AKUSTICK E JEVY V KONTINU ICH Petr Hora 30. kvˇ etna 2001

´ JEVY V KONTINU´ICH AKUSTICKE Petr Hora 30. kvˇetna 2001

Tento text obsahuje sylabus pˇredn´aˇsek z pˇredmˇetu Akustick´e jevy v kontinu´ıch (AJK), kter´ y se pˇredn´aˇs´ı na Fakultˇe aplikovan´ ych vˇed Z´apadoˇcesk´e univerzity v Plzni. Kapitoly 1, 2, 3 a 4 jsou pˇrevzaty z vynikaj´ıc´ı vysokoˇskolsk´e uˇcebnice prof. Merhauta (Merhaut, J.: Teoretick´e z´aklady elektroakustiky. Academia, Praha 1985). P´at´a kapitola ˇ ıˇzka (C´ ˇ ıˇzek, V.: Diskr´etn´ı Fourierova transformace. SNTL, je pˇrevzata z kn´ıˇzky ing. C´ Praha 1981). Posledn´ı, ˇsest´a, kapitola vych´az´ı z pˇr´ıruˇcky pro hudebn´ıky Ivo Janouˇska (Janouˇsek, I.: ABC akustiky pro hudebn´ı praxi. Supraphon, Praha 1979).

1

´ Ukazov´ e kom´ıt´ an´ı ˇ c. ˇ ceˇ ren´ı Zvuk rozˇsiˇruje se v˚ ukol d´ale a to sdˇelov´ an´ım ˇceˇren´ı jedn´e ˇc´ astice ˇc´ astici druh´e. Dˇej tento st´ av´ a se hbitost´ı velikou, nebot’ se pozorovalo, ˇze zvuk ve vzduchu obyˇcejn´e tichosti za 1 vteˇrinu 1050 stˇrev´ıc˚ u cesty vykon´ a. V t´eto hbitosti pˇredˇc´ı jej ale svˇetlo, odb´yvaj´ıc za 1 vteˇrinu cestu 4000 mil. Vystˇrel´ı-li se z puˇsky, oheˇ n a kouˇr vid´ıme hned a pozdˇeji teprv vybuchnut´ı slyˇs´ıme. Tak jest i pˇri blesku a hromu. Pam´ atno jest, ˇze se zvuk mnohem hbitˇeji skrze hust´ a tˇelesa rozˇsiˇruje neˇzli skrze ˇr´ıdk´a. Mal´e hodinky neslyˇs´ıˇs cvakati ze vzd´ al´ı jist´eho, to se ale stane, strˇc´ıˇs-li k hodink´ am ˇzelezn´y dlouh´y prut a vezmeˇs-li prut na druh´em konci mezi zuby. Kdo k zemi ucho pˇriloˇz´ı, na mnoho mil uslyˇs´ı, ˇze se nˇekde z dˇel stˇr´ıl´ı, ˇze vojsko koˇ nmo t´ ahne. Ano i voda l´epe zvuk sdˇeluje, nebot’ ryby zvonˇen´ım se daj´ı svolati k pastvˇe. Na v´yˇsin´ ach horn´ıch, kde vzduch jest ˇr´ıdk´y, hlas lidsk´y i stˇreln´ı m´alo se slyˇs´ı, ano ve vzduchopr´ azdn´em zvonu vyvˇevadla neslyˇs´ı se pohybovan´y zvonek. Karel Slavoj Amerling alias Strnad Klatovsk´ y, Orbis Pictus (1852)

2

Kapitola 1 ´ VLNY V PLYNNEM ´ ZVUKOVE ˇ ´I PROSTRED 1.1

Vlastnosti zvukov´ ych vln

Zvukov´ a vlna - pod´eln´e vlnˇen´ı plynn´eho nebo kapaln´eho hmotn´eho prostˇred´ı v oboru slyˇsiteln´ ych frekvenc´ı.

3

Barometrick´ y tlak

Akustick´ y tlak

− skal´ar

− stˇr´ıdav´a veliˇcina − skal´ar − souvis´ı s intenzitou zvuku

Rychlost ˇ s´ıˇ ren´ı zvuku

Akustick´ a rychlost

− skal´ar − nen´ı z´avisl´a na intenzitˇe vlny

− stˇr´ıdav´a veliˇcina − vektor − souvis´ı s intenzitou zvuku

Zvukov´ a pole − rovinn´e zvukov´e pole − v´alcov´e (cylindrick´e) zvukov´e pole − kulov´e (sf´erick´e) zvukov´e pole − zvukov´e pole vyˇsˇs´ıho ˇra´du − zvukov´e pole dif´ uzn´ı

4

1.2

Odvozen´ı obecn´ e vlnov´ e rovnice v pravo´ uhl´ ych souˇ radnic´ıch

Akustick´a rychlost

v = vx i + vy j + vz k, Z´akladn´ı vztahy, kter´e popisuj´ı akustick´e pole v plynn´em prostˇred´ı, jsou: − rovnice kontinuity, − Newton˚ uv druh´ y pohybov´ y z´akon, − stavov´a rovnice plyn˚ u. Komprese a expanze prob´ıhaj´ı adiabaticky.

5

1.2.1

Rovnice kontinuity

Pˇr´ır˚ ustek hmotnosti od x-ov´e sloˇzky rychlosti (ρvx − ρ∗ vx∗ ) ∆y ∆z dt

lim (ρvx − ρ∗ vx∗ ) dt = −

∆x→0

−

∂ (ρvx ) dx dt ∂x

∂ (ρvx ) dx dy dz dt ∂x

Pˇr´ır˚ ustek hmotnosti od ostatn´ıch sloˇzek rychlosti −

∂ (ρvy ) dy dx dz dt ∂y

6

−

∂ (ρvz ) dz dx dy dt ∂z

Celkov´ y pˇr´ır˚ ustek hmotnosti se projev´ı zvˇetˇsen´ım hustoty "

∂ (ρvx ) ∂ (ρvy ) ∂ (ρvz ) − + + ∂x ∂y ∂z

= −

div (ρ v)

div

v= −

#

=

1 ∂ρ ρ ∂t

1 ∂ρ ρ ∂t

Rovnice kontinuity: ∂vx ∂vy ∂vz 1 ∂ρ + + =− ∂x ∂y ∂z ρ ∂t Zaveden´ı rychlostn´ıho potenci´alu

grad Φ = v

∂Φ = vx , ∂x

∂Φ = vy , ∂y

div (grad Φ) = −

∂Φ = vz ∂z

1 ∂ρ ρ ∂t

∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ 1 ∂ρ + + = − ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ρ ∂t 7

∂ρ ∂t

∆Φ = −

8

1 ∂ρ ρ ∂t

(1.1)

1.2.2

Aplikace druh´ eho Newtonova z´ akona

S´ıla p˚ usob´ıc´ı na krychli ve smˇeru osy x (p0 + p) ∆y ∆z − (p0 + p∗ ) ∆y ∆z = (p − p∗ ) ∆y ∆z

lim (p − p∗ ) = −

∆x→0

−

∂p dx ∂x

∂p dx dy dz ∂x

Tato s´ıla mus´ı b´ yt rovna hmotnosti elementu n´asoben´eho zrychlen´ım ve smˇeru x, tedy −

∂p ∂vx dx dy dz = ρ dx dy dz ∂x ∂t

−

∂p ∂vx =ρ ∂x ∂t

−

∂p ∂vy =ρ ∂y ∂t

−

∂p ∂vz =ρ ∂z ∂t

Zaveden´ı rychlostn´ıho potenci´alu −

∂p ∂2Φ =ρ ∂x ∂x ∂t

−

∂p ∂2Φ =ρ ∂y ∂y ∂t 9

−

∂2Φ ∂p =ρ ∂z ∂z ∂t

Integrac´ı dostaneme p = −ρ

∂Φ ∂t

ˇ Casovou derivac´ı dostaneme ∂p ∂2Φ = −ρ 2 ∂t ∂t

10

(1.2)

1.2.3

Aplikace Poissonova z´ akona

Poisson˚ uv z´akon (p0 + p) V κ = konst. nebo ρV = konst. lze ps´at (p0 + p) ρ−κ = konst. Derivac´ı podle ˇcasu dostaneme ∂p −κ ∂ρ ρ − κ (p0 + p) ρ−κ−1 =0 ∂t ∂t Akustick´ y tlak ve druh´em ˇclenu lze zanedbat ∂p κp0 ∂ρ = ∂t ρ ∂t

11

(1.3)

1.2.4

Vlnov´ a rovnice pro zvukov´ e vlny v plynech

Z rovnice (1.2) a (1.3) vylouˇc´ıme ∂p /∂t κp0 ∂ρ ∂2Φ = −ρ 2 ρ ∂t ∂t Z rovnice (1.1) a (1.4) plyne vlnov´a rovnice: ρ ∂2Φ κp0 ∂t2

∆Φ =

∆Φ =

1 ∂2Φ c20 ∂t2

v ! u u κp0 c0 = t

ρ

∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ 1 ∂2Φ + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c20 ∂t2 Pro harmonicky promˇenn´ y rozruch Φ = Ψejωt ∂2Φ = −ω 2 Ψejωt = −ω 2 Φ ∂t2

∆Ψ + k 2 Ψ = 0 Vlnov´e ˇc´ıslo: k = ω/c0

12

(1.4)

1.2.5

Rychlost zvuku v plynech

− pˇribliˇzn´e vztahy v" # u u κp00 t c0 = (1 + γT )

ρ0

c0 = (331.8 + 0.61T ) Rychlost zvuku v r˚ uzn´ ych plynech: Plyn

Rychlost zvuku [m/s]

Hustota [kg/m3 ]

Vod´ık

1270

0.09

Kysl´ık

317

1.43

Dus´ık

336

1.25

Chlor

205

3.17

Methan

432

0.72

Oxid uhelnat´ y

337

1.25

Oxid uhliˇcit´ y

258

1.98

Vzduch

344

1.20

Pˇr´ıklady vlnov´ ych d´elek: f=[50 100 500 1000 5000 10000 15000]; l vz=344./f; l vo=1270./f; sprintf(’Frekvence[Hz] Vzduch[m] Vodik[m]’) sprintf(’%8d %8.4f %8.4f\n’,[f;l vz;l vo])

13

1.3

ˇ sen´ı vlnov´ Reˇ e rovnice pro rovinnou vlnu

Pˇredpoklady: 1. ˇs´ıˇren´ı ve smˇeru osy x (odpadnou ˇcleny obsahuj´ıc´ı y a z) 2. harmonick´ y rozruch

d2 Ψ + k2Ψ = 0 dx2 Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı Ψ = A eαx Charakteristick´a rovnice α2 + k 2 = 0 ˇ sen´ı Reˇ 

Ψ = A1 e−jkx + A2 ejkx



Protoˇze Φ = Ψ ejωt dostaneme Φ = A1 ej(ωt−kx) + A2 ej(ωt+kx) Z rychlostn´ıho potenci´alu lze stanovit jak akustickou rychlost, tak akustick´ y tlak:

14

vx =

∂Φ = −jkA1 ej(ωt−kx) ∂x

p = −jωρA1 ej(ωt−kx) Obˇ e veliˇ ciny jsou ve f´ azi. Vlnov´ y odpor prostˇred´ı: p = c0 ρ = z0 vx

Teplota [◦ C]

Tlak vzduchu [kPa] 98 100 102 104

0

409 417 426 433

5

405 413 423 430

10

401 410 420 426

15

398 406 416 422

18

396 404 413 421

20

394 402 410 419

22

393 401 409 417

25

391 399 408 414

30

389 396 404 411

15

1.4

ˇ sen´ı vlnov´ Reˇ e rovnice s okrajov´ ymi podm´ınkami (Vlastn´ı kmity dut´ eho kv´ adru)

Vlnov´a rovnice pro harmonick´ y rozruch ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ + + + k2Ψ = 0 2 2 2 ∂x ∂y ∂z Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı

Ψ = Ψx (x) Ψy (y) Ψz (z) Dosazen´ım do vlnov´e rovnice dostaneme ∂ 2 Ψx ∂ 2 Ψy ∂ 2 Ψz Ψ Ψ + Ψ Ψ + Ψx Ψy + k 2 Ψx Ψy Ψz = 0 y z x z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Separace promˇenn´ ych 1 ∂ 2 Ψx 1 ∂ 2 Ψy 1 ∂ 2 Ψz + + + k2 = 0 2 2 2 Ψx ∂x Ψy ∂y Ψz ∂z Rovnice mus´ı b´ yt splnˇena identicky pro vˇsechna x, y i z. To je moˇzn´e, jestliˇze plat´ı 1 ∂ 2 Ψx = γx2 Ψx ∂x2

1 ∂ 2 Ψy = γy2 Ψy ∂y 2

1 ∂ 2 Ψz = γz2 2 Ψz ∂z kde γ jsou konstanty (re´aln´e nebo komplexn´ı), pro kter´e plat´ı 16

γx2 + γy2 + γz2 + k 2 = 0 Tedy ∂ 2 Ψx − γx2 Ψx = 0 ∂x2 Tato rovnice m´a ˇreˇsen´ı Ψx = Ψx1 eγx x + Ψx2 e−γx x Amplitudy urˇc´ıme z okrajov´ ych podm´ınek. Obecnˇe mus´ıme pˇredpokl´adat, ˇze jsou komplexn´ı. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze stˇeny dutiny jsou dokonale tuh´e a nepohlcuj´ı zvuk. To znaˇc´ı, ˇze jejich specifick´a impedance je nekoneˇcn´a, a tedy ˇze norm´aln´ı sloˇzky akustick´e rychlosti na stˇen´ach jsou nulov´e.

vx =

∂Φ ∂Ψx = Ψy Ψz ejωt ∂x ∂x

Tato sloˇzka mus´ı b´ yt na stˇen´ach rovna nule   x=0 dΨx = 0 pro  dx x=a

Podobnˇe pro dalˇs´ı stˇeny 

 y=0 dΨy = 0 pro  y=b dy



 z=0 dΨz = 0 pro  z=c dz

17

Po dosazen´ı za Ψx dostaneme ∂Ψx = γx Ψx1 eγx x + γx Ψx2 e−γx x ∂x Po aplikaci okrajov´e podm´ınky pro x = 0 Ψx1 − Ψx2 = 0

Ψx1 = Ψx2 =

Ψx0 2

Po aplikaci okrajov´e podm´ınky pro x = a Ψx1 eγx a − Ψx2 e−γx a = 0

 Ψx0  γx a e − e−γx a = Ψx0 sinh γx a = 0 2

Po zaveden´ı γ sinh αx a cos βx a + j cosh αx a sin βx a = 0 Tato rovnice m˚ uˇze b´ yt splnˇena, jen je-li αx a = 0 a sin βx a = 0 a to je jen tehdy, kdyˇz βx a = n1 π, kde n1 = 0, 1, 2, 3, . . . 18

Z toho αx = 0,

βx =

n1 π a

takˇze γx = j

Ψx =

n1 π a

 Ψx0  jβx x n1 π e + e−jβx x = Ψx0 cos x 2 a

Podobnˇe Ψy = Ψy0 cos

γy = j

n2 π y b

n2 π b

a Ψz = Ψz0 cos

γz = j

n3 π z c

n3 π c

Koneˇcnˇe, u ´pln´ y v´ yraz pro rychlostn´ı potenci´al

Φ=

∞ X ∞ X ∞ X

Ψ0 cos

n1 =0 n2 =0 n3 =0



n1 π a

2

n1 π n2 π n3 π jωt x cos y cos ze a b c

n2 π + b 

2

19

n3 π + c 

2

= k2

Protoˇze k = ω/c0 , dost´av´ame pro frekvence vlastn´ıch kmit˚ u r˚ uzn´ ych m´od˚ u uvaˇzovan´eho prostoru vztah v" u  2   2  2 # u n1 n2 n3 ω = c0 π t + +

a

b

c

Napˇr.

