A rugalmassággal kapcsolatos gondolatmenetek Az igen szerteágazó, rugókkal kapcsolatos rezgési és sztatikus problémák közül néhányat tárgyalunk gondolkodás módszertani szempontok bemutatására. A rugó problémák az új tantervben is helyet kapnak. E fejezetben mindig ideális szálat tekintünk, vagyis érvényesnek vesszük az F=-Dx rugótörvényt, vagy másképpen úgy tekintjük, hogy a rugalmas szál Hooke-törvényt követi alakváltozáskor, nyújtásra, vagy összenyomásra. Néhány gondolkodás módszertani szempontot szeretnénk kiemelni, amelyek a tárgyalt problémák kapcsán jól láthatók majd. Az egymásra épülés jelentkezik a nehezedő sorrendben, ami fejlesztheti az általánosító készséget. Evidens geometriai elrendezésből indulunk ki, mely egyszerűségénél fogva jó alapot szolgáltat a ráépülő nehezebb részekre. Az egyszerűbb problémát is igényesebben fogalmazzuk meg, hogy általánosítható legyen, de megmutatjuk a közvetlen megoldást is. A geometriai transzformáció egy érdekes esetét alkalmazzuk, mikor a deformált test vonalsűrűségét határozzuk meg. (A vonalsűrűség a szál egységnyi hosszának a tömege.) Alkalmasak a tárgyalt problémák különböző szintű diszkusszióra, és szokatlan eredmények is jelentkeznek. Erősen a fizikai szemléletre kell hivatkozni a kezdeti feltételek megválasztásakor. Itt paradox helyzetek is adódhatnak, melyeket végül is a mélyebb fizikai szemlélet tisztáz. Az eredményeket táblázatos formában jeleníthetjük meg, ha numerikus számolást végzünk. Itt jól használhatjuk a számítógépet, melyet most pusztán a zárt analitikai alakban levezetett képletek helyettesítési értékeinek kiszámítására használunk, majd ezeket táblázatba foglaljuk. A táblázat léptetése egy FOR TO NEXT ciklussal jól megoldható. Jól valósíthatók meg un. referencia helyzetek bemutatása, mely a matematikai tárgyalás alapját szolgáltatja. A deformáció leírása az erőmentes, azaz nem deformált állapothoz viszonyítva történik. A nem deformált állapotot tekintjük referencia helyzetnek. 4.1 Rugalmas szál deformált állapotában, a vonalsűrűség meghatározása Tekintsük a rugalmas szálat vízszintes helyzetben, fektessük rá az x tengelyre. Alá rajzoljuk az erő hatásának kitett, ugyanezen szálat, de már megnyúlt állapotában. A megnyúlással járó haránt irányú összehúzódástól az egész fejezetben eltekintünk. Egyelőre az alakváltoztató erő bármilyen eloszlású lehet a szál mentén, pusztán azt tesszük fel, hogy szál irányú és természetesen a szál mindig párhuzamos az x tengellyel. Van az x tengely, mint referencia egyenes, ezen a deformálatlan szál, mint képzelt referencia szál és alatta a valóságos, deformált szál. A referencia szál minden pontjának megfelel a valódi szálon egy pont. Így a két egyenes között egy geometriai leképezést hozunk létre. Ha a referencia egyenest egyenlő hosszúságú ∆x szakaszokra osztjuk fel, a megfelelő ∆x ' szakaszok már egymás között sem és ∆x -szel sem lesznek egyenlők. Jelöljük y1-gyel az x1 referencia szakasz megnyúlását, y2-vel egy másik, x2 referencia szakasz megnyúlását. Legyen pl. x2 = x1 + ∆x , akkor ∆y = y2 − y1 hosszúság a referencia egyenes x1-hez
tartozó ∆x szakaszának megnyúlását jelenti. Tehát ∆x megnyúlása ∆y . A ρ vonalsűrűség szemléletes definíciója szerint az egységnyi hosszúságú szakaszban foglalt tömeget jelenti. A referencia szálra nézve a ρ vonalsűrűség legyen mindenhol ugyanaz a ρ 0 érték. Homogén szálat tekintünk kezdetben s egyedül a deformáció az, mely megváltoztatja a szál homogén tömegeloszlását. Ekkor a referencia szállal ∆x szakaszonként mintegy letapogathatjuk a valódi szálat, ugyanis az adott ∆x szakaszban foglalt tömeg a valódi szálban (∆x + ∆y ) hosszúságú szakaszon oszlik el. Így a 4.1 ábra szerint a sűrűséget felírva, határátmenettel a valódi szál ρ vonalsűrűségét, mint egyik lokális jellemzőjét kiszámíthatjuk.
