A projekt keretében elkészült tananyagok:

VÉGESELEM-MÓDSZER

A projekt keretében elkészült tananyagok:

Anyagtechnológiák Materials technology Anyagtudomány Áramlástechnikai gépek CAD tankönyv CAD Book CAD/CAM/CAE elektronikus példatár CAM tankönyv Méréstechnika Mérnöki optimalizáció Engineering Optimization Végeselem-analízis Finite Element Methode

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész- és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar

VÉGESELEM-MÓDSZER Egyetemi tananyag

Szerkesztette:

KOVÁCS ÁDÁM Írta:

MOHAROS ISTVÁN OLDAL ISTVÁN SZEKRÉNYES ANDRÁS

2011

COPYRIGHT:

2012-2017, dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Budapesti Műszaki és

Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar, Moharos István, Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész- és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar, dr. Oldal István, Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar LEKTORÁLTA: Horváthné dr. Varga Ágnes, dr. Keppler István, dr. Pomázi Lajos, dr. Uj József

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.

ISBN 978-963-279-539-3 KÉSZÜLT: a Typotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0029 számú, „KMR Gépészmérnöki Karok informatikai hátterű anyagai és tartalmi kidolgozásai” című projekt keretében.

KULCSSZAVAK: Végeselem-módszer, ANSYS, COSMOS/M, rúdfeladat, hajlított rúd, síkfeszültség, síkalakváltozás, rúdszerkezet, forgásszimmetrikus, lemez, héj ÖSSZEFOGLALÁS:

A tananyag ismerteti a végeselem-módszer kialakulásának történetét, matematikai alapjait és szerepét a gépészmérnöki tervezői munkában. Tárgyalja a módszer megértéséhez szükséges kontinuummechanikai alapfogalmakat és egyenleteket. Bemutatja a tervező munkákban leggyakrabban használt elemtípusokat (rúd, gerenda, sík, tengelyszimmetrikus, vékony lemez és héjelemek). A teljes potenciális energia minimum elvéből kiindulva tartalmazza a térben diszkretizált lineárisan rugalmas testekre vonatkozó mátrix egyensúlyi egyenlet levezetését és a különféle modellekre vonatkozó együttható mátrixok felépítését. Rúdfeladatoknál bemutatja a mozgásegyenlet felépítését és a sajátfrekvenciák számítási módját. Az elméleti fejezetek megértését nagyban elősegíti a számos kidolgozott mintapélda és az ipari gyakorlatból vett valós feladatok megoldásának részletes tárgyalása.

TARTALOMJEGYZÉK

1. A VÉGESELEM-MÓDSZER KIALAKULÁSÁNAK TÖRTÉNETE, A MÓDSZER FEJLŐDÉSE, ELTERJEDÉSE, SZEREPE A GÉPÉSZMÉRNÖKI TERVEZŐI MUNKÁKBAN ................................................................................................................. 11 1.1. Ókori alkalmazás......................................................................................................... 11 1.2. Variációszámítás kialakulása, alapfogalmai ............................................................... 12 1.2.1. Brachisztochron (legrövidebb idő)-probléma ................................................ 12 1.2.2. Funkcionálok, variáció................................................................................... 14 1.2.3. Direkt módszer ............................................................................................... 16 1.3. Ritz-módszer ............................................................................................................... 18 1.4. Modern végelem-módszer kialakulása........................................................................ 20 1.4.1. Erőmódszer..................................................................................................... 20 1.4.2. Mozgásmódszer .............................................................................................. 20 1.5. Végeselem-módszer a műszaki gyakorlatban ............................................................. 20 1.6. Melléklet ..................................................................................................................... 22 1.6.1. Variációszámítás műveleti szabályai ............................................................. 22 1.6.2. Euler-Lagrange differenciálegyenlet ............................................................. 23 Bibliográfia ........................................................................................................................ 24 2. KONTINUUMMECHANIKAI ALAPFOGALMAK. A RUGALMASSÁGTAN DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZERE ÉS PEREMÉRTÉK PROBLÉMÁJA. .... 25 2.1. Kontinuummechanikai alapfogalmak ......................................................................... 25 2.2. Rugalmasságtan differenciálegyenlet-rendszere és peremérték problémája .............. 33 2.2.1. Egyensúlyi egyenletek .................................................................................... 33 2.2.2. Geometriai egyenletek .................................................................................... 36 2.2.3. Anyagegyenletek ............................................................................................. 40 2.2.4. Peremfeltételek ............................................................................................... 41 2.2.5. Peremérték probléma ..................................................................................... 41 Bibliográfia ........................................................................................................................ 42 3. A RUGALMASSÁGTAN ENERGIAELVEI, VARIÁCIÓS ELVEI, VÉGESELEMMÓDSZER, MEREVSÉGI EGYENLET MEGHATÁROZÁSA ÉS MEGOLDÁSA SÍKBELI, HÚZOTT RÚDELEMRE ................................................................................ 43 3.1. Közelítő mezők ........................................................................................................... 43 3.1.1. Kinematikailag lehetséges elmozdulásmező................................................... 43 3.1.2. Statikailag lehetséges feszültségmező ............................................................ 43 3.2. Virtuális munka elve ................................................................................................... 44 3.3. Potenciális+ energia minimum elve ............................................................................ 45 3.4. Lagrange-féle variációs elv ......................................................................................... 47 3.5. Mozgásmódszeren alapuló végeselem-módszer ......................................................... 48 3.5.1. Vektormezők bevezetése ................................................................................. 48 3.5.2. Rugalmasságtani probléma és megoldási módszere ...................................... 51 3.5.3. Végeselem, közelítő elmozdulásmező ............................................................. 52 3.6. Merevségi egyenlet meghatározása és megoldása síkbeli, húzott rúdelemre ............. 55 3.6.1. Merevségi egyenlet 2D húzott rúdelemre ....................................................... 55 3.6.2. Példa............................................................................................................... 60 Bibliográfia ........................................................................................................................ 63 © Moharos István, Oldal István, Szekrényes András

www.tankonyvtar.hu

6

Végeselem-módszer

4. SÍKBELI HÚZOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZER SEGÍTSÉGÉVEL ..................................................................... 64 4.1. Síkbeli rúdszerkezetek ................................................................................................ 64 4.2. A rúdszerkezetek modellezéséhez alkalmazott végeselemek ..................................... 65 4.2.1. TRUSS elemek tulajdonságai ......................................................................... 65 4.2.2. A BEAM elemek tulajdonságai ....................................................................... 66 4.3. Feladat megoldás......................................................................................................... 67 4.4. Megjegyzések.............................................................................................................. 76 5. SÍKBELI HAJLÍTOTT RUDAK VARIÁCIÓS FELADATA, MEREVSÉGI EGYENLETEI, MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ................................... 77 5.1. Síkbeli hajlított rúdelem variációs feladata ................................................................. 77 5.2. Feladatmegoldás végeselem-módszerrel..................................................................... 79 5.2.1. Az elem merevségi mátrixa ............................................................................. 79 5.2.2. A szerkezet teljes merevségi mátrixa .............................................................. 85 5.2.3. A teljes egyenletrendszer és megoldása ......................................................... 86 5.3. Megjegyzések.............................................................................................................. 87 6. SÍKBELI HAJLÍTOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL ............................................ 88 6.1. rúdszerkezetek ............................................................................................................. 88 6.2. A modellezés során alkalmazott végeselemek ............................................................ 88 6.2.1. A BEAM elemek tulajdonságai ....................................................................... 89 6.2.2. A nyírásból származó alakváltozás figyelembevétele..................................... 89 6.3. Feladat megoldás......................................................................................................... 91 6.4. Megjegyzések............................................................................................................ 104 7. A POTENCIÁLIS ENERGIA MINIMUM ELVÉNEK ALKALMAZÁSA TÉRBELI HAJLÍTOTT RÚDELEMRE, RITZ-MÓDSZER ÉS VÉGESELEM MÓDSZER ALKALMAZÁSA ........................................................................................................... 106 7.1. Térbeli rúdelem variációs feladata ............................................................................ 106 7.2. Feladatmegoldás végeselem módszerrel ................................................................... 111 7.3. Megjegyzések............................................................................................................ 114 8. TÉRBELI HAJLÍTOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL .......................................... 115 8.1. Térbeli rúdszerkezetek .............................................................................................. 115 8.2. A modellezés során alkalmazott végeselemek .......................................................... 115 8.2.1. A BEAM3D elemek tulajdonságai ................................................................ 116 8.2.2. A BEAM3D elem speciális tulajdonságai .................................................... 118 8.3. Feladat megoldás....................................................................................................... 121 8.4. Megjegyzések............................................................................................................ 136 9. RÚDSZERKEZETEK DINAMIKÁJA, A TÖMEGMÁTRIX BEVEZETÉSE, SAJÁTFREKVENCIA MEGHATÁROZÁSA ............................................................... 137 9.1. A végeselem-módszer kiterjesztése .......................................................................... 137 9.2. Rugalmas testek sajátrezgés feladatának végeselemes megfogalmazása ................. 137 9.3. Síkbeli rúdszerkezet sajátlengéseinek számítása végeselem módszerrel .................. 139 9.3.1. Az elem tömegmátrixának meghatározása ................................................... 140 9.3.2. Az elem merevségi mátrixának meghatározása .......................................... 142 9.3.3. Az rendszer teljes tömeg- és merevségi mátrixa........................................... 143 9.4. Megjegyzések............................................................................................................ 145

www.tankonyvtar.hu

© Moharos István, Oldal István, Szekrényes András

Tartalomjegyzék

7

10. TÉRBELI RUDAK DINAMIKAI VIZSGÁLATA, SAJÁTFREKVENCIA MEGHATÁROZÁSA VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL ............................................................. 147 10.1. Bevezetés ............................................................................................................... 147 10.2. Az alkalmazott végeselemek tulajdonságai ........................................................... 147 10.3. A feladat ismertetése.............................................................................................. 148 10.4. A feladat végeselemes megoldása ......................................................................... 149 10.5. Megjegyzések ........................................................................................................ 158 11. BEVEZETÉS SÍKFELADATOK TÉMAKÖRBE. SÍKFESZÜLTSÉGI, SÍKALAKVÁLTOZÁSI ÉS FORGÁSSZIMMETRIKUS (TENGELYSZIMMETRIKUS) MODELLEK ALKALMAZÁSA .................................................................................... 159 11.1. Síkfeladatok alaptípusai ......................................................................................... 159 11.2. Egyensúlyi egyenlet, elmozdulás és alakváltozás ................................................. 160 11.3. Konstitutív egyenletek ........................................................................................... 162 11.3.1. Síkfeszültségi állapot .................................................................................... 163 11.3.2. Síkalakváltozási állapot................................................................................ 164 11.4. Síkfeladatok alapegyenletei ................................................................................... 165 11.4.1. Kompatibilitási egyenlet ............................................................................... 165 11.4.2. Az Airy-féle feszültségfüggvény .................................................................... 166 11.4.3. A Navier-féle egyenlet .................................................................................. 167 11.4.4. Peremérték-feladatok ................................................................................... 168 11.5. Példák síkfeszültségi állapotra ............................................................................... 169 11.5.1. Négyzet alakú lemez peremterhelésének meghatározása ............................. 169 11.5.2. Tangenciálisan terhelt lemez vizsgálata ...................................................... 171 11.6. Síkfeladatok alapegyenletei polárkoordináták segítségével .................................. 173 11.7. Tengelyszimmetrikus síkfeladatok ........................................................................ 176 11.7.1. Tömör körhenger és vastagfalú cső ............................................................. 177 11.7.2. Forgó tárcsák ............................................................................................... 179 Bibliográfia ...................................................................................................................... 183 12. SÍKFESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MODELLEZÉSE VEM PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. MODELLEZÉS, KIÉRTÉKELÉS PROBLÉMAKÖRÉNEK ELEMZÉSE ..................................................................................................................... 185 12.1. Síkfeladatok végeselemes megoldása .................................................................... 185 12.2. Lineáris három csomópontos háromszögelem....................................................... 187 12.2.1. Az elmozdulásmező interpolációja ............................................................... 187 12.2.2. A merevségi mátrix számítása ...................................................................... 190 12.2.3. A terhelések megadása ................................................................................. 191 12.3. Kidolgozott példa lineáris háromszögelemre – síkfeszültségi állapot ................... 193 12.4. Kvadratikus hat csomópontos háromszögelem ..................................................... 202 12.5. Izoparametrikus négy csomópontos négyszögelem............................................... 202 12.5.1. A geometria interpolációja........................................................................... 202 12.5.2. Az elmozdulásmező interpolációja ............................................................... 206 12.5.3. Az alakváltozási jellemzők számítása, Jacobi mátrix és Jacobi determináns206 12.5.4. A Jacobi determináns jelentősége, példa ..................................................... 209 12.5.5. A feszültségmező számítása .......................................................................... 211 12.5.6. A merevségi mátrix számítása ...................................................................... 211 12.5.7. A tehervektor számítása ............................................................................... 212 12.6. Numerikus integrálás, a Gauss-féle szabály .......................................................... 214 © Moharos István, Oldal István, Szekrényes András

www.tankonyvtar.hu

8

13.

14.

15.

16.

Végeselem-módszer

12.6.1. Egydimenziós Gauss-szabály ....................................................................... 215 12.6.2. Kétdimenziós Gauss-szabály ........................................................................ 216 12.7. Kidolgozott példa az izoparametrikus négyszögelem alkalmazására .................... 219 12.8. Kvadratikus izoparametrikus négyszögelem ......................................................... 225 Bibliográfia ...................................................................................................................... 227 FORGÁSSZIMMETRIKUS ÁLLAPOT MODELLEZÉSE VEM PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. MODELLEZÉS, KIÉRTÉKELÉS PROBLÉMAKÖRÉNEK ELEMZÉSE ........................................................................... 228 13.1. Tengelyszimmetrikus feladatok végeselemes megoldása ..................................... 228 13.2. Forgásszimmetrikus lineáris háromszögelem ........................................................ 231 13.3. Kidolgozott példa tengelyszimmetrikus háromszögelemre ................................... 233 13.4. Forgásszimmetrikus izoparametrikus négyszögelem ............................................ 237 13.5. Kidolgozott példa tengelyszimmetrikus, izoparametrikus négyszögelemre ......... 240 Bibliográfia ...................................................................................................................... 248 VÉKONYFALÚ HÉJAK, LEMEZEK MODELLEZÉSE. A VÉGESELEM HÉJMODELLEK ELMÉLETÉNEK BEMUTATÁSA .................................................. 249 14.1. Lemez és héjmodellek ........................................................................................... 249 14.2. A Kirchhoff-féle lemezelmélet alapegyenletei ...................................................... 249 14.2.1. Az elmozdulásmező ....................................................................................... 249 14.2.2. Az alakváltozási jellemzők ............................................................................ 250 14.2.3. A feszültségmező és a középfelület igénybevételei ....................................... 250 14.2.4. Az egyensúly és mozgásegyenletek ............................................................... 252 14.3. Vékony lemezek végeselemes megoldásának egyenletei ...................................... 255 14.4. A technikai héjelmélet alapegyenletei ................................................................... 257 14.4.1. Geometriai összefüggések ............................................................................ 257 14.4.2. Élerők és élnyomatékok, egyensúlyi egyenletek ........................................... 260 14.4.3. Elmozdulásmező, alakváltozási jellemzők .................................................... 261 14.4.4. Közelítések a technikai héjelmélet keretein belül ......................................... 263 14.5. Héjak végeselemes modellezésének főbb lépései.................................................. 264 Bibliográfia ...................................................................................................................... 266 SÍKBELI ÉS SÍKRA MERŐLEGES TERHELÉSŰ, SÍKBELI VÉKONYFALÚ HÉJAK MODELLEZÉSE VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL ............................................................. 267 15.1. Hajlított lemezelemek ............................................................................................ 267 15.2. Háromszög alakú sík lemezelem vagy Tocher-féle háromszögelem .................... 267 15.3. Kidolgozott példa a Tocher-féle háromszög alakú lemezelem alkalmazására ...... 272 15.4. Inkompatibilis téglalap alakú lemezelem .............................................................. 275 15.5. Kidolgozott példa az inkompatibilis téglalap alakú lemezelemre ......................... 280 15.6. Kompatibilis téglalap alakú lemezelem ................................................................. 283 15.7. Síkbeli és síkra merőleges terhelésű lemezek ........................................................ 286 Bibliográfia ...................................................................................................................... 286 TÉRBELI VÉKONYFALÚ HÉJAK MODELLEZÉSE VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL .......................................... 287 16.1. Egyszerű síkhéj-elemek ......................................................................................... 287 16.2. A lineáris síkmembrán és a Tocher-féle hajlított háromszögelem szuperpozíciója ... 287 16.3. Kidolgozott példa a lineáris síkmembrán és a Tocher-féle (hajlított) háromszögelem összekapcsolására...................................................................................................... 293 Bibliográfia ...................................................................................................................... 299

www.tankonyvtar.hu


Tartalomjegyzék

9

17. EGYSZER ÉS KÉTSZER GÖRBÜLT HÉJAK MODELLEZÉSE VÉGESELEMMÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL ................ 300 17.1. Görbült héjelemek ................................................................................................. 300 17.2. Vékony körhenger-héjelem ................................................................................... 300 17.3. Forgásszimmetrikus héjfeladatok – kúpos héjelem ............................................... 307 17.4. Vastagfalú héjelemek............................................................................................. 313 17.5. Átmeneti elem héjelem és térbeli elem összekapcsolásához ................................. 319 Bibliográfia ...................................................................................................................... 320 18. TÉRBELI FELADATOK VIZSGÁLATA VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. 3D-S ELEMEK BEMUTATÁSA. .... 321 18.1. Hexaéder elemek ................................................................................................... 321 18.1.1. 8 csomópontú hexaéder elem ....................................................................... 322 18.1.2. 20 csomópontú hexaéder elem ..................................................................... 324 18.1.3. 32 csomópontú hexaéder elem ..................................................................... 325 18.1.4. Pentaéder elemek ......................................................................................... 327 18.2. Tetraéder elemek ................................................................................................... 327 18.2.1. 4 csomópontú tetraéder elem ....................................................................... 330 18.2.2. 10 csomópontú tetraéder elem ..................................................................... 331 18.2.3. 20 csomópontú tetraéder elem ..................................................................... 334 18.3. Hierarchikus alakfüggvények ................................................................................ 335 18.4. Merevségi mátrix és csomóponti terhelések előállítása......................................... 335 18.4.1. Gauss-féle numerikus integrálás .................................................................. 335 18.4.2. 3D-s elemek merevségi mátrixának előállítása ............................................ 336 18.4.3. Csomóponti terhelések előállítása térfogati terhelésből .............................. 337 18.4.4. Csomóponti terhelések előállítása felületi terhelésből................................. 337 Bibliográfia ...................................................................................................................... 339 19. TÉRBELI FELADATOK VIZSGÁLATA VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. 3D-S ELEMEK ALKALMAZÁSA. . 340 19.1. Geometriai modell létrehozása .............................................................................. 340 19.1.1. Eredeti geometria kiegészítése ..................................................................... 340 19.1.2. Élek, sarkok modellezése .............................................................................. 341 19.1.3. Terheletlen részek modellezése .................................................................... 341 19.1.4. Szimmetrikus alkatrészek modellezése ......................................................... 342 19.2. Végeselem-modell létrehozása .............................................................................. 342 19.2.1. Hálózás beállításai ....................................................................................... 343 19.2.2. Elemméret hatása ......................................................................................... 343 19.2.3. Elemtípus hatása .......................................................................................... 345 19.3. Peremfeltételek ...................................................................................................... 347 19.3.1. Terhelések..................................................................................................... 348 19.3.2. Kényszerek .................................................................................................... 350 20. MODELLEZÉSI, PONTOSSÁGI, ALKALMAZHATÓSÁGI KÉRDÉSEK. A KÜLÖNBÖZŐ VÉGESELEM MODELLEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA, EREDMÉNYEK VIZSGÁLATA. ............................................................................................................... 353 20.1. Tartók modellezése ................................................................................................ 353 20.1.1. Kör keresztmetszetű tartó vizsgálata ............................................................ 353 20.1.2. Vékony falú zárt szelvényű rúd modellezése ................................................ 355 20.1.3. Vékony falú nyitott szelvényű rúd modellezése ............................................ 357 20.1.4. Vastag falú cső modellezése ......................................................................... 363 © Moharos István, Oldal István, Szekrényes András

www.tankonyvtar.hu

10

Végeselem-módszer

Bibliográfia ...................................................................................................................... 367 21. SZÁMÍTÁSI EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE ÉS ALKALMAZÁSA A GÉPÉSZMÉRNÖKI TERVEZÉSI ÉS MINŐSÍTÉSI FELADATOK MEGOLDÁSÁBAN. VÉGESELEM SZÁMÍTÁSOK ÉS SZABVÁNYOS MÉRETEZÉSI ELJÁRÁSOK KAPCSOLATA. ............................................................ 368 21.1. Végelem-módszer pontossága ............................................................................... 368 21.1.1. Hibabecslés h típusú közelítéskor ................................................................ 370 21.1.2. Hibaszámítás h típusú közelítéskor .............................................................. 377 21.1.3. p típusú közelítés .......................................................................................... 380 21.1.4. Konvergencia szinguláris helyeken .............................................................. 381 21.1.5. Modellezési hibák ......................................................................................... 381 21.2. Számított eredmények kiértékelése ....................................................................... 381 21.2.1. Folyáshatárnál magasabb feszültségek ........................................................ 381 21.2.2. Szinguláris helyek ......................................................................................... 382 21.2.3. Szabványos eljárások és a VEM ................................................................... 382 Bibliográfia ...................................................................................................................... 383

www.tankonyvtar.hu


1. A VÉGESELEM-MÓDSZER KIALAKULÁSÁNAK TÖRTÉNETE, A MÓDSZER FEJLŐDÉSE, ELTERJEDÉSE, SZEREPE A GÉPÉSZMÉRNÖKI TERVEZŐI MUNKÁKBAN 1.1.

Ókori alkalmazás

Véges elemek: alkalmazásukkal bonyolult (és adott körülmények között nem megoldható) feladatokat egyszerűsítünk le. Az egyszerűsítés alapja, hogy a test geometriáját véges számú kisebb, egyszerűbb alakú elemre bontjuk, így megoldhatóvá válik a probléma. Ekkor a kevesebb, de bonyolultabb számítás helyett több, de egyszerűbb számítást kell elvégeznünk. A diszkretizáció alkalmazása geometriai problémák megoldására – kör kerülete, területe (1.1 ábra) – henger, gömb térfogata, – egyéb bonyolult geometriák.

b)

a)

1.1. ábra: Kör területének közelítése

A kör területének számításakor a körlapot n darab egyenlő szárú háromszögre bontjuk 1.1.a) ábra szerint. Ekkor a  közelítő értékének és hibájának alakulása a felosztás függvényében látható az 1.2. ábrán, ahol

 360   360   sin  , és hiba   2n   2n 

  n cos

© Oldal István, SZIE

 360   360   sin    2n   2n   100% .

  n cos



www.tankonyvtar.hu

12

Végeselem-módszer

70

3,5

60

3

50

2,5

40

2

30

1,5

20

1

10

0,5

hiba[%]

0



hiba pi

0 0

5

10

15

20

25

30

n

1.2. ábra: π számított értéke és hibája a felosztás növelésekor

Tszu Csang Csik kínai mérnök (i. sz. 480-ban) feltételezhetően téglalapok segítségével megállapította, hogy  értéke 3,1415926 és 3,1415927 között van. 1.2.

Variációszámítás kialakulása, alapfogalmai

1.2.1.

Brachisztochron (legrövidebb idő)-probléma

1696-ban Bernoulli fogalmazta meg a problémát, amely megoldásának keresése elindította a variációszámítás kifejlődését. A probléma: adott két különböző magasságban és nem egy függőlegesen egyenesen elhelyezkedő pont. Vegyük azokat a két pont által kijelölt függőleges síkban lévő görbéket, amelyeken a magasabb pontból kezdősebesség és súrlódás nélkül indítva eljuthat egy anyagi pont az alacsonyabban fekvő pontba. Kérdés, hogy létezik-e ezek között a görbék között olyan, amelyet a pont minimális idő alatt fut be és ha igen, hogyan lehet meghatározni? P1

y2

x2

x

P2

y 1.3. ábra: Brachisztochron-probléma

A keresett y függvény grafikonja átmegy P1 és P2 pontokon, tehát:

y(0)  0 és y( x2 )  y 2 . www.tankonyvtar.hu

(1.1) © Oldal István, SZIE

1. A végeselem-módszer kialakulásának története

13

Energiamegmaradás tétele adott esetre:

1 2 mv  mgy . 2

(1.2)

A sebesség:

ds . dt

v

(1.3)

Az elemi úthossz:

ds 2  dx2  dy 2

(1.4)

(1.2) tömeggel egyszerűsítve és helyettesítve (1.3) és (1.4)-t: 2 2 1   dx   dy         gy 2   dt   dt  

(1.5)

rendezve: 2

2

 dx   dy dx       2 gy  dt   dt dx 

(1.6)

  dy  2  dx  2 1       2 gy .   dx   dt   

(1.7)

Szétválasztva a változókat, az út megtételéhez szükséges T idő:

T

x2

 0

1  y' 2 2g  y

dx .

(1.8)

Keressük azt a függvényt, amely eleget tesz (1.1)-nek és amelyre (1.8)-nak minimuma van. A megoldás egy ciklois:

y (t )  c1 arcsin

x  2c1 x  x 2  c2 , c1

(1.9)

ahol c1 , c2 állandók az (1.1) feltételekből meghatározhatók. Ez a probléma, ahol egy skalár mennyiség minimalizálásához függvényt kellett keresni, irányította a figyelmet a variációszámítás felé és indította el annak fejlődését.


www.tankonyvtar.hu

14

Végeselem-módszer

Funkcionálok, variáció

1.2.2.

A brachisztochron problémához hasonló a természet- és társadalomtudományokban sokszor előfordul. Találkozunk olyan mutatókkal, mennyiségekkel, amelyek értékét függvények határozzák meg. Legegyszerűbb eset egy határozott integrál értéke, amely a kiválasztott függvénytől függ. De ilyen egy ívhossz, felület, térfogat vagy egy tartó potenciális energiája is. Az ilyen mennyiségeket a funkcionálnak nevezzük. Valamely halmaznak a valós számok halmazába való leképezését (valós) funkcionálnak vagy operátornak nevezzük. Az általános matematikai definíciónak egy speciális esete, amikor a függvények halmazát a valós számok halmazába való leképezését nevezzük funkcionálnak. Legyen: f  R 3  R adott függvény, és y  R  R megengedett függvény, amely értelmezési tartományán folytonosan deriválható y  C1[ x1 , x2 ] és átmegy a tartomány szélein rögzített P1  ( x1 , y1 ) , P2  ( x2 , y 2 ) pontokon: y( x1 )  y1 , y( x2 )  y 2 .

(1.10)

Ekkor minden y függvényhez rendeljük hozzá az

I [ y] 

x2

 f x, y( x), y' ( x)dx

(1.11)

x1

valós számot. Így értelmezzük az I funkcionált. A feladat legtöbbször a funkcionálok szélsőértékének meghatározása. A szélsőérték lehet abszolút vagy lokális.

y  y függvényre, hogy Ha I  y  funkcionál teljes értelmezési tartományán fennáll ~ I y   I ~ y , akkor I ~ y  abszolút minimum. y , akkor Ha I  y  funkcionál értelmezési tartományának egy részén fennáll, hogy I y   I ~ ~ I  y  lokális minimum.

A variációs probléma klasszikus értelmezése analógiát mutat a differenciálszámítással. Lagrange a differenciál mintájára bevezette a variációt – a jele  – és megadta a vele való műveleti szabályokat. Vizsgáljuk a klasszikus értelmezést:

~y függvény variációja y , amelyről tudjuk, hogy y( x )  0 és y( x )  0 . y a tartomány 1 2 x1 és x 2 végpontjaiban ismert függvényértékeknél eltűnik, közte tetszőleges. Ekkor

y  y  y egy függvénysereget (megengedett függvény) ad, amely tartalmazza a megoldást. A funkcionál variációját úgy értelmezzük, hogy

www.tankonyvtar.hu



15

y

P2

y y

P1

x1

x2

x

1.4. ábra: Variáció Lagrange-féle klasszikus értelmezése

x2

I   f  dx .

(1.12)

x1

A feladat ~y megoldását akkor kapjuk, ha a funkcionálnak minimuma van. Variációs megfogalmazásban

I  0 .

(1.13)

Ez a szélsőérték szükséges feltétele. Az abszolút és lokális minimum analógiájára egy funkcionál (pl. potenciális energia) minimumon alapuló módszer esetében definiálhatjuk egy probléma egzakt és közelítő megoldását. Egzakt megoldás, ha az összes lehetséges függvény közül választjuk ki azt, amelyikre a funkcionál minimális. Ennek előállítása csak nagyon egyszerű esetekben lehetséges. A legtöbb esetben az egzakt megoldást nem tudjuk megtalálni, mivel analitikusan nem tudjuk megoldani az egyenleteket, a végtelen számú függvény közül mindet megvizsgálni szintén nem lehetséges. A problémát akkor is meg kell oldani, ha nem tudjuk a pontos megoldást előállítani, ekkor közelítő megoldást keresünk. Közelítő megoldás, ha nem az összes lehetséges függvény közül választjuk ki azt, amelyikre a funkcionál minimális.


www.tankonyvtar.hu

16

Végeselem-módszer

A közelítő megoldások megkeresésére jöttek létre a direkt módszerek. Az Euler-féle törött vonalak Euler variációs módszerének elemei voltak. A módszer a matematika modern eszközeinek birtokában újra előtérbe került, és a variációszámítás direkt módszerének alapja. 1.2.3.

Direkt módszer

A funkcionál szélső értékét adó extremális függvények meghatározása volt a variációszámítás első problémáinak egyike. Euler módszerének lényege: vezessük vissza a problémát véges sok változótól függő függvények szélsőértékeinek vizsgálatára. Azaz megengedett függvényeknek véges sok ( n számú) adattal leírható függvényeket veszünk és a funkcionálként definiált integrált (1.11) egy közelítő összeggel helyettesítjük. Ha n tart végtelenhez, a közelítő összeg tart az integrál értékéhez. Euler megoldása: szakaszonként lineáris, folytonos függvények, „Euler-féle törött vonalak” használata. Osszuk fel x1 , x2  intervallumot n  1 egyenlő szakaszra és adjunk meg tetszőleges 1 ,..., n valós számokat. Ekkor a szakaszok hossza: t

x 2  x1 . n 1

Az x1 , y1 , x1  t ,1 , x1  2t , 2 ,..., x1  nt , n , x2 , y 2  pontokat összekötő törtvonalak egy folytonos függvényt alkotnak, amelynek két végpontja a rögzített P1  ( x1 , y1 ) és P2  ( x2 , y 2 ) . y

P2

i

P1

x1

t

x1+it

x2

x

1.5. ábra: Euler-féle tört vonalak

Ekkor az (1.13) funkcionált módosíthatjuk: n 1    i 1   I n   f  x1  i  t , i , i t , t   i 1

www.tankonyvtar.hu



17

 n1 : y2  . Ha a funkcionál I n közelítő értéke valamely Euler-féle tört vonalon szélsőértéket vesz fel, akkor az x1 , y1 , x1  t ,1 , x1  2t , 2 ,..., x1  nt , n , x2 , y 2  pontokban

I n  0 , j  1,..., n .  j

(1.15)

Vezessük be a parciális deriváltra a függvény alsó indexeként a változót, ami szerint deriválunk:

f y :

f f , f y ' : ,… y ' y

és az alapfüggvényre az

 f  j :

 j   j 1    f  x1  j  t , j , t  

jelölést. Így:

I n   f y  j t   f y '  j   f y '  j 1 .  j

(1.16)

(1.15) és (1.16)-ból rendezve:

f  y

j



f 

y ' j 1

  f y'  j t

 0.

(1.17)

Ha n   , t  0 és a tört vonalak sorozata tart egy kétszer folytonosan deriválható y függvényhez, akkor (1.17)-ből előáll

f y ( x, y, y' ) 

d f y ' ( x, y, y' )  0 , dx

(1.18)

vagy más formában

f d  f      0 . y dx  y ' 


(1.19)

www.tankonyvtar.hu

18

Végeselem-módszer

differenciálegyenlet, amely az f alapfüggvényhez tartozó Euler-Lagrange differenciálegyenlet. Megoldása y , amely az (1.11) funkcionál minimumát adja. Így az (1.13) és (1.18) kifejezés egy adott funkcionál szélsőérték keresési probléma különböző megfogalmazását jelenti. Ezt az egyenletet a matematikában egyparaméteres függvénysereg szélsőértékének vizsgálatából kapjuk (1.6. melléklet), azonban Euler tört vonalai a direkt módszerek alapját képezik, ezért vizsgáltuk a klasszikus értelmezést. A törtvonalak alapján vegyük a megengedett függvények valamely  k sorozatát és az abszolút szélsőértékre vonatkozó probléma k -adik lépésben a k

a  i

i 0

(1.20)

i

összeget, amely minden lépésben egy függvényt ad. Az így kapott függvénysorozat határfüggvényének (ha konvergens) az extremális voltát vizsgáljuk. Ezt a módszert felhasználhatjuk: – variációs feladatok közelítő megoldására, – ha a határfüggvény szélsőértéket vesz fel, akkor kielégíti (1.18)-at, így egy differenciálegyenlet megoldását vezethetjük vissza variációs problémára. Ezt hívjuk a variációszámítás direkt módszerének. 1.3.

Ritz-módszer

A Ritz-módszerben a variációszámítás direkt módszerét alkalmazzuk közelítő megoldás keresésére, a végeselem-módszertől eltérően itt még a teljes tartományt egy függvénnyel írjuk le. Definíció: Legyen  n sorozat egy lineáris normált téren és a n sorozat valós számokon.  n sorozat teljes, ha minden  elemhez létezik a11  ...  an n

sorozat, amely tetszőlegesen megközelíti. Definíció: Legyen I funkcionál, és  n sorozat ennek értelmezési tartományán. Azt mondjuk, hogy I minimalizálható  n lineáris kombinációinak halmazán, ha teljesül: – létezik olyan lineáris normált tér, amelynek része I értelmezési tartománya és amelyre  n teljes, –  n minden lineáris kombinációja I értelmezési tartományában van, – minden n esetében létezik I n minimális eleme, ahol n   DI n :    ai i  . i 1  

(1.21)

www.tankonyvtar.hu



19

Ritz tétele szerint, ha I funkcionál  n sorozat lineáris kombinációinak halmazán minimalizálható, I -nek létezik minimális eleme és folytonos, akkor az I n funkcionál minimális függvényeiből álló y n sorozat I funkcionál minimalizáló sorozata. Ritz módszere a rugalmasságtanban Válasszuk funkcionálnak a rugalmas test potenciális energiáját. n számú, véges paraméter segítségével előállítunk egy kinematikailag lehetséges (definíciók a 3.1.1. és 3.3. fejezetekben) elmozdulásmezőt közelítő függvényt. A potenciális energia minimum elve kimondja, hogy a potenciális energia a valós elmozdulások esetében minimális. A kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőt egy függvénysorral közelítjük: 



u  a11  ...  an  n  u (a1 , a2 ,..., an ) .

(1.22)

Az ebből felírt potenciális energia is ugyanezt az n számú paramétert tartalmazza: 



  (a1 , a 2 ,..., a n ) .

(1.23)

A potenciális energia egy funkcionál, így szélsőértékét 

0

(1.24)

esetben veszi fel. Azaz: 





    a1  a 2  ...  a n  0 . a1 a 2 a n 

(1.25)

Mivel ez paraméterektől függő integrál, a szélsőértéket a paraméterek szerinti deriváltak zérus értékénél vesz fel: 

  0, a1 

  0, a 2 …, 

  0 , n darab lineáris algebrai egyenlethez jutunk amely a felvett  n függvények együtta n hatóit adja. Természetesen, mivel a függvénysort felvesszük, így közelítő megoldást kapunk. © Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

20

Végeselem-módszer

A módszer fontos eleme, hogy az (1.22) elmozdulásmező kinematikailag lehetséges legyen, azaz kielégítse a kinetikai peremfeltételeket. Ilyen függvényeket bonyolultabb esetekben nehéz találni, ezért egyszerűbb feladatok megoldására alkalmas a módszer. A végeselemmódszer abban jelent előrelépést, hogy a test geometriáját egyszerű elemekre bontja, így közelítő függvények könnyen előállíthatóak. 1.4.

Modern végelem-módszer kialakulása

1.4.1.

Erőmódszer

1940-es években megjelennek a sugárhajtású repülőgépek. A nagy sebesség miatt bonyolultabb geometriájú szerkezetek jelennek meg, csapott és delta szárnyak. Ezek számítására a korábbi módszerek nem felelnek meg. A repülésnél nem lehet a számítási bizonytalanságokat nagy biztonsági tényezőkkel kompenzálni, mert a felhasznált anyagok is drágábbak, valamint az üzemeletetési költségek is megnövekednek. Felmerült az igény egy bonyolult geometriákat is megfelelő pontossággal kezelő számítási módszerre. Levy alkalmazta először az erőmódszert, amely a klasszikus rugalmasságtan alapjain az erők egyensúlyából indul ki, és ebből számít elmozdulásokat. 1947-ben csapott szárnyú repülőgépekre publikálta megoldását. Delta szárny esetében problémák merültek fel az erőmódszer alkalmazásával, más megközelítésre volt szükség a megoldásához. 1.4.2.

Mozgásmódszer

Az erőmódszerrel párhuzamosan kutatások folytak az elmozdulásokon alapuló módszer kifejlesztésére és alkalmazására. A Boeing cég egy Turner által vezetett kutatócsoportja 1956-ban publikált egy új módszerrel megoldott problémát. Ennek lényege egy feltételezett elmozdulásokkal felírt merevségmátrixon alapuló módszer gyakorlati alkalmazása volt, ami a modern végeselem-módszer lényegét már tartalmazta. A következő évtizedekben megszülettek a két és háromdimenziós alkalmazások, nagy lehajlási és egyéb geometriai és anyagi nemlineáris megoldások. A konvergencia vizsgálata és a mátrixegyenletek és rugalmasságtani elvek analógiájának felismerése után a 60-as években a rugalmasságtan variációs elveinek alapjára helyezték a végeselem-módszert. Ekkor terjedt el széles körben a virtuális elmozdulások elvén alapuló módszer, és szinte egyeduralkodóvá vált. Az alkalmazott matematikai problémák és kidolgozásuk, a számítástechnika fejlődése folyamatosan tart. A végeselem-módszert ma már szerkezeti, hő-, áramlástani, elektromos, mágneses lineáris és nemlineáris feladatokra és ezek kombinációira, kapcsolt feladatokra is alkalmazzák. A számítógépek teljesítménye és a piacon megtalálható szoftverek kezelhetősége eljutott arra a szintre, hogy a mérnökök kezébe egy könnyen tanulható és felhasználóbarát eszközt adnak. Azonban az elméleti ismeretek hiányában a peremfeltételek, modellek nem megfelelő kiválasztásával a kapott megoldás sok esetben nem a valóságos feladat megoldása. 1.5.

Végeselem-módszer a műszaki gyakorlatban

A végeselem-módszer elterjedése a gyakorlatban megváltoztatta a klasszikus gyártási folyamatot (1.6. ábra), beépült a gyártási láncba.

www.tankonyvtar.hu



Tervezés

Prototípus legyártása

21

Próbaüzem

megfelel

Gyártás

nem felel meg

1.6. ábra: Klasszikus gyártási modell egyszerűsített folyamatábrája

A gyártási költség jelentős része a kísérleti darabok legyártása és próbaüzemének végrehajtása. Mivel ezekhez szükség van anyagra, annak megmunkálására, a próbaüzemhez szükséges peremfeltételek biztosítására, kísérleti eszközökre. Természetesen szükség van mind a prototípus-gyártás, mind a próbaüzem elvégzéséhez szakszemélyzetre. Ezen költségek csak nagy darabszám és/vagy magas termékár esetén térülnek meg. Ezt a költséget csökkenti jelentős mértékben a végeselemes szimuláció (1.7. ábra).

Tervezés

Végeselem szimuláció

megfelel

Prototípus szükséges

nem

Gyártás

igen nem felel meg

Prototípus legyártása

nem felel meg

Próbaüzem

megfelel

1.7. ábra: Végeselemes szimulációval segített gyártási modell

A szükséges prototípusok számát csökkenti a végeselemes szimuláció, amennyiben jól modellezhető problémáról van szó, akkor akár el is hagyható a prototípus legyártása. Ekkor már a sorozatgyártásra lehet azonnal berendezkedni, és elegendő a nullszérián próbaüzemet végezni. A szimuláció nemcsak a szilárdsági vizsgálatok területén nyújt segítséget, hanem a technológiai tervezéskor is. Léteznek olyan célszoftverek is, amelyekkel egy fröccsöntési, kovácsolási, mélyhúzási, stb. folyamatot tudunk szimulálni, így ezek a magas szerszámköltségű gyártási módszerek is olcsóbbá válnak. Elmondhatjuk, hogy a tervezéskor alkalmazott végeselem-modellezés több területre is kiterjed: – termék szilárdsági, hőtani, áramlástani, elektromos, mágneses vizsgálata, használati körülmények közt, amely a termék minőségét javítja, költségét (pl. súly) csökkenti, – termék gyártás közbeni szimulációja (gyártástechnológia szimulációja), az optimális költségű, de megfelelő termék gyártástervezéséhez, – szerszámok szimulációja, amely azok élettartamát, optimális üzemi feltételeit adja.


www.tankonyvtar.hu

22

Végeselem-módszer

A végeselem-módszer természetesen nemcsak a gépgyártásban terjedt el, hanem egyéb tudományterületeken is. A gépgyártás analógiájára elmondhatjuk, hogy a szükséges prototípusok, kísérleti modellek száma csökkenthető, így a tervezés összességében olcsóbb, gyorsabb, pontosabb. 1.6.

Melléklet

1.6.1.

Variációszámítás műveleti szabályai

u függvény, F  F ( x, u, u' ) funkcionál. A függvény variációja annak kismértékű megváltoztatása, jele: u . A funkcionál első variációja:

F 

F F u  u ' , u u '

(1.26)

teljes differenciája:

F'

F F F dx  du  du ' . x u u '

(1.27)

F1 , F2 funkcionál esetén fennáll:

 ( F1  F2 )  F1  F2 ,

(1.28)

 ( F1  F2 )  F1  F2  F1  F2 ,

(1.29)

 

 F1  F1  F2  F1  F2   , 2 F F  2 2

(1.30)

 ( F n )  nF n1  F .

(1.31)

u függvényre fennáll:

d u     du  , dx  dx 

(1.32)

  u( x)dx   u( x)dx .

(1.33)

www.tankonyvtar.hu



23

Euler-Lagrange differenciálegyenlet

1.6.2.

Legyen: f  R 3  R adott függvény (alapfüggvény), és y  R  R megengedett függvény, amely értelmezési tartományán folytonosan deriválható y  C1[ x1 , x2 ] és átmegy a tartomány szélein rögzített P1  ( x1 , y1 ) , P2  ( x2 , y 2 ) pontokon: y( x1 )  y1 , y( x2 )  y 2 . Ekkor minden y függvényhez rendeljük hozzá az

I [ y] 

x2

 f x, y( x), y' ( x)dx

(1.34)

x1

valós számot. Keressük azt az y függvényt, amelyre I [ y ] funkcionál stacionárius. (Egyéb feltételek mellett szélső értéket vesz fel). Legyen:   R  R tetszőleges függvény, rögzített pontokkal

 ( x1 )   ( x2 )  0 ,

(1.35)

és   R valós szám. Ekkor definiálható egy   R 2  R egyparaméteres függvénysereg:

( x,  )  y( x)   ( x) .

(1.36) y (x,) y=(x)

P2

y(x) P1

x1

x2

x

1.8. ábra: A variációs feladat megoldása és variált görbéi

(1.34)-ba (1.36)-ot helyettesítve:


www.tankonyvtar.hu

24

Végeselem-módszer

I

x2



f x,  ( x),  ' ( x) dx 

x2

 f x, y( x)   ( x), y' ( x)   ' ( x)dx .

x1

(1.37)

x1

Adott  (x) függvény esetén I funkcionál csak  függvénye. I ( ) akkor lesz stacionárius (teljesíti a szélsőérték szükséges feltételét), ha

dI  0, d

(1.38)

és

  0.

(1.39)

A paraméteres integrálok differenciálási szabályai szerint: 2 2 2  f dI f  f f      ' dx   dx   ' dx 0 . d x1  y y'  y y ' x1 x1

x

'

x

x

(1.40)

f integráljára alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát: y ' x2

2  f  f d  f     ' dx     x y' x dx  y' dx .  y '    x 1 1

x2

x

(1.41)

1

(1.41) jobb oldalának első tagja zérus (1.35) szerint, ennek megfelelően (1.40)-be helyettesítve: x2

 f

d  f 

  y  dx  y'  dx 0 .

(1.42)

x1

Mivel  tetszőleges, így az integrál csak akkor lehet zérus, ha

f d  f      0 . y dx  y ' 

Ezt Euler-Lagrange differenciálegyenletnek nevezzük. Bibliográfia [1] [2] [3]

Páczelt István, Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1999. Égert János, Keppler István, A végeselemmódszer mechanikai alapjai, UniversitasGyőr Kft., Győr, 2007. Kósa András, Variációszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.

www.tankonyvtar.hu


2. KONTINUUMMECHANIKAI ALAPFOGALMAK. A RUGALMASSÁGTAN DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZERE ÉS PEREMÉRTÉK PROBLÉMÁJA. 2.1.

Kontinuummechanikai alapfogalmak

Modell: a vizsgált jelenséghez hasonlóan viselkedő, annak egyszerűsített mása. Szilárdságtani problémák megoldásához szükségünk van: – geometriai, – anyag-, – kapcsolati (terhelés, kényszer) modellekre. A geometriai modellek dimenzió szerint lehetnek: – 0 dimenziós: pontszerű test, ha elhanyagoljuk az összes geometriai méretét, – 1 dimenziós: ha egyik mérete a másik két kiterjedéséhez képest elhanyagolható. A klasszikus rudak, tartók, rácsos szerkezetek, és a végeselem-módszerben használt vonalelemek. – 2 dimenziós: egy mérete elhanyagolható a másik két méretéhez képest. Lemezek, héjak. – 3 dimenziós: testmodell, egyik méretét sem hanyagoljuk el. Azonban ez legtöbbször nem jelenti a teljes geometriát, mert a mechanikai szempontból elhanyagolható, de a számítási igény növelő részeit fölösleges a modellben megjeleníteni. Kontinuum (test) modell: folytonos (folytonosan deriválható) függvényekkel leírható, tetszőleges számú (végtelen) részre felosztható modell. A kontinuum testek pontjait adott koordinátarendszerben

r  xi  y j  z k

(2.1)

vektorral írjuk le. kontinuum test elemi térfogat dz dy dx y r j k z

i x

2.1. ábra: Kontinuum test és elemi hasáb


www.tankonyvtar.hu

26

Végeselem-módszer

Elemi test: egy kontinuum test elemi (tetszőlegesen kis méretű) része, modelltől függően elemi tömeg vagy elemi térfogat. Merev test: olyan test, amely bármely két pontjának távolsága állandó. Függetlenül a terhelés nagyságától. Rugalmas test: alakváltozásra képes test. Terhelés hatására pontjainak távolsága változik. Lineárisan rugalmas anyagmodell: a terhelés és alakváltozás közt lineáris függvénykapcsolat van. Nemlineárisan rugalmas anyagmodell: a terhelés és alakváltozás közt nemlineáris függvénykapcsolat van. Képlékeny anyagmodell: az anyag a terhelés megszűnése után nem nyeri vissza eredeti alakját. Számos képlékeny anyagmodell létezik a lineáris és nemlineáris ill. rugalmas és képlékeny tulajdonságok dominanciájától függően. 



lineárisan rugalmas





nemlineárisan rugalmas



képlékeny



2.2. ábra: Anyagmodellek

Izotróp anyag: az anyag viselkedése iránytól független, bármelyik irányban azonos tulajdonságokat mutat. Elmozdulásvektor: a test egy pontjának elmozdulásvektora a test adott pontjának terhelés előtti P és utáni P' helyzetének (helyvektorának) különbsége.

u P  u P i  v P j  wP k

(2.2)

Elmozdulásmező: a test összes pontjának elmozdulásvektora a (2.1) helyvektor függvényében.

u(r )  u(r )i  v(r ) j  w(r )k

www.tankonyvtar.hu

(2.3)


2. Kontinuummechanikai alapfogalmak

27

terhelés előtt

P uP P’

y

terhelés után

rP rP’ x z

2.3. ábra: Elmozdulásvektor

Kis elmozdulás: a test pontjainak elmozdulása elhanyagolhatóan kicsi a test geometriai méreteihez képest. Kinematikai peremfeltételek: a test ismert (vagy előírt) elmozdulásai. Dinamikai peremfeltételek: a test ismert (vagy előírt) terhelései. Alakváltozás: a test egyes pontjainak egymáshoz képest történő fajlagos (egységnyi hosszra vonatkozó) elmozdulása. – fajlagos nyúlás:  a vektor hosszának megváltozása, – szögtorzulás:  az egymásra merőleges tengelyek szögváltozása (2.4.b. ábra), a szögtorzulás szimmetrikus. – A merevtest-szerű mozgást (2.4.a. ábra) nem vesszük figyelembe.


www.tankonyvtar.hu

28

Végeselem-módszer

y

y

xy = xy +yx

P’

P’

y

1

yx

P x a)

x b)

2.4. ábra: Merevtest-szerű mozgás és alakváltozás x-y síkban

Alakváltozási vektor: adott irányú egységvektor eltolódását leíró vektor. i, j , k egységvektorokkal (triéder) értelmezve:

1 1 a x   x i   xy j   xz k , 2 2

(2.4)

1 1 a y   yx i   y j   yz k , 2 2

(2.5)

1 1 a z   zx i   zy j   z k , 2 2

(2.6)

ahol

 xy   yx ,  yz   zy ,  xz   zx . A vektorok koordinátáinak tulajdonságai: – fajlagos nyúlások:  x ,  y ,  z mértékegység nélküli jellemzők,

  0 , a hossz növekszik,   0 , a hossz csökken. – szögtorzulások:  xy ,  yz ,  xz mértékegységük radián   0 , a szög csökken,   0 , a szög növekszik.

www.tankonyvtar.hu



29

Alakváltozási állapot: adott pontban az összes irányhoz tartozó alakváltozási vektorok összessége. Leírása lehetséges: egységkocka triéderének alakváltozási vektoraival, alakváltozási tenzorral, Mohr-körön. y

y 1  yx 2

1  yz 2

j 1  xy 2 x

i 1  zy 2

z z

k

1  xz 2

x

1  zx 2

2.5. ábra: Alakváltozási állapot alakváltozási vektorkoordinátákkal

Tenzor: lineáris, homogén vektor-vektor függvény. Leírása diadikus formában vagy adott koordinátarendszerben definiált mátrixszal. Alakváltozási tenzor: rugalmas test adott pontjának alakváltozási állapotát írja le úgy, hogy tetszőleges irányhoz hozzárendeli az adott irány alakváltozási vektorát. Adott koordinátarendszerben leírt vektorhármassal definiálható diadikus vagy mátrixos formában. – Diadikus formában:

  ax  i  ay  j  az  k .

(2.7)

– Mátrixos formában:

  x 1     xy 2 1   2 xz

1  yx 2

y 1  yz 2

1   zx 2  1   zy  , 2   z  

(2.8)

amely oszlopaiban x, y, z irányhoz tartozó alakváltozási vektorok koordinátái szerepelnek. n egységvektorral definiált irányhoz tartozó a n alakváltozási vektor:

an    n .


(2.9)

www.tankonyvtar.hu

30

Végeselem-módszer

Alakváltozási tenzormező: a test összes pontjának alakváltozási tenzora a helyvektor függvényében.

   x r  1  r     xy r  2  1  r   2 xz

1 1   yx r   zx r  2 2  1  y r   zy r  2  1  yz r   z r   2 

(2.10)

Feszültség: a test belső felületén megoszló erőrendszer sűrűségvektora (intezitása). N Mértékegysége: 1 2  1Pa . m Feszültségvektor: a feszültséget feszültségvektorral adjuk meg. Adott pontban, n irányhoz, dA felületelemhez rendelt  n feszültségvektor:

n 

dF . dA

(2.11)

– Adott felületen a feszültségvektor felületre merőleges koordinátáját normál feszültségnek nevezzük, jele:  .   0 , húzás esetén,   0 , nyomás esetén. – A feszültségvektor felülettel párhuzamos koordinátáit csúsztató feszültségeknek nevezzük, jele:  .

i, j , k vektorokkal definiált felületeken a feszültségvektorok:

 x   x i   xy j   xz k ,

(2.12)

 y   yx i   y j   yz k ,

(2.13)

 z   zx i   zy j   z k ,

(2.14)

ahol

 xy   yx ,  yz   zy ,  xz   zx .

Feszültségállapot: adott pontban az összes irányhoz tartozó feszültségvektorok összessége. Leírása lehetséges: elemi hasábon feszültségvektorok koordinátáival, feszültségi tenzorral, Mohr-körön.

www.tankonyvtar.hu



31

y

y yx

yz

xy

zy z

xz

x

zx

x

z 2.6. ábra: Feszültségállapot elemi hasábon

Feszültségi tenzor: rugalmas test adott pontjának feszültségállapotát írja le úgy, hogy tetszőleges irányhoz hozzárendeli az adott irány feszültségi vektorát. Adott koordinátarendszerben leírt vektorhármassal definiálható diadikus vagy mátrixos formában. – Diadikus formában:

  x i   y  j  z k.

(2.15)

– Mátrixos formában:

 x     xy  xz 

 yx  zx    y  zy  .  yz  z 

(2.16)

n egységvektorral definiált irányhoz tartozó  n feszültségvektor:

n  n.

(2.17)

Feszültségi tenzormező: a test összes pontjának feszültségtenzora a helyvektor függvényében.

 x r   yx r   zx r     r    xy r   y r   zy r   xz r   yz r   z r   


(2.18)

www.tankonyvtar.hu

32

Végeselem-módszer

A feszültségi és alakváltozási tenzor elemeinek indexelésére a bemutatotthoz képest fordított sorrend is használatos. Erő munkája: egy erő d r elmozdulása során F  d r elemi munkát végez (a 2.7 ábrán látható a skalár szorzat geometriai értelmezése, az erőt az erő irányú elmozdulás komponenssel szorozzuk). Véges elmozdulás során a végzett munka az elemi munkák összege: r2

W   F (r )d r

(2.19)

r1

F

drF r

y

F

r+dr

r1

dr

r2

x

dW=Fdr=Frcos=FdrF

z 2.7. ábra: Erő munkája

Belső energia: (alakváltozási energia) a belső erők munkája U

1  x x   y  y   z  z   xy  xy   yz  yz   xz  xz dV (lineáris eset) 2 V

(2.20)

Előállítható a feszültség és alakváltozási tenzor kettős skalár szorzataként: U

1    dV 2 V

(2.21)

Hamilton-féle operátor: (nabla operátorvektor) olyan vektor, amelynek minden koordinátája az adott koordináta szerinti parciális deriválási utasítás. Derékszögű descartes-i koordinátarendszerben:



   i j k. x y z

(2.22)

Henger (polár) koordinátarendszerben: www.tankonyvtar.hu



33

 1   eR  e  e z . R R  z



(2.23)

2.2.

Rugalmasságtan differenciálegyenlet-rendszere és peremérték problémája

2.2.1.

Egyensúlyi egyenletek

Az egyensúlyi egyenletek a testre ható q(r ) térfogati terhelésmező és a  r  feszültségi tenzormező közti kapcsolatot írják le. y

y dV q(r)

r

k

xy

zy

y

j

yx

yz

z

xz zx

x

x

i x

z

z a)

b)

2.8. ábra: Elemi test terhelései

Ha egy test belsejében kiválasztott elemi test nyugalomban van, akkor külső (2.8.a ábra) és belső (2.8.b ábra) terhelései egyensúlyban vannak. Az x irányú terheléseket megvizsgálva (2.9.a ábra) láthatjuk, hogy ha nincs külső terhelés, akkor a belső erők (feszültségek) a test megfelelő oldalain egyforma nagyságúak és ellentétes értelműek. A változást a testre ható külső térfogati terhelés okozza. A feszültség felületen megoszló belső erő, ezért át kell számítani az elemi térfogatra. A  x a dydz felületen ébred, térfogati terhelés akkor lesz, ha dx élhosszal elosztjuk. Ehhez hasonlóan a  zx feszültséget dz , a  yx feszültséget dy élhosszal kell osztani. Ekkor az elemi testre ható összes x irányú térfogati erő egyensúlyban van:

 x   x dx



x dx



 zx   zx


dz



 zx dz



 yx   yx dy



 yx dy

 qx  0 .

(2.24)

www.tankonyvtar.hu

34

Végeselem-módszer y

y

yx+yx yx x

zx

x

zx

x dy

yx

zx zx+zx

x+x qx

yx

x

dz

dx z

x

z a)

b)

2.9. ábra: Elemi test x irányú terhelései

A feszültségek változásai az adott irányú parciális deriválttal írhatóak le:  x 

 zx 

 yx  zx dy , amelyeket (2.24)-be helyettesítve kapjuk: dz ,  yx  y z

 x  yx  zx    qx  0 . x y z

 x dx , x

(2.25)

Ennek analógiájára a másik két irányban:  xy

 y

(2.26)

 xz  yz  z    qz  0 . x y z

(2.27)

y



 zy

 qy  0,

x



z

A (2.25)-(2.27) egyenletek a descartes-i derékszögű koordinátarendszerben felírt egyensúlyi egyenletek. Az egyensúlyi egyenletek általános megfogalmazásához vegyünk egy testen belüli V térfogatrészt a 2.10. ábrának megfelelően.

www.tankonyvtar.hu



35

belső térfogatrész V A n

dV dA

q(r)

y

n

y r

r

x

z

x

z a)

b)

2.10. ábra: Testen belüli V térfogatrész felületi és térfogati terhelései

A dV térfogatú elemi testre ható térfogati terhelésből származó elemi erő:

d F  qdV . A dA elemi felületen a  n feszültségvektorból számított elemi erő:

d F   n dA    ndA . A V belső test egyensúlyban van, tehát a rá ható felületi és térfogati terhelésekből származó erők összege zérus:

F  0   qdV     ndA . V

(2.28)

A

A Gauss-Osztrogradszkij-féle integrálátalakítási tétel szerint:

   ndA     dV . A

V

Ezt helyettesítve (2.28)-ba:

0   qdV     dV , V

V

a tagonkénti integrált összeg integráljává alakítva:


www.tankonyvtar.hu

36

Végeselem-módszer





0   q     dV

(2.29)

V

Mivel a V térfogat tetszőleges lehet, ezért (2.29) csak az integrandusz zérus értéke mellett igaz, amely összefüggés a rugalmasságtan egyensúlyi egyenlete.

   q  0.

2.2.2.

(2.30)

Geometriai egyenletek

A geometriai (kinematikai) egyenletek az u (r ) elmozdulási vektormező és az  r  alakváltozási tenzormező kapcsolatát írják le. Descartes-i derékszögű koordinátarendszerben, x  y síkban egy elemi kocka deformációját látjuk a 2.11. ábrán. y duy

Q’

dvx dv

dvy

du

Q

yx

dy

xy = xy +yx xy dvx

P P’

xy dx

dux

duy

x

du

2.11. ábra: Alakváltozások geometriai interpretációja

Tekintsünk el a merevtest-szerű mozgástól, és csak a P és Q pontok egymáshoz képesti elmozdulását vizsgáljuk. Egymásra vetítve a P és a P' pontokat, a PQ szakasz hosszának változása a QQ' vektor, amelyet d u  du  i  dv  j  dw  k elemi elmozdulásvektorral jelölünk. Síkban ennek két koordinátája du és dv . Mindkét koordináta két részre bontható du  du x  du y , dv  dv y  dv x .

du x : a dx él nyúlásából ( x függvénye), du y : a dy él torzulásából ( y függvénye), ezért

www.tankonyvtar.hu



37

du y u u x u y u u x u y du x .    0     0 és y y y dy x x x dx

dv y : a dy él nyúlásából ( y függvénye), dv x : a dx él torzulásából ( x függvénye), ezért dv y v v x v y v v x v y dv x .    0     0 és y y y dy x x x dx

A 2.11. ábra alapján a fajlagos nyúlások  x 

dv y du x , y  , és a szögtorzulás: dy dx

du y dv x du y dv x  arctan   . dx dy dx dy Felhasználva az elmozdulásvektorra felírt parciális deriváltakat:

 xy   xy   yx  arctan

x 

v u u v  , y  ,  xy   yx  . x y y x

Ez mindhárom síkban elvégezhető, aminek eredményeként megkapjuk descartes-i derékszögű koordinátarendszerben a geometriai egyenleteket:

x 

v u w , y  , z  , y x z

 xy   yx 

v u v w w u   ,  yz   zy  ,  xz   zx  .  x y z y x z

(2.31)

(2.32)

A geometriai egyenleteket általános formában is meg tudjuk fogalmazni. Ehhez vizsgáljuk meg egy szilárd test két – egymástól kezdetben d r  dxi  dy j  dz k elemi távolságra lévő – pontjának helyzetét terheletlen és terhelt állapotban. Az alakváltozás definíciója szerint ezen két pont egymáshoz képesti helyzetének megváltozását kell leírnunk.


www.tankonyvtar.hu

38

Végeselem-módszer

terheletlen állapot

dr

Q uQ

P

P’ dr’

uP

Q’

y terhelt állapot

rP

rP’ x

z 2.12. ábra: Elmozdulás és alakváltozás

Q’ uQ= u

u

uP

Q

dr’ dr

dr uP

P’

P

2.13. ábra: Elmozdulás és alakváltozási vektorok

A P és Q pontok relatív elmozdulása a két pont elmozdulásának különbsége:

u  u Q  u P  u  u P . Ebből Q elmozdulása:

u  u P  u .

(2.33)

A P pont környezetében az ux, y, z  elmozdulásfüggvényt közelítsük P -re írt Taylorsor segítségével:

www.tankonyvtar.hu



u r   u P 

39

u u u 1 2u dx  dy  dz  dx 2  ...  u P  d u . 2 x P y P z P 2 x P

(2.34)

A (2.33) és (2.34)-ből következik, hogy P pont környezetében az elmozdulás differenciája és differenciáltja közelítőleg megegyezik. Kis elmozdulások esetén a magasabb rendű tagokat elhanyagolva:

u  d u 

u u u dx  dy  dz . x P y P z P

Figyelembe véve dx  i  d r , dy  j  d r , dz  k  d r egyenlőségeket, valamint a skaláris és diadikus szorzat közti a  b  c   a  b  c csoportosíthatósági szabályt, az elmozdulásmező elemi megváltozása:

du 

u x

i  d r   u y

P

P

 j  d r   uz k  d r    ux P



i  P

u y

 j P

u z

P

  k   d r . 

Felhasználva a Hamilton-féle operátort: d u  u    d r .

(2.35)

Ahol T  u   az elmozdulásmező derivált tenzora, amely felbontható szimmetrikus és antimetrikus (ferdeszimmetrikus) tenzor összegére.

T



 



1 1 1 1 T T T  T  T  T  u      u   u      u     T  2 2 2 2

A szimmetrikus rész az elemi test alakváltozását írja le, az antimetrikus rész pedig az elemi test szögelfordulását. Az alakváltozási tenzor elmozdulásmezőből történő származtatását leíró egyenletet



1 u      u  2

(2.36)

geometriai egyenletnek nevezzük. A tenzoregyenletnek megfelelő skaláris egyenletek a descartes-i derékszögű koordinátarendszerben, a már korábban felírt (2.31) és (2.32) egyenletek. A geometriai egyenletek egy másik alakja a Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenlet:       0 . A kompatibilitás vonatkozik a szomszédos elemi részekre is, mert az anyag folytonossága mellett a szomszédos elmozdulásoknak meg kell egyezniük.


www.tankonyvtar.hu

40

Végeselem-módszer

2.2.3.

Anyagegyenletek

Az anyagegyenletek a feszültségi és alakváltozási állapot közti kapcsolatot írják le. A 2.2. ábrán látható lineárisan rugalmas anyagra a Hooke-törvény érvényes. Egytengelyű feszültségállapot esetén az egyszerű Hooke-törvény   E , ahol E (Young-modulus, rugalmassági modulus) az arányossági tényező a fajlagos nyúlás és a feszültség között. Tiszta húzás esetében, ahol csak egy irányban van feszültség, a nyúlás nemcsak egy irányban történik 2.14. ábra. A húzás irányában az anyag megnyúlik, rá merőlegesen hossza csökken. A köztük lévő arányosságot a dimenzió nélküli Poisson-tényezővel írjuk le:  y   z   x . y

1

x

1 2.14. ábra: Nyúlások, Poisson-tényező

Többtengelyű feszültségállapot esetében a különböző feszültségek és nyúlások közti összefüggést egy tenzoregyenlettel, az általános Hooke-törvénnyel írjuk le. Két alakja izotróp, lineárisan rugalmas anyagokra:

 

  2G  





 

1 E  ,

(2.37)

1    1 E  .   2G  1  

(2.38)

Ahol,

1  2

G : csúsztató rugalmassági modulus, amelyre igaz: E  2G1    , E : egységmátrix,

 1 ,  1 : a megfelelő tenzorok első skalár invariánsa, (a főátló összege). A (2.37) anyagegyenletnek megfelelő skalár egyenletek:

 

 x  2G  x 

 1  2



www.tankonyvtar.hu

x

   y   z  ,  © Oldal István, SZIE


 

 y  2G  y   

 z  2G  z 

 1  2

 1  2



x



x

41

   y   z  ,     y   z  , 

 xy  G xy ,  yz  G yz ,  xz  G xz .

2.2.4.

Peremfeltételek p0

Ap

u0 Au

y

x z 2.15. ábra: Peremfeltételek

Rugalmasságtani probléma esetében kétféle peremfeltételt kell definiálnunk: Kinematikai peremfeltételek: az előírt u 0 elmozdulások (kényszerek) az Au felületen. A megoldásra fennáll: u  u 0 . Dinamikai peremfeltételek: az előírt p 0 terhelések az A p felületen (a terheletlen felületek is ide tartoznak, mert azoknak ismert zérus terhelése van). A megoldásra fennáll: p  p 0 , azaz   n  p 0 . Egyéb peremfeltételek is előfordulnak, de a leggyakrabban a fent említett két típus fordul elő. 2.2.5.

Peremérték probléma

A rugalmasságtan peremérték problémája a rugalmasságtan differenciálegyenleteiből és a peremfeltételekből áll:


www.tankonyvtar.hu

42

Végeselem-módszer

–

   q  0,

–

1 u      u  , 2      2G   1 E  , 1  2   u A  u0 ,

– –



egyensúlyi egyenletek, geometriai egyenletek, anyagegyenletek, kinematikai peremfeltételek,

u

–

  n A  p0 ,

dinamikai peremfeltételek.

p

Az így definiált peremérték problémának bizonyíthatóan létezik megoldása (egzisztencia) és csak egy megoldása létezik (unicitás). Bibliográfia [1] [2]

Csizmadia Béla, Nándori Ernő, Mechanika mérnököknek, Szilárdságtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1999. Égert János, Keppler István, A végeselemmódszer mechanikai alapjai, UniversitasGyőr Kft., Győr, 2007.

www.tankonyvtar.hu


3. A RUGALMASSÁGTAN ENERGIAELVEI, VARIÁCIÓS ELVEI, VÉGESELEM-MÓDSZER, MEREVSÉGI EGYENLET MEGHATÁROZÁSA ÉS MEGOLDÁSA SÍKBELI, HÚZOTT RÚDELEMRE 3.1.

Közelítő mezők

A rugalmasságtani probléma közelítő megoldását az elmozdulások vagy az erők (feszültségek) közelítésével oldhatjuk meg. A rugalmasságtani egyenletek segítségével mindkét irányból elindulva a test elmozdulás-, alakváltozási és feszültségmezője előállítható. 3.1.1.

Kinematikailag lehetséges elmozdulásmező 



Kinematikailag lehetséges az elmozdulásmező u  u r  , ha: 

 u0 ,

– kielégíti a kinematikai peremfeltételeket (2.15. ábra), u Au

– folytonos és deriválható (teljesülnek rá a geometriai egyenletek). y 





u  u r   u x  x 

d u 0 kinematikai peremfeltételek: u0  0, 0 dx 

3.1. ábra: Befogott tartó kinematikailag lehetséges elmozdulásmezői    1   u -ból előállítható a kinematikailag lehetséges alakváltozási mező    u     u  . Az 2  alakváltozási mezőből az anyagegyenlet (általános Hooke-törvény) segítségével előállítható a       1 E  . Egy rugalmasságtani kinematikailag lehetséges feszültségmező   2G    1  2  

problémának egyetlen  r  megoldása van,  r  pedig végtelen számú lehet, így általában nem elégíti ki az egyensúlyi egyenleteket és a dinamikai peremfeltételeket. 3.1.2.

Statikailag lehetséges feszültségmező

Statikailag lehetséges a feszültségmező    r  , ha: – kielégíti a dinamikai peremfeltételeket (2.15. ábra),   n © Oldal István, SZIE

Ap

 p0 , www.tankonyvtar.hu

44

Végeselem-módszer

– teljesülnek rá az egyensúlyi egyenletek,     q  0 . Előállítható belőle a statikailag lehetséges alakváltozási mező az anyagegyenlet segítségé1    vel    1 E  . Ez, és az ebből előállított elmozdulásmező általában nem elégíti   2G  1   ki a geometriai egyenleteket és a kinematikai peremfeltételeket. Virtuális munka elve

3.2.

Virtuális elmozdulás: kényszerek által megengedett kismértékű, tetszőleges elmozdulás. Előállítható egy kinematikailag lehetséges és a valódi elmozdulásmező különbségeként 

u  u u . y 

u u

u02

u u01

Au : x1; x2

x1

x2

x

3.2. ábra: Kinematikailag lehetséges és virtuális elmozdulásmező

Virtuális munka elve: ideálisan rugalmas rendszer (test) egyensúlyi (rugalmasságtani probléma esetében a terhelések és kényszerek által meghatározott) helyzetéből való virtuális kimozdításakor a külső erők virtuális munkája megegyezik az energia virtuális változásával:

Wk  U .

(3.1)

A térfogati és felületi erők virtuális munkája:

Wk    u  q dV    u  p dA V

(3.2)

Ap

A virtuális belső energia:

U 

1 1     dV       dV       dV  2V 2V V

www.tankonyvtar.hu

(3.3)


3. A rugalmasságtan energiaelvei, variációs elvei, végeselem-módszer

45

(3.3)-ban felhasználtuk a feszültség és alakváltozás közt fennálló anyagegyenletből levezethető          összefüggést. A (3.1) virtuális munka elve, helyettesítve a (3.2) és (3.3) összefüggéseket:

    

dV    u  q dV    u  p dA .

V

V

(3.4)

Ap

Potenciális+ energia minimum elve

3.3.

Egy test teljes potenciális energiája az alakváltozási energiának és a külső erők munkájának különbsége:   U  Wk ,



(3.5)

1    dV   u  q dV   u  p dA . 2 V V Ap

(3.6)

Ahol az alakváltozási energia: U

1    dV , 2 V

a külső erők munkája: Wk   u  q dV   u  p dA . V

Ap

Állítsuk elő egy kinematikailag lehetséges elmozdulásmező esetén a potenciális energiát: 





  U  Wk

(3.7)

Rugalmas test esetében a külső erők (felületi és a térfogati terhelések) munkája kinematikailag lehetséges elmozdulásmező esetében: 





Wk   u q dV   u p dA   u   u   q dV  V

Ap

V

 u   u   p dA  Ap

  u  q dV    u  q dV   u  p dA    u  p dA  V

V

Ap

Ap

       u  q dV   u  p dA      u  q dV    u  p dA   Wk  Wk V  V  Ap Ap     © Oldal István, SZIE

(3.8)

www.tankonyvtar.hu

46

Végeselem-módszer

Kinematikailag lehetséges alakváltozási mező:   1  1    u     u   u   u       u   u  

2





2

1 u      u   1  u       u       2 2

(3.9)

A rugalmas testben felhalmozódó belső energia a kinematikailag lehetséges elmozdulásmező esetében, alkalmazva          összefüggést: 

U

1   1    dV              dV   2V 2V



1 1 1 1    dV       dV       dV        dV   2V 2V 2V 2V



1 1    dV       dV        dV  U  U   2U  2V 2V V

(3.10)

Egy kinematikailag lehetséges elmozdulásmező esetén a potenciális energia, (3.7), (3.8), (3.10)-ből: 





  U  Wk  U  U   2U  Wk  Wk 

 U  Wk   U  Wk    2U       2 ,

(3.11)

ahol a valóságos elmozduláshoz (megoldáshoz) tartozó potenciális energia:   U  Wk

a potenciális energia első variációja,

  U  Wk ,

(3.12)

a potenciális energia második variációja:

 2   2U .

(3.13)

A potenciális energia első variációja a virtuális munka elve Wk  U szerint zérus:

  0 , www.tankonyvtar.hu



47

a második variáció energia jellegű mennyiség, ezért bármely u esetén igaz:

 2  0.