ω1,0,0 pro n1 = 1,

n2 = 0,

ω1,0,0 =

ω0,1,0 pro n1 = 0,

ω1,1,0 = c0 π

ω3,0,1 = c0 π

c0 π a

n2 = 1,

ω0,1,0 =

c0 π b

s

1 1 + 2 2 a b

s

32 1 + 2 2 a c

20

n3 = 0

n3 = 0

1.5

Vlnov´ a rovnice pro zvuk v cylindrick´ ych souˇ radnic´ıch

1.5.1

Rovnice kontinuity

Do elementu ve smˇeru radi´aln´ım vt´ek´a za jednotku ˇcasu v ploˇse r dϕ dz rychlost´ı vr mnoˇzstv´ı hmoty ρvr rdϕ dz. Na vnˇejˇs´ı stranˇe v radi´aln´ım smˇeru odt´ek´a soumezn´a hodnota. Rozd´ıl pˇredstavuje pˇr´ır˚ ustek hmotnosti v elementu za jednotku ˇcasu od radi´aln´ı sloˇzky rychlosti a je −

∂ (ρvr r) dr dϕ dz ∂r

Od obvodov´e sloˇzky rychlosti −

∂ (ρvϕ ) dϕ dr dz ∂ϕ

Od axi´aln´ı sloˇzky rychlosti −

∂ (ρvz ) dz r dϕ dr ∂z

Souˇcet vˇsech tˇr´ı pˇr´ır˚ ustk˚ u hmotnosti v elementu za jednotku ˇcasu zp˚ usob´ı zmˇenu hustoty ∂ρ/∂t v objemu r dϕ dr dz

−

∂ (ρvr r) ∂ (ρvϕ ) ∂ (ρvz ) ∂ρ dr dϕ dz − dϕ dr dz − dz r dϕ dr = r dϕ dr dz ∂r ∂ϕ ∂z ∂t 21

Pro mal´e zmˇeny ρ 1 ∂ (vr r) 1 ∂vϕ ∂vz 1 ∂ρ + + =− r ∂r r ∂ϕ ∂z ρ ∂t Zaveden´ı rychlostn´ıho potenci´alu

grad Φ = v kter´ y je v cylindrick´ ych souˇradnic´ıch definov´an

vr =

∂Φ , ∂r

vϕ =

∂Φ , r ∂ϕ

vz =

∂Φ , ∂z

dostaneme ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ 1 ∂ρ + + + 2 =− 2 2 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z ρ ∂t Vztahy odvozen´e z druh´eho Newtonova z´akona a z Poissonova z´akona pro adiabatickou kompresi plyn˚ u plat´ı invariantnˇe, tedy ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ 1 ∂2Φ + + + = ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 ∂z 2 c20 ∂t2 Pˇredpoklad harmonick´eho rozruchu Φ = Ψ ejωt ˇc´ımˇz dostaneme ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ 1 ∂2Ψ ∂2Ψ + + + + k2Ψ = 0 ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 ∂z 2

22

1.6

Cylindrick´ a zvukov´ a vlna

Budeme se zab´ yvat pouze jednoduchou rotaˇcnˇe symetrickou vlnou, u kter´e vϕ =

∂Φ =0 ∂ϕ

vz =

∂Φ =0 ∂z

Za tˇechto pˇredpoklad˚ u se vlnov´a rovnice pro harmonickou vlnu zjednoduˇs´ı na tvar ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ + + k2Ψ = 0 2 ∂r r ∂r To je Besselova diferenci´aln´ı rovnice nult´eho ˇr´adu. Jej´ım ˇreˇsen´ım je line´arn´ı kombinace Besselov´ ych funkc´ı r˚ uzn´eho druhu, nult´eho ˇra´du. Protoˇze cylindrick´a vlna je obecnˇe d´ana komplexn´ım v´ yrazem, vyhov´ı zde jako u ´pln´e ˇreˇsen´ı Hankelovy funkce prvn´ıho a druh´eho druhu, definovan´e v´ yrazy (Besselova a Neumannova funkce) Hν(1) (x) = Jν (x) + jNν (x) , Hν(2) (x) = Jν (x) − jNν (x) ˇ sen´ı vlnov´e rovnice lze tud´ıˇz ps´at Reˇ (1)

(2)

Ψ = A1 H0 (kr) + A2 H0 (kr) Je zn´am´e, ˇze pro hodnoty argumentu vˇetˇs´ı neˇz jedna lze s dostateˇcnou pˇresnost´ı pro praktickou aplikaci nahradit Hankelovy funkce nult´eho ˇr´adu v´ yrazy (1,2)

H0

=

s

2 ±j(kr−π/4 ) e πkr

(Pro kr ≥ 1 je chyba ≤ 3 %, pro kr ≥ 2 je chyba ≤ 1 %. Uk´azat v MATLABu.) Protoˇze pak 23

Φ = Ψ ejωt lze ps´at ˇreˇsen´ı pro kr >> 1 jako

Φ = A1

s

s

2 j(ωt+kr−π/4 ) 2 j(ωt−kr+π/4 ) e + A2 e πkr πkr

Z t´eto rovnice je zˇrejm´e, ˇze prvn´ı ˇclen na prav´e stranˇe vyjadˇruje vlnu konvergentn´ı a druh´ y ˇclen pak vlnu divergentn´ı. Obvykle n´as zaj´ım´a pr´avˇe jen vlna divergentn´ı, a proto pˇredpokl´ad´ame A1 = 0, tj. C Φ = √ ej(ωt−kr) kr kde

C=

s

2 A2 ejπ/4 π

Nyn´ı ji m˚ uˇzeme stanovit akustick´ y tlak a akustickou rychlost v poli cylindrick´e vlny. (V dostateˇcnˇe velk´e vzd´alenosti, aby kr >> 1.)

p = −ρ

∂Φ C p1m = −jωρ √ ej(ωt−kr) = √ ej(ωt−kr) ∂t r kr

kde p1m je amplituda akustick´eho tlaku v jednotkov´e vzd´alenosti. Pro akustickou rychlost dostaneme

v=

∂Φ 1 C =− + jk √ ej(ωt−kr) ∂r 2r kr 



coˇz lze ps´at 1 v = 1+ j2kr

!

p √ 1m ej(ωt−kr) r c0 ρ

24

Z tˇechto rovnic vypl´ yv´a pro f´azov´ y posun ϕ mezi akustick´ ym tlakem a rychlost´ı u cylindrick´e vlny

25

1.7

ˇ sen´ı vlnov´ Reˇ e rovnice v cylindrick´ e soustavˇ e s okrajov´ ymi podm´ınkami

1.7.1

Vlastn´ı kmity v dut´ em v´ alci

V elektroakustice se ˇcasto vyskytuj´ı dutiny tvaru v´alce. D´ale je ˇreˇsena vlnov´a rovnice s vylouˇcen´ ym ˇcasem (pro harmonick´ y rozruch) pro vnitˇrek tuh´eho v´alce.

Pro uveden´ y pˇr´ıpad plat´ı tyto mezn´ı podm´ınky: vz = 0 pro z = 0, vr = 0 pro r = R

z=l

Pˇredpokl´adejme ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice ve tvaru ψ = ψr (r) ψϕ (ϕ) ψz (z) Dosad´ıme-li tento v´ yraz do vlnov´e rovnice v cylindrick´e soustavˇe, dostaneme po u ´pravˇe vztah 1 ψr

d2 ψr 1 dψr + dr2 r dr

!

+

1 1 d2 ψϕ 1 d2 ψ + + k2 = 0 ψϕ r2 dϕ2 ψz dz 2

Prvn´ı tˇri ˇcleny nez´avis´ı na z, tedy lze ps´at 26

1 d2 ψz = ±k12 ψz dz 2 Tato rovnice m´a pro znam´enko plus ˇreˇsen´ı ψz = A1 ek1 z + A2 e−k1 z a pro znam´enko minus ψz = A1 ejk1 z + A2 e−jk1 z Z okrajov´e podm´ınky pro z = 0 plyne, ˇze dψz = 0 pro z = 0 dz Po dosazen´ı dostaneme A1 = A2 =

C1 2

kde C1 je nov´a konstanta. V tomto pˇr´ıpadˇe lze ˇreˇsen´ı ps´at jako

ψz = C1 cosh k1 z resp.

ψz = C1 cos k1 z Po derivaci dostaneme dψz = −C1 sinh k1 z dz 27

resp. dψz = −C1 sin k1 z dz Z okrajov´e podm´ınky pro z = l plyne, ˇze

sin k1 l = 0 coˇz je tehdy, kdyˇz

k1 =

mπ l

pro m = 1, 2, 3, . . .

Z uveden´eho je patrno, ˇze m´a v´ yznam jen −k12 . Dosad’me nyn´ı −k12 za ˇctvrt´ y ˇclen do vlnov´e rovnice a zaved’me novou konstantu β tak, ˇze β 2 = k 2 − k12 Tedy k2 = β 2 +

m2 π 2 l2

Dojdeme tak k rovnici 1 d2 ψr dψr r2 2 + r ψr dr dr

!

+

1 d2 ψϕ + β 2 r2 = 0 2 ψϕ dϕ

Protoˇze tato rovnice mus´ı b´ yt splnˇena pro kaˇzd´e ϕ, mus´ı b´ yt jej´ı pˇredposledn´ı ˇclen roven konstantˇe, takˇze 1 d2 ψϕ = ±n2 2 ψϕ dϕ Opˇet bychom se pˇresvˇedˇcili, ˇze v´ yznam m´a pouze znam´enko minus a rovnice m´a ˇreˇsen´ı 28

ψϕ = C2 cos nϕ pro n = 0, 1, 2, 3, . . . Kdyˇz dosad´ıme −n2 za tˇret´ı ˇclen do vlnov´e rovnice, dostaneme vztah h i dψr d2 ψr (βr) + (βr)2 − n2 ψr = 0 2 + (βr) d (βr) d (βr) 2

To je Besselova rovnice, kter´e vyhovuje ˇreˇsen´ı ψr = C3 Jn (βr) + C4 Nn (βr) Protoˇze Neumannova funkce m´a pro nulov´ y argument hodnotu rostouc´ı nade vˇsechny meze (avˇsak rychlostn´ı potenci´al je v ose v´alce koneˇcn´ y), mus´ı b´ yt nutnˇe

C4 = 0 Okrajov´a podm´ınka pro r = R vede na dψr =0 dr Tedy 0

Jn (βr) = 0 Z teorie cylindrick´ ych funkc´ı je zn´amo, ˇze 0

Jn (βr) =

n Jn (βr) − Jn+1 (βr) βr

Pro n = 0 je tedy 0

J0 (βR) = −J1 (βR) 29

Takˇze okrajovou podm´ınku lze ps´at jako

J1 (βr) = 0 Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme urˇcit vlastn´ı frekvence dutiny ωim k = c0 2



2

= βi2 +

m2 π 2 l2

Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı jsou radi´aln´ı m´ody pro m = 0 a n = 0, tedy ωi,0,0 . Pro nˇe dostaneme β1 R = 3.8317 β2 R = 7.0156 β3 R = 10.1735 β4 R = 13.3237 β5 R = 16.4706 β6 R = 19.6159 Pro m = 0 plat´ı ω k = c0 

2

2

= βi2

takˇze ωi,0,0 = c0 βi Napˇr.

f1,0,0 =

c0 β1 3.8317 c0 = 2π 2π R

f2,0,0 =

7.0156 c0 2π R

30

1.7.2

Dut´ y v´ alec, jehoˇ z z´ akladna kmit´ a

ˇ sen´ı vlnov´e rovnice s okrajov´ Reˇ ymi podm´ınkami pro pˇr´ıpad dut´eho v´alce s tuh´ ymi stˇenami, jehoˇz z´akladna harmonicky konf´aznˇe kmit´a (jako p´ıst). Budeme uvaˇzovat pouze rotaˇcnˇe symetrick´e vlnˇen´ı, tj. pˇredpokl´ad´ame, ˇze vϕ = 0 a tedy t´eˇz ∂ψ =0 ∂ϕ Vlnov´a rovnice se pro tento pˇr´ıpad zjednoduˇs´ı na ∂ 2 ψ 1 ∂ψ ∂ 2 ψ + + 2 + k2ψ = 0 ∂r2 r ∂r ∂z Jej´ı ˇreˇsen´ı budeme pˇredpokl´adat ve tvaru ψ = ψr (r) ψz (z) Okrajov´ e podm´ınky: - harmonicky kmitaj´ıc´ı z´akladna v z = 0

vz z=0 = vm = vm0 ejωt Protoˇze vz =

∂Φ ∂ψ jωt = e ∂z ∂z

lze ps´at, ˇze dψz = vm0 dz

pro z = 0 31

- druh´ y konec v´alce m´a vz = 0, coˇz vede na dψz = 0 pro z = l dz - dokonale tuh´e stˇeny v´alce dψr = 0 pro r = R dr Dosad´ıme-li pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı do vlnov´e rovnice, dostaneme po separaci promˇenn´ ych 1 d2 ψr 1 1 dψr 1 d2 ψz + + + k2 = 0 ψr dr2 ψr r dr ψz dz 2 Tato rovnice mus´ı b´ yt opˇet splnˇena pro kaˇzd´e r i z. Proto mus´ı b´ yt pˇredposledn´ı ˇclen roven konstantˇe. Z toho plyne rovnost d2 ψz + k12 ψz = 0 dz 2 ˇ sen´ı t´eto rovnice zn´ı kde k1 je konstanta (re´aln´a, kladn´a). Reˇ ψz = A1 ejk1 z + A2 e−jk1 z kde A1,2 jsou konstanty, kter´e urˇc´ıme z okrajov´ ych podm´ınek na podstav´ach dut´eho v´alce. Derivac´ı v´ yrazu dostaneme dψz = jk1 A1 ejk1 z − jk1 A2 e−jk1 z dz Po dosazen´ı okrajov´e podm´ınky pro z = 0 dostaneme A 1 − A2 =

vmo jk1

Po dosazen´ı okrajov´e podm´ınky pro z = l dostaneme 32

A1 ejk1 l − A2 e−jk1 l = 0 Z tˇechto rovnic lze stanovit konstanty A1,2 . Dostali bychom, ˇze