ρ 0 ∆x ρ0 ; ρ = . ∆y ∆x + ∆y 1+ ∆x A pontos érték lim ρ , ∆x Æ0. Nevezzük továbbra is ρ -nak, hiszen csak ezt visszük tovább: ρ (1) ρ (x ) = 0 , 1 + y' Tehát ρ közelítő értéke:
ρ=
ahol y’=dy/dx, és feltesszük, hogy az y megnyúlás x-nek differenciálható függvénye. Hangsúlyozzuk, hogy az (1) képlet igen általános feltételek mellett megadja a deformált – és nyugalomban lévő – rugalmas szál vonalsűrűségének hosszmenti eloszlását.
4.2 Szál saját súlyától való megnyúlása Az egyik végén felfüggesztett rugalmas szál megnyúlását kell kiszámítanunk. A feladat egyszerűen megoldható közvetlenül az erre vonatkozó meggondolással. Ha általánosabban vezetjük a megoldást, kiszámíthatjuk a megnyúlt szál sűrűségeloszlását is – amit az egyszerűbb megoldással nem tehetünk meg – és az egész számítás előjátéka lehet egy valóban komoly problémának, amit a 3. pontban tárgyalunk. Képzeljük el egymás mellett a referencia szálat, ami tehát nem nyúlik s amelynek hossza L – azaz a szál eredeti hossza – s ugyanakkor a megnyúlt szálat. Például ρ 0 x adja az x keresztmetszetig lévő tömeget, bár e metszet valójában nem az x mélységben van, hanem lejjebb, x’-ben. A referencia szálon adott x mélységben az ez alatti tömeg: (L − x )ρ 0 . Az ennek megfelelő (L − x )ρ 0 g súly az, amely a valódi szálat x’ mélységben húzza. Tehát a valódi szálat minden helyén más-más F(x) erő feszíti, melyet a referencia szál x koordinátájával fejezünk ki: F=F(x) (2) F ( x ) = (L − x )ρ 0 g A (2) képlet a valódi szálat feszítő erő hely szerinti eloszlását adja meg a referencia szálon mért x hosszúság függvényében. Ezután a Hooke-törvényből meghatározzuk a szál egy adott x referencia hosszra következő ∆x darabjának ∆y megnyúlását. A Hooke törvényben most az un. Eredeti hossz ∆x és ennek megnyúlása ∆y . Tehát
∆y =
(3)
1 F ( x )∆x E A
ahol E a szál rugalmassági modulusa, A a keresztmetszete, F(x) a fenti erő. Ezért
1 ρ0 g (L − x )∆x E A ∆y ρ 0 g (L − x ) = ∆x EA Határértékre térve ∆x Æ0 esetén ρ g (4) y ' = 0 (L − x ) EA ∆y =
A (4) képlet tartalmazza valamennyi információt, ami e probléma megoldását adja. Látható ugyanis, hogy egy tetszőleges helyen a szál megnyúlása x
y = ∫ y ' (ξ )dξ ;
y=
0
A szál teljes megnyúlása: L
ymax = ∫ y ' (ξ )dξ ;
s(L)
0
(5)
s (L ) =
1 ρ 0 gL2 2 EA
ρ0 g x2 Lx − EA 2
a ρ sűrűség eloszlása: (6)
ρ (x ) =
ρ0 ρ0 g (L − x ) 1+ EA
Tanulságos diszkusszió lehetséges: Mint látjuk, ρ (L ) = ρ 0 tehát a szál végén marad az eredeti ρ 0 sűrűség, máshol kisebb. Érthető, a végén lévő
∆x darabot már nem húzza, azaz nem nyújtja semmilyen erő. Minimális ρ - nak az értéke a felfüggesztésnél:
ρ (0) =
ρ0 ρ gL 1+ 0 EA
Így minél hosszabb az eredeti szál, annál ritkábbá válik a felfüggesztésnél. Ez jól demonstrálható az un. Rugó Rudi játékkal (sűrű menetű, finom rugózatú spirálrugó). Ha ezt felfüggesztjük, a menetek egymástól mért távolsága mérvadó a vonalsűrűségre. Szépen látható, hogy alulról felfelé haladva a menetek távolsága egyre növekszik, jeléül annak, hogy nyújtott (és nyugalmi) állapotban egyre „ritkább” a tömegeloszlás. Az (5) képlet még mást is mond. Ha a Hooke-törvényből az F erőt kifejezzük és összehasonltjuk az F =Dx rugó képlettel (most F abszolút étéket jelent, ezért maradt el a negatív előjel), akkor kapjuk, hogy (7)
