Széchenyi István Egyetem Mőszaki Tudományi Kar Jedlik Ányos Gépész-, Informatikai és Villamosmérnöki Intézet Távközlési Tanszék Elektromágneses Terek Laboratórium
A SKALÁR HISZTERÉZIS KARAKTERISZTIKA MÉRÉSE ÉS SZABÁLYOZÁSA ANALÓG ÉS DIGITÁLIS INTEGRÁTORRAL Országos Tudományos Diákköri dolgozat Készítette: Pólik Zoltán II. éves villamosmérnök (BSc) szakos hallgató Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, PhD egyetemi adjunktus Gyır, 2007. január
I. BEVEZETÉS A ferromágneses anyagok hiszterézis karakterisztikájának minél pontosabb szimulációja, azaz a ferromágneses anyagok M (t ) mágnesezettségének ismerete a H (t ) mágneses térerısség függvényében rendkívül fontos az egyre nagyobb teret hódító számítógéppel segített tervezés (CAD – Computer Aided Design) és a különbözı elektromágneses térszámítási programcsomagok (pl. COMSOL Multiphysics, FLUX, Ansys, Gmsh, stb.) alkalmazása során[8]. Az irodalomból ismeretes[6,8,15], hogy az elektromágneses teret matematikailag leíró Maxwell-egyenletekbıl skalár- és vektorpotenciálok bevezetésével adódó nemlineáris parciális differenciálegyeneletek megoldása numerikus iteratív eljárásokat igényel, amely azonban jelenleg is nyitott kérdéseket fogalmaz meg. A skalár hiszterézis modellek megfelelıen leírják a mágneses térerısség és a mágnesezettség vektorok
közötti
nemlineáris
és
többértékő
függvénykapcsolatot,
amennyiben
feltételezhetjük, hogy ezen vektorok mindvégig párhuzamosak maradnak egymással. Mindez jó közelítéssel teljesül például a torroid alakú ferromágneses anyagból készült tekercsek esetében, amely elrendezés jelen mérés középpontjában áll. A torroid tekercs a mérés szempontjából ideális, mert elınye, hogy a benne záródó fluxus nem lép ki a mágneses anyagból. Egy másik klasszikus alkalmazási lehetıség a végtelennek tekinthetı ferromágneses anyagból készült un. féltér numerikus analízise. Ez kerül ugyanis elıtérbe például árnyékolás vizsgálata esetén. A mágneses anyagok skalár hiszterézis karakterisztikája tehát a mágneses térerısség és a mágneses anyag mágnesezettsége között teremt kapcsolatot. Ezen erısen nemlineáris és memóriával bíró rendszer modellezésére meglehetısen nehéz megfelelı struktúrát találni. A mágneses jelenségek vizsgálata során több modell is született már a hiszterézis
karakterisztika
matematikai
modellezésére,
a
mágneses
anyagok
viselkedésének reprodukálására, mint például a Preisach–modell, illetve annak általánosításai, a Jiles−Atherton–modell [8] vagy a Stoner−Wohlfarth−modell [8]. A modellek, szimulációs eljárások mőködésének helyessége, pontosságuk meghatározása, mérési eredményekkel történı összevetéssel lehetséges, ezért rendkívül fontos, hogy az 1
elméleti eredményeket saját magunk által készített mérésekkel támasszuk alá. A villamosmérnöki gyakorlatban elıforduló, elektromágneses szimulációt is igénylı problémák analízise során nemcsak a pontosság, hanem az alkalmazhatóság is rendkívül fontos. Meg kell jegyezni, hogy egy térszimuláció nagyon számításigényes feladat, ezért a modell mérnöki alkalmazhatóságát is szem elıtt kell tartanunk. 2006 tavaszán a Széchenyi István Egyetem MTK Jedlik Ányos Gépész-, Informatikai- és Villamosmérnöki Intézet Távközlési Tanszékének segítségével megalakult az Elektromágneses Terek Laboratórium, ahol jelenleg is több kutatás folyik egymással párhuzamosan. Egyik munkánk során létrehoztunk egy számítógép által vezérelt rendszert, amely a Jiles−Atherton−modell segítségével szimulált torroid tekercs skalár hiszterézis karakterisztikájának mérését és a mágneses indukció vezérlését valósította meg [1,2,3,4]. Mivel azonban ez a rendszer félig egy számítógépes szimuláció a ferromágneses anyagok fizikai viselkedését és a kérdéses folyamatok elektrodinamikai hátterét figyelembe véve, szükséges volt egy ezen a szimuláción alapuló fizikai mérırendszer felállítása is, hogy bizonyosságot szerezzünk modelljeink és az elmélet helyességérıl. Felépítettünk tehát egy számítógép által vezérelt mérési elrendezést, amely megvalósítja a torroid tekercs skalár hiszterézis karakterisztikájának mérését, és megvalósítottuk az elektromágneses indukció szabályozását. Munkánk során kétféle eljárást dolgoztunk ki a mágneses indukció számítására. Egy digitális módszert, amely a baloldali téglányösszeg módszerrel, számítógép segítségével határozza meg az elektromágneses indukciót. A másik egy analóg módszer, ahol egy feladatspecifikusan épített RC vagy RL integráló áramkör végzi ugyanezt a feladatot. A méréseket két különbözı módszerrel végeztük. Elsı esetben egy meghatározott áramjel kibocsátásával a H (t ) mágneses térerısséget szabályoztuk. A másik esetben pedig az áramjel iteratív
módosításával a B( t ) mágneses indukciót szabályoztuk. A méréseket a National Instruments LabVIEW szoftvercsomag segítségével végeztük. Jelen Tudományos Diákköri Dolgozatban bemutatásra kerül ezen eljárások részletes bemutatása és összehasonlítása is.
2
A megvalósított mérés az elsı lépés végsı célunk, a vektor hiszterézis karakterisztika mérésének megvalósítása felé. Ez a témakör még napjainkban is meg nem értett problémákat vethet fel, ezért fontosnak tartjuk az alaposabb elmélyülést a kutatásban, esetleges új eredmények reményében.
