1
A mozgásmódszerről – II. Bevezetés Dolgozatsorozatunk e II. részében egy egyszerű kialakítású és terhelésű síkbeli keret szerkezet számítási példáját vesszük végig, az [ 1 ] munka alapján. Ennek fontos hoza déka lehet, hogy némi gyakorlatra tehetünk szert a slope ~ deflection alapegyenletek alkalmazásában. Ez ugyanis – élményeink szerint – nem annyira egyszerű, mint amennyire egyszerűek az alapegyenletek. Először az alapvető egyenletek egy másfajta levezetését mutatjuk meg. Ugyanis élünk a gyanúperrel, hogy megint csak fontosak lehetnek az ízlésbeli, megszokásbeli különbségek; ezek szemléletbeli problémák, majd számítási hibák okozói is lehetnek. Ebből is okulva mindig azt a megoldást mutatjuk be, amit a hivatkozott forrás is alkal mazott, és nem akarjuk egyik vagy másik formai megoldást rögzíteni, mint egyedül üdvözítőt. Ez vélhetően segíthet az egyébként sem egységes szakirodalom tanulmá nyozásában is. Itt főként a jelölési módok és az előjelszabályok különbözőségére gon dolunk. Minthogy a mechanikai rész végeztével a matematikai rész következik, amely rendszerint egy lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti, a feladat megoldása során nagy segítség lehet, ha az adott esetben ki tudjuk szűrni, hogy hol követhettünk el és milyen típusú hibát. Hogy ez előfordul, arra bízvást számíthat mindenki, aki ilyesmire adja a fejét; ezért aztán nem árt, ha már a felkészülés szakaszában tudatosítjuk, hogy mi vár ránk. Az egyik oka annak, hogy mások által kidolgozott – és remélhetőleg sokszorosan le ellenőrzött – példával kezdünk, az az, hogy a nem kezdők által írt tankönyvekben is találkozni elvi és sajtóhibákkal is. Így kerülnek előtérbe azok a szerzők, akikben jobban megbízunk, mert könyveikben nem sok tévesztés van, vagy éppenséggel nincs is hiba. Minthogy a kezdő Tanuló – mint mi is – még nincsen abban a helyzetben, hogy azonnal el tudja dönteni, hogy ki, hol és mit tévesztett el, elkezdheti megutálni az egészet, mint frusztrációk forrását. Ezt szeretnénk elkerülni, és ebben szeretnénk segítséget nyújtani annak, aki ezt igényli, a saját tapasztalataink alapján, a magunk módján.
Az alapegyenletek levezetése – másként Ehhez tekintsük az 1. ábrát is – ld.: [ 1 ]!
2
1. ábra Ezen egy szinte tetszőleges kialakítású rúdszerkezetből gondolatban kivágott egyenes tengelyű, mezőjében terheletlen AB rudat látunk, ~ amelyet a végein hajlító erőpárok, az MA és MB pozitív végnyomatékok terhelnek; ~ amelynek támaszai a rúd kezdeti helyzetére merőlegesen lefelé pozitív δA és δB el mozdulást végeztek, melynek következtében a támaszok az A’ és B’ véghelyzetükbe jutottak; ~ amelynek véglapjai és rugalmas vonalának végérintői βA és βB pozitív szögelfordu lást szenvedtek. Az AB rúd EIAB hajlítómerevsége az LAB hossza mentén állandó nagyságú. A feladat: a végnyomatékok kifejezése a mozgási – elmozdulási és szögelfordulási – mennyiségekkel. Az 1. ábra szerint – kicsit módosítva a jelöléseken – : = + , (1) = + . (2) Az 1. ábra ( odaképzelt ) derékszögű háromszögéből: tg
=
;
(3)
most felhasználva, hogy elegendően kicsiny szögekre fennáll, hogy tg ≅ , (4) a ( 3 ) és ( 4 ) egyenletek szerint az ívmértékben számított γAB szögre fennáll, hogy =
.
(5)
3
Az A’B’ szakasz egyeneséhez képest mért és szögekre a Szilárdságtan tanítása szerint, a járulékképletek és a szuperpozíció alkalmazásával – [ 2 ] –: = ∙ tehát: = ∙
∙
+ ∙
∙
− ∙
∙
∙
Hasonlóképpen: = ∙
∙
∙
− ∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
, .
(6)
.
(7)
Most ( 1 ), ( 2 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: = ∙ = ∙
∙
− ∙
∙
− ∙
∙
∙
∙ ∙
∙
+
,
(8)
∙
+
.
