Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 26 (1999)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 26 (1999) 121–126

´ ES ´ TANULSAGAI ´ EGY FELMER ´ Sashalmin´ e Kelemen Eva (EKTF, Hungary) Abstract: In this paper we are analyzing a proficiency test written by mathematics major college students. It is obvious by the test that the clarification of the rudiments of logic are needed.

N´ eh´ any megjegyz´ es az els˝ o´ evfolyamos matematika szakos tan´ ark´ epz˝ o f˝ oiskolai hallgat´ ok logikai ismereteir˝ ol A f˝ oiskolai hallgat´ ok t¨ obb´eves oktat´ asa (geometria, logika, elemi matematika) sor´an szerzett negat´ıv tapasztalataim k´esztettek arra, hogy felm´er´eseket k´esz´ıtsek az int´ezm´eny¨ unkbe beker¨ ul˝ o hallgat´ ok logikai ismereteir˝ol. Dr. R´edling Elem´ernek a Kand´ o K´ alm´an Villamosipari M˝ uszaki F˝ oiskol´ an a logikai fogalmak t´emak¨ or´eben v´egzett felm´er´es´et ([2]) olvasva, kiv´ ancsi voltam arra, hogy a leend˝ o matematikatan´ arok milyen alapokkal rendelkeznek. Az els˝o felm´er´est 1993-ban k´esz´ıtettem az akkori els˝o ´evfolyam fel´evel, 65 hallgat´ oval. Ekkor a logika oktat´ asa az els˝o ´ev els˝o f´el´ev´eben t¨ ort´ent, ´ıgy k´epet kapva arr´ol, hogy melyek a f˝ obb hi´ anyoss´agok, tudtam, hogy mire kell koncentr´alni az anyag t´ argyal´ asakor. 1994-t˝ ol a ,,Halmazelm´elet ´es matematikai logika” el˝ oad´ asai a harmadik ´evre ker¨ ultek, s az alapvet˝o logikai fogalmakat a hallgat´ ok az els˝o ´evfolyamon, az anal´ızis, ill. algebra t´ argyak keret´en bel¨ ul ismerik meg. 1996-ban az els˝ o´eves hallgat´ oknak egy jobb k´epess´eg˝ u csoportj´ aval ism´et meg´ırattam a felm´er˝ot (az els˝o elemi matematika gyakorlaton). Tanuls´ agok Miel˝ott a felm´er´eseket elemezn´em, szeretn´em r´eszletesebben megindokolni, hogy az eredetileg csak a saj´ at munk´ amat el˝ oseg´ıt˝ o elemz´est mi´ert tartom sz¨ uks´egesnek k¨ ozz´etenni. A matematika szakra jelentkez˝o di´ akok k´epess´ege, felk´esz¨ ults´ege ´evek o´ta egyre gyeng´ebb, s ez nem csak f˝ oiskol´ ankon van ´ıgy.[4] K´es˝obbi visszajelz´esek alapj´ an tudjuk, hogy sok k¨ ozepes k´epess´eg˝ u, de szorgalmas hallgat´ onkb´ ol j´ o, lelkiismeretes tan´ ar lett, teh´ at megfelel˝o alapokkal ´es kell˝ o szorgalommal a matematika szak elv´egezhet˝o. Az ut´ obbi p´ ar ´evben azonban egy egyre er˝ os˝ od˝ o negat´ıv tendencia figyelhet˝ o meg a hallgat´ oink k¨ or´eben. Az els˝o p´ ar h´et, h´ onap ut´ an, mivel van r´a lehet˝ os´eg, leadj´ ak a matematika szakot, nem gondolva a k¨ ovetkezm´enyekkel, hogy egy szakos fizika, k´emia, f¨ oldrajz (!) stb. szakos tan´ ark´ent hogyan tudnak majd elhelyezkedni.

