ČASOVÉ ŘADY - posloupnost chronologicky uspořádaných pozorování. - posloupnosti věcně a prostorově srovnatelných pozorování, která jsou jednoznačně uspořádána z hlediska času. - existují různé typy časových řad.
A. Rozdělení ČŘ podle časového hlediska rozhodného pro zjišťování údajů: 1. ČŘ intervalové: - řady intervalových ukazatelů (př. počet rozvodů za rok v ČR). - intervalový ukazatel = ukazatel, jehož velikost závisí na délce intervalu, za který je sledován. - lze vytvořit součty (resp. průměry), je nutná stejná délka intervalů. - pokud jsou intervaly různě dlouhé, je třeba provést přepočet na jednotkový interval (tzv. očišťování od důsledků kalendářních variací). 2. ČŘ okamžikové: - řady okamžikových (stavových) ukazatel ů (př. počet obyvatel ČR k 31.12.). - okamžikový ukazatel = ukazatel, jehož hodnoty se vztahují ke konkrétnímu časovému okamžiku. - součet nedává reálný smysl, průměr nelze stanovit běžným způsobem. - k charakterizování úrovně hodnot těchto ČŘ používáme průměr chronologický: a)
Pokud jsou vzdálenosti mezi časovými okamžiky stejné, použijeme prostý chronologický průměr:
y + yn y y1 + y 2 y 2 + y 3 y1 + y 2 + K + y n −1 + n + + ..... + n −1 2 2 2 2 = 2 y= n −1 n −1 b) Pokud jsou mezi časovými okamžiky nestejné vzdálenosti, použijeme vážený chronologický průměr:
y + y3 y + yn y1 + y 2 ⋅ d1 + 2 ⋅ d 2 + ....... + n−1 ⋅ d n −1 2 2 2 y= = d 1 + d 2 + ....... + d n −1
n −1
∑y d i =1 n −1
i
∑d i =1
di ......... vzdálenost mezi dvěma časovými okamžiky (= délka intervalu).
B. Rozdělení ČŘ podle periodicity: 1. ČŘ roční (dlouhodobé): - jejich periodicita je jeden rok a více. - aplikace jiných postupů než u ČŘ krátkodobých. 2. ČŘ krátkodobé: - jejich periodicita je kratší než jeden rok. - ČŘ čtvrtletní, měsíční, týdenní, atd.
C. Rozdělení ČŘ podle způsobu vyjádření ukazatelů: 1. ČŘ naturálních ukazatelů: - hodnoty jsou vyjádřeny v naturálních jednotkách (př. ukazatele produkce).
i
i
2. ČŘ peněžních ukazatelů: - hodnoty jsou vyjádřeny v peněžní formě. - je nutno zajistit souměřitelnost hodnot v čase (změny cenové hladiny!).
Základní charakteristiky časových řad Absolutní diference (přírůstky) – charakterizují absolutní změnu (přírůstek nebo úbytek) hodnoty ukazatele v časovém okamžiku t oproti období předcházejícímu (t-1). (1)
1. diference: ∆ t = y t − y t −1 ,
t = 2, 3, K , n
2. diference: ∆ t
(2 )
= ∆ t − ∆ t −1 ,
3. diference: ∆
(3 )
= ∆ t − ∆ t −1 , t = 4, 5, K , n
t
(1)
(1)
(2 )
(2 )
t = 3, 4, K , n
atd. Průměrný absolutní přírůstek – aritmetický průměr jednotlivých prvních diferencí.
∆=
y n − y1 n −1
Koeficient růstu – udává, kolikrát vzrostla hodnota ČŘ v časovém okamžiku t proti období předcházejícímu. – k t ⋅ 100 − 100 udává o kolik procent vzrostla (event. klesla) hodnota ukazatele v časovém okamžiku t oproti období předcházejícímu.
kt =
yt , t = 2,3, ....., n y t −1
Průměrný koeficient růstu – geometrický průměr jednotlivých koeficientů růstu.
k = n −1 k 2 ⋅ k 3 ⋅ ..... ⋅ k n = n −1
yn y1
Základní koncepce modelování časových řad - cílem modelování ČŘ je jejich analýza a prognóza vývoje. - snaha pochopit na základě abstrakce mechanismus chování ČŘ.