(3.15)

Ekkor egy kinematikailag lehetséges és a valós elmozdulásmező különbsége: 

   0

    . 2

(3.16)

A (3.16) összefüggés a teljes potenciális energia minimum elve: az összes kinematikailag lehetséges elmozdulásmező közül a potenciális energia a valóságos elmozdulásmező esetén minimális. Lagrange-féle variációs elv

3.4.

A potenciális energia minimum elv variációs megfogalmazása a Lagrange-féle variációs elv. A teljes potenciális energia variációs megközelítésben egy elmozdulásmezőtől függő funkcionál: u   U u   Wk u  ,

ahol a kinematikai peremfeltétel variációs alakban:

u A  0 . u

A szélsőérték szükséges feltétele:   0 ,

  U  Wk  0 .

(3.17)

Rugalmas test esetén ez megegyezik virtuális munka elvével (3.1). Az első variáció zérus értéke esetén a funkcionál lehet stacionárius, minimum vagy maximum. Esetünkben a második variáció pozitív vagy zérus értéket vehet fel  2  0 , így stacionárius vagy stabil minimum helyről van szó.


www.tankonyvtar.hu

48

Végeselem-módszer

  0 nincs szélsőérték nincs egyensúly

  0

  0

 2  0

 2  0

stacioner eset nem stabil az egyensúly

valódi szélsőérték stabil egyensúlyi állapot

3.3. ábra: Potenciális energia kinetikai szemléltetése

A potenciális energia variációi kinetikai probléma esetében szemléltetik az állapot stabilitását a 3.3. ábrán. 3.5.

Mozgásmódszeren alapuló végeselem-módszer

A mozgásmódszeren alapuló végeselem-módszer jelenleg a legelterjedtebb, a végeselemprogramok döntő többsége ezen az elven alapszik. A módszer lényege, hogy elemekre bontjuk a testet. Elemenként kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőt feltételezünk általunk felvett függvényekkel. Majd a geometriai és anyagegyenletek, valamint a peremfeltételek felhasználásával lineáris algebrai egyenletrendszert írunk fel. Ennek megoldása egy közelítő elmozdulásmező. Az ebből számított feszültségmezőre az egyensúlyi egyenletek közelítőleg fognak teljesülni. A módszerben a tenzorok helyett az egyszerűbb formalizmus érdekében vektorokat (oszlopmátrixokat) alkalmazunk. 3.5.1.

Vektormezők bevezetése

Feszültségkomponensek vektora (oszlopmátrixa): a feszültségtenzor elemeit tartalmazó vek x   x x, y, z     x, y, z   y  y   x x, y   z   z x, y, z    tor, térben:    r        , síkban:    r    y x, y  .  xy   xy  x, y, z   xy x, y     yz   yz  x, y, z       xz   xz x, y, z 

www.tankonyvtar.hu



49

Alakváltozási jellemzők vektora (oszlopmátrixa): az alakváltozási tenzor elemeit tartalma  x    x  x, y , z         x, y , z    y  y    x  x, y     z    z  x, y , z     zó vektor, térben:    r        , síkban:    r     y x, y   .  xy   xy  x, y, z   xy x, y     yz   yz  x, y, z       xz   xz x, y, z  A mozgásmódszer esetében szükségünk van a geometriai és anyagegyenletekre. Ezeket át 1 kell írni vektoros formára. Helyettesítsük be a geometriai egyenlet   u      u  derék2 szögű descartes-i koordinátarendszerben felírt skalár egyenleteit

x 

v u w , y  , z  , y x z

 xy   yx 

v u v w w u   ,  yz   zy  ,  xz   zx   x y z y x z

az alakváltozási vektorba, majd alakítsuk szorzattá:

 u     x   x  v    0   x      y    y   w     z   z   0       v u        xy     yz   x y   y    v w    xz     0  z  y     w  u     x z   z

0  y 0  x  z 0

 0  0    u  z    v   u .    0   w     y   x 

Így az alakváltozási vektort előállítottuk az u elmozdulásvektor és egy (differenciálási utasításokat tartalmazó)  differenciáloperátor mátrix szorzataként.

   1 E  felhasználva helyettesítsük be a feszültségAz anyagegyenletet   2G   1  2   vektorba a megfelelő elemeket:  

 x  2G  x 



 1  2


x

  2G 2G     y   z   2G1  y  z ,  x  1  2 1  2   1  2 

www.tankonyvtar.hu

50

Végeselem-módszer

 

 y  2G  y   

 z  2G  z 



 1  2  1  2



x

x

  2G  2G    y   z    x  2G1  z ,  y  1  2  1  2  1  2  2G    2G    y   z   x   y  2G1   z , 1  2  1  2  1  2 

 xy  G xy ,  yz  G yz ,  xz  G xz , majd alakítsuk szorzattá:     2G 2G  2G1  1  2  x  1  2  y  1  2  z    x        2G   2G    y  1  2  x  2G1  1  2  y  1  2  z         z    2G   2G   2G1        z  xy  1  2 x 1  2 y  1  2    yz    G xy     G yz  xz      G xz      2G 2G 0 0 0 2G1  1  2  1  2 1  2     x    2 G   2 G     2G1  0 0 0   y     1  2 1  2  1  2    z  2G 2G       C . 2G1   0 0 0   xy    1  2 1  2   1  2    0 0 0 G 0 0   yz      0 0 0 0 G 0    xz   0 0 0 0 0 G 

Így előállítottuk a feszültségvektort az  alakváltozási vektor és egy C anyagállandók mátrixa szorzataként. Bevezetve a vektormezőket, egyszerű szorzatként előállítottuk a geometriai egyenletet:

  u

(3.18)

és az anyagegyenletet:

  C .

www.tankonyvtar.hu

(3.19)



51

Az anyagegyenletbe helyettesítve:   Cu , így az elmozdulásmező az ismeretlen, az alakváltozások és feszültségek belőle közvetlenül számíthatóak. 3.5.2.

Rugalmasságtani probléma és megoldási módszere

A végeselem-módszert rugalmasságtani probléma megoldására mutatjuk be, az általános rugalmasságtani probléma a következő: p0

V q P

y

Ap

u0 Au

r

x z

3.4. ábra: Rugalmasságtani probléma

Adott (3.4) ábra szerint: – – – –

a test geometriája, a test anyagjellemzői, terhelések, kényszerek.

Meghatározandó: u r  ,  r  ,  r  . A megoldás menete: – A testet véges számú résztartományra, ún. véges elemre bontjuk, és az elemeken kitüntetett pontokat, ún. csomópontokat veszünk fel. Az elemek a test teljes térfogatát lefedik, geometriailag megjelenítve hálót alkotnak. Az egyes elemek közös csomópontokon keresztül illeszkednek egymáshoz. – Az elmozdulásmezőt elemenként közelítjük, általában polinommal, amelyeket a csomópontokra illesztünk. A szomszédos elemek elmozdulásmezői a csomópontokon keresztül illeszkednek és lesznek az egész testre folytonos függvények. – A közelítő elmozdulásmezőből a geometriai és anyagegyenletek segítségével előállítható a közelítő alakváltozási és feszültségmező, amelyekből a Lagrange-féle variációs elv felhasználásával egy lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk a csomópontokra, ún. merevségi egyenlet. Az algebrai egyenletrendszer akkor lesz megoldható, ha az összes felületi csomópont esetében megadunk egy terhelési vagy elmozdulási paramétert, a kinematikai és dinamikai peremfeltételekből. Így a csomópontok elmozdulásai az ismeretlenek. © Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

52

Végeselem-módszer

– Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a közelítő csomóponti elmozdulásokat, amiből előállítható a közelítő elmozdulásmező, alakváltozási és feszültségmező. Végeselem, közelítő elmozdulásmező

3.5.3.

A testet felosztjuk tetszőleges alakú és méretű résztartományra, véges elemre. Természetesen figyelembe véve azt, hogy az adott elemre közelítő függvényt kell felírnunk. p0

V n Ve u0

q

e e

y

i

j

k

e: elem sorszáma i, j, k, ..., n: csomópontok sorszáma z

x

3.5. ábra: Felosztás, véges elem

Az e elem elmozdulásmezőjét folytonosan differenciálható függvénnyel közelítjük. A függvény típusát előre meghatározzuk és a definiálásához szükséges számú pontot (lineáris függvénynél két pont, másodfokúnál három pont élenként, stb.), csomópontot veszünk fel az elem határán. Majd az elmozdulásmezőt a csomópontok elmozdulásaival felírjuk. Az e elem i edik csomópontjának elmozdulása:

 uei  u ei   vei  ,  wei  az e elem elmozdulásvektora i, j, k ,, n csomópontok elmozdulásaiból:  uei  v   ei   u   wei   ei  u ej ,   ue            uen      u en   ven  w   en 

www.tankonyvtar.hu



53

3n számú ismeretlent tartalmaz. Az e elem u e r  elmozdulásvektorát (elmozdulásmező) a u e csomóponti elmozdulásvektorból interpolációval állítjuk elő: u e r   N e r   u e ,

(3.20)

ahol N e r  approximációs mátrix (interpolációs függvények mátrixa). (3x3)-as blokkokból áll, minden blokk egy-egy csomópont interpolációs függvényeit tartalmazza. Az e elem i csomópontjának elmozdulásából az elem elmozdulása:

 N eixx r  N eixy r  N eixz r   uei    u ei r   N ei r   u ei   N eiyx r  N eiyy r  N eiyz r    vei  ,  N eizx r  N eizy r  N eizz r   wei    ahol N ei r  elemei interpolációs függvények. Az indexek értelmezése: Neixz r  függvény az i csomópont z irányú elmozdulásának hatására az e elem bármely r pontjához annak x irányú elmozdulását rendeli hozzá, miközben az e elem csomóponti elmozdulás vektorának többi eleme zérus. A függvényeket úgy kell megadni, hogy teljesüljön: – a függvények deriválhatóak legyenek, – N ei r i   E , a függvény i csomópontban adja vissza a csomóponti elmozdulás értékét, –

N ei r j     N ei r n   0 , a függvény a többi csomópontban tűnjön el.

Az N e r  mátrix n számú, az elem összes csomópontjához tartozó N ei r  , N ej r  , …,

N en r  blokkból áll, mérete (3x3n):





N e r   N ei r  N ej r   N en r  . Az elem elmozdulásmezőjének közelítése felhasználásával (3.20)-at (3.18)-ba helyettesítve előállítható az alakváltozási mező közelítése is:

 e r   u e r    N e r   u e , bevezetve a differenciáloperátorok és az approximációs mátrix szorzatára B e r  alakváltozáscsomóponti elmozdulás mátrixot:

 e r   Be r   u e .

(3.21)

Az elem feszültségmezője:

 e r   C e r   C Be r   u e .

(3.22)

Az elem (3.6) szerinti potenciális energiája: © Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

54

Végeselem-módszer

1  r    e r  dV   u e r   q dV   u e r   p dA . 2 Ve e Ve Aep

e 

Átírva az összefüggést a skalár és kettős skalár szorzatokat mátrixszorzattá alakítva (a belső energia tényezői felcserélve), tenzorok helyett a bevezetett vektorokat használva:

1  e r T  e r  dV   u e r T q dV   u e r T p dA . 2 Ve Ve Aep

e 

Helyettesítve (3.20), (3.21), (3.22)-t és a konstansokat az integrálból kiemelve:

1 u e T  Be r T C Be r  dV u e  u e T  N e r T q dV  u e T  N e r T p dA . 2 Ve Ve Aep

e 

Bevezetjük az elem merevségi mátrixát:

 B r  C B r  dV ,

Ke 

T

e

(3.23)

e

Ve

és a térfogati és felületi terhelésből származó csomóponti terhelésvektorokat:

 N r  q dV ,

F qe 

T

e

(3.24)

Ve

F pe 

 N r 

T

e

p dA ,

(3.25)

Aep

F e : F qe  F pe . Így az elem potenciális energiája:

e 

1 u e T K e u e  u e T F e . 2

Az energiaelveket csak az egész testre alkalmazhatjuk, mert elemenként nem érvényesek. A test potenciális energiáját a test Q számú eleme potenciális energiáinak összege adja meg. Q

   e  e 1

1 U T KU  U T F . 2

A Lagrange-féle variációs elv szerint a potenciális energia elmozdulás szerinti első variációja zérus:

www.tankonyvtar.hu



55

1 U T KU  U T F   KU  F . 2 

  0   

Átrendezve a merevségi egyenlethez jutunk: KU  F ,

ahol:

(3.26)

K : a test merevségi mátrixa, U : a test csomóponti elmozdulásvektora, F : a test csomóponti terhelésvektora.

A (3.26) kifejezés egy lineáris egyenletrendszer, amelyet megoldva megkapjuk a rugalmasságtani feladat megoldását. (Az egyenletben szereplő tagokat egyszerű statikai probléma esetére írtuk fel, hőfeszültség, rugalmas támasz esetén a merevségi mátrix és a terhelésvektor bővül, illetve dinamikai probléma esetében a merevségi egyenletnek lesznek plusz tagjai.) 3.6.

Merevségi egyenlet meghatározása és megoldása síkbeli, húzott rúdelemre

3.6.1.

Merevségi egyenlet 2D húzott rúdelemre

A húzott-nyomott rudakból álló szerkezetek (rácsos tartók) jellemzője, hogy az egyes rudakat csak tengelyirányú terhelés éri. A rúd tengelyéhez lokális koordinátarendszert veszünk fel. A 3.6. ábrán látható L hosszúságú e rúdelem terhelései a csomópontokban lévő F i  Fi ,0 , F j  Fj ,0 terhelés.

y

Fi

i

e ui

L

j

Fj uj

x

3.6. ábra: Két csomópontú, síkbeli rúdelem

Az i csomópontban u i  ui ,0 , a j csomópontban u j  u j ,0 az elmozdulás. A rúdelem u e ( x, y)  ue x ,0

(3.27)

elmozdulásmezőjét lineáris függvénnyel közelítjük: ue x   ae0  ae1x ,

(3.28)

az elmozdulásmező az elem csomópontjaiban az ottani elmozdulásokat adja vissza:


www.tankonyvtar.hu

56

Végeselem-módszer

ue x  0  ui  ae0  ae1 0 ,

ue x  L  u j  ae0  ae1L . Ebből az együtthatókat kifejezve és helyettesítve (3.28)-ba: ue x   ui 

u j  ui L

x.

Ezt a (3.27) összefüggésbe helyettesítve:

x 1 x  u e ( x, y)   ui  u j ,0  , L  L  szorzattá alakítva, mátrix alakban: u x, y  1  x u e ( x, y )   e  L  ve x, y   0

0 0

 ui    0  vi   N e x, y u e , u j   0    v j 

x L 0

ahol N e x, y  az e rúdelem approximációs mátrixa, u e a csomóponti elmozdulások vektora. Az approximációs mátrix két blokkból áll, az i és a j csomóponti vektorokhoz tartozó interpolációs függvényekkel:

1  x N ei x, y    L  0 

 x 0 , N ej x, y    L 0 0 

 0 . 0

1 x x , N ejxx x, y   interpolációs függvények a követelményeknek megfeL L lelnek (folytonos, saját csomópontban egységnyi, a többi csomópontban eltűnik), a 3.7. ábrán láthatóak. N eixx x, y  

Neixx(x,y)

Nejxx(x,y)

1 i

j e

x

i

1 j e

x

3.7. ábra: Interpolációs függvények

www.tankonyvtar.hu



57

Rúdelem esetében csak tengelyirányú nyúlások vannak, így a geometriai egyenlet:  ui  1  1  v   x  d u e x, y  d N e x, y   0 0   i   B e x, y u e .  e  x, y       ue   L L dx dx  0 0 0 0 u j  0     v j  A Be x, y  elmozdulás-alakváltozás mátrixnak állandó elemei vannak, tehát a rúd fajlagos nyúlása állandó. Egytengelyű feszültségállapotban az egyszerű Hooke-törvény alkalmazható a feszültség számítására:

 e x, y   C e x, y   C Be x, y u e . Ekkor az anyagjellemzők mátrixa:

E C 0

0 . E 

Az elem merevségi mátrixa:

K e x, y  

 B x, y  C B x, y  dV   B x, y  C B x, y  Adx  L

T

e

T

e

e

Ve

e

0

 1  L L     10 0  L  0

 0  1 0  E 0      L 0  0 E   0  0  1 0 1  AE  0 0 0 K e  x, y   L  1 0 1  0 0 0

1 L 0

0 0

 E  L2   0 Adx   0E  2 0   L  0

E L2 0 E L2 0

0  0 0 0

 0 L 0 A dx   0 0  0

0 0  Ke. 0  0

(3.29)

Ekkor az elem merevségi egyenlete:

K e ue  F e , ahol

(3.30)



u e  ui



F e  Fxi

vi

uj Fyi


vj Fxj



T

az elem csomóponti elmozdulásvektora,

Fyj



T

az elem csomóponti terhelésvektora.

www.tankonyvtar.hu

58

Végeselem-módszer

A rácsos tartók rúdjaihoz kötött lokális koordinátarendszerek általános esetben különböznek, így a merevségi egyenletet át kell transzformálni egy közös, úgynevezett globális (abszolút) koordinátarendszerbe azért, hogy a merevségi mátrixok összegezhetők legyenek a teljes testre. y

y’

v v’

u=u’

x’ u’

 u

x

3.8. ábra: Vektor elforgatott koordinátarendszerben

Egy a 3.8. ábrán látható vektor koordinátáit  szöggel elforgatott koordinátarendszerben a következőképpen számítjuk:

u'  u  cos( )  v  sin( ) , v'  u  sin( )  v  cos( ) . Mátrix alakban:

u '  cos( ) sin( )  u  u'       v   T u , v '  sin(  ) cos(  )     

(3.31)

ahol T : transzformációs mátrix. A mátrix a két vektorból álló u e és F e vektorokra két blokkban írható fel, ahol egy blokk egy vektorra vonatkozik:

0 0   cos( ) sin( )  sin( ) cos( ) 0 0  . T   0 0 cos( ) sin( )    0  sin( ) cos( )  0

(3.32)

Állítsuk elő az elem merevségi mátrixát egy  szöggel elforgatott koordinátarendszerben! Ehhez a (3.30) egyenlet elforgatott alakját kell előállítanunk:

www.tankonyvtar.hu



K 'e u'e  F 'e .

59

(3.33)

(3.31) szerint: 1 1 u 'e  T u e  u e  T u 'e , ehhez hasonlóan: F e  T F 'e . Ezt helyettesítve (3.30)-ba: 1

1

K e T u 'e  T F 'e . Szorozzuk balról T -vel: 1

1

T K e T u'e  T T F 'e , TT

1

1

 E  T K e T u 'e  F 'e , melyet (3.33)-mal összevetve a következő adódik: 1

K 'e  T K e T . T ferdeszimmetrikus, ezért T

(3.34) 1

 T , akkor: T

K 'e  T K e T . T

(3.35)

Számítsuk ki a (3.35) kifejezéssel értelmezett, globális koordinátarendszerbeli merevségi mátrixot síkbeli rúdelemre a (3.29) összefüggéssel megadott, lokális koordinátarendszerbeli merevségi mátrix felhasználásával:

 cos( )  sin( )  cos( ) sin( )   0 0 0  AE  0 T , K eT  cos( )  sin( ) L  cos( ) sin( )   0 0 0   0  cos 2 ( )  cos( ) sin( )  cos 2 ( ) cos( ) sin( )    2 sin ( ) cos( ) sin( )  sin 2 ( )  AE  cos( ) sin( ) T K 'e  T K e T  L   cos 2 ( ) cos( ) sin( ) cos 2 ( )  cos( ) sin( )   2  sin ( )  cos( ) sin( ) sin 2 ( )  cos( ) sin( ) 

(3.36)

Egy szerkezet esetében az összes rúd merevségi mátrixát azonos koordinátarendszerbe transzformáljuk, és összegezzük. Ezután felírható a szerkezetre a merevségi egyenlet, amely megoldása az összes csomóponti erő és elmozdulás.


www.tankonyvtar.hu

60

Végeselem-módszer

3.6.2.

Példa F3

y

3

3

1



2

1

2 x

L1 3.9. ábra: Rácsos szerkezet

A 3.9. ábrán látható három rúdból álló rácsos szerkezet ismert adatai: F3 x  1200 N F3 y  1000 N

L1  1,2m   50o A1  A2  A3  A  100mm2 E  210GPa Számítsuk ki az erőket és az elmozdulásokat! Rúdhosszak:

L2  L1tg ( )  1430,1mm L1 L3   1866,87mm cos( ) Az 1 rúd merevségi mátrixa a lokális (amely azonos az abszolúttal) koordinátarendszerében (3.29) szerint: 1  AE  0 K1  L1  1  0

0  1 0  17500 0 0 0  0  0 1 0  17500   0 0 0  0

www.tankonyvtar.hu

0  17500 0 0 0 0 N . 0 17500 0 mm  0 0 0



61

A csomópontok szerinti 2x 2 -es blokkok (felső index az elem száma, alsó index a két csomópont száma, amelyek közt a blokk a kapcsolatot leírja):  K 1 K 112  K 1   111 1 .  K 21 K 22 

A 2 rúd merevségi mátrixa a lokális koordinátarendszerében:

0  1 0  14684,24 0 0 0  0  0 1 0  14684,24   0 0 0  0

1  AE  0  K2  L2  1  0

0  14684,24 0 0 0 0 N . 0 14684,24 0 mm  0 0 0

A 2 rúd az abszolút koordinátarendszerre merőleges, így át kell számítani abszolút koordinátarendszerbe (3.36) szerint:

 cos 2 ( 2 )  cos( 2 ) sin( 2 )  cos 2 ( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 )    2 sin ( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 )  sin 2 ( 2 )  AE  cos( 2 ) sin( 2 )  T K 2  T K 2T  L2   cos 2 ( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 ) cos 2 ( 2 )  cos( 2 ) sin( 2 )    sin 2 ( 2 )  cos( 2 ) sin( 2 ) sin 2 ( 2 )  cos( 2 ) sin( 2 )  o ahol  2  90 . 0 0  AE 0 1 K2  L2 0 0  0  1

0 0  0 0   0  1 0 14684,24  0 0  0 0   0 1  0  14684,24

0 0  0  14684,24 N .  mm 0 0  0 14684,24 

A csomópontok szerinti 2x 2 -es blokkok: K 2 K 2   22 2  K 32

K 23  2 . K 33  2

A 3 rúd merevségi mátrixa a lokális koordinátarendszerében:

1  AE  0  K3  L3  1  0

0  1 0  11248,78 0 0 0  0  0 1 0  11248,78   0 0 0  0


0  11248,78 0 0 0 0 N . 0 11248,78 0 mm  0 0 0

www.tankonyvtar.hu

62

Végeselem-módszer

A 3 rúd az abszolút koordinátarendszerrel  szöget zár be, így át kell számítani abszolút koordinátarendszerbe:  cos 2 ( )  cos( ) sin( )  cos 2 ( ) cos( ) sin( )    2 sin ( ) cos( ) sin( )  sin 2 ( )  AE  cos( ) sin( )  T , K3  T K3T  L3   cos 2 ( ) cos( ) sin( ) cos 2 ( )  cos( ) sin( )    sin 2 ( )  cos( ) sin( ) sin 2 ( )  cos( ) sin( ) 

ahol   50o .

5538,94  4647,73  5538,94  4647,73  5538,94 6601,06  5538,94  6601,06 N . K3    4647,73  5538,94 4647,73 5538,94  mm   6601,06    5538,94  6601,06 5538,94 A csomópontok szerinti 2x 2 -es blokkok: 3  K 3 K 13  K 3   11 3 3 .  K 31 K 33 

A merevségi mátrixokat összeadjuk, úgy, hogy az azonos csomópontok közti kapcsolatot leíró blokkokat összeadjuk, így a szerkezet merevségi mátrixa: 3 1  K 111  K 11 K 12  1 1 2 K   K 21 K 22  K 22 2  K3 K 32 31 

   2 3  K 33  K 33  3

K 13 2 K 23

0  4647,73  5538,94 17500  4647,73 5538,94  17500    5538,94 6601,06 0 0  5538,94  6601,06     N  17500 0 17500 0 0 0 .   0 0 0 14684 , 24 0  14684 , 24 mm     4647,73   5538,94 0 0 4647,73 5538,94    6601,06 0  14684,24 5538,94 14684,24  6601,06   5538,94

A szerkezet merevségi egyenlete: KU  F

www.tankonyvtar.hu



63

0  4647,73  5538,94   u1   F1x   22147,73 5538,94  17500    5538,94 6601,06 0 0  5538,94  6601,06   v1   F1 y     17500  u 2   F2 x  0 17500 0 0 0       0 0 0 14684 , 24 0  14684 , 24    v 2   F2 y   4647,73  5538,94 0 0 4647,73 5538,94  u 3   F3 x       0  14684,24 5538,94 25285,3   v3   F3 y    5538,94  6601,06 helyettesítve az ismert erő és elmozdulás peremfeltételeket:

0  4647,73  5538,94  u1   0   22147,73 5538,94  17500  5538,94 6601,06 0 0  5538,94  6601,06   0   F1 y     17500   0   F2 x  0 17500 0 0 0      . 0 0 0 14684,24 0  14684,24  0   F2 y    4647,73  5538,94 0 0 4647,73 5538,94  u 3   1200      0  14684,24 5538,94 25285,3   v3   1000    5538,94  6601,06 A szorzat egy hat ismeretlenes lineáris egyenletrendszer, megoldása: u1  0,068571mm u3  0,523986mm

v3  0,16549mm F1 y  1430,1N F2 x  1200 N F2 y  2430,1N

Bibliográfia [1] [2]

Páczelt István, Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1999. Égert János, Keppler István: A végeselemmódszer mechanikai alapjai, UniversitasGyőr Kft., Győr, 2007.


www.tankonyvtar.hu

4. SÍKBELI HÚZOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZER SEGÍTSÉGÉVEL 4.1.

Síkbeli rúdszerkezetek

A mechanika több fejezetében találkozhattunk olyan szerkezetekkel, amelyeknek elemei u.n. statikai rudak. Ezek fő jellemzője, hogy csak a végeiken és ott is csak axiális erőkkel vannak terhelve, következésképpen húzottak vagy nyomottak. Az ilyen rudakból épített tipikus szerkezetek a rácsos tartószerkezetek, amelyek közül továbbiakban a síkbeliekkel foglalkozunk. Ezeket a szerkezeteket úgy definiáltuk, hogy: – – – – –

a rudak tengelye egy közös síkban fekszik, a rudak ideális síkcsuklókkal kapcsolódnak egymáshoz, az egy csuklóba befutó rudak geometriai tengelyei egy pontban metszik egymást, ideális csuklós kényszerekkel kapcsolódnak a merev talajhoz, valamint kikötöttük, hogy külső erőhatások csak a csuklópontokban hathatnak és az erők hatásvonala a tartó síkjában van.

Az egy adott külső erőrendszerrel terhelt síkbeli rácsos tartók vizsgálata során általában a következő kérdésekre keressük a választ: – – – –

a kényszerekben keletkező reakcióerők nagysága és iránya, az egyes rudakban keletkező erők nagysága és irányítása, az erők hatására a rudakban keletkező húzó, illetve nyomó feszültség nagysága, a szerkezet egyes pontjaiban keletkező elmozdulások, illetve az egyes rudak deformációja.

További, általában hajlított rudakat is tartalmazó tartószerkezetek (kéttámaszú- és konzolos tartók, keretszerkezetek, görbe rudak stb.) esetében vizsgálatok tárgyát képezheti a szerkezet stabilitásának és dinamikai viselkedésének (a nyomott rudak kritikus erőinek, illetve a sajátfrekvenciának) a meghatározása is. Ezzel a tananyag 5-8. fejezeteiben, illetve a nyomott rudak stabilitásvesztésével a 9-10. fejezetekben foglalkozunk. A statikában a reakcióerők meghatározásakor fontos kérdés volt, hogy a szerkezet külsőleg statikailag határozott vagy határozatlan (emlékeztetőül, a síkbeli határozottság feltétele az volt, hogy a külső kényszerek pontosan 3 elemi mozgáslehetőséget: 2 síkbeli elmozdulást (transzlációt) és egy, a síkra merőleges tengely körüli elfordulást (rotációt) zárjanak ki, azaz az ezeket megvalósító reakciókomponensek felvételére legyenek alkalmasak), mivel ez befolyásolta a meghatározásukhoz alkalmazható módszereket. A rúderők meghatározása szempontjából pedig a rácsos tartók belső statikai határozottságának volt szerepe (emlékeztetőül, a síkbeli határozottság feltétele, hogy a szerkezetben található rudak száma egyenlő legyen a csuklók számának kétszerese mínusz hárommal r=2c-3) szintén az alkalmazható módszerek megválasztása miatt. A deformációk és elmozdulások számítására nagyon egyszerű, külsőleg és belsőleg határozott szerkezetek esetén geometriai megközelítést, míg bonyolultabb struktúrák, illetve statikailag határozatlan szerkezetek esetében energia elveket (Betti és Castigliano tételek) alkalmaztunk.

www.tankonyvtar.hu

© Moharos István, ÓE

4. Síkbeli húzott rudak vizsgálata

65

Mint látni fogjuk, a végeselem-módszeren alapuló megoldás során mindkét esetben lényegtelen, hogy a rácsszerkezet külsőleg vagy belsőleg határozatlan, ez az eljárást nem befolyásolja. 4.2.

A rúdszerkezetek modellezéséhez alkalmazott végeselemek

Rúdszerkezetek modellezésére a végeselem programrendszerekben általában kétféle elemtípus áll rendelkezésünkre. Az előzőekben tárgyalt rácsszerkezetek modellezéséhez TRUSS, míg a hajlított, nyírt, csavart rudak modellezéséhez BEAM elemek használhatók. Az végeselem mindkét esetben kétdimenziós kiterjedésű azaz egyetlen vonallal jellemezhető. 4.2.1.

TRUSS elemek tulajdonságai

A TRUSS elemeket tovább csoportosíthatjuk attól függően, hogy síkbeli vagy térbeli rácsszerkezetek modellezésére használjuk azokat. Ennek alapján megkülönböztethetünk TRUSS2D (4.1. ábra) és TRUSS3D (4.2. ábra) elemeket. A TRUSS2D elemek kétcsomópontos egytengelyű elemek (two-force element), mindkét csomópontjukban két-két elmozdulási szabadságfokkal. Az elemhez kötött koordinátarendszer x tengelye az elsőtől a második csomópont irányába mutat, az y tengely pedig a globális koordináta-rendszer X-Y síkjával párhuzamos síkban az x tengelyre merőlegesen.

Y

y

2

x

1 X 4.1. ábra. TRUSS2D elemek

A lineáris statikai vizsgálatokhoz szükség van az egydimenziós elem és a valóságos, három dimenziós kiterjedésű rúd között kapcsolatot teremtő állandók megadására, ami a TRUSS2D elemek esetében a keresztmetszeti terület. Erre nem csak az elemek rugalmas tulajdonságainak számításához, hanem az önsúly meghatározásához is szükség van.(A klasszikus mechanikában is szükségünk van erre az adatra, hiszen a rúderők meghatározása után a  feszültségek enélkül meghatározhatatlanok lennének.) © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

66

Végeselem-módszer

Szükségünk lesz továbbá a rúd anyagának jellemzőire is. Ebben az esetben, mivel a TRUSS2D elem minden pontjában csak egytengelyű feszültségállapot keletkezik, elegendő megadni az anyag rugalmassági modulusát, illetve ha a számítások során a szerkezet saját súlyát is figyelembe kell venni mint terhelést, akkor az anyag sűrűségét is. A TRUSS2D elemek a lineáris statikai vizsgálatokon kívül alkalmasak az egyes rudak kihajlásának vizsgálatára, valamint végezhetők velük hőtani számítások is ehhez azonban további állandók, illetve anyagjellemzők megadása szükséges, mely feladatokkal e fejezetben nem foglalkozunk. A TRUSS3D elemek szintén kétcsomópontos egytengelyű elemek, de mindkét csomópontjukban három-három elmozdulási szabadságfok felvetése szükséges. Az elemhez kötött koordináta-rendszer x és y tengelyének állása megegyezik a TRUSS2D elemnél ismertetettel, z tengelye pedig merőleges az x-y síkra.

Y

y

1

2

x

X

z Y 4.2. ábra. TRUSS3D elemek A számításokhoz szükséges állandók és anyagjellemzők megegyeznek a TRUSS2D elemeknél megadottakkal. A TRUSS3D elemek a is alkalmasak stabilitásvesztési, illetve hőtechnikai elemzések elvégzésére. 4.2.2.

A BEAM elemek tulajdonságai

A BEAM2D elemek is kétcsomópontos egytengelyű elemek, de a TRUSS elemektől eltérően mindkét csomópontban három –két elmozdulási és egy elfordulási– szabadságfokkal rendelkeznek, így alkalmasak síkbeli hajlított rudak modellezésére is. A BEAM3D elemek is kétcsomópontos egytengelyű elemek, de a TRUSS elemektől eltérően mindkét csomópontban hat –három elmozdulási és három elfordulási– szabadságfokkal rendelkeznek. Ezekkel az elemekkel térbeli rúdszerkezetek húzott-nyomott, hajlított és csavart rúdjai modellezhetők. A BEAM elemek részletesebb ismertetése a 4.6 fejezetben található. www.tankonyvtar.hu



4.3.

67

Feladat megoldás

A végeselem feladatok megoldása során a következő eljárást követjük: – – – – – –

feladat elemzése, geometria létrehozása a végeselemháló generálásához, a végeselemek tulajdonságainak meghatározása (elemtípus, fizikai tulajdonságok, anyagjellemzők), peremfeltételek, terhelések meghatározása, a számítások lefuttatása, a kapott eredmények értékelése.

A 4.3 ábrán látható két végén alátámasztott rácsos tartót a jelölt két csomópontban egyenként 120 kN nagyságú, a tartó síkjába eső erő terheli. A rudak Cső100x10 keresztmetszetű acélcsövek. Meghatározandó a rudakban keletkező  feszültség nagysága és iránya, valamint a tartó lehajlása. 3 x 4 = 12 m

3m

120 kN

120 kN

4.3. ábra. A vizsgálandó rácsos tartó

A végeselem programok általában beépített 3D geometriai modellezőt, grafikus pre- és postprocesszort tartalmaznak. Így lehetőség van arra, hogy a geometriai modellt a program saját modellezőjében (4.4. ábra) készítsük el.


www.tankonyvtar.hu

68

Végeselem-módszer

4.4. ábra. A végeselem program saját geometriai modellezője

Ezek a beépített geometriai modellezők nem mindig nyújtják azt a kényelmet, amit a korszerű rajzszerkesztő és parametrikus modellező rendszerek, illetve mivel nagyon gyakran már meglévő modellek alapján kell a modellezést elvégezni, azért hatékony és kényelmes megoldás lehet az adatcsere más CAD rendszerekkel valamilyen elérhető, szabványos rajzcsere formátumban például: SAT, IGS, DXF stb. (4.5. ábra).

4.5. ábra. Geometriai modell importálása

Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a geometriai modell jelen esetben csak a végeselem háló létrehozását segíti, sem a műszaki ábrázolás szabályaihoz és gyakran a szerkezet valóságos megjelenéséhez sincsen köze. Ebben a feladatban is igaz ez, hiszen a 100 mm átmérőjű csövek csak mint a 4.3 ábrán bemutatott vonalak jelennek meg. Ez pedig azt jelenti, hogy a már kész elektronikus formátumú műszaki dokumentációk a végeselem modellezés előtt alapos átalakításra, szükség szerint egyszerűsítésre vagy kiegészítésre szorulnak. Látható ez a 4.6 ábrán, ami az importált geometriai modellt mutatja. Az eredetileg nyilvánvalóan egy darabból készült övrudak a modellben csomópontonként külön-külön geometriai elemként jelennek meg, mivel a későbbiekben ez segíti a végeselem háló generálását. Nem szabad elfeledkezni arról sem, hogy a végeselem modell létrehozása során valamilyen mértékegység rendszerhez kell igazodnunk. Ha az SI-t választjuk, akkor a geometriai modellek átvitele során az egy rajzi egységnek egy méternek kell majd megfelelni. Rajzaink készítése során azonban általában egy rajzi egység egy milliméter. Még a grafikus szerkesztőwww.tankonyvtar.hu



69

ben gondoskodnunk kell arról, hogy a mértékegységek közötti megfelelőség létrejöjjön, ami célszerűen annyit jelent, hogy a rajzcsere formátum létrehozása előtt a geometriai modellt az ezredére kell kicsinyíteni.

4.6. ábra. Az importált geometriai modell

Látható az is, hogy az elemek az X-Y síkban fekszenek. A következő lépés az elemtulajdonságok meghatározása (4.7 ábra). A fejezet elején tisztáztuk, hogy lineáris viselkedésű, TRUSS2D elemeket használunk.

4.7. ábra. Elemcsoport meghatározása © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

70

Végeselem-módszer

Meg kell határozni a végeselemek anyagtulajdonságait is. A TRUSS elemek esetében elegendő megadnia a rugalmassági modulus értékét (4.8 ábra), ügyelve arra, hogy a kiválasztott és a geometriai modell létrehozásakor már alkalmazott mértékegység rendszer alapegységeit használjuk. Ez esetünkben értelem szerűen az SI rendszer, ahol a méreteket méterben, a rugalmassági modulust pedig Pa-ban, azaz N/m2-ben határozzuk meg.

4.8. ábra. Az anyagtulajdonságok meghatározása

Következő feladat az elemek fizikai tulajdonságainak meghatározása, hiszen egyetlen vonallal a csövek térbeli kiterjedése nem modellezhető (4.9. ábra). Mivel a bonyolultabb végeselem modellek többféle elemtípust, illetve egyféle típuson belül többféle tulajdonságú elemet is tartalmazhatnak – a mi modellünkben is lehetne többféle keresztmetszetű cső, ami mind TRUSS2D elemtípussal modellezhető lenne – ezért meg kell határozni, hogy a megadni kívánt tulajdonságok melyik elemcsoportra vonatkoznak. Az előzőekben leírtak szerint a TRUSS2D elemekhez csak az elem keresztmetszeti területét kell megadni. Ne felejtsük el most sem, hogy ragaszkodnunk kell egy adott mértékegység rendszerhez, így a keresztmetszeti területet is az SI szerinti m2-ben kell megadni.

4.9. ábra. Fizikai tulajdonságok meghatározása

A hálózási tulajdonságok megadása után következhet a végeselem háló generálása, amire a programok többféle megoldást is kínálnak (4.10. ábra). Mivel jelen feladatban a TRUSS elemekben a rúderők a rudak hossza mentén nem változnak, így elegendő minden egyes geometriai objektumon egy-egy elemet elhelyezni.

www.tankonyvtar.hu



71

4.10. ábra. Parametrikus hálógenerálás

Mivel a végeselem háló geometriai objektumonként külön-külön jön létre, szükség van az egyes rúdvégeken lévő csomópontok összekapcsolására (4.11. ábra). A modellben a valóságban az történik, hogy a közös pontba befutó rudak végein lévő csomópontok közül a magasabb sorszámúak törlődnek, és minden ide befutó rúd egy közös csomóponthoz rendelődik.

4.11. ábra. A rúdvégek összekapcsolása

Ezzel létrejött a végeselem háló. Következő lépésben a peremfeltételek definiálása következik, ami jelen esetben a tartó két végén mint 0 elmozdulási kényszer megadását jelenti. A tartó bal szélén két szabadság fok -x és y irányú elmozdulási kényszer- megkötését mutatja a 4.12. ábra. Hasonlóan járunk el a tartó másik végén is, azzal a különbséggel, hogy ott csak y irányban rögzítjük a pontot.

4.12. ábra. Elmozdulási kényszerek megadása

Végül meg kell adni a terheléseket, ami a 4.3 ábrán bemutatott vázlat szerinti két 120 kN-os koncentrált erőt jelent (4.13 ábra). Ne feledkezzünk meg arról, hogy az erők irányát a globális koordináta-rendszerben kell megadni, azaz a lefelé mutató terhelések negatív előjellel szerepelnek.


www.tankonyvtar.hu

72

Végeselem-módszer

4.13. ábra. Koncentrált erő definiálása

Ezzel felépült a végeselem modell, következhet a számítás (4.14. ábra).

4.14. ábra. Lineáris statikai vizsgálat futtatása

A sikeres futtatás után következik az eredmények megjelenítése és értékelése. A rudakban keletkező feszültségek megjelenítése (4.15. ábra) többféleképpen is történhet. A TRUSS elemek esetében a feszültségadatok csak az elemen és csak annak koordinátarendszerében értelmezhetőek. Lehetőség van arra, hogy az eredményeket deformált alakon jelenítsük meg. A deformáció természetesen nem valós, azt a program egy meghatározott nagyítással ábrázolja, hogy a terhelés hatására végbemenő folyamatok felismerhetőek legyenek.

4.15. ábra. Feszültségek megjelenítése

www.tankonyvtar.hu



73

A kapott eredményeket (4.16. ábra) értelmezni és értékelni kell. A negatív feszültségadatok a szilárdságtanban tanultaknak megfelelően nyomó feszültséget jeleznek. Figyeljük meg, hogy a rudak az igénybevétel során egyenesek maradtak, azaz hajlítónyomaték nem keletkezik bennük.

4.16. ábra. Feszültségadatok deformált alakon

Célul tűztük ki a tartó lehajlásának vizsgálatát (4.17. ábra).

4.17. ábra. Deformációk vizsgálata © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

74

Végeselem-módszer

A deformációk az egyes csomópontok két irányú elmozdulásai lehetnek. A globális koordináta-rendszerben a lehajlást az y irányú elmozdulás jelenti (4.18. ábra). A kapott eredmények, a negatív elmozdulások természetesen a lefelé történő elmozdulást jelentik. A skálán jelölt értékek választott alapegységünk szerintiek, azaz m-ben értendők.

4.18. ábra. A lehajlás vizsgálata

A pontos számszerű eredmények megjelenítésére lehetőség van a csomópontokban, illetve rudakban keletkező erő- és elmozdulás komponensek listázására is (4.19-4.20 ábra). Mivel a TRUSS elemekben csak húzó-nyomó feszültségek keletkeznek, ezért a táblázat is csak az elemhez kötött koordináta-rendszer szerinti ezen feszültségeket tartalmazza.

www.tankonyvtar.hu



75

4.19. ábra. Feszültségkomponensek listázása

Az elmozdulások a globális koordináta-rendszerben, csomópontonként értelmezettek (4.20. ábra)

4.20. ábra. A csomópontok elmozdulásainak listázása


www.tankonyvtar.hu

76

4.4.

Végeselem-módszer

Megjegyzések

A feladat megoldása során nem foglalkoztunk a nyomott rudak kihajlásával. Egy valós feladat esetén ezt vagy végeselemes megoldással, vagy a nyomóerők ismeretében a klasszikus rúdelméletben tanultak alapján ellenőrizni kellene. A feladat megoldása során a mintegy 81,59 kN önsúlyból származó igénybevételt elhanyagoltuk, ami ugyan egy nagyságrenddel kisebb, mint a külső terhelés, de figyelmen kívül hagyása veszélyes. Mindkét előző problémára találunk megoldást a tananyag későbbi, BEAM elemekkel foglalkozó fejezetében. Továbbá, nem vizsgáltuk és ezzel a modellel nem is vizsgálhatnánk az egyes elemek kapcsolatait. A kapcsolatok kialakításával, viselkedésével és méretezésével a szerkezettervezés külön fejezetei foglalkoznak. Ehhez a feladathoz hasonló feladat megoldását találjuk Muttnyányszky Ádám, Szilárdságtan című könyvének 11.6. példájában. A feladat hagyományos módszerekkel történő megoldása sok tanulsággal szolgál.

www.tankonyvtar.hu


5. SÍKBELI HAJLÍTOTT RUDAK VARIÁCIÓS FELADATA, MEREVSÉGI EGYENLETEI, MEGOLDÁSA VÉGESELEMMÓDSZERREL Síkbeli hajlított rúdelem variációs feladata

5.1.

Vizsgáljuk az 5.1 ábrán bemutatott, síkbeli, egyenes tartót. A tartó terhelése q(x) megoszló terhelés, F koncentrált erő és M koncentrált nyomaték. A megoldás során a Bernoulli hipotézist felhasználva feltételezzük, hogy a rúd alakváltozása során a keresztmetszetek a semleges szálra merőlegesek maradnak, azaz a nyírás hatását elhanyagoljuk. Így a teljes potenciál felírható, mint a v(x) lehajlás-függvényen értelmezett funkcionál.

5.1 ábra A vizsgált tartó

A hajlított tartó lehajlás-függvénye a szilárdságtanból ismert rugalmas szál differenciálegyenlete:

v"  

M h (x) Iz E

(5.1)

Szintén a szilárdságtanból ismert a hajlított rúd alakváltozási energiája:

1 M 2h ( x ) dx 2E L I z ( x )

U

(5.2)

A rugalmas szál differenciál egyenletéből Mh(x)-et kifejezve és behelyettesítve:

U( v( x )) 

1 2 E  I z ( x )v" ( x )  dx 2 L

(5.3)

A teljes potenciális energia, mint funkcionál felírásakor szükség van a külső erők munkájára, ami három tagból áll; a rúdra merőleges koncentrált erők munkája:

 F v( x ) , i

i


(5.4)

www.tankonyvtar.hu

78

Végeselem-módszer

a koncentrált hajlító nyomatékok munkája:

 M v' (x ) , j

(5.5)

j

a rúdra merőleges megoszló terhelés munkája pedig: xb

 v(x)q(x)dx .

(5.6)

xa

Ezekkel a teljes potenciál: xb

1 2 ( v) E  I z ( x )v" ( x )  dx   v( x )q( x )dx   Fi v( x i )   M j v' ( x j ) 2 L xa

(5.7)

Az (5.7) potenciál első variációjára vonatkozó   0 feltétel eredményezi az adott feladat alapegyenletét és a természetes peremfeltételeket. E feladat közelítő megoldása a funkcionál –adott esetben a teljes potenciális energia– közvetlen minimalizálása. Ezek szerint a feladat az, hogy keressük a (v) potenciál minimumát, és az ehhez tartozó v(x) függvényt. E szélsőérték feladat megoldásának egy lehetséges módja Ritz-módszer (Walter Ritz 1878-1909) alkalmazása, melynek során az ismeretlen v(x) függvényt a következő alakban keressük: n

v( x)   ( x) ak x k ,

(5.8)

k 0

ahol  (x) olyan próbafüggvény, ami kielégíti a kinematikai peremfeltételeket, azaz a támaszok helyén az elmozdulásokra  ( x)  0 és befogások helyén a szögelfordulásokra  ' ( x)  0 teljesül. Ezzel a helyettesítéssel a (v) potenciál az a1, a2...an paraméterek többváltozós függvénye lesz, melynek minimuma van, ha:

 0 a k

(5.9)

Mivel a Ritz-módszer közelítő eljárás, a megoldás pontossága függ attól, hogy a próbafüggvény hány tagú. Egyszerű feladatok esetében elegendő egyetlen tag, így a fenti egyenletrendszer csak a0-tól függ, azaz egyváltozós. Az egyenletrendszer mátrixos megfogalmazása és megoldása vezet a végeselem-módszer alapegyenletéhez:

Ku  F

www.tankonyvtar.hu

(5.10)


5. Síkbeli hajlított rudak variációs feladata, merevségi egyenletei, megoldása

5.2.

79

Feladatmegoldás végeselem-módszerrel

Vegyük az 5.2 ábrán látható, síkbeli rúdszerkezetet. A szerkezetet két, a tartó síkjába eső, koncentrált erő terheli. Az ábrából is látható, hogy a szerkezet 1 rúdjában nyomó és hajlító, míg a 2 rúdban csak hajlító igénybevétel keletkezik, így a 3. fejezetben bemutatott elemekkel a feladat nem megoldható.

5.2 ábra A vizsgált síkbeli rúdszerkezet

A szerkezetet alkotó mindkét rúd NSz60x40x4 négyszögszelvény. A szelvény keresztmetszeti tulajdonságait szabvány tartalmazza: A=8,69 cm2 Iz=44,8 cm4 A szerkezetet terhelő két erő pedig egyenként 200 N. A feladat megoldásához a Bernoulli elméletnek megfelelő hajlított rúdelemet használjuk fel. A korábbiakban láttuk, hogy a végeselemes megoldás a

Ku  F ,

(5.11)

egyenletrendszer megoldását jelenti. Ehhez először elő kell állítani az elem, majd a teljes szerkezet merevségi mátrixát. 5.2.1.

Az elem merevségi mátrixa

Az előző egyenletrendszert egyetlen elemre felírva:


www.tankonyvtar.hu

80

Végeselem-módszer

 k11 k12 k13 k14 k15 k16   u1   F1x  k . . . .   v1   F1y   21 . k 31 . . . . .   1   M1        k . . . . . 41   u 2   F2 x  k 51 . . . . .   v 2   F2 y        . . . k 66  2  M 2  k 61 .

(5.12)

A merevségi mátrix egyes oszlopainak fizikai jelentése szerint az oszlop egyes elemeinek értéke az egységnyi elmozduláshoz, illetve a peremfeltételek biztosításához szükséges erők és nyomatékok értéke. Ennek felhasználásával a rúdelemek esetében a merevségi mátrixot könynyen előállíthatjuk úgy, hogy az elmozdulásvektor 1-1 elemét rendre egységnyire választjuk, a többi elemet pedig 0-nak tekintjük. E szerint a merevségi mátrix k11 eleme az u1=1 elmozduláshoz tartozik és az általános eljárás szerint:

 k11 k12 k  21 . k 31 .  k 41 . k 51 .  k 61 .

k13 k14 . . . . . . . . . .

k15 k16  1  F1x  . .  0  F1y  . .  0  M1       . .  0  F2 x  . .  0  F2 y       . k 66  0 M 2 

(5.13)

Az egyenletrendszer megoldása: F1x=k11

(5.14)

F1y=k21 M1=k31 F2x=k41 F2y=k51 M2=k61 Ennek az esetnek a fizikai tartalmát az 5.3 ábra mutatja.

5.3 ábra A merevségi mátrix első oszlopának fizikai értelmezése

www.tankonyvtar.hu



81

Az ábra alapján ez a rúd (rúdelem) tiszta nyomásának felel meg, így felhasználva a Hooktörvényt:

k11 

F1x l  E  E A L

(5.15)

A  l érték egységnyi, így átrendezés után:

k11  F1x 

AE L

(5.16)

A peremfeltételek kielégítéséhez természetesen szükséges még, hogy: F1x   F2 x

(5.17)

azaz: k11  k41

(5.18)

A merevségi mátrix első oszlopának többi tagja pedig rendre zérus értékű. Hasonlóan járhatunk el a merevségi mátrix második oszlopával is. Ebben az esetben az egyenletrendszer:

 k11 k12 k  21 . k 31 .  k 41 . k 51 .  k 61 .

k13 k14 . . . . . . . . . .

k15 k16  0  F1x  . .  1  F1y  . .  0  M1       . .  0  F2 x  . .  0  F2 y       . k 66  0 M 2 

(5.19)

Az egyenletrendszer megoldása pedig: F1x=k12

(5.20)

F1y=k22 M1=k32 F2x=k42 F2y=k52 M2=k62 Ennek az esetnek a fizikai tartalmát az 5.4 a ábra mutatja. Az ábrán bemutatott elmozdulás egy, a végpontján koncentrált erővel (5.4 b ábra) és egy a végpontján hajlító nyomatékkal (5.4 c ábra) terhelt terhelt konzolos tartó elmozdulásainak szuperpozíciójával állítható elő.


www.tankonyvtar.hu

82

Végeselem-módszer

5.4 ábra A merevségi mátrix második oszlopának fizikai értelmezése

Ezeket az eseteket jól ismerjük a szilárdságtanból, így a hajlított tartók rugalmas szál differenciál egyenletének megoldása során kapott járulékképletek segítségével felírhatjuk:

F1 y L3

M1L2 v1  1  1   2   3IE 2 IE

(5.21)

valamint a szögelfordulásra:

  0  1  2  

F1 y L2 2 IE



M 1L IE

(5.22)

A kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:

F1 y 

12 IE  k22 L3

(5.23)

M1 

6 IE  k32 L2

(5.24)

Továbbá az egyensúly feltételeit biztosítva:

Fy  0  F1 y  F2 y  F2 y   F1 y  k52 ,

(5.25)

és a nyomatékok a 2 pontra felírva:

M  0  M 2  M1  F1y L  M 2 

6IE 12IE 6IE  3 L  M 2  2  K 62 2 L L L

(5.26)

A merevségi mátrix második oszlopának első és negyedik eleme pedig 0. A merevségi mátrix harmadik oszlopának elemeit ehhez hasonlóan határozzuk meg, úgy, hogy az elmozdulásvektor  1 tagját egynek, a többit pedig 0-nak választva:

www.tankonyvtar.hu



 k11 k12 k  21 . k 31 .  k 41 . k 51 .  k 61 .

k15 k16  0  F1x  . .  0  F1y  . .  1  M1       . .  0  F2 x  . .  0  F2 y       . k 66  0 M 2 

k13 k14 . . . . . . . . . .

83

(5.27)

Az egyenletrendszer megoldása pedig: F1x=k13 F1y=k23 M1=k33 F2x=k43 F2y=k53 M2=k63

(5.28)

Ennek az esetnek a fizikai tartalmát az 5.5 ábra mutatja.

5.5 ábra A merevségi mátrix harmadik oszlopának fizikai értelmezése

Az ábrán bemutatott elmozdulásokat most is két elmozdulás szuperpozíciójával állítjuk elő, így:

v1  0  1   2 

F1 y L3 3IE



M 1L2 2 IE

(5.29)

valamint a szögelfordulásra:

  1  1  2  

F1 y L2 2 IE



M1L IE

(5.30)

A kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:

F1 y 

6 IE  k23 L2


(5.31)

www.tankonyvtar.hu

84

Végeselem-módszer

M1 

4 IE  k33 L

(5.32)

Továbbá az egyensúly feltételeit biztosítva:

Fy  0  F1 y  F2 y  F2 y   F1 y  k53 ,

(5.33)

és a nyomatékok a 2 pontra felírva:

M  0  M 2  M1  F1 y L  M 2 

4 IE 6 IE 2 IE  2 L  M2   K 63 L L L

(5.34)

A merevségi mátrix harmadik oszlopának első és negyedik eleme pedig 0. A merevségi mátrix 4-6 oszlopának tagjait teljesen hasonlóan határozhatjuk meg, így végül az elem teljes merevségi mátrixa:

 Ai Ei  L i   0    0 k ie    Ai Ei  L i   0    0 

0

0

12Ii E i L3i 6I i E i L2i

6I i E i L2i 4I i E i Li

0 

12Ii E i L3i 6I i E i L2i

0 6I i E i L2i 2I i E i Li





Ai Ei Li 0 0

Ai Ei Li 0 0

0 12Ii E i L3i 6I E  i2 i Li



0 12Ii E i L3i 6I E  i2 i Li

   6I i E i  L2i  2I i E i   Li   0   6I i E i   2 Li  4I i E i   Li  0

(5.35)

Meg kell jegyezni, hogy az elem merevségi mátrixának előállítását általában a

K e   B C BdV T

T

(5.36)

Ve

összefüggés alapján végezzük, ahol C az anyagjellemzők mátrixa, B pedig elmozdulásalakváltozás mátrix. Erre a megoldásra láthattunk példát a tananyag 3. fejezetében. A fent bemutatott megoldás bonyolultabb elemek esetén nehézkesen lenne kivitelezhető, itt is csak a merevségi mátrix fogalmának megértését szolgálja. Az elem merevségi tulajdonságait csak a hozzá kötött, lokális koordináta-rendszerben határoztuk meg. A globális koordináta-rendszerben az egyes elemek elhelyezkedésétől függően ezek a merevségi értékek megváltoznak. Az elemek globális koordináta-rendszerben értelmezett tulajdonságainak előállításához a 3. fejezetben (3.35 összefüggés) bemutatott transzfor-

www.tankonyvtar.hu



85

mációs mátrixot használjuk, azzal a megjegyzéssel, hogy azt kiegészítjük, így az elem szabadságfokainak megfelelően a következő 6x6-os mátrixit kapjuk.

0 0 0  cos  sin  0  sin  cos  0 0 0 0   0 0 1 0 0 0 T  0 0 cos  sin  0  0  0 0 0  sin  cos  0   0 0 0 0 1  0

(5.37)

A transzformációs mátrix elemei az elem csomóponti koordinátáinak ismeretében könynyen számíthatók:

cos  i 

xi 2  xi1 Li

(5.38)

sin  i 

yi 2  yi1 Li

(5.39)

Li 

xi 2  xi1 2   yi 2  yi1 2

(5.40)

Ezzel az 1. elem merevségi mátrixa a globális koordináta rendszerben:

5.2.2.

A szerkezet teljes merevségi mátrixa

A szerkezet teljes merevségi mátrixának mérete megegyezik a teljes szerkezet szabadságfokának számával. Így most a teljes rendszer merevségét egy 9x9-es mátrix írja le, mivel a rendszert két elem alkotja, 3 csomóponttal, egyenként 3 szabadságfokkal. A teljes merevségi mátrix létrehozásakor az elemek közös csomópontjaihoz tartozó elemi merevségek összeadódnak, így:


www.tankonyvtar.hu

86

Végeselem-módszer

 k111  1 k 21 k131  1 k 41 K  k151  1 k 61 0  0  0

k113

k114

k115

k116

0

0

1 22 1 32 1 42 1 52 1 62

1 23 1 33 1 43 1 53 1 63

1 24 1 34

1 25 1 35

1 26 1 36

0 0

0 0

2 k14

2 k15

k154  k 221 k155  k 222

k156  k 223 k 224

k 225

k k k 241

k k k 243

k k k k

k k k k

k k

k k

2 k144  k11

1 64

k k

2 k145  k12

k k k 242

2 31

1 65

2 k146  k13

2 32

1 66

2 33

k 0

k 0

0

0

2 k 51

2 k 52

2 k 53

k

0

2 61

2 62

2 63

k

0

k

k

k

k k

2 34 2 44 2 54 2 64

k k k k

2 35 2 45 2 55 2 65

0   0  0  2  k16  2  k 26  2 k 36  2  k 46  2  k 56 2  k 66 

(5.42)

A teljes egyenletrendszer és megoldása

5.2.3.

 k111  1 k 21  k131  1 k 41  k1  151 k 61 0  0  0

k112

k112

k113

k114

k115

k116

0

0

1 22 1 32 1 42 1 52 1 62

1 23 1 33 1 43 1 53 1 63

1 24 1 34

1 25 1 35

1 26 1 36

0 0

0 0

2 k14

2 k15

k154  k 221 k155  k 222

k156  k 223 k 224

k 225

k k k 241

k k k 243

k k k k

k k k k

k k

k k

2 k144  k11

1 64

2 31

k k

2 k145  k12

k k k 242 1 65

2 32

2 k146  k13

1 66

2 33

k 0

k 0

0

0

2 k 51

2 k 52

2 k 53

k

0

2 61

2 62

2 63

k

0

k

k

k

k k

2 34 2 44 2 54 2 64

k k k k

2 35 2 45 2 55 2 65

0   0   FRx       0   0   FRy  0   0  M R     2   k16  u 2   0  k 226    v 2    F1       2 k 36   2   0  k 246   u 3   0       2   v3   F2  k 56    2   k 66   3   0 

(5.43)

Az egyenletrendszer megoldása során a megfogás 0 elmozdulási helyeit kihagyhatjuk, azaz a merevségi mátrix e helyekhez tartozó sorait és oszlopait törölhetjük. Esetünkben ez az első három sor és oszlop. Így kapjuk az un. kondenzált merevségi mátrixot és ezzel a megoldandó egyenletrendszer:

2 2 2  k144  k11 k145  k12 k146  k13  1 2 1 2 1 2 k 54  k 21 k 55  k 22 k 56  k 23 2 2 2 k164  k 31 k165  k 32 k166  k 33  2 k 242 k 243  k 41 2 2  k2 k 52 k 53 51  2 2 2 k 62 k 63  k 61

2 2 2  u 2   0  k14 k14 k14      k 224 k 225 k 226   v 2   F1  2 2 2   2   0  k 34 k 35 k 36      k 244 k 245 k 246   u 3   0  2 2 2   v3  F2  k 54 k 55 k 56      2 2 2 k 64 k 65 k 66  3   0 

(5.44)

Az adatokat behelyettesítve, az egyenletrendszert megoldva kapjuk az elmozdulásvektort:

www.tankonyvtar.hu



 u 2   0,01227  m  v    0,00709 m  2   2    0,01276 rad U    u 3   0,01227  m  v3   0,03827 m     3    0,01701 rad

87

(5.45)

Az eredmények ismeretében a reakcióerők számíthatók a teljes rendszer egyenletrendszerének a reakcióerőkhöz tartozó egyenleteiből, ami jelen esetben az első három sor:

FRx  k114  u 2  k115  v2  k116  2  0 N

(5.46)

FRy  k124  u 2  k125  v2  k126  2  400 N MR  k134  u 2  k135  v2  k136  2  800 Nm 5.3.

Megjegyzések

A végeselem alapú programrendszerek nem csak a Bernoulli elméletnek megfelelő rudakat, hanem hajlított tartók nyírásból származó alakváltozásait is képesek kezelni. A szilárdságtanban tanultaknak megfelelően ilyen esetben meg kell határozni a rúd keresztmetszetének nyírási alaktényezőjét. Meg kell jegyezni azt is, hogy ez az alaktényező csak lineáris statikai vizsgálatok esetén használható megbízhatóan, ugyanis egyes kutatások bizonyították, hogy nemlineáris hatások esetén e tényező módosításra szorul.


www.tankonyvtar.hu

6. SÍKBELI HAJLÍTOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL 6.1.

rúdszerkezetek

A 4. fejezetben tárgyalt síkbeli, húzott-nyomott rudakból álló rácsos tartóként a rúdszerkezeteknek egy része vizsgálható. Az esetek jelentős részében a rudakban ébredő hajlítást nem lehet elhanyagolni. Ez a helyzet áll elő, ha a szerkezetet alkotó rudak között olyan is van, amely nem kizárólag a végein működő axiális erőkkel van terhelve (nem statikai rúd) és következésképpen a végeselemes modellje inkább tartó (BEAM), mint rúd, noha a szakmai nyelv az ilyen elemeket is rúdnak nevezi. Ilyen esetek lehetnek: – – – –

a két- vagy többtámaszú tartók, konzolos szerkezetek, síkgörbe rudak, ha a szerkezet önsúlyát nem lehet elhanyagolni, síkbeli keretszerkezetek, stb.

A tananyag ezen fejezete ezekkel a tartószerkezetekkel foglalkozik. A térbeli hajlított és csavart rúdszerkezetek modellezésével a tananyag következő, 7-8. fejezeteiben, illetve a nyomott rudak stabilitásvesztésével a 9-10. fejezetekben foglalkozunk. Az egy adott külső erőrendszerrel terhelt síkbeli rúdszerkezet esetében a 4. fejezetben leírtakhoz képest a megválaszolandó kérdések száma is bővül: – a kényszerekben keletkező reakcióerők nagysága és iránya, – az egyes rudakban keletkező húzó-, nyomó- és nyíróerők, valamint hajlító nyomatékok nagysága és iránya, – az erők hatására a rudak egyes pontjaiban keletkező síkfeszültségi állapotot jellemző x,y és τxy feszültségek nagysága, – a szerkezet egyes pontjaiban keletkező elmozdulások, illetve az egyes rudak deformációja. A 4. fejezetben leírtakhoz hasonlóan jelen esetben is további vizsgálatok tárgyát képezheti a szerkezet sajátfrekvenciájának meghatározása és a nyomott rudak kihajlásának elemzése, amivel a későbbiekben foglalkozunk. Az előző fejezetekben foglalkoztunk a rácsos tartók külső és belső statikai határozatlanságával. Látni fogjuk, hogy az ott leírtakhoz hasonlóan a síkbeli hajlított rúdszerkezetek végeselem-módszeren alapuló vizsgálata során is lényegtelen, hogy a szerkezet statikailag határozatlan, ez a megoldás menetét nem befolyásolja. 6.2.

A modellezés során alkalmazott végeselemek

A 4. fejezetben tisztáztuk, hogy a rúdszerkezetek modellezésére a végeselem programrendszerekben általában kétféle elemtípus áll rendelkezésünkre, a csak húzó-nyomó igénybevételek vizsgálatára alkalmas TRUSS elemek és a nyíró, hajlító, illetve csavaró igénybevételek vizsgálatára is alkalmas BEAM elemek. Az végeselem mindkét esetben kétdimenziós kiterjedésű, azaz egyetlen egyenes vonallal jellemezhető. A TRUSS elemek tulajdonságait az említett fejezetben már leírtuk. www.tankonyvtar.hu


6. Síkbeli hajlított rudak vizsgálata

6.2.1.

89

A BEAM elemek tulajdonságai

A BEAM elemeket is két csoportra oszthatjuk, a síkfeszültségi állapottal jellemezhető rúdszerkezetek (ilyenek általában a szimmetrikus keresztmetszetű rudakból álló, síkbeli, csak saját síkjukban terhelt rúdszerkezetek) modellezéséhez BEAM2D elemekre és a térbeli feszültségi állapottal jellemezhető BEAM3D elemekre. Ez utóbbiak általában a térbeli rúdszerkezetek, a saját síkjukra merőlegesen terhelt síkbeli rúdszerkezetek és azok a síkbeli rúdszerkezetek, amelyek esetében a terhelés ugyan saját síkjukban keletkezik, de a keresztmetszet tulajdonságai, aszimetriája vagy antiszimmetriája miatt a szerkezet és terhelés együttesének modellje térbeli. A BEAM3D elemekkel a tananyag következő 7-8. fejezeteiben foglalkozunk majd. A BEAM2D elemek kétcsomópontos egytengelyű elemek, mindkét csomópontjukban háromhárom, két elmozdulási és egy elfordulási szabadságfokkal. Az elemhez kötött koordinátarendszert a 6.1 ábra mutatja. A koordináta-rendszer x tengelye az elsőtől a második csomópont irányába mutat, az y tengely pedig a globális koordináta-rendszer X-Y síkjával párhuzamos síkban az x tengelyre merőlegesen, a z tengelye pedig a globális koordináta-rendszer Z tengelyével párhuzamos.

Y A-A y y

2

x

1

Szelvény magasság

A A

z

X 6.1. ábra. BEAMD2D elem

A lineáris statikai vizsgálatokhoz szükség van az egydimenziós elem és a valóságos, háromdimenziós kiterjedésű rúd között kapcsolatot teremtő állandók megadására, ami a BEAM2D elemek esetében a keresztmetszeti terület, az elem keresztmetszetének a z tengelyére számított másodrendű nyomatéka, a szelvény magassága (lásd a 6.1 ábrán) és a szelvény alakjától függő tényező, ami figyelembe veszi a szelvény nyírásából származó rugalmas energia változást is. Szükségünk lesz továbbá a rúd anyagának jellemzőire. Ebben az esetben -mivel a BEAM2D elem minden pontjában csak síkbeli feszültségállapot keletkezik- elegendő megadni az anyag rugalmassági modulusát és a Poison tényezőt, illetve ha a számítások során a szerkezet saját súlyát is figyelembe kell venni, mint terhelést, akkor az anyag sűrűségét is. A BEAM2D elemek a lineáris statikai vizsgálatokon kívül alkalmasak az egyes rudak kihajlásának vizsgálatára, valamint végezhetők velük hőtani számítások is hasonlóan a TRUSS2D elemekhez. Ehhez azonban további állandók, illetve anyagjellemzők megadása szükséges. 6.2.2.

A nyírásból származó alakváltozás figyelembevétele

A klasszikus mechanikában a hajlított tartók deformációjának számításánál a nyírás okozta deformációkat általában elhanyagoljuk. A végeselem modellezés során a pontosabb eredmények elérésének érdekében lehetőség van ennek figyelembevételére. © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

90

Végeselem-módszer

A nyírás által okozott alakváltozást a szilárdságtanban a belső erők munkájából vezettük le. A nyíróerők munkája a síkbeli rúdelemen:

V 2S2 Wint   2 2 dxdydz GI b Az összefüggésből kiemelve a keresztmetszet alakjától és méreteitől függő részt és megszorozva a keresztmetszeti területtel kapjuk a nyírási alaktényezőt:

fs 

A  S2   dA I 2 A  b 2 

Az állandó keresztmetszetű rúdelem esetében ennek felhasználásával a nyíróerők munkája:

Wint  f s  l

V2 dx GA

Ezt a rúdelem alakjától függő tényezőt, illetve ennek reciprokát használjuk a végeselemes megoldáson alapuló programrendszerekben. A 6.2 ábrán néhány gyakran használt szelvényre e tényező értékeit foglaltuk össze. A keresztmetszet

fs

Az általunk használt Shear factor

6/5=1,2

5/6=0,833

10/9=1,11

9/10=0,9

2

0,5

Derékszögű négyszög

Kör

Vékonyfalú cső

6.2. ábra. Szelvények Sf. tényezője www.tankonyvtar.hu



91

A műszaki gyakorlatban gyakran alkalmazott olyan szelvényeknél, ahol az alapvetően húzásnyomásnak kitett övek és az alapvetően nyírt gerincek jól elkülöníthetők (6.3. ábra), e tényező közelítő értékeként alkalmazhatjuk a következő összefüggést: A keresztmetszet

Gerinc

Öv

fs


A/Agerinc

Agerinc/A

6.3. ábra. Az Sf tényező egyszerűsített meghatározása

6.3.

Feladat megoldás

A végeselem feladatok megoldása során a következő eljárást követjük: – feladat elemzése, – geometria létrehozása a végeselem háló generálásához, – a végeselemek tulajdonságainak meghatározása (elemtípus, fizikai tulajdonságok, anyagjellemzők), – peremfeltételek, terhelések meghatározása, – a számítások lefuttatása, – a kapott eredmények értékelése. A 6.4 ábrán látható nyitott keretszerkezetet a jelölt pontban 10 kN nagyságú, a tartó síkjába eső erő terheli. A rudak NSz100x100x4 keresztmetszetű hidegen hajlított acél négyszögszelvények. Meghatározandók a reakcióerők, valamint a rudakban keletkező feszültség nagysága, a tartó lehajlása, a nyomatéki és nyíróerő ábrák.

6.4. ábra. A vizsgálandó keretszerkezet

A végeselem programok általában beépített 3D geometriai modellezőt, grafikus pre- és postprocessort tartalmaznak. Így lehetőség van arra, hogy a geometriai modellt a program saját modellezőjében (6.5. ábra) készítsük el.


www.tankonyvtar.hu

92

Végeselem-módszer

6.5. ábra. A végeselem program saját geometriai modellezője

Ezek a beépített geometriai modellezők nem mindig nyújtják azt a kényelmet, amit a korszerű rajzszerkesztő és parametrikus modellező rendszerek. Mivel nagyon gyakran már meglévő modellek alapján kell a modellezést elvégezni, azért hatékony és kényelmes megoldás lehet az adatcsere más CAD rendszerekkel valamilyen elérhető, szabványos rajzcsere formátumban például: SAT, IGS, DXF stb. (6.6. ábra).

6.6. ábra. Geometria importálása más CAD rendszerekből www.tankonyvtar.hu



93

Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a geometriai modell jelen esetben csak a végeselem háló létrehozását segíti, a műszaki ábrázolás szabályaihoz és gyakran a szerkezet valóságos megjelenéséhez nincsen köze. Ebben a feladatban is igaz ez, hiszen a 100 mm-es négyszögszelvények csak, mint a 6.4 ábrán bemutatott vonalak jelennek meg. Ez pedig azt jelenti, hogy a már kész elektronikus formátumú műszaki dokumentációk a végeselem modellezés előtt alapos átalakításra, szükség szerint egyszerűsítésre vagy kiegészítésre szorulnak. Látható ez a 6.7 ábrán, ami az importált geometriai modellt mutatja.

6.7. ábra. Az importált geometriai modell

Látható az is, hogy az elemek az X-Y síkban fekszenek. A következő lépés az elemtulajdonságok meghatározása (6.8 ábra)


www.tankonyvtar.hu

94

Végeselem-módszer

6.8. ábra. Elemcsoport meghatározása

A fejezet elején tisztáztuk, hogy BEAM2D elemeket használunk (6.9 ábra).

6.9. ábra. BEAM2D elemek kiválasztása és tulajdonságaik meghatározása

Következő feladat az elemek fizikai tulajdonságainak meghatározása, hiszen egyetlen vonallal a négyszögszelvények térbeli kiterjedése nem modellezhető (6.10. ábra).

www.tankonyvtar.hu



95


Az előzőekben leírtak szerint a BEAM2D elemekhez az elem keresztmetszeti területét, a z tengelyre számított másodrendű nyomatékát, a szelvény magasságát és a nyírási deformáció figyelembevételéhez a keresztmetszet alakjára jellemző tényezőt (Shear factor) kell megadni (6.11. ábra). Ne felejtsük el, hogy ragaszkodnunk kell egy adott mértékegység-rendszerhez, így a hosszméreteket az SI szerinti m-ben, a keresztmetszeti területet m2-ben, illetve a másodrendű nyomatékot m4-ben kell megadni.

