EKSISTENSI SOLUSI LOKAL DAN KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN Muhammad Abdulloh Mahin Manuharawati Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam dan Matematika, Universitas Negeri Surabaya
[email protected]
ABSTRAK Pada makalah ini dibuktikan teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan dengan nilai awal , dimana fungsional memenuhi kondisi Lipschitz lokal pada domainnya. Pada proses pembuktian teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan menggunakan teorema titik tetap Banach. Selanjutnya, dibuktikan juga ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan dengan nilai awal tersebut menggunakan teorema Gronwall yang tergeneralisasi. Katakunci : Eksistensi solusi lokal, ketunggalan, Kondisi Lipschitz, Persamaan diferensial tundaan, ruang Banach.
1
PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel – variabel tak bebas dan derivatif – derivatifnya terhadap variabel – variabel bebas [1]. Persamaan diferensial terus berkembang sehingga diklasifikasikan menjadi beberapa jenis di antaranya, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, sistem persamaan diferensial, persamaan diferensial linier dan nonlinier, dan persamaan diferensial orde-n. Beberapa jenis persamaan diferensial di atas adalah kasus khusus dari persamaan diferensial fungsional yang didefinisikan sebagai berikut. Diberikan dimana dan adalah ruang fungsi kontinu pada yang memetakan interval ke dengan topologi yang diinduksi oleh fungsi jarak yang disebut norma. Norma dari elemen pada dinotasikan dengan adalah norma Euclide pada . Dengan norma tersebut adalah ruang Banach [3]. Selanjutnya, diberikan , dan didefinisikan fungsi baru dengan , untuk , dan persamaan diferensial fungsional didefinisikan dengan , dimana untuk , .
Persamaan diferensial digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial, sehingga muncul perkembangan konsep pada persamaan diferensial itu sendiri karena permasalahan – permasalahan yang muncul semakin bervariasi. Persamaan diferensial banyak membantu merepresentasikan bagaimana proses alam pada bidang biologi, pengobatan, dll., yang mana melibatkan tundaan waktu secara alami dari semua proses tersebut. Ketika tundaan waktu tersebut diabaikan sama halnya mengabaikan unsur nyata dari proses alami tersebut. Persamaan diferensial tundaan muncul sekitar tahun 1920 ketika Vito Volterra mengaplikasikan persamaan diferensial pada model mangsa – pemangsa (predator – prey model) pada populasi parasit dengan tundaan waktu yaitu waktu yang diperlukan parasit untuk menginfeksi inangnya. Akan tetapi persamaan diferensial tundaan kurang menjadi perhatian untuk dipelajarai sampai sekitar setengah abad kemudian, pada tahun 1963, Bellman dan Cooke mengarang buku Differential – Difference Equations dan buku tersebut diakui buku formal untuk mempelajari persamaan diferensial tundaan. Setelah itu, Matematikawan lainnya, yaitu Jack Hale mempelajari persamaan diferensial tundaan lebih dalam dan kemudian sebelum tahun 1991, bersama Verduyn Lunel, Hale menulis buku teks pengantar persamaan diferensial tundaan [2]. Persamaan diferensial tundaan merupakan kasus khusus dari persamaan diferensial fungsional yang dinotasikan untuk . Pada suatu permasalahan pasti tidak pernah lepas dari pertanyaan. Oleh karena itu pertanyaan dalam tulisan ini adalah adakah solusi dari permasalahan tersebut, dan jika ada bagaimana sifat solusi permasalahan tersebut. Berdasarkan pertanyaan tersebut pada makalah ini penulis mengkaji tentang eksistensi solusi lokal dan ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan berikut dengan simulasi suatu permasalahan persamaan diferensial tundaan sederhana. Metode yang digunakan penulis pada makalah ini adalah metode studi pustaka. Referensi utama penulis adalah dua buku yang berjudul “Ordinary and
Delay Differential Equations” oleh R. D. Driver dan “Introduction to Delay Differential Equations” oleh Sue Ann Campbell. Dengan metode tersebut penulis ingin mengkaji tentang eksistensi solusi lokal dan ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan pada masalah nilai awal yang diberikan dengan menggunakan metode iterasi Charles Emile Picard yang mana teorema titik tetap Stefan Banach (Stefan Banach’s fixed point theorem) memiliki peran penting dalam proses pembuktian. Dengan begitu ada yang menjamin eksistensi solusi lokal yaitu solusi pada interval yang lebih kecil dari domain yang sebenarnya dan ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan untuk suatu masalah nilai awalnya.
