ξ : M → X f (α(ξ)) = β(f · ξ),

(hom)

coˇz moˇzná nen´ı u ´plnˇe pr˚ uzraˇcná formule. Pod´ıvejme se ale co ˇr´ıká ve finitárn´ım pˇr´ıpadˇe: f (α(x1 , . . . , xn )) = β(f (x1 ), . . . , f (xn )), coˇz je jistˇe jasnˇejˇs´ı. A jestliˇze uˇz´ıváme tˇreba pro binárn´ı operace bˇeˇzné psan´ı (x, y) = xy, máme názornou formuli f (xy) = f (x)f (y). Pro nulárn´ı operace (pevné a ∈ X a b ∈ Y dostáváme poˇzadavek, aby f (a) = b. Pozn´ amka. Uˇzit´ı term´ınu “homomorfismus” je ve shodˇe s jeho uˇzit´ım dˇr´ıve – viz 1.4 dále). Podobnˇe jako u jin´ ych definic speciáln´ıch zobrazen´ı ˇrekneme, ˇze homomorfismus f vzhledem k α, β je isomorfismus, existuje-li homomorfismus g vzhledem k β, α takov´ y, ˇze f g = idY a gf = idX ; homomorfismus f : X → X vzhledem k α, α se naz´ yvá endomorfismus, a je-li to isomorfismus, mluv´ıme o automorfismu. Zcela zˇrejmé je to, ˇze identické zobrazen´ı je automorfismus vzhledem k jakékoli operaci; je-li f homomorfismus vzhledem k α, β a g homomorfismus vzhledem k β, γ, je sloˇzen´ı gf homomorfismus vzhledem k α, γ. I následuj´ıc´ı dvˇe tvrzen´ı jsou velmi jednoduchá: ˇ α, β, γ po ˇradˇe M -árn´ı operace na mnoˇzinách 1.3.1. Tvrzen´ı. Budte X, Y, Z. Budˇ f : X → Y prosté zobrazen´ı, g : Z → Y libovolné zobrazen´ı a h : Z → X zobrazen´ı takové, ˇze f · h = g. Jsou-li f a g homomorfismy, je i h homomorfismus. D˚ ukaz. Máme f (h(γ(ξ))) = g(γ(ξ)) = γ(g · ξ) = γ(f · h · ξ) a f (α(h · ξ)) = γ(f · h · ξ). Jelikoˇz f je prosté, h(γ(ξ)) = α(h · ξ). ˇ α, β, γ po ˇradˇe M -árn´ı operace na mnoˇzinách 1.3.2. Tvrzen´ı. Budte X, Y, Z. Budˇ f : X → Y zobrazen´ı na, g : X → Z libovolné zobrazen´ı a 69

h : Y → Z zobrazen´ı takové, ˇze h · f = g. Jsou-li f a g homomorfismy, je i h homomorfismus. D˚ ukaz. Zvolme v : Y → X takové, ˇze f v = id (t.j., pro kaˇzdé y ∈ Y zvolme x = v(y) tak, aby f (x) = y). Pro ξ : M → Y máme h(β(ξ)) = h(β(f · v · ξ)) = h(f (α(v · ξ))) = g(α(v · ξ)) = γ(g · v · ξ) = γ(h · f · v · ξ) = γ(h · ξ). Pozn´ amka. Zjednoduˇsili jsme si práci uˇzit´ım axiomu v´ ybˇeru (zobrazen´ı v – pˇripomeˇ nte si I.4.3). V pˇr´ıpadˇe infinitárn´ıch operac´ı se bez toho neobejdeme, u n-árn´ıch operac´ı s koneˇcn´ ym n ale axiom v´ ybˇeru nepotˇrebujeme. Pro y1 , . . . , yn v Y zvol´ıme jednotlivˇe xi ∈ X tak, aby f (xi ) = yi a dostaneme h(β(y1 , . . . , yn )) = h(β(f (x1 ), . . . , f (xn ))) = hf (α(x1 , . . . , xn )) = g(α(x1 , . . . , xn )) = γ(g(x1 ), . . . , g(xn )) = γ(h(f (x1 )), . . . , h(f (xn ))) = γ(h(y1 ), . . . , h(yn )). 1.3.3. Vˇsimnˇete si, ˇze kaˇzdé zobrazen´ı je homomorfismus vzhledem k projekc´ım se stejn´ ym indexem. 1.4. Na operaci α : X n → X se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na (n + 1)-árn´ı relaci α e = {(x1 , . . . , xn , α(x1 , . . . , xn )) |(x1 , . . . , xn ) ∈ X n } (to je ostatnˇe zp˚ usob, jak se v teorii mnoˇzin tak jako tak hled´ı na zobrazen´ı, i kdyˇz my tomuto pohledu zrovna pˇrednost nedáváme). Potom je zobrazen´ı f : X → Y homomorfismus vzhledem k operac´ım α, β ve smyslu z 1.3 právˇe kdyˇz je homomorfismem vzhledem k α e, βe ve smyslu I.5. Ovˇeˇrte si to jako (velmi) jednoduché cviˇcen´ı. Pro homomorfismy vzhledem k relac´ım neplat´ı tvrzen´ı jako 1.3.1 ˇci 1.3.2. Uvˇedomte si, ˇze zde, pro homomorfismy algeber, to plat´ı z toho d˚ uvodu, ˇze relace vzniklé z algebraick´ ych operac´ı jsou velmi speciáln´ı, ne proto, ˇze by se snad jednalo o homomorfismy speciáln´ıho charakteru.

2. Algebraick´ e struktury, algebry 2.1. Pˇripomeˇ nte si pojem typu z I.5.3. 70

Algebraická struktura typu ∆ = (∆t )t∈T na mnoˇzinˇe X je soubor α = (αi )i∈J tvoˇren´ y ∆i -árn´ımi operacemi αi ; o dvojici A = (X, α) potom mluv´ıme jako o algebˇre typu ∆. (Pokud representujeme algebraickou strukturu jako strukturu relaˇcn´ı ve smyslu 1.4, typ se modifikuje pˇriˇcten´ım jedniˇcky ke kaˇzdému ∆t .) 2.2. Pˇ r´ıklady. (a) Aritmetika pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, prvn´ı algebraická struktura se kterou jste se asi setkali, tvoˇr´ı algebru typu (2, 2, 0, 0) (sˇc´ıtán´ı, násoben´ı, 0 a 1). Podobnˇe je tomu s aritmetikou na jin´ ych ˇc´ıseln´ ych soustavách. (b) Svaz ve smyslu z III.1 je algebra typu (2, 2). Pˇredpokládáme-li existenci minimáln´ıho prvku ⊥ a maximáln´ıho prvku >, a povaˇzujeme-li je za nulárn´ı operace, dostaneme algebru typu (2, 2, 0, 0). (c) Grupa je algebra typu (2, 0, 1) (násoben´ı, neutráln´ı prvek, inverse). (d) Vektorov´ y prostor nad tˇelesem reáln´ ych ˇc´ısel, jedna z prvn´ıch struktur se kterou se student setká na vysoké ˇskole, je algebra nekoneˇcného, ale R kr´ at z }| { y vektor, a finitárn´ıho typu, dost objemného, (2, 0, 1, 1, 1, . . .) : sˇc´ıtán´ı, nulov´ za kaˇzdé reálné ˇc´ıslo r unárn´ı operace (x 7→ rx). ˇ A = (X, α), B = (Y, β) algebry stejného typu ∆ = (∆t )t∈T . 2.3. Budte Zobrazen´ı f : X → Y je homomorfismus A → B je-li pro kaˇzdé i ∈ J homomorfismem vzhledem k αi , βi . Ve zˇrejmém smyslu mluv´ıme o isomorfismu, endomorfismu nebo automorfismu. Systém vˇsech algeber typu ∆ a vˇsech jejich homomorfism˚ u budeme oznaˇcovat Alg(∆). 2.4. Je velmi d˚ uleˇzité uvˇedomit si, ˇze vlastnost “b´ yti homomorfismem” závis´ı na tom, které operace jsou explicite zadány. Napˇr´ıklad, vezmemeli tˇreba svazy A, B jako algebry typu (2, 2) potom, i kdyˇz tˇreba oba maj´ı nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı prvky, jsou vˇsechna konstantn´ı zobrazen´ı homomorfismy; povaˇzujeme-li takové svazy za algebry typu (2, 2, 0, 0) s minimáln´ımi resp. maximáln´ımi prvky jako nulárn´ımi operacemi, konstantn´ı zobrazen´ı (aˇz na pˇr´ıpad triviáln´ıho B) homomorfismy nejsou. Podobná závislost na typu se projev´ı téˇz pozdˇeji u pojmu podalgebry. Nˇekdy se ale m˚ uˇze stát, ˇze operace pˇr´ıtomná implicitnˇe je automaticky respektována homomorfismem vzhledem k jiné operaci. Napˇr´ıklad jsou-li dvˇe 71

pologrupy A, B (typ (2), explicite dáno pouze násoben´ı) náhodou grupy (v tom smyslu, ˇze existuj´ı prvky eA , eB takové, ˇze vˇzdy xe = ex = x a ˇze ke kaˇzdému x existuje y takové, ˇze xy = e) potom kaˇzd´ y pologrupov´ y homomorfismus automaticky zachovává jednotku a inversi. To je ovˇsem speciáln´ı fakt dan´ y speciáln´ımi vlastnostmi grup. A jeˇstˇe jedna poznámka. V pˇr´ıkladech nahoˇre moˇzná ˇctenáˇri pˇriˇslo divné, ˇze ve vektorovém prostoru byla násoben´ı reáln´ ymi ˇc´ısly brána jako jednotlivé unárn´ı operace m´ısto (zdánlivˇe) pˇrirozenˇejˇs´ı pˇredstavy o binárn´ı operaci, do které vstupuj´ı prvky r˚ uzného charakteru. Ale definice lineárn´ıho zobrazen´ı, ve které se kromˇe zachován´ı souˇctu poˇzaduje aby pro kaˇzdé reálné r platilo h(rx) = rh(x), t.j. respektován´ı jednotliv´ ych unárn´ıch operac´ı (x 7→ rx) dává tomuto pohledu za pravdu. ˇ A = (X, α), B = (Y, β) a C = (Z, γ) algebry 2.5. Tvrzen´ı. Budte stejného typu. 1. Budˇ f : A → B prostý homomorfismus a g : A → C libovolný homomorfismus. Potom existuje homomorfismus h : C → A takový, ˇze f · h = g právˇe kdyˇz g[X] ⊆ f [X]. 2. Budˇ f : A → B homomorfismus na a g : C → B libovolný homomorfismus. Potom existuje homomorfismus h : B → C takový, ˇze h · f = g právˇe kdyˇz f (x) = f (y) ⇒ g(x) = g(y). D˚ ukaz. Uvedené podm´ınky zaruˇcuj´ı existenci zobrazen´ı h takového, ˇze f h = g resp. hf = g. Uˇzijte 1.3.1 a 1.3.2. 2.5.1. D˚ usledek. Kaˇzdý homomorfismus který je prostý a na je isomorfismus. (K takovému homomorfismu f vezmˇeme g = id a uˇzijme kteréhokoli z pˇredchoz´ıch tvrzen´ı.) Uvˇedomte si, ˇze nic takového neplat´ı pro homomorfismy vzhledem k relac´ım!

72

3. Podalgebry ˇ A = (X, α), α = (αt )t∈T , algebra typu ∆ = (∆t )t∈T . Bud ˇ Y 3.1. Bud podmnoˇzina mnoˇziny X a j : Y ⊆ X zobrazen´ı vloˇzen´ı. Je-li Y uzavˇrená na vˇsechny operace αt , t.j., plat´ı-li pro kaˇzdé t ∈ T a ξ : ∆t → Y ˇze αt (jξ) je v Y , opatˇr´ıme ji operacemi (αt |Y )(ξ) = αt (jξ) a o takto z´ıskané algebˇre mluv´ıme jako o podalgebˇre algebry A. 3.1.1. Pozorov´ an´ı a u ´ mluva. Je-li na Y algebraická struktura β typu ∆ taková, ˇze j : Y → X je homomorfismus, je nutnˇe β = α|Y : z podm´ınky (hom) v 1.3 dostáváme βt (ξ) = j(βt (ξ)) = αt (jξ). Algebraická struktura β je tedy jednoznaˇcnˇe urˇcena mnoˇzinou Y a budeme-li dále mluvit o podalgebˇre jako o pˇr´ısluˇsné podmnoˇzinˇe, nem˚ uˇze doj´ıt k nedorozumˇen´ı. 3.1.2. Pozn´ amky. 1. Ve finitárn´ım pˇr´ıpadˇe podm´ınka uzavˇrenosti podmnoˇziny na operace nab´ yvá názorného tvaru ∀t ∈ T,

∀y1 , . . . , ynt ∈ Y

αt (y1 , . . . , ynt ) ∈ Y.

2. Zda podmnoˇzina tvoˇr´ı podalgebru závis´ı na explicite uvaˇzovan´ ych operac´ıch. Napˇr´ıklad v pologrupˇe (Z, +) cel´ ych ˇc´ısel se sˇc´ıtán´ım je kaˇzdá z podmnoˇzin {x |x ≥ k}, k > 0, podalgebrou. V monoidu (Z, +, 0) uˇz ne, je tam vˇsak podalgebrou tˇreba monoid (N, +, 0), ten ale zase nen´ı podalgebrou grupy (Z, +, 0, (x 7→ −x)). 3.2. Tvrzen´ı. 1. Je-li B = (Y, α|Y ) podalgebra algebry A = (X, α) je zobrazen´ı vloˇzen´ı j : B ⊆ A homomorfismus. 2. Je-li f : B → A libovolný homomorfismus je f [B] podalgebra algebry A. 3. Je-li f : B → A prostý homomorfismus je jeho restrikce f 0 : B → f [B] isomorfismus. D˚ ukaz m˚ uˇze b´ yt ponechán ˇctenáˇri jako jednoduché cviˇcen´ı. Pro 3 uˇzijte 2.5: h z´ıskané k f a homomorfismu vloˇzen´ı g : f [B] ⊆ A je inversn´ı homomorfismus k f 0 . 3.3. Tvrzen´ı. Pr˚ unik libovolného systému podalgeber je podalgebra. 73

ˇ Yi , i ∈ J podalgebry algebry A; oznaˇcme j : Y = T Yi → D˚ ukaz. Budte X, ji : Yi ⊆ X a ki : Y ⊆TYi . Pro ξ : ∆t → Y je αt (jξ) = αt (ji (ki ξ)) ∈ Yi pro kaˇzdé i a tedy αt (jξ) ∈ Yi . Pr˚ unik prázdné soustavy je samozˇrejmˇe celá algebra A (infimum prázdné mnoˇziny je nejvˇetˇs´ı prvek). 3.4. Podle 3.3 existuje pro kaˇzdou podmnoˇzinu M ⊆ X algebry A = (Xα) nejmenˇs´ı podalgebra algebry A která mnoˇzinu M obsahuje, totiˇz pr˚ unik vˇsech podalgeber Y takov´ ych, ˇze M ⊆ Y . Budeme o n´ı mluvit jako o podalgebˇre generované mnoˇzinou M a oznaˇcovat Gen(M ). ˇ ıkáme, ˇze M je soustava generátor˚ R´ u algebry A je-li Gen(M ) = A. 3.4.1. V pˇr´ıpadˇe finitárn´ıho typu m˚ uˇzeme generovanou podalgebru popsat takto. Poloˇzme M0 = M, Mk+1 = {αt (ξ) |t ∈ T, ξ : nt → X takové, ˇze ξ[{1, . . . , nt }] ∈ Mk }, ∞ [ M∞ = Mk . k=1

Potom Gen(M ) = M∞ . Skuteˇcnˇe: Zˇrejmˇe mus´ı kaˇzdá podalgebra obsahuj´ıc´ı Mk obsahovat Mk+1 , a tedy postupnˇe celou M∞ . Na druhé stranˇe M∞ je podalgebra, protoˇze je-li ξ[{1, . . . , nt }] ∈ M∞ mus´ı b´ yt kaˇzdé ξ(j) v nˇekteré Mkj a α(ξ) ∈ Mk+1 kde k = max kj . Z toho dále okamˇzitˇe dostáváme Pozorov´ an´ı. V pˇr´ıpadˇe finitárn´ıho typu plat´ı pro mohutnost generované podalgebry |Gen(M )| ≤ max(|M |, |T |, ω0 ).

74

3.4.2. D˚ usledek. V pˇr´ıpadˇe finitárn´ıho typu je aˇz na isomorfismus jen mnoˇzina r˚ uzných algeber generovaných mnoˇzinami mohutnost´ı menˇs´ıch neˇz pevnˇe pˇredepsané kardináln´ı ˇc´ıslo. ˇ f, g : A → B homomorfismy. Potom je mnoˇzina 3.5. Tvrzen´ı. Budte Z = {x |f (x) = g(x)} podalgebra algebry A. Následkem toho, je-li M soustava generátor˚ u algebry A a shoduj´ı-li se homomorfismy f, g : A → B na mnoˇzinˇe M , plat´ı f = g. ˇ A = (X, α) a B = (Y, β), a oznaˇcme j vloˇzen´ı Z do X. D˚ ukaz. Budte ˇ Bud ξ : ∆t → Z libovolné zobrazen´ı. Jelikoˇz je f j = gj máme f (αt (jξ)) = βt (f jξ) = βt (gjξ) = g(αt (jξ)) a tedy αt (jξ) ∈ Z.

4. Souˇ ciny (produkty) algeber ˇ Ai = (Xi , αi ), i ∈ J algebry téhoˇz typu ∆ = (∆t )t∈T . Vezmˇeme 4.1. Budte Q kartézsk´ y souˇcin X = i∈J Q Xi a projekce pj = ((xi )i∈J 7→ xj ) : X → Xj . Na kartézském souˇcinu X = i∈J Xi definujme operace αt , t ∈ T pˇredpisy αt (ξ) = (αti (pi ξ))i∈J .

(∗)

Q yváme souˇcinem nebo produktem Z´ıskanou algebru A = ( i∈J Xi , (αt )t∈T ) naz´ soustavy algeber Ai , i ∈ J a oznaˇcujeme Y Ai . i∈J

V pˇr´ıpadˇe koneˇcn´ ych soustav uˇz´ıváme znaˇcen´ı A × B,

A 1 × · · · × An

a podobnˇe. Uvˇedomte si, ˇze souˇcin algeber nen´ı nic jiného neˇz kartézsk´ y souˇcin na kterém jsou operace definovány z p˚ uvodnˇe dan´ ych “po souˇradnic´ıch”. To je zvláˇsˇt jasnˇe patrno u finitárn´ıch operac´ı, kde formule (∗) dostane tvar αt ((x1i )i∈J , . . . , (xnt i )i∈J ) = (αti (x1i . . . , xnt i ))i∈J . 75

Pozn´ amka. Pokud bychom representovali algebraické struktury jako relaˇcn´ı ve smyslu 1.4, dostali bychom právˇe zaveden´ y produkt z jiˇz známého produktu relaˇcn´ıch objekt˚ u. Nen´ı to tedy nic nového, a následuj´ıc´ı vˇetu bychom vlastnˇe ani nemuseli dokazovat. Jde sp´ıˇs o to zvyknout si na pˇr´ım´ y popis algebraické struktury s operacemi “po souˇradnic´ıch”. Q 4.2. Vˇ eta. 1. Projekce pj = ((xi )i∈J 7→ xj ) : i Ai → Aj jsou homomorfismy. 2. Pro kaˇzdou soustavu homomorfism˚ u fi : B = (Y, (βt )t∈T ) → Ai , i ∈ J, Q existuje právˇe jeden homomorfismus f : B → i Ai takový, ˇze pi f = fi pro vˇsechna i ∈ J. D˚ ukaz. 1. Formule (∗) dává okamˇzitˇe pi (αt (ξ)) = αti (pi (ξ)). Q 2. V´ıme (viz I.3.6) ˇze existuje právˇe jedno zobrazen´ı f : Y → Xi takové, ˇze pi f = fi , totiˇz zobrazen´ı dané pˇredpisem f (y) = (fi (y))i∈J . Mus´ıme tedy dokázat, ˇze toto f je homomorfismus. Podle (∗) máme f (βt (ξ)) = (fi (βt (ξ)))i∈J = (αti (fi ξ))i∈J = (αti (pi f ξ))i∈J = αt (f ξ). 4.3. Tvrzen´ı. Souˇcin podalgeber je podalgebra souˇcinu. To jest, jsou-li ji : Bi → Ai vloˇzen´ı podalgeber je homomorfismus Y Y j: Bi → Ai i

i

B zen´ı podalgebry. urˇcený podm´ınkami pA i j = ji pi , i ∈ J, vloˇ B D˚ ukaz. Pˇredevˇs´ım, rovnice pA j = j p cuj´ı podle 4.2 (jedi i , i ∈ J, urˇ i noznaˇcnˇe) homomorfismus. Vzhledem k 3.1.1 tedy staˇc´ı dokázat, ˇze tento homomorfismus je prost´ y. Je-li (bi )i 6= (b0i )i je pro nˇejaké k bk 6= b0k a tedy pk j((bi )i ) = jk (bk ) 6= jk (b0k ) = pk j((b0i )i ) a j((bi )i ) 6= j((b0i )i ).

76

5. Kongruence ˇ A = (X, α = (αt )t∈T ) algebra typu ∆ = (∆t )t∈T . Relace ekviva5.1. Bud lence E na mnoˇzinˇe X se naz´ yvá kongruenc´ı na A jestliˇze pro kaˇzdé t ∈ T , jsou-li ξ, η : ∆t → X takové, ˇze pro kaˇzdé d ∈ ∆t je ξ(d)Eη(d), plat´ı téˇz αt (ξ)Eαt (η). Moˇzná trochu pr˚ uhlednˇeji pro finitárn´ı operace: plat´ı-li xj Eyj pro vˇsechna j, je αt (x1 , . . . , xnj )Eαt (y1 , . . . , ynj ). 5.2. Pozorov´ an´ı. E ⊆ X je kongruence na A = (X, α) právˇe kdyˇz je to ekvivalence na X a podalgebra A × A. Následkem toho (pˇripomeˇ nte si 3.3), mnoˇzina vˇsech kongruenc´ı na algebˇre A je u ´plný svaz, ve kterém infima jsou pr˚ uniky. ˇ E kongruence na algebˇre A = (X, α). Oznaˇcme 5.3. Bud q = (x 7→ xE) : X → X/E a na mnoˇzinˇe X/E definujme operace αt pˇredpisem αt (ξ) = q(αt (η)) kde qη = ξ. Tato definice je korektn´ı: • pˇredevˇs´ım, takové η zˇrejmˇe existuje (pˇri simultánn´ım vyb´ırán´ı η(d) v q −1 [ξ(d)] v pˇr´ıpadˇe nekoneˇcného ∆t si ovˇsem mus´ıme vypomoci uˇzit´ım axiomu v´ ybˇeru), • a jestliˇze qη1 = qη2 , t.j., pro kaˇzdé d ∈ ∆t je η1 (d)Eη2 (d), plat´ı αt (η1 )Eαt (η2 ) a tedy q(αt (η1 )) = q(αt (η2 )). Z´ıskanou algebru oznaˇc´ıme A/E a nˇekdy o n´ı mluv´ıme jako o faktorové algebˇre nebo faktoralgebˇre, nebo téˇz jako o kvocientu. Pozn´ amka. Tˇrebaˇze nulárn´ı operace nehraj´ı roli v otázce zda daná ekvivalence je kongruence nebo ne, algebra A/E samozˇrejmˇe dˇed´ı vˇsechny pˇr´ıpadné nulárn´ı operace algebry A: konstanta a se objev´ı jako konstanta aE. 77

5.4. Tvrzen´ı. 1. q je homomorfismus A na A/E. 2. Kongruence na algebˇre A jsou právˇe relace tvaru Eh = {(x, y) |h(x) = h(y)}, kde h : A → B je homomorfismus do libovolné algebry B. 3. Je-li h homomorfismus A na B existuje isomorfismus f : B → A/Eh takový, ˇze f h = q. D˚ ukaz. 1. Pˇr´ımo z definice αt dostáváme q(αt (η)) = αt (qη). 2. Eq = E, a to ˇze kaˇzdá Eh je kongruence je vˇec snadného v´ ypoˇctu. 3. Máme h(x) = h(y) právˇe kdyˇz qh (x) = qh (y). Pouˇzijte 2.5 (v obou smˇerech). 5.5. Pozorov´ an´ ı. Jsou-liQhi : Ai → Bi , i ∈ J, homomorfismy na, je Q A homomorfismus h : Ai → Bi daný podm´ınkou pB et na. i h = hi pi opˇ Q Produkt QAi /Ei faktorových algeber je tedy isomorfn´ı s faktorovou algebrou produktu Ai . (Homomorfismus h je dán pˇredpisem h((xi )i∈J ) = (hi (xi ))i∈J .) ˇ 5.6. A. Oznaˇcme T Tvrzen´ı. Budte Ei , i ∈ J kongruence na algebˇre Q E = i∈J Ei . Potom je A/E isomorfn´ı s podalgebrou souˇcinu i∈J A/Ei . D˚ ukaz. Podle 2.5.2 máme homomorfismy hi : A/E → Q A/Ei splˇ nuj´ıc´ı hi (xE) = xEi . Vezmˇeme nyn´ı homomorfismus h : X/E → A/Ei urˇcen´ y podm´ınkou pi h = hi . Je-li h(xE) = h(yE) je hi (xE) T = hi (yE) pro kaˇzdé i a tedy xEi = yEi pro kaˇzdé i, takˇze (x, y) ∈ E = Ei a koneˇcnˇe xE = yE. 5.7. Tvrzen´ı. Budˇ h : (X, α) → (Y, β) homomorfismus na, budˇ j : C ⊆ B vloˇzen´ı podalgebry. Potom A0 = h−1 [C] je podalgebra algebry A a restrikce h0 : A0 → C homomorfismu h je homomorfismus na. Následkem toho je podalgebra faktorové algebry vˇzdy isomorfn´ı s faktorovou algebrou podalgebry. ˇ ι : h−1 [C] ⊆ A vloˇzen´ı podmnoˇziny, t ∈ T a ξ : ∆t → h−1 [C] D˚ ukaz. Bud zobrazen´ı. Pro jh0 ξ máme βt (jh0 ξ) ∈ C. Podle definice homomorfismu je h(αt (ιξ)) = βt (hιξ) = βt (jh0 ξ) a tedy αt (ιξ) ∈ h−1 [C].