122

Sashalmin´e

A szaklead´ as egyik oka a k¨ oz´episkolai ´es a f˝ oiskolai matematika tanul´ as, tanul´ asi m´odszer k¨ ozti k¨ ul¨ onbs´eg. Egy hallgat´ o konkr´etan meg is fogalmazta a l´enyeget. Elmondta nekem, hogy o˝ az´ert v´ alasztotta ezt a szakot, mert szerette a matematik´at, ´es ezt nem kellett tanulni a k¨ oz´episkol´ aban. Itt a f˝ oiskol´ an viszont sokat kell tanulni, o˝ nem erre sz´am´ıtott! A t¨ obbs´egnek val´ oban gondot okoz a defin´ıci´ ok, t´etelek, bizony´ıt´ asok, ,,´ertelmes” elsaj´ at´ıt´ asa. Vannak akik bemagolj´ak az anyagot (m´eg az a´br´ azol´ o geometriai szerkeszt´eseket is !), de ha belek´erdez a tan´ ar az egyes l´ep´esek mi´ertj´ebe, ,,elvesznek”. Nem tudnak matematik´at tanulni; nem tudj´ ak megragadni a defin´ıci´ ok l´enyeg´et, nem l´ atj´ ak a k¨ ul¨ onbs´eget t´etel ´es defin´ıci´ o k¨ oz¨ ott, stb. M´eg rosszabb a helyzet a nem matematika szakosok matematika oktat´ as´ an´ al. A gazdas´ agismeret, a sz´am´ıt´ astechnika stb. szakosok matematika tan´ıt´ as´ aval kapcsolatos probl´em´akra itt nincs m´od b˝ ovebben kit´erni, de a neh´ezs´egeket jelezheti az a t´eny, hogy a sz´am´ıt´ astechnika szakra jelentkez˝ok t¨ obs´ege nem is tudja, hogy neki a felv´etel ut´ an egy ´evig matematik´at is kell tanulnia. (Nem egy t¨ ort´enelem— sz´am´ıt´ astechnika szakos ,,dicsekedett” m´ar nekem azzal, hogy kettesre ´eretts´egizett matematik´ab´ ol). K¨ ul¨ on cikk t´em´aja lehetne az itt alkalmazhat´o m´odszerek t´ argyal´ asa, ugyanis elgondolkodtat´ oak a V´ızv´ ari B´ela [4] a´ltal le´ırtak, azaz hogy ha egy ilyen szaknak a fel´et kibuktatja egy matematikus el˝ oad´ o, akkor elt˝ unik egy m´asik szak adott ´evfolyamra es˝o k¨ olts´egvet´esi t´ amogat´as´ anak a fele. Visszat´erve a logikai alapokhoz, az a´ltal´ anos iskolai oktat´ asn´ al kell kezden¨ unk. A logika elemeinek tan´ıt´ asa ´evek o´ta szerepel a tantervben, de el´egg´e elsikkad a tan´ıt´ as sor´an. T¨ obb tan´ıtv´ anyom is ´ırt szakdolgozatot arr´ol, hogy a logika elemei hogyan tal´ alhat´ ok meg, dolgozhat´ ok f¨ ol az a´ltal´ anos iskolai anyagban. N´eh´ anyan ´ırattak felm´er˝oket is, (f˝ oleg nyolcadik oszt´alyban) ´es sajnos az ott tapasztalt negat´ıvumok j´ o r´esze jelentkezik a f˝ oiskolai hallgat´ okn´ al is. Gondot jelentett p´eld´ aul n´eh´ any esetben a´ll´ıt´ asok tagad´ as´ anak megfogalmaz´asa; ez m´eg a hallgat´ oinkn´ al is ´ıgy van, hiszen sokuk szerint a ,,Mindenki tud u ´ szni” a´ll´ıt´ as tagad´ asa a ,,Senki sem tud u ´ szni”. (Hogyan ´ep¨ ulhet erre az indirekt bizony´ıt´ as?). Probl´em´as volt m´eg a ,,ha . . . akkor” t´ıpus´ u a´ll´ıt´ asok ´es megford´ıt´ asuk vizsg´ alata. Sokan azonosnak tekintik a kett˝ot, az implik´ aci´ o (kondicion´ alis) ´es az ekvivalencia (bikondicion´ alis) k¨ oz¨ otti k¨ ul¨ onbs´eget jobban kellene hangs´ ulyozni. ( A nem matematika szakosokn´ al gyakori, hogy az eml´ıtett tipus´ u a´ll´ıt´ asokban az ,,akkor”-t id˝ ohat´ aroz´ok´ent fogj´ ak fel s kezdenek u ´ gy defin´ıci´ ot, hogy pl. ,,Egy sorozat konvergens ,akkor amikor . . . ”). A felm´er´esekb˝ ol is kider¨ ult, hogy sz¨ uks´eg lenne a bizony´ıt´ asi ig´eny felkelt´es´ere a nyolcadik oszt´alyban; sok tanul´ o csak ,,meg´erz´es alapj´ an” pr´ ob´ alta megoldani a feladatokat, nehezen tudta le´ırni, indokolni a gondolatmenet´et. J´ at´ekos, egyszer˝ ubb feladatokkal ez is gyakorolhat´ o.[1] A k¨ oz´episkola elv´egz´ese ut´ an a di´ akoknak a defin´ıci´ ok, t´etelek, a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o bizony´ıt´ asi m´odszerek l´enyeg´evel tiszt´aban kellene lenni¨ uk, az els˝o ´eves hallgat´ ok k¨ or´eben v´egzett, a bevezet˝oben eml´ıtett vizsg´ alatok azonban azt mutatt´ ak, hogy nem mindenkin´el vil´ agosak ezek a fogalmak.