(9)
Ne felejtsük el, hogy a szokásos rúdelméletből származó járulékképleteknél alkal mazott, valamint az itteni keret - elméleti előjelszabályok nem egyeznek; a pozitív MB végnyomaték a két esetben egymás ellentettje! Átírjuk a ( 8 ) és ( 9 ) képleteket: =
∙ ∙
2∙
−
+
,
( 10 )
=
∙ ∙
2∙
−
+
.
( 11 )
Most szorozzuk meg 2 - vel ( 10 ) - et, majd adjuk hozzá ( 11 ) - hez! Rendezés után az eredmény: =
∙ ∙
∙ 2∙
+
−3∙
";
( 12 )
+
−3∙
".
( 13 )
hasonlóan eljárva: =
∙ ∙
∙ 2∙
Ezek a nyomatékok hatnak a mezőben terheletlen egyenes rúd végein, ha az a fenti végeltolódásokat és - elfordulásokat szenvedi el. Ha ezek a mozgások mind zérus nagyságúak, vagy = =0 , (*) ( ** ) $ − $ = 0 ,
4
akkor ( 12 ) és ( 13 ) szerint 0 . Ha a rúd a mezőben ben is kap hajlító terhelést, akkor a ( * ) és ( ** ) feltételek mellett % % a végnyomatékok éppen a fix befogási nyomatékok, azaz , . Ebbőll következik, hogy a mez mezőben ben is hajlításra terhelt rúd végnyomatékai ( 12 ) és ( 13 ) helyett az alábbi alakot öltik: =
∙ ∙
∙ 2∙
3∙
"
%
∙ ∙
∙ 2∙
3∙
"
%
,
( 14 )
.
( 15 )
A ( 14 ) és ( 15 ) egyenletek az angol szakirodalomban slope ~ deflection egyenletek néven ismert összefüggések, összefüggések melyek a mozgásmódszer alapegyenletei. alapegyenletei Ahogy a leve zetésükből is látszik, nem veszik figyelembe fi a rúdra ható normálerőknek normálerő és nyíró erőknek knek a deformációra, ezzel együtt a rúd erőjátékára er játékára gyakorolt hatását. Ennek az a magyarázata, hogy a mérnöki gyakorlatban ez általában megengedhető megengedhet közelítés. Vannak olyan modellek is, ahol e hatásoktól nem tekintenek el; ennek az az ára, hogy a számítási nehézségek igen jelentősen jelent megnövekednek. Ma, a számítógépesítés korá ban ez a helyzet már kezelhető, kezelhet , ha szükség van a finomított modellekre. Itt a további akban a fenti egyszerűsített űsített modellt alkalmazzuk. Az alapegyenletek alkalmazása Első alkalmazásként egy szimmetrikus kialakítású és terhelésű keretszerkezetet vizs gálunk meg. Ez sorozatunk 2. mintapéldája. 2. Példa Feladat Adott a 2. ábrán látható merev csomópontú keret.
2. ábra – [ 1 ] Állítsuk elő az igénybevételi ábráit!
5
Megoldás Először a csomóponti végnyomatékokat kell meghatározni. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is – [ 1 ]!
3. ábra Erről könnyen leolvasható, hogy a szimmetria okán fennáll az alábbi kapcsolat: . ( 16 ) & Ez megkönnyíti, egyszerűsíti a számítást. Minthogy egy csomópontba több rúd is becsatlakozhat, a rúdvégi nyomatékokat mostantól kettős indexszel látjuk el; pl.: MAB - vel az AB rúd A végéhez, MBA - val pedig a B végéhez tartozó nyomatékot jelöljük. 1. A fix befogási nyomatékok az egyes rudakra AB rúd: % = % = 0 , mert a rúd nem kap mezőterhelést. BC rúd – 4. ábra, q
w, L
( 17 )
2a:
4. ábra – [ 3 ] % &
=−
% &
=+
'∙
(
'∙)( *
=− .
'∙
∙)
(
=−
'∙)( *
;
( 18 ) ( 19 )
6
CD rúd: % &+
% +&
0 , mert a rúd nem kap mezőterhelést.
( 20 )
2. A rúdvégi nyomatékok meghatározása Kicsit átalakítjuk a (14 ) és ( 15 ) egyenleteket, a jelölések miatt: =
∙ ∙
∙ 2∙
+
−3∙
"+
%
,
( 21 )
=
∙ ∙
∙ 2∙
+
−3∙
"+
%
.
