A Neumann-fele meres es az entropia szerepe kvantum dinamikai rendszerekben

A Neumann-fele meres es az entr opia szerepe kvantum dinamikai rendszerekben Robert Alicki es Mark Fannes 1.

Neumann J anos kvantummechanik aja

1930-ra Heisenberg, Born es Jordan matrixmechanikaja, valamint Schrodinger hullammechanikaja egyestett format kapott Dirac [12] konyveben. Ebben az elmeletben azonban "selbswidersprechenden Eigenschaften", vagyis onellentmondo tulajdonsagokkal rendelkez}o fuggvenyek is szerepet jatszottak, ami Neumann Janost arra kesztette, hogy matematikailag precz formalizmust keressen a kvantummechanikanak. 1932-ben megjelent [19] konyveben Neumann bemutatta mind a zikai elmelet konstrukciojat, mind pedig az ehhez szukseges matematikai eszkozoket. Bar jelolesmodja mara nemikepp elavult, a konyv a mai olvaso szamara is tartogat erdekes gondolatokat, es ketsegkvul joval magasabb matematikai sznvonalat kepvisel, mint koranak hasonlo konyvei. A kovetkez}o rovid osszefoglaloban modern jelolesmodot hasznalva mutatjuk be Neumann Janos elmeletenek alapjait. Egy zikai rendszer lerasahoz szukseges egy szeparabilis H Hilbert-ter, melynek egysegvektorai rjak le a rendszer lehetseges allapotait 1 . Az allapotvektorok tartalmaznak minden hozzaferhet}o informaciot a rendszerr}ol. Egy merhet}o X zikai mennyisegnek onadjungalt, nem feltetenul korlatos X operator felel meg. Ezek az operatorok a spektraltetelen keresztul egy-egy ertelm}u modon megfeleltethet}ok a szamegyenes projektormertekeinek. Annak a valoszn}usege, hogy egy ' allapotban az X zikai mennyiseg a merhet}o M  R halmazba es}o erteket vesz fel, egyenl}o kE (M ) 'k2 -el. Az X mennnyiseg tetsz}oleges fuggvenyenek varhato erteke gy

X); ') =

M (F (

Z

1 1

h

i

F () d '; E () ' :

(1)

Ezutan Neumann targyalja felcserelhet}o zikai mennyisegek egyuttes varhato erteket, a hatarozatlansagi relaciokat, projekcioknak igen/nem kerdeskent valo interpretaciojat, fotonokat es azok megkulonboztethetetlenseget. Neumann levezeti az elmelet statisztikai lerasat. Ezen a ponton individualis rendszerek helyett sokasagokkal dolgozik. A veletlennek ketfajta forrasa van a mereselmeletben: Egyreszt a rendszer valodi allapotat illet}o bizonytalansag, masreszt a meres kimenetet illet}o bizonytalansag, amely a kvantummechanika lenyegeb}ol fakad. Amellett ervel, hogy 1A

line aris anal zis itt haszn alt fogalmai, valamint a kvantummechanika Neumann-f ele axi om ai meg-

tal lhat ok a [23] k onyvben is.

1

nem szukseges rejtett parametert tartalmazo elmeletet hasznalni, es bebizonytja, hogy egy meres kimenetelenek eloszlasa teljesen lerhato egy statisztikus operatorral, vagyis egy  s}ur}usegmatrixszal: M (X) = Tr  X: A kovetkez}o pont a statisztikus operator id}ofejl}odesenek kerdese. Ketfajta folyamatot kulonboztet meg. Az 1-es tpus egy zikai mennyiseg merese soran fellep}o veletlen valtozas: X  7! 1 () := hej ;  ej iP[ej ]; (2) j

a zikai mennyiseg ebben az esetben nem-elfajulo tiszta pontspektrummal rendelkez}o onadjungalt operatorral rhato le, melynek ortonormalt bazist alkoto sajatvektorai az fej g vektorok, a P[ej ] projekciok pedig az altaluk kifesztett alterre vettenek. 2-es tpusu folyamatot eredmenyez a rendszer bels}o fejl}odese, melyet egy onadjungalt H Hamiltonoperator r le: 2i 2i  7! 2 () := e h tH  e h tH : Termodinamikai ervelesre alapozva levezeti egy statisztikus operator Neumann-entropiajanak alapvet}o formulajat 2 : S () = Tr  log : (3) Bebizonytja, hogy a 2-es tpusu folyamatok nem valtoztatjak az entropiat, mg az 1-es tpusuak altalaban novelik, es igazolja az entropia konkavitasat. Az utolso fejezetben veti fel a meres problemajat, es a megkulonboztetes szuksegesseget a zikai rendszer es a tudattal bro meg gyel}o kozott. Megvizsgalja annak a kovetkezmenyeit, ha egy osszetett rendszernek csak egy resze kerul meg gyelesre. Megmutatja, hogy ebben az esetben automatikusan egy s}ur}usegoperatort kapunk a reszrendszeren, amit a teljes rendszer allapotanak Schmidt-felbontasa segtsegevel lehet kifejezni. Vegezetul megmutatja, hogy ha egy kezdeti tiszta allapot felvaltva 1-es es 2-es tpusu folyamatokon megy keresztul, az monoton novekv}o entropiaju statisztikus operatorok sorozatat eredmenyezi 1  2 


 2 (P['] ): A kombinalt folyamatok hatasara fellep}o entropianovekedes alapvet}o eszkoz a kvantum dinamikai rendszerek tanulmanyozasaban. 2.

