Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István)
1. Bevezetés 2. Vékonyfalú egyenes cs méretezése bels túlnyomásra 3. Cs ívek méretezése bels túlnyomásra 4. H feszültségek vékonyfalú csövekben 5. Vastagfalú cs tisztán rugalmas állapota 6. Vastagfalú cs rugalmas - képlékeny állapota 7. Túlfedéssel illesztett vastagfalú csövek 8. H feszültségek a vastagfalú cs ben 9. Kett sréteg szerkezetek h feszültségei
1. Bevezetés A cs a folyékony vagy g z-, ill. gáznem , legáltalánosabban az ömleszthet közeggel dolgozó berendezések, technológiai rendszerek fontos alkotórésze. Üzemelhet összetett berendezés részeként, a szállításon kívül egyéb funkciókat is betöltve (pl. h cserél knél, bepárlóknál). Részesedésük a létesítmények beruházási költségeiben sem elhanyagolható, a vegyiparban az 50÷80%-os értéket is eléri. A tervezésükre fordítandó gondosságot meghatározza az, hogy az összeköttetéseknek már részbeni megszakadása is a technológiai rendszer egészének üzemzavarára, vagy akár katasztrófájára vezet. A cs vezetékek szilárdsági számítása természetesen sok párhuzamot mutat a nyomástartó edények méretezésével, de különbségeket is találunk. A csöveknél különösen a szabad h tágulás meggátlásából származó feszültségek jelentenek problémát, de az alátámasztásból keletkez axiális feszültségek és a közegáramlásból származó impulzuser k hatása is jelent s mérték lehet. A gyártásnál, szerelésnél bekövetkez alak és mérett rési hibák a csöveknél jóval nagyobb hatásúak a nyomástartó edényekhez képest. A cs vezetékek általában a környezett l eltér nyomású és h mérséklet közeget szállítanak. A méretezésnél figyelembe veend számos hatás közül ezen kett nek meghatározó szerepe van. Jelen segédletben a csövek bels túlnyomásra való méretezési formuláinak ismertetése mellett a h feszültségek számításával foglalkozunk. 2. Vékonyfalú egyenes cs méretezése bels túlnyomásra A vékonyfalú egyenes cs méretezése bels túlnyomásra az MSZ 2970 szabvány szerint történik. Varratnélküli acélcsövek esetén a szilárdságilag szükséges falvastagság: pd b pd k s' = = 2f m − p 2f m + p A képlet dk/db ≤ 1,7 átmér viszonyig alakmazható 3%-nál nem nagyobb ovalitás esetén. 3. Cs ívek méretezése bels túlnyomásra A cs ívek szilárdságilag szükséges falvastagságát a felületösszehasonlító eljárás segítségével határozzuk meg. A db bels átmér j r hajlítási sugarú cs ív falában a kerületi irányú feszültség az ábra szerinti er egyensúlyból:
