Fizika – Modern fizika
A RÉSZ ÉS AZ EGÉSZ: A RÉSZEK VISZONYA AZ EGÉSZHEZ A KÁOSZJELENSÉGEKBEN ÉS A HOLOGRAMBAN THE PART AND THE WHOLE: RELATIONS BETWEEN THE DETAILS OF THE PARTS AND THE WHOLE IN PHENOMENA OF CHAOS AND IN HOLOGRAMS Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma, Pécs az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója
ÖSSZEFOGLALÁS A káoszjelenségek ábrázolásánál gyakran kerülnek elő fraktálok, amelyek az önhasonlóság tulajdonságával rendelkeznek. Az grafikon nagyságrendileg különböző mérettartományokban vizsgált részleteiben alapvetően azonos szerkezet figyelhető meg. Azzal az érdekes jellemzővel találkozunk itt, hogy az objektum egy része lényegében egyenértékű az eredeti egésszel. Hasonló tulajdonságot figyelhetünk meg a hologramnál, ahol egy kis részletből az egész kép rekonstruálható, azonban a két jelenség mégis lényegesen különbözik. BEVEZETÉS A klasszikus fizika a legegyszerűbb mozgásoktól indulva tárgyalja a bonyolultabb, még mindig szabályos mozgásfajtákat. A kaotikus mozgást a szabályossal összehasonlítva azt mondhatjuk, ennek fő jellemzői, hogy szabálytalan, előre jelezhetetlen, a kezdeti feltételekre rendkívül érzékeny és bonyolult geometriájú. A fizikában az egyszerű, periodikus és a zajszerű mozgások között helyezkedik el a kaotikus mozgás. Egyik definíciója szerint: a káosz az egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése. [1] Ilyen mozgást végez például a kettős lejtőn pattogó labda, a rugalmas fonálon lengő inga, rezgő lemezen pattogó labda, stb. Ezeket a mozgásokat nem a megszokott módon, pl. kitérésidő függvénnyel célszerű ábrázolni, hanem mintavételezéssel. Leképezést hozunk létre, ilyenkor a mozgást egy fraktál tulajdonsággal rendelkező ábra jellemzi. (1. ábra)
1. ábra. Rezgetett inga mozgásához tartozó kaotikus attraktor a rezgés periódusával vett leképezésen. [1].
306
Fizika – Modern fizika Kaotikus attraktor: súrlódásos rendszerben a kaotikus mozgás fázistérben történő ábrázolásakor a mozgás egy jellegzetes, jól felismerhető, általában bonyolult geometriai szerkezetre „húzódik rá”, vonzódik oda. Ezt nevezzük kaotikus attraktornak. A rezgetett inga leképezését úgy kaptuk, hogy a gerjesztési periódusnak megfelelő időközönként ránézünk a rendszerre, és rögzítjük a mozgás hely-, és sebességkoordinátáit (vízszintes, illetve függőleges tengely). Ez egyszerre egy pontot eredményez, majd az eljárást több ezer, vagy több tízezer perióduson keresztül folytatva kirajzolódik a mozgásra jellemző szerkezet. A kaotikus mozgást jellemző ábrának most arra a tulajdonságára szeretném felhívni a figyelmet, amit az önhasonlóság fogalmával szoktunk leírni. Ez azt jelenti, hogy ha az ábra tetszőleges, nagyobb, kisebb, vagy még kisebb részét választjuk ki, az adott rész szerkezete lényegében azonos marad. Az önhasonlóság nem jelent geometriai egybevágóságot vagy akár egyszerű nagyítást-kicsinyítést, csak egyértelműen felismerhető hasonló szerkezeti felépítést. A kinagyított részlet azonban időnként hasonlít az eredeti, teljes ábrára. A nagyítás tetszőlegesen tovább folytatható, s mindig ugyanazt a hasonlóságot fogjuk tapasztalni (2. ábra). A téglalapok oldalán látható skála mutatja a nagyítás mértékét.