Algebrai kvantumelm elet

A kvantumelmelet kesobbi fejl}odeseben a hangsuly athelyez}odik a Hilbert-ter szintjer}ol a merhet}o mennyisegek szintjere. A merhet}o mennyisegek algebrai strukturajanak hang2 Neumann

gondolatkis erlete,

amely a entr opiaformul ahoz vezet,

munk aban.

2

r eszletesen elemezve van a [22]

sulyozasa nem olyan fontos kis rendszerek, mint peldaul atomok vagy molekulak lerasaban, azonban lenyegesen attekinthet}obb targyalasmodot tesz lehet}ove a terelmeletben  o hivatkozas ebben a temakorben a [6] vagy a kvantum statisztikus zikaban. Atfog monogra a. Az els}o alapkerdes ezen a teren az volt, hogyan lehetne mehghatarozni az osszes lehetseges realizaciojat a hely es az impulzus kozotti alapvet}o [P; Q] = i~ felcserelesi relacionak. Mivel a relacio fennallasahoz legalabb az egyik operatornak nem korlatosnak kell lennie, ezert a problemat inkabb Weyl-operatorokra atfogalmazva targyaltak, vagyis kerestek az osszes olyan folytonos egyparameteres

R 3 q 7! u(q) (= eiqQ) es R 3 p 7! v(p) (= eipP ) uniter csoportokat, amelyek kielegtik a u(q )v (p)

= ei~pq v(p)u(q)

felcserelesi relaciot. A kerdest Stone es Neumann oldotta meg; minden ilyen tulajdonsagu reprezentracio a standard reprezentacio valahanyszoros direkt osszegekent all el}o, ahol a standard reprezentaciot a szokasos, L2 (R)-en ertelmezett hely- es impulzus operator hatarozza meg. Az egyertelm}usegi tetel azt mutatja, hogy az algebrai megkozeltes a kvantummechanika szokasos keretein belul legfeljebb esztetikai jelent}oseggel br. A helyzet lenyegesen megvaltozik, ha vegtelen sok reszecsket tartalmazo rendszerek lerasara kerul a sor. Mar vegtelen sok fuggetlen reszecske lerasahoz is szuksegesse valik a nem teljes tenzorszorzatok bevezetese; a vegtelen elemi tenzorok aszerint osztalyozodnak, hogy faktoraik hogyan viselkednek a vegtelenben. Ez Hilbert-terek sokasagat de nialja, melyek mindegyike globalisan invarians olyan operatorok hatasara nezve, melyek csak veges sok reszecsket erintenek, azonban a kulonboz}o osztalyokhoz tartozo vektorok mer}olegesek egymasra. Nehany rendkvul gyelemre melto cikkben Murray es Neumann megalkotta az operatorgy}ur}uk, vagy mai nevukon Neumann-algebrak, elmeletet [18]. Ezek korlatos operatorok olyan M *-algebrai, melyek tartalmazzak az identitas operatort, es zartak a gyenge operator topologiara nezve. Az alapvet}o jelent}oseg}u bikommutans tetel szerint M = M00, ahol M0 az M algebra kommutansa, vagyis azon operatorok osszessege, amelyek felcsrelhet}ok M minden elemevel. Ez az eredmeny tehat osszekapcsolja egy algebra topologiai es szimmetria tulajdonsagait 3 . A '60-as evekben Segal, Gelfand, Kastler es masok munkaja nyoman a vegtelen rendszerek kinematikai lerasanak meg absztraktabb elmelete bontakozott ki: Egy absztrakt A C*-algebra tartalmazza az osszes informaciot a rendszeren merhet}o zikai mennyisegekr}ol, ilymodon meghatarozva az alkotoreszek termeszetet, statisztikajat, a geometriai kenyszereket, stb. Az id}ofejl}odest es altalanosabban a szimmetriakat az algebra automor zmusai rjak le. A harmadik fontos tenyez}o egy varhato ertek funkcional !, vagy 3 Neumann

oper atoralgebrai munk ass ag at o sszefoglalja a [24] dolgozat.

3

mas neven egy allapot, ami meghataroz egy kvantum valoszn}usegi merteket a merhet}o mennyisegeken. Ez a fajta leras kulonosen jol hasznalhato peldaul a racson adott spinrendszerek tanulmanyozasaban. Az egyik kozponti jelent}oseg}u eredmeny a Gelfand{Naimark{Segal{konstrukcio, ami megmutatja, hogy egy (A; !) kvantum valoszn}usegi modell egyertelm}uen indukal egy Hilbert-ter modellt, azaz letezik egy kanonikus Hilbert-ter H! , egy kituntetett ! egysegvektorral, valamint egy ! : A ! B (H! ) reprezentacio, amelyre ! (A) ! s}ur}u H! -ban, es ! (x) = h ! ; ! (x) ! i (x 2 A) : (4) Ha ezenfelul az ! allapot invarians a  id}ofejl}odesre nezve, akkor egyertelm}uen letezik egy uniter operator U! , melyre ! ((x))

= U! ! (x) U! (x 2 A);

es

U! !