D=
EA L
vagyis a D direkciós erő így vezethető vissza E, A, és az L mennyiségekre. Tudva, hogy a szál m tömege m = ρ 0 L , (5) és (7)-ből kapjuk, hogy (8)
ymax ; s (L ) =
1 mg 2 D
Ennek érdekes a jelentése. Ha a súlytalan rugóra m tömegű testet függesztünk fel, akkor mg/D a megnyúlása. Ezek szerint egy homogén, súlyos szálnak a saját súlyától való megnyúlása fele annyi, mintha tömegét koncentrálva egy ugyanolyan erős súlytalannak tekinthető rugalmas szálra függesztettük volna fel. 4.3 Vízszintes síkban forgatott rugalmas szál egyensúlyi helyzete Függőleges tengelyű korongra centrálisan felerősítünk egy D direkciós erejű ideális rugót. A rugót és a rugalmas szál fogalmát itt azonosnak vesszük. A korongot forgásba hozva, ezzel a rugó is forogni kezd, és radiálisa megnyúlik.
Milyen stacionárius helyzet alakul ki adott ω szögsebességű forgás esetén? Keressük tehát a rugó megnyúlását és vonalmenti sűrűségeloszlását. A pontosság kedvéért homogén, rugalmas szálat kellene mondanunk, mely a Hooke-törvénynek engedelmeskedik. Az 1. és 2. pontban lévő meggondolások itt is alkalmazhatók, mivel kezdetben általánosságban tárgyaltuk a nyúlási problémát. Ezért a (3) egyenletből indulhatunk ki, ahol F(x) egyelőre ismeretlen erőeloszlást jelent az ω szögsebességű egyensúlyi állapotban. A referencia szálat párhuzamosan képzeljük a már megnyúlt
szállal. Ekkor F(x) jelenti azt az erőt, amely a megnyúlt szálra hat a referencia szál x koordinátájának megfelelő, a forgástengelytől x’ távolságú keresztmetszetben. A még meg nem nyúlt szál ∆x darabjának ∆y megnyúlásakor a ∆x + ∆y darabban F(x) rugalmas erő ébred. Egyensúlyban – vagyis amikor már nem deformálódik a szál – ez az F(x) erő az x referencia hosszúságban lévő keresztmetszettől jobbra eső szálra ható teljes centripetális erővel egyenlő, mivel ez biztosítja ennek a szál darabnak a körpályán tartását. Úgyis mondhatnánk, hogy a ∆x darab ∆y megnyúlása által fellépő F(x) erő tartja körpályán az x-től jobbra eső véges hosszúságú szálat, vagyis ez valósítja meg erre nézve a centripetális erőt. Igy F(x)=Fcp(x) , ahol Fcp(x) az x-től jobbra eső, már megnyúlt szálra ható centripetális erő. Így egy tetszőleges x hely a valódi szálnál x+y koordinátájú, s a centripetális erő mrω képlete alapján adott xhez r=x+y tartozik. A referencia szálat véve alapul, felírhatjuk az x-től jobbra eső, a deformált szálra ható centripetális erőt: 2
L
(9)
Fcp (x ) = ∫ (ξ + y )ω 2 ρ 0 dξ x
Itt az Fcp = mrω ismert képletet használtuk infinitezimálisan, ahol x egy tetszőleges helyet jelent, L a 2
referencia szál (vagyis a nem forgatott, nyugvó szál) hosszát és m helyett dm = ρ 0 dx írandó, mivel minden ∆m más-más távolságra lévén az x helytől, más-más a reá ható centripetális erő is. A (9) felírásban y(x) az ismeretlen függvény. Igyekszünk differenciál egyenletet felállítani a megnyúlt szálra. Mivel F(x)=Fcp(x) , (9)-t (3)-ba helyettesítjük és mindjárt ∆y / ∆x –et írunk: L