2
DEFINISI DAN KONSEP DASAR
Diberikan sebarang bilangan real , misalkan himpunan dengan untuk setiap , adalah norma euclide pada . Himpunan yang dilengkapi dengan norma euclide ini adalah ruang banach untuk . Selanjutnya, untuk didefinisikan himpunan . Definisi baru
1.
Diberikan , dan , maka didefinisikan fungsi dengan
untuk Definisi 2. Persamaan diferensial tundaan pada dimana adalah persamaan berbentuk
Untuk suatu , , dimana . Untuk selanjutnya notasi “ ” adalah notasi pasangan terurut dan dari fungsional . Fungsi , setiap disebut sebagai fungsional. oleh karena itu persamaan disebut sebagai persamaan diferensial fungsional. Persamaan adalah acuan untuk membahas persamaan diferensial tundaan untuk menekankan fakta bahwa hanya nilai sekarang dan lampau dari yang terlibat dalam menentukan .
3
MASALAH NILAI AWAL DAN LEMMA –LEMMA PENTING
Pembahasan eksistensi solusi lokal dan ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan pada bab ini menggunakan masalah nilai awal persamaan diferensial tundaan. Berikut ini definisi
– definisi solusi persamaan diferensial tundaan dan nilai awalnya. Definisi 3. Fungsi jika ada hinga, (i) untuk (ii)
adalah solusi dari persamaan dan sedemikian
. dimana ..
(iii)
memenuhi
untuk
. Selanjutnya untuk suatu dan yang diberikan, masalah nilai awal yang terkait dengan persamaan diferensial tundaan adalah
atau
Definisi 4. Suatu persamaan linier pada adalah persamaan berbentuk dimana suatu fungsi yang diberikan dan operator linier untuk setiap , yaitu dimana dan adalah suatu fungsi yang memenuhi , sedangkan dan adalah bilangan real. Perlu diketahui bahwa, jika dimana adalah operator linier dalam untuk semua maka adalah persamaan diferensial tundaan linier dan persamaan dikatakan persamaan diferensial tundaan homogen jika . Definisi 5 Fungsi adalah solusi dari masalah nilai awal persamaan atau pada jika adalah solusi dari persamaan pada dan . Lemma – lemma berikut akan digunakan untuk membahas eksistensi solusi lokal dan ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan dengan suatu nilai awal. Lemma 1. Diberikan bilangan real dan . Jika kontinu pada maka kontinu di untuk setiap . Bukti : Karena terbatas pada ada
kontinu pada interval tertutup dan , maka kontinu seragam . Oleh karena itu, , , sedemikian hingga,
, . Karena
berlaku
dan kontinu seragam pada sehingga untuk , berlaku , untuk setiap . Berdasarkan definisi sehingga kontinu pada untuk setiap bilangan real . Lemma 2. Diberikan dimana , dan fungsional kontinu. Misalkan . Fungsi adalah solusi masalah nilai awal pada jika dan hanya jika , dan fungsi memenuhi
Bukti : Misalkan adalah solusi masalah nilai awal pada . Berdasarkan Definisi 3, maka diketahui bahwa dan fungsi . Oleh karena itu untuk setiap berlaku
Definisi 7. Fungsional dengan dikatakan Lipschitz lokal (locally Lipschitz) pada jika untuk setiap ada bilangan real dan sedemikian hingga adalah himpunan bagian dari dan Lipschitz pada . Lemma berikut ini adalah perluasan dari Lemma Gronwall (Generalized Gronwall’s ) atau Lemma Gronwall versi Reid yang akan digunakan pada pembuktian ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan. Lemma 3 (Reid’s Lemma). Diberikan konstanta dan fungsi kontinu tidak negatif pada interval . Misalkan . Jika untuk setiap fungsi kontinu berlaku
maka untuk semua
.