= ! :

(5)

A '70-es es a '80-as evekben szamos kutatas koncentralt a kvantum statisztikus mechanika es a terelmelet szempontjabol zikailag relevans allapotok altalanos tulajdonsagainak feldertesere es tanulmanyozasara. Alapallapotok es egyensulyi allapotok kozponti szerepet jatszottak ebben a kutatasban. A vegtelen rendszerek egyensulyi allapotanak elmelete vezetett a Kubo{Martin{Schwinger peremfeltetel felfedezesehez. A Tomita{Takesaki elmelettel valo osszefugges hamarosan osszekapcsolta a KMS-feltetelt a Neumann-algebrak elmeletenek egyik f}o kutatasi teruletevel. Tovabbi fontos el}orelepes volt a kvantum meresek es nylt kvantum rendszerek tanulmanyozasa, kulonos tekintettel a teljesen pozitv lekepezesek jelent}osegere disszipatv kvantum rendszerek algebrai targyalasaban. A teljes pozitivitas a lokalitassal osszekapcsolva tobbkomponens}u rendszerekben mara a kvantum-informacioelmelet egyik alapvet}o fogalma lett [20]. 3.

Kvantum m er esek  es ny lt rendszerek

A Neumann altal bevezetett 1-es tpusu folyamatok, lasd (2), olyan idealis mereseket rnak le, ahol a megfelel}o operatorok nem-elfajulo tiszta pontspektrummal rendelkeznek. Ez a fajta leras azonban nem volt alkalmas a meresi folyamat realisztikusabb vizsgalatara. Kulonboz}o szerz}ok tovabbfejlesztettek az elmeletet [8, 10, 15, 11] , es bevezettek a POVM (pozitv-operator-ertek}u mertek) fogalmat, ami a projektormertek altalanostasa, es alkalmas nem eles kvantummechanikai mennyisegek meresenek lerasara. A POVM-ek ugyanazon tulajdonsagokkal rendelkeznek, mint a projektormertekek, azzal a kulonbseggel, hogy egy merhet}o halmazhoz rendelt operatornak nem feltetlenul kell projekcionak lennie, eleg, ha pozitv operator. Egy nem eles valosertek}u merhet}o mennyiseghez tartozo POVM egy E lekepezes a valos szamok Borel-halmazairol a H Hilbert-ter korlatos operatorai halmazaba, amelyre 4

  

E (M )

 0, ha M a szamegyenes Borel-merhet}o reszhalmaza.

R) az identitas,

E(

[

E ( j Mj )

=

P

j E (Mj )

paronkent diszjunkt halmazok minden (Mj ) sorozatara.

Egy adott  allapotra az E POVM meghataroz egy valoszn}usegi merteket R-en, M 7! Tr ( E (M )) ; amely minden statisztikai informaciot tartalmaz a meres lehetseges kimeneteleir}ol. R

Egy A =  dEA () spektralis felbontasaval adott onadjungalt operatorbol, mint eles merhet}o mennyisegb}ol tipikusan Regy f (x; y) kon dencia mertek bevezetesevel konstrualhato POVM; itt f (x; y)  0 es f (x; y) dx = 1. Ennek segtsegevel de nialhato az A mennyiseg "elkent" verzioja, ami az alabbi POVM:  Z Z E (M ) := f (x; y ) d(EA )y dx M

R

Egy masik pelda kaphato Neumann gondolatmenetet kovetve, aki a merest az S rendszer es egy mer}om}uszer kozotti kolcsonhatasi folyamatnak tekintette. Maga mer}om}uszer R szinten egy kvantum rendszer, de rendelkezik egy A =  dEA () ugynevezett mutato mennyiseggel, ami kozvetlenul merhet}o. Felteve, hogy a m}uszer eredetileg a  allapotban volt, es a rendszerrel valo kolcsonhatasa egy U uniter operatorral modellezhet}o, be lehet vezetni egy POVM-et a rendszeren a 



Tr (E (M )) := Tr U ( jihj)U  I EA (M )

(6)

 formulaval, ahol  tetsz}oleges allapot S -en. Eszrevehet} o, hogy a (6)-ban de nialt POVM a kovetkez}o formaju: E (M ) = PA U  EA (M )U PA ; ahol PA a HS H Hilbert-ter HS (HS -el azonosthato) alterere valo ortogonalis projekcio. Hasonloan, I EA azonosthato EA -val. Neumark dilatacios tetele szerint barmely POVM megkaphato egy nagyobb Hilbert-teren hato projekciomertekb}ol egy megefelel}o ortogonalis projekcio segtsegevel. A (6)-os formula kapcsolatot teremt a meresek es a nylt kvantum rendszerek elmelete kozott. Az utobbi temaja egy, a kornyezetevel kolcsonhato S kvantum rendszer redukalt dinamikajanak vizsgalata; egy ilyen dinamika az S rendszer redukalt s}ur}usegmatrixain hato irreverzibilis lekepezesekkel rhato le [5, 7]. A (6) formula segtsegevel de nialhato egy M 7! (M ) mertek B(R)-en, mely ertekeit a pozitv nyomoperatorokon hato pozitv an lekepezesek halmazabol veszi: Tr (B (M )) := Tr