A1,2 = j

e±jk1 l vm0 k1 ejk1 l − e−jk1 l

Tedy

ψz = j

vm0 ejk1 (l−z) + e−jk1 (l−z) k1 ejk1 l − e−jk1 l

To lze koneˇcnˇe upravit na ψz =

vm0 cos k1 (l − z) k1 sin k1 l

Nyn´ı stanov´ıme ψr . Do vlnov´e rovnice dosad´ıme za pˇredposledn´ı ˇclen konstantu −k12 , dost´av´ame 1 d2 ψr 1 1 dψr + + k 2 − k12 = 0 2 ψr dr ψr r dr Kdyˇz pak zavedeme k 2 − k12 = β 2 lze vlnovou rovnici upravit na tvar (βr)2

d2 ψr dψz + (βr)2 ψr = 0 2 + βr d (βr) d (βr)

To je Besselova rovnice nult´eho ˇra´du, jej´ıˇz ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme ps´at ψr = J0 (βr) + C N0 (βr) 33

Konstanta C je nutnˇe rovna nule, nebot’ pro r = 0 roste Neumannova funkce nade vˇsechny meze a ψr je zde koneˇcn´e. Nyn´ı pouˇzijeme okrajovou podm´ınku pro r = R. Z n´ı vypl´ yv´a, ˇze J00 (βR) = 0 Protoˇze J00 (x) = −J1 (x) lze tuto rovnici d´ale ps´at J1 (βR) = 0 Tato rovnice je splnˇena pro ˇradu hodnot βi . Smysl vˇsak maj´ı jen βi , pro kter´e plat´ı, ˇze βi < k ´ e ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice pro rychlostn´ı potenci´al je Upln´

Φ=

∞ X vm cos k1i (l − z) i=1

k

sin k1 l

J0 (βi r)

kde k1i a βi jsou sv´az´any podm´ınkou k1i =

q

k 2 − βi2

pro βi > k

Jednotliv´e jejich hodnoty d´avaj´ı rozloˇzen´ı Φ pro r˚ uzn´e moˇzn´e druhy vlnˇen´ı uvnitˇr v´alce. Je-li R mal´e oproti vlnov´e d´elce, pak k1 = k. V tomto pˇr´ıpadˇe je J0 (βr) = 1 a ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice pˇrejde na tvar

Φ=

vm cos k (l − z) k sin kl

Z rychlostn´ıho potenci´alu m˚ uˇzeme urˇcit akustickou rychlost

vz =

∂Φ sin k (l − z) = vm ∂z sin kl

a akustick´ y tlak 34

p = −ρ

cos k (l − z) ∂Φ = −jc0 ρvm ∂t sin kl

Pro akustickou impedanci v m´ıstˇe z = 0 bychom dostali v´ yraz p c0 ρ Za = = −j cot kl vz S z=0 S

To je akustick´a impedance na vstupu tenk´e p´ıˇst’aly. Pro velmi mal´e frekvence lze kotangens nahradit pˇrevr´acenou hodnotou argumentu, takˇze lze ps´at c2 ρ c0 ρ Za ∼ = 0 = −j Skl jωSl to je shodn´e s v´ yrazem pro akustickou poddajnost objemu dutiny v´alce, kter´a je rovna

Za =

1 κp0 c2 ρ = = 0 jωca jωV jωV

35

1.8

Odvozen´ı vlnov´ e rovnice ve sf´ erick´ ych souˇ radnic´ıch

Pˇri odvozov´an´ı vlnov´e rovnice vyjdeme od elementu vymezen´eho dvˇema bl´ızk´ ymi kulov´ ymi plochami s polomˇery r a (r + ∆r). Do tohoto elementu vteˇce za jednotku ˇcasu vnitˇrn´ı plochou radi´aln´ı rychlost´ı v hmotnost 4πr2 ρv Souˇcasnˇe vnˇejˇs´ı plochou odteˇce hmotnost 4πr∗2 v ∗ ρ∗ Z rozd´ılu dostaneme pro pˇr´ır˚ ustek hmotnosti v elementu za jednotku ˇcasu 

4π ρvr2 − ρ∗ v ∗ r∗2



Tento pˇr´ır˚ ustek lze vyj´adˇrit jako −4π

∂ (ρvr2 ) ∆r ∂r

Limita tohoto v´ yrazu pro ∆r bl´ıˇz´ıc´ı se nule a pro mal´e zmˇeny ρ ∂ (ρvr2 ) ∂ (vr2 ) ∆r = −4πρ dr lim −4π ∆r→0 ∂r ∂r "

#

Tento pˇr´ır˚ ustek zp˚ usob´ı zvˇetˇsen´ı hustoty v elementu objemu dV = 4πr2 dr. To vede na rovnici −4πρ

∂ (vr2 ) ∂ρ dr = 4πr2 dr ∂r ∂t

kterou lze upravit na −

∂ (vr2 ) r2 ∂ρ = ∂r ρ ∂t 36

Do t´eto rovnice m˚ uˇzeme zav´est za rychlost v v´ yraz v = ∂Φ/∂r (z definice rychlostn´ıho potenci´alu). Tak dojdeme k rovnici ∂ − ∂r

∂Φ 2 r2 ∂ρ r = ∂r ρ ∂t !

Kdyˇz provedeme derivaci na lev´e stranˇe, vyjde ∂Φ ∂2Φ − r + 2 ∂r2 ∂r

!

=

r ∂ρ ρ ∂t

V´ yraz na lev´e stranˇe je roven −∂ 2 (Φr) /∂r2 ; o tom se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit: ∂ 2 (Φr) ∂ ∂Φ ∂2Φ ∂Φ = r + Φ = r +2 2 2 ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r !

Proto m˚ uˇzeme rovnici upravit na tvar −

r ∂ρ ∂ 2 (Φr) = 2 ∂r ρ ∂t

Nyn´ı m˚ uˇzeme dosadit za ∂ρ/∂t v´ yraz vypoˇcten´ y pˇri odvozov´an´ı obecn´e vlnov´e rovnice v kart´ezsk´ ych souˇradnic´ıch, nebot’ plat´ı obecnˇe, bez ohledu na volbu prostorov´ ych souˇradnic. ∂ρ ρ2 ∂ 2 Φ =− ∂t κp0 ∂t2 Po jeho dosazen´ı dostaneme ∂ 2 (Φr) ρ ∂2Φ = −r ∂r2 κp0 ∂t2 Po zaveden´ı rychlosti c0 a pˇreveden´ı r do parci´aln´ı derivace dostaneme c20

∂ 2 (Φr) ∂ 2 (Φr) = ∂r2 ∂t2

Toto je hledan´a vlnov´a rovnice pro kulovou vlnu ve sf´erick´ ych souˇradnic´ıch, pro zdroj um´ıstˇen´ y v poˇc´atku. 37

1.8.1

Kulov´ a zvukov´ a vlna

Pro pˇr´ıpad harmonick´e vlny, kdy lze pˇredpokl´adat, ˇze Φ = ψ ejωt m˚ uˇzeme vlnovou rovnici ps´at ve tvaru d2 (ψr) + k 2 (ψr) = 0 dr2 kde opˇet

k=

1.8.2

ω c0

ˇ sen´ı vlnov´ Reˇ e rovnice pro kulovou zvukovou vlnu

ˇ sen´ı pro vlnovou rovnici pˇri harmonick´em rozruchu je Reˇ ψr = A1 e−jkr + A2 ejkr a z toho Φr = A1 ej(ωt−kr) + A2 ej(ωt+kr) kde A1,2 jsou konstanty, kter´e maj´ı v´ yznam amplitud, a to A1 vlny postupuj´ıc´ı v kladn´em a A2 v z´aporn´em smˇeru r. Obvykle pˇredpokl´ad´ame, ˇze se vlna ˇs´ıˇr´ı od zdroje, kter´ y je v poˇc´atku, tedy ve smˇeru kladn´eho r. Proto poloˇz´ıme A2 = 0 a A1 = A; takˇze Φ=

A j(ωt−kr) e r

Z tohoto v´ yrazu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıst akustickou rychlost a akustick´ y tlak u kulov´e zvukov´e vlny. 38

Pro akustick´ y tlak plat´ı p = −ρ

∂Φ A p1m j(ωt−kr) = −jωρ ej(ωt−kr) = e ∂t r r

kde p1m je vrcholov´a hodnota akustick´eho tlaku v jednotkov´e vzd´alenosti. Akustick´a rychlost je d´ana v´ yrazem ∂Φ A 1 v= =− jk + ∂r r r 



ej(ωt−kr)

coˇz lze t´e ps´at p1m 1 v= 1+ rc0 ρ jkr

!

ej(ωt−kr)

Rozbor tˇechto rovnic ukazuje, ˇze pro kaˇzd´e r, tedy v kaˇzd´em m´ıstˇe pole, jsou akustick´a rychlost i tlak periodicky promˇenn´e v rytmu frekvence f . Rychlost a tlak vˇsak zde nejsou jako u postupn´e rovinn´e vlny ve f´azi, ponˇevadˇz faktor v rovnici pro rychlost je komplexn´ı, zat´ımco v rovnici pro tlak je ryze imagin´arn´ı. Mezi akustick´ ym tlakem a akustickou rychlost´ı je u kulov´e vlny f´azov´e posunut´ı, jehoˇz u ´hel je d´an vzorcem

tan ϕ =

1 r

k

=

c0 ωr

Tento v´ yraz m˚ uˇzeme upravit na tvar tan ϕ =

λ 2πr

Z tohoto vzorce je vidˇet, ˇze pro r = 0, tedy v tˇesn´e bl´ızkosti bodov´eho zvukov´eho zdroje, je u ´hel posunut´ı ϕ = π /2. Naopak pro velmi velk´a r je posun velmi mal´ y, nebot’ dostaneme limr→∞ tan ϕ = 0, a tedy i ϕ = 0. To souhlas´ı s t´ım, co jsme odvodili u rovinn´e zvukov´e vlny. Rovinnou zvukovou vlnu m˚ uˇzeme totiˇz povaˇzovat za ˇc´ast kulov´e vlny s nekoneˇcn´ ym polomˇerem. Pomˇer p ku v nen´ı jako u postupn´e zvukov´e vlny st´al´ y, n´ ybrˇz je z´avisl´ y na frekvenci a polomˇeru vlny, resp. Na vlnov´e d´elce a polomˇeru, podle v´ yraz˚ u 39

ωρ pm =q vm k2 +

1 r2

c0 ρ

=r

1+



λ 2πr

2

Tento v´ yraz m´a limitu

lim r→∞

pm = c0 ρ vm

To opˇet souhlas´ı s t´ım, co jsme odvodili pro rovinnou vlnu. Rovnice odvozen´e pro kulovou vlnu, zejm´ena rovnice pro rychlostn´ı potenci´al, jsou d˚ uleˇzit´e pro dalˇs´ı u ´vahy, nebot’ podle Huygensova principu m˚ uˇzeme u kaˇzd´e vlny povaˇzovat kter´ ykoliv bod na vlnoploˇse za zdroj kulov´e vlny. Proto na z´akladˇe tˇechto rovnic m˚ uˇzeme ˇreˇsit mnoho sloˇzitˇejˇs´ıch pˇr´ıpad˚ u akustick´ ych pol´ı, napˇr. interferenci, ohyb apod. Usnadˇ nuje n´am to zejm´ena ta okolnost, ˇze Φ je skal´ar a lze jej v kaˇzd´em bodˇe algebraicky sˇc´ıtat.

40

1.9

Ohyb zvukov´ ych vln okolo pˇ rek´ aˇ zky

Pevn´a pˇrek´aˇzka, kter´a je jinak v homogenn´ım rovinn´em zvukov´em poli, zp˚ usob´ı vpˇredu, tj. na stranˇe, ze kter´e vlna postupuje, zv´ yˇsen´ı akustick´eho tlaku, na opaˇcn´e stranˇe jeho sn´ıˇzen´ı (akustick´ y st´ın), a to pˇribliˇznˇe tehdy, kdyˇz vlnov´a d´elka je ˇr´adovˇe menˇs´ı neˇz pr˚ umˇer pˇrek´aˇzky. Je-li λ vˇetˇs´ı, nastane ohyb vln a pole nen´ı pˇrek´aˇzkou prakticky ovlivnˇeno. Poˇcetnˇe je moˇzno stanovit vliv pˇrek´aˇzky na zvukov´e pole u nejjednoduˇsˇs´ıch tvar˚ u, napˇr. u koule a v´alce. Na obr´azc´ıch je zn´azornˇeno, jak ovlivn´ı akustick´ y tlak rovinn´e vlny koule, v´alec a krychle. Je v nich vynesen v dB pomˇer akustick´eho tlaku p1 na povrchu tˇelesa ze strany dopadu vln ku tlaku p2 , kter´ y by v t´emˇz m´ıstˇe byl, kdybychom pˇrek´aˇzku odstranili. Zmˇeny hladiny tlaku v dB dan´e vzorcem

20 log

p1 p2

jsou vyneseny pro r˚ uzn´ yu ´hel dopadu jako parametr v z´avislosti na pomˇeru D /λ , resp. l /λ , kde D znaˇc´ı pr˚ umˇer koule nebo v´alce a l d´elku hrany krychle.

