A tárgy neve Meghirdető tanszék(csoport) Felelős oktató: Kredit Heti óraszám típus Számonkérés Teljesíthetőség feltétele Párhuzamosan feltétel Előfeltétel Helyettesítő tárgyak Periódus Javasolt félév Kötelező vagy kötelezően választható
MATEMATIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN 1. SZTE TTK Elméleti Fizikai Tanszék Dr. Gyémánt Iván 4 2+2 Előadás+gyakorlat Kollokvium+gyakorlati jegy Előadás a gyakorlattal együtt Kalkulus 1. Tavaszi félév, évente 2 fizika
AJÁNLOTT IRODALOM 1. 2. 3. 4. 5.
G. B. Arfken, H. J. Weber: Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, 1995. Bronstein, Szemengyajev, Musiol, Muhlig: Matematikai kézikönyv, Typotex Kiadó, Budapest, 2002. Jánossy - Tasnádi: Vektorszámítás I., II., III., Tankönyvkiadó, Budapest, 1980. G. Simmonds: Tenzoranalízis dióhéjban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985. Elméleti Fizikai Példatár I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1981.
A TANTÁRGY RÉSZLETES TEMATIKÁJA Bevezetés A Matematikai módszerek (című tantárgyak) célja, hogy a Kalkulus 1., a Kalkulus 2. és a Lineáris algebra fizikusoknak című kurzusokat elvégző, a fizika alapképzésben résztvevő hallgatók gyakorlatot szerezzenek a matematikai tételek és módszerek fizikai alkalmazásaiban. Ezek az ismeretek az alapdiploma mesterségbeli tudásfedezetének lényeges részét képezik, eme tudás nélkül elképzelhetetlen a fizika professzionális tanulmányozása akár fizikatanári, akár akadémiai fizikus, illetve fizikához kapcsolható inter-, vagy multidiszciplináris képzésekről legyen is szó. A Matematikai módszerek 1. című kurzus az alábbi témakörökre bontható: 1. 3-dimenziós vektorok, a koordináta rendszer forgatása, skalár-, vektor-, vegyes - szorzat, hármas vektori szorzat. 2. Változó vektorok, vektorok deriváltjai: időderivált, gradiens, divergencia, rotáció. A nabla-vektor, többszörös deriváltak, számolási szabályok 3. Görbék és felületek: megadási módszerek, főbb jellemzők. 4. Görbevonalú koordináták. 5. Vektormezők integrálása: vonal-, felületi-, térfogati integrálok. 6. Gauss tétele. Stokes tétele. Alkalmazások. 7. Gradiens, divergencia, rotáció, ∆ görbevonalú koordinátákban. 8. Másodrendű tenzorok, tenzorműveletek. 9. Tenzorkomponensek transzformációja. 10. Főtengelytétel, tenzorinvariánsok. 11. Ferdeszögű koordinátarendszerek, metrikus tenzor. Vektorok és tenzorok kovariáns és kontravariáns komponensei. Bázistranszformációk. Ezek a témakörök a fizikai tanulmányok során mind fontos alkalmazásokat nyernek. Az alább következő részletes tematikában az alkalmazásoknak csak egy korlátozott körét tudjuk bemutatni. 1. 3-dimenziós vektorok, a koordináta rendszer forgatása, skalár-, vektor-, vegyesszorzat, hármas vektori szorzat 1.1.