2. ábra. Önhasonlóság a felső képen látható kaotikus attraktoron [1]. A felső ábra attraktora H+ fixpontja körüli téglalapról készített harmincszoros nagyítás, illetve az ezen pont köré rajzolt kis téglalap további tízszeres nagyítása. Bizonyos mechanikai rendszerekben súrlódás hatására hosszú idő után periodikus vagy kaotikus mozgás alakul ki. Bifurkációnak nevezzük a rendszer egy paraméterének megváltoztatásakor az egyensúlyi helyzetek kettéválását, sokszorozódását. A bifurkációs diagram (3. ábra, bal oldal) önhasonlóságát az egyes kinagyított részletek (3. ábra, jobb oldali képek) szemléltetik. Az ábra belsejében látható téglalap nagyított képe jelenik meg mindig a következő ábrán, mely a skála értékekről ellenőrizhető.
307
Fizika – Modern fizika
3. ábra. A bifurkációs diagram önhasonlósága. A pontozott tartomány kaotikus attraktor jelenlétére utal. [2]. Ez a tulajdonság a rész és egész kapcsolatának egészen újszerű megjelenési formája. Mindegyik esetben azzal találkozunk, hogy a rész bizonyos értelemben nem kevesebb az egésznél, hanem valamilyen módon egyenértékű vele. Az önhasonlóságnak ez a megjelenési módja hasonlít a végtelen elemszámú halmazoknak ahhoz a tulajdonságához, hogy a halmaznak van önmagával ekvivalens valódi részhalmaza. A jelenség egyrészt tehát a végtelenhez kötődik, másrészt pedig egy speciális szerkezetet is jelent. HOLOGRAM A holográfia (kezdete Gábor Dénes 1947-es kísérleteihez köthető, majd működő lézer hologramot Emmett N. Leith és Juris Upatnieks hozott létre 1963-ban) olyan képrögzítési eljárás, ami a tárgy térbeli tulajdonságait tartalmazó fényhullám fázisát is rögzíti. A lézer koherens fényével megvilágított tárgyról visszaverődő fényhullámok éppen a tárgy térbeli alakja következtében tolódnak el egymáshoz képest, és így őrződik meg a térforma. A fényérzékeny lemezen a tárgyról visszaverődő és az eredeti hullám interferenciáját rögzítik. Mivel az interferencia rendkívül érzékeny a fázisra, az erősítés és kioltás között mindössze fél hullámhossznyi az eltérés, a rögzített interferencia kép tartalmazza a tárgy térbeli alakjára vonatkozó információkat. A 4. ábrán megfigyelhetjük az L lézerfény két részre osztását, majd a referencia sugár (rs) és a tárgyról visszaverődő hullám (ts) találkozását a H hologramon (fényérzékeny lemezen) különböző összeállításokban.
308
Fizika – Modern fizika
4. ábra. Az átlátszatlan tárgyról készített hologram elvi vázlata különböző a)-d) elrendezésekben. [3]. Ezt a fényérzékeny lemezre rögzített interferencia képet nevezte el Gábor Dénes hologramnak. Azért igazán zseniális az ötlet, mert a tárgy térbeli alakjára vonatkozó információt nemcsak tárolja, hanem a képet vissza is nyerhetjük belőle. Ha a hologramot az eredeti lézer hullámmal világítjuk meg, akkor a tárgyhullám is rekonstruálódik (a hologramon átjutó fény gyakorlatilag megegyezik az eredeti, a tárgyról érkező fénnyel), így létrejön a tárgynak a háromdimenziós képe. A jelenséget az teszi rejtelmesebbé az egyszerű szemlélő számára, hogy a hologram lemezen látható kép ránézésre nem hasonlít az eredeti tárgyra, a lemezen előhívás után – a tárgy szerkezetétől függően – egyszerűbb vagy összetettebb vonalrendszer látható (5. ábra). Ugyanez a vonalrendszer figyelhető meg a nehezen előállítható lézer hologram helyett a digitális hologramon is, ahol a képet számítógéppel számíttatjuk ki, és rajzoltatjuk meg (6. ábra).