41

42

1.10

Akustick´ y v´ ykon a intenzita akustick´ eho pole

V´ ykon P je obecnˇe d´an skal´arn´ım souˇcinem vektoru s´ıly F a rychlosti v

P = (Fv) To lze ps´at

P = pSv cos ψ je-li S plocha, v n´ıˇz p˚ usob´ı rovnomˇernˇe akustick´ y tlak p, v absolutn´ı hodnota akustick´e rychlosti a ψ u ´hel mezi norm´alou k ploˇse S a vektorem v. Pro spojitˇe se mˇen´ıc´ı tlak p lze ps´at

dP = pv cos ψ dS Intenzita pole I (zvuku) je definov´ana

I=

dP = pv cos ψ dS

Pro harmonicky promˇenn´e p, v se do t´eto rovnice dosad´ı efektivn´ı hodnoty kr´at cos ϕ, je-li ϕ f´azov´ yu ´hel mezi p, v. Je tedy

I = pef vef cos ϕ cos ψ Pro akustick´ y v´ ykon lze ps´at, orientujeme-li dS tak, aby norm´ala k t´eto ploˇse byla totoˇzn´a s vektorem v,

Pak =

Z Z

S

I dS =

Z Z

S

pef vef cos ϕ dS

Jestliˇze stanovujeme intenzitu zvuku, kter´a proch´az´ı kolmo vlnoplochou, je ψ = 0, a rovnice se tak zjednoduˇs´ı na 43

I = pef vef cos ϕ U rovinn´ e postupn´e vlny plat´ı

I = pef vef =

p2ef c0 ρ

U kulov´ e divergentn´ı vlny plat´ı

vef



s



1 pef 1 pef = 1 + = 1+ 2 2 c0 ρ jkr c0 ρ k r

Pro tuto vlnu plat´ı

tan ϕ =

1 kr

a z toho 1 cos ϕ = q 1+

1 k2 r2

Kdyˇz tyto v´ yrazy dosad´ıme do vztahu pro intenzitu zvuku, dostaneme

I=

p2ef c0 ρ

a tedy v´ yraz totoˇzn´ y s v´ yrazem pro intenzitu zvuku u rovinn´e postupn´e vlny. Pro kulovou vlnu d´ale plat´ı, ˇze

pef =

p1ef r

kde p1ef je efektivn´ı hodnota amplitudy akustick´eho tlaku v jednotkov´e vzd´alenosti od poˇc´atku (zdroje). Intenzita zvuku I1 v t´eto vzd´alenosti je 44

p21ef c0 ρ

I1 =

Z v´ yˇse uveden´ ych vztah˚ u vypl´ yv´a, ˇze u kulov´e vlny

I=

I1 r2

coˇz znaˇc´ı, ˇze jej´ı intenzita ub´ yv´a s kvadr´atem vzd´alenosti od zdroje. Pro cylindrickou divergentn´ı vlnu bychom odvodili

vef



v u



1 pef 1 pef u t1 + = 1 + = c0 ρ j2kr c0 ρ (2kr)2

Pro cos ϕ u cylindrick´e vlny dostaneme 1 cos ϕ = q 1 1 + (2kr) 2 Z rovnic plyne, ˇze u cylindrick´e vlny p1ef pef = √ r takˇze v tomto pˇr´ıpadˇe plat´ı

I=

I1 r

kde I1 je opˇet intenzita zvuku ve vzd´alenosti r = 1 m. U cylindrick´e vlny tedy ub´ yv´a intenzita line´arnˇe se vzd´alenost´ı od zdroje. V´ ypoˇ cet intenzity zvuku v pˇ r´ıpadˇ e rovinn´ ych, resp. cylindrick´ ych, resp. sf´ erick´ ych postupn´ ych vln ze zn´ am´ eho akustick´ eho tlaku. Pro stanoven´ı celkov´eho vyz´aˇren´eho akustick´eho v´ ykonu Pak pouˇz´ıv´ame vzorec 45

Pak

1 Z Z 2 = pef dS c0 ρ

kde dS je element plochy kolm´ y na smˇer ˇs´ıˇren´ı postupn´e vlny.

Po zaveden´ı sf´erick´ ych souˇradnic dostaneme Pak

r2 Z 2π Z π 2 = p (ϑ, α, r) sin α dϑ dα c0 ρ 0 0 ef

Pro rotaˇcnˇe symetrick´ y vyzaˇruj´ıc´ı zdroj lze vzorec zjednoduˇsit na Pak =

2πr2 Z π 2 4πr2 2 pef (α, r) sin α dα = p c0 ρ 0 c0 ρ s

kde ps je stˇredn´ı efektivn´ı hodnota akustick´eho tlaku ve vzd´alenosti r.

46

Kapitola 2 ´ VYS´ILACE ˇ AKUSTICKE 2.1

Akustick´ y vys´ılaˇ c nult´ eho ˇ ra ´du (Pulzuj´ıc´ı koule)

Z´akladn´ı typ akustick´eho vys´ılaˇce je zdroj bodovˇe symetrick´e kulov´e vlny. Rychlostn´ı potenci´al ve sf´erick´ ych souˇradnic´ıch s poˇc´atkem ve stˇredu zdroje 0Φ

=

ψ1 j(ωt−kr) e =0 ψejωt r

ψ1 je konstanta, kter´a je rovna amplitudˇe rychlostn´ıho potenci´alu ve vzd´alenosti r = 1 od poˇc´atku, a 0 ψ je bezˇcasov´ y rychlostn´ı potenci´al 0ψ

= ψ1

e−jkr r

Pro akustick´ y tlak v poli zdroje nult´eho ˇr´adu plat´ı vztah p (r) = −ρ

∂Φ ψ1 = −jωρ ej(ωt−kr) ∂t r

Akustick´a rychlost ve smˇeru radi´aln´ım je d´ana gradientem rychlostn´ıho potenci´alu, tedy ∂0 Φ ψ1 v (r) = =− ∂r r



47

1 + jk ej(ωt−kr) r 

Zdrojem nult´eho ˇr´adu je pulzuj´ıc´ı koule se stˇredem v poˇc´atku. Jedn´a se o hypotetick´ y u ´tvar, dokonale tuh´a kulov´a plocha, kter´a radi´alnˇe osciluje. Vˇsechny body povrchu kmitaj´ı se stejnou f´az´ı, plocha m´a st´ale kulov´ y tvar. Pokud m´a tato koule klidov´ y polomˇer R, jej´ı povrch kmit´a stˇr´ıdavou radi´aln´ı rychlost´ı, kterou lze v komplexn´ım tvaru vyj´adˇrit jako vm = vm0 ejωτ kde vm0 je amplituda rychlosti vm a τ je ˇcasov´a souˇradnice posunut´a oproti t. Z d˚ uvod˚ u kontinuity mus´ı b´ yt rychlost vm totoˇzn´a s rychlost´ı ˇc´astic prostˇred´ı v (r) na povrchu pulzuj´ıc´ı koule, tj. pro r = R. Tedy v (R) = −

ψ1 R



1 + jk ej(ωt−kR) = vm0 ejωτ R 

Z t´eto rovnice je zˇrejm´e, ˇze ωt − kR = ωτ a tedy t−

R =τ c0

Protoˇze zdroj nult´eho ˇr´adu - pulzuj´ıc´ı koule - vys´ıl´a do prostˇred´ı akustick´e vlny a pˇred´av´a poli energii, pˇredstavuje prostˇred´ı pro vys´ılaˇc z´atˇeˇz. Tuto reakci prostˇred´ı na vys´ılaˇc m˚ uˇzeme vyj´adˇrit mechanickou nebo akustickou impedanc´ı. Naz´ yv´ame ji vyzaˇrovac´ı mechanickou (akustickou) impedanc´ı, nebot’ souvis´ı s vyzaˇrov´an´ım. Mechanick´a (akustick´a) vyzaˇrovac´ı impedance Zmv resp. Zav je d´ana v´ yrazy Zmv =

F (R) p (R) S = v (R) v (R)

resp.

48

p (R) p (R) = W (R) Sv (R)

Zav =

kde W je objemov´a akustick´a rychlost (W=Sv ). - specifick´a (akustick´a) vyzaˇrovac´ı impedance:

zsv =

p (R) v (R)

- normovan´a (akustick´a) vyzaˇrovac´ı impedance:

znv =

zsv zsv = z0 c0 ρ

Pro mechanickou impedanci dostaneme Zmv = Sz0 znv = 4πR2 c0 ρ (A + jB) resp. pro akustickou impedanci

Zav =

z0 c0 ρ znv = (A + jB) S 4πR2

Specifick´a vyzaˇrovac´ı impedance pulzuj´ıc´ı koule

zsv =

p (R) = v (R)

1 R

jωρ + jk

Normovan´a vyzaˇrovac´ı impedance pulzuj´ıc´ı koule

znv

zsv = = c0 ρ

j cω0 jkR = 1 1 + jkR + jk R

kde

49

A=

(kR)2 1 + (kR)2

B=

kR 1 + (kR)2

50

2.2

Akustick´ y vys´ılaˇ c prvn´ıho ˇ ra ´du (Akustick´ y dip´ ol)

Akustick´ y dip´ol vznikne spojen´ım dvou vys´ılaˇc˚ u nult´eho ˇr´adu, jejichˇz amplitudy jsou stejn´e, avˇsak maj´ı opaˇcnou f´azi. Jejich vzd´alenost d b´ yv´a mal´a ve srovn´an´ı s vlnovou d´elkou.

Body 1, resp. 2 jsou d´ılˇc´ı zdroje kulov´ ych vln nult´eho ˇr´adu. Rychlostn´ı potenci´aly v m´ıstˇe B jsou

0 Φ1,2

= ψ1

ej(ωt−kr1,2 ) r1,2

P˚ usob´ı-li oba zdroje souˇcasnˇe, je v´ ysledn´ y rychlostn´ı potenci´al zdroje prvn´ıho ˇr´adu v bodˇe B 1Φ

=0 Φ1 −0 Φ2

a tedy

1Φ

= ψ1

e−jkr2 e−jkr1 − r1 r2

Coˇz lze ps´at jako 1Φ

=1 ψ ejωt 51

!

ejωt

kde 1ψ

= ψ1

e−jkr1 e−jkr2 − r1 r2

!

Je-li d << λ, coˇz jsme pˇredpokl´adali, lze pro r1,2 dostateˇcnˇe velk´e oproti d ps´at tento v´ yraz jako e−jkr ∆r r !

∂ 1 ψ = −ψ1 ∂r

V´ yznam ∆r je patrn´ y z obr´azku a plat´ı ∆r ∼ = d cos α, proto ∂ 1 Φ = −ψ1 ∂r

ej(ωt−kr) r

!

d cos α

Po proveden´e derivaci dostaneme

1 Φ = ψ1



1 ej(ωt−kr) + jk d cos α r r 

Z rychlostn´ıho potenci´alu m˚ uˇzeme stanovit akustickou rychlost ∂1 Φ 2 2jk ej(ωt−kr) = −ψ1 2 + − k2 d cos α v (r) = ∂r r r r !

a akustick´ y tlak ∂1 Φ 1 ej(ωt−kr) p (r) = −ρ = −jωρψ1 + jk d cos α ∂t r r 



Smˇerov´a funkce vys´ılaˇce prvn´ıho ˇr´adu je

p (α) 1 Φ (α) η1 = = = cos (α) p (0) r=konst 1 Φ (0) Osciluj´ıc´ı koule 52

Vys´ılaˇc prvn´ıho ˇr´adu se nˇekdy t´eˇz interpretuje jako tzv. osciluj´ıc´ı nehmotn´a koule o polomˇeru R, kter´a kmit´a jako celek ve smˇeru α = 0, rychlost´ı vm = vm0 ejωt .

- radi´aln´ı rychlost na povrchu koule

v (R) = −ψ1

jωt 2 2jk 2 e + − k d cos α R2 R R

!

coˇz lze ps´at v (R) = vm0 cos α ejωt = vm ejωt - akustick´ y tlak na povrchu koule p (R) = −jωρψ1



1 ejωt + jk d cos α R R 

- normovan´a akustick´a vyzaˇrovac´ı impedance

znv

p (R) 1 − (kR)2 + jkR = = v (R) c0 ρ 2 + 2jkR − (kR)2

Tento v´ yraz lze ps´at jako

znv = A + jB kde 53

A=

B=

(kR)4 4 + (kR)4

2kR + (kR)3 4 + (kR)4

54

2.3

Akustick´ e vys´ılaˇ ce vyˇ sˇ s´ıch ˇ ra ´d˚ u

Pole vys´ılaˇce druh´eho ˇr´adu dostaneme jako rozd´ıl dvou pol´ı vys´ılaˇc˚ u prvn´ıho ˇr´adu.

Pro rychlostn´ı potenci´al v poli cel´e soustavy lze ps´at 2Φ

=1 Φ1 −1 Φ2

Pro 1 Φ1,2 plat´ı (viz pˇredchoz´ı kapitola)

1 Φ1,2

∂ = −ψ1 ∂r

ej(ωt−kr) r

!

d1 cos α

Je-li d2 << λ, lze ps´at 2Φ

=−

∂ (1 Φ) d2 cos α ∂r

Tedy ∂2 2 Φ = ψ1 ∂r2

ej(ωt−kr) r 55

!

d1 d2 cos2 α

Analogicky bychom dostali vys´ılaˇce r´adu n jako rozd´ılov´ y zdroj vys´ılaˇc˚ u ˇra´du n + 1, tj.

nΦ

=n−1 Φ1 −n−1 Φ2

a z toho ∂n n Φ = (−1) ψ1 ∂rn n

ej(ωt−kr) r

56

!

d1 d2 . . . dn cosn α

2.4

Rychlostn´ı potenci´ al nad kmitaj´ıc´ı plochou

- p´ıstov´ y akustick´ y vys´ılaˇc kruhov´eho pr˚ uˇrezu, kmitaj´ıc´ı v nekoneˇcn´e rovinn´e stˇenˇe

Abychom stanovili, jakou reakc´ı prostˇred´ı obklopuj´ıc´ı soustavu na kmitaj´ıc´ı p´ıst p˚ usob´ı, mus´ıme odvodit, jak je v jeho okol´ı rozloˇzen rychlostn´ı potenci´al.

Jak pˇrisp´ıv´a kmitaj´ıc´ı element nˇejak´e plochy (dS) v bodˇe A k rychlostn´ımu potenci´alu v urˇcit´em m´ıstˇe v prostoru.

57

Element o ploˇse dS d´av´a objemovou rychlost dW = vm dS = vm0 dS ejωt

(2.1)

Vytv´aˇr´ı kulov´e pole se stˇredem v bodˇe A. Pole m´a infinitezim´aln´ı amplitudu dψ1 , takˇze zavedeme-li sf´erickou souˇradnici ξ s poˇc´atkem v A, lze pro rychlostn´ı potenci´al v obecn´em bodˇe B (a na cel´e pˇr´ısluˇsn´e vlnoploˇse tvaru polokoule) ps´at

dΦ (ξ) =

dψ1 j(ωt−kξ) e dξ

(2.2)

Akustick´a rychlost v bodˇe B je rovna

dv (ξ) =

∂ dψ1 (dΦ) = − 2 (1 + jkξ) ej(ωt−kξ) ∂ξ ξ

Objemov´a rychlost celou vlnoplochou do poloprostoru nad rovinou je rovna souˇcinu rychlosti a plochy, tedy dW (ξ) = 2πξ 2 dv (ξ) = −2πdψ1 (1 + jkξ) ej(ωt−kξ) Limita tohoto v´ yrazu pro ξ → 0 mus´ı b´ yt rovna z d˚ uvodu kontinuity objemov´e rychlosti podle rovnice (2.1), kterou d´av´a element plochy dS, a tedy lim dW (ξ) = −2π dψ1 ejωt = vm0 dS ejωt

ξ→0

Z t´eto rovnice lze stanovit dψ1 dψ1 = −

dS vm0 2π

Tento v´ yraz m˚ uˇzeme dosadit do rovnice (2.2) a m´ame vztah

dΦ (ξ) = −

vm −jkξ dS vm0 ej(ωt−kξ) = − e dS 2πξ 2πξ

58

Element´arn´ı pˇr´ıspˇevky od jednotliv´ ych ploˇsek kmitaj´ıc´ı plochy m˚ uˇzeme algebraicky seˇc´ıst, nebot’ rychlostn´ı potenci´al je skal´ar. Souˇcet vede na integr´al Φ=−

1 Z Z vm dS −jkξ e 2π ξ

Tato rovnice je hledan´ ym v´ yrazem pro rychlostn´ı potenci´al v bodˇe nad osciluj´ıc´ı plochou, kdy vm znaˇc´ı mechanickou rychlost element´arn´ı ploˇsky dS, vzd´alen´e o ξ od bodu B.