3-dimenziós vektorok
1.1.1. Irányított szakaszok, összeadás, szorzás számmal, kivonás stb. (Pl.: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő, impulzus, impulzusnyomaték) 1.1.2. Vetületek, komponensek, műveletek számhármasokkal 1.1.3. A koordináta-tengelyek elforgatása a) a helykoordináták transzformációja b) vektorkomponensek transzformációja c) forgásinvariáns (koordináta rendszertől független) fizikai törvények
2
1.1.4. Skalárszorzat a) vetületek adott irányokra, A ⋅ B = AiBi = A b) c)
B cos γ
A ⋅ B = B ⋅ A bilineáris, forgásinvariáns stb. A 2 = ( A⋅A) > 0 …, A ⋅ B 2 ≤ ( A ⋅ A) ( B ⋅ B)
d) em · en = δ mn 1.1.5. Vektori szorzat a) nyomatékok b) A × B = A B sin γ nˆ
( nˆ ⊥ A , B jobbkéz szabály)
c) d) e) f) g) h)
em × en = ε mn l el L = r × p, FL = q v × B B × A = – A × B, stb. A ×B = (A2B3 – A3B2)e1+ …. felírás determinánssal az A és B által kifeszített paralelogramma területe (pl.: a felületi sebesség és az impulzusnyomaték kapcsolata) 1.1.6. Vegyesszorzat: A ⋅ (B × C) a) A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ (A ×B) = – A × (C ×B) = – C · (B × A)= – B × (A × C) b) felírás a komponensekből felépített determinánssal A1 A2 A3 A ⋅ (B × C) = B1
B2
B3
C1 C 2
C3
c) az A, B, C vektorok által kifeszített paralelogramma előjeles térfogata d) jobbsodrás – balsodrás e) kristályrács – reciprok rács 1.1.7. Hármas vektori szorzat: A × (B × C) = B (A ⋅ C) – C (A ⋅ B) a) forgó test impulzusnyomatéka a szögsebesség homogén lineáris függvénye b) forgó test forgási energiája a szögsebesség homogén négyzetes függvénye c) mozgó töltések mágneses kölcsönhatása 2. Változó vektorok (A (r,t)) deriváltjai: időderivált, gradiens, divergencia, rotáció 2.1. Időderivált Vektor függvény skalár változóval: A (t) a) a fizikában a vektormennyiségek általában időfüggőek, változási & ütemüket időderiváltjuk jelenti: A (Pl.: a sebesség a helyvektor időderiváltja, stb.) b) összeg, skalárszorzat, vektori szorzat időderiváltja c) egységvektor időderiváltja d) centrális erőtérben a felületi sebesség állandó e) 3
2.2. Gradiens Skalárfüggvény vektor változóval: U (r ) a) Változási üteme függ az iránytól (n): ∂U ∂U ∂U ∂U = nx + ny + n z = ∇U ⋅ n ∂n ∂x ∂y ∂z b) ∇U az U függvény leggyorsabb növekedésének irányába mutat c)
∇U merőleges az illető ponton átmenő szintfelületre
d)
∇ = ei
e)
∇
f)
erő = – ∇ (potenciál)
∂ ∂xi
(Nabla – vektor)
1 r
2.3. Divergencia Vektorfüggvény vektorváltozóval : A (r) ∂Ax ∂Ay ∂Az ∇⋅ A = + + a) ∂x ∂y ∂z r b) ∇ ⋅ 3 = 0 (r ≠ 0)
∇ ⋅ (UA) = ∇U ×A + U ∇ ⋅A ∇ ⋅ B = 0 (B forrásmentes) ∇ (A⋅B) = ( ∇ ⋅A) B + A ( ∇ ⋅B)
c) d) e)
2.4. Rotáció Vektorfüggvény vektorváltozóval: A (r) ∂A ∂A a) ∇ × A = e1 ( 3 − 2 ) + … ∂x 2 ∂x3 =
b) c) d) e) f)
e1 ∂ ∂x1 A1
e2 ∂ ∂x 2 A2
e3 ∂ ∂x3 A3
∇ ×(UA) = U ∇ ×A+ ( ∇ U)×A ∇ ×E = 0 (E örvénymentes) r ∇ × 3 = 0 (r ≠ 0) r ∇ ×(ω ×r) = 2ω ∇ (A⋅B) = (B⋅ ∇ ) A + (A⋅ ∇ )B + B × ( ∇ ×A)+A×( ∇ ×B)
4
g)
A× ( ∇ ×A) =
1 ∇A 2 –(A⋅ ∇ ) A 2
2.5. ∇ többszörös alkalmazása a) ∇ ⋅ ∇ U = ∆ U (Laplace) ∇ ×∇ U = 0 b) c) ∇ ( ∇ ⋅A) ∇ ⋅ ( ∇ ×A) = 0 d) ∇ ×( ∇ ×A) = ∇ ( ∇ ⋅A) – ∇ 2 A e) 3. Görbék és felületek 3.1. Görbék 3.1.1. Síkgörbék a) implicit, explicit, paraméteres, polárkoordinátás megadási módok b) ívelem, érintő, normális, görbületi sugár 3.1.2. Térgörbék a) paraméteres megadás b) ívhossz c) érintő, normálsík, simulósik, főnormális, binormális, rektifikáló sík, kísérő triáder d) görbület, görbületi sugár, torzió, torziósugár, Frenet-képletek 3.2. Felületek 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4