1. Jednorozměrný model - nejjednodušší koncepce modelování ČŘ. - reálná hodnota ČŘ ( y t ) je funkcí času ( t ).
y t = f (t; ε t ) ; Yt = f (t ) ; t = 1, 2,K , n y t = Yt + ε t ε t = y t − Yt t K časová proměnná y t K reálná hodnota ukazatele v čase t
Yt K modelová (teoretická) hodnota ukazatele v čase t ε t K nepravidelná (náhodná) složka (porucha) v čase t. Klasický (formální) model: - zkoumá vliv časového faktoru na analyzovaný ukazatel. - nezkoumá věcné příčiny dynamiky ČŘ. - jeden z možných klasických přístupů je dekompozice ČŘ, tj. rozklad ČŘ na čtyři složky časového pohybu; popis jednotlivých forem pohybu. - ČŘ může, ale nemusí všechny tyto složky obsahovat.
Tt K St K Ct K εt K
trendová složka (trend) = dlouhodobá tendence ve vývoji hodnot analyzovaného ukazatele v čase. sezónní složka = pravidelně se opakující odchylka od trendu; periodicita maximáln ě 1 rok. cyklická složka = kolísání okolo trendu v důsledku dlouhodobého vývoje; periodicita delší než 1 rok. náhodná složka = náhodné výkyvy, které nemají systematický charakter.
Podle způsobu rozkladu rozlišujeme dva základní typy modelu: aditivní model:
y t = Tt + S t + C t + ε t
multiplikativní model:
y t = Tt ⋅ S t ⋅ C t ⋅ ε t
2. Vícerozměrný model - je založen na předpokladu, že vývoj analyzovaného ukazatele není ovlivn ěn pouze časovým faktorem, ale rovněž skupinou jiných, souvisejících ukazatelů. - jedná se o tzv. příčinné (faktorové) ukazatele. - pomocí těchto ukazatelů se snažíme vývoj analyzovaného ukazatele vysvětlit.
Yt = f (t ; x1 , x 2 , K, x p ) ; t = 1, 2,K , n kde x1 , x 2 , K , x n jsou příčinné (faktorové) ukazatele.
Trendová analýza -
popis trendu (vyrovnání, vyhlazení) pomocí matematické (analytické, „hladké“) funkce = trendová funkce. tzv. modely s konstantními parametry. informace o charakteru hlavní tendence ve vývoji ukazatele. modelování vývoje trendu v budoucnu (prognóza = stanovení očekávaných hodnot ukazatele).
Předpoklad: St = 0 a Ct = 0
⇒
Yt = Tt ;
y t = Tt + ε t .
Lineární trend : - nejběžněji používaný, předností je jednoduchost.
Tt = α 0 + α1t , t = 1,2, ......, n . - parametry α 0 a α 1 odhadneme pomocí metody nejmenších čtverců, čímž získáme výslednou rovnici odhadované trendové přímky:
) Tt = a 0 + a1t ,
t = 1, 2, ......, n .
a 0 = y − a1t n
a1 =
∑t y t =1
n
t
n
∑t
2
− t ∑ yt t =1
=
n
n
n
t =1
t =1
t =1
n∑ t y t − ∑ t ∑ y t
− nt 2
n n∑ t − ∑ t t =1 t =1 n
2
2
t =1
=
t yt − t ⋅ yt t2 −t 2
a0 KK počáteční hodnota trendu pro t = 0
) a1 KK průměrný absolutní přírůstek (úbytek) hodnoty Tt při zvýšení časové proměnné t o jednotku. Parabolický (kvadratický) trend : Tt = α 0 + α1t + α 2 t 2 Exponenciální trend : Tt = α 0 ⋅ α1t Modifikovaná (posunutá) exponenciála: Tt = κ +α 0⋅ α 1 Logistický trend:
Tt =
t
κ t 1 +α 0 ⋅α 1
Existuje řada dalších typů trendových funkcí, v konkrétní situaci je třeba vždy zvolit takový, který nejlépe vystihuje empirická data.
