A pénzügyi számítások alapjai I.
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Pénzügyi Tanszék
Galbács Péter doktorandusz
Szakirodalom ¾ VIGVÁRI András [2004]: Pénzügy(rendszer)tan. Budapest: KJK-KERSZÖV. ¾ BREALEY, Richard A. – MYERS, Stewart C. [2005]: Modern vállalati pénzügyek. Budapest: PANEM. A szemináriumok tematikájához kapcsolódóan: 15–66. old.
¾ BOZSIK Sándor [2000]: Pénzügyi számítások I. Miskolc: Bíbor Kiadó.
Az előadás témakörei ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
A pénz időértékének elve – a jelenérték fogalma A tőke alternatívaköltsége A nettó jelenérték (NPV) fogalma Az pénzáramlások jelentősége és értékelése Örökjáradék és annuitás A kamatfizetés gyakoriságának hatása
1
A pénz időértékének elve – a jelenérték fogalma Példa Egy vállalkozó 350 millió forint befektetést fontolgatja. A vásárolt értékpapírok értéke 340 millió forintot tesz ki, s ehhez járul még a 10 millió forintos közvetítői díj. A vállalkozó elképzelései szerint egy év múlva az értékpapírcsomagot értékesíteni fogja. Egy megbízható tanácsadó szerint az értékpapírok értéke az említett időpontban 400 millió forint körül alakul majd. Kérdés Érdemes-e a befektetés mellett dönteni?
A pénz időértékének elve – a jelenérték fogalma Probléma Különböző időpontban esedékes pénzösszegek összehasonlítása. Megoldás A közös nevező a jelenérték: megmutatja, hogy egy későbbi időpontban esedékes pénzösszeg mekkora értéket képvisel a jelenben. A pénz időértékének elve A pénzügytan első alapelve szerint egységnyi pénz ma többet ér, mint egységnyi, de holnap esedékes pénz.
A pénz időértékének elve – a jelenérték fogalma A kérdés átértelmezése Vajon a befektetéshez (azonnal) szükséges 350, vagy az értékesítés során (ám csak egy év múlva) realizálható 400 millió forint ér számunkra többet? Technikai segédlet A jelenérték képzéséhez szükséges eszköz a diszkonttényező (diszkonfaktor):
Diszkonttényező = (DF1 ) =
1 1+ r
PV = DF1 × C1
2
A pénz időértékének elve – a jelenérték fogalma A jelölések feloldása r a tőke alternatívaköltsége, diszkontráta; C1 az első időszaki, vagyis egy év múlva esedékes bevétel; PV Present Value: jelenérték. Megmutatja, hogy egy későbbi időpontban esedékes pénzösszeg mekkora értéket képvisel a jelenben.
A pénz időértékének elve – a jelenérték fogalma Válasz Ha feltételezzük, hogy a 400 millió forint realizálása biztosra vehető, a jelenérték képzését a hasonló (vagyis éves) futamidejű állampapírok hozamrátájával (7%) végezhetjük el. A 400 millió forint jelenértéke ekkor:
PV = C1 × DF1 = 400 ×
1 = 373,8318 1 + 0,07
A befektetés értéke számunkra tehát 373, 8318 millió forint.
A pénz időértékének elve – a jelenérték fogalma A válasz értelmezése Az eredeti és az alternatív befektetési lehetőség közötti különbségtétel (összehasonlítás): az állampapírba történő befektetés tőkeigénye magasabb.
A tőke alternatívaköltsége
3
A tőke alternatívaköltsége Szinonimák ~ diszkontráta ~ haszonáldozat ~ a tőke alternatívaköltsége Értelmezés Ezt a hozamot áldozzuk fel azzal, hogy a kérdéses befektetés mellett döntünk ahelyett, hogy állampapírok vásárlására fordítanánk a rendelkezésre álló tőkénket.