Bukti : Misalkan dan . Kedua sisi dikalikan dengan fungsi kontinu tidak negatif diperoleh
Misalkan Karena kontinu pada maka persamaan kontinu pada dan berdasarkan Lemma 1 diperoleh kontinu pada untuk . Persamaan adalah persamaan integral dengan yang diminta, dengan kata lain juga memenuhi persamaan . Misalkan , , dan memenuhi sehingga berlaku
Karena Fundamental diperoleh
Theorem
of
sehingga nilai awal
dan berdasarkan Calculus sehingga dengan juga solusi masalah
Kemudian
pertidaksamaan dengan faktor integrasi
dan
.
maka jika dikalikan
diperoleh
Berdasarkan aturan perkalian dari dua fungsi terdiferensialkan dan diperoleh
Mengintegralkan dari , didapatkan
ke
.
Definisi 6. Fungsional dikatakan Lipschitz pada ada sedemikian hingga untuk setiap
, .
dengan jika Sehingga menghasilkan dan berdasarkan diperoleh
dan ingat bahwa
Selanjutnya, untuk kasus dan . Dengan cara yang sama untuk proses pembuktian kasus , kedua sisi dikalikan dengan fungsi kontinu non – negatif diperoleh,
Perhatikan bahwa dengan menggantikan batas integral untuk dengan pada pertidaksamaan diperoleh
4
EKSISTENSI SOLUSI LOKAL
Pada pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa, mengkonstruksi himpunan baru yang termuat pada domain fungsional pada persamaan diferensial biasa sehingga Lipschitz diperlukan, karena tujuan pembuktiannya adalah menunjukkan bahwa solusi persamaan diferensial biasa hanya ada pada himpunan baru tersebut, dengan kata lain solusinya tidak terdefinisi pada semua domain dari fungsional pada persamaan diferensial biasa tersebut. Teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa dan pembuktiannya telah dibahas pada buku teks [4]. Perbedaan dari teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial tundaan terletak pada definisi masalah nilai awalnya. Pada persamaan diferensial biasa, nilai awalnya terdefinisi pada domain yang sama dengan domain dari fungsionalnya. Sedangkan pada persamaan diferensial tundaan, nilai awalnya didefinisikan pada domain yang berbeda dari fungsionalnya. Karena adanya perbedaan tersebut, pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan ada sedikit modifikasi di awal pembuktian dan secara garis besar proses selanjutnya memiliki ide yang sama dengan pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa. Perbedaan pembuktian ini secara spesifik terletak pada saat mendefinisikan fungsi kontinu yang memenuhi pada interval (tertutup dan terbatas) yang lampau sedemikian hingga fungsional terbatas dan pada saat membentuk batas dari fungsional pada suatu himpunan yang memenuhi.
Bukti : Karena Lipschitz lokal, terlebih dahulu didefinisikan himpunan sedemikian hingga Lipschitz pada . Berdasarkan definisi fungsi Lipschitz, pilih sebarang , , dan sedemikian hingga adalah himpunan bagian dari dan Lipschitz pada dengan konstanta Lipschitz . Selanjutnya, pendefinisian fungsi kontinu berikut ini pada pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa tidak diperlukan, karena pada persamaan diferensial biasa semua memiliki argumen yang sama sehingga pembuktiannya langsung membentuk suatu batas untuk pada suatu himpunan yang memenuhi . Sedangkan pada definisi fungsi kontinu berikut, mendefinisikan fungsi kontinu pada yang lampau atau untuk sebarang dan sehingga pembentukan batas dari fungsional selanjutnya melibatkan fungsi kontinu pada lampau ini dan juga sekarang ( itu sendiri), yaitu untuk . Didefinisikan fungsi kontinu dengan
sehingga bergantung secara kontinu pada karena kontinu. Oleh karena itu ada konstanta sedemikian hingga pada . Untuk suatu didefinisikan . Dipilih sedemikian hingga untuk . Dari titik ini dan seterusnya, pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan secara garis besar memiliki ide yang sama dengan pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa pada buku teks ordinary and delay differential equations. Dipilih sedemikian hingga Misalkan
Teorema 1. (Eksistensi Solusi Lokal) Diberikan sebarang bilangan real , dan
himpunan semua fungsi kontinu sedemikian hingga untuk dan untuk . Perhatikan bahwa, jika dan , maka sedemikian hingga
Jika kontinu dan Lipschitz lokal pada domainnya, maka untuk setiap , masalah nilai awal memiliki solusi pada untuk suatu .
