A. PENDAHTJLUAN Salah satu jenis narkoba yang sejenis dengan opium adalah

ANALISIS EPIDEMIK HEROIN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL DALAM (oDE)

Oleh: Endang Mawarsih Dosgn Fakultas Teknik Universitas Tidar Magelang

ABSTRACT By giving epidemic SIR model it will give a description on the physical and psychological effect ofthe disease because ofheroin addicted of the societY.

Here the stability endemic

will

of the heroin free

be pointed it

will

Ro

If Ro < 1,

and physical equilibrium

be defined as follows: B1

--:-'--= p+tl+61

the model has an equilibrium point of local asymptotic

stable heroin free, if Ro>I, the model has an equilibrium point with heroin free and endemic equilibrium point that is trivial. If Ro>l, the heroin free equilibrium point is not stable' Keyword : ODE Model, stable, equilibriumpoint.

A.

PENDAHTJLUAN Salah satu jenis narkoba yang sejenis dengan opium adalah heroin. Biasanya penggunaan dilakukan dengan cara dihisap, disedot atau disuntikkan. Model penularan heroin antar individu yaitu penggunaan jarum suntik yang tidak steril dan berganti-ganti dengan jarum suntik yang sama pada beberapa individu. Narkoba khususnya jenis heroin yang digunakan terus-menerus atau

t6

Vol. 40 No.

l,

15 Februari 2014

: 16-32

melebihi takaran akan mengakibatkan ketergantungan (kecanduan) yang akan mengakibatkan gangguan fisik dan psikologis, bahkan jika melebihi dosis pemakaian (overdosis) bisa mengakibatkan kematian. Dalam jurnal ini akan dibahas kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemic nontrivial model SIR.

B.

LANDASAN TEORI Berikut ini adalah pengertian dan teorema

yarLg mendasari

pembahasan, yaitu : Sistem Persamaan Diferensial

l.

)8, xl fungsi terdiferensial pada 8a,6, untuk i : 7,2,. ...,11, .xl$1a,6 ) fr n, dengan E+,0 himpunan bilangan real non negative, x : (xt, ...., xo), x : (xL .--'... xn), x - (xr, ...., xo) d*,ft : E c fr" )n, i :1,2,...,n. Selanjutnya Diberikan fungsi

tl

: fr+,O

.

dibentuk sistem persamaan Diferensial

xt

: J t(xr ...., xn)

(2.1.1)

xz: lz(xt....,xn) xn: f ,(xr ..-., xr) Dengan kondisi

dwalxl(ts):

xiy,

i

:

1,2, ...., n.

Sehingga sistem (2.1.1) menjadi

x=

l@)

Dengan

*,

:

T,

x

:

Q.t.z)

(xbx2,....,xn)

e E,f

dankondisi awal x(t1): (xro, xzo, .....,

l7

xn6)

: (ft' fz, ...-- /")

eE

Analisis Epidemik Heroin Dalam Model Sistem Persamaan Deferensial

(ODE) (Endang Mawarsih)

Definisi 2.1.1 (Perko, 199L) Diberikan E c frn, E himpunan terbuka, dan /e C (E, fr),1: 1,2, ....,n. Vektor x(r) € fr disebut penyelesaian sistem (2.1.1) pada interval I jika x (r) terdiferensial pada I dar' x(t) : f (x(t)) untuk setiap f e I dan x (t) e E. Teore{na 2,1,2 (Perko, 1991) JikaEcfr, Eterbuka f r e Ct (E, fr), i:l,2,.....,ndanxs e E maka terdapat a > 0 sehingga masalah nilai awal x = f(x(t)) dengan x (0) x0 mempunyai penyelesaian tunggal x(t) pada

:

interval [-a,a].

Definisi 2.1.3 (Perko, 1991) Titik xefrn disebut titik ekuilibrium sistem (2.1.2)jika /(.r)

:

0

Definisi 2.1.a (Wiggins, 1990) Titik ekuilibrium xefrn sistem (2.1.2) dikatakan a. Stabil lokal jika untuk setiap e > 0 terdapat 6 > 0 sedemikian hingga untuk setiap solusi sistem (2.1.2) x(t) yans memenuhill" (to) - *ll . 6 maka berakibat llX$ -

rll."untuksetiapt>to

b.

