A rögzített tengely körül forgó testek kiegyensúlyozottságáról haladóknak. Bevezetés

A rögzített tengely körül forgó testek kiegyensúlyozottságáról – haladóknak Bevezetés Dolgozatunk első részében többször is szóba került, hogy a téma általánosabb kifejtése komolyabb mechanikai megalapozást igényel. Most megkíséreljük továbbadni a téma viszonylag könnyű és céljainkhoz leginkább illeszkedő dinamikai tárgyalását, nem törekedve a teljesen általános tárgyalásmódra, ám megtakarítva a még átfogóbb elemzés során esetleg fellépő magasabb matematikai nehézségeket. Aki az első részt alaposan megrágta és megemésztette, bizonyára érzi, hogy több irányban is kívánatos az általánosítás; szükséges átgondolni legalább a tetszőleges tömegeloszlású testek, valamint a nem állandó fordulatszámú forgás esetét. Mindkettő gyakorlati indíttatású: a valóságos forgó testek bonyolult alakúak is lehetnek, valamint az indítási, ill. a leállítási folyamat során fellépő szöggyorsulással kapcsolatos esetre is kíváncsiak vagyunk. Most pár szót az általunk látott szakirodalomról. A magyar nyelven elérhető munkák közül jó szívvel leginkább az [ 1 ] művet ajánlhatjuk. Az ebben található levezetés a viszonylag egyszerű skaláris tárgyalásmódjával és szemléltető ábráival alkalmasnak látszik a felmerülő főbb kérdések megválaszolására. Az általunk ismert idegen nyelvű tankönyvek közül nekünk legjobban a [ 2 ] műben található levezetés tetszett, melynek részletes és módszeres kivitelezése tanárok, tanulók, de technikusok és mérnökök számára is tanulságos lehet. Az alábbiakban lényegesen támaszkodunk e munkára is.

A csapágyreakciók meghatározása a rögzített merev tengely körül forgó merev test esetében Tekintsük a mozdulatlan z tengely körül forgó merev testet, melyre az adott aktív külső E

E

E

erők: P1 , P2 ,..., Pn hatnak – ld. 1. ábra, ill. [ 2 ]! A testre hatnak még az RA ( XA,YA, ZA ) és RB ( XB,YB ) reakcióerők, valamint a tehetetlenségi erők. Az adott pillanatban a forgás szögsebessége ω, szöggyorsulása ε. A test egy kiszemelt Mi ( xi, yi, zi ) pontjában a Фi inerciaerő is működik, amelyre fennáll:

Φ i  Φ iω  Φεi ,

(1) megfelelően a Fizikából ismert radiális és a tangenciális gyorsulás - összetevőknek. Nagyságuk:

 i  Φ ωi  m i  ri   2 ,

(2)

i  Φεi  mi  ri   ,

(3)

irányuk az ábra szerinti, azaz a negatív gyorsulás - összetevők iránya. Itt ri: az Mi pont távolsága a fizikai forgástengelytől.

2

1. ábra

3

A csapágyak egymástól mért távolsága: h. A megoldás D’Alembert elvén alapul – ld. [ 3 ]! Eszerint a külső aktív erők, a reakcióerők és a tehetetlenségi erők minden időpillanatban kielégítik az alábbi vektori egyenleteket:

P E  R A  R B  Φ  0;

(4)

M  M  M  M  0. (5) A ( 4 ) egyenlet azt fejezi ki, hogy a merev testre ható összes erők eredője: zéruserő. Az ( 5 ) egyenlet azt fejezi ki, hogy az összes erő A pontra vett nyomatékvektorainak összege zérusvektor. A további kifejtés első lépéseként megállapítjuk, hogy M RA A  0, (6) hiszen egy erő nyomatéka egy a hatásvonalán fekvő pontra zérus. Így ( 5 ) és ( 6 ) - tal: M EA  M AR B  M ΦA  0. (7) A további kifejtést ( 4 ) és ( 7 ) alapján végezzük. Úgy képzeljük, hogy a merev test N darab tömegpontból összetett, melyek egymástól mért távolsága állandó. Most képezzük a koordináta - tengelyekre eső vetületeket! ( 4 ) - ből: E A

RA A

n

Φ A

N

X

E j

j1

 X A  X B   ix  0; i1

n

(8)

N

Y

 YA  YB   iy  0;

(9)

 ZA  0.