78

6. Voln´ e algebry Pˇri zaveden´ı pojmu generuj´ıc´ı soustavy v 3.4 si ˇctenáˇr asi vzpomˇel na generuj´ıc´ı soustavy ve vektorov´ ych prostorech, které zná jiˇz z prvn´ıho roˇcn´ıku. Asi si také vzpomˇel na pojem base, jakési lepˇs´ı soustavy generátor˚ u, která je nav´ıc nezávislá. Jistˇe si nyn´ı klade otázku, máme-li nˇeco podobného také v obecném pˇr´ıpadˇe. Obecnˇe ne; systém vektorov´ ych prostor˚ u se v tomto ohledu chová v´ yjimeˇcnˇe. V obecnˇejˇs´ıch tˇr´ıdách algeber ale pˇrece jen nˇekteré speciáln´ı algebry, t.zv. volné algebry (jejichˇz v´ yznam nen´ı jen v tom, ˇze jsou generovány speciáln´ım zp˚ usobem) nˇeco jako basi maj´ı. Budeme se jim vˇenovat v tomto odd´ılu. 6.1. V dalˇs´ım bude symbol A oznaˇcovat podtˇr´ıdu tˇr´ıdy algeber Alg(∆), zpravidla netriviáln´ı v tom smyslu, ˇze existuje A ∈ A která má aspoˇ n dva prvky. ˇ M mnoˇzina. Volná algebra nad M vzhledem k tˇr´ıdˇe algeber A je Bud algebra F (M ) ∈ A spolu se zobrazen´ım φM : M → F (M ) takov´ ym, ˇze pro kaˇzdou algebru A ∈ A a pro kaˇzdé zobrazen´ı f : M → A existuje právˇe jeden homomorfismus h : F (M ) → A takov´ y, ˇze h · φM = f . 6.1.1. Pro volné algebry φM : M → F (M ) a φN : N → F (N ) dává podm´ınka pro kaˇzdé zobrazen´ı ξ : M → N jednoznaˇcnˇe urˇcen´ y homomorfismus F (ξ) : F (M ) → F (N ) takov´ y, ˇze F (ξ) · φM = φN · ξ. Z jednoznaˇcnosti dále okamˇzitˇe dostáváme, ˇze F (id) = id a F (ξ · η) = F (ξ) · F (η). 6.2. Tvrzen´ı. 1. Je-li A netriviáln´ı tˇr´ıda algeber, je zobrazen´ı φM do volné algebry vˇzdy prosté. 2. Mnoˇzina φM [M ] generuje algebru F (M ). 79

3. Pokud volná algebra nad M existuje, je aˇz na isomorfismus jednoznaˇcnˇe urˇcena. Pˇresnˇeji, je-li φ0 : M → F 0 jiné zobrazen´ı do algebry F 0 ∈ A splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku z 6.1, existuje isomorfismus h : F (M ) → F 0 takový, ˇze hφM = φ0 . ˇ A ∈ A algebra s aspoˇ D˚ ukaz. 1. Bud n dvˇema prvky. Pro x 6= y v M zvolme zobrazen´ı f : M → A takové, ˇze f (x) 6= f (y). Pro pˇr´ısluˇsn´ y homomorfismus pak máme h(φM (x)) 6= h(φM (x)) a tedy φM (x) 6= φM (x). 2. Oznaˇcme k : M ⊆ Gen(φM [M ]), j : Gen(φM [M ]) ⊆ F (M ) zobrazen´ı vloˇzen´ı; tedy je φM = jk. Je-li h : F (M ) → Gen(φM [M ]) homomorfismus pro kter´ y hφM = k, je jhφM = jk = φM a tedy jh = id (podle jednoznaˇcnosti), takˇze j mus´ı b´ yt homomorfismus na, a Gen(φM [M ]) = F (M ). 3. Máme homomorfismy h : F (M ) → F 0 a h0 : F 0 → F (M ) takové, ˇze hφM = φ0 a h0 φ0 = φM . Proto je h0 hφM = φM a hh0 φ0 = φ0 a jelikoˇz téˇz id · φM = φM a id · φ0 = φ0 je podle poˇzadavku jednoznaˇcnosti hh0 = id a h0 h = id. 6.3. Tvrzen´ı. Budˇ q : A → B homomorfismus na. Potom pro kaˇzdý homomorfismus h : F (M ) → B existuje homomorfismus f : F (M ) → A takový, ˇze h = qf . D´ ukaz. Zvolme (s uˇzit´ım axiomu v´ ybˇeru) zobrazen´ı ξ : B → A takové, ˇze qξ = id. K zobrazen´ı ξhφM : M → A pak vezmˇeme homomrfismus f : F (M ) → A takov´ y, ˇze f φM = ξhφM . Potom je qf φM = qξhφM = hφM a z jednoznaˇcnosti (qf i h jsou homomorfismy) koneˇcnˇe qf = h. Ve zbytku tohoto odd´ılu se omez´ıme na finitárn´ı typy. Ne ˇze by neplatilo v´ıce (jev “volného rozˇs´ıˇren´ı” jde i daleko za rámec algebry). Technicky to vˇsak zvládneme snadnˇeji a fakta také budou názornˇejˇs´ı. 6.4. Vˇ eta. Budˇ ∆ = (nt )t∈T finitárn´ı typ a budˇ A ⊆ Alg(∆) netriviáln´ı tˇr´ıda algeber uzavˇrená na tvoˇren´ı souˇcin˚ u, podalgebry a isomorfismy. Potom pro kaˇzdou mnoˇzinu M existuje volná algebra nad M vzhledem k A. D˚ ukaz. Zvolme R mnoˇzinu algeber z A takovou, ˇze pro kaˇzdou algebru z A která má generuj´ıc´ı mnoˇzinu mohutnosti ≤ |M | existuje v R algebra isomorfn´ı (to jde podle 3.4.2). Dále oznaˇcme U = {u |u : M → Bu ∈ R libovolné zobrazen´ı}, Uvaˇzujme souˇcin pv :

Y

Bu → Bv

u∈U

80

Q a zobrazen´ı ψ : M → Bu dané podm´ınkou pu ψ = u pro kaˇzdé u (tady jde o vlastnost kartézského souˇcinu nosn´ ych mnoˇzin algeber Bu podle I.3.6, ne o vlastnost souˇcinu algeber). Vzhledem k tomu, ˇze systém A je netriviáln´ı existuje pro kaˇzdé x 6= y zobrazen´ı u takové, ˇze u(x) 6= u(y) takˇze ψ mus´ı b´ yt prosté. Koneˇcnˇe definujme φ : M → F (M ) = Gen(ψ[m]) pˇredpisem φ(x)Q= ψ(x). Tedy, oznaˇc´ıme-li ι homomorfismus vloˇzen´ı F (M ) = Gen(ψ[m]) do Bu , máme ιφ = ψ. ˇ nyn´ı A ∈ A libovolná, a f : M → A libovolné zobrazen´ı. Oznaˇcme Bud B = Gen(f [M ]) a rozloˇzme f na zobrazen´ı g

j=⊆

M −−−→ B −−−→ A. Podle volby mnoˇziny R existuje isomorfismus : B → B 0 ∈ R. Poloˇzme u = g

a h = j−1 pu ι.

Potom máme hφ = j−1 pu ιφ = j−1 pu ψ = j−1 u = j−1 g = jg = f. Jednoznaˇcnost h takového, ˇze hφ = f plyne z 3.5.

6.5. Vˇ eta. Budˇ ∆ = (nt )t∈T finitárn´ı typ a budˇ A ⊆ Alg(∆) netriviáln´ı tˇr´ıda algeber uzavˇrená na tvoˇren´ı souˇcin˚ u, podalgebry a isomorfismy. Potom kaˇzdá algebra z A je isomorfn´ı s faktoralgebrou volné algebry podle vhodné kongruence. K tomu je moˇzno vz´ıt volnou algebru nad nosnou mnoˇzinou algebry A. ˇ A = (X, α). Vezmˇeme f : X → A identické zobrazen´ı a k D˚ ukaz. Bud nˇemu homomorfismus h : F (X) → A takov´ y, ˇze hφ = f . Potom je h zˇrejmˇe homomorfismus na. Pouˇzijte 2.5. 6.6. Voln´ e algebry v Alg((nt )t∈T ). V tomto odstavci pop´ıˇseme explicite volné algebry vzhledem k celé tˇr´ıdˇe Alg((nt )t∈T ). Nejde ani tak o to, m´ıt nˇeco konstruktivnˇejˇs´ıho neˇz tvrzen´ı v 6.4 – s voln´ ymi algebrami se obvykle pracuje pˇr´ımo podle definice, a existence staˇc´ı. Umoˇzn´ı nám to ale lehk´ y d˚ ukaz jednoho uˇziteˇcného lemmatu (6.6.1 dole). 81

Dalˇs´ı v´ yhoda bude v tom, ˇze si na základˇe tohoto explicitn´ıho popisu bude ˇctenáˇr moci lépe pˇredstavit rovnosti v definici variet v dalˇs´ım odd´ıle. ˇ tedy ∆ = (nt )t∈T finitárn´ı typ a bud ˇ M libovolná mnoˇzina. Pro Bud t ∈ T zvolme r˚ uzné symboly σt , a jeˇstˇe jeden, λ, nav´ıc. Definujme nyn´ı termy w a jejich stupnˇe |w| takto: • λ je term a |λ| = 1, • jsou-li w1 , . . . , wnt termy je w = σt ·w1 w2 . . . wnt term a |w| = je-li nt = 0 je σt term a |σt | = 0.

Pnt

j=1

|wj |;

Volné výrazy (pˇresnˇeji, volné M -výrazy) jsou w[x1 x2 . . . xn ] kde w je term a x1 . . . xn je slovo v prvc´ıch z M délky |w|; v pˇr´ıpadˇe délky 0 je samozˇrejmˇe prázdné. Na mnoˇzinˇe vˇsech voln´ ych v´ yraz˚ u definujme operace ωt , t ∈ T , pˇredpisem ωt (w1 [x11 . . . ], . . . , wnt [xn1 t . . . ]) = σt · w1 . . . wnt [x11 . . . x1|w1 | x21 . . . . . . xn1 t . . . ] a z´ıskanou algebru typu ∆ oznaˇc´ıme F (M ) a uvaˇzujeme ji spolu se zobrazen´ım φ = (x 7→ λ[x]) : M → F (M ). ˇ nyn´ı A = (X, (αt )t ) algebra z Alg((nt )t∈T ). Interpretacemi term˚ Bud uwvA rozum´ıme zobrazen´ı w definovaná takto: λ = id, σt .w1 . . . wnt = αt ◦ (w1 × · · · × wnt ) (kde ◦ je skládán´ı zobrazen´ı a (f × g)(x, y) = (f (x), f (y))). Je-li f : M → A zobrazen´ı definujme h : F (M ) → A pˇredpisem h(w[x1 . . . xm ]) = w(f (x1 ), . . . , f (xm )).

82

Ukáˇzeme, ˇze je to homomorfismus: h(ωt (w1 [x11 . . . ], w2 [x21 . . . ], . . . )) = h(σt · w1 . . . wnt [x11 . . . x21 . . . . . . xn1 t . . . ]) = σt · w1 . . . wnt (f (x11 ), . . . , f (x21 ), . . . . . . , f (xn1 t ) . . . ) = αt (w1 (f (x11 ), . . . ), w2 (f (x21 ), . . . ), . . . , wnt (f (xn1 t ), . . . )) = αt (h(w1 [x11 . . . ]), h(w2 [x21 , . . . ]), . . . , h(wnt [xn1 t . . . ])). Máme h(λ[x]) = f (x); algebra F (M ) je generována systémem {λ[x] |x ∈ M } a tedy je takov´ y homomorfismus urˇcen jednoznaˇcnˇe. Pozn´ amka. Na termy se m˚ uˇzete d´ıvat jako na odvozené operace v nichˇz vˇsechny promˇenné jsou r˚ uzné, [x1 , . . . , xn ] vyznaˇcuj´ı, zhruba ˇreˇceno, jak a s jak´ ym opakován´ım tam promˇenné vstupuj´ı. V 7.3 tomu bude dán pˇresnˇejˇs´ı smysl. 6.6.1. Lemma. Budˇ F (M ) volná algebra v Alg((nt )t∈T ). Budˇ X koneˇcná podmnoˇzina F (M ). Potom existuje koneˇcná K ⊆ M taková, ˇze X ⊆ F (K). D˚ ukaz. Staˇc´ı vz´ıt mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u x, které se vyskytnou mezi xj v w[x1 , . . . xn ] ∈ X.

7. Tˇ r´ıdy algeber uzavˇ ren´ e na z´ akladn´ı operace. Variety Vˇsechny tˇr´ıdy algeber A v tomto a dalˇs´ım odd´ılu budou automaticky povaˇzovány za uzavˇrené na isomorfismy, t.j., je-li A ∈ A a je-li B algebra isomorfn´ı s A, je B ∈ A. Dále, typ bude finitárn´ı, i kdyˇz to v nˇekter´ ych tvrzen´ıch nen´ı nutné. 7.1. Tˇ r´ıdy S, P a H. Pro tˇr´ıdu algeber A ⊆ Alg(∆) definujeme SA = {B |∃ prost´ y homomorfismus j : B → A ∈ A}, Y PA = { Ai |(Ai )i∈J libovoln´ y soubor algeber z A}, i∈J

HA = {B |∃ homomorfismus na h : A → B, A ∈ A}. Volnˇeji ˇreˇceno, SA je tˇr´ıda A rozˇs´ıˇrená o vˇsechny podalgebry, PA o vˇsechny souˇciny, a HA o vˇsechny faktorové algebry. 83

Pozn´ amka. Jedná se o ustálené znaˇcen´ı, které vycház´ı z term´ın˚ u subuˇze trochu mást inverse algebra, produkt a homomorfn´ı obraz. V ˇceˇstinˇe m˚ S pro podalgebry a P pro souˇciny. Nebudeme kv˚ uli tomu terminologii ani znaˇcen´ı mˇenit, jen snad, abychom trochu zmaten´ı ulevili, budeme zde (ze dvou alternativ z 4.1) uˇz´ıvat v´ yraz produkt m´ısto souˇcin. 7.2. Tvrzen´ı. HSPA je nejmenˇs´ı tˇr´ıda algeber daného typu obsahuj´ıc´ı A a uzavˇrená na podalgebry, produkty a faktorové algebry. D˚ ukaz. Triviálnˇe plat´ı SSA = SA,

PPA = PA a HHA = HA.

Po ˇradˇe podle 5.7, 5.5 a 4.3 máme SHA ⊆ HSA,

PHA ⊆ HPA a PSA ⊆ SPA.

Tedy je S(HSPA) ⊆ HSSPA = HSPA, P(HSPA) ⊆ HPSPA ⊆ HSPPA = HSPA a H(HSPA) = HSPA. Na druhé stranˇe, je-li B ⊇ A uzavˇrená na podalgebry, produkty a faktoralgebry, je zˇrejmˇe B ⊇ HSPA. 7.3. Velmi ˇcasto b´ yvá tˇr´ıda algeber popsána poˇzadavkem na splnˇen´ı rovnost´ı, jako tˇreba (∀xy) x + y = y + x (“komutativita souˇctu”) nebo (∀xyz) x · (y · z) = (x · y) · z

(“asociativita souˇcinu”),

nebo (∀xyz) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (“distributivita”). U polosvaz˚ u popisovan´ ych jako algebry ve tˇret´ı kapitole jsme se dále setkali tˇreba s rovnic´ı x ∧ x = x. 84

Co maj´ı takové poˇzadavky spoleˇcného: Jsou dány dvojice v´ yraz˚ u (ty v´ yrazy pak jsou odvozené operace spolu se specifikac´ı toho, jak do nich vstupuj´ı promˇenné) a jde o to, ˇze maj´ı dát pro kaˇzdé (specifikované) dosazen´ı stejnou hodnotu. Snadno a ve velké obecnosti to m˚ uˇzeme popsat pomoc´ı voln´ ych algeber. Vezmˇemˇe jednou pro vˇzdy spoˇcetnou mnoˇzinu Ω = {a1 , a2 , a3 , . . .}. Pˇripomeˇ nte si 6.6. V´ yrazy w[x1 · · · xm ] ∈ F (Ω) obsahuj´ı 1. w, zakodován´ı odvozené operace (popisem toho jak vznikla sloˇzen´ım ze základn´ıch operac´ı – ty v tom vystupuj´ı sv´ ymi “jmény” σt –, a z identit), 2. x1 · · · xm specifikaci toho, v jakém poˇrad´ı a s jak´ ym opakován´ım do nich promˇenné vstupuj´ı. Poˇzadavek splnˇen´ı urˇcité rovnice je pak dán v´ ybˇerem dvojice prvk˚ u u, v ∈ F (Ω) a stanoven´ım, ˇze pro vˇsechny homomorfismy h : F (Ω) → A je h(u) = h(v). Pˇ r´ıklad. Tˇreba pro distributivitu nahoˇre m˚ uˇzeme vz´ıt u = (souˇcin)(λ((souˇcet)λλ))[a1 a2 a3 ], v = (souˇcet)((souˇcin)λλ)(souˇcin)λλ))[a1 a2 a1 a3 ]. (Symboly λ pˇredstavuj´ı “vloˇzen´ı basick´ ych prvk˚ u”, ale i identickou operaci.) To vede k následuj´ıc´ı definici: ˇ M mnoˇzina a E libovolná podmnoˇzina produktu F (M ) × F (M ). DefinBud ujme MM (E) = {A |∀ homomorfismus h : F (M ) → A, ∀(u, v) ∈ E, h(u) = h(v)}. MM (E) je tedy tˇr´ıda vˇsech algeber daného typu splˇ nuj´ıc´ı vˇsechny rovnice zakodované v E; nˇekdy se o n´ı mluv´ı jako o tˇr´ıdˇe model˚ u (teorie) E.

85

Pozn´ amka. M´ısto Ω zde máme obecnou mnoˇzinu M . D˚ uvody jsou technické – nakonec uvid´ıme, ˇze s F (Ω) vystaˇc´ıme. Protˇejˇskem k této operaci bude následuj´ıc´ı: pro libovolnou tˇr´ıdu algeber A ⊆ Alg(∆) poloˇz´ıme EM (A) = {(u, v) ∈ F (M )×F (M ) |∀ homom. h : F (M ) → A ∈ A, h(u) = h(v)}. Následuj´ıc´ı formule se ovˇeˇr´ı zcela besprostˇrednˇe. A ⊆ B ⇒ EM (A) ⊇ Em (B), E1 ⊆ E2 ⇒ MM (E1 ) ⊇ MM (E2 ), A ⊆ MM (EM (A)), E ⊆ EM (MM (E)). Tedy jsou operátory MM a EM ve vztahu “kontravariantn´ı Galoisovy adjunkce”. Opatrné uvozovky p´ıˇseme proto, ˇze operátor EM nem˚ uˇzeme dost dobˇre chápat jako zobrazen´ı (definiˇcn´ı obor by byl systém vlastn´ıch tˇr´ıd, a mˇeli bychom pot´ıˇze s teori´ı mnoˇzin). Nicménˇe z formul´ı snadno odvod´ıme tˇreba ˇze EM MM EM A = EM A a MM EM MM E = MM E. 7.4. Tˇr´ıdy algeber tvaru MM (E) naz´ yváme varietami algeber nebo primitivn´ımi tˇr´ıdami algeber (typu ∆). Nˇekteˇr´ı autoˇri prosazuj´ı m´ısto tˇechto málo v´ ymluvn´ ych v´ yraz˚ u v´ ystiˇznˇejˇs´ı term´ın “rovnicová tˇr´ıda” (equational class). Taky bych to v´ıtal, ale v ˇceˇstinˇe to nˇejak moc dobˇre nezn´ı. 7.5. Lemma. Kaˇzdá varieta algeber je uzavˇrená na podalgebry, produkty a faktorové algebry. ˇ A = MM (E), A ∈ A a (u, v) ∈ E. D˚ ukaz. Bud Je-li j : B → A prost´ y homomorfismus a h : F (M ) → B homomorfismus, je jh homomorfismus do A, tedy jh(u) = jh(v) a koneˇcnˇe h(u) = h(v). Je-li q : A → B homomorfismus na a je-li h : F (M ) → B homomorfismus, vezmeme podle 6.3 homomorfismus f : F (M ) → A takov´ y, ˇze qf = h a dostaneme h(u) = qf (u) = qf (v) = h(v). ˇ Ai ∈ A a h : F (M ) → Q Ai . Potom pro kaˇzdé i je Koneˇcnˇe budte J pi h(u) = pi h(v) a tedy h(u) = (pi h(u))i∈J = (pi h(v))i∈J = h(v). 86

8. Birkhoffova vˇ eta o variet´ ach 8.1. Lemma. Budˇ A tˇr´ıda algeber uzavˇrená na podalgebry (t.j., A = SA). Potom je EM A pr˚ unik vˇsech kongruenc´ı Θ na F (M ) takových, ˇze F (M )/Θ je v A. D˚ ukaz. Podle definice je (u, v) ∈ EM (A) právˇe kdyˇz (pˇripomeˇ nte si oznaˇcen´ı z 5.4) ∀ h : F (X) → A ∈ A, (u, v) ∈ Eh . Jelikoˇz Eh = Eg kde g : F (M ) → h[F (M )] je definováno pˇredpisem g(x) = h(x), m˚ uˇzeme se pˇri tom omezit na homomorfismy na (algebra h[F (M )] je v SA a tedy opˇet v A) a tedy \ EM (A) = {Eh |h : F (M ) → A ∈ A homomorfismus na}. 8.2. Z tvrzen´ı 8.1 a 5.6 okamˇzitˇe dostáváme D˚ usledek. Budˇ A tˇr´ıda algeber uzavˇrená na podalgebry a produkty. Potom je F (M )/EM A v A. 8.3. Lemma. Pro libovolnou mnoˇzinu M je MΩ EΩ A = MM EM A. D˚ ukaz. Pro (u, v) ∈ EM (A) m˚ uˇzeme podle 6.5.1 zvolit koneˇcnou podmnoˇzinu K ⊆ M takovou, ˇze u, v ∈ F (K). Zvolme K0 ⊆ Ω a zobrazen´ı γ : Ω → M , γ : M → Ω jejichˇz restrikce na K0 a K jsou vzájemnˇe inversn´ı. Pˇripomeˇ nme si 6.1.1 a poloˇzme f = F (γ) : F (Ω) → F (M ) a f = F (γ) : F (M ) → F (Ω). Pro x ∈ F (K0 ) a y ∈ F (K) máme f f (x) = x a f f (y) = y (z definice F (ξ) a formul´ı v 6.1.1 snadno zjist´ıme, ˇze restrikce f a f na F (K0 ) a F (K) jsou obrazy restrikc´ı γ, γ na K0 , K v korespondenci ξ 7→ F (ξ)). Tedy pro u0 = f (u) a v0 = f (v) a libovoln´ y homomorfismus h : F (Ω) → B ∈ A máme h(u0 ) = hg(u) = hf (v) = h(v0 ), takˇze (u0 , v0 ) ∈ EΩ A. 87

ˇ nyn´ı A libovolná algebra z MΩ EΩ A a h : F (M ) → A libovoln´ Bud y homomorfismus. Pro (u, v) ∈ EM A vezmˇeme u0 , v0 a f zvolené v pˇredchoz´ım odstavci. Tedy je (u0 , v0 ) ∈ EΩ A a tedy hf (u0 ) = hf (v0 ). To ale znamená, ˇze h(u) = hf f (u) = hf (u0 ) = hf (v0 ) = hf f (v) = h(v). Tedy je A ∈ MM EM A. 8.4. Vˇ eta. (Birkhoffova vˇeta o varietách.) Tˇr´ıda algeber A ⊆ Alg(∆) je varieta právˇe kdyˇz je uzavˇrená na isomorfismy, podalgebry, produkty a faktorové algebry. D˚ ukaz. Je-li A varieta, je A = HSPA podle 7.5. ˇ nyn´ı A = HSPA. Dokáˇzeme, ˇze A = MΩ E, kde E = EΩ A. Bud ˇA= Bud (X, α) ∈ MΩ EΩ A. Podle 6.4 existuje homomorfismus h zobrazuj´ıc´ı F (X) na A. Podle 8.3 je A ∈ MX EX A a tedy podle 8.1 máme EX A ⊆ Eh . Podle 2.5.2 existuje homomorfismus g : F (X)/EX A → A takov´ y, ˇze gq = h, kde q : F (X) → F (X)/EX A zobrazuje x na xEX A. Podle 8.2 je F (X)/EX A ∈ A. Jelikoˇz h je na, mus´ı b´ yt i g na a tedy koneˇcnˇe A ∈ HA = A. Dokázali jsme, ˇze MΩ EΩ A ⊆ A; opaˇcná inkluse plat´ı vˇzdy. 8.5. Z 7.2 dostaneme okamˇzitˇe D˚ usledek. Budˇ A ⊆ Alg(∆) libovolná tˇr´ıda algeber. Potom HSPA je nejmenˇs´ı varieta obsahuj´ıc´ı A.

9. Pozn´ amky o nˇ ekter´ ych speci´ aln´ıch algebr´ ach Tento odd´ıl nen´ı nijak systematick´ y. Jeho u ´ˇcelem je pˇripomenout nˇekolik jednoduch´ ych fakt, která patˇr´ı k vˇseobecnému matematickému vzdˇelán´ı. Pˇripomeneme pojmy pologrupy a monoidu; zejména ukáˇzeme, ˇze asociativn´ı operaci je vˇzdy moˇzno representovat jako operaci skládán´ı zobrazen´ı, a k tomu jeˇstˇe nˇeco v´ıce. Podobn´ y fakt ukáˇzeme o grupách. U grup pak jeˇstˇe na chv´ıli z˚ ustaneme a zm´ın´ıme se o zvláˇstn´ım chován´ı kongruenc´ı. Podobné speciáln´ı chován´ı kongruenc´ı uvid´ıme potom téˇz u okruh˚ u. S t´ım souvis´ı pojem ideálu; dalˇs´ımi aspekty tohoto pojmu kapitolu uzavˇreme. 9.1. Pologrupa je algebra typu (2) jej´ıˇz jediná binárn´ı operace (oznaˇcme

88

ji tˇreba ·) je asociativn´ı, t.j. splˇ nuje rovnici ∀x, y, z

x · (y · z) = (x · y) · z.

Monoid je algebra (X, ·, e) typu (2, 0) taková, ˇze (X, ·) je pologrupa a konstanta e splˇ nuje rovnici ∀x x · e = e · x = x.

(∗)

Plat´ı-li jeˇstˇe ∀x, y

x·y =y·x

mluv´ıme o komutativn´ı pologrupˇe resp. komutativn´ım monoidu. 9.1.1. Pozorov´ an´ı. Kaˇzdou pologrupu je moˇzno rozˇs´ıˇrit na monoid. Staˇc´ı totiˇz pˇridat nov´ y prvek e a definovat pro nˇej násoben´ı pravidlem (∗). Uvˇedomte si, ˇze pokud jiˇz v naˇs´ı pologrupˇe prvek e0 chovaj´ıc´ı se jako jednotka byl, v rozˇs´ıˇreném monoidu jiˇz jednotkou nen´ı – máme e0 e = e0 , nikoli e0 e = e. 9.1.2. Skládán´ı zobrazen´ı je asociativn´ı a tedy kaˇzdá mnoˇzina S zobrazen´ı X → X uzavˇrená na skládán´ı pologrupa; je-li v S identické zobrazen´ı a povaˇzujeme-li je za nulárn´ı operaci, máme monoid. Ve skuteˇcnosti, aˇz na isomorfismus, jiné pologrupy a monoidy nejsou, totiˇz kaˇzdá pologrupa m˚ uˇze být representována jako pologrupa zobrazen´ı nˇejaké mnoˇziny do sebe, se skládán´ım jako operac´ı. Dokáˇzeme silnˇejˇs´ı tvrzen´ı. Pro algebru A oznaˇcme symbolem End(A) monoid vˇsech endomorfism˚ u h : A → A. Plat´ı Tvrzen´ı (Cayleyova representace). Kaˇzdý monoid M je isomorfn´ı s monoidem End(A) pro nˇejakou algebru A s dostateˇcnˇe mnoha unárn´ımi operacemi. Je moˇzno volit takovou, ˇze |A| ≤ |M |. D˚ ukaz. Pro monoid S = (X, ·, e) (násoben´ı v nˇem dále budeme oznaˇcovat pouze juxtaposic´ı) vezmˇeme algebru A = (X, (ρs )s∈X )

89

kde unárn´ı operace ρs jsou dány pˇredpisy (x 7→ xs) (ˇr´ıká se jim pravé translace). Pro s ∈ X dále definujme levé translace λ(s) = (x 7→ sx) : X → X. Ukáˇzeme, ˇze λ : S → End(A) je isomorfismus monoid˚ u. I. Kaˇzdé zobrazen´ı λ(s) je homomorfismus A → A: pro kaˇzdé t ∈ X máme λ(s)(ρt x) = s(xt) = (sx)t = ρt (λ(s)(x)). II. λ(e)(x) = ex = x, tedy λ(e) je identick´ y isomorfismus, a dále máme (λ(s) · λ(t))(x) = λ(s)(λ(t)(x)) = s(tx) = (st)x = λ(st)(x). Tedy je λ homomorfismus. III. Je-li s 6= t máme λ(s)(e) = s 6= t = λ(t)(e), tedy je λ prosté. IV. Koneˇcnˇe, kaˇzd´ y endomorfismus h : A → A je levá translace: máme h(x) = h(ex) = h(ρx e) = ρx (h(e)) = h(e)x = λh(e) (x). Pozn´ amka. Monoidy je moˇzno representovat jako End(A) s mnohem speciálnˇejˇs´ımi typy algeber, na pˇr´ıklad s pouze dvˇema unárn´ımi operacemi, nebo s jednou binárn´ı operac´ı (dokonce asociativn´ı). Takové representace jsou ovˇsem mnohem obt´ıˇznˇejˇs´ı. 9.2. Grupa je algebra (X; ·, e, ( )−1 ) typu (2, 0, 1) kde (X; ·, e) je monoid, a pro zb´ yvaj´ıc´ı unárn´ı operaci nav´ıc plat´ı ∀x,

x · x−1 = x−1 · x = e.