Stabil asimtotik local jika titik ekuilibrium xefr" stabil dan terdapat bilangan 6o > 0 sehingga untuk setiap solusi x(t) yang memenuhi ll*(to) - * ll ,. 66 maka berakibat lim t

) - x(9:1

c.

2.

Tidak stabil jika titik ekuilibrium xefr" tak memenuhi (a) Linearisasi sistem persamffm diferensial non linear. Sebelum mendefinisikan lienarisasi sistem persilmaan non linear, berikut diberikan pengertian matriks jacobian. 18

Vol.40 No. I" 15 Februai 2014 : 16-32

Definisi 2.2.1 (Kocak, 1991) Diberikan f : (f r, f z, ...,/') pada sistem (2.1.2) dengan 71e CrlE), i: 1,2,....., n. Matriks

l*a>

frro *,at1

iUr,>)=l#r., frro .. l/;;@)

#orl

(2.2.r)

!;r.> *atl

Dinamakan matriks jacobaian darL f di titik x' Diberikan sistem (2.1.2). Jika /(x) merupakan fungsi non linear, maka sistem (2.1.2) disebut sebagai sistem persamaan

diferensial non linear. Misalkan ((r) penyelesaian dan Q.1.2) yang berkorespondensi dengan initial state x(0) : xo. Jika sistem (2-1.2) didekatkan dengan deret taylor disekitar titik x(t) maka diperoleh f (x)

=

f (x)

*ffor, - o . *#@)@ - x)2 * r!,ffi rr>a- x)3 + "'

Dengan,f(x) : 0. Karena suku-suku tak linear pada deret tersebut cukup kecil dan dengan diasumsikan I : (x-x), maka f(t) : x(t). Jadi diperoleh E(t) : /(x(t) : J(/(x)) = J(/ (x) I Dengan

fffO - J(J(x) dan sitem f(t): x(t)

J(q = /((r)X di sebut linearisasi dari sistem Q.|.2) disekitar titik x.

3.

Nilai eigen, vector eigen, derifatif parsial Himpunan semua matriks yang berukuran n x n yang elemenelemennya berupa bilangan real dinotasikan dengan M" (0,

t9



himpunan semua bilangan real. Berikut ini akan diberikan beberapa definisi yang terkait dengan AeM" (n). Definisi 2.3.1 (Anton H., 1994) Diberikan A adalah matriks berukuran n x n. Jika Ax adalah kelipatan skalar dari x maka vector tak nol x di dalam fr" : disebut vector eigen (eigenvector) dari A, jelasnya Ax l.x

dengan

(

Untuk' skalar sebarang 1". Skalar l" disebut nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x disebut vector eigen dari A yang terkait dengan 1". Definisi 2.3.2 (Anton.II., 1994) Polinomial karakteristik dari AeM' (fr) didefinisikan sebagai (2.3.r) Pn(f) : det (1.I - A) Dengan I Matriks identitas dan scalar

4.

1".

Kestabilan titik ekuilibrium

Dengan menggunakan matriks jacobian J ("f(x)' sifat kestabilan titik ekuilibrium x dapat diketahui asalkan titik tersebut hiperbolik. Berikut ini diberikan difinisi titik hiperbolik dan teorema kestabilan local. Definisi 2.4.1 (Perko' 1991) Titik ekuilibrium x sistem (2.1.1) disebut titik ekuilibrium hiperbolik jika semua nilai eigen matriks jacobian mempunyai bagian real tak nol. Teorema 2.4.2 (Oslder, 1994) Ax, dengan A mahiks berukuran n x n" Diberikan x

{/(x)

:

mempunyai nilai eigen lv,?"2,...., Xt

1. Jika Re Ir < 0 untuk i :

maka

I,2,....,nmakat:0

(2.2.1) stabil asimtotik local.