6.11. ábra. A fizikai tulajdonságokhoz rendelt elemcsoport kiválasztása

Magyarázatot igényel a negyedik és ötödik fizikai tulajdonság (End-release code). A BEAM elemek kapcsolódó csomópontjaikban merev kapcsolatot feltételezünk, azaz a közös csomópontban kapcsolódó elemek mind a hat szabadságfoka egymáshoz kötött. Szükség lehet azonban arra, hogy ezekben a közös csomópontokban valamely szabadságfokuk szerint egymástól függetlenek legyenek. Így modellezhetünk például köteleket, vagy valamilyen kulisszával egymáshoz kapcsolt rudakat. Az End-release code valójában egy hat digites logikai változó. A digitek a hat elmozdulási és a hat elfordulási szabadságfokot jelképezik, a koordináta-rendszer tengelyeinek sorrendjében, értékük 0, ha a szabadságfokok kötöttek és 1, ha szabadok. Így például a 000001 kód a z tengely körüli elfordulást megengedi az elemek kapcsolódó csomópontjaiban. Az 1-es és 2-es sorszám az elemek elejét és végét jelenti a 6.1. ábrán bemutatott értelmezés szerint. A hetedik és nyolcadik fizikai tulajdonság csak hőtechnikai, vizsgálatokhoz szükséges, így most ezekkel nem foglalkozunk. Természetesen itt is lehetőség lenne többféle tulajdonságú BEAM elem alkalmazására, amiket több sorszámozott fizikai tulajdonsággal írhatnánk le. Hátra van még az elemek anyagtulajdonságainak megadása (6.12. ábra).


www.tankonyvtar.hu

96

Végeselem-módszer

6.12. ábra. Az anyagtulajdonságok meghatározása

A lineáris statikai vizsgálatokhoz elegendő megadni az anyag rugalmassági modulusát és a Poisson tényező értékét, ami a feladat alapján acél anyagokra a 6.13. és 6.14. ábrák szerinti.

6.13. ábra. A rugalmassági modulus megadása

6.14. ábra. A Poison tényező megadása

Ahogy a fizikai tulajdonságok leírásánál megjegyeztük, hogy a végeselem modellben többféle keresztmetszetű rudat használhatunk, úgy igaz ez az anyagtulajdonságokra is. Szükség esetén a modellben többféle anyagú rudat definiálhatunk. A hálózási tulajdonságok megadása után következhet a végeselem háló generálása, amire a programok többféle megoldást is kínálnak (6.15. ábra). A feladat megoldása során mi az automatikus hálózást választjuk. Az elemek méretét az eredmények megkívánt pontossága, a rendelkezésre álló számítógép tulajdonságai és az elemzésre fordítható idő és erőforrások határozzák meg. A feladat megoldása során az átlagos elemméretet 0,1 m-re választjuk.

www.tankonyvtar.hu



97

6.15. ábra. Végeselem háló generálása

A létrejött végeselem hálót, a sorszámozott csomópontokkal mutatja a 6.16. ábra.

6.16. ábra. A végeselem háló

A modellen látható, hogy a három rúd közös pontjában mindhárom rúdvégen létrejött egyegy, egymástól független csomópont. Mivel a végeselem háló geometriai objektumonként külön-külön jön létre, szükség van az egyes rúdvégeken lévő csomópontok összekapcsolására (6.17. ábra).


www.tankonyvtar.hu

98

Végeselem-módszer


Következő lépésben a peremfeltételek definiálása következik, ami jelen esetben a két megtámasztás megadását, mint 0 elmozdulási kényszert jelenti (6.18. ábra). A kényszer megadásakor a tartó mindkét megtámasztásában x és y irányú megfogást alkalmazunk, a z tengely körüli elfordulást megengedjük.

6.18. ábra. Elmozdulási kényszerek

Végül meg kell adni a terheléseket, ami a vázlat szerinti 5 kN-os koncentrált erőt jelent (6.19. ábra). A terhelés megadásakor ne feledkezzünk meg arról, hogy az erők irányát a globális koordináta-rendszerben kell megadni, azaz a lefelé mutató terhelések negatív előjellel szerepelnek.

6.19. ábra. Koncentrált erő definiálása

Az elkészült végeselem modellt mutatja be a 6.20. ábra.

www.tankonyvtar.hu



99

6.20. ábra. Az elkészült végeselem modell

Az elkészült a végeselem modellen lineáris statikai számítást futtatunk (6.21. ábra).


A sikeres futtatás után következhet az eredmények megjelenítése és értékelése. A rudakban keletkező feszültségek megjelenítése (6.22. ábra) többféleképpen is történhet. A TRUSS elemekhez hasonlóan a BEAM elemek esetében is a feszültségadatok csak az elemen és csak annak koordináta-rendszerében értelmezhetőek.

6.22. ábra. Feszültségek megjelenítése © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

100

Végeselem-módszer

A kapott eredményeket mutatja a 6.23. ábra. A deformáció természetesen nem valós, azt a program egy meghatározott nagyítással ábrázolja, hogy a terhelés hatására végbemenő folyamatok felismerhetőek legyenek. Figyeljük meg, hogy a rudak az igénybevételek hatására meggörbültek, ami a hajlításnak köszönhető.

6.23. ábra. A megjelenített feszültségek deformált alakon

Lehetőség van az elemekben keletkező feszültségek komponensenként történő megjelenítésére. A megjelenítési beállításokat és a kapott eredményeket a 6.24. ábra mutatja. A szilárdságtanban tanultaknak megfelelően a negatív eredmények a nyomófeszültségre utalnak.

6.24. ábra. Feszültség komponensek vizsgálata www.tankonyvtar.hu



101

Következő lépésben a tartó lehajlását, azaz y irányú elmozdulásait vizsgáljuk (6.25. ábra).

6.25. ábra. A lehajlás vizsgálat

A kapott eredményeket a 6.26. ábrán találjuk. A negatív számok az y tengely irányával ellentétes, lefelé történő elmozdulást jelentik, értékük pedig megfelel az általunk választott mértékegység rendszernek, azaz jelen esetben m-ben értendők.

6.26. ábra. Deformációk vizsgálata

A BEAM elemek esetében lehetőség van a nyomatéki és nyíróerő ábrák megjelenítésére is (6.27. ábra).


www.tankonyvtar.hu

102

Végeselem-módszer

6.27. ábra. Nyomatéki ábra megjelenítése

A hajlítónyomatéki ábrát 6.28. ábra mutatja. A statikában általában a rúd húzott szálára rajzoljuk a hajlítónyomatéki ábrát. A végeselemes megoldáson alapuló programrendszerek esetében ez nem minden esetben teljesül. A nyomatéki ábra ugyan léptékhelyes, de számszerű adatok leolvasására nem ad lehetőséget. Mégis jól használható, különösen a kis igénybevételű helyek meghatározásához, amire például hosszú, egyetlen szelvényből nem gyártható rudak esetében lehet szükség a toldás helyének kijelölésekor.

6.28. ábra. Hajlítónyomatéki ábra

Lehetőség van a támaszokban keletkező reakcióerők és nyomatékok számszerű megjelenítésére. Erre mutat példát a reakcióerők meghatározásával és a kapott eredmények bemutatásával a 6.29. ábra.

www.tankonyvtar.hu



103

6.29. ábra. A támaszokban keletkező reakcióerők

Az elemekben keletkező erő- és nyomaték komponensek számszerű megjelenítése található a 6. 30. ábrán.

6.30. ábra. Az elemekben keletkező erő- és nyomaték komponensek

A csomópontokban átadódó erők és nyomatékok megjelenítését és a kapott eredményeket a 6. 31. ábra mutatja.


www.tankonyvtar.hu

104

Végeselem-módszer

6.31. ábra. A csomópontokon átadódó erők és nyomatékok

Az elemekben keletkező feszültségkomponensek megjelenítését mutatja a 6.32. ábra.

6.32. ábra. Az elemekben keletkező feszültségek

A számszerű eredményeket megjelenítő táblázatok hiányosnak tűnhetnek, több komponens értéke 0. Ennek magyarázata, hogy a BEAM2D elemek esetében a tartó síkjára merőleges nyíróerő és a tartó síkjába eső hajlítónyomaték nem jöhet létre, illetve esetünkben csavarónyomaték nem terhelte a tartót, a külső erők pedig nem okozhatták az elemek elcsavarodását. 6.4.

Megjegyzések

A feladat megoldása során nem foglalkoztunk a nyomott rudak kihajlásával. Egy valós feladat esetén ezt vagy végeselemes megoldással, vagy a nyomóerők ismeretében a klasszikus rúdelméletben tanultak alapján ellenőrizni kellene. A feladat megoldása során az önsúlyból származó igénybevételt elhanyagoltuk. www.tankonyvtar.hu



105

Az előző két probléma megoldására a tananyag BEAM elemekkel foglalkozó további fejezeteiben adunk megoldást. Továbbá, nem vizsgáltuk és ezzel a modellel nem is vizsgálhatnánk az egyes elemek kapcsolatait. A kapcsolatok kialakításával, viselkedésével és méretezésével a szerkezettervezés külön fejezetei foglalkoznak. Ehhez a feladathoz hasonló feladatban a statikailag határozatlan szerkezetben a reakcióerők meghatározását találjuk meg Muttnyánszky Ádám, Szilárdságtan című könyvének 11.13. példájában. A feladat hagyományos módszerekkel történő megoldása sok tanulsággal szolgál.


www.tankonyvtar.hu

7. A POTENCIÁLIS ENERGIA MINIMUM ELVÉNEK ALKALMAZÁSA TÉRBELI HAJLÍTOTT RÚDELEMRE, RITZMÓDSZER ÉS VÉGESELEM MÓDSZER ALKALMAZÁSA Térbeli rúdelem variációs feladata

7.1.

A tananyag 5. fejezetében síkbeli húzott-hajlított rúdelemek vizsgálatával foglalkoztunk. Ezen elemek csomópontjainak három-három szabadságfoka volt, a síkban történő kétirányú elmozdulás és a síkban történő szögelfordulás. Ebben a fejezetben az ott leírtakat kibővítve háromdimenziós rúdelemeket vizsgálunk. Az elem elhelyezkedését a lokális koordináta-rendszerben, valamint az alkalmazott jelöléseket a 7.1 ábra mutatja.

7.1 ábra Az elem elhelyezkedése a lokális koordináta-rendszerben

Az ábrán is látható, hogy a csomópontok szabadságfoka kibővül az x-z síkban történő elmozdulással, az x-z síkban történő szögelfordulással és új elemként az x tengely körüli szögelfordulással, azaz elcsavarodással. A korábbiakat kiegészítve, a rúd elcsavarodása és a csavaró nyomaték között lineáris a kapcsolat, így a csavaró nyomaték munkája:

W



1 M t 2

MtL IpG

(7.1)

(7.2)

így:

W

1 M 2t L 2G I p

(7.3)

Az előző fejezetben láttuk, hogy a végeselem módszer alapegyenlete a következő lineáris egyenletrendszer:

www.tankonyvtar.hu


7. A potenciális energia minimum elvének alkalmazása

Ku  F

107

(7.4)

amely jelen esetben a két csomópontú, 12 szabadságfokú elemre:  k1,1 k  2,1  .   .  .   .  .   .  .   .   . k12,1.

k1, 2

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

k1,12   u1   FN 1  .   v1   FT 1      .   w1   FS 1       .   1   M Z 1  .    1   M Y1       .  1   M X 1    .   u 2   FN 2       .   v2   FT 2  .   w2   FS 2       .   2   M Z 2       .   2   M Y 2  k12,12   2   M X 2 

(7.5)

A tananyag 3. fejezetében látottakhoz hasonlóan az elem deformációját interpolációs függvényekkel írjuk le. Egy pont elmozdulásának koordinátái ily módon: 12

u x ( x )    xk ( x )u k

(7.6)

1

12

u y ( x )    yk ( x )u k

(7.7)

1

12

u z ( x )    zk ( x )u k

(7.8)

1

A  xk ,  yk ,  zk interpolációs függvények kielégítik a peremfeltételeket (x=0 esetén értékük 1, x=L esetén pedig 0), továbbá x szerint deriválhatók. A Bernoulli hipotézisnek megfelelő rúdelem esetében a rúd x tengely irányú elmozdulásait (megnyúlás) és x tengelye körüli elcsavarodását lineáris interpolációs függvényekkel közelíthetjük:

 x1   x 4  1   x 7   x10 

x L

x L


(7.9)

(7.10)

www.tankonyvtar.hu

108

Végeselem-módszer

 x 2   x3   x 4   x5   x6   x8   x9   x11   x12  0

(7.11)

Az elem x-y és x-z síkban történő hajlításának közelítésére pedig harmadfokú interpolációs függvényeket alkalmazunk:

x  L

2

x L

3

 y 2   z 3  1  3   2 

 y6  z5

 x  x  2  x 3     3      L l  L   L   

 y8   z 9

x x  3   2   L  L

2

(7.12)

(7.13)

3

(7.14)

  x  2  x 3   y12   z11          L  L L   

(7.15)

 y1   y 4   y 5   y 7   y 9   y10   y11   z1   y 2   y 4   y 6   y 7   y8   y10   y12  0

(7.16)

Ezek a függvények előállíthatók egy Bernoulli hipotézisnek megfelelő, végpontjain koncentrált erővel és koncentrált nyomatékkal terhelt rúd elmozdulásainak analitikus megoldásával. A teljes potenciális energia (az alakváltozási energia és a külső erők munkájának különbsége) a szilárd test egyensúlyi helyzetében minimális, vagyis első variációja zérus:   (U  L)  0 . Ebből következik, hogy e tétel alkalmazása az alakváltozási energia változásának vizsgálatán alapul, következésképpen az egyes terhelési esetekhez tartozó alakváltozási energia kifejezések felírása indokolt. Hosszirányú alakváltozások (megnyúlás) esetén az alakváltozás:

x 

12 u x 12     xk ( x)  u k   ' xk ( x)  u k x 1 x k 1

(7.17)

Így állandó keresztmetszetű rúd esetén a potenciális energia: 2

1 1  12  U   EA x2 dx   EA  ' xk ( x)  u ( x)  dx 2 x0 2 x0  k 1  L

L

(7.18)

Az elem merevségi mátrixának ij-edik kij eleme a k=1 és k=7 esetre: 2

  1  12  kij  EA  ' xk ( x)  u k  dx   EA ' xi ( x) ' xj ( x) dx  ui u j 2 x0  k 1  x 0 L

www.tankonyvtar.hu

L

(7.19)



109

Az x tengely körüli csavarás esetén az alakváltozás:

x 

12 u x 12     xk ( x)  u k   ' xk ( x)  u k x 1 x k 1

(7.20)


1 1  12  U   GI p x2 dx   GI p   ' xk ( x)  u ( x)  dx 2 x 0 2 x 0  k 1  L

L

(7.21)

Az elem merevségi mátrixának ij-edik kij eleme a k=4 és k=10 esetre: 2

  1  12  kij  GI p   ' xk ( x)  u k  dx   GI p ' xi ( x) ' xj ( x) dx  ui u j 2 x0  k 1  x 0 L

L

(7.22)

A rúdelem hajlítása esetén a potenciális energia a szögelfordulás függvénye (a nyírás által okozott alakváltozást a Bernoulli elmélet alapján elhanyagoljuk) Az x-y síkban történő hajlítás esetén:

z 

 2u y x 2

12 2  ( x )  u   " yk ( x)  u k  yk k 2 k 1 x k 1 12



(7.23)


1 1  12  2 EI  dx  EI z z z   " yk ( x)  u ( x)  dx   2 x 0 2 x 0  k 1  L

U

L

(7.24)

Az elem merevségi mátrixának ij-edik kij eleme a k=2, k=6, k=8, és k=12 esetre: 2

  1  12  kij  EI z   " yk ( x)  u k  dx   EI z " yi ( x) " yj ( x) dx  ui u j 2 x0  k 1  x 0 L

L

(7.25)

Könnyű belátni, hogy a rúdelem x-z síkban történő hajlítása a fentiektől csak abban különbözik, hogy a rúdelem keresztmetszetének z tengelyre számított másodrendű nyomatéka (Iz) helyett az y tengelyre számított Iy-nal kell számolni. Így az elem merevségi mátrixának idik, j-dik kij eleme a k=3, k=5, k=9 és k=11 esetre: 2

  1  12  kij  EI y   " zk ( x)  u k  dx   EI y " zi ( x) " zj ( x) dx  ui u j 2 x0  k 1  x 0 L

L

(7.26)

Ezzel az elem merevségi mátrixa:


www.tankonyvtar.hu

110

Végeselem-módszer

 AE  L   0    0    0   0    0 Ke    AE  L   0    0   0    0    0 

0

0

0

0

0

12 EI z

0

0

0

6 EI z

3

L

0

12 EI y L

0 0

GI p

0 

6 EI z

L

6 EI y

0

2

L



L

6 EI y

0

2

L 0

4 EI y L

12 EI z

0

0

0

0 0

L



0 

6 EI z L2

6 EI y 2

L 0

GI p L 0 0

2

L

0 2 EI y L 0

0

0

0

AE L

0

6 EI y

0

0

0

0

0

L3

6 EI z

0

3

12 EI z

0

0

12 EI y

0

0

0



0

0

0

0



0

0

0



0

0

0

0

L3

AE L

0

4 EI z L

L2



0

3

2







12 EI y

0

3

L



0 6 EI y 2

L

GI p L 0



6 EI y L2 0

2 EI y L

0

0

0

0

0

0

0

0

12 EI z

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6 EI z

6 EI z L2

2 EI z L

L2

L3



L2

12 EI y 3

L

0 GI p

0

L

6 EI y 2

L

0

0 0

6 EI y L2 0 4 EI y L 0

  6 EI z   L2   0    0   0   2 EI z   L  0   6 EI z   2  L   0   0    0   4 EI z  L  0

Az elem merevségét a globális koordináta-rendszerben a 5. fejezetben leírtakhoz hasonlóan egy transzponálási mátrix segítségével állítjuk elő. A transzponálási mátrix jelen esetben 12x12 méretű, a 7.2 ábra szerinti jelölésekkel: cs s 0 0 0 0 0 0 0 0 0  cc   s c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    sc  ss c 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 cc  cs s 0 0 0 0 0 0  0  0 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0  sc ss c 0 0 0 0 0 0  T 0 0 0 0 0 0 cc cs s 0 0 0   0 0 0 0 0  s c 0 0 0 0  0  0 0 0 0 0 0  sc  ss c 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 cc  cs s    0 0 0 0 0 0 0 0 s c 0  0  0 0 0 0 0 0 0 0 0  sc ss c  ahol: c – cos

s - sin Ezzel az elem merevségi mátrixa a globális koordináta rendszerben: 

Ke  T Ke T T

www.tankonyvtar.hu

(7.27)



111

7.2 ábra Az elem elhelyezkedése a globális koordináta-rendszerben

7.2.

Feladatmegoldás végeselem módszerrel

Egy szabadtéri közlekedési út felett elhelyezett információs táblát a 7.3 ábrán bemutatott tartóra helyezünk. A tábla tömege 50 kg. A környezeti hatásokból (szél) a tartó síkjára merőleges 300 N-os erőhatás keletkezik.

y F=500 N 30°

F=300 N

z x 7.3 ábra A vizsgálandó tartó

A végeselem modellt a kisebb számítási igény miatt a 7.4 ábra szerint az x-y síkban hozzuk létre, így a fent leírtak szerint csak a 2. rúd transzformált merevségi mátrixát kell előállítanunk.


www.tankonyvtar.hu

112

Végeselem-módszer

y

F=300 N L

L

60°

z

F=500 N

x 7.4 ábra A vizsgálandó tartó elhelyezése a globális koordináta-rendszerben

A 2. elem merevségi mátrixára bevezetve a következő jelöléseket:

az elem merevségi mátrixa a globális koordináta-rendszerben:

www.tankonyvtar.hu



113

A két elem merevségi mátrixát kombinálva, a közös csomópontban a merevségétékek öszszeadódnak. Így a rendszert leíró, megoldandó egyenletrendszer:

 k111  1  k 21  k1  31  k141  1  k 51  k1  161  k 71  1  k81  k191  1 k101 k1  111 k1121   0  0   0   0  0   0

k112 k113 k114 k115 k116 k117 k118 k119 k1110 k1111 k1112 0 0 0 0 k122 k123 k124 k125 k126 k127 k128 k129 k1210 k1211 k1212 0 0 0 0 k132 k133 k134 k135 k136 k137 k138 k139 k1310 k1311 k1312 0 0 0 0 k142 k143 k144 k145 k146 k147 k148 k149 k1410 k1411 k1412 0 0 0 0 k152 k153 k154 k155 k156 k157 k158 k159 k1510 k1511 k1512 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66 k 67 k 68 k 69 k 610 k 611 k 612 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 k 72 k 73 k 74 k 75 k 76 k 77  k11 k 78  k12 k 79  k13 k 710  k14 k 711  k15 k 712  k16 k17 k18 k19 k110 k182 k183 k184 k185 k186 k187  k 221 k188  k 222 k189  k 223 k1810  k 224 k1811  k 225 k1812  k 226 k 227 k 228 k 229 k 2210 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k192 k193 k194 k195 k196 k197  k 31 k198  k 32 k199  k 33 k1910  k 34 k1911  k 35 k1912  k 36 k 37 k 38 k 39 k 310 k1102 k1103 k1104 k1105 k1106 k1107  k 241 k1108  k 242 k1109  k 243 k11010  k 244 k11011 k 245 k11012  k 246 k 247 k 248 k 249 k 2410 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k1112 k1113 k1114 k1115 k1116 k1117  k 51 k1118  k 52 k1119  k 53 k11110  k 54 k11111 k 55 k11112  k 56 k 57 k 58 k 59 k 510 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k1122 k1123 k1124 k1125 k1126 k1127  k 61 k1128  k 62 k1129  k 63 k11210  k 64 k11211 k 65 k11212  k 66 k 67 k 68 k 69 k 610 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 k 71 k 72 k 73 k 74 k 75 k 76 k 77 k 78 k 79 k 710 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 k81 k82 k83 k84 k85 k 86 k87 k88 k89 k810 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 k 91 k 92 k 93 k 94 k 95 k 96 k 97 k 98 k 99 k 910 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 k101 k102 k103 k104 k105 k106 k107 k108 k109 k1010 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 k111 k112 k113 k114 k115 k116 k117 k118 k119 k1110 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 k121 k122 k123 k124 k125 k126 k127 k128 k129 k1210

0 0 0 0 0 0 2 k111 k 2211 2 k 311 k 2411 2 k 511 2 k 611 2 k 711 2 k811 2 k 911 2 k1011 2 k1111 2 k1211

  0   FRx         0   FRy   0 F      Rz    0   M Rx         0   M Ry    0   M Rz       2 k112   u2   0   k 2212   v 2   0  2  w   0  k 312 2      k 2412   2   0  2     0  k 512   2   2   2   0  k 612   2  u  k 712   3  - 500 2  v   0  k812 3      2 k 912   w 3  - 300     0  2 k1012  3    2   3   0  k1112      2 k1212  3   0  0 0 0 0 0 0

(7.28)

Az egyenletrendszer megoldása során a megfogás 0 elmozdulási helyeit kihagyhatjuk, azaz a merevségi mátrix e helyekhez tartozó sorait és oszlopait törölhetjük. Esetünkben ez az első hat sor és oszlop. Így kapjuk az un. kondenzált merevségi mátrixot, és a megoldandó egyenletrendszert. Az adatokat behelyettesítve, az egyenletrendszert megoldva kapjuk az elmozdulásvektort:


www.tankonyvtar.hu

114

Végeselem-módszer

 u 2  - 0.0000040933278755628325829 v     2   0.0069897483690587138863   w2   0.008647570933808134537       2   - 0.0045399747402492706319    2   - 0.0057650472892054230247       2   0.003994141925176407935  U   m u3 - 0.019975826285726493216       v3   0.028770303554786313407       w3   0.020175893049255852386   3   - 0.0062694889270108975393        3   - 0.008647570933808134537     0.0049926774064705099188    3 

(7.29)

Az eredmények ismeretében a reakcióerők számíthatók a teljes rendszer egyenletrendszerének a reakcióerőkhöz tartozó egyenleteiből, ami jelen esetben az első hat sor:

1 FRx  k17  u 2  500.000000000000000001235 N

(7.30)

1 1 FRy  k 28  v2  k 212   2  1.5301999986150468986847e - 17 N

(7.31)

1 1 FRz  k39  w2  k311   2  -300.00000000000000001297 N

(7.32)

1 M Rx  k 410   2  779.42286340599478208459 Nm

(7.33)

1 1 M Ry  k 59  w2  k511   2  1299.0381056766579701327 Nm

(7.34)

1 1 M Rz  k 68  v2  k 612  2  -1350.000000000000000013 Nm

(7.35)

7.3.

Megjegyzések

Nem foglalkoztunk a fejezetben a nem kör vagy körgyűrű szelvényekkel. Az ilyen szelvények bizonyos keresztmetszeti tulajdonságai csak közelítő eljárásokkal határozhatók meg. A poláris másodrendű nyomaték meghatározására ilyen módszer a vékonyfalu, zárt szelvények esetében a Bredt formula, nyitott, vékonyfalú szelvények esetében pedig a Weber közelítő eljárás. Szintén nem foglalkoztunk aszimmetrikus szelvényekkel, amilyen pl: a hajlított és hengerelt U szelvény. Ezen szelvények esetében a nyírási középpont és a súlypont nem esik egybe, a súlyvonal fölötti terhelés esetén a szelvények járulékos csavarásnak is ki vannak téve. Elhanyagoltuk továbbá a hajlított tartókban a nyírásból származó alakváltozásokat is azzal, hogy feltételeztük a Bernoulli elméletnek megfelelő rudat. A végeselem alapú programrendszerek mindhárom problémát képesek kezelni a szelvény geometriai tulajdonságainak pontosabb vagy egyszerűsített megadása révén.

www.tankonyvtar.hu


8. TÉRBELI HAJLÍTOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL 8.1.

Térbeli rúdszerkezetek

A 6. fejezetben tárgyalt síkbeli, hajlított rudakból álló tartószerkezetek elemeinek alakváltozásai csak a tartó síkjában jöhetnek létre. A gyakorlati életben sok olyan esettel találkozhatunk, ahol e feltételek teljesülésével alkotott síkbeli modell nem ad megfelelő pontosságot, a feladat térbeli modell megfogalmazását igényli. Ilyen esetek lehetnek: – a síkbeli, de aszimmetrikus szelvényekből álló rúdszerkezetek, – a síkbeli, de a tartó síkjára merőlegesen terhelt rúdszerkezetek, – térbeli kiterjedésű, tetszőlegesen terhelt rúdszerkezetek. A tananyag e fejezete ezekkel a tartószerkezetekkel foglalkozik. A nyomott rudak stabilitásvesztésével a 9-10. fejezetekben foglalkozunk. A rúdszerkezetek nyomott övében végbemenő horpadás, illetve a gerincek nyírási horpadása külön vizsgálatot, illetve számítást igényel, amivel e tananyag terjedelmi okokból nem foglalkozhat. A korábbi rúdszerkezetekkel foglalkozó fejezetekben feltett kérdéseket tovább bővítve választ keresünk: – a kényszerekben keletkező reakcióerők nagyságára és irányára, – az egyes rudakban keletkező húzó-nyomó és nyíróerők, valamint a hajlító és a csavaró nyomaték és ezek komponenseinek nagyságára és irányára, – az erők hatására a rudak egyes pontjaiban keletkező feszültségi állapotot jellemző  és τ feszültségek komponenseinek nagyságára, – a szerkezet egyes pontjaiban keletkező elmozdulásokra, illetve az egyes rudak deformációjára. A korábbi fejezetben leírtakhoz hasonlóan jelen esetben is további vizsgálatok tárgyát képezheti a szerkezet stabilitása és dinamikai viselkedése is: sajátfrekvencia meghatározása és a nyomott rudak kihajlásának elemzése, amivel a későbbiekben foglalkozunk. Az előző fejezetekben foglalkoztunk a rácsos tartók külső és belső statikai határozatlanságával. Látni fogjuk, hogy az ott leírtakhoz hasonlóan a térbeli hajlított rúdszerkezetekre vonatkozó feladatok végeselem-módszeren alapuló megoldása során is lényegtelen, hogy a szerkezet statikailag határozatlan, ez a megoldás menetét nem befolyásolja. 8.2.

A modellezés során alkalmazott végeselemek

A 4. fejezetben tisztáztuk, hogy a rúdszerkezetek modellezésére a végeselem programrendszerekben általában kétféle elemtípus áll rendelkezésünkre, a csak húzó-nyomó igénybevételek vizsgálatára alkalmas TRUSS elemek és a nyíró, hajlító, illetve csavaró igénybevételek vizsgálatára is alkalmas BEAM elemek, amelyek mindkét típusából a kettő-, illetve háromdimenziós feladatok megoldásához külön-külön elemtípus tartozik. A végeselem mind a négy esetben kétdimenziós kiterjedésű, azaz egyetlen vonallal jellemezhető. A TRUSS és a BEAM2D elemek tulajdonságait a korábbi fejezetekben már tárgyaltuk.


www.tankonyvtar.hu

116

8.2.1.

Végeselem-módszer

A BEAM3D elemek tulajdonságai

A BEAM2D elemek tulajdonságaival a 6 fejezetben már foglalkoztunk. A térbeli feszültségi állapottal jellemezhető BEAM3D elemek általában a térbeli rúdszerkezetek, a saját síkjukra merőlegesen terhelt síkbeli rúdszerkezetek és azok a síkbeli rúdszerkezetek, amelyek esetében a terhelés ugyan saját síkjukban keletkezik, de a keresztmetszet tulajdonságai, aszimetriája vagy antiszimmetriája miatt elmozdulásaik térbeliek. A BEAM3D elemek két- vagy három csomópontos egytengelyű elemek, mindkét csomópontjukban hat-hat –három elmozdulási és három elfordulási– szabadságfokkal. Az elem harmadik csomópontja az elemhez kötött koordináta-rendszer y tengelyének irányát jelöli ki. Ezen harmadik csomópont megadása helyett elemtulajdonságként definiálható egy orientációs szög is, aminek funkciója megegyezik a harmadik csomópont megadásával. Mi a feladat megoldása során a három csomópontos megadást választjuk, mivel ez közelebb áll a mérnöki gondolkodáshoz és modellalkotáshoz. Az elemhez kötött koordináta-rendszert a 8.1 ábra mutatja. A koordináta-rendszer x tengelye az elsőtől a második csomópont irányába mutat, az y tengely pedig az elem centrális főtengelyére merőlegesen, a keresztmetszet első (nagyobb értékű) főmásodrendű-nyomatékának irányába mutat, a z tengely pedig az x-y síkra merőlegesen, ezekkel a tengelyekkel jobbsodrású koordináta-rendszert alkot.

Y

3 y 2

x Szelvény magasság

y 1 z

z Szélesség

X Z 8.1. ábra. BEAMD3D elemhez kötött koordináta-rendszer

A lineáris statikai vizsgálatokhoz szükség van az egydimenziós elem és a valóságos, háromdimenziós kiterjedésű rúd között kapcsolatot teremtő állandók megadására, ami a BEAM3D elemek esetében általában a 8.2 ábra szerint: – – – – –

a keresztmetszeti terület, a keresztmetszet y tengelyére számított másodrendű nyomaték, a keresztmetszet z tengelyére számított másodrendű nyomaték, a keresztmetszet legnagyobb magassága, a keresztmetszet legnagyobb szélessége,

www.tankonyvtar.hu


8. Térbeli rúdszerkezetek

– – – – – – – – – –

117

a kapcsolódó elemek csomópontjainak szabadságfokai (összesen két adat), a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka, (lásd még 8.2.2), a nyírás okozta deformációt figyelembe vevő állandó az y tengelyre, (lásd még 8.2.2), a nyírás okozta deformációt figyelembe vevő állandó az z tengelyre, (lásd még 8.2.2), a keresztmetszet orientációs szöge (csak ha nem az elem harmadik csomópontjával definiáljuk, alaktényező a keresztmetszetben a csavarásból keletkező legnagyobb nyírófeszültség számításához, (lásd még 8.2.2), a keresztmetszet súlypontjának és a végeselem csomópontjának x-y-z irányú előjeles távolsága mindkét végponton (összesen hat adat), a keresztmetszet súlypontjának és a keresztmetszet nyírási középpontjának y-z irányú előjeles távolsága mindkét végponton (összesen négy adat), a keresztmetszet súlypontjának és a feszültségszámítás szempontjából mértékadó pontnak az y-z irányú előjeles távolsága (összesen két adat), a keresztmetszet centrifugális másodrendű nyomatéka.

Továbbá, a végeselem programrendszerekben általában lehetőség van a hossz mentén változó keresztmetszetű (szűkülő-tapered), és hőtechnikai számításokhoz használt elemek tulajdonságainak megadására is. Ezekkel a tulajdonságokkal e fejezetben nem foglalkozunk. A programrendszerekben általában megadhatók a mérnöki gyakorlatban gyakran használt keresztmetszetek, mint: –tömör négyszög (pl. laposvas), lyukas négyszög (pl. hidegen hajlított négyszögszelvény), tömör kör (pl. gömbvas), lyukas kör (pl. cső), I, L, T szelvények, trapéz keresztmetszet, stb.– természetes méreteikkel. A korszerű, parametrikus tervező rendszerek a modellek egyszerűsítésére gyakran kínálják lehetőségként, hogy a modellben kihúzással vagy keretgenerátorral előállított, objektumokat BEAM3D elemekké alakítják, ezzel erőforrásokat takarítva meg a modellezéshez. Ebben az esetben a keresztmetszeti adatok megadására nincs szükség, mivel azokat a program a valódi 3D modell méretei alapján generálja.

8.2. ábra. BEAM3D elemek tulajdonságai © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

118

Végeselem-módszer

A modellalkotáshoz szükségünk lesz még a rúd anyagának jellemzőire. Ebben az esetben is elegendő megadni az anyag rugalmassági modulusát és a Poison tényezőt, illetve ha a számítások során a szerkezet saját súlyát is figyelembe kell venni, mint terhelést, akkor az anyag sűrűségét is. A BEAM3D elemek a lineáris statikai vizsgálatokon kívül alkalmasak az egyes rudak kihajlásának vizsgálatára, valamint végezhetők velük hőtani számítások is hasonlóan a TRUSS, illetve a BEAM2D elemekhez, ehhez azonban további állandók, illetve anyagjellemzők megadása szükséges. A BEAM3D elemek esetében a kapott eredmények is magyarázatra szorulnak. A nyíróerők és hajlítónyomatékok értelmezéséhez nyújt segítséget a 8.3. ábra. Ms2

Ms1

Vs2

2 Fr2

Vs1

y

Tr2

1 Fr1

x

Vt2

Tr1 Mt2

Vt1

z Mt1

8.3. ábra. Erők és nyomatékok a BEAM3D elemeken

8.2.2.

A BEAM3D elem speciális tulajdonságai

Nagyságrendi okok miatt a deformációk számításánál a hajlítással párosult nyírás esetében a nyírást általában elhanyagoljuk. A tananyag 6. fejezetének 6.2.2 pontjában bemutattuk, hogy a végeselem modellezés során hogyan lehet ezt figyelembe venni. Szintén abban a fejezetben megadtuk néhány gyakran használt keresztmetszet ezzel összefüggő tulajdonságait. Foglalkoztunk a nyírási alakváltozást figyelembe vevő tényező egyszerűsített meghatározásával a 8.4 ábrán megadott összefüggéssel. Ezt az elvet ebben a fejezetben is fel fogjuk használni. A keresztmetszet

Gerinc

Öv

fs


A/Agerinc

Agerinc/A

8.4. ábra. Az Sf tényező egyszerűsített meghatározása www.tankonyvtar.hu



119

Mivel a csavarásból származó feszültségek sem egyenletesen oszlanak meg a keresztmetszetben, ezért számításainkhoz szükség lesz még a csavarásból származó legnagyobb τ feszültség meghatározásához egy alaktényező (Ctor) megadására. Kör, illetve vékonyfalú körgyűrű keresztmetszet esetén a legnagyobb τ feszültség a kerület mentén keletkezik, így:

T r IP

 max 

Nem kör keresztmetszetű rudak csavarásakor a síkok nem maradnak síkok (vetemednek), az egyenes oldalélek is deformálódnak. A rúd deformációja és a keletkező legnagyobb τ feszültség nagysága és elhelyezkedése alapvetően a keresztmetszet alakjától függ. A rugalmasságtanban megismert egzakt számítási eljárások ezekre az esetekre nem állnak rendelkezésre, így csak közelítő összefüggéseket használhatunk. Ilyen például Constantin Weber közelítő módszere, ahol:

T T C tor  IW KW

 max 

ahol: IW: a Weber-féle poláris másodrendű nyomaték, KW: a Weber-féle poláris keresztmetszeti tényező, Ctor: az alaktényező.

Kör keresztmetszet esetén természetesen IW=IP, KW=KP és Ctor=r. Olyan nyitott keresztmetszeteknél (8.5 ábra) ahol h>>v, alkalmazhatjuk a részekre bontást és így:

IW  

KW 

 (v h ) 3 i

i

3

i

,

IW v max

C tor  v max


www.tankonyvtar.hu

120

Végeselem-módszer

v1

h1

v2

h3

v3

h2 8.5. ábra. Nyitott keresztmetszetek részekre bontása

Az η a részekre bontás hibáját korrigáló tényező, értékét néhány keresztmetszetre a 8.6. ábra tartalmazza.

Szelvény alakja η

0,99

1,15

1,15

1,17

1,20

1,31

8.6. ábra. Az η tényező értéke néhány keresztmetszetre

www.tankonyvtar.hu



8.3.

121

Feladat megoldás

Mintafeladatként tekintsük a 8.7 ábrán látható, szabványos U120 szelvényekből készült keretszerkezetet, ami egy kezelőjárda elhelyezésére szolgáló, falra szerelhető konzol. A kezelőjárdák hasznos terhéből az egy konzolra jutó mértékadó terhelés 5000 N, ami egyenletesen megoszlik a konzol felső élén. A kezelőjárdán történő mozgásból a járda irányába eső, vízszintes erők is keletkeznek. Ezeket a hasznos teher 6%-ával, a keretszerkezet felső élén egyenletesen megoszló terhelésként vesszük figyelembe. A tartó megfogása csavarkötéssel történik, a függőleges oszlop mindkét végétől 100-100 mm távolságra. Meghatározandók a reakcióerők, valamint a rudakban keletkező feszültségek nagysága, a tartó lehajlása, továbbá a nyomatéki és nyíróerő ábrák.

5000 N 300 N

8.7. ábra. A vizsgálandó keretszerkezet

A feladat megoldása során most is a következő eljárást követjük: – feladat elemzése, – geometria létrehozása a végeselemháló generálásához,


www.tankonyvtar.hu

122

Végeselem-módszer

– a végeselemek tulajdonságainak meghatározása (elemtípus, fizikai tulajdonságok, anyagjellemzők), – peremfeltételek, terhelések meghatározása, – a számítások lefuttatása, – a kapott eredmények értékelése. A keretszerkezetben felhasznált U120 melegen hengerelt idomacél keresztmetszeti tulajdonságait és a 8.8 ábrán bemutatott geometriai méreteit szabványok határozzák meg. Ezek az adatok műszaki táblázatokban, illetve tervezési segédletekben megtalálhatók.

8.8. ábra. A felhasznált szelvény geometriai méretei

A BEAM3D elem tulajdonságainak megadásakor szükségünk lesz olyan adatokra, melyek a táblázatokban nem szerepelnek. Elsőként határozzuk meg az elem z és y tengelyére számított nyírási alaktényezőt. A számításhoz a tananyag 6.2.2 pontjában bemutatott, a 8.4 ábrán látható egyszerűsített számítást használjuk. Ennek az egyszerűsített számításnak az alapja az, hogy az Sf tényező közelítő értéke úgy számítható, hogy a keresztmetszet alapvetően nyírásnak kitett részeinek (a 6.2.2 fejezet szerint a keresztmetszet gerince) területét elosztjuk a szelvény teljes területével. A szilárdságtan foglalkozik hajlított tartókban keletkező nyírófeszültségek keresztmetszeten belüli eloszlásával. A Zsuravszkij-féle összefüggés alapján a szelvény adott pontjában keletkező nyírófeszültség: F S'  T x ahol: FT a nyíróerő, sI x Sx’ a szelvény adott pontjától kifelé eső terület statikai nyomatéka a szelvény x tengelyére, www.tankonyvtar.hu



Ix s

123

a szelvény x tengelyre számított másodrendű nyomatéka, a szelvény szélessége az adott pontban.

A feszültségeloszlás természetesen függ a szelvény és a nyíróerő relatív helyzetétől, így az elem z és y tengelyére külön-külön kell meghatározni. Ennek alapján az általunk használt U120 szelvényben keletkező nyírófeszültségek eloszlását ismerjük, ezt szemlélteti a 8.9 ábra.

8.9. ábra. Nyírófeszültségek eloszlása az U szelvényben

Az ábrából megállapítható, hogy a szelvénynek mely részei a nyírásnak leginkább kitettek. Ezek területét szerkesztéssel meghatározhatjuk, majd, ezek alapján számíthatók az alaktényezők:

Sfz 

A nyírt z

Sfy 

A nyírt y

A

A



6,69  0,39 17



8,59  0,51 17

Továbbá szükség lesz a csavarási keresztmetszeti tényezőre, amit a korábbiakban bemutatott Weber módszerrel a szelvény 8.5 ábra szerint részekre bontásával határozunk meg.

IW  

 (v h ) 3 i i

i

3

 1,2

0,73  12  2  0,93  4,8  3,09 cm 4 3

A csavarásból származó legnagyobb τ feszültség meghatározásához pedig Weber összefüggései alapján:

Ctor  vmax  0,9 cm A szükséges adatok meghatározása után kezdődhet a feladat számítógépes megoldása.


www.tankonyvtar.hu

124

Végeselem-módszer

A geometriai modell nagyon egyszerű, könnyedén létrehozhatjuk a végeselemes modellezők saját grafikai szerkesztőjében. A szerkezeti modell jelen esetben is az X-Y síkban készül, de a terhelések és az alakváltozások térbeliek lesznek. A szelvények súlyponti tengelyét reprezentáló egyenesek megadását mutatja a 8.10 ábra.

8.10 ábra. Egyenes megadása a végeselemes programban

A BEAM3D elem orientációjának megadása lehetséges úgy, hogy az elem harmadik csomópontját úgy vesszük fel, hogy az a keresztmetszet nagyobb főmásodrendű nyomatékának irányába essen. Ehhez szükségünk lesz egy geometriai pontra. Mivel az előbb megadott egyenesek a szelvények súlyponti tengelyét határozták meg és a főmásodrendű nyomaték ezen a tengelyen keresztül mutat az elem y tengelyének irányába, így ezt a geometriai pontot is az X-Y síkon vehetjük fel. A szerkezet kialakítása miatt a rudak súlyponti tengelyei egy síkba esnek, azért ez az egyetlen geometriai pont elegendő lesz mindhárom rúd orientációjának megadásához. A geometriai pont megadását mutatja be a 8.11 ábra.

8.11. ábra. Pont elhelyezése végeselem programban

Az elkészült geometriai modell a 8.12. ábrán látható.

www.tankonyvtar.hu



125

8.12. ábra. A geometriai modell

A következő lépés az elemtulajdonságok meghatározása. A fejezet elején tisztáztuk, hogy BEAM3D elemeket használunk (8.13 ábra).

8.13. ábra. Elemcsoport meghatározása

Az elemek fizikai tulajdonságainak meghatározásakor (8.14. ábra) ragaszkodunk az SI mértékegységrendszer alapegységeihez, azaz m-ben határozzuk meg a méreteket. A műszaki táb© Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

126

Végeselem-módszer

lázatok a szelvények méretét általában mm-ben, a keresztmetszeti jellemzőket cm3-ban, illetve cm4-ben a tömegadatokat pedig kg/m-ben adják meg


Szükség van még az anyagtulajdonságok megadására (8.15. ábra). A lineáris statikai vizsgálatokhoz, izotróp anyagok esetében elegendő az anyag rugalmassági modulusának és a Poison tényezőnek a megadása. Ha a szerkezet önsúlyát is figyelembe szeretnénk venni, akkor az anyag sűrűségét, ha pedig hőmérsékleti hatásokból származó igénybevételekkel szeretnénk számolni, akkor az anyag hőtágulási együtthatóját is meg kellene adni. Más típusú anyagok alkalmazásakor, illetve más típusú elemzések elvégzéséhez további anyagtulajdonságok megadására szükség.

8.15. ábra. Az anyagtulajdonságok megadása

A most megadott tulajdonságú végeselemek létrehozásához parametrikus hálózást választunk (8.16. ábra), így minden rúdon azonos méretű, de eltérő számú elemet hozhatunk létre.

www.tankonyvtar.hu



127

8.16. ábra. A végeselem háló generálása

Az egyes rudakon a végeselem háló külön-külön jön létre, így a rúdvégek kapcsolódása nem biztosított (8.17. ábra)

8.17. ábra. A létrehozott végeselem háló

A rúdvégek bekötéséhez össze kell vonnunk a rúdvégeken található csomópontokat a másik rúd megfelelő csomópontjaival (8.18.ábra).


www.tankonyvtar.hu

128

Végeselem-módszer


Az elkészült végeselem hálót mutatja be a 8.19. ábra.

8.19. ábra. Az elkészült végeselem háló

Az elkészült végeselem hálón elhelyezzük az elmozdulási kényszereket. A feladat leírásában szereplő falhoz, illetve oszlophoz történő rögzítéseket minden irányba merevnek tekintjük, de a két megfogás között a függőleges rúd szabadon alakváltozhat, úgy mintha két távtartó lemezzel hegesztenénk hozzá egy teljesen merev oszlophoz. A megfogások megadására példa a 8.20. ábra.

www.tankonyvtar.hu



129

8.20. ábra. Az elmozdulási kényszerek megadása

Következő lépésben a vízszintes rúdra megoszló terhelésként megadjuk a 8.7. ábrán bemutatott terheléseket. A terhelés megadásánál tisztázni kell, hogy a megadott terhelés a kiválasztott összes objektumon egyenletesen megosztva, vagy minden kiválasztott objektumon megosztva, vagy a kiválasztott objektumokhoz tartozó összes csomóponton jön-e létre. A végeselem modellezők ezeket a lehetőségeket gyakran opcióként kínálják, de van, hogy utalás sem történik az erőelosztás módszerére. Ezzel létrejött a végeselem háló. A mi esetünkben a kiválasztott elemekhez tartozó összes csomóponton létrejön a megadott nagyságú és irányú erő, így az erő nagyságának megadásához természetesen ismerni kell a kiválasztott rúdon lévő csomópontok darabszámát is. A két megoszló terhelés megadását mutatja a 8.21. ábra.

8.21. ábra. A megoszló terhelések megadása

Célszerű ellenőrizni, hogy milyen terhelések jöttek létre. Erre listázó parancsok szolgálnak a végeselem programrendszerekben (8.22. ábra).


www.tankonyvtar.hu

130

Végeselem-módszer

8.22. ábra. A létrehozott terhelések listázása

A kapott eredményekből megállapítható, hogy valóban a feladat kiírásában szereplő megoszló erőrendszert hoztuk létre. Az így elkészült végeselem modellt mutatja be a 8.23. ábra.

www.tankonyvtar.hu



131

8.23. ábra. Az elkészült végeselem modell

A modell megoldása következi (8.24. ábra).


Az eredmények megjelenítését kezdjük az elemekben keletkező redukált feszültségek megjelenítésével a deformált alakon (8.25. ábra)


www.tankonyvtar.hu

132

Végeselem-módszer

8.25. ábra. Redukált feszültségeredmények megjelenítése

A kapott feszültségeket a 8.26 ábra mutatja.

8.26. ábra. Redukált feszültségek

Az elemekben keletkező feszültségek számszerű megjelenítéséhez listázó parancsokat használhatunk (8.27. ábra). www.tankonyvtar.hu



133

8.27. ábra. Feszültségkomponensek megjelenítése

Vizsgáljuk meg a szerkezetben a keletkező hajlítónyomatékokat is (8.28. ábra).

8.28. ábra. A nyomatéki ábrák megjelenítése

Mivel a rudak két irányban hajlítottak, ezért a függőleges és vízszintes terhelések által okozott hajlítást külön-külön vizsgáljuk (8.29. ábra).


www.tankonyvtar.hu

134

Végeselem-módszer

8.29. ábra. Mt és Ms hajlítónyomatéki ábrák

Vizsgáljuk meg a tartó lehajlását, vagyis az Y irányú elmozdulásokat (8.30. ábra)

8.30. ábra. Az elmozdulások megjelenítése

A kapott eredmények (8.31. ábra) alapján megállapíthatjuk, hogy a funkcióteljesítést zavaró lehajlások nem jönnek létre.

www.tankonyvtar.hu



135

8.31. ábra. A tartó lehajlása

Az elmozdulások számszerű megjelenítésére is van lehetőség (8.32. ábra).


www.tankonyvtar.hu

136

Végeselem-módszer

8.32. ábra. Az elmozdulások listázása

8.4.

Megjegyzések

A feladat megoldása során nem foglalkoztunk a nyomott rudak kihajlásával. Egy valós feladat esetén ezt vagy végeselemes megoldással, vagy a nyomóerők ismeretében a klasszikus rúdelméletben tanultak alapján ellenőrizni kell. A feladat megoldása során az önsúlyból származó igénybevételt elhanyagoltuk. Mindkét előző problémára találunk megoldást a tananyag későbbi, BEAM elemekkel foglalkozó fejezetében. Továbbá, nem vizsgáltuk és ezzel a modellel nem is vizsgálhatnánk az egyes elemek kapcsolatait. A kapcsolatok kialakításával, viselkedésével és méretezésével a szerkezettervezés külön fejezetei foglalkoznak.

www.tankonyvtar.hu


9. RÚDSZERKEZETEK DINAMIKÁJA, A TÖMEGMÁTRIX BEVEZETÉSE, SAJÁTFREKVENCIA MEGHATÁROZÁSA 9.1.

A végeselem-módszer kiterjesztése

Mint, ahogy az a történeti áttekintésből is kiderült, a végeselem-módszer „feltalálása” nem köthető egyetlen időponthoz. Célszerű nem is feltalálásról, inkább fejlesztésről vagy fejlődésről beszélni. Ez a fejlődés az 1940-50-es években vette kezdetét és a mai napig is tart. Az első sikeres rugalmasságtani problémamegoldások után felmerült annak lehetősége, hogy más fizikai problémák megfogalmazása is lehetséges a végeselem-módszer felhasználásával. Így napjainkban már végeselemes megoldásokat kaphatunk olyan nem, vagy csak nehezen, esetleg csak durva közelítéssel megoldható problémákra, melyek a hőtechnikai, az elektromágneses sugárzások, a kifáradás, és a lengő rendszerek viselkedésének leírása során merülnek fel. Az ezeken a területeken alkalmazott matematikai megoldások eltérnek a rugalmasságtani problémáknál leírtaktól, de közösek abban, hogy egy fizikai tartományt kis részekre osztva, és ezen kis részeken a bonyolult egyenleteket egyszerűbbekkel helyettesítve egy lineáris egyenletrendszer megoldására vezetnek. A szerkezet-dinamikai számítások végeselemes megoldását az 1960-as évek elején kezdték kidolgozni, amikor végeselem-módszerrel sikerült meghatározni adott elem tömegmátrixát, és összeegyeztetni a merevségi mátrixszal. 9.2.

Rugalmas testek sajátrezgés feladatának végeselemes megfogalmazása

A tananyag eddigi fejezeteiben egyensúlyban lévő rugalmas testekkel foglalkoztunk. A megoldáshoz felhasználtuk az u elmozdulásmező függvényeként felírt teljes potenciált: 1

 (u)  2   : dV   u  qdV   u  pdA V

V

(9.1)

A

A potenciál a test nyugalmi állapotában a deformációk során a benne felhalmozódott rugalmas alakváltozási energia és a deformációt létrehozó külső erőrendszer munkájának egyenlőségét, azaz a statikai egyensúlyi állapotot fejezi ki. D’ Alambert volt, aki Newton II. törvényeként ismert egyenletet átrendezve azt az

F  ma  0 alakban írta fel, így az „ m a ” szorzat már nem mozgásmennyiségként, hanem tehetetlenségi erőként értelmezett. A D’ Alambert elv értelmében a mozgó testre ható erők a tehetetlenségi erőkkel egyensúlyban vannak. Ezt az egyensúlyi állapotot kinetikai egyensúlynak nevezzük. Az elvet követve, ha a fenti funkcionált kiegészítjük a tehetetlenségi erők munkájával, akkor a mozgó –e fejezetben lengő mozgást végző- rendszer kinetikai egyensúlyát leíró potenciálhoz jutunk:


www.tankonyvtar.hu

138

Végeselem-módszer

1

 (v)  2   : dV   u  qdV   u  pdA   u  üdV V

V

A

(9.2)

V

ahol: ü – az elmozdulásvektor idő szerinti második deriváltja (azaz a gyorsulásvektor),  – az anyag sűrűsége. A végeselemes megoldás során a rugalmas testeknél bemutatott módszert követjük azzal a kiegészítéssel, hogy a test mozgását leíró függvény három térkoordinátája mellet az idő, mint negyedik koordináta is megjelenik:

u  u(x, y, z, t )

(9.3)

Ezt a függvényt a korábban tárgyalt rugalmas testek egyensúlyi elmozdulásainál bemutatott formafüggvényekkel interpoláljuk: u(x, y, z, t )  N(x, y, z)u e (t )

(9.4)

Így a gyorsulásvektor: ü(x, y, z, t )  N(x, y, z)ü e (t )

(9.5)

Ezzel a potenciált kiegészítő, a tehetetlenségi erők munkáját kifejező tag egy elemre:

 u  üdV   u Ve

T

 üdV u e (  N NdV)ü e  u e M e ü e T

Ve

T

T

(9.6)

Ve

A kifejezésben szereplő M e az elem konzisztens tömegmátrixa, amely az elem tehetetlenségi tulajdonságait tartalmazza. A korábbiakhoz hasonlóan a teljes potenciált megfogalmazhatjuk mátrix alakban:

1

 2 U

T

KU  U F  U MÜ T

T

(9.7)

A   min imum feltételt kielégítő egyenletrendszer pedig: MÜ  K U  F(t )

(9.8)

lineáris differenciálegyenlet-rendszer. Az egyenletrendszer jobb oldalán álló külső erők vektora állandó és időben változó, azaz előfeszítő és gerjesztő erőhatásokat tartalmazhat. A műszaki gyakorlatban nagyon sok olyan lengéstani vizsgálattal találkozunk, ahol nincsenek külső erőhatások. Gondoljunk csak a mérnöki gyakorlatban előforduló leggyakoribb lengéstani problémára a forgó tengelyek kritikus szögsebességének meghatározására. A kritikus szögsebesség közelítőleg egyenlő a tengely

www.tankonyvtar.hu


9. Rúdszerkezetek dinamikája, a tömegmátrix bevezetése, sajátfrekvencia

139

legkisebb sajátkörfrekvenciájával. Ennek megfelelően a külső erőhatások nélküli, csillapítatlan lengő rendszer végeselem egyenlete egyszerűsödik: MÜ  K U  0

(9.9)

A test harmonikus lengőmozgást végez, ezért a differenciálegyenlet megoldása:

U  A sin(t  )

(9.10)

ahol: – A a rendszer csomópontjainak amplitúdó vektora, –  a sajátfrekvencia, –  fázisszög. Az U-t és annak második idő szerinti deriváltját az alapegyenletbe helyettesítve az:

( 2 M  K)A  0

(9.11)

homogén algebrai egyenletrendszert kapjuk. A megoldandó feladat az A sajátértékeinek és a hozzájuk tartozó  sajátkörfrekvenciáknak a meghatározása. A fenti egyenletrendszernek csak akkor van triviálistól eltérő megoldása, ha az együttható mátrix determinánsa zérus, azaz:

det(2 M  K)  0

(9.12)

Mivel az egyenletben szereplő M és K mátrixok a rendszer végeselem modelljének szabadságfoka szerint nxn méretűek, az egyenletrendszernek  2 -re n gyöke létezik. A gyakorlatban alkalmazott végeselem modellek szabadságfoka a néhány száztól akár több millióig is terjedhet. Ennyi sajátértéket és sajátkörfrekvenciát meghatározni értelmetlen, gyakorlati jelentősége csak az első és az azt követő néhány értéknek van. 9.3.

Síkbeli rúdszerkezet sajátlengéseinek számítása végeselem módszerrel

Vegyünk egy, a két végpontján szögmerevnek tekinthető módon (pl. kétsorú hengergörgős csapágyak NNF kivitel) csapágyazott tengelyt, melynek közbenső pontjára egy tárcsát ékelünk. A tengely modelljét a 9.1 ábra mutatja. Keressük a tengely kritikus fordulatszámát.


www.tankonyvtar.hu

140

Végeselem-módszer

9.1 ábra A vizsgált tartó

A tengely 30 mm átmérőjű tömör acélanyagból készül. A tárcsa tömege 1 kg. A tengely teljes hossza 400 mm, L1=250 mm és L2=150 mm. A feladat megoldásához szükségünk lesz a ( 2 M  K)A  0 egyenletben szereplő M tömegmátrix és K merevségi mátrix meghatározására. 9.3.1.

Az elem tömegmátrixának meghatározása

Mint láttuk, az elem tömegmátrixának meghatározásához a rugalmas testek viselkedését leíró N(x,y,z) interpolációs függvényeket használjuk fel. Ehhez először az elemet helyezzük el egy, a hossztól független, az elem tengelyével egybe eső "s" koordináta-rendszerbe. A 9.2 a ábra az elem elhelyezkedését a globális koordináta rendszerben, míg a b ábra ennek az elemnek az elhelyezkedését az új, lokális "s" koordináta rendszerben mutatja.

9.2 ábra Az elemhez kötött s koordináta rendszer www.tankonyvtar.hu



141

A fenti összefüggések alapján az elem tömegmátrixa az: 1

M e   N N ALd T

(9.13)

1

alapján határozható meg. A rúdirányú elmozdulásokat az:

N1  (1   ) / 2,

(9.14)

N 4  (1   ) / 2 formafüggvényekkel lineárisan, a rúdra merőleges elmozdulásokat pedig az:

N 2  (2  3   3 ) / 4, L N 3  (1     2   3 ) , 8 3 N 5  (2  3   ) / 4, N 6  (1     2   3 )

(9.15)

L 8

formafüggvényekkel köbösen interpoláljuk. A lineáris tagokra:

N  N lin   1  N4 

(9.16)

Ha a rúdelem sűrűségét és keresztmetszetét állandónak vesszük, akkor az ezekhez tartozó tömegmátrix:

M e lin  AL

1 1 1 2 1 T N lin N lin d  AL   2 1 6 1 2

(9.17)

A köbös elemekhez tartozó formafüggvényekre: N2  N  N köb   3   N5    N6 

(9.18)

és a hozzájuk tartozó tömegmátrix:


www.tankonyvtar.hu

142

Végeselem-módszer

22L  156  22L 4L2 1 1  T M e köb  AL  N köb N köbd  AL 13L 2 1 420  51  2  13L  3L 1

 13L   3L2  156  22L   22L 4L2  54 13L

(9.19)

Ezt a mátrixot kibővítjük a lineáris tagokhoz tartozó mátrixszal úgy, hogy az első és harmadik sora elé illesztjük a lineáris tagok tömegmátrixainak elemét. Így kapjuk az elem teljes tömegmátrixát:

0 0 70 0 0  140  0 156 22L 0 54  13L   22L 4L2 0 13L  3L2  1  0 M e  AL   0 0 140 0 0  420  70  0 54 13L 0 156  22L   2 0  22L 4L2   0  13L  3L

(9.20)

Az elem merevségi mátrixának meghatározása

9.3.2.

A rúdelem merevségi mátrixát szintén a fenti interpolációs függvényekből származtatjuk. Az elem tengelyirányú fajlagos nyúlására:

s 

due due d  ds d ds

(9.21)

A hosszirányú elmozdulásokra a J 

ds jelölést bevezetve, az elmozdulás-alakváltozás d

vektor:

 N '  2  0.5  1 L B lin  J 1  1       N 4 ' L  0.5   1 L 

(9.22)

az elem ezen elmozdulásaihoz tartozó merevségi mátrix pedig: 1

K e lin   BE B Ads   BE B AJd   T

L

T

1

AE  1  1 L  1 1 

(9.23)

Ehhez hasonlóan a köbös interpolációval közelített, rúdtengelyre merőleges elmozdulások és szögelfordulások:

www.tankonyvtar.hu



B köb

 N2 '  1,5   N "  0,5  1,5  1 4   2 3  2 J  N 5 '  L   1 ,5       0,5  1,5   N 6 "

143

(9.24)

és ezzel a merevségi mátrix:

6 L  12 6 L   12  2 2  1 I z E  6L 4L  6L 2L  T T K e köb   BI z E B ds   BI z E B Jd  3 L  12  6 L 12  6 L  L 1  2 2   6L 2L  6L 4L 

(9.25)

A két merevségi mátrix kombinációjával előállítható az elem merevségi mátrixa:

 AE  L   0   0  Ke   AE   L  0    0 9.3.3.

0

0

12I z E L3 6I z E L2

6I z E L2 4I E  z L

0

0




6I z E L2 2I z E L





AE L 0 0

0 12I z E L3 6I E  z2 L



AE L 0 0

0 12I z E L3 6I E  z2 L



  6I z E   L2  2I z E  L   0   6I z E   2 L  4I z E  L  0

Az rendszer teljes tömeg- és merevségi mátrixa

A 9.1 ábrán szereplő "m" tömegpontnak nincs hasonló tömegmátrixa, a tömeget, mint tehetetlenséget a teljes rendszer tömegmátrixánál vesszük figyelembe, mint egy csomópontra helyezett tömeget. Így járnánk el akkor is, ha a pontszerűen elhelyezett tömeg egy térbeli kiterjedésű tárcsát modellezne, azzal a kiegészítéssel, hogy ilyenkor a csomópontban nem csak az elem tömegét, hanem annak valamely tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékát is fel kellene venni. Ezek után a 9.1 ábrán vázolt rendszer teljes tömeg mátrixa:


www.tankonyvtar.hu

144

Végeselem-módszer

140L1  0   0   70 A  0 M 420   0  0   0  0 

0

0

70L1 2 1 3 1

156L1

22L

2 1

0

0

0

0

0

54L1

 13L

0

0

 3L 0

0 0

0 54L 2

0

13L22

2 1 3 1

2 1

13L 0

22L 0

4L 0

0 140(L1  L 2 )

54L

13L21

0

 13L21

 3L31

0

22(L22  L21 )

4(L31  L32 )

0

0

0 0

0 0

70L 2 0

0 54L 2

0 13L22

140L 2 0

0 156L 2

0

0

0

 13L22

 3L32

0

 22L22

156(L1  L 2 ) 22(L22  L21 )

 0  0    13L22   3L32   0  0    22L22  4L32  0

valamint a teljes rendszer merevségi mátrixa:  AE  L  1  0    0   AE   L1  K 0   0    0    0    0 

0

0

12I z E L31 6I z E L21

6I z E L21 4I E  z L1

0

0



12I z E L31 6I z E L21



AE L1 0 0

0

0

12I z E L31 6I E  z2 L1


0

0

12I z E 12I z E  3 L32 L1 6I z E 6I z E  2 L22 L1

6I z E 6I z E  2 L22 L1 4I z E 4I z E  L1 L2

0

0



AE AE  L1 L2




0 0 

AE L2

0

0

0

0

0

0

0

0



12I z E L32 6I z E L22






0

0

0

0

0

0

AE L2

0

0 0

12I z E L32 6I E  z2 L2



AE L2 0 0

0 12I z E L32 6I E  z2 L2



   0    0    0   6I z E  L22   2I z E  L2   0   6I z E   2  L2  4I z E   L2  0

Fontos megjegyezni, hogy ha az elem tengelye nem párhuzamos a globális koordináta rendszer X tengelyével, akkor az elemek globális koordináta rendszerben értelmezett merevségi és tömegmátrixát is az előző fejezetekben bemutatott transzformációs mátrix segítségével állíthatjuk elő, és csak ezután hozhatjuk létre a teljes rendszer leírásához szükséges mátrixokat. Az egyenletrendszer most is egyszerűsíthető úgy, hogy a támaszoknál a 0 elmozdulásokhoz és szögelfordulásokhoz tartozó sorokat és oszlopokat, azaz esetünkben az 1-3. és 7-9. sorokat és oszlopokat töröljük. Így az egyenletrendszerben szereplő mátrixok:

www.tankonyvtar.hu



 140 0  420 A(L1  L 2 )  m  156 * M  0 A(L1  L 2 )  m 420  22  0 A(L22  L21 )  420

 AE AE  0   L1 L 2  12I z E 12I z E * K  0  3 L32 L1  6I z E 6I z E  0  2 2  L L1 2 

145

   22 A(L22  L21 )  420  4 3 3  A(L1  L 2 )  420 0

   6I z E 6I z E   2  L22 L1  4I z E 4I z E   L1 L 2  0

A rendszert leíró mátrixok ismeretében a megoldandó feladat a

det( 2 M *  K * )  0 egyenletrendszer, melyből kapjuk az:

4,1074 108     2  9,1253 108  1,5681107    megoldást. Ebből  valós gyökei: 20266,82    30208,13   3959,96 

9.4.

Megjegyzések

A gyakorlatban alkalmazható az elemek egyszerűsített tömegmátrixa:

1 0  AL 0 Me   2 0 0  0

0 0 0  0 0 0 0 1 0  0 0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1


0 0 0 0

www.tankonyvtar.hu

146

Végeselem-módszer

ami azt fejezi ki, hogy az elem tömegét két egyenlő részre bontva, mint tömegpontot a két végpontban helyezzük. Ez megfelel annak az analitikus számításoknál alkalmazott eljárásnak, mely szerint a rúd tömegét ezzel az eljárással redukáljuk annak két végpontjába, a rudat pedig tömeg nélküli rugalmas elemnek (rácsos szerkezetek esetén egyszerűen rugónak) tekintjük. Végeselemes megoldások esetén kellően pontos eredmény ezzel az eljárással akkor kapható, ha a rudat kellően sok végeselemre osztjuk fel.

www.tankonyvtar.hu


10.

TÉRBELI RUDAK DINAMIKAI VIZSGÁLATA, SAJÁTFREKVENCIA MEGHATÁROZÁSA VÉGESELEMMÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL

10.1.

Bevezetés

A mérnöki alkotások mindegyike egy lengő rendszer. Az épületek-építmények, gépalapok, járművek, gépalkatrészek, megmunkáló gépek és szerszámok mindegyike végez lengéseket. Ezekkel a lengésekkel vagy kicsiny, elhanyagolható mértékük, vagy a gyakorlatban ártalmatlan nagy frekvenciájuk miatt általában nem foglalkozunk, ezek a szerkezetek funkcióját nem zavarják vagy jelentéktelenül kicsiny hatással vannak rá. Azonban sok olyan eset is van, amikor ezeket a lengéseket nem lehet vagy nem célszerű figyelmen kívül hagyni. Mindenki által ismert a Tacoma-híd (Tacoma Narrows Bridge) katasztrófája. A híd belengését, majd a teljes tönkremenetelig tartó elmozdulását az okozta, hogy a szél által keltett Kármán-féle örvénysor leválási frekvenciája megegyezett a szerkezet sajátfrekvenciájával. De mindennapi életünkben is találunk példát a lengő rendszerek ismeretének fontosságára. A gépjárművek futóműve egy bonyolult lengéseket végző szerkezet, mely az út egyenetlenségei által folyamatosan gerjesztett. A kerekeket rendszeresen „centíroztatjuk”, azaz gondoskodunk a statikus és dinamikus kiegyensúlyozásukról. Tesszük ezt a kényelmes vezetésen és kormányzáson kívül azért is, mert a kerék kiegyensúlyozatlanságából származó lengések a tengelyeket, csapágyakat, kormányművet és a gumiabroncsot is károsíthatják. De rendszeresen ellenőriztetjük a lengéscsillapítók állapotát is, szintén nem kizárólag a kényelem miatt, hanem azért is, mivel ezek biztosítják, hogy a kerekek az egyenetlen útfelülettel folyamatosan érintkezésbe legyenek. E nélkül megfelelő fékhatás a többi szerkezeti elem hibátlan állapota esetén sem lenne elérhető. A gyártástechnológia területén is számtalan példa van arra, hogy a gépek, gépelemek lengéseit nem lehet figyelmen kívül hagyni. A rugalmasan ágyazott nehézgép alapok egyik feladata, hogy meggátolják, hogy a gép működése során keletkező lengések a környezetbe, különösen a gép környezetében lévő épületszerkezetekbe átjussanak. De a megmunkáló gépek és szerszámok lengései is figyelmet érdemelnek. A lengések során létrejövő elmozdulások, mint hibák másolódnak a munkadarabra, növelve a megmunkálási selejtet. Vannak azonban olyan mérnöki alkalmazások is, ahol a lengéseket nem elkerülni vagy csillapítani kell, hanem éppen ellenkezőleg, erősíteni azokat. Gondoljunk például az anyagmozgatás területén alkalmazott rázócsatornára, vagy az ezen elven működő osztályozó és adagoló gépekre, vagy az építőiparban és öntészetben alkalmazott tömörítő berendezésekre. 10.2.

Az alkalmazott végeselemek tulajdonságai

A térbeli rúdszerkezetek modellezéséhez használt BEAM3D elemek tulajdonságait a tananyag 8. fejezetében már ismertettük. Most ehhez csak annyit fűzünk hozzá, hogy a lengéstani vizsgálatok során a csak a feszültségszámítás szempontjából fontos állandókat, mint például a súlypont és a csavarófeszültség számítása szempontjából mértékadó pont relatív helyzetét nem feltétlenül szükséges meghatározni, hiszen mint az előző fejezetben láttuk, ezek a sajátfrekvencia számításakor egyenleteinkben nem szerepelnek. © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

148

Végeselem-módszer

Meg kell azonban ismerkednünk egy új elemmel is. A végeselem modellező programokban a kiterjedéssel nem rendelkező tömeget egy 0 dimenziós MASS elem (tömeg, vagy célszerűbben tehetetlenség) elem jeleníti meg. Ennek az elemnek egyetlen csomópontja van, ebbe a pontba halmozódik az elem teljes tömege és tehetetlenségi nyomatéka. A feladat megoldása során majd látni fogjuk, hogy a tömeg „irányfüggő”, azaz létezik a MASS elemnek X, Y és Z irányú tömege. Az természetesnek tűnik, hogy a tehetetlenségi nyomaték is három tengelyre értelmezett. A valóságban természetesen ilyen nincs, ez az opció mindössze azt teszi lehetővé, hogy 2D problémák esetében valamely irányba a tömeg tehetetlenségéből származó hatásokat figyelmen kívül hagyjuk. 10.3.

A feladat ismertetése

A gépészmérnöki gyakorlatban a forgó tengelyek hajlító és csavaró lengéseinek vizsgálata a leggyakoribb feladat. Most egy a 10.1 ábrán vázolt két centrikusan ékelt tárcsát hajtó forgó tengely vizsgálatát végezzük el.

10.1. ábra. Kéttárcsás forgó tengely

A problémát a gépészmérnöki tanulmányok gépelemek tárgyának tengelyek-tengelykapcsolók és a mechanika tárgy lengéstan fejezetei is tárgyalták. Ezek a tárgyak bemutatták, hogy a tengelyekben hajlító és csavaró lengések keletkeznek. Azt is tisztázták, hogy ezek a lengések a szerkezet szempontjából akkor lehetnek veszélyesek, ha a tengely forgásának szögsebessége megegyezik a lengő rendszer első saját-frekvenciájával, mivel ebben az esetben csillapítatlan lengéseket feltételezve a kitérések (elmozdulások és ennek következtében a tengelyben keletkező feszültségek is) végtelen nagyra nőhetnének. A 10.1 ábrán vázolt szerkezet esetén a rendszer hajlító lengéseinek saját körfrekvenciájára a Dunkerley féle egyszerűsített összefüggés alapján a következő eredményt kapjuk: www.tankonyvtar.hu


10. Térbeli rudak dinamikai vizsgálata

1

2

149

 m11  m 2 2 ,

(10.1) ahol:

α – a körfrekvencia η – a tengely elhajlása a tárcsa helyén felvett egységnyi radiális teher hatására (e rugóállandó meghatározására a lengéstan tankönyvekben található bővebb magyarázat).

A modellt jellemző járulékképletek alapján:

1 8 a3 8 a3  m  m 1 2 18 IE 18 IE α2

(10.2)

Ennek alapján a tengely saját körfrekvenciája: α=276,76 1/s, ami n=2642,86 ford/min fordulatszámnak felel meg. A csavaró lengésekre a többszabadságfokú lengő rendszereket leíró karakterisztikus egyenlet alapján:

0 

1   2 1  2 c 0

(10.3)

ahol:

c0 

Θ – a tárcsák tehetetlenségi nyomatéka az Y tengelyre c0 – a csavaró-rúgóállandó:

a IpG

(10.4)

Ip – a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka G - az anyag csúsztató rugalmassági modulusa. Ennek alapján a tengely csavaró lengésének saját körfrekvenciája: α0=1503,87 1/s ami n=14360,9 ford/min fordulatszámnak felel meg. ahol:

10.4.