Az ív bels oldalán az sb’ vastagságú falban ébred feszültség: A f t ,b = p p ,b A F,b ahol az π A p ,b = (4rd b − d 2b ) 16 és π A f ,b = (8rs 'b − 4d bs 'b − 4s 'b2 ) 16 felületek a megfelel negyedkörök területeinek kivonásával egyszer en számíthatók. Kiemelések és egyszer sítések után d 2r − d b / 2 d f t ,b = p b' ⋅ = p b' ⋅ Bb ' 2s b 2r − d b − s b 2s b A redukált feszültség értéke Mohr szerint f R ,b = f t ,b − f r ahol a legkisebb f feszültség, a radiális feszültség átlagértéke p fr = − 2 A redukált feszültség helyett az anyagra megengedett feszültséget írva megkapjuk az ívcs bels oldalán szilárdságilag szükséges falvastagság értékét: pd p f R ,b = 'b Bb + = f m 2s b 2 pd b pd b 2r − d b / 2 s 'b = ⋅ Bb = ⋅ 2f m − p 2f m − p 2r − d b − s ©b Mivel a meghatározandó falvastagság mindkét oldalon szerepel és explicit alakra hozása nehézkes, ezért iterációs eljárást alkamaznak, ill. diagram (1. ábra) használata célszer . Az ívcs küls oldalán szükséges falvastagság a fenti gondolatmenet alkalmazásával: pd b 2r + d b / 2 s 'k = ⋅ = s'⋅Bk 2f m − p 2r + d b + s 'k
Megjegyzések: - s’ az egyenes cs szilárdságilag szükséges falvastagsága - az alaktényez k értékeire a Bb > 1 és a Bk < 1 egyenl tlenségek állnak fenn - s’/db ≤ 0,02 esetén az alábbi közelítéssel élhetünk 2r − d k / 2 Bb = 2r − d k 2r + d k / 2 Bk = 2r + d k Példaként számítsuk ki a DN 80 méret szabványos acélcs ív szilárdságilag szükséges falvastagságát az ív küls és bels oldalán. A cs ív bels átmér je db =82,5 mm, hajlítási sugara r = 114,5 mm, a megengedett feszültség fm = 156 MPa, a méretezési nyomás p = 8 MPa. Az egyenes cs szilárdságilag szükséges falvastagsága pd b s' = = 2,17 mm 2f m − p A Bb és Bk szorzótényez k értéke r/db = 1,388 és s’/db =0,026 függvényében az 1. ábra alapján: Bb = 0,84 Bk =1,36 A szilárdságilag szükséges falvastagság az ívcs - bels oldalán s b ' = s' Bb = 1,82 mm - küls oldalán s n ' = s' Bk = 2,95 mm
4. H feszültségek vékonyfalú csövekben a) Küls kényszer okozta h feszültségek A szabad elmozdulásukban gátolt csövekben a h mérsékletváltozás hatására h feszültségek ébrednek. A mereven befogott acél cs vezetékekre levezethet , hogy a megengedhet h mérsékletváltozás kb. 70 °C. A legtöbb cs vezeték üzemi és szerelési h mérséklete közti különbség ezt a határt jóval túllépi, ezért gondoskodni kell a h tágulás kiegyenlítésér l. Nem szabad azonban megengedni, hogy ez a kiegyenlítés a cs vezeték rendellenes kihajlása által jöjjön létre, ami a cs vezeték tönkremenetelét jelenti. A kiegyenlítés egyik lehetséges módja kompenzátorok alkalmazása, de történhet a kiegyenlítés kell rugalmasságú nyomvonalvezetés megvalósításával is. Ez utóbbi különösen térbeli vezeték esetén bonyolult és számításigényes feladat, ezért a gyakorlatban
egy jól bevált egyszer módszerrel gy z dhetünk meg arról, hogy a keletkez feszültségek biztonsággal a megengedett értékek alatt maradnak-e. Feltételként elegend a 2. ábrán az A és B pontot összeköt szakasz és az L teljes cs hossz hányadosát meghatározni. A kell en rugalmas rendszer legkisebb cs hossza „a” fixponttávolság esetén:
L min ≥ a 1 + Ca
dk a
Az anyagjellemz kt l függ Ca tényez értéke a 3. ábrából vehet , dk a cs küls átmér je. Amennyiben a feltétel nem teljesül a részletesebb számítás elvégzése mindenképpen indokolt.
