TMPLEMENTASI PtrRSAMAAN DIOPHANTIN DALAM DESAIN SISTEM KENDALI
Oleh: Ibrahim Narvawi Dosen Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Tidar Magelang ABSTRACT Tec'hno|ogicaI grotrth of contrctl|er rhese du.t's ven'quick\.t,. 7'his
ilratler Iis] ulso tt'igget'ed h.t' dcmand rf cortrcllt,r requirenrt'ttt v'ill ou'ning ltighcr lcval urluk.lo6, ..1.r rr.s u result, let'lrniclue a n tl c'o nt ro I / e r a lgct r i t h m im p lov c : re p a i re d a d tl cv e I o p e d v' i t lt u
u,t rve lo [so that/ to be.f operalion process c'()mc ncur tlte uniuk v'ork Ilte conlroller expert. .1rt ctpltroach 1o desigtt the control .s.t'slan v itlt the upprouc'h,tl
polt'tlornial ctlua!ion. This is un opprooch ultcrnalit'a to ttc:;istt tltrough tcchniqua of'lluttern locutiott b.l nittinti:ing ordt,r of c'ircunrstance ohst'tter ( orclcr r1/ stale of ninintunt oh.server). this pol.t'nontial Equatictn approaclt solved v,ith the ecluutitttt Diophantin, y'hal aim lo !o delermitte the coe-fficient polvnontittl in; area which can be used.lbr conrpilation reali:e the syslsly in ph1:5isql, This opproach gitte llrc solution nathetnulicolly in designing certain t1,pe quickl1,. Solving of'Diophantin equution use the algorithnt of Euclidean and mutrix Silvester.
Key Word : Diophantin Equalion, Ct'tntroller, A
lgor it hm,
m
Euclidean
atr Lr Silvest er
A.
PENDAHULUAN Keberadaan pengendali dalam suatu sistem kendali mempunyai kontribusi yang besar terhadap perilaku sistem. Pada prinsipnya hal itu disebabkan oleh tidak dapat diubahnya 96
lbl.
30 No. 2, I 5 Septemher 2008
: 96-l
I4
komponen pen)/usun sistem tersebut. Ini mengandung arti bahrva karakleristik plant harus diterima sebagaimana adany4 sehingga perubahan perilaku sistem hanya dapat dilakukan rnelalui penambahan suatu sub sistem, yaitu pengendali. Salah satu tugas komponen pengendali adalah rnereduksi isyarat kesalahan, yaitu perbedaan antara isyarat setting dan isyarat aktual. Hal ini sesuai dengan tujuan sistem kendali yaitu mendapatkan isyarat aktual yang senantiasa diinginkan sama dengan isyaiat ,setting. Semakin cepat reaksi sistem mengikuti isyarat aktual dan semakin kecil kesalahan e yang terjadi, maka semakin baiklah kinerja sistem kendali yang diterapkan. Apabila perbedaan antara nilai setting dengan nilai keluaran relatif besar, maka pengendali yang baik sehamsnva mampu mengamati perbedaan ini untuk segera menghasilkan isyarat keluaran Y untuk mempengaruhi plant sampai diperoleh selisih antara setting dengan besaran yang diatur sekecil inungkin fRusli, 1997).
Gambar 1. Sistem kendali dengan umpan balik Mendisain sistem pengendali biasanya dilakukan dengan teknik penempatan pole Qtole placement). Dalam kasus s/afe dengan variable yang banyak, sehingga tidak dapat secara langsung dilakukan pengukuran, maka diperlukan suatu pengamatan states untuk tujuan umpan balik. Desain secara
97
I nqtl e mentas i Pe rsunu a n Diop h a nti n D ala m D es ai n .,.... ( I hruh i m
I, tw
aw i)
keseluruhan dapat dilakukan dengan teknik state space. suatu pendekatan yang lain untuk mendisain sistem kendali yang serupa adalah dengan pendekatan persamaan polinomial. Ini adalah suatu alternatif pendekatan untuk mendisain melalui teknik penempatan pole dengan memininrumkan orde pengamat keadaan (orde state minimum ob.server). pendekatan persamaan polinomial ini dipeoahkan dengan menggunakan persamaan Diophantin yang bertujuan untuk menentukan
polinomial dalam kawasan s yang dapat digunakan untuk keperluan penyusrnan realisasi sistem secara fisik. pendekatan ini nremberikan solusi secara matematis dalam mendisain tipetipe tertentLl secara cepat.
