ABSTRACT

Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010

(R.4) PENDEKATAN BAYESIAN SPATIO-TEMPORAL UNTUK MENGATASI HETEROSKEDASTISITAS PADA PEMODELAN NILAI KETIMPANGAN PENDAPATAN MASYARAKAT DI PROPINSI SEPULAU JAWA Sahar Mildino1, Setiawan2, Sutikno3 1,2,3 Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Indonesia email: 1 [email protected], 2 [email protected], 3 [email protected]

ABSTRACT Permasalahan heteroskedastisitas seringkali muncul pada pemodelan ekono-metrika spasial, yaitu ragam error model tidak konstan. Berdasarkan waktu pengumpulan data, masalah ini dapat terjadi pada data cross section, times series, dan data panel. Salah satu upaya untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menggunakan pendekatan metode kuadrat terkecil tertimbang dan transformasi variabel. Metode lain yang digunakan untuk mengatasi heteroskedastisitas adalah pendekatan Bayesian. Penelitian ini membahas pendekatan bayesian untuk data panel, seringkali disebut Bayesian spatiotemporal. Metode ini diterapkan pada kasus pemodelan nilai ketimpangan pendapatan masyarakat di Propinsi sepulau Jawa. Hasil penelitian menunjukkan bahwa variabel yang berpengaruh signifikan (α=5%) terhadap tingkat ketimpangan pendapatan adalah proporsi jumlah anggota rumah tangga yang terdidik/tingkat keahlian dan proporsi jumlah anggota rumah tangga yang bekerja di sektor industri. Sementara variabel proporsi jumlah penduduk usia > 60 tahun, dan pertumbuhan pendapatan (PDRB) mempunyai tingkat signifikansi masing-masing sebesar 56.3%, dan 67.05%. Pengaruh spasial ( ρ ) sebesar 0.483004.

Kata Kunci : Bayesian spatio-temporal, data panel, heteroskedastisitas.

1. Pendahuluan Metode ekonometrik spasial dapat menganalisa observasi yang terdiri atas data antar-waktu (series) maupun data antar daerah (cross-section). Sedangkan untuk menganalisa efek-efek ekonomi yang tidak dapat dibedakan hanya dengan menggunakan data time-series ataupun cross section, dapat menggunakan analisis data panel. Menurut Abbas Gozali (2000), penggunaan data panel memiliki keuntungankeuntungan, pertama, memungkinkan jumlah data meningkat, dan hal ini akan menghasilkan derajat kebebasan tambahan sehingga mengurangi kolinearitas antar variabel. Kedua, memasukkan informasi yang berkaitan dengan baik variabel-variabel

Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi | 376


cross-section maupun time-series, lebih bervariasi dan dapat mengurangi masalah yang muncul apabila ada variabel yang dihilangkan. Panel data juga dapat mengontrol heterogenitas individu (daerah). Menggunakan data panel menambah dimensi kesulitan baru tentang masalah spesifikasi model dengan data panel pengganggu (disturbance terms) kemungkinan mengandung pengganggu yang berkaitan dengan time-series, pengganggu cross-section dan kombinasi keduanya. Walaupun sudah ada penelitian spasial panel model, homogenitas atau varians yang melewati waktu dihasilkan dalam model, tetapi dengan kemajuan teknologi Bayesian dengan varians modelnya yang bervariasi dapat diatasi. Misalnya, Lesage (1997) menunjukkan estimasi Bayesian model spasial autoregressive dengan heteroskedastisitas. Tulisan ini mencoba mengembangkan pendekatan oleh Lesage (1997) Bayesian spasial panel model, menggunakan pendekatan spatio-temporal heteroskedastisitas, untuk membahas Rasio Gini yang merupakan salah satu indikator lazim dan mudah digunakan sebagai pengukuran pemerataan pendapatan. Angka pendapatan perkapita merupakan angka rata rata yang tidak mencerminkan angka yang sebenarnya yang diterima penduduk. Berapa yang diterima tiap penduduk sebenarnya berkaitan dengan masalah merata atau tidak meratanya distribusi pendapatan, (Hal Hill, 1996). Faktor pertumbuhan pendapatan yang digambarkan pada produk domestik regional bruto (PDRB) dapat mempengaruhi distribusi pendapatan antar golongan masyarakat (size distribution of income) dalam masyarakat Indonesia, selanjutnya perlu dikaji karakteristik sektor-sektor yang dapat mempercepat peningkatan pendapatan golongan masyarakat dan apakah sektor tersebut yang mempengaruhi karakteristik dari nilai rasio Gini. Dalam hal ini sektor industri pengolahan, sebab sektor ini merupakan salah satu sektor yang cukup berperan besar terbadap pertumbuhan PDRB, dimana faktor produksi disektor ini dapat menghasilkan nilai tambah yang besar. Menurut penelitian Estulido (1997), ada empat faktor kecenderungan yang menyebabkan perubahan-perubahan terhadap ketidakmerataan pendapatan rumah tangga, yaitu (1)meningkatnya proporsi rumah tangga perkotaan, (2)perubahan perubahan distribusi umur, (3)meningkatnya jumlah anggota rumah tangga yang terdidik, dan (4)ketidakmerataan tingkat upah. Berdasarkan latar belakang tersebut, maka tujuan pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Dapat menerapkan metode Bayesian Spatio-temporal pada pemodelan untuk mengatasi heteroskedastisitas pada pemodelan ketimpangan pendapatan masyarakat di propinsi se Pulau Jawa. 2. Dapat Mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi tingkat ketimpangan pendapatan masyarakat di propinsi se Pulau Jawa.