20

(k'n),

dari sistem

Vol.40 No.

2.

l,

15

Februari 2014 : 16-32

< 0 untuk i: 1,2,....,n maka.r : 0 dari sistem (2.2.1) stabil dan untuk nilai eigen Re l'1 : 0 bersesuaian dengan vector eigen yang bebas linear sebanyak multiplisitas 1.1. Jika Re

Ir

C.

MODEL PERSAMAAN populali dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas rentan (S) yang menyatakan individu yang belum terjangkit penyakit, kelas terinfeksi (I) yang menyatakan individu yang terjanglit penyakit dan memiliki kemampuan untuk menularkan penyakit ke kelas S, dan kelas sembuh (R) yang menyatakan individu yang sedang dalam penyembuhan dari infeksi yang dibicarakan'

JikaS(t),I(t),R(t)menyatakanjumlahindividurentan, jumlah individu terinfeksi dan jumlah individu sembuh dari penyakit pada saat t, maka diperoleh hubungan St,l + I1o + &,1 = N1q dengan N6y menlatakan

jumlah populasi.

Asumsi:

1.

Populasi pemakai heroin yang

tidak sedang dalam

pengobatan masuk dalam pengobatan dalam kurun waktu tertentu.

2.

Individu yang sedang dalam pengobatan adalah pemakai obat.

3. 4.

Pemakai heroin yang tidak dalam pengobatan dapat berhenti sebagai pemakai pada setiap periode waktu terte'lrtu' Individu rentan dapat tertular oleh pemakai heroin yang tidak

5.

masuk dalam Pengobatan. Pemakai yang sedang dalam pengobatan dapat tertular atau

kambuh lagi.

21


6. 7.


Pemakai heroin yang sedang dalam pengobatan tidak tertular ke kelas individu rentan. Setiap individu dalam populasi mempunyai kesempatan yang

sama untuk melakukan kontak individu terhadap individu lain.

Semua anggota

g.

dari populasi rentan dapat mengalami

kecanduan heroin.

Populasi konstan, sehingga apabila ada kematian maka akan dimasukkan lagi individu ke dalam kelas rentan dengan jumlah yang sama dengan jumlah kematian pada kurun waktu tersebut.

A

menyatakan laju individu dalam populasi memasuki kondisi rentan, p menyatakan tingkat kematian alami dari sernbarang populasi, E1 menlatakan laju pengurangan individu akibat kernatian karena pemakaian heroin yang tidak dalam pengobatan dan kesembuhan secara spontan (individu tidak dalam pengobatan dapat berhenti memakai heroin tapi tidak rentan lebih lama) dan 6z menyatakan laju pengurangan individu akibat kematian ketika pemakai heroin sedang dalam pengobatan, laju keberhasilan dalam pengobatan untuk kehidupan yang bebas heroin dan kebal dari kecanduan dalam durasi waktu tertentu, p1 menyatakan peluang menjadi pemakai heroin, p menyatakan proporsi dari sembarang pemakai heroin yang memasuki pengobatan, dan B2 menlatakan peluang dari pengguna heroin yang sedang dalam pengobatan karnbuh lagr dengan tanpa

Misalkan

pengobatan.

A:

pS + (p + 6r)I + (p + 62)R

Yol.40 No. I, l5 Februai 2014 : 16-32

Karena populasi konstan, maka laju individu dalam populasi

memasuki kondisi rentan sama dengan jumlah dari tingkat kematian alami dari populasi yang rentan, laju pengurangan individu akibat kematian karena pemakaian heroin yang tidak dalam pengobatan dan kesembuhan secara spontan, dan laju keberhasilan pengobatan untuk kehidupan yang bebas heroin dan kekebalan dari kecanduan heroin dalam durasi periode waktu tertentu.

Diagram transfer

(r,

$5

+ Sl),

!r+

dzlF

aiUug dengan N karena Fr dan Fz U* Dalam hal ini, adalah peluang dimana nilainya selalu positif dan tidak boleh lebih besar dari 1. Karena Fr dan p2 adalah peluang terjadinya suatu keadaan dalam populasi, maka haruslah p1 dan Fz dibagt dengan N.