B.
PEMBAHASAN
l.
Persamaan Diophantin Pe'sarnaan Diophantin adalah suat, persamaan poIino'iiar dalarn variabel bebas dengan koefisien berupa bilangan rasional atar"r bilangan bulat (intcger). Jurnlah persamaan daram persamaan Diophantin lebih sedikit dibandingkan dengan .iumlah variabel peubah 1,ang tak diketahui dan melibatkan pencarian bilangan bulat yang bekerja dengan tepat untuk semua persamaan.
Kata Diophantin sendiri diambil dari ahli rnatematik Hellenistic dari abad ke 3 yhng bernama DiophantusAlexandria. Dia adalah orang yang pertamakali membuat studi persamaan seperti itu dan juga memperkenalkan simbolisme ke dalam aljabar. .Ada bermacam-macam bentuk persamaan Diophanti n seperti Pythagorean triples, Fermat, Pell's, dan Linier. Untuk persamaan Diophantin linier sendiri dibagi menjadi dua yaitu
98
Ibl. 30 .\'tt. 2, l5 Septemher 2008 : 96-l l1
polinomial linier dan monomial linier. Anggap suatu sistem pengatur (regulator) ditunjukkan
pada
Gambar 2. berikut ini:
Garnbar 2. Blok diagrarn sistem pengatllr
Misalnya diambil fungsi alih sebagai berikur:
Y(z) B(z) = U(z) A(z)
dengan
A(z) : B(.2):
*
(1)
alzn-t + ...
.....,.* an_,z* an b., * b,zn-' + .........,+ bn-,z* b,, zn
: isyarat keluaran U(z) : isyarat masukan Y(z)
dengan asumsi bahwa fungsi alih ini sepenuhnya clalam keadaan
keterkendalian (c ont ro I I ab I e) dan keteram atan (o b s e rv a b I e), tidak ada penghapus anpole-zero atau dengan kata lainl(z) dan B(z) tidak mempunyai factor-faktor bersama (c o m m o n fac t o r s). Ketika polinomial A(z) dan B(z) tidakada penghapusan. maka polinomial ini disebut coprime polynomial, Suatu polinomial
I nqlementasi
dalam kawasan
Personnan Diophantin Dalam Dauin ..'." (l hruhint'\awawi)
z disebut monic jika koefisien persamaan
berderajat paling tinggi sama dengan satu.
Selanjutnya didefinisikan stabilitas suatu derajat polinomial D(z) ke (2n-l) sebagai berikut : . D(z) :doz in'r + drz2n-t+ ..........+d zn-:Z* d :n-r Q) Maka disini ada derajat polinomial ke (n-1) yang uniq o(z) dan p(z) sePerti berikut : cr(z)
A(z) + 9(z) B(z) =
dengan a(z):
{Lnzn't
=
[1,,2'"'t
F(z-)
+
D(z)
tlrz"-)
+
+ [),2"-2 +
(3)
'.f .'.* '
Gn,rZ
..- tln-i
0,,-,2-t- F,,,,
Persamaan (3) disebut persalllaan Diophantine' dengan A(z) dan B(z) polinomial yang telah diketahui sedang a(z) dan F(z)
polynomial -vang tidak diketahui. .lika diasumsikan R(.2) :0. maka tungsi alih dari Gambar diperoleh sebagai berikr,rt
2
:
Y(z)
R(z) 2.
u(z)B(z) a(z)A(z)+ P(z)B(z)
(1)
Solusi Persamaan DioPhantin
Persamaan Diopha'ntine akan mempunyai solusi jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar (6reatest cotnmon divisor(gcd)) dari A(z) dan B(z\ dapat membagi D(z), dalam bentuk matematika dapat dituliskan sebagai berikut:
gcd(A,B)l D
(s)
100
lbl.30 No. 2, I5 Septemher 2008 : 96-il4
lI'tuk
menemukan gcd dari dua polinornial dapat dilakukan dengan algoritma Euclidean.