U (



jAihAj)U  B EA(M )

;

B

2 B (HS ):

(7)

A  lekepezes egy szuperoperator-ertek}u mertek vagy masneven transzformacio-ertek}u mertek, amelyre 5

 (M )  0, ha M 2 B (R) es   0.  ([j Mj ) = Pj (Mj ) paronkent diszjunkt Borel-halmazok sorozataira. A normalassal kapott

(M ) Tr ((M )) s}ur}usegmatrix tekinthet}o egy meres utani felteteles allapotnak, ahol a feltetel az, hogy a mutato mennyiseg erteke az M Borel-halmazba esik. Az A mer}om}uszerre vett parcialis nyommal kapott  := (R) operacio, vagyis  := Tr A (U ( jA ihA j)U  ) (8) egy dinamikai lekepezest hataroz meg a Schrodinger-kepben, amely az S rendszer allapotat rja le a meres utan, amennyiben a mutato mennyiseg erteke nem kerul leolvasasra. 0 (M )

:=

Gyakran hasznosabb a dinamikai lekepezeseket Heisenberg-kepben tekinteni; ezt a Tr (B (M )) = Tr (  (M )B ); B 2 B(HS );  s}ur}usegmatrix HS -n osszefuggest kielegt}o  (M ) lekepezesek hatarozzak meg. Specialisan a (7) formulaval adott  nem eles mennyiseg felrhato az E (M ) =  (M )I formaban. A (8) formula matematikai strukturaja univerzalis abban az ertelemben, hogy lerja barmely olyan nylt kvantumrendszer redukalt dinamikajat, amely kolcsonhat egy kvantum taroloval, mely eredetileg a A allapotban van. Az egyetlen zikai feltetelezes, hogy az osszetett rendszer eredetileg szorzat allapotban van; ez gyakorlatilag nem mas, mint a gyenge csatolasi feltetel. Nem csorbtja az altalanossagot, ha a kornyezet allapotat tisztanak tetelezzuk fel, hisz barmely allapotot lehet "puri kalni" egy extra kvantumrendszer bevezetesevel. A (M ) lekepezesek teljesen pozitvak, ami ekvivalens a kovetkez}o Kraus-felbontassal: (M ) =

X

j

Xj Xj

 (M )B =

es

X

j

Xj BXj ;

(9)

ahol az fXj g korlatos operatorok kozott teljesul az j Xj Xj  I osszefugges. Az fXj g operatorok megvalasztasa messze nem egyertelm}u, ezenkvul a j -re vett osszegzes helyett allhat integralas. Egy d-dimenzios Hilbert-terrel lerhato rendszer eseten eleg legfeljebb d2 tagot venni a (9) felr asban. Egy dinamikai lekepezes nyomtarto volta a kovetkez}o harom ekvivalens feltetellel jellemezhet}o: Tr () = Tr ;

P

 I = I;

vagy

X

j

Xj Xj

= I:

(10)

Vegezetul pedig Stinespring dilatacios tetele szerint barmely teljesen pozitv dinamikai lekepezes felrhato redukalt dinamika formajaban (8). 6

4.

Az entr opia tula jdons agai

Egy veges abc-n adott  = (1 ; 2 ; : : : ; d ) valoszn}usegeloszlas informaciotartalmanak klasszikus, Shannon-fele H ()

=

d X j =1

j log j

formulaja [25] levezethet}o nehany egszer}u feltetelb}ol, ugymint folytonossag, az abc bet}uinek permutaciojara vett invariancia, valamint a 

H (1 ; 2 ; : : : ; d )

= H (1 + 2 ; 3 ; : : : ; d ) + (1 + 2 ) H

1

1

+ 2

;

