ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA
„Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által és ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó feladatoknak rajzbeli megoldása.” (Strommer Gyula: Ábrázoló geometria)
Az ábrázoló geometria tehát a teret képezi le síkra/síkokra kölcsönösen egyértelmő módon vetítéssel. Célja, hogy térbeli szerkesztéseket el tudjunk végezni egyetlen síkban (a szerkesztésekhez használt síkban). Az ábrázoló geometria megértéséhez szükséges ismerni az elemi sík- és térgeometriát, a projektív geometriát valamint a differenciálgeometria alapjait. Rövid történeti áttekintés: Az ábrázoló geometria gyökerei az ókorba nyúlnak vissza, hiszen már i.e. 13 körül Vitruvius római építımester tervei alaprajzokból (felülnézet) és homlokrajzokból (elılnézet) álltak. Ezeket a szerkesztési eljárásokat egészen a középkorig csupán az építészek használták és gyakorlati jelentısége volt. Késıbb már királyi építészek és mérnökök írásba foglalták az építészethez (illetve szobrászathoz és festészethez) szükséges alapvetı szerkesztéseket. Gérard Desargues volt az elsı tudós, aki egy 1640es értekezésében vizsgálni kezdte a különbözı ábrázolási módok közös jellemzıit és bizonyítani próbálta a módszerek helyességét. Késıbb Abraham Bosse mővész folytatta Desargues munkásságát. Pontosabb bizonyításokkal Amédée-Francois Frézier állt elı 1737-ben. Az ábrázoló geometriát mint önálló tudományágat Gaspard Monge (1746-1818) teremtette meg. İ fedezte föl és írta le egy rendszerbe az ábrázoláshoz szükséges általános és elvont szabályokat. Ezen okok miatt tekintjük Monge-t az ábrázoló geometria atyjának. Alapvetı tankönyvét 1798-ban jelentette meg. Monge mindemellett a differenciálgeometriában is igen jelentıs eredményeket ért el. Monge könyve után virágzásnak indult az ábrázoló geometria. Az axonometrikus ábrázolás J. H. Lambert nevéhez főzıdik. Az axonometria általános elméletét K. W. Pohlke (1810-1876) dolgozta ki. Mindezekkel párhuzamosan természetes volt, hogy az emberi látás sajátosságait is szerették volna szerkesztésekkel reprodukálni (ezt igényelte a festészet, szobrászat is). Az emberi szem nem párhuzamos vetítéssel alkot meg egy képet egy adott tárgyról, hanem adott centrumból történı vetítéssel. Ez a centrális képalkotás a perspektíva (gyakorlati perspektíva). Reneszánsz mővészek írták össze a leképezés sajátosságait (∼1350–tıl ∼1500-ig): F. Brunelleschi, L. Battista Alberti, majd késıbb Albrecht Dürer és Pietro della Francesca. Késıbb, a XIX. század végén, a XX. század elején a fényképezıgép megjelenésével új irányt vett a centrális vetítés kutatása. Az ábrázoló geometriához tartozik egy érdekes nemlineáris leképezés, az ún. ciklográfia (térbeli pont képe egy kör a síkban). A ciklográfia kiemelkedı alakjai: Fiedler, E. Müller, J. Krames. A XX. század kutatói általánosításokkal foglalkoztak (például a centrálaxonometria vagy a Maurin-féle leképzés, amely 4 dimenziós teret képezi le egy síkra). Napjainkban az ábrázoló geometria összemosódik a komputergrafikával.
A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait.
Az ábrázoló geometriában általában 3 dimenziós (az ideális síkkal) kibıvített euklideszi térben dolgozunk.
1
LÉNYEGESEBB ÁBRÁZOLÁSI MÓDOK
1. Párhuzamos vetítések A vetítés(ek) iránya(i) egy (vagy több) egyenessel párhuzamos(ak).
Alapvetı tulajdonságok: Minden párhuzamos vetítés affin leképezés, ezért •
egyenestartó
•
illeszkedéstartó
•
párhuzamosságtartó
•
osztóviszonytartó
a) Monge-projekció A teret két egymásra merıleges képsíkra (merılegesen) vetítjük. Egy pontnak ily módon egy pontpár felel meg (a leképezés így kölcsönösen egyértelmő). A két képsíkot ezután „egymásba hajtjuk”, így egy síkban (a rajz síkjában) ábrázolhatjuk a teret.
b) Axonometria
A tér pontjait három, egymásra páronként merıleges koordinátasíkra vetítjük. Ezt a rendszert (a térbeli pontot és a három vetületét) képezzük le egyetlen képsíkra. (A képsík egybeeshet a koordinátasíkok egyikével is, ez a helyzet az ún. Kavalier-axonometriánál.) Egy pontot két képével adhatunk meg egyértelmően (a hiányzó két kép már megszerkeszthetı). A vetítési rendszert 4 pont és képe adja meg egyértelmően: A tengelykereszt origója (O) a tengelyegyenesek egységpontjaival (Ex, Ey és Ez) – és ezek képei! Létezik ferdeszögő és merıleges (ortogonális) axonometria aszerint, hogy a fent említett rendszert tetszıleges irányból vagy merılegesen vetítjük a képsíkra.