II. A MÉRÉS ELMÉLETI HÁTTERE A mérés során a torroid alakú próbatest primer tekercsére bocsátott i( t ) áram pontos követése volt az egyik fı szempont, mivel ennek hatására a tekercsben Ampere törvénye szerint a következı összefüggéssel leírható H (t ) mágneses térerısség jön létre:
∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS ⇒ H ( t )l = N1i1 ( t ) ⇒ H ( t ) = l
S
N 1i1 ( t ) , l
(1)
ahol l = 2 Rπ és R a torroid középvonalában vett kör sugara. Az 1. ábrán Amperetörvényének illusztrációja láthtó. A 2. ábrán a B( t ) mágneses indukció torroidban való viselkedését mutatja.
1. ábra. Ampere-törvénye
3
2. ábra. A B(t) mágneses indukció viselkedése torroid alakú vasmagban
Az N1 menetszámú primer tekercs végzi tehát a mágneses anyag gerjesztését, az így kialakuló Φ(t ) fluxus hatására az N 2 menetszámú szekunder tekercsben Faraday törvénye szerint indukált feszültség jön létre: u2 ( t ) = −
dΦ ( t ) dB( t ) =− SN 2 , dt dt
(2)
ahol a B a mágneses indukció, S pedig a torroid vasmagjának keresztmetszete. (2) alapján a mágneses indukció a következı összefüggéssel számolható: t
B(t ) = B0 −
1 u 2 (τ ) dτ , SN 2 0
∫
(3)
ahol B0 az integrálási konstans, amelynek értéke szabadon választható, de a hiszterézis karakterisztika szimmetriája miatt a mért indukció középértékével tettük egyenlıvé, azaz T
B0 = ∫ B( t )dt .
(4)
0
ahol T=1/f, azaz a periodusidı reciproka. Az inregrált digitálisan például a téglányösszeg-módszerrel határozhatjuk meg [7,10]: 1 B (k∆T ) ≅ − SN 2
k −1
∑ u (i∆T )∆T
(5)
i
i =0
ahol ∆T a mintavételezési periódusidı. A mágneses indukció ismeretében az M (t ) mágnesezettség számolható, ugyanis
B (t ) = µ 0 [H (t ) + M (t )] ,
4
ahol
µ0
a vákuum
permeabilitása, azaz M(t ) =
B( t )
µ0
− H( t ) .
(6)
Az i1 (t ) áramot a generátor egy speciálisan erre a feladatra tervezett kimenetérıl kapjuk meg.
III. A MÉRÉS FELÉPÍTÉSE A mérés középpontjában tehát a torroid tekercs áll, melynek adatai a következık: S = 0,0001m 2 , N1 = 180 , N 2 = 200 , l = 0,86 m ,
ahol S a torroid vasmagjának keresztmetszete, l a torroid vasmagjának középvonalában vett kör kerülete, N1 és N2 pedig a tekercs primer és szekunder tekercs menetszáma. Az áramjel egy matematikai formulával leírható függvény, amelyet a számítógépre installált National Instruments LabVIEW szoftvercsomag segítségével adhatunk meg. A LabVIEW egy grafikus fejlesztıi környezet, ahol a forráskód létrehozása ikonok egymás után történı összekapcsolásával grafikusan történik. A LabVIEW programok angol neve „virtual instruments” (röviden vi), amelyek egy fizikai eszközzel teremtenek kapcsolatot, legyen az akár oszcilloszkóp vagy tetszıleges mérımőszer. A LabVIEW programcsomag nagy mennyiségben tartalmaz olyan eszközöket, melyekkel adatokat vihetünk a számítógépre, elemezhetjük, megjeleníthetjük azokat, valamint lehetıségünk van az adatok rögzítésére is. A LabVIEW felhasználói felületén (angolul front panel) tetszés szerint helyezhetünk el vezérlı és megjelenítı komponenseket. A program felhasználóbarát, vizuális fejlesztıi környezetében a kódolás jelentısen leegyszerősödik. Az alkalmazásban a szekvenciát az ikonok megfelelı sorrendben történı összekapcsolásával érhetjük el. Többfajta vezérlı komponens létezik, például beviteli mezık, nyomógombok, kapcsolók stb. A kijelzéshez használhatunk LED-eket, grafikonokat, táblázatokat, stb. Esetünkben a LabVIEW egy NI PCI-6251 DAQ (National Instruments, Data 5
Acquisition – mérés-adatgyőjtı kártya) mérıkártyát vezérel, amely 8 analóg bemenettel, és 2 analóg kimenettel rendelkezik, a csatornák analóg-digitális átalakítója 16 bites, mintavételezési frekvenciája pedig
maximum 1,25
MS/s. A kártya ±10V-os
feszültségtartományban üzemel, amelyen belül szoftver útján programozható. A program által generált gerjesztıjelet az NI-DAQ kártya ezután egy speciálisan erre a feladatra tervezett áramgenerátor bemenetére kapcsolja. A generátor egy feszültség vezérelt áramgenerátor amely a ±10V-os tartományban beadott jelalakot kimeneti áram formájában követni. A generátor maximálisan 30A kibocsátására képes, maximális teljesítménye 4500W. Az eszköz segítségével olyan tekercset gerjeszthetünk, melynek induktivitása minimum 5mH és maximum 50mH. A generátor rendelkezik még két további kimenettel is, amelyek segítségével a kiadott áramjelet, valamint az áramjel kiadásához szükséges feszültséget követhetjük figyelemmel. Eztután a létrejövı áramjelet a torroid tekercs pirmer tekercsére kapcsoljuk, melynek hatására a tekercsben Φ(t ) fluxus jön létre, amelynek köszönhetıen a szekunder tekercsben u 2 ( t ) feszültség indukálódik. Az indukált feszültséget az elsı esetben az NIDAQ kártya segítségével rögzítjük, majd ebbıl a B( t ) mágneses indukciót szoftveresen számoljuk. Másik lehetıségként az u 2 ( t ) indukált feszültséget egy integráló áramkörre kapcsoljuk, ezután kerül az integrált jel a mérıkártyára. A két módszer bemutatása és összehasonlítása az IV./1. és IV./2. fejezetben olvasható. Az B( t ) indukció meghatározása után az eredmények feldolgozása következik. Amennyiben a B( t ) mágneses indukciót vezéreljük, a számolási feladatok elvégzése után a program újabb, az elızıhöz képest módosított vezérlıjelet állít elı, ezzel a folyamat kezdıdik elırıl mindaddig, amíg a kívánt eredményt el nem érjük. A szabályozó algoritmus bemutatása az V. fejezetben olvasható. Az 3. ábrán az Elektromágneses Terek Laboratóium azon részlete látható, ahol a mérést végeztük.