2.1. Algoritma Euclidean Penentuan gcd dan lcm (least conlmon wrltiple)dari dua . polynornial dapat diselesaikan dengan algoritrna Euclidean. Dari persamaan (3) dapat ditentukan suatu polynomial g (greatest) dan dua polynornial y.ang coprinte yaitu (u(z),q(z)) dan (p(z),2(z)) yang dapat dipenuhi dengan persamaan berikut:
ap+Bq=g
a +b -0
(6)
Algoritma Euclidean berturut-turut dapat dituliskarr berikut
:
. .
sebagai
F(z): fA(z) B(.2)l definisikan matriks polynomial V(z) diinisialisasi dengan matriks identitas I. buat matriks
distrukturkan sebagai berikut
yang yang
:
nr'> '@f lqG) z(z)
v(s\ =l
I
Secara ditail algoritma Euclidean dapat dituliskan sebagai berikut : Langkah (1) : inisialisasi
V: I 101
I mp I e me
Langkah
(2)
ntasi
P e rsamaan Diop
honti n
D ala m Des
ain ...,.. ( I h ruh i m N ow aw i)
:
pilih derajat terkecil dari polynomial dalam matriks E jika salah satu pohtnomiql sama dengan nol kembali ke langkah (6) Langkah (3)
'
ambil suatu konstanta I yang merupakan rasio dari koe{isien polynomial yang dipilih terlebih dulu dan koefisien dera.iat terbesar polynomial 'yang lain,dan ambil suatu konstanta k vaihr perbeclaun clerajat dari duo polvnontial.
[,ungkuh (1)
Langkah
(-;)
Kurungkun hasil duri ),r{'dari polynomial dera.iat terkecil dari polynomial derajat terbesar"dan lakukan dengan operasi yang sarna untuk kolorn pada matriks V :
Kenibali ke langkah (2) Langkah
16)
:
Jika F, menjadi polinornial nol. maka tukarkan diantara matriks F dan matriks V. Langkah
(7)
:
Selesai
2,2. Matriks Silvester Persamaan diophantine tersebut dapat digunakan untuk menentukan a(z) dan B(z) dengan memanfaatkan model matrik Silvester S dengan ukuran 2n x 2n yang telah didefinisikan dalam koefisien polinomial coprime o(s) dan B(z) sebagai berikut :
102
lbl. J0 No. 2, I5 Septemher 2008 : 96114
0 ... o b, 0 ... lr^ aa 0 b"_, b"
0
0
0
lo*, on4 l: S=l
: b,-t
b, : ... lo,I ati ... ari bo bt I0
I...
o I L0
0 ... at 0 ... 1
I
d,_r 0 Do ... 0 0
0 o ...
o
:
b,
b.u
t7)
bl ba
Untuk menggunakan persamaan (7) maka polinomial A(z) hatus monib. .Tika 4" maka matriks S tersebut meniadi sebagai berikr_rt
n:
d" cl3
a2
ar
s=
I 0 0
0
0 0 obo 0 0 a4004b400 a3a40br4b40 a2a3a44b24b4 ate2a3bo4b2b3 la,,a20brbtb2 0lat00bobl 001000b0
:
0
(8)
Matrik Svlvester S dikatakan matriks non-singular jika dan hanya jika A(z) dan B(2) coprime artinya tidak mempunyai faktor bersama (c o mmo n fac t or) ataunilai determinannya tidak sama dengan nol. Kenyataan ini dapat dilihat pada matriks S ukuran 8 x 8 pada persamaan (8.), determinan lSlmenjadi seperti berikut
:
103
Inqlemenlu,ti Persurnaan Diopltuntin Dalam Desain...... (lhrahim ,\qt{awi)
lrsl
:
a4000b0000 a3a400brb400 Q2a3a40br4b40 ata2a3a44b24b4 Iar&2a3bobtb2b3 0lara20bobrb, 0 0 I at 0 0 bobt 0001000b0
l)0r(i"r ()",
-i,,xtrr
-i",,xtr1 -)r,)(),,r
-i8)
- trrx)"2 - )',,X1. - )",X),- - i'8)
(i. - l.X)"., - i',X),., - i,,Xl. - )"") (7,", - i,x)", - ),nxi.., - 7,"x)" - i"")
(9)
dcngan e,........e+ dan b,.......,b., adalal-r koefisien dari A'1z) dan B(z) sedangkan berturut-turlrt. ),r,.......).r dan )"........ "1", adalah akar-akar karakteristik dari A(z) dan B(z),berturut-turut :
A(z)
:24 + orrt
:
!