T

ff

Diperoleh model SIR

ds

B",ts

dt-A---Ps

ff= o-#-pr +t#-tu+d,)/ 23

Analisis Epidemik Heroin Dalam Model Sistem Persamaan Deferensial (ODE) (Endang Mawarsih)

dR

Bzls ,

.

E-pt-T-0r+dr)R D.

BASrC REPRODUCTION NUMBER (Ro) Definisi Ro adalah jumlah infeksi sekunder yang dihasilkan oleh satu infeksi pada populasi rentan. Oleh karena itu, titik kritis R6 berkisar 1, jika Ro > I maka penyakit menyebar atau terjadi epidemi herbin, namun jika Ro < 1 maka penyakit tidak menyebar atau bebas heroin. Dalam hal penggunaan heroin Ra dikatan diatas rata-rata,jika laku individu untuk setiap satu pemakai heroin akan mulai memakai heroin dan selamanya tetap memakai heroin. Dalam hal ini Ro dari model parameter didefinisikan

R0=

Ft

plp*61 Tingkat kepekaan dari R0 terhadap

masing-masing yang dinomalkan terhadap parameter, dan indeks kepekaan maju setiap parameter dapat dihitung dengan rumus

A,=#=#=p,W)(#J:' ?RO

Sehingga dapat disimpirlkan bahwa Ro memiliki tingkat kepekaan paling tinggr terhadap B1. Mengingat p adalah tingkat kernatian alami dari populasi dan 6r adalah tingkat pengurangan akibat kematian karena pemakai heroin yang tidak dalam pengobatan maupun tingkat kesembuhan secara spontaq maka untuk memperkecil terjadinya penularan, akan dipilih satu dari dua parameter diantara p atau p1. Adanya peluang terjadinya siklus pengobatan, maka yang menjadi focus utama adalah penurun&l

24

Vol.40 No. 1. l5 Februari 2014 : 16-32

terhadap ptuameter p1. Dengan kata lain, analisis kepekaan ini menyatakan bahwa pencegahan lebih baik dari pada pengobatan.

E.

KESTABILA}I EKUILIBRIT]M BEBAS HEROIN Titik ekuilibrium sistern (3.1) dapat dihitung dengan mencari

solusi d"ti

# = A, # - 0,# = 0, Jika fr=

o maka diperoleh

:

(B's +T,FzR@+ u', \ o danl = o P (tr)* JikaS=O makadiperoleh

-ry-

(u+d2)R =

0

Jika I = 0 maka (p + 62)R

:

pt

62. Jika

#=

0 sehingga diperoleh R = 0 dan p = -

Oberarti

B.IS A-'i-FS=0 Karena I = 0, maka diperoleh

A p Sehingga didapat

J

--

titik ekuilibrium bebas heroin (S*, I*, R*)

:

(i,o,o) Akan diselidiki kestabilan lokalnya me,nggunakan matriks jacobian

2s



-Frs N

l-T-u

=l

/(S,I,R)

ff- n ++-

o

(p+

p-S

T

Jika disubsitusikan (S*,

6,) 3

?-tu *rl

I*, R*) = (!,0,0)aon S*=N,

didapat

T

ol ezr

frs -T-

r-#-, ItS,l,nl=[

I

ff-'.#-tu+ ' qzR

&)

pNIV

9zI

Tl

maka

I

(p+ 6ril

Polinomial karakteristiknya adalah

,,,,=l,p

i il [s u'-{li* o,t -*l .Jl='

F+phol I o t- 8r+ (P+s+ dr) o Io

-p

I

.l+(r+ 6tl =(r+rr)(r- h+re +r+ orl)1r+(p+ 6?))=0 , .,,#.,&,r* -l,l't= fr t {p + f + dr),lr = -(lr + dz}

-p dan Dari persaman diatas diperoleh nilai eigennya adalah ?"1 = ]uz= -(F+ dz) karena kuda atrhir negatip berarti Jika Ro < 1, maka 9r < (p + p + 6r) dan ?*,2 < 0. Jadi sistern (3.1) stabil asimtotik local pada titik ekuilibrum bebas heroin

l.