6
3. ábra. Részlet az Elektromágneses Terek Laboratóriumból, ahol látható a számítógép, a torroid és generátor is
7
IV. A PROGRAM MŐKÖDÉSÉNEK BEMUTATÁSA Az installált LabVIEW szoftvercsomag által nyújtott szolgáltatások segítségével létrehoztunk egy grafikus kezelıi felületet, és a hozzá tartozó forráskódot, amelyek segítségével az elızıekben definiált feladatok megvalósíthatók. A program kezelıi felülete (GUI – Graphical User Interface) a 4. ábrán látható.
4. ábra. A program kezelıi felülete A kezezıi felületen beállíthatunk a méréshez szükséges olyan adatokat, mint például a bemeneti és kimeneti csatornákat (Analog Input és Analog Output), a bemeti és kimeneti értékhatárokat (Limits), a kimenı jel amplitúdóját (Amplitude), a periódusok 8
számát (Number of Periods) és a kimenı jel frekvenciáját (Frequency). A kimenı feszültségjellel vezérli az áramgenerátort, melynek árama arányos a kimenı jellel. Beállíthatjuk továbbá a torroid tekercs primer és szekunder tekercseinek menetszámát ( N 1 , N 2 ), a vasmag keresztmetszetét ( S ) és a vasmag középvonalának hosszát ( l ). Az indítást követıen a program automatikusan konfigurálja a kimenı és a bejövı csatornákat (5. és 6. ábra.), az aktuális értékeknek megfelelıen meghatározza a gerjesztıjelet, amelyet az NI-DAQ kártyának továbbít.
5. ábra. Az analóg bemeneti csatornák konfigurálása és a mérés elindítása LabVIEWban
6. ábra. Az analóg kimeneti csatornák konfigurálása és a jelgenerálás elindítása LabVIEW-ban
A mérıkártya kiadja az utasítást a generátornak, ami a kívánt jelformát a torroid primer tekercsére kapcsolja. A kártya ezzel egyidıben a bejövı jelet is rögzíti.
9
Ha nem a H (t ) , hanem a B( t ) vezérlését tartjuk szem elıtt, akkor a bejövı jel figyelembe vételével egy proporcionális szabályozó algoritmussal úgy módsítja a gerjesztı jelet, hogy a kívánt jelformájú B(t ) mágneses indukciót a torroid tekercsben létrehozza. Ennek gyakorlati jelentıségére az IV./c.) fejezetben térek ki bıvebben. Ha a H (t ) mágneses térerısséget vezéreljük, a vezérlıjel alakja futás közben nem változik. A
kezdı vezérlıjel beállítása az 7. ábrán látható.
7. ábra. A kezdı vezérlıjel elıállítása LabVIEW környezetben Kutatásunk során a skalár hiszterézis karakterisztika mérését lehetıségeink szerint széles frekvenciatartományban (kb. 0,5 Hz – 1 kHz) kívántuk elvégezni. A szakirodalomban számos írást találunk a skalár hiszterézis karakterisztika mérésére [5,9], azonban ezek a mővek általában csak egy szők frekvenciatartományban érvényesek, egy speciális feladat megoldásaként születtek meg, például alacsony frekvencián (f<1 Hz), az un. statikus hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas, elsısorban a statikus modellek felállítása végett. Magas frekvencián végzett mérések alapján a modell frekvencia függését is implementálni tudjuk. Az ilyen és hasnló mérések során felmerülı legnagyobb problémát a B(t ) mágneses indukció kiszámítása okozza, mivel ez (3) szerint az indukált feszültségbıl fejezhetı ki. A problémát az összefüggésben található integrálás okozza, amelyre
különbözı
írásokban
különbözı
analóg
és
digitális,
alacsony-
és
magasfrekvenciás megoldásokat találhatunk. Olyan dokumentációval azonban a mai
10
napig nem találkoztunk, amely ezeket a megoldásokat egy lapon említi, elınyeiket, hátrányaikat és alkalmazási területeiket figyelembe véve. Ezen Tudományos Diákköri Dolgozatban tehát górcsı alá veszünk két analóg magas frekvenciás és egy digitális alacsony frekvenciás ingtegrátort.
IV.1. Indukció számolása Fourier-transzformáció segítségével
Elsıízben a mérési elrendezésünket úgy építettük fel, hogy a torroid szekunder tekercsén indukálódó u 2 ( t ) feszültséget közvetlenül az NI-DAQ kártya egyik bemenetén mértük. A mérési elrendezés blokkvázlata a 8. ábrán látható.
8. ábra. A mérési elrendezés blokkvázlata Az integrálást digitálisan a téglányösszeg módszerrel (5) határoztuk meg. Ezen mővelet során azonban felmerült egy probléma. A NI-DAQ kártya felépítésébıl és digitális jellegébıl adódóan, tapasztalatunk szerint minden bemenete rendelkezik egy pár millivoltos, nagyfrekvenciás zajjal. A zaj további tulajdonsága, hogy megfigyelésünk
11
szerint nem nulla középértékkel rendelkezik, nagyobb részt ugyanis a pozitív tartományban helyezkedik el. Ez különösen kis értékő jelek esetén jelent problémát. Az indukció számításakor minden egyes diszkrét idıpillanatban az u 2 (i∆T ) -hez adódik hozzá. Így a többnyire pozitív értékő zajnak köszönhetıen egy pozitív érték is hozzáadásra kerül az integrálhoz. Ez azt eredményezi, hogy a mágneses indukció folyamatosan emelkedik és így helytelen eredményt ad a számításban szereplı integrálás miatt. Ilyenkor a megjelenített hiszterézis görbén sem fedik egymást a vonalak, amely értelemszerőleg helytelen eredmény. A 9. és a 10. árbrán az eltolódott B( t ) indukció és az ebbıl számolt hiszterézis görbe látható. Megfigyelhetı, hogy az indukció görbéje és a hiszterézis karakterisztika nem nulla középértékkel rendelkezik. Ez abból adódik, hogy az indukált feszültség a mérés szempontjából nem nullából indul.