2. MODEL Misalkan

y = ( y1' ,L , y t' ,L , y T' ) '

menyatakan variabel dependent dimana

y t = ( y1t ,L , y it ,L , y Nt ) ' dan X = ( X1' ,L, X t' ,L, XT' )' merupakan kumpulan k variabel


Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 ' independent sehingga X t = ( X 1' t ,L , X it' ,L , X Nt ) ' . i = (1,L , N ) menunjukkan Spatial

dan β = ( β1 ,L , β k ) ' tetap namun unit, t = (1,L , T ) menunjukkan periode waktu nilai parameter tidak diketahui. Fixed effect Model dengan Spatial Lag dan Spatio-temporal Heterokedastisitas dijabarkan sebagai berikut: yt = ρWyt + X t β + µ + ε t , ε t N (0, σ 2Vt )

Vt = diag (v1t , v2t ,L, vNt ) Dimana ε t = (ε1t ,L , ε Nt ) ' dan µ = ( µ1 ,L , µ N )' . Vt dinyatakan sebagai matrik diagonal yang tidak diketahui, dan µi adalah efek variabel spesifik pada setiap spasial unitnya. W yang kita ketahui sebagai spatial Weight matrik berukuran NxN yang menggambarkan hubungan antar wilayah (juga dapat difungsikan sebagai jarak). Dapat disimpulkan bahwa W adalah weight matrik yang konstan, semua elemen diagonalnya nol dan merupakan deretan matrik stokastik, jumlah perbaris adalah satu. Kemudian fungsi likelihood dari model dijabarkan dengan: −1 1  1  2 L( y σ 2 , β , ρ , X ,W ) = I n − ρW T V exp  − 2 (e'V −1e)  N .T  2σ  2πσ 2 Dimana e = (e1' , e2' ,L , eT' )' , et = ( I n − ρW )( yt − y ) − ( X t − X ) β , y = ( y1 ,L , yi ,L , y N )' , X = ( X 1' ,L , X i' ,L , X N' ) ' , V = diag (V1 ,V2 ,L,VT ) , yi dan X ' berarti rata-rata dari unit

ke I melalui waktu 1 ke T dalam setiap variabel dan I n dinyatakan dengan NxN matrik identitas. Sementara model ini dapat diestimasi menggunakan metode maksimum likelihood seperti pada Elhorst(2003), jika V diketahui, pendekatan Bayesian berikut membolehkan suatu analisis numerik dari penyebaran gabungan distribusi, termasuk perkiraan faktor varian vit (i = 1,L , N , t = 1,L , T ) dengan simulasi distribusi posterior pada model. Anggap π (σ 2 , β ,V , ρ ) = π (σ 2 )π (β )π (V )π ( ρ ); maka prior parameter distribution berdiri sendiri, Menurut Geweke (1993), independent priors π (vit ) juga ditujukan bagi semua parameter varian yang saling berkaitan vit , i = 1,L , N dan t = 1,L , T . Hal ini mengacu kepada distribusi −1