Nˇekdy se setkáváme, zvláˇsˇt ve starˇs´ı literatuˇre, s trochu jin´ ym zaveden´ım pojmu grupy, totiˇz jako algebry G s asociativn´ı operac´ı (tedy pologrupy) v n´ıˇz • existuje prvek e ∈ G takov´ y, ˇze pro vˇsechna x ∈ G je xe = ex = x (a o tom se vzápˇet´ı dokáˇze, ˇze je jen jeden), • a ke kaˇzdému x ∈ G existuje y ∈ G takové, ˇze xy = yx = e (a opˇet se hned dokáˇze, ˇze prvek y je jednoznaˇcnˇe urˇcen prvkem x). 90

Pˇri tomto pˇr´ıstupu (na rozd´ıl od prvn´ıho, kdy dostaneme varietu algeber) podalgebra grupy nemus´ı b´ yt grupa – k tomu je nutné explicite ˇza´dat, aby pˇr´ısluˇsná podmnoˇzina byla uzavˇrená na zb´ yvaj´ıc´ı operace. Homomorfismy ale vyjdou na stejno (dokaˇzte to jako jednoduché cviˇcen´ı). Abelova grupa je grupa, v n´ıˇz nav´ıc plat´ı ∀xy

xy = yx.

Poznamenejme, ˇze je zvykem naznaˇcovat, ˇze se jedná o Abelovu grupu t´ım, ˇze operace se p´ıˇse jako souˇcet (a i pro pˇr´ısluˇsnou unárn´ı operaci se uˇz´ıvá sugestivn´ıho znaˇcen´ı −x, a také x − y pro x + (−y) a podobnˇe. 9.2.1. Vˇetu o Cayleyovˇe representaci m˚ uˇzeme snadno z´ uˇzit na grupy. Pro algebru A oznaˇcme symbolem Aut(A) grupu vˇsech automorfism˚ u h : A → A. Obdobnˇe jako v 9.1.2 dostaneme Tvrzen´ı. Pro kaˇzdou grupu G existuje algebra A s dostateˇcnˇe mnoha unárn´ımi operacemi taková, ˇze G ∼ = Aut(A) ∼ = End(A), a ˇze |A| ≤ |S|. Triviáln´ım d˚ usledkem je znám´ y fakt, ˇze kaˇzdá koneˇcná grupa je aˇz na isomorfismus grupa permutac´ı nˇejaké koneˇcné mnoˇziny (ne nutnˇe vˇsech, samozˇrejmˇe). 9.3. Ve varietˇe grup maj´ı kongruence zaj´ımavé chován´ı. Neˇz k nˇemu dojdeme, zavedeme si následuj´ıc´ı znaˇcen´ı (které budeme uˇz´ıvat i u podobné záleˇzitosti t´ ykaj´ıc´ı se okruh˚ u v dalˇs´ıch odstavc´ıch). Pro libovolné dvˇe podmnoˇziny X, Y ⊆ G piˇsme XY = {xy |x ∈ X, y ∈ Y }, a zjednoduˇsujeme {a}X na aX. Okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze (XY )Z = X(Y Z) (= {xyz |x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z}) a ˇze je-li A podgrupa, je AA = A. ˇ Rekneme, ˇze podgrupa N ⊆ G je normáln´ı, plat´ı-li ∀a ∈ G, aN = N a. 91

9.3.1. Pozorov´ an´ı. Je-li N ⊆ G normáln´ı podgrupa, jsou aN a bN budˇ totoˇzné nebo disjunktn´ı. Jelikoˇz aN bN = abN N = abN a aN a−1 N = eN = N , mnoˇzina {aN |a ∈ G} tvoˇr´ı grupu (s jednotkou N ). Oznaˇc´ıme ji G/N. (Je-li ax = by a x, y ∈ N je a = bxy −1 a tedy aN ⊆ bN .) 9.3.2. Tvrzen´ı. 1. Pro kaˇzdý homomorfismus grup h : G → H je h−1 [e] normáln´ı podgrupa grupy G. 2. Korespondence E 7→ {x |xEe} a N 7→ {(x, y) |x−1 y ∈ N } popisuj´ı vzájemnˇe jednoznaˇcný vztah mezi kongruencemi na G a normáln´ımi podgrupami. D˚ ukaz. 1. Pro x ∈ h−1 [e] a libovolné a máme axa−1 ∈ h−1 [e] a ax = (axa−1 )a. 2. A = {x |xEe} je zˇrejmˇe podgrupa; pro x ∈ A a libovolné a ∈ G je axEa a tedy axa−1 Ee a ax = (axa−1 )a. Tedy je A normáln´ı. Pro grupu G/N z 9.3.1 vezmˇeme homomorfismus h = (a 7→ aN ) : G → G/N ; potom je Eh = {(a, b) |aN = bN } = {(a, b) |a−1 b ∈ N } (je-li a = bx, x ∈ N , je b−1 a = x ∈ N ) a tedy je ekvivalence {(a, b) |a−1 b ∈ N } kongruence. To, ˇze pˇriˇrad´ıme-li podle formul´ı E 7→ N 7→ E 0 a N 7→ E 7→ N 0 dostaneme E 0 = E a N 0 = N se snadno ovˇeˇr´ı a m˚ uˇze b´ yt ponecháno ˇctenáˇri. 9.4. Komutativn´ı okruh s jednotkou (dále jen okruh, o obecnˇejˇs´ıch okruz´ıch mluvit nebudeme) je algebra R = (X; +, −( ), 0, ·, 1) typu (2, 1, 0, 1, 0) kde • (X; +, −( ), 0) je Abelova grupa, • (X; ·, 1) je komutativn´ı monoid, • a kromˇe toho plat´ı rovnice x(y + z) = xy + xz. ˇ aˇr se jistˇe (Násoben´ı x · y jiˇz p´ıˇseme xy.) Okruhy tedy tvoˇr´ı varietu. Cten´ jiˇz na zaˇcátku studia seznámil se dvˇema speciáln´ımi pˇr´ıpady okruh˚ u: s obory integrity, kde se nav´ıc poˇzaduje xy = 0

⇒

x = 0 nebo y = 0, 92

a tˇelesy, kde ke kaˇzdému x 6= 0 existuje y takové, ˇze xy = 1. Ani obory integrity ani tˇeles jiˇz variety netvoˇr´ı (vid´ıme to hned napˇr. z toho, ˇze nejsou uzavˇrené na produkty). 9.4.1. Ideálem v okruhu R rozum´ıme podmnoˇzinu J ⊆ R takovou, ˇze • J je podgrupa grupy (X; +, −( ), 0) a • je-li x ∈ J a y ∈ R obecn´ y prvek, je xy ∈ J. (Srovnejte s ideály v distributivn´ıch svazech, III.3.) Budou nás zaj´ımat vlastn´ı ideály J 6= R (coˇz je totéˇz jako poˇzadavek 1 ∈ / J). Tvrzen´ı. Vlastn´ı ideály jsou korespondencemi J 7→ E = {(x, y) |x − y ∈ J},

E 7→ J = {x |xE0}

dány do vzájemnˇe jednoznaˇcného vztahu s netriviáln´ımi kongruencemi (t.j., takovými, ˇze 0 nen´ı kongruentn´ı s 1). ˇ xEx0 a yEy 0 . Potom D˚ ukaz. E = {(x, y) |x − y ∈ J} je kongruence: Bud je (x + y) − (x0 + y 0 ) = (x − x0 ) + (y − y 0 ) ∈ J, (−x) − (−x0 ) = −(x − x0 ) ∈ J, takˇze (x + y)E(x0 + y 0 ) a (−x)E(−x0 ); dále, xy − x0 y = xy − x0 y + x0 y − x0 y 0 = (x − x0 )y + x0 (y − y 0 ) ∈ J a tedy i (xy)E(x0 y 0 ). J = {x |xE0} je ideál: Je-li x, yE0 je (x ± y)E(0 ± 0) = 0 a pro z obecné je (xz)E(0z) = 0. Pˇriˇrad´ıme-li podle formul´ı J 7→ E 7→ J 0 a E 7→ J 7→ E 0 dostaneme x ∈ J 0 právˇe kdyˇz xE0 právˇe kdyˇz x = x − 0 ∈ J, a xE 0 y právˇe kdyˇz x − y ∈ J právˇe kdyˇz (x − y)E0 právˇe kdyˇz xEy. 9.5. Podobnˇe jako v III.3 hraj´ı zaj´ımavou roli maximáln´ı ideály, t.j. takové vlastn´ı ideály J, pro které je jedin´ y ostˇre vˇetˇs´ı ideál uˇz jen cel´ y okruh R, a prvoideály, vlastn´ı ideály J pro které plat´ı xy ∈ J

⇒

ˇ x ∈ J nebo y ∈ J. bud

Tvrzen´ı. 1. Kaˇzdý vlastn´ı ideál je moˇzno rozˇs´ıˇrit na maximáln´ı ideál. 2. Kaˇzdý maximáln´ı ideál je prvoideál.

93

D˚ ukaz. 1. Dostaneme standardn´ım pouˇzit´ım Zornova lemmatu (sjednocen´ı systém vlastn´ıch ideál˚ u lineárnˇe uspoˇra´dan´ ych inklus´ı je vlastn´ı ideál – jednotka nebyla v ˇza´dném sˇc´ıtanci). ˇ J maximáln´ı a ab ∈ J. Pˇredpokládejme, ˇze a ∈ 2. Bud / J. Definujme K = {x |xb ∈ J}. K je zˇrejmˇe ideál a J ( K, takˇze mus´ı b´ yt 1 ∈ K a tedy b = 1b ∈ J. V následuj´ıc´ım snadném tvrzen´ı oznaˇc´ıme R/J faktorov´ y okruh z´ıskan´ y podle pˇr´ısluˇsné kongruence. Tvrzen´ı. J je maximáln´ı ideál právˇe kdyˇz R/J je tˇeleso. J je prvoideál právˇe kdyˇz R/J je obor integrity. Ponecháme je jako cviˇcen´ı, s t´ımto návodem: V prvn´ım pˇr´ıpadˇe pro (x, 0) ∈ / E, t.j. x ∈ / J zkoumejte mnoˇzinu (ideál) {yx + j |y obecné, j ∈ J}. V druhém pˇr´ıpadˇe je to jeˇstˇe snazˇs´ı: jestliˇze xyE0 je xy ∈ J, takˇze x ∈ J (a tedy xE0) nebo y ∈ J (a tedy yE0).

94

Kapitola V

Topologie

Pˇr´ıstup˚ u k zachycen´ı pˇredstavy prostoru a spojitosti je mnoho. Studenti se obvykle nejdˇr´ıve setkávaj´ı s pojmem metrického prostoru. Je dána mnoˇzina bod˚ u X a na souˇcinu X × X nezáporná reálná funkce ρ splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky ρ(x, y) = 0 právˇe kdyˇz x = y, ρ(x, y) = ρ(y, x), ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (troj´ uheln´ıková nerovnost). Zobrazen´ı f : (X, ρ) → (Y, σ) mezi metrick´ ymi prostory je spojité jestliˇze ∀x ∈ X ∀ > 0 ∃δ > 0 takové, ˇze ρ(x, y) < δ ⇒ σ(f (x), f (y)) < . Student se také brzy dozv´ı, ˇze pro mnohé u ´ˇcely (tˇreba pro u ´ˇcely matematické analysy) na konkretn´ı metrice ani tak moc nezáleˇz´ı – napˇr´ıklad v euklidovské rovinˇ uˇzeme m´ısto geometricky názorné vzdálenosti ρ((x1 , x2 ), ρ(y1 , y2 )) = p e m˚ (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 vz´ıt pohodlnˇejˇs´ı max(|x1 − y1 |, |x2 − y2 |) a vˇse co se t´ yká spojitosti z˚ ustane stejné. V roce 1914 navrhl Felix Hausdorff popis struktury spojitosti pomoc´ı okol´ı. Ten se ve sv´ ych variantách u ´spˇeˇsnˇe ujal (my budeme dávat pˇrednost variantˇe v n´ıˇz základn´ım pojmem jsou otevˇrené mnoˇziny). Je to pˇr´ıstup velmi názorn´ y: pojem okol´ı zachycuje intuici obklopen´ı (napˇr. bod a takov´ y, ˇze ρ(a, (0, 0)) < 1 je kruhem M = {x |ρ(x, (0, 0)) ≤ 1} obklopen a bod b takov´ y, ˇze ρ(b, (0, 0)) = 1 ne, i kdyˇz je téˇz b ∈ M ). Spojitost zobrazen´ı se pak definuje poˇzadavkem aby ke kaˇzdému x ∈ X a ke kaˇzdému okol´ı V bodu f (x) existovalo okol´ı U bodu x takové, ˇze f [U ] ⊆ V . Pˇ r´ıklad. Na mnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel povaˇzujme M za okol´ı bodu x, existuj´ı-li ˇc´ısla a, b, a < x < b taková, ˇze otevˇren´ y interval (a, b) je ˇca´st´ı M . 95

Ujasnˇete si, ˇze spojitá zobrazen´ı v právˇe uvedeném smyslu jsou pˇresnˇe ta, která byla spojitá v bˇeˇzné δ-definici. Pomoc´ı okol´ı m˚ uˇzeme leccos zjednoduˇsit. Vezmˇeme tˇreba rozˇs´ıˇrenou pˇr´ımku R ∪ {−∞, +∞}, pro body z R definujme okol´ı jako dˇr´ıve, a pro +∞ (resp. −∞) vezmˇeme taková M pro která existuje ˇc´ıslo K tak, ˇze {x |x > K} ⊆ M (resp. {x |x < K} ⊆ M ). Potom formule pro kaˇzdé okol´ı U bodu b existuje okol´ı V bodu a tak, ˇze f [V \ {a}] ⊆ U definuje limitu funkce f v bodˇe a jako b, aˇt uˇz je kterékoli z ˇc´ısel a, b vlastn´ı nebo nevlastn´ı.

1. Z´ akladn´ı topologick´ e pojmy ˇ 1.1. Rekneme, ˇze na mnoˇzinˇe X je definována topologie pomoc´ı okol´ı je-li pro kaˇzd´ y prvek x ∈ X urˇcena neprázdná mnoˇzina U(x) ⊆ exp X taková, ˇze (ok1) pro kaˇzdou U ∈ U(x), x ∈ U , (ok2) U, V ∈ U(x)

⇒

(ok3) U ∈ U(x) & U ⊆ V

U ∩ V ∈ U(x), ⇒

V ∈ U(x),

(ok4) pro kaˇzdou U ∈ U(x) existuje W ∈ U(x), W ⊆ U , takové,ˇze pro kaˇzdé y ∈ W je U ∈ U(y). 1.1.1. Fakt. Plat´ı-li (ok1) aˇz (ok4), plat´ı téˇz formálnˇe silnˇejˇs´ı (ok4’) pro kaˇzdou U ∈ U(x) existuje W ∈ U(x), W ⊆ U takové, ˇze pro kaˇzdé y ∈ W je W ∈ U(y). D˚ ukaz. Mnoˇzina W = {y |U ∈ U(y)} obsahuje x a je obsaˇzena v U . Pro y ∈ W existuje podle (ok4) okol´ı V ⊆ U takové, ˇze pro kaˇzdé z ∈ V je U ∈ U(z). Tedy je V ⊆ W a podle (ok3) je W ∈ U(y). ˇ jin´ 1.2. Pop´ıˇseme ted y pˇr´ıstup (brzy se ukáˇze, ˇze je s pˇredchoz´ım ekˇ vivalentn´ı). Rekneme, ˇze na mnoˇzinˇe X je definována topologie pomoc´ı otevˇrených mnoˇzin je-li dána mnoˇzina τ ⊆ exp X taková, ˇze (ot1) ∅, X ∈ τ , 96

(ot2) U, V ∈ τ

⇒

(ot3) Ui ∈ τ, i ∈ J

U ∩ V ∈ τ, S ⇒ i∈J ∈ τ .

Prvk˚ um U ∈ τ ˇr´ıkáme otevˇrené mnoˇziny. Pozn´ amka. Pojem otevˇrené mnoˇziny nen´ı tak názorn´ y jako pojem okol´ı, zato se s n´ım mnohem snadnˇeji pracuje. Vˇsimnˇete si téˇz, ˇze zde nen´ı nic jako trochu nepr˚ uhledn´ y poˇzadavek (ok4). 1.3. Uvedené dva pˇr´ıstupy (a dalˇs´ı, o kter´ ych bude jeˇstˇe ˇreˇc) jsou ekvivalentn´ı v následuj´ıc´ım smyslu: dopln´ıme-li základn´ı pojem vhodnou definic´ı druhého (jako odvozeného), dostaneme totéˇz, t.j., stejnou soustavu dvou pojm˚ u. To si nyn´ı ujasn´ıme podrobnˇeji. Máme-li topologii U ve smyslu 1.1 definujme τ formul´ı U ∈ τ je-li U ∈ U(x) pro vˇsechna x ∈ U

(∗)

ˇ aˇr snadno ovˇeˇr´ı, ˇze τ (U je otevˇrená je-li okol´ım kaˇzdého svého bodu). Cten´ splˇ nuje poˇzadavky (ot1) aˇz (ot3). Máme-li topologii τ ve smyslu 1.2 definujme U takto: U ∈ U(x) existuje-li V ∈ τ tak,ˇze x ∈ V ⊆ U.

(∗∗)

Opˇet snadno vid´ıme, ˇze takov´ y systém splˇ nuje poˇzadavky (ok1) aˇz (ok4). Zaˇcnˇeme systémem U a vytvoˇrme τ podle (∗); povaˇzujme nyn´ı τ za základ a definujme U 0 podle (∗∗). Je-li U ∈ U(x) zvolme V podle 1.1.1; potom V ∈ τ a tedy U ∈ U 0 (x). Je-li U ∈ U 0 (x), vezmˇeme V z (∗∗). To je v U(x) a tedy také U ∈ U(x). Je tedy U 0 = U. Vezmˇeme τ , definujme U podle (∗∗) a z toho τ 0 podle (∗). Je-li U ∈ τ je U ∈ U(x) pro kaˇzdé x ∈ U (za V vezmeme U samo) a tedy U ∈ τ 0 . Je-li U ∈S τ 0 zvolme pro x ∈ U mnoˇzinu Vx ∈ τ tak aby x ∈ Vx ⊆ U a máme U = x∈U Vx ∈ τ podle (ot3). 1.4. Uzavˇ ren´ e mnoˇ ziny. Mˇejme topologii na X dánu jako soustavu ˇ otevˇren´ ych mnoˇzin. Rekneme, ˇze podmnoˇzina A ⊆ X je uzavˇrená, je-li X \A otevˇrená. Z DeMorganov´ ych pravidel okamˇzitˇe dostáváme, ˇze sjednocen´ı koneˇcného poˇctu a pr˚ unik libovolného systému uzavˇrených mnoˇzin je uzavˇrená mnoˇzina. 97

M˚ uˇzeme téˇz zaˇc´ıt soustavou uzavˇren´ ych mnoˇzin (splˇ nuj´ıc´ıch tento poˇzadavek) a otevˇrené mnoˇziny definovat jako doplˇ nky uzavˇren´ ych. 1.5. Uz´ avˇ er. Je-li M ⊆ (X, τ ) definujeme uzávˇer mnoˇziny M jako \ M = {A |A uzavˇrená, M ⊆ A}. Jelikoˇz pr˚ unik libovolného systému uzavˇren´ ych mnoˇzin je uzavˇrená mnoˇzina máme okamˇzitˇe 1.5.1. Pozorov´ an´ı. M je nejmenˇs´ı uzavˇrená mnoˇzina obsahuj´ıc´ı M . Odtud bezprostˇrednˇe plyne 1.5.2. (1) M ⊆ M a ∅ = ∅. (2) M ⊆ N ⇒ M ⊆ N . (3) M ∪ N = M ∪ N . (4) M = M . 1.5.3. Pokud bychom chtˇeli definovat uzávˇer z okol´ı, bude se nám hodit následuj´ıc´ı formule: M = {x | pro kaˇzdé okol´ı U bodu x, U ∩ M 6= ∅}. / U . Je-li (je-li x ∈ M a U ∩ M = ∅ je M ⊆ X \ U , tedy M ⊆ X \ U a x ∈ x∈ / M máme x ∈ U = X \ M a U ∩ M = ∅.) 1.5.4. Topologii m˚ uˇzeme definovat také tak, ˇze za základn´ı pojem veznuj´ıc´ı meme uzávˇer, to jest zobrazen´ı u = (M 7→ M ) : exp M → exp M splˇ formule z 1.5.2. Definujeme pak otevˇrené mnoˇziny jako takové, pro které je u(X \ U ) = X \ U , a M je okol´ı bodu x jestliˇze x ∈ / u(X \ M ). Je uˇziteˇcné cviˇcen´ı pˇresvˇedˇcit se o ekvivalenci podobnˇe jako v 1.3 nahoˇre. A jeˇstˇe jeden pojem: vnitˇrkem mnoˇziny M rozum´ıme nejvˇetˇs´ı otevˇrenou mnoˇzinu v M obsaˇzenou. Operace vnitˇrku má vlastnosti obdobné vlastnostem uzávˇeru (jaké pˇresnˇe?) a dá se vz´ıt za základ definice topologie na dané mnoˇzinˇe. Shrnut´ı a definice. Topologick´ ym prostorem rozum´ıme mnoˇzinu na které je definována topologie nˇekter´ ym ze zm´ınˇen´ ych zp˚ usob˚ u. Je jedno se kter´ ym z pojm˚ u (okol´ı, otevˇrené ˇci uzavˇrené mnoˇziny, uzávˇer, vnitˇrek) zaˇcneme, stejnˇe potom pracujeme se vˇsemi. V této kapitole budeme topologii obvykle zadávat otevˇren´ ymi mnoˇzinami, kv˚ uli technické jednoduchosti. 98

2. Pˇ r´ıklady 2.1. Metrick´ e prostory. V metrickém prostoru (X, ρ) definujme Ω(x, ) = {x |ρ(x, y) < }. Za okol´ı bodu x povaˇzujeme kaˇzdou M ⊆ X takovou, ˇze pro dost malé je Ω(x, ) ⊆ M . Otevˇrená mnoˇzina je (samozˇrejmˇe) taková, která je okol´ım kaˇzdého svého bodu. Pro bod x ∈ X a mnoˇzinu A ⊆ X poloˇzme ρ(x, A) = inf{ρ(x, a) |a ∈ A}. Definujeme A = {x |ρ(x, A) = 0} a ˇrekneme, ˇze A je uzavˇrená jestliˇze A = A. Pˇresvˇedˇcte se, ˇze vztahy mezi takto definovan´ ymi pojmy odpov´ıdaj´ı definic´ım z pˇredchoz´ıho odd´ılu. O topologickém prostoru, kter´ y takto m˚ uˇzeme z´ıskat z metrického prostoru ˇr´ıkáme, ˇze je metrisovatelný. 2.2. Diskretn´ı prostor. Na mnoˇzinˇe X vezmˇeme za topologii τ celou exp X. Tedy, vˇsechny mnoˇziny M ⊆ X jsou otevˇrené i uzavˇrené, okol´ım bodu je kaˇzdá mnoˇzina, která ho obsahuje, M = M pro kaˇzdou M ⊆ X. V tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o diskretn´ı topologii na X. 2.3. Indiskretn´ı prostor. To je opaˇcn´ y extrém: za otevˇrené (a tedy i uzavˇrené) mnoˇziny vezmeme jen ∅ a X. Potom je jedin´ ym okol´ım kteréhokoli bodu cel´ y prostor, a rovnˇeˇz tak uzávˇer neprázdné mnoˇziny je cel´ y prostor. 2.4. Kofin´ aln´ı topologie. Jen o trochu ménˇe primitivn´ı pˇr´ıpad: otevˇrené mnoˇziny jsou ∅ a doplˇ nky koneˇcn´ ych mnoˇzin. Uzavˇrené mnoˇziny jsou právˇe mnoˇziny koneˇcné a cel´ y prostor a tedy uzávˇer kaˇzdé nekoneˇcné mnoˇziny je cel´ y prostor. ˇ (X ≤) pˇred2.5. Alexandrovova (kvasidiskretn´ı) topologie. Bud uspoˇra´daná mnoˇzina (obvykle se následuj´ıc´ı definice pouˇz´ıvá pro uspoˇra´dané mnoˇziny, ale pˇreduspoˇrádán´ı staˇc´ı). Pˇripomeˇ nme oznaˇcen´ı ↓M = {x |∃y ∈ M, x ≤ y} a ↑M = {x |∃y ∈ M, x ≥ y}. V Alexandrovovˇe topologii bereme za otevˇrené vˇsechny rostouc´ı mnoˇziny (t.j. takové U ⊆ X, ˇze ↑ U = U ). Uzavˇrené jsou pak vˇsechny klesaj´ıc´ı mnoˇziny (t.j. takové U ⊆ X, ˇze ↓U = U , a uzávˇer je dán pˇredpisem M =↓M . Vˇsimnˇete si, ˇze v této topologii 99

(qd) vˇsechny pr˚ uniky otevˇrených mnoˇzin jsou vˇsechna sjednocen´ı S otevˇrené, S uzavˇrených mnoˇzin jsou uzavˇrená, a i∈J Mi = i∈J M i pro kaˇzdý systém podmnoˇzin. Proto se o Alexandrovov´ ych prostorech také hovoˇr´ı jako o prostorech kvasidiskretn´ıch. Jako jednoduché cviˇcen´ı si dokaˇzte, ˇze kaˇzd´ y prostor splˇ nuj´ıc´ı (qd) vznikne právˇe popsan´ ym zp˚ usobem z pˇreduspoˇrádán´ı (definujte x ≤ y jako {y} ⊆ {x}). 2.6. Scottova topologie. Vyjdeme opˇet z uspoˇra´dané mnoˇziny (X, ≤). Za otevˇrené mnoˇziny nyn´ı vezmeme (Sc) ty rostouc´ı podmnoˇziny U ⊆ X pro které plat´ı, ˇze kdykoli D je usmˇernˇená a sup D ∈ U potom U ∩ D 6= ∅. Tato topologie sehrála v teoretické informatice v´ yznamnou u ´lohu. 2.7. Base a subbase topologie. Base topologie τ (zadané jako soustava otevˇren´ ych mnoˇzin) je libovolná B ⊆ τ taková, ˇze [ pro kaˇzdou U ∈ τ, U = {B ∈ B |B ⊆ U }. Uvˇedomte si, ˇze base m˚ uˇze b´ yt mnohem jednoduˇsˇs´ı a pˇrehlednˇejˇs´ı neˇz celá topologie: tak napˇr. bas´ı topologie pˇr´ımky je mnoˇzina vˇsech otevˇren´ ych interval˚ u (a staˇcily by ia, bh s racionáln´ımi a, b), nebo basi roviny tvoˇr´ı (napˇr.) otevˇrené ˇctverce. Subbase topologie τ je libovolná S ⊆ τ taková, ˇze mnoˇzina vˇsech koneˇcn´ ych pr˚ unik˚ u prvk˚ u S je bas´ı τ . Subbase mohou b´ yt samozˇrejmˇe jeˇstˇe mnohem jednoduˇsˇs´ı neˇz base (pro topologii pˇr´ımky uˇz staˇc´ı vz´ıt tˇreba jen {{x |x < a}, {x |x > a} | a racionáln´ı}. Pozorov´ an´ı. Kaˇzdá podmnoˇzina S ⊆ exp X je subbase nˇejaké topologie, totiˇz té nejmenˇs´ı topologie v n´ıˇz jsou vˇsechny U ∈ S otevˇrené. O této topologii pak mluv´ıme jako o topologii generovan´ e mnoˇzinou S. S T (Poloˇzme τ = { C |C ⊆ { F |F koneˇcná ⊆ S}}. Tento systém je uˇz uzavˇren na koneˇcné pr˚ uniky (za prázdn´ y pr˚ unik bereme celou X) a libovolná sjednocen´ı, a na druhé stranˇe kaˇzdá topologie obsahuj´ıc´ı S zˇrejmˇe mus´ı obsahovat vˇsechny prvky z τ .) ˇ (X, ≤) lineárnˇe uspoˇrádaná mnoˇzina. 2.8. Intervalov´ a topologie. Bud Mnoˇzina vˇsech interval˚ u ia, bh= {x |a < x < b} tvoˇr´ı basi t.zv. intervalové topologie na (X, ≤). 100

Pozor, nezamˇen ˇujte s kvasidiskretn´ı topologi´ı´ı uspoˇrádán´ı ≤ ! 2.9. Sorgenfreyova pˇ r´ımka. A jeˇstˇe jedna, trochu kuriosn´ı topologie na reálné pˇr´ımce (hod´ı se napˇr. na ilustrován´ı nˇekter´ ych jev˚ u). Sorgenfreyova topologie je generována polouzavˇren´ ymi intervaly; pˇresnˇeji, má basi {ha, bh= {x |a ≤ x < b} | a, b ∈ R}.