1

2



+ 2

kompatibilitasi feltetel ([21], masodik fejezet). Ha ugy ertelmezzuk a  merteket, mint ami az f1; 2; : : : ; dg szimbolumok el}ofordulasi gyakorisagat adja meg valamely informacioforras altal kibocsajtott uzenetben, akkor H meri egy tipikus uzenet atlagos informaciotartalmat. Egy masik lehetseges ertelmezes szerint H az uzenetek el}oalltasanak bizonytalansagat meri, es egy fontos Boltzmann-tpusu tulajdonsaga H -nak, hogy a forras lenyegeben csak exp(nH ) darab n hosszusagu uzenetet bocsajt ki. A kvantummechanikaban azonban mindig jelen van bizonytalansag, meg akkor is, ha egyebkent tokeletesen ismerjuk a ' hullamfuggveny altal kodolt rendszert. Valoban, az X onadjungalt merhet}o mennyiseg fuggvenyeinek varhato erteket a h'; E () 'i spektralmertek adja meg, mint az (1) formulaban. Termeszetesen egy ilyen tiszta allapotnak nulla entropiaja kell, hogy legyen. Ezenkvul az sem vilagos, hogy interpretalhato egy s}ur}usegmatrix, mint tiszta allapotok sokasaga. Egy d pontbol allo kon guracios teren adott valoszn}usegi mertek egyertelm}uen bonthato fel Dirac-mertekek konvex kombinaciojara, s gy egyertelm}uen meghataroz egy sokasagot. A kvantummechanikaban azonban egy s}ur}usegmatrix tiszta allapotok konvex kombinaciojakent valo el}oalltasa messze nem egyertelm}u, es gy egy s}ur}usegmatrix egyszerre szamtalan sokasagot de nial. Kiderul azonban, hogy a Neumann-entropia tovabbra is rendelkezik a fentinek megfelel}o Boltzmann-tpusu tulajdonsaggal. Egy s}ur}usegmatrix S () entropiaja (3) alapvet}o matematikai tulajdonsagainak tanulmanyozasahoz fontos az entropiafuggveny viselkedeset ismerni osszetett rendszerek eseten. Bar sok tulajdonsag a klasszikus eset megfelel}oje, a bizonytasok altalaban nehezek es ki nomult matematikai eszkozoket igenyelnek [28, 21]. A tovabbiakban az egyszer}useg kedveert feltesszuk, hogy minden rendszer veges dimenzios Hilbert-terrel  anosabb esetek termeszetesen szinten kezelhet}ok, megfelel}o technikai rhato le. Altal feltetelek mellett. Ha 12 jeloli egy ketkomponens}u rendszer s}ur}usegmatrixat, akkor 1 az els}o komponensre vett megszortas, vagyis 12 -nek a masodik rendszerre vett parcialis nyoma. Egy n-dimenzios rendszer eseten 0  S ()  log n. A szels}o ertekek tiszta allapotokon vetetnek fel, melyekre S = 0, illetve a normalt nyomon, melyre S = log n. Mi tobb, S 7

erteke csak  sajatertekeit}ol fugg, s gy invarians barmely szimmetria transzformaciora nezve. Az entropia konkav fuggveny: d X j =1

j S (j )

S

d X j =1



j j



d X j =1

j S (j ) + H ()

(Prop. 1.6 [21]-ben). Specialisan, kevertebb allapotnak nagyobb az entropiaja. Vegul, a  7! S () fuggveny folytonos, de a folytonossag foka sajnos fugg  dimenziojatol, ami nagy rendszerek targyalasaban a technikai problemak egyik f}o oka [13]. Ketkomponens}u rendszerek eseten a legszembet}un}obb kulonbseg a klasszikus esethez kepest, hogy az entropia S (1 )  S (12 ) monotonitasa nem feltetlenul teljesul. Ami azt illeti, barmely adott 1 s}ur}usegmatrixnak letezik egy 12 kiterjesztese egy nagyobb rendszerre, melyre S (12 ) = 0. Ezt a konstrukciot puri kacionak hvjak, es valojaban nem mas, mint a GNS konstrukcio (4). A reszrendszerek kozotti tipikus kvantum korrelaciok, melyek ezt lehet}ove teszik, szolgaltatjak tobbek kozott az alapot a kvantum kommunikacos es szamtasi eszkozok kifejlesztesehez. Mi tobb, ha 12 tiszta, akkor 1 -nek es 2 -nek megegyeszik az entr opiaja. A S (12 ) S (2 ) kulonbseget kvantum felteteles informacionak hvjak, bar altalaban felvehet negatv ertekeket is. Megmutathato, hogy ez a mennyiseg folytonos, megpedig a masodik rendszerre nezve egyenletesen [2]. Ezenkvul az entropia szubadditv S (12 )  S (1 ) + S (2 ) ; es egyenl}oseg pontosan akkor all, ha a ket reszrendszer fuggetlen, azaz 12 = 1 2 . Vegezetul jS (1) S (2)j  S (12): A legnagyobb jelent}oseg}u eredmeny az entropia er}os szubadditivitasa: S (123 ) + S (2 )

 S (12) + S (23):

(11)

Ezen egyenl}otlenseg bizonytasa hosszu ideig nyitott problema volt, melyet el}oszor Lieb es Ruskai oldott meg [16]. A fenti entropia egyenl}otlensegek mind levezethet}ok (11)b}ol, mint specialis esetek, esetleg puri kacio hasznalataval. Az egyenl}oseg teljesulese (11)-ben nagyon er}os megszortast jelent 123 strukturajara nezve; lasd [14]. Viszonylag egyszer}u bizonytas adhato (11)-re a relatv entropia

j

S (  )

:= Tr (log  log )

fogalmanak felhasznalasaval (lasd Prop. 1.9 [21]-ben). A relatv entropianak szemleletes interpretacio adhato pl. a kvantum statisztikus zika keretein belul, mint egy tetsz}oleges es az egyensulyi allapot szabadenergiajanak kulonbsege. A KMS illetve a TomitaTakesaki elmeleten belul egyszer}u formula adhato a relatv entropiara a relatv modularis operator segtsegevel. Megmutathato, hogy az er}os szubadditivitas ekvivalens egyreszr}ol a relatv entropia monotonitasaval teljesen pozitv nyomtarto lekepezesek hatasa alatt [17, 26, 21] S ( j  )  S ( j  ) ; 8

masreszr}ol a relatv entropia mindket valtozojaban vett egyuttes konvexitasaval S

d X j =1

j j

d X j j =1





j

d X j =1

j

j S (j j ):

Eltolasinvarians racsrendszerek eseten a veges reszterfogatokra vett entropiak monotonitasa bizonythato az er}os szubadditivitas segtsegevel. 5.