π (vit q* ) = ( q* / 2) q / 2 [ Γ(q* / 2) ] vit − ( q + 2) / 2 exp(− q* / 2vit ) yang berarti bahwa *

π (vit−1 q* )

2

χ ( q* ) / q . Selanjutnya Hirarki prior distribution dispesifikasikan sebagai

berikut π (σ 2 )

π (β )

*

IG ( NT , s*2 )

N ( β , H ) dengan β = 0 , H −1 = I n /1000 2

π (vit−1 q* ) χ ( q* ) / q* (iid for i = 1,L , N , t = 1,L , T ) π ( ρ ) Unif (−1,1) . Prior Hyperparameter s*2 lebih dispesifikasikan lagi, misal q*=5 dan s*2 berhenti hingga nol. Selanjutnya joint posterior distribution ditunjukkan dengan



p(σ 2 , β ,Vn , ρ y, X ,W ) ∝ L( y σ 2 , β , ρ , X ,W )π ( β )π (Vn )π ( ρ ) T

∝σ

− ( N .T +1)

I n − ρW

T

N

ΠΠ v t =1 i =1

− ( q* +3) / 2

it

exp(−q* / 2vit ) exp(−σ −2 eit2 / 2vit ),

dimana eit adalah elemen residual vector yang ke i. yaitu et = ( yt − ρWyt − X t β ) densitas ini untuk memperoleh Full Conditional Distributions (FCD's) bagi semua parameter dalam model.

3. ESTIMASI MODEL Dengan metode Markov chain Monte Carlo (MCMC). Kami memberi contoh melalui serangkaian distribusi full conditional dari parameter secara lengkap. Untuk mengimplementasikan pendekatan MCMC perlu menurunkan distribusi kondisional pada semua parameter secara lengkap pada model. Prosedur ini menghasilkan serangkaian perkiraan yang menyatu pada batas joint posterior distribution pada setiap parameter (lihat Gelfand and Smith (1990)). 3.1 Full conditional Posterior Distribution dari σ 2  1  ' −1 p (σ β ,V , ρ ) ∝ exp  − 2 (eV e )  mengikuti invers distribusi chi dengan  2σ  skala parameter

' −1 eV e N .T dan derajat bebas oleh karena itu σ 2 mengikuti distribusi 2 2

' −1  N .T eV e , invers gamma, IG   2   2

3.2 Full conditional Posterior Distribution dari β

 1 ' −1  p(β σ ,V , ρ ) ∝ exp  − 2 (eV e)   2σ  Sehingga parameter vektor β conditional pada parameter yang lain dalam model, σ 2 ,V , ρ secara umum dijabarkan sebagai berikut ) p ( β σ , V , ρ ) N ( β , σ 2 H ), ) β = ( X 'V −1 X ) −1 X 'V −1 ( IT ⊗ ( I n − ρW )) y ,

H = ( X 'V −1 X )−1 dimana IT menunjukkan matriks identitas T × T . perlu dicatat bahwa parameter

σ ,V , ρ dan vector dari ( IT ⊗ ( I n − ρW )) y dan X 'V −1 X dapat di perlakukan sebagai yang diketahui, membuat ditribusi conditional mudah untuk di hitung menjadi sampel. Hal ini sering terjadi pada kasus estimasi MCMC, menjadikan metode ini menarik.