e,22 + e.z
*
ao
(z - L,)(z - Lr)(z - l,,Xz -
tro)
B(z) :.bol + bFl + bzi + b.z-t bq = bo(z - )"r)(z - ),)(z - ),,)(z - Lr)
104
( 10)
(1 1)
Lbl. 30 No. 2, I 5 Septemher 200t
:
96- I t 4
(ll) nilai determinan lSl tidak sama dengan noljika dan hanya jika perkalian semua faktor dari sisi kanan persamaan tidak sama dengan nol, itu semua akan terjadi jika dan hanyajika tidak ada penghapusan antara A(z) dan B(z). dari persamaan
Sekarang kita definisikan vektor-vektor M sebagai berikut :
D
dan vector-vektor
d"ln-t d ro-,
D_
(12)
;, I
4ct
ar_z i
cto
M:
(13) 0"_,
F,-, Fo
00,
0r '
M:
S-l D
yaka koefisien
o,,-,
dun
Fu.
g, F"-, dapat ditentukan
dengan
Persamaan Diophantin.
(14)
(14)
memberikan solusi
105
untuk
persamaan
Implementar;i Persamaan Diophantin Dalam Desain ...... (lhrahim ,frnuawi)
3.
Disain Pengendali dengan Persamaan Diophantin Dalam makalah ini ada dua model konfigurasi sistem kendali yang digunakan a. Model pertama konfigurasi sistem kendali. Model pertama dimodifikasi dari Gambar 3 menjadi ' sistem kendali dengan keluaran yang mengikr-rti perubahan masukan referensi menjadi Gambar 4.berikut ini:
Ganrbar 4. Blok diagraur sistenr kendali konligurasi pettartra Pada Gambar 4 tampak bahrva sister'r kendali rneurbutuhkan suatu pengaturan pengnatan (gain) Ko. Penguatan ini diatur sedemikian sllpaya keadaan tunak (.rteady stute) keluaran 1,(k) sama dengan satu ketika masukan r(k) berupa isyarat tangga satuan(unit step).
Rmgsi alih kalang tertutup (closed loop)dan Gambar diperoleh
:
Y(z) _=A^
R(z)
B(z) A(z) t, v B(z)FQ) lf*.-.-A(zY.G)
.
106
4
lbl. 30 No. 2, I 5 Septemher 2008 :
_K o
96- I I 4
u(z)B(z) u(z)A(z)+BQ)B(z)
_K o u(z)B(z)
n1t1tt1z1
(ls)
H(z) FQ) = e(z) A(z) + []g1a1z7: D(z) ( 16) H(z) adalah pole-pole kalang tertutup yang dinginkan atau karakteristik polinomial yang dinginkan. F(z) aduluh orde minimurn pengomatan kesalahctn polinomiul yang clinginkan. Persamaqri (16) perlu diperhatikctn, bolnra kalang tertutup :sistem metlput*lai orde (2n,1),hal ini skun terjucli.iika ticlak ada trtenghopusat'r diuntara u(z)B(z) dan H1z; F(z). Untuk menentukan f'aktor penguatan (gain) Ko digunukan rumusan
berikut
:
, fgX
r{rl :
hqO
-
z-'1Y
121
=uAT*,W3* _ v q,(l)B(l)
- ^o
"6;p6;
*l
Selanjutnya dapat diperoleh
v _- lr(1)r(l)" o(l)r(t)
^o
(t7)
b.