3. Spojit´ a zobrazen´ı 3.1. Zobrazen´ı f : X → Y je spojité zobrazen´ı (X, τ ) → (Y, θ) jestliˇze ke kaˇzdému x ∈ X a kaˇzdému okol´ı V bodu f (x) v topologii θ existuje okol´ı U bodu x v topologii τ takové, ˇze f [U ] ⊆ V . Snadno vid´ıme, ˇze 3.1.1. Jsou-li f : (X, τ ) → (Y, θ) a g : (Y, θ) → (Z, κ) spojitá zobrazen´ı, je i sloˇzené zobrazen´ı gf : (X, τ ) → (Z, κ) spojité. 3.2. Trivi´ aln´ı pozorov´ an´ı. Je-li na X diskretn´ı topologie, nebo na Y indiskretn´ı topologie, je kaˇzdé zobrazen´ı f : X → Y spojité. 3.3. Následuj´ıc´ı vˇetu znáte z metrick´ ych prostor˚ u. Plat´ı obecnˇe. Vˇ eta. Budˇ f zobrazen´ı X = (X, τ ) do Y = (Y, θ). Potom následuj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı. (1) f je spojité. (2) Pro kaˇzdou U otevˇrenou v Y je f −1 [U ] otevˇrená v X. (3) Pro kaˇzdou A uzavˇrenou v Y je f −1 [A] uzavˇrená v X. (4) Pro kaˇzdou M ⊆ X je f [M ] ⊆ f [M ]. (5) Pro kaˇzdou M ⊆ Y je f −1 [M ] ⊆ f −1 [M ]. D˚ ukaz. (1)⇒(2): Je-li x ∈ f −1 [U ] je f (x) ∈ U a U je jeho okol´ı, takˇze pro nˇejaké okol´ı V bodu x je f [V ] ⊆ U a máme x ∈ V ⊆ f −1 f [V ] ⊆ f −1 [U ] a f −1 [U ] je okol´ı x. (2)⇔(3) protoˇze vzorová funkce (M 7→ f −1 [M ]) zachovává doplˇ nky. −1 −1 (3)⇒(4): M ⊆ f f [M ] ⊆ f [f [M ]] a jelikoˇz posledn´ı mnoˇzina je uzavˇrená, M ⊆ f −1 [f [M ]] a koneˇcnˇe f [M ] ⊆ f [M ]. 101

(4)⇒(5) Plyne okamˇzitˇe z toho, ˇre f [f −1 [M ]] ⊆ f f −1 [M ] ⊆ M . / f −1 [Y \ V ] a tedy x ∈ / f −1 [Y \ V ] = (5)⇒(1) Je-li f (x) ∈ / Y \ V je x ∈ −1 X \ f −1[V ]. Poloˇzme U = f [V ]. 3.4. Z bodu (3) pˇrechoz´ı vˇety a z toho, ˇze vzorová funkce zachovává sjednocen´ı i pr˚ uniky okamˇzitˇe dostaneme uˇziteˇcn´ y D˚ usledek. Budˇ S libovolná subbase topologie θ. Potom f : (X, τ ) → (Y, θ) je spojité právˇe kdyˇz pro kaˇzdou U ∈ S je f −1 [U ] ∈ τ . 3.5. Lemma. Budˇ D podmnoˇzina intervalu I = h0, 1i (ten pˇredpokládáme opatˇren topologi´ı danou bˇeˇznou metrikou) taková, ˇze pro kaˇzdé dva ˇ Ud , d ∈ D otevˇrené a < b ∈ I existuje d ∈ D takové, ˇze a < d < b. Budte mnoˇziny v topologickém prostoru X takové, ˇze d<e

⇒

U d ⊆ Ue .

Potom zobrazen´ı f : X → I definované pˇredpisem f (x) = inf{d |x ∈ Ud } je spojité. D˚ ukaz. Máme \ \ {U d |a < d} t.j. x ∈ I \ {U d |a < d}, [ f (x) < a právˇe kdyˇz x ∈ {Ud |a > d} f (x) > a právˇe kdyˇz x ∈ /

takˇze f −1 [ia, 1i] a f −1 [h0, ah] jsou vˇzdy otevˇrené. Pˇritom {ia, 1i, h0, ah |a ∈ I} tvoˇr´ı subbasi prostoru I. 3.6. Homeomorfismus. Existuje-li k spojitému zobrazen´ı f : (X, τ ) → (Y, θ) inversn´ı zobrazen´ı g : (Y, θ) → (X, τ ), které je téˇz spojité, ˇr´ıkáme, ˇze f je homeomorfismus a ˇze prostory (X, τ ) a (Y, θ) jsou homeomorfn´ı. Tedy, zobrazen´ı f : X → Y které je spojité, prosté a na je homeomorfismus právˇe kdyˇz plat´ı kterékoli z následuj´ıc´ıch tvrzen´ı: (1) pro kaˇzdou U otevˇrenou v X je f [U ] otevˇrená v Y , (2) pro kaˇzdou A uzavˇrenou v X je f [U ] uzavˇrená v Y , (3) pro kaˇzdou M ⊆ X je f [U ] = f [U ]. 102

ˇ (X, ≤), (Y, ≤) uspoˇra´dané mnoˇziny. 3.7. Pozn´ amka a cviˇ cen´ı. Budte Ovˇeˇrte, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je spojité vzhledem k Alexandrovov´ ym topologi´ım právˇe kdyˇz je monotonn´ı, a je spojité vzhledem ke Scottov´ ym topologi´ım právˇe kdyˇz zachovává suprema usmˇernˇen´ ych mnoˇzin.

4. Z´ akladn´ı konstrukce. ˇ (X, τ ) topologick´ 4.1. Podprostor. Bud y prostor a Y ⊆ X. Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze τ |Y = {U ∩ Y |U ∈ τ } tvoˇr´ı topologii na Y . O té se mluv´ı jako o topologii podprostoru, nebo topologii indukované na podmnoˇzinˇe. Pro zobrazen´ı vloˇzen´ı j : Y ⊆ X máme Y ∩ U = j −1 [U ]. Tedy je j : (Y, τ |Y ) → (X, τ ) spojité. Nadto je topologie podprostoru volena “´ uspornˇe”: jsou zde jen ty nejnutnˇejˇs´ı otevˇrené mnoˇziny potˇrebné k tomu, aby toto zobrazen´ı spojité bylo. To má d˚ uleˇzit´ y d˚ usledek. Tvrzen´ı. Budˇ Y podprostor prostoru X a budˇ j : Y ⊆ X zobrazen´ı vloˇzen´ı. Je-li f = jg : Z → X spojité zobrazen´ı, je g : Z → Y spojité. (g −1 [j −1 [U ]] = f −1 [U ] pro otevˇrené U jsou otevˇrené mnoˇziny, a v Y jiné otevˇrené mnoˇziny neˇz j −1 [U ] nejsou.) 4.1.1. Pozorov´ an´ı. V prostoru (Y, τ |Y ) jsou uzavˇrené mnoˇziny právˇe mnoˇziny tvaru A ∩ Y kde A je uzavˇrená v X, uzávˇer mnoˇziny M dostaneme uniky p˚ uvodn´ıch okol´ı s naˇs´ı podmnoz p˚ uvodn´ıho jako M ∩ Y , a okol´ı jsou pr˚ ˇzinou. 4.1.2. Vloˇ zen´ı podprostoru. Trochu obecnˇeji, jsou-li (X, τ ), (Y, θ) topologické prostory a j : Y → X prosté zobrazen´ı, a je-li θ = {j −1 [U ] |U ∈ τ } hovoˇr´ıme o j jako o vloˇzen´ı podprostoru. Uvˇedomte si, ˇze jde pˇresnˇe o to, ˇze restrikce (x 7→ j(x)) : X → j[X] zobrazen´ı j je homeomorfismus. 4.2. Souˇ ciny (produkty). Mˇejme dánQsystém (Xi , τi ), i ∈ J, topologick´ ych prostor˚ u. Na kartézském souˇcinu i∈J Xi definujme topologii τ subbas´ı {p−1 j [U ] |j ∈ J, U ∈ τj }, 103

Q kde pj : i∈J Xi → Xj jsou projekce (xi )i∈J 7→ xj . O karézském souˇcinu Q reném touto topologi´ı mluv´ıme jako o souˇcinu nebo produktu i∈J Xi opatˇ systému (Xi , τi ), a chceme-li zd˚ uQ raznit, ˇze se jedná o tento prostor a ne jen o jeho nosnou mnoˇzinu, p´ıˇseme i∈J (Xi , τi ). Pro koneˇcné systémy p´ıˇseme (X1 , τ1 ) × (X2 , τ2 ), X × Y × Z, X1 × · · · × Xn a podobnˇe. 4.2.1. Pozn´ amky. 1. Pˇripomeˇ nte si I.7 a uvˇedomte si, ˇze i zde jsou podprostory a souˇciny projektivnˇe vytvoˇreny. Topologie je zde urˇcena poˇzadavkem, aby v´ yznaˇcná zobrazen´ı (v prvn´ım pˇr´ıpadˇe vloˇzen´ı, ve druhém projekce) byla spojitá pˇri co nejmenˇs´ım systému otevˇren´ ych mnoˇzin. Podobnˇe u faktorového prostoru a u sumy (dále v 4.3 a 4.4) p˚ ujde o injektivn´ı vytváˇren´ı. 2. Vˇsimnˇete si, ˇze pro koneˇcné systémy metrick´ ych prostor˚ u se topologie shoduje s topologii souˇcinu danou metrikou (nebo nˇekterou z metrik) jak to znáte z kurs˚ u analysy. 4.2.2. Podobnˇe jako u souˇcin˚ u v pˇredchoz´ıch kapitolách plat´ı Vˇ eta. Mˇejme dán systém spojitých zobrazen´ı fi : Y = (Y, θ)Q→ (Xi , τi ), i ∈ J. Potom existuje právˇe jedno spojité zobrazen´ı f : Y → i∈J (Xi , τi ) takové, ˇze pro vˇsechna i ∈ J je pi f = fi . D˚ ukaz. Zobrazen´ı z I.3.6 splˇ nuj´ıc´ı pi f = fi pro vˇsechna i ∈ J (totiˇz −1 f (y) = (fi (y))i∈J ) je spojité podle 3.4: máme f −1 [p−1 i [U ]] = fi [U ]. ˇ (X, τ ) topologick´ 4.3. Faktorov´ y prostor (kvocient). Bud y prostor a q : X → Y zobrazen´ı na (zejména máme na mysli situace, kdy na mnoˇzinˇe X je dána ekvivalence E a q je projekce (x 7→ Ex) : X → X/E). Na Y definujme topologii θ = {U |q −1 [U ] ∈ τ }. Je to tedy zase extrémn´ı (tentokrát nejvˇetˇs´ı) topologie taková, ˇze q : X → Y je spojité. Mluv´ıme o faktorové nebo kvocientové topologii, pˇr´ıpadnˇe o faktorovém nebo kvocientovém prostoru ˇci faktorprostoru nbo kvocientu. Analogicky s tvrzen´ım v 4.1 snadno dokáˇzeme Tvrzen´ı. Budˇ Y kvocient prostoru X pˇri zobrazen´ı q : X → Y . Je-li f = gq : X → Z spojité je g : Y → Z spojité.

104

4.4. Sumy. Mˇejme dán`systém (XiS , τi ), i ∈ J, topologick´ ych prostor˚ u. Na disjunktn´ım sjednocen´ı i∈J Xi = i∈J Xi × {i} definujme topologii τ bas´ı {ιi [U ] |i ∈ J, U ∈ τi }, ` kde ιj : Xj → i∈J Xi jsou injekce (x 7→ (x, i)). O z´ıskaném prostoru mluv´ıme jako o sumˇe systému (Xi , τi ). Byly-li mnoˇziny Xi jiˇz pˇ redem disS junktn´ı, pouˇzijeme za nosnou mnoˇzinu samozˇrejmˇe jednoduˇsˇseji i∈J Xi . 4.4.1. Analogicky jako v I.7.3 snadno zjist´ıme, ˇze plat´ı Vˇ eta. Mˇejme dán systém spojitých zobrazen´ ` ı fi : (Xi , τi ) → (Y, θ), i ∈ J. Potom existuje právˇe jedno spojité zobrazen´ı i∈J (Xi , τi ) → (Y, θ) takové, ˇze pro vˇsechna i ∈ J je f ιi = fi . (Jedná se samozˇrejmˇe o f (x, i) = fi (x).) 4.5. A jeˇstˇe trochu terminologie: jsou-li τ a θ topologie na téˇze mnoˇzinˇe a je-li τ ⊆ θ, ˇr´ıkáme o τ ˇze je slabˇs´ı resp. hrubˇs´ı a o θ ˇze je silnˇejˇs´ı resp. jemnˇejˇs´ı.

5. Nˇ ekolik speci´ aln´ıch poˇ zadavk˚ u ˇ 5.1. Rekneme, ˇze prostor (X, τ ) splˇ nuje axiom T0 (nebo ˇze to je T0 -prostor) jestliˇze pro kaˇzdé x 6= y v X existuje U ∈ τ tak, ˇze x ∈ / U 3 y nebo y ∈ / U 3 x. (T0 ) Snadno vid´ıme, ˇze plat´ı 5.1.1. Fakt. X splˇ nuje T0 právˇe kdyˇz {x} = {y} ⇒ x = y. ˇ 5.2. Rekneme, ˇze prostor (X, τ ) splˇ nuje axiom T1 (nebo ˇze to je T1 prostor) jestliˇze pro kaˇzdé x 6= y v X existuje U ∈ τ tak, ˇze x ∈ / U 3 y.

(T1 )

Snadno vid´ıme, ˇze plat´ı 5.2.1. Fakt. X splˇ nuje T0 právˇe kdyˇz vˇsechny koneˇcné mnoˇziny jsou uzavˇrené. (Podm´ınka T1 ˇr´ıká pˇresnˇe to, ˇze kaˇzdá jednobodová mnoˇzina je uzavˇrená.) 105

ˇ 5.3. Rekneme, ˇze (X, τ ) je Hausdorff˚ uv prostor (nebo, ˇze splˇ nuje axiom T2 ) jestliˇze pro kaˇzdé x 6= y v X existuj´ı U, V ∈ τ tak, ˇze x ∈ U, y ∈ V a U ∩ V = ∅.

(T2 )

ˇ f, g : X → Y spojitá zobrazen´ı a budˇ Y Hausdorff˚ 5.3.1. Vˇ eta. Budte uv prostor. Potom mnoˇzina {x |f (x) = g(x)} je uzavˇrená. D˚ ukaz. Dokáˇzeme, ˇze {x |f (x) 6= g(x)} je otevˇrená. Pro f (x) 6= g(x) zvolme otevˇrené disjunktn´ı U 3 f (x) a V 3 g(x). Potom f −1 [U ] ∩ f −1 [V ] leˇz´ı v {x |f (x) 6= g(x)}, je otevˇrená, a obsahuje x. ˇ 5.3.2. Rekneme, ˇze M je hustá podmnoˇzina topologického prostoru X, je-li M = X. Z 5.3.1 okamˇzitˇe dostaneme ˇ f, g : X → Y spojitá zobrazen´ı, budˇ Y Hausdorff˚ uv D˚ usledek. Budte prostor a nechˇt pro nˇejakou M hustou v X je f |M = g|M . Potom je f = g. 5.3.3. Pozn´ amky a pˇ r´ıklady. Kvasidiskretn´ı topologie (viz 2.5) je T0 pokud je mnoˇzina (X, ≤) uspoˇrádaná a ne jen pˇreduspoˇra´daná. Kromˇe diskretn´ıho pˇr´ıpadu, podobnˇe jako Scottova topologie, nen´ı T1 . Kofináln´ı topologie (2.4) je T1 , ale na nekoneˇcné mnoˇzinˇe nen´ı Hausdorffova. Metrické prostory (a také Sorgenfreyova pˇr´ımka) jsou Hausdorffovy; maj´ı ale téˇz mnohem silnˇejˇs´ı vlastnosti, o kter´ ych budeme mluvit v dalˇs´ıch odstavc´ıch. ˇ 5.4. Regularita. Rekneme, ˇze (X, τ ) je regulárn´ı (nebo ˇze splˇ nuje axiom T3 ) jestliˇze pro kaˇzd´ y bod x a pro kaˇzdou uzavˇrenou A takovou, ˇze x ∈ /A existuj´ı U, V ∈ τ tak, ˇze x ∈ U, A ⊆ V a U ∩ V = ∅.

(T3 )

5.4.1. Vˇ eta. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı o topologickém prostoru X = (X, τ ) jsou ekvivalentn´ı (1) X je regulárn´ı. (2) Pro kaˇzdý bod x ∈ X a kaˇzdé jeho okol´ı M existuje uzavˇrené okol´ı N takové, ˇze x ∈ N ⊆ M . (3) Pro kaˇzdou U ∈ τ , U=

[

{V |V ∈ τ, V ⊆ U }. 106

ˇ W ∈ τ taková, ˇze x ∈ W ⊆ M . Máme x ∈ D˚ ukaz. (1)⇒(2): Bud / A= X \ W a tedy existuj´ı U, V ∈ τ takové, ˇze x ∈ U , X \ W ⊆ V a U ∩ V = ∅. Poloˇzme N = U . (2)⇒(3): Pro kaˇzd´ y bod x ∈ U zvolme uzavˇrené okol´ı NxS⊆ U a otevˇrenou Vx takovou, ˇze x ∈ Vx ⊆ Nx . Potom V x ⊆ U a máme U = x∈X Vx . (3)⇒(1): Jestliˇze x ∈ / A a A je uzavˇrená zvolme U 3 x tak, aby V ⊆ X\A. Poloˇzme V = X \ U : potom N ⊆ X \ U ⊆ W ⊆ M . ˇ ´ 5.5. Upln´ a regularita. Rekneme, ˇze (X, τ ) je u ´plnˇe regulárn´ı (nebo ˇze splˇ nuje axiom T3 1 ) jestliˇze 2

pro kaˇzd´ y bod x a pro kaˇzdou uzavˇrenou A takovou, ˇze x ∈ /A existuje spojité φ : X → I takové, ˇze φ(x) = 0 a φ[A] ⊆ {1}

(T3 1 ) 2

(I je uzavˇren´ y interval h0, 1i). 5.5.1. Relace ≺≺. Snadno vid´ıme, ˇze podmnoˇzina D intervalu I = h0, 1i je hustá jestliˇze pro kaˇzdá dvˇe a < b v I existuje d ∈ D takové, ˇze a < d < b (stejnˇe je tomu v kaˇzdé intervalové topologii). Pro otevˇrené mnoˇziny U, V p´ıˇseme U ≺≺V jestliˇze pro nˇejakou hustou D ⊆ I existuj´ı otevˇrené Ud , d ∈ D takové, ˇze U0 = U, U1 = V a d < e ⇒ U d ⊆ Ue . Vˇsimnˇete si, ˇze ≺≺ je nejvˇetˇs´ı interpolativn´ı relace obsaˇzená v relaci ≺ = {(U, V ) |U, V ∈ τ, U ⊆ V }. 5.5.2. Vˇ eta. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı o topologickém prostoru X = (X, τ ) jsou ekvivalentn´ı (1) X je u ´plnˇe regulárn´ı. (2) Pro kaˇzdý bod x ∈ X a kaˇzdou otevˇrenou U 3 x exituje otevˇrená V 3 x taková, ˇze V ≺≺U . (3) Pro kaˇzdou U ∈ τ , U=

[ {V |V ∈ τ, V ≺≺U }. 107

ˇ φ zobrazen´ı z definice pro x a A = X \ U . Za D D˚ ukaz. (1)⇒(2): Bud m˚ uˇzeme vz´ıt cel´ y interval a poloˇzit Ua = φ−1 [h0, 21 (1 + a)h], U1 = U (je-li a < c < b je U a ⊆ φ−1 [h0, 21 (1 + c)h] ⊆ Ub ). (2)⇒(3) je zˇrejmé. (3)⇒(1) plyne z Lemmatu 3.5. ˇ 5.6. Normalita. Rekneme, ˇze (X, τ ) je normáln´ı (nebo ˇze splˇ nuje axiom T4 ) jestliˇze pro kaˇzdé dvˇe disjunktn´ı uzavˇrené A, B existuj´ı disjunktn´ı otevˇrené U, V ∈ τ takové, ˇze A ⊆ U a B ⊆ V.

(T4 )

Vˇ eta (Urysohnovo lemma). Prostor X je normáln´ı právˇe kdyˇz pro kaˇzdé dvˇe disjunktn´ı uzavˇrené A, B existuje spojité zobrazen´ı φ : X → I takové, ˇze φ[A] ⊆ {0} a φ[B] ⊆ {1}. D˚ ukaz. ⇒: Oddˇelme A, B otevˇren´ ymi mnoˇzinami U, V a poloˇzme U (0) = U a U (1) = X \ B. Mˇejme jiˇz nalezeny U (d) pro d = 2km , m ≤ n, 0 ≤ k ≤ 2m tak, ˇze U (d) ⊆ U (e) kdykoli d < e. Vezmˇeme nyn´ı uzavˇrené disjunktn´ı U ( 2kn ), ), oddˇelme je otevˇren´ ymi disjunktn´ımi U ⊇ U ( 2kn ), V ⊇ X \U ( k+1 ) X \U ( k+1 2n 2n k+1 a poloˇzme U ( 2n+1 ) = U . Tak pro diadicky racionáln´ı d induktivnˇe dostaneme otevˇrené U (d) splˇ nuj´ıc´ı pˇredpoklady lemmatu 3.5, a odtud ˇzádanou funkci. ⇐: Staˇc´ı vz´ıt φ−1 [h0, 21 h] a φ−1 [i 21 , 1i]. 5.6.1. Pozorov´ an´ı a cviˇ cen´ı. Kaˇzdý metrisovatelný prostor je normáln´ı. (M˚ uˇzeme pˇr´ımo popsat funkci φ oddˇeluj´ıc´ı dané mnoˇziny tak jak je to ve vˇetˇe nahoˇre. Pˇripomeˇ nme si 2.1 a pro disjunktn´ı uzavˇrené A, B poloˇzme φ(x) =

ρ(x, A) . ρ(x, A) + ρ(x, B)

Z disjunktosti a uzavˇrenosti vid´ıme, ˇze ρ(x, A) + ρ(x, B) 6= 0 pro vˇsechna x. Jako cviˇcen´ı dokaˇzte podrobnˇe, ˇze toto zobrazen´ı φ je spojité.) 5.7. O poˇzadavc´ıch Ti se obvykle mluv´ı jako o oddˇelovac´ıch axiomech. Posloupnost T0

⇐

T1

⇐

T2

⇐

T3 &T1

108

⇐

T3 1 &T1 2

⇐

T4 &T1

smˇeˇruje od naprosté obecnosti k prostor˚ um stále v´ıce “geometrick´ ym” (brzy 1 u Euklidovsk´ ych uvid´ıme, ˇze prostory s vlastnost´ı T3 &T1 se od podprostor˚ 2 prostor˚ u liˇs´ı jen moˇznou “nekoneˇcnou dimens´ı”. ˇ adná z tˇechto implikac´ı se nedá obrátit. U prvn´ıch dvou je to patrné z jiˇz Z´ uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u, ukázat, ˇze Hausdorffova vlastnost neimplikuje regularitu je téˇz snadné, a to, ˇze u ´plná regularita neimplikuje normalitu také nen´ı pˇr´ıliˇz tˇeˇzké. Vztah mezi regularitou a u ´plnou regularitou vˇsak byl dlouho problém. Jeˇstˇe si vˇsimnˇete pˇridan´ ych poˇzadavk˚ u T1 ; bez vhodn´ ych poˇzadavk˚ u nav´ıc by “vyˇsˇs´ı” oddˇelovac´ı axiomy ty “niˇzˇs´ı” neimplikovaly. K tomu abychom z (´ uplné) regularity dokázali T1 ve skuteˇcnosti staˇc´ı uˇz T0 ; normalita a T0 ale T1 neimplikuje. ˇ adná z odˇelovac´ıch vlast5.8. Oddˇ elov´ an´ı a z´ akladn´ı konstrukce. Z´ nost´ı se nezachovává pˇri faktorisaci (triviáln´ı pˇr´ıklad: zobrazme R na {0, 1} tak, ˇze racionáln´ım ˇc´ısl˚ um pˇriˇrad´ıme 0 a iracionáln´ım 1. Potom kvocientová topologie nemá ani vlastnost T0 ). Naopak sumy, z triviáln´ıch d˚ uvod˚ u, zachovávaj´ı kaˇzdou Ti . Zaj´ımavˇejˇs´ı jsou pˇr´ıpady podprostor˚ u a produkt˚ u. 5.8.1. Vˇ eta. Vlastnosti Ti , i = 0, 1, 2, 3 a 3 12 se zachovávaj´ı v podprostorech a produktech. D˚ ukaz. Pˇr´ıpady i = 0, 1, 2 jsou triviáln´ı (je-li v produktu (xi )i 6= (yi )i je pro nˇejaké k xk 6= yk v Xk ; tam oddˇel´ıme pomoc´ı U pˇr´ıpadnˇe U a V a −1 pouˇzijeme p−1 k [U ] a pk [V ]). Regularita a u ´plná regularita: Je-li X (´ uplnˇe) regulárn´ı, Y ⊆ X, A uzavˇrená v Y a y ∈ Y takov´ y, ˇze y ∈ / A zvolme B uzavˇrenou v X takovou, aby A = B ∩ Y . Potom y ∈ / B a oddˇel´ıme-li y od B v X (aˇt uˇz mnoˇzinami U, V nebo reálnou funkc´ı φ), oddˇel´ı U ∩Y, V ∩Y , resp. φ|Y , bod y od mnoˇziny A ˇza´dan´ ym zp˚ usobem. Q ˇ nyn´ı Xi , i ∈ J, regulárn´ı (rep. u Budte ´plnˇe regulárn´ı), A ⊆ X = Xi uzavˇrená a X ∈ / A. Potom x ∈TU = X \ A a jelikoˇz U je otevˇrená v X, existuj´ı i1 , . . . , in ∈ J tak,ˇze x ∈ nj=1 p−1 ejaké Uj otevˇrené v Xij . ij (Uj ) pro nˇ V regulárn´ım pˇr´ıpadˇe zvolme otevˇrené Vj tak, aby xij ∈ Vj ⊆ V j ⊆ Uj . T T −1 Poloˇzme V = p−1 pij [V j ]. Potom x ∈ V ; je-li y ∈ A ij [Vj ] a W = X \ T −1 je y ∈ / pij [Uj ] a tedy pro nˇejaké k je yik ∈ / Uk , tedy yik ∈ / V k a y ∈ W. Zˇrejmˇe V ∩ W = ∅. Vu ´plnˇe regulárn´ım pˇr´ıpadˇe zvolme spojitá zobrazen´ı φj : Xij → I taková, ˇze φj (xij ) = 0 a φj [Xij \ Uj ] ⊆ {1}. Definujme φ : X → I pˇredpisem φ(y) = max(φ1 (yij ), . . . , φn (yij )). Zˇrejmˇe φ(x) = 0 a je-li y ∈ A existuje j 109

tak, ˇze yij ∈ / Uj a tedy φ(y) = 1. Ovˇeˇren´ı, ˇze φ je spojitá funkce je snadné a mohu je ponechat ˇctenáˇri. 5.8.2. Pozn´ amka. Normalita se ale obecnˇe nezachovává ani v podprostorech ani v souˇcinech. Na pˇredveden´ı pˇr´ıklad˚ u nemáme v této chv´ıli pˇripraveno dost fakt, pˇr´ıliˇs obt´ıˇzné ale nejsou. 5.9. Vlastnost T3 1 &T1 jiˇz topologické prostory velmi pˇribliˇzuje met2 rick´ ym. V následuj´ıc´ı vˇetˇe uvid´ıme, ˇze se na nˇe m˚ uˇzeme d´ıvat jako na podprostory “zobecnˇen´ ych Euklidovsk´ ych prostor˚ u” Rn (nebo krychl´ı In ) – pˇripust´ıme-li nekoneˇcné mocniny, dostaneme je uˇz vˇsechny. Q Pˇripomeˇ nme, ˇze mocninou X M rozum´ıme produkt m∈M Xm kde Xm = X pro vˇsechna m ∈ M . Plat´ı Vˇ eta. (Tichonovova vˇeta o vloˇzen´ı) Prostor je u ´plnˇe regulárn´ı a T1 právˇe kdyˇz je homeomorfn´ı s nˇejakým podprostorem krychle IM pro dost velkou mnoˇzinu M . D˚ ukaz. Podle pˇredchoz´ı vˇety jsou podprostory krychl´ı u ´plnˇe regulárn´ı a T1 . Nechˇt naopak X je u ´plnˇe regulárn´ı a T1 . Poloˇzme M = {φ : X → I | φ spojité}. Podle 4.2.1 existuje (právˇe jedno, ale to zde nepouˇzijeme) spojité zobrazen´ı µ : X → IM takové, ˇze pro vˇsechna φ : X → I, pφ µ = φ (m˚ uˇze vás mást, ˇze φ zde vystupuj´ı jako indexy i jako spojitá zobrazen´ı; uvˇedomte si, ˇze proti tomu nic nemluv´ı). Zobrazen´ı µ je prosté: Je-li x 6= y v X zvolme φ ∈ M tak aby φ(x) 6= φ(y). Potom pφ (µ(x)) 6= pφ (µ(y)) a tedy mus´ı b´ yt µ(x) 6= µ(y) . Zb´ yvá tedy dokázat, ˇze téˇz zobrazen´ı f : φ[X] → X inversn´ı k µ je spojité. Pro podmnoˇzinu A ⊆ X je f −1 [A] = µ[A] a tedy máme dokázat, ˇze pro kaˇzdou A uzavˇrenou v X je µ[A] uzavˇrená v µ[X]. Pro y ∈ µ[X] \ µ[A], tedy y = µ(x), x ∈ / A, zvolme φ : X → I tak, aby φ(x) = 0 a φ[A] ⊆ {1} −1 a poloˇzme U = pφ [h0, 21 h]. Máme pφ (y) = pφ µ(x) = φ(x) = 0, tedy y ∈ U , zat´ımco pro kaˇzdé a ∈ A je pφ µ(a) = φ(a) = 1, takˇze U ∩ µ[A] = ∅ a mnoˇzina µ[A] = µ[X] ∩ µ[A] je uzavˇrená v µ[X]. 110

Pozn´ amka. Vˇsimnˇete si podobnosti s konstrukc´ı v II.5.3.2. Tato podobnost v˚ ubec nen´ı náhodná. 5.10. Na prvn´ı pohled se nezdá, ˇze by mohl b´ yt nˇejak´ y rozumn´ y oddˇelovac´ı axiom mezi T0 a T1 , ale je, a v teoretické informatice sehrál jistou roli. ˇ Rekneme, ˇze X splˇ nuje podm´ınku TD (to se p´ıˇse m´ısto trochu nepohodlného T 1 ) jestliˇze 2

pro kaˇzd´ y x ∈ X existuje U ∈ τ, tak, ˇze x ∈ U a U ∩ {x} = {x}.