59

2.5

Reakce plynn´ eho prostˇ red´ı na kruhovou desku p´ıstovˇ e kmitaj´ıc´ı

Jakou reakc´ı p˚ usob´ı prostˇred´ı, v nˇemˇz uveden´ y zdroj vyzaˇruje akustickou vlnu. - deska o polomˇeru R - axi´alnˇe kmit´a v nekoneˇcn´e stˇenˇe - mechanick´a rychlost desky je vm - kmit´a harmonicky kruhovou frekvenc´ı ω - nad deskou vznik´a zvukov´a vlna

S rychlostn´ım potenci´alem souvis´ı akustick´ y tlak p, kter´ y je d´an v´ yrazem p = −ρ Na kmitaj´ıc´ı desku p˚ usob´ı s´ıla F

60

∂Φ ∂t

F =

Z Z

p dS 0

kde dS 0 znaˇc´ı element plochy povrchu kmitaj´ıc´ı desky a p je akustick´ y tlak nad elementem 0 dS . Tedy F = −ρ

∂Φ 0 dS ∂t

Z Z

Pro harmonick´ y pohyb desky je v komplexn´ım tvaru ∂Φ = jωΦ ∂t takˇze plat´ı F = −jωρ

Z Z

Φ dS 0

Za Φ v t´eto rovnici mus´ıme dosadit hodnotu rychlostn´ıho potenci´alu nad ploˇskou dS 0 . Tento potenci´al je v´ ysledkem oscilac´ı cel´e desky polomˇeru R. " # jωρ Z Z Z Z e−jkξ F = vm dS dS 0 2π ξ

e−jkξ dS dS 0 ξ

Fm = jωρ 2vm

Z

0

R

"Z

π/2

−π/2

Z

Zmv =

61

2x cos ψ

0

Fm vm

#

e−jkξ dψ dξ xdx

Zmv = j2ωρ

Z

R

"Z

π/2

−π/2

0

Z

2x cos ψ

−jkξ

e

#

dψ dξ xdx

0

Zjednoduˇsme tuto rovnici na tvar

Zmv = j2ωρ

Z

R

Qx dx

0

a vypoˇctˇeme nejprve hodnotu

Q=

Z

π/2

−π/2

2x cos ψ

Z

e−jkξ dψ dξ

0

Po proveden´ı integrace podle dξ dostaneme

Q=

 1 Z π/2  1 − e−j2kx cos ψ dψ jk −π/2

To lze ps´at π 1 Z π/2 −j2kx cos ψ Q= − e dψ jk jk −π/2 Dosad’me: Λ=

Z

π/2

e−j2kx cos ψ dψ

−π/2

takˇze je

Q=

1 (π − Λ) jk

Po rozveden´ı exponenci´aln´ı funkce a po u ´pravˇe mez´ı dostaneme

Λ=

Z

0

π

cos (2kx sin ψ) dψ − j 62

Z

0

π

sin (2kx sin ψ) dψ

Integr´aly vyj´adˇr´ıme cylindrick´ ymi funkcemi. Besselovu funkci nult´eho ˇr´adu m˚ uˇzeme ps´at jako 1Zπ J0 (x) = cos (x sin ψ) dψ π 0 Podobnˇe Struvovu funkci nult´eho ˇra´du m˚ uˇzeme ps´at jako 2 Z π/2 H0 (x) = sin (x sin ψ) dψ π 0 Vzhledem k tˇemto vztah˚ um plat´ı Λ = π [J0 (2kx) − jH0 (2kx)] a tedy

Q=

π [1 − J0 (2kx) + jH0 (2kx)] jk

a Zmv = 2πc0 ρ

Z

R

0

J0 (x) = 1 −

2 H0 (x) = π

Z

0

∞

[1 − J0 (2kx) + jH0 (2kx)] x dx

x2 x4 x6 + − + ... 22 22 .42 22 .42 .62

x x3 x5 x7 − + − + ... 12 12 .32 12 .32 .52 12 .32 .52 .72

x dx . J0 (x) =

!

x2 x4 x6 x8 − 2 + 2 2 − 2 2 2 + ... 2 2 .4 2 .4 .6 2 .4 .6 .8

63

J1 (x) =

x3 x5 x7 x − 2 + 2 2 − 2 2 2 + ... 2 2 .4 2 .4 .6 2 .4 .6 .8

Z

∞

0

2 H1 (x) = π

x dx . J0 (x) = xJ1 (x)

x2 x4 x6 x8 − + − + ... 12 .3 12 .32 .5 12 .32 .52 .7 12 .32 .52 .72 .9

Z

∞

0

!

x dx . H0 (x) = xH1 (x)

.. Koneˇcnˇe Zmv = 2πc0 ρ

"Z

R

0

1 x dx − 2k 

2 Z

0

X

1 α dα J0 (α) + j 2k 

2 Z

0

kde α = 2kx a d´ale X = 2kR Tedy

Zmv

R R = πc0 ρ R − J1 (X) + j H1 (X) k k 



2

a po u ´pravˇe 64

X

#

α dα H0 (α)

Zmv

"

H1 (X) J1 (X) = πR .c0 ρ 1 − 2 + j2 X X 2

#

Tato rovnice je hledan´ y v´ yraz pro mechanickou vyzaˇrovac´ı impedanci nehmotn´e kruhov´e desky, kmitaj´ıc´ı p´ıstovˇe v nekoneˇcn´e rovinn´e stˇenˇe. M˚ uˇzeme ji ps´at ve tvaru Zmv = S.c0 ρ (A + jB) = z0 S (A + jB) = z0 Szm kde A=1−2

B=2

J1 (X) J1 (2kR) =1− X kR

H1 (2kR) H1 (X) = X kR

Pro velmi n´ızk´e frekvence nebo pro mal´e R, tj. kdy plat´ı X << 1 m˚ uˇzeme v´ yrazy pro A a B velmi zjednoduˇsit, nebot’ vyˇsˇs´ı potence X jsou zanedbatelnˇe mal´e. Po zanedb´an´ı vˇsech potenc´ı X vyˇsˇs´ıch neˇz 3, dostaneme J1 (X) =

X X3 − 2 16

H1 (X) =

2 X2 π 3

Pak pˇribliˇznˇe plat´ı 2

Zmv = πR z0 65

X2 4X +j 8 π.3

!

Imagin´arn´ı ˇc´ast m˚ uˇzeme povaˇzovat za reaktanci jak´esi hypotetick´e hmotnosti me , jej´ıˇz u ´ˇcinek je ekvivalentn´ı reaktanˇcn´ı sloˇzce vyzaˇrovac´ı impedance kmitaj´ıc´ıho p´ıstu pro X << 1. Pro tuto hmotnost plat´ı

jωme = j

4X πR2 c0 ρ 3π

Proto 8 RSρ 3π

me = Coˇz m˚ uˇzeme ps´at ve tvaru

me = le Sρ kde le =

8 R 3π

znaˇc´ı ekvivalentn´ı d´elku sloupce prostˇred´ı, kter´ y kmit´a s p´ıstem o ploˇse S.

66

2.6

Akustick´ e pole p´ıstovˇ e kmitaj´ıc´ı kruhov´ e desky

ξ0 >> R

Φα = −

vm Z Z e−jkξ dS 2π ξ S

ξ = ξ0 + ξ1

Φα = −

vm e−jkξ0 Z Z e−jkξ1 ξ dS 2πξ0 S 1+ 1 ξ0 67

ξ1 = r sin ψ sin α

dS = r dψ dr

Φα = −

vm e−jkξ0 Z R Z 2π −jkr sin ψ sin α e rdrdψ 2πξ0 0 0

J0 (x) =

1 Z 2π jx sin ψ e dψ 2π 0

x = kr sin α

J0 (x) = J0 (−x)

Φα = −

Z

0

vm e−jkξ0 Z R J0 (kr sin α) rdr ξ0 0

R

J0 (kr sin α) rdr =

Z

Z kR sin α 1 J0 (x) x dx k 2 sin2 α 0

J0 (x) x dx = xJ1 (x)

Φα = −

vm e−jkξ0 R J1 (kR sin α) ξ0 k sin α

68

S = πR2

vm e−jkξ0 S Φα = − J1 (kR sin α) πξ0 kR sin α

Φα (0) = −

vm e−jkξ0 S 2πξ0

pα = −ρ

∂Φα ∂t

pα = −jωρΦα

η1 (α) =

|pα | |pα (0)|

η1 (α) =

|Φα | |Φα (0)|

η1 (α) =

2 J1 (kR sin α) kR sin α

λ 2πR η1 (α) = J1 sin α πR sin α λ 

69



2.7

Akustick´ e pole p´ıstovˇ e kmitaj´ıc´ıho prstence

η2 (α) = J0 (kR sin α)

η2 (α) = J0



2πR sin α λ

70



2.8

Akustick´ e pole kmitaj´ıc´ı obd´ eln´ıkov´ e desky

η3 =

sin



aπ sin α λ aπ sin α λ

71



sin



bπ sin β λ bπ sin β λ



2.9

ˇ Rada bodov´ ych zdroj˚ u

2.10

ˇ Rada p´ıstov´ ych zdroj˚ u kruhov´ eho pr˚ uˇ rezu

2.11

ˇ Cinitel a index smˇ erovosti

72

Kapitola 3 Teorie zvukovod˚ u 3.1

Odvozen´ı vlnov´ e (Websterovy) rovnice zvukovod˚ u

- osa zvukovodu je totoˇzn´a s osou x - stˇeny zvukovodu jsou dokonale tuh´e - ˇs´ıˇr´ı se rovinn´a vlna - pˇr´ıˇcn´ y rozmˇer zvukovodu je mal´ y oproti vlnov´e d´elce Rovnice kontinuity pro zvukovod Pˇr´ır˚ ustek hmotnosti v dan´em pr˚ uˇrezu za jednotku ˇcasu je rovn´ y rozd´ılu hmotnosti, kter´a zleva do elementu vteˇce, a hmotnosti, kter´a z nˇeho vpravo odteˇce. Rozd´ıl ˇcin´ı Svρ − S ∗ v ∗ ρ∗ 73

Jeho limita pro ∆x → 0 je rovna lim (Svρ − S ∗ v ∗ ρ∗ ) = −

∆x→0

∂ (Svρ) dx ∂x

Tento v´ yraz zp˚ usob´ı ˇcasov´ y pˇr´ır˚ ustek hustoty ρ v elementu, jehoˇz objem je Sdx, takˇze plat´ı ∂ (Sρv) ∂ρ S dx = − dx ∂t ∂x Zanedb´ame-li zmˇeny ρ podle x, kter´e jsou mal´e oproti stˇredn´ı hodnotˇe, m˚ uˇzeme ps´at

S

∂ρ ∂ (Sv) +ρ =0 ∂t ∂x

To je rovnice kontinuity pro zvukovod pr˚ uˇrezu S = f (x). Po zaveden´ı rychlostn´ıho potenci´alu

v=

∂Φ ∂x

lze rovnici kontinuity ps´at jako 1 ∂ ∂Φ S S ∂x ∂x

!

=−

1 ∂ρ ρ ∂t

Provedeme-li parci´aln´ı derivaci souˇcinu v z´avorce na lev´e stranˇe rovnice, dostaneme ∂ 2 Φ 1 dS ∂Φ 1 ∂ρ + =− 2 ∂x S dx ∂x ρ ∂t Z druh´eho pohybov´eho z´akona plyne pro element objemu Sdx vztah −

∂ (Sp) ∂v dx = ρSdx ∂x ∂t

Zavedeme-li rychlostn´ı potenci´al, m˚ uˇzeme tuto rovnici upravit na

74

∂2Φ 1 ∂ (Sp) = −ρ S ∂x ∂x∂t Integrac´ı podle x a pak derivac´ı podle t, dostaneme −

∂p ∂2Φ =ρ 2 ∂t ∂t

Tato rovnice je shodn´a s rovnic´ı, kterou jsme dostali pˇri odvozov´an´ı obecn´e vlnov´e rovnice (aplikace druh´eho Newtonova z´akona). Protoˇze tak´e diferenci´aln´ı rovnice, kter´a vypl´ yv´a z Poissonova z´akona, plat´ı obecnˇe a tak´e pro zvukovody, m˚ uˇzeme ps´at −

1 ∂ρ 1 ∂2Φ = 2 2 ρ ∂t c0 ∂t

Dostaneme tak ∂ 2 Φ 1 dS ∂Φ 1 ∂2Φ + = ∂x2 S dx ∂x c20 ∂t2 coˇz je vlnov´a rovnice pro zvukovody, zvan´a Websterova. Protoˇze 1 dS d = (ln S) S dx dx lze Websterovu rovnici ps´at t´eˇz ve tvaru ∂ 2 Φ ∂Φ d 1 ∂2Φ + (ln S) − =0 ∂x2 ∂x dx c20 ∂t2 Kdyˇz jde o harmonicky promˇenn´ y sign´al, m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze Φ = ψejωt Kdyˇz tento v´ yraz zavedeme do Websterovy rovnice, dostaneme

75

d2 ψ dψ d + (ln S) + k 2 ψ = 0 dx2 dx dx kde k=

76

ω c0

3.2

Cylindrick´ y zvukovod

Pro cylindrick´ y zvukovod je pr˚ uˇrez st´al´ y, takˇze je ln S = konst. a proto je v´ yraz d (ln S) = 0 dx Websterova vlnov´a rovnice se pak zjednoduˇs´ı na tvar d2 ψ + k2ψ = 0 dx2 Jej´ı ˇreˇsen´ı je Φ = C1 ej(ωt−kx) + C2 ej(ωt+kx) Prv´a ˇc´ast v´ yrazu vyjadˇruje vlnu postupuj´ıc´ı v kladn´em smˇeru osy x, druh´a ˇc´ast vlnu postupuj´ıc´ı opaˇcnˇe. U nekoneˇcnˇe dlouh´eho zvukovodu se vyvine pouze vlna pˇr´ım´a, takˇze C2 = 0. Nyn´ı stanov´ıme akustick´ y tlak p = −ρ

∂Φ ∂t

takˇze p = −jωρC1 ej(ωt−kx) a akustickou rychlost v=

∂Φ ∂x

77

takˇze v = −jkC1 ej(ωt−kx) Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme stanovit specifickou akustickou impedanci zs∞ nekoneˇcnˇe dlouh´eho cylindrick´eho zvukovodu. Je d´ana v´ yrazem

zs∞ =

p v

tedy

zs∞ = c0 ρ

78

3.3

Cylindrick´ y zvukovod koneˇ cn´ e d´ elky

p1 = −jωρ (C1 + C2 ) ejωt = p1m ejωt

W1 = −Sγ (C1 − C2 ) ejωt = W1m ejωt









p2 = −jωρ C1 e−γl + C2 eγl ejωt = p2m ejωt

W2 = −Sγ C1 e−γl − C2 eγl ejωt = W2m ejωt Z posledn´ıch dvou rovnic dostaneme konstanty C. Kdyˇz je dosad´ıme do dvou prvn´ıch rovnic, dostaneme po u ´pravˇe rovnice

p1 = p2 cosh γl +

W1 = p2

W2 z0 sinh γl S

S sinh γl + W2 cosh γl z0

Uveden´e rovnice m˚ uˇzeme ps´at t´eˇz v maticov´em tvaru (kask´adn´ı matice) 





p cosh γl  1 = S W1 sinh γl z0 79

z0 S





sinh γl   p2  cosh γl W2

Pro bezeztr´atov´ y zvukovod, tj. pro α = 0, β = k = ω /c0 , a tedy γ = jβ, dostaneme 









p cos kl j zS0 sin kl   p2   1 = W1 j zS0 sin kl cos kl W2 Vstupn´ı a v´ ystupn´ı akustick´ a impedance zvukovodu