Megadási módok: implicit, explicit, paraméteres (helyvektoros) Érintősík, normális Felületi görbe íveleme, felületdarab felszíne Felületi görbék görbülete, görbületi sugara, főgörbületi sugarak
4. Görbevonalú koordináták 4.1. Példák a) b) c)
Síkbeli polárkoordináták ( x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ) Hengerkoordináták (x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z) Gömbi polárkoordináták ( x = r cos ϕ sin θ, y = r sinϕ sin θ, z = r cos θ)
4.2. Ortogonális görbevonalú koordináták a) koordináta felületek, koordinátavonalak b) Lamé – féle együtthatók (h1,h2, h3) c) ívelemek, felületelemek, térfogatelem dsi = hidqi (nincs összegzés) dσl = hihkdqidqk (nincs összegzés) dτ= h1h2h3dq1dq2dq3
5
4.3. Általános görbevonalú koordináták a) koordinátafelületek, koordinátavonalak b) metrikus tenzor (gij) c) felületelemek, ívelemek, térfogatelem 5. Vektormezők integrálása 5.1. Vonalintegrál 5.1.1. Görbe mentén vett vonalintegrál a) síkgörbe ( γ ) mentén vett vonalintegrál ∫ f ( x, y)dx , ∫ f ( x, y)dy , ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy γ
b) c) d) e)
γ
γ
térgörbe mentén vett vonalintegrál additivitás, irányítás, zárt görbe mentén vett vonalintegrál, cirkuláció a vonalintegrál függetlensége az úttól munka, konzervatív erőtér, potenciál B
WA→ B = ∫ F ⋅ dr A
∫ F ⋅ dr = 0 ⇔ F =
− ∇U
5.2. Felületi integrálok 5.2.1. Kettős integrálok
∫ f ( x, y)ds
xy
S xy
yb
xb ( y )
ya
xa ( y )
= ∫ dy
∫ dx f ( x, y)
5.2.2. Skalártér felületi integrálja
∫U (r)dS = ∫U ( x, y, z )dS S
yz
⋅i + …
S yz
5.2.3. Vektortér felületi integrálja (fluxus) a) fluxus
∫ A(r)dS = ∫ A ( x, y, z )dS x
S
b)
yz
+…
S yz
∫ A(r) × dS = ∫ [A j − A k ]dS x
S
y
yz
+…
S yz
5.2.4. Vonalintegrál kifejezése felületi integrállal ∫ F ⋅ dr = ∫ ∇ × F ⋅ dS (Stokes – formula) C
F
5.2.5. Térfogati integrál kifejezése felületi integrállal
6
∫ F ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ FdV F
(Gauss – formula)
F
6. A Gauss- és Stokes-formulák alkalmazásai grad U = lim
div A = lim
rot A = - lim
1 U dS V ∫S
1 V 1 V
n ⋅ rot A = lim
∫ A dS S
∫ A × dS S
1 S
∫ A dr
C
Green – formulák:
∫ (U∇ V + ∇U ⋅ ∇V )dV = ∫ U∇V ⋅ dS 2
V
S
∫ (U∇ V − V∇ U )dV = ∫ (U∇V − V∇U ) ⋅ dS 2
2
V
S
7. A grad, div, rot előállitása ortogonális görbevonalú koordinátákban divA =
⎧ ∂ ( A1 h2 h3 ) ∂ ( A2 h3 h1 ) ∂ ( A3 h1 h2 ) ⎫ 1 + + ⎨ ⎬ h1 h2 h3 ⎩ ∂q 1 ∂q 3 ⎭ ∂q 2
gradU =
rotF =
∇U =
1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U e e2 + e3 1 1+ 2 h1 ∂q h3 ∂q 3 h2 ∂q
1 ⎡ ∂ ( F2 h2 ) ∂ ( F1 h1 ) ⎤ − ⎥ e3 + … ⎢ h1 h2 ⎣ ∂q 1 ∂q 2 ⎦
⎫ ⎧ ∂ ⎛ h2 h3 ∂U ⎞ 1 ⎟ + ...⎬ ⎨ 1 ⎜⎜ 1 ⎟ h1 h2 h3 ⎩ ∂q ⎝ h1 ∂q ⎠ ⎭
a) henger: (q1=ρ, q2=ϕ, q3=z, h1=1, h2=ρ, h3=1) b) gömbi polár: (q1=r, q2=θ, q3=ϕ, h1=1, h2=r, h3=r sinθ)
7
8. Másodrendű tenzorok. Műveletek tenzorokkal. A → B = TA homogén, lineáris vektor – vektor függvény a) Tehetetlenségi tenzor b) Nyúlási tenzor c) Feszültségtenzor 8.2. Tenzorok egyenlősége, zérus tenzor, egységtenzor, tenzorok összeadása, tenzor transzponáltja, szimmetrikus (antiszimmetrikus) tenzor 1 1 T = (T + TT) + (T - TT) 2 2 8.3. Descartes – féle derékszögű komponensek T u = T ukek = ukTek, (ei ⋅ ek = δik) T ek = Tikei, ahol Tik = ei ⋅ Tek v = T u = Tikukei, vagyis vi= Tikuk 8.4. T= Tikei°ek (másdrendű tenzor Descartes-féle bázisa)
8.1.
9.
Tenzorkomponensek transzformációja a) Koordinátatranszformáció b) Koordinátarendszer forgatása: K→K’ : x’ = A x A = D = (dik) ortogonális forgásmátrix (D-1=DT) dikdjk= δij, dikdil=δkl (a D forgásmátrix sor- és oszlopvektorai ortonormáltak) c) x’ = A x, ill. x’=D x T’ = A T AT, ill. T’ = D T D-1
10.