Entr opiatermel es klasszikus rendszerekben

Ebben a fejezetben klasszikus dinamikai rendszereket tekintunk, melyek egy fazisterrel, egy  valoszn}usegi mertekkel, valamint egy diszkret idej}u dinamikaval adhatok meg. A dinamika itt egy mertektarto es invertalhato lekepezes, T

7!

:

;

(G)

= (T (G)) = (T 1 (G)):

Els}okent Koopman es Neumann vettek eszre, hogy a Hilbert-ter operatorok kvantum formalizmusa rendkvul hasznos lehet ilyen rendszerek tanulmanyozasaban. A ( ; ; T ) harmashoz hozza lehet rendelni egy (L2 ( ; ); UT ) part, ahol L2 ( ; ) a negyzetesen integralhato fuggvenyek tere -n, UT pedig a kovetkez}o uniter operator:

2 L2 (

(UT )(x) := (T (x));

; ):

A T lekepezes szamos lenyeges ergodikus tulajdonsaga targyalhato az UT operator spektralis tulajdonsagai segtsegevel. A kovetkez}okben megmutatjuk, hogy a KolmogorovSinai-entropia fogalma bevezethet}o ilyen tpusu kvantummechanikai rendszerekben. Ez termeszetesen csak egy matematikai altalanostas, kozvetlen zikai ertelmezes nelkul. Bevezeteskepp felidezzuk a KS-entropia konstrukciojanak alaplepeseit. A ter egy merhet}o C = fC1 ; C2 ; : : : ; Ck g partciojahoz hozzarendelhet}o egy entropia mennyiseg: H (C )

:=

k X j =1

(Cj ) log (Cj ):

partciok kozos nomtasa az a C _ D partcio, amely az osszes lehetseges Cj \ Di metszetekb} ol all. Egy adott C partcio eseten a dinamika n lepese egy nomtott

A

C

es

D

C (n)

:= T n+1 C _ T n+2 C _


_ T 1 C _ C

partciot eredmenyez, ahol T m C := fT m (C1 ); T nialhatjuk a partcio dinamikai entropajat h(C; T )

:= nlim !1 9

1 n

g.

m (C ); : : : ; T m (C ) 2 k

H (C (n) );

Ezekutan de-

es a T lekepezes KS- (vagy dinamikai) entropiajat: h(T )

:= sup h(C; T ):

(12)

C

A fenti konstrukcio megismetelhet}o a Hilbert-ter formalizmusban. Jelolje a konstans 1 fuggvenyt, amely egy 1 normaju vektor az L2 ( ; ) Hilbert-terben, es UT = . A C partci ohoz hozzarendelhetjuk ortogonalis projekciok egy PC := (PC1 ; PC2 ; : : : ; PCk ) csaladjat, ahol (PC )(x) := 1C (x) (x) ; itt 1C jeloli a C halmaz karakterisztikus fuggvenyet. Ez a projekciocsalad egy diszkret projekcio ertek}u merteket, vagy masneven egy egysegfelbontast hataroz meg, k X j =1

PC j

=I

es

PC i PC j

= ij PCi :

es PC segtsegevel de nialhatunk egy C

:=

k X j =1

PC j

j ih j PCj

s}ur}usegmatrixot, melynek Neumann-entropiaja S (C )

=

k X j =1

kPCj k2 log kPCj k2 = H (C ):

Felvaltva alkalmazva a PC altal meghatarozott merest es az UT uniter dinamikat, s}ur}usegmatrixok egy id}ofugg}o C (n)

:=

k X jn =1






k X j1 =1

UT PCjn




UT PCj j ih j PCj UT


PCjn UT 1

1

sorozatat nyerjuk, mely roviden a C (n)

= [UT P ]n j ih j

formaban rhato, ahol UT 

:= UT  UT

es

P  :=

X

j

Pcj  PCj :

Kihasznalva, hogy U PC U  = PT 1 (C ) , konnyen megmutathato az S (C (n))

= H (C (n) )

10

osszefugges. Igy mindket dinamikai entropia, h(C; T ) es h(T ), kifejezhet}o egy olyan kepzeletbeli kvantum rendszer entropiatermelesenek segtsegevel, amelyen mereseket hajtunk vegre. A fenti konstrukcio altalanosthato egy F = (f1 ; f2 ; :::; fk ) egysegosztas bevezetesevel, ahol az fj -k merhet}o komplex ertek}u fuggvenyek -n, melyekre teljesul a k X j =1

jf (x)j2 = 1;

x

2

normalasi feltetel. Az fj fuggvenyek azonosthatok a megfelel}o szorzasoperatorokkal (f )(x) := f (x) (x) ; melyek segtsegevel konstrualhato egy transzformacio-ertek}u mertek M

7! F(M );

