Slezsk´ a univerzita v Opavˇ e Matematick´ yu ´stav v Opavˇ e Na Rybn´ıˇ cku 1 746 01 Opava Tel. 553 684 661
´ GEOMETRIE ANALYTICKA T´ema 3. Afinn´ı zobrazen´ı Opakov´ an´ı Dˇelic´ı pomˇer; Homomorfismus vektorov´ ych prostor˚ u, jeho j´ adro a obraz (Ker a Im); Transformace souˇradnic v afinn´ım prostoru; Line´ arn´ı zobrazen´ı vektorov´ ych prostor˚ u, charakteristick´ y polynom, vlastn´ı vektory a vlastn´ı ˇc´ısla;
Z´ akladn´ı pojmy Afinn´ı zobrazen´ı, jeho regularita a (tot´ aln´ı) singularita. Asociovan´ y homomorfismus. Analytick´e vyj´ adˇren´ı afinn´ıho zobrazen´ı vzhledem ke zvolen´ ym afinn´ım rep´er˚ um. Samodruˇzn´e body a vlastn´ı vektory afinn´ıho zobrazen´ı. Afinn´ı transformace a jej´ı modul. Pˇr´ım´a, nepˇr´ım´a a unimodul´ arn´ı afinita. Afinn´ı grupa. Homotetie, translace, stejnolehlost a jejich analytick´e vyj´ adˇren´ı. Z´ akladn´ı afinity v rovinˇe a v prostoru, rovnobˇeˇzn´ a projekce, elace, involuce, jejich charakteristiky.
Z´ akladn´ı tvrzen´ı Vˇeta o urˇcenosti afinn´ıho zobrazen´ı. Vˇeta o inverzi afinn´ıho zobrazen´ı.
Z´ akladn´ı u ´ lohy Zaps´an´ı analytick´ ych rovnic afinn´ıho zobrazen´ı. Nalezen´ı samodruˇzn´ ych bod˚ u a vlastn´ıch vektor˚ u afinn´ıho zobrazen´ı. V´ ypoˇcet modulu afinity, zaps´ an´ı rovnic inverzn´ı afinity. Zaps´ an´ı rovnic homotetie. Klasifikace afinit na pˇr´ımce, v rovinˇe a v prostoru.
Literatura [1] K. Burian, Kapitoly z geometrie, I. d´ıl (PˇrF OU, Ostrava, 1996) 274 s. (Kapitola 3.) ˇa ´, L. Markova ´, H. Z ´kova ´, Cviˇcen´ı z geometrie, II. d´ıl (PˇrF UP, Olomouc, [2] J. Jachanova 1989) 121 s. [3] J. Janyˇ ska, Afinn´ı zobrazen´ı (Uˇcebn´ı texty PˇrF MU v Brnˇe) 47 s. Elektronick´ a edice: http://www.math.muni.cz/~janyska/skripta.html ˇ ˇek, M. Koc ˇandrle, J. Sediv ´, Geometrie, II. d´ıl (SPN, Praha, 1988) [4] M. Sekanina, L. Boc y 307 s.