A feladat végeselemes megoldása

A 10.1 ábrán vázolt szerkezet geometriai modellje nagyon egyszerű, a tengelyt egyetlen vonal jellemzi, amit a végeselem háló létrehozása céljából célszerű három külön szakaszként szerkeszteni. Ezzel biztosítható, hogy a MASS (tehetetlenségi) elemeket a szakaszok végén, geometriai pontokon hozhatjuk létre. A szakaszok rajzolására mutat példát a 10.2 ábra.


www.tankonyvtar.hu

150

Végeselem-módszer

10.2. ábra Szakaszok létrehozása a geometriai szerkesztőben

A geometriai modell létrehozása után következhet a tengelyt leíró végeselem-háló tulajdonságainak megadása. Elsőként kiválasztjuk a feladat megoldásához szüksége elemtípust (10.3 ábra), mely esetünkben a BEAM3D elem.

10.3. ábra. Az elemtípus kiválasztása

Következő lépésben meg kell adni a szükséges anyagtulajdonságokat, a rugalmassági modulust, és a csúsztató rugalmassági modulust (10.4 ábra).

www.tankonyvtar.hu



151

10.4. ábra. Az anyagtulajdonságok megadása

Végül meg kell adni azokat a fizikai tulajdonságokat, melyek az egydimenziós geometriai modell és a háromdimenziós valós kiterjedés között teremtenek kapcsolatot. Az előző fejezetben már említettük, hogy a végeselemes modellezők a műszaki gyakorlatban leggyakrabban használt keresztmetszetek (ilyen a feladatban a tömör tengely kör keresztmetszete) tulajdonságainak megadására egyszerűsített eljárásokat kínálnak. Erre mutat példát a 10.5 ábra, ahol a "2" jelű keresztmetszet jelöli az alkalmazni kívánt kör keresztmetszetet.

10.5. ábra. A tengely keresztmetszeti jellemzőinek megadása

Ha tengely végeselem hálójának összes tulajdonságát megadtuk, akkor az elkészült geometria felhasználásával következhet a végeselem háló létrehozása a 10.6 ábra alapján. Az egyes tengelyszakaszokon 10-10 elemet hozunk létre egyenletes osztásban (Spacing ratio = 1). A BEAM3D elem jelen esetben kétcsomópontos, mivel a tengely körszimmetrikus, így a harmadik csomópontot definiáló geometriai pont megadására nincs szükség.


www.tankonyvtar.hu

152

Végeselem-módszer

10.6. ábra. A tengely végeselem hálójának létrehozása

Szükséges még a két tárcsa tulajdonságainak megadása. Ebből a célból létre kell hozni egy új elemtípust, a már előzőekben leírt MASS (tehetetlenségi) elemet (10.7 ábra).

10.7. ábra. A MASS elemtípus létrehozása

Ehhez az elemtípushoz értelemszerűen nem tartozik anyagtulajdonság, így elegendő a pontszerű, nulla dimenziós elemnek a tárcsa valóságos háromdimenziós kiterjedését leíró tulajdonságok meghatározása. Ezen tulajdonságokat az első tárcsára vonatkozóan a 10.8. ábra mutatja. A tárcsa X és Z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka a feladat megoldása szempontjából figyelmen kívül hagyható, így ezek értéke 0.

10.8. ábra. Az 1. tárcsa fizikai tulajdonságainak megadása

A tárcsa a végeselem hálóban egyetlen ponthoz kötött elemként és a hozzá tartozó egyetlen csomópontként jelenik meg. Ennek a létrehozására mutat példát a 10.9 ábra.

www.tankonyvtar.hu



153

10.9. ábra. Az 1. tárcsa mint végeselem létrehozása

A második tárcsa a végeselem típusában megegyezik az előzővel, így új elemtípust nem kell definiálnunk, csak a tárcsa fizikai tulajdonságait kell megadnunk (10.10 ábra).

10.10. ábra. Az 2. tárcsa fizikai tulajdonságainak megadása

A 2. tárcsa, mint végeselem létrehozása az előzőhöz hasonlóan történik, csak a geometriai modell másik pontján. Az eddig elkészült végeselem háló öt (a három tengely szakasz és a két tömegpont), egymástól független végeselem modellt takar. Ahhoz, hogy ezt egyetlen modellé egyesítsük, a háló csomópontjait össze kell kapcsolnunk. Ezt a korábbi fejezetekben már ismertettet módon tehetjük meg (10.11 ábra).

10.11. ábra. A végeselem hálók egyesítése

A végeselem programrendszer által a háttérben felépített matematikai modell megoldhatósága érdekében most is szükség van a peremfeltételek meghatározására, azaz a 10.1 ábrán jelölt csapágyak modellezésére. Ezt a korábbi példákhoz hasonlóan a tengely két végén létrehozott, mindhárom elmozdulási kényszer rögzítésével adhatjuk meg. Ennek létrehozására mutat példát a 10.12 ábra.


www.tankonyvtar.hu

154

Végeselem-módszer

10.12. ábra. A tengely csapágyazásának megadása mint elmozdulási kényszer

Ezzel létrehoztuk a teljes végeselem modellt (10.13 ábra).

10.13. ábra. A kész végeselem modell a csomópontok számozásával

A végeselem modell megoldása előtt lehetőség van a megoldás menetének szabályozására, például a számítandó sajátfrekvenciák számának megadására (10.14 ábra). Célszerű több harmonikus kiszámítását célul kitűzni, hiszen a modell alapján a kétirányú hajlító és a csavaró lengések eredményei külön-külön értékeket eredményezhetnek. A feladatban az első 10 harmonikus meghatározását tűzzük ki célul.

www.tankonyvtar.hu



155

10.14. ábra. A sajátfrekvencia elemzés beállításai

A paraméterek beállítása után következhet a modell megoldása (10.15 ábra)

10.15. ábra. A számítás futtatása

A sikeres futtatás után megjeleníthetjük az eredményeket. Elsőként a kiszámított első nyolc harmonikus körfrekvenciáját táblázatos formában a 10.16 ábra mutatja.

10.16. ábra. A kiszámított sajátlengések körfrekvenciája © Moharos István, ÓE

www.tankonyvtar.hu

156

Végeselem-módszer

A listában megfigyelhetjük, hogy az első önlengésszám körfrekvenciája 10-5 1/s nagyságrendű, ami a műszaki gyakorlatban elhanyagolhatóan kicsi. Ez megfelel a lengéstanban tanult megállapításnak, miszerint a több-szabadságfokú lengő rendszerek első sajátfrekvenciája nulla. Megfigyelhetjük, hogy a 2-3. és 4-5. sajátfrekvenciák megegyeznek. Később látni fogjuk, hogy ez a két sajátlengés a körszimmetrikus kialakítás miatt az X és Z tengely irányában jön létre. A 6. sajátfrekvenciának nincs az előzőhöz hasonló párja. Ez lesz a két tárcsa közötti tengelyszakasz csavarólengésének körfrekvenciája. A végeselem programok a lengésképeket grafikusan is meg tudják jeleníteni. A megjelenítések, mint a tengely deformált alakja értelmezettek (10.17 ábra).

10.17. ábra. A lengésképek megjelenítése mint deformált alak

A deformált alak megjelenítéséhez a végeselem programok egy nagyítási tényezőt ajánlanak, hogy a változások érzékelhetőek legyenek, de ne legyenek zavaróan eltúlzottak. Érdemes azonban ezt a nagyítási tényezőt néha felülírni és a vizsgált lengésképeken azonos értéket használni. Ezt tesszük a 10.18 ábrán, ahol a 2., 4., és 6. önlengéshez tartozó lengésképeket egységesen 0,5-es nagyítási tényezővel jelenítjük meg.

10.18. ábra. A 2. 4. és 6. sajátlengéshez tartozó lengésképek

Az ábrán megfigyelhetjük, hogy a tengely első harmonikus hajlítólengéséhez a lengéstanban tanultaknak megfelelően egy csomópont tartozik. Megfigyelhetjük, hogy ennél a lengésképnél www.tankonyvtar.hu



157

kisebb a tengely deformációja, mint a hajlító önlengésnél, azaz szilárdsági szempontból kevésbé veszélyes. Ez megfelel a lengéstanban, illetve a gépelemek tárgyban tanultaknak. Megfigyelhető továbbá, hogy a 6. sajátfrekvenciához tartozó lengésképen ilyen nagyítás mellett nincs "elmozdulása" a tengelynek. Pontosítva, csak a megjelenítésen látható elmozdulása nincsen, mivel az Y tengely körüli elcsavarodás ebben az ábrázolásban nem látszik. További számszerű eredményekhez juthatunk, ha az egyes lengésképekhez tartozó elmozdulásokat is megvizsgáljuk. A 10.19 ábrán a 2. és 3. lengésképhez tartozó elmozdulások láthatók.

10.19. ábra. A 2. és 3. sajátlengéshez tartozó értékek

A táblázatokban megfigyelhető, hogy az X Y Z tengely irányú elmozdulások közül csak egy tartalmaz értelmezhető értéket, a többi elmozdulás ~10-20 nagyságrendű. Ezek a végeselem modell megoldása során keletkező számítási hibák. Ugyanez igaz a tengelyek körüli elfordulásokra is azzal a kiegészítéssel, hogy értelemszerűen csak az elmozdulás síkjára merőleges tengely körül jönnek létre valódi elfordulások. Nézzük meg a 6. sajátlengés lengésképéhez tartozó elmozdulásokat is (10.20 ábra).


www.tankonyvtar.hu

158

Végeselem-módszer

10.20. ábra. A 6. sajátlengéshez tartozó értékek

A táblázatból megállapítható, hogy az elmozdulások a 10.18 ábra kapcsán tett feltételezésnek megfelelően nulla értékűek, és csak az Y tengely körüli elfordulások mutatnak értékelhető eredményeket. Az is látható, hogy a csavaró lengés csak a két tárcsa között jön létre, a tárcsák és a csapágyak közötti tengelyszakaszon az elcsavarodás értékei nem változnak. Természetesen ez is megfelel várakozásainknak és a lengéstanban tanultaknak. 10.5.

Megjegyzések

A mérnöki gyakorlatban csavaró lengések elemzésére általában csak hosszú, rugalmas tengelyek, illetve rugalmas tengelykapcsolók alkalmazása esetén van szükség. A forgó tengelyek hajlító lengése vizsgálható BEAM2D elemek alkalmazásával is, azzal a kikötéssel, hogy a tengely körszimmetrikus keresztmetszetű.

www.tankonyvtar.hu


11.

BEVEZETÉS SÍKFELADATOK TÉMAKÖRBE. SÍKFESZÜLTSÉGI, SÍKALAKVÁLTOZÁSI ÉS FORGÁSSZIMMETRIKUS (TENGELYSZIMMETRIKUS) MODELLEK ALKALMAZÁSA

11.1.

Síkfeladatok alaptípusai

Síkfeladatok esetén kétdimenziós, vagy kétváltozós problémákról beszélünk, a rugalmasságtan alapegyenletei ekkor jelentősen egyszerűsödnek a térbeli feladatokhoz képest. A rugalmasságtan síkfeladatait alapvetően két kategóriába sorolhatjuk [1]: – síkfeszültség - vékony, állandó vastagságú szerkezet síkjában terhelve (11.1a ábra), – síkalakváltozás - hosszú, állandó keresztmetszetű alkatrész a palástján terhelve (11.1b ábra). Megjegyezzük, hogy az általánosított síkfeszültségi állapot szintén a kétváltozós feladatok témakörbe tartozik, amennyiben mindent átlagértékekre vonatkoztatunk.

11.1 ábra. Síkfeszültségi (a) és síkalakváltozási (b) állapot szemléltetése.

Síkfeladatok esetén az elmozdulás-vektormező csak x és y függvénye:

u ( x, y ) u  u ( x, y )   .  v ( x, y ) 

(11.1)

Következésképp az alakváltozási és feszültségi tenzormezők is csak x-től és y-tól függenek:

   ( x, y) ,    ( x, y) .

(11.2)

A következőkben nézzük meg, hogy a fenti mennyiségek között milyen összefüggések írhatók fel.

© Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

160

Végeselem-módszer

11.2.

Egyensúlyi egyenlet, elmozdulás és alakváltozás

Az egyensúlyi egyenlet egy differenciális síkelem belső egyensúlyát fejezi ki. A 11.2 ábra alapján felírható az x és y irányú erők egyensúlya [1,2]:

( x  d x )dy   x dy  ( yx  d yx )dx  d yx )dx  q x dxdy  0 ,

(11.3)

( y  d y )dx   y dx  ( xy  d xy )dy  d xy )dy  q y dxdy  0 , ahol  a normál-,  a csúsztatófeszültség, qx és qy pedig a térfogatra ható erő sűrűségvektorának komponensei. A (11.3) egyenletek egyszerűsítésével jutunk el az alábbi egyenletekhez:  xy  y  x  xy   qx  0 ,   qy  0 . x y x y

(11.4)

11.2 ábra. Differenciális síkelem egyensúlya.

Az egyensúlyi egyenlet vektoregyenletként a következőképpen írható fel [1,2]:

   q  0,

(11.5)

ahol q = q(x,y) a térfogati erők sűrűségvektora,  pedig a Hamilton-féle differenciáloperátor (vektoroperátor) kétdimenziós változata:



  i j. x y

(11.6)

Az alakváltozási és elmozdulásmező közötti kapcsolat leírásához vizsgáljuk meg egy differenciális síkelem pontjainak elmozdulásait és alakváltozását a 11.3 ábra alapján! Az elem AB szakaszának x, és AD szakaszának y irányú fajlagos megnyúlása és szögváltozása: www.tankonyvtar.hu


11. Bevezetés síkfeladatok témakörbe

x 

161

A' D' AD A' D'dy A' B' AB A' B'dx  , y  ,  yx        .   AD dy AB dx 2

(11.7)

Az ábra alapján ugyancsak felírható a következő:

( A' B' ) 2  [dx(1   x )]2  (dx 

u v dx) 2  ( dx) 2 , x x

(11.8)

amiből:

u  u   v      . x  x   x  2

1  2 x   x2  1  2

2

(11.9)

A fenti összefüggés alkalmas az ún. nagy alakváltozás esetén az x irányú fajlagos nyúlás számítására. A rugalmasságtanban azonban a legtöbbször megfelelő pontosságú eredmények kaphatók a fenti összefüggés linearizálásával. Az y irányú fajlagos nyúlás hasonlóan adódik. A magasabb rendű tagokat elhagyva kapjuk a linearizált összefüggéseket:

x 

u v , y  . y x

(11.10)

A 11. 3 ábra alapján a  szög is felírható:



(v / x)dx . dx  (u / x)dx


(11.11)

www.tankonyvtar.hu

162

Végeselem-módszer

11.3 ábra. Differenciális síkelem elmozdulása és deformációja.

Feltételezve, hogy kis szögekről van szó:



v u , . y x

(11.12)

Így (11.7) alapján:

 xy 

u v  . y x

(11.13)

A (11.10) és (11.13) összefüggéseket tenzoregyenletbe foglalva kapjuk az ún. geometriai egyenletet, amely általános térbeli feladatokra is igaz [1,2]:

1 2

  (u      u ) ,

(11.14)

ahol a karika a diadikus szorzás jele. 11.3.

Konstitutív egyenletek

A homogén, lineárisan rugalmas, izotrop test anyagi viselkedését, azaz a feszültségalakváltozás kapcsolatot a Hooke-törvény írja le [3]:

www.tankonyvtar.hu





163

1         I E  ,   2G    I E ,  2G  1   1  2  

(11.15)

ahol  a Poisson-tényező, E a rugalmassági modulusz, G = E/(2(1+)) a csúsztató rugalmassági modulusz, E az egységtenzor, I és I pedig első skalárinvariánsok. 11.3.1. Síkfeszültségi állapot Síkfeszültségi állapot esetén a feszültségkomponensek:

 x   x ( x, y) ,  y   y ( x, y) ,  xy   xy ( x, y) és  xz   yz   z  0 ,

(11.16)

vagyis az x-y síkra merőleges normálfeszültség, valamint a z normálisú síkon működő csúsztatófeszültségek zérusok. A feszültségi és alakváltozási tenzorok ez alapján a következő formát veszik fel:  x    xy  0

 xy y 0

0  x 0 ,   1 / 2   xy  0 0

1 / 2   xy

y 0

0 0  .  z 

(11.17)

Ekkor (11.15) első egyenletéből kapjuk:

x 

1  E

   1  x  1   ( x   y )  E ( x   y ) ,

y 

1  E

 2(1   )   1   (    )  (    ) ,    xy . xy y x y y x   E 1  E

(11.18)

A z irányú fajlagos nyúlás pedig:

z 

1  E

      1   ( x   y )   E ( x   y )   1  ( x   y ) .

(11.19)

Megjegyezzük, hogy z nem szerepel az egyenletekben, de a másik két fajlagos nyúlás segítségével mindig kifejezhető. A fenti képletek segítségével a feszültségeket is kifejezhetjük:

x 









E E E  xy .  x   y ) ,  y   y   x ) ,  xy  2 2 2(1   ) 1  1 

(11.20)

A feszültség-alakváltozás kapcsolatot úgy is ki lehet fejezni, ha a komponenseket vektorba foglaljuk:


www.tankonyvtar.hu

164

Végeselem-módszer

 T   x ,  y ,  xy ,  T   x ,  y , xy 

(11.21)

Ekkor az összefüggést egy mátrix segítségével tudjuk leírni:

  C ,

(11.22)

ahol C a rugalmassági állandók mátrixa. A (11.20)-(11.22) alapján a C mátrix síkfeszültségi állapot esetén:

C

  1  0   E  1  0 . 1  2  1   0 0  2  

sf

(11.23)

A mátrix inverze, illetve determinánsa:

sf

(C )

1

1 1    E  0

 1 0

 E3  , det C sf  .  2(1   )(1   ) 2 2(1   ) 0 0

(11.24)

A feszültség-alakváltozás utóbbi formáját végeselemes számításoknál szokták alkalmazni. 11.3.2. Síkalakváltozási állapot Síkalakváltozási állapot esetén a kiinduló feltételünk: z = 0, azaz az x-y síkra merőlegesen a fajlagos nyúlás zérus. A feszültségi és alakváltozási tenzorok ekkor:

1/ 2   xy  x  xy 0   x    y    xy  y 0  ,   1/ 2   xy  0  0 0 0  z 

0 0  . 0 

(11.25)

    y  1  2 ( x   y ) ,

(11.26)

A Hooke-törvény alapján kapjuk, hogy:

 E    x  1  2 ( x   y ) ,  y  1  

x 

E 1 

 xy 

E  xy ,  z   ( x   y ) . 2(1   )

A feszültség-alakváltozás kapcsolatot előállítva a   C képletből kapjuk:

www.tankonyvtar.hu



C

sa

  1   E    1  (1   )(1  2 )  0  0 

165

 0  0 , 1  2   2 

(11.27)

 0   E3 sa . 0  , det C  2(1  2 )(1   ) 3  2  1   

(11.28)

és:

sa 1

(C )

11.4.

  1 1  2     E  1   0 



 1  1 0

Síkfeladatok alapegyenletei

Síkfeladatok esetén az összes ismeretlenek száma mindig nyolc: x, y, xy, x, y, xy, u és v. Síkfeszültségi állapotnál az z, síkalakváltozási állapotnál pedig a z komponens mindig kiszámolható az x és y irányú mennyiségekből. 11.4.1. Kompatibilitási egyenlet A (11.10) és (11.13) képletek kombinálásával juthatunk el az ún. kompatibilitási egyenlethez [1,2]: 2 2  2 x   y   yx .   xy y 2 x 2

(11.29)

A fenti kifejezés mind síkfeszültség, mind pedig síkalakváltozás esetére is igaz. A kompatibilitási egyenletet a feszültségekkel is ki lehet fejezni. Síkfeszültségi állapotra fejezzük ki a (11.29) egyenletet a feszültségekkel a (11.19) képlet alapján:

 2 y  2 y  2 x 1   2 x      E  y 2 y 2 x 2 x 2

 1  2 yx  .  G xy 

(11.30)

Ezután kifejezzük a csúsztató feszültség vegyes deriváltját a (11.4) egyenletből:

 2 xy

2 1  q x q y  2 x   y     xy 2  x y x 2 y 2

 .  

(11.31)

A kettőt összekombinálva kapjuk:


www.tankonyvtar.hu

166

Végeselem-módszer

q y  q  2 ( x   y )  (1   ) x  y  x

  , 

(11.32)

ahol:

2 

2 2 .  x 2 y 2

(11.33)

Síkalakváltozás esetén ugyanilyen módon juthatunk el a

 2 ( x   y )  

1 1 

 q x q y      x  y  

(11.34)

egyenlethez. Látható, hogy ha nincs térfogati erő, akkor síkfeszültségi és síkalakváltozási állapotban a kompatibilitási egyenlet ugyanolyan formájú. Abban az esetben, ha az erőtér konzervatív, akkor létezik egy olyan U potenciálfüggvény, amelynnek gradiense megadja a térfogati erő sűrűségvektorának komponenseit, azaz:

qx 

U U és q y  . y x

(11.35)

11.4.2. Az Airy-féle feszültségfüggvény Az egyensúlyi egyenletek és a kompatibilitási egyenlet egyetlen egyenletté redukálhatók az ún. Airy-féle feszültségfüggvény segítségével. Legyen  = (x,y) az Airy-féle feszültségfüggvény, amit a következőképpen definiálunk [1,2]:

 x U 

2 2 2      U  , , . xy y xy x 2 y 2

(11.36)

Ezeket visszatéve a (11.4) egyensúlyi egyenletekbe, látható, hogy az egyenletek teljesülnek. A feszültségfüggvényt minden olyan feszültségmezőre elő lehet állítani, amely teljesíti az egyensúlyi egyenleteket és ahol a térfogati erő potenciálos. A feszültségfüggvény segítségével a kompatibilitási egyenlet (11.34):  4   (1  ) 2U ,

(11.37)

ahol: 4   2 ( 2 ) 

4 4 4  2  x 4 x 2y 2 y 4

www.tankonyvtar.hu

(11.38)



167

a biharmonikus operátor. A (11.37) egyenlet a síkfeszültségi állapot alapegyenlete konzervatív térfogati erők esetén. Ha a  = (x,y) függvényt sikerül előállítani, ami teljesíti (11.37)-et és az előírt peremfeltételeket is, akkor megtaláltuk a feladat megoldását. A feszültség- és alakváltozási mező a (11.36) és (11.19) egyenletekből határozható meg. Ha a térfogati erő konstans, vagy pedig az U potenciálfüggvény harmonikus függvény, akkor az alapegyenlet a következő lesz: 4   0 ,

(11.39)

ami egy parciális differenciálegyenlet, illetve biharmonikus egyenlet. 11.4.3. A Navier-féle egyenlet Ezek után fejezzük ki az alapegyenleteket az elmozdulásmezővel síkfeszültségi állapotra! A (11.10), (11.13) és (11.19) egyenletek kombinálásával jutunk a következőkhöz [1,2]:

v 1 u v 1 u 1  ( y   x ) ,    yx .  ( x   y ) , y E y x G x E

(11.40)

Átrendezés után kapjuk, hogy:

x 

E 1  2

 u v  E  x   y  ,  y  1  2  

 v u  E  u v   y   x  ,  xy  2(1   )  y  x  .    

(11.41)

A fenti feszültségképleteket visszatéve a (11.4) egyensúlyi egyenletbe kapjuk a Navierféle egyenleteket:

G 2 u 

E   u v      qx  0 , 2(1   ) x  x y 

G 2v 

E   u v      qy  0 . 2(1   ) y  x y 

(11.42)

Síkalakváltozási állapotra hasonlóan vezethető le a Navier-féle egyenlet, ekkor a következőt kapjuk:

G 2 u 

E   u v      qx  0 , 2(1   )(1  2 ) x  x y 

G 2 v 

E   u v      qy  0 . 2(1   )(1  2 ) y  x y 

(11.43)

Síkfeszültségi állapot esetén a feszültségi tenzor első skalárinvariánsa:


www.tankonyvtar.hu

168

Végeselem-módszer

 I   x   y  2  .

(11.44)

11.4.4. Peremérték-feladatok Lemez alakú szerkezetek középsíkjára nézve szimmetrikus külső erőeloszlás esetén a feszültségfüggvény egzakt megoldása, amely teljesíti az egyensúlyi és a kompatibilitási egyenleteket is, a következő [2]:

  0 

1  ( 2  0 ) z 2 , 2 1 

(11.45)

ahol:

 0   0 ( x, y) ,

(11.46)

ami teljesíti a

4 0  0

(11.47)

egyenletet. A (11.45)-ben a második, z-től függő tag elhanyagolható, ha a lemez vékony, ebben az esetben:

4   4 0  0 .

(11.48)

Vékony lemezek esetén a (11.45) egyenletből számolt valóságos feszültségeloszlást nagyon jól megközelítjük (11.48) alapján is. Foglaljuk össze, hogy milyen feltételei vannak a síkfeszültségi állapotnak! A vizsgált testnek vékony lemeznek kell lenni, a lemez két z normálisú felülete terheletlen legyen, a külső erők csak x vagy y irányúak lehetnek, a vastagság mentén a terhelés szimmetrikus legyen az x és y tengelyekre nézve. A síkfeladatok alapegyenlet-rendszere egy parciális differenciálegyenlet-rendszer (egyensúlyi egyenlet, geometriai egyenlet és anyagtörvény), amihez peremfeltételek is tartoznak. A dinamikai peremfeltétel a feszültségi tenzor és a külső terhelés vektora közötti összefüggés a peremgörbe bizonyos pontjaiban:

n  p,

(11.49)

ahol p valamely peremfelületen megoszló terhelés sűrűségvektora, n pedig a peremfelületről, vagy annak egy részéről kifelé mutató normális vektor, amely párhuzamos az x-y síkkal. A kinematikai peremfeltétel adott pont (vagy pontok) előírt elmozdulását jelenti: u ( x0 , y 0 )  u b ,

www.tankonyvtar.hu

(11.50)



169

ahol ub az előírt elmozdulás vektora, x0 és y0 pedig az adott pont koordinátái. Az alapegyenletrendszert és a hozzá tartozó dinamikai és kinematikai peremfeltételeket együtt peremértékfeladatnak nevezzük. Megjegyezzük, hogy a síkfeladatok alapegyenlet-rendszerét és peremfeltételeit teljesítő megoldások levezetése analitikusan közel lehetetlen feladat. A feladatok megoldását „inverz”, vagy „fél-inverz” módon szokták megkeresni [1]. Az inverz módszer lényege, hogy kiválasztunk egy megoldást, és ez után megkeressük, hogy ezzel a megoldással milyen peremfeltételeket lehet maradéktalanul kielégíteni, azaz először a megoldást vezetjük le, és utána fogalmazzuk meg a hozzá tartozó feladatot. A fél-inverz módszer lényeg, hogy egy adott feladat esetén feltételezünk egy részlegesen ismert megoldást. A részlegesen ismert megoldás a független változók ismert és ismeretlen függvénye. A részleges megoldást visszahelyettesítve az alapegyenlet-rendszerbe egy egyszerűbb differenciálegyenlet-rendszert kapunk az ismeretlen függvényekre nézve. A feladatot ezután a megfelelő peremfeltételek alapján direkt módszerekkel tudjuk megoldani. 11.5.

Példák síkfeszültségi állapotra

11.5.1. Négyzet alakú lemez peremterhelésének meghatározása A 11.4 ábrán vázolt négyzet alakú, vékony lemezre adott az Airy-féle feszültségfüggvény az x-y koordináta-rendszerben [3]:

 ( x, y) 

p0 a2

1 2 2 1 4  x y  y . 6  2

(11.51)

ahol p0 vonal menti megoszló teher intenzitása. A térfogati erő elhanyagolható, feltételezzünk síkfeszültségi állapotot.

11.4 ábra. Síkfeszültségi állapotú négyzet alakú lemez.

Milyen erőrendszer terheli a lemez peremét? Először állítsuk elő a feszültségmezőt:

x 

 2  p0 2  2  p0 2 2  ( x  2 y ) ,    y , y y 2 a 2 x 2 a 2


(11.52) www.tankonyvtar.hu

170

 xy   yx  

Végeselem-módszer

p 2   20 2 xy ,  z  0 . xy a

A peremterheléseket a dinamikai peremfeltétel felhasználásával és a peremgörbékre történő lokalizálással tudjuk kiszámítani. Ehhez szükség van a peremgörbékből kifelé mutató normálisokra: peremgörbe 1 2 3 4

konstans koordináta x=0 x =a y =0 y=a

normális (n) -i i -j j

valamint (11.49)-re és (11.52)-re, amelyek alapján a következőket kapjuk:

 p0 2  x (0, y )  xy (0, y ) 0  1   x (0, y )  a 2 2 y     0 , p 1   i   xy (0, y )  y (0, y ) 0  0    0     0   0  0 0  0   0  

(11.53)

 p0 2 2   a 2 (a  2 y )  x (a, y )  xy (a, y ) 0 1  x (a, y )    p p 2   i   xy (a, y )  y (a, y ) 0 0   xy (a, y )    0 2 y  , a    0 0 0 0  0   0       x ( x,0)  xy ( x,0) 0  0    xy ( x,0) 0 p 3   j   xy ( x,0)  y ( x,0) 0  1    y ( x,0)   0 ,  0  0 0 0  0   0

  x ( x, a)  xy ( x, a) 0 0  xy ( x, a)  p 4   j   xy ( x, a)  y ( x, a) 0 1   y ( x, a)      0 0 0 0  0   

p0  2 x a p0  .  0  

A peremterheléseket úgy kapjuk meg, hogy a fenti vektorok komponenseit, mint függvényeket a peremek mentén ábrázoljuk. Ezt mutatja a 11.5 ábra, ahol a 11.5a ábrán a normál irányú (peremgörbére merőleges) a 11.5b ábrán a tangenciális (peremgörbékhez képest érintőleges) feszültségeloszlásokat ábrázoltuk.

www.tankonyvtar.hu



171

11.5 ábra. Síkfeszültségi állapotú négyzet alakú lemez normális (a) és tangenciális (b) peremterhelései

11.5.2. Tangenciálisan terhelt lemez vizsgálata A 11.6 ábrán vázolt 2hL méretű, vékony lemezben a térfogati erő elhanyagolható, feltételezzünk síkfeszültségi állapotot. Az ábrán látható terhelés esetén adott az Airy-féle feszültségfüggvény [3]:

 ( x, y ) 

pt 4

 xy 2 xy 3 Ly 2 Ly 3   xy   2   2  . h h h h  

(11.54)

11.6 ábra. Síkfeszültségi állapotú, tangenciálisan terhelt lemez.

Egzakt megoldása-e az adott (x,y) függvény a fenti feladatnak? Egy (x,y) függvény egzakt megoldása a feladatnak, ha teljesíti a síkfeladatok alapegyenletét és a dinamikai peremfeltételeket. A fenti függvény alapján belátható, hogy síkfeladatok alapegyenlete (11.39-es egyenlet) ebben az esetben teljesül, hiszen a parciális differenciálegyenlet negyedrendű, a függvény pedig legfeljebb y harmadik hatványát tartalmazza. Vizs-


www.tankonyvtar.hu

172

Végeselem-módszer

gáljuk meg a dinamikai peremfeltételeket! Az előző feladathoz hasonlóan számítsuk ki a feszültségmezőt:

 2  1  L  x 3( L  x)  2  x  2  pt   y,  y  2  0 , 2  h y h2 x 

 xy   yx

(11.55)

2 1  2 y 3y 2     pt 1   2  ,  z  0 . xy 4  h h 

Ezek alapján kifejezzük a peremterheléseket: x = L:  x  0 ,  yx  

1  2 y 3y 2  p t 1   2  , 4  h h 

(11.56)

y = h:  y  0 ,  xy  pt , y = -h:  y  0 ,  xy  0 . Végül ettől függetlenül írjuk fel a 11.6 ábra alapján a dinamikai peremfeltételeket! A dinamikai peremfeltétel szerint a peremgörbén lehetséges feszültségeknek meg kell egyezni a tehervektor megfelelő (normális vagy tangenciális) komponensével. Ez alapján: x = L:  x  0 ,  yx  0 ,

(11.57)

y = h:  y  0 ,  xy  pt , y = -h:  y  0 ,  xy  0 . A peremfeltételeket összehasonlítva a peremterhelésekkel, látható, hogy egy feltétel nem teljesül, mégpedig az x = L peremen a yx nem nulla, azaz sérül a peremfeltételek közül egy. Vannak azonban kitüntetett pontok. A képlet szerint:



1  2 y 3y 2  2 y 3y 2 pt 1   2   0  1   2  0  3 y 2  2 yh  h 2  0 , 4  h h h  h

(11.58)

aminek megoldása y1 = 1/3h és y2 = h, azaz két pontban teljesül a dinamikai peremfeltétel. A megadott (x,y) függvény tehát nem egzakt megoldása a 11.6 ábrán látható feladatnak, mert a dinamikai feltételek közül egy sérül. Ez azonban elfogadható, mint közelítő megoldás, hiszen a (11.39) alapegyenlettel együtt tíz feltételből kilencet teljesít. Meg kell jegyezni, hogy az x = 0 perem egy befogott perem, ami kinematikai peremfeltételt jelent, ebben a feladatban ezt ezért nem vizsgáltuk.

www.tankonyvtar.hu



11.6.

173

Síkfeladatok alapegyenletei polárkoordináták segítségével

A rugalmasságtanban több olyan feladattípus is van, amelynek megoldását hengerkoordinátarendszerben célszerű felírni. A 11.7 ábra alapján felírhatók a következő összefüggések [1]:

x  r cos  , y  r sin  ,

  arctan

(11.59)

y 2 , r  x2  y2 . x

11.7 ábra. Polárkoordináta-rendszer paraméterei.

A polárkoordináták x és y szerinti deriváltjai (11.59) utolsó képlete alapján:

r x r y   cos  ,   sin  , x r y r

(11.60)

 y sin   x cos  , .  2   2  x r y r r r Az x és y szerinti deriválást a láncszabály alapján írhatjuk fel:

 r     sin   ,    cos   x x r x  r r 

(11.61)

 r     cos      sin   y y r y  r r  Az alapegyenletek felírásához felhasználjuk a feszültség-transzformációs képleteket [1]. A normál- és csúsztatófeszültségeket a következő képletekkel tudjuk transzformálni egy z körül -val elforgatott koordinátarendszerbe:


www.tankonyvtar.hu

174

Végeselem-módszer

 n  n T  n ,  mn  mT  n ,

(11.62)

ahol:

n  cos  sin  0, m   sin  cos  0 , T

T

(11.63)

amivel kapjuk:

 x   r cos 2     sin 2    r sin 2 ,

(11.64)

 y   r sin 2     cos 2    r sin 2 ,  xy  (    r ) sin  cos    r (cos 2   sin 2  ) , Hasonló transzformációs képletek vezethetők le az alakváltozási jellemzőkre is (x, y, xy). A (11.64) képleteket visszatéve a (11.4) egyensúlyi egyenletbe, valamint feltételezve, hogy térfogati erők is működnek, kapjuk, hogy [1,2]:

 r 1  r  r       qr  0 , r r  r

(11.65)

1    r 2 r    q  0 , r  r r

ahol az előbbi a radiális, utóbbi pedig a tangenciális irányú egyenlet. A transzformációs összefüggéseket felírva az alakváltozási tenzor komponenseire is, illetve az elmozduláskomponensekre, levezethetők a következő képletek:

r 

u r u 1 u 1 u r u u ,   r  ,  r  ,   r r r  r  r r

(11.66)

ahol ur és u a radiális és tangenciális irányú elmozdulások. Az elmozdulás-komponensek kiküszöbölésével jutunk el a kompatibilitási egyenlethez:

 2  1  2 r 2   1  r 1  2 r 1   2     2 r . 2 2 r r r r r r r  r r 

(11.67)

A Hooke-törvény esetén nincs szükség transzformációra, mivel a polárkoordináta-rendszer ortogonális. Ezért pl. a síkfeszültségi állapotra vonatkozó (11.20) képletekben az x-et r-el, az y-t -val kell helyettesíteni:

r 

1 1 2(1   ) ( r    ) ,    (    r ) ,  r   r , E E E

www.tankonyvtar.hu

(11.68)



r 

175

E  r   ),    E 2     r ),  r  E  r . 2 2(1   ) 1  1 

Ugyanezek a képletek síkalakváltozás esetén (11.26) alapján:

r 

2(1   ) 1  2  1  2  ( r    ) ,   (    r ) ,  r   r , E 1  E 1  E

r 

E 1 

 E    r  1  2 ( r    ) ,    1  

(11.69)

 E      1  2 ( r    ) ,  r  2(1   )  r .

Síkalakváltozás esetén az alakváltozási tenzor első skalárinvariánsa:

 I   r   

1 (rur ) 1 u .  r r r 

(11.70)

A feszültség- és alakváltozási komponenseket visszahelyettesítve a (11.65) egyensúlyi egyenletbe (síkalakváltozás) és behelyettesítve az első skalárinvariánst, kapjuk a Navier-féle egyenletet polárkoordinátákkal [1,2]:

(  2G)

 I 2G    qr  0 , r r 

(  2G)

1  I   2G  q  0 , r  r

(11.71)

ahol



1  (ru ) u r     2r  r  

(11.72)

a z tengely körüli forgás, a  pedig a Lamé-féle paraméter:



E (1   )(1  2 )

.

A síkfeladatok alapegyenletét a Hamilton-operátor polárkoordinátákkal. A (11.48) és (11.61) képletek alapján:

(11.73) segítségével

 2 1  1  2   2 1  1 2      0 .  4    2  2    2   2   r r r  2  r 2 r r r 2  2   r


tudjuk

felírni

(11.74)

www.tankonyvtar.hu

176

Végeselem-módszer

A feszültségek képleteit a differenciálhányadosokat megadó (11.61)-es és a (11.64) transzformációs képletek segítségével fejezhetjük ki:

  1   1  1  2  2 r   2 ,    2 ,  r    . 2 r r r  r  r   r

(11.75)

Az utóbbi három képlet mind síkfeszültség, mind pedig síkalakváltozás esetén igaz. Az egyensúlyi egyenleteket, alakváltozás-elmozdulás kapcsolatot infinitezimális elemek polárkoordináta-rendszerben való vizsgálatával is le lehet vezetni [1]. Tengelyszimmetrikus síkfeladatok

11.7.

A polárkoordináták használata különösen hasznos forgásszimmetrikus vagy más néven tengelyszimmetrikus feladatok megoldásakor. Ekkor az elmozdulások, feszültségek függetlenek a szögkoordinátától (), így a  szerinti deriváltak mindenhol eltűnnek. A síkfeladatok alapegyenlete a következő lesz (11.74) alapján:

 d4 2 d3 1 d2 1 d   4    0 .   3 3 2 2 r dr r dr r dr   dr

(11.76)

Ezt az egyenletet át lehet alakítani konstans együtthatós differenciálegyenletté egy új változó,  bevezetésével:

r  e .

(11.77)

Így (11.76) a következő lesz:

 d4 d3 d2   4  4 3  4 2    0 , d d   d

(11.78)

amelynek általános megoldása:

  Ae 2  Be 2  C  D .

(11.79)

Visszatéve e-t:

  Ar 2 ln r  Br 2  C ln r  D ,

(11.80)

ahol A, B, C és D konstansok. A feszültségképletek (11.75) alapján:

r 

1  2 ,    2 ,  r  0 . r r r

www.tankonyvtar.hu

(11.81)



177

A megoldásfüggvényt visszatéve kapjuk:

 r  2 A ln r 

C C  A  2 B ,    2 A ln r  2  3 A  2 B ,  r  0 . 2 r r

(11.82)

11.7.1. Tömör körhenger és vastagfalú cső Nézzünk néhány példát a fenti egyenletek, képletek alkalmazására [1]! Tömör körhenger esetén a feszültségek r = 0-nál nem lehetnek végtelenek, ezért

A  C  0.

(11.83)

Tehát a feszültségek egy tömör körhenger esetén:

 r     2B ,  r  0 .

(11.84)

Ez egy normális irányban a külső paláston 2B nyomással terhelt körhenger megoldása. Furatos körhenger vagy vastagfalú cső (11.8a ábra) esetén nem elegendő a dinamikai feltételek vizsgálata, kinematikai peremfeltételeket is elő kell írni.

11.8 ábra. Előírt perem-elmozdulású körhenger (a), vékony forgó tárcsa (b).

Az alakváltozási jellemzők a következők lesznek (11.66) alapján:

r 

du r u ,    r ,  r  0 . dr r

(11.85)

A (11.68) feszültség-alakváltozás kapcsolat segítségével juthatunk el az alábbi összefüggésekhez:

du r u  K1 ( r  K 2  ) , r  K1 (   K 2 r ) , dr r


(11.86)

www.tankonyvtar.hu

178

Végeselem-módszer

ahol:

K1 

1  , K2  , E 1 

(11.87)

síkfeszültségi állapotra, illetve

K1 

1  2 , K2  , E

(11.88)

síkalakváltozási állapotra. Ezek felhasználásával fejezzük ki a fajlagos nyúlásokat: du r C C  K1 (2 A ln r  2  A  2 B  K 2 (2 A ln r  2  3 A  2 B)) , dr r r

(11.89)

ur C C  K1 (2 A ln r  2  3 A  2 B  K 2 (2 A ln r  2  A  2 B)) . r r r Az előbbi egyenlet integrálásával kapjuk:

u r  K1 (2 Ar ln r  Ar  2 Br 

C C  K 2 (2 Ar ln r  Ar  2 Br  )  H ) , r r

(11.90)

ahol H integrálási konstans. A fenti képletet r-el osztva és egyenlővé téve a (11.89) második egyenletével a következőt adja: 4 Ar  H  0 .

(11.91)

Mivel azonban a fenti egyenletnek minden r értékre teljesülnie kell, ezért a triviális megoldást kell venni:

A  H  0.

(11.92)

A másik két konstans, B és C pedig a külső és belső peremekre előírt kinematikai feltételekből határozható meg. Az általános megoldás tehát:

u r (r )  K1 (2 Br (1  K 2 ) 

C (1  K 2 )) . r

(11.93)

A furatos körhenger a Navier-egyenlet alapján is megoldható. Ha az elmozdulásmező független a  koordinátától akkor  = 0, azaz a (11.70)-(11.71) egyenletekből kapjuk:

d 2 u r 1 du r u r    0, r dr r 2 dr 2

www.tankonyvtar.hu

(11.94)



179

aminek általános megoldása:

u r (r )  c1 r 

c2 . r

(11.95)

Látható, hogy matematikailag azonos (11.93)-al. Egy külső peremen megfogott, belső peremen nyomással terhelt furatos körhenger kinematikai peremfeltételei: u r (rb )  u 0 , u r (rk )  0 .

(11.96)

A megoldásfüggvény alapján a konstansok: c1 

 rb rk2 rb , c  u0 , u 2 0 rb2  rk2 rb2  rk2

(11.97)

valamint a megoldás:

u r (r ) 

rb u 0 rk2 ( r  ). r rb2  rk2

(11.98)

Az alakváltozási jellemzőket a (11.85), a feszültségeket a (11.68) képletek segítségével lehet kiszámítani. 11.7.2.

Forgó tárcsák

Ha a körhenger vastagsága kicsi, akkor tárcsáról beszélünk (11.8b ábra). Ha a tárcsa forog, akkor térfogati erő is ébred a tárcsához kötött vonatkoztatási rendszerben. A radiális irányú egyensúlyi egyenlet (11.65) ekkor a következő lesz [2]: d r  r      q r  0 és qr  r 2 , dr r

(11.99)

ahol  a tárcsa szögsebessége,  pedig a tárcsa anyagának sűrűsége. Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy:

d (r r )     r 2 2  0 . dr

(11.100)

Ezt az egyenletet ki lehet elégíteni, ha az F feszültségfüggvényt a következőképpen vezetjük be:

r r  F ,   

dF  r 2 2 . dr


(11.101)

www.tankonyvtar.hu

180

Végeselem-módszer

Az alakváltozási jellemzőket a furatos körhengernél már levezettük, a (11.85) egyenletekből kiküszöbölve ur -t kapjuk, hogy:

   r  r

d   0. dr

(11.102)

Síkfeszültségi állapotot feltételezve és felhasználva a (11.68) képleteket kapjuk:

r 

1 1F dF  ( r    )     (  r 2 2 )  , E E r dr 

 

1 1  dF F (    r )    r 2 2    . E E  dr r

(11.103)

Ezt visszahelyettesítve a (11.101) képletbe jutunk a következőhöz:

r2

d 2F dF r  F  (3   ) r 3 2  0 , 2 dr dr

(11.104)

azaz a feszültségfüggvényre egy másodfokú differenciálegyenletet kapunk, aminek megoldása:

1 3  3 2 F  Ar  B  r  . r 8

(11.105)

A feszültségkomponensek pedig (11.101) alapján:

 r (r )  A  B

1 3  2 2 1 1  3 2 2  r  ,   (r )  A  B 2  r  , 2 8 8 r r

(11.106)

ahol az A és B integrálási konstansok, amiket a peremfeltételekből lehet meghatározni. Az elmozdulásmező levezetéséhez felhasználjuk a (11.85) képletet, amiből:

du r (1  ) (1   ) 3(1   2 ) 2 2 A B  r  , dr E 8E Er 2

(11.107)

aminek integrálásával jutunk a

u r (r )  A

(1   ) (1   ) (1  2 ) 3 2 rB  r  E Er 8E

(11.108)

képlethez. A forgó tárcsa alapegyenletei összefoglalva az alábbiak:

www.tankonyvtar.hu



 r (r )  A  B

1  C1 r 2 , 2 r

  (r )  A  B

1  C2 r 2 , r2

181

(11.109)

1 u r (r )  ar  b  cr 3 , r ahol:

C1  

aA

3  1  3  2 , C 2    2 , 8 8

(1   ) (1   2 ) (1   ) ,b  B ,c    2 . E 8E E

(11.110)

(11.111)

Nézzünk egy példát a fenti képletek alkalmazására! A 11.9 ábrán vázolt rugalmas tárcsát  túlfedéssel szerelik a merev tengelyre [3]. Adatok: rb = 0,02 m, rk = 0,2 m, h = 0,04 m,  = 0,0210-3 m,  = 7800 kg/m3, E = 200 GPa,  = 0,3. a. Mekkora lehet a tárcsa maximális szögsebessége, ha azt akarjuk, hogy a tárcsa ne lazuljon meg? b. Számítsuk ki a tengely és a tárcsa közötti, érintkezésből adódó kontaktnyomást akkor, amikor nem forog a szerkezet!

11.9 ábra. Forgó tárcsa merev tengelyen.

Az a. ponthoz először írjuk fel a feladat peremfeltételeit! A radiális elmozdulás a belső furaton a túlfedés értékével kell, hogy megegyezzen, ami egy kinematikai feltétel:


www.tankonyvtar.hu

182

Végeselem-módszer

u r (rb )    arb  b

1  cr b3   . rb

(11.112)

A tárcsa külső hengerpalástja szabad felület, azaz rá merőlegesen a radiális feszültség a dinamikai peremfeltétel szerint zérus:

 r (rk )  0  A  B

1  C1 rk2  0 . 2 rk

(11.113)

Ha a tárcsa meglazul a tengelyen, akkor ott szabad felület keletkezik, emiatt a radiális feszültségnek itt is nullával kell egyenlőnek lenni, azaz:

 r (rb )  0  A  B

1  C1 rb2  0 . 2 rb

(11.114)

A megoldandó egyenletrendszerben három ismeretlen van: A, B és , hiszen a és b nem függetlenek A-tól és B-től. Vonjuk ki a (11.113) és (11.114) egyenleteket egymásból:

 1 1 B 2  2   C1 (rk2  rb2 )  0  B  C1rb2 rk2 .  rk rb 

(11.115)

Ezt visszahelyettesítve a (11.114) képletbe:

A  C1 (rb2  rk2 ) ,

(11.116)

és így:

a

(1   ) (1   ) C1 (rb2  rk2 ) , b  C1 rb2 rk2 . E E

(11.117)

A kinematikai feltételbe visszatéve a konstansokat:



(1   ) (1   ) 1 (1   2 ) C1 (rb2  rk2 )rb  C1rb2 rk2   2 r b3   . E E rb 8E

(11.118)

A C1 konstans beírásával és az egyenlet átrendezésével a maximális szögsebességre a következőt kapjuk:

  880,5 rad / s  max .

(11.119)

A szögsebesség ismeretében a konstansok is kiszámíthatók: A  1,008  108 Pa , B  39915 N , C1  2,495  109 N / m 4 , www.tankonyvtar.hu

(11.120) © Szekrényes András, BME


C2  1,436  10 9 N / m 4 , a  3,53  10 4 ,

183

b  2,59  10 7 m 2 , c  3,439  10 3 1 / m 2 .

A b. pont megoldásához felírjuk, hogy ha a tárcsa nem forog, akkor  = 0 és így: C1 = C2 = c = 0. Ekkor a radiális elmozdulás a belső furaton a túlfedés értékével kell, hogy megegyezzen:

u r (rb )    arb  b

1  cr b3   . rb

(11.121)

A tárcsa külső hengerpalástja továbbra is szabad felület, azaz:

 r (rk )  0  A  B

1  C1 rk2  0 . 2 rk

(11.122)

A feladat megoldása: A  1,530  10 6 Pa , B  61208,9 N ,

(11.123)

a  5,356  106 , b  3,978  10 7 m 2 .

A kétféle állapothoz tartozó radiális és tangenciális feszültségeloszlásokat a 11.10 ábra mutatja.

11.10 ábra. A radiális és tangenciális feszültségek eloszlása tárcsaszerkezetben forgó (a) és nyugalmi (b) állapotban.

Bibliográfia [1]

Pei Chi Chou, Nicholas J. Pagano, Elasticity – Tensor, dyadic and engineering approaches, D. Van Nostrand Company, Inc., 1967, Princeton, New Jersey, Toronto, London.


www.tankonyvtar.hu

184

[2] [3]

Végeselem-módszer

S. Timoshenko, J. N. Godier. Theory of elasticity. McGraw-Hill Book Company, Inc., 1951, New York, Toronto, London. Uj József, Rugalmasságtan és VEM c. tárgy előadásai és gyakorlatai, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tanszék, 1998/1999 őszi félév, Budapest.

www.tankonyvtar.hu


12.

SÍKFESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MODELLEZÉSE VEM PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. MODELLEZÉS, KIÉRTÉKELÉS PROBLÉMAKÖRÉNEK ELEMZÉSE

12.1.

Síkfeladatok végeselemes megoldása

A végeselem-módszer alkalmazásakor az egész szerkezet síkbeli tartományát diszkrét elemekre osztjuk fel, erre mutat példát a 12.1 ábra [1].

12.1 ábra. A végeselem-módszer alapgondolata síkmodell és síkelemek esetén.

A módszer alkalmazása során a teljes potenciális energia minimum-elvét használjuk fel a végeselemes egyensúlyi egyenlet levezetéséhez. A teljes potenciális energia egy síkelemre a következőképpen írható fel [2]:

e  U W 

n 1 T T T T   dV  u p dA  u q dV  u ( xi , y i ) F i ,     2 Ve i 1 Ape Ve

(12.1)

ahol  a feszültségkomponensek,  pedig az alakváltozási jellemzők vektora:

 T   x ,  y ,  xy ,

(12.2)

 T   x ,  y , xy , továbbá u = ui + vj az elmozdulás-vektormező, p a felületi, q a térfogati terhelés sűrűségvektora, Fi az elemre működő koncentrált erők vektora, támadáspontjának koordinátái xi és yi, Ape a síkelem felületi erőkkel terhelt peremfelület-része, Ve pedig az elem térfogata. Az elmozdulásmezőt interpoláció segítségével állítjuk elő:

u( x, y)  N ( x, y)u e ,


(12.3)

www.tankonyvtar.hu

186

Végeselem-módszer

ahol N az interpolációs függvények mátrixa, amelynek mérete az elem szabadsági fokától függ, ue az elem csomóponti elmozdulások vektora. A rugalmasságtan alapegyenletei alapján az alakváltozási tenzormező és az elmozdulásmező kapcsolata mátrix alakban:

  u ,

(12.4)

ahol  a differenciáloperátorok mátrixa, amely (11.10) és (11.13) alapján írható fel:    x  0     y

 0   . y    x 

(12.5)

Az utóbbi összefüggések kombinációja adja, hogy:

  u   N u e  Bu e ,

(12.6)

ahol B az alakváltozás-elmozdulás mátrix. A feszültségmező kiszámítható a következő képlettel:

  C ,   C Bu e ,

(12.7)

ahol C az rugalmassági állandók mátrixa  számítását a 11. fejezetben már elvégeztük síkfeszültségi és síkalakváltozási állapotra. Az alakváltozási energia egy végeselemre:

Ue 

1 1 1  T  dV    u Te B T C T Bu e vdxdy  u Te K e u e ,  2 Ve 2 2

(12.8)

ahol K e az elem merevségi mátrixa:



K e  B C BdV  T

T

B

T

T

C Bvdxdy ,

(12.9)

Ve

amelynek mérete az elem szabadsági fokától függ. Síkelemek esetén az elem differenciális térfogata: dV  vdA  vdxdy alakban írható, ahol v az elem vastagsága. Az elemre ható külső erők munkája (12.3) felhasználásával: We 

n

 u pdA   u qdV   u ( xi , yi ) F i  u e T

Ape

T

Ve

www.tankonyvtar.hu

i 1

T

T

N Ape

T

pdA  u e  N qdV  u e F ec , T

T

T

(12.10)

Ve


12. Síkfeszültségi állapot modellezése VEM programrendszerek segítségével

187

ahol F ec az elem csomópontjaiban működő koncentrált erők vektora. A teljes potenciál ekkor a következő alakban írható fel:

e 

1 T T ue K e ue  ue F e , 2

(12.11)

N

(12.12)

ahol:

Fe 

T

pdA   N qdV  F ec  F eb  F ep  F ec , T

Ape

Ve

az elemre ható erők vektora. A teljes potenciális energia minimum-elvének alkalmazása segítségével jutunk el az elemre vonatkozó végeselemes egyensúlyi egyenlethez:

K e ue  F e  0.

(12.13)

A teljes szerkezetre előállítva a merevségi mátrixot, valamint az elmozdulások és csomóponti erők vektorát kapjuk a szerkezeti egyensúlyi egyenletet:

KU  F  0 ,

(12.14)

ahol K a szerkezeti merevségi mátrix, U a szerkezeti csomóponti elmozdulásvektor, F pedig a szerkezeti erővektor vagy tehervektor. A végeselemes egyenlet tehát egy algebrai egyenletrendszerhez vezet, amelynek megoldásai a csomóponti elmozdulások értékei. Ezek segítségével a csomópontokban ébredő belső erők (feszültségek) is kiszámíthatók. A síkfeladatok megoldására többféle elemtípus létezik. Ezek közül a továbbiakban a legegyszerűbbeket tekintjük át. 12.2.

Lineáris három csomópontos háromszögelem

A lineáris háromszögelem (Turner triangle) [1,3], vagy más néven háromszög alakú síkmembrán elem, illetve konstans alakváltozású háromszögelem (constant strain triangle - CST) vázlatát a 12.2. ábra mutatja. Minden csomópontban két szabadsági fok van. A teljes elemre tehát összesen hat szabadsági fokunk van. Az elem közepén lévő nyíl az orientációra utal, azaz minden elemnél van egy körüljárási irány, amely alapján a csomópontok követik egymást. 12.2.1. Az elmozdulásmező interpolációja A csomópontok x, y koordinátáit és a csomóponti elmozdulásokat vektorokkal írjuk fel:

x e  x1

y1

x2

y2

x3

u e  u1

v1 u 2

v2

u3

T

T


y3  ,

(12.15)

v3  . www.tankonyvtar.hu

188

Végeselem-módszer

12.2 ábra. Lineáris háromszögelem. Csomóponti koordináták és elmozdulások.

A háromszög területe determinánsként kifejezhető: 1 x1 2 Ae  1 x2 1 x3

y1 y2  ( x2 y3  x3 y2 )  ( x3 y1  x1 y3 )  ( x1 y2  x2 y1 )  1   2   3 .

(12.16)

y3

Az elemre vonatkozó elmozdulásmező u és v komponenseit x és y lineáris függvényeként írjuk fel: u( x, y)  a0  a1 x  a2 y ,

(12.17)

v( x, y)  b0  b1 x  b2 y ,

ahol a0, a1, a2, b0, b1 és b2 ismeretlen konstansok. Az alakváltozási jellemzők vektora:

 T   x ,  y ,  xy ,

(12.18)

ahol a (11.10) és (11.13) képletek alapján:

x 

u v u v  b2 ,  xy    a 2  b1 .  a1 ,  y  x y y x

(12.19)

Az u(x,y) és v(x,y) függvényeknek vissza kell adni a csomóponti elmozdulásokat akkor, ha egy adott csomópont koordinátáit helyettesítjük be a (12.17) képletbe, azaz: u1  a0  a1 x1  a2 y1 , v1  b0  b1 x1  b2 y1 , www.tankonyvtar.hu

(12.20)



189

u 2  a0  a1 x2  a2 y 2 , v2  b0  b1 x2  b2 y 2 , u3  a0  a1 x3  a2 y3 , v3  b0  b1 x3  b2 y3 .

A fenti egyenletrendszert megoldva a konstansokra kapjuk: a0 

b0 

 1u1   2 u 2   3u3 2 Ae

 1v1   2 v2   3 v3 2 Ae

, a1 

, b1 

1u1   2 u 2   3u3 2 Ae

1v1   2 v2   3 v3 2 Ae

, a2 

, b2 

 1u1   2 u 2   3u 3 2 Ae

 1v1   2 v2   3 v3 2 Ae

,

,

(12.21)

ahol:

 1  x 2 y 3  x3 y 2 ,  1  y 2  y 3 ,  1  x 3  x 2 ,

(12.22)

 2  x3 y1  x1 y3 ,  2  y3  y1 ,  2  x1  x3 ,  3  x1 y 2  x2 y1 ,  3  y1  y 2 ,  3  x2  x1 . A fenti megoldást visszatéve az elmozdulásmező (12.17) két komponensébe kapjuk, hogy:

u ( x, y) 

1 [(1  1 x   1 y)u1  ( 2   2 x   2 y)u 2  ( 3   3 x   3 y)u3 ] , 2 Ae

v( x, y ) 

1 [(1  1 x   1 y)v1  ( 2   2 x   2 y)v2  ( 3   3 x   3 y)v3 ] . 2 Ae

(12.23)

Figyelembe véve, hogy a háromszögelemre három interpolációs függvényünk van (ld. (12.3)), írhatjuk, hogy: 3

u ( x, y )  N1u1  N 2 u 2  N 3u3   N i ( x, y)ui ,

(12.24)

i 1

3

v( x, y )  N1v1  N 2 v2  N 3 v3   N i ( x, y)vi . i 1

A (12.21) képletek alapján az interpolációs függvények a következő formában írhatók fel: N i ( x, y ) 

i  i x   i y 2 Ae

, i = 1, 2, 3.


(12.25)

www.tankonyvtar.hu

190

Végeselem-módszer

Az interpolációs polinomok mátrixa tehát az u( x, y)  N ( x, y)u e összefüggés alapján:

N N 1 0

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

0 . N 3 

(12.26)

Az interpolációs függvények szintvonalait a 12.3 ábra mutatja, amely alapján azok néhány tulajdonsága: - a csomópontokban ( N1 , N 2 , N 3 ) : (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) , - az oldalak felezőpontjaiban ( N1 , N 2 , N 3 ) : (1 / 2,1 / 2,0) , (1 / 2,0,1 / 2) , (0,1 / 2,1 / 2) , - a súlypontban ( N1 , N 2 , N 3 ) : (1 / 3,1 / 3,1 / 3) , - azaz látható, hogy minden pontban: N1  N 2  N 3  1 , - végül:

N

i 1

N 2j N 3k dA 

Ae

i! j!k! 2 Ae . (i  j  k  2)!

(12.27)

12.3 ábra. Az interpolációs függvények szintvonalai lineáris háromszögelemre.

12.2.2. A merevségi mátrix számítása Az elem merevségi mátrix definíciója (12.9) alapján:

K e    B C Bvdxdy , T

T

(12.28)

ahol a már említett alakváltozás-elmozdulás mátrix (12.5) és (12.26) alapján:

www.tankonyvtar.hu



   x B  N   0     y

 0     N1 y   0   x 

 N 1   x  0   N  1  y

N 2 x

0 N 1 y N 1 x

0 N 2 y

0 N1

N2 0

0 N2

N3 0

191

0  N 3 

(12.29) 0

N 2 y N 2 x

N 3 x 0 N 3 y

 0  1  N 3  1   0 y  2 Ae    1 N 3   x 

2

0

3

1 0 1  2

2 2

0

0

3

0  3 .  3 

Tehát a B mátrix elemei függetlenek az x és y változóktól, csak a csomóponti koordinátáktól függnek. A merevségi mátrix tehát felírható, mint:

K e  B C BvAe  B C BVe , T

T

T

T

(12.30)

ahol Ae az elem területe, Ve = Aev pedig az elem térfogata. A merevségi mátrix lineáris háromszögelem esetén tehát viszonylag egyszerűen, zárt formában kiszámítható. 12.2.3. A terhelések megadása Térfogati erő. Legyen a térfogati erő vektora:

q x  q   , q y 

(12.31)

amiből:

 N1 0  N T   N qvdxdy    2 0 Ae  N3   0

F eb

0  N1q x  N q  N1   1 y N 2qx  q  0  x  vdA .    vdA    N q N 2  q y  Ae  2 y   N3qx  0    N 3   N 3 q y 

(12.32)

Felhasználva az interpolációs függvények (12.27) képlettel megadott tulajdonságát, pl. ha i = 1, j = 0 és k = 0, akkor:

1

 N dA  3 A . 1

e

(12.33)

Ae


www.tankonyvtar.hu

192

Végeselem-módszer

Ezzel:

F eb  T



1 Aev qx 3

qy

qx

qy

qx



qy .

(12.34)

Az elemre ható térfogati erőt (pl. teljes súlyát, és az abból adódó erőt) tehát a három csomópontba osztjuk szét azonos arányban. A térfogatra ható erő származhat pl. a gravitációból, vagy gyorsulásból (tehetetlenségi erő). Megoszló erő az elem élei mentén. Az él mentén megoszló erő számításához vizsgáljuk meg a 12.4 ábrán látható elem 1-2 élét. Az él mentén felveszünk egy dimenziótlan  paramétert. Az elem mentén értelmezett ívhossz tehát: s  l12 és ds  l12 d .

(12.35)

12.4 ábra. Lineáris háromszögelem x irányú megoszló erővel az 1-2 él mentén.

Az x irányú, lineárisan megoszló erő felírható a következő lineáris függvénnyel: p x ( )  p x1 (1   )  p x 2 .

(12.36)

Az x irányú elmozdulás-függvény az elem 1-2 éle mentén hasonlóan írható fel: u( )  u1 (1   )  u 2 .

(12.37)

A megoszló erő munkája definíciószerűen a megoszló erő szorozva az elmozdulásfüggvénnyel integrálva a perem mentén:

www.tankonyvtar.hu



193

1

W p  u e F ep   u e p l vds   p x ( )u ( )l12vd  T

T

l12

0

  u1 p x1 (1   ) 2  p x 2 (1   ) l12vd   u 2 p x1 (1   )  p x 2 2 l12vd  

1

1

0

0

(12.38)

l12v  1 1  u1 ( p x1  p x 2 ) u 2 ( p x1  p x 2 ). 3  2 2  Tehát a lineárisan megoszló erőből a következő erővektor adódik:

F ep  T

l12v  1 px1  px 2  3  2

0

1 px1  px 2 2

 0 0 0 . 

(12.39)

Ha a megoszló erő konstans, akkor px1 = px2 = px és ekkor:

F ep  T

l12v  px 2

0

px

0 0 0.

(12.40)

Az elem éle mentén működő y irányú megoszló erőből hasonlóan levezethető a végeselemes egyenletben megjelenő erővektor. Koncentrált erő. Koncentrált erő csak csomópontban működhet. Az erővektor egyszerűen felírható a csomópontok alapján:



F ec  Fx1 T

Fy1

Fx 2

Fy 2

Fx3



Fy 3 .

(12.41)

A teljes erővektor az előbbi pontokban leírt vektorok összegeként írható fel, azaz:

F e  F eb  F ep  F ec .

(12.42)

A végeselemes egyenlet megoldását, a merevségi mátrix és az erővektor számítását egy példán keresztül mutatjuk be. 12.3.

Kidolgozott példa lineáris háromszögelemre – síkfeszültségi állapot

A 12.5a ábrán látható modellt megoszló erőkkel terheljük. Számítsuk ki a csomóponti elmozdulásokat és erőket akkor, ha két lineáris háromszögelem segítségével építjük fel a lemezt! Számítsuk ki az alakváltozási jellemzőket és a feszültségeket [4]!


www.tankonyvtar.hu

194

Végeselem-módszer

12.5 ábra. Síkmodell megoszló erőkkel terhelve (a), két háromszögelemből álló végeselem modell (b).

Adatok: px =0,12 MPa, E =150 GPa, a =20 mm, c =10 mm, py =0,06 MPa,  =0,25, b=30 mm, v=5 mm A számítás során a méreteket [mm]-ben, az erőt pedig [N]-ban számoljuk. A lemez modelljét a 12.5b ábra alapján bontsuk szét két háromszögelemre. A csomóponti koordináták tehát: csomópont x [mm] y [mm] 1 0 0 2 20 0 3 20 30 4 10 30 Az elem-csomóponti táblázat: csomópont 1 2 2 3

elem 1 2

4 4

A megoldandó végeselemes egyensúlyi egyenlet:

KU  F ,

(12.43)

ahol: U  u1 T

v1 u 2

v2

www.tankonyvtar.hu

u3

v3

u4

v4  ,

(12.44)



195

a csomóponti elmozdulások szerkezeti vektora. A peremfeltételek (v1 = v2 = u2 = u3 = 0) miatt azonban:

U  u1 T

0 0 0 0 v3

u4

v4  .

(12.45)

A merevségi mátrix számításához szükség van a rugalmassági állandók mátrixára síkfeszültségi állapotra (ld. (11.23)):

C C

sf

  1  0  1,6 0,4 0   E  1  0   0,4 1,6 0   10 5 M Pa . 2 1   1   0 0.6 0 0   0 2  

(12.46)

Az interpolációs függvények együtthatói az első elemre:

1  y2  y4  30 mm ,  1  x4  x2  10 mm ,

(12.47)

 2  y4  y1  30 mm ,  2  x1  x4  10 mm ,  3  y1  y 2  0 mm ,  3  x2  x1  20 mm , valamint a második elemre:

1  y3  y 4  0 mm ,  1  x4  x3  10 mm ,

(12.48)

 2  y4  y2  30 mm ,  2  x2  x4  10 mm ,  3  y 2  y3  30 mm ,  3  x3  x2  0 mm . Az elemek területei:

Ae1 

1 1 20  30  300 mm 2 , Ae 2  10  30  150 mm 2 . 2 2

(12.49)

A B mátrix tehát az első elemre:

 1

B1 

1  0 2 Ae1    1

2

0

3

1 0 1  2

2 2

0

0


3

  1 0 1 0 0 1  1 1   3 .   0  0  20  3 3  3   1  1  1 1  3 3

0 0 2 3

 0 2 1 ,  3  mm 0 

(12.50)

www.tankonyvtar.hu

196

Végeselem-módszer

a második elemre:  1

B2 

1  0 2 Ae 2    1

2

0

3

1 0 1  2

2 2

0

0

  0 0 0 1  1   3 .   0  10  3  3   1 0  3

3

1 0 1 3

0 1 1 0 3 1

0

 0  1 . 0  mm  1 

(12.51)

Az elem merevségi mátrixok (12.30) alapján:

K e1

1,25  5,75  0,25  0,5 1   6,25  1,25 35 / 12 0,25  57 / 36  1,5  4 / 3    5,75 0,25 6,25  1,25  0,5 1  T T 5 N ,  B1 C B1Ve1     10  0 , 25  57 / 36  1 , 25 35 / 12 1 , 5  4 / 3 mm     0,5   1,5  0,5 1,5 1 0    4/3 1  4/3 0 8 / 3    1

K e2

0  0,5  1,5 0 1,5   0,5  0 4/3 1  4 / 3 1 0    0,5 1 12,5 2,5  12  1,5  T T 5 N  B 2 C B 2Ve 2   ,   10 mm   1,5  4 / 3 2,5 35 / 6  1  4,5  0 1  12 1 12 0    0  1,5  4,5 0 4,5   1,5

(12.52)

ahol Ve1 = Ae1v = 3005 = 1500 mm3 és Ve2 = Ae2v = 1505 = 750 mm3 az elemek térfogata. A szerkezeti merevségi mátrix előállításához az elemi mátrixokat kiegészítjük a hiányzó szabadsági fokokhoz tartozó sorokkal és oszlopokkal. A 12.5 ábra és az elem-csomóponti táblázat alapján látható, hogy az első elemhez az 1.,2. és 4. csomópontok tartoznak, következésképp a 3. csomóponthoz tartozó sorokat, oszlopokat ki kell egészíteni nullákkal:

 k e111 k e112  1 1 k e 21 k e 22 k e131 k e132  1 k e 41 k e142  K1   0 0  0  0 k 1 k e152  e51 1 1 k e 61 k e 62

k e113 k e123 k e133 k e143

k e114 k e124 k e134 k e144

0 0

0 0

k e153

k e154

0 0 0 0 0 0 0 0 k e155

k e163

k e164

0 0 k e165

0 0 0 0

0 0 0 0

k e115 k e125 k e135 k e145

k e116   k e126  k e136   k e146  . 0   0  k e156   k e166 

(12.53)

A második elemnél ezzel szemben az első csomóponthoz tartozó sorokat és oszlopokat töltjük fel nullával: www.tankonyvtar.hu



0 0  0  0 K2   0  0 0  0

0

0

0

0 0 0 2 0 k e11 k e212 0 k e221 k e222

k k

0 k e231 k e232 0 k e241 k e242 0 k e251 k e252

k k k

0 k e261

k

k e262

0

0

0

0

0

0

2 e13 2 e 23 2 e 33 2 e 43 2 e 53 2 e 63

2 e14 2 e 24 2 e 34 2 e 44 2 e 54 2 e 64

k k k k k k

k e215 k e225 k e235 k e245 k e255 k e265

0  0  k e216   k e226  . k e236   k e246  k e256   k e266 

197

(12.54)

A szerkezeti merevségi mátrix a két előző mátrix összegéből számolható:  k e111  1 k e 21 k e131  1 k K  K 1  K 2   e 41  0   0 k 1  e51 k e161

k e112 k e122 k e132 k e142

k e113 k e114 k e123 k e124 k e133  k e211 k e134  k e212 k e143  k e221 k e144  k e222

0 0

k k

2 e 31 2 e 41

k k

2 e 32 2 e 42

0 0

0 0

k e213 k e223

k e214 k e224

2 e 33 2 e 43 2 e 53 2 e 63

2 e 34 2 e 44 2 e 54 2 e 64

k e152

k e153  k e251

k e154  k e252

k k k

k e162

k e163  k e261

k e164  k e262

k

k k k k

k e115 k e125 k e135  k e215 k e145  k e225 k k

2 e 35 2 e 45

k e155  k e255 k e165  k e265

k e116   k e126  k e136  k e216   k e146  k e226  . k e236   k e246  k e156  k e256   k e166  k e266 

(12.55)

A vonalmenti terhelésből adódó erővektorok a (12.39) képlet alapján:

F ep1 

l14v  px 2

F ep 2 

l34v 0 0 0 2

T

T



0 0 0

py

px

0,

0

py ,

(12.56)



ahol l14  10 2  30 2  1000 m és l34 = 10 mm az elemek élhosszúságai az indexben szereplő csomópontok között. Az elemi vektorokat megfelelő szabadságfokokhoz tartozó, zérus értékű komponensekkel kiegészítve juthatunk hozzá a szerkezeti erővektorokhoz: F l1 

l14v px 2

F l2 

l34v 0 0 0 0 0 2

T

T

0 0 0 0 0



py

px

0





0  3 10 0 0 0 0 0 3 10 0 N ,

(12.57)



p y  0 0 0 0 0  1.5 0  1.5 N .

A reakcióerőket koncentrált erőként vesszük figyelembe a megtámasztott csomópontokban:


www.tankonyvtar.hu

198

Végeselem-módszer



F c  Fx1 T

Fy1

Fx 2

Fy 2

Fx3

Fy 3

Fx 4



Fy 4 .

(12.58)

Figyelembe véve, hogy a 4-es számú csomópontban nincs külső erő és a sima felületek miatt Fx1 = Fy3 = 0 kapjuk:



F c  0 Fy1 T

Fx 2

Fy 2

Fx3



0 0 0.

(12.59)

A szerkezeti erővektor tehát:

F  F p1  F p 2  F c .

(12.60)

A KU  F végeselemes egyensúlyi egyenlet: 1,25 5,75  0,25 0 0  0,5 1   u1  3 10   6,25  0   1,25  35 / 12 0,25  57 / 36 0 0  1,25  4 / 3    Fy1    0   Fx 2    5,75 0,25 6,25  1,25  0,5  1,5  0,5 2,5        0   Fy 2  . 4,25  1  4 / 3 2,5  4 / 3 5  0,25  57 / 36  1,25  10  0  F   0 0  0,5 1 12,5 2,5  12  1,5     x3    0 0  1 , 5  4 / 3 2 , 5 35 / 6  1  4 , 5  v3    1.5    u  3 10    0,5   1,5  0,5 2,5  12 1 13 0   4     4/3 2,5  4/3  1,5  4,5 0 43 / 6    1  v 4    1.5 

(12.61)

A csomóponti elmozdulások a mátrixegyenlet 1., 6., 7. és 8. sorából összerakott egyenletrendszer megoldásai:

6,25u1  0,5u 4  v4  3 10 ,

(12.62)

35 / 6v3  u 4  4,5v4  1,5 ,  0,5u1  v3  13u 4  3 10 ,

 u1  4,5v3  43 / 6v4  1,5 .