b) A h mérséklet-gradiens okozta h feszültségek stacionárius állapotban. A csövek falán áthaladó h áram (h veszteség még jól szigetelt cs vezetékek esetén is van) hajtóereje a h mérséklet-különbség. A fal elemi szálai egymással rugalmas kényszerkapcsolatban vannak, ezért az elemi szálak különböz h mérséklete esetén h feszültségek keletkeznek. Az itt közölt összefüggésekben a h mérséklet eloszlása a kerület mentén és alkotóirányban állandó, a h mérséklet csak a fal vastagsága mentén változik, de a h mérsékletek id ben állandók (stacionárius állapot). A h feszültségek képleteiben általában a fal t1 bels h mérséklete a nagyobb. A fal t1 bels és t2 küls h mérsékletét a h átvitel (h átbocsátás) feltételeib l kell kiszámítani. Héjakban és sík lemezekben a sugár menti h feszültségek eloszlása lineáris, a kerületi és tengelyirányú h feszültségek nagysága azonos. A fal h mérséklet-különbségével αE∆t σ ta ( t ) = ± 2(1 − v ) A falon áthaladó q h árammal, a fal λ h vezetési együtthatójával és s falvastagságával αEq σ ta ( t ) = ± s 2(1 − v ) Ha a hengeres test (pl. cs ) tengelyirányú szabad elmozdulását küls kényszer akadályozza, akkor a h mérséklet-gradiensb l származó tengelyirányú h feszültségre a kényszerb l ébred h feszültséget szuperponálni kell, természetesen ugyanez igaz az egyéb hatásokból (pl. bels nyomás) származó feszültségekre is.
5. Vastagfalú cs tisztán rugalmas állapota A vastagfalú hengerben ébred rugalmas f feszültségek eloszlása egyenletesen megoszló p bels nyomás hatására: - a tangenciális feszültség
pr12 pr12 r22 1 σt = 2 2 + 2 2 ⋅ 2 r2 − r1 r2 − r1 r - a radiális feszültség
pr12 pr12 r22 1 − ⋅ r22 − r12 r22 − r12 r 2
σr = - az axiális feszültség
pr12 r22 − r12 A k = r1/r2 jelölést bevezetve a feszültségek a henger - bels felületén (r = r1) 1+ k2 k2 , , σ t1 = p σ = − p σ = p r 1 a 1 1− k2 1− k 2 - küls felületén (r = r2) 2k 2 , σ r 2 = 0 , σ a 2 = σ a1 σt2 = p 1− k2 A vastagfalú hengerekre jellemz , hogy a bels és küls szálon ébred kerületi feszültségek különbsége független az átmér aránytól: ∆σ t = p Egy p = 80 MPa nyomáson üzemel cs vezeték méretei: - bels átmér db =300 mm - falvastagság s = 100 mm Az átmér viszony r d 300 k= 1 = b = = 0,6 r2 d k 500 A cs bels felületén ébred feszültségek az el z ekben felírt egyenletek felhasználásával: σt1 = 170 MPa σr1 = -80 MPa σa1 = 45MPa A mértékadó redukált (egyenérték ) feszültség a bels szálon a HMH- elmélet szerint: 1 σ e1 = (σ t1 − σ r1 )2 + (σ t1 − σ a1 )2 + (σ r1 − σ a1 )2 = p 3 2 = 216,5 MPa 2 1− k A cs küls felületén a tangenciális feszültség: σt2 =90 MPa A redukált feszültség értéke 3k 2 σe 2 = p = 78 MPa 1− k2 A két széls szálon számított redukált feszültségek aránya a szerkezeti anyag kihasználtságát jellemzi: σ β = e 2 = k 2 = 0,36 σe1 A σa =