Egy felm´er´es tanuls´ agai

123

Az els˝o o´r´ an (45 perc alatt) meg´ıratott felm´er˝o t´ız feladatb´ ol a´llt, melyeket u ´ gy v´ alogattam, hogy meglehet˝osen a´tfog´ o k´epet kapjak a di´ akok logikai ismereteir˝ol. A r´eszletesebb elemz´es az 1992-ben ´ıratott anyagra vonatkozik. 1. Egy egyenes mer˝oleges egy s´ıkra, ha a s´ık minden egyenes´ere mer˝oleges. Fejezze be a k¨ ovetkez˝o mondatot u ´ gy, hogy az el˝ oz˝ o tagad´ asa legyen! Egy egyenes nem mer˝oleges a s´ıkra, ha . . . A megold´asok t¨ obb mint fele rossz volt. A kieg´esz´ıt´esek t¨ obbs´eg´eben a ,,. . . ha a s´ık egyik egyenes´ere sem mer˝oleges” megfogalmaz´ast ´ırt´ak. 2. Az al´ abbi a´ll´ıt´ asok k¨ oz¨ ul melyek igazak? Melyek egym´ as megford´ıt´ asai? (a) Az egybev´ ag´ o h´ aromsz¨ogek egyenl˝ o ter¨ ulet˝ uek. (b) Ha a h´ aromsz¨ogek nem egyenl˝ o ter¨ ulet˝ uek, akkor nem egybev´ ag´ oak. (c) Ha a h´ aromsz¨ogek egyenl˝ o ter¨ ulet˝ uek,akkor egybev´ ag´ oak. A logikai ´ert´ek´et 80%-uk j´ ol hat´ arozta meg, ami a k´erd´esek egyszer˝ u geometriai h´ atter´et tekintve nem j´ o ar´ any. A m´asodik k´erd´esre a hallgat´ ok t¨ obb mint fele (!) azt v´ alaszolta, hogy az (a) kijelent´es megford´ıt´ as a (b). (A (b) a´ll´ıt´ as az (a) kontrapoz´ıci´ oja, ´ıgy nyilv´ anval´ o, hogy az implik´ aci´ o, annak megford´ıt´ asa ´es a kontrapoz´ıci´ o kapcsolat´ at a tov´ abbiakban tiszt´azni kellett.) 3. Nem igaz, hogy minden p´ aratlan eg´esz sz´am pr´ımsz´am. Fejezze be a k¨ ovetkez˝o mondatot u ´ gy, hogy az el˝ oz˝ o a´ll´ıt´ assal azonos jelent´es˝ u legyen! Vannak eg´esz sz´amok . . . Ez volt a legnagyobb ar´ anyban (92%) j´ ol megoldott feladat. A kvantort tartalmaz´o a´ll´ıt´ asok tagad´ as´ anak ismeret´er˝ol t´ ul sz´ep eredm´enyt mutat, val´ osz´ın˝ u, hogy a t´ uls´ agosan is k¨ onny˝ u matematikai alap miatt. 4. Az al´ abbi k´et a´ll´ıt´ as ugyanazt fejezi-e ki ? Nem igaz, hogy Kati sz˝oke ´es k´ekszem˝ u. Kati nem sz˝oke vagy Kati nem k´ekszem˝ u. Mind¨ossze m´asf´el sz´azal´ek volt a j´ o v´ alasz. A hib´ asak t¨ obbs´eg´et indokolt´ ak is, pl.´ıgy: ,,Nem igaz, mert a m´asodikban lehet v´ alasztani, m´ıg az els˝o kijelenti, hogy ´ lenne j´ nem igaz.” ,, Ugy o, hogy Kati sem nem sz˝oke, sem nem k´ekszem˝ u.” ,, Nem ugyanaz, mert az ´es ´es a vagy sz´onak m´as az ´ertelme.” Csak n´eh´ any p´eld´ at ragadtam ki a rossz v´ alaszok k¨ oz¨ ul, de ezekb˝ ol is l´ athat´ o, hogy a konjunkci´ o tagad´ asa mennyire nem vil´ agos. (Itt a ⌉(A ∧ B) ∼⌉A ∨ ⌉B de Morgan t¨ orv´enyt kellett volna alkalmazni, ami nem k¨ oz´episkolai anyag, de hasonl´ o jelleg˝ u a´tlagfogalmaz´ asok el˝ ofordulhattak.) 5. Milyen k¨ ovetkeztet´est lehet levonni az al´ abbi k´et a´ll´ıt´ asb´ ol? (Kaphat vagy nem kaphat Kati enged´elyt az Olimpi´ an val´ o r´eszv´etelre?) (1.) Ha Kati j´ o eredm´enyeket ´er el a sportban, kaphat enged´elyt az Olimpi´ an val´ o r´eszv´etelre. (2.) Kati nem ´er el j´ o eredm´enyeket a sportban.