(S*, I*, R*)

: (i,O,O)

26

Vol.40 No. I. 15 Februari 2014 : 16-32

jika

peluang pemakai heroin lebih kecil dibandingkan jumlah dari proporsi pemakai yang belum mendapatkan pengobatan memasuki tahap pengobatan, jrmlalt kematian akibat pada terbentuknya kehidupan yang

Artinya,

bebas dari heroin.

2.

Jika Ro > 1, maka pl > (p + p + 6r) dan lz > 0. Jadi sistem (3.1) tidak stabil pada titik ekuilibrium bebas heroin (S*, I*,

R*): (i,o,o)

F. ,

TITIKEKUILIBRIT]MEIYDEMIK Pada ekulibrium endemik penyakit muncul dalam populasi

dan berlaku sebagai beriktu

S > 0,1

> 0,R >0 dan

Akan dicari nilai variable. S,I,R:

1.

:

#:#: #:

titik

O

ekuilibrum' nontrival untuk setiap

Me,ngapa penyelesaian persaman

(3.1) dengan

#

= o untuk

nilai titik Ekuilibrium 58 dari titik equilibrium 5* dari 5,1) \ -_ ^NA (6.1)

2.

"-

p"I+N1t

Setanjufirya akan dicari R* dengan cara mensubsitusikan S* ke dalam persamaan (3,1) untuk R > 0 dan

ff = O

#ft#m) =u+$-t,,+d1)r=o

tktrd*o*#-,,+ cr{r*o 21


Jika

I:0


maka diperoleh titi ekuilibrium bebas heroin, dan jika

I*

0 maka diperoleh

-p+ry-@+d,;=s k&) aslvpH!-{rt_6ffi,h R.

3.

Selanjutnya akan dicari

I*

dengan cara mensubtitusikan R*

# = O dan diperoleh o, -P# -11r + d,)R = pr -* (S. tr, + e,l) = o

ke persamaan (3.1) untuk

,. -(e*

o;-#)r-r9l+fto+ at *ffi=o

Jika siste,m di atas dikalikan dengan (FrI + Np), maka diperoleh sistem persamaan

o

:

-((r +'6rx&r + rr) -F A), -

*ffo*

r{J'+tt+ &)k+ d?)(&r+flp)

6J=o

(rrtr + gg, + a rp r!t' + (fr V + r+ dr)0 + 62) + (p + d1)rp - p,A) r + (63) g+ 6f -frA)-o kuadrat persamaan Persamaan diatas dapat direduksi menjadi of + bt + c:0. Persamaan ini memenuhi akar-akarpersamaan

ff

Dengan

-b*'[EI4 ,=T ao

(rrfr

* fif1}b * (*$

. = (qptlv${p+rr+

+rr+ dt(s* fJ

Er}-Ur) 28

+

@+

d1)I,rp

-FrA)

l.

Yol.40 No.

15 Februari 2014

: 16-32

Akar persamaan kuadrat terbagi^ atas tiga jenis menurut nilai

diskriminan (D) nya dimana D : b2 - 4ac,yaItu o D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan.

o

:

D

0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang

sama

o

D < 0, rnaka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.

Sel r= mi;;; (-" N2gr6rtt+

9

Q! -

NB

-

&62

N

filt|'

N

Lr^Fz+,{ilIlrp'ur +2F*1N3

-

$1p62'N p16'p

-

N'lr!'r *

1tt" + p'6'26'2N' +

Nf16162-N'

p#+Nz

z

4N ptv3 p + ,g riri'r* * tllor'i'"; + pr6 v2 Nz - 4N2 9 62 - 8N {tz\3 t 4f161'13N3-+ + ztpri,p;pN" +,{fi62drppl'I2 * 29$#2pN3 + l$22 u2N2 2

6

2P3

"2

*2tup3pN2 + F,6;;p;;; +ztup'pNl l2g'6ztf N'+ I'tt2p2N2 + + 4S'6'fpN2 gririy'Nt +2pr6rp3Nj - 4oN2S,6'2pz +2S16pzpN2 2 z

;:;;7;;.