Volba vhodného typu trendové funkce - věcná analýza zkoumaného jevu. - posouzení empirické časové řady (ex ante). - analýza grafu (pozor na subjektivitu).
Míry úspěšnosti zvolené trendové funkce: - měří kvalitu zvoleného modelu (funkce), je jich celá řada.
∑ (y n
Střední kvadratická (čtvercová) chyba odhadu: M .S . E . =
t =1
t
) − Tt
)
2
n
- nejčastější měřítko kvality modelu. - přednost dáváme vždy tomu modelu, u něhož je hodnota M.S.E. nejnižší. - prostřednictvím M.S.E. můžeme srovnávat jen funkce se stejným počtem parametrů.
∑ (T
−y
∑ (y
) − Tt
)
ST p −1 = StatistikaF: F = SR n− p
t
p −1 t
n− p
)
2
)
2
, kde y =
) T ∑t n
- za nejlepší považujeme model, pro který je hodnota statistiky F nejvyšší.
∑ (T ∑ (y
)
S 2 Index determinace: I = T = Sy
t
−y
)
2
− y)
2
t
- vhodnější je ta funkce, která vede k vyšší hodnotě I2. 2
- u funkcí s vyšším počtem parametrů vychází I2 nadhodnocené; v takovém případě je vhodné použít I adj .
Klouzavé průměry - adaptivní přístup k modelování trendu ČŘ. - rozsah období, v jehož rámci bude ČŘ vyrovnána, je výrazně kratší než období, za něž máme ČŘ k dispozici. - tzv. modely s proměnlivými parametry. - posloupnost empirických pozorování nahradíme řadou průměrů z těchto pozorování vypočtených. - každý z těchto průměrů reprezentuje určitou skupinu pozorování. - při postupném výpočtu průměrů postupujeme (kloužeme) vždy o jedno pozorování kupředu, přičemž nejstarší (tj. první) pozorování z dané skupiny vypouštíme. ! V prvé řadě je třeba stanovit počet pozorování , z nichž vypočteme jednotlivé klouzavé pr ůměry (m). Klouzavá část období interpolace (m): časový interval délky m = 2 p + 1 , který se posunuje po časové ose vždy o jednotku. Volba délky klouzavé části období interpolace: - nelze stanovit exaktními statistickými postupy. - stanovujeme především na základě věcné analýzy (heuristicky). - přednost dáváme průměrům nižšího řádu. - u neperiodických ČŘ se nejčastěji volí délka klouzavé části 3, 5, 7. - u ČŘ s periodickou složkou je délka klouzavých průměrů rovna periodě sezónních nebo cyklických výkyvů. Identifikace jednotlivých klouzavých částí: - jednotlivé klouzavé části reprezentujeme jejich středními body (angl. target). - je-li m liché číslo, pak střední bod klouzavé části je číslo celé (t). - je-li m sudé číslo, pak střední bod klouzavé části není celé číslo (t + 0,5).
Prosté klouzavé průměry Předpoklad: na klouzavých částech o rozsahu m = 2p + 1 je definován lineární trend.
yt =
y t − p + y t − p +1 + ..... + y t + p −1 + y t + p 1 p y t ,i = , ∑ m i =− p m
t = p + 1, p + 2, ......., n − p .
- střední body klouzavých částí jsou celá čísla ( t ). - při tomto postupu zůstane p hodnot na začátku ČŘ a p hodnot na konci ČŘ nevyrovnáno.
Vážené klouzavé průměry Předpoklad: na klouzavých částech o rozsahu m = 2p + 1 je definován parabolický trend.
yt =
p
∑W y
i=− p
i
t ,i
,
t = p + 1, p + 2, ...., n − p ,
kde
Wi =
(
)
3 3m 2 − 7 − 20i 2 , i = − p,K , − 1, 0,1,K, p. 2 4m m − 4
(
)
p
Pro váhy platí :
∑W
i=− p
i
= 1 a Wi = W−i , tj. váhy jsou symetrické.