124

Sashalmin´e

Ez el´egg´e neh´ez feladat volt, mert a k´et a´ll´ıt´ as alapj´ an kaphat (nincs az a felt´etel, hogy ,,. . . de csak akkor”), de megfogalmaz´odik, hogy akkor mit keresne az Olimpi´ an? A megold´asok nyolcvan sz´azal´eka hib´ as volt, ezek k¨ oz¨ ul n´eh´ any: ,,Ha nem ´er el j´ o eredm´enyt, semmik´epp sem kaphat.” Sz¨ ulettek nem egy´ertelm˝ u v´ alaszok is: ,,Val´ osz´ın˝ u, hogy nem kap.” ,,Vagy kap, vagy nem.” ,,Mindkett˝o lehets´eges, att´ ol f¨ ugg, hogy sz¨ uks´eg van-e r´a.” ,,Kaphat enged´elyt, de nem kap.” 6. K¨ ovetkezik-e a negyedik a´ll´ıt´ as az el˝ oz˝ o h´ aromb´ ol? (a) (1.) Ha a 2 pr´ımsz´am, akkor ez a legkisebb pozit´ıv pr´ım? (2.) Ha a 2 a legkisebb pozit´ıv pr´ımsz´am, akkor az 1 nem pr´ımsz´am. (3.) Az 1 nem pr´ımsz´am. (4.) A 2 pr´ımsz´am. Ez is el´eg ,,fog´ os” feladat volt, s b´ ar a hallgat´ ok 52%-a j´ o v´ alaszt adott, azaz, hogy nem k¨ ovetkezik, de nem vagyok benne biztos, hogy ez mindenkin´el tudatos, helyesen megindokolt v´ alasz lett volna. T¨ obben azt ´ırt´ ak, hogy igen, a 2 pr´ımsz´am; nem azt vizsg´ alt´ ak, hogy k¨ ovetkezik-e az utols´ o a´ll´ıt´ as az el˝ oz˝ oekb˝ ol, hanem azt, hogy igaz vagy sem. (b) K¨ ovetkezik-e az els˝o k´et a´ll´ıt´ asb´ ol a harmadik ? (1.) Ha holnap hideg lesz, a kab´ atomat fel fogom venni, ha az ujj´ at megjav´ıtom. (2.) Holnap hideg lesz, de a kab´ at ujj´ at nem jav´ıtom meg. (3.) Holnap a kab´ atot nem fogom felvenni. A megold´asok 80%-a rossz volt, ´es m´eg a ,,nem k¨ ovetkezik” helyes a´ll´ıt´ ast is t¨ obben rosszul indokolt´ ak. Pl. ,,Nem k¨ ovetkezik, mert ha hideg van a szakadt kab´ atot is f¨ ol lehet venni”. Az al´ abbi v´ alaszad´ o ,,belegondolta” azt, amit˝ol val´ oban helyes lenne a k¨ ovetkeztet´es: ,,Igaz, mert csak akkor fogja f¨ olvenni, ha megvarrta az ujj´ at.” Az 5-¨ os ´es 6-os feladatokra adott v´ alaszok elgondolkodtathatnak arr´ol, hogy egy bonyolultabb bizony´ıt´ as meg´ert´ese, visszaad´ asa milyen neh´ezs´eget jelent azoknak, akik az akkor ´es csak akkor fogalmakkal ennyire nincsenek tiszt´aban. Hangs´ ulyozni kell, hogy csak azt haszn´ alhatja f¨ ol a bizony´ıt´ as sor´an, amit kor´ abban m´ar igaznak elfogadott, vagy bizony´ıtott, ,,belegondolni” dolgokat nem lehet! (A k¨ ovetkeztet´esek vizsg´ alat´ an´ al, a formaliz´al´ asn´al ezekre a feladatokra visszat´ert¨ unk.) 7. J´ ok-e az al´ abbi defin´ıci´ ok? (a) A deltoid olyan n´egysz¨ og, melynek k´et a´tl´ oja mer˝oleges egym´ asra, ´es a nagyobb a´tl´ o a n´egysz¨ og szimetriatengelye. (b) A v´ alt´ osz¨ogek olyan sz¨ogp´ arok, melyek sz´arai p´ aronk´ent p´ arhuzamosak. Az (a) k´erd´esre 73%-ban rossz v´ alaszt kaptam, amelynek oka f˝ oleg a geometriai ismeretek hi´ anyoss´aga. Volt olyan megold´as, hogy ,,. . . igaz, ha a deltoid konvex, nem igaz, ha a deltoid konk´ av.”