(10)
1 ∆y (ξ + y )ω 2 ρ 0 dξ =− ∫ ∆x EA x
ahol a negatív előjel az integrál határainak felcseréléséből adódott. Feltesszük, hogy a helyi megnyúlást leíró y(x) differenciálható függvénye x-nek (y tehát x-ig terjedő referencia szál megnyúlását jelenti) és (10)-ben határértékre térünk:
∆y = y' ∆x→0 ∆x lim
és (10) éppen ezzel lesz egzakttá. Tehát az y(x) függvényre egy integrál egyenletet kaptunk: (11)
y' = −
ω 2 ρ0 EA
L
∫ (ξ + y )dξ x
Vezessünk be egy alkalmas jelölést: (12)
Ω2 =
ρ0 2 ω EA
A (11) egyenletet differenciálegyenletté alakíthatjuk, ha alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát és az integrált annak felső határa szerint differenciáljuk. Ekkor a baloldalon is deriválva, (11)-ből kapjuk, hogy
y" = −Ω 2 ( x + y ) (13) y"+Ω 2 y = −Ω 2 x
Ez egy inhomogén, állandó együtthatós, másodrendű differenciálegyenlet az ismeretlen y(x) függvényre, amit már könnyen megoldhatunk. Egy partikuláris megoldás: yp=-x, a homogén egyenlet megoldása:
yh = A sin Ωx + B cos Ωx így (13) általános megoldása (14) y = A sin Ωx + B cos Ωx − x A kezdeti feltételek megadása – melyekből az A, B ismeretlen konstansok határozhatók meg – próbára teszik a fizikai szemléletet. A szálon kifelé haladva, a vége felé tekintve valamely keresztmetszetet, egyre rövidebb lesz az attól kifelé lévő szálrész, mely húzná az x keresztmetszetet, vagy másképpen, melynek körpályán tartásához szükséges erő nyújtaná az x helyhez csatlakozó ∆x szakaszt. Ezért a szál vége felé egyre kevésbé deformálódik, tehát vonalsűrűsége egyre kevésbé tér el a referencia szálétól, azaz a nem forgatott, vízszintes síkon nyugvó szálétól. Ezért az egyik kezdeti feltétel így szol: x=L, ρ = ρ 0 .
Első pillanatra paradoxnak tűnik, hogy éppen a végén nem deformálódik, ott, ahol a legnagyobb a centripetális erő. Gondoljuk meg továbbá, hogy a szóban forgó tetszőleges x keresztmetszettől befelé lévő teljes x hosszúságú szálnak az y megnyúlása már annál nagyobb, minél inkább kifelé tekintünk egy helyet a szálon. Ez vezet a második kezdeti feltétel felírásához. Mivel a megnyúlás az eredeti hosszal arányos (Hooke-törvény), azért ha most egyre inkább befelé haladunk, a forgáscentrum felé a referencia szálon, az x hosszúság csökken, így az x helyen a megnyúlás is egyre kisebb lesz, hiszen y mindig az x hosszúságú szál-rész megnyúlását jelenti, ezt méri. Így a második kezdőfeltétel ilyen: x=0, y=0. Most már igen érdekes kép alakul ki, ha az előbbi két gondolatmenetet egybevetjük. A befogásnál, akörül, a szál nem, vagy alig nyúlik, míg ugyanitt vonalsűrűsége kicsi és a befogásnál a legkisebb. Ha spirálrugóval el is végezzük a kísérletet, a befogásnál y(x), vagyis az „integrális” megnyúlás zérushoz tart, ugyanakkor az egyes menetek távolsága a legnagyobb, jeléül annak, hogy a vonalsűrűség a minimális. Írjuk fel végül a két kezdőfeltételt: (15)
x=0 y=0
x=L ρ = ρ0
Ezeket alkalmazzuk az egészen általános (1) képletre és a jelen (14) megoldásra. Ehhez (14) deriváltját is elő kell állítani. A (15) kezdőfeltételeket ezekbe helyettesítve, kapjuk A és B konkrét értékét, végül a megoldást.