2
Lényegesebb speciális axonometriák: Kavalier-axonometria (olyan ferdeszögő axonometria, ahol a képsík egybeesik az [y,z] koordinátasíkkal) és az ortogonális axonometria (a vetítés iránya merıleges a képsíkra).
Az axonometria alaptétele: Egy tárgy minden axonometrikus képe megkapható a tárgy egy megfelelı paralel projekciójának affin képeként. Pohlke-tétel (1853): A sík egy O pontjából kiinduló nem kollineáris OE x , OE y , OE z szakasza mindig tekinthetık egy O(Ex,Ey,Ez) egyenlıszárú derékszögő koordinátatengelykereszt paralel projekcióinak. (Más megfogalmazásban: Egy térbeli alakzat axonometrikus képe mindig hasonló a térbeli alakzat valamely párhuzamos vetületéhez.)
c) Kótás-projekció Egyetlen képsík áll rendelkezésre. A tér pontjait merılegesen vetítjük erre a síkra. Mivel a leképezés így még nem egyértelmő, ezért minden ponthoz egy számot rendelünk, a pont képsíktól való elıjeles távolságát. (Szükség van az egységnyi távolság, azaz az egység megadására.)
3
2. Centrális vetítések Alapvetı tulajdonságok •
egyenestartó
•
illeszkedéstartó
•
általában nem párhuzamosságtartó
•
kettısviszonytartó (A, B, C, D pontok kettısviszonya: ( ABCD ) = ( ABC ) .) ( ABD )
a) Gyakorlati perspektíva Az emberi látáshoz legközelebbi ábrázolási eljárás. Adott két sík: a képsík, amely „függıleges” helyzető és egy alapsík, amely a képsíkra merıleges. A vetítés centruma nem illeszkedhet a képsíkra. Egy-egy objektum ábrázolásánál a centrum képsíkra vetett merıleges vetülete és két egymással párhuzamos egyenes segíti a szerkesztést (a képsíkon természetesen): egyik a képsík és alapsík metszésvonala (alapvonal), a másik pedig az ún. „horizontvonal” (a horizontvonal az alapsík ideális egyenesének a képe, de minden képsíkkal párhuzamos egyenes ideális pontjának is itt helyezkedik el a képe).
b) Centrális projekció Egyképsíkos ábrázolási mód. Adott egy képsík és egy rá nem illeszkedı pont (a centrum). A képsíkon a centrum merıleges vetületével és az ún. distanciakörrel dolgozunk (Distanciakör: olyan kör, melynek középpontja a centrum merıleges vetülete, sugara a centrum és a képsík távolsága). A centrális projekció érdekessége, hogy önálló pontot nem tudunk ábrázolni. Az ábrázolás alapeleme az egyenes, amelyet két pontjával adunk meg: az egyenes és a
4
képsík közös pontjával (nyomponttal), illetve az ún. irányponttal. (Iránypont: az egyenes ideális pontjának – a centrumon keresztül vetített – képe.)
Nem egyenestartó leképezések: inverzió, sztereografikus projekció, ciklográfia stb.
TÉRELEMEK KÖLCSÖNÖS HELYZETE, TÉRELEMEK ÁBRÁZOLÁSA Térelemek kölcsönös helyzetei Pont és egyenes:
Két egyenes:
•
a pont illeszkedik az egyenesre
•
•
a pont nem egyenesre
a két egyenes párhuzamos (beleértve az egybeesést is)
•
a két egyenesnek van egy közös pontja (a két egyenes metszı)
•
a két egyenesnek nincs közös pontja, de nem párhuzamosak (a két egyenes kitérı)
illeszkedik
az
Pont és sík: •
a pont illeszkedik a síkra
•
a pont nem illeszkedik a síkra
Egyenes és sík:
Két sík:
•
az egyenes illeszkedik a síkra
•
•
az egyenesnek és a síknak van egy közös pontja
a két sík párhuzamos (beleértve az egybeesést is)
•
a két sík metszı, metszetük egy egyenes
•
az egyenes párhuzamos a sík egy egyenesével
(Két pont lehetséges helyzete egyértelmő.) 5
Alapelemek ábrázolása Monge-projekcióban és axonometriában Pont ábrázolása
Monge-projekció: A térbeli P pont két képe: P’ az elsı képsíkra –, P” a második képsíkra esı merıleges vetület. A vetítés tulajdonságaiból adódóan P’P” egyenes merıleges lesz az x1,2 tengelyre – ezt az egyenest rendezınek nevezzük. (A PP’ illetve PP” egyenesek a vetítıegyenesek.)