+ 622 p N p g26 1tzN z + Z F rto'q.t ll2 + Z g rt'l Atp!' + 2gt6 22 6 *N + 2 []t61 N3 - Tg tN ppA$' + +,4p7v6"E7vz N3 + 2$1p6261 iiryAl pat + z916r,612 vN' wL82+ frl'Ipd1Apz + innt* * * zgrli')irt'P" - 2p$2 tlz M3 + zFrN *8NzFzPz6..6'4Nzf26iltzp * +niFrtti6"p

4

,*iitii1r4Nz F26ilfp - *Nz p26rp1t -

z&lr&orA,Ba

+ trtt Or'tth)

4N2 P26tt 6ztt

Dom

l'= mtm (*pt P tt-

N

Ffl 6z- nF*? -'{&tr&!tfidrtr' l. tt fi$162-N^2

N'8r6rtt+ Ftlrp2 - ,{FJg,,t'i"

?S.;l

N' +

2&#;';:

* ziru'*' -

+ F:6r2rr2 Irr2

-

* N z fi 2v3 82

-

z

+rc t ii # i'zp ;rt'rls t a' 2; gt5"pi' Na*T 4N?g,6,2 pz

4PL6$lrtNt + zlrarvp'w' + ipiiq;pu' + z1rirc" t tt" +

2

+

^: 8iFE p'v? +

2Srp6,6r2

+

2P$22

6!4'N:

\ztf:6:'?py:+ - zI"Nptrlqz +

Nt +-4p'v6162p2N3

28$2yl^l,u-+ ?$$vprrft+ &ffr&1\& + tfrAr;r,;,lp, -- 4Nz grvT: 6rp - gvz gztre 62f"- {t\t2f261T h) * 4 tt2 9z6 rttzp:- 4Urpxdrpg *N2 pr6rz 6rtrt + F, tt^ 9r'1'

tprtorrtnpt

'

+

+ 2f tiiltzpVz + +p167pzpM2 1 -

zlri'trp!'

-

er.rvpornp,

i;rNqarng" i

-

29

-

81!1N:+ p'42d'2iv2 + 8N g2$3 6' - 4Nz 92f p +

Nzfzp +

+ 44d4flv3 iprtya"pxt + *Era^anw*! +ff1{4riplrr3 + &6?2t}Nzzpirvr

;iiupii; Prirlr" r' * ziror,pt tt" -

p'sz

.,

zp

-



Berdasarkan diskriminan, maka akar-akar dari persamaan kuadrat

(6.3) ada tiga kemungkinan, yaitu : 1. Jika B12 > 0, maka persamaan (6.3) memiliki diskriminan D > 0. Jadi persamaan (6.3) memiliki dua akar real yang berlainan, yaitu: 2.

I*:

r

=W*T;F;;(-(f-+r+ -

+s+

[(** +(pB

r*

6r)o* dz)+tlr+ d1)rvp-p,n)

6r)O

* 6z) + O* 6r)tr'rr - p,n)

a,O,)ffi

(rvso + p + dri

- U,")l

n)

=#(-ou,uu.l,|FrPdz.N9it2-N8ill6>NFt614-t\lf16id2*Nz8,lt2

* N2qt6ilt+ Fthgz

* JFi[&g',vt + zf*1vs * Nrgrtt, * fiit'Nz + gr6r26r?Nz * 2p161prtva + zpr6r21t7N3 + pr6rzy?Nz - 4N2g2yt6z- glv?frgr6,