Berdasarkan pertidaksamaan segitiga, Lipschitz, definisi , dan pernyataan bahwa diperoleh , untuk suatu konstanta Lipschitz . Selanjutnya,
untuk setiap
didefinisikan fungsi dengan
Maka, karena
pada
. Sehingga berlaku
pada
dan juga untuk
pada
, jadi diperoleh bahwa
pada
. Untuk
diperoleh,
, untuk
Fungsi
pada
adalah fungsi kontinu. jadi
. dan
. Setelah membentuk himpunan dimana dan mendefinisikan fungsi , selanjutnya mengkonstruksi successive approximations sebagai berikut. Dipilih sebarang dan kemudian dibentuk successive approximations berikut
diperoleh,
Berdasarkan definisi dari , Successive approximations dapat dituliskan sebagai berikut Untuk
diperoleh,
Terlihat bahwa pola dari perhitungan di atas dengan adalah sebagai berikut, dan untuk setiap , pada . Misalkan barisan fungsi
.
Setelah mendefinisikan barisan fungsi , selanjutnya akan dibuktikan bahwa konvergen. Dibentuk pengurangan dari dua barisan yang berurutan dari . dituliskan sebagai untuk Sehingga dapat diperoleh suatu relasi berulang dari pengurangan dua barisan dan barisan . Untuk setiap pada . Relasi berulang dari barisan dan barisan adalah sebagai berikut,
pada . Pertidaksamaan dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan induksi matematika. Sudah ditunjukkan bahwa memenuhi untuk . Selanjutnya menghitung pertidaksamaan diperoleh
Jadi terlihat bahwa perhitungan di atas hanya mengganti dengan sehingga melengkapi pembuktian dengan menggunakan induksi matematika. Jadi terbukti bahwa barisan konvergen pada . Hal ini jika dikaitkan dengan pada memberikan
pada
. Perhatikan bahwa barisan dapat direpresentasikan dalam bentuk
penjumlahan parsial sebagai berikut, Diketahui bahwa sedemikian hingga
dan kontinu pada sehingga ada Selanjutnya, berdasarkan Weierstrass M – Test, konvergen seragam pada , dimana
Misalkan maka
dan
dimana
. sehingga barisan . Misalkan pada
konvergen seragam pada untuk . Jelaslah bahwa kontinu dan . Lebih lanjut
lagi bahwa
untuk dan diperoleh
untuk berlaku
. Jadi untuk
Karena memenuhi Lipschitz lokal, maka ada sedemikian hingga himpunan
dan dan
berada di dalam dan Lipschitz pada dengan konstan Lipschitz . Berdasarkan Lemma 1 ada sedemikian hingga dan untuk . Lebih jauh lagi dan solusi dari . Jadi untuk , diperoleh
Berdasarkan definisi dan Lipschitz dengan konstanta Lipschitz sehingga diperoleh dan
. Selanjutnya untuk
Karena sisi kanan dan karena Dengan mengambil limit diperoleh
pada
untuk diperoleh
Sehingga diperoleh
Ini menyatakan bahwa adalah titik tetap dari .