ρ0 1 + y' y = A sin Ωx + B cos Ωx − x (14) y ' = ΩA cos Ωx − ΩB sin Ωx − 1 B=0, majd 1 + y ' (L ) = ΩA cos ΩL , ezért (1) miatt 1 A= Ω cos ΩL (1)
ρ=
A végeleges megoldások: (15) (16)
sin Ωx −x Ω cos ΩL ρ cos ΩL ρ= 0 cos Ωx y=
Megadhatjuk a referencia szál y(x) megnyúlása mellett még a deformált szál teljes hosszát az x referencia hossz függvényében. Ez közvetlenül leolvasható a 4.1 ábrából. Nevezzük r(x)-nek, akkor r(x)=y(x)+x, (17)
sin Ωx Ω cos ΩL
r (x ) =
Diszkusszió előtt alakítsuk át (12)-t (7) segítségével.
Ω2 =
ρ 0ω 2 ρ 0 Lω 2 mω 2 ω2 = = = DL DL2 DL2 ω 0 2 L2
végül (18)
ΩL =
ω ω0
ahol ω 0 jelenti azt a D és m által meghatározott körfrekvenciát, mellyel a rugó tömegét koncentráltam tartalmazó pontszerű test rezegne egy súlytalan D állandójú ideális rugóra akasztva. Láthatóan a rugó sűrűsége kifelé haladva növekszik, és x=L –nél ρ = ρ 0 , legkisebb x=0 –nál: ρ = ρ 0 cos ΩL . Az y megnyúlás x=0-ra zérus, míg a deformált teljes hossz: r(L), ami így irható: (17/a)
r (L ) =
tg ΩL Ω
Nézzük r(L) értékét, ha Ω → 0 . Ez akkor van, ha pl. ω → 0 , vagyis ha nem forgatjuk a rugót. Ez esetben
lim r (L ) lim tg α =L Ω→0 α →0 α ha α = ΩL . A L’Hospital szabállyal: d tg α lim dα lim 1 = =1 α → 0 dα α → 0 cos 2 α dα tehát
lim r (L ) = L, Ω→0
azaz nem nyúlik meg a szál, ami természetes is. Hasznos ilyen magától értetődő helyzeteket is kiszámolni, ezzel mintegy körüljárjuk a problémát. Érdekesebb a stabilitás problémája. Első pillanatra arra gondolhatnánk, hogy növelve a forgás szögsebességét, egyre hosszabb lesz a szál. A szakítószilárdságtól függetlenül létezik egy kritikus hossz, mely után a nyúlás instabillá válik. Tekintsünk a (17) képletre, követelmény, hogy bármely x helyen a szál r(x) aktuális hossza csak véges lehet. Ez a követelmény (17)-ből így fejezhető ki:
cos ΩL ≥ 0 π ΩL ≤ 2
A fizikai helyzetre való tekintettel, egyben a (17) képlet miatt, az egyenlőségjel nem érvényes, továbbá (18)-t is felhasználva, adódik, hogy
ϖ π < ; ϖ0 2 (19)
ϖ<
ϖ krit =
Dπ ; m 2
Dπ m 2
Ezek szerint kritikus szögsebesség (19)-ben adott. Ennél gyorsabb forgatáskor a szál nem lehet stabilis. Ha tehát ω ≥ ω k , a szál folyton nyúlik, habár ω konstans. Persze ettől függetlenül ω k -nál kisebb, vagy nagyobb ω -ra el is szakadhat. Az ω > ω k esettel analóg módon szemléltethetjük, az un. megfolyás esetét a szilárdságtanban. Semmiképpen nem fizikai azonosságról van szó, hanem a megfolyást többé-kevésbé szemléletessé tevő analógiáról. 4.4 Különböző irányú diszkussziók a)
Módszertani szempontból hasznos, ha adott problémára más oldalról ismét visszatérünk, mivel fejleszti a gondolkodást. Tekintsük ismét a 4.2 pontban adott alapproblémát – rugalmas szál saját súlyától való megnyúlását – melyet most más úton oldunk meg. E megoldás szűkebb, csak a célra irányul, az első általános volt, akkor az átfogóbb fizikai számítási módszer bemutatása volt a cél. Osszuk fel a referencia szálat egyenlő, kicsiny ∆x hosszúságú szakaszokra, ahol ∆x = L / n , ha n részre osztottuk. Minden ∆x hosszúságú darabot az alatta levő szálrész húzza. A kiszemelt darab alatt legyen k számú rész a szál végéig. Tetszőleges helyen lévő, ∆x hosszúságú szakasz ∆y megnyúlása:
∆y =
1 E
k
L ρ0 g L n A n
amint a Hooke-törvény követeli. Ezért a szál teljes megnyúlása e ∆y megnyúlások összege:
ρ g n L y = 0 ∑ k EA k =1 n (20)
y=
2
ρ 0 g L2 (n + 1)n EA n 2 2
ahol a számtani sorozat összegképletét használtuk. Ha n → ∞ kapjuk a szál pontos megnyúlását. Vegyük figyelembe (7)-t is és azt, hogy
lim n(n + 1) =1 n → ∞ n2
akkor kapjuk, hogy (21)
y=
1 mg . 2 D
Ez az eredmény pontosan megegyezik a (8)-as képlettel. Nem szükséges hozzá integrál, hanem szummázó módszert is alkalmazhattunk. A (21) képlet nem függvény kapcsolatot ad, tehát nem az y(x) függvényt kapjuk meg általa, hanem a maximális megnyúlást paraméteresen ugyan, de nincs benne az x változó. Erre építve nem számolhatjuk a szál vonalsűrűség eloszlását sem, tehát az eredmény is, a gondolatmenet is speciálisabb, mint a 4.2 pontban volt. b) Újabb érdekességként könnyen megmutathatjuk, hogy a 4.3 pontban adott (15) kezdeti feltétel a 4.2 pont (4) egyenletének megoldásakor is használható. Ezúttal (4) határozatlan integrálját képezzük – nem (0,x), vagy (0,L) határok között integrálunk – és a fellépő szabad konstansra alkalmazzuk (15)-t. Mivel most elsőrendű egyenletünk van, azért (15)-ből csak az egyik kezdeti feltétel használható, amelyik nem y’-re hanem y-ra vonatkozik. A ρ ( x ) eloszlás már a megoldásból és (1)-ből következik. Tehát (4)-ből
y=
x2 ρ0 g Lx − + K EA 2
ahol K a szabad konstans. Vegyük most (15)-ből az x=0, y=0 feltételt, akkor láthatóan K=0 és y(L) az (5) maximális megnyúlást adja. c) Az alapprobléma újabb megközelítéseként térjünk vissza az 4.1 ábrában szemléltetett geometriai transzformációra. Valamennyi számításunk lényegében erre épült. A ∆x szakaszhoz rendeljük a ∆x + ∆y szakaszt, ekkorára nyúlik meg ∆x . Természetesen nem mindegy, hogy mekkora x referencia hosszúság végén van a kiszemelt ∆x . Tekintsük azt az alapkísérletet mikor a vízszintesen befogott szál végét csigán átvetett fonálon lógó súllyal terheljük. A deformációnak itt ez a legegyszerűbb esete. Láthatóan most a szál minden helyén ugyanaz az F erő támad. A felfüggesztett szálnál a helyzet összetettebb, mivel a nyújtó erő a szál mentén változik, ahogy azt a 4.2 pontban láttuk. Írjuk fel most a ∆y megnyúlást: (22)
∆y =
1 F∆x EA
ahogy azt a Hooke—törvény előírja. Ebből (23)
∆y F = , ∆x EA
y' = p
(p =
F , konst ) EA
A (23) egyenletből y=px+C ahol C a kezdeti feltételből határozható meg. Itt is áll (15) első része, ezért C=0, így (24) y=px Ezek után nézzük meg, hogy a referencia szálon felvett osztáspontok hogyan tolódnak el a deformált szálon. Például vizsgáljuk x1 és (x1+ ∆x ) szakaszoknak megfelelő deformált szakaszok arányát, azaz r1 és r2 arányát.