A fenti egyenletek tulajdonképpen (12.61) kondenzálásából adódnak. A mátrixkondenzáció során azokat a komponens egyenleteket hagyjuk meg, amelyek kizárólag az elmozdulásokra nézve tartalmaznak ismeretleneket, az egyenlet jobb oldalán, illetve a tehervektorban nincs ismeretlen. A megoldások: u1  1,557  10 5 mm , v3  0,22997  10 5 mm ,

(12.63)

u 4  0,771983  10 5 mm , v4  0,13633  10 5 mm . www.tankonyvtar.hu



199

A csomóponti elmozdulásokat visszatéve a mátrixegyenlet 2.,3., 4. és 5. sorába, kiszámítjuk a csomóponti erőket:

1,25u1  1,25u 4  4 / 3v4  Fy1 ,

(12.64)

 5,75u1  1,5v3  0,5u 4  2,5v4  Fx 2 ,

 0,25u1  4 / 3v3  2,5u 4  4 / 3v4  Fy 2 , 2,5v3  12u 4  1,5v4  Fy 3

A megoldások:

Fy1  0,971095 N , Fx 2  9,339434 N ,

(12.65)

Fy 2  2,0289 N , Fx3  9,63423 N . Az alakváltozási jellemzőket a (12.19) képlet alapján számítjuk ki:

x 

v u u v  b2 ,  xy    a 2  b1 .  a1 ,  y  x y y x

(12.66)

Ehhez az első elemre kapjuk: a1 

b1 

a2 

b2 

1u1   2 u 2   3u 4 2 Ae1

1v1   2 v2   3 v4 2 Ae1

 1u1   2 u 2   3u 4 2 Ae1

 1v1   2 v2   3 v4 2 Ae1



 30u1  7,7892  10 7 2  300

(12.67)

 0,



 10u1  20u 4  2,3121  10 9 , 2  300



20v4  4,54435  10 8 . 2  300

Az alakváltozási jellemzők vektora az első elemre tehát:

  x1    778,92     1    y1    45,4435  10 9  xy1    2,3121    © Szekrényes András, BME

(12.68)

www.tankonyvtar.hu

200

Végeselem-módszer

A második elemre írhatjuk: a1 

b1 

a2 

b2 

1u 2   2 u3   3u 4 2 Ae 2

 1 v 2   2 v3   3 v 4 2 Ae 2

 1u 2   2 u 3   3u 4 2 Ae 2

 1 v 2   2 v3   3 v 4 2 Ae1



30u 4  7,7198  10 7 , 2  150



30v3  30v4  9,36416  10 8 , 2  150

(12.69)

 0,



10v3  7,6657  10 8 , 2  150

amiből:

  x 2    771,98     2    y 2     76,657   10 9 .  xy 2   93,6416  

(12.70)

Mivel síkfeszültségi állapotban van a lemez, ezért a (11.19) képlet alapján írhatjuk:

 z1  

 1 

 z2  

 1 

( x1   y1 )  274,787  10 9 ,

(12.71)

( x 2   y 2 )  282,88  10 9 .

A nyúlások és szögváltozások egy elemen belül tehát állandóak, erre utaltunk a háromszögelem levezetésénél is. A feszültségek számítása a Hooke-törvény és a konstitutív mátrix segítségével lehetséges (12.46) alapján:

  C sf  .

(12.72)

A fenti képlet segítségével az elemre vonatkozó feszültségeket kapjuk meg. A végeselem programokban ez az eredmény általában „element stress” megnevezés alatt érhető el. Az első elemre írhatjuk:

 x1  (1,6 x1  0,4 y1 )  105  0,12644 MPa ,

(12.73)

 y1  (0,4 x1  1,6 y1 )  105  0,038428 MPa ,

www.tankonyvtar.hu



201

 xy1  0,6 xy1  105  0,13873  10 3 MPa . Hasonlóan a második elemre:

 x 2  (1,6 x 2  0,4 y 2 )  105  0,12658 MPa ,

(12.74)

 y 2  (0,4 x 2  1,6 y 2 )  105  0,043145 MPa ,

 xy 2  0,6 xy 2  105  0,56185  10 2 MPa . A feszültségek tekintetében csomóponti megoldás is előállítható. A két elem közös csomópontjaiban az elemre adódó feszültségeket átlagoljuk, így kapjuk az ún. „nodal stress” vagy átlagolt („average stress”) megoldást:

1.csomópont:

 x  0,12644 MPa,  y  0,038428 MPa ,

 xy  0,13873  10 3 MPa ,

(12.75)

2. csomópont:

1 2 1  y  ( y1   y 2 )  0,0407865 MPa , 2 1  xy  ( xy1   xy 2 )  0,28786  10 2 MPa . 2

3. csomópont:

 x  0,12658 MPa ,  y  0,043145 MPa ,

 x  ( x1   x 2 )  0,12651 MPa ,

 xy  0,56185  10 3 MPa . 4. csomópont:

1 2 1  y  ( y1   y 2 )  0,0407865 MPa , 2 1  xy  ( xy1   xy 2 )  0,28786  10 2 MPa . 2

 x  ( x1   x 2 )  0,12651 MPa ,

A 12.3 pontban közölt példát ANSYS 12 végeselem szoftverrel ellenőriztük és ugyanezeket az eredményeket kaptuk. A feladat végeselemes megoldása ilyen durva elemfelosztás mellett természetesen igen pontatlan eredményt ad.


www.tankonyvtar.hu

202

12.4.

Végeselem-módszer

Kvadratikus hat csomópontos háromszögelem

A lineáris háromszögelem továbbfejlesztett változata a hat csomópontos kvadratikus háromszögelem, ahol az egyes oldalak felezőpontjában is felveszünk egy csomópontot [2,5]. A plusz csomópontok miatt hat ismeretlen együtthatójú függvényre van szükség, amelyek:

u( x, y)  a0  a1x  a2 y  a3 xy  a4 x 2  a5 y 2 ,

(12.76)

v( x, y)  b0  b1x  b2 y  b3 xy  b4 x 2  b5 y 2 . A merevségi mátrix és az erővektor számítása hasonlóan végezhető el a lineáris háromszögnél bemutatotthoz. Az elemeken belül az alakváltozási és feszültségi komponensek lineárisan változnak. Ugyanazon elemfelosztás mellett a kvadratikus elem jobb közelítéssel oldja meg a feladatot, mint a lineáris elem. 12.5.

Izoparametrikus négy csomópontos négyszögelem

Az izoparametrikus négyszögelem (12.6a ábra) az egyik legfontosabb végeselem típus síkfeladatokra [2,4,5]. Egy elemet akkor nevezünk izoparametrikusnak, ha a lokális geometriát és az elmozdulásmezőt ugyanazzal az interpolációs függvényrendszerrel írjuk le. 12.5.1. A geometria interpolációja A négyszögelemet az egyszerűbb számítás miatt egy négyzetté képezzük le egy természetes - koordinátarendszerben, ezt mutatja a 12.6b ábra. Az elemélek x és y koordinátáit megadó függvények:

x( , )  N1 ( , ) x1  N 2 ( , ) x2  N 3 ( , ) x3  N 4 ( , ) x4  N ( , ) x , T

(12.77)

y( , )  N1 ( , ) y1  N 2 ( , ) y 2  N 3 ( , ) y3  N 4 ( , ) y 4  N ( , ) y , T

ahol: x  x1 T

x2

x3

x4  , y   y1

www.tankonyvtar.hu

T

y2

y3

y 4 .

(12.78)



203

12.6 ábra. Izoparametrikus négyszögelem globális (a) és természetes (b) koordinátarendszerben.

Mivel négy csomópontunk van, ezért az interpolációs függvényben legfeljebb négy ismeretlen lehet: x( , )  a0  a1  a2  a3  P A , T

(12.79)

ahol A az együtthatók vektora, P pedig a bázis-polinomok vektora:

A  a0 T

a1

a2

a3  , P  1     . T

(12.80)

A (12.79) függvény a következő feltételeket kell, hogy teljesítse: x(1,1)  a0  a1  a2  a3  x1 ,

(12.81)

x(1,1)  a0  a1  a2  a3  x2 , x(1,1)  a0  a1  a2  a3  x3 , x(1,1)  a0  a1  a2  a3  x4 .

Mátrix formában írva:

M A  x,

(12.82)

ahol:


www.tankonyvtar.hu

204

Végeselem-módszer

1  1  1 1  1 1  1  1 . M  1 1 1 1    1  1 1  1

(12.83)

Az együtthatókat tehát a (12.82) -ből tudjuk kiszámítani: 1

1

A  M x és: x( , )  P A  P M x . T

T

(12.84)

A megoldás az együtthatókra:

1 1 a0  ( x1  x2  x3  x4 ) , a1  ( x1  x2  x3  x4 ) , 4 4

(12.85)

1 1 a2  ( x1  x2  x3  x4 ) , a3  ( x1  x2  x3  x4 ) . 4 4 Ezeket visszatéve (12.79)-ba kapjuk, hogy: 1 1 ( x1  x 2  x3  x 4 )  ( x1  x 2  x3  x 4 )  4 4 1 1  ( x1  x 2  x3  x 4 )  ( x1  x 2  x3  x 4 )  4 4 1 1 1 1 (1       ) x1  (1       ) x 2  (1       ) x3  (1       ) x 4 . 4 4 4 4 x( , ) 

(12.86)

Az (12.86) alapján az interpolációs polinomok tehát:

N1 ( , ) 

1 1 (1   )(1   ) , N 2 ( , )  (1   )(1   ) , 4 4

N 3 ( , ) 

1 1 (1   )(1   ) , N 4 ( , )  (1   )(1   ) . 4 4

(12.87)

Az y koordinátára ugyanezt a számítást végrehajtva ugyanezeket az interpolációs függvényeket kapjuk. Az Ni(,) függvényeket ábrázolva vonalfelületeket kapunk, amelyeknek az iedik csomópontban egységnyi az értéke, a többiben pedig zérus, ahogy ezt a 12.7 ábra is mutatja.

www.tankonyvtar.hu



205

12.7 ábra. Izoparametrikus négyszögelem interpolációs függvényei.

A geometria interpolációját összefoglalhatjuk a következő képletekkel:

 x( , )   y ( , )  N ( , ) R e ,  

(12.88)

ahol:

R e  x1 T

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y 4 ,

(12.89)

a csomóponti koordináták vektora, és: N N ( , )   1 0

0

N2

0

N3

0

N4

N1

0

N2

0

N3

0

0 . N 4 

Az interpolációs függvények tömör formája: © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

206

N i ( , ) 

Végeselem-módszer

1 (1   i )(1   i ) , 4

(12.90)

ahol i és i a sarokpontok koordinátái a 12.6b ábra szerint. 12.5.2. Az elmozdulásmező interpolációja Az elmozdulás-vektormező az izoparametrikus négyszögelemre a következő formában írható fel:

u ( , ) u ( , )     N ( , )u e , v( , ) 

(12.91)

ahol: u( , )  N1 ( , )u1  N 2 ( , )u 2  N 3 ( , )u3  N 4 ( , )u 4 ,

(12.92)

v( , )  N1 ( , )v1  N2 ( , )v2  N3 ( , )v3  N4 ( , )v4 ,

amivel az interpolációs függvények mátrixa és a csomóponti elmozdulások vektora: N N ( , )   1 0

u e  u1 T

0

N2

0

N3

0

N4

N1

0

N2

0

N3

0

v3

u4

v4  .

v1 u 2

v2

u3

0 , N 4 

(12.93)

Az elmozdulásmezőnek vissza kell adni a csomóponti elmozdulásokat akkor, ha az adott csomópont koordinátáit helyettesítjük be, azaz teljesítenie kell az alábbi feltételeket:

u(1,1)  u1 , u(1,1)  u 2 , u (1,1)  u3 , u(1,1)  u 4

(12.94)

Matematikailag tehát az elmozdulásmezőnek ugyanazt a feltételrendszert kell teljesítenie, mint a geometriai paramétereknek. Tehát a számítás ugyanazokhoz az interpolációs függvényekhez vezet, mint a (12.87) képletben megadottak. Mivel az elmozdulásmező és a lokális geometria leírásához ugyanazokat a formafüggvényeket használjuk, ezért az elemet izoparametrikus négyszögelemnek nevezzük. 12.5.3. Az alakváltozási jellemzők számítása, Jacobi mátrix és Jacobi determináns Az alakváltozási jellemzők vektora (12.2) alapján a következő:

www.tankonyvtar.hu



  x   u, x          y    v, y   u   N u e  Bu e ,  xy  u, y  v, x     

207

(12.95)

ahol u,x az u parciális x szerinti, v,y pedig v parciális y szerinti deriváltját jelenti. Továbbá:

   x B  N   0     y  N1   x  0   N  1  y

0 N1 y N1 x

 0     N1 y   0   x  N 2 x 0 N 2 y

0 N1

0 N 2 y N 2 x

N2 0

N 3 x 0 N 3 y

0 N2

N3 0

0 N 3 y N 3 x

N 4 x 0 N 4 y

0 N3

N4 0

0  N 4  (12.96)

 0   N 4  . y  N 4   x 

A B alakváltozás-elmozdulás mátrix az interpolációs függvények x és y szerinti deriváltjait tartalmazza. A (12.87) képletekből látható, hogy az Ni interpolációs függvények csak mint  és  függvényei ismertek. A differenciálási láncszabály szerint a következőket írhatjuk:

              , , x  x  x y  y  y

(12.97)

  x  y   x  y     , .  x  y   x  y  A (12.77) alapján a lokális geometria, valamint a  és  szerinti deriváltak: 4

x( , )   Ni ( , ) xi , i 1

4

y( , )   Ni ( , ) yi , i 1

4 4 x N x N   i xi ,   i xi ,  i 1   i 1 

(12.98)

4 4 y N y N   i yi ,   i yi .  i 1   i 1 



www.tankonyvtar.hu

208

Végeselem-módszer

    x            x     

y        x    y          y 

   J  x  ,    y 

(12.99)

ahol J az ún. Jacobi mátrix:

 x   J   x  

y     J 11  y   J 21  

J 12  . J 22 

(12.100)

A Jacobi detemináns pedig:

J  J 11 J 22  J 12 J 21 

x y y x  .    

(12.101)

Az inverz Jacobi mátrix segítségével tudjuk előállítani az x és y szerinti deriváltakat:

 y 1   1 J   J  x  

y    1  J 22  J12  ,  x  J  J 21 J11   



(12.102)

valamint:

       x  1      J   ,      y    

(12.103)

amiből kifejezhetjük a következőket:

 1    ( J 22  J 12 ) , x J  

(12.104)

 1    ( J 21  J 11 ) . y J   Ennek segítségével a B mátrix tehát:

www.tankonyvtar.hu



B

 J 22 N 1,  J 12 N1, 1 0 J  J 21 N 1,  J 11 N1,  .... ....

0  J 21 N1,  J 11 N 1, J 22 N 1,  J 12 N 1,

J 22 N 3,  J 12 N 3, 0

J 22 N 2,  J 12 N 2, 0 J 21 N 2,  J 11 N 2,

0 J 21 N 2,  J 11 N 2, J 22 N 2,  J 12 N 2,

0  J 21 N 3,  J 11 N 3,

J 22 N 4,  J 12 N 4, 0

J 22 N 3,  J 12 N 3,

 J 21 N 4,  J 11 N 4,

....  J 21 N 3,  J 11 N 3,

.... .... ....

209

(12.105)

 0   J 21 N 4,  J 11 N 4,  J 22 N 4,  J 12 N 4, 

Ehhez szükség van a formafüggvények deriváltjaira és a Jacobi mátrix elemeire is:

N 3 1 N1 N 2 1 N 4 1 1   (1   ) ,  (1   ) ,  (1   ) ,   (1   ) ,  4  4  4  4

(12.106)

N 3 1 N1 N 2 N 4 1 1 1   (1   ) ,   (1   ) ,  (1   ) ,  (1   ) ,  4  4  4  4 illetve:

J 11 

4 N x 1   i xi   (1   ) x1  (1   ) x2  (1   ) x3  (1   ) x4  ,  i 1  4

J 12 

4 N y 1   i yi   (1   ) y1  (1   ) y 2  (1   ) y3  (1   ) y 4 ,  i 1  4

J 21 

4 N x 1   i xi   (1   ) x1  (1   ) x2  (1   ) x3  (1   ) x4 ,  i 1  4

J 22 

4 N y 1   i yi   (1   ) y1  (1   ) y 2  (1   ) y3  (1   ) y 4  .  i 1  4

(12.107)

A Jacobi mátrix utóbbiak alapján felírható a következő formában is:

J J   11  J 21

12.5.4.

J 12   N1,  J 22   N1,

N 2, N 2,

N 3, N 3,

 x1 N 4,   x 2  N 4,   x3   x4

y1  y 2  . y3   y4 

(12.108)

A Jacobi determináns jelentősége, példa

Határozzuk meg a Jacobi mátrix elemeit a 12.8 ábrán látható négyszögre! A csomóponti koordináták:


www.tankonyvtar.hu

210

Végeselem-módszer

x1  0 , y1  0 , x2  a , y 2  0 , x3  a , y3  a , x 4 

2 1 a , y4  a . 3 3

(12.109)

12.8 ábra. Elfajuló leképezést okozó geometria izoparametrikus négyszög esetén.

A Jacobi mátrix elemei (12.107) alapján:

J 11 

1 2  1 1  (1   )0  (1   )a  (1   )a  (1   ) a   a  a , 4 3  3 6

J 12 

1 1  1 1  (1   )0  (1   )0  (1   )a  (1   ) a   a  a , 4 3  6 6

J 21 

1 2  1 1  (1   )0  (1   )a  (1   )a  (1   ) a   a  a , 4 3  6 6

J 22 

1 1  1 1  (1   )0  (1   )0  (1   )a  (1   ) a   a  a , 4 3  3 6

(12.110)

amiből a Jacobi determináns:

J  J 11 J 22  J 12 J 21 

1 2 a (1     ) . 12

(12.111)

A Jacobi determináns 0, ha pl.  = -1 és  = 0, vagy  = 0 és  = -1. Ilyenkor elfajuló leképezésről beszélünk. Ha J = 0, akkor a Jacobi mátrix inverze nem létezik az adott pontban. Továbbá az elem paramétervonalai a négyszög tartományon kívül metszik egymást. Emiatt a négyszögelem összes belső szögének 180-nál kisebbnek kell lenni, vagyis az elem nem lehet konkáv négyszög. www.tankonyvtar.hu



211

12.5.5. A feszültségmező számítása A feszültségeket tartalmazó vektor a (12.7) képletből számolható

  C  C Bu e ,

(12.112)

ahol C  C síkfeszültségi állapot esetén és C  C síkalakváltozási állapot esetén (ld. 11. sf

sa

fejezet) 12.5.6. A merevségi mátrix számítása A merevségi mátrix síkfeladatok esetén a következő képlettel számolható (12.9) alapján:

K e    B C Bvdxdy . T

T

(12.113)

Az izoparametrikus négyszögelemnél a B mátrix elemei a formafüggvények deriváltjait tartalmazzák. Következésképp a merevségi mátrix számításához szükség van a felületi integrálok transzformációjára. A számításhoz szükséges vektorokat és paramétereket a 12.9 ábrán láthatjuk. A c1 és c2 paraméterek intervallumai:

 1  c1  1 ,  1  c2  1 .

(12.114)

12.9 ábra. A felületi integrálok transzformációja izoparametrikus négyszögelemnél.

A kisbetűs differenciális vektorokat a következő formában írhatjuk felhasználva (12.100)-at:

dx  d r1    dy   konst

x  x   x    d   d    d   J 11         d ,  y d  y d   x d   J 12        konst   


(12.115)

www.tankonyvtar.hu

212

Végeselem-módszer

valamint:

dx  dr2    dy    konst

 x    d   J 21       d .  x d   J 22    

(12.116)

Az elemi felület definíciója:

i dA  d r 1  d r 2  abs( J 11d

j J 12 d

k 0 )  ( J 11 J 22  J 12 J 21 )dd  dxdy ,

J 21d

J 22 d

0

(12.117)

azaz:

dA  dxdy  Jdd és:  dxdy 

1 1

  Jdd .

(12.118)

C BvJdd ,

(12.119)

A

1 1

A merevségi mátrix tehát:

K e   B C Bvdxdy  T

T

A

1 1

B

T

T

1 1

azaz egy felületi integrál segítségével tudjuk a merevségi mátrixot kiszámítani. A számításhoz analitikus vagy numerikus módszert alkalmazhatunk. A végeselem programok általában numerikusan, a Gauss-féle kvadratúra segítségével végzik el a számítást. Erről a 12.6 fejezetben lesz szó. 12.5.7. A tehervektor számítása Vonalmenti megoszló terhelés. A 12.10 ábrán látható elemélek mentén működő megoszló erőből adódó erővektor a következőképpen írható fel:

F ep  v  N p12 ds , T

(12.120)

ahol:

s

1 1 l12 és ds  l12 d , 2 2

(12.121)

valamint az l12 az elem 1-es és 2-es csomópontja közti élhosszúság.

www.tankonyvtar.hu



213

12.10 ábra. Izoparametrikus négyszögelem éle mentén működő vonalmenti terhelés.

Tudjuk továbbá, hogy az 1-2 él mentén  = 1 és 1    1 (ld. 12.6 ábra). Mindezek alapján írhatjuk:

F ep  v  N p 12 ds T

l12

  1

 N1 0  N 2 1  0 1  v  2 1  N 3  0 N  4  0

0  p x N1  p N   N1   y 1  px N 2  0   1  py N2  N 2  px  1   l12 d   1  vl12   p N  d   1 . 0  p y  2 x 3 1    N3   py N3  p N  0  x 4  N 4   p y N 4 

(12.122)

A további számításhoz szükség van a formafüggvények kiértékelésére az  = -1 paramétervonalon:

N1  1 

1 1 (1   )(1   )  (1   ) , 4 2   1

N 2  1 

1 1 (1   )(1   )  (1   ) , 4 2   1

N 3  1 

1 (1   )(1   ) 0, 4   1

N 4  1 

1 (1   )(1   )  0. 4   1


(12.123)

www.tankonyvtar.hu

214

Végeselem-módszer

Ezzel: 1

1 1 1  2 1  1 1  p N d   p ( 1   ) d   p   x  x   p x 1   (1  )  p x , 1 x 1  1 2 1 2  2  1 2  2 2  1

(12.124)

1

1 1 1  2 1  1 1  p N d   p ( 1   ) d   p   y  y   p y 1   (1  )  p y . 1 y 2  1 2 1 2  2  1 2  2 2  1

Visszatéve az eredményeket az erővektorba a következőt kapjuk:

F ep  T



1 vl12 p x 2

py

px

py



0 0 0 0.

(12.125)

Az egyenletesen megoszló erő eredőjét tehát megfelezzük (hasonlóan a rúdelemekhez és a síkmembrán háromszöghöz) és az elemélhez tartozó két csomópontba helyezzük. A számítás lineárisan változó megoszló erő esetén is elvégezhető, az eredmény persze más lesz. Térfogati erő. A térfogati erőből adódó erővektor: 1 1

F eb  v   N qJdd , T

(12.126)

1 1

amelynek számításához ismét a felületi integrál kiértékelésére van szükség. Hasonlóan a merevségi mátrixhoz, itt is a Gauss-féle kvadratúrát fogjuk alkalmazni. Koncentrált terhelések. Síkfeladatok esetén koncentrált erők a csomópontokban működhetnek, nyomatékok nincsenek. A koncentrált erők x és y irányú komponenseit a következőképpen foglaljuk vektorba:



F ec  Fx1 T

Fy1

Fx 2

Fy 2

Fx3

Fy 3

Fx 4



Fy 4 .

(12.127)

A teljes tehervektor az előző három esetből adódó vektorok összegeként írható fel:

F e  F ep  F eb  F ec . 12.6.

(12.128)

Numerikus integrálás, a Gauss-féle szabály

Az izoparametrikus négyszögelem merevségi mátrixának, valamint a térfogati erőből adódó tehervektor számításához a végeselemes szoftverekben numerikus integrálási sémát alkalmaznak. A leggyakoribb a Gauss-féle szabály alkalmazása, mert minimális mintavételi pontot igényel és relatíve pontos [1,2,6].

www.tankonyvtar.hu



215

12.6.1. Egydimenziós Gauss-szabály Az egydimenziós Gauss-szabály esetén a 12.11 ábrán látható függvény alatti terület közelítő, de relatíve pontos meghatározása a cél.

12.11 ábra. Egydimenziós Gauss-féle integrálási séma mintavételi pontjai.

A görbe alatti terület közelítő képlete: 1

p

1

i 1

 F ( )d   w F ( ) . i

(12.129)

i

A mintavételi pontok i koordinátáit és a wi integrálási súlyokat a 12.1 táblázat mutatja. Az egydimenziós szabály 2p-1 fokszámú polinom esetén pontos megoldást ad.

i

p 1

0  1/ 3 1/ 3

2

3

4

wi 2 1 1

 3/ 5 0 3/ 5

5/9 8/9 5/9

 (3  2 6 / 5 ) / 7

1/ 2  ( 5 / 6 ) / 6

 (3  2 6 / 5 ) / 7

1/ 2  ( 5 / 6 ) / 6 w3 = w2 w4 = w1

3 = -2 4 = -1

12.1 táblázat. Az egydimenziós Gauss-féle szabály paraméterei.

Nézzünk egy példát a Gauss-féle szabály alkalmazására! Számítsuk ki az


www.tankonyvtar.hu

216

Végeselem-módszer 3

1 I   dx x 1

(12.130)

integrál pontos értékét, valamint a Gauss-féle szabály alapján egy, kettő és három integrálási alappont esetén! Pontos megoldás:

I  ln x1  ln 3  ln 1  1,098612 . 3

(12.131)

Gauss-féle szabály, p = 1. Legyen  = x-2. Így ha x = 3 akkor  = 1, ha pedig x = 1, akkor  = -1, tehát: 3

1

1 1 1 . I   dx   d , és: F ( )  x  2  2 1 1

(12.132)

Az integrál közelítő értéke:

I 1  w1 F (0)  2

1  1. 2

(12.133)

Ekkor 9,9%-os hibát követünk el az egzakt megoldáshoz képest. Gauss-féle szabály, p = 2. Most I 2  w1 F (

1 3

)  w2 F (

1 3

) 1 

1 1

1

32

1 1

 1,090909 .

(12.134)

32

Az integrál értéke 0,7 %-al tér el a pontos megoldástól. Gauss-féle szabály, p = 3. I 3  w1 F (

3 3 5 )  w2 F (0)  w3 F ( )  5 5 9

1 3  2 5



81 5  92 9

1 3 2 5

 1,0980387 .

(12.135)

A közelítési hiba mindössze 0,052%. 12.6.2.

Kétdimenziós Gauss-szabály

A kétdimenziós Gauss-féle kvadratúra segítségével felületi integrálok közelítő értékét tudjuk kiszámítani. Az integrált a következő képlettel közelítjük: b d

 a c

1 1

f ( x, y)dxdy 



1 1

n

n

f ( , ) Jdd   wi w j f ( i , j ) J ( i , j ) ,

www.tankonyvtar.hu

(12.136)

j 1 i 1



217

ahol wi és wj integrálási súlyok, i és j pedig az integrálási alappontok koordinátái, valamint 1  i  1, -1  j  1. Attól függően, hogy hány integrálási alappontot veszünk fel, különféle Gauss-féle kvadratúra létezik, ahogy ezt a 12.12 ábra is mutatja.

12.12 ábra. 1x1-es, 2x2-es, 3x3-as és 4x4-es Gauss-féle kvadratúrák integrálási alappontjai.

Az 1x1-es kvadratúra esetén 1 integrálási alappontunk van, 2x2-esnél már 4 és így tovább. Az 1x1-es, 2x2-es és 3x3-as Gauss-kvadratúrákhoz tartozó paramétereket a 12.2 táblázatban foglaltuk össze. 1x1

1 = 0 1 = 0 w1 = 2

2x2

3x3

a  1/ 3 1 = -a 2 = a 3 = a 4 = -a

1 = -a 2 = -a 3 = a 4 = a

w1 = 1 w3 = 1

w2 = 1 w4 = 1

b  3/ 5 1 = -b 2 = b 3 = b 4 = -b 5 = 0 6 = b 7 = 0 8 = -b 9 = 0

1 = -b 2 = -b 3 = b 4 = b 5 = -b 6 = 0 7 = b 8 = 0 9 = 0

wi 5/9 5/9 5/9 5/9 8/9 5/9 8/9 5/9 8/9

wj 5/9 5/9 5/9 5/9 5/9 8/9 5/9 8/9 8/9

12.2 táblázat. A Gauss-féle kvadratúra paraméterei.

Példa a Gauss-féle kvadratúra alkalmazására. Számítsuk ki az


www.tankonyvtar.hu

218

Végeselem-módszer

I   xydA

(12.137)

A

integrál értékét a 2x2-es Gauss-féle kvadratúra segítségével a 12.13 ábrán látható paralelogramma tartományon! Hasonlítsuk össze az eredményt az egzakt integrálás eredményével [4]!

12.13 ábra. Példa a Gauss-féle kvadratúra alkalmazásához.

A csomóponti koordináták adottak: x1 = 1, x2 = 3, x3 = 4, x4 = 2, y1 = 1, y2 = 2, y3 = 4, y4 = 3.

(12.138)

A 2x2-es Gauss-féle kvadratúra közelítő képlete alapján írhatjuk: 2

2

I   xydA   wi w j f ( i , j ) J ( i , j ) . A

(12.139)

i 1 j 1

A számításhoz szükség van a Jacobi mátrix elemeire. Ehhez a csomóponti koordináták és a formafüggvények deriváltjai is kellenek (ld. (12.110)):

J 11 

1  (1   )1  (1   )3  (1   )4  (1   )2  1 , 4

J 12 

1  (1   )1  (1   )2  (1   )4  (1   )3  1 , 4 2

J 21 

1  (1   )1  (1   )3  (1   )4  (1   )2  1 , 4 2

J 22 

1  (1   )1  (1   )2  (1   )4  (1   )3  1 . 4

(12.140)

A Jacobi mátrix tehát:

www.tankonyvtar.hu



J J   11  J 21

 J 12   1  J 22   1 2

1 2 ,  1 

219

(12.141)

illetve a Jacobi determináns:

1 1 3 J  1  1     konst . 2 2 4

(12.142)

Az x és y paraméterek a (12.77)-ben megadott interpoláció alapján: 4

x( , )   N i xi  i 1

4

y ( , )   N i yi  i 1

1 (1   )(1   )1  (1   )(1   )3  4  (1   )(1   )4  (1   )(1   )2,

(12.143)

1 (1   )(1   )1  (1   )(1   )2  4  (1   )(1   )4  (1   )(1   )3.

A f(,) függvény:

f ( , )  xy 

1 (5  2   )  (5    2 ). 4

(12.144)

Az integrál közelítő értékét az ábra, valamint a táblázat alapján a következőképpen írhatjuk:

3 I  [ f (a,a)  f (a, a)  f (a,a)  f (a, a)]  19,75 . 4

(12.145)

Az integrál egzakt értéke: 1 1

I



1 1

f ( , )dd  xy 

1 1

  4 (5  2   )  (5    2 ) 4dd 

1 1

1

3

79  19,75 . 4

(12.146)

Látható tehát, hogy a Gauss-féle kvadratúra ebben az esetben a pontos megoldást adja. A legtöbb kereskedelmi végeselem szoftver is a 2x2-es kvadratúrát használja. 12.7.

Kidolgozott példa az izoparametrikus négyszögelem alkalmazására

Oldjuk meg a 12.3 pontban bemutatott példát izoparametrikus négyszögelemmel is! A feladat paraméterei ugyanazok, mint a lineáris háromszögelemnél. Alkalmazzunk egy darab végeselemet a 12.14 ábra alapján [4]. Számítsuk ki a csomóponti elmozdulásokat és a reakcióerőket! © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

220

Végeselem-módszer

12.14 ábra. Példa az izoparametrikus négyszögelem alkalmazására.

A megoldandó végeselemes egyensúlyi egyenlet a következő:

KU  F .

(12.147)

Mivel csak egy elemünk van, ezért ez esetben (12.147) megegyezik az elemre vonatkozó egyensúlyi egyenlettel:

K e ue  F e ,

(12.148)

ahol:

U  u1 v1 u2 T

v2

u3 v3 u4

v4 

(12.149)

a csomóponti elmozdulások vektora. A peremfeltételek (v1 = v2 = u2 = u3 = 0) miatt azonban: U  u1 T

0 0 0 0 v3

v4 .

u4

(12.150)

Hasonlóan tehát a lineáris háromszögelemhez, itt is egy négy ismeretlenes egyenletrendszerünk lesz. Az elemi merevségi mátrix számításához a Gauss-féle kvadratúrát alkalmazzuk, azaz a következőt írhatjuk: 1 1

Ke 

p

p

  B C BvJdd  v wi w j B ( i , j )C B( i , j ) J ( i , j ) . T

T

1 1

T

T

(12.151)

i 1 j 1

A számításhoz szükség lesz a Jacobi mátrix elemeire:

www.tankonyvtar.hu


12. Síkfeszültségi állapot modellezése VEM programrendszerek segítségével 4 N x 1   i xi   (1   ) x1  (1   ) x 2  (1   ) x3  (1   ) x 4    i 1  4 1 15 5   (1   )0  (1   )20  (1   )20  (1   )10    , 4 2 2

221

J 11 

(12.152)

4 N y 1   i y i   (1   ) y1  (1   ) y 2  (1   ) y3  (1   ) y 4    i 1  4 1   (1   )0  (1   )0  (1   )30  (1   )30  0, 4

J 12 

4 N x 1   i xi   (1   ) x1  (1   ) x 2  (1   ) x3  (1   ) x 4    i 1  4 1 5 5   (1   )0  (1   )20  (1   )20  (1   )10    , 4 2 2

J 21 

4 N y 1   i y i   (1   ) y1  (1   ) y 2  (1   ) y3  (1   ) y 4    i 1  4 1   (1   )0  (1   )0  (1   )30  (1   )30  15. 4

J 22 

A Jacobi mátrixot összerakva:

J J   11  J 21

15 5  J 12   2  2  0   , J 22   5  5  15 2 2 

(12.153)

amiből a Jacobi determináns:

J

225 75  . 2 2

(12.154)

Belátható, hogy ha  1    1 , akkor J > 0 minden esetben, tehát nem elfajuló a leképezés, amely egyébként a 12.5 ábrából is látható. Az inverz Jacobi mátrix szintén előállítható:

J

1



1  J 22 J  J 21

2    0   J 12  5(3   )  . 1 J 11   1    15(  3) 15 

(12.155)

Következő lépésként számítsuk ki a B mátrixot (ld. (12.96)), ahol (12.105) alapján:


www.tankonyvtar.hu

222

Végeselem-módszer

N1 1 1  ,  ( J 22 N1,  J 12 N1, )   x J 10(3   )

(12.156)

N1 1 1 ,  ( J 21 N1,  J 11 N1, )   y J 30(3   ) N 2 1 1   ( J 22 N 2,  J 12 N 2, )   , x J 10(3   )

N 2 1 2    ,  ( J 21 N 2,  J 11 N 2, )   y J 30(3   ) N 3 1 1 ,  ( J 22 N 3,  J 12 N 3, )  x J 10(3   ) N 3 1 1  2    ( J 21 N 3,  J 11 N 3, )  , y J 30(3   )

N 4 1 1  ( J 22 N 4,  J 12 N 4, )   , x J 10(3   ) N 4 1 1  ( J 21 N 4,  J 11 N 4, )  . y J 15(3   ) Ezzel a B mátrix:

 1    10(3   )  B 0   1   30(3   )



0 1 30(3   ) 1   10(3   )

1  10(3   )



....

1 10(3   )

....

0

....

1  2   30(3   )

0

2    .... 30(3   ) 1   .... 10(3   )



0 

2    30(3   )

0 1  2   30(3   ) 1 10(3   )

....

1  10(3   ) 0 1 15(3   )

 0   1  . 15(3   )  1    10(3   ) 

(12.157)

Számítsuk ki a merevségi mátrix [1,1] elemét a Gauss-féle kvadratúrával. Ehhez először nézzük meg a következőt: www.tankonyvtar.hu



B C B T

T

1,1



1600(1   ) 2 200(1   ) 2 ,  (3   ) 2 3(3   ) 2

223

(12.158)

és:

K  e

1 1





1,1  v   B C B 1,1 Jdd  T

T

(12.159)

1 1

1600(1   ) 200(1   )   225 75   v       dd  v   f ( , )J ( , )dd ,  2 2  (3   ) 3(3   ) 2   2 1 1  1 1 1 1

2

1 1

2

ahol v = 5 mm a szerkezet vastagsága. A számítást háromféleképpen végezzük el: a 2x2-es, 3x3-as Gauss-féle kvadratúra alapján és egzakt integrálás útján. I. 2x2-es Gauss-féle kvadratúra:

K 

e 1,1

 v  { f (  a ,  a ) J (  a ,  a )  f ( a,  a ) J ( a,  a )  f ( a , a ) J ( a, a ) f (  a, a ) J (  a , a ) } 

 (2.1734  2.0927  0.2304  0.3496)  105  4,8462  105

N . mm

(12.160)

II. 3x3-as Gauss-féle kvadratúra:

K 

e 1,1

55  v   f (b,b) J (b,b)  f (b,b) J (b,b)  f (b, b) J (b, b) f (b, b) J (b, b)   99 58  v   f (0,b) J (0,b)  f (b,0) J (b,0)  f (0, b) J (0, b) f (b,0) J (b,0)   99 88 25  v  f (0,0) J (0,0)  (2.6072  2.5046  0.07134  0.2454)  105  99 81 40 64 N  (2.5360  1.0021  0.1247  1.1312)  105  1.0417  105  4,8660  105 . 81 81 mm

(12.161)

III. Egzakt integrálással:

K 

e 1,1

 4,8666  105

N . mm

(12.162)

A merevségi mátrix komponenseit egzakt integrálás útján kiszámítva kapjuk: 4,8666 0,76713  4,3666 0,23287  2,7668  0,9657  . 2,3545 0,7329  1,0211  0,9657  1,1244   . . 5,3666  1,7329 2,2668  0,53426  . . . 3,6878  0,03426  0,20891 Ke    . . . . 6,9663 0,5685  . . . . 3,5845  .  . . . . . .  . . . . .  .

2,2668  0,03426  0,5343  0,20891  3,2668 1,5343   1,5343  2,4578  5 N 10 .  6,4663 0,43147  mm  0,93147  2,2512  7,4663  1,9315   . 4,9178 

(12.163)

A csomóponti erők vektorát ugyanúgy állítjuk elő, mint a háromszögelemnél: © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

224

Végeselem-módszer

F p1 

l14v px 2

F p2 

l34v 0 0 0 0 0 2

T

T

0 0 0 0 0



py

px

0





0  3 10 0 0 0 0 0 3 10 0 N ,

(12.164)



p y  0 0 0 0 0  1,5 0  1,5 N .

A reakcióerőket mint koncentrált erőket vesszük figyelembe a megtámasztott csomópontokban:



F c  Fx1 T

Fy1

Fx 2

Fy 2

Fx3

Fy 3

Fx 4



Fy 4 .

(12.165)

Figyelembe véve, hogy a felületek simák és a 4-es számú csomópontban nincs külső erő, Fx1 = Fy3 = Fx4 = Fy4 = 0 lesz, és így kapjuk:



F c  0 Fy1 T

Fx 2

Fy 2

Fx3



0 0 0.

(12.166)

A szerkezeti erővektor tehát:

F  F p1  F p 2  F c .

(12.167)

A végeselemes egyensúlyi egyenletet összerakva kapjuk: 4,8666 0,76713  4,3666 0,23287  2,7668  0,9657  . 2,3545 0,7329  1,0211  0,9657  1,1244   . . 5,3666  1,7329 2,2668  0,53426  . . 3,6878  0,03426  0,20891  .  . . . . 6,9663 0,5685  . . . . . 3,5845   . . . . . .  . . . . .  .

 0,03426  u1  3 10   0    0,5343  0,20891    F y1   0   Fx 2   3,2668 1,5343       0 1,5343  2,4578  F  10 5     y 2 . 0  6,4663 0,43147  F    x3   v 0,93147  2,2512   1,5    3      u 7,4663  1,9315 3 10   4   . 4,9178   v 4    1.5  2,2668

(12.168)

A merevségi mátrixban elhagyjuk azokat a sorokat és oszlopokat, amelyekhez az előírt (jelen esetben zérus) értékű elmozdulások tartoznak. Ily módon kapjuk az ún. kondenzált merevségi mátrixot, amellyel az elmozdulásokra megoldandó egyenletrendszert tudjuk kifejteni:

 u1  3 10  4,8666  0,9657 2,2668  0,03426  v    .  3,5845 0,93147  2,2512   1,5    10 5  3    . u 4  3 10   . . 7,4663  1,9315        . . 4,9178   .  v 4    1,5 

(12.169)

A megoldások: u1  1,5078  10 5 mm , v3  0,29199  10 5 mm , www.tankonyvtar.hu

(12.170)



225

u 4  0,822016  10 5 mm , v4  0,10532  10 5 mm .

A reakciókat így az elmozdulások ismeretében a (12.168) egyenlet 2., 3., 4. és 5 komponens egyenleteiből tudjuk kiszámolni. A megoldások:

Fy1  1,0678 N , Fx 2  9,27494 N ,

(12.171)

Fy 2  1,93216 N , Fx3  9,6987 N . Az elemre vonatkozó alakváltozási és feszültségmezőt paraméteresen ( és  függvényeként) megkaphatjuk a (12.95) és (12.105) képletek segítségével. Az adott csomópont lokális koordinátáit behelyettesítve az alakváltozási jellemzők és feszültségkomponensek számolhatók. A fenti példát ANSYS 12 végeselem szoftverrel is ellenőriztük. 12.8.

Kvadratikus izoparametrikus négyszögelem

Az egyenes oldalú négyszögelem továbbfejlesztett változata a kvadratikus négyszögelem, ahol az oldalakat és az elmozdulásmezőt is -ben és -ban is másodfokú függvénnyel közelítjük [2,7]. Minden elemélen felveszünk egy közbülső csomópontot, ahogy ezt a 12.15 ábra mutatja, ezáltal 8 csomópont, illetve 8 ismeretlen együttható lesz, pl. az x paraméter közelítő függvényben:

x( , )  a0  a1 ,a2  a3  a4 2  a5 2  a6 2  a7 2 .

(12.172)

A csomóponti feltételek alapján a kvadratikus elem interpolációs függvényei ugyanúgy számíthatók, mint a 4 csomópontú négyszögelemnél. Az interpolációs függvények:

1 1 N1 ( , )   (1   )(1   )(1     ) , N 2 ( , )  (1   2 )(1   ) , 4 2

(12.173)

1 1 N 3 ( , )   (1   )(1   )(1     ) , N 4 ( , )  (1   )(1   2 ) , 4 2 1 1 N 5 ( , )   (1   )(1   )(1     ) , N 6 ( , )  (1   2 )(1   ) , 4 2

1 1 N 7 ( , )   (1   )(1   )(1     ) , N 8 ( , )  (1   )(1   2 ) . 4 2


www.tankonyvtar.hu

226

Végeselem-módszer

12.15 ábra. Kvadratikus izoparametrikus négyszögelem.

Az interpolációs függvények tömör (kompakt) formában is megadhatók:

Ni 

1 (1   i )(1   i )( i   i  1) , i = 1, 3, 5, 7, 4

(12.174)

1 1 N i   i2 (1   i )(1   2 )   i2 (1   i )(1   2 ) , i = 2, 4, 6, 8. 2 2 ahol i és i a csomópontok koordinátái. Az interpolációs függvények közül N5 és N8 a 12.16 ábrán látható.

12.16 ábra. Kvadratikus izoparametrikus négyszögelem interpolációs függvényei.

Az i. csomóponthoz tartozó Ni függvény értéke ebben a csomópontban egy, a többiben pedig nulla. A merevségi mátrix és a tehervektor ugyanúgy állíthatók elő, mint az egyenes oldalú négyszögelem esetén. A kvadratikus elem esetén is szükség van a Jacobi-determinánsra, illetve a Gauss-féle kvadratúrára.

www.tankonyvtar.hu



227

Bibliográfia [1]

[2]

[3] [4]

[5] [6] [7]

Vörös Gábor, Finite element analysis, Mechanical Engineering Modeling szak, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tanszék, oktatási segédlet, 2008/2009 tavaszi félév. Uj József, A mechanika numerikus módszerei c. tárgy előadásai, Doktorandusz képzés, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tanszék, 2002/2003 őszi félév. Singiresu S. Rao, The finite element method in engineering – fourth edition. 2004, Elsevier Science & Technology Books. Erdogan Madenci, Ibrahim Guven, The finite element method and applications in engineering using ANSYS. Springer Science+Business Media Inc., 2006, New York, USA. Bojtár Imre, Molnár György, Nagy Tamás, A végeselem-módszer alkalmazása síkbeli feladatokra. Műszaki Könyvkiadó, 1988, Budapest. Kovács Ádám, Uj József, A végeselem módszer alapjai. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műegyetemi Kiadó, 2007, Budapest. Klaus-Jürgen Bathe, Finite element procedures. Prentice Hall, Upper Saddle River, 1996, New Jersey 17458.


www.tankonyvtar.hu

13.

FORGÁSSZIMMETRIKUS ÁLLAPOT MODELLEZÉSE VEM PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. MODELLEZÉS, KIÉRTÉKELÉS PROBLÉMAKÖRÉNEK ELEMZÉSE

13.1.

Tengelyszimmetrikus feladatok végeselemes megoldása

Tengelyszimmetrikus feladatok esetén mind a geometria, mind pedig a terhelés független a  szögkoordinátától. Erre mutat példát a 13.1 ábra.

13.1 ábra. Belső nyomással terhelt vastagfalú cső (a), a cső tengelyszimmetrikus modellje (b), valamint az egyszerűsített végeselem feladat (c).

Az ilyen feladatok a test meridián metszetében, síkban definiálhatók és kétváltozós matematikai feladatként oldhatók meg. A tengelyszimmetrikus feladatok elemei tulajdonképpen gyűrű alakú elemek. Ezzel függ össze az, hogy az ilyen feladatokban nincs koncentrált erő, kivéve, ha az éppen a tengelybe esik. Koncentrált erőként látszik a felhasználó szempontjából a palást egy r sugarú körén megoszló konstans vonalterhelés. Tengelyszimmetrikus feladatok esetén az elmozdulásmező a következő alakú [1]: u  u(r , z)e r  w(r , z )e z .

(13.1)

A geometriai egyenlet:

1 2

  (u      u ) ,

(13.2)

ahol  a Hamilton operátor henger-koordinátarendszerben (HKR). Ennek előállítása a (11.61) képletek segítségével lehetséges. A radiális és tangenciális irányú bázis-egységvektorok a 11.7 ábra alapján [1]:

www.tankonyvtar.hu


13. Forgásszimmetrikus állapot modellezése VEM programrendszerek segítségével

e r  cos i  sin  j , e t   sin i  cos  j .

229

(13.3)

A nabla-operátor az x-y-z koordináta-rendszerben:



   i j k. x y z

(13.4)

Felhasználva a (11.61) képleteket és behelyettesítve (13.4)-be juthatunk el a következőhöz:



 1   er  et  e z . r r  z

(13.5)

Az alakváltozási jellemzők HKR-ben a következőképpen írhatók fel [2,3] (ld. (11.66)):

r 

u w u w u ,t  , z  ,  rz  .  r r z z r

(13.6)

Vektorba foglalva:

 T   r

t

 z  rz  .

(13.7)

Az alakváltozási jellemzők vektora felírható a következőképpen:

  u ,

(13.8)

ahol a differenciáloperátorok mátrixa (13.6) alapján egy további elemmel egészül ki a síkfeszültségi vagy síkalakváltozási állapothoz képest:   r 1  r 0     z

 0  0 .  z    r 

(13.9)

A feszültségeket is vektorba foglaljuk:

 T   r  t  z  rz  .

(13.10)

A Hooke-törvény koordinátarendszertől függetlenül írható a következő formában:


www.tankonyvtar.hu

230

Végeselem-módszer

 

  2G    r    0  rz

 1  2

0

t 0

 

 I E ,

 r  0  ,    0 1 / 2   rz  z 

 rz 

(13.11)

0

t 0

1 / 2   rz  0  ,  z 

(13.12)

amiből:

r 

E 1 

 E    r  1  2 ( r   t   z )  (1   )(1  2 ) [ r (1  )   t   z ] ,

t 

E 1 

 E    t  1  2 ( r   t   z )  (1   )(1  2 ) [ r   t (1  )   z ] ,

z 

E 1 

 E    z  1  2 ( r   t   z )  (1   )(1  2 ) [ r   t   z (1  )] ,

 rz 

E  rz . 1 

(13.13)

A konstitutív mátrix   C alapján tehát [2,3]:

  1     1   E  C  1  (1   )(1  2 )    0 0  0

 0  0 . 1  2  2  0

(13.14)

Az elem merevségi mátrix számítása a következő összefüggés alapján lehetséges [4]:



K e  B C BdV , T

T

(13.15)

Ve

ahol a B mátrix mérete az elem szabadsági fokától függ. A tehervektor a síkfeladatoknál leírtakhoz hasonlóan határozható meg. A tengelyszimmetrikus testek térfogattartományát gyűrű alakú elemekkel hálózzuk be. Az elemeket a meridián metszetben adhatjuk meg, azaz síkban. A végeselemes programrendszerekben ugyanazok az elemtípusok állnak rendelkezésre, mint a síkfeladatok megoldására, általában az „axisymmetric” opció segítségével lehet az elem tengelyszimmetrikus viselkedését beállítani. A végeselemes diszkretizáció során ugyanazokat az interpolációs függvényeket alkalmazzuk, mint a síkfeszültségi és síkalakváltozási állapot esetén. A legtöbb végeselemes www.tankonyvtar.hu



231

szoftvernél a modellt az x-y síkban kell elkészíteni, y a forgástengely (ld. 13.1c ábra). A következőkben nézzük meg a lineáris háromszögelem és az izoparametrikus négyszögelem alkalmazását. 13.2.

Forgásszimmetrikus lineáris háromszögelem

A 12.2 fejezetben a lineáris háromszögelem esetén részletesen megmutattuk a végeselemes diszkretizáció lépéseit. Tengelyszimmetrikus alkalmazásnál néhány átalakításra van szükség. Az elmozdulásmező interpolációja során az x és y paramétereket r, z-re cseréljük, azaz [1]:

 u (r , z )  u (r , z )     N (r , z )u e , w(r , z )

(13.16)

ahol az elmozdulás-komponensek interpolációs függvényekkel felírt alakjához úgy jutunk hozzá, hogy a (12.24) képletben az x koordinátát r-re, az y koordinátát pedig z-re cseréljük: u(r , z)  N1 (r, z)u1  N 2 (r, z)u 2  N 3 (r , z )u3 ,

(13.17)

w(r , z)  N1 (r, z)w1  N 2 (r , z)w2  N 3 (r, z)w3 ,

amivel az interpolációs függvények mátrixa, valamint a csomóponti elmozdulások vektora:

N N (r , z )   1 0

u e  u1 T

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

w1 u2

w2

u3

0 , N 3 

(13.18)

w3  .

Az alakváltozási jellemzők számítását a síkfeladatokhoz hasonlóan végezhetjük el:

  u   N u e  Bu e ,

(13.19)

ahol az alakváltozás-elmozdulás mátrix (13.9) és (13.18) alapján:


www.tankonyvtar.hu

232

Végeselem-módszer

  r 1  B  N   r 0     z  N1  r N  1  r  0   N  1  z

 0  0 N  1    0 z    r  0 0 N1 z N1 r

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

N 2 r N2 r 0 N 2 z

0 0 N 2 z N 2 r

N 3 r N3 r 0 N 3 z

0  N 3 

(13.20)

 0   0  , N 3  z  N 3   r 

ahol a második sorban az Ni/r kifejezés jelenik meg. Figyelembe véve, hogy forgásszimmetrikus feladatokról van szó, írhatjuk, hogy:

K e  2  B C BrdA  2  B C Brdrdz . T

T

T

T

(13.21)

Ae

A tehervektor tengelyszimmetrikus feladatok esetén is három tagból áll. A felületi megoszló teher esetén a képlet:

F ep  2  N prds , T

(13.22)

ahol p a radiális és tengelyirányú nyomás értékét tartalmazó vektor:

p  p   r.  pz 

(13.23)

Térfogati erő esetében a tehervektor képlete:

F eb  2  N qrdrdz , T

(13.24)

ahol:

q  q   r, q z 

www.tankonyvtar.hu

(13.25)



233

a fajlagos térfogati erők vektora. Végül a csomópontokban működő koncentrált terhelések vektora:

F ec  F1r T

F1z

F2r

F2 z

F3r

F3 z  .

(13.26)

A teljes tehervektor az előző három tag összegéből adódik:

F e  F ep  F eb  F ec .

(13.27)

A feladat megoldásához össze kell rakni az elemi, illetve a szerkezeti mátrixokat. A szerkezeti egyensúlyi egyenletből először a csomóponti elmozdulásokat, majd pedig a reakciókat és az alakváltozási jellemzőket, valamint a feszültségeket határozzuk meg. Nézzünk egy példát az elem alkalmazására! 13.3.

Kidolgozott példa tengelyszimmetrikus háromszögelemre

A 13.2 ábrán látható háromszög keresztmetszetű furatos tárcsát belső nyomással terheljük. A tárcsa  = 5 rad/s szögsebességgel forog. Vegyük figyelembe a tárcsa önsúlyát is! Számítsuk ki a csomóponti elmozdulásokat és a reakciókat!

13.2 ábra. Háromszög keresztmetszetű tárcsa végeselem modellje.

Adatok: pr = 20 KPa, E = 200 GPa, d = 6 m, D = 8 m, g = 9,81 m/s2,  = 0,3, h = 1 m Oldjuk meg a feladatot egy darab tengelyszimmetrikus háromszögelem segítségével [1]! A távolságokat [m]-ben az erőt [N]-ban fogjuk számítani. A csomóponti koordináták: csomópont 1 2 3 © Szekrényes András, BME

r [m] 3 4 3

z [m] 0 0 1 www.tankonyvtar.hu

234

Végeselem-módszer

Mivel csak egy elemünk van, ezért az elemre vonatkozó egyensúlyi egyenlet megegyezik a szerkezetre vonatkozó egyensúlyi egyenlettel:

K e ue  F e ,

(13.28)

ahol:

u e  u1 T

w1 u 2

w2

u3

w3 

(13.29)

A peremfeltételek miatt csak négy ismeretlen marad, azaz: u e  u1 T

0 u2

0 u3

w3  .

(13.30)

A konstitutív mátrix (13.14) alapján:

  0  1     1   0  E  C  1  0  (1   )(1  2 )    1  2  0 0  0 2  . 0   269,2 115,38 115,38 115,38 269,2 115,38 0  9   10 Pa 115,38 115,38 269,2 0    0 0 76,9  0

(13.31)

Az interpolációs függvények együtthatói (12.22) és a 13.2 ábra alapján:

1  r2 z3  r3 z2  4 m2 ,  2  r3 z1  r1z3  3 m2 ,  3  r1 z 2  r2 z1  0 ,

(13.32)

1  z2  z3  1 m , 2  z3  z1  1 m ,  3  z1  z 2  0 ,  1  r3  r2  1 m ,  2  r1  r3  0 ,  3  r2  r1  1 m . A háromszög területe így:

1 1 1 Ae  (1   3   3 )  (4  3  0)  m2 . 2 2 2

(13.33)

Az interpolációs függvények az N i (r , z ) 

i  i r   i z 2 Ae

www.tankonyvtar.hu

(13.34)



235

kifejezés alapján:

N1 (r, z )  4  r  z , N 2 (r, z )  3  r , N 3 (r, z )  z .

(13.35)

Az N mátrix tehát: N N (r , z )   1 0

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

0  4  r  z 0 3 r 0 z 0 .   N3   0 4r  z 0  3  r 0 z 

(13.36)

Ezzel a B alakváltozás-elmozdulás mátrix:  N 1  r N  1 B  N   r   0  N  1  z

0 0 N 1 z N 1 r

N 2 r N2 r 0 N 2 z

0 0 N 2 z N 2 r

N 3 r N3 r 0 N 3 z

 0    1 0  4  r  z  r N 3   0 z    1 N 3    r 

0

1 3 r 0 r 1 0 1

0

0 0 z  0 0 . r 0 0 1  1 1 0 0

(13.37)

A merevségi mátrix a következő:  3,43  1,89  4 r 4  2,80 T T K e  2   B C Brdrdz   0 3   0,81  0,90    1,09

1,89  2,79  0,81  0,90  1,09  3,64  1,33  0,81  0,93  2,82  1,33 3,10 0 0,14 1,33  12 N ,   10  0,81 0 0,81 0,81 0  m  0,93 0,14 0,81 0,85 0,12    2,82 1,33 0 0,12 2,82 

(13.38)

amelyet egzakt integrálás útján (Maple szoftverrel elvégezve) kaptunk. Az első integrálás felső határa a háromszög átfogójának egyenlete: z = 4-r. A csomóponti erők vektorát három tagból kell összeállítani. Az első tag az 1-3 él mentén megadott felületi erőből adódik, amely (13.21) alapján:  p  20 T F ep  2  N prds , p   r     KPa .  pz   0 

(13.39)

Mivel azonban az 1-3 él mentén a sugár r = 3 m állandó, valamint az ívkoordináta megegyezik z-vel, ezért írhatjuk, hogy:


www.tankonyvtar.hu

236

F ep

Végeselem-módszer

0  1  z 6   0 1  z 0     1 1  0 0 0  20000 T  2  3 N pdz  2  3  dz     104 N .   0 0  0  0 0 0  z 6  0      z   0  0 

(13.40)

A forgásból és az önsúlyból adódó erővektorhoz szükséges q vektor felírható a g és  alapján: q   r 2  q   r   . q z    g 

(13.41)

Ezután (13.23) segítségével kiszámítjuk Feb-t:

F eb

0  4  r  z  0 4  r  z   4r 4 4r 4  3 r 0   r 2  T  2   N qrdrdz  2      rdrdz , 0  3  r    g  0 3 0 3  z 0    z   0

(13.42)

azaz:

F eb  6,89  0,829 7,995  0,893 6,89  0,829  105 N . T

(13.43)

Végül az utolsó tag az ismeretlen reakcióerőket tartalmazza. A peremfeltételek miatt:

F ec  0 F1z T

0 F2 z

0 0 .

(13.44)

A végeselemes egyensúlyi egyenlet tehát:  3,43  1,89   2,80    0,81  0,90    1,09

1,89  2,79  0,81  0,90  1,09  3,64  1,33  0,81  0,93  2,82  1,33 3,10 0 0,14 1,33  12   10  0,81 0 0,81 0,81 0   0,93 0,14 0,81 0,85 0,12    2,82 1,33 0 0,12 2,82 

www.tankonyvtar.hu

  u1   7,49  105  0  5    0,829  10  F1z  .  u2   7,995  105    5  0    0,893  10  F2 z    u3   7,49  105     5  w3    0,829  10 

(13.45)



237

A megoldás az 1., 3., 5. és 6. komponensegyenletek alapján lehetséges. A másik módszer a kondenzált merevségi mátrix segítségével felírt mátrixegyenlet, amelyet a 12. fejezetben már bemutattunk. A megoldások: u1  3,701  105 m , u2  3,400  105 m , u3  3,675  105 m , w4  0,3424  105 m .

(13.46)

A reakcióerők a végeselemes egyenletrendszer 2. és 4. egyenletei alapján: F1z  7,272  105 N , F2 z  74144 N .

(13.47)

A fenti példát ANSYS 12 végeselem szoftverrel ellenőriztük. Megjegyezzük, hogy hasonlóan a 12. fejezet példáihoz, a reakciókat itt is a külső erők vektorában vettük figyelembe. A háromszögelemnél meg kell jegyezni, hogy a B mátrix második sorában megjelenő Ni/r komponensek az integrálás során gondot okozhatnak, ha egy elem egyik éle a forgástengelyre esik (itt r = 0) . Ennek elkerülése érdekében az integrálást az elemek lokális koordinátarendszerében szokták elvégezni, vagy pedig az r értékével a nullát csak közelítik [1]. 13.4.

Forgásszimmetrikus izoparametrikus négyszögelem

Az izoparametrikus négyszögelemet síkfeladatokra a 12. fejezetben már bemutattuk. Az elem forgásszimmetrikus feladatok megoldására is alkalmazható. Az elemélek lokális r és z koordinátáit megadó függvények [4]:

r ( , )  N1 ( , )r1  N 2 ( , )r2  N 3 ( , )r3  N 4 ( , )r4  N ( , )r , T

(13.48)

z ( , )  N1 ( , ) z1  N 2 ( , ) z 2  N 3 ( , ) z3  N 4 ( , ) z 4  N ( , ) z , T

ahol a (12.77) képletben az x koordinátát r-re, az y koordinátát pedig z-re cseréltük. Következésképp az interpolációs függvények is ugyanazok lesznek:

N1 ( , ) 

1 1 (1   )(1   ) , N 2 ( , )  (1   )(1   ) , 4 4

N 3 ( , ) 

1 1 (1   )(1   ) , N 4 ( , )  (1   )(1   ) . 4 4

(13.49)

Az elmozdulásmező a következőképpen írható fel:

 u ( , )  u ( , )     N ( , )u e , w( , )

(13.50)

ahol:


www.tankonyvtar.hu

238

Végeselem-módszer

u( , )  N1 ( , )u1  N 2 ( , )u 2  N 3 ( , )u3  N 4 ( , )u 4 ,

(13.51)

w( , )  N1 ( , )w1  N 2 ( , )w2  N 3 ( , )w3  N 4 ( , )w4 ,

amivel az interpolációs függvények mátrixa, valamint a csomóponti elmozdulások vektora:

N N (, )   1 0

u e  u1 T

0

N2

0

N3

0

N4

N1

0

N2

0

N3

0

w1 u 2

w2

u3

w3

u4

0 , N 4 

(13.52)

w4  .

(13.53)

Az alakváltozási jellemzők számításához a már jól ismert alakváltozás-elmozdulás mátrixra van szükség:

  u   N u e  Bu e ,

(13.54)

ahol:   r 1  B  N   r 0     z

 0  0 N 0 N2 0 N3 0 N4  1    0 N 1 0 N 2 0 N 3 0 z    r  N 3 N 2  N 1 0 0  r r r N N3 N2 1  0 0 r r  r N 1 N 2  0 0  0 z z  N N 1 N 2 N 2 N 3  1  z r z r z 

0  N 4 

(13.55) 0 0 N 3 z N 3 r

N 4 r N4 r 0 N 4 z

 0   0  . N 4  z  N 4   r 

A mátrix számításához a formafüggvények r és z szerinti deriváltjaira van szükség. Mivel az Ni függvények a természetes koordinátarendszer  és  koordinátái alapján ismertek, ezért itt is szükség van a Jacobi mátrixra, illetve annak determinánsára (12.104) alapján [4]:

 1    ( J 22  J 12 ), r J  

(13.56)

 1    ( J 21  J 11 ) , z J  

www.tankonyvtar.hu



239

ahol:

J 11 

4 N r 1   i ri   (1   )r1  (1   )r2  (1   )r3  (1   )r4  ,  i 1  4

J 12 

4 N z 1   i z i   (1   ) z1  (1   ) z 2  (1   ) z 3  (1   ) z 4  ,  i 1  4

J 21 

4 N r 1   i ri   (1   )r1  (1   )r2  (1   )r3  (1   )r4 ,  i 1  4

J 22 

4 N z 1   i z i   (1   ) z1  (1   ) z 2  (1   ) z 3  (1   ) z 4 .  i 1  4

(13.57)

Ezután a B mátrix a (12.105)-höz hasonlóan állítható elő, azzal a különbséggel, hogy a második sorban az Ni/r tag jelenik meg. Ennek számítása a (13.48)-(13.49) képletek alapján lehetséges. Az r koordinátát a  és η paraméterek függvényeként (13.48) szerint kell megadni. A merevségi mátrix képlete a következő lesz: 1 1

K e  2   B C BrJdd . T

T

(13.58)

1 1

A tehervektor előállításához szükséges három tag pedig: 1

1

F ep  2  N prJd , F ep  2  N prJd T

T

(13.59)

1

1

attól függően, hogy a megoszló erő melyik elemélen működik, valamint 1 1

F eb  2   N qrJdd , T

(13.60)

1 1

F ec  Fr1 T

Fz1

Fr 2

Fz 2

Fr 3

Fz 3

Fr 4

Fz 4 .

(13.61)

Végül a teljes erővektor:

F e  F ep  F eb  F ec .

(13.62)

A következőkben egy példát mutatunk be az elem alkalmazására.


www.tankonyvtar.hu

240

13.5.

Végeselem-módszer

Kidolgozott példa tengelyszimmetrikus, izoparametrikus négyszögelemre

Oldjuk meg a 11.6.2 fejezetben analitikusan megoldott tárcsafeladatot két darab izoparametrikus négyszögelem felhasználásával. A tárcsa végeselem modellje a 13.3 ábrán látható. a. A tárcsa fordulatszáma legyen  = 880,5 rad/s, ellenőrizzük, hogy ekkor meglazul-e a tárcsa! b. Számítsuk ki a feszültségeket akkor, amikor nem forog a szerkezet, azaz  = 0, viszont a túlfedés  = 0,0210-3 m! Adatok: rb = 0,02 m, rk = 0,2 m, h = 0,04 m,  = 7800 kg/m3, E = 200 GPa,  = 0,3.

13.3 ábra. Forgó tárcsa egyszerű végeselem modellje.

A távolságokat [m]-ben, az erőt [N]-ban fogjuk értelmezni. A csomóponti koordináták: csomópont 1 2 3

r [m] 0,02 0,02 0,11

z [m] 0 0,04 0

csomópont 4 5 6

r [m] 0,11 0,2 0,2

z [m] 0,04 0 0,04

Az elem-csomóponti táblázat: elem 1 2

csomópont 1 3 4 2 3 5 6 4

A szerkezeti csomóponti elmozdulásvektor a peremfeltételek ismeretében a következő: U  u1 T

0 u2

w2

u3

w3

u4

w4

u5

w5

u6

w6 .

(13.63)

A konstitutív mátrix (13.14) alapján:

www.tankonyvtar.hu



0   269,2 115,38 115,38 115,38 269,2 115,38 0  9  C  10 Pa . 115,38 115,38 269,2 0    0 0 76,9  0

241

(13.64)

A Jacobi mátrix elemeit mindkét elemre elő kell állítani (13.57) alapján:

J 11(1) 

1  (1   )r1  (1   )r3  (1   )r4  (1   )r2   0,045 , 4

J 12(1) 

1  (1   ) z1  (1   ) z3  (1   ) z 4  (1   ) z 2   0 , 4

(1) J 21 

1  (1   )r1  (1   )r3  (1   )r4  (1   )r2   0 , 4

(1) J 22 

1  (1   ) z1  (1   ) z3  (1   ) z 4  (1   ) z 2   0,02 . 4

(13.65)

és:

J 11( 2) 

1  (1   )r3  (1   )r5  (1   )r6  (1   )r4   0,045 , 4

J 12( 2) 

1  (1   ) z3  (1   ) z5  (1   ) z 6  (1   ) z 4   0 , 4

( 2) J 21 

1  (1   )r3  (1   )r5  (1   )r6  (1   )r4   0 , 4

( 2) J 22 

1  (1   ) z3  (1   ) z5  (1   ) z 6  (1   ) z 4   0,02 . 4

(13.66)

A Jacobi mátrix elemei és így a determináns tehát mindkét elemre konstans és azonos: J (1)  J ( 2)  J  0,0009 .

(13.67)

Ezután kiszámítjuk a formafüggvények r és z szerinti deriváltjait a (13.56) képlet szerint. Mivel a Jacobi determináns a két elemre azonos, ezért a deriváltak is azonosak lesznek, a Jacobi mátrix komponenseinél is elhagyhatjuk a felső indexet:

N1 r

(1)



N1 r

( 2)



1 N N ( J 22 1  J12 1 )  5,55555  5,55555 , J  


(13.68)

www.tankonyvtar.hu

242

Végeselem-módszer

N 2 r

(1)

N3 r

(1)

N 4 r

(1)

N1 z

(1)

N 2 z

(1)

N3 z

(1)

N 4 z

(1)

N 2 r

( 2)



N3 r

( 2)



N 4  r

( 2)

N  1 z



1 N N ( J 22 2  J12 2 )  5,55555  5,55555 , J  



1 N N ( J 22 3  J12 3 )  5,55555  5,55555 , J  



1 N N ( J 22 4  J12 4 )  5,55555  5,55555 , J  



1 N N ( J 21 1  J11 1 )  12,5  12,5 , J  



1 N N ( J 21 2  J11 2 )  12,5  12,5 , J  



1 N N ( J 21 3  J11 3 )  12,5  12,5 , J  



1 N N ( J 21 4  J11 4 )  12,5  12,5 , J  

( 2)

N 2 z

( 2)



N3 z

( 2)



N 4  z

( 2)

(13.69)

A sugár-koordinátát mindkét elemre külön megadjuk (13.48) alapján: r (1)  N1r1  N 2 r3  N 3 r4  N 4 r2   0,005(1   )(1   )  0,0275(1   )(1   )  0,0275(1   )(1   )  0,005(1   )(1   ),

(13.70)

r ( 2)  N1r3  N 2 r5  N 3 r6  N 4 r4   0,0275(1   )(1   )  0,005(1   )(1   )  0,005(1   )(1   )  0,0275(1   )(1   ), ahol az elem orientációját (az elem csomópontjainak lokális számozását) is figyelembe vettük. A következő lépésben az alakváltozás-elmozdulás mátrixot kell előállítani mindkét elemre (13.55) alapján. A mátrixok elemei a  és  paraméterek függvényei lesznek, és mivel elég bonyolultak, itt nem közöljük őket. A B mátrixok segítségével ezután kiszámítjuk az elemi merevségi mátrixokat:

www.tankonyvtar.hu


13. Forgásszimmetrikus állapot modellezése VEM programrendszerek segítségével 1 1

K e1  2   B

(1)T

243

C B r (1) Jdd  T

(1)

1 1

3,02 40,62 4,23 1,34  . 58,57  4,83 36,58   . . 65,83  35,04  . . . 115,67   . . . .  . . .  .  . . . .  . . .  . 1 1

K e 2  2   B

( 2 )T

 17,00  24,17  14,66

 15,10  43,56 15,71

 2,80 7,85   7,85  51,59   17,00 24,17    15,71  108,69 15,10  43,56 9 N  10 , 65,84 35,04 1,34 4,83  m  . 115,67  3,02 36,58  . . 40,62  4,23   . . . 58,57 

(13.71)

C B r ( 2 ) Jdd  T

( 2)

1 1

8,46 82,40 31,42  8,53  . 179,20  10,27 87,23   . . 116,71  62,23  . . . 236,30   . . . .  . . .  .  . . . .  . . .  .

 46,41  42,29  51,35  103,87  38,16 21,15

 30,85 2,42   2,42  162,56  46,40 51,35    21,15  219,65 42,29  103,88 9 N  10 . 116,71 62,23  8,53 10,23  m  . 236,30  8,46 87,23  . . 82,40  31,42   . . . 179,20 

Mivel a csomópontok számozása nem igazodik az elemek orientációjához, ezért a szerkezeti merevségi mátrix kiszámítása előtt a szabadsági fokok sorszámainak megfelelően átrendezzük az elem merevségi mátrixokat. Legyenek az elemi elmozdulásvektorok a következők

u e1  u1

w1 u 2

w2

u3

w3

u4

w4  ,

u e 2  u3

w3

w4

u5

w5

u6

w6  .