[
]
2
2
2
db d − 2s 2s = k = 1− dk dk dk kifejezésb l látható, hogy a vastagfalú henger szilárdsági kihasználtsága - ha csak rugalmas feszültségeket engedünk meg - a falvastagság és az átmér arányának növekedésével romlik. Ez indokolja a képlékeny állapotba való kerülés megengedését a henger (cs ) rF sugarú övezetében (r1 < rF < r2). k2 =
5. Vastagfalú cs rugalmas - képlékeny állapota A bels nyomással terhelt vastagfalú hengerben a nyomás, a folyáshatár és a sugarak közti összefüggés: 1 r r2 pa = 1 + 2 ln F − F2 R eH r1 r2 3 ahol rF a képlékeny állapot sugara, pa az ezt megvalósító nyomás (autofretage) A rugalmas teherbírás határa (rF = r1), tehát sehol nem lesz képlékeny alakváltozás 1 r2 1 (1 − k 2 )R eH p rug = 1 − 12 R eH = r2 3 3 A képlékeny teherbírás határa (rF = r2) 2 r p kép = R eH ln 2 r1 3 Tehát autofretage eljárásnál a terhel nyomást prug < pa < pkép közé kell megválasztani. A f feszültségek értékei a képlékeny övezetben (r1 ≤ r ≤ rF) 1 rF rF2 σr = − 1 + 2 ln − 2 R eH r r2 3
σ t = σr +
2 1 r r2 R eH = 1 − 2 ln F + F2 R eH r1 r2 3 3
2 1 (σr + σ t ) = 1 rF2 − 2 ln rF R eH 2 r 3 r2 F feszültségek a rugalmas övezetben (rF ≤ r ≤ r2) 1 rF2 r22 σr = − − 1 R eH 2 2 3 r2 r
σa =
1 rF2 r22 + 1 R eH 2 2 3 r2 r 1 1 rF2 σ a = (σ r + σ t ) = R eH 2 2 3 r2 Tekintsünk az el z ekben tiszta rugalmas alakváltozásra számított csövet. ReH = 235 MPa folyáshatár esetén: - a rugalmas teherbírás határa 1 (1 − k 2 )R eH = 86,8 MPa p rug = 3 - a képlékeny teherbírás határa 2 r p kép = R eH ln 2 = 138,6 MPa r1 3 Az el zetes túlterhelésnél a terhel nyomást válasszuk meg úgy, hogy rF = 193,65 mm sugarú képlékeny övezet alakuljon ki. Az ehhez szükséges autofretage nyomás: 1 r r2 pa = 1 + 2 ln F − F2 R eH = 123,5 MPa r1 r2 3 A gyártásnál fellép f feszültségek értékei a cs bels és küls szálán, valamint a rugalmas-képlékeny övezet határán az el z ekben felírt egyenletek egyszer sítései után: σt =
r = r1 esetén
σr1 = −p a = −123,5 MPa 2 σ t1 = − p a + R eH = 147,9 MPa 3 1 σa 1 = − p a + R eH = 12,2 MPa 3
r = rF esetén
σrF = − σ tF =
1 r2 1 − F2 R eH = −86,8 MPa r2 3 1 r2 1 + F2 R eH = 184,6 MPa r2 3
σaF = r =r2 esetén
1 rF2 R eH = 48,9 MPa 3 r22 σr2 = 0
2 r R eH = 162,8 MPa 3r 1 σa 2 = σ t 2 = 48,9 MPa 2 Megjegyzés: a képlékeny övezetben az axiális feszültség értéke már nem lesz állandó a sugár mentén. A képlékeny övezet maradó alakváltozása miatt a pa terhel nyomást megszüntetve mindkét övezetben rugalmas feszültségek maradnak vissza. Az így tehermentesített vastagfalú cs ben a visszamaradó feszültségeket a rugalmas-képlékeny és a tiszta rugalmas