-

4v29;4ttp + 29161p62pv3 + 4p1d1{gpN2 +Zpg1pzpN3 pr6"2y2Yz + +pr6ryrv3 + zpglytvz + S162zp?Nz + Zfup3pyt + afig2p? N2 * Filtzpz N7 * 2fu1t? pVz + p1d, 2geil. + Zfl ,6rp. N 3 4Nz $ 1612 yz * 2$16gt2 p Nz + 4 g162pzpV? + 4f ,6r6rpz N 2 2 + Z Sttzppt N 2 + 2 g ryz 6 rp N t + z p 6 rpM + zg 16 1622 p N 2 ^6"2 + apgtlzzp{z + 2P$2611yN, + ?,grp6"5rz|3 + +prpdrdzgzivs - ZSrNppA$2 + 2F N hfz 2Sr[p62ttg2 * 2prV2 srz tu6, + 2$fi 1tph{7 + $fi p\A& + Lfifi 6gzfu9? 2p1N2 y6rrtg2

+

-

I

-

-

-

4N2p21t26rp -8N2F2tt26?6,- 4N?p26gzp

4Nzp28pp

-

4N2g26:62y

+

30

prttzprzl'/z)

4Nzp26,p2p

Yol. 40 No.

3.

I.

15 Februari 2014

: 16-32

: 0 atau Fl : 0, maka persamaan (6.3) memiliki diskriminan D : 0. Jadi persamaan (6.3) memiliki dua akar Jika

B12

real yang sama, 4. Jika p12 < 0, maka persamaan (6.3) memiliki diskriminan D < 0. Jadi persamaan (6.3) memiliki akar tidak real. Dari hasil I* yang diperoleh, kemudian dimasukkan ke dalam persamaan (6.1) dan (6.2) untuk mendapatkan S* dan R*.

G.

KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pada pembahasan tentang penularan penyakit kecanduan heroin dapat disimpulkan bahwa

l.

Jika R0

maka titik ekuilibrium (S*,

I*,

R*):

(f,O,O)

dinyatakan stabil asimtotik local dengan interprestasi

o

o

2.

Jika peluang pernakai heroin (Fr) lebih kecil dari proporsi pemakai yang belum mendapatkan pengobatan memasuki tahap pengobatan (p) ditambah dengan jumlah kematian akibat pemakai yang tidak dalam pengobatan dan kesembuhan secara spontan (61), maka penyakit yang timbul akibat mengkonsumsi heroin itu semakin berkurang dan terus berkanbang sehingga akan berakibat pada terbe,ntukknya kehidupan yang bebas dari heroin (stabil asimtotik) Untuk memperkecil penyebaran penyakit akibat mengkonsumsi heroin yang perlu diperhatikan adalah bagaimana caranya memperkecil peluang seseorang dari

tidak memakai menjadi pemakai heroin (p1). Metode dalam mencari akar dalam persamaan kuadrat yang digunakan berfungsi untuk menentukan eksistensi dari titik

31

Anatisis Epidemik Heroin Dalam Model Sistem Persamaan Deferensial

ekuilibrium endemic non trivial


S*, I*, R*

dengan

interprestasi

o

o

Jika peluang pemakai heroin

(pl) lebih besar dari

proporsi pemakai yang belum mendapatkan pengobatan memasuki tahap pengobatan (p) ditambah dengan jumlah pemakaian akibat pemakai yang tidak dalam pgngobatan dan kesembuhan secara spontan (61), maka penyakit yang timbul akibat mengkonsumsi heroin itu akan semakin menyebar sehingga akan berakibat pada bertambahnya jumlah orang yang terinfeksi akibat mengkonsumsi heroin (terjadi epidemic) Peluang pemakai heroin terus bertambah, maka cara dalam melakukan pencegahan penyebaran penyakit akibat mengkonsumsi heroin akan sernakin sulit.

DAFTAR PUSTAKA

Emm4 dan Catherine, 2007, Heroin epidemics, treatment and ODE modeling .Department of Mathematics, NUI Maynooth, Co., Kildare, keland. Saparwadi, Lalu, 2009. Analisis Epidemik Heroin dalam Model Sistem Persamaan Diferensial (ODE). Junrsan Matematika Universitas Gadjah Mad4 Yogyakarta.

32

A. PENDAHTJLUAN Salah satu jenis narkoba yang sejenis dengan opium adalah

Recommend Documents