Za1,2 =

p1,2 S v1,2

Po dosazen´ı vztah˚ u pro akustick´ y tlak a rychlost dostaneme z0 p2 cosh γl + v2 z0 sinh γl S z0 v2 cosh γl + p2 sinh γl

Za1 =

Po vydˇelen´ı ˇcitatele a jmenovatele v´ yrazem v2 a zaveden´ım v´ ystupn´ı akustick´e impedance Za2 , dostaneme z0 Za2 S cosh γl + z0 sinh γl S Za2 S sinh γl + z0 cosh γl

Za1 = Pro bezeztr´atov´ y zvukovod

Za1 =

z0 Za2 S cos kl + jz0 sin kl S jZa2 S sin kl + z0 cos kl

Po zaveden´ı normovan´ ych akustick´ ych impedanc´ı

z1 =

z2 cos kl + j sin kl jz2 sin kl + cos kl

Cylindrick´ y zvukovod zakonˇ cen´ y vlnov´ ym odporem

z2 = 1

⇒

Cylindrick´ y zvukovod zakonˇ cen´ y dutinou 80

z1 = 1

Akustick´a impedance dutiny

Za2 =

c20 ρ jωV

Za1 je nulov´e, tj. u ´tvar je v rezonanci tehdy, kdyˇz je ˇcitatel Za1 roven nule, tedy kdyˇz Za2 S cos kr l + jz0 sin kr l = 0 Zavedeme-li kr =

ωr c0

a dosad´ıme za Za2 akustickou impedanci dutiny, dostaneme po u ´pravˇe c0 S ωr = tan l ωr V c0 



Pro l << λ lze nahradit ωr ωr tan l = l c0 c0 



a t´ım dostaneme ωr c0 S = l ωr V c0 z toho

ωr = c0

s

S Vl

´ Tento vzorec je shodn´ y s rovnic´ı dˇr´ıve odvozenou pro Helmholtz˚ uv rezon´ator. Utvar tedy pro mal´e l oproti λ pˇrejde v Helmholtz˚ uv rezon´ator.

81

3.4

K´ onick´ y zvukovod S = S1 x 2

ln S = ln S1 + 2 ln x

d (ln S) d (ln x) 2 =2 = dx dx x

d2 ψ 2 dψ + + k2ψ = 0 dx2 x dx

z1 = A + jB

A=

(kx)2 1 + (kx)2

B=

kx 1 + (kx)2

82

3.5

Exponenci´ aln´ı zvukovod S = S1 egx

ln S = ln S1 + gx

d (ln S) =g dx

d2 ψ dψ + g + k2ψ = 0 dx2 dx

ω0 =

c0 g 2

Ω=

ω ω0

z1 = A + jB

A=

s

1 1− 2 Ω

B=

z1 =



1 Ω

z2 cos (bl + a) + j sin bl jz2 sin bl + cos (bl − a) 83

a = arctan

b=

s

k2 −

84

g 2b

 2

g 2

3.6

Hyperbolick´ y zvukovod S = πy 2

d2 ψ 2 dy dψ + + k2ψ = 0 dx2 y dx dx

85

Kapitola 4 Teorie elektromechanick´ ych a elektroakustick´ ych mˇ eniˇ c˚ u 4.1

Obecn´ a teorie elektromechanick´ ych mˇ eniˇ c˚ u

1. Elektrick´a strana: • napˇet´ı • proud 2. Mechanick´a strana: • s´ıla • rychlost Kaˇzdou z tˇechto veliˇcin m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako funkci dvou jin´ ych veliˇcin. Napˇr. m´ame-li d´any elektrick´e veliˇciny, m˚ uˇzeme urˇcit veliˇciny mechanick´e.

F = f1 (u, i)

v = f2 (u, i) 86

´ e diferenci´aly Upln´

dF =

∂F ∂F du + di ∂u ∂i

dv =

∂v ∂v du + di ∂u ∂i

V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsou parci´aln´ı derivace konstantami. ∂F = a11 ∂u

∂F = a12 ∂i

∂v = a21 ∂u

∂v = a22 ∂i

Po integraci F

Z

dF = a11

0

Z

0

v

dv = a21

Z

u

du + a12

0

Z

u

0

du + a22

Z

i

di

0

Z

i

di

0

coˇz d´av´a F = a11 u + a12 i

v = a21 u + a22 i V maticov´em tvaru (kask´adn´ı matice) 









F   a11 a12   u   = a21 a22 i v 87

Odvozen´ı impedanˇcn´ı matice:

F = f3 (i, v)

u = f4 (i, v)

dF =

∂F ∂F di + dv ∂i ∂v

du =

∂u ∂u di + dv ∂i ∂v

F = b11 i + b12 v

u = b21 i + b22 v











F   b11 b12   i   = u b21 b22 v Odvozen´ı admitanˇcn´ı matice: F = f5 (u, v)

i = f6 (u, v) 88

dF =

∂F ∂F du + dv ∂u ∂v

di =

∂i ∂i du + dv ∂u ∂v

F = c11 u + c12 v

i = c21 u + c22 v Podobn´ ym zp˚ usobem lze doj´ıt k dalˇs´ım dvojic´ım ˇctyˇrp´olov´ ych rovnic mˇeniˇc˚ u.

89

4.2

Elektromechanick´ e mˇ eniˇ ce se soustˇ redˇ en´ ymi elementy

4.2.1

Mˇ eniˇ c elektromagnetick´ y

V obvodu t´eto soustavy je obvykle permanentn´ı magnet a c´ıvka, kterou prot´ek´a sign´alov´ y proud. Magnet m˚ uˇze b´ yt nahrazen t´ım, ˇze c´ıvkou prot´ek´a kromˇe sign´alov´eho proudu jeˇstˇe superponovan´ y proud stejnosmˇern´ y, kter´ y soustavu magneticky polarizuje. Obvodem prot´ek´a magnetick´ y tok Φ, kter´ y se skl´ad´a ze stejnosmˇern´e sloˇzky Φ0 a ze sloˇzky stˇr´ıdav´e Φi , vyvolan´e sign´alov´ ym proudem i. Kotva K se pˇritahuje v mezeˇre ke jhu silou F . Jej´ı velikost urˇc´ıme z rovnosti virtu´aln´ıch prac´ı za pˇredpokladu element´arn´ıho posuvu kotvy o dη. Hustota magnetick´e energie w na objemovou jednotku je rovna 1 B2 w = HB = 2 2µ0 kde je H intenzita magnetick´eho pole, B magnetick´a indukce a µ0 permeabilita vakua (resp. vzduchu). Z rovnosti virtu´aln´ıch prac´ı pˇri posuvu kotvy o dη plyne

F dη = wSdη takˇze s´ıla F je rovna

90

F =

SB 2 2µ0

Pˇritom S je plocha vzduchov´e mezery. Plat´ı vztah SB = Φ Z nˇeho vypl´ yv´a pro F Φ2 2µ0 S

F =

Tok Φ m˚ uˇzeme podle Hopkinsonova z´akona vyj´adˇrit jako

Φ=

Fm Rm

kde Fm je magnetomotorick´a s´ıla a Rm je magnetick´ y odpor v magnetick´em obvodu mˇeniˇce. Kdyˇz pro pˇrehlednost pˇredpokl´ad´ame, ˇze c´ıvkou mˇeniˇce, kter´a m´a n z´avit˚ u, prot´ek´a stejnosmˇern´ y proud I0 se stˇr´ıdavou superpozic´ı sign´alov´eho proudu i, lze magnetomotorickou s´ılu vyj´adˇrit jako

Fm = n (I0 + i) Pro magnetick´ y odpor obvodu plat´ı za pˇredpokladu, ˇze zanedb´ame odpor ˇzelezn´e ˇc´asti (kter´ y se obvykle v praxi neuplatn´ı)

Rm =

1 d−η µ0 S

nebot’ d´elka vzduchov´e mezery ve smˇeru toku je d´ana klidovou vzd´alenost´ı d zmenˇsenou o v´ ychylku η. (V´ ychylku poˇc´ıt´ame v kladn´em smyslu ve smˇeru s´ıly vyvozen´e mˇeniˇcem.) Magnetick´ y tok je pak d´an vztahem 91

n (I0 + i) µ0 S d−η

Φ= Pro s´ılu mˇeniˇce F tedy dostaneme

F =

µ0 Sn2 (I0 + i)2 2 (d − η)2

´ y diferenci´al F lze ps´at jako Upln´ dF =

∂F ∂F di + dη ∂i ∂η

Provedeme-li parci´aln´ı derivace, dostaneme dF = n2 µ0 S

I0 + i (I0 + i)2 2 di + n µ S dη 0 (d − η)2 (d − η)3

V t´eto rovnici m˚ uˇzeme pro i << I0 a η << d zanedbat i a η. Pak tato rovnice po integraci vede na F = n 2 µ0 S

I0 I02 2 i + n µ S η 0 d2 d3

Pˇredpokl´ad´ame d´ale harmonick´ y pohyb, takˇze lze zav´est η=

v jω

D´ale lze dosadit nI0 µ0 S = Φ0 d Pro indukˇcnost c´ıvky mˇeniˇce m˚ uˇzeme ps´at pˇribliˇznˇe L0 =

nΦ0 I0

92

Zaved’me d´ale n 2 µ0 S

I0 nΦ0 = = ka d2 d

a n 2 µ0 S

1 I02 = ka2 3 d L0

Pak m˚ uˇzeme ps´at

F = ka i +

ka2 v jωL0

coˇz je prvn´ı rovnice plynouc´ı z impedanˇcn´ı matice ˇctyˇrp´olu. M˚ uˇzeme jej d´ale n´azornˇeji ps´at ve tvaru F = ka i +

1 v jωcna

kde cna =

L0 ka2

cna m´a z hlediska k mˇeniˇci pˇripojen´e mechanick´e soustavy v´ yznam negativn´ı poddajnosti, nebot’ souvis´ı se silou, kter´a m´a smysl t´ yˇz jako v´ ychylka η, resp. rychlost v, zat´ımco u eventu´alnˇe pˇripojen´e poddajnosti vnˇejˇs´ı by s´ıla p˚ usobila opaˇcnˇe. S existenc´ı negativn´ı poddajnosti souvis´ı t´eˇz pojem mechanick´e stability elektromagnetick´eho mˇeniˇce. Kdyby byl na mechanick´e stranˇe nezat´ıˇzen´ y, kotva by pˇriskoˇcila ke jhu. Pˇripoj´ıme-li vˇsak ke kotvˇe (coˇz v praxi vˇzdy mus´ı b´ yt) vnˇejˇs´ı pruˇzn´ y element o poddajnosti c, pak je-li

c < cna je soustava stabiln´ı. 93

Nyn´ı odvod´ıme v´ yraz pro napˇet´ı u indukovan´e v c´ıvce mˇeniˇce. Je rovno u=n

∂Φ ∂t

Po dosazen´ı za magnetick´ y tok dostaneme u = n 2 µ0 S

∂ I0 + i ∂t d − η

Zde jsou i a η funkcemi ˇcasu. Lze proto rovnici rozepsat na u=

n2 µ0 S ∂i n2 µ0 S (I0 + i) ∂η + d − η ∂t ∂t (d − η)2

Pro i << I0 a η << d lze zanedbat i a η. Pak tato rovnice po integraci vede na u = L0

∂i ∂η + ka ∂t ∂t

Pro harmonick´ y sign´al je ∂i = jωi ∂t

∂η = v = jωη ∂t takˇze lze koneˇcnˇe ps´at u = jωL0 i + ka v coˇz je druh´a rovnice plynouc´ı z impedanˇcn´ı matice ˇctyˇrp´olu. Na z´akladˇe rovnic pro F a u m˚ uˇzeme stanovit u ´pln´e n´ahradn´ı sch´ema elektromagnetick´eho mˇeniˇce. Vezmeme pˇritom v u ´vahu, ˇze c´ıvka m´a kromˇe indukˇcnosti L0 jeˇstˇe ohmick´ y odpor R0 a ˇze na kotvu je pˇripojena mechanick´a impedance Zm (do kter´e je zahrnuta i hmota kotvy). 94

Vztahy pro gyr´ator: F 0 = k a i0

u 0 = ka v 0 Tyto rovnice lze ps´at po zp˚ usobu rovnic pro ˇctyˇrp´oly ve tvaru F 0 = 0u0 + ka i0

v 0 = ka−1 u0 + 0i0 nebo v maticov´em tvaru 









F 0   0 ka   u0   = ka−1 0 i0 v0 Kask´adn´ı matice cel´eho mˇeniˇce: 













F   1 Zm − (1/jωcna )   0 ka   1 R0 + jωL0   u   = v 0 1 ka−1 0 0 1 i Po proveden´ı souˇcin˚ u  

M =

Zm −

1 jωcna 1 ka



1 ka



Zm −

95

1 jωcna



(R0 + jωL0 ) k1a + ka

R0 +jωL0 ka

 

4.2.2

Mˇ eniˇ c elektrodynamick´ y c´ıvkov´ y

Aktivn´ı ˇc´ast vodiˇce je svinuta do c´ıvky, um´ıstˇen´e ve vzduchov´e mezeˇre prstencov´eho tvaru M, v n´ıˇz prob´ıhaj´ı siloˇc´ary magnetick´eho pole radi´alnˇe. Je zn´amo, ˇze na vodiˇc p˚ usob´ı s´ıla dF ve smˇeru kolm´em na rovinu danou siloˇc´arou proch´azej´ıc´ı elementem vodiˇce a teˇcnou k vodiˇci v pˇr´ısluˇsn´em bodˇe, prot´ek´a-li elementem vodiˇce o d´elce dl proud i. (Pravidlo lev´e ruky.) Jej´ı velikost je d´ana rovnic´ı

dF = [B × idl] = Bidl sin α kde α znaˇc´ı u ´hel mezi teˇcnou k vodiˇci a smˇerem siloˇcar magnetick´eho pole. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsou vˇsechny elementy vodiˇce kolm´e na smˇer siloˇcar, takˇze sin α = 1. Proto na vodiˇc o celkov´e aktivn´ı d´elce l p˚ usob´ı s´ıla

F =

Z

l

Bi dl

0

Pro homogenn´ı magnetick´e pole plat´ı

F = Bli S´ıla F m´a smˇer axi´aln´ı. Celkov´e indukovan´e napˇet´ı v c´ıvce mˇeniˇce je d´ano superpozic´ı dvou d´ılˇc´ıch napˇet´ı: 96

1. Napˇet´ı indukovan´e v c´ıvce pr˚ utokem proudu i. 2. Napˇet´ı indukovan´e v c´ıvce pohybem vodiˇce v magnetick´em poli.

u = L0

∂i ∂Φ + ∂t ∂t

Magnetick´ y tok v z´abˇeru s vodiˇcem c´ıvky je

Φ = Blη a tedy ∂Φ ∂η = Bl = Blv = ka v ∂t ∂t Pro harmonick´ y sign´al lze ps´at ∂i = jωi ∂t takˇze rovnici lze upravit na

u = jωL0 i + ka v Rovnice pro F a u jsou z´akladn´ı vztahy platn´e pro elektrodynamick´ y mˇeniˇc. ´ e n´ahradn´ı sch´ema elektrodynamick´eho c´ıvkov´eho mˇeniˇce je tot´eˇz jako u elektromagUpln´ netick´eho, aˇz na to, ˇze zde odpad´a negativn´ı poddajnost (m´ısto n´ı je zkrat).