r1 = x1 + y1 r1 = x1 (1 + p ) r2 = x2 + y2 r2 = x2 (1 + p ) ahol x2=x1+ ∆x . Képezzük az r2/r1 arányt: r2 x2 (25) = . r1 x1
Ez éppen azt jelenti, hogy a referencia szálon tetszőlegesen felvett szakaszok és a deformált szál megfelelő szakaszai között középpontos hasonlósági transzformáció van, tehát ilyen transzformációval vihető át a referencia szál a megnyúlt szálba. Nézzük meg, hogyan szerkeszthető meg a referencia szál bármely P pontjának P’ képpontja. Ha a kísérletben a nyújtatlan szálra egyenlő távolságokban un. lovasokat helyezünk, majd ezután megterheljük a szálat, a lovasok továbbra is egyenlő távolságokban helyezkednek el egymástól, viszont az egyes eltolódások különbözők, jelezvén a szál mentén a különböző mértékű deformációt. Kérdés, hogy adott P-hez a megfelelő P’ hogyan szerkeszthető meg. Kössük össze a referencia szál és a deformált szál 0, 0’ kezdőpontjait. Ezen az egyenesen kell lennie a C pontnak, a hasonlósági transzformáció centrumának. A (24) egyenletből meghatározzuk a P-hez tartozó x szakasz y megnyúlását (4.3 ábra).
Ez y=px és így a deformált szálon az x+y szakasz végpontja lesz a P-nek megfelelő P’ pont. Ekkor a PP’ egyenes kimetszi 00’-ből a C pontot. Ezek után bármely más P-hez már megszerkeszthető a megfelelő P’ pont. Az egyes ∆x ' = (1 + p )∆x szakaszok, vagyis ∆x transzformáltjai: ∆x ' = (1 + p )∆x . Ha az egyes ∆x -ek egyenlők, úgy a ∆x ’ szakaszok is egyenlők, de a szál teljes megnyúlása (24) szerint annál nagyobb, minél nagyobb az eredeti, referencia szál hossza. Mindezek csak állandó F erő esetén érvényesek. Így a 4.2 és 4.3 pontban tárgyalt esetekre nem alkalmazható középpontos hasonlósági transzformáció. Szemléletes eredményt kapunk a ρ vonalsűrűségre a jelen F konstans esetben. A (1) és (23) egyenletekből (26)
ρ=
ρ0 1+ p
vagyis ρ állandó a megnyúlt szál mentén, csak kisebb, mint a nyújtatlan állapotban. Az F erő növelésével a vonalsűrűség csökken. Hogy milyen módon, azt már nem lehet pusztán kikövetkeztetni, a (26) képlet adja meg. d) Matematikai szempontból érdekes, ha most magát a megnyúlt szálat tekintjük elsődlegesen, és az r(x) függvényre keresünk megoldást a 4.3 pontbeli problémában. Így a forgatott rugó problémáját oldjuk meg másképpen. A nyújtott szálat osztjuk fel kis dm tömegű részekre, így most nem ρ 0 -val, hanem az egyelőre
ismeretlen ρ ( x ) -szel kell dm-t felírni: dm = ρdr . Az alakváltoztató erő, Fcp most ilyen: r
Fcp = ω 2 ∫ rρ (r )dr L'
ahol L’=rmax. A (10)-zel analóg egyenlet most r