feszültségek különbségeként kapjuk. r = r1 helyen σ'r1 = −123,5 − ( −123,5) = 0 σ t 1 = 147 , 9 − 262 , 4 = − 114 , 5 MPa σ'a1 = 12,2 − 69,5 = −57,3 MPa r =rF helyen σ'r1 = −86,8 − (−46,3) = 40,5 MPa σ't1 = 184,6 − 185,2 = −0,6 MPa σ'a1 = 48,9 − 69,5 = −20,6 MPa r = r2 helyen σ'r 2 = 0 − 0 = 0 σ't 2 = 162,8 − 138,9 = 23,9 MPa σ'a 2 = 48,9 − 69,5 = −20,6 MPa Az így el készített csövet az autofretage nyomásnál kisebb, de a rugalmas teherbírás határánál nagyobb bels nyomással is megterhelhetjük. Például p = 120 MPa üzemi nyomást választva a cs ben ébred feszültségeket az ezen a nyomáson tiszta rugalmas alakváltozás során keletkezend és a gyártás során visszamaradt feszültségek ered jeként kapjuk. A rugalmas állapot feszültségei: r22 k2 σ"r = p 1 − 1− k 2 r2 σt 2 =
2 F 2 2
σ"t = p
r22 k2 1 + 1− k 2 r2
k2 1− k2 Az üzemi nyomás hatására fellép tényleges feszültségek σ = σ'+σ" a bels szálon (r = r1) σ r1 = 0 + (−120) = −120 MPa σ"a = p
σ t1 = −114,5 + 255 = 140,5 MPa
σa1 = −57,3 + 67,5 = 10,2 MPa a rugalmas-képlékeny övezet határán (r =rF) σ rF = −40,5 + (−45) = −85,5 MPa σ tF = −0,6 + 180 = 179,4 MPa σaF = −20,6 + 67,5 = 46,9 MPa a küls szálon (r = r2) σr 2 = 0 + 0 = 0 σ t 2 = 23,9 + 135 = 158,9 MPa σa 2 = −20,6 + 67,5 = 46,9 MPa
6. Túlfedéssel illesztett vastagfalú csövek Az egyréteg , vastagfalú csövek kedvez tlen szilárdsági kihasználása küls nyomással létrehozott el feszítéssel javítható, ahogy ezt az autofretage eljárás vizsgálata is bizonyította. Ezt a küls nyomást úgy is létre lehet hozni, ha egy bels magcs re túlfedéssel illesztett küls csövet (köpenycs ) helyeznek. A köpenycsövet felmelegítik, majd ráhúzzák a magcs re. A lehüléskor kialakuló p0 érintkezési nyomás a magcsövet küls , a köpenycsövet bels nyomással terheli. Azonos szerkezeti anyagok esetén az érintkezési nyomás a túlfedés (δ) függvényében: Eδ po = 1 + k12 1 + k 22 2rk + 1 − k12 1 − k 22 ahol r1 a magcs bels , r2 a köpenycs küls sugara, rk pedig a közös sugár. Az átmér viszonyok: r r r k1 = 1 , k 2 = k , k = 1 rk r2 r2 A feszültségek számítása az illesztési állapotban (pb = 0; pk = 0; rk -nál po) p r 2 − p r 2 (p − p )r 2 r 2 1 a magcs ben: σ t = b 12 20 k + b 2 0 2 1 k 2 rk − r1 rk − r1 r 2 1 1 r = r1 → σ t1 = −p 0 − p0 = −p 0 2 2 1 − k1 1 − k1 1 − k 12 k 12 1 + k 12 1 r = rk → σ tk = −p 0 − p = − p 0 0 1 − k 12 1 − k 12 1 − k 12 p r 2 − p r 2 (p − p )r 2 r 2 1 a köpenycs ben: σ t = 0 k2 2k 2 + 0 2 k 2 k 2 2 r2 − rk r2 − rk r