Egy felm´er´es tanuls´ agai

125

A m´asodik r´eszre adott v´ alaszoknak is a 66%-a rossz volt, szerepelt k¨ oz¨ ott¨ uk pl. olyan, hogy ,,igaz, csak hi´ anyos”. 8. Mi az indirekt bizony´ıt´ as l´enyege? A v´ alaszok 67%-a j´ o volt, de felt˝ unt, hogy nagyon sokan nem a´ltal´ anoss´ agban fogalmazt´ak meg a bizony´ıt´ as jellemz˝ o it, hanem ´ ırtak egy konkr´ e t p´ e ld´ a t r´a. √ (A t¨ obbs´eg bizony´ıtotta, hogy a 2 irracion´ alis.) Ez a gondolatmenet a nem matematika szakosokn´ al is gyakran el˝ ofordul, egy t´etelt konkr´et p´eld´ an kereszt¨ ul ,,igazolnak”. A rosszak k¨ oz¨ ott t¨ obb a teljesen zavaros: pl.,,Feltesz¨ uk az a´ll´ıt´ as helyess´eg´et, ´es azt bizony´ıtjuk be, hogy nem igaz.” ,,Az ellenkez˝oj´et bizony´ıtom be”. N´eh´ anyan o¨sszekevert´ek a teljes indukci´ oval. 9. Az al´ abbi mondatok k¨ oz¨ ul melyik az egyenl˝ osz´ar´ u h´ aromsz¨og defin´ıci´ oja? (a) Egy h´ aromsz¨og egyenl˝ o sz´ar´ u ha van k´et egyenl˝ o oldala. (b) Az egyenl˝ o sz´ar´ u h´ aromsz¨og alapj´ an lev˝ o sz¨ogek egyenl˝ oek. (c) Az egyenl˝ o sz´ar´ u h´ aromsz¨ognek van szimetriatengelye. Ez volt a legmegd¨obbent˝ oen rossz eredm´enyt hoz´ o feladat, mind¨ossze 28% volt a j´ o v´ alasz. A legt¨ obben, (40%) a (b)-t tekintett´ek defin´ıci´ onak , voltak akik a (b)t ´es (c)-t, s˝ot 13% mindh´ armat megjel¨ olte defin´ıci´ ok´ent. N´eh´ anyan ,,tanuls´ agos” megjegyz´eseket is f˝ uztek a megold´asukhoz: ,,Egyik sem, mert egyik sem egzakt ”; ,,Mindegyik igaz, de a speci´alis esetet egyik sem z´arja ki”; ,,Mindegyik igaz, de egyik sem z´arja ki az egyenl˝ o oldal´ u h´ aromsz¨oget.” 10. Fogalmazza meg az al´ abbi t´etelt m´ask´eppen! Egy n´egysz¨ og akkor ´es csak akkor h´ urn´egysz¨ og, ha szemk¨ozti sz¨ogeinek az o¨sszege 180◦ . Mind¨ossze ketten fogalmazt´ak meg a ,,sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges” kifejez´est haszn´ alva; 35%-uk j´ ol, k´et r´eszre bontva ,,ha akkorral”; 47%-ukn´ al viszont csak az egyik implik´ aci´ o szerepelt, a megford´ıt´ as m´ar nem! A rossz v´ alaszok k¨ oz¨ ul n´eh´ any: ,,Nem lehet ilyen r¨oviden ´es egy´ertelm˝ uen a´tfogalmazni”; ,,Egy n´egysz¨ og h´ urn´egysz¨ og, ha meg tudom szerkeszteni a k¨ or´e ´ırhat´ o k¨ or k¨ oz´eppontj´ at ”; ,,Egy n´egysz¨ oget akkor nevez¨ unk h´ urn´egysz¨ ognek, ha a szemk¨ozti sz¨ogeinek o¨sszege 180◦; ,,Ha egy n´egysz¨ og sarkai egy k¨ or´ıven helyezkednek el, akkor az h´ urn´egysz¨ og.” A n´egy ´evvel k´es˝obbi, kisebb l´etsz´am´ u csoportban k´esz¨ ult felm´er´es jobb eredm´enyt mutatott, de a legjellemz˝obb hib´ ak ott is el˝ ofordultak. A negyedik feladatot csak a csoport negyede oldotta meg j´ ol, a hatost ´es a kilencest is csak a fele. A vizsg´ alatokban nem olyan nagy sz´am´ u hallgat´ os´ ag vett r´eszt, hogy komoly k¨ ovetkeztet´eseket lehetne levonni, (nem is ez volt a c´el), mindenesetre az elemz´esek r´ amutattak n´eh´ any probl´em´ara. Az egyes k´erd´esek ut´ ani megjegyz´esekb˝ ol is l´ athat´ o, hogy komoly gond van a defin´ıci´ ok pontos megfogalmaz´as´ aval, l´enyeg´enek meg´ert´es´evel, a t´etelek pontos megfogalmaz´as´ aval (m´eg k´es˝obb is el˝ ofordul, hogy