1
Pˇr´ıklady k rˇeˇsen´ı 1 Rovnice afinn´ıho zobrazen´ı 1.1. Urˇcete rovnice afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A2 , zn´ ate-li souˇradnice bod˚ u Pi ∈ A2 a jejich obraz˚ u f (Pi ) ∈ A2 , pro i = 0, 1, 2, vzhledem k pevnˇe zvolen´emu afinn´ımu rep´eru: (a) P0 = [1, −1], P1 = [−1, 0], P2 = [3, −3], f (P0 ) = [4, −9], f (P1 ) = [1, 1], f (P2 ) = [6, −23]. (b) P0 = [3, 0], P1 = [2, 1], P2 = [−1, 4], f (P0 ) = [1, 0], f (P1 ) = [2, −1], f (P2 ) = [−1, 1]. 1.2. Napiˇste rovnice afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A3 , zn´ ate-li souˇradnice tˇr´ı bod˚ u v A2 a jejich obraz˚ u: (a) P = [0, 0], Q = [1, 0], R = [0, 1], f (P) = [1, 0, 0], f (Q) = [0, 1, 0], f (R) = [0, 0, 1]. (b) P = [1, 0], Q = [0, 1], R = [1, 1], f (P) = [1, 4, −2], f (Q) = [−1, 4, −1], f (R) = [0, 5, −1]. 1.3. Naleznˇete obecn´e vyj´ adˇren´ı obraz˚ u souˇradnicov´ ych os pˇri zobrazen´ı f , kter´e m´a rovnice (a) x = 2x − y + 1, y = x + 2y + 3. (b) x = 3x − y + 6, y = 3y + 4. 1.4. Afinn´ı zobrazen´ı f : A2 → A3 m´a vzhledem k pevnˇe zvolen´ ym afinn´ım rep´er˚ um rovnice x = x − y, y = x + y + 3, z = y. Vypoˇc´ıtejte souˇradnice obrazu poˇc´atku zvolen´eho rep´eru A2 a vzoru poˇc´atku rep´eru A3 . Naleznˇete obrazy souˇradnicov´ ych os rep´eru A2 . 1.5. Vzhledem k pevnˇe zvolen´e afinn´ı soustavˇe souˇradnic v A3 je d´ ano afinn´ı zobrazen´ı f rovnicemi x = x + 2z + 1, y = 2y + 2z + 2, z = −x + y − z + 3. Urˇcete obrazy pˇr´ımek p, q, jestliˇze (a) p : P = [1, −2, 0]; u = (−2, −1, 1), q : Q = [0, −1, 3]; v = (4, −2, 1). (b) p : P = [−1, 1, 1]; u = (1, 1, 1), q : Q = [−1, −1, 0]; v = (3, 2, −1). 1.6. Urˇcete rovnice afinn´ıho zobrazen´ı f : An → An , jestliˇze jsou vzhledem k pevnˇe zvolen´e afinn´ı b´ azi v An zad´ any obrazy ϕ(ui ), i = 1, . . . , n, vektor˚ u ui v asociovan´em line´arn´ım zobrazen´ı ϕ k zobrazen´ı f a je d´ an obraz f (B) = B dan´eho bodu B. (a) u1 = (2, −1), u2 = (1, 2), ϕ(u1 ) = (3, −2), ϕ(u2 ) = (4, −1), B = [−1, 1], B = [0, 3]. (b) u1 = (−1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 1, 1), ϕ(u1 ) = (−1, 1, 4), ϕ(u2 ) = (1, 0, −3), ϕ(u3 ) = (1, 1, −1), B = [0, 1, 1], B = [0, 1, 3]. 1.7. Najdˇete rovnice afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A2 vzhledem k afinn´ı b´ azi P; e1 , e2 , jestliˇze je d´ an obraz poˇc´atku a pro obrazy b´ azov´ ych vektor˚ u plat´ı: ϕ(e1 ) + 2ϕ(e2 ) = 3e1 + 2e2 ; f (P) = [1, 1]. (a) ϕ(e1 ) − ϕ(e2 ) = −e2 , (b) ϕ(e1 ) = e1 − 2e2 , ϕ(e1 ) + 2ϕ(e2 ) = e1 ; f (P) = [0, 0]. (c) ϕ(e1 ) = −e2 , 2ϕ(e1 ) + ϕ(e2 ) = e1 ; f (P) = [−1, 2]. 2
1.8. Napiˇste maticovou rovnici afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A2 vzhledem k afinn´ı b´ azi R = P; e1 , e2 , jsou-li zad´ any obrazy b´ azov´ ych vektor˚ u v asociovan´em line´arn´ım zobrazen´ı ϕ a obraz jednoho bodu: (a) ϕ(e1 ) = (1, 1), ϕ(e2 ) = (−1, 1), a obrazem bodu B = [1, 1] je bod B = B. (b) ϕ(e1 ) = (0, −1), ϕ(e2 ) = (1, 2), f (P) = [−1, 2].