Ált. axonometria: A pontot két képével adhatjuk meg egyértelmően. Az ábrán ez a két pont a P (a térbeli pont axonometrikus képe) és a P’ (a térbeli pont [x,y] síkra esı vetületének axonometrikus képe). Ebbıl a két pontból a hiányzó P” és P”’ – a három tengely képét felhasználva – szerkeszthetı. (Elég csupán végiggondolni, hogy a térbeli pontot hogyan vetítettük a három koordinátasíkra: a térbeli vetítések „síkbeli képeit” szaggatott vonallal jelöltük.) Például P” pont szerkesztése: Tudjuk, hogy a térben a P pontot merılegesen kell vetíteni az [y,z] síkra. Mivel a térben az x tengely merıleges az [y,z]-re, így a párhuzamosságtartás miatt P axonometrikus képébıl az x-szel kell párhuzamost húzni. Ekkor megvan a vetítés iránya, de nem tudjuk a pont és a vetület távolságát. Ebben a P’ segít, mivel P’ távolsága az y tengelytıl egyenlı a P és [y,z] közötti távolsággal. Ez az axonometrikus képre is „öröklıdik” az osztóviszonytartás miatt. Megjegyzés: A gyakorlatban a tengelyeket, a pontot és a pont koordinátasíkokra esı vetületeit egyszerően x, y, z; P, P’, P”, P’” jelöli.
Egyenes ábrázolása
Monge-projekció: Ha egy egyenest merılegesen vetítjük elıször K1-re, majd K2-re, egy-egy egyenest kapunk (e’ és e”). Az [e,e’] és [e,e”] síkokat vetítısíkoknak nevezzük. Egy vetítısík (a leképezés tulajdonságai miatt) merıleges a megfelelı képsíkra. Egy egyenes képsíkokkal alkotott metszéspontjait nyompontoknak hívjuk, 6
N1-gyel, illetve N2-vel jelöljük. (Ezek a nyompontok esetenként ideális pontok is lehetnek – például az egyik képsíkra merıleges egyenesnek nem tudjuk megszerkeszteni mindkét nyompontját.) A két nyompontot ugyanúgy két képével ábrázoljuk, mint egy tetszıleges pont esetén.
Ált. axonometria: Ahogyan a pont ábrázolásánál már végigvezettük, elsı lépésként itt is két tetszıleges kép szükséges az egyértelmő ábrázoláshoz (az ábrán: e és e’). A hiányzó e” és e”’ képeket az egyenes két pontja segítségével kaphatjuk meg. Választhatunk két tetszıleges pontot az e egyenesrıl: azoknak megszerkesztjük a hiányzó képeit, majd a két pont megfelelı képeinek összekötésével e” és e”’ adódik. Általában a rendelkezésre álló nyompontok hiányzó képeit szerkesztjük meg. A rajzon N1 pont az egyenes [x,y] síkkal való metszéspontja (azaz e és e’ közös pontja – az elsı nyompont). Ezen pont hiányzó két képét a korábban említett módon határozhatjuk meg. A második nyompont (az egyenes és az [y,z] közös pontja) esetében ugyanígy járhatunk el – itt e’ és y metszéspontjából z-vel párhuzamost húzva megkapjuk a nyompontot, a többi képét a „pont ábrázolása” alapján szerkeszthetjük. (Egy egyenesnek általában 3 nyompontja van egy axonometrikus ábrázolás esetén.)
Sík ábrázolása
Monge-projekció: Egy síkot 3 pontja egyértelmően meghatározza, megtehetnénk tehát, hogy 3 tetszıleges pontot ábrázolva kijelentjük: síkot ábrázoltunk. (A gyakorlatban sokszor tesszük ezt.) Azonban szerkesztések során szükség van arra, hogy speciális elemeit lássuk a síknak. Ahogyan az egyeneseket a nyompontok határozták meg – a síkot két nyomvonalával ábrázolhatjuk. A nyomvonalak a sík és a képsíkok metszésvonalai. A két nyomvonal (n1 és n2) az x1,2 tengely egy pontjába fut – ez könnyen átgondolható.
7
Ált. axonometria: A Monge-projekcióhoz hasonlóan itt is nyomvonalakkal ábrázoljuk leggyakrabban a síkokat. Itt azonban két nyomvonal helyett általában három létezik – a három koordinátasíkkal való metszésvonal.
NÉHÁNY FELADAT 1. Adott egy csonkolt kocka képe Monge-projekcióban. Szerkesszünk errıl a kockáról szemléletes képet!
8
2. Adott egy csonkolt henger képe Monge-projekcióban. Szerkesszünk errıl a hengerrıl szemléletes képet!
3. Ábrázoljunk kockát gyakorlati perspektívában!
(Ez a szerkesztés érdekességként szerepel. Magyarázatot ld. bármilyen gyakorlati perspektíváról szóló könyvben.)
9
Megoldások:
Ajánlott irodalom: •
Romsauer Lajos: Ábrázoló geometria 1-2.
•
Zigány Ferenc: Ábrázoló geometria
•
Strommer Gyula: Ábrázoló geometria
•
Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria
•
Katona Zoltán: Ábrázoló geometria
•
Lırincz Pál – Petrich Géza: Ábrázoló geometria
•
Gyarmathi László: Ábrázoló geometria 2.
10