126

Sashalmin´e

t´etelben szerepel a ,,nevezz¨ uk” kifejez´es!) a ,,sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel”, az ekvivalencia ismeret´evel. Mi a megold´ as? A fels˝ooktat´ as m´odszertana eddig el´egg´e elhanyagolt ter¨ ulet volt, arra ´ep´ıtve, hogy a leg´ertelmesebb di´ akok ker¨ ulnek be az egyetemekre ´es f˝ oiskol´ akra, ´es o˝k ,,maguk is meg tudj´ ak tanulni” a leadott anyagot. M´ara viszont megv´ altozott a helyzet, s valamit tenn¨ unk kell, hogy megel˝ozz¨ uk a szaklead´ ast, lemorzsol´od´ ast. Visszat´erve a logikai fogalmakra, nagy seg´ıts´eg lenne, ha m´ar a´ltal´ anos, ´es f˝ oleg k¨ oz´episkol´ aban is nagyobb figyelmet ford´ıtan´ anak ezek tiszt´az´ as´ ara. A f˝ oiskol´ an pedig ,,fel kell z´ark´ oztatni” a gyeng´ebb hallgat´ okat. (Szegeden ,,Matematikai praktikum” c´ım˝ u t´ argy keret´eben az els˝o f´el´evben ezt csin´alj´ ak.) N´ alunk az elemi matematika o´r´ ain lehetne ezt megval´ os´ıtani, a matematikai gondolkod´ ast fejleszteni. Sz´ and´ekomban a´ll ez ´ev szeptember´eben a nem matematika szakos, sz´am´ıt´ astechnikus hallgat´ ok els˝o matematika el˝ oad´ as´ an egy, a fentiekben elemzett felm´er´eshez hasonl´ ot ´ıratni. (Mindenesetre, ennek az eredm´eny´et˝ol f¨ uggetlen¨ ul, a szemesztert az el˝ oz˝ oekben eml´ıtett, probl´em´as fogalmak tiszt´az´ as´ aval kezdem.) Irodalom [1] Gyarmatin´ e Kocsis, M.: A bizony´ıt´ asi ig´eny felkelt´ese az a´ltal´ anos iskol´ aban. A Matematika Tan´ıt´ asa, 1986/2. [2] R´ edling E.: Felm´er´esek a logikai fogalmak t´emak¨ or´eb˝ ol. A Matematika Tan´ıt´ asa, 1988/6. [3] Szendrei J.: Matematikai feladatgy˝ ujtem´eny I. Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1990. ´ didaktikai ´es erk¨ ´ri, B.: Uj [4] V´izva olcsi dilemm´ak a matematika egyetemi oktat´ as´ aban. A Matematika Tan´ıt´ asa, 1998/5.

´ Sashalmin´ e Kelemen Eva Institute of Mathematics and Informatics K´ aroly Eszterh´azy Teachers’ Training College Le´ anyka str. 4-6. H-3300 Eger, Hungary