3.3 Full conditional Posterior Distribution dari V T

N

p(V σ , β , ρ ) ∝ ΠΠ vit − ( q* +3) / 2 exp(−q* / 2vit ) exp(−σ −2eit2 / 2vit ), t =1 i =1



Menurut Geweke (1993) Posterior distributions dengan Elemen dari V , misalkan v11 , v21 ,L, viT ,L, vNT , (kondisional pada σ , β dan ρ ) adalah distribusi chi square (σ −2 eit2 + q* ) / vit

χ 2 ( q* + 1), i = 1,L , N , t = 1,L , T . q* mengendalikan jumlah penyebaran pada vit melalui observasi. Nilai alternatif pada parameter ini menghasilkan hubungan yang berbeda dari prior densitas vit , dimana nilai kecil dari q* yang menghasilkan distribusi leptokurtic dan nilai besar ( q* → ∞ ) mengahasilkan homoskedastisitas. 3.4 Full conditional Posterior Distribution dari ρ Dari join distribusi (1) spasial korelasi parameter mengikuti kernel 1 T   ' −1 p ( ρ σ , β ,V ) ∝ I N − ρW  − 2 (eV e)   2σ  Jika ρ dimasukkan dalam determinan akan sulit untuk memberi sampel dari conditional posterior distribution. Oleh karena itu kita mengambil langkah metropolis dengan sampel rejection.

3.5 Metode MCMC Bagan perkiraan MCMC dapat dimulai dengan nilai awal sembarang untuk parameter yang dilambangkan dengan σ 0 ,V 0 , β 0 dan ρ 0 2

0

0

0

 N .T e'V −1e  ,  −  2   2

untuk nilai σ baru kita beri nama σ 1

1.

p (σ β ,V , ρ )

2.

) p ( β σ 1 ,V 0 , ρ 0 ) dengan distribusi multivariate normal dengan mean β dan varian

IG

σ 2 H di beri nama baru β 1 3.

0

p (vit σ 1 , β 1 , v− it , ρ ),

distribusi

chi-square

dengan

derajat

bebas

q+1

v− it = ( v11 , v21 ,L , vi −1t , vi +1t L , vNT ) dimana v− it adalah vt tanpa elemen vit

4. Dengan mengikuti langkah Metropolis: ρ sampel dari ρ = ρ 0 + cθ , θ N (0,1) dimana c disebut parameter tuning Kemudian kita menaksir nilai acceptance probability  p( ρ )  ,1 α ρ 0 , ρ = min  0  p( ρ ) 

(

)

Dan akhirnya menentukan

ρ 1 = ρ dengan probabilitas α ( ρ 0 , ρ ) ,dengan kata lain

ρ1 = ρ 0 jika λmin dan λmax menunjukkan minimum dan maksimum nilai eigenvalue W dari biasa disebut bahwa λmin < 0 dan λmax > 0 dan ρ harus terletak pada interval,

ρ ∈ λ −1 , λ −1  Sun dkk(1999). Oleh karena itu, kita menggunakan rejection sampling min

max

untuk membatasi ρ untuk interval yang dikehendaki dengan menggunakan algoritma Metropolis (lihat Smith dan Lesage (2004)).



Kita sekarang kembali kelangkah pertama mendata nilai parameter terbaru pada nilai awal σ 0 ,V 0 , β 0 , dan ρ 0 . Pada setiap langkah yang melalui pengulangan kita mengumpulkan gambaran parameter yang digunakan untuk membentuk posterior distribution.

4. Penelitian dan Analisis Berdasarkan uraian dari latar belakang permasalahan maka peneliti mencoba menganalisa variabel-variabel independen dari hasil penelitian oleh Estudilo (1997) dengan fungsi indeks ketidakmerataan pendapatan/ Nilai rasio Gini sebagai berikut :