( 10 )

E j

j1

i1

n

Z

RB A

E j

j1

A ( 10 ) egyenlethez megjegyezzük, hogy ~ az ábra szerinti megtámasztás esetén ZB  0, valamint ~ a tehetetlenségi erőknek nincs z - tengely menti összetevője. Ezután ( 7 ) - ből: n

M

N

E jx

j1

i1

n

M

( 11 )

N

E jy

j1

M

 X B  h   Miy  0; i1

n

j1

 YB  h   Mix  0;

( 12 )

N

E jz

  Miz  0. i1

( 13 )

A felírt ( 8 ), …, ( 13 ) 6 darab ún. kinetostatikai egyensúlyi egyenletből 5 darabot használunk fel az 5 darab reakció - komponens meghatározásához. Ez éppen elegendő is. Most fejtsük ki a tehetetlenségi erőknek a koordináta - tengelyekre számított vetület összegét! Részletezve:

4

 ix  ix  ix ,     iy  iy  iy .   

( 14 )

Továbbá az 1. ábra szerint, ( 2 ) - vel is:

ix  Φωi  i  i  cos Φωi , i  mi  ri  2 

xi  mi  x i   2 , ri

tehát

 ix  mi  x i   2 .

( 15 )

Hasonlóan:

iy  Φωi  j  i  cos Φωi , j  m i  ri   2 

yi  mi  yi   2 , ri

tehát

iy  mi  yi  2 .

( 16 )

Ismét az 1. ábra szerint:

ix  Φεi  i  i  cos Φiε , i  mi  ri  

yi  mi  yi  , ri

tehát

ix  m i  yi  .

( 17 )

Hasonlóan:

 iy  Φεi  j  i  cos Φ εi , j  m i  ri  

xi  m i  x i  , ri

tehát

iy  mi  x i .

( 18 )

Most ( 14 ), ( 15 ), ( 17 ) - tel:

ix  mi  x i   2  mi  y i  ;

( 19 )

majd ( 14 ), ( 16 ), ( 18 ) - cal:

iy  mi  yi   2  mi  x i  .

( 20 )

Most képezzük a ( 8 ) és ( 9 ) - beli Φ - s összegeket! Először ( 19 ) - cel: N N  N   N  2 2     m  x    m  y      m  x   m  y     i i   i i  ,  ix  i i i i     i1

i1

i1

( 21 )

i1

tehát

 N   N        m  x   m  y   i i   i i .  ix     i1 i1 i1 N

2

Hasonlóan ( 20 ) - szal:

( 22 )

5

 N   N   iy    mi  yi    mi  x i       mi  yi      mi  x i  ,   i1   i1  i1 i1 N

N

2

2

tehát

 N   N        m  y   m  x     iy  i i . i i    i1 i1 i1 N

2

( 23 )

Most felhasználjuk a merev test C tömegközéppontjának koordinátáira vonatkozó N

m x i

i

i1 N

m y i

i

 m  xC ,

( 24 )

 m  yC ,

( 25 )

i1

N

m   mi

( 26 )

i1

képleteket is. Először ( 22 ), ( 24 ), ( 25 ) - tel: N



 m  x C   2  m  y C  .

ix

( 27 )

i1

Másodszor ( 23 ), ( 24 ), ( 25 ) - tel: N



 m  yC   2  m  x C  .