9. ábra. Eltolódott mágneses indukció
12
10. ábra. Eltolódott indukcióból számolt hiszterézis görbe Mivel a zaj zagyfrekvenciás, ha a mérést jóval kisebb frekvencián végezzük (f<200 Hz), megfigyelésünk szerint az
u2( t )
indukált feszültség legmagasabb
frekvenciájú felharmonikusai is kisebbek lesznek a zaj ugyanezen tartományba esı komponenseinél. Így egyértelmőnek tőnt a megoldás, hogy olyan szőrıt kellett implementálnunk, amely átengedi az indukált feszültséget, de kiszőri a zajt a mért jelbıl. A szőrı paramétereinek beállításához elıször ismernünk kell az indukált feszültség spektrális összetételét. Egy valós értékő jel spektruma komplex értékő, és az ω körfrekvencia
függvénye
_
S ( ω ) = S ( jω ) ,
amelynek
abszolút
értéke
a
jel
amplitúdóspektruma, fázisa pedig a jel fázisspektruma. Esetünkben csak a jel amplitúdóspektrumát vizsgáltuk, amit az ∞
S ( jω ) = ℑ{ s( t )} =
∫ s( t )e
− jωt
(7)
dt
−∞
definíciós képletbıl kiindulva kaphatunk meg, ahol s(t ) az idıtartománybeli jel. [7,10] Az
így
meghatározott
spektrum
megfigyelésével
már
egyértelmően
megkülönböztethetı a zaj és az átereszteni kívánt indukált feszültség, és megtervezhetı
13
egy alkalmas szőrı. A jel spektrumának meghatározása LabVIEW-ban egy beépített modullal (FFT – Fast Fourier Transform) is végrehajtható. [7,10,13] Mivel diszkrét idejő jelekkel dolgozunk, a beépített FFT algoritmus a Fouriertranszformáció következı, diszkretizált alakját használja: [7,10,13] n −1
Sk =
∑s e i
− j 2πik / n
,
(8)
i =0
ahol k=0, 1, 2, … , n-1; és n az összes minta száma mind az idı, mind a frekvencia tartományban. Az ebbıl számolt spektrum komplex értékő, és függvénye páros a következı jól ismert összefüggéseknek megfelelıen [7,10,13]. (Az FFT mőködése a 11. ábrán látható.)
ℑ{ s [ k ]} = S ( ϑ ) = S Re ( ϑ ) + jS Im ( ϑ ) = Re{ S ( ϑ )} + j Im{ S ( ϑ )}
(9)
S n −i ( ϑ ) = S −i ( ϑ ) ,
(10)
Re{ S n −i ( ϑ )} = Re{ S i ( ϑ )} ,
(11)
− Im{ S n −i ( ϑ )} = Im{ S i ( ϑ )} .
(12)
vagyis,
és
Itt s[k] jelöli a folytonos s(t) mintáit. ϑ = ωTs , ahol Ts a mintavételi periódusidı.
11. ábra. Példa az FFT modul mőködésére
14
A
jel
spektrumának
ismeretében
már
meg
tudjuk
határozni
azt
a
frekvenciatartományt, amelyet a továbbiakban hasznosítani szeretnénk, a további frekvenciák pedig számunkra lényegtelenek, elhagyhatóak. Ennek érdekében alkalmaztuk a LabVIEW beépített eszközei közül a Butterworth-szőrıt. A Butterworth-szőrık olyan szőrık, amelyek megvalósíthatók kauzális eszközök segítségével is, passzív RLC eszközökkel. Átviteli karakterisztikája matematikailag a következı összefüggéssel adható meg: 1
W ( jω ) = 1+ (
ω 2N , ) ωc
(13)
ahol N az filter nagyságrendje és ω c a levágási frekvencia. A levágási frekvencia az a frekvencia, ahol a jel nagysága 3 dB-lel csökken, vagyis ahol | W ( jω c ) |=
1 2
.
(14)
A W ( jω ) vagy W ( s ) átviteli karakterisztika matematikai formulával egyszerően megadható polinom per polinom alakban, így a szőrı létrehozása is megoldható feladattá válik. Mivel tudjuk, hogy a szőrı csak pólusokat tartalmaz [12], fel tudjuk írni a következı módon: W (s) =
1 n
s a n −1 s
n −1
+ ... + a1 s + 1
,
(15)
amely formulából például a MATLAB program segítségével kifejezhetıek a keresett értékek. Mivel azonban a LabVIEW beépített funkcióként tartalmaz Butterworth-szőrıt, feladatunk mindössze annyi volt, hogy meg kellett adnunk, hogy a karakterisztika hol kezdjen el letörni és hol váljon a szőrı átviteli karakterisztikája nullává. A szőrı karakterisztikája a 12. ábrán látható. Három különbözı analóg Butterworth-szőrı figyelhetı meg az ábrán N különbözı értékeinél. Látható, hogy n növelésével karakterisztikája közelít az ideális szőrıéhez. Az ideális szőrı azonban kauzális eszközökkel nem valósítható meg.
15
12. ábra. Butterworth-szőrık átviteli karakterisztikája
Utolsó
lépésként
az
u2 ( t )
indukált
feszültségrıl
leválasztjuk
zaj
egyenkomponensét is: T
u2 ( t ) − S0 ⇒ u 2 ( t ) −
1 u 2 ( t )dt T 0
∫
(16)
Ezzel az eljárás-sorozattal leválasztottuk az indukált feszültségrıl a bemenı csatorna zaját és a zaj egyenkomponensét. Ezután a jel integrálása során már nem fogunk hibát tapasztalni, a B( t ) mágneses indukció pontosabban számolható. A szőrés alkalmazása elıtti jel a 13. ábrán, a szőrt jel a 14. ábrán látható. A szőrt jellel számolt skalár hiszterézis karakterisztika grafikonja a 15. ábrán látható. Az ábrázolt karakterisztika 50 Hz-en 18 A csúcsérték mellett készült.