Tenzor főtengelyei
10.1.
Ts = λs (sajátvektorok, sajátértékek)
10.2.
Szimmetrikus tenzor sajátértékei valósak, sajátvektorai ortonormáltak: T d(i) = λi d(i), D = (d(1)d(2)d(3)) oszlopvektorok mátrixa, D T D-1 = T’ diagonális
10.3.
Főtehetetlenségi rendszer, szabadtengelyek
10.4.
Tenzorinvariánsok
10.5.
Invariáns tenzorok
8
11.
Ferdeszögű koordinátarendszerek, metrikus tenzor, tenzorok kovariáns és kontravariáns komponensei. Tenzorok görbevonalú koordinátarendszerekben.
11.1. Vektor felbontása nem-ortogonális komponensekre: A = Akgk = Akgk 11.1.1. Reciprok bázis a) bázis: (g1, g2, g3) – reciprok bázis: (g1, g2, g3) gi ⋅gk = 0 , ha i ≠ k és gi ⋅gk = 1, ha i = k b) g1⋅(g2 × g3)=D; g1⋅(g2 × g3)=D’; DD’ = 1 1 1 1 g1 = g2 × g3, g2 = g3 × g1, g3 = g1× g2 D D D c) kristálytér – reciprok tér k 11.1.2. A = A ⋅ gk (kontravariáns komponensek) Ak = A ⋅ gk (kovariáns komponensek) 11.1.3. Metrikus tenzor: gik = gki = gi⋅gk; gik = gki = gi⋅gk Ak = gklAl; Al = glkAk; g ik = δ ik ds2 = gidxidxk = gikdxidxk;
G = det g ik
G = det g ik ; D = G ; G’=det g ik ; D’= G ' ; GG’=1 11.1.4. Kontravariáns bázis – kovariáns bázis gi = gik gk ; gk = gki gi 11.1.5. Skaláris szorzat: A ⋅ B = AiBi 11.1.6. Vektori szorzat: A × B = εijk AiBj gk 11.2.
Másodrendű tenzor komponensei a) alsó indexes komponensek (kovariáns) T gj = Tj= Tijgi; Tij= gi ⋅ T gj; T = Tijgi ° gj ⋅ b) felső indexes komponensek (kontravariáns) T gj = Tj= Tij gi; Tij = gi ⋅ T gj; T = Tijgi ° gj ⋅ c) vegyes indexű komponensek T⋅ ij = gi⋅ Tgj ; T j⋅i = gj ⋅ T gi; T = T⋅ ij gi ° gj ; T= T j⋅i gj ° gi . d) ha T szimmetrikus, akkor Tij = Tji; Tij = Tji; T⋅ ij = T j⋅i
11.3. Tenzorkomponensek transzformációja 11.3.1. Bázis transzformációja
9
g1′ = R11g1 + R12 g 2 + R13g 3 , …
g′j = R ij g i , (G’ = GR). ⎛ R11 R21 R31 ⎞ ⎛ ( R −1 )11 ( R −1 )12 ⎜ 2 ⎟ ⎜ R = ⎜ R1 R22 R32 ⎟ ; R-1= ⎜ ( R −1 )12 ( R −1 ) 22 ⎜ 3 ⎜ −1 3 3 3⎟ −1 3 ⎝ R1 R2 R3 ⎠ ⎝ ( R )1 ( R ) 2 gj = (R-1) ij g’i ; (G = G’ R-1).
G’-1 = R-1G-1;
g’i = (R-1) ij gj.
G-1 = R G’-1;
gi= R ij g’j.
( R −1 )13 ⎞ ⎟ ( R −1 )13 ⎟ ⎟ ( R −1 ) 33 ⎠
11.3.2. Vektorkomponensek transzformációja A′j = g′j ⋅ A = (R-1) ij gj ⋅ A. A′j = R ij Ai ;
A’i = (R-1) ij Aj.
11.3.3. Bármely másodrendű tenzorra
T 'ij = R ik R pj Tkp ;
T '⋅i j = (R-1) ik R pj T⋅ pk
T '⋅ji = R kj (R-1) ip Tk⋅ p ; T ' ij = (R-1) ik ( R -1) pj T kp 11.3.4. Egységtenzor komponensei (Ι ⋅ A = A ) I ij = gij, I
i ⋅j
= δ ij , I ij = g ij
11.3.5. Indexek le- és felhúzása gi=gikgk, gi= gikgk,
Ai = gikAk, Ai = gikAk,
T⋅ ij =gik Tkp , Tij =gik Tk⋅ j , Tij =gik T⋅ kj ,
10