2 Samodruˇ zn´ e prvky afinn´ıch zobrazen´ı 2.1. Urˇcete samodruˇzn´e body a samodruˇzn´e smˇery afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A2 jestliˇze vzhledem k pevnˇe zvolen´emu afinn´ımu rep´eru plat´ı: P = [0, 0], Q = [1, 0], R = [0, 1], f (P) = P, f (Q) = R, f (R) = Q. 2.2. Vyˇsetˇrete vlastnosti afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A2 , kter´e je vzhledem ke kanonick´emu afinn´ımu rep´eru d´ ano rovnicemi x = 3x − 2y + 2, y = 2x − y + 2. 2.3. Urˇcete samodruˇzn´e body a samodruˇzn´e smˇery afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A2 , kter´e m´a vzhledem k pevnˇe zvolen´emu afinn´ımu rep´eru rovnice: (a) x = 2x − y + 1, y = x + 2y + 3. (b) x = 3x − y + 6, y = 3y + 4. 1 (c) x = x + 3 y, y = 13 y. (d) x = y, y = x. 2.4. Urˇcete samodruˇzn´e body a samodruˇzn´e smˇery afinn´ıho zobrazen´ı f : A3 → A3 , kter´e m´a vzhledem k pevnˇe zvolen´emu afinn´ımu rep´eru rovnice: (a) x = x − y + 2z − 7, y = y + z − 5, z = x − 2y + z − 6. (b) x = −x − 2y, y = −3x − 2y, z = 2x + 2y + z. (c) x = 3x + y − z + 2, y = y, z = 2x + y + 2. (d) x = 3x + 1, y = 3y, z = 3z − 1. (e) x = x, y = y − 5, z = z + 2. (f) x = 2x + y + z − 1, y = y, z = z. 2.5. Najdˇete samodruˇzn´e body a samodruˇzn´e smˇery afinity f zadan´e rovnicemi x = 9x + 4y − 2,
y = 2x + y + 1.
Urˇcete o jakou afinitu jde.
√ 2.6. Napiˇste rovnice afinn´ıho zobrazen´ı prostoru A3 do sebe, v nˇemˇz je bod A = [ 2 , 0, 0] arn´ıho samodruˇzn´ y a vektory u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, −1, 0) jsou vlastn´ımi vektory asociovan´eho line´ zobrazen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu 2, zat´ımco vektor v = (0, 1, 2) se zobraz´ı na vektor opaˇcn´ y. (a) A = [1, 0, 2]; u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), λ1,2 = 2; u3 = (0, 1, 2), λ3 = −1. 2.7. Napiˇste rovnice afinn´ıho zobrazen´ı f roviny A2 do sebe, jsou-li pˇr´ımky o rovnic´ıch 2x−y+3 = 0 a x − y + 2 = 0 silnˇe samodruˇzn´e a jestliˇze bod M = [−1, 0] se zobraz´ı do bodu f (M) = [1, 2]. 2.8. Napiˇste maticovou rovnici afinn´ıho zobrazen´ı f : A2 → A2 vzhledem k afinn´ı b´ azi R = P; e1 , e2 , jsou-li zad´ any obrazy b´ azov´ ych vektor˚ u ϕ(e1 ) = (1, 1), ϕ(e2 ) = (−1, 1), a obrazem bodu B = [1, 1] je bod B = B. Naleznˇete d´ale samodruˇzn´e prvky zobrazen´ı f .
3 Modul afinn´ıho zobrazen´ı 3.1. Zjistˇete jsou-li zobrazen´ı f z pˇr´ıklad˚ u 2.1.–2.7. afinn´ı transformace. Pokud ano, rozhodnˇete jedn´ a-li se o afinity pˇr´ım´e ˇci nepˇr´ım´e. 3
3.2. Jsou d´ any rovnice dvou afinit f, g roviny A2 vzhledem k jej´ımu kanonick´emu rep´eru: f : x = 2x − y + 1, y = x + y + 3, (b) f : x = 2x − y + 1, y = x + 2y + 3, (c) f : x = x + 13 y,
(a)
y =
1 3
g : x = x + 4y − 1 y = x + 2y. g : x = 3x − y + 6 y = 3y + 4. g : x = 3x + 1 y = 3y.
y,
Napiˇste rovnice afinit f ◦ g, g ◦ f, f −1 , g −1 . 3.3. Urˇcete samodruˇzn´e body a vlastn´ı smˇery afinn´ıho zobrazen´ı f −1 : An → An , jestliˇze je zobrazen´ı f zad´ ano rovnicemi: (a) x = x + 3, y = 2y. (b) x = x + 1, y = 2x + 13 y + 2z, z = 12 z − 1. (c) x = x + 1, y = 2x + 2y + 2z, z = 2z + 1. (d) x = 2x − 2z, y = x + z + 1, z = x + y − 3. Zjistˇete je-li zobrazen´ı f −1 pˇr´ımou afinitou.