16
13. ábra. Indukált feszültség szőrı használata nélkül
14. ábra. Indukált feszültség Butterwort- szőrı alkalmazása után
A mérések során azt tapasztaltuk, hogy ez a módszer kitőnıen alkalmazható alacsony frekvenciatartományban. A frekvencia növelésével, körülbelül 200 Hz-tıl azonban az értékek kezdenek pontatlanná válni. Ennek oka, hogy az indukált feszültségben széles spektrumú, tüskeszerő impuzusok jelennek meg a gyors fluxusváltozás következtében, ezt pedig csak nagy mintavételezési frekvenciával lehetne
17
pontosan mérni. A mérési pontatlanság oka, hogy egymás után végzett mérések esetén nem mindig ugyanazon a pontban kapunk adatot, a periódusonkénti minták számának csökkenése miatt. A rendelkezésünkre álló kártyával 200 Hz felett ily módon nem tudtunk megfelelı méréseket végezni. Ezt oldja meg a IV.1. pontban részletezett eljárás.
15. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika grafikonja
IV.2. Indukció számolása analóg integrátorral Az analóg, RL és RC integrátorok alkalmazása jelentıs elınyökkel jár. Az elızıekbıl kiderült, hogy az u 2 ( t ) indukált feszültség jó hatásfokkal analizálható digitális módszerekkel,
így
diszkrét
Fourier-transzformációval,
és
különféle
szőrık
alkalmazásával. Azonban az elızı részben bemutatott módszernek is megvannak a hátulütıi. Elıször is nagy hátránya, hogy közvetlenül a mért eszközrıl szerzett információ – jelen esetben az u 2 ( t ) indukált feszültég – a bejövı csatorna zaja által keltett torzulásokat már az elsı lépésben elszenvedi. További, de nem kisebb jelentıségő hátránya a számítógéppel végzett jelfeldolgozásnak, a mőveletek elvégzése során lefoglalt 18
rengeteg memória és processzoridı, azonban a mérési eredményeket így könnyedén tárolhatjuk, analizálhatjuk, stb. Az integrálás, Fourier-transzformáció és szőrés azonban nagy számítási kapacsitást igénylı matematikai mőveletek, így logikusan nagy teljesítményt követelnek meg. Végül itt van a digitális módszer nagyobb frekvencián tapasztalható pontatlansága is, amely az elızıekben került kifejtésre. A skalár hiszterézis karakterisztika mérésének blokkdiagrammja analóg integrátorral az 16. ábrán látható.
16. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika blokkdiagrammja analóg integrátorral
Ezek után belátható, hogy az analóg áramkörökkel végzett integrálás ugyanezeket a szempontokat figyelembe véve milyen elınyökkel jár. Elıször is a vizsgált u2 ( t ) jel a mért eszközrıl közvetlenül az analóg integrátorba jut, ahol additív zaj nélkül történik az integrálás és csak ezután jut a mérıkártyába. Az itt hozzáadódó zaj tapasztalataink szerint már elhanyagolhat, mivel amplitúdójuk között több nagyságrendnyi különbség van, továbbá ezen jellel nem kell már olyan számolásokat végeznünk, hogy a zaj jelenléte a végeredményben észlelhetıvé válna, ugyanis nem kell digitálisan integrálni. Ebbıl a tulajdonságából adódóan a programból már nem kell integrálnunk, transzformációkat végeznünk és bonyolult szőrı algoritmusokat alkalmaznunk, így rengeteg proccesszoridıt 19
és memóriát megspórolunk. Legvégül a digitális módszer mintavételezési hibáiból adódó pontatlanság RC és RL integrátoroknál ismeretlen fogalommá degradálódik a mintavétel hiányából adódóan. Azonban sajnálatos módon az analóg integrátorokkal nem lehet minden esetben helyettesíteni a digitális módszert, inkább egymás kiegészítéseiként, specializáltabb feladatok megoldásakor alkalmazhatók egymás helyett. Alacsony frekvencián (f<200 Hz) a digitális módszerrel értünk el jó eredményeket, itt az analóg integrátorok a nem kellıen nagy τ idıállandójuk miatt nem mőködtek megfelelıen. Magas frekvencián (f>200 Hz) azonban az analóg integrátorok sokkal használhatóbbnak bizonyultak a digitális integrálásnál. (a.)
Elıszır nézzük az RL integráló tagot, melynek vázlata a 17. ábrán látható.
17. ábra. Az RL integráló tag vázlata
Az áramkör idıállandója [10,12]: τ=
L R
(17)
Minél alacsonyabb frekvencián szeretnénk integrálni, annál nagyobb idıállandójú áramkört kell építenünk, tehát RL tag esetén logikusan minél nagyobb induktivitással és minél kisebb ellenállással célszerő dolgoznunk. Azonban mindkét eszköz esetében felmerül egy probléma. A tekercs induktivitása nagyban függ a menetszámtól, így nagy induktivitás, sok menetet jelent, amibıl viszont a tekercs nagy soros ellenállása
20
következik. Ettıl nı a jól integrálási frekvencia alsó határa. A másik probléma az ellenállás értékének megválasztásakor merül fel. Minél kisebb ellenállást választunk tehát, annál nagyobb az idıállandó, viszont ezzel egyidıben a kimeneti v(t ) feszültség is csökken, mivel így csökken az ellenálláson esı feszültség. Kompromisszumot kell tehát kötni. Matematikailag az integrátor kimenete a következıképpen írható fel [10,12]: v( t ) ≅ −
1
τ
t
t
∫ u( ξ )dξ = − 0
R u( ξ )dξ , L ∫0
(18)
azaz a szorzó konstans az idıállandó reciproka, tehát minél nagyobb az idıállandó, annál kisebb az integrált v(t ) jel amplitúdója. Tapasztalataink szerint RL integráló áramkörrel, ésszerő kompromisszumok mellett, nagyjából 200 Hz-tıl kezdıdıen tudunk pontosan integrálni. Több mérés elvégzése és analizálása után 1 H nagyságrendő induktivitással és 100 Ω-os ellenállással dolgoztunk. Így a tekercs soros ellenállása körülbelül 1 kΩ lett, a v(t ) feszültség pedig minden esetben meghaladta a 100 mV-os értéket, így még
könnyőszerrel elkülöníthetı maradt a bemenı csatorna zajától. Problémát jelent a rendszer soros ellenállása, a pontosabb integrátort a 18. ábra mutatja.