( 22 )
Ezek alkalmazása során figyelembe vesszük még, hogy , = ,&+ = - , , & = 2 ∙ - , . ∙ / = . ∙ /&+ = . ∙ /0 , . ∙ / & = 5 ∙ . ∙ /0 .
( 23 ) ( 24 )
AB rúd: Minthogy az A rúdvég mereven befogott, így szögelfordulása és eltolódása zérus: = 0 , $ = 0 ; ( 25 ) mivel a B rúdvég elmozdulásmentes, így $ = 0 . ( 26 ) Most a ( 16 ), ( 17 ), ( 21 ), ( 23 ), ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) egyenletekkel: = =
∙ ∙2 ) ∙ ∙2 )
∙ 0+
−3∙
0 0 )
∙ .
" + 0 , innen: ( 27 )
Hasonlóképpen ( 22 ) alapján: = =
∙ ∙2 ) 3∙ ∙ 2 )
∙ 2∙
+0−3∙
∙ .
0 0 )
" + 0 , innen: ( 28 )
BC rúd: Most az A B , B C betűcserével átírjuk ( 21 ) és ( 22 ) - t, valamint érvényesít jük a ( 23 ) és ( 24 ) jelöléseket is: & &
= =
∙4∙ ∙ 2 ∙) ∙4∙ ∙ 2 ∙)
∙ 2∙ ∙ 2∙
+ &
+
&
−3∙
5
−3∙
5
∙) ∙)
Majd alkalmazva a ( 16 ) , valamint a $& − $ = 0
"+ "+
& &
% %
,
( 29 )
.
( 30 ) ( 31 )
7
összefüggéseket a ( 29 ) és ( 30 ) egyenletekre: 4∙ ∙ 2 ∙ ) 4∙ ∙ 2
&
=−
&
)
+ ∙
&
+
%
,
( 32 )
%
&
.
( 33 )
Ezután felhasználva ( 18 ) és ( 19 ) - et is: &
=
4∙ ∙ 2 )
=−
&
∙
−
4∙ ∙ 2 )
∙
'∙)( *
+
,
( 34 )
'∙)( *
.
( 35 )
A ( 34 ) és ( 35 ) képletek alapján: & =− & , ahogyan a szimmetria miatt lennie is kell.
( 36 )
CD rúd: Itt kétféleképpen is eljárhatunk: vagy az AB CD, vagy az AB DC megfeleltetés szerint. Mindkettő jó lehet, csak figyelni kell! Mi most az AB CD megfeleltetést alkalmazzuk. Eszerint átírva a ( 21 ) és ( 22 ) egyenleteket: &+
=
∙ ∙ 56
+&
=
∙ ∙ 56
56
56
∙ 2∙
&
+
+
−3∙
6
∙ 2∙
+
+
&
−3∙
6
5
"+
&+
5
"+
+&
56 56
%
,
( 37 )
%
.
( 38 )
Érvényesítve a ( 16 ), valamint a ( 39 ) + = 0 , $& = 0 , $+ = 0 ( 40 ) összefüggéseket, továbbá a ( 23 ) és ( 24 ) egyenleteket is, ( 37 ) és ( 38 ) - ból: &+
=−
+&
=−
3∙ ∙ 2 ) ∙ ∙2 )
∙
+
&+
∙
+
+&
%
,
( 41 )
%
.
( 42 )
Ezután ( 20 ), ( 41 ) és ( 42 ) szerint: &+
=−
+&
=−
3∙ ∙ 2 )
∙ ∙2 )
∙
,
( 43 )
∙
.
( 44 )
Foglaljuk össze eddigi eredményeinket! = &
=
&+
=
∙ ∙2 ) 4∙ ∙ 2
∙ , ∙
) 3∙ ∙ 2 − )
−
'∙)(
∙ ,
*
,
=
3∙ ∙ 2 ∙ ) 4∙ ∙ 2
&
=−
+&
=−
) ∙ ∙2 )
, ∙
+
∙ .
'∙)( *
,
(e)
8
3. Csomóponti egyensúlyi egyenlet( egyenlet ek ) felírása és megoldása Látjuk, hogy minden rúdvégi nyomaték 1 db változó, a β szögelfordulás függvénye. Ennek meghatározására 1 db feltételi egyenletre van szükség. Ez a B ( vagy a C ) csomópont nyomatéki egyensúlyi egyenlete lesz. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!