T

T

u4

(13.72)

Ennek megfelelően az eredeti mátrixokat a következőképpen kell átrendezni:

 ke111  1 ke 21 ke171  1 k K e1   e181 k  e131 ke 41 k 1  e51 1 ke 61

ke112 ke117 ke122 ke127 ke172 ke177 ke182 ke187 ke132 ke137 ke142 ke147 ke152 ke157 ke162

ke167

ke118 ke113 ke114 ke115 ke116   ke128 ke123 ke124 ke125 ke126  ke178 ke173 ke174 ke175 ke176   ke188 ke183 ke184 ke185 ke186  . ke138 ke133 ke134 ke135 ke136   ke148 ke143 ke144 ke145 ke146  ke158 ke153 ke154 ke155 ke156   ke168 ke163 ke164 ke165 ke166 


(13.73)

www.tankonyvtar.hu

244

Végeselem-módszer

A csomópontok alapján a második elemnél is hasonlóan kell eljárni:

K e2

 ke211  2 ke 21 ke271  2 k   e281 k  e231 ke 41 k 2  e51 ke261

ke218 ke213 ke214 ke215 ke216   ke228 ke223 ke224 ke225 ke226  ke278 ke273 ke274 ke275 ke276   ke288 ke283 ke284 ke285 ke286  . ke238 ke233 ke234 ke235 ke236   ke248 ke243 ke244 ke245 ke246  ke258 ke253 ke254 ke255 ke256   ke268 ke263 ke264 ke265 ke266 

ke212 ke217 ke222 ke227 ke272 ke277 ke282 ke287 ke232 ke237 ke242 ke247 ke252 ke257 ke262

ke267

(13.74)

Ezután lehet a szerkezeti merevségi mátrixot előállítani. A két közös csomópont a hármas és a négyes. Ennek megfelelően, a két mátrix kombinációja:  ke111  1 ke 21 ke171  1  ke81 k 1  e131 k K   e141 k  e51 ke161   0  0   0  0 

ke112

ke117

ke118

ke113

ke114

ke115

ke116

0

0

0

1 e 22 1 e 72 1 e 82 1 e 32 1 e 42 1 e 52 1 e 62

1 e 27 1 e 77 1 e 87 1 e 37 1 e 47 1 e 57 1 e 67

1 e 28 1 e 78 1 e 88 1 e 38 1 e 48 1 e 58 1 e 68

1 e 23 1 e 73 1 e 83

1 e 24 1 e 74 1 e 84

1 e 25 1 e 75 1 e 85

1 e 26 1 e 76 1 e 86

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ke213

ke214

ke215

2 e 23 2 e 73 2 e 83 2 e 33 2 e 43 2 e 53 2 e 63

2 e 24 2 e 74 2 e 84 2 e 34 2 e 44 2 e 54 2 e 64

2 e 25 2 e 75 2 e 85 2 e 35 2 e 45 2 e 55 2 e 65

k k k k k k k

k k k k k k k

k k k k k k k

k k k

k k

k k

k

k k k

k

k

ke133  ke211 1 e 43 1 e 53 1 e 63

k

2 e 21 2 e 71 2 e 81

k

ke134  ke212 k k

1 e 44 1 e 54 1 e 64

k

k k k

2 e 22 2 e 72 2 e 82

k k k

ke135  ke217 k k

1 e 45 1 e 55 1 e 65

k

k k k

2 e 27 2 e 77 2 e 87

ke136  ke218 k k

1 e 46 1 e 56 1 e 66

k

k k k

2 e 28 2 e 78 2 e 88

k k k

0

0

0

ke231

ke232

ke237

ke238

k

0

0

0

ke241

ke242

ke247

ke248

k

0

2 e 51 2 e 61

2 e 52 2 e 62

2 e 57 2 e 67

ke258

k

2 e 68

k

0 0

0 0

0

k k

k k

k k

k

k k k k k k k

k k k k k k k

0   0  0   0  ke216   ke226  . ke276   ke286   ke236  ke246   ke256  ke266 

(13.75)

Megjegyezzük, hogy a szerkezeti merevségi mátrixot a végeselem programokban a már megadott elem-csomóponti táblázat alapján szokták előállítani. A numerikus értékek (13.71) alapján számolhatók. A tehervektor a térfogati erőből és a koncentrált erők vektorából áll. A fajlagos térfogati erővektor:  r (1) 2  ( 2)  r ( 2) 2  q   r 2  (1) , és: q   r   q    , q  , 0  0   0   0 

(13.76)

amivel: 1 1

F eb  2   N q r (1) Jdd  1,01 0 2,34 0 2,34 0 1,01 0  10 5 N , (1)

T

(1)

T

(13.77)

1 1

1 1

F eb  2   N q r ( 2) Jdd  6,86 0 10,04 0 10,04 0 6,86 0  10 5 N . ( 2)

T

( 2)

T

1 1

www.tankonyvtar.hu



245

A merevségi mátrixhoz hasonlóan a tehervektorok komponenseit is áthelyezzük a csomóponti számozásnak megfelelően:

(1)

F eb

 Feb(11)   1,01   Feb( 21)   6,86   (1)    ( 2)      Feb 2   0   Feb 2   0   Feb(17)   1,01   Feb( 27)   6,86   (1)    ( 2)     Feb8   0  5 Feb8   0  5 (1)    (1)   10 N és F eb  ( 2 )   10 N .  F  2,34  F  10,04  eb(13)    eb( 23)     0 F  eb 4    Feb 4   0    F (1)  2,34  F ( 2 )  10,04  eb 5    eb 5      Feb(16)   0   Feb( 26)   0 

(13.78)

A szerkezeti erővektor a kettő kombinálásával adódik:  T F b   Feb(11) 

Feb(12)

Feb(17)

Feb(18)

Feb(13) 

Feb(14) 

Feb(15) 

Feb(16) 

F

F

F

F

( 2) eb1

( 2) eb 2

( 2) eb 7

( 2) eb 8

Feb( 23)

Feb( 24)

Feb( 25)

 1,01 0 1,01 0 9,20 0 9,20 0 10,04 0 10,04 0  105 N.

 Feb( 26)   

(13.79)

A reakcióerőt tartalmazó vektor: F c  0 F1z T

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.

(13.80)

A szerkezeti erővektor: F  Fb  Fc .

(13.81)

Végül a szerkezeti egyenlet: KU  F .

(13.82)

A megoldandó egyenletrendszer tizenkét egyenletből áll. A csomóponti elmozdulásokat az 1. és 3-12. egyenletekből tudjuk kiszámítani. A megoldások: u1  u2  0,0168  103 m , w1  0 , w2  0,0149  103 m

(13.83)

u3  u4  0,0368  103 m , w3  0,00365  103 m , w4  0,0113  103 m , u5  u6  0,0440  103 m , w5  0,0051  103 m , w6  0,0098  103 m , Látható, hogy az analitikus modellből kiszámított maximális szögsebesség esetén a belső furatnál a végeselem modell szerint még nem érjük el a 0,0210-3 m-es túlfedést, azaz a tárcsa © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

246

Végeselem-módszer

nem fog meglazulni a tengelyen. Ennek oka, hogy a feladat végeselemes megoldása 2 darab lineáris elemmel még nagyon pontatlan. A szerkezet deformált alakját az eredeti állapothoz képest a 13.4 ábra mutatja. Az elmozdulásokból ezután összerakjuk az elemi csomóponti elmozdulásvektorokat:

u e1  u1

0 u3

u e 2  u3

w3

T

T

w3

u5

w5

u4

w4

u6

w6

u2

w2  ,

u4

(13.84)

w4  .

A két előző vektornál az eredeti elemorientációnak megfelelően kell a komponenseket elhelyezni, hiszen a B mátrix is erre vonatkozik Az elemre vonatkozó alakváltozási jellemzők a B mátrix segítségével számolhatók:

 (1)  B (1) u e1 ,  ( 2)  B ( 2) u e 2 .

(13.85)

Végül a feszültségmező az elemekre:

 (1)  C (1) ,  ( 2)  C ( 2) .

(13.86)

13.4 ábra. Forgó tárcsa végeselem modelljének deformált alakja.

Az eredményeket a 13.1 és 13.2 táblázatokban foglaltuk össze. A táblázatokban a csomóponti megoldások szerepelnek. Az elemi megoldásokat a 3-as és 4-es, átfedő csomópontokban tudjuk előállítani, ahol a csomóponti megoldásokat átlagolhatjuk. A 13.2 táblázatból látható, hogy a dinamikai peremfeltételek sérülnek, hiszen az 1-es, 2-es, 5-ös és 6-os csomópontokban a radiális feszültség nem zérus. Ennek oka a durva elemfelosztás és a lineáris interpoláció. Ellenben a tangenciális feszültség esetében a 11.10a ábrával összehasonlítva a belső és külső peremeken egészen jól egyeznek a feszültségek. A példát ANSYS 12 szoftverrel ellenőriztük.

www.tankonyvtar.hu



csomópont 1 2 3 4 3 4 5 6

elem 1

2

247

r [10-3]

t [10-3]

z [10-3]

rz [10-3]

0,222 0,222 0,222 0,222 0,080 0,080 0,080 0,080

0,840 0,840 0,335 0,335 0,335 0,335 0,220 0,220

-0,373 -0,373 -0,191 -0,191 -0,191 -0,191 -0,118 -0,118

-0,041 0,041 -0,041 0,041 -0,016 0,016 -0,016 0,016

13.1 táblázat. Forgó tárcsa alakváltozási jellemzői  = 880,5 rad/s esetén.

csomópont 1 2 3 4 3 4 5 6

elem 1

2

r [MPa]

t [MPa]

z [MPa]

rz [MPa]

113,7 113,7 76,4 76,4 38,1 38,1 33,4 33,4

208,7 208,7 93,7 93,7 77,3 77,3 54,9 54,9

22,1 22,1 12,9 12,9 -3,5 -3,53 2,97 2,97

-3,1 3,1 -3,1 3,1 -1,25 1,25 -1,25 1,25

13.2 táblázat. Forgó tárcsában ébredő feszültségek  = 880,5 rad/s esetén.

Abban az esetben, amikor nincs forgás, a szerkezeti csomóponti elmozdulásvektor a következő lesz:

U   T

0 

w2

u3

w3

u4

w4

u5

w5

u6

w6  .

(13.87)

A merevségi mátrix változatlan, a tehervektor pedig: F c  F1r T

F1z

F2r

0 0 0 0 0 0 0 0 0 .

(13.88)

A megoldások ekkor: u1  u2  0,02  103 m , w1  0 , w2  0,0049  103 m ,

(13.89)

u3  u4  0,0055  103 m , w3  0,0056  103 m , w4  0,0020  103 m , u5  u6  0,0038  103 m , w5  0,0022  103 m , w6  0,0027  103 m .


www.tankonyvtar.hu

248

Végeselem-módszer

A nyugvó állapothoz tartozó feszültségeket a 13.3 táblázatban adtuk meg. Az analitikus megoldáshoz képest a feszültségek elég nagymértékben eltérnek, ami ugyancsak a durva elemfelosztásnak és a lineáris elemtípusnak tulajdonítható. csomópont 1 2 3 4 3 4 5 6

elem 1

2

r [MPa]

t [MPa]

z [MPa]

rz [MPa]

58,1 58,1 -34,8 -34,8 3,2 3,2 -4,5 -4,5

236,6 236,6 -2,3 -2,3 13,9 13,9 1,4 1,4

63,9 63,9 -6,7 6,7 9,6 9,6 -3,6 -3,6

-2,5 2,5 -2,5 2,5 0,6 -0,6 0,6 -0,6

13.3 táblázat. A tárcsában ébredő feszültségek  = 0 esetén.

Bibliográfia [1]

[2] [3]

[4]

Uj József, A mechanika numerikus módszerei c. tárgy előadásai, 2002/2003 őszi félév. Doktorandusz képzés, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tanszék. David V. Hutton, Fundamentals of finite element analysis, 1st edition. McGraw-Hill, 2004, New York. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The finite element method – fifth edition, Volume 1: The basis. Butterworth-Heinemann, 2000, Oxford, Auckland, Boston, Johannesburg, Melbourne, New Delhi. Erdogan Madenci, Ibrahim Guven, The finite element method and applications in engineering using ANSYS. Springer Science+Business Media Inc., 2006, New York, USA.

www.tankonyvtar.hu


14.

VÉKONYFALÚ HÉJAK, LEMEZEK MODELLEZÉSE. A VÉGESELEM HÉJMODELLEK ELMÉLETÉNEK BEMUTATÁSA

14.1.

Lemez és héjmodellek

Lemezeknek nevezzük azokat a sík szerkezeteket, amelyeknek vastagsága lényegesen kisebb a többi mérethez képest és a síkjára merőlegesen terhelt. A lemezt peremei mentén tetszőleges geometriai alakzat határolhatja, megtámasztási viszonyai ugyancsak változatosak lehetnek (pontszerűen alátámasztott, élek mentén mereven vagy rugalmasan alátámasztott, csuklósan megfogott stb.) [1]. A lemez a rúd kétdimenziós változatának is tekinthető, hiszen mindkettőnél a hajlítási deformáció a domináns, illetve a transzverzális terhelés a leggyakoribb. Mindemellett jelentős különbségek is vannak, hiszen például a rúd semleges szála lehet egyenes és görbe is, a lemez középsíkja viszont mindig sík alakú. Ha a lemez középfelülete görbült felület, akkor már héjról beszélünk [2]. A következőkben nézzük meg a vékony lemezek és héjak elméletének legfontosabb részleteit. 14.2.

A Kirchhoff-féle lemezelmélet alapegyenletei

A Kirchhoff-féle lemezelméletet a vékony lemezek elméletének is szokták hívni. Megjegyezzük, hogy ha a lemez relatíve vastag, akkor a nyírási deformációból adódó plusz deformációt is figyelembe lehet venni. Ezt a megoldást lemezekre vonatkozóan a Mindlin-féle lemezelmélet tárgyalja [1]. 14.2.1. Az elmozdulásmező A 14.1 ábra alapján vizsgáljuk meg egy rugalmas lemez egy pontjának elmozdulását [2,3]. Az elmozdulásmező három mennyiség segítségével írható le: a z tengely mentén történő transzverzális elmozdulás, valamint az x és y tengelyek körül történő forgások alapján, azaz:  z  u   z  ,  w 

(14.1)

ahol  = (x,y) az x tengely körüli forgás,  = (x,y) az y tengely körüli forgás és w = w(x,y) a transzverzális elmozdulás.

14.1 ábra. Vékony lemez középfelületén lévő pont elmozdulása. © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

250

Végeselem-módszer

14.2.2. Az alakváltozási jellemzők Az alakváltozási jellemzők kis alakváltozást feltételezve a 11. fejezetben megadott (11.14) geometriai egyenlet segítségével fejezhetők ki [1,4]:

x 

u v   , y z ,  z  0 ,   ,x z ,  y  y x

 xy 

u v v w u w   (  , y   , x ) z ,  xz      w, y ,     w, x ,  yz  y x z y z x

(14.2)

ahol az x és y szerinti deriváltakat az egyszerűség érdekében az alsó indexben jelöltük. A továbbiakban feltételezzük, hogy a síkok a deformáció után is síkok maradnak és a keresztmetszetből kifelé mutató normális a deformáció után is merőleges marad az adott keresztmetszet síkjára, ez az ún. Kirchhoff-Love hipotézis [1]. Utóbbiból következik, hogy a lemez középfelületére merőleges síkokban a fajlagos szögváltozások zérusok:

 xz   yz  0    w, x és   w, y .

(14.3)

Ezek felhasználásával (14.1)-ből kapjuk, hogy:

  w, x  z  u   w, y  z  .  w 

(14.4)

Az alakváltozási jellemzők ekkor:

 x  w, xx  z ,  y  w, yy  z ,  xy  2w, xy  z .

(14.5)

Ebből az is következik, hogy a középfelületen z = 0. A Kirchhoff-féle lemezelmélet szerint tehát kis alakváltozás esetén az elmozdulásmező és az alakváltozási mező komponensei egy darab w(x,y) függvény segítségével leírhatók. 14.2.3. A feszültségmező és a középfelület igénybevételei Feltételezve, hogy a lemez síkfeszültségi állapotban van, a (11.18) és (14.5) egyenletekkel kifejezzük a feszültségeket:









x 

E  x   y )   E1 ( w, xx    w, yy )  z  A  z , 1  2

y 

E  y   x )   E1 (w, yy    w, xx )  z  B  z , 1  2

www.tankonyvtar.hu

(14.6)


14. Vékonyfalú héjak, lemezek modellezése

 xy 

251

E  xy   E1 (1  ) w, xy  z  C  z , 2(1   )

ahol E1 = E/(1-2), A, B és C pedig konstansok. A rudak hajlításához hasonlóan a feszültségeloszlások lineáris függvények a vastagság mentén. Ezt mutatja a 14.2 ábra.

14.2 ábra. A feszültségek eloszlása vékony lemezből kivágott differenciális elem vastagsága mentén.

A lemez középfelületének igénybevételeit a feszültségek integrálásával kapjuk meg a következő képletek segítségével [3]: t/2

  x zdz 

Mx 

t/2

 Az dz   I E (w 2

1 1

t / 2

t / 2

t/2

t/2

My 

  y zdz 

t / 2

, xx

 Bz dz   I E (w 2

1 1

, yy

   w, yy ) ,

(14.7)

   w, xx ) ,

t / 2

t/2

t/2

t / 2

t / 2

M xy     xy zdz    Cz 2 dz  I 1 E1 (1   ) w, xy , t/2

M yx 



t / 2

t/2 yx

zdz 

 Cz

2

dz   I 1 E1 (1   ) w, xy ,

t / 2

ahol Mx az x tengely mentén értelmezett hajlító élnyomaték, My az y tengely mentén értelmezett hajlító élnyomaték, Mxy és Myx pedig az ún. csavaró élnyomaték. Továbbá:


www.tankonyvtar.hu

252

I1 

Végeselem-módszer

t3 , 12

(14.8)

a rudakhoz hasonlóan a keresztmetszet másodrendű nyomatéka. A középfelület igénybevételeit mutatja a 14.3a ábra. Az igénybevételekből számítható feszültségek tehát a (14.6) és (14.7) képletek alapján:

x 

My M xy Mx z ,  xy  z. z , y  I1 I1 I1

(14.9)

A lemezelem egyensúlyához szükség van a nyíróerők figyelembevételére is. Ezt mutatja a 14.3b ábra. A nyíró élerők a következőképpen számolhatók [1,3]: t/2

Qx 



t/2 xz

t / 2

dz , Q y 



yz

dz .

(14.10)

t / 2

14.3 ábra. Vékony differenciális lemezelem középfelületének igénybevételei (a) és egyensúlya nyíróerők és megoszló teher esetén (b).

14.2.4. Az egyensúly és mozgásegyenletek A feszültségmezőre vonatkozó homogén egyensúlyi egyenletet a 11. fejezetben már tárgyaltuk [4]:

   0 ,

(14.11)

amelyet kifejtve az első komponensegyenletre kapjuk, hogy:  x  xy  xz    0. x y z

(14.12)

Az egyenletet egyszer integráljuk z szerint. Ekkor adódik, hogy: www.tankonyvtar.hu







 x Azdz   y Czdz  

253

  xz0  0 ,

(14.13)

 1 2  1 2 0  Az    Cz    xz   xz , x  2  y 2   

(14.14)

xz

majd:

végül:

 1   1  0   x z     xy z    xz   xz . x  2  y  2 

(14.15)

A (14.15) egyenletet integráljuk –t/2 és t/2 között: t/2 t/2    t/2      x zdz     xy zdz   2  ( xz0   xz ( z ))dz ,  y   x  t / 2 t / 2   t / 2 

(14.16)

ahol 0xz integrálási konstans. A xz feszültségre egy, a dinamikai peremfeltételeket teljesítő megoldás [3]:



 xz   xz0 1  

4z 2 t2

  . 

(14.17)

A (14.17) képlet egy parabola és egy téglalap területének különbségét adja, amely a teljes terület 1/3-a. Tehát, ha ezt kettővel szorozzuk, akkor matematikailag egyenértékű eredményt kapunk a parabola alatti területtel, azaz a (14.16)-os egyenletből: t/2

2  ( xz0   xz ( z ))dz  t / 2

t/2



xz

zdz  Qx ,

(14.18)

t / 2

ami nem más, mint az x tengely mentén értelmezett nyíróerő (14.10) szerint. Az egyensúlyi egyenletbe visszatéve a (14.6), (14.9) és (14.18) képleteket kapjuk: M x M xy   Qx  0 . x y

(14.19)

A második komponensegyenlet és az abból levezethető egyensúlyi egyenlet:  xy x



 y y



 yz z

 0,


(14.20)

www.tankonyvtar.hu

254

M yx x

Végeselem-módszer



M y y

 Qy  0 ,

és:

M xy  M yx .

(14.21)

Végül (14.11) harmadik komponensegyenletéből kapjuk a következőt:  xz  yz  z    0. x y z

(14.22)

Ezt integráljuk először –t/2 és t/2 között z szerint: t/2 t/2  yz  xz  z dz  dz  dz  0 ,     x  y  z t / 2 t / 2 t / 2 t/2

(14.23)

és:    xz dz   yz dz   d z  0 .  x t / 2 y t/ 2 t / 2 t/2

t/2

t/2

(14.24)

Az első két tag a (14.10) alapján a Qx és Qy nyíróerők, a harmadik pedig a dinamikai peremfeltétel értelmében a lemez középfelületére merőleges megoszló erő intenzitása, p, azaz: Qx Q y   p  0. x y

(14.25)

Összefoglalva az egyensúlyi egyenleteket kapjuk a következőket:

M x, x  M xy , y  Qx  0 ,

(14.26)

M y , y  M yx , x  Q y  0 , Qx , x  Q y , y  p  0 . A lemezegyenlet levezetéséhez átrendezzük az első két egyensúlyi egyenletet:

Qx, x  M x, xx  M xy , yx ,

(14.27)

Qy , y  M y , yy  M yx , xy .

www.tankonyvtar.hu



255

Ezeket visszatéve a (14.26) harmadik egyenletébe kapjuk a következő egyenletet:

M x, xx  2M xy , xy  M y , yy  p  0 .

(14.28)

Felhasználva a (14.7) képleteket a következőt írhatjuk:

 I1E1 (w, xxxx    w, yyxx  w, yyyy    w, xxyy  2(1  )w, xyxy )   p ,

(14.29)

amit átrendezve és összevonva a következő formára hozhatunk [5]:

4w 4w 4w p , 2 2 2  4  4 I 1 E1 x x y y

(14.30)

vagy:

 2  2 w( x, y ) 

p . I 1 E1

(14.31)

Tehát a vékony lemezek hajlítására vonatkozó egyenlet egy negyedrendű parciális differenciálegyenlet, amelyhez kinematikai és dinamikai peremfeltételek is tartoznak, azaz egy peremérték-feladatról van szó. 14.3.

Vékony lemezek végeselemes megoldásának egyenletei

A vékony lemezek hajlítási feladatának végeselemes megoldásához az alakváltozási és feszültségmező komponenseit is vektorba foglaljuk, ahol síkfeszültségi állapotot feltételezünk [1,6]:

 T   x ,  y ,  xy ,

(14.32)

 T   x ,  y , xy . Az alakváltozási jellemzőket írhatjuk a következőképpen (14.5) alapján:

 T   z ,

(14.33)

ahol  a görbületeket tartalmazó vektor:

  x   w, xx          y    w, yy  .  xy  2w, xy     


(14.34)

www.tankonyvtar.hu

256

Végeselem-módszer

Az anyagtörvényt felhasználva a feszültségek vektora:

  C sf  .

(14.35)

Az alakváltozási jellemzők egy kétváltozós w(x,y) függvényből számolhatók, a w(x,y) függvény végeselemes közelítése az elemtípustól és a választott csomóponti szabadsági fokoktól függ, de mindig felírható a következő alakban:

w( x, y)  A  , T

(14.36)

ahol A az ismeretlen együtthatók,  pedig a bázispolinomok vektora. A csomóponti elmozdulások vektora:

ue  M A ,

(14.37)

amely pl. egy három csomópontos háromszögelem esetén:

u e  w1 1 T

1 w2  2

2

w3  3

 3 .

(14.38)

A (14.37) képletben az M mátrix a közelítő w(x,y) függvény és (14.1) alapján számolható. Az i és i paraméterek az x és y tengely körüli forgások az egyes csomópontokban, ahol i = 1, 2, 3. A (14.37) képletből: 1

A  M ue .

(14.39)

Az alakváltozási jellemzők vektora általánosan az alakváltozás-elmozdulás mátrix segítségével írható fel:

  Bu e ,

(14.40)

ahol a (14.5), (14.37) és (14.39) segítségével (14.40) a következőképpen is írható:

  R A  R M 1 u e ,

(14.41)

ahol az R mátrix az alakváltozási jellemzők és az ismeretlen együtthatók vektorai közötti kapcsolatot adja meg, ennek mérete elemfüggő. Így: 1

B  RM .

(14.42)

Az elem merevségi mátrix (12.9)-ben leírt definíciója szerint:

www.tankonyvtar.hu



Ke   B C T

sf T

257

BdV .

(14.43)

Ve

A merevségi mátrix mérete a csomópontok számától és azok szabadsági fokainak számától függ. Az erővektor hasonlóan a síkmembrán elemekhez több tagból tevődik össze. A leggyakoribb a megoszló (felületi) erő és a koncentrált terhelés. A megoszló erőből származó tehervektor számítása a külső erő munkájából lehetséges:

We 

 p  w( x, y)dA  u

T e

F ep ,

(14.44)

A pe

ahol p a lemez felületére merőleges megoszló erő intenzitása, w(x,y) pedig a deformációs felület közelítő függvénye (14.36) szerint. Az Fep vektor a csomóponti elmozdulások vektora alapján határozható meg. Koncentrált terhelések esetén pl. egy három csomópontos háromszög alakú lemezelemnél minden csomópontban működhet a felületre merőleges erő, illetve az x és y tengelyek irányába eső koncentrált nyomaték:



F ec  Fz1 M x1 M y1 T

Fz 2

M x2

M y2

Fz 3

M x3



M y3 .

(14.45)

A tehervektor tehát:

F e  F ep  F ec .

(14.46)

Végül a végeselemes egyensúlyi egyenlet egyetlen elemre, valamint az egész szerkezetre:

K e u e  F e , KU  F .

(14.47)

A síkmembrán elemekhez hasonlóan a hajlított lemezeknél is többféle elemtípus létezik. Ezeket a 15. fejezetben tárgyaljuk. 14.4.

A technikai héjelmélet alapegyenletei

Abban az esetben, ha a vékonyfalú szerkezet középfelülete nem sík, hanem görbült, akkor héjról beszélünk. A héjak analitikus vizsgálata meglehetősen bonyolult matematikai számításokat igényel, ezért a következőkben csak a legfontosabb összefüggéseket mutatjuk be. 14.4.1. Geometriai összefüggések Mivel a héjak középfelülete görbült, ezért a héjak vizsgálatához szükség van a görbevonalú koordinátarendszerek alkalmazására is, amit a 14.4 ábra is szemléltet.


www.tankonyvtar.hu

258

Végeselem-módszer

14.4 ábra. Héj középfelületének görbevonalú koordináta-vonalai és bázis-egységvektorai.

A héj középfelületének kétparaméteres vektoregyenlete felírható a következőképpen [1,4]: R  R(q1 , q2 ) ,

(14.48)

ahol:

X  X (q1 , q2 ) , Y  Y (q1 , q2 ) , Z  Z (q1 , q2 ) ,

(14.49)

a globális koordináták, R a felület egy pontjának helyvektora, q1 és q2 pedig a felület általános, vagy görbevonalú koordinátái (ld. 14.4 ábra). A felületen lévő q1 = állandó és q2 = állandó görbék a q1 és q2 koordinátavonalak. A koordinátavonalak ei érintő egységvektorai és a dSi ívhosszelemek:

ei 

1 R 1  R i , dS i  H i dqi , H i qi H i

(14.50)

ahol:

H i  R ,i , i = 1, 2,

(14.51)

az ún. Lamé-együtthatók [1] vagy metrikus együtthatók [4]. A következőkben feltételezzük, hogy a felületi koordinátavonalak derékszögű hálózatot alkotnak, azaz e1e2 = 0. A felület normális egységvektora ekkor:

n  e1  e 2 .

(14.52)

Az [e1, e2, n] vektorhármas a P pontban egy lokális görbevonalú ortogonális koordinátarendszert határoz meg. A koordinátavonalak görbületét és torzióját a Frenet-képletek adják meg [1,7]:

www.tankonyvtar.hu



1 2 R 1 2 R 1  n  2  n  2   2 n  R ,ii , i = 1, 2, 2 Ri Si H i qi Hi

259

(14.53)

1 2 R 1  n   n  R ,12 , R12 S1S 2 H1 H 2 ahol R1 és R2 a görbületi sugarak. Ha R12 = 0, akkor a q1 és q2 vonalak a középfelület főgörbületi vonalai, valamint az e1 és e2 egységvektorok irányai főgörbületi irányok. A felület görbülete tenzormennyiség. Ha az e1’ és e2’ nem főgörbületi irányok, akkor a főgörbületi irányt megadó szög a következőképpen számolható:

tg 2 

2 / R12' . 1 / R1'  1 / R2'

(14.54)

A főgörbületek értékei pedig [1,7]:

1 cos 2  sin 2  sin 2    , R1 R1' R2' R12'

(14.55)

1 sin 2  cos 2  sin 2 1     0. , R2 R12 R1' R2' R12' A továbbiakban azt az esetet vizsgáljuk, amikor az e1 és e2 egységvektorok irányai a főgörbületi irányokba mutatnak. A felületi koordináta-rendszer bázisvektorainak deriváltjai [1,4]:

e i ,i  

H i, j Hj

ej 

H j ,i Hj Hi e j , n, j  n , e i, j   e j , i  j , i, j = 1, 2. Hi Ri Rj

(14.56)

A középfelülettel párhuzamos felület P* pontja az n normális mentén z távolságra van a P ponttól. A P* pont helyvektora a 14.4 ábra alapján:

R  R  zn . *

(14.57)

A bázis egységvektorok a z koordinátától függetlenek, azaz:

ei  ei . *

(14.58)

A P* pont helyvektorának deriváltja felírható a következőképpen:

R ,i  R ,i  z n ,i  H i (1  *

z )e i . Ri


(14.59)

www.tankonyvtar.hu

260

Végeselem-módszer

Legyen:

H i*  H i (1 

z z ) és dS i*  dS i (1  ) , i = 1, 2. Ri Ri

(14.60)

melyek a P* ponthoz tartozó Lamé-együtthatók és ívhosszak. 14.4.2. Élerők és élnyomatékok, egyensúlyi egyenletek A 14.5 ábra egy differenciális héjelem határoló síkjain ébredő feszültségeket a 14.6 ábra pedig egy dS1xdS2 méretű felületen működő élerőket és élnyomatékokat mutatja.

14.5 ábra. Differenciális héjelem síkjain ébredő feszültségkomponensek.

14.6 ábra. Differenciális héjelem középfelületének igénybevételei.

A t vastagságú differenciális héjelemre működő feszültségkomponensek és a középfelület igénybevételei közötti kapcsolat felírásakor figyelembe kell venni a dSi és dSi* ívhosszak közötti (14.60) által megadott kapcsolatot is. Az e1 normálisú vonalra működő élerők és élnyomatékok: www.tankonyvtar.hu


14. Vékonyfalú héjak, lemezek modellezése t/2

N11 



t / 2

 11(1 

261

t/2

t/2

z z z )dz , N12    12 (1  )dz  N 21 , Q1     13 (1  )dz , R2 R2 R2 t / 2 t / 2 t/2

t/2

z z M11    11z (1  )dz , M12    12 z (1  )dz  M 21 , R2 R2 t / 2 t / 2

(14.61)

ahol N11 a síkbeli normál élerő, N12 és N21 a síkbeli nyíró élerők, Q1 a transzverzális irányú nyíró élerő, M11 a hajlító élnyomaték, M12 és M21 pedig a csavaró élnyomatékok. Figyelembe kell venni azt is, hogy bár a dualitás miatt 12 = 21 a fenti képletekben N12  N21 és M12  M21, mivel a görbületi sugarak általában nem egyenlők, azaz R1  R2. A héjszerkezetre ható külső terhelések és a belső erők közötti kapcsolatot leíró egyensúlyi egyenletek levezetése szintén nagyon bonyolult, ezért csak a végeredményt közöljük. Az egyensúlyi egyenlet az élerők esetén [1,7]: ( H 2 N11 ) ,1  ( H 1 N 21 ) , 2  N12 H 1, 2  N 22 H 2,1  H 1 H 2 (

( H 2 N12 ),1  ( H1 N 22 ), 2  N 21H 2,1  N11H1, 2  H1H 2 (

( H 2Q1 ),1  ( H1Q2 ), 2  H1H 2 (

Q1  p1 )  0 , R1

(14.62)

Q2  p2 )  0 , R2

N11 N 22   p3 )  0 , R1 R2

ahol p1 és p2 az 1-es és 2-es irányokban értelmezett tangenciálisan megoszló erők, p3 pedig a héj középfelületére merőlegesen megoszló erő. Az egyensúlyi egyenletek az élnyomatékok esetén:

( H 2 M 12 ) ,1  ( H1 M 22 ) , 2  M 21H 2,1  M 11H1, 2  H1 H 2 Q2  0 ,

(14.63)

( H 2 M11),1  ( H1M 21), 2  M12H1, 2  M 22H 2,1  H1H 2Q1  0 , M 12 M 21   N12  N 21  0 , R1 R2

(14.64)

ahol az alsó indexben lévő vessző utáni szám a megfelelő koordináta szerinti deriválást jelenti. 14.4.3. Elmozdulásmező, alakváltozási jellemzők A héj középfelületén egy P pont elmozdulás és elfordulásvektora a 14.7 ábra alapján a következő formában írható fel:

u  ue1  ve 2  wn ,   1 e1   2 e 2   3 n . © Szekrényes András, BME

(14.65) www.tankonyvtar.hu

262

Végeselem-módszer

14.7 ábra. Vékonyfalú héj középfelületén lévő pont elmozdulása.

Egy középfelületen kívüli P* pontban az u vektor komponensei a héjelmélet kinematikai hipotézise szerint [1,7]: u *  u   1 z , v *  v   2 z , w*  w ,

(14.66)

azaz a középfelületre merőleges anyagi vonal az alakváltozás során egyenes marad. A középfelület alakváltozását és görbületváltozását leíró képletek [1,7]:

 11 

H 1, 2 1 1 u ,1  v  w, H1 H1 H 2 R1

 22 

H 2,1 1 1 v, 2  u w, H2 H1 H 2 R2

2 12 

H1 H2

 u  H  v     2   , H H H 1  2  ,1  1  ,2

 11 

H 1 1,1  1, 2  2 , H1 H1 H 2

 22 

H 1  2, 2  2,1 1 , H2 H1 H 2

2 12 

H1 H2

(14.67)

 1  H    1 1     2  2       3 ,  H 2  , 2 H 1  H 1  ,1  R2 R1 

ahol 1 és 2 a q1 és q2 koordinátavonalak mentén értelmezett fajlagos nyúlások, 12 az e1 és e2 bázisvektorok közötti derékszög fajlagos megváltozása a deformáció során, 11 és 22 a q1 és q2 paraméterek irányába értelmezett görbületek, 12 pedig a keresztirányú görbület. A normális és az e1, e2 irányok fajlagos szögváltozásai pedig [1,7]: www.tankonyvtar.hu



 13  

u 1 v 1  w, 2   2 .  w,1  1 ,  23   R2 H 2 R1 H 1

263

(14.68)

Tételezzük fel, hogy az alakváltozás során a középfelületre merőleges anyagi vonal merőleges marad a görbült középfelületre, azaz a (14.68)-ben adott fajlagos szögváltozások zérusok. A héjelmélet kinematikai hipotézisét és az előző hipotézist együtt Kirchhoff–Love hipotézisnek hívjuk. Ekkor:

1 

u 1 v 1  w,1 ,  2   w, 2 . R1 H 1 R1 H 2

(14.69)

Másképpen fogalmazva, a nyírófeszültségekből adódó plusz deformációt (hasonlóan a vékony lemezek Kirchhoff-féle elméletéhez) nem vesszük figyelembe. A z-tengely körüli szögelfordulás felírható a következő képlettel [1,7]:

3 

1 [( H 2 v) ,1  ( H 1u ) , 2 ] . 2H1 H 2

(14.70)

A legtöbb esetben azonban a szögelfordulás értéke elhanyagolhatóan kicsi, így ezt a forgást általában nem vesszük figyelembe. 14.4.4. Közelítések a technikai héjelmélet keretein belül A héj vékonynak tekinthető, ha a vastagsága (t) kicsi a kisebbik főgörbületi sugárhoz képest, azaz [1]:

z  1 . R2

(14.71)

Emiatt a Lamé-együtthatók és az ívhosszak értéke közel azonos a középfelületen és azon kívül, azaz:

H i*  H i és: dS i*  dS i , i = 1, 2.

(14.72)

Ennek megfelelően a (14.61) képletek is egyszerűsödnek: t/2

N11 



t / 2

M 11 

t/2

dz , N12 

11



t/2

dz  N 21 , Q1    13dz ,

12

t / 2

t/2

t/2

t / 2

t / 2

  11zdz , M12 



(14.73)

t / 2

12


zdz  M 21 .

www.tankonyvtar.hu

264

Végeselem-módszer

Látható, hogy ekkor a nyíró élerők és a csavaró élnyomatékok értéke azonos, ami sérti a (14.64) képlettel megadott egyensúlyi egyenletet. Ezt a közelítést technikai héjelmélet keretein belül megengedjük. 14.5.

Héjak végeselemes modellezésének főbb lépései

A héjak végeselemes diszkretizációja során - hasonlóan a sík- és lemezfeladatokhoz – a geometria és az elmozdulásmező interpolációjából indulunk ki [1,7]. A héj középfelületének egy pontjában az elmozdulás- és elfordulásvektor a következőképpen írható fel:

u  u v w , T

 T  1  2

(14.74)

3 .

A két vektor komponensei nem függetlenek egymástól. A (14.67) képletből számítjuk ki a középfelület alak- és görbületváltozásait:

 T   11  22 2 12 ,

(14.75)

 T  11  22 212  . Az élerőket és élnyomatékokat is vektorokba foglaljuk:

N  N11 T

N12  ,

N 22

M  M 11 T

M 22

(14.76)

M 12  .

A transzverzális irányú Q1, Q2 nyíróerőket nem vesszük figyelembe a deformáció számításánál. Végül felírjuk a felületi terhelés és a külső terhelések vektorait:

p   p1

p1

 TN  N1

N2

T

p3  ,

(14.77)

 Q ,

 TM  M 1 M 2 0, ahol p a héj középfelületéhez, azaz a q1 és q2 koordinátához képest érintő irányú, valamint a héj középfelületére merőleges megoszló erőket tartalmazza, N és M pedig a csomópontokban működő koncentrált erőket és nyomatékokat tartalmazza. A teljes potenciális energia a (14.75)-(14.77)-es képletekben megadott vektorok segítségével a következőképpen írható fel: e 

1 T T T T T ( N   M ) H 1 H 2 dq1dq2   u pH 1 H 2 dq1dq2   (u  N    M )dS .  2A A S

www.tankonyvtar.hu

(14.78)



265

Feltételezzük, hogy a vékony héj anyaga homogén, izotrop és lineárisan rugalmas. Ekkor az élerők és élnyomatékok vektorai a következőképpen számolhatók:

t 3 sf N  tC  , M  C  , 12 sf

(14.79)

ahol szintén síkfeszültségi állapotot feltételezve a konstitutív mátrix:

C

sf

  1  0   E  1  0 . 1  2  1   0 0  2  

(14.80)

Ezzel tehát azt kapjuk (14.78)-ra, hogy:

e 

1 t 2 T sf T sf ( t  C    C  ) H 1 H 2 dq1 dq 2  2 A 12

(14.81)

  u pH 1 H 2 dq1 dq 2   (u  N    M )dS , T

A

T

T

S

Az elem merevségi mátrix és az elem csomóponti terhelésvektor bevezetésével juthatunk el a

e 

1 T T ue K e ue  ue F e 2

(14.82)

kifejezéshez, amiből az elemre vonatkozó végeselemes egyenlet ((14.47) első egyenlete) vezethető le. Az elemekre vonatkozó potenciális energiákat ezután összegezzük:

1 T T     e  U KU  U F , 2

(14.83)

és végül a minimum-elv alkalmazásával a szerkezeti egyensúlyi egyenlethez jutunk:

KU  F .

(14.84)

A héjak végeselemes modellezéséhez igen sokféle elemtípus áll rendelkezésre. Elérhetők a síkhéj elemek, amelyek leginkább sűrűbb elemfelosztás esetén adnak pontosabb eredményt, de megtalálhatók az egyszeresen (pl: körhengerhéj-elem) és kétszeresen görbült elemtípusok is, amelyek mind a geometriát, mind az elmozdulásmezőt pontosabban közelítik azonos elemszám esetén. A különféle lemez és héjelem típusokat a 15.-17. fejezetekben tárgyaljuk.


www.tankonyvtar.hu

266

Végeselem-módszer

Bibliográfia [1] [2] [3]

[4]

[5] [6] [7]

Bojtár Imre, Vörös Gábor, A végeselem-módszer alkalmazása lemez- és héjszerkezetekre. Műszaki Könyvkiadó, 1986, Budapest. Robert D. Cook, Finite element modeling for stress analysis. John Wiley and sons, Inc., 1995, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore. Vörös Gábor, Rugalmasságtan és végeselem módszer c. tárgy előadásai és gyakorlatai, kézirat. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tanszék, 2002, Budapest. Pei Chi Chou, Nicholas J. Pagano. Elasticity – Tensor, dyadic and engineering approaches. D. Van Nostrand Company, Inc., 1967, Princeton, New Jersey, Toronto, London. S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. Lemezek és héjak elmélete. Műszaki Könyvkiadó, 1966, Budapest. Singiresu S. Rao. The finite element method in engineering – fourth edition. Elsevier Science & Technology Books, 2004. Eduard Ventsel, Theodor Krauthammer. Thin plates and shells – Theory, analysis and applications. Marcel Dekker Inc., 2001, New York, Basel.

www.tankonyvtar.hu


15.

SÍKBELI ÉS SÍKRA MERŐLEGES TERHELÉSŰ, SÍKBELI VÉKONYFALÚ HÉJAK MODELLEZÉSE VÉGESELEMMÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL

15.1.

Hajlított lemezelemek

A sík lemezelemeket lemez alakú szerkezetekben kialakuló belső erők, igénybevételek vizsgálatára használjuk. A lemezelem a rúdelem kiterjesztése olyan módon, hogy a hajlítás, nyírás, csavarás egymásra merőlegesen két síkban és egyszerre, egymásra való kölcsönhatás során következik be. A lemezek modellezésére – a síkmembrán feladatokhoz hasonlóan – elérhetők a háromszög és négyszög alakú elemek. Az általános háromszög alakú elemek jobban használhatók olyan esetekben, amikor a szerkezet szabálytalan, vagy háromszög, illetve ahhoz hasonló alakú. Ebben a fejezetben elsősorban a síkra merőleges terhelésű lemezelemeket tekintjük át. Abban az esetben, amikor a lemez síkbeli és síkra merőleges terhelésű is, akkor a síkmembrán és a hajlított lemezelemek kombinálásával tudjuk a feladatot megoldani. Láthattuk a (14.3) képlet alapján, hogy a nyíróerők elhanyagolása miatt a lemez egy pontjában a szögelfordulásokat a

  w, x és   w, y

(15.1)

összefüggésekből tudjuk kiszámítani. A hajlítási deformációt leíró görbületek pedig:

 w, xx        w, yy  , és    z   . 2 w, xy   

(15.2)

Vékony lemezeknél síkfeszültségi állapotot szoktunk feltételezni, azaz:

 T   x ,  y ,  xy .

(15.3)

A Kirchhoff-féle lemezelmélet bemutatása során láthattuk, hogy a deformációs felületet egy kétváltozós w(x,y) függvény írja le, ezzel mind a görbületek, mind az alakváltozási jellemzők kiszámolhatók. A lemezfeladatok során ezt a w(x,y) függvényt kell interpolációs polinomokkal előállítani, majd pedig ennek segítségével fel kell építeni az elem merevségi mátrixát és a tehervektort. A következőkben nézzünk meg néhány hajlított lemez-elemtípust. 15.2.

Háromszög alakú sík lemezelem vagy Tocher-féle háromszögelem

A lemez alakú szerkezetek végeselem diszkretizációja során a lemez síkjára merőleges elmozdulást mind x, mind pedig y szerint harmadfokú polinommal közelítjük [1,2]:


www.tankonyvtar.hu

268

Végeselem-módszer

w( x, y)  a0  a1 x  a2 y  a3 x 2  a4 xy  a5 y 2  a6 x 3  a7 ( x 2 y  xy 2 )  a8 y 3 .

(15.4)

Ez a megközelítés egyike volt az első háromszögalakú végeselemeknek, amelyet először Tocher publikált [1]. Az elemet a 15.1 ábra mutatja. A deformációs felület vektor formában:

w( x, y)  A  , T

(15.5)

ahol A az ismeretlen együtthatók,  pedig a bázispolinomok vektora:

A  a0 T

a1

a2

a3

 T  1 x y x 2

xy

a4 y2

a5 x3

a6

a7

a8 ,

( x 2 y  xy 2 )

(15.6)



y3 .

15.1 ábra. A Tocher-féle kilenc szabadsági fokú háromszög alakú lemezelem.

Az ismeretlen együtthatók a csomóponti feltételek alapján számolhatók ki, azaz az adott elmozdulásfüggvénynek az egyes csomópontokban vissza kell adni a csomóponti elmozdulásértéket. Emiatt a (15.4) képletben mindig csak annyi tagot tudunk figyelembe venni, ahány csomóponti szabadságfokunk van. A Tocher-féle háromszögelem esetén az x2y és xy2 tagokat összevonjuk. Az A vektorban jelenleg kilenc ismeretlen együttható van. Az elemre vonatkozó csomóponti szabadságfokok vektora a 15.1 ábra alapján:

u e  w1 1 T

1 w2  2

2

w3  3

 3 ,

(15.7)

ahol wi a lemez felületére merőleges elmozdulás, i és i pedig az x és y tengelyek körüli forgások. A Tocher-féle lemezelem tehát kilenc szabadsági fokú. Az együtthatók meghatározásához szükséges csomóponti feltételek [1,2]:

www.tankonyvtar.hu


15. Síkbeli és síkra merőleges terhelésű síkbeli vékonyfalú héjak modellezése

w( x1 , y1 )  w1 ,

w w ( x1 , y1 )   1 ,  ( x1 , y1 )  1 , y x

w( x2 , y 2 )  w2 ,

w w ( x2 , y 2 )   2 , ( x2 , y 2 )   2 ,  x y

w( x3 , y3 )  w3 ,

w w ( x3 , y 3 )   3 ,  ( x3 , y 3 )   3 . y x

269

(15.8)

Az együtthatók számításához, valamint az alakváltozási jellemzőkhöz szükség van tehát a w(x,y) függvény x és y szerinti deriváltjaira, azaz (15.4) alapján írhatjuk:

w  a1  2a3 x  a 4 y  3a6 x 2  a7 (2 xy  y 2 ) , x

(15.9)

w  a 2  a 4 x  2a5 y  a7 ( x 2  2 xy )  3a8 y 2 , y 2w  2 a 3  6a 6 x  2 a 7 y , x 2

2w  2a 5  2 a 7 x  6a 8 y , y 2 2w  a 4  2a 7 ( x  y ) . xy

Ezeket beírva (15.7)-ba, a kapott egyenletrendszer mátrix alakban a következőképpen írható [1]: ue  M A ,

(15.10)

ahol:


www.tankonyvtar.hu

270

Végeselem-módszer

1 x1 y1  0 0 1 0  1 0  1 x 2 y 2 M  0 0 1  0  1 0 1 x y3 3  0 0 1  0  1 0

y13   ( x12  2 x1 y1 ) 3 y12   (2 x1 y1  y12 ) 0   2 2 ( x 2 y 2  x 2 y 2 ) y 23  ( x 22  2 x 2 y 2 ) 3 y 22  .   (2 x 2 y 2  y 22 ) 0  ( x32 y 3  x3 y 32 ) y 33   ( x32  2 x3 y 3 ) 3 y 32    (2 x3 y 3  y 32 ) 0  ( x12 y1  x1 y12 )

x12

x1 y1

y12

x13

0  2 x1

x1  y1

2 y1 0

0  3x12

x 22

x2 y 2

y 22

x 23

0

x2

2 y2

0

 2 x2 x32

 y2 x3 y 3

0 y 32

 3x x33

0

x3

2 y3

0

 2 x3

 y2

0

 3x32

2 2

(15.11)

Az interpolációs polinom együtthatói a (15.10) egyenletrendszer megoldásával adódnak: 1

A  M ue .

(15.12)

Az együtthatókra nagyon bonyolult képletek adódnak, ezért azokat itt nem közöljük. Az alakváltozási jellemzők vektora (14.5) és (15.5) alapján:

 x   w, xx          y    z  w, yy   R A ,  xy  2  w, xy     

(15.13)

ahol az R mátrix: 2y 0 0 0 0 2 0 0 6 x  R   z  0 0 0 0 0 2 0 2x 6 y  . 0 0 0 0 2 0 0 4( x  y ) 0 

(15.14)

Behelyettesítve a (15.12) képletet (15.13)-ba jutunk el a B alakváltozás-elmozdulás mátrixhoz:

  R A  R M 1 u e  Bu e .

(15.15)

Figyelembe véve, hogy a vékony lemezekre síkfeszültségi állapotot feltételeztünk, írhatjuk, hogy:

  C sf  ,   C sf Bu e ,

(15.16)

sf

ahol a C mátrix síkfeszültségi állapotra vonatkozik. Az elem merevségi mátrix definíciója (14.43) szerint: www.tankonyvtar.hu



Ke  B C T

sf T

BdV .

271

(15.17)

Ve

A (15.15) felhasználásával a következőhöz jutunk:

 t / 2 T sf T  1 K e  ( M )    R C Rdz dA( M ) . Ae t / 2  1 T

(15.18)

A fenti kifejezésben a középső tag [1]:  t / 2

 Rdz dA   Ae t / 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0 0 0 0   0 0 0  0 0 0 0 0 0   4 0 4 12 x 4(x  y ) 12y  0 0 0 0 0 0  0 2(1   ) 0 0 4(1   )( x  y ) 0  I1 E1  dA. 4 0 4 12x 4( x  y ) 12 y 0 0 0  Ae 0 0 0 12 x 0 12x 36 x 2 12 x(x  y ) 36xy    2 0 0 0 4(x  y ) 4(1   )( x  y ) 4( x  y ) 12 x(x  y ) {(12  8 )( x  y )  12 y ( x  y )    8(1   ) xy}   2 12xy 0 12 y 36xy 12 y ( x  y ) 36 y 0 0 0 

   R

T

C

sf T

(15.19)



ahol I1 = t3/12 és E1 = E/(1-2). A merevségi mátrix kiszámításához szükség van az M mátrix inverzére. Mivel ez nagyon bonyolult, itt nem foglalkozunk vele. A (15.19) képletben a mátrix komponenseinek felületi integráljához felhasználhatók a következő összefüggések [1]:

 dA    dxdy  A

e

Ae

 xdA    xdxdy  Ae

 ydA    ydxdy  Ae

x

2

1  [( x2 y3  x3 y 2 )  ( x3 y1  x1 y3 )  ( x1 y 2  x2 y1 )] , 2

Ae ( x1  x2  x3 ) , 3 Ae ( y1  y 2  y3 ) , 3

dA    x 2 dxdy 

Ae 2 ( x1  x23  x32  x1 x2  x2 x3  x3 x1 ) , 6

dA    y 2 dxdy 

Ae 2 ( y1  y 23  y32  y1 y 2  y 2 y3  y3 y1 ) , 6

Ae

y Ae

2

(15.20)


www.tankonyvtar.hu

272

Végeselem-módszer

Ae

 xydA    xydxdy  12 ( y (2 x 1

 x2  x3 )  y 2 ( x1  2 x2  x3 )  y3 ( x1  x2  2 x3 )) ,

1

Ae

x

2

ydA   x 2 ydxdy 

Ae

Ae ( y1 (3x12  x22  x32  2 x1 ( x2  x3 )  x2 x3 )  60

 y2 ( x12  3x22  x32  2 x2 ( x1  x3 )  x1 x3 )  y3 ( x12  x22  3x32  2 x3 ( x1  x2 )  x1 x2 )), Ae

 xy dA   xy dxdy  60 ( x (3 y 2

2

1

2 1

 y22  y32  2 y1 ( y2  y3 )  y2 y3 ) 

Ae

 x2 ( y12  3 y22  y32  2 y2 ( y1  y3 )  y1 y3 )  x3 ( y12  y22  3 y32  2 y3 ( y1  y2 )  y1 y2 )), A 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 A x dA   x dxdy  20e ( x1  x2  x3  x1x2  x1 x2  x2 x3  x2 x3  x1x3  x1 x3  x1x2 x3 ) , e

Ae

 y dA   x dxdy  20 ( y 3

3

3 1

 y23  y32  y1 y22  y12 y2  y2 y32  y22 y3  y1 y32  y12 y3  y1 y2 y3 ),

Ae

ahol Ae a háromszög területe, xi és yi, i = 1, 2, 3 pedig a csomópontok koordinátái. Az erővektor általában két tagból áll. A megoszló erőből származó tehervektor számítása a külső erő munkájából lehetséges:

We 

 pw( x, y)dA  u

T e

F ep .

(15.21)

Ape

Az Fep tag számítása elég bonyolult, mivel az M mátrix inverze, illetve a felületi integrálok egyszerűsítése is szükséges hozzá. A koncentrált erők, nyomatékok a szabadsági fokoknak megfelelően írhatók egy vektorba:




Fz 2

M x2

M y2

Fz 3

M x3



M y3 ,

(15.22)

ahol Fzi a felületre merőleges koncentrált erő, Mxi és Myi pedig az x és y irányú koncentrált nyomatékok. A következőkben egy példát mutatunk be. 15.3.

Kidolgozott példa a Tocher-féle háromszög alakú lemezelem alkalmazására

Számítsuk ki a 15.2 ábrán látható befogott lemez elmozdulását és reakcióit [1]!

www.tankonyvtar.hu



273

15.2 ábra. Háromszög alakú befogott lemez koncentrált erővel terhelve.

Adatok: E = 200 GPa,  = 0,3, t = 5 mm, F = 1 kN, a = 200 mm, b = 75 mm. A csomóponti koordináták: csomópont 1 2 3

x 0 a 0

y -b/2 0 b/2

A következőkben a méreteket [mm]-ben, az erőt pedig [N]-ban számoljuk. A kinematikai kényszerek (befogás) miatt a csomóponti elmozdulások vektora a következő lesz:

u e  0 0 0 w2  2 T

 2 0 0 0 .

(15.23)

A merevségi mátrix számításához szükséges a konstitutív mátrix, amely numerikusan:

1  0  219,78 65,93 0   E sf   1 C C  0    65,93 219,78 0  GPa . 1  2  1   0 76,92  0 0 0 2 

(15.24)

Az M mátrixot a csomóponti koordináták alapján tudjuk kiszámítani (15.11) felhasználásával:


www.tankonyvtar.hu

274

Végeselem-módszer

0 0 5625 0 0  421875 1 0  75 0 0 1 0 0  150 0 0 16875   0  1  0 0 75 0 0  5625 0   0 40000 0 0 8000000 0 0 1 200  . M  0 0 1 0 200 0 0 40000 0   0  400 0 0  120000 0 0 0  1  1 0 75 0 0 5625 0 0 421875    1 0 0 150 0 0 16875  0 0 0  1  0 0  75 0 0  5625 0  

(15.25)

Az M mátrix determinánsa 4,861012, azaz a mátrix nem szinguláris, létezik inverze. A merevségi mátrixhoz szükséges R mátrixot (ld. (15.14) képlet) előállítva és a felületi integrálokat kiszámítva kapjuk:

 t / 2 T sf T  1 1 K e  ( M )T    R C Rdz dA( M )  Ae t / 2   15383,6  80,5 16472,0  7887,6  548,7 41301,7 7174,0  629,1 30559,9  . 3731523 , 2 236741 , 0  7055 , 9  392240 , 8  304505 , 1  23503 , 9 715499 , 7  1343422 ,4   . . 2433109,2 10731,5  772851,1 765510,5 4652,2  966573,2  1052328,6   . . . 257 , 6 4829 , 2 17170 , 3  177 , 1 9470,5 23609,2   N  . , . . . 1716949,1 69754,5  21301,1 1508270,3 1668927,7    mm . . . . 1717032,9  9282,7 339382,2 951522,4   .  . . . . . . 725,71  50772,2  30783,3    . . . . . . 4681778,8 2521292,8   .   . . . . . . . 4822646,8   .

(15.26)

A merevségi mátrix mindig szimmetrikus, ezért csak az egymástól független tagokat tüntettük fel benne. Az erővektor a koncentrált erők alapján:



F ec  Fz1 T

M x1

M y1

F

0 0 Fz 3

M x3



M y3 .

(15.27)

A kondenzált merevségi mátrix és a csomóponti elmozdulások számításához szükséges egyenlet a következő lesz:

4869,2 17170,3   w2   1000  257,6  4829,2 1716949,1 69754,5      0  .   2    17170,3 69754,5 1717033,0   2   0 

(15.28)

A csomóponti megoldások: w2  13,1764 mm ,  2  0,03176 rad , 2  0,130477 rad . www.tankonyvtar.hu

(15.29) © Szekrényes András, BME


275

Látható, hogy bár a geometria és a terhelés is szimmetrikus az x tengelyre nézve, mégsem szimmetrikusan deformálódik a háromszögelem. A csomóponti elmozdulásokat az eredeti egyenletbe visszatéve számítjuk ki a reakciókat:

F1  554,5 N , M x1  40784,5 Nmm , M y1  66068,6 Nmm ,

(15.30)

Az alakváltozási jellemzők és a feszültségek vektora (15.15) alapján:

5,824  10 4 z  4,764  10 7 zx  1,5879  10 6 zy x          y   R M 1 u e    1,5879  10 6 zx ,  7    xy   7,9399  10 z (4 x  4 y )    

(15.31)

128,0 z  2,0  1010 zx  0,349 zy  x         y   C sf    38,4 z  0,3176 zx  0,1047 zy  .    xy   0,06107 z (4 x  4 y )     A fenti képletekbe [mm]-ben behelyettesítve a koordinátákat, bármelyik pontban számolhatók az alakváltozási jellemzők és a feszültségek. A fenti példát egy Matlab szoftverben megírt végeselem program segítségével ellenőriztük [3] és azonos eredményeket kaptunk. A Tocher-féle lemezelem általában nem kielégítő pontosságú, és az eredmények konvergenciája is rossz. Ennek kiküszöbölésére fejlesztették ki az ún. redukált háromszögelemet, amelynél területkoordinátákat vezettek be [4]. A Tocher-féle kilenc szabadsági fokú háromszögelem mellett több más elemtípus is létezik, pl: Adini, vagy Cowper-féle háromszögelem, AdiniClough-Melosh-féle, Bogner-Fox-Scmit-féle négyszögelem, stb [1]. A következőkben nézzünk meg néhány téglalap alakú lemezelemet is. 15.4.

Inkompatibilis téglalap alakú lemezelem

A 15.3 ábrán az egyik legelső téglalap alakú elemtípus látható egy globális, lokális és természetes koordinátarendszerben.


www.tankonyvtar.hu

276

Végeselem-módszer

15.3 ábra. Téglalap alakú inkompatibilis lemezelem globális (a), lokális (b) és természetes (c) koordináta-rendszerben.

A lokális dimenziótlan  és  koordináták:



1 1 x y ,   , és: d  dx , d  dy . a b a b

(15.32)

Szükség lesz az alábbi differenciálhányadosokra is:

d 1 d d 1 d  , .  dx a d dy b d

(15.33)

A 15.3b ábra szerinti lokális x-y koordináta-rendszerben minden csomópontban három szabadsági fokot veszünk figyelembe, ezek a w elmozdulás a lemezelem síkjára merőlegesen, valamint az x és y tengelyek körüli szögelfordulások. Az elemre vonatkozó csomóponti elmozdulások vektora tehát:

u e  w1 1 1 w2  2 T

2 w3 3 3 w4  4 4 ,

(15.34)

azaz összesen 12 szabadsági fokú az elem, ahol a szögelfordulások (15.1) alapján számolhatók a Kirchhoff-Love hipotézis szerint. A z irányú elmozdulás és a szögelfordulások tehát egymástól nem függetlenek, az interpolációs függvény legfeljebb 12 ismeretlen paramétert www.tankonyvtar.hu



277

tartalmazhat. Az élek mentén a w-re megadott kifejezésnek köbösnek kell lenni, a normálisirányú deriváltnak ennek megfelelően lineárisan kell változnia [2]. Egy teljes köbös függvény 10 tagot tartalmaz, a csomóponti paraméterek száma miatt azonban még két kiegészítő tagot figyelembe kell venni. Az alábbi három lehetőség közül választhatunk:

 3 és  3 , vagy:  3 2 és  2 3 , vagy:  2 2 és  3 3 .

(15.35)

Bármelyiket is választjuk, köbös változást fogunk kapni a normális irányú deriváltakban a lineáris helyett [1,2]. Emiatt az elem nem kompatibilis, vagy más néven inkompatibilis. Az első lehetőséget választva kapjuk:

w( , )  a0  a1  a2  a3 2  a4  a5 2  a6 3 

(15.36)

 a7 2  a8 2  a9 3  a10 3  a11 3. Az ismeretlen együtthatók meghatározásához szükséges csomóponti feltételek: w(0,0)  w1 ,

1 w 1 w (0,0)   1 ,  (0,0)  1 , b  a 

w(1,0)  w2 ,

1 w 1 w (1,0)   2 ,  (1,0)   2 , b  a 

w(1,1)  w3 ,

1 w 1 w (1,1)   3 ,  (1,1)   3 , b  a 

w(0,1)  w4 ,

1 w 1 w (0,1)   4 ,  (0,1)   4 . b  a 

(15.37)

Az együtthatókra kapott kifejezéseket visszatesszük a (15.36) függvénybe, valamint felhasználjuk, hogy az elmozdulás-függvény felírható az interpolációs függvények és a csomóponti elmozdulások szorzatainak összegeként:

w( , )  N1w1  N 21  N31  N 4 w2  N5 2  N6  2 

(15.38)

 N7 w3  N8 3  N9 3  N10w4  N11 4  N12 4 , amiből azt kapjuk, hogy az interpolációs függvények a következő alakúak:

1  N1  2(  1)(  1) (1     )   2   2  , 2 

(15.39)

N 2  b (  1) 2 (  1) ,

N 3  a (  1)(  1) 2 , © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

278

Végeselem-módszer

3 1   N 4  2(  1)   2   2      , 2 2   N 5  b (  1) 2 , N 6  a 2 (  1)(  1) ,

1 3   N 7  2    2   2   (   )  , 2 2   N 8  b 2 (  1) , N 9  a 2 (  1) ,

1 3   N10  2 (  1)  2   2      , 2 2   N11  b 2 (  1)(  1) , N12  a (  1) 2 ,

és: w( , )  N u e , T

(15.40)

ahol:

N  N1 T

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

N9

N10

N11

N12 ,

(15.41)

az interpolációs polinomok vektora. Fejezzük ki ezek után az alakváltozási jellemzők vektorát (14.5) alapján:

 x   w, xx          y    z  w, yy    z ,  xy  2  w, xy     

(15.42)

ahol:

www.tankonyvtar.hu



 N T, xx       N T, yy u e   u e . 2  N T, xy   

279

(15.43)

ahol N,xx, N,yy és N,xy az interpolációs függvények megfelelő deriváltjait tartalmazó vektorok (15.41) szerint. Ezzel az alakváltozási jellemzők és a feszültségek vektora:

   z u e ,

(15.44)

  C sf    zC sf  u e . A hajlító és csavaró élnyomatékokat is vektorba foglalhatjuk, amely (14.7) és (15.43) alapján számolható:  N T, xx   N T, yy   Mx   T   T  M   M y    I1E1  N , yy   N , xx u e .  (1   ) N T, xy   M xy     

(15.45)

A teljes potenciális energia képletébe visszatéve a már kiszámolt vektorokat kapjuk, hogy:

e 

T 1 1  T  dV   u T pdA  u Te  z 2  T C sf  dV u e   pw( , )dA .  2 Ve 2 Ve Ape Ape

(15.46)

Az elem térfogatára vonatkozó integrálást felbontva x, y és z szerinti integrálásra, valamint a második tagban feltételezve, hogy a lemezelemre működő megoszló erő állandó, a következőt írhatjuk: e 

1 1 1 1  1 T  t3 1 T T sf T T T u e   ab   C  dd u e  u e   p  ab N dd  u e K e u e  u e F ep , (15.47) 2  0 0 12 2 0 0 

ahol az elem merevségi mátrixa: 1 1

t3 T sf T ab   C  dd , 12 0 0

Ke  

(15.48)

és az egyenletesen megoszló erőből adódó tehervektor:


www.tankonyvtar.hu

280

Végeselem-módszer 1 1

F ep    p  ab N dd  0 0

pab  b  1 4  6

a b  1 6 6

a b 1  6 6

a b 1  6 6

(15.49)

T

a   , 6

azaz hasonlóan a síkbeli hajlított rúdelemhez a megoszló erőt a csomópontokban koncentrált erők és nyomatékok reprezentálják, hiszen diszkretizációs eljárásról van szó. A számításnál figyelembe kell venni, hogy a csomópontokban koncentrált terhek is megjelenhetnek, azaz:




Fz 2

M x2

M y2

Fz 3

M x3

M y3

Fz 4

M x4



M y4 ,

(15.50)

és így:

F e  F ec  F ep .

(15.51)

Az elemre vonatkozó végeselemes egyensúlyi egyenlet a minimum-elv alkalmazásával: K e ue  F e ,

(15.52)

amely azonban csak akkor érvényes, ha a szerkezet egyetlen elemből áll. Több elem esetén a potenciális energiák összegzésével jutunk el a szerkezeti egyenlethez:

KU  F .

(15.53)

Ezek után nézzünk egy példát az inkompatibilis téglalap alakú lemezelemre is! 15.5.

Kidolgozott példa az inkompatibilis téglalap alakú lemezelemre

Számítsuk ki a 15.4 ábrán látható befogott lemez csomópontjainak elmozdulását és reakcióit!

15.4 ábra. Példa az inkompatibilis lemezelem alkalmazására.

www.tankonyvtar.hu



281

Adatok: E = 200 GPa,  = 0,3, t = 1 mm, F = 5 N, a = 600 mm, b = 400 mm. A következőkben a méreteket [m]-ben, az erőt pedig [N]-ban számoljuk. A csomóponti koordináták a következők: csomópont 1 2 3 4

x 0 a a 0

y 0 0 b b

A kinematikai kényszerek miatt írhatjuk a csomóponti elmozdulások vektorára, hogy:

u e  0 0 0 w2  2 T

2

w3  3

 3 0 0 0.

(15.54)

Ugyanakkor a tehervektor a koncentrált terhelésből és a reakciókból adódóan:



F ec  Fz1 M x1 M y1  F T

0 0 0 0 0 Fz 4



M x1 M y 4 .

(15.55)

A konstitutív mátrix síkfeszültségi állapotra:

1  0  200 60 0   E sf  1 C  0    60 200 0  GPa . 1  2  1    0 0 70 0 0 2 

(15.56)

A merevségi mátrixhoz szükséges  mátrixot kiszámítva kapjuk:


www.tankonyvtar.hu

282

Végeselem-módszer

75 1   50 2 2  3 (  1)(2  1)  2 (2  1)(  1)  50(        6 )   10  0  5(3  2)(  1)  (3  1)(  1)  3    10 (  1)(3  2)  0 5(3  1)(  1)  3   50 75 1  (  1)(2  1)  (2  1) 50( 2   2      )   2 6   3 10   0 5 (3  2) (3  1)(  1)   3  10  0 5 (3  2)  3 (  1)(3  1)  T   . 75 1  2 2   50  (2  1)   (2  1)  50(        ) 3 2 6   10   0 5 (3  1)  (3  2)   3   10    (3  1)  0  5 (3  2) 3   75 1  2 2  50  (2  1) (2  1)(  1) 50(        )  3 2 6    10 0  5(3  1)(  1)   (3  2)   3     10  (3  2)  0  5(3  1)(  1)   3

(15.57)

A merevségi mátrix 12x12-es méretű, ezért itt azt nem közöljük. Helyette megadjuk a (15.52)-es mátrixegyenletből adódó egyenletrendszert: 11,27w2  50,28α2-42,87 β2-196,45w3  58,61α3-12,69 β3  Fz1 ,

(15.58)

50,28w2  14,59 2 - 58,61w3  8,853  M x1 ,

42,87w2  6,242  12,69w3  4,873  M y1 , 926,23w2  137,22 2  55,372 - 741,05w3  128,893  0,193  5 , 137,22w2  35,41 2  5,002 - 128,89w3  16,153  0 , 55,37w2  5,00 2  19,482  0,19w3  2,743  0 , - 741,05w2  128,89 2  0,192  926,23w3  137,223  55,373  0 , 128,89w2  16,15 2 - 137,22w3  35,413 - 5,03  0 ,

www.tankonyvtar.hu



283

0,19w2  2,742  55,37w3  5,003  19,483  0 , - 196,45w2  58,61 2 - 12,692  11,27w3  50,283 - 42,873  Fz 4 , 58,61w2  8,85 2 - 50,28w3  14,593  M x 4 ,

12,69w2  4,872  42,87w3  6,243 M y 4 . A csomóponti elmozdulásokat a (15.56) 4., 5., 6., 7., 8. és 9. egyenletéből kiszámolva: w2  0,0655 m ,  2  0,039 rad , 2  0,159 rad ,

(15.59)

w3  0,0448 m , 3  0,0645 rad , 3  0,122 rad . A (15.56) 1., 2., 3. és 10., 11., 12. egyenleteiből kifejezhetjük a reakciókat:

F1z  5,42 N , M x1  0,47 Nm , M y1  1,79 Nm ,

(15.60)

Fz 4  0,42 N , M x 4  0,30 Nm , M y 4  1,21 Nm .

A hajlító és csavaró élnyomatékok a (15.45) képletekből, a lemezben ébredő feszültségek pedig a (15.44) képletekből számolhatók a csomóponti koordináták behelyettesítésével. A 15.5 példát ANSYS 12 szoftverrel ellenőriztük, és azonos eredményeket kaptunk. 15.6.

Kompatibilis téglalap alakú lemezelem

Ha kompatibilis lemezelemet akarunk előállítani, akkor a (15.36) interpolációs függvényt a következőképpen kell módosítani [2]:

w( , )  a0  a1  a 2  a3 2  a 4  a5 2  a6 3  a7 2  a8 2   a9 3  a10 3  a11 3  a12 2 2  a13 3 2  a14 2 3  a15 3 3 .

(15.61)

Így az ismeretlen csomóponti paraméterek száma 16-ra emelkedik. Emiatt minden csomópontban negyedik szabadsági fokként a keresztirányú w,xy deriváltat vesszük figyelembe. A csomóponti elmozdulások vektora tehát:



u e  w1 1 T

1 w, xy1 w2  2 2 w, xy 2 w3 3 3 w, xy 3 w4  4 4 w, xy 4 .

(15.62)

Az ismeretlen együtthatók meghatározásához szükséges feltételek:

1 w 1 w 1 2w (0,0)  w, xy1 , (0,0)   1 ,  (0,0)  1 , w(0,0)  w1 , b  a  ab 


(15.63)

www.tankonyvtar.hu

284

Végeselem-módszer

w(1,0)  w2 ,

1 w 1 w 1 2w (1,0)   2 ,  (1,0)   2 , (1,0)  w, xy 2 , b  a  ab 

1 2w 1 w 1 w w(1,1)  w3 , (1,1)  w, xy 3 , (1,1)   3 ,  (1,1)   3 , b  ab  a  w(0,1)  w4 ,

1 w 1 w 1 2w (0,1)   4 ,  (0,1)   4 , (0,1)  w, xy 4 . b  ab  a 

A deformációs felület közelítő függvénye ezúttal 16 interpolációs függvénnyel építhető fel:

w( , )  N1w1  N 21  N3 1  N 4 w, xy1  N5 w2  N 6 2  N 7  2  N8 w, xy 2  N9 w3  N10 3  N113  N12w, xy 3  N13w4  N14 4  N15 4  N16w, xy 4 .

(15.64)

Az interpolációs függvények a hajlított rudaknál is bemutatott Hermite-féle polinomok (ld. 15.5 ábra) segítségével írhatók fel [2]: f1 ( )  23  32  1 , f 2 ( )  23  32 ,

(15.65)

f 3 ( )  3  22   , f 4 ( )  3  2 , amivel a tizenhat darab interpolációs függvény a következő alakú lesz:

N1  f1 ( )  f1 ( ) , N 9  f 2 ( )  f 2 ( ) ,

(15.66)

N 2  b  f1 ( )  f 3 ( ) , N10  b  f 2 ( )  f 4 ( ) , N 3  a  f 3 ( )  f1 ( ) , N11  a  f 4 ( )  f 2 ( ) , N 4  a  b  f 3 ( )  f 3 ( ) , N12  a  b  f 4 ( )  f 4 ( ) , N 5  f 2 ( )  f1 ( ) , N13  f1 ( )  f 2 ( ) , N 6  b  f 2 ( )  f 3 ( ) , N14  b  f1 ( )  f 4 ( ) , N 7  a  f 4 ( )  f1 ( ) , N15  a  f 3 ( )  f 2 ( ) , N 8  a  b  f 4 ( )  f 3 ( ) , N16  a  b  f 3 ( )  f 4 ( ) .

www.tankonyvtar.hu



285

15.5 ábra. A Hermite-féle interpolációs polinomok ábrázolása.

Az interpolációs polinomok segítségével a merevségi mátrix ugyanazzal a módszerrel építhető fel, mint amit az inkompatibilis elem esetén bemutattunk, azzal a különbséggel, hogy most 16x16-os mátrixot kapunk. A tehervektor állandó intenzitású megoszló erőből adódó összetevője: 1 1

F ep    p  ab N dd 

(15.67)

0 0



pab  b 1 4  6



a 6

ab b 1 36 6

a 6



ab b 1  36 6

a 6

ab b 1  36 6



a 6

T



ab  , 36 

azaz hasonlóan a síkbeli hajlított rúdelemhez a megoszló erőt a csomópontokba osztjuk szét koncentrált erők és nyomatékok formájában. A számításnál figyelembe kell venni, hogy a csomópontokban koncentrált terhek is megjelenhetnek, azaz:



F ec  Fz1 T

M x1 .......Fz 3

M y1 M x3

M xy1 M y3

Fz 2

M x2

M xy 3

Fz 4

M y2 M x4

M xy 2 ........ M y4



(15.68)

M xy 4 .