97

4.2.3

Elektromechanick´ y mˇ eniˇ c elektrostatick´ y

Pˇredpoklady: • membr´ana kmit´a konf´aznˇe • Rn = ∞ S´ıla F, kter´a p˚ usob´ı na membr´anu, je d´ana vzorcem

F = wS kde w znamen´a hustotu elektrostatick´e energie 1 ε0 E 2 w = ED = 2 2 kdyˇz E je intenzita elektrick´eho pole, D elektrick´a indukce a ε0 permitivita vakua ε0 = 8, 854.10−12 S´ıla F je tedy rovna

F = wS = 98

ε0 SE 2 2

Intenzita pole E mezi elektrodami mˇeniˇce (mezi membr´anou a pevnou elektrodou) je d´ana gradientem napˇet´ı, a je tedy

E=

U0 + u d−η

Proto lze pro s´ılu ps´at

F =

ε0 S (U0 + u)2 2 (d − η)2

´ y diferenci´al F je Zde jsou u a η ˇcasovˇe promˇenn´e veliˇciny. Upln´

dF =

∂F ∂F du + dη ∂u ∂η

Kdyˇz provedeme parci´aln´ı derivace F podle u a η, dostaneme

dF = ε0 S

U0 + u (U0 + u)2 du + ε S dη 0 (d − η)2 (d − η)3

V praxi je obvykle

u << U0

η << d

Lze proto u oproti U0 a η oproti d zanedbat. Potom U0 U02 F = ε0 S 2 u + ε0 S 3 η d d Zaved’me v´ yraz pro klidovou kapacitu mˇeniˇce. Je

C0 =

ε0 S d

Zaved’me d´ale klidov´ y n´aboj Q0 = C0 U0 , a za pˇredpokladu harmonick´eho sign´alu, η = v/jω. Pak lze ps´at 99

ε0 S

C0 U0 Q0 U0 = = = kb 2 d d d

kde kb je konstanta. A d´ale ε0 S

ε20 S 2 U02 d 1 U02 = = kb2 3 4 d d ε0 S C0

Pro s´ılu F pak dost´av´ame F = kb u + kb2

1 v jωC0

To lze t´e ps´at 1 v jωcnb

F = kb u + jestliˇze zavedeme

cnb =

C0 kb2

V´ yraz cnb m´a v´ yznam negativn´ı poddajnosti. Nyn´ı odvod´ıme vztah pro proud i. N´aboj q na mˇeniˇci je d´an v´ yrazem

q = (U0 + u) C kde C je okamˇzit´a hodnota kapacity mezi jeho elektrodami. Je rovna

C=

ε0 S d−η

N´aboj q je proto 100

q = (U0 + u)

ε0 S d−η

Derivujeme tento v´ yraz podle t. (u a η jsou ˇcasovˇe z´avisl´e).

q = f (u, η) Derivac´ı proto dostaneme ∂q ε0 S ∂u ε0 S ∂η = + (U0 + u) ∂t d − η ∂t (d − η)2 ∂t Pro η << d a u << U0 lze zanedbat η oproti d a u oproti U0 . Pak dostaneme ∂q ε0 S ∂u U0 ε0 S ∂η = + ∂t d ∂t d2 ∂t Po zaveden´ı klidov´e kapacity, proudu a rychlosti m˚ uˇzeme ps´at

i = jωC0 u + kb v

i = ic + i0 kde ic je proud klidovou kapacitou C0 od napˇet´ı u a i0 = k b v Z rovnice pro F a i vypl´ yv´a n´ahradn´ı sch´ema elektrostatick´eho mˇeniˇce.

101

Vztahy pro transform´ator: F 0 = kb u0

i0 = k b v 0 Kter´e m˚ uˇzeme t´e ps´at F 0 = kb u0 + 0i0

v 0 = 0u0 + kb−1 i0 V maticov´e formˇe 









F 0   kb 0   u0   = v0 0 kb−1 i0 Pro u ´pln´e n´ahradn´ı sch´ema mˇeniˇce lze napsat vztah  













F   1 Zm − (1/jωcnb )   kb 0   1 0  u  = −1 v 0 1 0 kb jωC0 1 i

Po proveden´ı souˇcin˚ u

102



M =



1 jωcnb jωC0 kb

jωC0 Zm −



1 kb

103

+ kb



Zm −

1 jωcnb 1 kb



1 kb

 

4.3

Elektromechanick´ e mˇ eniˇ ce s rozprostˇ ren´ ymi elementy

U elektromechanick´ ych mˇeniˇc˚ u zaloˇzen´ ych na interakci mezi elektrick´ ym nebo magnetick´ ym polem a deformac´ı uvnitˇr aktivn´ıho materi´alu nelze postupovat tak jednoduˇse jako v pˇredchoz´ı kapitole. S´ıly, deformace i veliˇciny elektrick´eho resp. magnetick´eho pole jsou v aktivn´ı ˇc´asti mˇeniˇce rozprostˇreny. Typick´ ymi pˇredstaviteli elektromechanick´ ych mˇeniˇc˚ us rozprostˇren´ ymi elementy jsou mˇeniˇce piezoelektrick´e a magnetostrikˇcn´ı. V obou pˇr´ıpadech pˇri odvozen´ı teorie tˇechto mˇeniˇc˚ u vyjdeme ze stavov´ ych rovnic aktivn´ıho materi´alu.

4.4

N´ ahradn´ı elektrick´ a sch´ emata elektromechanick´ ych mˇ eniˇ c˚ u

Z pˇredchoz´ıho vypl´ yv´a, ˇze ide´aln´ı reciprok´e elektromechanick´e mˇeniˇce m˚ uˇzeme rozdˇelit do dvou kategori´ı: 1. Mˇeniˇce s magnetick´ ym polem (gyr´ator) 2. Mˇeniˇce s elektrick´ ym polem (transform´ator) Pravidla pro stanoven´ı n´ ahradn´ıho elektrick´ eho sch´ ematu u elektromechanick´ ych mˇ eniˇ c˚ u prvn´ı kategorie 1. Mechanick´emu odporu odpov´ıd´a elektrick´ y odpor. 2. Hmotnosti odpov´ıd´a kapacita. 3. Poddajnosti odpov´ıd´a indukˇcnost. 4. Spojen´ı na spoleˇcnou rychlost odpov´ıd´a paraleln´ı spojen´ı. 5. Spojen´ı na spoleˇcnou s´ılu odpov´ıd´a s´eriov´e spojen´ı. Pravidla pro stanoven´ı n´ ahradn´ıho elektrick´ eho sch´ ematu u elektromechanick´ ych mˇ eniˇ c˚ u druh´ e kategorie 104

1. Mechanick´emu odporu odpov´ıd´a elektrick´ y odpor. 2. Hmotnosti odpov´ıd´a indukˇcnost. 3. Poddajnosti odpov´ıd´a kapacita. 4. Spojen´ı na spoleˇcnou rychlost odpov´ıd´a s´eriov´e spojen´ı. 5. Spojen´ı na spoleˇcnou s´ılu odpov´ıd´a paraleln´ı spojen´ı.

105

4.5

Elektroakustick´ e mˇ eniˇ ce

Mˇeniˇce, jejichˇz akusticky aktivn´ı ˇc´ast, obvykle ne pˇr´ıliˇs hmotn´a, kmit´a se znaˇcnou deformac´ı. p = ϕ1 (u, i)

W = ϕ2 (u, i) • P´askov´ y elektrodynamick´ y mˇeniˇc • Elektrostatick´ y mˇeniˇc s tenkou membr´anou • Elektrostatick´ y mˇeniˇc dvojˇcinn´ y s tenkou membr´anou • Mˇeniˇc s elektretovou membr´anou

106

Kapitola 5 Z´ akladn´ı vlastnosti diskr´ etn´ı Fourierovy transformace 5.1

Periodick´ e vlastnosti transformace a zpˇ etn´ e transformace

Diskr´etn´ı Fourierova transformace a zpˇetn´a diskr´etn´ı Fourierova transformace definuj´ı periodick´e posloupnosti

xi = xi+µN ,

µ = 0, ±1, ±2, . . . ,

xi = xi+µN ,

µ = 0, ±1, ±2, . . . ,

Jako zvl´aˇstn´ı pˇr´ıpad dost´av´ame vyj´adˇren´ı pro z´aporn´e indexy

x−i = xN −i ,

X−k = XN −k ,

107

5.2

Symetrie transformace

Zpˇetnou transformaci lze vyj´adˇrit jako komplexnˇe sdruˇzenou hodnotu (1/N)-n´asobku pˇr´ım´e transformace proveden´e na komplexnˇe sdruˇzen´ y obraz. 

xi = F



1 ∗ X N k

∗

Obr´acenˇe pˇr´ımou transformaci lze vyj´adˇrit jako komplexnˇe sdruˇzenou hodnotu zpˇetn´e transformace proveden´e na N n´asobek komplexnˇe sdruˇzen´eho origin´alu. ∗



Xk = F −1 {N x∗i }

5.3

Linearita transformace axi + byi ∼ = aXk + bYk

5.4

Transformace pˇ revr´ acen´ ych posloupnost´ı

Obraz pˇrevr´acen´e posloupnosti je roven pˇrevr´acen´emu obrazu. 

xi = F



1 ∗ X N k

∗

F −1 {X−k } = x−i

5.5

Transformace sud´ e a lich´ e posloupnosti

Obraz sud´e posloupnosti je sud´a posloupnost: n

o

F xSi =

Xk + X−k 2

108

a obraz lich´e posloupnosti je lich´a posloupnost: n

o

F xLi =

5.6

Xk − X−k 2

Transformace komplexnˇ e sdruˇ zen´ e posloupnosti

Obraz komplexnˇe sdruˇzen´e posloupnosti je roven komplexnˇe sdruˇzen´emu pˇrevr´acen´emu obrazu p˚ uvodn´ı posloupnosti: ∗ F {x∗i } = X−k

Origin´alem ke komplexnˇe sdruˇzen´emu obrazu je pˇrevr´acen´a komplexnˇe sdruˇzen´a posloupnost: F −1 {Xk∗ } = x∗−i

5.7

Vlastnosti transformace re´ aln´ e posloupnosti

• Jeli xi re´aln´a posloupnost, pak jej´ı obraz splˇ nuje podm´ınku Xk∗ = X−k • Re´aln´a ˇc´ast obrazu (Uk ) re´aln´a posloupnosti je sud´a U−k = Uk a imagin´arn´ı ˇc´ast (Vk ) je lich´a V−k = −Vk • U re´aln´e posloupnosti je obrazem jej´ı sud´e ˇc´asti re´aln´a ˇc´ast obrazu a obrazem lich´e ˇc´asti je imagin´arn´ı ˇc´ast obrazu n´asoben´a j. 109

5.8

Vlastnosti transformace komplexn´ıch posloupnost´ı

• Pro obraz re´aln´e ˇc´asti xi plat´ı xi ∼ = (Zk + Zk∗ ) /2 a pro obraz imagin´arn´ı ˇca´sti ∗ yi ∼ /2j = Zk − Z−k





• Pro re´alnou a imagin´arn´ı ˇc´ast obrazu plat´ı Uk = F xSi + iyiL

n

o

n

o

Vk = F yiS − ixLi

5.9

Maticov´ e vyj´ adˇ ren´ı transformace x = (x0 , x1 , . . . , xN −1 )T

X = (X0 , X1 , . . . , XN −1 )T

X = Wx

110



    W =     

5.10

W0 W0 W0 .. .

W0 W1 W2 .. .

W0 W2 W4 .. .

... ... ... .. .

W0 W N −1 W 2(N −1) .. .

W 0 W N −1 W 2(N −1) . . . W (N −1)(N −1)

          

Vlastnosti matice W

1. Matice W je regul´arn´ı a symetrick´a: 

W T = W,

W −1

T

= W −1

2. Matice W −1 je komplexnˇe sdruˇzen´a k matici W: W −1 = (1/N ) W ∗ 3. Matice W je unit´arn´ı, tj. plat´ı pro ni 

W T = W,

W −1

T

= W −1

4. Matice W je permutaˇcn´ı periodick´a matice 4. stupnˇe tˇechto vlastnost´ı: W 4 = N 2E

W2 = NP kde E je jednotkov´a matice a P je permutaˇcn´ı matice s obecn´ ym prvkem

pik =

   1,  

1,

    0,

i=k=0 i+k =N ostatn´i i, k 111

5. Matice W m´a charakteristick´a ˇc´ısla λi =

5.11

√

N,

√ λ2 = − N ,

√ λ3 = −j N ,

√ λ4 = j N

Transformace posunut´ e posloupnosti

Obraz posloupnosti xi posunut´e o ν je roven obrazu p˚ uvodn´ı posloupnosti n´asoben´emu −jνk2π/N e : F {xi−ν } = Xk e−jνk2π/N

5.12

Zpˇ etn´ a transformace posunut´ e posloupnosti

Origin´alem k posunut´emu obrazu Xk−µ je posloupnost xi n´asoben´a exponenci´aln´ı posloupnost´ı ejµi2π/N : F −1 {Xk−µ } = xi ejµi2π/N

5.13

Transformace posloupnosti n´ asoben´ e exponenci´ aln´ı posloupnost´ı

Obraz posloupnosti xi n´asoben´e exponenci´aln´ı posloupnost´ı ejµi2π/N je roven obrazu p˚ uvodn´ı posloupnosti posunut´e o µ: n

o

F xi ejµi2π/N = Xk−µ

5.14

Zpˇ etn´ a transformace posloupnosti n´ asoben´ e exponenci´ aln´ı posloupnost´ı

Origin´alem k posloupnosti Xk n´asoben´e exponenci´aln´ı posloupnost´ı ejνk2π/N je posloupnost xi posunut´e o −ν: 112

n

o

F −1 Xk ejνk2π/N = xi+ν

5.15

Transformace periodick´ e konvoluce

Obraz diskr´etn´ı periodick´e konvoluce zi posloupnost´ı xi a yi je roven souˇcinu jejich obraz˚ u Obraz posloupnosti xi n´asoben´e exponenci´aln´ı posloupnost´ı ejµi2π/N je roven obrazu p˚ uvodn´ı posloupnosti posunut´e o µ: F {zi } = Xk Yk Tuto vˇetu lze vyslovit i takto: Origin´alem k souˇcinu dvou obrazov´ ych posloupnost´ı je diskr´etn´ı periodick´a konvoluce posloupnost´ı origin´al˚ u.