Model kedua konfigurasi sistem kendali. Model kedua ditunjukkan pada Gambar 5 . yang merupakan blok diagram sistem kendali yang dapat didesain dengan menggunakan persamaan Diophantin ini,
t07
Inqtlemenlusi Persumaan Diophantin Dalam Desuin ...... (lhrahim Nawawi)
Gambar 5. Blok diagram sistem kendali konfigurasi kedua
Dari Ganrbar 5. dapat diperoleh persamaan berikut L)(z)
=-[S4", z) -Lr(z). Pr(z;l+ F(z) '"J
IPG)
yang dapat disederhanakan meniadi
gQrye)=
F(z)
- F(z) 9i"]rC z)+ KoR(z)
Fungsi alih pulsa darr plunl adalah
:
KoR(z)
1ls)
:
(19) .
Y(z) _ B(z) U(z) A(z)
u(z)=42rO B(z) sehingga
(20)
Dengan mensubstitusikan persamaan ( 19) ke persamaan (20) diperoleh :
I
z) = K oR(z) z7'lt:1- T41", F(z)
lF(z)B(z)
)
108
lbl. 30 No. 2,
I 5 Septenther 2008
: 96-l I 1
Y(z)
Ko = R(z) a(z)A(z)
, 9G) -i-F(z)B(z) F(z)
maka
H (z) F (z) = a(z)A(z) +
jika
P (z)
B(z)
maka diperoleh Y
(z) _ K oF(z)B(z) _ KoB(z) H (z)
(21
t
4.
Implementasi Berikut sekilas ilustrasi dari impelementasi persamaan Diophantin dalam sistem kendali. Tinjau suatu ganibar blok diagram berikut ini :
Gambar 6. Diagram blok sistem pengatur
Dari Gamb ar 6. tampak bahwa Y
(z)
B
(z)
:
0,02 (z+1)
u(4:m -m
Q2)
kondisi A(z) adalah polinomial monic berderajat
109
2
dan tidak
I mplemcntasi Persamoan Diophanlin
Dalan Desain ...... (l hruhinr,kwowi)
ada t'aktor-faktor saling menghilangkan antara B(z) dan A(z). Jika R(z) 0 maka fungsi allh close-loop dari sistem tersebut
:
sama dengan
Y(z) . R(z)
:
0,02(z+l)
a(z) B(z)
a(z)A(z) +
$(z\B(z)
a(z)(z
- l)' + F(c)0,02(z+1)
(23) selanjutnya dipilih pole-pole yang diinginkan. misalnya
;,
:
:
0.6 1j0,4 dan e, :0.6 - iA-4
dari pole-pole tersebut dapai diperoleh polinomial. yaitu :
pe
rsamaan karakteristik
H(z) = (z - 0,6 - j0.4)(z - 0.6 +i0.4) - 1.22 +0^52 sehingga polinorlial errtr orde pengamatan minintttnrnya =' z2
adalah:Fe)-2. Untuk menentukan u(z) dan Ftt) digunakan Diophantin sebagai berikut
persamaan
:
a(z)A(z) + $(.2)B(z) = F(z)H(z): D(z)
(24t
dengan
D(z)= F(z)H(z): dot'+
d,zz
* d"z + dr: rt - 1.222 + 0.522
sebagai catatan bahwa'D(z) adalah stabil untuk derajat polinomial ke (2n-l) dalam kawasan z,karcna dalam kasus ini n -Z , maka derajat tertinggi dart z adalah (2x2)- I : 3. Sehingga diperoleh :
A(z): z2 - 2z * 1 B(z):0,02 z + 0,02
(2sl 110
lbl. 30 No. 2, l5 Septenther 200t : 96-ll4
dari persamaan (25) diperoleh
e,:
-2 ;
ar: I ; br:
0,.
b,:
:
0,02,.