4 Homotetie 4.1. Napiˇste analytick´e vyj´ adˇren´ı identity prostoru A4 . 4.2. Napiˇste analytick´e vyj´ adˇren´ı translace prostoru An o vektor (a) u1 = (1, 2, 3); (b) u2 = (−1, 0, 1); (c) v = (1, 1, 1, 0). 4.3. Napiˇste analytick´e vyj´ adˇren´ı translace v A5 , kter´ a zobraz´ı bod A = [0, 1, 0, 1, 0] na bod B = [1, 0, 1, 0, 1]. 4.4. Napiˇste rovnice stejnolehlosti h(S, 3) v A3 , kter´ a zobraz´ı bod A = [−2, 0, 1] do bodu A = [0, −1, −3]. Najdˇete stˇred stejnolehlosti. 4.5. Napiˇste rovnice stejnolehlosti v A3 zobrazuj´ıc´ı bod A = [2, 0, 3] do bodu A = [4, 1, 0] a bod a a, b ∈ R m´a u ´loha ˇreˇsen´ı? B = [1, 1, 1] do bodu B = [0, a, b]. Pro kter´ 4.6. Napiˇste analytick´e vyj´ adˇren´ı stejnolehlost´ı s1 a s2 v An a urˇcete jejich stˇredy a koeficienty, jestliˇze s1 zobraz´ı A → C a B → D a s2 zobraz´ı A → D a B → C. Body A, B, C, D ∈ An maj´ı vzhledem ke zvolen´emu afinn´ımu rep´eru souˇradnice: (a) A = [1, 1], B = [1, 0], C = [3, 1], D = [3, −2]; (b) A = [1, 2], B = [3, 6], C = [2, 4], D = [−1, −1]; (c) A = [0, 1], B = [1, 0], C = [0, 0], D = [2, −1]; (d) A = [1, 0], B = [4, 0], C = [2, 1], D = [−1, 1]; (e) A = [0, 0, 0], B = [1, 0, 0], C = [0, 0, −2], D = [2, 0, −2]; (f) A = [3, 0, −6], B = [1, −2, −8], C = [0, 0, 0], D = [1, 1, 1]. 4.7. Mˇejme d´anu stejnolehlost s se stˇredem S = [1, 2, 1] a koeficientem κ = −2 a posunut´ı t o vektor u = (−1, 1, 1). Naleznˇete rovnice zobrazen´ı s−1 , s ◦ t, t ◦ s a s−1 ◦ t ◦ s. Urˇcete o jak´ y druh afinity (homotetie) se v tˇechto pˇr´ıpadech jedn´ a.
5 Z´ akladn´ı afinn´ı zobrazen´ı, osov´ e afinity 5.1. Urˇcete rovnice rovnobˇeˇzn´e projekce afinn´ıho prostoru A3 do roviny ρ ⊂ A3 ve smˇeru urˇcen´em vektorem s, kde (a) ρ : 2x + y − z + 2 = 0, s = (0, 1, 0), (b) ρ : x + z − 6 = 0, s = (0, 1, 1), 4
(c) ρ : 6x − 3y + z + 4 = 0, s = (2, 3, −2), (d) ρ : x + 2y − z + 5 = 0, s = (1, 2, 4). 5.2. Rozhodnˇete zda je afinn´ı zobrazen´ı zadan´e rovnicemi x = 3x − 2y + 2, y = 2x − y + 2 osov´a afinita. Pokud ano, zjistˇete zda jde o elaci. 5.3. Ukaˇzte, ˇze je zobrazen´ı f zadan´e rovnicemi x = 2x − 3y + 2, y = x + y + 3, osovou afinitou v A2 . Naleznˇete jej´ı osu, smˇer a charakteristiku. 5.4. Zjistˇete zda je afinita f na An o rovnic´ıch (a) x = 3x + 2y + 1, y = −4x − 3y − 2, (b) x = x, y = 5x − y + 4, (c) x = −x + 1, y = −y + 15, (d) x = −y + z, y = y, z = x + y, involutorn´ı. 5.5. Napiˇste rovnice afinity f v A3 , jej´ıˇz samodruˇzn´e body tvoˇr´ı rovinu ρ o rovnici x + y − z = 0 a bod B = [1, 0, 2] se zobraz´ı do bodu f (B) = [2, 0, 1]. 5.6. Rozloˇzte afinitu f zadanou rovnicemi (a) x = 2x − y + 1, y = x + y + 3; (b) x = 2y, y = x na osov´e afinity.
5