F (M ) :=

X

j 2M

fj fj ;

valamint egy megfelel}o POVM M

7! EF(M );

(EF (M ) )(x) :=

X

j 2M

jfj (x)j2

(x):

A KS-entropia ismet megkaphato a nem eles meres es az uniter dinamika felvaltva valo hattatasaval: n o 1 n h(T ) = sup lim S (F (n)) ; F (n) = [UT F ] j ih j: n!1 F

n

A szupremumot vehetjuk az osszes F = (f1 ; f2 ; :::; fk ) partciora nezve, illetve folytonos (sima) T dinamikai lekepezes eseten szortkozhatunk folytonos (sima) fj fuggvenyekre. Specialis esetekben a KS-entropia kiszamtasa egyszer}usthet}o az eredeti (12) de nciohoz kepest, megfelel}oen valasztott nem eles felbontasok hasznalataval [4]. 6.

Entr opiatermel es kvantum rendszerekben

Bar a klasszikus dinamikai rendszerek kvantum reprezentacioja csupan egy kenyelmes matematikai eszkoz, a KS-entropia fentebb bemutatott konstrukcioja jo kiindulasi alap lehet a megfelel}o kvantum mennyiseg de nciojahoz. Vannak azonban mas lehetseges megkozeltesek is, melyek - a klasszikus esettel ellentetben - gyakran lenyegesen kulonboz}o kvantum dinamikai entropia fogalmakhoz vezetnek [9, 27]. A kovetkez}okben olyan egyseges algebrai formalizmust hasznalunk, amely egyarant alkalmas klasszikus rendszerek, veges dimenzios kvantum rendszerek, kvantum mez}ok es 11

kvantum rendszerek termodinamikai limeszenek lerasara. Ugyanakkor a GNS-konstrukcio (lasd (4) es (11)) segtsegevel barmely absztrakt algebrai dinamikai rendszer targyalhato a Hilbert-ter formalizmusban is. Ebben a reprezentacioban az A C*-algebra absztrakt elemei a H! Hilbert-ter korlatos operatoraikent jelennek meg, az ! vektor ciklikus a reprezentaciora nezve, es az allapotot az j ! ih ! j egydimenzios projekcio adja. A  dinamika reprezentaltja az U! uniter operator, amely xen hagyja az ! vektort. Ezekutan veszunk egy egysegosztast, (10)-hez hasonloan, X

= (X1 ; X2 ; : : : ; Xk )

es

k X j =1

Xj Xj

=I;

valamint az altala meghatarozott teljesen pozitv nyomtarto lekepezest H! s}ur}usegmatrixain X  :=

k X j =1

! (Xj )  ! (Xj ):

Ismet felvaltva hattatjuk az U () := U!  U! dinamikat es X -et az j ! ih ! j referenciaallapoton, es megvizsgaljuk a := [UT F ]n j ih j s}ur}usegmatrix viselkedeset nagy n id}okre. Igy kapunk egy partciofugg}o 1 h(; X ) := lim sup S (X (n)) X (n)

n!1 n

dinamikai entropiat es magat a dinamikai entropiat: h(;

A0) :=

sup h(; X ):

X A0

Az utobbi formulaban A0 egy (altalaban s}ur}u) reszalgebrajat jeloli A-nak, amely invarians a dinamikara nezve. A partciokra tett ezen megszortas bizonyos regularitasi tulajdonsagot jelent a megengedett merhet}o mennyisegekre nezve. Konkret peldakban altalaban nehez feladat eldonteni, hogy ez a feltetel valoban szukseges-e. A fentebb ismertetett entropia szamos konkret peldaban explicite kiszamolhato [1]. Mint azt az otodik fejezetben lattuk, a klasszikus rendszerek specialis esetkent jelennek meg az altalanos konstrukcioban, es ebben az esetben az itt ismertetett kvantum entropia fogalom megegyezik a KS-invarianssal. A tanulmanyozott rendszerek koze tartozik szamos eltolas dinamika, mint peldaul az eltolasok a kvantum spinlancon, a szabad eltolas valamint a Powers-Price-eltolas, ezenkvul a nemkommutatv torusz automor zmusai es a kvaziszabad fermion automor zmusok. Befejezesul megemltunk egy kapcsolodasi pontot a dinamikai entropia es nem-egyensulyi rendszerek kozott [3]. Tekintsunk egy vegtelen kiterjedes}u alacsony s}ur}useg}u fermion rendszert, ahol egy eektv egyreszecske dinamika jo kozeltest jelent. Feltesszuk, 12

hogy a kezdeti eloszlas teljesen homogen. Ezekutan bevezetunk egy lokalis csapdat" a rendszerben; a csapdaval erintkez}o reszecskek kikerulnek a rendszerb}ol. "Felvaltva hattatva a csapdat es egy diszkret idej}u dinamikat modellezhetjuk a csapdaba hullo reszecskek folyamat, melynek intenzitasat a J (t) aram adja meg t id}opillanatban. A J a ram aszimptotikus viselkedese nyilvan informaciot szolgaltat a rendszeren beluli reszecske transzportrol. Megmutathato, hogy ez az aram osszekapcsolhato a rendszer dinamikai entropia termelesevel:
S (t)  cJ (t);