18. ábra A passzív. RL kör az induktivitás soros ellenállásával
Az áramkör ideális fáziskarakterisztikája a következı: [10,12] Φ i ( ω ) = − arctg
ωL R
.
A soros Rs belépésével azonban a valódi fáziskarakterisztika a következı: [12]
21
(19)
Φ v ( ω ) = arc{ R } − arc{( R + Rs ) + jωL } = − arctg
ωL R + Rs
,
(20)
ebbıl a fázistolás, ∆Φ v ( ω ) = Φ i − Φ v = −arctg
ωL R
+ arctg
ωL R + Rs
.
(21)
A fáziskarakterisztika eltérése egy egyszerő eltolási mővelettel kompenzálható. A rendszer amplitúdókarakterisztikája is változik, a v(t ) kimenı jel valamelyest csökken, azonban azt tapasztaltuk, hogy a mérés során ez elhanyagolható különbség, így nem foglalkoztunk vele bıvebben. Ki(ω ) =
R 2
( R + R s ) + ( ωL )
2
< Kr(ω ) =
R 2
R + ( ωL ) 2
(22)
Az általunk használt körülbelül 1 H induktivitású tekercsbıl és változtatható értékő ellenállásból épített RL integrátorral a torroid tekercs szekunder kapcsain mért u 2 ( t ) indukált feszültség 200 Hz és 800 Hz között integrálható pontosan. A 17. ábrán látható a B(t) mágneses indukció analóg és digitális módszerrel számolva. A 18. ábrán az ebbıl kapott skalár hiszterézis karakterisztika grafikonja látható. A kimeneti jel egy tranziens és egy stacionárius tag összege, hisz az integrátor egy stabil dinamikus rendszer. A tranziens lecsengése után beáll a stacionárius állapot, amit a 19. ábrán láthatunk. Az ábrán a világosabb jel az analóg módszerrel kapott érték. A 20. ábrán látható a tranziens tag is. A 21. ábrán a skalár hiszterézis karakterisztika látható digitális módszerrel számolva. Az analóg és digitális módszerek egymással összevetve jó egyezést mutatnak.
22
19. ábra. B(t) mágneses indukció analóg és digitális módszerrel számolva, stacionárius állapotban
20. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 200Hz-en 6 A mellett, RL integrátorral számolva
23
21. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 200Hz-en 6 A mellett, digitálisan integrálva
(b.)
Az RC integráló tag hasonló elven mőködik, azzal a különbséggel, hogy itt egy
kapacitás végzi el az integrálás mőveletét. Az áramkör kapcsolási rajza a 22. ábrán látható.
22. ábra. Az passzív RC integráló tag vázlata
Az áramkör idıállandója: [10,12] τ = RC
(23)
Ha a kondenzátoron létrejövı feszültség a bemeneti feszültséghez képest kicsi, akkor az ellenálláson a bemeneti feszültséggel arányos áram folyik át - ezt integrálja a
24
kondenzátor. A nagy kondenzátor nyilván jól integrál, a nagyon kicsi ellenállás pedig nem zavarja meg a integráló kapcsolás kondenzátorának áramát. Ha azonban alacsony frekvencián dolgozunk, idıállandó növelésének érdekében az ellenállást kellıen nagyra kell választani, ám így csökken a kijövı jel erıssége is. A probléma világosabban megérthetı, ha összevetjük a kapcsolás idıállandóját és a v(t ) kimenı jel integrálási állandóját. 1
t
t
∫
∫
1 v(t ) = − u (ξ )dξ = − u (ξ )dξ τ 0 RC 0
(24)
Az RC integráló áramkörrel lényegesen jobb eredményeket értünk el, mint az RL kapcsolással. Ellenállásdekádon változtattuk R értékét, így az idıállandót az éppen szükséges értékre tudtuk beállítani. Ezzel a módszerrel sikerült 50 Hz-tıl 1 kHz-ig terjedı intervallumban pontosan meghatározni a
B(t )
indukciót. Sajnálatos módon a
rendelkezésünkre álló generátor nem alkalmas 1 kHz fölötti jel kibocsátására, de úgy gondoljuk, hogy a bemutatott módszer jóval magasabb frekvencián is mőködne. A szakirodalomból ismeretes, hogy RC integrátor építése több száz kHz-en, sıt még jóval afölött sem jelent különösebb problémát. Az 23. ábrán az RC analóg integrátorral 1000 Hz-en 3 A mellett mért skalár hiszterézis karakterisztika látható. 1000 Hz-en a digitális módszer már egyátalán nem mőködik jól. Az ábrán megfigyelhetı a tranziens tag is. A 24. ábrán RC integrátorral készített skalár hiszterézis karakterisztika látható 200 Hz-en, 6 A mellett. Megfigyelhetı, hogy az RC integrátorral meghatározott karakterisztika is jó egyezést mutat az RL taggal és a digitális módszerrel meghatározott karakterisztikával is.
25
23. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 1000 Hz-en, 3 A mellett
24. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 200 Hz-en, 6 A mellett
Végezetül összefoglaljuk az integrátorok átviteli karakterisztikáját: [10] W ( jω ) =
V ( jω ) ℑ{ v( t )} = U ( jω ) ℑ{ u( t )}
(25)
képletbıl határozható meg, ahol v(t ) a rendszer válaszjele, u (t ) pedig a gerjesztés. Innen az RL integrátor átviteli karakterisztikája a tekercs soros ellenállását is figyelembe véve
26
W ( jω ) =
R R = R + R s + j ωL R + R s
1 . jω 1+ R + Rs ( ) L
(26)
Az RC integrátor esetben hasonlóan járunk el. 1 jωC 1 1 W ( jω ) = = = 1 jω . 1 + jωRC R+ 1+ 1 j ωC ( ) RC
(27)
Továbbá W (ω ) = K (ω )e jΦ (ω ) , ahonnan K (ω ) az amplitúdókarakterisztika és Φ(ω ) a fáziskarakterisztika. Az RC és RL integrátor amplitúdó- és fáziskarakterisztikái a 25. és a 26. ábrán láthatóak. Az RL kör esetében ω 0
=
R + Rs L
, az RC áramkörnél pedig ω 0
25. ábra. Az analóg integrátorok Bode-féle amplitúdókarakterisztikája
27
=
1 RC
.