b,: 0,02
dengan menslrbtitLrsikan ekspresi dariA(z), B(z) dan D(z) ke dalam persamaan (24) maka diperoleh : u(z)(22 - 221- 1) + p(e)(O.022 + 0,02) = z3 - I,2z + 0.02
untukmenyelesaikan persamaan Diophantin bagi c(z) dan B(z) maka pertama kali yang harus dilakukan adalah mernbe'tuk matriks silvester E dengan ukuran 2n x 2n. Karena daram kasus ini n = 2 ,.maka bentuk matriks silvester E yattg diperoleh adalah sebagai berikut :
selanjutnya matriks
E
tersebut clicari inver,;-nya, dan
diperoleh:
I o'3'
E"
=I 31,5 U
|
L-
12,50
- 0,25
0,25
00
12,5 -
12,5
12,5
3t ,5
I
,l
0.?5
-31.5 62,5
|
)
u(z) dan B(z) adalah polinomial dengan derajat n 1, atau
a(z): fl(z):
a.rz
*
a.,
Foz
+
B,
Didefinisikan bahwa
:
"llll'i'l
danM=
111
i;l l';,1
-l :2 - | =
I mplementasi Persamaan
Diophtntin Dalam Desoitt ...... (lhruhint Nawawi)
Maka vektor M diperoleh dari
M=
:
I o,zs - o,2s 0,25 ,1000 E-'D=l
r2,3 -r2,5 lrt"r I - 12"50 12,5 37,5
i ll,,',1I | '
o-zsl[ o
lo.rzl I
;IrlL-l'l-l;rl
sehingga a-0j2;uu:l I 0, = -16; 9n= 24' Lebih lanjut maka c(z) dan B(z) yang diperoleh menjadi
a(z)=a"$z+u.t:z+0.32 :742 - 16 : [}(r) Fuz + [], Dari hasil tersebut maka dapat diperoleh pengattlr atatt (inirr umpan balik sistem sebesar :
Br;t a(:)
: - 0.667 : + 0,32
i
Selanjutnya Gambar sebagai berikut
6.
dapat digambarkan lagi rneniadi
:
Q02(r +1)
(e-1)'
_Ura-0,661 , ' a*0,32'
n2
Ibl.
C.
-10
No. 2, I S Septemher 200t
: 96-l I4
KESIMPULAN Mendisain sistem kendali dengan pendekalan persamaan Ini adalah suatu alternatif pendekatan untuk
polinomial.
mendisain melalui teknik penempatan pole
dengan
meminirnumkan orde pengamat keadaan (orde state minimunt ' observer). Pendekatan persamaan polinomial i'i dipecahkan dengan persamaan Diophantin yang bertujuan untuk menentukan koefisien-koefisien polinomial dalam kawasan z yang dapat digunakan untuk keperluan penyusunan realisasi sistem secara fisik. Pendekatan ini menrberikan solusi secara matematis dalarn mendisain tipe-tipe tertentu secara cepat. Penyelesaian persamaan Diophantin nrenggunakan aleoritma Euclidean dan matriks Silvester. DAF'TAR PUSTAKA Bahram Shahian. and Michael Hassul. 1993,Control Systent Design Writh Matlab, Prentice Hall International Editions Ir. Chairuzzaini, Dipl.Ing.lr. Moharnmad Rusli. dan Rudi Ariyanto, 1998, Pengenalan lfetode Ziegler-Nichols pada Perancangan Kontroller plD. ELEKTRO INDONESIA, Edisi ke dua belas, l-8 Katsuhiko Ogata, 1993" Teknik Konrrol Automatik, Igg3, Erlangga, Jakarta. Katsuhiko Ogata, 1.99 5, D i s cre t e - Ti me C o ntr o I Sv stez, Second Edition, Prentice Hall International Editions Karl Johan Astrom, Bjon wittenmark. 1995. Adaptive control,
Addison-Wesley Publishing Company.Inc. Second Edition.
113
I npl e me ntas
i
P e rs
amaan Diop hontin
D ala
n
Des ui n
...... ( I h r ah i m,^{
dte aw
i)
R Mafusn
and Z. Prokopova" 2002, lvlatlab Conlrol of Time-tr/arying System, Paper. for Institute of Information Technologies, TomasBata University Thomas Wahyu Dwi Hartanto, dan Y.Wahyu Agung Prasetyo. ' 2003 Anali,yi,s dan De.gain Sistem Kontrol dengan lt[atlab. Edisi I . Andi. Yogyakarta R.Prokop,
Environment
Vladinrir Kucera. 1979. Discrete l.inear Control Tlte Polt,noriliul Equation Apltrouch,. A Wiley-lnterscience Publication
114