Y= f (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ) Dimana : Y adalah angka Indeks Ketidakmerataan pendapatan (Indeks Gini). X1 adalah proporsi jumlah penduduk usia > 60 tahun. X2 adalah proposi jumlah anggota rumah tangga yang terdidik/tingkat keahlian. X3 adalah proposi jumlah anggota rumah tangga yang bekerja di sektor industri X4 adalah pertumbuhan pendapatan nasional (PDRB). Angka Ketidakmerataan pendapatan (Y), untuk kebutuhan angka ketidakmerataan pendapatan diproxi dari data indeks Gini atau nilai rasio Gini (hasil perhitungan menurut pengeluaran konsumsi penduduk), secara series dari tahun 2003 sampai dengan tahun 2008 di setiap propinsi di Pulau Jawa. Selanjutnya dikombinasikan dengan data cross section dari wilayah 6 propinsi di Pulau Jawa (data BPS), sementara variabel bebasnya antara lain: a. Proporsi jumlah penduduk berusia lanjut (lebih besar atau sama dengan usia 60 tahun/X1) datanya didapatkan dari jumlah penduduk berusia > 60 tahun pada tiap propinsi di Pulau Jawa dibandingkan dengan total jumlah penduduk di setiap propinsi di Pulau Jawa. b. Proporsi jumlah anggota rumah tangga pekerja terdidik/tingkat keahlian (X2), datanya didapatkan dari jumlah penduduk yang bekerja menurut pendidikan kemudian diberikan bobot berdasarkan waktu tempuh sekolah (tahun) yaitu 0 untuk tidak sekolah, 3 untuk tidak tamat SD, 6 untuk lulus SD, 9 untuk lulus SLTP, 12 untuk lulus SLTA, 14 lulus DI,DII,DIII/Akademi dan 16 lulus perguruan tinggi. Kemudian bobotnya dikalikan dengan jumlah penduduk yang bekerja sesuai dengan klasifikasi, kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan suatu nilai jumlah keahlian, selanjutnya dibandingkan dengan total jumlah penduduk di setiap propinsi di Pulau Jawa.



c. Proporsi jumlah anggota rumah tangga yang bekerja di sektor industri (X3) datanya didapatkan dari jumlah penduduk yang bekerja di sektor industri dibandingkan dengan total jumlah penduduk di setiap propinsi di Pulau Jawa. d. Pertumbuhan pendapatan nasional (X4), pertumbuhan ekonomi datanya didekati dengan data pertumbuhan PDRB dari setiap propinsi yang ada di Pulau Jawa.

Tabel 1. Output Bayesian spatial autoregressive dengan Heteroscedastic model. Variable constant pduduk60+ (X1) tkdidik (X2) tkindustri (X3) Pertmhnpdrb (X4) rho Rbar-squared

Coefficient -3.615612 0.038355 -0.195944 0.229710 -0.130135 -0.571876 0.0463

Asymptot t-stat -5.851119 0.578107 -2.365606 1.957735 -0.425452 -5.591231

z-probability 0.000000 0.563192 0.018001 0.050261 0.670507 0.000000

Dari Table 1. Terlihat bahwa :

• variabel yang signifikan (α=5%) terhadap tingkat ketimpangan pendapatan adalah proporsi jumlah anggota rumah tangga pekerja terdidik/tingkat keahlian (X2) dengan P-Value sebesar 0.018001 dan variabel proporsi jumlah anggota rumah tangga yang bekerja di sektor industri (X3) dengan P-Value sebesar 0.050261. Sementara variabel Proporsi jumlah penduduk berusia lanjut (lebih besar atau sama dengan usia 60 tahun/X1 dan variabel Pertumbuhan pendapatan (PDRB) tiap Propinsi di Pulau Jawa (X4) memiliki nilai signifikansi masing-masing sebesar 0.563192 dan 0.670507. %. Pengaruh spasial ( ρ ) sebesar 0.483004. • Model yang dihasilkan adalah ln Yit = −0.57WYit − 0.19ln X1 + 0.23ln X 3 − 3.61 Dengan interpretasi bahwa: 1. Setiap bertambah satu % proporsi jumlah anggota rumah tangga pekerja terdidik/tingkat keahlian (X2) berpengaruh negative sebesar 0.19 %terhadap tingkat ketimpangan pendapatan. 2. Setiap bertambah satu % proporsi jumlah anggota rumah tangga yang bekerja di sektor industri (X3) berpengaruh postitif sebesar 0.23% terhadap tingkat ketimpangan pendapatan.