(13)

ahol c egy megfelel}o konstans. Meg abban az esetben is, ha az aram aszimptotikusan elt}unik, a (13) egyenl}otlenseg hasznos informaciot szolgaltat az exponensekr}ol, melyek meghatarozzak a dinamikai entropia szublinearis novekedeset. Raadasul a J aram exponensei osszefuggenek a dinamika spektralis exponenseivel. Hivatkoz asok

[1] Alicki, R. and Fannes, M. (2001). Quantum Dynamical Systems. Oxford University Press, Oxford. [2] Alicki, R. and Fannes, M. (2004). Continuity of quantum conditional information. J. Phys. A, 37, L55{L57. [3] Alicki, R., Fannes, M., Haegeman, B., and Vanpeteghem, D. (2003). Coherent transport and dynamical entropy for fermionic systems. J. Stat. Phys., 113, 549{574 [4] Alicki, R., Andries, J., Fannes, M., and Tuyls, P. (1996a). An algebraic approach to the Kolmogorov-Sinai entropy. Rev. Math. Phys., 8, 167{84. [5] Alicki, R. and Lendi, K. (1987). Quantum Dynamical Semigroups and Applications. Springer, Berlin. [6] Bratteli, O. and Robinson, D.W. (1979). Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1. C*- and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States, Springer, Berlin; Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 2. Equilibrium States. Models in Quantum Statistical Mechanics, Springer, Berlin, Masodik kiadas 1997. [7] Breurer, H.P. and Petruccione, F. (2002). The Theory of Open Quantum Systems. Oxford University Press, Oxford. [8] Busch, P., Grabowski, M., and Lahti, P.J. (1995). Operational Quantum Physics. Springer-Verlag, Berlin. [9] Connes, A., Narnhofer, H., and Thirring, W. (1987). Dynamical entropy of C*algebras and von Neumann algebras. Commun. Math. Phys, 112, 691{719. 13

[10] Davies, E.B. (1976). Quantum Theory of Open Systems. Academic Press, London. [11] Davies, E.B. and Lewis, J.T. (1970). An operational approach to quantum probability. Commun. Math. Phys., 17, 239{59. [12] Dirac, P.A.M. (1930). The Principles of Quantum Mechanics. [13] Fannes, M. (1973). A continuity property of the entropy density for spin lattice systems. Commun. Math. Phys., 31, 291{294. [14] Hayden, P., Jozsa, R., Petz, D. and Winter, A. (2004). Structure of states which satisfy strong subadditivity of quantum entropy with equality. Commun. Math. Phys., 246, 359{374. [15] Kraus, K. (1983). States, Eects, and Operations, Lecture Notes in Physics, 190, Springer, Berlin. [16] Lieb, E.H. and Ruskai, M.B. (1973). Proof of the strong subadditivity of quantum mechanical entropy. J. Math. Phys., 14, 1938{41. [17] Lindblad, G. (1975). Completely positive maps and entropy inequalities. Commun. Math. Phys., 40, 147{51. [18] Murray, F.J. and von Neumann, J. (1936). On rings of operators, Annals of Mathematics, 37, 116{229; (1937). On rings of operators II, Transactions of the American Mathematical Society, 41, 208{248; (1943). On rings of operators IV, Annals of Mathematics, 44, 716{808 [19] von Neumann, J. (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer, Berlin. Foundations of Quantum Mechanics, 1955. Princeton University Press, Princeton [20] Nielsen, M.A. and Chuang, I.L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge. [21] Ohya, M. and Petz, D. (1993). Quantum Entropy and Its Use.Springer, Berlin. Masodik kiadas 2004. [22] Petz, D. (2001). Entropy, von Neumann and the von Neumann entropy, John von Neumann and the Foundations of Quantum Physics, szerk. M. Redei and M. Stoltzner, Kluwer. [23] Petz D. (2002). Linearis analzis, Akademiai Kiado. [24] Petz, D. and Redei, M. (1995). John von Neumann and the theory of operator algebras, The Neumann Compendum, 163{185, szerk. F. Brodi, T. Vamos, World Scienti c Series in 20th Century Math. vol. 1, World Scienti c, Singapore. 14

[25] Shannon, C. (1948). Bell Systems Technical Journal, Reprinted in Shannon, C.E. and Weaver, W. (1949). The Mathematical Theory of Communication, University of Illinois Press, Urbana [26] Uhlmann, A. (1977). Relative entropy and the Wigner-Yanase-Dyson concavity in an interpolation theory. Commun. Math. Phys., 54, 21{32. [27] Voiculescu, D. V. (1992). Dynamical approximation entropies and topological entropy in operator algebras. Commun. Math. Phys., 144, 443{90. [28] Wehrl, A. (1978). General properties of entropy. Rev. Mod. Phys., 50, 221{60. Robert Alicki Institute of Theoretical Physics and Astrophysics, University of Gdansk, Poland. Elektronikus cm: [email protected] Mark Fannes Instituut voor Theoretische Fysica, K.U. Leuven, Belgium. Elektronikus cm: [email protected] (Fordtotta Mosonyi Milan)

15