A 15.5 példát a kompatibilis téglalap alakú lemezelemmel is megoldottuk. A csomóponti elmozdulások ekkor a következők: w2  0,0658 m ,  2  0,062 rad , 2  0,165 rad , w, xy 2  0,2414

rad , m

w3  0,0450 m , 3  0,043 rad , 3  0,128 rad , w, xy 2  0,0415

(15.69)

rad . m

A reakciók az alábbiak lesznek: © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

286

Végeselem-módszer

Fz1  5,512 N , M x1  0,676 Nm , M y1  1,84 Nm , M xy1  0,138 Nm2 .

(15.70)

Fz 4  0,512 N , M x 4  0,471 Nm , M y 4  1,155 Nm , M xy 4  0,115 Nm2 . A két megoldás között nem jelentős a különbség. 15.7.

Síkbeli és síkra merőleges terhelésű lemezek

Ha a lemez terhelése egyszerre síkbeli és síkra merőleges, akkor a síkmembrán és a hajlított elemtípusok szuperpozíciójából előállított elemekre van szükség. Ez a feladat az eddigiek  egész pontosan a 12. és 15. fejezetek  alapján viszonylag egyszerűen elvégezhető. Először a csomóponti elmozdulásokat kell a megfelelő sorrendben elhelyezni egy vektorban, majd ennek megfelelően a membrán és hajlítási deformációkhoz tartozó merevségi mátrix elemeket egy újabb merevségi mátrixba helyezni. A tehervektorok szintén az elemek kombinálásával rakhatók össze. Ez a technika alkalmas síkbeli lemezek modellezésére. Ha azonban az elemeket úgy rakjuk össze, hogy egymással 180-tól különböző szöget bezáróan egy görbült felületet közelítünk, akkor a kombinált membrán-hajlított elem térbeli héjak, héjszerkezetek modellezésére is alkalmas elemtípus egyszerű kialakítását teszi lehetővé. Mivel a síkbeli és térbeli vékonyfalú héjak modellezésénél hasonló lépéseket kell elvégezni, ezért ezzel részletesen a 16. fejezetben foglalkozunk. Bibliográfia [1] [2] [3]

[4]

Singiresu S. Rao, The finite element method in engineering – fourth edition. Elsevier Science & Technology Books, 2004. Bojtár Imre, Vörös Gábor, A végeselem-módszer alkalmazása lemez- és héjszerkezetekre. Műszaki Könyvkiadó, 1986, Budapest. Ali Ozgul. Edge Nodes of Triangular Kirchhoff Bending Thin Plate F.E.M. (Adini, Tocher, BCIZ), 31 Aug 2006 (Updated 15 Sep 2006). http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/12113-edge-nodes-oftriangular-kirchoff-bending-thin-plate-f-e-m-adinitocherbciz O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The finite element method – fifth edition, Volume 1: The basis. Butterworth-Heinemann, 2000, Oxford, Auckland, Boston, Johannesburg, Melbourne, New Delhi.

www.tankonyvtar.hu


16.

TÉRBELI VÉKONYFALÚ HÉJAK MODELLEZÉSE VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL

16.1.

Egyszerű síkhéj-elemek

A síkhéj-elemek merevségi mátrixai viszonylag egyszerűen számíthatók a síkmembrán és a hajlított lemezelemek merevségi mátrixaiból. Ilyen módon a rendelkezésre álló háromszög és téglalap alakú elemekből a síkhéj-elemek különböző változatait lehet előállítani [1,2]. A görbült felület közelítését sík elemekkel a 16.1 ábra mutatja. Ez a közelítés újabb hibaforrás az elmozdulásmező közelítésén kívül. Az elemszám növelésével csökkenthetjük a geometriai pontatlanságot. Azért célszerű egyszerűbb elemtípusokat használni, mivel a magasabb rendű elemek előnye, a nagyobb elemméret nem használható ki. A következőkben nézzük meg a lineáris síkmembrán háromszögelem és a Tocher-féle hajlított háromszög lemezelem kombinálását.

16.1 ábra. Háromszög alakú síkhéj-elem globális és lokális koordináta-rendszerben.

16.2.

A lineáris síkmembrán és a Tocher-féle hajlított háromszögelem szuperpozíciója

Ez az elem nem konform, mert az elmozdulások a szomszédos elemek határán nem folytonosak [1,2]. Mivel azonban ez a legegyszerűbb, ezért a síkhéj-elem bemutatására ezt alkalmazzuk. A lineáris síkmembrán háromszögelem (ld. 12.2 ábra) minden csomópontja két szabadsági fokkal rendelkezik, merevségi mátrixa pedig a lokális, elemhez kötött koordinátarendszerben a következőképpen írható:


www.tankonyvtar.hu

288

Végeselem-módszer

 k~11m     2  2  ~ ~ m  k 21m  K e     2  2  66  ~ m   k 31  2  2

~  k12m    2  2  ~  k 22m    2  2  ~  k 32m    2  2 

~  k13m    2  2   ~  k 23m    , 2  2   ~  k 33m    2  2

(16.1)

~ ahol az egyes almátrixok ( k ijm ) az i-edik és j-edik csomóponthoz tartozó merevségi mátrix komponenseket jelentik. A mátrix fölött lévő hullámjel a lokális koordináta-rendszerre, a felső index (m) pedig a membránelemre utal. A végeselemes egyenlet tehát:

~ m m ~m K e u~ e  F e , 66

(16.2)

61

61

ahol a lineáris háromszögelem csomóponti elmozdulás- és tehervektora koncentrált erők esetén: mT u~ e  u~1 61

v~1 u~2



~m T F ec  Fx1 61

Fy1

v~2

u~3

v~3  ,

Fx 2

Fy1

Fx 3

(16.3)



Fy 3 ,

ahol u a lokális x tengellyel páthuzamos, v az y tengellyel párhuzamos elmozdulás. Az elmozdulásvektorokban a lokális jellemzőket szintén hullámjel alapján azonosíthatjuk. A tehervektorok esetén a lokális rendszerben kisbetűvel írt x,y,z-vel fogjuk azonosítani a komponenseket. Erre a megkülönböztetésre eddig nem volt szükség, hiszen az eddigi egyszerű példáknál a lokális rendszer megegyezett a globálissal. A Tocher-féle lemezelemnek (ld. 15.1 ábra) minden csomópontjában három szabadsági fok van, a merevségi mátrix tehát kilenc sort és kilenc oszlopot tartalmaz:

 k~11h    3  3 ~ ~ h  k h  K e   21  3  3 66  ~ h   k 31  3  3

~  k12h    3  3 ~  k 22h    3  3 ~  k 32h    3  3

~  k13h    3  3 ~  k 23h    , 3  3   ~h   k 33    3  3  

(16.4)

ahol a felső h index a hajlított elemre utal. A Tocher-féle háromszög lemezelem csomóponti elmozdulás és tehervektora koncentrált erők esetén a lokális koordináta-rendszerben:

www.tankonyvtar.hu

© Dr. Szekrényes András, BME

16. Térbeli vékonyfalú héjak modellezése



~

hT ~ ~ u~ e  w 1 1 91



~h T F ec  Fz1 91

~ ~ 1 w 2 2

M x1

M y1

~

~ ~ w 3 3

2

Fz 2

M x2

M y2

289

~



3 ,

Fz 3

(16.5)



M y3 .

M x3

A kombinált elemet és szabadsági fokait a 16.2 ábra mutatja. A merevségi mátrixok kombinálásánál a következőket kell figyelembe venni [2]: a. kis elmozdulások esetén a membrán és hajlító merevségek nem kapcsolódnak össze (függetlenek), b. a lokális x-y síkban történő forgás, nem szükséges egyetlen elemmel történő modellezésnél, viszont ha több elemet kapcsolunk össze, illetve a síkhéj-elemet más elemtípusokkal kapcsoljuk össze, akkor figyelembe kell venni -t, valamint a hozzá tartozó koncentrált Mz nyomatékot is.

16.2 ábra. A lineáris síkmembrán háromszög és a Tocher-féle hajlított háromszögelem kombinációja.

A kombinált elem csomóponti elmozdulásainak vektora tehát a lokális rendszerben:



mh T u~ e  u~1 181

v~1

~ ~ w 1 1

...............~

2

~

1 ~1 u~2 ~

2

~

2

u~3

v~2 v~3

~ ................... w 2 ~

~ ~ w 3 3

3

(16.6)



~3 .

A tehervektor pedig koncentrált terhek esetén:



~ m h T F ec  Fx1 181

Fy1

Fz1

M x1

...............M x 2


M y2

M y1 M y2

M z1 Fx 3

Fx 2 Fy 3

Fy 2 Fz 3

Fz 2 ................... M x3

M y3



(16.7)

M z3 .

www.tankonyvtar.hu

290

Végeselem-módszer

Ennek megfelelően a síkhéj-elem merevségi mátrixa a következőképpen épül fel [1,2]:

~ m h Ke = 1818

~  k11m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k 21m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k 31m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k11h    3  3 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

~  k 21h    3  3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

~  k 31h    3  3 0 0 0

0 0 0 0

~  k12m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k 22m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k 32m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k12h    3  3 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

~  k 22h    3  3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

~  k 32h    3  3 0 0 0

0 0 0 0

~  k13m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k 23m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k 33m    2  2  0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 ~  k13h    3  3 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

~  k 23h    3  3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

~  k 33h    3  3 0 0 0

0 0 0 0

(16.8) A fenti merevségi mátrix tehát a lokális koordináta-rendszerben érvényes. Megjegyezzük újra, hogy a felső hullámjel mindenhol ezt jelzi. Térbeli szerkezetek végeselem analízisénél az elemek orientációja is különböző, ezért minden egyes elemre végre kell hajtani a globális koordináta-rendszerbe való transzformációt. A globális koordináta-rendszerben értelmezett mennyiségek a hullámjel nélküliek lesznek. Az elemre vonatkozó merevségi mátrix transzformációját a következő összefüggés írja le: m h

Ke

1818

T ~ m h   Ke  ,

(16.9)

1818

ahol  a 18 x 18-as transzformációs mátrix:

L 0 0 0 0 0  0 L 0 0 0 0   0 0 L 0 0 0  , 0 0 0 L 0 0 0 0 0 0 L 0    0 0 0 0 0 L 

(16.10)

és: www.tankonyvtar.hu



291

0 0 0  0  0 0 0 . 0 0 0

(16.11)

Az L mátrix a lokális koordináta-rendszer e1, e2 és e3 bázis-egységvektorait (ld 16.1 ábra) oszlopvektorként tartalmazza a globális koordináta-rendszerben felírva:

e1 X L   e1Y  e1Z

e3 X  e3Y  . e3 Z 

e2 X e 2Y e3 Z

Az L mátrix

(16.12)

tulajdonképpen

a

lokális

és

globális

tengelyek

közötti

szögek

iránykoszinuszait tartalmazza. Egy tetszőleges A vektorra az iránykoszinuszok definiciója a 16.3 ábra alapján [4]:

l  cos  

m  cos  

n  cos  

Ax A  Ay2  Az2 2 x

,

Ay

,

Ax2  Ay2  Az2

Az Ax2  Ay2  Az2

(16.13)

.

16.3 ábra. Egy tetszőleges A vektor iránykoszinuszai.

Mivel az e1, e2 és e3 bázisvektorok egységvektorok, ezért nem nehéz belátni, hogy azok komponensei maguk az iránykoszinuszok. A szerkezeti merevségi mátrix összeállításához a lokális koordinátarendszerben kiszámított mennyiségeket át kell transzformálni a globális rend© Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

292

Végeselem-módszer

szerbe. A globális rendszerbe áttranszformált csomóponti elmozdulás- és tehervektorok a következők: m h

ue

m h

Fe

T m h   u~ e ,

(16.14)

T ~ m h   Fe .

Héjszerkezetek esetén a leggyakoribb terhelés az állandó p nyomás, amely a síkhéj elem felületére merőleges, azaz lokálisan z irányú. Ekkor feltételezhetően membránállapot alakul ki, így a csomóponti tehervektor [2]:

A ~ m h F ep  p e 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0, 3

(16.15)

ahol Ae a háromszög területe. Ha a felületi nyomás nem állandó, de a változása az elem területén kicsi, akkor még lehet a fenti vektort használni, de a p helyére a nyomás csomóponti értékeiből számított átlagot célszerű írni:

1 p  ( p1  p 2  p3 ) . 3

(16.16)

Végül összefoglaljuk a végeselemes egyenleteket. A lokális x,y,z rendszerben a hullámjellel ellátott mennyiségek érvényesek, azaz:

~ m h m h ~ m h K e u~ e  F e .

(16.17)

A transzformációs mátrix segítségével a (16.17) egyenletet a globális X,Y,Z rendszerbe transzformáljuk: m h

m h

K e ue

m h

 Fe

,

(16.18)

ahol a globális koordináta-rendszerben értelmezett mennyiségeket a (16.9) és (16.14) alapján számítjuk ki. Az egész szerkezetre vonatkozó

K

m h

U

m h

F

m h

(16.19)

végeselemes egyenlet megoldása az Um+h vektor elemei, amelyek a csomóponti elmozdulások a globális rendszerben értelmezve. Ebből lehet az egyes elemekre vonatkozó globális uem+h vektorokat összeállítani, majd a lokális rendszerbe transzformálni a következő összefüggéssel: m h T 1 m  h u~ e   u e .

www.tankonyvtar.hu

(16.20)



Mivel a transzformációs mátrix ortogonális, ezért 

293 1

  és  T

T 1

 T  E , azaz:

m h m h u~ e   u e

(16.21)

Ezután a lokális értékekből tudjuk kiszámítani a membránfeszültségeket és a hajlító igénybevételeket. A síkhéj-elemek nagy előnye, hogy a már meglévő elemtípusokhoz tartozó programokból viszonylag gyorsan összeállítható egy újabb program, ami jól használható mérnöki számítások végzésére [2,3]. A számításhoz csak az L mátrix ismeretére van szükség. Az eredmények pontossága függ az elemek méretétől. Sűrűbb elemfelosztást kell alkalmazni ott, ahol a felület görbülete nagyobb, vagy ahol a feszültségek várható változása jelentősebb. A számítás várható hibája nagyobb a peremek és kivágások, illetve a különböző típusú felületek csatlakozási környezetében. Nézzünk meg egy egyszerű példát a módszer alkalmazására! 16.3. Kidolgozott példa a lineáris síkmembrán és a Tocher-féle (hajlított) háromszögelem összekapcsolására Oldjuk meg a 16.4 ábrán látható héjfeladatot! Számítsuk ki a csomóponti elmozdulásokat, reakciókat a lokális koordináta-rendszerben, majd transzformáljuk át azokat a globális koordináta-rendszerbe!

16.4 ábra. Háromszög alakú síkhéj-elem a lokális és globális koordináta-rendszerben (a), alkalmazási példa a síkhéj-elemre (b).

Adatok: a = 0,8 m, b = 0,5 m, t = 3 mm, E = 200 GPa,  = 0,3, Fx = 6000 kN, Fy = 8000 kN, p = 1200 N/m2 A távolságokat [m]-ben, az erőt [N] fogjuk behelyettesíteni. A csomóponti koordináták a lokális koordináta-rendszerben: csomópont x y z 1 0 -b/2 0 2 a 0 0 3 0 b/2 0 © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

294

Végeselem-módszer

A csomóponti koordinátákat a globális koordináta-rendszerben is megadjuk. Megjegyezzük, hogy ez attól függ, hogy egy adott szerkezetben az adott elem hogyan kerül beépítésre. csomópont 1 2 3

X [m] 0,6795 0,4 0,5004

Y [m] 0,57 1,225 0,6

Z [m] 0,2 0,5 0,4

A csomóponti elmozdulások és terhelések vektora a lokális koordináta-rendszerben a következők:



~  2 ~1 u~2 v~2 0 ~2

m h T u~ e  0 0 0 ~1 181



~ m h T F ec  Fx1 181

Fy1

Fz1

0 0 0 Fx

~  2 ~2 0 v~3 0 ~3

0 0 0 0 0 Fx 3

Fy

Fz 3



~  3 ~3 ,

(16.22)



0 0 0.

A megoszló erőből származó tagot a 15. fejezetben leírt integrálképletek alapján tudjuk kiszámítani. A Tocher-féle lemezelemnél a külső megoszló erő munkáját adó kifejezés alapján tudjuk visszakeresni a megfelelő tagokat: We 

~ T F~

 pw( x, y)dA  u

e

(16.23)

ep

Ape

A (16.23) képlet és a (15.20) integrál-egyszerűsítő képletek alapján kapjuk:

 7 / 40ba  1 / 80b 2   2 2   1 / 120ab  1 / 40ba   1 / 30ab3  1 / 480b3    3 / 20ba   ~h  F ep  p  1 / 30ba 2   91  1 / 120b3    7 / 40ba  1 / 80b 2     1 / 120ab 2  1 / 40ba 2   2 3    1 / 30ab  1 / 480b 

 0,0669    0,0063    0,0064     0,060  p  0,0107  .     0,0010  0,0731     0,0097   0,0069  

(16.24)

Megjegyezzük, hogy a Tocher-féle háromszög lemezelemnél a megoszló erőből adódó koncentrált terhek nem ugyanakkora súllyal osztódnak szét az egyes csomópontokba, ahogy ez a tehervektorból látszik is, viszont a z irányú erők, x és y irányú nyomatékok összegzése után a következőket kapjuk:

F~   F~   F~   pA  12 pab , h

h

h

ep 1

ep 4

ep 7

www.tankonyvtar.hu

e

(16.25)



295

F~   F~   F~    30pa A   pa15b , h

h

h

ep 2

ep 5

ep 8

2

e

F~   F~   F~    40pba A   pab20 h

h

h

ep 2

ep 5

ep 8

2

e

2

,

amelyek a z irányú eredő erő, illetve az eredő x és y tengely körüli nyomatékok. A 18 szabadsági fokú síkhéj-elem tehervektora a lokális koordináta-rendszerben így:

~ mh T ~ mh T ~ mh T Fe  F ec  F ep 181

181

181

 Fx1  F   y1   Fz1     0   0     0  F   x  0  F    z2    0     0   0     Fx 3  F   y  Fz 3   0     0     0 

0 Fx1         0 F y1      0.0069   Fz1  80,25      7,6   0.0063    0.0064    7,6875      0 0        6000000  0     0 0      0.0600   F  72,0     z2 . p  0.0107    12,8       0.0010  1,25      0 0     0 Fx 3        0 8000000       0.0731   Fz 3  87,75  0.0097   11,6       0.0069  8,3125      0 0    

(16.26)

A síkmembrán háromszögelem merevségi mátrixa a 15. fejezet számításai alapján:

2,48 1,44  1,26  1,15  1,22  0,29  . 6,64  1,73  0,36 0,29  6,28  . 2,52 0  1,26 1,73  ~m  . 8 N Ke   ,   10 . . 0,72 1,15  0,36 m 66  .  . . . . 2,48  1,44    . . . . 6,64   .

(16.27)

ahol a szimmetria miatt csak az egymástól független tagokat tüntettük fel. A Tocher-féle hajlított háromszögelem merevségi mátrixa a lokális rendszerben:


www.tankonyvtar.hu

296

Végeselem-módszer

 3,88  11,90 3,05 0,51  12,90 2,28  0,91  0,99 0,88  . 0,96 0,10  0,33  0,09  0,05  1,95 0,19  0,32   . . 0,59 0,53  0,17 0,16 0,38  0,26  0,32   . . . 2,90 0,15 0,77  1,90 0,40 1,01   ~h Ke   . . . . 0,29  0,0007  1,03 0,28 0,29   10 3.   99 . . . . 0,31  0,38 0,05 0,15   .  . . . . . . 13,80  3,45  1,52    . . . . . . 1,15 0,53   .  . . . . . . . . 0,97  

(16.28)

A (16.8) képlet alapján a két mátrix kombinációja: ~ mh Ke  1818

2,48 1,44 1,44 6,64 108 0 0 0

0 0 0

0

0

1,26 1,73  1,15  0,36 108 0 0 0

0 0 0

0

0

1,22

0,29

 0,29  6,28 108 0 0 0

0 0 0

0

0

0 0 12,9 2,28

0 0

2,28 0,91 0,96 0,10

 0,91 0,10 103 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1,26

1,15

0 0

 1,73  0,36 108

0,59

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0 0

0 0

2,52

0

0

0,72

0,99

0 0 0,88

0 0

0 0

3,88 0,16

0

 0,17 103 0

0 0 0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

 0,33  0,09  0,05 0,52

1,22 0,29 0,29  6,28 108

0,33

0,88

 0,09  0,17

 3,88  0,05 103 0 0

0 0

0 0

0,52 0,16

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0 0

0 0

11,9 3,05

1,95 0,38 0,19  0,26

0,51

 0,32  0,32 103 0 0

0

1,26 1,73

1,15

 0,36 108

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

2,90 0,15

0,15 0,29

0,77  0,0007 103 0 0

0 0

0 0

0,77  0,0007

1,73

0 0

0,31

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0 0

0 0

2,48

1,44

1,90 1,03 0,38 0,15

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0,28

0,05

1,01

0,29 103 0

0

 1,44 6,64 108

0 0 0

0,40

 0,32

0

0 0 0

0,38

 0,26  0,32 103 0 0

0 0

~

1,90 0,40 1,01  0,38 0,05 0,15 103 0 0 0

0 0 13,8

0 0

0 0

3,45 1,52

0 0 0

0 0 0 0 0 0

 3,45

1,15

0,53

 1,52

0,53 103 0

0,97

0 0 0

0

0

0

(16.30)

~ u~2  0,0187 m , v~2  0,00368 m , ~2  0,0948 rad ,  2  0,00319 rad ,

www.tankonyvtar.hu

0 0

 1,03 0,28 0,29

(16.29) Ezután összerakjuk a végeselemes egyenletet a (16.17) képlet alapján. A csomóponti elmozdulások az egyenletrendszer 4., 5., 7., 8., 10., 11., 14., 16. és 17. egyenleteiből számolhatók ki. A megoldások:

~1  0,00406 rad , 1  0,02278 rad ,

0 0 0

0,51

0,19

0

 0,36 108

0 0

3,05

0

1,15

0 0

11,9

0 0 0

1,26

0 0

 1,95

0 0 0

108 0,99

0 0



297

~ v~3  0,00737 m , ~3  0,01833 rad , 3  0,01994 rad .

A reakciók az elmozdulások ismeretében az 1., 2., 3., 9., 13., és 15. egyenletekből számolhatók: Fx1  3000000 N , Fy1  8000000 N , Fz1  91,88 N ,

(16.31)

Fz 2  74.34 N , Fx3  3000000 N , Fz 3  73,78 N . Megjegyezzük, hogy a (16.31) eredményei a (16.26) tehervektor első, koncentrált terheket tartalmazó része, valamint, hogy a 6., 12. és 18. komponensegyenletek nem kerültek felhasználásra, mivel ezek a lokális z tengely körüli forgásokhoz köthetők, amelyeknek a lokális rendszerben zérus az értékük. A teljes erővektor (16.31) és (16.26) segítségével pedig:

~mh T Fe 181

 3000000  8000000     11.629    7,6     7,6876    0    6000000    0    2,344  .    12,8     1,25    0    3000000  8000000      13,973   11,6     8,3125    0  

(16.32)

Most transzformáljuk át az eredményeket a globális X,Y,Z koordináta-rendszerbe. A globális koordináta-rendszerben a csomópontok helyvektorai a globális koordináták alapján:

0,6795  0,57  0,2     R1   0,4  m , R 2  1,225 m , R 3  0,5 m . 0,5004  0,6  0,4


(16.33)

www.tankonyvtar.hu

298

Végeselem-módszer

A lokális koordináta-rendszer origójának helyvektora a globális rendszerben pedig:

0,43975 1 R 0  R1  R3    0,45  m . 2  0,4502 

(16.34)

A bázis-egységvektorokat a helyvektorok alapján a globális rendszerben számítjuk ki a 16.4 ábra alapján:

0,162825 R2  R0  e1   0,96875  . R2  R0   0,18725 

(16.35)

Hasonlóan az e2 és e3 egységvektorok:   0,959  R3  R0  e2   0,2  , R3  R0   0,2008

(16.36)

 0,23197 R3  R0  e3     0,14688  . R3  R0  0,96159  A bázisvektorok és (16.12) alapján az L mátrix tehát:

L   e1 e2

0,162825 0,959 0, 23197  e3    0,96875 0, 2 0,14688  .  0,18725 0, 2008 0,96159 

(16.37)

Ebből ezután összerakjuk a 18x18-as  transzformációs mátrixot. A (16.10), (16.22) és (16.30) képletek segítségével a csomóponti elmozdulások a globális koordináta-rendszerben:

u1  0 , v1  0 , w1  0 ,

(16.38)

1  0,02141 rad , 1  0,00845 rad ,  1  0,002405 rad , u2  0,00662 m , v2  0,017215 m , w2  0,004883 m ,

 2  0,012352 rad , 2  0,091582 rad ,  2  0,02153 rad ,

www.tankonyvtar.hu



299

u3  0,0071365 m , v3  0,0014733 m , w3  0,001082 m ,

3  0,0223 rad , 3  0,013587 rad ,  3  0,0071797 rad . Látható, hogy bár a lokális koordináta-rendszerben a z körüli forgások nullák, a globális koordinátarendszerben a transzformáció miatt Z körüli forgások is léteznek. A csomóponti terhelések pedig a következők lesznek:

FX 1  8238600 N , FY 1  1277000 N , FZ 1  1871000 N ,

(16.39)

M X 1  6,21 Nm , MY 1  8,8259 Nm , M Z 1  0,6338 Nm , FX 2  976920 N , FY 2  5754000 N , FZ 3  1391800 N , M X 2  0,8732 Nm , M Y 2  12,525 Nm , M Z 2  2,7856 Nm ,

FX 3  7261500 N , FY 3  4477000 N , FZ 3  479100 N , M X 3  9,9414 Nm , M Y 3  9,4615 Nm , M Z 3  3,9118 Nm .

A globális rendszerben tehát Z tengely körüli hajlítónyomatékok is ébrednek, amelyek tulajdonképpen a lokális x és y tengelyek körüli hajlítónyomatékok Z-re eső vetületei. A fenti megoldási módszer téglalap alakú elemek esetén is alkalmazható. Bibliográfia [1] [2] [3] [4]

Singiresu S. Rao, The finite element method in engineering – fourth edition. Elsevier Science & Technology Books, 2004. Bojtár Imre, Vörös Gábor, A végeselem-módszer alkalmazása lemez- és héjszerkezetekre. Műszaki Könyvkiadó, 1986, Budapest. Klaus-Jürgen Bathe, Finite element procedures. Prentice Hall, Upper Saddle River, 1996, New Jersey 17458. Pei Chi Chou, Nicholas J. Pagano, Elasticity – Tensor, dyadic and engineering approaches. D. Van Nostrand Company, Inc., 1967, Princeton, New Jersey, Toronto, London.


www.tankonyvtar.hu

17.

EGYSZER ÉS KÉTSZER GÖRBÜLT HÉJAK MODELLEZÉSE VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL

17.1.

Görbült héjelemek

A görbült héjelemek alkalmasak a középfelület geometriájának pontosabb modellezésére. Egyes felületek – például körhenger – esetén ez az eredeti felület pontos követését is jelentheti. Bonyolultabb esetekben a felület görbületét az elmozdulás-koordinátákhoz hasonlóan, bázisfüggvényekkel közelítjük. Ilyen értelemben ezek az elemek is az un. parametrikus elemek közé tartoznak [1]. 17.2.

Vékony körhenger-héjelem

A vékony körhenger-héjelem a 17.1 ábrán látható. A technikai héjelmélet alapegyenleteinek megfelelően a körhenger felület geometriai jellemzői a következők [1,2]:

q1  x , H 1  1 , R1   ,

(17.1)

q2   , H 2  R , R2  R .

17.1 ábra. Vékony körhenger-héjelem paraméterei.

Az u, v és w elmozdulás-komponensek mellett a technikai héjelmélet geometriai egyenleteit a (14.69) és (14.70) képletek alapján átírva kapjuk a szögelfordulásokra, hogy:

1   x 

u 1  w,1   w, x , R1 H 1

www.tankonyvtar.hu

(17.2)


17. Egyszer és kétszer görbült héjak modellezése

 2    3 

301

v 1 1  w, 2  (v  w, ) , R2 H 2 R

1 ( Rv , x  u , ) . 2R

Az alakváltozási jellemzőket szintén kiszámítjuk a körhenger felület jellemzői alapján (ld. (14.67) képletek):

 11   x 

H 1, 2 1 1 u ,1  v  w  u, x , H1 H1 H 2 R1

 22    

H 2,1 1 1 1 v, 2  u w  (u,  w) , H2 H1 H 2 R2 R

2 12  2 x 

H1 H2

 u  H    2  H1 ,2 H1

 v   H2

 1   u ,  v, x ,  ,1 R

 11   x 

H 1 1,1  1, 2  2  w, xx , H1 H1 H 2

 22   

H 1 1  2, 2  2,1 1  2 (v,  w, ) , H2 H1H 2 R

212  2 x 

(17.3)

H1  1  H    1 1 1    2  2     3  (2w, x  v, x  3 ) . H 2  H 2 , 2 H1  H1 ,1  R2 R1  R

Az elem hat szabadságfokú térbeli merev test-szerű mozgását leíró elmozdulás vektormező a következő alakban írható [1]: u0  a1  a2 R(cos   cos  )  a3 R sin  ,

(17.4)

v0  a2 x sin   a3 x cos   a4 R(cos  cos   1)  a5 sin   a6 cos  , w0  a2 x cos   a3 x sin   a4 R sin  cos   a5 cos   a6 sin  .


u 0  0 0 ,

(17.5)

ahol: © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

302

u 0  u0 T

Végeselem-módszer

w0 ,

v0

(17.6)

1 R(cos   cos  )  R sin   0  0  x sin  x cos  0 x cos  x sin 

 T0  a1 a2

a3

a4

a5

0 0 0  R(cos  cos   1)  sin  cos   , R sin  cos  cos  sin  

a6  .

ahol  0 a merev test-szerű mozgásokhoz tartozó bázisfüggvények mátrixa, 0 pedig az ismeretlen együtthatók vektora. A teljes elmozdulásmezőt a merev test-szerű mozgások és az alakváltozást okozó deformációk összegeként állítjuk elő:

u  u 0  u 01

u    v  ,  w

(17.7)

ahol:

u 01  u01 v01 w01 , T

(17.8)

u01  a7 x  a8  a9 x , v01  a10  a11x , w01  a12 x 2  a13 x  a14 2  a15 x 3  a16 x 2  a17 x 2  a18 3   a19 x 3  a 20 x 2 2  a 21 x 3  a 22 x 3 2  a 23 x 2 3  a 24 x 3 3 .

.


u  u 0  u 01   0  0  1 1 ,

(17.9)

ahol  1 a deformációt okozó mozgásokhoz tartozó bázisfüggvények mátrixa: x  1  0 0 0 0

x 0 0  0 0

0 x 0

0 0 x2

0 0 0 0 x  2

0 0 x3

0 0

0 0

x

x

2

0 0 2



3

0 0 x 3

0 0 x 2

0 0 2

x

0 0 3

x 3

0 0 2

x 2

3

0  0 . 3 3 x  

(17.10)

1 pedig az ismeretlen együtthatók vektora:

www.tankonyvtar.hu



303

 1T  a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15......... .........a16 a17

(17.11)

a18 a19 a20 a21 a22 a23 a24 .

A fenti kifejezésekben 24 ismeretlen együttható van. Meghatározásukhoz 24 elmozdulás paraméter szükséges, ezek legyenek a következők:



T u~ e  u~1

v~1

.........u~3

~ ~ ~  x1  1 w u~2 , x 1

~ w 1 v~3

~ w 3

~

 x3

~

 3

v~2

~ w , x 3

~ w 2 u~4

~

 x2 v~4

~ w 4

~

~ ..... w , x 2 ~ ~ ~  x 4  4 w , x 4 ,

 2



(17.12)

azaz minden csomópontban lehetséges a bázisvektorok irányába történő mozgás, az e1 és e2 bázisvektorok körüli forgás, a hatodik csomóponti szabadságfoknak pedig a keresztirányú w,x deriváltat választjuk. A körhenger héjelem deformációját leíró szabadsági fokok tehát (17.2) és (17.7) alapján: u  u 0  u 01 , v  v0  v01 , w  w0  w01 ,

(17.13)

 x   w, x  a 2 cos   a3 sin   2a12 x  a13  3a15 x 2  2a16 x  a17 2   3a19 x 2  2a 20 x 2  a 21 3  3a 22 x 2 2  2a 23 x 3  3a 24 x 2 3 ,

 

1 1 (v  w, )  (a 4 R  a10  a11 x  a13 x  2a14  a16 x 2  2a17 x  3a18 2  R R 3  a19 x  2a 20 x 2  3a 21 x 2  2a 22 x 3  3a 23 x 2 2  3a 24 x 3 2 ),

w, x  a2 sin   a3 cos   a13  2a16 x  2a17  3a19 x 2   4a20 x  3a21 2  6a22 x 2  6a23x 2  9a24 x 2 2 .

Az ai, i = 1...24 paraméterek meghatározásához szükséges feltételek:

u( L / 2, )  u~1 , u( L / 2, )  u~2 ,

(17.14)

u( L / 2, )  u~3 , u( L / 2, )  u~4 ,

v( L / 2, )  v~1 , v( L / 2, )  v~2 , v( L / 2, )  v~3 , v( L / 2, )  v~4 , ~ , w( L / 2, )  w ~ , w( L / 2, )  w 1 2

~ , w( L / 2, )  w ~ , w( L / 2, )  w 3 4


www.tankonyvtar.hu

304

Végeselem-módszer

~

~

 x ( L / 2, )   x1 ,  x ( L / 2, )   x 2 , ~

~

 x ( L / 2, )   x3 ,  x ( L / 2, )   x 4 , ~

~

 ( L / 2, )  1 ,  ( L / 2, )   2 , ~

~

 (L / 2, )   3 ,  (L / 2, )   4 , ~ , w ( L / 2, )  w ~ , w, x ( L / 2, )  w , x1 , x , x 2 ~ , w ( L / 2, )  w ~ . w, x ( L / 2, )  w , x 3 , x , x 4 A csomóponti elmozdulások vektorát (hasonlóan a 15. fejezetben bemutatott lemezelemekhez) felírhatjuk a következőképpen [3]:

u~ e  M A ,

(17.15)

ahol az A vektor az  0 és  1 vektorok elemeit tartalmazza egymás után, azaz: A  a1 T

a2

a3

.......... a13

a4

a5

a6

a7

a14

a15

a16

a17

a8 a18

a9 a19

a10 a 20

a11 a12 ......... a 21 a 22

a 23

a 24 .

(17.16)

Az interpolációs polinomok együtthatóit M invertálásával határozzuk meg: 1 A  M u~ e .

(17.17)

Az együtthatókra nagyon hosszú kifejezéseket kapunk, ezért azokat itt nem közöljük. Azzal a közelítéssel élve, hogy a 3 szögelfordulás közelítőleg zérus, az alakváltozási jellemzőket a következőképpen írhatjuk:

 x  u, x ,   

1 1 (u ,  w) , 2 x  u ,  v, x , R R

 x  w, xx ,  

(17.18)

1 1 (v,  w, ) , 2 x  (2w, x  v, x ) . 2 R R

Az alakváltozási jellemzőket két részre bontjuk: fajlagos nyúlásokra és szögváltozásra, valamint görbületekre. Így írhatjuk, hogy:

www.tankonyvtar.hu



305

 x   x       0    y   R 0 A ,     y   R1 A , 2 xy  2 xy     

(17.19)

ahol az R 0 és R 1 mátrixok az elmozdulásfüggvények deriváltjai alapján:  0   R 0  0   0 

0 0 0 0 0 1 0  0 0 0  sin    cos       cos  sin  1 x x2     0 0 0 ....  x   x  sin  cos  R R R R R  R cos    R sin   3 1 1 x  sin  cos  0 0 0 0 0  0 2 2 2R 2R 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  x  2 x 3 x 2 x 2  3 x 3 x 2 2 x 3 x 3 2 x 2 3 x 3 3  .... , R R R R R R R R R R R R  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

 0 0  R 1  0 0  0 sin  2R 



0 2x ....  2 R 2  R

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0 1 R2

0 0 0 0 0 0

0

cos  2R 0 6  2 R 0

6 x 0 

3x 2 R

2 2 2x 2  2 R 4 x  R

0 6 x  2 R 3 2  R

0 x R2



2R

2

0

0

0

0 

6 x 2 2x3  2 R 6 x 2  R

1 R

0 2  2 R

6x

0

0

2 3 6 x 2  2 R 6 x 2  R

(17.20)

2

0

0 .... 

2x R

.

(17.21)

 6 x 3  6 x 3   2 . R  9 x 2 2   R 

A merevségi mátrix és a külső erőkből adódó tehervektor számításához felírjuk a teljes potenciált egy véges elemre a következő formában. Megjegyezzük, hogy itt csak az alakváltozási energiát és a megoszló erők munkáját adtuk meg:

e 

1  T  dV   u T pdA ,  2 Ve Ape

(17.22)

A lineárisan rugalmas anyag törvénye:

  C ,

(17.23)

ahol a lemezekhez hasonlóan síkfeszültségi állapotot feltételezünk, azaz C  C . Felhasználva a (17.17) és (17.19) képleteket kapjuk, hogy: sf


www.tankonyvtar.hu

306

Végeselem-módszer

 0  R 0 A  R 0 M 1 u~ e  B 0 u~ e ,

(17.24)

1

B 0  R 0 M ,  0  C 0  C B 0 u~ e , valamint:

  R1 A  R1 M 1 u e  B1 u~ e ,

(17.25)

1

B1  R1 M ,  1   zC   zC B1 u~ e . Az elmozdulásmező pedig (17.7) alapján: 1 u   A   M u~ e ,

(17.26)

ahol:

  0 1 .

(17.27)

(17.24) az élerőkből, (17.25) az élnyomatékokból adódik. A teljes potenciális energia így:

e 

T 1 T T 1  C  dV   z 2  T C T  dV  u~Te  M 1  T pdA ,  2 Ve 2 Ve A pe

(17.28)

melyet tovább rendezve kapjuk: L/2  L/2  3   1 T 1 T t T T T T  e  u~ e    t  B 0 C B 0 R  d  dx u~ e  u~ e    B1 C B1R  d  dx u~ e  2  L / 2  2  L / 2  12  

 u~ e

T

L/2 

  M

1T

(17.29)

 T p  R  d  dx.

L / 2 

Meg kell jegyezni, hogy a (17.29)-es összefüggésben nincs benne a koncentrált terhelések munkája, azaz a végeselemes egyenletben a koncentrált terhelések vektorát még külön elő kell állítani. Ez azonban a csomóponti szabadságfokok alapján egyszerűen felírható a következőképpen: ~T F ec  Fx1

F1

.........Fx 3

Fz1 F 3

M x1

M 1

M x1

Fx 2

Fz 3

M x3

M 3

M x 3

F 2 Fx 4

Fz 2 F 4

M x2 Fz 4

M 2 M x4

M , x 2 ..... M 4

M x 4 ,

(17.30)

amivel a teljes potenciális energiát is kiegészíthetjük:

www.tankonyvtar.hu



307

1 T~ ~ T ~  e  u~ e K e u~ e  u~ e ( F ep  F ec ) . 2

(17.31)

~ (17.31)-ben K e az elemi szintű merevségi mátrix a lokális koordináta-rendszerben: ~ Ke 

L/2 

 t3 T T  T T  t  B C B  B C B1  R  d  dx .   0 0 12 1   L / 2  

(17.32)

A megoszló erőkből adódó tehervektor: ~ F ep 

L/2 



M

1T

 T p  R  d  dx .

(17.33)

 L / 2 

Végül a már jól ismert végeselemes egyenlet a lokális rendszerben:

~ ~ K e u~ e  F e ,

(17.34)

amely egy elem esetén alkalmazható. A globális rendszerben az egyenlet transzformáció segítségével írható fel. Több elemből álló szerkezet esetén szerkezeti egyenletre van szükség, amely formailag megegyezik a (14.86)-os egyenlettel. A vékony körhenger-héjelem előnye, hogy a hengeres szerkezet geometriáját pontosan írja le, ezáltal kisebb elemszám mellett is pontos eredményt ad. 17.3.

Forgásszimmetrikus héjfeladatok – kúpos héjelem

A forgáshéjak középfelülete forgásfelület, amely az ún. meridiángörbe álló tengely körüli forgatásával jön létre [1]. Erre mutat példát a 17.2 ábra.

17.2 ábra. Forgásszimmetrikus héj. © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

308

Végeselem-módszer

A felületnek a meridiángörbék és a rá merőleges körvonalak a főgörbületi vonalai. Ha a szerkezet terhelése is forgásszimmetrikus, akkor az ilyen típusú feladatoknál az elmozdulásmező csak a meridiángörbe ívhosszának függvénye. A meridiángörbét egyenes szakaszokkal modellezhetjük, így az eredeti héjszerkezetet kúpos héjelemekkel közelítjük. A 17.3 ábrán látható kúpos héjelem geometriai jellemzői a technikai héjelmélet egyenletei szerint:

q1  s , H 1  1 , R1   , q 2   , H 2  r , R2 

(17.35)

r , cos 

ahol s az ívhossz,  a szögkoordináta, r a P pont sugara,  a kúp fél nyílásszöge. Az alakváltozási jellemzők számításához szükség van az r(s) kapcsolatra, ami a 17.3 ábra alapján: r (s)  s sin   r1 és

dr  sin  . ds

(17.36)

17.3 ábra. Forgásszimmetrikus kúpos héjelem és csomóponti paraméterei.

A technikai héjelmélet (14.67), (14.69) és (14.70) képletei alapján az alakváltozási jellemzők:

1   s  w,s ,  2  0 ,  3  0 ,

(17.37)

1 r

 11   s  u,s ,  22     (u sin   w cos  ) ,  12  0 ,

11   s  w,ss ,  22     

sin  w, s ,  12  0 . r

A P pont érintőirányú elmozdulása v = 0 a forgásszimmetria miatt. Az elem lehetséges merevtest-szerű mozgása a Z irányú, d értékű elmozdulás, amihez u = -dcos és w = dsin elmozdulások tartoznak (ld. 17.3 ábra). Egy csomópontban három szabadsági fokot veszünk www.tankonyvtar.hu



309

figyelembe: u (meridián irányú elmozdulás), w (meridiángörbére merőleges irányú elmozdulás) és s (a meridiángörbére merőleges irány körüli forgás a 17.3 ábra szerint), azaz az elem hat szabadsági fokú. A meridián irányú elmozdulást lineáris, a normális irányú elmozdulást harmadfokú függvénnyel interpoláljuk az ívkoordináta függvényében:

 u  1 s 0 0 0 w  0 0 1 s s 2   

0    , s 3 

(17.38)

ahol  az ismeretlen együtthatók vektora:

 T  a1 a2

a3

a4

a5

a6  .

(17.39)

A csomóponti elmozdulások vektora:



T u~ e  u~1

~ w 1

~  s1 u~2

~ w 2

~



 s2 .

(17.40)

Az ismeretlenek meghatározásához szükséges feltételek: u(s1 )  a1  a2 s1  u~1 ,

(17.41)

~, w(s1 )  a3  a4 s1  a5 s12  a6 s13  w 1 ~

 s (s1 )  a4  2a5 s1  3a6 s12   s1 , u(s2 )  a1  a2 s2  u~2 , ~ , w(s2 )  a3  a4 s2  a5 s22  a6 s23  w 2

~

 s (s2 )  a4  2a5 s2  3a6 s22   s 2 . A megoldások az együtthatókra kissé bonyolult képleteket adnak, ezért azokat itt nem közöljük. Az elmozdulásfüggvények felírhatók a következőképpen is:

u(s)  N1u~1  N 2 u~2 ,

(17.42)

~ ~  N ~  N w ~ w(s)  N 3 w 1 4 s1 5 2  N6  s2 ,

ahol Ni, i = 1...6 interpolációs függvények: N1 

s2  s s s , N2   1 , s 2  s1 s 2  s1


(17.43)

www.tankonyvtar.hu

310

N3 

Végeselem-módszer

( s  s 2 ) 2 (3s1  s 2  2s) ( s  s 2 ) 2 ( s1  s) , , N  4 ( s 2  s1 ) 3 ( s 2  s1 ) 2

( s  s1 ) 2 (3s 2  s1  2s) ( s  s1 ) 2 ( s 2  s) , N6   , N5  ( s 2  s1 ) 3 ( s 2  s1 ) 2 és:

u  N u  1  w  0

0

0

N2

0

N3

N4

0

N5

0 ~ u e  N u~ e . N 6 

(17.44)

Az alakváltozási jellemzőket kiszámítva és mátrixba foglalva a következőt kapjuk:

 s       Bu e ,   

(17.45)

ahol az alakváltozás-elmozdulás mátrix:  N1  B   s N sin   1  r

0

0

N 3 cos  r

N 4 cos  r

N 2 s N 2 sin  r

0

  . N 6 cos    r  0

N 5 cos  r

(17.46)

A görbületeket is fejezzük ki mátrix formában:

 s       H u~ e ,   

(17.47)

ahol:

  2 N3  0 s 2 H  0  sin  N 3 r s 

2 N4  s 2 sin  N 4  r s

 2 N5 0  s 2 sin  N 5 0  r s

2 N6    s 2  . sin  N 6   r s 

(17.48)

Az anyagtörvény alapján a feszültségek:

 0  C  C Bu~ e ,

(17.49)

 1   zC   zC H u~ e .

www.tankonyvtar.hu



311

Mivel mind a fajlagos nyúlások, mind a görbületek vektora csak kételemű, ezért a konstitutív mátrix is egyszerűsödik:

C

E 1  2

1    1  .  

(17.50)

A teljes potenciálba ezt betéve (hasonlóan a körhenger-héjelemhez) a merevségi mátrix a lokális koordináta-rendszerben: s

l

2 t3 T T t3 T T ~ T T T T K e   (t  B C B  H C H )  2rds   (t  B C B  H C H )  2 ( s sin   r1 )ds . 12 12 s1 0

(17.51)

Itt figyelembe vettük, hogy s1 = 0 és s2 = l és így r = ssin. A merevségi mátrix egzakt számítása elég bonyolult, ezért a végeselem programokban numerikusan, pl. a 12. fejezetben bemutatott Gauss-féle szabály alkalmazásával szokták számítani az elemeket. A tehervektor itt is két tagból állítható elő. A koncentrált terhelések az egyes szabadsági fokok alapján a következő:

~T F ec  Fs1

Fn1

M1

Fs 2

Fn 2

M 2 ,

(17.52)

ahol F a koncentrált erőket, M a s elfordulással azonos irányú koncentrált nyomatékot jelöli. A megoszló erőből adódó tehervektor az erők munkájából számolható: T T p  T ~ We   ( p s u  p n w)2rds  u~ e  N  s   2rds  u~ e F ep ,  pn  0 0 l

l

(17.53)

tehát: l ~ T p  F ep   N  s   2 ( s sin   r1 )ds .  pn  0

(17.54)

Figyelembe véve, hogy lsin = r2-r1, valamint feltételezve, hogy ps és pn is állandó, a következőt kapjuk:


www.tankonyvtar.hu

312

~ F ep

Végeselem-módszer

 1   3 p s l (2r1  r2 )   1   p nl (7 r1  3r2 )   10   1 p l 3 (3r  2r )  n 1 2     30 . 1 p s l (r1  2r2 )    3   1 p l (3r  7 r )  1 2  10 n   1  p nl 3 (2r1  3r2 )   30 

(17.55)

A lokális koordinátarendszerben a csomóponti elmozdulásokat és a reakciókat a szokásos:

~ ~ K e u~ e  F e

(17.56)

egyenletből határozhatjuk meg, ahol:

~ ~ ~ F e  F ec  F ep .

(17.57)

Több elem esetén a (14.86) szerkezeti egyenletre van szükség. Mivel az elemek nem érintőlegesen csatlakoznak, ezért több elem összekapcsolásakor a felületi lokális koordinátarendszerben értelmezett elmozdulás-koordinátákat a globális Z hossztengelyű hengerkoordináta-rendszerbe kell transzformálni. A transzformáció a 17.3 ábra alapján:  u  cos   w    sin       s   0

 sin  cos  0

0  u~  ~   L T u~ . 0  w ~ 1   s 

(17.58)

A merevségi mátrix transzformációja ez alapján: T ~ Ke   Ke ,

(17.59)

ahol:

LT T   0

0 T , L 

(17.60)

egy ortogonális transzformációs mátrix. A tehervektor transzformáltja:

~ Fe TFe. www.tankonyvtar.hu

(17.61)



313

A végeselemes egyenlet a globális rendszerben egy elemre:

K e ue  F e ,

(17.62)

valamint az egész szerkezetre:

KU  F .

(17.63)

A végeselmes szakirodalomban egyéb, pl. görbült forgásszimmetrikus héjelemek is megtalálhatók [4,5,6], amelyek hasonlóan működnek a kúpos héjelemhez. 17.4.

Vastagfalú héjelemek

A háromdimenziós feladatok megoldására a térbeli (SOLID) típusú elemeket is alkalmazhatjuk. A 17.4 ábrán egy 20 csomópontos izoparametrikus elem látható. Az izoparametrikus elemeknél a geometriát és az elmozdulásmezőt ugyanazokkal az interpolációs függvényekkel írják le [1,4,5]:

 x  20  xi   u  20  ui   y      N i ( , ,  )  yi  ,  v    N i ( , ,  )  vi  .     z  i 1  z i   w i 1  wi 

(17.64)

17.4 ábra. Másodfokú három- és kétdimenziós elemek.

A vastaghéj-elemeket ennek mintájára képezzük, ezekre kikötjük, hogy az izoparametrikus elem középfelületre merőleges oldalai legyenek egyenesek, vagyis a leképezés ebben az irányban lineáris. Így az elemet a  = 0 középfelületen lévő 8 csomópont határozza meg. Ahogy az a 17.4 ábrán látható, a bázisvektorok iránya pontról pontra változik, ezért a csomóponti sorszámot az „i” indexben fogjuk jelölni. A vastaghéj-elem középfelületén lévő pontok koordinátái:


www.tankonyvtar.hu

314

Végeselem-módszer

 x 8  xi  8   y  y   N (  ,  )    i  i   N i ( , ) 2 ti n i ,  z  i 1  zi  i 1

(17.65)

ahol ni a középfelület csomóponti normális egységvektorának oszlopmátrixa, ti a falvastagság az adott csomópontban, Ni pedig az interpolációs függvények. Az interpolációs függvények megegyeznek a kvadratikus izoparametrikus síkmembrán elem függvényeivel (ld 12. fejezet). Az interpolációs függvények tömör, vagy más néven kompakt formája:

Ni 

1 (1   i )(1   i )( i   i  1) , i = 1, 3, 5, 7, 4

(17.66)

1 1 N i   i2 (1   i )(1   2 )   i2 (1   i )(1   2 ) , i = 2, 4, 6, 8, 2 2 ahol i és i a csomópontok lokális koordinátái. A középfelületen a  és  koordinátavonalak nem ortogonálisak, ezért a bázisvektorokat a következő képletekből számítjuk ki:

ni 

Ri ,  Ri , R , e 2i  i , , e1i  e2i  ni . Ri ,  Ri , R i ,

(17.67)

A csomóponti elmozdulás paraméterek az ui, vi, wi elmozdulások és a 1i és 2i szögelfordulások. Így nyolc csomópont esetén az elem 40 szabadsági fokú. Az ni vektor felírható a szögelfordulások és az e1i, e2i bázisvektorok segítségével:

~ ~ ni  2 e1i  1 e2i ,

(17.68)

ami a nyírási deformációból adódó plusz szögelfordulások és ez által az u és v növekményét okozó tag. Így az elmozdulásmező képlete az izoparametrikus elvnek megfelelően:

u  8  u~i  8  v   N ( , )  v~   N ( , )  t ( ~ e  ~ e ) . i i i 2 i 1i 1i 2 i     i  2 ~  i 1  w i 1  w i

(17.69)

Az elem merevségi mátrixának számításához írjuk fel az alakváltozás és elmozdulás kapcsolatát. Az elmozdulás paraméterek lokális koordináták szerinti deriváltjai:  u   N i 1 1 x x       [1  2 tie2i 2 tie1i ] ~   8    ui   u    N i [1  1 t e x 1 t e x ]  ~  . i 2i i 1i       ~1i  2 2 i 1    u   1 x 1 x    2i  ti e1i ]     N i [0  ti e2i 2 2      www.tankonyvtar.hu

(17.70)



315

A másik két elmozduláskomponens esetén hasonló egyenletet kapunk. A további számításokhoz szükség van a Jacobi mátrixra és annak determinánsára [1,4,5]:                      

         x   x       1 J   ,és:    J   .     y   y              z   z    

(17.71)

A Jacobi mátrix elemei a (17.65) kifejezés alapján felírhatók. A globális koordinátarendszerben az elmozduláskomponensek deriváltjai így már szintén felírhatók. Például az u komponens deriváltjai mátrix formában:  u   x   ( 1)  u   J 11 ( 1)     J 21  y   ( 1)  u   J 31    z 

J 12( 1) ( 1) J 22 J

( 1) 32

 u    J 13( 1)     ( 1)   u  J 23   , ( 1)   J 33   u      

(17.72)

ahol a Jij(-1) az inverz Jacobi mátrix elemei. A (17.70) egyenlet alapján erre a következőt kapjuk: 8  ~ u N N 1 N N   ( J11( 1) i  J12( 1) i )u~i  ti e2xi  ( J11( 1) i  J12( 1) i )  J13( 1) N i 1i  x i 1   2     8  ~ ~ ~ 1 N N N  ti e1xi  ( J11( 1) i  J12( 1) i )  J13( 1) N i  2i   i u~i  Gix ( g1xi 1i  g 2xi  2i ), 2   i 1 x  

(17.73)

ahol:

Gix   ( J11( 1)

Ni N  J12( 1) i )  J13( 1) Ni ,  

(17.74)

és:

1 1 g 1i   ti e 2i , g 2i  ti e1i . 2 2

(17.75)

A másik két deriváltat ez alapján felírva:


www.tankonyvtar.hu

316

Végeselem-módszer

8  ~ u 1 ( 1) N i ( 1) N i ~ ( 1) N i ( 1) N i ( 1)   ( J 21  J 22 )ui  ti e2xi  ( J 21  J 22 )  J 23 N i 1i  y i 1   2     8  ~ ~ ~ 1 N ( 1) N i ( 1) N i ( 1)  ti e1xi  ( J 21  J 22 )  J 23 N i  2i   i u~i  Giy ( g1xi 1i  g 2xi  2i ), 2   i 1 y  

(17.76)

8  ~ u 1 ( 1) N i ( 1) N i ~ ( 1) N i ( 1) N i ( 1)   ( J 31  J 32 )ui  ti e2xi  ( J 31  J 32 )  J 33 N i 1i  z i 1   2     8  ~ ~ ~ 1 N ( 1) N i ( 1) N i ( 1)  ti e1xi  ( J 31  J 32 )  J 33 N i  2i   i u~i  Giz ( g1xi 1i  g 2xi  2i ), 2   i 1 z  

ahol: ( 1) Giy   ( J 21

Ni ( 1) N i ( 1)  J 22 )  J 23 Ni ,  

( 1) Giz   ( J 31

Ni ( 1) N i ( 1)  J 32 )  J 33 Ni .  

(17.77)

Mátrix formában írva:  u   N i  x    u  8  Nx     i  y  i 1  y  u   N i     z   z

Gix g1xi Giy g1xi Giz g1xi

  u  Gix g 2xi       u  Giy g 2xi    .       u  Giz g 2xi       

(17.78)

A másik két komponens deriváltjai hasonló módon előállíthatók. A deriváltak alapján ezután kiszámítjuk a B mátrixot, ami az alakváltozási jellemzők, és a csomóponti paraméterek közötti kapcsolatot adja meg:

~  Bu~ e ,

(17.79)

ahol u~ e a csomóponti paraméterek vektora a lokális koordináta-rendszerben. Az alakváltozási jellemzők és a feszültségek vektora a globális rendszerben:

 T   x  y  z  xy  yz  xz  ,

(17.80)

 T   x  y  z  xy  yz  xz . A lokális rendszerben a Hooke-törvény jól ismert formája: www.tankonyvtar.hu



317

~  C~ ,

(17.81)

ahol C a rugalmassági állandók mátrixa:

1   0 E 0  C 1  2  0   0



0

0

0

1 0 0 0

0 0 1  0 0 2 0 0

0

0 0

0

0 0 0 k

 0  0   0 .  0   1   k 2  0

1  2 0

(17.82)

A fenti mátrix a következőkben tér el az általános térbeli esethez képest. A középfelületre merőleges feszültség (3. sor, 3. oszlop) zérus. Mivel vastag héjelemről van szó, ezért az elem a vastagság menti nyírófeszültségek hatását is figyelembe veszi, de csak, mint átlagértéket. Az 5. sor, 5. oszlop, valamint a 6. sor, 6. oszlop elemeinél a k = 5/6 egy nyírási korrekciós faktor [1,4,5]. Ennek oka, hogy a valóságban a nyírófeszültségek feltételezhetően parabolikus eloszlásúak és nem állandók, mint ahogy a héjmodellben ezt figyelembe vesszük. A k korrekciós tényező a kétféle eloszláshoz tartozó alakváltozási energiák viszonya. Transzformáljuk át a lokális feszültség és alakváltozási vektorokat a globális rendszerbe. A feszültségi és alakváltozási jellemzők transzformációja alapján felírhatók a következők:

~  T  ,   T T ~ ,

(17.83)

~  T  ,   T T ~ , ahol T a transzformációs mátrix térbeli feszültségi és alakváltozási állapotra, ennek számítása a (11.62)-es képletek segítségével lehetséges. (17.83)-at visszatéve a Hooke-törvénybe:

T   CT  .

(17.84) 1

Megszorozva az összefüggést T -el: 1

1

T T   T CT  .

(17.85) 1

1

Mivel T ortogonális mátrix ezért: T T  E , és T  T , azaz:

  T T CT  .

T

(17.86)

A transzformációs mátrix [4]: © Szekrényes András, BME

www.tankonyvtar.hu

318

Végeselem-módszer

 l12i  2  l2 i  l2 T   3i  2l1il2i 2l l  2 i 3i  2l3il1i

m12i m22i m32i 2m1i m2i 2m2i m3i 2m3i m1i

n12i n22i n32i 2n1i n2i 2n2i n3i 2n3i n1i

l1i m1i l2i m2i l3i m3i l1i m2i  l2i m1i l2i m3i  l3i m2i l3i m1i  l1i m3i

m1i n1i m2i n2i m3i n3i m1i n2i  m2i n1i m2i n3i  m3i n2i m3i n1i  m1i n3i

 n1il1i  n2il2i   n3il3i , n1il2i  n2il1i  n2il3i  n3il2i   n3il1i  n1il3i 

(17.87)

ahol az li, mi és ni paraméterek a bázis-egységvektorok iránykoszinuszai az adott pontban [4,7]:

l1i  cos(i, e1i ) , m1i  cos( j, e1i ) , n1i  cos(k , e1i ) ,

(17.88)

l2i  cos(i, e2i ) , m2i  cos( j, e2i ) , n2i  cos(k , e2i ) , l3i  cos(i, e3i ) , m3i  cos( j, e3i ) , n3i  cos(k , e3i ) .

A transzformációs mátrixot ki kell számítani a csomópontokban, valamint a numerikus integrálás miatt az integrálási pontokban is. A merevségi mátrix a globális koordinátarendszerben a (15.17) képlet alapján kiszámítható:

K e   B T C T BdV   B T C T BJddd , T

T

T

T

Ve

T

T

(17.89)

Ve

ahol J a Jacobi determináns, amely (17.65) és (17.71) alapján számolható. A tehervektor kiszámításához az elmozdulásmezőt írjuk fel a következő formában:

u( , ,  )  N u~ e ,

(17.90)

ahol N az interpolációs polinomok mátrixa. Ez alapján a térfogati, felületi és vonal menti erők vektora a lokális koordináta-rendszerben:

~ T T F eb   N pb dV   N pb Jddd , Ve

(17.91)

Ve

~ T T F ep   N p p dA   N p p Jdd , Ae

Ae

~ T F el   N p l dS , S

amelyeket a 16. fejezetben bemutatott transzformációhoz hasonlóan kell a globális rendszerben felírni. A csomópontokban koncentrált erők is működhetnek, ennek vektora hasonlóan www.tankonyvtar.hu



319

felírható, mint a lemezelemeknél. A magas csomóponti szám miatt itt ezt nem közöljük. Végül a végeselemes egyensúlyi egyenlet egy elemre a már jól ismert formában írható fel:

K e ue  F e ,

(17.92)

ahol Fe a térfogati, felületi, vonal menti és koncentrált terhelések vektorának összegeként számítandó. Végül a szerkezeti egyenlet:

KU  F . 17.5.

(17.93)

Átmeneti elem héjelem és térbeli elem összekapcsolásához

Összetett szerkezeteknél szükség lehet térbeli és vastag héjelemek egyidejű használatára is. Ezek közvetlenül nem csatlakoztathatók, mert a csomóponti szabadságfokok nem azonosak. Ilyen esetekben lehet szükség a térbeli és vastag héjelemek közötti átmeneti elemekre [1,4,5]. Egy kvadratikus átmeneti elemet mutat a 17.5 ábra, ahol az 1-8 csomópontok a térbeli oldalon, a 10-12 csomópontok pedig a vastag héj oldalán helyezkednek el.

17.5 ábra. Átmeneti elem héjelem térbeli elem és összekapcsolásához.

Az elem geometriáját leíró függvény a következő:

 x 8  xi  13  xi  13  y   N ( , ,  )  y   N ( , )  y   N ( , )  t n . i i i i i     i   i  2  z  i 1  zi  i  9  zi  i  9

(17.94)

Az i = 1...8 indexekhez tartozó bázisfüggvények a (17.64)-el megadott térbeli (SOLID) elem, az i = 9...13 indexekhez tartozó bázisfüggvények pedig a (17.65)-el megadott vastag héjelem megfelelő bázisfüggvényei lesznek. Az így összeállított függvényrendszer teljesíti a következő feltételeket [1]: 8

13

i 1

i 9

 N i ( , ,  )   N i ( , )  1 , © Szekrényes András, BME

(17.95)

www.tankonyvtar.hu

320

Végeselem-módszer

0, ha i  j , Ni ( j , j ,  j )   1, ha i  j 0, ha i  j , Ni ( j , j )   1, ha i  j ahol j, j és j a csomóponti koordináták a lokális rendszerben. Hasonlóan a vastag héjelemhez, az elmozdulásmező képlete: u  8  u~i  13  u~i  13  v   N ( , ,  )  v~   N ( , )  v~   N ( , )  t ( ~ e  ~ e ) . i i i i 2 i 1i 1i 2 i     i   i  2 ~  i 8 ~  i 8  w i 1  w  w i  i

(17.96)

Az 1-8 csomópontokhoz három, a 9-13 csomópontokhoz öt szabadsági fok tartozik. Az elem tehát összesen 49 szabadsági fokú. A további számítások a vastag héjelemnél leírtak alapján végezhetők el. Bibliográfia [1] [2] [3] [4] [5]

[6]

[7]

Bojtár Imre, Vörös Gábor, A végeselem-módszer alkalmazása lemez- és héjszerkezetekre. Műszaki Könyvkiadó, 1986, Budapest. Vörös Gábor, Alkalmazott mechanika előadások, 1978 I. félév. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tanszék. Singiresu S. Rao, The finite element method in engineering – fourth edition, Elsevier Science & Technology Books, 2004, Klaus-Jürgen Bathe, Finite element procedures. Prentice Hall, Upper Saddle River, 1996, New Jersey 17458. Thomas J. Hughes, The finite element method – Linear static and dynamic finite element analysis. Prentice Hall Inc., A division of Simon & Schuster, Englewood Cliffs, 1987, New Jersey 07632. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method – fifth edition, Volume 2: Solid mechanics. Butterworth-Heinemann, 2000, Oxford, Auckland, Boston, Johannesburg, Melbourne, New Delhi. Pei Chi Chou, Nicholas J. Pagano, Elasticity – Tensor, dyadic and engineering approaches. D. Van Nostrand Company, Inc., 1967, Princeton, New Jersey, Toronto, London.

www.tankonyvtar.hu


18.

TÉRBELI FELADATOK VIZSGÁLATA VÉGESELEMMÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. 3D-S ELEMEK BEMUTATÁSA.

Egy szerkezet vagy test geometriája sok esetben nem modellezhető vonalként vagy felületként, ekkor testként kell modelleznünk. Egy ilyen test geometriája csak 3D-s elemekkel közelíthető úgy, hogy ne kelljen elhanyagolni lényeges részleteket. Bonyolult geometria előfordul egyszerűbb szerkezeteknél is. Például amikor egy hegesztett rúdszerkezetet modellezünk, akkor használhatunk gerendaelemeket, ami a rudak feszültségállapotát képes modellezni. Ha a csomópontokban a rudak csatlakozási pontjának feszültségállapotát is modellezni akarjuk, akkor héjmodellt kell alkalmaznunk. Ha a hegesztési varratokat is vizsgáljuk, akkor testmodellt alkalmazunk. Természetesen a részletesebb modellezés a csomópontok és ezzel együtt a számítások mennyiségét is jelentősen növeli. A 3D-s elemek lehetnek hexaéderek, tetraéderek, ritkábban pentaéderek (ezek a hexaéderekből képezhetőek) első-, másod- vagy magasabb fokú alakfüggvényekkel leírható típusai. 18.1.

Hexaéder elemek

A hexaéder elemeket két egység élhosszúságú kockára képezzük le. Attól függően, hogy milyen fokszámú polinommal akarjuk az alakot leírni, 8, 20, 32, … csomópontú elemet alkalmazunk. y

xC

c c  -1

b

1

yC -1

C

b 

1

1 -1

x

 zC

a

z a

18.1. ábra: Hexaéder elem lokális koordinátarendszere


www.tankonyvtar.hu

322

Végeselem-módszer

A lokális koordinátarendszert a globális koordinátákból és az elem 2a , 2b , 2c élhosszaiból hozzuk létre, amelynek koordinátái:



x  xC , a

(18.1)



y  yC és b

(18.2)

 

z  zC . c

(18.3)

Ekkor a deriváltak:

d 

dx , a

(18.4)

d 

dy és b

(18.5)

d 

dz . c

(18.6)

18.1.1. 8 csomópontú hexaéder elem 



 

























 













 

18.2. ábra: 8 csomópontú hexaéder elem és a leképzett kocka

Ha a modellezni kívánt test geometriáját lineáris hexaéderekkel írjuk le, akkor 8 csomópontú elemet alkalmazunk. Az elem alakját az

www.tankonyvtar.hu


18. 3D-s elemek bemutatása

323

x   Ni  , ,    xi ,

(18.7)

y   Ni  , ,    yi és

(18.8)

z   Ni  , ,    zi

(18.9)

összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni  , ,   az i jelű csomóponthoz tartozó alakfüggvény:

Ni 

1 1   i 1  i 1   i , 8

(18.10)

ahol i ,i ,  i az i jelű csomópont lokális koordinátái. Az alakfüggvény globális és lokális deriváltjai közt a J Jacobi-mátrix írja le a kapcsolatot:





 lok Ni  , ,    J  globNi  , ,   , ahol

(18.11)

 x    x J     x   

(18.12)

y  y  y 

z     z  .   z    

Az alakfüggvények a (3.20) egyenlethez hasonló interpolációs függvények. Azokat felhasználhatjuk az elem elmozdulásának közelítésére, így nem kell bevezetünk új interpolációs függvényeket, hanem nyolc csomópontú hexaéder elem esetén a (18.10) alakfüggvényket használjuk.

u   Ni  , ,    ui , v   Ni  , ,    vi , w   Ni  , ,    wi .

Az így leírt elemeket izoparametrikus elemeknek nevezzük.


www.tankonyvtar.hu

324

Végeselem-módszer

18.1.2. 20 csomópontú hexaéder elem  









 



















 





 





 

 





 



 









 





  

 




Ha a modellezni kívánt test geometriáját másodfokú hexaéderekkel írjuk le, akkor 20 csomópontú elemet alkalmazunk. Az elem alakját az x   Ni  , ,    xi , y   Ni  , ,    yi és

z   Ni  , ,    zi összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni  , ,   az i csomóponthoz tartozó alakfüggvény. 20 csomópontú kocka esetében meg kell különböztetnünk a sarokban lévő csomópontok és az élek közepén lévő csomópontokat. A sarokban lévő csomópontok esetében az alakfüggvény:

Ni 

1 1   i 1  i 1   i  i  i   i  2, 8

(18.13)

ahol i ,i ,  i az i sarokpont lokális koordinátái. Az élek közepén lévő csomópontok esetében az alakfüggvény, ha i  0 , akkor

Ni 





1 1   2 1  i 1   i  . 4

www.tankonyvtar.hu

(18.14)



325

Ha i  0 , akkor

Ni 





1 1   i  1   2 1   i  . 4

(18.15)

Ha  i  0 , akkor

Ni 





1 1   i 1  i  1   2 , 4

(18.16)

ahol i ,i ,  i az i élközéppont lokális koordinátái. Hasonlóan a 8 csomópontú elemhez, az alakfüggvény globális és lokális deriváltjai közt a J Jacobi-mátrix írja le a kapcsolatot:





 lok Ni  , ,    J  globNi  , ,   , ahol  x    x J     x   

y  y  y 

z     z  .   z    

Ha a (18.13)-(18.16) alakfüggvényeket használjuk a húsz csomópontú hexaéder elem elmozdulásának közelítésére is, akkor az elemeket izoparametrikus elemeknek nevezzük. 18.1.3. 32 csomópontú hexaéder elem

 


















Ha a modellezni kívánt test geometriáját harmadfokú hexaéderekkel írjuk le, akkor 32 csomópontú elemet alkalmazunk. Az elem alakját az


www.tankonyvtar.hu

326

Végeselem-módszer

x   Ni  , ,    xi ,

y   Ni  , ,    yi és z   Ni  , ,    zi

összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni  , ,   az i csomóponthoz tartozó alakfüggvény. 32 csomópontú kocka esetében meg kell különböztetnünk a sarokban lévő csomópontok és az élek mentén lévő csomópontokat. A sarokban lévő csomópontok esetében az alakfüggvény:

Ni 







1 1   i 1  i 1   i  9  2   2   2  19 , 64

(18.17)

ahol i ,i ,  i az i sarokpont lokális koordinátái. Az élek harmadoló pontjaiban az alakfüggvény, 1 ha i   , akkor 3

Ni 





9 1   2 1  9 i 1  i 1   i  . 64

(18.18)

1 Ha i   , akkor 3 Ni 





9 1   i  1   2 1  9i 1   i  . 64

(18.19)

1 Ha  i   , akkor 3

Ni 





9 1   i 1  i  1   2 1  9 i  , 64

(18.20)

ahol i ,i ,  i az i jelű élmenti csomópont lokális koordinátái. Hasonlóan az előzőekhez, az alakfüggvény globális és lokális deriváltjai közt a J Jacobimátrix írja le a kapcsolatot:





 lok Ni  , ,    J  globNi  , ,   , ahol

www.tankonyvtar.hu



 x    x J     x   

y  y  y 

327

z     z  .   z    

Ha a (18.17)-(18.20) alakfüggvényket használjuk a harminckét csomópontú hexaéder elem elmozdulásának közelítésére, akkor az elemeket izoparametrikus elemeknek nevezzük. 18.1.4. Pentaéder elemek Pentaéder elemek közül a prizma és a gúla típusú fordul elő végeselem alkalmazásokban, ahol a hexaéder degenerációjával annak alapján leírható. 18.2.