5. Kesimpulan Dari hasil yang diperoleh Perubahan komposisi penduduk menurut tingkat pendidikan berbanding terbalik dengan teori bahwa semakin banyak anggota rumah tangga pekerja yang ahli dalam bekerja maka imbalan jasa (pendapatan) akan semakin besar, hal ini akan terjadi perubahan dalam kelompok penduduk dari berpendapatan rendah, kelompok penduduk berpendapatan sedang dan kelompok penduduk berpendapatan tinggi. Ketidakmerataan dalam tingkat upah adalah lebih tinggi dari pada ketidakamerataan pendapatan menurut jam kerja. Hal ini dapat dilihat pada marginal produktivitas tenaga kerja yang bekerja dengan mesin (industri), maka akibatnya tarif upah lebih tinggi jika dibandingkan dengan sektor pertanian atau sektor tradisional lainnya, dengan demikian terjadi perubahan secara proporsional tingkat penyerapan tenaga kerja di sektor industri pengolahan, maka akan mendorong nilai rasio Gini membesar dan memperburuk indeks ketidakmerataan pendapatan.

Referensi Anselin, L. (1988). Spatial Econometrics: Methods and Models. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Anselin, L. (2006). Spatial panel econometrics. In The Econometrics of Panel Data (Edited by L. Matyas and P.Sevestre), 4th edition. Springer. Baltagi, B. H. (2005). Econometric Analysis of Panel Data,3rd edition. Wiley. Baltagi, B. H and Levin, D. (1986) Estimating dynamic demand for cigarettes using panel data; The effects of bootlegging, taxation and advertising reconsiderd. The Review of Economics and Statistics 68, 148-155. Baltagi, B.H., Song, S.H., Jung, B.C. and Koh, W. (2007). Testing for serial correlation, spatial autocorrelation and random effects using panel data. Journal of Econometrics 140, 97-130. Cressie, N. (1993). Statisitics for Spatial Data, revised edition. Wiley. Elhorst, J.P. (2003), Specification and Estimation of Spatial Panel Data Models. International Regional Science Review 26, 3: 244–268. __________ (2009), Spatial Panel Data Models. In Fischer MM, Getis A (Eds.) Handbook of Applied Spatial Analysis, Ch. C.2. Berlin Heidelberg New York: Springer. Estudilo J.P. Income Inequality In The Philippines 1961-1991. Journal Of The



Developing Economics XXXV-I (March 1997)

Gelfand, A. E., and Smith, A. F. M. (1990), "Sampling-Based Approaches to Calculating Marginal Densities," Journal of the American Statistical Association, 85, 398409. Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H. and Rubin, D.(2004). Bayesian Data Analysis, 2nd edition, Chapman, Boca Raton. Gemmell, N. (1992) editor, Jakarta.

ilmu Ekonomi Pembangunan beberapa Survei, LP3ES

Geweke, J. (1992) “Evaluating the Accuracy of Sampling-Based Approaches to the Calculation of Posterior Means,” in Bayesian Statistics 4, (eds J.M. Bernard, J. O. Berger, A. P. Dawid and A. F.M. Smith), Oxford University Press, Oxford. Geweke, J. (1993) “Bayesian Treatment of the Independent Student-t Linear Model,” Journal of Applied Econometrics, 8, 19–40. Hill, H. Transformasi Ekonomi Indonesia sejak 1966, PT.Tirtana Wacana. 1966 Jogja.

Robert Haining, (2003) “ Spatial data Analysis, theory and practices “ University of Cambridge. Kakamu, K., Polasek, W., and Wago, H. (2006). Spatial Interaction of Crime Incidents in Japan. mimeo. www.mssanz.org.au/modsim05/papers/kakamu_1.pdf didownload bulan September 2010. LeSage, J.P. (1997) “Bayesian Estimation of Spatial Autoregressive Models,” International Regional Science Review, 20, 113–129. LeSage, J.P. (1999), The Theory and Practice of Spatial Econometrics, Departement of Economics University of Toledo. Roberts, G. O., A. Gelman and W. R. Gilks (1997) “Weak Convergence and Optimal Scaling of Random Walk Metropolis Algorithm,” Annals of Applied Probability, 7, 110–120. Tierney, Luke (1994) “ Markov Chains for Exploring Posterior Distributions (with discussion),” Annals of Statistics, 22, 1701–1762. Zeng,Y. Zhu,J. and Li, D. (2007), Analyzing Spatial Panel Data of Cigarette Demand: Bayesian Hierarchical Modeling Aproach.


ABSTRACT

Recommend Documents