(TD )

Napˇr´ıklad kvasidiskretn´ı prostory jsou vˇzdy TD tˇrebaˇze kromˇe triviáln´ıch pˇr´ıpad˚ u nejsou T1 . 5.11. Stˇ r´ızliv´ e prostory. D´ıvejme se na okamˇzik na operaci pr˚ uniku otevˇren´ ych mnoˇzin jako na jakési násoben´ı. Potom se mnoˇziny typu X \ {x} chovaj´ı jako “prvoˇc´ısla”, to jest, je-li X \ {x} = U ∩ V, ˇ U = X \ {x} nebo V = X \ {x} (x nesm´ı b´ mus´ı b´ yt bud yt v obou U i V , jinak by bylo i v pr˚ uniku, a je-li uˇz dejme tomu x ∈ X \ U , je {x} ⊆ X \ U a U ⊆ X \ {x}). Stˇr´ızlivé prostory jsou T0 -prostory, v nichˇz jiná “prvoˇc´ısla” nejsou. ˇ V korektnˇejˇs´ı terminologii: Rekneme, ˇze W ∈ τ je ireducibiln´ı, jestliˇze W 6= X a W = U ∩ V, U, V ∈ τ

⇒

W = U nebo W = V.

Prostor je stˇr´ızlivý jesliˇze pro kaˇzdou ireducibiln´ı W existuje právˇe jeden bod x takov´ y, ˇze X = X \ {x}. 5.11.1. Vˇ eta. Kaˇzdý Hausdorff˚ uv prostor je stˇr´ızlivý. D˚ ukaz. Nechˇt W ∈ τ neobsahuje aspoˇ n dva r˚ uzné body x, y. Zvolme U, V ∈ τ disjunktn´ı tak, aby x ∈ U a y ∈ V . Potom W = (W ∪ U ) ∩ (W ∪ V ) a W ∪ U 6= W 6= W ∪ V . 5.11.2. Pozn´ amka. Stˇr´ızliv´ y prostor nemus´ı b´ yt T1 (a ani T1 neimplikuje stˇr´ızlivost). Napˇr´ıklad koneˇcné kvasidiskretn´ı prostory jsou stˇr´ızlivé. Scottovy (i nekoneˇcné) prostory jsou ˇcasto stˇr´ızlivé – pˇr´ıklad opaku byl v´ yznamn´ y v´ ysledek. 111

6. Kompaktnost 6.1. Pokryt´ı (pˇresnˇeji, otevˇrené pokryt´ı, ale o jin´ ych zde mluvit nebudeme) S topologického prostoru (X, τ ) je podmnoˇzina U ⊆ τ takov´ a, ˇze U = X. S ˇ Casto mluv´ıme o pokryt´ı U podmnoˇziny Y ⊆ X jestliˇS ze U ⊇ X. Je-li U pokryt´ı X a V ⊆ U podsystém takov´ y, ˇze stále jeˇstˇe V = X, mluv´ıme o podpokryt´ı, nebo o pokryt´ı vybraném z U (je to jen slovn´ı obrat, nejde o ˇzádn´ y v´ ybˇerov´ y princip). ˇ 6.2. Rekneme, ˇze prostor X je kompaktn´ı, dá-li se z kaˇzdého jeho pokryt´ı vybrat koneˇcné podpokryt´ı. Mluv´ıme o kompaktn´ı podmnoˇzinˇe Y (obecného) prostoru (X, τ ) je-li podprostor (Y, τ |Y ) kompaktn´ı; vˇsimnˇete si, ˇze to znamená pˇresnˇe to, ˇze z kaˇzdého S pokryt´ı U podmnoˇziny Y lze vybrat koneˇcné (je-li totiˇz U ⊆ τ takové, ˇze U ⊇ Y , máme pokryt´ı {U ∩ Y |U ∈ U} prostoru Y ). 6.3. Vˇ eta. 1. Kaˇzdá uzavˇrená podmnoˇzina kompaktn´ıho prostoru je kompaktn´ı. 2. Obraz kompaktn´ı podmnoˇziny pˇri spojitém zobrazen´ı je kompaktn´ı podmnoˇzina. D˚ ukaz. 1. Je-li X kompaktn´ı a A ⊆ X uzavˇrená, je pro kaˇzdé pokryt´ı U podmnoˇziny A systém U ∪ {X \ A} pokryt´ı prostoru X. Z toho vybereme koneˇcné V, a V \ {X \ A} pokryje A. ˇ f : X → Y spojité, A kompaktn´ı podmnoˇzina X a U pokryt´ı 2. Bud mnoˇziny S f [A]. Potom {f −1 [US] |U ∈ U} pokr´ yvá A. SVyberme U1 , . . . , Un ∈ U tak, aby ni=1 f −1 [Ui ] = f −1 [ ni=1 Ui ] ⊇ A a máme ni=1 Ui ⊇ f [A]. 6.4. Vˇsechna pokryt´ı tvoˇr´ı znaˇcnˇe nepˇrehlednou mnoˇzinu. Následuj´ıc´ı vˇeta umoˇzn ˇuje dokázat, ˇze prostor je kompaktn´ı na základˇe mnohem menˇs´ıho systému. Vˇ eta. (Alexanderovo lemma) Nechˇt pro nˇejakou subbasi S prostoru X = (X, τ ) plat´ı, ˇze z kaˇzdého pokryt´ı U ⊆ S lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı. Potom X je kompaktn´ı. (Pozn´ amka. V d˚ ukazu budeme pouˇz´ıvat Zornovo lemma. Jednoduˇseji to nejde: tvrzen´ı je ekvivalentni s axiomem v´ ybˇeru.) D˚ ukaz provedeme sporem. ˇ Rekneme, ˇze pokryt´ı je velké, nelze-li z nˇej vybrat koneˇcné podpokryt´ı.

112

Fakt. Existuje-li velké pokryt´ı, existuje i maximáln´ı velké pokryt´ı, t.j., takové velké pokryt´ı A, ˇze kdykoli U ∈ / A, dá se jiˇz z A ∪ {U } koneˇcné podpokryt´ı vybrat. (Skuteˇcnˇe, uˇzijme Zornova lemmatu: Je-li A S soustava vˇsech velk´ ych pokryt´ı lineárnˇe uspoˇra´daná inklus´ı, mus´ı b´ yt A také velké pokryt´ı, protoˇze kdybychom z nˇej vybrali koneˇcné V = {U1 , . . . , Un } a Ui ∈ Ai ∈ A, bylo by V ˇca´st´ı nejvˇetˇs´ıho z Ai .) Poloˇzme B = τ \ A. Potom plat´ı: U ∈ B právˇe kdyˇz pro nˇejaké U1 , . . . , Un ∈ A je U ∪ U1 ∪ · · · ∪ Un = X. (⇒ z maximality A, ⇐ z toho, ˇze A je stále jeˇstˇe velké). Následkem toho, V ⊇U ∈B

⇒

V ∈B

(∗)

(je-li U ∪ U1 ∪ · · · ∪ Un = X je téˇz V ∪ U1 ∪ · · · ∪ Un = X) a U, V ∈ B

⇒

U ∩V ∈B

(∗∗)

S S (je-li U ∪ U ∪ · · · ∪ U = X a V ∪ V ∪ · · · ∪ V = X, je (U ∩ V ) ∪ U ∪ Vi = 1 n 1 n i S S S S (U ∪ Ui ∪ Vi ) ∩ (V ∪ Ui ∪ Vi ) = X). Vezmˇeme nyn´ı libovoln´ y bod x ∈ X. Jelikoˇz A je pokryt´ı, existuje U ∈ A takov´ e , ˇ z e x ∈ U ; jelikoˇ z je S subbase, existuj´ı S1 , . . . , Sn ∈ S takové, ˇze Tn b´ yt vˇsechny Si v B, protoˇze v takovém x ∈ i=1 Si ⊆ U . Nyn´ı ale nemohou Tn pˇr´ıpadˇe by podle (∗∗) bylo i=1 Si a podle (∗) také U v B. Tedy nˇekteré z Si je v A, coˇz je spor, protoˇze to vzhledem k tomu, ˇze bod x byl libovoln´ y znamená ˇze jiˇz A ∩ S je pokryt´ı; z toho by se muselo dát vybrat koneˇcné. 6.4.1. Pˇ r´ıklad. Takto tˇreba snadno vid´ıme, ˇze I je kompaktn´ı. Vezmˇeme S = {h0, ah |a ∈ I} ∪ {ia, 1i |a ∈ I} a pokryt´ı U ⊆ S. Poloˇzme s = sup{a |h0, ah∈ U}. Zˇrejmˇe s nen´ı v ˇzádném h0, ah∈ U a tedy pro nˇejaké b je s ∈ib, 1i ∈ U. Z definice suprema a toho, ˇze s > b méme h0, ah∈ U takové, ˇze a > b. Potom I = h0, ah∪ib, 1i. 6.5. Vˇ eta (Tichonovova vˇeta o souˇcinu). Souˇcin libovolného systému kompaktn´ıch prostor˚ u je kompaktn´ı. ˇ Xi = (Xi , τi ), i ∈ J, kompaktn´ı. Vezmˇeme pokryt´ı U D˚ ukaz. BuQ dte prostoru X = Xi které je podmnoˇzinou subbase S = {p−1 i (U ) |U ∈ τi } a −1 oznaˇcme Ui = {U ∈ τi |pi (U ) ∈ U}. Potom 113

existuje k ∈ J takové, ˇze Uk pokrývá Xk . S (kdyby ne, mˇeli bychom pro kaˇzdé i bod xi ∈ / Ui ; jenomˇze (xi )i leˇz´ı v −1 nˇekteré pj (U ) ∈ U a tedy xj ∈ U ∈ Uj ). Vybereme-li nyn´ı z Uk koneˇcné pokryt´ı V, máme koneˇcné podpokryt´ı {p−1 k (V ) |V ∈ V}. 6.5.1. Zejména pak libovoln´ y souˇcin koneˇcn´ ych prostor˚ u je kompaktn´ı. Tento fakt má uˇziteˇcné d˚ usledky v kombinatorice a v logice. 6.6. Vˇ eta. V Hausdorffovˇe prostoru X je kaˇzdá kompaktn´ı podmnoˇzina uzavˇrená. ˇ A ⊆ X kompaktn´ı podmnoˇzina. Pro x ∈ D˚ ukaz. Bud / A a a ∈ A zvolme Ua , Va otevˇrené disjunktn´ı takové, ˇze x ∈ Ua a a ∈ Va . Potom {Va |a ∈ A} je pokryt´ uˇzeme z nˇeho vybrat koneˇcné Va1 , . . . , Van . Poloˇzme Tı mnoˇziny A a m˚ U = ni=1 Uai . U je okol´ı bodu x a neprot´ıná A, takˇze x ∈ / A. Tedy A ⊆ A. 6.6.1. D˚ usledky. Budˇ f : X → Y spojité zobrazen´ı, X kompaktn´ı a Y Hausdorff˚ uv. Potom (1) pro kaˇzdou uzavˇrenou A ⊆ X je f [A] uzavˇrená, (2) je-li f prosté, je to vloˇzen´ı podprostoru, (3) je-li f na, je to kvocient, a (4) je-li f vzájemnˇe jednoznaˇcné, je to homeomorfismus. 6.7. Vˇ eta. Kaˇzdý Hausdorff˚ uv kompaktn´ı prostor je normáln´ı. ˇ x ∈ D˚ ukaz. Nejprve dokáˇzeme, ˇze je regulárn´ı. Bud / A, A uzavˇrená a tedy kompaktn´ı. Pro a ∈ A zvolme Ua , Va otevˇrené disjunktn´ı takové, ˇze x ∈ Ua a a ∈ Va . Potom {Va |a ∈ A} je pokryt´ı kompaktn´ı mnoˇ Szniny A a m˚ uˇzeme z nˇ eho vybrat koneˇcné Va1 , . . . , Van tak, ˇze A ⊆ V = i=1 Vai . T Poloˇzme U = ni=1 Uai a máme x ∈ U a U ∩ V = ∅. Pro normalitu nyn´ı proceduru zopakujeme: Pro b ∈ B zvol´ıme disjunktn´ ı Tn Vb 3 b S a Ub ⊇ A, vybereme Vb1 , . . . , Vbn pokryt´ı B, a poloˇz´ıme U = i=1 Ubi a V = ni=1 Vbi . ˇX u ˇ 6.8. Cechova-Stoneova kompaktifikace. Bud ´plnˇe regulárn´ı T1 prostor. Vezmˇeme µX : X → IM (X) z 5.9 s mnoˇzinou M (X) = {φ : X → I |φ spojité}. Podle 6.5 je IM kompaktn´ı a tedy je i β(X) = µX [X] kompaktn´ı. Pro f : X → Y definujme fe : IM (X) →

114

IM (Y ) pˇredpisem pφ fe = pφf . Máme feµx = µY f (stále uˇz´ıváme 4.2.2, vˇcetnˇe jednoznaˇcnosti: pφ feµx = pφf µx = φf = pφ µY f ) a tedy podle 3.3 fe[β(X)] ⊆ e[µX [X]] ⊆ µY f [X] ⊆ β(Y ). M˚ uˇzeme tedy definovat spojité β(f ) : β(X) → β(Y ) pˇredpisem β(f )(x) = f (x) a oznaˇc´ımeli νX restrikci µX na X → β(X), máme β(f )νx = νY f. Podle 6.6.1, pro kompaktn´ı prostor X je νx homeomorfismus. Odtud dostáváme (pˇripomeˇ nte si téˇz 5.3.2) ˇ Vˇ etu (o Cechovˇ e-Stoneovˇe kompaktifikaci) Pro kaˇzdý u ´plnˇe regulárn´ı T1 prostor X existuje kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor β(X) a husté vloˇzen´ı νx : X → β(X) takové, ˇze pro kaˇzdé spojité zobrazen´ı f : X → Y do kompaktn´ıho Hausdorffova prostoru existuje (právˇe jedno) spojité zobrazen´ı f : β(X) → Y takové, ˇze f νX = f . (Totiˇz, f = νY−1 β(f ).) Pozn´ amka. Prostory β(X) jsou dost sloˇzité a nepˇr´ıliˇs snadno pˇredstavitelné. Napˇr´ıklad pro nekompaktn´ı metrick´ y X nen´ı β(X) nikdy metrisovateln´ y. ˇ 6.9. Lok´ alnˇ e kompaktn´ı prostory. Rekneme, ˇze prostor X je lokálnˇe kompaktn´ı jestliˇze pro kaˇzd´ y bod x ∈ X a pro kaˇzdé jeho okol´ı U existuje kompaktn´ı okol´ı K ⊆ U . Lokálnˇe kompaktn´ı prostory hraj´ı velmi podstatnou roli v matematice i v informatice. Zde pouze upozorn´ıme na to, ˇze kompaktn´ı prostor nemus´ı být lokálnˇe kompaktn´ı, ˇze ale na druhé stranˇe kaˇzdý Hausdorff˚ uv kompaktn´ı prostor lokálnˇe kompaktn´ı je (dokaˇzte to jako jednoduché cviˇcen´ı). 6.10. Lindel¨ ofovy prostory. A jeˇstˇe jeden pojem pˇr´ıbuzn´ y kompaktˇ nosti. Rekneme, ˇze prostor je Lindelöf˚ uv, dá-li se z kaˇzdého jeho pokryt´ı vybrat podpokryt´ı nejv´ yˇs spoˇcetné. Nˇeco v´ıce se o takov´ ych prostorech dozv´ıme v pˇr´ıˇst´ı kapitole, nyn´ı uvedeme jen jednu vˇetu o oddˇelován´ı. 115

Vˇ eta. Regulárn´ı Lindelöf˚ uv prostor je normáln´ı. ˇ D˚ ukaz. Budte A, B disjunktn´ı uzavˇrené podmnoˇziny regulárn´ıho Lindelöfova prostoru X. Pro x ∈ A zvolme otevˇrenou U (x) tak, aby x ∈ U (x) ⊆ U (x) ⊆ X \ B. Uzavˇren´ y podprostor Lindelöfova prostoru je Lindelöf˚ uv (ze stejného d˚ uvodu jako v obdobném tvrzen´ı o kompaktn´ıch prostorech) a tedy z pokryt´ı {U (x) |x ∈ A} m˚ uˇzeme vybrat spoˇcetné podpokryt´ı U1 , U2 , . . . mnoˇziny A. Bez ˚ ujmy obecnosti m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze U1 ⊆ U2 ⊆ · · · (p˚ uvodn´ı U1 , U2 , U3 , . . . m˚ uˇzeme nahradit U1 , U1 ∪U2 , U1 ∪U2 ∪U3 , . . . ), takˇze dostáváme systém otevˇren´ ych mnoˇzin U1 ⊆ U2 ⊆ U3 ⊆ · · · takov´ y, ˇze A ⊆

∞ [

Ui a U i ∩ B = ∅.

i=1

Podobnˇe zvol´ıme otevˇrené V1 ⊆ V2 ⊆ V3 ⊆ · · · takové, ˇze B ⊆

∞ [

Vi a V i ∩ A = ∅.

i=1

Poloˇ Ui0 = Ui ∩ (X \ V i ) a Vi0 = Vi ∩ (X \ U i ). Potom stále jeˇstˇe A ⊆ U = S S∞ zme ∞ 0 0 rené, a U ∩ V = ∅ protoˇze pro i=1 Vi , U a V jsou otevˇ i=1 Ui a B ⊆ V = 0 ˇ i ≤ j a potom Ui ∩ (X \ U j ) = ∅ vˇsechny dvojice i, j je Ui ∩ Vj0 = ∅ (je bud nebo je j ≤ i a potom Vj ∩ (X \ V i ) = ∅). Pozn´ amky. 1. Zjistit, ˇze prostor je regulárn´ı je ˇcasto velmi snadné, a Lindelöfova vlastnost také nemus´ı b´ yt nepr˚ uhledná. Z vˇety tak napˇr. snadno plyne, ˇze Sorgenfreyova pˇr´ımka je normáln´ı; pˇr´ım´ y d˚ ukaz by tak snadn´ y nebyl. 2. Kromˇe jiného dává tato vˇeta tuˇsit, proˇc bylo tak obt´ıˇzné naj´ıt pˇr´ıklad prostoru, kter´ y byl regulárn´ı ale ne u ´plnˇe regulárn´ı.

7. Souvislost V tomto odstavci se budeme krátce zab´ yvat geometricky velmi názorn´ ym pojmem souvislosti prostoru. Zhruba ˇreˇceno, p˚ ujde o zachycen´ı dvou pˇredstav: (1) o otázku zda prostor “drˇz´ı pohromadˇe” nebo se rozpadá na v´ıceménˇe nezávislé ˇcásti (“souvislost” – viz 7.1), a (2) o otázku, zda se m˚ uˇzeme “dostat z libovolého m´ısta na libovolné jiné bez skok˚ u” (“kˇrivková souvislost” – viz 7.7.). 116

ˇ 7.1. Rekneme, ˇze podmnoˇzina A topologického prostoru X je obojetná, je-li zároveˇ n otevˇrená i uzavˇrená. V kaˇzdém prostoru X máme triviáln´ı obojetné mnoˇziny X a ∅. P˚ ujde o to, zda tam jsou také jiné. Neprázdn´ y prostor je souvislý, neobsahuje-li kromˇe triviáln´ıch ˇza´dné jiné obojetné mnoˇziny; jinak ˇr´ıkáme, ˇze je nesouvislý. Jin´ ymi slovy, neprázdn´ y prostor X je nesouvisl´ y existuj´ı-li v nˇem dvˇe neprázdné disjunktn´ı otevˇrené mnoˇziny A, B takové, ˇze X = A ∪ B, nebo existuj´ı-li v nˇem dvˇe neprázdné disjunktn´ı uzavˇrené mnoˇziny A, B takové, ˇze X = A ∪ B. Podmnoˇzina Y prostoru (X, τ ) je souvislá resp. nesouvislá je-li prostor (Y, τ |Y ) souvisl´ y resp. nesouvisl´ y. 7.2. D˚ uleˇ zit´ y pˇ r´ıklad. Interval I je souvislý: Nechˇt I = A∪B a nechˇt A, B jsou neprázdné disjunktn´ı uzavˇrené mnoˇziny. Nechˇt dejme tomu 1 ∈ B. Poloˇzme s = sup A. Zˇrejmˇe je s ∈ A = A (protoˇze v kaˇzdém intervalu is − , s + h je bod z A) a tedy s < 1. Jenomˇze potom kaˇzd´ y interval is − , s + h obsahuje také bod z B a s ∈ B = B, coˇz je spor. 7.3. Vˇ eta. Spojitý obraz souvislé mnoˇziny je souvislá mnoˇzina. ˇ f : X → Y spojité zobrazen´ı a bud ˇ M ⊆ X souvislá D˚ ukaz. Bud mnoˇzina. Nechˇt f [M ] = A ∪ B kde A, B jsou disjunktn´ı neprázdné uzavˇrené podmnoˇziny f [M ]. Oznaˇcme g : M → f [M ] restrikci zobrazen´ı f . Potom je g spojité zobrazen´ı (viz 4.1) a máme tedy M = g −1 [A]∪g −1 [B] s disjunktn´ımi neprázdn´ ymi uzavˇren´ ymi g −1 [A], g −1 [B]. 7.4. Vˇ eta. Uzávˇer souvislé podmnoˇziny je souvislá podmnoˇzina. ˇ M souvislá podmnoˇzina prostoru X, bud ˇ M = A∪B s D˚ ukaz. Bud disjunktn´ımi uzavˇren´ ymi A, B (uzavˇrenost v M je totéˇz jako uzavˇrenost v X). Potom máme M = (A ∩ M ) ∪ (B ∩ M ) s A ∩ M, B ∩ M disjunktn´ımi uzavˇren´ ymi v M . Jedna z tˇechto mnoˇzin mus´ı b´ yt prázdná, dejme tomu M ∩ A = ∅. Potom je M ⊆ B a následkem toho M ⊆ B a A mus´ı b´ yt prázdná. 117

S 7.5. Vˇ eta. Nechˇt je X = i∈J Xi , nechˇt vˇsechny podmnoˇziny Xi ⊆ X jsou souvislé a nechˇt pro kaˇzdé dva indexy i, j ∈ J existuj´ı i1 , . . . , in takové, ˇze i = i1 , j = in a pro k = 1, . . . , n − 1 je vˇzdy Xik ∩ Xik+1 6= ∅.