5
memenuhi
dan
KETUNGGALAN SOLUSI
Pada pembahasan berikut ini akan dibahas ketunggalan solusi persamaan dengan membuktikan teorema ketunggalan berikut ini. Teorema 2. (Ketunggalan solusi). Diberikan bilangan real , dan fungsional Jika kontinu dan Lipschitz lokal pada domainnya, maka untuk sebarang dan , ada solusi tunggal pada masalah nilai awal pada . Bukti : Andaikan ada dua solusi untuk suatu yaitu dan yang keduanya merupakan pemetaan ke dengan .
adalah fungsi naik pada
, maka untuk
Misalkan , , pada pertidaksamaan . Dengan menggunakan Generalized Gronwall’s Lemma atau Reid’s Lemma diperoleh . Sehingga pada dan ini bertentangan dengan definisi . Sehingga benar bahwa solusi persamaan tunggal.
6
APLIKASI
Setelah membahas eksistensi solusi lokal dan ketunggalan solusi untuk suatu masalah nilai awal persamaan diferenisal tundaan, pada sub-bab ini akan dimunculkan permasalahan diferensial tundaan yang kemudian akan diperiksa eksistensi solusi lokal dan ketunggalan solusi dengan suatu masalah nilai awal yang diberikan dengan menggunakan Teorema 1 dan Teorema 2. Diberikan dan diberikan berbentuk untuk . Berikut ini adalah persamaan diferensial tundaan dengan nilai awal yang diberikan,
Berdasarkan teorema eksistensi solusi lokal dan ketunggalan solusi, persamaan dikatakan memiliki solusi lokal jika merupakan Lipschitz. Misalkan . Andaikan bahwa Lipschitz, sehingga ada sedemikian hingga berlaku
dan
oleh karena
naik diperoleh
Misalkan Diberikan bilangan asli
,
,
, dengan
, sehingga Karena dan berlaku untuk sebarang pada dan dengan menggunakan norma Euclide diperoleh
Berdasarkan
dan
sehingga diperoleh
Akibatnya adalah Lipschitz pada suatu atau adalah Lipschitz lokal, sehingga Teorema 1 dan Teorema 2 berlaku untuk semua jenis permasalahan berbentuk . 7 KESIMPULAN Diberikan dan anggota bilangan real . Persamaan diferensial tundaan
Menyatakan bahwa untuk setiap bilangan asli , tidak ada yang memenuhi sehingga bukan Lipschitz pada . Akan tetapi, mungkin memenuhi kondisi Lipschitz pada dimana tertutup dan terbatas, sedangkan himpunan , akan diperiksa apakah memenuhi kondisi Lipschitz pada suatu himpunan . Misalkan , sehingga . Berdasarkan definisi turunan dari di , maka
pada
, dengan fungsi
, dan memiliki solusi lokal dan tunggal pada dengan suatu nilai awal pada jika fungsional kontinu dan memenuhi kondisi Lipschitz pada atau merupakan Lipschitz lokal pada himpunan dengan untuk setiap dan .
Misal
suatu bilangan real
, sehingga diperoleh DAFTAR PUSTAKA
Untuk
, diperoleh
Jadi kontinu dan terdiferensialkan pada . Misalkan . Perhatikan bahwa untuk setiap , naik pada . Misalkan dan . Berdasarkan teorema nilai rata – rata dan untuk suatu yang memenuhi sedemikian hingga :
[1] Nugroho D. Budi. 2011. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya (Penyelesaian Manual dan Menggunakan Maple). Yogyakarta. Graha Ilmu. [2] Verdugo, Anael. 2008. [note] Delay Differential Equations,(online) http://people.math.cornel l.edu/~pmeerkamp/appl-dyn- sem/notes/%5b sem/notes/%5bnotes%5d%20dela 5bnotes%5d%20delay%20differential%20eq y% uations%20-%20verdugo.pdf
[3] Kenneth, D.R dan Donsig, P.A. 2002. Real Analysis with Applications. Toronto. Prentice Hall. [4] Driver, R. D. 1977. Ordinary and Differential Equations. Springer – verlag. New York.