26. ábra. Az analóg integrátorok Bode-féle fáziskarakterisztikája
V. A SZABÁLYOZÓ ALGORITMUS A torroid tekercs vasmagja C19-es szerkezeti acélból készült, melynek statikus karakterisztikája a 27. ábrán látható módon meglehetısen meredek a könyök és a koercitív tér környékén, ami gyors fluxusváltozást jelent. Ennek következtében az u 2 (t ) feszültségben nagyon széles spektrumú tüskeszerő ugrások jelennek meg, amit csak nagyon sőrő mintavételezéssel lehet hően visszaállítani, korábbi tapasztalatok alapján kb. 20000 minta/periódus szükséges és elegendı a karakterisztika felvételéhez [9]. Ellenkezı esetben több egymás után elvégzett mérés nem adja ugyanazt az eredményt, hiszen nem garantált, hogy minden mérésben a mintavételezés során ugyanazon pontban kapunk adatot. Különösen kényes ez az indukált feszültség tüskéinek környezetében. Az áramjel alkalmas módosításával, iteratív szabályozásával mindez csökkenthetı, mint az a 28. és 29. ábrán látható. A cél a mágneses indukció idıfüggvényének szinuszossá tétele, ekkor ugyanis az indukált feszültség is szinuszos lefutású lesz, melynek integrálása sokkal egyszerőbb. A cél tehát az, hogy ne mágneses térerısségbıl, hanem a mágneses
28
indukciónak megfelelı indukált feszültségbıl vegyünk ekvidisztánsan mintákat. Ez látható a 25. ábrán.
27. ábra. A C19 szerkezeti acél hiszterézis karakterisztikája, f=0,2 Hz-en
28. ábra. A mágneses indukció és a fluxus idıbeli változása szinuszosan lefutó mágneses térerısség esetén [9]
29
29. ábra. A mágneses indukció és a fluxus idıbeli változása szinuszosan lefutó mágneses indukció esetén
Mindezt egy egyszerő szabályozó algoritmus segítségével oldottuk meg. A szabályozási kör általános elvi felépítése a 30. ábrán látható. [7]
szabályozó jel alapjel
hibajel
Szabályozó
Szabályozandó objektum
kimeneti jel
30. ábra. A szabályozási kör általános tömbvázlata Jelen esetben a kimenet a mágneses indukció (a szabályozandó jel), hiszen azt kívánjuk szinuszos lefutásúvá alakítani, tehát az alapjel (referenciajel) egy szinuszos lefutású idıfüggvény. Az alapjel és a kimeneti jel különbsége egy hibajelet generál, amely a szabályozó algoritmus bemenetéül szolgál. Ez egy szabályozó jelet ad, melynek segítségével a kimeneti jel az alapjelhez elméletileg aszimptotikusan közelít, s a hiba értéke fokozatosan csökken. A szabályozó jel tehát a gerjesztı áramjel, melyet módosítani kell, és a szabályozandó objektum a torroid tekercs. Az algoritmus jelen esetben a következıképp fogalmazható meg:
30
A mérést szinuszos áramjellel indítjuk, ez az inicializálás. A torroid tekercs szekunder kapcsain mérhetı indukált feszültséget beolvassuk, majd a IV. fejezetben bemutatott eljárások valamelyikével integráljuk. Az integrált jelet, azaz a mágneses indukciót egy frekvenciában vele megyegyezı, adott amplitúdójú szinuszos jellel (a referenciajelel) hasonlítjuk össze. A referencia jel a következı egyenlet formájában írható fel: Bref ( t ) = Bmax sin (ωt ) ,
(28)
ahol Bmax a mért mágneses indukció maximális értéke és ω a mágneses indukció alapharmónikusának körfrekvenciája. A hiba a referenciajel és a mért mágneses indukció különbsége: e( t ) = Bref ( t ) − B( t ) .
(29)
A kapott hiba adott százalékával módosítjuk a szabályozójelet, mint alapvetı szabályozási algoritmus (ez az un. P-típusú szabályozási algoritmus, proporcionálisszabályozás). Ezen mőveleteket ciklusban addig ismételjük, amíg egy elıre beállítható hibaküszöböt el nem érünk. A leállási feltételt biztosíó küszöb értékét az MSE =
1 N
N −1
∑e
2 k
(30)
k =0
un. átlagos négyzetes hiba (Mean Square Error) segítségével definiáljuk. Itt ek a (28) által definiált hiba mintái, N pedig az egy periódusban vett minták száma. A leállási feltétel tehát a következıképp fogalmazható meg: MSE ≤ ε .
(31)
A megvalósított szabályozási hurok a 31. ábrán látható. A leállítás egy a grafikus interfészre kihelyezett gombbal is lehetséges.
31
31. ábra. A használt szabályozási kör tömbvázlata A 32. ábrán a szabályozási algoritmus látható futás közben. Jól kivehetı, hogy a mágneses indukció idıbeli lefutása közel szinuszoshoz tart. Látható továbbá, hogy a (30) által definiált hiba monoton csökken, ideális állapotban nullához tartana.