(∗)

Potom je X souvislý prostor. D˚ ukaz. Nechˇt je X = A ∪ B s disjunktn´ımi otevˇren´ ymi A, B. Potom pro kaˇzd´ y index i ∈ J je Xi = (Xi ∩ A) ∪ (Xi ∩ B) s Xi ∩ A, Xi ∩ B disjunktn´ımi otevˇren´ ymi v Xi . Tedy mus´ı b´ yt vˇzdy jedna z tˇechto mnoˇzin prázdná, takˇze je ˇ vˇzdy bud Xi ⊆ A nebo Xi ⊆ B. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe zaˇrad´ıme i do podmnoˇziny JA ⊆ J, v druhém pˇr´ıpadˇe do JB ⊆ J. Je-li i ∈ JA a j ∈ JB máme zˇrejmˇe Xi ∩Xj = ∅. Podle (∗) jsou tedy vˇsechny indexy S v jedné skupinˇe, dejme tomu v JA . Je tedy Xi ⊆ A pro vˇsechna i, tedy X = Xi ⊆ A, a B = ∅. 7.6. D˚ usledek. Souˇcin dvou souvislých prostor˚ u je souvislý. S D˚ ukaz. Vyberme x0 ∈ X. Máme X × Y = ( {X × {y} |y ∈ Y }) ∪ ({x0 } × Y ), vˇsechny sˇc´ıtance souvislé (homeomorfn´ı s X nebo Y ), a soustava splˇ nuje pˇredpoklady pˇredchoz´ı vˇety. Ve skuteˇcnosti plat´ı obecnˇejˇs´ı 7.6.1. Vˇ eta. Souˇcin libovolného systému souvislých prostor˚ u je souvislý. D˚ ukaz. Podle 7.6 je pˇredevˇs´ım souˇcin kaˇzdého takového koneˇcného sysˇ nyn´ı Xi , i ∈ J libovolná soustava souvisl´ tému souvisl´ y. Bud ych prostor˚ u. Vyberme pro kaˇzdé i ∈ J bod ai ∈ Xi a uvaˇzujme pro koneˇcné podmnoˇziny K ⊆ J podprostory XK = {(xi )i∈J |pro vˇsechna i ∈ / K, xi = ai }. Q y. Pro liProstor XK je homeomorfn´ı s i∈K Xi (dokaˇzte) a tedy souvisl´ bovoln´ e koneˇcné K, L ⊆ J je XK , XL ⊆ XK∪L a tedy podle 7.5 je M = S {XK |K koneˇcná ⊆ J} souvislá podmnoˇ zina. Pro libovolnou neprázdnou T otevˇrenou basickou mnoˇzinu U = i∈K p−1 [Ui ] je U ∩ XK 6= ∅, tedy je Q y podle 7.4. J Xi = M souvisl´ Pozn´ amka. Vˇeta se dá obrátit: Q Je-li J Xi souvislý, jsou vˇsechny jednotlivé Xi souvislé. O to se postará vˇeta 7.3 a spojité projekce. Vˇsimnˇete si, ˇze v tom hrálo podstatnou roli to, ˇze jednou z podm´ınek souvislosti bylo, aby prostor byl neprázdn´ y. 118

7.7. Kˇ rivkov´ a (obloukov´ a) souvislost. Cestou (nebo kˇrivkou) spojuj´ıc´ı body x a y v prostoru X rozum´ıme spojité zobrazen´ı φ : I → X takové, ˇze φ(0) = x a φ(1) = y. ˇ Rekneme, ˇze neprázdn´ y prostor je kˇrivkovˇe (nebo téˇz obloukovˇe) souvisl´ y, daj´ı-li se v nˇem libovolné dva body spojit kˇrivkou. 7.7.1. Vˇ eta. Kˇrivkovˇe souvislý prostor je souvislý. D˚ ukaz. To je opˇet d˚ usledek vˇety 7.5 (a ovˇsem téˇz 7.2 a 7.3). Zvolme pevnˇe bod x0 ∈ X a potom ke kaˇzSdému bodu x ∈ X kˇrivku φx : I → X spojuj´ıc´ı x0 s x. Potom máme X = {φx [I] |x ∈ X} a systém {φx [I] |x ∈ X} splˇ nuje pˇredpoklady vˇety 7.5. D˚ usledky. Tedy na pˇr´ıklad vˇsechny euklidovské prostory jsou souvislé, a obecnˇeji vˇsechny jejich konvexn´ı podmnoˇziny. Ale jeˇstˇe obecnˇeji, vˇsechny podprostory u nichˇz um´ıme popsat spojen´ı kˇrivkami, tˇreba sféry {x |ρ((0, . . . , 0), x) = 1} a podobnˇe. 7.8. Pˇ r´ıklad. V euklidovské rovinˇe R × R vezmˇeme podprostor 1 X = {(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(x, sin ) |0 < x ≤ 1}. x Mnoˇzina M = {(x, sin x1 ) |0 < x ≤ 1} jako obraz souvislého intervalu i0, 1i pˇri spojitém zobrazen´ı x 7→ (x, sin x1 ) je souvislá a M = X, takˇze podle 7.3 je cel´ y X souvisl´ y. Nen´ı vˇsak kˇrivkovˇe souvisl´ y: body tvaru (0, y) s body mnoˇziny M se kˇrivkami spojit nedaj´ı. ˇ 7.9. Lok´ aln´ı souvislost. Rekneme, ˇze prostor X je lokálnˇe souvislý jestliˇze pro kaˇzd´ y bod x ∈ X a pro kaˇzdé jeho okol´ı U existuje souvislé okol´ı V ⊆ U. Pˇr´ıklad 7.8 ukazuje, ˇze souvisl´ y prostor nemus´ı b´ yt lokálnˇe souvisl´ y: malá okol´ı bod˚ u tvaru (0, y) souvislá okol´ı neobsahuj´ı. Poznamenejme, ˇze intuici souvislosti odpov´ıdaj´ı sp´ıˇs prostory, které jsou zároveˇ n souvislé a lokálnˇe ˇ souvislé neˇz prostory pouze souvislé. Ctenáˇri moˇzná bude také pˇripadat, ˇze v pˇr´ıkladu 7.8 ˇca´sti {(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1} a {(x, sin x1 ) |0 < x ≤ 1} nedrˇz´ı v geometrickém názoru pˇr´ıliˇs krásnˇe pohromadˇe. 7.10. Tot´ aln´ı a extrem´ aln´ı nesouvislost. Jeˇstˇe dva pojmy t´ ykaj´ıc´ı se nesouvislosti. Bude se jednat o prostory geometricky ne zrovna nejzaj´ımavˇejˇs´ı, ale hraj´ıc´ı (zejména prvn´ı z nich) v´ yznamnou roli. 119

Prostor X je totálnˇe nesouvislý jestliˇze pro kaˇzd´ y bod x ∈ X a pro kaˇzdé jeho okol´ı U existuje obojetné okol´ı V ⊆ U . Prostor X je extremálnˇe nesouvislý jestliˇze uzávˇer libovolné otevˇrené mnoˇziny je otevˇrená (a tedy obojetná) mnoˇzina. Totálnˇe nesouvislé prostory si snadno pˇredstav´ıme. Napˇr´ıklad prostor racionáln´ıch ˇc´ısel, nebo známé Cantorovo discontinuum jsou totálnˇe nesouvislé. Netriviáln´ı pˇr´ıklady extremálnˇe nesouvisl´ ych prostor˚ u jsou jiˇz ménˇe ˇ názorné. Abychom nˇejak´ y uvedli: snadno se ukáˇze, ˇze Cechova-Stoneova kompaktifikace extremálnˇe nesouvislého prostoru je opˇet prostor extremálnˇe nesouvisl´ y, tedy je extremálnˇe nesouvisl´ y kaˇzd´ y β(X) s diskretn´ım X.

120

Kapitola VI

Metrick´ e a uniformn´ı prostory 1. Zopakov´ an´ı nˇ ekolika pojm˚ u. 1.1. V prvn´ı ˇcásti této kapitoly se budeme zab´ yvat nˇekolika speciáln´ımi vlastnostmi metrick´ ych prostor˚ u. Nˇekteré z pojm˚ u, které uvedeme (separabilita, hromadn´ y bod a j.) maj´ı obecnou topologickou platnost; zaˇrazujeme je sem proto, ˇze nás budou zváˇsˇt zaj´ımat nˇekteré jejich aspekty v merickém kontextu. Budeme se ale také zab´ yvat pojmy, které jsou s metrikou svázány v´ıce, a nezachovávaj´ı se obecnˇe pˇri homeomorfismech. O takov´ ych pojmech ˇr´ıkáme, ˇze nejsou topologické. 1.2. Pˇripomeˇ nme, ˇze se v metrickém prostoru (X, ρ) zavád´ı vzdálenost bodu x od mnoˇziny A ⊆ X pˇredpisem ρ(x, A) = inf{ρ(x, a) | a ∈ A} a ˇze pro uzávˇer plat´ı A = {x | ρ(x, A) = 0}. Následkem toho, 1.2.1 podmnoˇzina A ⊆ X je hustá právˇe kdyˇz ke kaˇzdému x ∈ X a kaˇzdému ε > 0 existuje a ∈ A takové, ˇze ρ(x, a) < ε. 1.3. Diametr mnoˇziny A je definován pˇredpisem diamA = sup{ρ(x, y) | x, y ∈ A}. ˇ Rekneme, ˇze metrick´ y prostor (X, ρ) je omezený jestliˇze diamX < +∞. Plat´ı Tvrzen´ı: diamA = diamA. 121

D˚ ukaz. Nechˇt diamA > diamA. Zvolme x, y ∈ A tak aby ρ(x, y) > diamA + 2ε. Kdyˇz nyn´ı zvol´ıme x0 , y 0 ∈ A tak aby ρ(x, x0 ), ρ(y, y 0 ) < ε, dostaneme spor ρ(x, y) ≤ ρ(x, x0 ) + ρ(x0 , y 0 ) + ρ(y 0 , y) < ε + diamA + ε. 1.4. Pˇripomeˇ nme jeˇstˇe kulová okol´ı bod˚ u Ω(x, ε) = {y | ρ(x, y) < ε}. Plat´ı Tvrzen´ı: 1. diamΩ(x, ε) ≤ 2ε. 2. Je-li α < β je Ω(x, α) ⊆ Ω(x, β). ˇ nyn´ı y ∈ Ω(x, α). Zvolme z ∈ D˚ ukaz. Prvn´ı tvrzen´ı je triviáln´ı. Bud Ω(x, α) tak aby ρ(z, z) < β − α. Potom ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) < β. 1.5. Dále pˇripom´ınáme, ˇze posloupnost (xn )n konverguje k bodu x jestliˇze ˇ ıkáme ke kaˇzdému ε > 0 existuje n0 takové, ˇze pro n ≥ n0 je ρ(xn , x) < ε. R´ pak, ˇze posloupnost (xn )n je konvergentn´ı, ˇze x je jej´ı limita, a p´ıˇseme x = lim xn . 1.5.1. Pozorov´ an´ı. Konverguje-li posloupnost (xn )n k x, konverguje k témuˇz bodu i po libovolném pˇrerovnán´ı. To jest, pro libovolné vzájemnˇe jednoznaˇcné zobrazen´ı φ mnoˇziny pˇrirozených ˇc´ısel N na sebe je opˇet lim xφ(n) = x. (Skuteˇcnˇe, staˇc´ı vˇzdy nahradit ˇc´ıslo n0 z definice ˇc´ıslem n1 dostateˇcnˇe velk´ ym tak aby {1, 2, . . . , n0 } ⊆ φ[{1, 2, . . . , n1 }].) 1.6. Cauchyovsk´ e posloupnosti. Posloupnost xn , n = 1, 2, . . . v metrickém prostoru (X, ρ) je Cauchyovská jestliˇze ∀ε > 0 ∃n0 takové, ˇze m, n ≥ n0 ⇒ ρ(xn , xm ) < ε. Zˇrejmˇe kaˇzdá konvergentn´ı posloupnost je Cauchyovská. ˇ Rekneme, ˇze metrick´ y prostor (X, ρ) je u ´plný jestliˇze je v nˇem kaˇzdá Cauchyovská posloupnost konvergentn´ı. 1.7. Metriky ρ, σ na mnoˇzinˇe X jsou silnˇe ekvivalentn´ı, existuj´ı-li kladná ˇc´ısla α, β taková, ˇze pro vˇsechna x, y ∈ X je α · σ(x, y) ≤ ρ(x, y) ≤ β · σ(x, y). 122

ˇ (X1 , ρ1 ), (X2 , ρ2 ) metrické prostory. Na mnoD˚ uleˇ zit´ y pˇ r´ıklad. Budte ˇzinˇe X = X1 × X2 definujme p ρ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ρ1 (x1 , y1 )2 + ρ2 (x2 , y2 )2 , (1.7.ρ) σ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ρ1 (x1 , y1 ) + ρ2 (x2 , y2 ), (1.7.σ) µ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max(ρ1 (x1 , y1 ), ρ2 (x2 , y2 )). (1.7.µ) Je snadno vidˇet, ˇze vˇsechny tˇri formule definuj´ı metriky na X, a ˇze kterékoli dvˇe z nich jsou silnˇe ekvivalentni. Tak dostáváme (ve tˇrech variantách) souˇcin (nebo produkt) dan´ ych metrick´ ych prostor˚ u. Pˇresvˇedˇcte se, ˇze je to v souladu s topologiemi: v pˇr´ısluˇsn´ ych topologi´ıch podle V.5.4 dostaneme souˇcin topologick´ ych prostor˚ u. 1.7.1. Euklidovsk´ e prostory. Souˇcin R × · · · × R n-krát budeme oznaˇcovat En a budeme o nˇem mluvit jako o n-rozmˇerném Euklidovském prostoru. Bˇeˇzné euklidovské geometrii odpov´ıdá metrika typu z formule (1.7.ρ); pro naˇse u ´vahy bude obvykle pohodlnˇejˇs´ı metrika z formule (1.7.µ). 1.8. Jednoduch´ y pˇ r´ıklad na kter´ em je vidˇ et kde co. Zobrazen´ı 2x − 1 ) : I0 =i0, 1h= {t |0 < t < 1} → R, φ = (x 7→ 1 − |2x − 1| 1 + x + |x| ψ = (x 7→ ) : R → I0 2(1 + |x|) jsou spojitá a vzájemnˇe inversn´ı. Tedy jsou I0 a R homeomorfn´ı. Vid´ıme tedy, ˇze • omezenost nen´ı topologick´ y pojem: I0 omezen´ y je a R omezen´ y nen´ı; • vlastnost “b´ yti Cauchyovská posloupnost” nen´ı topologick´ y pojem: po1 sloupnost ( n )n je v I0 Cauchyovská, ale jej´ı homeomorfn´ı obraz (φ( n1 ) = 1 − n2 )n nen´ı Cauchyovská v R; • u ´plnost nen´ı topologick´ y pojem: I0 u ´pln´ y nen´ı a R u ´pln´ y je (viz pˇr´ıˇst´ı odd´ıl). Snadno ale vid´ıme, ˇze vˇsechny tyto pojmy se zachovávaj´ı pˇri silnˇe ekvivalentn´ıch metrikách. Zejména tedy budeme-li o nich mluvit u souˇcin˚ u, je jedno, kterou z nahoˇre uveden´ ych metrik vezmeme. 123

2. Separabilita a tot´ aln´ı omezenost 2.1. Topologick´ y prostor je separabiln´ı, existuje-li v nˇem (nejv´ yˇs) spoˇcetná hustá podmnoˇzina. 2.2. Vˇ eta. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı o metrickém prostoru X = (X, ρ) jsou ekvivalentn´ı. (1) X je separabiln´ı. (2) X má spoˇcetnou basi otevˇrených mnoˇzin. (3) X je Lindelöf˚ uv. ˇ M spoˇcetná hustá podmnoˇzina. Poloˇzme D˚ ukaz. (1)⇒(2): Bud B = {Ω(m, r) |m ∈ M, r racionáln´ı}. Dokáˇzeme, ˇze B je base. Vezmˇeme otevˇrenou U , x ∈ U a ε > 0 takové, ˇze Ω(x, ε) ⊆ U . Nyn´ı zvolme m ∈ M tak, aby ρ(x, m) < 31 ε a racionáln´ı r takové, ˇze 13 ε < r < 32 ε. Potom x ∈ Ω(m, r) ⊆ Ω(x, ε) ⊆ U : skuteˇcnˇe, je-li ρ(m, y) < r, je ρ(x, y) ≤ ρ(x, m) + ρ(m, y) < ( 31 + 32 )ε = ε. ˇ B spoˇcetná base a U libovolné otevˇrené pokryt´ı. Oznaˇcme (2)⇒(3): Bud B 0 = {B ∈ B |∃U ∈ U, B ⊆ U }. Potom je B 0 spoˇcetné pokryt´ı, a vyberemeli pro kaˇzdé B ∈ B 0 nˇejakou UB ∈ U tak, aby B ⊆ UB , je také {UB |B ∈ B 0 } spoˇcetné pokryt´ı. (3)⇒(1): Pro kaˇzdé kladné pˇrirozené n vyberme z pokryt´ı {Ω(x, n1 ) |x ∈ X} spoˇcetné podpokryt´ı 1 1 Ω(xn1 , ), . . . , Ω(xnk , ), . . . . n n Potom je mnoˇzina {xnk | n, k = 1, 2, . . . } hustá v X.

Pozn´ amka. V obecném topologickém kontextu plat´ı jen (velmi snadné) implikace (2)⇒(3) a (2)⇒(1), nic v´ıc. 2.2.1. Vlastnost (2) z vˇety 2.2 se zˇrejmˇe pˇrenáˇs´ı na libovolné podprostory. Máme tedy téˇz D˚ usledek. Podprostor metrického separabiln´ıho prostoru je separabiln´ı. Podprostor metrického Lindelöfova prostoru je Lindelöf˚ uv prostor. (Prvn´ı z tˇechto tvrzen´ı nijak nepˇrekvap´ı, a ostatnˇe se dá snadno dokázat pˇr´ımo. Druhé tvrzen´ı ale moˇzná trochu pˇrekvapuj´ıc´ı je: Lindelöfova vlastnost 124

je velmi pˇr´ıbuzná kompaktnosti a ta se v podprostorech obecnˇe nezachovává. V obecném topologickém kontextu neplat´ı ani jedno.) ˇ 2.3. Rekneme, ˇze metrick´ y prostor je totálnˇe omezený, existuje-li pro kaˇzdé ε > 0 koneˇcná podmnoˇzina M (ε) taková, ˇze pro kaˇzdé x ∈ X je ρ(x, M (ε)) < ε.

(TO)

2.3.1. Pozorov´ an´ı. Kaˇzd´ y totálnˇe omezen´ y metrick´ y prostor je omezen´ y, ale omezen´ y prostor nemus´ı b´ yt totálnˇe omezen´ y. (Máme diamX ≤ diamM (1) + 2. Na druhé stranˇe, definujeme-li na nekoneˇcné mnoˇzinˇe X vzdálenost ρ(x, y) = 1 pro vˇsechny dvojice x 6= y, je z´ıskan´ y prostor omezen´ y; koneˇcná M ( 21 ) vˇsak neexistuje.) 2.3.2. Vˇ eta. Podprostory a souˇciny totálnˇe omezených prostor˚ u jsou totálnˇe omezené. ˇ M (ε) mnoˇziny z (TO) pro prostor X, bud ˇ D˚ ukaz. I. Podprostory: Budte 1 Y ⊆ X podprostor. Pro x ∈ M ( 2 ε) zvolme y(x) ∈ Y takové, ˇze ρ(x, y) < 1 ε pokud takové y existuje, jinak k x nevolme nic. Podle troj´ uheln´ıkové 2 nerovnosti potom splˇ nuj´ı 1 M 0 (ε) = {y(x) |x ∈ M ( ε)} 2 poˇzadavek (TO) pro podprostor Y . II. Souˇciny: V souˇcinu X = (X1 , ρ1 ) × (X2 , ρ2 ) vezmˇeme metriku µ z 1.7 a zvolme v (Xi , ρi ) mnoˇziny Mi (ε) podle (TO). Potom v X staˇc´ı vz´ıt M (ε) = M1 (ε) × M2 (ε). 2.3.3. Vˇ eta. Podprostor Euklidovského prostoru En je totálnˇe omezený právˇe kdyˇz je omezený. D˚ ukaz. Protoˇze kaˇzd´ y omezen´ y podprostor En se vejde do souˇcinu omezen´ ych interval˚ u, staˇc´ı podle 2.3.2 dokázat, ˇze kaˇzd´ y omezen´ y interval J je 1 totálnˇe omezen´ y. Pro ε > 0 zvolme n tak aby n < ε a poloˇzme M (ε) = {

k | k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } ∩ J. n

2.4. Vˇ eta. Metrický prostor X je totálnˇe omezený právˇe kdyˇz z kaˇzdé posloupnosti v X lze vybrat Cauchyovskou podposloupnost. 125

D˚ ukaz. I. Je-li X totálnˇe omezen´ y zvolme mnoˇziny M ( n1 ) podle definice. Je-li mnoˇzina P = {xi | i = 1, 2, . . . } koneˇcná, obsahuje naˇse posloupnost konstantn´ı podposloupnost, a ta je samozˇrejmˇe Cauchyovská. Jinak zvolme nejprve m1 ∈ M (1) tak aby P1 = P ∩ Ω(m1 , 1) byla nekoneˇcná, a potom k1 tak, aby xk1 ∈ P1 . Jsou-li jiˇz zvoleny 1 1 mj ∈ M ( ), j = 1, . . . , n − 1, takové, ˇze Pj = Pj−1 ∩ Ω(mj , ) j j jsou nekoneˇcné, a k1 < k2 < · · · < kn−1 takové, ˇze xkj ∈ Pj , zvolme mn ∈ M ( n1 ) tak aby Pn = Pn−1 ∩Ω(m1 , 1) byla nekoneˇcná, a kn > kn−1 tak, aby xkn ∈ Pn . Potom je posloupnost xk1 , xk2 , xk3 , . . . zˇrejmˇe Cauchyovská. II. Nechˇt X nen´ı totálnˇe omezen´ y. Potom existuje ε > 0 takové, ˇze pro kaˇzdou koneˇcnou M ⊆ X existuje x ∈ X tak, ˇze ρ(x, M ) > ε. Zvolme libovolnˇe bod x1 a máme-li jiˇz body x1 , . . . , xn nalezeny zvolme xn+1 tak, aby ρ(xn+1 , {x1 , . . . , xn }) > ε. Z takto z´ıskané posloupnosti zˇrejmˇe Cauchyovskou vybrat nelze. 2.5. Vˇ eta. Kaˇzdý totálnˇ y prostor je separabiln´ı. Se omezen´ 1 M ( ) D˚ ukaz. Staˇc´ı vz´ıt M = ∞ n=1 n 2.5.1. V jednom s dalˇs´ıch odd´ıl˚ u se nám bude hodit jednoduch´ y d˚ usledek tohoto faktu a vˇet 2.2 a 2.4: D˚ usledek. Je-li z kaˇzdé posloupnosti v prostoru X moˇzno vybrat konvergentn´ı podposloupnost, je X Lindelöf˚ uv.

´ 3. Upln´ e metrick´ e prostory. Pˇripomeˇ nme si definice z 1.6. Plat´ı 3.1.1. Lemma. Posloupnost (x11 , x21 ), (x12 , x22 ), (x13 , x23 ), . . . v souˇcinu X1 × X2 je Cauchyovská právˇe kdyˇz kaˇzdá s posloupnost´ı xi1 , xi2 , xi3 , . . . je Cauchyovská v Xi . D˚ ukaz. Pouˇzijeme metriku z (1.7.µ). Nechˇt je (x11 , x21 ), (x12 , x22 ), (x13 , x23 ), . . . Cauchyovská. Pro ε > 0 zvolme n0 tak, aby pro m, n > n0 bylo µ((x1m , x2m ), (x1n , x2n )) < ε. 126

Potom pro m, n > n0 je ρi (xim , xin ) < ε. ˇ naopak obˇe posloupnosti xi1 , xi2 , xi3 , . . . Cauchyovské. Zvolme ni Budte tak, aby pro m, n > ni bylo ρi (xim , xin ) < ε. Potom pro n0 = max(n1 , n2 ) a m, n > n0 je µ((x1m , x2m ), (x1n , x2n )) < ε. 3.1.2. D˚ usledek. Souˇcin dvou u ´plných metrických prostor˚ u je u ´plný prostor. 3.2. Vˇ eta. Podprostor Y ⊆ X u ´plného prostoru je u ´plný právˇe kdyˇz Y je uzavˇrená podmnoˇzina v X. ˇ Y uzavˇrená podmnoˇzina v X a bud ˇ y1 , y2 , . . . Cauchyovská D˚ ukaz. Bud v Y a tedy i v X. Tam má limitu y; vzhledem k uzavˇrenosti Y je y ∈ Y . Nechˇt Y nen´ı uzavˇrená. Potom v n´ı existuje posloupnost y1 , y2 , . . . která má limitu v X \ Y . Jelikoˇz je y1 , y2 , . . . konvergentn´ı v X, je Cauchyovská, a taková je i v Y , protoˇze tam jsou stejné vzdálenosti; v Y ale limitu nemá. 3.3.1. Pozorov´ an´ı. Kaˇzdá Cauchyovská posloupnost tvoˇr´ı omezenou mnoˇzinu. (Zvolme n0 tak aby pro m, n ≥ n0 bylo ρ(xm , xn ) < 1 a poloˇzme d = max{ρ(xm , xn ) |m, n ≤ n0 }. Potom je pro libovolná m, n, ρ(xm , xn ) < d + 2.) 3.3.2. Lemma. Z kaˇzdé omezené posloupnosti reálných ˇc´ısel je moˇzno vybrat konvergentn´ı podposloupnost. D˚ ukaz. Je-li x1 , xn , . . . omezená posloupnost, je mnoˇzina M = {r ∈ R | xm > r pro nekoneˇcnˇe mnoho index˚ u m} omezená a neprázdná a má tedy koneˇcné supremum s. Pro kaˇzdé k podle definice mnoˇziny M existuje nekoneˇcnˇe mnoho index˚ u n takov´ ych, ˇze s−

1 1 < xn < s + . k k

Zvolme n1 tak aby s−1 < xn1 < s+1 a pak induktivnˇe nk tak aby nk+1 > nk a s− k1 < xnk < s+ k1 . Z´ıskaná posloupnost xn1 , xn2 , xn3 , . . . potom konverguje k s. 3.3.3. Vˇ eta. Reálná pˇr´ımka R je u ´plný prostor. Následkem toho jsou vˇsechny uzavˇrené podprostory euklidovských prostor˚ uu ´plné. (Prvn´ı z tvrzen´ı je slavná vˇeta Bolzano-Cauchyova.) 127

D˚ ukaz. Prvn´ı tvrzen´ı dostaneme bezprostˇrednˇe z 3.3.1 a 3.3.2, druhé je pak d˚ usledkem vˇet 3.1 a 3.2. ˇ ıdk´ 3.4. R´ e mnoˇ ziny a mnoˇ ziny prvn´ı kategorie. Pˇripomeˇ nte si definici husté podmnoˇziny, t.j. takové M ⊆ X, ˇze M = X (viz V.3.2). Podobnˇe názorn´ y je pojem ˇr´ıdké podmnoˇziny: jedná se o takovou podmnoˇzinu M ⊆ X, ˇze doplnˇek jej´ıho uzávˇeru je hustá mnoˇzina, t.j., ˇze X \M =X (uvˇedomte si d˚ uleˇzitost toho, ˇze mnoˇzinu M nejprve uzavˇreme; pouhá vlastnost “b´ yt doplnˇek husté mnoˇziny” nemá valn´ y smysl). Mnoˇzina prvn´ı kategorie je sjednocen´ı spoˇcetnˇe mnoha ˇr´ıdk´ ych mnoˇzin. Ta m˚ uˇze, na rozd´ıl od ˇr´ıdk´ ych mnoˇzin, zaplˇ novat velkou ˇca´st prostoru – tˇreba racionáln´ı pˇr´ımka je celá prvn´ı kategorie. U u ´pln´ ych prostor˚ u se to vˇsak nikdy nestane. Plat´ı velmi v´ yznamná ˇadný u Vˇ eta. (Baireova vˇeta) Z´ ´plný prostor nen´ı prvn´ı kategorie v sobˇe. ˇ D˚ ukaz. Budte An , n = 1, 2, . . . ˇr´ıdké v X. Tedy jsou X \ An husté. Mnoˇzina X \ A1 je hustá otevˇrená; m˚ uˇzeme proto zvolit otevˇrenou U1 6= ∅ tak, aby B1 = U 1 ⊆ X \ A1 a diamB1 < 1

(∗)

(tˇreba U1 = Ω(x, ε) pro nˇejaké x ∈ X \ A1 a dost malé ε – viz 1.3 a 1.4). Mˇejme nyn´ı nalezeny neprázdné otevˇrené U1 , . . . , Un takové, ˇze Uk+1 ⊇ U k = Bk a diamBk < k1 . Potom je (X \ An+1 ) ∩ Un neprázdná otevˇrená mnoˇzina a m˚ uˇzeme zvolit 1 otevˇrenou Un+1 6= ∅ tak aby Bn+1 = U n+1 ⊆ X \ An+1 a diamBn+1 < n+1 (tˇreba zase Ω(x, ε) pro nˇejaké x ∈ (X \An+1 )∩Un a dost malé ε). Dostáváme posloupnost neprázdn´ ych uzavˇren´ ych mnoˇzin B1 ⊇ B2 ⊇ · · · takov´ ych, ˇze • diamBn < n1 , a • Bn ⊆ X \ An . V Bn zvolme bod bn . Potom pro k ≥ n je bk ∈ Bn a tedy je posloupnost b1 , b2 , b3 , . . . Cauchyovská a má limitu b. Jelikoˇz {bn , bn+1 , bn+2 , . . .} ⊆ Bn a Bn je uzavˇrená, je b ∈ Bn a tedy \ \ [ b∈ Bn ⊆ (X \ An ) = X \ An . 128

Tedy

S

An 6= X.

3.5. Z´ uplnˇ en´ı metrick´ eho prostoru. Oznaˇcme C(X, ρ) mnoˇzinu vˇsech Cauchyovsk´ ych posloupnost´ı v prostoru (X, ρ). Pro (xn )n , (yn )n ∈ C(X, ρ) poloˇzme ρ0 ((xn )n , (yn )n ) = lim ρ(xn , yn ). n→∞

(Tato limita existuje: Zvol´ıme-li pro > 0 ˇc´ıslo n0 tak aby pro m, n ≥ n0 bylo ρ(xn , xm ) < 2 a ρ(yn , ym ) < 2 , máme ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ(xm , ym ) + ρ(yn , ym ) < + ρ(xm , ym ) takˇze |ρ(xn , yn ) − ρ(xm , ym )| < – absolutn´ı hodnota protoˇze poˇrad´ı m, n m˚ uˇzeme obrátit. Posloupnost (ρ(xn , yn ))n je tedy Cauchyovská.) Bezprostˇrednˇe vid´ıme, ˇze • ρ0 (p, q) ≥ 0 a ρ0 (p, p) = 0, • ρ0 (p, q) = ρ0 (q, p), a • ρ0 (p, r) ≤ ρ0 (p, q) + ρ0 (q, r). (Funkc´ım s tˇemito vlastnostmi se ˇr´ıká pseudometriky; od metrik se liˇs´ı jen t´ım, ˇze ρ0 (p, q) m˚ uˇze b´ yt nula i kdyˇz p 6= q.) Definujme nyn´ı (xn )n ∼ (yn )n

jestliˇze ρ0 ((xn )n , (yn )n )

e tˇr´ıd ekvivalence (tu, která obsahuje (xn )n budeme oznaˇcovat a na mnoˇzinˇe X ˇ [(xn )n ]) zavedme ρe([(xn )n ], [(yn )n ]) = ρ0 ((xn )n , (yn )n ) (tato definice nezávis´ı na v´ ybˇeru representant˚ u: je-li p ∼ p0 a q ∼ q 0 je 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ (p , q ) ≤ ρ (p , p) + ρ (p, q) + ρ (q, q ) = ρ (p, q)). T´ım jsme dostali metrick´ y prostor e ρe). (X, 3.5.1. Lemma. Zobrazen´ı ι = (x 7→ x e = [(x, x, x, . . . )] je (isometrické) e e ρe) hustý. vloˇzen´ı prostoru (X, ρ) do prostoru (X, ρe). Obraz ι[X] je v (X, D˚ ukaz. Prvn´ı tvrzen´ı je triviáln´ı: z definice dostaneme okamˇzitˇe ρe(e x, ye) = ρ(x, y). 129

ˇ nyn´ı [(xn )n ] ∈ X e a > 0. Zvolme n0 takové, ˇze pro m, n ≥ n0 je Bud ρ(xn , xm ) < . Potom je ρe([(xn )n ], x en0 ) = limm→∞ ρ(xm , xn0 ) ≤ . e ρe) je u 3.5.2. Lemma. (X, ´plný metrický prostor. ˇ e ρe). Podle 3.5.1 D˚ ukaz. Bud ([pn ])n Cauchyovská posloupnost v (X, 1 m˚ uˇzeme zvolit xn ∈ X takové, ˇze ρe([pn ], x en ) < n . Z troj´ uheln´ıkové nerovnosti snadno zjist´ıme, ˇze p = (xn )n je Cauchyovská posloupnost. Representujme [pn ] posloupnostmi (ynk )k , takˇze máme ρe([pn ], [p]) = lim ρ(ynk , xk ). k→∞

V´ıme, ˇze ρe([pn ], x en ) = limk→∞ ρ(ynk , xn ) < n1 . Tedy máme ρ(ynk , xk ) ≤ ρ(ynk , xn ) + ρ(xn , xk ) <

1 + ρ(xn , xk ) n

a vol´ıme-li n0 tak, aby bylo n10 ≤ 2 a aby pro k, n ≥ n0 bylo ρ(xk , xn ) < 2 , vid´ıme, ˇze ρ(ynk , xk ) < a tedy ρe([pn ], [p]) ≤ . Shrnut´ım tˇechto dvou lemmat je 3.5.3. Vˇ eta. Kaˇzdý metrický prostor se dá vloˇzit jako hustý podprostor do u ´plného metrického prostoru.