iy

( 28 )

i1

Ezután fejtsük ki a tehetetlenségi erőknek a koordináta - tengelyekre vett nyomatékösszegeit! Most már mindent nem részletezve, az ábra alapján: N

M

 ix

i1

N

N

N

N

  M   M     z i   iy z i   ix

i1

 ix

i1

i1

N

 iy

i1

N

  m i  yi  z i     m i  x i  z i    2

i1

i1

 N   N       m i  yi  z i     mi  x i  z i    i1  i1   2

 I yz   2  I xz  , tehát N

M

 ix

 I yz   2  I xz  .

i1

A ( 29 ) képlet felírásakor bevezettük a

( 29 )

6

 I xz   mi  x i  zi ,  i1  N  I yz   mi  yi  zi   i1 N

( 30 )

képlettel definiált deviációs tehetetlenségi nyomatékokat. Folytatva: N

M

N

N

N

N

  M   M     z i   ix z i 

 iy

i1

 iy

i1

 ix

i1

 ix

i1

N

i1

N

  m i  x i    z i   m i  y i  z i  2

i1

i1

 N   N        m i  x i  z i     m i  y i z i    i1   i1  2

 I xz   2  I yz  , tehát N

M

 iy

 I xz   2  I yz .

( 31 )

i1

Ezután vegyük figyelembe, hogy a centrifugális tehetetlenségi erők átmennek a forgástengelyen, így nem fejtenek ki rá forgatónyomatékot; ezzel: N

M

 iz

i1

N

N

N

 M     ri   mi  ri   r   iz

i1

 i

i1

i1

i

N

   m i  ri2  I z  , i1

tehát N

M

 iz

  I z  ,

i1

( 32 )

ahol bevezettük az N

I z   mi  ri2 i1

képlettel definiált z - tengelyre számított ekvatoriális tehetetlenségi nyomatékot.

( 33 )

7

A tehetetlenségi erőkkel kapcsolatos tagokat behelyettesítjük a kinetostatikai egyenletekbe. ~ ( 8 ) és ( 27 ) - tel: n

X

E j

 X A  X B  m  x C   2  m  y C    0.

j1

( 34 )

~ ( 9 ) és ( 28 ) - cal: n

Y

E j

 YA  YB  m  y C   2  m  x C    0.

j1

( 35 )

~ ( 10 ) - zel: n

Z

E j

 ZA  0.

( 36 )

j1

~ ( 11 ) és ( 29 ) - cel: n

M

E jx

 YB  h  I yz   2  I xz    0.

( 37 )

j1

~ ( 12 ) és ( 31 ) - gyel: n

M

E jy

 X B  h  I xz   2  I yz    0.

( 38 )

j1

~ ( 13 ) és ( 32 ) - vel: n

M

E jz

 I z    0.

( 39 )

j1

A ( 39 ) egyenlet nem tartalmaz reakciót. Ebből határozható meg a szöggyorsulás, abból pedig ( integrálással ) a szögsebesség időfüggvénye. Miután ε és ω ismert, a fennmaradó 5 darab egyenletből kiszámíthatók az ( XA, YA, ZA ), ( XB, YB ) csapágyreakciók.

A rögzített fizikai tengely körül forgó test kiegyensúlyozottságának feltételei Határozzuk meg az eredő tehetetlenségi erő és erőpár nagyságát! A forgásból származó tehetetlenségi erő nagysága:

 N   N         ix    iy  ;  i1   i1  2

2 x

2 y

ezután ( 27 ), ( 28 ), ( 40 ) - nel:

2

( 40 )