32. ábra. Szabályozási algoritmus futás közben
32
VI. ÖSSZEFOGLALÁS, TOVÁBBI FELADATOK Elektromágneses Terek Laboratóriumunkban összeállítottunk egy mérési elrendezést a skalár hiszterézis karakterisztika felvételére, amely a LabVIEW programcsomag és az általa interfészen vezérelt generátor támogatására épül. Kidolgoztunk egy eljárást az indukált feszültség zavarmentesítésére Fourier-transzformáció és egy Butterworth-szőrı, valaint RL és RC integráló áramkörök alkalmazásával. Megvalósítottuk továbbá az elıre megadott jelformájú mágneses indukciót elérı szabályozási algoritmust egy valóságos, fizikai rendszeren. Léterhoztunk három, két analóg és egy digitális elven mőködı integrátort, melyek segítségével a mágneses indukció mérése valósítható meg. Ezeket az eljárásokat validáltuk és összevetettük, leírtuk tulajdonságaikat, így bizonyítottuk mindhárom módszer helyességet. Ezen eszközök segítségével és egy most készülı mérıeszközzel képesek leszünk különféle ferromágneses anyagok skalár hiszterétis karakterisztikájának meghatározására kb. 0,2 Hz és 1 kHz között. A digitális integrátorral alacsony frekvencián értünk el jó eredményeket, itt az analóg áramkörök nem mőködtek megfelelıen. 200-300 Hz-en mindhárom módszer közel azonos eredményt mutatott. 400 Hz fölött már csak az analóg módszerek hoztak jó közelítéssel pontos eredményt. Az itt bemutatott analóg módszerek jóval magasabb frekvenciák mérésére is alkalmasak lennének, azonban a rendelkezésre álló áramgenerátor ezt nem teszi lehetıvé számunkra. A széles frekvenciatartományban végzett méréseknek több témakörben is nagy jelentısége van. Az 1 Hz alatti frekvenciákon a ferromágneses anyagokban nem alakulnak ki örvényáramok vagy azok elhanyagolhatóan kicsik, így az un. statikus hiszterézis karakterisztikák felvételére van lehetıség. Ez adja a skalár hiszterézis karakterisztika
modelljeinek
karakterisztika
eredményeivel
alapjait,
amelyek
pontosíthatók,
a
a
magasabb
karakterisztika
frekvencián
mért
frekvenciafüggése
modellezhetı. Ismeretes, hogy a villamos hálózatról mőködı elektromos eszközök 50-60 Hz frekvencián mőködnek világszerte, így az ezekben található elektromágneses
33
hatásokat kihasználó ferromágneses anyagok mágneses tulajdonságainak ismerete szempontjából elengedhetetlen azok skalár hiszterézis karakterisztikájának ismerete és CAD rendszerekben való modellezése. Az utóbbi években egyre nagyobb teret hódít a miniatürizálás [11]. A méret csökkenése mellett tapasztalható tendencia az eszközök teljesítményének növekedése is. Ez számos eszközben a mőködési frekvencia növekedését jelenti. Ez nagyobb áramfelvétellel járhat, amit a méretcsökkentés miatt egyre kisebb DC/DC átalakítókkal oldanak meg. Az ilyen berendezésekben található induktív elemek hiszterézis karakterisztikájának ismerete tehát szintén nagy jelentıséggel bír. Az általunk bemutatott módszerrel egy RC integráló áramkör használatával és megfelelı generátorral az ilyen mérések is elvégezhetık lennének. A villamosmérnöki gyakorlatban jelen mérések fıként a hiszterézis modellek identifikációját célozzák meg, hogy azok mind pontosabban és minél nagyobb hatékonysággal modellezzenek egy adott eszközt. Egy kutatási irányunk ugyanis a modellek alkalmas iterációs algoritmussal végeselem-módszerbe történı illesztését célozza meg [5]. Távolabbi céljaink közé tartozik egy új szabályozó algoritmus kifejlesztése, melynek használatával a szabályozás gyorsabbá, pontosabbá tehetı. A
késıbbiekben
kísérletet fogunk tenni
egy olyan
mérési
berendezés
összeállítására, amely képes mérni és vezérelni az un. vektor hiszterézis karakteriszitkát oly módon, ahogy ezt a skalár hiszterézis karakterisztikával tettük, ezzel segítve az elektromágneses térszámítási feladatok végrehajtása során végeselem-módszert alkalmazó tervezıprogramok fejlıdését, fejlesztését. A hiszterézis jelensége ugyanis általánosan vektor jellegő, hiszen a H és B vektorok nem minden esetben párhuzamosak egymással, így a skalár modell feltételezése nem minden esetben helyes.
34
V. IRODALOMJEGYZÉK [1]
Zoltán Pólik, Tamás Ludvig, Miklós Kuczmann, “Measuring and control of the scalar
hysteresis characteristic applying the LabVIEW software environment”, Journal of ELECTRICAL ENGINEERING, (megjelenés alatt) [2]
Pólik Zoltán, Ludvig Tamás, „A skalár hiszterézis karakterisztika mérésének megvalósítása
LabVIEW környezetben”, TDK dolgozat, Gyır, 2006. tavaszi szem. [3]
Pólik Zoltán, „A skalár hiszterézis karakterisztika mérése és a mérés automatikus
szabályozása”, TDK dolgozat, Gyır, 2006. ıszi szem. [4]
Zoltán Pólik, Tamás Ludvig, Eszter Sárospataki, Miklós Kuczmann, „Scalar Hysteresis
Measurement System Applying the LabVIEW Software Package”, Pollack Periodica (megjelenés alatt) [5]
M. Kuczmann, A. Iványi, “Neural Network Based Hysteresis Model in Electromagnetic
Field Computation”, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2006. (kézirat lektorálás alatt) [6]
Dr. Standeisky István, „Elektrodinamika”, Universitas-Gyır Kht., Gyır, 2006.
[7]
Csáki Frigyes, „Korszerő szabályozáselmélet”, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970.
[8]
A. Iványi, „Hysteresis Models in Electromagnetic Computation”, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1997.
[9]
P. Kis, M. Kuczmann, J. Füzi, A. Iványi, „Hysteresis Measurements in LabVIEW”, Physica
B, vol. 343, pp. 357-363. [10] Dr. Kuczmann Miklós, „Jelek és Rendszerek”, Universitas-Gyır Kht., Gyır, 2005. [11] Mikó Annamária, „Nanoszerkezető és amorf Fe-alapú vékonyrétegek és Fe/Fe-oxid
multirétegek elıállítása nemstacionárius elektrokémiai eljárással”, Doktori értekezés, Budapest, 2006. [12] Dr. Schnell László, „Jelek és rendszerek méréstechnikája”, Mőszaki Könyvkiadó, Bp., 1985. [13] www.ni.com. [14] cnx.org [15] Simonyi Károly, „Elméleti villamosságtan”, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991
35