4. Kompaktn´ı metrick´ e prostory. ˇ aˇr si moˇzná z kursu matematické analysy pamatuje trochu jinou definici Cten´ kompaktnosti neˇz tu, se kterou se zde setkal v páté kapitole, totiˇz ˇze metrick´ y prostor je kompaktn´ı, jestliˇze se z kaˇzdé posloupnosti dá vybrat konvergentn´ı podposloupnost. V prvn´ı ˇcásti tohoto odd´ılu ukáˇzeme, ˇze tato vlastnost je v metrick´ ych prostorech opravdu ekvivalentn´ı vlastnosti z definice obecné. Bude to slavná Heine-Borelova vˇeta; dokáˇzeme ji v trochu obecnˇejˇs´ı podobˇe (4.3 dole). ˇ M nekoneˇcná podmnoˇzina obecného topologického prostoru X. 4.1. Bud ˇ Rekneme, ˇze bod x ∈ X je • hromadný bod mnoˇziny M jestliˇze pro kaˇzdé okol´ı U bodu x je mnoˇzina M ∩ U nekoneˇcná, a 130

• bod kondensace mnoˇziny M jestliˇze pro kaˇzdé okol´ı U bodu x má mnoˇzina M ∩ U stejnou mohutnost jako M . 4.1.1. Lemma. Budˇ M nekoneˇcná podmnoˇzina T1 -prostoru X. Potom následuj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: (1) x je hromadný bod mnoˇziny M , (2) x ∈ M \ {x}, (3) pro kaˇzdé okol´ı U bodu x je mnoˇzina M ∩ (U \ {x}) neprázdná. D˚ ukaz. Triviálnˇe (1)⇒(3)⇔(2). (3)⇒(1): Vyberme x1 ∈ U ∩ (M \ {x}) a pak indukc´ı xn+1 ∈ U ∩ (X \ {x1 , . . . , xn }) ∩ (M \ {x}). 4.1.2. Lemma. V metrickém prostoru je x hromadným bodem mnoˇziny M právˇe kdyˇz v M \ {x} existuje posloupnost (xn )n taková, ˇze lim xn = x. D˚ ukaz. ⇒: Vyberme x1 libovolnˇe a jsou-li jiˇz x1 , . . . , xn vybrány zvolme xn+1 ∈ Ω(x, n1 ) ∩ (X \ {x1 , . . . , xn }) ∩ (M \ {x}). Z´ıskaná posloupnost konverguje k x. ⇐: Existuje-li taková posloupnost, je zˇrejmˇe x ∈ M \ {x}. 4.2. Lemma. V metrickém prostoru má kaˇzdá nekoneˇcná mnoˇzina hromadný bod právˇe kdyˇz lze z kaˇzdé posloupnosti vybrat posloupnost konvergentn´ı. D˚ ukaz. ⇒: Pokud je mnoˇzina M = {xn |n = 1, 2, . . . } koneˇcná, dá se z (xn )n vybrat konstantn´ı posloupnost. Je-li nekoneˇcná, má hromadn´ y bod x a k nˇemu konverguje nˇejaká posloupnost bod˚ u z M . Podle 1.5.1 tato posloupnost konverguje k x i v poˇrad´ı shodném s poˇrad´ım p˚ uvodn´ı posloupnosti. ⇐: Je-li M nekoneˇcná, dá se v n´ı naj´ıt prostá posloupnost, a tedy i konvergentn´ı prostá posloupnost. 4.3. Vˇ eta. ((Rozˇs´ıˇrená) vˇeta Heine-Borelova) Budˇ X topologický prostor. Potom jsou ekvivalentn´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı: (1) X je kompaktn´ı. (2) Kaˇzdá nekoneˇcná mnoˇzina v X má bod kondensace. 131

Je-li X metrický, jsou tato tvrzen´ı dále ekvivalentn´ı s tvrzen´ımi: (3) Kaˇzdá nekoneˇcná mnoˇzina v X má hromadný bod. (4) Z kaˇzdé posloupnosti v X lze vybrat posloupnost konvergentn´ı. Pozn´ amka. V následuj´ıc´ım d˚ ukazu budeme pouˇz´ıvat fakta z teorie mnoˇzin (viz I.4): to, ˇze sjednocen´ı koneˇcnˇe mnoha nekoneˇcn´ ych mnoˇzin má mohutnost nejvˇetˇs´ı z nich, a Zermelovu vˇetu podle které je kaˇzdou mnoˇzinu moˇzno (dobˇre) uspoˇra´dat podle vhodného kardinálu. Bez toho to nejde, ekvivalence definic kompaktnosti jsou závislé na v´ ybˇerov´ ych principech. D˚ ukaz. (1)⇒(2): D˚ ukaz provedeme sporem. Nechˇt je X kompaktn´ı a nechˇt nekoneˇcná mnoˇzina M ⊆ X nemá v X bod kondensace. Pro kaˇzd´ y bod x ∈ X tedy existuje otevˇrená Ux 3 x taková, ˇze mohutnost |Ux ∩ M | je menˇs´ı neˇz |M |. Z pokryt´ı {Ux |x ∈ X} vyberme koneˇcné Ux1 , Ux2 , . . . , Uxn . Dostáváme spor |M | = |M ∩

n [ j=1

Uxj | = |

n [

(M ∩ Uxj )| = max |M ∩ Uxj | < |M |.

j=1

(2)⇒(3) triviálnˇe a (3)⇔(4) podle 4.2. (2)resp.(3)⇒(1): Nechˇt kaˇzdá nekoneˇcná mnoˇzina má bod kondensace, nebo nechˇt X je metrick´ y a kaˇzdá nekoneˇcná mnoˇzina má hromadn´ y bod (o tomto druhém pˇr´ıpadˇe budeme mluvit jako o metrické variantˇe). ˇ κ nejPokraˇcovat budeme opˇet sporem. Nechˇt X nen´ı kompaktn´ı. Bud menˇs´ı kardináln´ı ˇc´ıslo takové, ˇze existuje pokryt´ı U mohutnosti κ takové, ˇze z nˇej nelze vybrat podpokryt´ı mohutnosti menˇs´ı. (D˚ uleˇ zit´ a pozn´ amka: V metrické variantˇe je κ = ω = {0, 1, 2, . . .}, nejmenˇs´ı nekoneˇcn´ y kardinál, protoˇze podle 2.5.1 je X Lindelöf˚ uv.) ˇ Seˇradme U do transfinitn´ı posloupnosti (Uα )α<κ (v metrické variantˇe do posloupnosti U0 , U1 , U2 , . . . ). Z této posloupnosti nyn´ı vylouˇc´ıme mnoˇziny, které jsou v daném poˇrad´ı zbyteˇcné. Oznaˇc´ıme jako V0 prvn´ı neprázdnou Uα a jsou-li jiˇz S Vα nalezeny pro α < β < κ oznaˇcme za Vβ prvn´ı Uγ která nen´ı ˇ obsaˇzena v α<β Vα . Ceho jsme dosáhli: • Vα tvoˇr´ı opˇet pokryt´ı (vyluˇcovali jsme jen mnoˇziny, které jiˇz byly pokryty jin´ ymi, nevylouˇcen´ ymi);

132

• proces se pˇred κ nezastav´ı, jinak bychom mˇeli podpokryt´ı menˇs´ı mohutnosti, S • a pro kaˇzdé α < κ m˚ uˇzeme zvolit xα ∈ Vα \ β<α Vβ Vezmˇeme nyn´ı mnoˇzinu M = {xα |α < κ} (v metrickém pˇr´ıpadˇe M = {x0 , x1 , x2 , . . .}). Protoˇze pro α < β nem˚ uˇze b´ yt xβ ∈ Vα jsou vˇsechny ˇ xα r˚ uzné a máme |M | = κ. Bud x bod kondensace (v metrickém pˇr´ıpadˇe hromadn´ y bod) mnoˇziny M . Mus´ı leˇzet v nˇekteré (otevˇrené) Vα a tedy by mˇelo b´ yt |Vα ∩ M | = κ. Jenomˇze mnoˇzina Vα obsahuje jen xβ s β ≤ α a tˇech je ménˇe (v metrickém pˇr´ıpadˇe jen koneˇcnˇe mnoho). 4.4. Vˇ eta. Metrický prostor je kompaktn´ı právˇe kdyˇz je u ´plný a totálnˇe omezený. D˚ ukaz. Je-li X kompaktn´ı, je totálnˇe omezen´ y podle 2.4: konvergentn´ı ˇ nyn´ı (xn )n Cauchyovská posloupnost v posloupnost je Cauchyovská. Bud X. Vyberme z n´ı podposloupnost (xnk )k konverguj´ıc´ı k nˇejakému x. Z troj´ uheln´ıkové nerovnosti snadno vid´ıme, ˇze potom k x konverguje celá (xn )n . Je-li X totálnˇe omezen´ yau ´pln´ y a je-li (xn )n posloupnost v X, m˚ uˇzeme z n´ı vybrat Cauchyovskou podle 2.4, a ta podle u ´plnosti konverguje. Z 2.3.3, 3.2 a 3.3.3 okamˇzitˇe z´ıskáme 4.4.1. D˚ usledek. Podprostor euklidovského prostoru je kompaktn´ı právˇe kdyˇz je uzavˇrený a omezený. 4.4.2. Pozn´ amka. Vˇsimnˇete si toho, ˇze ve vˇetˇe 4.4 máme topologickou vlastnost, kompaktnost, jako konjunkci dvou vlastnost´ı, které topologické nejsou.

5. Uniformita, stejnomˇ ern´ a spojitost V tomto odstavci pˇredvedeme, ve dvou ekvivalentn´ıch podobách, strukturu, která dovoluje zachytit v obecnˇejˇs´ım kontextu pojem stejnomˇerné spojitosti jak ji znáte jistˇe u reáln´ ych funkc´ı, a pravdˇepodobnˇe i ze základ˚ u metrick´ ych prostor˚ u. P˚ ujde zde zat´ım jen o popis struktury. Co je uniformn´ı prostor si pov´ıme v dalˇs´ım odstavci. Na pozdˇejˇs´ı dobu necháváme téˇz vztah metrik a uniformit, tˇrebaˇze motivace od metrick´ ych prostor˚ u zaˇc´ıná. 133

5.1. Uniformita I. Diagonálu v kartézském souˇcinu X × X budeme oznaˇcovat (jako jiˇz dˇr´ıve) symbolem ∆ (tedy, ∆ = {(x, x) |x ∈ X}). Uniformitou ve smyslu I na mnoˇzinˇe X rozum´ıme neprázdnou soustavu U podmnoˇzin U ⊆ X × X takovou, ˇze (UI 0) pr˚ unik vˇsech U z U je ∆, (UI 1) je-li U ∈ U s U ⊆ V , je V ∈ V, (UI 2) jsou-li U, V ∈ U je U ∩ V ∈ U, (UI 3) je-li U ∈ U je U −1 = {(x, y) |(y, x) ∈ U } ∈ U, (UI 4) ke kaˇzdému U ∈ U existuje V ∈ U takové, ˇze V ◦ V ⊆ V . Jsou-li U resp. V uniformity na mnoˇzinách X resp. Y ˇrekneme, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je stejnomˇernˇe spojité vzhledem k U, V jestliˇze pro kaˇzdé V ∈ V existuje U ∈ U takové, ˇze (f × f )[U ] ⊆ V. M´ısto s uniformitami je ˇcasto pohodlnˇejˇs´ı pracovat s basemi uniformit, kde poˇzadujeme (UI 0), (U0I 2) jsou-li U, V ∈ U existuje W ∈ U takové, ˇze W ⊆ U ∩ V , (U0I 3) je-li U ∈ U existuje W ∈ U takové, ˇze W ⊆ U −1 = {(x, y) |(y, x) ∈ U } a (UI 4) (totiˇz, vynecháme (UI 1) a slev´ıme podle toho v dalˇs´ıch podm´ınkách). Z base samozˇrejmˇe dostaneme uniformitu pˇridán´ım vˇsech V ⊇ U ∈ U. Vˇsimnˇete si, ˇze jsme v definici stejnomˇerné spojitosti práci s basemi pˇredj´ımali: u uniformit by ovˇsem bylo moˇzno m´ısto “. . . existuje U ∈ U takové, ˇze plat´ı (f × f )[U ] ⊆ V ” ˇza´dat jednoduˇseji rovnou “. . . (f × f )−1 [V ] ∈ U”. D˚ uleˇzitá base uniformity U je U σ = {U ∈ U |U −1 = U } (coˇz je {U ∩ U −1 |U ∈ U}; dokaˇzte jako jednoduché cviˇcen´ı, ˇze vˇsechny poˇzadavky jsou splnˇeny). Nˇekolikrát ji pouˇzijeme. 5.2. Uniformita II. Na rozd´ıl od pˇredchoz´ıho bude v tomto odstavci pokryt´ı mnoˇ A libovoln´ ych (ne nutnˇe otevˇren´ ych) mnoˇzin Sziny X soustava ˇ taková, ˇze A = X. R´ıkáme, ˇze pokryt´ı A zjemˇ nuje pokryt´ı B a p´ıˇseme A≤B 134

jestliˇze ke kaˇzdému A ∈ A existuje B ∈ B takové, ˇze A ⊆ B. Oznaˇcujeme dále A ∧ B = {A ∩ B |A ∈ A, B ∈ B} (uvˇedomte si. ˇze je to spoleˇcné zjemnˇen´ı pokryt´ı A a B). Pro libovolnou podmnoˇzinu M ⊆ X piˇsme [ M ∗ A = {A ∈ A |M ∩ A 6= ∅} Poloˇzme A∗ = {x ∗ A |x ∈ X} kde x ∗ A = {x} ∗ A. ˇ Casto budeme pouˇz´ıvat zˇrejmou formuli A∗ ≤ B

⇒

(x ∗ A) ∗ A ⊆ x ∗ B.

Je-li A∗ ≤ B mluv´ı se o A ˇcasto jako o hvˇezdovitém zjemnˇen´ı pokryt´ı B. Uniformitou ve smyslu II na mnoˇzinˇe X rozum´ıme neprázdn´ y systém A pokryt´ı mnoˇziny X takov´ y, ˇze (UII 0) je-li x 6= y existuje A ∈ A takové, ˇze x ∈ / y ∗ A, (UII 1) je-li A ∈ A s A ≤ B, je B ∈ A, (UII 2) jsou-li A, B ∈ A je A ∧ B ∈ A, (UII 3) ke kaˇzdému A ∈ A existuje B ∈ A takové, ˇze B ∗ ≤ A. Analogicky s pˇredchoz´ım mluv´ıme o basi uniformity u systém˚ u splˇ nuj´ıc´ıch (UII 0), (UII 3) a (U0II 2) kaˇzdé dvˇe A, B ∈ A maj´ı v A spoleˇcné zjemnˇen´ı. Snadno vid´ıme, ˇze je-li Ai ≤ Bi je A1 ∧ A2 ≤ B1 ∧ B2 , a je-li A ≤ B je A∗ ≤ B ∗ . Dostaneme tedy uniformitu z base pˇridán´ım vˇsech pokryt´ı, které v basi maj´ı nˇejaké zjemnˇen´ı. Jsou-li A resp. B uniformity na mnoˇzinách X resp. V ˇrekneme, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je stejnomˇernˇe spojité vzhledem k A, B jestliˇze pro kaˇzdé B ∈ B je {f −1 [B] |B ∈ B} ∈ A. V pˇr´ıpadˇe bas´ı mus´ıme tuto podm´ınku formulovat opatrnˇeji: pro kaˇzdé B ∈ B existuje A ∈ A takové, ˇze A ≤ {f −1 [B] |B ∈ B}. 135

5.3. Pro uniformitu U ve smyslu I definujme uniformitu A ve smyslu II bas´ı A0 = {{xU |x ∈ X} |U ∈ U} (xU je {y |xU y}). Ukáˇzeme, ˇze se opravdu jedná o basi uniformity. (UII 0) plyne okamˇzitˇe z (UI 0). Jsou-li U, V ∈ U máme U ∩ V ∈ U a pro x ∈ X je x(U ∪ V ) = xU ∪ xV a tedy {x(U ∩ V ) |x ∈ X} ≤ {xU |x ∈ X} ∧ {xV |x ∈ X}. Zvol´ıme-li k U ∈ U takové V ∈ U σ ˇze V ◦ V ⊆ U máme pro kaˇzdé x x ∗ {yV |y ∈ X} ⊆ x(V ◦ V ) a tedy {xV |x ∈ X}∗ ≤ {x(V ◦ V ) |x ∈ X} ≤ {xU |x ∈ X}. Naopak pro pokryt´ı A definujme UA = {(x, y) |∃A ∈ A, x, y ∈ A} a pro uniformitu A ve smyslu II definujme uniformitu U ve smyslu I bas´ı U0 = {UA |A ∈ A}. Opˇet ovˇsem mus´ıme ukázat, ˇze se skuteˇcnˇe jedná o basi uniformity. Je-li x 6= y vezmˇ / x ∗ A; potom (x, y) ∈ / UA a tedy T eme A ∈ A takové, ˇze y ∈ (x, y) ∈ / U0 . Jsou-li Ai ∈ Ai a x, y ∈ A1 ∩ A2 , je x, y ∈ A1 i x, y ∈ A2 a tedy UA1 ∧A2 ⊆ UA1 ∩ UA2 . ˇ Koneˇcnˇe zvolme pro A ∈ A pokryt´ı B ∈ A takové, ˇze B ∗ ≤ A. Budte (x, y), (y, z) ∈ UB . Máme tedy B1 , B2 ∈ B takové, ˇze x, y ∈ B1 a y, x ∈ B2 , takˇze x, z ∈ y ∗ B ⊆ A pro vhodné A ∈ A. Je tedy UB ◦ UB ⊆ UA . Tvrzen´ı. Právˇe popsané konstrukce dávaj´ı vzájemnˇe jednoznaˇcný vztah mezi uniformitami ve smyslu I a II. D˚ ukaz. K uniformitˇe U zkonstruujme A podle prvn´ıho pˇredpisu a k té pak U 0 podle druhého. Je-li U ∈ U zvolme V ∈ U σ tak, aby V ◦ V ⊆ U . Potom je A = {xV |x ∈ X} ∈ A a UA = {(x, y) |∃z, x, y ∈ zV } ⊆ V ◦ V ⊆ U,

136

a tedy U ∈ U 0 . Je-li U ∈ U 0 máme pro nˇejaké V ∈ U {(x, y) |∃z, x, y ∈ zV } ⊆ U. Jelikoˇz x ∈ xV je V ⊆ {(x, y) |∃z, x, y ∈ zV }, tedy V ⊆ U a koneˇcnˇe u ∈ U. Nyn´ı naopak k A, uniformitˇe ve smyslu II, vytvoˇrme U a k té pak A0 . Je-li A ∈ A zvolme B ∈ A takové, ˇze B ∗ ≤ A. Potom zUB = {y |∃B ∈ B, z, y ∈ B} ⊆ z ∗ B a tedy {zUB |z ∈ X} ≤ B∗ ≤ A a A je v A0 . Je-li A ∈ A0 je {xUB |x ∈ X} ≤ A pro nˇejaké B ∈ A. Zvol´ıme-li B ∈ B a libovolné x ∈ B máme B ⊆ xUB , takˇze B ⊆ {xUB |x ∈ X} ≤ A a A je v A. 5.4. Struktury definované v 5.1 a 5.2 jsou tedy ve vzájemnˇe jednoznaˇcném vztahu. Nyn´ı uvid´ıme, ˇze jsou ekvivalentn´ı v mnohem silnˇejˇs´ım smyslu. ˇ A a B uniformity ve smyslu II vytvoˇrené k uniformitám U Vˇ eta. Budte a V ve smyslu I podle pˇredpisu z pˇredchoz´ıho odstavce. Potom je zobrazen´ı f : X → Y stejnomˇernˇe spojité vzhledem k A, B právˇe kdyˇz je stejnomˇernˇe spojité vzhledem k U, V. ˇ f : X → Y stejnomˇernˇe spojité vzhledem k U, V. Bud ˇ D˚ ukaz. Bud {yV |y ∈ V } ≤ B pro nˇejaké V ∈ V. Nechˇt pro U ∈ U plat´ı (f × f )[U ] ⊆ V . Poloˇzme B = {xU |x ∈ X}. Jelikoˇz pro xU y je f (x)V f (y) máme y ∈ f −1 [f (x)V ] takˇze xU ⊆ f −1 [f (x)V ] a koneˇcnˇe B ≤ {f −1 [A] |a ∈ A}. Nechˇt je f stejnomˇernˇe spojité vzhledem k A, B. Pro V ∈ V zvolme V 0 ∈ V σ takové. ˇze V 0 ◦ V 0 ⊆ V . Existuje U ∈ U takové, ˇze {xU |x ∈ X} ≤ {f −1 [yV 0 ] |y ∈ Y }. Je-li xU z je x, z ∈ xU ⊆ f −1 [yV 0 ] pro nˇejaké y; tedy yV 0 f (x) a yV 0 f (z) a koneˇcnˇe f (x)V f (z). 5.5. Pozn´ amka. Uniformity prvn´ıho typu pocház´ı od Weila, autorem druhého pˇr´ıstupu je Tukey. Tˇrebaˇze se druh´ y pˇr´ıstup zdá b´ yt trochu nepohodln´ y (struktura je dána mnoˇzinou mnoˇzin podmnoˇzin), je dost názorn´ y: na jednotlivá pokryt´ı z takové uniformity se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na aproximace bod˚ u, a to podobnˇe pˇresné aˇt jsme v prostoru kdekoli (v metrickém prostoru – tady trochu pˇredb´ıháme – si pˇredstavujte pokryt´ı {Ω(x, ) |x ∈ X} pro r˚ uzná , jak pˇresnˇe bychom zrovna chtˇeli m´ıt body aproximovány; Weil˚ uv pˇr´ıstup si pˇredstavujte jako stanoven´ı stejnomˇern´ ych okol´ı diagonály). Vˇsechny dalˇs´ı u ´vahy jiˇz budeme provádˇet v tomto kontextu. 137

Nicménˇe, Weil˚ uv pˇr´ıstup má jednu velkou v´ yhodu, kterou zde ale nedocen´ıme: dovoluje uˇziteˇcné zobecnˇen´ı vynechán´ım poˇzadavku symetrie. V dalˇs´ım odstavci uvid´ıme, ˇze uniformity tak jak je zde uvaˇzujeme vedou k u ´plné regularitˇe. Je trochu pˇrekvapuj´ıc´ı fakt, ˇze nesymetrickou Weilovu uniformitu je moˇzno zavést na jakémkoli topologickém prostoru.

6. Uniformn´ı prostory. Uniformita a topologie 6.1. Uniformn´ım prostorem budeme rozumˇet dvojici (X, A) kde A je uniformita na mnoˇzinˇe X. Ze znaˇcen´ı tuˇs´ıte, ˇze budeme dávat pˇrednost popisu uniformity podle 5.2 (dále si to jeˇstˇe trochu uprav´ıme). ˇ (X, A) uniformn´ı prostor, Y ⊆ X. Podprostorem prostoru 6.1.1. Bud (X, A) (nesen´ ym podmnoˇzinou Y ) rozum´ıme (Y, A|Y ) (oznaˇcujeme A|Y = {A|Y |A ∈ A}A ∈ A kde A|Y = {A ∩ Y |A ∈ A}). Ovˇeˇrit, ˇze A|Y je opravdu uniformita je velmi snadné. 6.1.2. Jsou-liQ(Xi , Ai ), i ∈ J, uniformn´ ı prostory definujeme na karQ tézském souˇcinu i∈J Xi (s projekcemi pi : j∈J Xj → Xi ) uniformitu A bas´ı −1 {{p−1 i1 [A] |A ∈ Ai1 } ∧ · · · ∧ {pin [A] |A ∈ Ain } |i1 , . . . , in ∈ J, Aik ∈ Aik }.

Ovˇeˇrit, ˇze se jedná o basi uniformity je opˇet velmi snadné (jen je v´ıc práce s indexy); je to moˇzno ponechat ˇctenáˇri jako cviˇcen´ı. Z´ıskan´ y uniformn´ı prostor se naz´ yvá souˇcin nebo produkt daného systému Bezprostˇrednˇe vid´ıme, ˇze projekce jsou pˇri tom stejnomˇernˇe spojité. Jako cviˇcen´ı m˚ uˇze ˇctenáˇr formulovat a dokázat analogii vˇety V.4.2.2. ˇ (X, A) uniformn´ı prostor. Podmno6.2. Topologie z uniformity. Bud ˇzinu U ⊆ X prohlás´ıme za otevˇrenou jestliˇze ∀x ∈ U ∃A ∈ A, x ∗ A ⊆ U.