k 22 1 + k 22 1 r = rk → σ tk = p 0 + p0 = p0 1 − k 22 1 − k 22 1 − k 22 k 22 k 22 2k 22 r = r2 → σ t 2 = p 0 + p = p 0 0 1 − k 22 1 − k 22 1 − k 22 A feszültségek üzemi állapotban (pb = 0; pk = 0; rk -nál p1) a magcs ben: 1 + k12 2 σ t1 = p − p1 , σ tk = σ t1 − (p − p1 ) 2 1 − k1 1 − k12 a köpenycs ben: 1 + k 22 , σ ttk = σ k − p1 σ tk = p1 1 − k 22 Legkedvez bb a terheléseloszlás, ha üzemi állapotban: σ t1 magcs› = σ tk köpenycs A legkisebb feszültség megfelel en választott rF értéknél lesz, ez széls értékszámítás alapján jó közelítéssel a k 2 = k1 = k → rF = r1 r2 esetén teljesül. Az üzemi nyomás és az átmér viszonyok ismeretében p1 a σt1 magcs = σtk köpenycs egyenl ségb l kifejezhet : 1 + k12 p1 = p 2 (1 − k12 )1 + k 22 + 2 1− k2 A k1 = k 2 = k nyomás:
optimális esetnél az üzemi körülmények között az illesztésnél kialakuló
1+ k 3+ k valamint a gyártásnál létrehozandó érintkezési nyomás: 1− k (p0 )opt = p 2(1 + k ) rk és p0 ismeretében δ is számolható p δ = 2rk E p1 = p
7. H feszültségek a vastagfalú cs ben Vastagfalú henger falában a sugárirányú h mérséklet-eloszlás logaritmikus. A h feszültségek eloszlása, ha kerületi- és alkotóirányban a h mérséklet nem függ a helyt l:
σr ( t ) = σt (t ) =
αE∆t 1 r k2 r22 − ln − 1 − ln k 2(1 − v ) ln k r2 1 − k 2 r2
αE∆t 1 r k2 r22 − 1 − ln − 1 + ln k 2(1 − v ) ln k r2 1 − k 2 r2
αE∆t 1 r 2k 2 − 1 − 2 ln − ln k 2(1 − v ) ln k r2 1 − k 2 A henger bels felületén (r = r1) σ r1 = 0 αE∆t 1 2 σ t1 ( t ) = σa1 ( t ) = − 1+ ln k 2(1 − v ) ln k 1− k2 A küls felületen σr 2 = 0 σa ( t ) =
αE∆t 1 2k 2 1+ ln k 2(1 − v ) ln k 1 − k2 Tetsz leges t(r) h mérséklet-eloszlás esetén a sugárirányú elmozdulást és a feszültségeket a következ összefüggésekkel lehet kiszámítani a vastagfalú henger r sugarú pontjában σ t 2 ( t ) = σa 2 ( t ) = −
2 2 α w (t ) = (1 + v ) t (r )rdr + (1 − 3v )r2 + r21 (1 + v ) t (r )rdr (1 − v )r r2 − r1 r1 r1 r
r2
r2
σr ( t ) =
r
αE r 2 − r12 t (r )rdr − t (r )rdr (1 − v )r 2 r22 − r12 r1 r1 r2
r
αE r 2 − r12 σt (t ) = t (r )rdr + t (r )rdr − t (r )r 2 2 2 2 (1 − v )r r2 − r1 r1 r1 r2
σa ( t ) =
2 αE t (r )rdr − t (r ) 2 1 − v r2 − r12 r1
A széls szálakban az elmozdulások és az ébred feszültségek az integrálás elvégzése után r = r1 és r = r2 helyettesítéssel adódnak. Ha vastagfalú hengerben a h mérséklet az alkotó mentén lineárisan változik (pl. az ammóniakonverterekben) a kerületi h mérséklet-eloszlást állandónak tételezzük fel, a t(r) sugárirányú eloszlással kifejezve az alkotó menti h mérséklet-eloszlás az L hosszúságú vastagfalú hengerben z t (z, r ) = t ( r ) L a feszültségeloszlás z σ r ( t , z, r ) = σ r ( t ) L z σ t ( t , z, r ) = σ t ( t ) L z σa ( t , z, r ) = σ a ( t ) L Az alkotó menti változó h mérséklet hatására ébred nyírófeszültség eloszlása r
τ rz =
r2
αE 1 r 1 t (r )rdr − r − 2 2 2 t (r )rdr L(1 − v ) r r1 r r2 − r1 r1
A széls szálakban (r1 és r2 helyen) a nyírófeszültség zérus.