5. ábra Itt a részeire bontott keretet szemlélhetjük, itt csak a nyomatékokra figyelve, figyelve az akció - reakció elvét is figyelembe véve a csomópontra való áttéréskor. áttéréskor A B csomópont egyensúlyi egyenlete: 0 , vagyis & 0 . ( 45 ) & Most a ( 28 ), ( 34 ) és ( 45 ) egyenletekkel: 3∙ ∙ 2 )
∙
'∙)7
8∙ ∙ 2
4∙ ∙ 2 )
∙
'∙)(
0 , innen:
*
.
( 46 )
Most ( e ) és ( 46 ) - tal:
& &+
8 3
8 3
8
3
∙ 9 ∙ - ; ∙ 9 ∙ - ; ∙ 9 ∙ - ;
&
+&
8 3
8
∙ 9 ∙ - ; ∙ 9 ∙ - ;
8
( e1 )
∙ 9 ∙ - .
Az ( e1) eredményeket a 6. ábrán ismételjük meg, némiképpen szemléletesebben. Itt csak az abszolút értékeket írtuk fel, az előjelet el a nyíl -,, ill. a forgatóértelem jelzi.
9
6. ábra Látjuk, hogy a keret minden eleme nyomott, nyomott nyírt és hajlított: igénybevételi állapota ismert. Ehhez szükség volt a statikailag határozatlan H reakció meghatározására, így: 8
:
∙9∙;
3
8
∙9∙-
:∙-
0 , innen:
∙ 9 ∙ - .
( 47 )
A vízszintes gerenda függőleges függő reakciója wa nagyságú, a szimmetria miatt. A 6. ábrán feltüntetett igénybevétel igénybev - adatokból már elkészíthetjük az igénybevételi ábrákat, alkalmazva a kéttámaszú tartók esetében megismert előjelszabályokat; el előjelszabályokat ugyanis gyanis a 6. ábra szerinti részekre bontással a keret kéttámaszú tartók sorává alakult. 4. Az igénybevételi ábrák elkészítése A nyomatéki ábrát a 7. ábrán szemlélhetjük.
7. ábra – [ 1 ]
10
8. ábra Ezzel a 2. példát befejeztük. befejeztük Megjegyzések: M1. A 3. ábrához hasonló, a szerkezet deformációját szemléltető szemléltet ábrák nagyon fon tosak és hasznosak, akár az eredmények előjelének szemlélet alapján való ellenőrzé ellen séhez is. Gyakorolni kell az ilyen vázlatrajzok készítését.
11
M2. A ( 31 ) feltétel szerint nem a $ $& 0 , hanem az általánosabb $& − $ = 0 feltétel áll fenn. Ez azt jelenti, hogy a BC keretgerendát megtámasztó AB és BC osz lopok ugyan deformálódnak, összenyomódnak – az oszlop végpontjai egymás felé közelednek – , de ezek a nemzérus összenyomódások egyformák, így az ezek különb ségét tartalmazó tag kiesik az egyenletekből. A szép az egészben az, hogy bár ezek a tengelyirányú deformációk léteznek, nem kell azokat kiszámítani, de még csak el sem kell értéküket hanyagolni, mert amúgy is kiesnek. M3. Az ( e ) összefoglalás a mozgásmódszer lényegére és előnyére is rámutat: egy szerre több ismeretlen függ ugyanattól a mozgás - adattól. Azt azért nem felejthetjük el, hogy mennyit kellett dolgozni, amíg idáig eljutottunk. Bonyolultabb esetekben ez hatványozottan igaz, amint arról később megbizonyosodhatunk. Összegzés Dolgozatsorozatunk e II. részében egy szimmetrikus keretet számoltunk végig. A szimmetria jelentősen leegyszerűsítette a megoldást; annyira, hogy igazából nem is tudott kijönni a mozgásmódszer néhány jellemző vonása. Például itt nem kellett egyenletrendszert megoldani, csak egy egyenletet. Talán majd a következő részben. Lényeges, hogy a vizsgált példa egyszerűsége miatt zárt alakú képleteket sikerült elő állítani, a forrás alapján, bár attól némiképpen eltérve. Irodalom: [ 1 ] – Nicholas John Hoff: The Analysis of Structures John Wiley & Sons, Inc., New York, 1956. [ 2 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [3]– http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Fem1.png/800pxFem1.png Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. május 12.