(27)
ω2 y' = rρdr EA L∫'
Kifejezve (1)-ből y’-t és (27)-be behelyettesítve: r
(28)
ρ0 ω2 −1 = − rρdr ρ EA L∫'
A határozott integrál felső határa szerinti deriváltra vonatkozó Newton-Leibniz formulát alkalmazva:
−
r ρ 0 dρ dx ω2 d = − ∫ ξρdξ 2 ρ dx dr EA dr L '
ρ0
(29)
ρ' ω 2 = rr ' ρ 3 EA
Két út kínálkozik, vagy visszatérünk y-ra, vagy tovább megyünk az r(x) függvénnyel. Nézzük először az előbbit: Az (1) egyenlet és az r=x+y összefüggés felhasználásával (29)-ből
(1 + y ') = ω 2 (x + y )(1 + y ') ρ0 y " 3 EA (1 + y ')2 ρ0 3
− ρ0
(30)
Mivel (12) alapján ρ 0ω / EA = Ω , ezért (30)-t egyszerűbb alakra hozva: 2
2
y" = −Ω 2 ( x + y )
ami nem más, mint a (13) differenciálegyenlet. Menjünk most tovább (29)-ből az r(x) függvénnyel a jelzett második útként. Most és már (29)-nél is feltételezzük, hogy ρ és r inverzei léteznek és deriválhatók. A közvetett függvény deriválási szabálya szerint:
dρ dρ dr = dx dr dx
majd (29)-ből
ρr ω2 (31) 3 = r ρ EAρ 0 ahol most ρ r jelentése: ρ r =
dρ dr
Látjuk, hogy (31) szeparálható differenciálegyenlet: (32)
ω2 dρ = ∫ ρ 3 EAρ 0 ∫ rdr + C
(32/a)
Egyelőre
ω2 = α legyen, EAρ 0
ekkor (32)-ből (33)
1 = −αr 2 + C 2 ρ
Fejezzük ki átmenetileg (33)-t x és y-nal: (34)
(1 + y ')2 ρ0
2
= −α (x + y ) + C 2
Látható hogy r=x+y felhasználható és (34)-ből (35)
2
r '2 = −αρ 0 r 2 + C
ami ismét szeparálható differenciálegyenlet: 2
r = C − αρ 0 r 2 2
Új változót bevezetve: (36)
∫
αρ u = 0 r2 C 2
αρ 0 = C +A 2 C 1− u du
ahol A később meghatározandó állandó. A (36) integrál zárt analitikai alakban előállítható.
arcsin u = ρ 0 α x + A
(
u = sin α ρ 0 x + A Ebből (37)
(
)
r = B sin ρ 0 α x + A
)
2
mivel αρ 0 / C újabb konstansként fogható fel. A kezdeti feltétel x=0, r=0 ezért A=0. A B állandó ez (1) és (37) egyenletből határozható meg az x=L, ρ = ρ 0 másik kezdőfeltételből. Ennek alapján:
B=
ρ0
1 , α cos ρ 0 α L
(
)
és (12), valamint (32/a) alapján
ρ0 α = Ω . Végül r(x) és ρ ( x ) -re kapjuk, hogy ρ cos ΩL sin Ωx ; ρ= 0 , r= Ω cos ΩL cos Ωx amelyek pontosan egyenlők a 4.3 pont r(x) és ρ ( x ) függvényeivel.
Numerikusan is érdemes számolnunk. Legyenek adataink például az alábbiak:
m = 1,6kg
L = 60cm
D = 100
N m
ω = 10 s −1
Ekkor
ω 0 = 7,91s −1 Ω = 2,11m −1 kg ρ 0 = 2,67 . m Az r és ρ függvények konkrét alakja:
sin (2,11x ) 0,64 0,81 ρ= cos(2,11x )
r=
Tetemes a vonalsűrűség maximális eltérése a szál végén lévő ρ 0 -tól; ρ 0 = 0,81 míg a megnyúlt szál hossza r (L ) = 1,49m a 60 cm hosszúsággal szemben.
kg , m