5.16

Zpˇ etn´ a transformace periodick´ e konvoluce obraz˚ u

Origin´alem k periodick´e konvoluci obraz˚ u je N-n´asobek souˇcinu origin´al˚ u: F −1 {Xk ∗ Yk } = N xi yi Tuto vˇetu lze vyslovit i obr´acenˇe: Obraz souˇcinu posloupnost´ı je roven diskr´etn´ı periodick´e konvoluci obraz˚ u tˇechto posloupnost´ı dˇelen´e N: F {xi yi } =

1 Xk ∗ Yk N

113

5.17

Transformace periodick´ e korelace

ρi (x, y) =

N −1 X

xν yν+1 ,

i = 0, 1, . . . , N − 1

ν=0

Obraz diskr´etn´ı periodick´e korelace posloupnost´ı je roven souˇcinu pˇrevr´acen´eho obrazu prvn´ı posloupnosti s obrazem druh´e posloupnosti: F {ρi (x, y)} = X−k Yk Budou-li obˇe posloupnosti re´aln´e, plat´ı: F {ρi (x, y)} = Xk∗ Yk

F {ρi (x, x)} = |Xk |2

5.18

Zpˇ etn´ a transformace periodick´ e korelace

Origin´alem k diskr´etn´ı periodick´e korelaci ρk (X, Y ) obraz˚ u Xk a Yk je N-n´asobn´ y souˇcin pˇrevr´acen´e posloupnosti x−i s posloupnost´ı yi : F −1 {ρk (X, Y )} = N x−i yi

5.19

Souˇ cet ˇ clen˚ u posloupnosti origin´ alu

Souˇcet ˇclen˚ u posloupnosti origin´alu je roven nult´emu ˇclenu posloupnosti obrazu: N −1 X

xi = X0

i=0

114

5.20

Souˇ cet ˇ clen˚ u posloupnosti obrazu

Souˇcet ˇclen˚ u posloupnosti obrazu je roven N-n´asobn´emu nult´emu ˇclenu posloupnosti origin´alu: N −1 X

Xk = N x0

k=0

5.21

Rovnost skal´ arn´ıho souˇ cinu origin´ alu a obrazu (Parsevalova rovnost)

Skal´arn´ı souˇcin posloupnosti xi s posloupnost´ı yi je roven skal´arn´ımu souˇcinu obrazu jedn´e posloupnosti s pˇrevr´acen´ ym obrazem druh´e posloupnosti dˇelen´emu N: N −1 X i=0

5.22

xi yi =

−1 −1 1 NX 1 NX X−k Yk = Xk Y−k N k=0 N k=0

Souvislost mezi obrazem p˚ uvodn´ı a doplnˇ en´ e posloupnosti

ˇ Cleny obrazu Yk doplnˇen´e posloupnosti yi , jejich indexy splˇ nuj´ı podm´ınku k = mN/N pro m = 0, 1, . . . , M − 1, jsou rovny odpov´ıdaj´ıc´ım ˇclen˚ um obrazu Xk p˚ uvodn´ı posloupnosti xi : YmN/M = Xm ,

5.23

m = 0, 1, . . . , M − 1

Souvislost mezi obrazem p˚ uvodn´ı posloupnosti a posloupnosti doplnˇ en´ e na p-n´ asobnou d´ elku

Dopln´ıme-li p˚ uvodn´ı posloupnost d´elky M celkem (p-1 )M nulov´ ymi body na p-n´asobnou d´elku N=pM, pak plat´ı:

115

Ypm = Xm ,

5.24

m = 0, 1, . . . , M − 1

Transformace opakovan´ e posloupnosti

Obraz posloupnosti yi , vytvoˇren´e p-kr´at opakovanou posloupnost´ı xi , je posloupnost Yk , kter´a je rovna p-kr´at zˇredˇen´e posloupnosti pXk .

5.25

Zpˇ etn´ a transformace zˇ redˇ en´ e posloupnosti

Origin´al k posloupnosti Yk , kter´a je p-kr´at zˇredˇenou posloupnost´ı Xk , je posloupnost yi tvoˇren´a p-kr´at opakovanou posloupnost´ı (1/p) xi .

5.26

Transformace zˇ redˇ en´ e posloupnosti

Obrazem posloupnosti, vytvoˇren´e p-kr´at zˇredˇenou posloupnost´ı xi , je posloupnost, kter´a je rovna p-kr´at opakovan´emu obrazu p˚ uvodn´ı posloupnosti.

5.27

Zpˇ etn´ a transformace opakovan´ e posloupnosti

Origin´alem k posloupnosti, tvoˇren´e p-kr´at opakovanou posloupnost´ı, je p-kr´at zˇredˇen´a posloupnost xi .

116

Kapitola 6 Hudebn´ı akustika 6.1

V´ yˇ ska t´ onu

Charakteristick´ ym rysem t´on˚ u je periodick´ y pr˚ ubˇeh, tj. f (t) = f (t + T ) Nejjednoduˇsˇs´ı periodick´ y pr˚ ubˇeh je moˇzno vyj´adˇrit vztahem f (t) = A sin (ωt) = A sin (2πf t) Tato rovnice plnˇe charakterizuje tak zvan´ y ˇcist´y (sinusov´ y) t´ on, kter´ y jako pˇrirozen´ y neexistuje. Nejv´ıce se mu bl´ıˇz´ı t´on fl´etny a varhan. Obecnˇe se setk´av´ame s t´ony sloˇzen´ ymi f (t) =

X

An sin (2πnf t + ϕn )

n

kter´e se vyznaˇcuj´ı ”barvou”. Rozezn´av´ame dvˇe formy v´ yˇsky: 1. v´ yˇ ska absolutn´ı, Je d´ana pˇr´ımo kmitoˇctem. 117

2. v´ yˇ ska relativn´ı, Vyjadˇruje hudebn´ı interval mezi zkouman´ ym a z´akladn´ım t´onem. Jako z´akladn´ı interval hudebn´ıch syst´em˚ u se obvykle bere okt´ ava, pro kterou plat´ı: f2 =2 f1 I v oblasti vn´ım´an´ı v´ yˇsky se uplatˇ nuje Weber˚ uv-Fechner˚ uv z´akon, proto je v´ yhodn´e do vyjadˇrov´an´ı hodnoty frekvence zav´adˇet logaritmus (logaritmick´a stupnice na ose frekvence).

118

6.1.1

Dˇ elen´ı akustick´ eho a hudebn´ıho p´ asma Fyzik´aln´ı akustika

Referenˇcn´ı kmitoˇcet: 1000Hz Srovn´avac´ı t´on: 125Hz T´onov´a hladina (F):

F = log2

f f = 3.32 log10 f0 f0

[octa]

V tomto dˇelen´ı jsou realizov´any i rozsahy mˇeˇric´ıch elektroakustick´ ych zaˇr´ızen´ı. Pro potˇrebu podrobnˇejˇs´ıch anal´ yz se okt´avov´a p´asma d´ale dˇel´ı na ˇradu p´asem tˇretino-okt´avov´ ych, pro pˇresn´a melodick´a mˇeˇren´ı se zav´ad´ı centiokt´ava:

1[cocta] =

1 [octa] 100

Oznaˇcen´ı okt´avy Kmitoˇcet [Hz] -3

16

-2

31.5

-1

63

0

125

1

250

2

500

3

1000

4

2000

5

4000

6

8000

7

16000

Hudebn´ı akustika Komorn´ı a (a1 ): 440Hz

119

N´azev okt´avy

Z´akladn´ı t´on

Kmitoˇctov´e p´asmo [Hz]

Subkontra okt´ava

C2

16.6-30.94

Kontra okt´ava

C1

33-61.88

Velk´a okt´ava

C

66-123.35

Mal´a okt´ava

c

132-247

Jednoˇc´arkovan´a okt´ava

c

1

264-495

Dvouˇc´arkovan´a okt´ava

c2

528-990

Tˇr´ıˇc´arkovan´a okt´ava ˇ Ctyˇrˇc´arkovan´a okt´ava

c

3

1056-1980

c

4

2122-3960

Pˇetiˇc´arkovan´a okt´ava

c5

4224-7920

t´on z´akladn´ı (prvn´ı harmonick´a) t´ony alikv´otn´ı (vyˇsˇs´ı harmonick´e)

120

6.1.2

Vn´ım´ an´ı absolutn´ı v´ yˇ sky

Vn´ım´an´ı v´ yˇsky nen´ı pouze funkc´ı kmitoˇctu, ale z´avis´ı i na intenzitˇe. Nerovnomˇern´a citlivost sluchu na kmitoˇctov´e zmˇeny. Na intonaˇcn´ı zmˇeny je ucho nejcitlivˇejˇs´ı v oblasti 2000-2500 Hz. Vn´ım´an´ı intonaˇcn´ıch zmˇen z´avis´ı t´eˇz na ˇcasu poslechu. Vn´ım´an´ı v´ yˇsky je ovlivˇ nov´ano i neline´arn´ım zkreslen´ım ve sluchov´em org´anu. Subjektivnˇe slyˇs´ıme i neexistuj´ıc´ı kombinaˇcn´ı t´ony (diferenˇcn´ı a sumaˇcn´ı).

6.1.3

Relativn´ı v´ yˇ ska t´ onu, hudebn´ı interval

ˇ Rada intervalov´ ych stupˇ n˚ u je geometrick´a, coˇz odpov´ıd´a i fyziologick´ ym z´akon˚ um vn´ım´an´ı. Plat´ı, ˇze: • prvn´ı harmonick´a (f1 = f ) je z´akladn´ım t´onem • druh´a harmonick´a (f2 = 2f ) je okt´ava • tˇret´ı harmonick´a (f3 = 3f ) je kvinta pˇrenesen´a o okt´avu v´ yˇse • ˇctvrt´a harmonick´a (f4 = 4f ) je t´on o dvˇe okt´avy v´ yˇse Z´akladn´ı pravidla pro poˇc´ıt´an´ı s relativn´ımi v´ yˇskami: 1. Prov´ad´ıme-li souˇcet interval˚ u, pak v´ ysledn´a relativn´ı v´ yˇska je d´ana souˇcinem d´ılˇc´ıch relativn´ıch v´ yˇsek. 2. Urˇcujeme-li rozd´ıl interval˚ u, pak v´ ysledn´a relativn´ı v´ yˇska je d´ana pod´ılem relativn´ıch v´ yˇsek.

6.2

Barva t´ onu

zvukov´a spektra ˇcist´ y t´on (t´on bez barvy) 121

vyˇsˇs´ı harmonick´e (rozd´ıln´ yu ´ˇcinek sud´ ych a lich´ ych sloˇzek) neharmonick´e kmitoˇcty (subharmonick´e, kombinaˇcn´ı, obecn´e) pˇrechodov´e jevy (ustˇriˇzen´ı poˇc´atku, reprodukce pozp´atku)

122

6.3

Hudebn´ı soustavy a stupnice

Probl´em: Jak rozdˇelit interval okt´avy?

6.3.1

Soustava Pythagorejsk´ a (kvintov´ a)

Z´akladem je postup kvint ( 32 ).

sekunda

9/8

(kvinta+kvinta-okt´ava)

kvarta

4/3

(kvinta-sekunda)

sexta

27/16

(sekunda+kvinta)

tercie

81/64

(sexta+kvinta-okt´ava)

septima

243/128 (tercie+kvinta)

123

6.3.2

Soustava didymick´ a (harmonick´ a)

Z´akladem je pohyb kvinty ( 32 ) a ˇcist´e tercie ( 54 ). sexta

5/3

(kvarta+tercie)

septima

15/8 (kvinta+tercie)

124

6.3.3

Rovnomˇ ernˇ e temperovan´ e ladˇ en´ı

Dˇelen´ı na 12 p˚ ult´on˚ u je provedeno ˇcistˇe matematicky, tedy okt´ava ≡ a =12

√

2 = 1.05946

Mezi temperovan´e n´astroje patˇr´ı: • kl´avesov´e n´astroje, • cimb´al, • xylofon, vibrafon, zvonkov´a hra. Bach: Dobˇre temperovan´ y klav´ır

6.3.4

Centov´ a stupnice

Slouˇz´ı pro pˇresn´e vyj´adˇren´ı intonaˇcn´ıch rozd´ıl˚ u. Okt´ava obsahuje 1200 cent˚ u. Z´akladn´ı vztah pro relativn´ı v´ yˇsku intervalu: f2 = 2x/1200 f1

125

2 1

= a12

6.4

6.4.1

Akustick´ a v´ ystavba hudby

Akustick´ e vlastnosti pˇ eveck´ eho hlasu

126

6.5

Hudebn´ı n´ astroje pohledem akustika

Podle funkce jednotliv´ ych d´ıl˚ u hudebn´ıho n´astroje: • vibr´ator, • gener´ator, • amplifik´ator. Podle vzniku t´on˚ u: • chordofony, • aerofony, • membr´anofony, • idiofony, • elektrofonick´e n´astroje.

127

Rozdˇelen´ı hudebn´ıch n´astroj˚ u ´ ´ VIBRATOR GENERATOR

´ HUDEBN´I AMPLIFIKATOR ´ NASTROJE

smyˇcce CHORDOFONY struny prsty (drnk´an´ı) trs´atko klad´ıvkov´a mechanika drnkac´ı konstrukce paliˇcky (lˇziˇckov´e)

housle, viola, violoncello, rezonanˇcn´ı skˇr´ıˇ nkontrabas harfa, kytara mandol´ına, banjo klav´ır, piano cembalo cimb´al

n´au ´stek se rtem fl´etna, pikola jaz´ yˇcek (tˇrtinov´ y klarinet, pl´atek) basklarinet, AEROFONY vzduchov´ y sloupec rezonanˇcn´ı tˇeleso,popˇ r. skˇr´ıˇ n saxofon strojek hoboj, fagot (dvoupl´atkov´ y) n´atrubek tromba, pozoun, tuba, lesn´ı roh kovov´e jaz´ yˇcky harmonium, harmonika vˇsechny typy varhany retn´ ych i jaz´ yˇckov´ ych gener´ator˚ u

128

kotel kovov´ y v´alec

paliˇcky napnut´ abl´ana ´ MEMBRANOFONY

v´alec, nˇekdy soudek

rukou

napnut´a bl´ana s pl´ıˇsky dˇrevˇen´e destiˇcky

paliˇcky (lˇziˇckovit´e) klad´ıvkov´a kovov´e pl´atkymechanika IDIOFONY paliˇcky (oplstˇen´e) klad´ıvkov´e paliˇcky rourov´e paliˇcka tyˇce ocelov´a tyˇc kovov´a tyˇcinka kovov´e paliˇcka, desky vz´ajemn´ yu ´der (vypoukl´e) kovov´e paliˇcka desky (ohnut´e)

129

tymp´any velk´ y buben, mal´ y buben tom-tom, bongo-bongo, ˇc´ınsk´ y buben tambur´ına

xylofon celesta rezonanˇcn´ı roury vibrafon zvonkov´a hra zvony triangl tam-tam, ˇcinely

gong