138

Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze se tak z´ıská topologie (k d˚ ukazu, ˇze pr˚ uniky otevˇren´ ych mnoˇzin jsou otevˇrené pouˇzijte snadné formule (x ∗ A1 ) ∩ (x ∗ A2 ) ⊆ x ∗ (A1 ∧ A2 )). Oznaˇc´ıme ji τ (A). ˇ Rekneme, ˇze topologick´ y prostor (X, τ ) je uniformisovatelný existuje-li uniformita A taková, ˇze τ = τ (A). 6.2.1. Tvrzen´ı. Stejnomˇernˇe spojité zobrazen´ı f : (X, A) → (Y, B) je spojité vzhledem k τ (A), τ (B). ˇ V ⊆ Y otevˇrená, x ∈ f −1 [V ]. Potom f (x) ∈ V a tedy je D˚ ukaz. Bud f (x) ∗ B ⊆ V pro vhodné B ∈ B. Ze stejnomˇerné spojitosti máme A ∈ A ˇ A ∈ A, x ∈ A, bud ˇ A ⊆ f −1 [B], takové, ˇze A ≤ {f −1 [B] |B ∈ B}. Bud B ∈ B. Potom je f (x) ∈ B, tedy B ⊆ V a tedy A ⊆ f −1 [V ]. Máme tedy x ∗ A ⊆ f −1 [V ]. 6.3. Base z otevˇ ren´ ych pokryt´ı. Pro uniformitu A oznaˇcme Ao = {A ∈ A |A je otevˇrené pokryt´ı}. 6.3.1. Lemma. Pro kaˇzdou podmnoˇzinu M prostoru (X, A) je M o = {x |∃A ∈ A, x ∗ A ⊆ M } otevˇrená v τ (A). ˇ x∗A ⊆ M . Zvolme B takové, ˇze B ∗ ⊆ A. Potom (x∗B)∗B ⊆ D˚ ukaz. Bud A a tedy pro kaˇzdé y ∈ x ∗ B je y ∗ B ⊆ x ∗ A ⊆ M . Je tedy x ∗ B ⊆ M o . Tvrzen´ı. Ao tvoˇr´ı basi uniformity A. ˇ A ∈ A libovolné. Zvolme B, C ∈ A tak, aby B ∗ ≤ A a D˚ ukaz. Bud C ∗ ≤ B. Vezmˇeme Ao = {Ao |A ∈ A}. Pro x ∈ X zvolme B ∈ B tak, aby x ∗ C ⊆ B. Pro y ∈ x ∗ C je y ∗ C ⊆ (x ∗ C) ∗ C ⊆ x ∗ B ⊆ A takˇze máme x ∗ C ⊆ Ao . Je tedy C ≤ A0 ≤ A. Pozn´ amka a u ´ mluva. Base A má velmi speciáln´ı chován´ı. Vˇsimnˇete si, ˇze pro ni plat´ı pˇr´ımo podm´ınky (UII k), k = 0, 1, 2, 3 jen s tou drobnou zmˇenou, ˇze v (UII 1) mluv´ıme jen o otevˇrených B ≥ A. Dále, podle tvrzen´ı 6.2.1 máme pro stejnomˇernou spojitost pˇr´ımo formuli pro kaˇzdé B ∈ Bo je {f −1 [B] |B ∈ B} ∈ Ao . 139

Proto je bˇeˇzné mluvit o Ao jako o uniformitˇe: Je to jako bychom mˇeli pˇredevˇs´ım dán uniformisovateln´ y topologick´ y prostor, a na vˇsechno se d´ıváme z hlediska jeho topologie; uniformita, jedna z moˇzn´ ych, je pak obohacen´ı této struktury. Tato konvence jistˇe nevede k nedorozumˇen´ı, a budeme ji také uˇz´ıvat. 6.4. Tvrzen´ı. Topologie podprostoru Y v (X, τ (A)) se shoduje s topologi´ı τ (A|Y ). Stejnˇe tak pro kaˇzdý systém (Xi , Ai ), i ∈ J, a jehoQprodukt podle 6.1.2 plat´ı, ˇze topologie τ (A) se shoduje s topologi´ı produktu (Xi , τ (Ai )). D˚ ukaz. Tvrzen´ı o podprostoru je triviáln´ı. ˇ nyn´ı U otevˇrená v τ (A). Zˇrejmˇe v definici produktu v 6.1 m˚ Bud uˇzeme m´ısto uniformit Ai vz´ıt base. Pro x = (xi )i ∈ U tedy existuj´ı Aji ∈ Aoji takové, ˇze −1 V = x ∗ ({p−1 i1 [A] |A ∈ Ai1 } ∧ · · · ∧ {pin [A] |A ∈ Ain }) ⊆ U Q Jelikoˇz jsme Aji volili v Aoji , je V otevˇrená v (Xi , τ (Ai )) a tedy koneˇcnˇe je tam U okol´ım bodu x. ˇ U otevˇrená v Q(Xi , τ (Ai )), x ∈ U . Tentokrát máme pro Naopak bud nˇejaká j1 , . . . , jn ∈ J mnoˇziny Ui otevˇrené v τ (Ai ) takové, ˇze xji ∈ Ui a tedy Aji ∈ Aji pro které xji ∗ Aji ⊆ Ui . Nyn´ı ale snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze −1 x ∗ ({p−1 rená i1 [A] |A ∈ Ai1 } ∧ · · · ∧ {pin [A] |A ∈ Ain })⊆ U . Tedy je U otevˇ v τ (A).

6.4.1. D˚ usledek. Podprostory a souˇciny uniformisovatelných prostor˚ u jsou uniformisovatelné. 6.5. Pro otevˇrené mnoˇziny U, V v τ (A) piˇsme U C V jestliˇze je U ∗A ≤ V pro nˇejaké A ∈ Ao . 6.5.1. Lemma. 1. Je-li U C V je U ⊆ V (tedy, U ≺ V , viz V.5.5). 2. Je-li U C V , existuje W takové, ˇze U C W C V . Plat´ı tedy implikace (viz V.5.5.1) U C V ⇒ U ≺≺V. ˇ x ∈ U . Je u ∗ A ⊆ V pro nˇejaké A ∈ Ao . Pro A ∈ A D˚ ukaz. 1. Bud takové, ˇze x ∈ A je A ∩ U 6= ∅ a tedy x ∈ A ⊆ U ∗ A ⊆ V . 2. Je-li U ∗ A ⊆ V , je pro B ∈ Ao takové, ˇze B ∗ ≤ A, (U ∗ B) ∗ B ⊆ U ∗ A. Poloˇzme tedy W = U ∗ B. 140

6.5.2. Vˇ eta. Topologický prostor je uniformisovatelný právˇe kdyˇz je u ´plnˇe regulárn´ı a T1 . D˚ ukaz. Kompaktn´ı interval I = h0, 1i je uniformisovateln´ y: staˇc´ı vz´ıt uniformitu danou bas´ı A = {Ak |k = 1, 2, . . . } kde Ak je pokryt´ı tvoˇrené polootevˇren´ ymi intervaly h0, k1 h a i1− k1 , 1i, a vˇsemi 1 otevˇren´ ymi intervaly délky k . Tedy podle 6.4.1 a V.5.9 je u ´plnˇe regulárn´ı T1 prostor uniformisovateln´ y. ˇ A uniformita na X a U otevˇrená v τ (A). Pro x ∈ U Na druhé stranˇe, bud o zvolme A, B ∈ A tak, aby x ∗ A ⊆ U a B ∗ ≤ A. Potom pro V = x ∗ B je V ∗ B ⊆ x ∗ A, tedy V C U a x ∈ V ≺≺U . Podle V.5.5.2 je tedy X u ´plnˇe regulárn´ı, a podle (UII ) také T1 . 6.6. Vˇ eta. Na kompaktn´ım Hausdorffovˇe prostoru X existuje právˇe jedna uniformita, totiˇz systém vˇsech otevˇrených pokryt´ı. D˚ ukaz. Podle 6.5.2 (a V.6.7) nˇejaká uniformita A existuje. Staˇc´ı tedy ˇ U libovolné otevˇrené dokázat, ˇze obsahuje vˇsechna otevˇrená pokryt´ı. Bud pokryt´ı X. Pro kaˇzd´ y bod x ∈ X zvolme Ax ∈ Ao takové, ˇze x ∗ Ax ⊆ U pro nˇejaké U ∈ U. Potom je {x ∗ Ax |x ∈ X} pokryt´ı a je z nˇeho moˇzno vybrat koneˇcné pokryt´ı x1 ∗ Ax1 , x2 ∗ Ax2 , . . . , xn ∗ Axn . Nyn´ı je ale Ax1 ∧ Ax2 · · · Axn ≤ U a tedy je U ∈ A.

6.7. Pozn´ amka a dva term´ıny. Zˇrejmˇe je sjednocen´ı libovolného systému uniformit vytváˇrej´ıc´ıch danou topologii τ moˇzno rozˇs´ıˇrit na uniformitu vytváˇrej´ıc´ı opˇet τ (nejprve vezmeme vˇsechna spoleˇcná zjemnˇen´ı koneˇcn´ ych podsystém˚ u, a to uˇz je base uniformity). Na kaˇzdém u ´plnˇe regulárn´ım T1 prostoru (X, τ ) tedy existuje nejvˇetˇs´ı uniformita. Naz´ yvá se jemná uniformita prostoru (X, τ ). Jemná uniformita v nekompaktn´ım prostoru ale nemus´ı sestávat ze vˇsech otevˇren´ ych pokryt´ı. Jin´ ymi slovy, systém vˇsech otevˇren´ ych pokryt´ı u ´plnˇe regulárn´ıho T1 prostoru X nemus´ı b´ yt nutnˇe uniformita (pot´ıˇz je s hvˇezdovit´ ym zjemnˇen´ım). Pokud je, ˇr´ıkáme, ˇze prostor X je parakompaktn´ı. Na pˇr´ıklad vˇsechny metrické prostory jsou parakompaktn´ı, coˇz v˚ ubec nen´ı jednoduchá záleˇzitost (jemná uniformita tam samozˇrejmˇe nemá nic co dˇelat s pˇrirozenou metrickou uniformitou, o které budeme mluvit v následuj´ıc´ım odd´ıle). 141

7. Uniformita a metrika 7.1. Pˇripomeˇ nne si oznaˇcen´ı z 1.4. Pro metriku ρ na mnoˇzinˇe X poloˇzme A(ρ, ) = {Ω(x, ) |x ∈ X} a definujme uniformitu A(ρ) na X bas´ı {A(ρ, ) | > 0} (ˇze se jedná o basi uniformity je vidˇet velmi snadno). O uniformitˇe A(ρ) se mluv´ı jako o metrické uniformitˇe a o uniformn´ım prostoru (X, A) takovém, ˇze A = A(ρ) pro vhodnou metriku ˇrekneme, ˇze je to metrisovatelný (uniformn´ı) prostor. Pozn´ amka. Pokud dáváme pˇrednost uniformitám ve tvaru z definice 5.1, definujeme metrickou uniformitu U(ρ) bas´ı {U (ρ, ) | > 0} kde U (ρ, ) = {(x, y) |ρ(x, y) < }. 7.2. Uniform´ı struktury zavád´ıme k popisu stejnomˇerné spojitosti. Mˇelo by nás tedy zaj´ımat, zda se tento pojem nyn´ı shoduje s t´ım, jak ho známe z kursu matematické analysy, totiˇz jako následuj´ıc´ı vlastnost zobrazen´ı f metrického prostoru (X, ρ) do metrického prostoru (Y, σ): ∀ ∃δ takové, ˇze ρ(x, y) < δ ⇒ σ(f (x), f (y)) < .

(∗)

A je tomu tak. Plat´ı Tvrzen´ı. Zobrazen´ı f ; X → Y je stejnomˇernˇe spojité zobrazen´ı (X, A(ρ)) do (Y, A(σ)) právˇe kdyˇz pro nˇe plat´ı formule (∗). D˚ ukaz. Plat´ı-li formule (∗), máme f [Ω(x, δ)] ⊆ Ω(f (x), ) a tedy A(ρ, δ) ≤ {f −1 [B] |B ∈ A(σ, )}. ˇ f : (X, A(ρ)) → (Y, A(σ)) stejnomˇernˇe spojité. Pro > 0 Naopak bud ˇ ρ(x, y) < δ. Pro zvolme δ tak, aby A(ρ, δ) ≤ {f −1 [B] |B ∈ A(σ, 2 )}. Bud −1 vhodné z ∈ Y je Ω(x, δ) ⊆ f [Ω(z, 2 )], tedy f [Ω(x, δ)] ⊆ Ω(z, 2 ), takˇze je-li ρ(x, y) < δ je σ(f (x), z), σ(f (y), z) < 2 a koneˇcnˇe σ(f (x), f (y)) < .

142

7.3. Uniformita A(ρ) je definována jiˇz bas´ı 1 {A(ρ, ) |n = 1, 2, . . . }. n To je pro metrické uniformity charakteristické. Plat´ı Vˇ eta. Uniformn´ı prostor (X, U) je metrisovatelný právˇe kdyˇz má uniformita U spoˇcetnou basi. D˚ ukaz. Podle znaˇcen´ı správnˇe oˇcekáváte, ˇze budeme pouˇz´ıvat popis uniformity z 5.1. To je v tomto pˇr´ıpadˇe pohodlnˇejˇs´ı. Ale uvˇedomte si nejprve, ˇze opravdu pˇreklady z 5.3 zachovávaj´ı vlastnost existence spoˇcetné base. Nechˇt má uniformita U spoˇcetnou basi V1 , V2 , . . . , Vn , . . . . M˚ uˇzeme rovnou pˇredpokládat, ˇze Vn jsou symetrické. Poloˇzme U1 = X × X, U2 = V1 a dále postupujme pˇri v´ ybˇeru Un = Vφ(n) indukc´ı takto: je-li jiˇz Un nalezena, zvolme W ∈ U takové, ˇze W ◦ W ◦ W ⊆ Un a potom zvolme Un+1 = Vφ(n+1) tak, aby φ(n + 1) > φ(n) a Vφ(n+1) ⊆ W . T´ım jsme dostali basi U1 , U2 , . . . , Un , . . . takovou, ˇze U1 = X × X,

Un−1 = Un ,

a Un ◦ Un ◦ Un ⊆ Un−1 .

Poloˇzme • d(x, x) = 0 • a pro x 6= y, kde (x, y) ∈ / takové, ˇze jeˇstˇe (x, y) ∈ Un .

T∞

n=1

Un , d(x, y) = 2−n , kde n je nejvˇetˇs´ı

Zˇrejmˇe d(x, y) ≥ 0, a d(x, y) = 0 je jen kdyˇz x = y, a d(x, y) = d(y, x). ˇ naprav´ıme. Nemus´ı ale platit troj´ uheln´ıková nerovnost. To ted Definujme m−1 X

ρ(x, y) = inf{

d(xi , xi+1 ) | x0 = x, xm = y}.

i=0

Plat´ı

1 d(x, y) ≤ ρ(x, y) ≤ d(x, y). 2 143

(∗)

Druhá nerovnost je triviáln´ı, pro prvn´ı dokáˇzeme indukc´ı podle m ˇze 2

m−1 X

d(xi , xi+1 ) ≥ d(x0 , xm ).

i=0

ˇ ˇ Pro Pm m = 1 je to zˇrejmé. Necht jiˇz v´ıme, ˇze nerovnost plat´ı pro m a bud uˇzeme pˇredpokládat, ˇze a > 0, jinak by byly vˇsechny i=0 d(xi , xi+1 ) = a. M˚ ˇ k nejvˇetˇs´ı takové, ˇze xi stejné a nerovnost by byla zˇrejmá. Bud k−1 X i=0

Potom také

a d(xi , xi+1 ) ≤ . 2

m X

a 2

d(xi , xi+1 ) ≤

i=k+1

a podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu je d(x0 , xk ) ≤ a a d(xk+1 , xm+1 ) ≤ a; triviálnˇe d(xk , xk+1 ) ≤ a. Je-li n nejmenˇs´ı takové, ˇze 2−n ≤ a, máme (x0 , xk ), (xk , xk+1 ), (xk+1 , xm+1 ) ∈ Un a tedy (x0 , xm+1 ) ∈ UP n−1 a d(x0 , xm+1 ) ≤ 2 · 2−n ≤ 2a (zanedban´ y pˇr´ıpad, kdy k = m a souˇcet m i=k+1 d(xi , xi+1 ) je prázdn´ y – a tedy staˇc´ı pouˇz´ıt inkluse Un ◦ Un ⊆ Un−1 – mohu ponechat ˇctenáˇri). Pˇredpis ρ je nyn´ı jiˇz zˇrejmˇe metrika a ve znaˇcen´ı z poznámky v 7.1 máme podle (∗) Un ⊆ U (ρ, 2−n ) ⊆ Un−1 . Je tedy U = U(ρ).

7.4. Pozn´ amky. 1. Obecnou uniformitu U m˚ uˇzeme popsat systémem metrik. Pro kaˇzdé U ∈ U zvolme U1 , U2 , . . . , Un , . . . takovou, ˇze U1 = X × X,

U2 = U,

Un−1 = Un ,

a Un ◦ Un ◦ Un ⊆ Un−1

a k této posloupnosti zkonstruujme metriku ρU jako v d˚ ukazu vˇety 7.3. Potom je uniformita popsána soustavou U(ρU ), U ∈ U, totiˇz tak, ˇze vezmeme ve sjednocen´ı spoleˇcná zjemnˇen´ı a dostaneme basi uniformity U. 144

Na pojem uniformity se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na rozˇs´ıˇren´ı pojmu metriky; vˇsimnˇete si, ˇze poˇzadavek (UI 4) resp. (UII 3) v jistém smyslu simuluje troj´ uheln´ıkovou nerovnost. 2. Podobnˇe jako u metrick´ ych prostor˚ u m˚ uˇzeme v obecnˇejˇs´ım uniformn´ım kontextu mluvit o u ´plnosti a z´ uplnˇen´ı. K tomu m˚ uˇzeme pˇristupovat pomoc´ı právˇe popsané representace uniformit metrikami, jde to ale téˇz pˇr´ımo, a to zp˚ usobem velmi názorn´ ym (i kdyˇz podrobné technické proveden´ı by nám tuto kapitolu ne´ umˇernˇe rozˇs´ıˇrilo). D´ıvejme se na uniformitu A (ve smyslu definice 5.2 a 6.3, pro vˇetˇs´ı názornost si také vzpomeˇ nte na pokryt´ı epsilonov´ ymi koulemi z 7.1) jako na systém pˇredepsan´ ych pˇresnost´ı aproximac´ı bod˚ u. Cauchyovsk´ y bod je filtr F takov´ y, ˇze pro kaˇzdé pokryt´ı A ∈ A je F ∩ A 6= ∅. Tedy je F nˇeco jako systém libovolnˇe dobr´ ych pˇribl´ıˇzen´ı “bodu” menˇs´ımi a menˇs´ımi m´ısty (jako jednoduch´ y√pˇr´ıklad vezmˇeme tˇreba systém libovolnˇ ych otevˇren´ ych √ e mal´ interval˚ u kolem 2 – na reálné pˇr´ımce to jsou okol´ı 2, na racionáln´ı pˇr´ımce “ve stˇredu nic nen´ı”, ale stejnˇe jsou to neprázdné intervaly které jako lepˇs´ı a lepˇs´ı pˇribliˇzován´ı bodu vypadaj´ı). Z technick´ ych d˚ uvod˚ u se jeˇstˇe poˇzaduje, aby pro kaˇzdou mnoˇzinu A ∈ F existovala B ∈ F taková, ˇze B C A (to proto, abychom na prvky filtru mohli pohl´ıˇzet jako na okol´ı j´ım representovaného bodu). Uniformn´ı prostor (X, A) je u ´plný jestliˇze kaˇzd´ y Cauchyovsk´ y bod je “skuteˇcn´ y bod”, t.j. bod z X representovan´ y systémem vˇsech okol´ı, a z´ uplnˇen´ı se dosáhne t´ım, ˇze se k bod˚ um pˇridaj´ı také ty Cauchyovské body, které p˚ uvodnˇe body nebyly.

145

Rejstˇ r´ık A adjungovaná zobrazen´ı II.6.1 adjunkce II.6 Alexanderovo lemma V.6.4 Alexandrovova topologie V.2.5 algebra IV.2.1 Booleova a. III.6.1 Heytingova a. III.5 volná a. IV.6.1 algebraická struktura IV.2.1 algebraická uspoˇra´daná mnoˇzina II.8.4 antitonn´ı II.1.6 automorfismus I.5.4, IV.1.3, IV.2.3 axiom v´ ybˇeru I.4.2

B Baireova vˇeta VI.3.4 base topologie V.2.7 base uniformity VI.5.1, VI.5.2 binárn´ı relace I.2.1 binárn´ı operace IV.1.1 Birkhoffova vˇeta o prvofiltrech III.3.5 Birkhoffova vˇeta o varietách IV.8.4 Booleanisace III.6.6, III.6.7.3 Booleova algebra III.6.1 Bourbakiho vˇeta o pevném bodˇe II.7.1

146

C Cantor-Bernsteinova vˇeta I.4.1, II.7.4 Cauchyovská posloupnost VI.1.6 Cayleyova representace IV.9.1 ˇ Cechova-Stoneova kompaktifikace V.6.8

D DCPO II.3.5 Dedekindovo-MacNeilleovo z´ uplnˇen´ı II.4 DeMorganova formule III.5.4 diametr mnoˇziny VI.1.3 diagonála (diagonáln´ı relace) I.2.1 diskretn´ı prostor V.2.2 distributivn´ı svaz III.2.3 dobré uspoˇrádán´ı I.4.2 Dushnik-Millerova dimense II.5.4

E ekvivalence I.2.3 endomorfismus I.5.3, IV.1.3, IV.2.3 Euklidovsk´ y prostor VI.1.7.1 extremálnˇe nesouvisl´ y prostor V.7.10

F faktorová algebra (faktoralgebra) IV.5.3 faktorov´ y objekt I.6.4 filtr III.3.1 maximáln´ı f. III.3.2

147

G Galoisova konexe II.6 grupa IV.9.2 Abelova g. IV.9.2

H Hausdorff˚ uv prostor V.5.3 Heine-Borelova vˇeta VI.4.3 Heytingova algebra III.5 Heytingova operace III.5.1 hluboko pod II.8.1 homeomorfismus V.3.6 homomorfismus h. vzhledem k relaˇcn´ım systém˚ um I.5.2, I.5.3 h. vzhledem k operac´ım IV.1.3, IV.2.3 hustá podmnoˇzina V.5.3.2

I ideál III.3.1, IV. 9.4.1 maximáln´ı i. III.3.2, IV.9.5 indiskretn´ı prostor V.2.3 indukované uspoˇrádán´ı II.5.1 infimum II.2.1 injektivn´ı vytváˇren´ı I.7.3 interpolativita I.2.3 intervalová topologie V.2.8 isomorfismus I.5.2, I.5.4, II.1.6, IV.1.3, IV.2.3 isotonn´ı II.1.6 inverse I.2.2 148

K kardinál (kardináln´ı ˇc´ıslo), kardinalita I.4.5 kartézsk´ y souˇcin I.1.4 Kleeneova (prvn´ı) vˇeta o rekursi II.7.2 kofináln´ı II.2.1 kompaktn´ı prostor V.6.2 kompaktn´ı prvek uspoˇra´dané mnoˇziny II.8.4 komplement III.4.7 kongruence IV.5.1 kˇrivkovˇe (obloukovˇe) souvisl´ y prostor V.7.7 kvasidiskretn´ı topologie V.2.5 kvocient I.6.4, IV.5.3

L Lindelöf˚ uv prostor V.6.10 lineárn´ı uspoˇra´dán´ı II.1.1 lokálnˇe kompaktn´ı prostor V.6.9 lokálnˇe souvisl´ y prostor V.7.9

M maximáln´ı prvek II.2.3.1 metrické prostory V.2.1 mez (horn´ı a doln´ı) II.2.1 minimáln´ı prvek II.2.3.1 mnoˇzina prvn´ı kategorie VI.3.4 mocnina I.6.3 modulárn´ı svaz III.2.1 mohutnost I.4.1, I.4.5 monoid IV.9.1 149

monotonn´ı II.1.6

N nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı prvek II.2.3 normáln´ı podgrupa IV.9.3 normáln´ı prostor V.5.6 nosná mnoˇzina I.5.3 nosné zobrazen´ı I.5.3 nulárn´ı operace IV.1.1

O objekt I.5.3 obojetná podmnoˇzina V.7.1 obor integrity IV.9.4 obraz I.3.5 oddˇelovac´ı axiomy V.5.7 okol´ı V.1.1 okruh IV.9.4 omezen´ y metrick´ y prostor VI.1.3 operace M -árn´ı o. IV.1.1 ordinál (ordináln´ı ˇc´ıslo) I.4.4 otevˇrené mnoˇziny V.1.2

P podalgebra IV.3.1 p. generovaná mnoˇzinou IV.3.4 podobjekt I.6.1 podpolosvaz III.1.4 podprostor topologického prostoru V.4.2 150

podsvaz III.1.4 pologrupa IV.9.1 polosvaz (horn´ı a doln´ı) II.3.1 pˇreduspoˇra´dán´ı I.2.3, II.1.1 princip dobrého uspoˇrádán´ı I.4.3 princip maximality I.4.6 primitivn´ı tˇr´ıdy algeber IV.7.4 produkt I.6.3, IV.4.1, V.4.2 projekce I.6.3, IV.1.2, IV.4.2 projektivn´ı vytváˇren´ı I.7.3 prostor extremálnˇe nesouvisl´ y p. V.7.10 Hausdorff˚ uv p. V.5.3 kompaktn´ı p. V.6.2 kˇrivkovˇe (obloukovˇe) souvisl´ y p. V.7.7 Lindelöf˚ uv p. V.6.10 lokálnˇe kompaktn´ı p. V.6.9 lokálnˇe souvisl´ y p. V.7.9 normáln´ı p. V.5.6 omezen´ y metrick´ y p. VI.1.3 regulárn´ı p. V.5.4 separabiln´ı p. VI.2.1 souvisl´ y p. V.7.1 stˇr´ızliv´ y p. V.5.11 totálnˇe nesouvisl´ y p. V.7.10 totálnˇe omezen´ y metrick´ y p. VI.2.3 uniformn´ı p. VI.6.1 u ´plnˇe regulárn´ı p. V.5.5 u ´pln´ y metrick´ y p. VI.1.6 prvofiltr III.3.2 prvoideál III.3.2, IV.9.5 pseudokomplement III.4.1 151

pseudokomplementárn´ı svaz III.4.1 pseudometrika VI.3.5

R reflexivita I.2.3 regulárn´ı prostor V.5.4 relace I.2.1, I.5.1 r. binárn´ı I.2.1, I.5.1 r. interpolativn´ı I.2.3 r. M -árn´ı I.5.1 r. nulárn´ı r. reflexivn´ı I.2.3 r. symetrická I.2.3 r. ternárn´ı I.5.1 r. transitivn´ı I.2.3 r. unárn´ı I.5.1 relaˇcn´ı objekt I.5.3 ˇretˇez II.1.1 ˇr´ıdká mnoˇzina VI.3.4

S Scottova topologie V.2.6 separabiln´ı prostor VI.2.1 silnˇe ekvivalentn´ı metriky VI.1.7 skládán´ı zobrazen´ı I.3.3 Sorgenfreyova pˇr´ımka V.2.9 soubor I.1.2 souˇcin I.6.3, IV.4.1, V.4.2 soustava generátor˚ u algebry IV.3.4 souvisl´ y prostor V.7.1 spojitá uspoˇra´daná mnoˇzina II.8.2 152

spojité zobrazen´ı V.3.1 stejnomˇernˇe spojité zobrazen´ı VI.5.1, VI.5.2 stˇr´ızliv´ y prostor V.5.11 svaz II.3.2 s. distributivn´ı III.2.3 s. modulárn´ı III.2.1 s. u ´plnˇe distributivn´ı III.7.2 s. u ´pln´ y II.3.3 subbase topologie V.2.7 suma I.7.3, V.4.4 supremum II.2.1 symetrie I.2.3

T T0 – T4 V.5.1 – V.5.6 TD V.10 Tarského-Knasterova vˇeta o pevném bodˇe II.7.3 tˇeleso IV.9.4 Tichonovova vˇeta o souˇcinu V.6.5 Tichonovova vˇeta o vloˇzen´ı V.5.9 topologie V.1.5.4 Alexandrovova t. V.2.5 intervalová t. V.2.8 kvasidiskretn´ı t. V.2.5 Scottova t. V.2.6 totálnˇe nesouvisl´ y prostor V.7.10 totálnˇe omezen´ y metrick´ y prostor VI.2.3 transitivita I.2.3 tˇr´ıda model˚ u teorie E IV.7.3 tˇr´ıdy I.1.7 153

typ I.5.3, IV.2.1 t. finitárn´ı I.5.3 t. koneˇcn´ y I.5.3

U ultrafiltr III.6.5 unárn´ı opeace IV.1.1 unárn´ı relace I.2.1 uniformita VI.5.1, VI.5.2 uniformn´ı prostor VI.6.1 u ´plnˇe distributivn´ı svaz III.7.2 u ´plnˇe regulárn´ı prostor V.5.5 u ´pln´ y metrick´ y prostor VI.1.6 u ´pln´ y svaz II.3.3 Urysohnovo lemma V.5.6 usmˇernˇená podmnoˇzina II.3.4 uspoˇra´daná dvojice I.1.4 uspoˇra´dán´ı II.1.1 u. ˇca´steˇcné II.1.1 u. dobré I.4.2 u. duáln´ı II.1.5 u. indukované II.5.1 u. lineárn´ı II.1.1 u. opaˇcné II.1.5 uzávˇer V.1.5 uzavˇrené mnoˇziny V.1.4

V varieta algeber IV.7.4 vlastnosti které nejsou topologické VI.1.1 vnitˇrek V.1.5 154

volná algebra IV.6.1 vzor I.3.5

Z Zermelova vˇeta I.4.3 zobrazen´ı I.3.1 z. identické I.3.3 z. inversn´ı I.3.3, I.3.4 z. na I.3.4 z. prosté I.3.4 z. spojité V.3.1 z. stejnomˇernˇe spojité VI.5.1, VI.5.2 Zornovo lemma I.4.6 z´ uplnˇen´ı z. metrického prostoru VI.3.5 z. uspoˇra´dané mnoˇziny II.4

155

Matematické struktury

Recommend Documents