Centrované klouzavé průměry - jsou speciálním případem vážených klouzavých průměrů. - používáme je v případě, že rozsah klouzavé části je číslo sudé. - střední body klouzavých částí již nejsou celá čísla, proto nelze přímo přiřadit hodnoty klouzavých průměrů k empirickým pozorováním ČŘ. Postup výpočtu: - první vypočtený klouzavý průměr přiřadíme střednímu bodu t, který není celočíselný. - další klouzavý průměr přiřadíme střednímu bodu t+1, který opět není celočíselný. - celočíselný, tedy interpretovatelný, je bod t+0,5, který leží mezi body t a t+1. - hodnotu klouzavého průměru, odpovídající bodu t+0,5, vypočteme jako aritmetický průměr dvou sousedních klouzavých průměrů.
Např. čtyřčlenný centrovaný klouzavý průměr: 1 1 ( y1 + y 2 + y3 + y 4 ) + 1 ( y2 + y 3 + y 4 + y5 ) = 1 ( y1 + 2 y2 + 2 y3 + 2 y 4 + y5 ) 2 4 4 8 Je možno použít vyjádření formou operátoru:
1 [1, 2, 2, 2,1] . 8
Význam klouzavých průměrů: především při očišťování ČŘ od sezónních vlivů (viz další výklad).
Popis sezónní složky - sezónní složka = periodicky se opakující obousměrné odchylky hodnot ČŘ od trendu. - délka periody je maximálně jeden rok. - oscilace vznikají v důsledku přímých či nepřímých příčin, které se rok co rok pravidelně opakují v důsledku koloběhu Země kolem Slunce (klimatické vlivy, zprostředkované vlivy – společenské standardy a zvyklosti ve stereotypech chování lidí, např. dovolené, víkendy, prázdniny, Vánoce) - nejprve je třeba zjistit, zda ČŘ reálně vykazuje sezónní výkyvy (např. věcným rozborem).
Další postup: 1. kvantifikace sezónních výkyvů. 2. očištění ČŘ, tj. vyloučení sezónní složky. Cíl sezónního očišťování: - odkrytí základní dynamiky vývoje zkoumaných jevů. - umožnění bezprostředního srovnání vývoje v jednotlivých sezónách v rámci roku.
1. Model konstantní sezónnosti (aditivní model): y ij = Tij + S ij + ε ij , i = 1, 2, K , m ; j = 1, 2, K , r . kde i ........ označuje pořadí roku j ........ označuje dílčí období v rámci roku (sezóny). Kvantifikace sezónních výkyvů : 1. empirické sezónní rozdíly (odchylky) = y ij − Tij ; 2. průměrné sezónní rozdíly; 3. standardizované sezónní rozdíly (= sezónní faktory rozdílové). Standardizace (normování): součet sezónních rozdílů v rámci roku musí být roven 0, tzn. v rámci roku se sezónní výkyvy kompenzují.
2. Model proporcionální sezónnosti (multiplikativní model): y ij = Tij ⋅ S ij ⋅ ε ij , i = 1, 2, K, m ; j = 1, 2, K, r . Kvantifikace sezónních výkyvů : 1. empirické sezónní indexy =
y ij Tij
;
2. průměrné sezónní indexy; 3. standardizované sezónní indexy (= sezónní faktory indexní). Standardizace (normování): součet sezónních indexů v rámci roku musí být roven r, tzn. v rámci roku se sezónní výkyvy kompenzují.
Sezónní očišťování: 1. vyrovnání ČŘ klouzavými průměry vhodného typu (možno i jiným způsobem, např. trendovou funkcí). 2. výpočet sezónních faktorů (rozdílových nebo indexních). 3. očištění údajů původní ČŘ: a) model konstantní sezónnosti: od hodnot původní ČŘ odečteme příslušný rozdílový sezónní faktor. b) model proporcionální sezónnosti: hodnoty původní ČŘ vydělíme příslušným indexním sezónním faktorem.