8. Kett sréteg szerkezetek h feszültségei A kett s- (vagy több-) réteg szerkezetek fala különböz fizikai jellemz j anyagokból készülhet (plattírozott lemezek, falazott edények). Az eltér h vezetési, h tágulási együtthatók, rugalmassági modulusok és Poisson-tényez k esetén a falon áthaladó h áram az érintkez felületen p0 érintkezési nyomást hoz létre, amely a bels köpenyt p0 küls , a küls köpeny p0 bels nyomással terheli. A h mérséklet-gradiens iránya vagy pl. a bels fal kisebb lineáris h tágulási együtthatója miatt az érintkez felületeken húzás alakul ki. Ha a szerkezeti elemek nincsenek szilárdan összekötve, akkor a rétegek elválnak egymástól. Bels nyomás esetén ilyenkor a magcs túlterhel dik, a bels nyomás a magcsövet a küls köpeny irányába mozdítja el, de a nyomásterhelést mindaddig a magcs veszi fel, amíg a köpenycs vel ismét nem érintkezik. Hasonló jelenség megy végbe a többréteg , vastagfalú készülékek felf tésekor és leh tésekor. Az els esetben a gyártási rések záródnak, ennek következtében növekszik a súrlódást létrehozó érintkezési nyomás és javul a fal h vezet képessége. Leh téskor a bels réteg h zsugorodása miatt elválik a következ rétegt l, az érintkezési nyomás csökken, és a fal h vezet képessége (a fémes érintkezés hiányában) romlik. Ebb l következik, hogy a tekercselt testek szilárdsága felf tés és leh tés közben is változik. Kett sfalú hengerben, héjban (pl. plattírozott lemezb l készítve) az érintkezési nyomás üzemi állapotban 2E1E 2s1s 2 rk (2 − v1 ) p0 = p + (α1 − α 2 )∆t rk [(2 − v1 )E 2s 2 + (2 − v 2 )E1s1 ] 2E1s1 ahol ∆t a szerelési és üzemi h mérséklet különbsége. (Vékonyfalú edényekben a bels és küls falh mérséklet különbsége általában nem nagy, különösen, ha a készülék szigetelt.) rp σt2 = k 0 s2 az l bevonó- (plattírozó-) rétegben a kerületi feszültség rp r p σ t1 = k − k 0 s1 s1 Kett sréteg , vastagfalú hengerekben a t1(r) és a t2(r) h mérséklet-eloszlással és a szerkezeti anyagok megfelel fizikai jellemz ivel a bels köpenyben (falazatban) σ tb =
α1E1 1 − v1
αE σrb = 1 1 1 − v1
rk
1+
r
r12 A α2 r12 1 − v1 2 t ( r ) rdr + t ( r ) rdr + 1 + rk t (r ) − t (r ) 1 1 r 2 B r1 α1 r2 B r1 rk
r
r2 A 1 α 1 − v1 2 r2 rk 1 − 12 t (r ) 1− 2 t (r )rdr − 2 t (r )rdr + 2 r B r1 r r1 α1 B r rk
σab =
α1E1 2 t (r )rdr − t (r ) 2 1 − v1 rk − r12 r1
A küls köpenyben a feszültségek σ tk = −
α1E1 rk2 r22 1 + 1 − v1 r22 − rk2 r2
αE r2 r2 σrk = − 1 1 2 k 2 1 − 22 1 − v1 r2 − rk r A képletben szerepl állandók
1−
r12 A 1 − rk2 B rk2
r2 A 1 1 − 12 − rk B rk2
rk
t (r )rdt +
2 2 α2 (1 − v1 ) rk − r1 t (rk ) α1 B
t (r )rdt +
2 2 α2 (1 − v1 ) rk − r1 t (rk ) α1 B
r1 rk
r1
A= B=
E1 r22 + rk2 rk2 + r12 + v + v −1 2 1 2 E 2 r22 − rk2 rk − r12
E1 2 2 r22 + rk2 (rk − r1 ) 2 2 + v2 + rk2 (1 − v1 ) + r12 (1 + v1 ) E2 r2 − rk