5. ábra. Első holografikus rekonstrukció [4].
6. ábra. Egyszerű digitális hologram [5].
A hologram sajátos tulajdonsága, hogy mivel a tárgy minden pontjából érkezik fény a hologram minden pontjára, ezért a hologram minden részlete önmagában is tartalmazza az összes információt a tárgyról. Így ha a hologramnak csak egy részletét világítjuk meg a lézer fénnyel, akkor is a teljes tárgyat látjuk, csak fényben szegényebb a kép, hiszen kevesebb fény hozza létre, illetve a kontúrok válnak elmosódottabbá. Ennek csak a fényérzékeny lemez felbontó képessége szab határt. Így a hologram nemcsak abban különbözik a hagyományos fényképtől, hogy háromdimenziós, hanem ha egy hologramot kettévágunk, akkor mindkét felet felhasználva az egész képet kaphatjuk vissza (7. ábra). A 7. ábrát egyszerre értelmezhetjük, mint a hologram lemez, vagy az általa előállított kép, amit a valóságban nem látunk így, de az említett
309
Fizika – Modern fizika tulajdonságot mégis szemléltetni lehet vele. Ezt a nagyszerű lehetőséget a szerelmes párok összetartozásának megörökítésére a kereskedelem valószínűleg csak azért nem használta ki eddig, mert a hologram készítés még mindig elég körülményes és drága.
7. ábra. Sematikus illusztrálása annak a tulajdonságnak, hogy a hologram egy részletéből az egész kép rekonstruálható [6]. A RÉSZ ÉS AZ EGÉSZ Werner Heisenberg híres önéletrajzi könyvében az atomfizika fejlődéséről gondolkodva jut el a címben is jelzett filozofikus gondolatokig. A rész és egész kapcsolata érdekes új megvilágításba kerül a két vizsgált területen, melyekre a kvantummechanika kialakulása idején még senki sem gondolhatott. A hologram esetében, és a káoszban megfigyelt önhasonlóság annyiban közös, hogy az egész egy része mindkét esetben lényegében egyenértékű az egésszel. (Az önhasonlóság mindkét esetben, bár különböző okból, de egészen kis skálán elromlik.) Ez az egyenértékűség azonban a hologramban más jellegű, mint a kaotikus mozgásnál, mivel itt nem a szemmel felismerhető hasonló szerkezetről van szó. A hologram egy részlete nem feltétlenül hasonlít az egész hologramhoz. (Bár egy összetett test hologramja olyan mértékben áttekinthetetlen, hogy hasonlónak is gondolhatjuk a részletet az egésszel, de ez lényegesen különbözik a kaotikus attraktor önhasonlóságától.) Említettük, hogy a hologram az eredeti képhez sem hasonlít, ennek ellenére a hologram részletéből is a teljes kép rekonstruálódik. ÖSSZEGZÉS Káoszjelenségek esetén, illetve a hologramnál vizsgáltuk a részek viszonyát az egészhez. Mindkét estben igaz, hogy a részekre bontás önmagában nem elegendő a jelenség megértéséhez, mivel a kisebb részlet nem egyszerűbb az egésznél. Olyan példákat láthatunk, melyek a világ megismerésének új megközelítését igénylik: egészben kell megragadnunk és megértenünk a folyamatot. Ennek szükségességét az említett példák jól alátámasztják, így az oktatásban is bátran használhatóak. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Köszönöm témavezetőimnek, Gruiz Mártonnak és Tél Tamásnak építő kritikai segítségüket. IRODALOMJEGYZÉK 1. Tél T, Gruiz M: Kaotikus dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002. 2. Fokasz N: Káosz és fraktálok, Új Mandátum Könyvkiadó Budapest, 2000 3. http://www.vilaglex.hu/Lexikon/Html/Holograf.htm 4. http://www.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0006/gdenes.html 5. http://goliat.eik.bme.hu/~gombkoto/digiholo.html 6. http://science.howstuffworks.com/hologram.htm
310