8

 2   m  x C   2  m  y C     m  y C   2  m  x C     2

2

  m  x C   2   2  m  x C   2   m  y C     m  y C     2

2

  m  y C   2   2  m  x C   2   m  y C     m  x C     2

2

  m  x C   2    m  y C   2    m  x C     m  y C     2

2

2

2

2   m   2    x C2  y 2C   m     x 2C  yC2   m 2   x C2  yC2    4   2  , 2

innen

  m  rC   4   2 ,

( 41 )

ahol

rC  x C2  yC2

( 42 )

a C tömegközéppont távolsága a forgástengelytől. Továbbá a forgásból származó tehetetlenségi erők A pontra vett azon forgatónyomatékának nagysága, melyet a csapágyakban ébredő reakció - erőpárnak kell egyensúlyoznia  – hiszen M z nem ébreszt a csapágyakban reakcióerőket – :

M

 A,r



M   M   2 x

 N    N     M ix    M iy  ;  i1   i1  2

 2 y

2

( 43 )

ezután ( 29 ), ( 31 ) és ( 43 ) - mal:

MA,r   I yz  2  I xz    I xz  2  I yz   2

2

2

  I yz   2   2  I yz   2  I xz    I xz     2

2

 I xz   2   2  I yz   2  I xz   I yz    2

2

  4   I 2xz  I 2yz    2   I 2xz  I 2yz    I 2xz  I 2yz    4   2  , tehát 2 MA,r  I xz  I 2yz   4   2 .

( 44 ) A rögzített tengely körül forgó merev test kiegyensúlyozottságának feltétele, hogy a forgásból ne származzon se a csapágyak által egyensúlyozandó tehetetlenségi erő, se erőpár, azaz

  0, MA,r  0.

( 45 )

Most ( 41 ), ( 44 ), ( 45 ) - tel – ld.: [ 4 ] ! – :

m  rC   4   2  0,

2 I xz  I 2yz   4   2  0.

( 46 )

9

Minthogy a forgó testre az m, ω, ε mennyiségek általában nem egyenlők nullával, ezért ( 46 ) szerint a teljes kiegyensúlyozottsághoz kell, hogy

 rC  0,    I xz  0,    I yz  0   

( 47 )

teljesüljön. A ( 47 ) képletet a mechanika nyelvén úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a z forgástengelynek a test súlyponti főtengelyének kell lennie. Elnevezések: ~ statikailag kiegyensúlyozatlan a forgórész, ha

rC  0, de I xz  0 és I yz  0; ~ dinamikailag kiegyensúlyozatlan a forgórész, ha

rC  0, de I xz  0 és / vagy I yz  0; ~ statikailag és dinamikailag is kiegyensúlyozatlan a forgórész, ha

rC  0, valamint I xz  0 és / vagy I yz  0; ~ statikailag és dinamikailag is kiegyensúlyozott a forgórész, ha ( 47 ) fennáll. Megjegyzések: M1. A statikailag kiegyensúlyozatlan álló, de egyensúlyi helyzetéből kitérített forgórész fizikai ingaként az egyensúlyi helyzete körül lengéseket végez, a súlyerő hatására. Innen az elnevezés is: ennek felderítéséhez nem kell megforgatni a forgórészt. 

M2. Az MA,r forgatónyomatékú erőpár akkor bizonyosan zérus nagyságú, ha nincs mozgás; azaz statikus módszerekkel nem mutatható ki, hogy egybeesik - e a fizikai forgástengely a test valamely súlyponti tehetetlenségi főtengelyével. Innen származik a dinamikus kiegyensúlyozatlanság kifejezés is.