Tetraéder elemek

Tetraéder elemeknél az alakfüggvényeket kétféle lokális koordinátarendszerben lehet definiálni: egységnyi élhosszúságú tetraédert alkotó koordinátarendszerben és térfogati koordinátarendszerben (ez utóbbit alkalmazza pl. az ANSYS). Mindkét leírást ismertetjük. Az első esetben a tetraéder egyik sarkát jelöljük ki a lokális koordinátarendszer kezdőpontjának (18.5. ábra). 

 c   A b A a  

18.5. ábra: Tetraéder egységnyi élhosszúságú lokális koordinátarendszere

Ebből a pontból induló a, b, c élhosszak segítségével a lokális koordináták:



x  xA , a


(18.21)

www.tankonyvtar.hu

328

Végeselem-módszer



y  yA és b

(18.22)

 

z  zA . c

(18.23)

Térfogati koordinátarendszert a következő egyenletrendszerrel definiáljuk: x  L1x1  L2 x2  L3 x3  L4 x4 , y  L1 y1  L2 y2  L3 y3  L4 y4

(18.24)

z  L1z1  L2 z2  L3 z3  L4 z4

1  L1  L2  L3  L4 Az x, y, z egy belső pont globális koordinátái, x1 , ..., z4 a sarokpontok globális koordinátái, L1, ..., L4 a térfogati koordináták. Megoldva a (18.24) egyenletrendszert, a térfogati koordináták:

L1 

a1  b1 x  c1 y  d1 z , 6V

L2 

a2  b2 x  c2 y  d 2 z , 6V

L3 

a3  b3 x  c3 y  d3 z , 6V

L4 

a4  b4 x  c4 y  d 4 z , ahol 6V

a1, ..., d 4 konstansok, V a tetraéder térfogata. Az összefüggések átalakításával az egyes koordináták egy tetraéderen belüli P pontra megkaphatóak, ha a P pontból indulva négy tetraéderre osztjuk fel az eredeti testet.

www.tankonyvtar.hu



329

4

4

P

P

1

1 3

3

4

2

2

P

4

P

1

1 3

2

3

2

18.6. ábra: Tetraéder felosztása térfogati koordinátákhoz

Ekkor P egyes sarkokhoz tartozó térfogati koordinátái az adott sarokkal szemben lévő kis tetraéder és az eredeti tetraéder térfogatának hányadosaként adódnak (18.6. ábra):

L1 

VP234 V V V , L2  P134 , L3  P124 , L4  P123 . V V V V


(18.25)

www.tankonyvtar.hu

330

Végeselem-módszer

18.2.1. 4 csomópontú tetraéder elem 



  

 



 



18.7. ábra: 4 csomópontú tetraéder elem és leképezése  , ,  koordinátákra

Ha a modellezni kívánt test geometriáját lineáris tetraéderekkel írjuk le, akkor 4 csomópontú elemet alkalmazunk. Az elem alakját az  , ,  koordinátarendszerben: x   Ni  , ,    xi ,

y   Ni  , ,    yi és z   Ni  , ,    zi

összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni  , ,   az i jelű csomóponthoz tartozó alakfüggvény: N1  1       ,

(18.26)

N2   ,

(18.27)

N3   ,

(18.28)

N4   .

(18.29)

Térfogati koordinátarendszerben az alakot: x   Ni L1, L2 , L3 , L4   xi , www.tankonyvtar.hu



331

y   Ni L1, L2 , L3 , L4   yi és

z   Ni L1 , L2 , L3 , L4   zi összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni L1 , L2 , L3 , L4  az i jelű csomóponthoz tartozó alakfüggvény: N1  L1 ,

(18.30)

N 2  L2 ,

(18.31)

N3  L3 ,

(18.32)

N 4  L4 .

(18.33)

18.2.2. 10 csomópontú tetraéder elem 





 







 

 

  





 

  



18.8. ábra: 10 csomópontú tetraéder elem és leképezése  , ,  koordinátákra

Ha a modellezni kívánt test geometriáját másodfokú tetraéderekkel írjuk le, akkor 10 csomópontú elemet alkalmazunk. Az elem alakját az  , ,  koordinátarendszerben:

x   Ni  , ,    xi , y   Ni  , ,    yi és


www.tankonyvtar.hu

332

Végeselem-módszer

z   Ni  , ,    zi

összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni  , ,   az i csomóponthoz tartozó alakfüggvény sarkokban:

N1  1        2 1         2 1         2 1       , N2    2 1         2  2 ,

N3    2  2 1         2 ,

N4    2  2  2 1        . Élek közepén lévő csomópontokban: N5  4 1        ,

N6  4 , N7  4 1        ,

N8  4 , N9  4 , N10  4 1        .

Térfogati koordinátarendszerben az alakot:

x   Ni L1, L2 , L3 , L4   xi , y   Ni L1, L2 , L3 , L4   yi és

z   Ni L1 , L2 , L3 , L4   zi összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni L1 , L2 , L3 , L4  az i jelű csomóponthoz tartozó alakfüggvény. Sarokpontokban az alakfüggvények:

N1  L1 2L1  1 , www.tankonyvtar.hu



333

N2  L2 2L2  1 ,

N3  L3 2L3  1 ,

N4  L4 2L4  1 . Élközépen: N5  4L1L2 ,

N6  4L2 L3 , N7  4L1L3 ,

N8  4L2 L4 , N9  4L3 L4 , N10  4L1L4 .

Ebben az esetben már látható a térfogati koordinátarendszer előnye, ahol az alakfüggvények formailag egyszerűbbek és egymáshoz hasonlóak.


www.tankonyvtar.hu

334

Végeselem-módszer

18.2.3. 20 csomópontú tetraéder elem 1 1

7 9

9

5 19

8

10

7

19 18

10

17 18

3 13

8

17

14

13

4

20

12

16

20

14 6

4

5

3

6 15 12

16 11

15

11 2

2 18.9. ábra: 20 csomópontú tetraéder elem

Ha a modellezni kívánt test geometriáját harmadfokú tetraéderekkel írjuk le, akkor 20 csomópontú elemet alkalmazunk. Az egyszerűbb forma miatt itt már csak a térfogati koordinátarendszerben történő leírását mutatjuk be. Térfogati koordinátarendszerben az alakot:

x   Ni L1, L2 , L3 , L4   xi , y   Ni L1, L2 , L3 , L4   yi és z   Ni L1 , L2 , L3 , L4   zi

összefüggésekkel közelítjük, ahol Ni L1 , L2 , L3 , L4  az i csomóponthoz tartozó alakfüggvény. Sarokpontokban az alakfüggvények:

N1 

1 L1 3L1  13L1  2 , 2

N2 

1 L2 3L2  13L2  2 , 2

www.tankonyvtar.hu



N3 

1 L3 3L3  13L3  2 , 2

N4 

1 L4 3L4  13L4  2 . 2

335

Élközépen: 9 9 N5  L1L2 3L1  1 , N 6  L1L2 3L2  1 , 2 2 9 9 N 7  L1L3 3L1  1 , N8  L1L3 3L3  1 , 2 2 9 9 N 9  L1L4 3L1  1 , N10  L1L4 3L4  1 , 2 2 9 9 N11  L2 L3 3L2  1 , N12  L2 L3 3L3  1 , 2 2 9 9 N13  L3 L4 3L3  1 , N14  L3 L4 3L4  1 , 2 2 9 9 N15  L2 L4 3L2  1 , N16  L2 L4 3L4  1 . 2 2 Lapközépen:

N17  27 L1L2 L3 , N18  27 L1L2 L4 , N19  27 L1L3 L4 , N 20  27 L2 L3 L4 .

18.3.

Hierarchikus alakfüggvények

A magasabb rendű elemek esetében alkalmazhatóak a hierarchikus alakfüggvények, amelyek a sarkokban eredeti fokszámúak, de az él vagy lap mentén alacsonyabb fokszámú függvényekből épülnek fel. 18.4.

Merevségi mátrix és csomóponti terhelések előállítása

18.4.1. Gauss-féle numerikus integrálás A végeselem-módszerrel történő problémamegoldáshoz szükség van a merevségi egyenletet elemeinek (merevségi mátrix, csomóponti terhelésvektorok) előállítására. Ezeket integrálással állítjuk elő a 3.5. fejezetben bemutatott módon. Az integrálokat gyakran nem lehet zárt alak© Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

336

Végeselem-módszer

ban előállítani, ezért numerikus integrálást kell alkalmaznunk. A Gauss-féle numerikus integrálás V térfogaton értelmezett, három dimenziós F x, y, z  függvény esetére:

 F x, y, z dV   F x, y, z dxdydz   w w w F x , y , z , i

i

V

j

j

k

i

j

k

k

ahol: –

wi , w j , wk : súlyfaktorok,

–

xi , y j , zk : Gauss féle koordináták.

Ha  ,  ,  lokális koordinátákra áttérünk, akkor:

 F x, y, z dxdydz   F  , ,  det J  , ,  ddd   WiW jWk det J i , j ,  k F i , j ,  k  , i

j

k

ahol: –

Wi , W j , Wk : Gauss féle súlyfaktorok,

–

i , j ,  k : Gauss féle (lokális) koordináták,

–

J : Jacobi-mátrix.

18.4.2. 3D-s elemek merevségi mátrixának előállítása A (3.23.) merevségi mátrixot izoparametrikus elemek esetében az alakfüggvényekkel állítjuk elő:

Ke 

 B r  C B r  dV , ahol a T

e

e

Ve

Be r    N e r  . Legyen F e x, y, z  függvény:

F e x, y, z   Be x, y, z  C Be x, y, z  , T

akkor egy hexaéder elem merevségi mátrixa:

K e   F e x, y, z  dV  Ve

www.tankonyvtar.hu

1 1 1

   F  ,  ,  det J  ,  ,  ddd  e

1 1 1



337

 WiW jWk det J i , j ,  k F e i , j ,  k  i

j

k

18.4.3. Csomóponti terhelések előállítása térfogati terhelésből A csomóponti terheléseket a térfogati és a felületi terhelésekből számítjuk. (3.24) szerint a térfogati terhelésből:

F qe 

 N r  q dV . T

e

Ve

Bevezetve f qe x, y, z  függvényt:

f qe x, y, z   N e r  q , T

egy hexaéder elem térfogati terhelésből számított csomóponti terhelése: 1 1 1

F qe 

 f x, y, z  dV     f  ,  ,  det J  ,  ,  ddd  qe

1 1 1

Ve

qe

 WiW jWk det J  i , j ,  k  f qe  i , j ,  k  i

j

k

18.4.4. Csomóponti terhelések előállítása felületi terhelésből (3.25) szerint a felületi terhelésből:

F pe 

 N r 

T

e

p dA .

Aep



a3 a1

a2

  r z

k

j

y

i x

18.10. ábra: Felületi normális meghatározása


www.tankonyvtar.hu

338

Végeselem-módszer

A   1 koordinátájú felület egy tetszőleges pontjában a1 és a 2 érintők meghatározhatóak:

a1 

r r és a 2  .  

Ezek ismeretében a felületre normális a 3 vektor: a3  a1  a 2 .

Az alakfüggvényt leszűkítjük a felületre: Ni  ,   Ni  , ,   1 .

Ekkor az érintők:

a1 

r N  ,  N  ,  N  ,   i xi  i   i yi  j   i zi  k ,    

a2 

r N  ,  N  ,  N  ,   i xi  i   i yi  j   i zi  k .    

Ekkor az elemi felületen az erővektor:

p dA   p  d A   pa1  a 2 dd   pa3dd . Ezt a (3.25)-be helyettesítve: F pe 

 N r 

T

e

p dA     N e  ,  p a 3dd . 1 1

T

1 1

Aep

Bevezetve f

f

pe

pe

 ,  függvényt:

 ,   N e  , T pa3 ,

egy hexaéder elem felületi terhelésből számított csomóponti terhelése:

F pe     f qe  , dd  WiW j f qe i , j  . 1 1

1 1

www.tankonyvtar.hu

i

j



339

Bibliográfia [1] [2]

Páczelt István, Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1999. Zienkiewicz, Taylor, The finite element method for solid and structural mechanics, McGraw-Hill, Oxford, 1967.


www.tankonyvtar.hu

19.

TÉRBELI FELADATOK VIZSGÁLATA VÉGESELEMMÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL. 3D-S ELEMEK ALKALMAZÁSA.

19.1.

Geometriai modell létrehozása

A testek geometriai modellje 3D-s elemek használatakor megegyezik az eredeti alakkal. A mai számítási kapacitások mellett szinte bármilyen bonyolultságú, összetett szerkezet belátható időn belül megoldható (lineárisan rugalmas anyag, statikai probléma). Sok esetben azonban fölösleges a teljes, részletes geometria modellezése. A számítási igény csökkenthető, és nemlineáris problémák esetében a feladat megoldhatóságának is feltétele lehet az eredeti alak módosítása. Ennek néhány lehetőségét a következőkben mutatjuk be ANSYS Workbench programmal. A test geometriáját kétféle módon vihetjük be a programba: a végeselem szoftver saját geometriai modellező moduljával, vagy 3D tervezőszoftverekből geometriai modellek importálásával. 19.1.1. Eredeti geometria kiegészítése A geometriai modell elkészítésekor általában nem elegendő csak a test geometriájának digitalizálása, létre kell hozni azokat a felületeket ahol: – terheléseket, kényszereket adunk meg, – hálót akarunk módosítani, – eredményeket akarunk ábrázolni. A későbbiekben csak úgy végezhetjük el ezeket a műveleteket, ha létezik olyan felület, amire hivatkozhatunk. A 19.1. ábrán láthatunk egy példát felület definiálására. Az eredeti geometria létrehozásakor a henger felülete összefüggő, de tudjuk, hogy csak egy része kap terhelést. Azt a felületet külön kell választani, mert arra fogunk hivatkozni az erő, nyomás, elmozdulás, stb. megadásakor.

19.1. ábra: Felület létrehozása hengerpaláston

www.tankonyvtar.hu


19. 3D-s elemek alkalmazása

341

19.1.2. Élek, sarkok modellezése A 3D modellek az élek, sarkok letöréseit, lekerekítéseit tartalmazzák. Azonban a számítási igény csökkentése érdekében érdemes kiválasztani, hogy melyeket szükséges modelleznünk és melyeket nem. Általános elvként elmondhatjuk, hogy a terheletlen részeken felesleges, viszont a feszültségcsúcsok közelében lényeges a részletes modell. A 19.2. ábrán feltételezzük, hogy a tengely két végén vannak a terhelések és kényszerek. Ebben az esetben a pirossal jelölt élek letörésének részletezése csak a modell bonyolultságát növeli, lényeges információt nem ad. A zölddel jelzett felület lekerekítése viszont meghatározó lesz a testben ébredő maximális feszültségre, így annak elhagyása a feszültségcsúcsok számítását megbízhatatlanná teszi. Ennél a modellnél a zöld felület lekerekítési sugarát megadjuk és a modellben szerepel, a pirossal jelölt élek letörését nem ábrázoljuk, a modellen sarkosan hagyjuk.

19.2. ábra: Élek, sarkok modellezése

19.1.3. Terheletlen részek modellezése A test terheletlen részeit a modellezéskor elhagyhatjuk. Ha tudjuk, hogy a 19.3. ábrán látható, lépcsős tengelyre forrasztott lemezre egy díszítő vagy információs táblát fognak csavarozni, akkor annak hatása elhanyagolható, a fület elhagyhatjuk modellünkből.


www.tankonyvtar.hu

342

Végeselem-módszer

a)

b) 19.3. ábra: Terheletlen részek modellezése

19.1.4. Szimmetrikus alkatrészek modellezése Szimmetrikus test modellezésekor kihasználhatjuk ezt a tulajdonságot, ha a terhelések is szimmetrikusak. Elegendő a test felét, kettős szimmetria esetén a negyedét modellezni (19.4. ábra), és a metszett felületen a megfelelő kényszereket alkalmazni az elhagyott részek hatásának modellezésére. Ez a módszer szilárdsági vizsgálatok esetében jól, stabilitási és sajátfrekvencia problémák esetében korlátozottan használható.

a) egyszeres szimmetria

b) kettős szimmetria

19.4. ábra: Szimmetria tulajdonság kihasználása

19.2.

Végeselem-modell létrehozása

A testek geometriáját elemekre bontjuk, a felosztást a 18. fejezetben bemutatott elemtípusok alkalmazásával végezzük. Az elemekre bontást hálózásnak nevezzük. A hálózást a szoftver végzi el, a megfelelő eredmény érdekében néhány paramétert meg kell adnunk (vagy módosítanunk az alapbeállítást), a két legfontosabb az elem típusa és mérete.

www.tankonyvtar.hu



343

19.2.1. Hálózás beállításai A klasszikus szoftvereknél az elemtípust ki kellett választani, majd az elemek méretét vagy számát be kellett állítani, és csak ezután végezhetjük el a hálózást. A modern szoftverek esetében, ha nem állítunk be egyetlen paramétert sem, akkor is elvégezhető a hálózás. Ekkor a program egy alapbeállítást alkalmaz, ami egy hozzávetőleges számításhoz megfelelhet, az eredmények ebben az esetben csak tájékoztató jellegűnek fogadhatóak el. Az esetek döntő többségében az adott feladatra alkalmas, jó közelítést eredményező hálót csak a megfelelő beállítások után kapjuk meg. A következőkben megvizsgáljuk az elem típusa és mérete beállításainak hatását. 19.2.2. Elemméret hatása Az előző fejezetben bemutatott, egyik végén befogott, egy erővel terhelt lépcsős tengelyt vizsgáljuk különböző beállítások mellett. A 19.5 ábrán az alapbeállításokkal végeztük el a hálózást. Látható, hogy tetraéderekkel egy durva hálót kaptunk. A maximális redukált feszültség értéke 48MPa.

19.5. ábra: VEM háló alapbeállítással és a számított redukált feszültség (MPa)

Állítsuk be az átlagos elemméretet 5mm-re, a háló finomabb és a számított redukált feszültség értéke 55MPa értékre növekszik.

19.6. ábra: 5mm-es átlagos elemméret és a számított redukált feszültség (MPa) © Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

344

Végeselem-módszer

Az mindkét esetben jól látható, hogy a kritikus rész az átmérőváltozásnál van, a belső lekerekített sarokban. Ilyen esetben, amikor ismerjük a kritikus tartományt, nem érdemes a további hálófinomítást a teljes geometrián elvégezni. Csökkentsük tovább az elemméretet, de már csak a kritikus részen és vizsgáljuk meg ennek hatását. Az 5mm átlagos elemméret mellett a kritikus részen csökkentsük az elemméretet 2mm-re.

19.7. ábra: 5mm-es átlagos, 2mm-es elemméret a kritikus részenés a számított redukált feszültség (MPa)

A 19.7. ábrán látható, hogy a további elemméret-csökkentés ismét 12 MPa feszültségnövekedést eredményezett a számításokban. Amíg az eredmények ilyen érzékenyek a hálóra, addig biztosan nem vagyunk a megoldás közelében, ezért tovább csökkentjük az elemméretet 1mmre a kritikus részen. A további hálófinomítás már nem okozott jelentős változást az eredményben, tehát a megoldásunk kezd konvergálni. A megoldást megközelítettük, a további hálófinomítás már nem okoz számottevő változást az eredményben. (Megjegyezzük, hogy az elemméretet megfeleztük, ami az elemszám hatványozott növekedését jelenti. Három dimenzióban ez közel egy nagyságrenddel megnöveli az elemszámot a kritikus részen.) Ellenőrzésképp nézzünk egy sokkal finomabb hálót, a kritikus részen 0,5mm elemmérettel. A 19.8. ábrán látható, hogy ez kevesebb, mint 0,5% változást okoz az eredményben.

www.tankonyvtar.hu



345

19.8. ábra: 5mm-es átlagos, 0,5mm-es elemméret a kritikus részenés a számított redukált feszültség (MPa)

19.2.3. Elemtípus hatása Vizsgáljuk meg, hogy az előzőekben bemutatott 10 csomópontú tertraéder elemekhez képest (ami másodfokú közelítő polinomokat jelent) milyen változást jelent, ha 4 csomópontú tetraédereket alkalmazunk (lineáris közelítő függvények). Várhatóan a közelítő függvények fokszámának csökkenése az eredményekre negatív hatással lesz. Az elemtípus tetraéder maradt, csak az elemen belüli csomópontok száma csökkent le. Így nem a hálót mutatjuk be (azonos a 19.5-8. ábrákkal), hanem a belőlük számított redukált feszültségek értékeit hasonlítjuk össze az azonos háló, és elemszám, de változó csomópontok esetén.

10 csomópontú tetraéder


19.9. ábra: Számított redukált feszültség (MPa) különböző tetraéderek esetében, elemméret az alapbeállításnak megfelelő

A 19.9. ábrán látható, hogy a 4 csomópontú tetraéder a hengeres geometriát sem tudta jól közelíteni, mert a lineáris közelítő függvények miatt az egyes elemek oldalai síkok, ellentétben a 10 csomópontú elemmel, amelynek oldalai lehetnek görbültek.


www.tankonyvtar.hu

346

Végeselem-módszer



19.10. ábra: Számított redukált feszültség (MPa) különböző tetraéderek esetében, 5mm átlagos elemméret mellett

A lekerekítés sugara 3mm, ezért a 4 csomópontú tetraéder esetében nem sokat változott a maximális feszültség az alapbeállításhoz képest. A következő lépésben a lekerekítésnél 2mm-re állítjuk az elemméretet, ami várhatóan javítja az eredmény pontosságát.



19.11. ábra: Számított redukált feszültség (MPa) különböző tetraéderek esetében, 5mm átlagos, 2mm elemméret a kritikus részen

A 19.11. ábrán látható, hogy a lekerekítés sugaránál kisebb elemek alkalmazása sokat javított az eredmény pontosságán. Amíg a 10 csomópontú elem esetében ez már a valódi eredmény megközelítését jelentette, addig a 4 csomópontú elemnél még jelentős az eltérés. Nézzük meg, hogy a további hálófinomítás, ami a 10 csomópontú elemnél már a megoldást jelentette, milyen hatással lesz a 4 csomópontú elemre.

www.tankonyvtar.hu




347


19.12. ábra: Számított redukált feszültség (MPa) különböző tetraéderek esetében, 5mm átlagos, 1mm elemméret a kritikus részen



19.13. ábra: Számított redukált feszültség (MPa) különböző tetraéderek esetében, 5mm átlagos, 0,5mm elemméret a kritikus részen

A 19.12. és 19.13. ábrákon látható, hogy a 4 csomópontú elem nagyon finom háló esetében sem konvergál a megoldáshoz. A 10 csomópontú tetraéder alkalmazásakor már két nagyságrenddel kevesebb elem esetében is elfogadható megoldást kaptunk. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a 4 csomópontú elemek alkalmazását el kell kerülnünk görbült geometriák esetében, azaz szinte minden esetben. 19.3.

Peremfeltételek

A VEM modellezés lényeges eleme a peremfeltételek helyes beállítása. A hálózáskor nem követünk el hibát, ha magasabb rendű modellt és finomabb hálót választunk. A számítási igényt feleslegesen megnöveljük, de az eredmények jók lesznek. A peremfeltételek beállítási hibája azonban az eredményekben attól függetlenül megjelenik, hogy milyen jó maga a hálózás. A peremfeltétel hibáját sok esetben a finomabb háló tovább növeli.


www.tankonyvtar.hu

348

Végeselem-módszer

19.3.1. Terhelések A valóságos testeket felületen és térfogaton megoszló terhelések érik. Alacsonyabb dimenziójú modellezés esetén a terhelések is lehetnek koncentráltak vagy vonal mentén megoszlóak. Ezek alkalmazása 3D modellen hiba, amely a háló finomításakor egyre fokozottabban jelentkezik. A 19.14. ábrán egy 20mm élhosszúságú kocka egyik oldalának közepét terheljük 100N nagyságú koncentrált erővel, a kockát a másik oldalon befogjuk. Vizsgáljuk meg, hogy mekkora feszültséget kapunk a számításból különböző elemméret mellett.

19.14. ábra: Lapközépen terhelt kocka

Ha az erő a teljes lapon nyomásként működik, akkor



F 100 N   0,25MPa A 20mm  20mm

normál feszültség ébred a teljes keresztmetszetben. Ha hibásan a lap helyett pontba definiáljuk az erőt, akkor a különböző elemméret mellett a következő redukált feszültségeket kapjuk.

19.15. ábra: Egy pontban terhelt kockában számított feszültségek MPa-ban(10mm elemméret)

www.tankonyvtar.hu



349




Megfigyelhető, hogy az elemméret csökkentésével (az elemszám növelésével) a számított redukált feszültség monoton növekszik. (19.19. ábra) Az elemméret csökkentésével egyre jobban megközelítjük az elméleti pontszerű terhelésbevitelt, amihez végtelen nagyságú feszültség tartozik. Hasonló eredményre vezet, ha él mentén definiálunk terhelést.


www.tankonyvtar.hu

350

Végeselem-módszer

3D-s modellek esetében csak felületen és térfogaton megoszló terheléseket alkalmazhatunk. Külön nem elemezzük, de ha vonal- vagy héjelemet közvetlenül kapcsolunk a testhez, az is hasonló problémákat okoz. 200 180

Red. fesz. [MPa]

160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

Elemszám

19.19. ábra Redukált feszültség az elemszám függvényében

19.3.2. Kényszerek A testek modellezésekor a kényszerek definiálását is körültekintően kell elvégezni. Mivel a kényszerek végtelenül merevek, így nem várt és a valóságban nem is létező feszültségeket és alakváltozásokat okozhatnak a számításokban. A kényszerek esetében ez nem mindig jelentkezik olyan markánsan, mint az előző fejezetben bemutatott koncentrált erő esetében. Ez azért okozhat problémát, mert nem mindig könnyű észrevenni. Vizsgáljunk meg egy egyik végén befogott, másik végén erővel terhelt rudat. (19.20. ábra)

19.20. ábra: Egyik végén befogott, erővel terhelt tartó és a számított normál feszültségek MPa-ban 10mm-es hexaéder elemek esetében

www.tankonyvtar.hu



351

Ideális hajlítás esetén számított feszültség:



F  l 6  1000 N  200mm   18,75MPa K 203 mm3

A testben számított normál feszültségeket a különböző elemtípus, elemszám, csomópontok számának függvényében a következő táblázatban foglaltuk össze: Típus

Méret

4 csomópon- 10 (alap) tú tetraéder 5 4 3 2 1 4 csomópon- 10 (alap) tú tetraéder 5 (strukturált) 4 3 2 1 10 csomó- 10 (alap) pontú tetraé- 5 der 4 3 2 1 8 csomópon- 10 (alap) tú hexaéder 5 4 3 2 20 csomó- 10 (alap) pontú hexaé- 5 der 4 3 2 1

Csomópontok Elemszám száma 218 876 1306 2814 7325 35861 442 2361 3948 6935 16758 78573 1149 5182 7860 17814 47927 243813 525 3321 6171

513 2747 4265 10359 29154 156570 1394 9270 16038 27324 69312 341083 513 2747 4265 10359 29154 156570 320 2560 5000

Max. normálfe- Max. redukált szültség [MPa] feszültség [MPa] 16,2 11 21,4 15 24,7 16,9 26 18,4 30,4 22,2 38,9 27,8 17,4 13 21,1 16 22 16,5 23,6 17,9 26,2 20,3 32,4 26,4 25,5 19 31,8 24,2 34,6 26,3 38,8 29,7 44,6 34,4 57,8 44,4 20,3 18,7 23,2 20,2 24,5 21

Nem hálózta be

44541 1865 12465 23441 59710 173481 1333361

40000 320 2560 5000 13538 40000 320000

30 23,6 28,8 31 34,6 39,5 51

24,6 19,5 24,5 26,5 29,8 34,1 44,1

Az eredményeket megvizsgálva megállapíthatjuk, hogy az eredmény nem konvergál, viszont a növekedés nem akkora mértékű, mint a pontszerű terhelés esetében. Ez bizonytalanságot okoz az eredmények értékelésekor, mert a számított magasabb feszültségek nem valóságosak, hanem a merev megfogás okozza. Még nagyobb feszültségnövekedést okoz, ha nem egy teljes felületen, hanem annak csak részén definiálunk kinematikai peremfeltételt.


www.tankonyvtar.hu

352

Végeselem-módszer

Az ideális kényszerek okozta, valóságban nem létező feszültséggyűjtő helyek hatása csökkenthető, ha nem finomítjuk nagymértékben a hálót. Ez csak szükségmegoldás, ha nincs lehetőségünk az ideális kényszer helyett a valódi kapcsolat és az érintkezési feszültségek modellezésére.

www.tankonyvtar.hu


20.

MODELLEZÉSI, PONTOSSÁGI, ALKALMAZHATÓSÁGI KÉRDÉSEK. A KÜLÖNBÖZŐ VÉGESELEM MODELLEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA, EREDMÉNYEK VIZSGÁLATA.

20.1.

Tartók modellezése

Állandó keresztmetszetű tartók esetében a végeselem-módszerben többféle modellt alkalmazhatunk. Tömör tartókat 1D-s rúdként vagy 3D-s testként, a vékony falú szelvényeket ezeken kívül héjként is modellezhetjük. A következőkben megvizsgáljuk, hogy az egyes modellek milyen körülmények közt alkalmazhatóak. Az összehasonlításra egyszerű problémákat oldunk meg különböző modellek felhasználásával, ANSYS Workbench programmal. 20.1.1. Kör keresztmetszetű tartó vizsgálata Tekintsünk egy 50mm átmérőjű, 1000mm hosszú rudat. Az egyik felén az elfordulást és elmozdulást megakadályozzuk, a másik véglapon 1200N nagyságú erőt működtetünk. Keressük a tartóban ébredő maximális feszültséget. Kétféle modellt alkalmazunk a megoldáshoz. Vonalelemek alkalmazásakor a tartót középvonalával modellezzük (20.1.a. ábra) Ebben az esetben a vonal egyik végét megfogjuk, a másik végét koncentrált erővel terheljük. 3D-s elemek esetében a geometriai modell egy henger, amit egyik végén felületen megoszló erővel terhelünk. A másik végén nem alkalmazunk befogást, mert a gátolt alakváltozás miatt nemcsak a hajlításból származó feszültségeket kapnánk, helyette a terheléssel ellentétes felületen megoszló erőt adunk meg és megakadályozzuk a hosszirányú elmozdulást. (20.1.b. ábra)

a)

b)

20.1. ábra: Tartó geometriai modellje, terhelései, kényszerei

Az 1D-s modellezés VEM szempontból legfontosabb előnye a kevesebb számítási igény. Maga az elem is sokkal egyszerűbb, mint a 3D-s elemek, emellett azonos pontosság mellett sokkal kisebb lesz az elemszám is. A behálózott modellek a 20.2. ábrán láthatóak.


www.tankonyvtar.hu

354

Végeselem-módszer

a)

b) 20.2. ábra: VEM háló 1D és 3D elemekkel

Rúdelemek esetén 21 elem és 43 csomópont elegendő, 3D-s elemek esetén 33048 elem és 142911 csomópont szükséges a megfelelően pontos modell elkészítéséhez. Az elemszám ebben a terhelései esetben csökkenthető, ha az elemeket a rúd hossztengelye irányában megnyújtjuk, de mindenképpen nagyságrendekkel több kell, mint 1D-s elemek esetében. Az ébredő feszültségeket analitikusan is meghatározzuk a későbbi összehasonlítás végett. Egy befogott tartó esetében a hajlításból számítható a legnagyobb feszültség értéke kör keresztmetszet esetében:



M h 32  F  l 32  1200 N  1000mm    97,78MPa , K d 3 503 mm3  

ahol:  : feszültség, M h : legnagyobb hajlítónyomaték, F : koncentrált erő, K : keresztmetszeti tényező, d : keresztmetszet átmérője.

a)

b)

20.3. ábra: Számított normálfeszültségek MPa-ban

www.tankonyvtar.hu


20. VEM modellek összehasonlítása

355

A 20.3. ábrán láthatjuk a számított feszültségeket. Az analitikus eredménnyel közel megegyezik a rúdmodellel számított érték. A testmodellel számított feszültség kevesebb, mint 2%-kal több, ami gyakorlati szempontból elfogadható eltérés. A rúdmodellek alkalmazása sok esetben szükséges lehet, ha egy nagy méretű szerkezetnél a testmodellt olyan sok elemmel lehet előállítani, amit a rendelkezésre álló idő alatt nem tudunk megoldani, vagy ha valamilyen okból kifolyólag csökkenteni akarjuk a számítási időt. Ha a peremfeltételeket megfelelően állítjuk be, az eredmény is megbízható. Tisztában kell lennünk azonban a rúdmodell korlátaival. A megfogási módokat, érintkezési feszültségeket, keresztmetszet-átmenetek geometriáját nem képes valóságosan modellezni. A számított feszültségeket sem tudjuk olyan részletességgel leírni a keresztmetszeten belül, mint ahol a keresztmetszet geometriája is részletesen benne van a modellünkben. 20.1.2. Vékony falú zárt szelvényű rúd modellezése Tekintsük az előző fejezetben tárgyalt tartót úgy, hogy nem kör keresztmetszetű, hanem vékony falú 60x60x4-es zárt szelvényű idomacél. Ekkor az egy- és háromdimenziós elemek mellett lehetőségünk van héjelemek alkalmazására is a modellezéskor. A 20.4. ábrán látható, hogy a tartó geometriáját az egyes modellek a) vonalként, b) felületként, c) testként írják le.

a)

b)

c)


Az előzőekhez hasonlóan itt is csak a rúdmodell esetén alkalmazunk befogást. A héj és testmodell esetében erőpárt és hosszirányú megfogást alkalmazunk, mert csak a hajlításból származó feszültségeket akarjuk kiszámítani. Az egyes geometriai modellekből hálózás után kapjuk a végeselem-modelleket (20.5. ábra).


www.tankonyvtar.hu

356

Végeselem-módszer

a)

b)

c)

20.5. ábra: 1D-s, 2D-s és 3D-s végeselem-modellek

A 20.5.a. ábrán látható vonalelemekből felépített modell 100 elemből és 201 csomópontból áll. A 20.5.b. ábrán a héjelemből felépített modell 530 elemből és 1622 csomópontból épül fel, ami többszöröse a vonalelemhez képest. A 20.5.c. ábrán látható testmodell esetében egy hosszirányban ritkább hálót alakítottunk ki, de ennek ellenére 340 elem és 1907 csomópont alkotja a modellt. A hálózás után a várakozásunknak megfelelően látható, hogy a magasabb dimenziójú modellek felépítéséhez egyre több elemre és csomópontra van szükség, a számítási igények is ennek megfelelően növekednek.

a)

b)

c)

20.6. ábra: 1D-s, 2D-s és 3D-s végeselem-modellekkel számított normál feszültségek MPa-ban

www.tankonyvtar.hu



357

Hajlításból analitikusan számított feszültség:



Mh 6 F l a 6  1200 N  1000mm  60mm e 4   76,48MPa , 4 Iz 604 mm4  524 mm4 a  a  2v 

ahol:  : feszültség, M h : legnagyobb hajlítónyomaték, F : koncentrált erő, I z : másodrendű nyomaték, a : keresztmetszet magassága, szélessége, v : keresztmetszet vastagsága, e : szélső szál távolsága a keresztmetszet súlypontjától. A 20.6.a. ábrán látható, hogy a rúdmodellel számított feszültség megegyezik az analitikus eredménnyel, ami egyezik a várakozásokkal, mert az analitikus modell is rúdmodell. A 20.6.b ábrán látható, héjmodellel számított eredmény közel 3%, a 20.6.c. ábrán látható testmodellel számított eredmény 8% növekedést mutat a rúdmodellhez képest. Az eltérés annak a következménye, hogy a vékony falú szelvényben a feszültségek nem ideálisan egytengelyűek, amelyet csak a magasabb dimenziójú modellek képesek leírni. 20.1.3. Vékony falú nyitott szelvényű rúd modellezése A következőkben megvizsgáljuk, hogy milyen hibát okoz, ha egy vékony falú nyitott szelvényű tartó esetében rúdmodellt alkalmazunk. A legnagyobb problémát a gátolt csavarás okozza, mert a legtöbb rúdmodell nem képes ennek leírására. Vizsgáljunk az előzőekhez hasonlóan egy 1000mm hosszú, befogott és 1200N koncentrált erővel terhelt, 100x100x4-es hidegen hajlított U-szelvényű idomacél tartót. Elsőként analitikusan határozzuk meg a normál feszültségeket. (A csúsztató feszültségekkel most külön nem foglalkozunk, de tudjuk, hogy azok további növekedést okoznak a redukált feszültségben.) Hajlításból analitikusan számított feszültség



Mh 1200 N  1000mm e 50mm  28,52MPa , Iz 2103829mm4

ahol:  : normál feszültség, M h : legnagyobb hajlítónyomaték, F : koncentrált erő,

Iz 

a 4 a  v (a  2v)3 1004 96  923     2103829mm4 : másodrendű nyomaték, 12 12 12 12

a : keresztmetszet magassága, szélessége, v : keresztmetszet vastagsága, e : szélső szál távolsága a keresztmetszet súlypontjától. © Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

358

Végeselem-módszer

Gátolt csavarásból analitikusan számított normál feszültség Csavarási másodrendű nyomaték:

Ic 

1 1 3 vi si  4mm 2  98mm  96mm  6229,3mm4 ,  3 3

ahol: v i : a felosztott keresztmetszet egyes részeinek vastagsága, s i : a felosztott keresztmetszet egyes részei középvonalának hossza. Kétszeres cikkterület függvény: z

y

z0

y0

   d   y dz   z dy , s

ahol: y , z : a keresztmetszet középvonalának koordinátái. z

2021,76 C

2021,76 B

-2682,24 A

nyírási középpont 42,12

súlypont

y

32,89 2682,24 -2021,76

-2021,76 20.7. ábra:  függvény a nyírási középpontra számítva (mm2-ben)

A kétszeres cikkterület függvényt a csavarási középponttal megegyező nyírási középpontra számítjuk, ennek négyzetét a keresztmetszet területén integráljuk: 98 48  2 2   I    dA    v ds v   ds 4    42,12s ds   2021,76  48s  ds   2  2,054  109 mm6 A s s 0 0  2

2

www.tankonyvtar.hu

2



359

Bevezetjük:



G  Ic 80GPa  6229,3mm4   0,00107477mm1 , 9 6 E  I 210GPa  2,054  10 mm

ahol: G  80GPa : csúsztató rugalmassági modulus, E  210GPa : Young-modulus. A tartó fajlagos elcsavarodása a hossz mentén [Csizmadia: Modellalkotás]:

 ( x)  c1  sh(  x)  c2  ch(  x) 

Mc (1  ch(  x)) , G  Ic

ahol: M c : csavarónyomaték a nyírási középpontra, x : a tartó középvonala menti koordináta, c1 , c2 : konstansok. Ennek deriváltja:

d ( x) Mc  c1  ch(  x)  c2  ch(  x)   sh(  x) . dx G  Ic A tartó szabad végén:

d ( x)  0 , ebből: c1  0 . dx A befogásnál:

 ( x)  0 , ebből: c2 

 Mc  1 1  . G  I c  ch(  l ) 

Az ismert konstansokkal a fajlagos elcsavarodás egyik végén befogott tartóra:

 ( x) 

M c  sh(  x)  1  . G  I c  ch(  l ) 

A fajlagos elcsavarodás deriváltja:

d ( x) M c sh(  x)   . dx G  I c ch(  l )


www.tankonyvtar.hu

360

Végeselem-módszer

A gátolt csavarás hatására létrejövő másodlagos hajlításból számított normál feszültség:

  

B , I

ahol:

B  EI 

d ( x) : kettős nyomaték. dx

Esetünkben:

 M c sh(  x)  M sh(  x)    c , B  EI     G  I c ch(  l )   ch(  l )  ennek maximuma a befogásnál ( x  l ) van:

B  6,6267  107 Nmm2 . Ekkor a másodlagos hajlításból számított feszültség az U-szelvény sarkában, 20.7. ábra „B” pont (   2021,76mm2 ):

 B  65,21MPa , az U-szelvény végénél, 20.7. ábra „C” pont (   2682,24mm2 ):

 C  86,52MPa . Ekkor a hajlításból és másodlagos hajlításból számított feszültségek összege:

 B     B  93,73MPa ,  C     C  58MPa . VEM modellekkel számított normál feszültség Az analitikusan számított feszültségeket összehasonlítjuk a vonal-, héj- és testelemekkel modellezett tartó esetén számított értékekkel. A geometriai modellek az előzőekhez hasonlóan a középvonalával (20.8.a. ábra), középsíkjával (20.8.b. ábra) és teljes keresztmetszetével (20.8.c. ábra) leírt tartók lesznek.

www.tankonyvtar.hu



a)

361

b)

c)


A befogást ebben az esetben is csak a rúdmodell esetén alkalmaztuk, a héj- és testmodelleknél erőpárt és csak hosszirányú megfogást.

a)

b)

c)

20.9. ábra: 1D-s, 2D-s és 3D-s végeselem-modellek

A 20.9.a. ábrán látható vonalelemekből felépített modell 20 elemből és 41 csomópontból áll. A 20.9.b. ábrán a héjelemből felépített modell 375 elemből és 1206 csomópontból épül fel. A 20.9.c. ábrán látható testmodell esetében 420 elem és 3148 csomópont alkotja a modellt. A 20.10. ábrán a számított feszültségeket láthatjuk MPa mértékegységben ábrázolva. Látható a rúdmodell alakváltozásánál, hogy a csavarással számol, de a másodlagos hajlítást nem © Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

362

Végeselem-módszer

képes modellezni (mj: létezik gátolt csavarást is modellező rúdelem, de csak egyes szoftverekben, alkalmazásakor az erő szelvényen belüli támadáspontját külön kell definiálni). A héjés a testmodell esetében a végeselemes szimuláció az analitikusan számítottnál magasabb feszültségeket eredményezett. Ennek oka, hogy az analitikus modellel a középsíkokra számítottuk a feszültségeket, és a lemez vastagsága mentén állandónak tekintettük, a modellek viszont a vastagság menti változást is követték.

a)

b)

c)

20.10. ábra: 1D-s, 2D-s és 3D-s végeselem-modellekkel számított normál feszültségek MPa-ban

Ha megnézzük a feszültségeket a héjelemek esetében a középsíkon (20.11. ábra), akkor láthatjuk, hogy a számított  B  93,73MPa ,  C  58MPa feszültségekkel kis hibával egyeznek az eredmények.

20.11. ábra: Héjmodellel számított normál feszültségek a középsíkon MPa-ban

www.tankonyvtar.hu



363

20.1.4. Vastag falú cső modellezése Vizsgáljuk meg, hogy egy 60mm belső és 120mm külső átmérőjű, 30MPa belső nyomással terhelt csövet milyen modellekkel, mekkora pontossággal tudunk leírni. Analitikus modell Vastagfalú csőben a feszültségek hosszirányban állandóak, a sugár mentén másodfokú hiperbola függvény szerint változnak. A csődiagramokat ezért a fajlagos reciprok sugár függvényében szokás ábrázolni: 2

r     ,  rb  ahol: r : a cső sugara (változó), rb : a cső belső sugara. Esetünkben a külső és belső falnál: 2

 r   60   k   k      0,25 ,  rb   30  2

2

r  b   b   1 .  rb 

Ezek segítségével a csődiagram:  [Mpa]

b

k C 0,25

1



rk=-pk=0

rb=-pb=-30

20.12. ábra: Csődiagram

A sugárirányú feszültség a külső és belső falon megegyezik a külső és belső nyomással. Ezután az arányosság felhasználásával a külső és belső falon az érintőirányú feszültsé© Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

364

Végeselem-módszer

gek:  b  50MPa ,  k  20MPa . A tengelyirányú feszültségek attól függően, hogy nyitott vagy zárt a cső, állandó C vagy 0 értéket vesznek fel. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes végeselem-modellekkel milyen értékeket kapunk az érintőirányú feszültségekre! Végeselem-modellek Egy vastagfalú cső, amely nyomással van terhelve, 2D-s és 3D-s modellek segítségével is megfelelően leírható. 3D-s modell esetében is egyszerűsíthetünk az eredeti geometrián annak felhasználásával, hogy a hossz mentén állandóak a feszültségek, mert így az eredeti csőből egy kis szakaszt elegendő modelleznünk. Ha a szimmetriát is kihasználjuk, akkor ennek a felét vagy a negyedét is elegendő modellezni, de akkor a szimmetriának megfelelő kényszereket kell alkalmaznunk az elvágott felületeken. 2D-s modellek esetén két lehetőségünk van a cső leírására. A cső minden keresztmetszete síkalakváltozást szenved, ezért modellezhetjük a csövet egy keresztmetszetével síkban. Ekkor is kihasználhatjuk a szimmetriát, így az eredeti körgyűrű felület helyett alkalmazhatunk fél vagy negyed körgyűrű geometriát is, itt is alkalmazva a szimmetria feltételeket az elvágott vonalakon. A másik lehetőség, ha a tengelyszimmetrikus geometriát és terhelést is kihasználjuk, és tengelyszimmetrikus 2D-s modellt választunk. Ekkor elegendő a csőfalból egy hosszirányú félmetszetet modelleznünk. Az összehasonlítás érdekében kiválasztunk mindhárom modellből egyet, és annak alkalmazásával megoldjuk a problémát.

a)

b)

c)

20.13. ábra: Vastagfalú cső modellezési lehetőségei, terhelések, kényszerek

A 20.13.a. ábrán a 3D-s modellel a cső egy szakaszát modellezzük, az elhagyott részeket elmozdulásokkal helyettesítjük: a cső két metszett felületén (B) nem engedünk tengelyirányú elmozdulást. A cső belső felületén 30MPa nyomást definiálunk. A 20.13.b. ábrán a cső egy keresztmetszetének negyedét modellezzük. Ekkor 2D-s síkalakváltozásos modellt kell választanunk. A „B” és „C” vonalakon a vonalra merőleges

www.tankonyvtar.hu



365

elmozdulást nem engedjük meg, így használva ki a szimmetrikus viselkedést. Az „A” vonalon alkalmazzuk a 30MPa-nak megfelelő vonal menti terhelést. A 20.13.c. ábrán a rúd hosszmetszetének egy szakaszát modellezzük 2D-s tengelyszimmetrikus elemekkel. A geometriai modellt úgy kell megrajzolni, hogy a forgástengelytől belső sugárnyira, 30mm-re legyen az „A” felület. A „B” vízszintes vonalakra függőleges elmozdulást nem engedünk, így modellezzük a cső további szakaszait. Az „A” vonalra a 30MPa nyomásnak megfelelő vonal menti terhelést alkalmazunk. A modelleknél meghatározott elemekből felépített végeselem-modellek láthatóak a 20.14. ábrán. A 20.14.a. ábrán látható 3D-s elemekből létrehozott végeselem-modell hálója 44756 elemből és 69542 csomópontból áll. A 20.14.b. ábrán látható 2D-s síkalakváltozás elemekből létrehozott háló 1104 elemből és 3455 csomópontból áll. A 20.14.c. ábrán látható tengelyszimmetrikus 2D-s elemekből felépített háló 1887 elemből és 5838 csomópontból áll. Az öszszehasonlításkor azt érdemes figyelembe venni, hogy ebben az esetben a tengelyszimmetrikus modell kevesebb elemből is ugyanilyen pontosságú eredményt ad.

a)

b)

c)

20.14. ábra: 3D-s, 2D-s síkalakváltozás és 2D-s tengelyszimmetrikus modellek

A különböző modellekkel számított érintő irányú feszültségek a 20.15. ábrán láthatóak.


www.tankonyvtar.hu

366

Végeselem-módszer

a)

b)

c)

20.15. ábra: 3D-s, 2D-s síkalakváltozás és 2D-s tengelyszimmetrikus modellekkel számított érintő irányú normál feszültségek MPa-ban

Az eredményeket összehasonlítva egymással és az analitikus eredménnyel, megállapítható, hogy a legjobb közelítést a tengelyszimmetrikus modell esetében kaptunk, de egyik modell sem ért el még 0,5% hibát sem az analitikus eredményhez képest. Jobban látható az egyes modellek közti különbség, ha mindhárom esetben az elemméretet úgy választjuk meg, hogy az eredmény éppen az 5%-os hibahatáron belül kerüljön. Ebben az esetben a testmodellnél is kihasználjuk a kettős szimmetriát.

a)

b)

c)

20.16. ábra: 3D-s, 2D-s síkalakváltozás és 2D-s tengelyszimmetrikus modellekkel számított 5%-nál kisebb hibájú érintő irányú normál feszültségek MPa-ban

www.tankonyvtar.hu



367

A 20.16. ábrán látható feszültségeket a háló módosításával kaptuk, addig finomítva, amíg az 5%-os hibahatáron belül került az 50MPa elméleti megoldáshoz képest. Az ehhez szükséges legdurvább hálók a 20.17. ábrán láthatóak.

a)

b)

c)

20.17. ábra: 3D-s, 2D-s síkalakváltozás és 2D-s tengelyszimmetrikus modellek 5%-os hibához tartozó minimális elemszámmal

Az egyes modellekhez tartozó elemszámok és csomópontok száma: Modelltípus Test 2D-s síkalakváltozási 2D-s tengelyszimmetrikus

Elemszám 32 36 6

Csomópontok száma 287 133 33

Ezek alapján azonos megállapítást tehetünk, mint az előző eredmények alapján: a legkisebb számítási igény mellett a legpontosabb eredményt a tengelyszimmetrikus modell alkalmazásával kapjuk. Bibliográfia [1]

M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, Mechanika Mérnököknek, Modellalkotás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2003.


www.tankonyvtar.hu

21.

SZÁMÍTÁSI EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE ÉS ALKALMAZÁSA A GÉPÉSZMÉRNÖKI TERVEZÉSI ÉS MINŐSÍTÉSI FELADATOK MEGOLDÁSÁBAN. VÉGESELEM SZÁMÍTÁSOK ÉS SZABVÁNYOS MÉRETEZÉSI ELJÁRÁSOK KAPCSOLATA.

21.1.

Végelem-módszer pontossága

Végeselem-módszerrel egy probléma közelítő megoldását tudjuk előállítani. A közelítés szükséges pontossága a szerkezet vagy test alkalmazási és gyártási körülményeitől függ és a számítások mennyiségét meghatározza. A gyakorlat szempontjából általában 5% hibahatáron belül elegendő pontosságú az eredmény, bizonyos esetekben ennél pontosabb megoldásra van szükségünk. Sok esetben a terheléseket sem ismerjük pontosan, ekkor a számítási módszertől függetlenül az eredményben ez a hiba megjelenik. Most azonban csak az adott peremfeltételek melletti számítási pontosságot vizsgáljuk. A számítás pontosságát könnyen meghatározhatnánk, ha ismernénk az egzakt megoldást, ez azonban néhány nagyon egyszerű esettől eltekintve nem állítható elő, így a hibát becsülnünk kell. Ha ismerjük a hiba nagyságát és nem felel meg az elvárásoknak, akkor az eredmény pontosságát javíthatjuk. Két fő módszer van az eredmény javítására. Az egyik a korábban is bemutatott módszer, az elem méretének csökkentése, ekkor h-típusú közelítésről beszélünk. A másik, a közelítő polinomok fokszámának növelése, ekkor p-típusú a közelítés. Az elemméret csökkentését és a polinomok fokszámának növelését kombinálhatjuk is (hp-típusú közelítés). Adott peremérték-probléma megoldásának a végeselem-módszerrel elérhető pontosságát legnagyobb részben a hálózáskor alkalmazott paraméterek (elem típusa, mérete) határozzák meg. Az eredmény pontosságának leírására az egzakt u és a végeselem-módszerrel meghatározott közelítő uVEM elmozdulásmező különbségét kell meghatározni. Felmerül a kérdés, hogy ha az egzakt megoldás ismeretlen, hogyan tudjuk az

e  u  uVEM

(21.1)

hibát meghatározni? A problémát úgy tudjuk megoldani, hogy a végeselemes modell N szabadságfoka és a hiba normája közti kapcsolatot vizsgáljuk. Az elmozdulásfüggvény energia normáját a következőképpen értelmezzük:

u  U.

(21.2)

Ahol U az alakváltozási energia: U

1  T  dV .  2V

Felhasználjuk a geometriai egyenletet:

www.tankonyvtar.hu


21. Számítási eredmények kiértékelése és alkalmazása

369

  u és az anyagegyenletet:

  C  C u . Ahol  : differenciálási utasítások mátrixa,

C : anyagállandók mátrixa. Ekkor az alakváltozási energia: U

1  T  dV  1  u T C u dV .  2V 2V

(21.3)

Az egzakt megoldás energia normája: 1

1 2 T u  U    u  C u dV  . 2V 

(21.4)

A hiba energia normája: 1

1 2 T e     e C e dV  . 2V 

 

(21.5)

Tudjuk, hogy a végeselem-módszerrel a kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőn (véges számú változóval definiált függvénysereg) keressük azt, amely mellett az energia minimumot vesz fel. Ezért teljesül: 

u  uVEM  min u  u ,

(21.6)

azaz: 

e  min u  u ,

(21.7)



ahol u és (21.7) szerint az e a felbontástól és az elemeken felvett közelítő függvények fokszámától függ és ennek megfelelő N számú ismeretlent tartalmaz. Attól függően, hogy az elemszámot, vagy a polinom fokszámát növeljük, különböző módon konvergál a véges-elemmódszerrel kapott eredmény az egzakt megoldáshoz.


www.tankonyvtar.hu

370

Végeselem-módszer

21.1.1. Hibabecslés h típusú közelítéskor A h típusú közelítésen azt értjük, amikor a felbontás során az elemek méretét csökkentjük, a közelítő függvények fokszámát nem változtatjuk. Vizsgáljuk meg, hogyan változik egy l hosszúságú rúd esetén a hiba normája az elemméret függvényében! Osszuk fel a rudat N számú, azonos hosszúságú elemre, ekkor egy elem hossza:

h

l . N

(21.8)

Az u (x) egzakt elmozdulásmező közelítő megoldása uVEM (x) szakaszonként lineáris függvény, amelyről tudjuk, hogy az interpolációs pontokban megegyezik az egzakt megoldással. u( jh)  uVEM ( jh) , j  0, 1,, N .

(21.9)

A közelítés hibája az i -edik elemen: ei ( x)  u( x)  uVEM ( x) , x  i  1h; ih , i  1, 2,, N .

(21.10)

Ha a megoldás folytonosan deriválható, akkor a hibafüggvény is folytonosan deriválható. A (21.9) alapján az elemek határain a hiba zérus, ebből és a folytonosságból következik, hogy az elemen belül a hibafüggvénynek lesz szélsőértéke. A hiba ei maximum helyét xi -vel jelöljük (21. ábra). Ebben a pontban  ei ( xi )  0 .

(21.11) ei’(xi)=0

ei(x)

x xi

x=(i-1)h

x=ih

21.1. ábra: Hibafüggvény az i -edik elemen

 uVEM (x) lineáris, ezért uVEM ( x)  0 , ekkor x

x

xi

xi

  ei ( x)   ei ( ) d   u ( ) d , www.tankonyvtar.hu

x  i  1h; ih .



371

Ha u   C , akkor

 ei ( x)  C , x  i  1h; ih , és

(21.12)

 max  ei ( x)   C  h , x  i  1h; ih .  

(21.13)

Fejtsük Taylor-sorba ei (x) függvényt xi pontban (a Lagrange-féle maradék tagot is felhasználva):

( x  xi )   ei ( x)  ei ( xi )  ( x  xi )ei ( xi )  ei ( ) . 2 2

(21.14)

Ha a hibafüggvény maximuma az elem második felében van,

ih  xi 

h . 2

(21.15)

Akkor:

(ih  xi )   ei (ih)  0  ei ( xi )  (ih  xi )ei ( xi )  ei ( ) ,   xi ; ih  . 2 2

helyettesítve (21.11) és (21.12)-t:

0  ei ( xi )  (ih  xi )  0 

(ih  xi )2  ei ( ) . 2

(21.16)

(21.16)-ból, felhasználva (21.12) és (21.15)-t:

(ih  xi ) 2  h2 max ei ( xi )  max ei ( )  C. 2 8

(21.17)

Ha a hibafüggvény maximuma az elem első felében van, akkor a Taylor-sort az x  i  1h helyen vizsgáljuk, ahol értéke szintén zérus, így ekkor is a (21.17) egyenlethez jutunk. A rúd alakváltozási energiája: l

U (u ) 





1 2 AE u dx , 2 0


(21.18)

www.tankonyvtar.hu

372

Végeselem-módszer

A hiba alakváltozási energiája: l

U (e) 





ih









1 1 n 1 2 2    AE e dx  AE ei  dx  nh AEC 2 h 2 ,    20 2 i 1 (i 1) h 2

figyelembe véve, hogy nh  l , és a konstansokat összevonva a hiba normája:

e  U (e)  k1Ch .

(21.19)

Ebben a kifejezésben a k1 ismert konstans, a C a VEM eredményének ismeretében kis hibával becsülhető, h az elemméret. Ennek megfelelően az eredmény hibája az elemmérettel arányos. Ha a feladat megoldása előtt akarunk hibabecslést végezni, akkor az ismeretlen konstansokat összevonjuk. Ekkor a hiba maximális értéke a C ismeretlen miatt nem számítható, de az eredmény konvergenciája látható lesz. (21.19) és (21.8)-ból:

e 

k . N

(21.20)

A gyakorlati példák esetében gyakran előfordul, hogy az elmozdulásfüggvény nem sima függvény. Ekkor a hiba normája és az elemszám közti összefüggés a következőképpen alakul:

e 

k , N

(21.21)

ahol  , a közelítő függvények p fokszámától és a megoldás  jellegétől függő konstans.

  min  p,   . 1 2

(21.22)

Szigorúbb feltétel, ha nemcsak a hiba normáját, hanem a hibát a teljes tartományon vizsgáljuk. Előfordul, hogy a hiba normája monoton konvergál, de a megoldás nem monoton, ezt csak úgy lehet kiszűrni, ha nemcsak a globális, hanem a lokális hibát is vizsgáljuk. A 21.2. ábrán látható lemez hajlításakor vizsgáljuk meg az energia és a megoldás konvergenciáját. Az 1mm vastagságú lemezt 1Nm nyomatékkal terheljük, mivel síkbeli terhelésű a lemez, síkfeszültségi problémaként modellezzük.

www.tankonyvtar.hu



373

0 R2

M

20

40

21.2. ábra: Hajlított lemez

A végeselem-modellt a h típusú konvergencia vizsgálatára használjuk, ezért az elemek méretét 1 és 5 milliméter között változtatjuk, miközben a közelítő függvények fokszámát változatlanul hagyjuk. Első- és másodfokú interpolációs függvény mellett is vizsgáljuk a konvergenciát.


www.tankonyvtar.hu

374

Végeselem-módszer

21.3. ábra: VEM háló és normál feszültség MPa-ban (1, 2, 3, 4, 5mm-es elemméret)

www.tankonyvtar.hu



375

A következő táblázatban összefoglaltuk a konvergencia vizsgálatához szükséges paramétereket és eredményeket. Átlagos elemméret [mm]

N szabadságfok

1 2 3 4 5

2052 591 306 180 135

Max. fesz. [MPa]

Min. fesz. [MPa]

Energia norma [ mJ ]

p  1 (elsőfokú közelítő függvény) 56,78 55,51 53,52 51,65 49,40

-72,24 -72,36 -67,80 -66,70 -60,27

0,770136 0,766342 0,760592 0,754844 0,745319

Ebben az esetben a modell szabadságfokának növekedésekor a számított feszültség és az energia normája is monoton konvergált (21.4. ábra). 60

0,775 0,77 0,765

56

0,76 0,755

54 0,75 52

0,745

Energia norma

Normál feszültség [MPa]

58

feszültség norma

0,74 50 0,735 48 0

500

1000

1500

2000

0,73 2500

N

21.4. ábra: Eredmény a kritikus pontban és a teljes tartományra számított norma

Ebben az esetben a hibabecslés a hibafüggvény normája alapján megállapítható és nem okoz lokálisan problémát.


www.tankonyvtar.hu

376

Végeselem-módszer

Vizsgáljuk meg, hogy másodfokú közelítő függvények esetében hogyan alakulnak a számított eredmények! A modellt ugyanazokkal a paraméterekkel (21.5. ábra) és elemméretekkel futtattuk le, mint az előző esetben.

21.5. ábra: Modell és peremfeltételek

21.6. ábra: VEM háló és normál feszültség MPa-ban (1, 2, 3, 4, 5mm-es elemméret)

www.tankonyvtar.hu



377

A másodfokú közelítéssel számított eredmények összefoglalva a következő táblázatban találhatóak. Átlagos elemméret [mm]

N szabadságfok

1 2 3 4 5

5946 1623 843 483 360

Max. fesz. [MPa]

Min. fesz. [MPa]

Energia norma [ mJ ]

p  2 (másodfokú közelítő függvény) 57,11 57,00 56,86 56,81 57,09

-74,27 -74,23 -72,05 -74,43 -68,93

0,771466 0,771440 0,771349 0,771136 0,770824

-75

0,7715

-74

0,7714

-73

0,7713

-72

0,7712

-71

0,7711

-70

0,771

-69

0,7709

-68 0

1000

-67

2000

3000

4000 N

5000

6000

Energia norma

Normál feszültség [MPa]

Megvizsgálva az eredményeket, megállapítható, hogy a szabadságfokok számának növelése ebben az esetben is konvergenciát jelent. Azonban míg a norma monoton konvergál, addig a kritikus pontban a feszültség értéke oszcillálva konvergál az egzakt megoldáshoz (21.7. ábra). Ebben az esetben, ha a feszültség konvergenciája alapján akarjuk eldönteni, hogy elegendően közel vagyunk-e a megoldáshoz, akkor a véletlenen múlik, hogy mekkora hibát követünk el.

feszültség norma

0,7708 7000 0,7707

21.7. ábra: Eredmény a kritikus pontban és a teljes tartományra számított norma

21.1.2. Hibaszámítás h típusú közelítéskor Egy közelítő megoldás várható hibáját előre nem tudjuk meghatározni a (21.19)-ben látható ismeretlen konstans miatt. Számítás után, a közelítő megoldás ismeretében annak valódi hibáját is meg tudjuk határozni.


www.tankonyvtar.hu

378

Végeselem-módszer

(21.21) alapján: e  kN   , és

e  u  uVEM , 2

2

2

(21.23)

akkor:

u  uVEM 2

 k 2 N 2

2

(21.24)

k értékét nem ismerjük, de ugyanazon probléma két különböző elemméret melletti közelítő megoldásából számítható a valódi hiba. Legyen az első közelítéskor az ismeretlenek száma N1 , a közelítő megoldás uVEM 1 , a második közelítéskor N 2 és uVEM 2 . (21.24) alapján mindkét közelítésre igaz: 2

u  uVEM 1  k 2 N1 2

2

u  uVEM 2  k 2 N 2 2

2

,

2

(21.25) .

(21.26)

Fejezzük ki (21.25)-ből az egzakt megoldáshoz tartozó energiát egyenlőség esetén: 2

u  uVEM 1  k 2 N1 2

2

,

(21.27)

(21.26)-ból pedig a k 2 értékét:

u  uVEM 2 2

k  2

N2

2

2

.

(21.28)

(21.28)-at (21.27)-be helyettesítve és rendezve:

u 

 N2     N1 

uVEM 1  uVEM 2

2

N  1   2   N1 

2

2

2

2

.

(21.29)

Az egzakt energia ismeretében (21.23)-ból számítható a valódi hiba. Ez a fajta hibabecslést posteriori, azaz számítás utáni hibabecslésnek nevezzük. Vizsgáljuk meg (21.29) összefüggés szerint számított egzakt megoldást a 21.2. ábrán bemutatott probléma esetében. www.tankonyvtar.hu



379

2

u értékének meghatározásakor az egymás utáni közelítő megoldásokat vesszük figyelembe:

uVEMi

2

u 

 uVEM (i 1)

2

2

N  1   (i 1)   Ni 

 N (i 1)    N  i 

2

(21.30)

2

A vizsgálatot először elsőfokú közelítő függvények esetében végezzük el,   0,5 esetben. A VEM közelítés és a (21.30) szerint számított egzakt megoldás az alábbi táblázatban látható: i

Átlagos elemméret [mm]

N szabadságfok

1 2 3 4 5 6

0,5 1 2 3 4 5

7788 2052 591 306 180 135

uVEMi [mJ]

2

2

u [mJ]

0,59464 0,59311 0,58728 0,57850 0,56979 0,55550

0,595187 0,595468 0,596707 0,590943 0,612660

0,62 0,61

U [mJ]

0,6 0,59

Uvem U

0,58 0,57 0,56 0,55 0

500

1000

1500

2000

2500

N

21.8. ábra: Közelítő energia és számított egzakt energia az ismeretlenek függvényében, lineáris közelítés   0,5

A 21.8. ábrán láthatóak a számított eredmények, amiből látható, hogy az egzakt értéket a (21.29)-el kis hibával tudjuk számítani. A számított érték durva felbontásnál nem pontos, és nagy ingadozást mutat, de hamar beáll a konstans egzakt megoldás, ami az elemszám növekedésével már kis szórással nem változik.


www.tankonyvtar.hu

380

Végeselem-módszer

A VEM közelítés és a (21.30) szerint számított egzakt megoldás az alábbi táblázatban látható, másodfokú közelítő függvények esetében,   1 mellett. i

Átlagos elemméret [mm]

N szabadságfok

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

5946 1623 843 483 360

uVEMi [mJ]

2

2

u [mJ]

0,59516 0,59512 0,59498 0,59465 0,59417

0,595163 0,595172 0,595141 0,595250

0,5954 0,5952

U [mJ]

0,595 0,5948

Uvem U

0,5946 0,5944 0,5942 0,594 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

N

21.9. ábra: Közelítő energia és számított egzakt energia az ismeretlenek függvényében, másodfokú közelítés   1

A 21.9. ábrán látható, hogy a számított egzakt energia értéke hamarabb és kisebb hibával beáll a konstans értékre másodfokú közelítés esetében. Összehasonlítva az eredményeket megállapítható, hogy az egzakt megoldás két közelítő megoldásból kis hibával számítható mindkét fokszámú függvények esetében. 21.1.3. p típusú közelítés A megoldás konvergenciája legnagyobb mértékben a hálózáson múlik, ahogyan korábban tárgyaltuk. A hálózás elemméret csökkentése az előzőekben bemutatott módon befolyásolja az eredmény pontosságát. Ha az elemméretet nem változtatjuk, hanem az interpolációs függvények fokszámát növeljük, akkor p típusú közelítésről beszélünk. Ennek a közelítésnek a konvergenciája exponenciális:

u  uVEM 

k , exp(N  )

ahol, k ,  ,  pozitív konstansok.

www.tankonyvtar.hu



381

A p típusú közelítés sokkal gyorsabb konvergenciát mutat, mint a h típusú. A két típust kombinálva hp típusú közelítéssel lehet a leggyorsabb konvergenciát elérni, amikor az elemszámot és a közelítő függvények fokszámát is növeljük. 21.1.4. Konvergencia szinguláris helyeken A szinguláris pontok környezetében nem alkalmazható az előzőekben bemutatott hibabecslési módszer, mert (21.14)-et csak analitikus függvények esetében írhatjuk fel. A felosztás szempontjából három kategóriába szokás sorolni a problémákat: 1. kategória: u minden elemen és azok peremén analitikus, így sorba fejthető, 2. kategória: az elemeken belül analitikus, kivéve a perem néhány pontját, 3. kategória: a szinguláris pont az elemen belül bárhol lehet. Az egyes 2D-s esetekre vonatkozó hibabecsléseket az alábbi táblázat [Páczelt 1999.] foglalja össze: h típusú közelítés

1. kategória e  kN  p

2. kategória e  kN  

3. kategória e  kN  

p típusú közelítés

e  k exp( N  )

e  kN 

e  kN 0,5

hp típusú közelítés

e  k exp( N  )

21.1.5. Modellezési hibák A 21.1. fejezetben bemutatott hibabecslés és pontosságnövelés a végeselem-módszer, mint numerikus módszer hibájának meghatározására és ezen belül adott pontosság elérésére alkalmas. A modellezés hibája azonban ennél több, mert a mechanikai modell létrehozásakor elkövetett hiba az eredményben is jelen van, a megoldási módszertől függetlenül. 21.2.

Számított eredmények kiértékelése

21.2.1. Folyáshatárnál magasabb feszültségek Lineárisan rugalmas anyagmodellel nem tudjuk a folyáshatárnál magasabb feszültségeket modellezni, ahhoz képlékeny anyagmodell szükséges. Feszültségcsúcsra méretezve a folyáshatárnál magasabb feszültségek kialakulását általában igyekszünk elkerülni. Nem minden esetben sikerül ezt maradéktalanul megoldani. Ilyen eset akkor fordulhat elő, ha például érintkezési feszültségről van szó. Ekkor csak a felület közvetlen közelében alakul ki a kritikusnál magasabb feszültség, és a képlékeny alakváltozás csak a felület deformációját okozza, a szerkezet tönkremenetelét nem. Ha képlékeny anyagmodellt alkalmazunk, akkor ennek mértéke is meghatározható. Ismerve az üzemeltetés körülményeit eldönthetjük, hogy megengedhető-e. Nagy bonyolultságú modellek esetében, amikor a lineáris modell futtatása is nehézkes, sok számítást igényel, a nemlineáris probléma nem oldható meg adott keretek közt. Ekkor a modell valamelyik részének egyszerűsítését kell elvégeznünk, és megítélni, hogy így pontosabb eredményt kapunk-e. A folyáshatár átlépése bizonyos szerkezetek esetében a beüzemelés része. Néhány gyártó a gyártás leegyszerűsítése érdekében tartályok fűtőköpenyét egyszerű hengeres kialakításúra gyártja. A próba során az üzemi nyomás többszörösével terhelik, amely megfolyik és felveszi © Oldal István, SZIE

www.tankonyvtar.hu

382

Végeselem-módszer

az ideális alakot, amely üzemi nyomással terhelve biztonsággal a megengedett feszültség alatt marad. Ebben az esetben a lineáris modell alkalmatlan még közelítő eredmény meghatározására is. 21.2.2. Szinguláris helyek A geometriai szingularitásokat általában a geometriai modellezéskor hozzuk létre. A valóságos testeken nincs zérus sugarú él vagy sarok. Azonban sokszor van olyan kis (és ismeretlen) sugarú él vagy sarok, amit nem tudunk vagy nem érdemes pontos geometriával leírni. Ilyen esetekben nem modellezzük a lekerekítést, ezt a megoldáskor figyelembe kell vennünk. Éleknél, ha nem érintkezik másik testtel, nem okoz problémát, de sarkoknál problémát okoz, amit kezelnünk kell. A peremfeltételek, főleg a kinematikai peremfeltételek esetén a tartomány határán létrejövő szingularitás ideális kényszerek esetében sűrűn előforduló probléma. Egy elmozdulás adott felületen történő definiálásakor a felület szélén átmenet nélkül szűnik meg az adott elmozdulás kényszer. Akkor alakul ki szinguláris hely, ha a kényszer nem a test felületének határáig tart. Ekkor a test modellje úgy viselkedik, mintha egy végtelenül merev és éles testtel érintkezne. Ezt a típusú szingularitást el lehet kerülni, ha a kényszer helyett az eredeti rugalmas testet alkalmazzuk. Ebben az esetben a számítási igény jelentősen megnövekszik, érintkezési problémával bővül a modell. Ha a valóságos súrlódásos kapcsolatot akarjuk modellezni, akkor a kis elmozdulások elmélete sem alkalmazható. Ezen problémák miatt sok esetben kénytelenek vagyunk az egyszerűbb modellt választani és a szingularitást figyelembe venni. Azok a szinguláris helyek nem okoznak problémát, ahol kicsik a feszültségek, mert csökkentik a számítási igényt és a nagyobb relatív hiba is általában elfogadható. A problémát a terhelés szempontjából kritikus helyek okozzák, mert ezekre méretezzük a szerkezetet, így a hiba abszolút értékben is nagy lesz. A megoldás nem konvergál a közelükben, az egyre pontosabb végeselem-modell alkalmazásakor egyre nagyobb feszültséget és alakváltozást kapunk. 21.2.3. Szabványos eljárások és a VEM A szabványok elsősorban a peremfeltételek meghatározásában adnak útmutatást. Az egyes területeken alkalmazandó terhelések, biztonsági tényezők, anyagjellemzők szabványos értékeit inkább a klasszikus analitikus módszerekre kísérleti vagy gyakorlati tapasztalati úton határozták meg. A terhelések szabványos értékei feltételezik, hogy nem állnak rendelkezésre pontos számítási módszerek. Tipikus példa erre a szabványos szélterhelés. A szélterhelés meghatározásakor elő van írva adott szélsebesség alkalmazása. Erre a VEM esetében is szükség van. Azonban az is elő van írva, hogy hengeres, lapos, rácsos, rézsűs szerkezetek esetében milyen konkrét nyomáseloszlásokkal kell számolni. Ezeket az előírt értékeket mérésekkel és analitikus módszerekkel állapították meg, természetesen nem a függvények, hanem azok egyszerűsített táblázatos vagy grafikus értékei szerepelnek előírt terhelésekként. Alkalmazásukkor a megállapított növelő tényezők ezt a hibát és a valós méretezett szerkezet és a szabványos alakzatok közti eltéréseket is tartalmaznia kell, hogy biztonságos legyen az eljárás. Ha a terhelések meghatározásakor áramlástani végeselem-módszert alkalmazunk, akkor a szabványos értéknél pontosabb eredményt kapunk. Ekkor az előírt növelő tényezők alkalmazásával a biztonság a szabvány megalkotásakor kitűzött értéknél nagyobb lesz. Ilyen esetben önkényesen nem www.tankonyvtar.hu



383

csökkenthetjük a biztonsági tényezőt. Ha a szabvány a VEM igényeit is figyelembe venné, akkor a szélterhelés esetében a szélsebesség és légsűrűség értékein kívül egy alkalmazható turbulencia modellt és hozzá tartozó növelő tényezőt is előírna. Általánosságban megállapítható, hogy a szabványosítás még nem elégíti ki a végeselemmódszer gyakorlati alkalmazása során felmerülő speciális igényeket a modellezés során. A szerkezet és a peremfeltételek modellezését a mérnöknek saját tapasztalataira alapozva kell elvégeznie. Ez a VEM alkalmazások során felmerülő problémák döntő többségének forrása. Bibliográfia [1] [2]

Páczelt István, Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1999. Szabó B., Babuska I., Finite element Analysis, John Wiley & Sons Inc., New York, 1991.


www.tankonyvtar.hu

A projekt keretében elkészült tananyagok:

Recommend Documents