A tőke alternatívaköltsége Megjegyzések a kockázatról Egy befektetés értéke alacsonyabb, ha a bevétel realizálása bizonytalan. A pénzügytan második alapelve szerint egy jövőbeli biztos pénzegység többet ér, mint egy bizonytalan. A tétel értelmezése ¾ A diszkontráta mértéke függ a kockázattól; ¾ A kockázat elsődlegessége és értékelése;
A tőke alternatívaköltsége A befektetés helyes értékelése Minden esetben az azonos kockázatú befektetési lehetőségek hozamából kell kiindulni. Ha egy értékpapírjainkkal azonos kockázatú befektetési lehetőség hozama 12%, akkor a befektetés helyes értékelése: PV =
400 = 357,1428 1,12
NPV = PV − C0 = 357,1428 − 350 = 7,1428
4
A tőke alternatívaköltsége Példa ¾ Egy kötvényvásárlás befektetési igénye 100 millió forint (C0=100). Ha a befektetés mellett döntünk, a gazdasági év végén realizált bevétel 110 millió forint lesz (C1=110). Befektetési lehetőségünk hozama így 10%; ¾ Egy hasonló kockázatú részvény egy év múlva esedékes (várható) árfolyama 1100 forint; a részvényt jelenleg 956,5 forintos árfolyamon tudjuk megvásárolni; ¾ A részvénybefektetés várható hozama a várható nyereség és a befektetés hányadosa: E (r ) =
1100 − 956,5 ≈ 15% 956,5
A tőke alternatívaköltsége Megoldás A részvénybefektetés hozama a tőke alternatívaköltsége, hiszen a kötvény megvásárlásakor erről mondunk le. Értékelés A befektetés helyes értéke: PV =
110 = 95,6522 1 + 0,15
NPV = 95,6522 − 100 = −4,3478
A nettó jelenérték (NPV) fogalma Különbségtétel egy befektetés értéke ↔ egy befektetésből származó nyereség
Nettó jelenérték: a jelenértéket korrigáljuk a ráfordításokkal. Kérdés, hogy a befektetés értéknövelő hatású-e. NPV = PV − C0 = 373,8318 − 350 = 23,8318
Általánosított képlet: NPV = −C0 +
C1 1+ r
5
A pénzáramlások értékelése A jelenérték előnye: a különböző időszakban esedékes pénzáramlások jelenértékei összeadhatók. Összesen n időszaki pénzáram jelenértéke: PV =
C1 C2 Cn + + ... + 1 + r1 (1 + r2 )2 (1 + rn )n
Általánosítva – a DCF-formula: n
PV = ∑ t =1
Ct
n
NPV = −C0 + PV = −C0 + ∑
(1 + rt )t
t =1
Ct
(1 + rt )t
Az örökjáradék értékelése Az (állandó tagú) örökjáradék értékelése: PV =
C C C + + + ... 1 + r (1 + r )2 (1 + r )3
Ha a=C/(1+r) és x=1/(1+r), akkor felírható az, hogy: PV=a+ax+ax2+ax3+… Igazolható, hogy állandó tagú örökjáradék jelenértéke:
PV =
C r
Az örökjáradék értékelése (Növekvő tagú) örökjáradék értékelése: C1 C2 C3 C C × (1 + g ) C1 × (1 + g ) + + + ... = 1 + 1 + + ... 1 + r (1 + r )2 (1 + r )3 1+ r (1 + r )2 (1 + r )3 2
PV =
Az előbbihez hasonló módszerrel igazolható, hogy a növekvő tagú örökjáradék jelenértéke: PV =
C1 r −g
6
Annuitások értékelése Az annuitás fogalma Meghatározott időponttól kezdődően, adott számú éven (időszakon) keresztül esedékes, állandó tagú járadék. PV = C ×
(1 + r )n − 1 n r × (1 + r )
Feltételezés: az első kifizetés egy időszak múlva történik, vagyis a jelenértéket egy időszakkal az első járadéktag elé határozzuk meg.
A kamatfizetés gyakoriságának hatása Példa Egy bank 6%-os éves névleges kamatláb mellett autóvásárlási kölcsönt nyújt havi kamatfizetéssel. A hitelszerződésben szereplő névleges kamat vajon mekkora tényleges (effektív) kamatlábnak felel meg? Megoldás A bank a kamatos kamatszámítás elvét alkalmazza: m
12
i ⎞ ⎛ ⎛ 0,06 ⎞ r = ⎜ 1 + ⎟ − 1 = ⎜1 + ⎟ − 1 ≈ 6,17% 12 ⎠ ⎝ m⎠ ⎝
r = éves effektív kamatláb; i = éves névleges kamatláb.
A kamatfizetés gyakoriságának hatása Példa Hogyan alakul az effektív kamatláb nagysága 20%-os éves névleges kamatláb mellett, ha növeljük a kamatjóváírás gyakoriságát? Megoldás kamatjóváírások száma évente (m)
időszaki névleges kamatláb (i/m)
effektív kamatláb (r)
1
20%
1,21-1=20%
2
10%
1,12-1=21%
4
5%
1,054-1=21,55%
7
A kamatfizetés gyakoriságának hatása A folytonos kamatozás problematikája Mekkora lesz az (éves) effektív hozam, ha folyamatosan, vagyis minden egymást követő időpillanatban jóváírjuk az esedékes kamatokat? Igazolható, hogy: m
i ⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = e i = (1 + r ) ⎝ m⎠
m →∞
Vagyis 20%-os éves névleges kamatláb folyamatos jóváírása e0,2=1,2214≈22,14%-os éves effektív hozamnak felel meg.
A kamatfizetés gyakoriságának hatása Ha i=20%, és m→∞, az effektív kamatláb grafikus alakulása: A kamatjóváírás gyakoriságának hatása a tényleges kamatlábra
Effektív kamatláb
22,0%
21,5%
21,0%
20,5%
20,0% 1
11
21
31 41
51
61
71
81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201 211 221 231 241
A kamatjóváírások száma évente
A kamatfizetés gyakoriságának hatása – a kamaterő Példa Tegyük fel, hogy éves kamatfizetés esetén a kamatláb 18,5%. Ha a pénzintézet folytonos kamatjóváírást végezne, a 18,5%-os névleges kamatlábnak vajon mekkora (folytonos) kamatláb felelne meg? Megoldás m i ⎞ ⎛ i lim ⎜1 + ⎟ = e = 1,185 m→∞ ⎝ m⎠ i = ln1,185 ≈ 17%
Az így megfeleltetett folytonos kamatláb a kamaterő.
8