2. ábra

10

A 2. ábra – forrása: [ 5 ] – azt szemlélteti, hogy hogyan jöhet létre az az eset, amikor a tehetetlenségi erőknek erőpár erdője lehet: a test fizikai és geometriai tengelye valamilyen szöget zár be egymással. Úgy képzelhetjük, hogy a fizikai forgástengely a testet két részre osztja, melyekhez tartozó részeredők erőpárt képeznek. Hasonlóképpen erőpárt alkotnak az ennek megfelelő csapágyreakció - erők is, melyek síkja a testtel együtt forog. Ez nagyon káros lehet, mert rázza a gépet, és akár annak tönkremenetelét is okozhatja; de más módon is káros lehet: pl. a gerjesztett lengések ronthatják a forgórészre szerelt forgácsoló szerszámok által kialakított forgácsolt felület jóságát is. Fentiek velejárója, hogy a Dinamika fontos részét képező tananyag – a merev testek tehetetlenségi nyomatékaival kapcsolatos tudnivalók – valamilyen szinten való ismertetése többé már nem kerülhető el. Amennyiben ez mégsem sikerülne, javasolható ~ a tehetetlenségi nyomatékokat tartalmazó táblázatok használata; ~ a dinamikus kiegyensúlyozó gépek működésének, alkalmazásának bemutatása: ekkor a tehetetlenségi nyomatékok számításos meghatározása helyett más, mérhető adatok bevonásával oldható meg a kiegyensúlyozás, azaz a forgó csapágyreakciók kiküszöbölésének feladata – ld. [ 6 ]! Érdemes megemlíteni azt a tényt is, hogy a méréstechnika fejlődésével egyre több helyszíni mérés -, majd ezen alapuló kiegyensúlyozás - ajánlatot találhatunk az Interneten. Sajnálatos, hogy a hirdetésekben olyan típusú meggyőzéssel is élnek, hogy az eszközük olyan egyszerű és nagyszerű, hogy szinte érteni sem kell hozzá ( ! ). Ez zavaró és káros. Ugyanis a tanár éppen azzal igyekszik rávenni a tanulót a szakmához szükséges alaposabb tudás megszerzésére, hogy a hozzáértés az előfeltétele a korszerű és szakszerű munkavégzésnek. Éppen emiatt nem kerüljük az ilyen és az ehhez hasonló nehezebb témákat.

Összefoglalás A jelen dolgozat célja az volt, hogy az előző részben felvetett és megválaszolatlanul hagyott kérdésekre megadja a választ. Ezt oly módon tette, hogy megvizsgálta a felvett általánosabb mechanikai modell esetében a csapágyreakciók meghatározásának módját. Ehhez a d’Alembert - elvet hívta segítségül, melynek alkalmazásával előálltak az ún. kinetostatikai egyensúlyi egyenletek. Az ebben fellépő, a tömegeloszlással kapcsolatos geometriai mennyiségek – a tömegközéppont koordinátái, a deviációs és az ekvatoriális tehetetlenségi nyomatékok – többé már nem kerülhetők meg, az általánosításnak ezen a szintjén. A dolgozat – szakirodalomból származó – „eredményei” tehát: ~ a csapágyreakciók meghatározására szolgáló egyenletek, valamint ~ a kiegyensúlyozottság feltételeinek összefoglalása. A szakirodalommal kapcsolatban megállapítható, hogy a szóban forgó témában az meglepően hiányos, különös tekintettel a nem főiskolai / egyetemi, hanem a technikusi ismeret - szintre, melynek bővítése így nem oldható meg egyszerűen. Ebben igyekezett segíteni dolgozatunk e második része is.

11

Irodalom: [ 1 ] – Sz. N. Kozsevnyikov: Mechanizmusok és gépek elmélete, II. rész Tankönyvkiadó, Budapest, 1953. [ 2 ] – A. A. Jablonszkij: Kursz teoreticseszkoj mehaniki, csaszty 2. Moszkva, Vüszsaja Skola, 1977. [ 3 ] – Szerk.: M. Csizmadia Béla ~ Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997. [ 4 ] – M. I. Baty ~ G. Ju. Dzsanelidze ~ A. Sz. Kel’zon: Teoreticseszkaja mehanika v primerah i zadacsah , II. 5. kiadás, Nauka, Moszkva, 1972. [ 5 ] – Ludvig Győző: Gépek dinamikája Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1983. [6]– http://www.sze.hu/am/oktatas/letoltendok/laborgyakorlat/Tomegkiegyensulyozas/Tomeg kiegy1.doc

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. február 24.